01 Mechanika Lengéstan Példatár Pápai SDOF

MECH J MECHANIKA J

2014.

LENGÉSTAN PÉLDATÁR

Egy szabadságfokú lengőrendszerek

1. KONCENTRÁLT PARAMÉTERŰ RENDSZEREK ELEMEI .................................................................................... 1

1.1. TEHETETLENSÉGI NYOMATÉKOK ................................................................................................................................. 1 1.2. TÖMEGREDUKCIÓ ........................................................................................................................................................ 3 1.3. RUGÓMEREVSÉG .......................................................................................................................................................... 3 1.4. HELYZETI ENERGIA ...................................................................................................................................................... 3

2. SZABAD CSILLAPÍTATLAN RENDSZEREK ............................................................................................................. 3

3. GERJESZTETT, CSILLAPÍTATLAN RENDSZEREK .............................................................................................. 29

4. SZABAD, CSILLAPÍTOTT RENDSZEREK ................................................................................................................ 38

5. GERJESZTETT, CSILLAPÍTOTT RENDSZEREK ................................................................................................... 45

Ez a példatár az irodalomjegyzékben feltüntetett források alapján lett összeállítva.

Jelölések

Nmc / rugóállandó

Nmradct / torziós rugóállandó

mNs / rugómerevség

sec

1 rezgésszám, más néven: másodpercenkénti rezgésszám

T

1 (néhol n -nel jelölve)

j képzetes egység

Alapképletek

Körfrekvencia, periódusidő T

f

2

2

Steiner tétel 2tmJJ sQ

SDOF csillapítatlan szabadlengés körfrekvenciája

sec

10

rad

m

s

mc

1. KONCENTRÁLT PARAMÉTERŰ RENDSZEREK ELEMEI

1.1. Tehetetlenségi nyomatékok

[http://hu.wikipedia.org/wiki/Tehetetlenségi_nyomatékok_listája]

Forgó mozgást

végző tömegpont

2rmJ

Vékony

hengerpalást nyitott

végekkel r

sugárral és m

tömeggel

2rmJ

Ennél a képletnél

feltételezzük, hogy a

palást vastagsága

elhanyagolható. A

következő test speciális

esete 21 rr -re.

_01_Mechanika_Lengestan_Peldatar_Papai_SDOF

2

Vastag

hengergyűrű nyitott

végekkel, belső

sugár 1r , külső

sugár 2r , hossz h

és tömeg m .

22

21

2

1rrmJ z

222

213

12

1hrrmJJ yx

vagy ha bevezetjük a r

ttn

normalizált vastagságot és 2rr

akkor

22

2

11 nnz ttrmJ

Tömör henger r

sugárral, h

magassággal és mtömeggel.

2

2rmJ z

22312

1hrmJJ yx

Ez az előző test speciális

esete 01 r -ra.

Vékony tömör

tárcsa r sugárral és

m tömeggel.

2

2rmJ z

4

2rmJJ yx

Ez az előző test speciális

esete 0h -ra.

Tömör gömb r

sugárral és mtömeggel.

5

2 2rmJ

Gömbhéj r sugárral

és m tömeggel.

3

2 2rmJ

Egyenes körkúp r

sugárral, h

magassággal és mtömeggel

2

10

3rmJ z

2

2

45

3h

rmJJ yx

Tömör téglatest h

magassággal, wszélességgel, d

hosszúsággal, és mtömeggel

22

12

1dwmIh

22

12

1dhmIw

22

12

1whmId

Hasonlóan tájolt kocka s

élhoszal:

6

2smICM

Rúd L hosszal és

m tömeggel

12

2LmJ center

Ez a képlet feltételezi,

hogy a rúd végtelenül

vékony (de merev) huzal.

Ez speciális esete az előző

testnek Lw és

0 dh esetén.

Rúd L hosszal és

m tömeggel

3

2LmJend

Ez a képlet feltételezi,

hogy a rúd végtelenül

vékony (de merev) huzal.

Homogén

tömegeloszlású

egyenes prizmatikus

rúd


3

1.2. Tömegredukció

[8, 29.o.]

1.3. Rugómerevség

c

IE

lFy

3

3

1

1.4. Helyzeti energia

Kis szögekre: sin 2

1cos2

Nyugalmi helyzetben függőleges rúd I.

)cos1()( lgmU

sin)(

lgmU

sin

lgmU )(

Másik

21cos

2 egyenletből

2cos1

2

Ezzel a helyzeti energia: 2

)(2

lgmU

lgmU )(

2. SZABAD CSILLAPÍTATLAN RENDSZEREK

1.1. példa ___________________________________________________________________ [4, 212. o.]

