Upload
carla-barbosa
View
308
Download
7
Embed Size (px)
Citation preview
TENSÕES NOS SOLOS
● CONCEITO DE TENSÕES NO SOLOAplicação da Mecânica dos Sólidos Deformáveis aos solos →conceito de tensões num meio particulado ⇒ os solos sãoconstituídos por partículas e as forças são transmitidas de partícula apartícula e suportadas pela água dos vazios.
Transmissão de esforços entre as partículas– Partículas granulares → transmissão de forças através do
contato direto grão a grão;
– Partículas de argila → pode ocorrer através da água adsorvida
A transmissão se dá por áreas muito reduzidas. Ao longo de umplano horizontal no solo tem-se esforços decompostos emcomponentes normais e tangenciais.
Conceito de tensão total em um meio contínuo– Conceito de tensão normal:
– Conceito de tensão tangencial:
Tensões de contato (> 700MPa) >>>> tensões totais assim definidas (< 1 MPa)→ áreas de contato muito pequenas (< 1% da área total)
área
N∑=σ
área
T∑=τ
����������� ����������������������������
● TENSÕES NA MASSA DE SOLO– Tensões devido ao peso próprio
– Tensões devido a propagação de cargas externas aplicadas aoterreno.
Tensões devido ao peso próprio do soloCaso geral - terreno inclinado
Semi-espaço infinito, solo homogêneo
acima do NA, elemento de solo de
espessura unitária.
Por equilíbrio:
Σ FH= 0 ⇒ Ee = Ed
Σ FV= 0 ⇒ W = R
W = peso do elemento unitário
de solo
σv = tensão atuante na base
do elemento de solo
Caso particular - terreno horizontal e plano, com constânciahorizontal nas camadas e ausência de cargas externas -tensões geostáticas →→→→ tensões cisalhantes nos planos horizontale vertical são nulas
solo estratificado → camadas uniformes de espessuras z1, z2, ...,com pesos específicos γ1, γ2, ...
TENSÕES NOS SOLOS
γ⋅⋅⋅=γ⋅⋅⋅= zicosb1zbW o
icoszb
Rv ⋅⋅γ==σ
zv ⋅γ=σ
nn2211v z...zz ⋅γ++⋅γ+⋅γ=σ
σv
����������� ����������������������������
TENSÕES NOS SOLOS
– Exemplo de cálculo
– Pressão neutra (ou poropressão) - u ou uw
Pressão na água dos vazios dos solos → corresponde a cargapiezométrica da lei de Bernoulli.
Zw = altura da coluna d’água
– Tensões efetivas - σ’Terzaghi → estabeleceu que abaixo do NA a tensão normal total em
um plano qualquer → soma de duas parcelas:
• Tensão transmitida pelos contatos entre as partículas →tensão efetiva (σσσσ’) - extremamente difícil mensuração !
• Pressão na água dos poros (uw)
Num caso mais genérico (solo não saturado):
• Pressão no ar dos poros (ua)
ww zu ⋅γ=
����������� ����������������������������
TENSÕES NOS SOLOS
Para um elemento de solo tem-se a seguinte condição de equilíbrio:
para solo saturado:
σ = tensão total A = área totalσ’= tensão efetiva Ac = área de contatouw = poropressão na água Aw = área de água (pressão neutra)ua = poropressão no ar Aa = área de ar
Como Ac <<<<< A impossível mensuração → σ’ definido peloPrincípio das tensões efetivas
• Princípio das tensões efetivas:
• A tensão efetiva (solos saturados) pode ser expressa por:
• Todos os efeitos mensuráveis das variações de tensões(deformações e resistência ao cisalhamento) são devido avariações na tensão efetiva - associados ao deslocamentorelativo das partículas de solo.