O

gm

m

l

0U

cosl

)cos1( l

U

g


4

A matematikai inga (mint rendszer) egyetlen anyagi pontból áll,

egyszabadságfokú, holonom és konzervatív. Az általános

elmozduláskoordináta q .

Feladat:

A. Írjuk fel a matematikai inga mozgásegyenletét.

B. Határozzuk meg a lengésidejét kis kitérésekre.

Kidolgozás:

A példa megoldásához a Lagrange egyenletet írjuk fel. A kinetikus energia a függvényében

22 )(

2

1

2

1),( lmvmEkin (1)

A potenciál a függvényében, ha 0U értékét a 0z -nak megfelelő helyzetben vesszük fel.

cos)( lgmzgmU (2)

A Lagrange egyenlet

0

UEE

dt

d kinkin

(3)

Képezzük a fenti összefüggésben szereplő mennyiségeket :

2lmE

dt

d kin

,

sin

lgm

U.

ezeket (3)-be helyettesítve:

0sin2 lgmlm (4)

A (4) egyenletet elosztva 2lm -tel kapjuk a mozgásegyenletet

0sin l

g (5)

B. Lengésidő kis kitérésekre:

Kis kitérésekre sin ezt (5) mozgásegyenletbe helyettesítve:

0 l

g (6)

A második tag együtthatójából a lengés körfrekvenciája

l

g0 , (7)

a lengés periódusideje

g

lT

2

2

0

(8)

1.2. példa _____________________________________________________________________ [2, 77.o]

A vázolt lengőrendszer a vízszintes síkban mozoghat. Az ábrán látható

helyzetben a rugók erőmentesek. Az AB rúd merev, az A csukló

súrlódásmentes.

Adatok:

kgm 2

Nm

radc 01,00

N

mc 3102

ml 2,1

Kérdések:

z

O

0U

gm

m

l


5

A. Írja fel a mozgás differenciálegyenletét.

B. Számítsa ki a lengésidőt.

C. Milyen c állandójú rugóval kell a c állandójút lecserélni, hogy a lengésidő pontosan sT 5,0

legyen?

1.3. példa ___________________________________________________________________ [2, 78.old.]

A lengőrendszer függőleges síkban végezhet mozgást, az ábra szerinti háromféle elrendezésben. A rajzolt

helyzet minden esetben a rugó erőmentes állapotának felel meg. A rendszer elemeinek mechanikai adatai

azonosak az előző feladatba megadottakkal.

Kérdések:

1. Végezhet-e a rajzolt helyzet körül a rendszer kis kitérésű lengéseket?

2. Ha igen, írja föl a differenciálegyenletet és számítsa ki a lengésidőt.

3. Hasonlítsa össze az eredményeket az előző feladat eredményeivel.

1.4. példa ________________________________________________________________ [3, 334. oldal]

Az m tömegű, homogén tömegeloszlású merev rúdhoz az ábra szerinti

elrendezésben 1c és 2c rugóállandójú tömegtelennek tekintett hengeres

csavarrugók csatlakoznak. A rúd „ A ” jelű vége csuklósan rögzített a rajz

síkjára merőleges helyzetű tengely körül elfordulhat, „ B ” jelű vége pedig a

2c rugóállandóval jellemzett csavarrugóhoz csuklósan kapcsolódik. az „ A

” tengely súrlódásmentes. A rajzolt helyzet egyensúlyi és a rugók

erőmentesek.

Adott: m , 1l , 2l , 1c , 2c .

Feladat:

Határozzuk meg a vázolt rendszer sajátkörfrekvenciáját.

Kidolgozás:

Koordinátául -t választva a rezgőrendszer mozgását leíró

differenciálegyenlet az A-A tengelyre felírt forgómozgás alapegyenlete:

2

2

21

1

11l

cl

cJ AA , (1)

ahol AAJ a rúd tehetetlenségi nyomatéka az „ A ” jelű csuklón átmenő és a

rajz síkjára merőleges tengelyre vonatkoztatva.

2

3

1lmJ AA . (2)

Az (1) egyenletet 0-ra redukálva, -t kiemelve és (2)-t behelyettesítve:

03

1

2

2

1

212

c

l

c

llm (3)


6

A együtthatójával az egyenletet végigosztva:

03

2

2

1

21

2

c

l

c

l

lm (4)

A együtthatójából vont négyzetgyök a vizsgált rezgőrendszer sajátfrekvenciája:

2

2

1

21

2

3

c

l

c

l

lm (5)

1.5. példa ___________________________________________________________________ [3, 335.o.]

Az ábrán látható 1R és 2R sugarú 1m és 2m

tömegű homogén tömegeloszlású korongok az 1O

és 2O jelű, a rajz síkjára merőleges tengelyek

körül forgórezgéseket végeznek. A két tárcsa

egymáson csúszásmentesen gördül. Az 1R sugarú

koronghoz 0c , az 2R sugarúhoz pedig c

rugóállandóval jellemzett tömegelemnek tekintett

spirál illetve csavarrugók csatlakoznak. Az 1O és

2O csapágyak súrlódásmentesek. A rajzolt

helyzet egyensúlyi és a rugók erőmentesek.

Adott: 1m , 2m , 1R , 2R , 0c , c .

Feladat: Határozzuk meg a vázolt forgórezgéseket végző rezgőrendszer percenkénti rezgésszámát.

?n

Kidolgozás: Könyvben

1.6. példa ___________________________________________________________________ [3, 338. o.]

A vázolt lengőrendszer egyszeres vonallal jelölt

rúd-elemei merevek, de elhanyagolható

tömegűek. A csuklós kapcsolatok és a kényszerek

súrlódásmentesnek tekintendők.

Adatok:

kgm 21

kgm 6,01

cma 20

cmb 50

Ncmc /1

Feladat: Számítsuk ki vázolt rezgőrendszer szabad rezgésének rezgésidejét. ?pT


?pT

Megoldás:

sec43,0pT

1.7. példa ___________________________________________________________________ [3, 340. o.]


7

A tömegtelennek, de merevnek tekintett pálca „ A ”

végpontja csuklósan rögzített, míg a másik végére egy

pontszerűnek tekinthető m tömegű testet függesztettünk. A

pálcához, az „ A ” felfüggesztési ponttól „ l ” távolságban

2db c -vel jelölt azonos rugóállandójú, de tömegtelennek

tekintett rugó csuklósan kapcsolódik.

Az ábra szerint kialakított rezgőrendszer a függőleges

síkban kis kitéréssel rezgőmozgást végez. A vázolt helyzet

az egyensúlyi helyzetnek tekintendő.

Adott:

m , l , a , c , g .

Feladat: Határozzuk meg a rezgő inga másodpercenkénti rezgésszámát. ?0 f

Kidolgozás: Jelöljük )(1 U -vel a tömegpont helyzeti energiáját, mely 0:)0(1 U , és )(2 U -vel a

rugókban felhalmozott potenciális energiát.

)cos1()(1 amgU ,

amgamgU sin)(1

222

2

2

1)( l

cU ,

22

2)( l

cU

22

2

1)( maE ,

2)( maE

,

2)( maE

dt

d

02 22 lc

amgma

2

21 2

2

0

agmc

l

am

Megoldás:

2

21

2

1

2

2

00

agmc

l

am

Tf

p

1.8. példa _____________________________________________________________________ [2,78.o.]

Határozza meg a vázolt egyszabadságfokú összetett

lengőrendszer sajátlengéseinek frekvenciáját.

A. Ha az A pont körül forgólengést végző merev rúd

tömege elhanyagolható.

Adatok:

kgm 21 , kgm 12 ml 5,0

Nmc /106 51

Ncmc /103 32

B. Ha a merev rúd tömege: kgm 13 , az egyéb adatok változatlanok.

A rendszer vízszintes síkban mozog.

Kidolgozás:-

Megoldás:-


8

1.9. példa ___________________________________________________________________ [3, 341.o.]

Az m tömegű és c rugóállandójú tömegtelennek tekintett

rugóból áll és az ábrán vázolt rezgőrendszert függőleges

helyzetben helyezzük oly módon, hogy a rugó „ A ” végét

befogtuk. A modellt rezgésbe hozzuk úgy, hogy m tömegét

nyugalmi helyzetéből függőleges irányban kitérítjük. A endszer

mért rezgésszáma n . Erőmentes állapotban a c rugó 0l

hosszúságú. Az m tömeggel együtt az ábrán látható függőleges

helyzetben l hosszúságúra nyúlik.

Adatok:

kgm 2,0

cml 200 (erőmentes rugóhossz)

percn

1180

Feladat:

A. Határozzuk meg a modell ( ? ) sajátkörfrekvenciáját.

B. Számítsuk ki a rugó rugóállandóját. ?c

C. Mekkora lesz a rugó hossza nyugalmi állapotban?

Kidolgozás: Nincs a könyvben

Megoldás:

A. Sajátkörfrekvencia sec

64,1860

2 radn

B. Rugóállandó N

m

mc 0141,0

12

C. Rugó megnyúlt hossza myll 228,000

1.10. példa __________________________________________________________________ [10, 59.o.]