• Experiência que ilustra o conceito de tensão efetiva
aawwc AuAuA'A ⋅+⋅+⋅σ=⋅σ
wwc AuA'A ⋅+⋅σ=⋅σ
u' −σ=σ
����������� ����������������������������
• Implicações do conceito de tensões efetivas– Na prática da Mecânica dos Solos define-se tensão efetiva
como a tensão que efetivamente atua nos contatos grão a grão,respondendo pelas características de deformabilidade eresistência ao cisalhamento dos solos. A tensão deixa de sercalculada pela equação equilíbrio de esforços, mas continuasendo conceitualmente considerada a tensão no esqueletomineral;
– Ao passo que, com poucas exceções, toda a deformação nossolos está relacionada a variação na tensão efetiva, o solopode sofrer deformação sem sofrer acréscimo de tensão total,basta que haja variação da pressão neutra;
– Solos argilosos podem apresentar comportamento viscoso,sujeitos a creep (adensamento secundário), manifestandodeformações lentas a tensão efetiva constante;
– A resistência ao cisalhamento dos solos é em parte devido aoatrito entre as partículas, função das tensões de contato entreas partículas.
• Cálculo da tensão efetiva
TENSÕES NOS SOLOS
����������� ����������������������������
• Exemplo de cálculoNo caso geostático, as tensões horizontais associadas às tensões
verticais são definidas em função do coeficiente de empuxo norepouso (K0).
• Relação entre tensões efetivas horizontal (σ’h) e vertical (σ’v)No caso geostático as tensões horizontais associadas às tensões
verticais são definidas em função do coeficiente de empuxo norepouso (K0).
O valor de K0 varia entre 0,3 e 3 dependendo do tipo de solo, história detensões, plasticidade, ...
VALORES TÍPICOS:
Tipo de solo K0
areia fofa 0,50
areia densa 0,40
argila de baixa plasticidade 0,50
argila muito plástica 0,65
argila pré-adensada > 1
solos compactados > 1
TENSÕES NOS SOLOS
v
h0
'
'K
σσ=
����������� ����������������������������
– Efeito da capilaridadePor efeito da tensão superficial entre a água e a superfície daspartículas → a água consegue subir acima do nível freático a umaaltura maior quanto menor forem os vazios.
• Tensão superficial da água e tensões capilares
• Distribuição das poropressões
Exemplo de cálculo
TENSÕES NOS SOLOS
wc
r
T2h
γ⋅⋅=
T (água a 20oC)= 0,073 N/m2
uw=γw z
uw= - (γw z)
u= uw(?) + ua(?)
zz
����������� ����������������������������
TENSÕES NOS SOLOS
Tensões devido a cargas externas - propagação e distribuição– Tensões devido a cargas externas
Além do peso próprio da massa de solo, as tensões no solo podem ser originadas por carregamentos externos.A determinação das tensões devido a cargas externas e sua distribuição no subsolo é muito importante na avaliação de deformações e da capacidade de carga dos terrenos onde são instaladas obras de engenharia.– Distribuição das tensõesExperiências dos primórdios da Mecânica dos Solos:
• os acréscimos de tensões a uma certa profundidade excedem a área de projeção da área carregada;
• o somatório dos acréscimos de tensões verticais é constante em profundidade;
• como a área de atuação aumenta o valor das tensões verticais diminuem com a profundidade.
–
DMC/FURG - Mecânica dos Solos - Prof. Cezar Bastos
– Bulbos de tensõesBulbos de tensões ou isóbaras são superfícies unindo pontos de
mesmo acréscimo de tensões.Para efeito de projetos convenciona-se ∆σ = 0,1 σ0 como o bulbo de tensões mais afastado → superfície mais distante sob efeito da carga externa.
– Método do espraiamento das tensõesSimplificadamente o método considera as tensões verticais
uniformemente distribuídas com a profundidade, com umângulo de espraiamento de 30o.
Ex: para um carregamento ao longo de uma faixa de carregamento infinito:
TENSÕES NOS SOLOS
o0v30tgz2L2
L2⋅⋅+⋅
⋅⋅σ=σ
DMC/FURG - Mecânica dos Solos - Prof. Cezar Bastos
TENSÕES NOS SOLOS
O método do espraiamento não satisfaz o princípio da superposição dos efeitos.
– Método empírico de Kögler e Scheidig para a propagação e distribuição das tensões
Kögler e Scheidig (1927-1929) → experimentos com o carregamento de placas de diferentes formas e medindo-se por instrumentação as tensões verticais no interior de substratos de areia compactada.