A terheletlenül cml 200 hosszúságú rugó végére kgG 962,1

tömegű testet erősítettünk. Ekkor a rugó statikusan megnyúlt, hossza

cml 76,221 . A tömeget ebből az egyensúlyi helyzetből

sec/85,180 cmv kezdősebességgel lefelé mozgásnak indítjuk.

Feladat:

A. Milyen határok között változik a rugóerő?

B. Mekkora a tömeg legalsó és legfelső helyzetében a rugóban

felhalmozott energia?

C. Mennyi a rendszer percenkénti lengésszáma?

Kidolgozás: könyvben

Megoldás:-

1.11. példa __________________________________________________________________ [3, 342.o.]

Az ábrán vázolt rezgőrendszer tömegének a súlya G . A c

rugóállandóval jellemzett, de tömegtelennek tekintett rugó

legnagyobb alakváltozása rezgőmozgás közben maxX , a maximális

rugóerő rF

Adatok: NG 10 , NFr 100 , mX 05,0max .

Feladat:

A. Határozzuk meg a rugóállandó számértékét. ?c

B. Számítsuk ki a percenkénti rezgésszámot. ?n


9

C. Mekkora a legnagyobb rezgési sebesség? ?max X

Kidolgozás: -

Megoldás:

A. Rugóállandó NmN

m

F

Xc

r

/105100

05,0 4max

B. Percenkénti rezgésszám. perc

n1

9,42655,9

C. Legnagyobb rezgési sebesség sec/23,2maxmax mXX

1.12. példa __________________________________________________________________ [3, 342.o.]

A függőleges súrlódásmentes vezetékben m

tömegű hasáb az ábrán bejelölt irányban haladó

mozgást végezhet. A tömeghez szögben c

rugóállandójú tömegtelennek tekintett rugó

kapcsolódik.

Adott: m , c ,

Feladat: Határozzuk meg a vázolt

rezgőrendszer sajátkörfrekvenciáját.

Kidolgozás: -

figyeljük meg a jobboldali ábrán, az általános

helyzetben nyugvó NF 1 erővel terhelt

hasábra ható erőket!

Megoldás:

sec/23,2

cos

1

2

mc

m

1.13. példa __________________________________________________________________ [3, 343.o.]

Egy G súlyú test, melyhez két 1c és 2c rugóállandóval

jellemzett, de tömegtelennek tekintett rugó csatlakozik,

vízszintes irányú rezgéseket végez. A vázolt modell mért

rezgésideje T .

Adatok:

NG 5 , sec2T .

Feladat:

A. Határozzuk meg a vázolt lengőrendszer x koordinátához tartozó eredő rugóállandóját.

B. Számítsuk ki a másodpercenkénti rezgésszámát.

Kidolgozás:

A. feladat. A szabadlengés körfrekvenciája mce

1 . Ebből ec kifejezve

mce 2

1

.

Ebben T

2 ,

g

Gm . Ezeket behelyettesítve

Nm

N

sms

G

gT

g

G

T

ce /199,054

/81,92

42

12

22

2

2

2

B. feladat. Nyilvánvalóan a másodpercenkénti rezgésszám a periódusidő reciproka sec

15,0

1

T .

Megoldás:

A. Nmce /199,0


10

B. sec

15,0

1

T

1.14. példa __________________________________________________________________ [10, 69.o.]

Az l hosszúságú m tömegű rúd „A” végét függőleges c

rugóállandójú rugóhoz rögzítettük, a másik végét „B”

csuklóhoz csatlakoztattuk. Az AB rúd súlypontjára vonatkozó

tehetetlenségi nyomaték: 12

2lms

Feladat:

Határozzuk meg a rendszer sajátlengésének körfrekvenciáját.

Kidolgozás:-

Megoldás:-

1.15. példa __________________________________________________________________ [3, 343.o.]

Az m tömegű, homogén tömegeloszlású rúd „A” vége

csuklósan rögzített. A rúdhoz az ábrán feltüntetett módon 0c

és c rugóállandójú tömegtelennek tekintett rugók csuklósan

kapcsolódnak. Az „A” ponton átmenő és a rajz síkjára

merőleges tengely súrlódásmentesen foroghat a csapágyban.

A rajzolt helyzet egyensúlyi, a rugók erőmentesek.

Adott: m , 0c , c , 1l , 2l .

Feladat:

Határozzuk meg a vázolt rezgőrendszer percenkénti

rezgésszámát.

Kidolgozás: -

Megoldás:

c

l

clmn

21

02

1355,955,9

1.16. példa __________________________________________________________________ [3, 344.o.]