Soluções propostas:• Para cargas em faixas de largura 2B
• Para cargas aplicadas em placas circulares de raio R
• Para cargas aplicadas em placasquadradas de lado A
• Para cargas aplicadas em placas retangulares de lados A e B
θ = 30o para solos predominantemente argilosos e pouco rígidosθ = 45o para solos predominantemente granulares e compactos
θ⋅+⋅
⋅σ=σtgzB
B20z
2
2
0z)tgzR(
Rθ⋅+
⋅σ=σ
2
2
0z)tgzA(
Aθ⋅+
⋅σ=σ
)tgzB()tgzA(BA
0zθ⋅+⋅θ⋅+
⋅⋅σ=σ
DMC/FURG - Mecânica dos Solos - Prof. Cezar Bastos
TENSÕES NOS SOLOS
– Aplicação da Teoria da ElasticidadePara a estimativa das tensões atuantes no interior da massa de
solo em virtude de diferentes tipos de carregamento externo são muito utilizadas soluções baseadas na Teoria da Elasticidade →relação tensão-deformação do solo é dada pela Lei de Hooke (material de comportamento linear elástico, homogêneo e isótropo).
• Considerações sobre hipóteses da teoria da elasticidadeA aplicação de soluções mais simples da Teoria da Elasticidade aos
solos é questionável, pois os mesmos não satisfazem os requisitos das hipóteses:
– Comportamento linear (relação tensão-deformação linear) eelástico (deformações reversíveis) → para que seja válida os acréscimos de tensão devem ser pequenos (pequenas deformações) tal que o estado de tensões seja muito distante da ruptura. Resulta válido o Princípio da Superposição dos Efeitos;
– Homogeneidade (mesmas propriedades em todos os pontos) →foge a realidade na maioria dos casos. O solo é heterogêneo pela sua natureza e também apresenta relações tensão-deformação variáveis com a tensão de confinamento, logo variável com a profundidade;
– Isotropia → O solo é em muitos casos anisotrópico pela natureza e arranjo de suas partículas. Entretanto, a condição de isotropia é válida para em terrenos onde o solo mantém constituição uniforme por distâncias da ordem de algumas vezes a menor dimensão da área carregada.
Para estas soluções baseadas na Teoria da Elasticidade é também válido o Princípio de Saint-Venant → “Desde que as resultantes de dois carregamentos sejam as mesmas, o estado de tensões numa região suficientemente afastada da aplicação do carregamento independe da forma com que o carregamento é aplicado”.
– Soluções com base na Teoria da Elasticidade• Solução de Boussinesq para carga concentradaBoussinesq → determinou tensões, deformações e deslocamentos no interior de uma massa elástica, homogênea e isotrópica, num semi-espaço infinito de superfície horizontal, devido a uma carga puntual aplicada na superfície deste semi-espaço.
DMC/FURG - Mecânica dos Solos - Prof. Cezar Bastos
– Acréscimo de tensão vertical
ou
onde
Para pontos na vertical abaixo da carga (z/r = 0)
– Acréscimo de tensão horizontal radial
– Acréscimo de tensão transversal
TENSÕES NOS SOLOS
θ⋅⋅π⋅⋅
=σ 52z cos
z2P3
B2z NzP⋅=σ
2zz
P48,0 ⋅=σ
]cos1
cos21(sencos3[z2
P 23
2rθ+θ
⋅)ν⋅−−θ⋅θ⋅⋅⋅π⋅
=σ
]cos1
cos[cosz2
P21(2
32t
θ+θ
−θ⋅⋅π⋅
⋅)ν⋅−−=σ
25
2B
zr1
12
3N
+
⋅π⋅
=
DMC/FURG - Mecânica dos Solos - Prof. Cezar Bastos
– Tensão cisalhante
O coeficiente de Poisson → se relaciona ao coeficiente de empuxo no repouso
• Solução de Melan para carga ao longo de uma linha de extensão infinita
Melan (1932) → integração em linha da equação de Boussinesq
ou de outra forma
Q em kN/m
• Solução de Carothers-Terzaghi para carga uniformemente distribuída ao longo de uma faixa de extensão infinita
A partir da equação de Melan.