Súrlódásmentesen csapágyazott merev m tömegű R

sugarú homogén tömegeloszlású korong

tömegtelennek tekintett merev rúddal egy mutató

szárához csuklósan csatlakozik.

A mutató szára merev és tömegtelen, a mutatófej

ugyancsak m tömegű és pontszerűnek tekinthető. A

tengelyhez 0c rugóállandójú spirálrugó, a mutató

szárához pedig c rugóállandójú hengeres csavarrugó

csatlakozik. A rugók elhanyagolható tömegűek. Az

„A” és „B” csuklók súrlódásmentesek. A rajzolt

helyzet egyensúlyi, a rugók erőmentesek.

Adott:

m , g , R , 0c , c .

Feladat:

Határozzuk meg a vázolt rezgőrendszer sajátkörfrekvenciáját.

Kidolgozás: Jelöljük t -vel a tárcsa szögelfordulását.

Kinematikai kapcsolat: RR t 2 2t


11

Tárcsa tehetetlenségi nyomatéka: 2

2mRJtárcsa .

Tömegpont tehetetlenségi nyomatéka: 23 RmJm

2222

2222

22 3)2(22

13

22

1

2

1

2

1

mtárcsa

mtárcsa

JJ

J

t

J

mttárcsa RmmR

RmmR

JJE

22222 112

192

2

1

REDJ

mRRRmE

REDJ

E

REDJE

dt

d

Tömegpont helyzeti energiája: A helyzeti energia zérus értékét a 0 szögelforduláshoz tartozó

tömegpont helyzethez választjuk.

)cos1(3)( gmRUm

Kis szögelfordulásokra: 2

2

11cos . Ebből 2

2

1cos1 . Fenti kifejezésbe behelyettesítve

2

2

3mg

RUm

Potenciális energia:

2

2

0

222

0

222

0

344

2

1

2

3)2(

1

2

14

1

2

1

2

3)2(

1

2

11

2

1

2

RED

t

s

t mgRc

R

cmg

RR

ccmg

RR

ccU

A 0 egyensúlyi helyzet stabilis, ha az )(U potenciális energiának minimuma van, vagyis:

0344 2

0

mgR

c

R

c

U és

0344 2

02

2

mgR

c

R

c

U

,

vagyis a rugóállandók elég kicsik illetve a rugómerevségek elég nagyok: mgRc

R

c3

44 2

0

.

Ekkor a rúd a függőleges, stabilis egyensúlyi helyzete körül rezgőmozgást képes végezni.

REDRED s

J

mgRc

R

cmR

3

44

11

1 2

0

/1

20

Megoldás:

REDRED s

J

mgRc

R

cmR

3

44

11

1 2

0

/1

20

1.17. példa __________________________________________________________________ [3, 345.o.]


12

Az m tömegű R sugarú homogén tömegeloszlású korongot a

súlypontjában súrlódásmentesen csapágyaztuk.

Az ábrán vázoltak szerint a koronghoz 0c és c rugóállandóval jellemzett,

tömegtelennek tekintett rugók csatlakoznak. A rendszer a vízszintes

síkban végezhet forgórezgéseket.

A vázolt állapot egyensúlyi állapotnak tekinthető, a rugók erőmentesek.

Adatok: kgm 3 cmR 6 cmb 4

Ncmc /2 cmN

c1

4,00 rad10

Indítási feltételek:

0t -nál 0 , 0 .

Feladat:

A. Számítsuk ki a vázolt rezgőrendszer rezgésidejét. ?T

B. Mekkora a korong legnagyobb szögsebessége? ?max

Kidolgozás:-

Megoldás:

A. Rezgésidő: sec42,112

22

2

02

c

b

cmR

T

B. Korong legnagyobb szögsebessége: sec

141,4

12 2

0200max

c

b

cmR .

1.18. példa __________________________________________________________________ [3, 346.o.]

Az egyik végén befogott, állandó keresztmetszetű acélrúd végére m

pontszerű tömeget erősítettünk. A kör-keresztmetszetű, d átmérőjű

l hosszúságú rúd anyagának rugalmassági modulusa E .

A tömegponthoz 2c rugóállandójú rugó kapcsolódik. A 2c rugó és a

rúd tömege elhanyagolható.

Adatok: cml 80 , 26 /105,21 cmNE

cmd 1 , Ncmc /04,02

Feladat:

A. Számítsuk ki az l hosszúságú rúd y elmozdulás-koordinátához tartozó rugóállandóját. ?1 c

B. Mekkora az y koordinátához tartozó eredő rugóállandó? ?ec

Kidolgozás:-

Megoldás: Átváltás nincs leellenőrizve

A. NcmEI

lc /16,0

3

3

1

B. Ncmcc

ccce /032,0

21

21

1.19. példa __________________________________________________________________ [3, 347.o.]


13

Az m tömegű test vízszintes, tökéletesen sima felületűnek

feltételezett vezetéken a c rugóállandóval jellemzett,

tömegtelennek tekintett rugóban ébredő erő hatására „A”

amplitúdójú rezgéseket végez. A rezgések száma egy perc alatt n .

A rajzolt helyzet egyensúlyi, a rugó erőmentes.

Adatok: kgm 2,0 cmA 1 perc

n1

180

Feladat:

A. Mekkora a rezgőrendszer rugóállandója? ?c

B. Számítsuk ki a rugóban ébredő legnagyobb erőt a vizsgált rezgés közben. ?max

rF

C. Mekkora a rezgőrendszer maximális kinetikus és potenciális energiája? ?max

kinW és ?max

potW

Kidolgozás:

Megoldás: Átváltás nincs leellenőrizve

A.

Ncmm

c /141,06

12

.

B. Nc

AFr 1,7

max .

C. cmNAmWkin 55,32

1 22

max .

cmkpc

AWpot 55,3

2

2

max

.

1.20. példa __________________________________________________________________ [3, 348.o.]

Az ábra szerinti elrendezésben tökéletesen simának

feltételezett vízszintes síkra helyezett m tömegű testből

valamint 1c , 2c és 3c rugóállandójú tömegtelennek

tekinthető rugókból álló rezgőrendszer lengésének

amplitúdója A .

Adatok:

kgm 5,3 cmA 1

Ncmc /5,01 Ncmc /22 Ncmc /13

Feladat.

A. Mekkora a rezgőrendszer (x koordinátához tartozó) eredő rugóállandója? ?ec

B. Számítsuk ki a rendszer sajátkörfrekvenciáját. ?

C. Mekkora az egyes rugókat terhelő maximális erő?

?1 F , ?2 F ?3 F

Kidolgozás:-

Megoldás:

A.

N

cm

ccc

cccce 714,0

321

321

B. sec

325,61 rad

mce

C. Ncc

AF 4,0

21

1

, Ncc

AF 4,0

21

2

, Nc

AF 1

3

3 .

D. cmcc

cAAB 2,0

21

1

1.21. példa __________________________________________________________________ [3, 349.o.]


14

Az A csuklóhoz csatlakozó 1m tömegű rúd egyenletes

tömegeloszlású. A B és E csuklóhoz tartozó rudak,

valamint a c rugóállandójú csavarrugó tömegtelennek

tekintendő.

Az ábra szerinti elrendezésű modellnél a csuklókat

súrlódásmentesnek, az 2m tömeget pontszerűnek tételezzük

fel. Az ábrán feltüntetett helyzet egyensúlyi, a rugó

erőmentes.

Adott: 1m , 2m , l , c .

Feladat: Határozzuk meg a vázolt rezgőrendszer percenkénti rezgésszámát. ?m

Kidolgozás: -

Megoldás: 2112

155,955,9

mmcn

1.22. példa ________________________________________________________________ [3, 350.o.]

Az ábra szerinti elrendezésű mérőműszer mutatója

fogasív segítségével egy 3R sugarú 3m tömegű

homogén tömegeloszlású fogaskerékkel van

kényszerkapcsolatban.

A mutató szárát zérus tömegűnek tekintjük.

A mutató szárának két vége 1m illetve 2m tömegű,

ezeket pontszerűnek tekintjük.

Mind „ A ”, mind „ B ” jelű csuklók

súrlódásmentesek és ezekhez 01c és 02c

rugóállandóval jellemzett tömegtelennek tekinthető

spirálrugók csatlakoznak. A mutató szárának

tömege elhanyagolható.

Adott: 1m , 2m , 3m , 01c , 02c , 2R , 3R , 1l , 2l .

Feladat: Határozzuk meg a vázolt lengőrendszer másodpercenkénti rezgésszámát. ?

Kidolgozás:-

Megoldás.

2

2

3222

211

233

2

2

3

0201

2

1

11

2

1

2

1

R

RlmlmRm

R

R

cc

T

1.23. példa __________________________________________________________________ [3, 351.o.]

Az 1m tömegű, l hosszúságú homogén tömegeloszlású rúd „A”

vége súrlódásmentes csuklóhoz kapcsolódik. A rúd felső

végéhez erősített 2m tömeget pontszerűnek tételezzük fel. A

rúdhoz 3 darab tömegtelennek tekinthető rugó kapcsolódik az

ábrán feltüntetett elrendezésben. A mozgás síkja a vízszintes sík.