β = ângulo entre a vertical e a bissetriz de 2α2α =ψ - θβ = θ + α
onde ν: coeficiente de Poisson e α éexpresso em radianos
Q em kN/m2
TENSÕES NOS SOLOS
θ⋅θ⋅⋅π⋅⋅
=τ sencosz2
P3 42
z
x
εε
−=νν−
ν=
1K0
222
3
z)xz(
zQ2+
⋅π⋅
=σ 222
2
x)xz(
zxQ2+⋅
⋅π⋅
=σ
θ⋅⋅π⋅
=σ 4z cos
zQ2
)22cos2(senQz α+β⋅α⋅
π=σ )22cos2sen(Q
x α+β⋅α−⋅π
=σ
α⋅ν⋅π⋅
=σQ4
y
DMC/FURG - Mecânica dos Solos - Prof. Cezar Bastos
Solução gráfica
TENSÕES NOS SOLOS
DMC/FURG - Mecânica dos Solos - Prof. Cezar Bastos
• Solução de Osterberg para carga distribuída na forma de trapézio retangular em uma faixa de extensão infinita
Solução gráfica para σz sob a faixa de carregamento:
A solução apresenta o efeito da semi-largura do carregamento. Por sobreposição dos efeitos:
onde no caso de um aterro: Para pontos situados fora da projeção da faixa de carregamento usar a
solução para carga uniformemente distribuída de Carothers-Terzaghi.
TENSÕES NOS SOLOS
)II( direito ladoesquerdo lado0z σ+σσ=σ ⋅
aterro do espessuraaterro0 ⋅γ=σ
DMC/FURG - Mecânica dos Solos - Prof. Cezar Bastos
• Solução de Carothers para carga distribuída na forma de triângulo em uma faixa de extensão infinita
Solução gráfica (ν = 0,45) para acréscimos de tensão vertical (σz= ∆σ1) e de tensão horizontal (σx= ∆σ3):
TENSÕES NOS SOLOS
DMC/FURG - Mecânica dos Solos - Prof. Cezar Bastos
• Solução de Love para carga uniforme sobre superfície circular
A fórmula de Love (Love, 1929) obtida a partir da integração da solução de Boussinesq permite o cálculo do acréscimo de tensão vertical ao longo da vertical que passa pelo centro de uma placa circular uniformemente carregada:
Soluções gráficas (para ν = 0,45)
TENSÕES NOS SOLOS
[ ]
+−⋅σ=σ
23
20z
)zR(1
11
DMC/FURG - Mecânica dos Solos - Prof. Cezar Bastos
TENSÕES NOS SOLOS
DMC/FURG - Mecânica dos Solos - Prof. Cezar Bastos
• Soluções para carga uniforme sobre superfície retangular– Solução de NewmarkNewmark (1933) → a partir da integração da equação de
Boussinesq, solução para o cálculo das tensões provocadas no interior do semi-espaço infinito de superfície horizontal por carregamento uniformemente distribuído numa área retangular.
Equação:
Solução gráfica:entrada: m e n → tem-se Iσ
Com base no Princípio da Superposição dos Efeitos é possível determinar as tensões em qualquer outro ponto sob a placa ou fora dela.
TENSÕES NOS SOLOS
σ⋅σ=σ I0z
zam =
zbn =
[ ]
⋅−++++⋅⋅⋅
+++⋅⋅+++++⋅++⋅⋅⋅
⋅π⋅
σ=σ 2222
5,022
222222
225,0220
znm1nm)1nm(nm2arctg
)1nm()nm1nm()2nm()1nm(nm2
4
DMC/FURG - Mecânica dos Solos - Prof. Cezar Bastos
– Solução de SteinbrennerTensões no vértice do retângulo a uma profundidade z.Equação:
onde: e a > b
Solucão gráfica: entrada z/b e a/b → saída
TENSÕES NOS SOLOS
⋅+
+⋅⋅
+⋅
+
−⋅−−⋅+−⋅⋅⋅−+⋅
⋅⋅π⋅
σ=σ
R)za()zR(a
zbzb
)zR(z)zR()ba()zR(za2)ba(a
zbarctg
2 22
22
22222
220
z
222 zbaR ++=
0
ziσσ
=
DMC/FURG - Mecânica dos Solos - Prof. Cezar Bastos
• Solução para carga uniforme sobre superfície qualquer -Método dos “quadradinhos” (Ábaco circular de Newmark)
Esta solução tem por base a equação de Love e o Princípio da Superposição dos Efeitos.