A rajzolt helyzet egyensúlyi, a rugók erőmentesek.

Adott: 1m , 2m , 0c , 1c , 2c , l .

Feladat.

Határozzuk meg a vázolt rezgőrendszer rezgésidejét. ?T


15

Kidolgozás:-

Megoldás:

2

2

1

2

0

11

22

c

a

c

a

cJ

T

AA

ahol

22

21 4

3

4amamJ AA .

1.24. példa __________________________________________________________________ [3, 352.o.]

A G súlyú hasáb AA lapja az elhanyagolható tömegű,

erőmentes állapotban 0l hosszúságú hengeres csavarrugóra

támaszkodik és a tökéletesen simának tekintett függőleges

vezetékben mozoghat az ábrán látható módon.

A rugó összenyomódása a ráhelyezett rugó hatására 0a .

Adott: 1gmG , 0a , g .

Indítási feltételek: 0t -nál 0y , 0vv .

Feladat.

A. Számítsuk ki, hogy mekkora lefelé irányuló 0v sebességgel indíthatjuk mozgásnak a rugó nyugvó

hasábot az 0y helyzetből. ha azt kívánjuk, hogy rezgés közben a rugótól még ne váljék el? ?0 v

B: Mekkora a hengeres csavarrugó rugóállandója? ?c

Kidolgozás: -

Megoldás:

A. cm

aav 0

00 .

B. 0a

gmc .

1.25. példa __________________________________________________________________ [3, 353.o.]

Tökéletesen simának feltételezett vízszintes síkon elhelyezett m

tömegű testhez az ábra szerinti elrendezésben 1c és 2c

rugóállandóval jellemzett, de tömegtelennek tekintett rugók

csatlakoznak.

Adott: m , 1c , 2c , 0x , 0v .

Indítási feltételek: 00 t -nál 0xx , 0vx .

Feladat: Határozzuk meg a vázolt rezgőrendszer mozgását leíró )(tx függvényt.

Kidolgozás:-.

Megoldás:

tv

txtx

sincos)( 00 ,

21

111

ccm

1.26. példa __________________________________________________________________ [3, 354.o.]


16

Az R sugarú m tömegű homogén tömegeloszlású korong az ábra

szerinti elrendezésben ""A pontjában súrlódásmentesnek

tekintendő csuklóhoz kapcsolódik.

A korong a függőleges síkban kis kitérésű forgórezgéseket

végezhet. A hozzákapcsolódó 1c és 2c rugóállandókkal jellemzett

csavarrugók tömegtelennek tekintendők. A vázolt állapot

egyensúlyi, a rugók erőmentesek. A mozgás síkja a vízszintes sík.

Adott: m , R , 1c , 2c , 0 .

Indítási feltételek: 00 t -nál 0 , 0 .

Feladat: Határozzuk meg a vázolt rezgőrendszer mozgását leíró )(t függvényt.

Kidolgozás:-.

Megoldás:

tmcmc

tt 21

003

8

3

8coscos)( .

1.27. példa __________________________________________________________________ [10, 69.o.]

Az érdes síkon a korong csúszás nélkül gördül. A korong súlya

mgG , sugara r . A korong súlypontján átmenő a mozgás síkjára

merőleges tengelyre vett tehetetlenségi nyomaték ismert.

Feladat:

Határozzuk meg a rendszer saját lengésének körfrekvenciáját.


Megoldás: mg

rmc s

2

1

1.28. példa __________________________________________________________________ [3, 355.o.]

A tökéletesen simának feltételezett egyenes vezetékben m

tömegű hasáb mozoghat.

Az ábra szerinti elrendezésben tömegtelennek tekintett )(b jelű

merev rúd csuklósan kapcsolódik a hasábhoz. A )(b jelű

rúdhoz 1c és 2c rugóállandókkal jellemzett rugók

csatlakoznak. A rajzolt helyzet egyensúlyi. A mozgás síkja a

vízszintes sík.

Az R sugarú m tömegű homogén tömegeloszlású

korong az ábra szerinti elrendezésben ""A pontjában

súrlódásmentesnek tekintendő csuklóhoz kapcsolódik.

A korong a függőleges síkban kis kitérésű forgórezgéseket

végezhet. A hozzákapcsolódó 1c és 2c rugóállandókkal

jellemzett csavarrugók tömegtelennek tekintendők. A

vázolt állapot egyensúlyi, a rugók erőmentesek.

A mozgás síkja a vízszintes sík.

Adott: Ncmc /10 21

, Ncmc /20 22

.