Quando é aplicada uma carga uniformemente distribuída sobre uma superfície, a tensão gerada a uma dada profundidade é igual ao somatório dos efeitos dos carregamentos em áreas parciais
Para a construção do ábaco são traçados 10 círculos concêntricos cujo acréscimo de carga a um ponto do centro dos círculos situado a uma profundidade z corresponde a 10%, 20%, 30%,.... da carga total aplicada. Logo, cada um dos anéis apresenta Iσ= 0,1. Da equação de Love:
Como Iσ = f(R/z) o traçado dos círculos segue a seguinte tabela:
O ábaco é ainda dividido em 20 setores de igual área, originando trapézios circulares (“quadradinhos”) cuja unidade de influência Iσ=0,005
TENSÕES NOS SOLOS
( )2
3
20
z
zR1
11I
+−=
σσ
=σ( )
+−⋅σ=σ
23
20z
zR1
11
DMC/FURG - Mecânica dos Solos - Prof. Cezar Bastos
Uso do ábaco– É desenhada a planta da área carregada na mesma escala de
construção do ábaco (AB= z), sendo este centrado no ponto onde deseja-se determinar o acréscimo de tensões;
– Conta-se o número de “quadradinhos” n abrangidos pela área de carregamento (devem ser contabilizadas de maneira fracionada os “quadradinhos” ocupados parcialmente);
– O acréscimo de tensão vertical será dado por:sendo Iσ= 0,005
– É necessário repetir os procedimentos para cada profundidade que se deseja conhecer as tensões porque modifica a escala do desenho.
Exemplo:
TENSÕES NOS SOLOS
σ⋅⋅σ=σ In0z
DMC/FURG - Mecânica dos Solos - Prof. Cezar Bastos
• Soluções de Mindlin (1936) e Antunes Martins (1945) para carga distribuída ao longo de um elemento vertical inserido na massa de solo
As soluções consideram a transmissão de carga por uma estaca através do atrito ao longo do fuste e pela ponta para uma massa de solo homogênea, isotrópica e semi-infinita.
Mindlin (1936) → parcela de acréscimo de tensão transmitida pela pontaPp - parcela da carga transmitida pela pontaKp - coeficiente de influência (ábaco - lado direito)
Antunes Martins (1945) → parcela de acréscimo de tensão transmitida pelo fuste, admitindo atrito uniforme ao longo do comprimento daestaca.
Pa - parcela da carga transmitida pelo fusteKa - coeficiente de influência (ábaco - lado esquerdo)
TENSÕES NOS SOLOS
p2
pz K
CP
⋅=σ
a2
az K
CP
⋅=σ
DMC/FURG - Mecânica dos Solos - Prof. Cezar Bastos
• Outras soluçõesSoluções elásticas específicas ou soluções numéricas (p.ex. método dos
elementos finitos).Bibliografia: Poulos e Davis “Elastic solutions for soil and rock
mechanics”.• Simplificações práticas com base na aplicação do Princípio
de Saint-Venant– Para uma área retangular carregada, para cotas z > 3 b, a
influência pode ser considerada igual a de uma carga puntual aplicada no centro de gravidade da área;
– A simplificação acima também é válida quando o raio vetor R da equação de Boussinesq é maior que 5x o lado menor b da superfície retangular;
– Para uma superfície retangular de lado maior > que 10x o lado menor, pode-se aplicar soluções para carga em faixa (p.ex. formulação de Carothers - Terzaghi).
– Considerações sobre o emprego da Teoria da Elasticidade a solos não homogêneos
As soluções apresentadas, baseadas na Teoria da Elasticidade, indicam acréscimos de tensões verticais que independem do Módulo de Elasticidade (E) e Coeficiente de Piosson (ν), visto as simplificações quanto a isotropia e principalmente homogeneidade.
Na verdade o subsolo se apresenta em estratos constituídos por solos de variados módulos ou mesmo quando formados por um único material apresentam tendência natural a valores de módulos crescentes com profundidade → necessidade de soluções mais elaboradas ou uso de soluções numéricas (métodos computacionais) ⇒ uso difundido em Mecânica dos Pavimentos.
Entretanto, apesar das reconhecidas limitações da Teoria da Elasticidade, as soluções aqui apresentadas ainda têm sido empregadas (mesmo para solos não homogêneos). A justificativa para tal é o fato de conduzirem a resultados com razoável aproximação às medições experimentais.
TENSÕES NOS SOLOS
DMC/FURG - Mecânica dos Solos - Prof. Cezar Bastos