Feladat: Határozzuk meg a vázolt rezgőrendszer x koordinátához tartozó eredő rugóállandóját, ec -t kis

kitérésű rezgések esetén.


17

Kidolgozás:-.

Megoldás: Ncmcc

ce /1075,04

221

1.29. példa __________________________________________________________________ [3, 355.o.]

Az 2m tömegű 2l hosszúságú homogén tömegeloszlású

rúdhoz az ábra szerinti elrendezésben 12l és 32l

hosszúságú, tömegtelennek tekintett, de merev pálcák

és c rugóállandójú ugyancsak tömegtelen rugó

csatlakozik. A rajzolt helyzet egyensúlyi helyzetet

jelent.

Adott: 1l , 2l , 3l , 2m , c .

Feladat: Számítsuk ki a vázolt rezgőrendszer

sajátrezgésének körfrekvenciáját.

Kidolgozás:-

Megoldás: cm

1

2

3

1.30. példa __________________________________________________________________ [3, 356.o.]

A tökéletesen simának feltételezett vízszintes síkra

helyezett 1m tömegű hasábhoz c rugóállandóval jellemzett

tömegtelennek tekinthető rugó és a (d) jelű elhanyagolható

tömegű merev rúd csatlakozik. A (d) jelű rúd jobb oldali

vége az ábra szerinti elrendezésben R sugarú, 2m tömegű,

homogén tömegeloszlású koronghoz csuklósan kapcsolódik.

A korong az „O” ponton átmenő és a rajz síkjára merőleges tengelykörül forogva kis kitérésű rezgéseket

végezhet. Az ábra szerinti helyzet egyensúlyi, a rugók erőmentesek.

Adott: 1m , 2m , R , 0c , c , b .

Feladat: Határozzuk meg a vázolt rezgőrendszer sajátkörfrekvenciáját. ?

Megoldás: 01

221

22

2 22

cmRmcmRm

b

1.31. példa ________________________________________________________________ [3, 357.o.]

A tökéletesen simának feltételezett felületek között egyenesben

vezetett m tömegű hasábhoz az ábra szerinti elrendezésben

merevnek, de tömegtelennek tekintett pálcák és 1c , 2c , 3c , 4c

rugóállandókkal jellemzett rugók csatlakoznak. A mozgás a

vízszintes síkban történik.

Adatok: Ncmc /104 21

, Ncmc /106 22

,

Ncmc /103 23

, Ncmc /105 24

.

Feladat: Határozzuk meg a vázolt rezgőrendszer x koordinátához

tartozó eredő rugóállandóját kis kitérésű rezgések esetén. ?ec

Megoldás: Ncmcccc

ce /10316

44 24321

.

1.32. példa __________________________________________________________________ [3, 358.o.]


18

Az m tömegű l hosszúságú homogén tömegeloszlású vékony rúd

az „A” ponton átmenő és a rajz síkjára merőleges tengely körül

kis kitérésű forgórezgéseket végezhet a vízszintes síkban. A

vékony rúdhoz az ábra szerinti elrendezésben 1c , 2c és 0c

rugóállandóval jellemzett, de tömegtelennek tekintett rugók

csatlakoznak. A rajzolt helyzet egyensúlyi, a rugók erőmentesek.

A mozgás a vízszintes síkban történik.

Adott: m , l , 1c , 2c , 0c .

Indítási feltételek: 0t -nál 0 , 0 .

Feladat: Írjuk fel a vázolt rezgőrendszer mozgását leíró )(t

függvényt.

Kidolgozás:-.

Megoldás:

tcmlmcmc

tt 0

221

009

1

81

4

81

4coscos)(

1.33. példa __________________________________________________________________ [10, 68.o.]

A o tehetetlenségi nyomatékú korong az O tengely körül

ellenállás nélkül elfordulhat. A korong „A” pontjához a c

rugóállandójú rugó kapcsolódik.

Feladat:

Határozzuk meg a rendszer lengésszámát kis kitérések esetén.

Megoldás: Könyvben

1.34. példa __________________________________________________________________ [3, 358.o.]

Az R sugarú m tömegű homogén tömegeloszlású korong, az

„O” ponton átmenő és a rajz síkjára merőleges tengely körül

forgórezgést végezhet.

Az ábra szerinti elrendezésben a koronghoz két, egyenként c

rugóállandóval jellemzett, de tömegtelennek tekintett csavarrugó

csatlakozik. A modell mért percenkénti rezgésszáma n . A vázolt

helyzet egyensúlyi helyzetet jelent.

Adatok: mR 3,0 , Nmc /102 2 , perc

n1

70 .

Feladat: Számítsuk ki a vázolt modell tömegét kis kitérésű

rezgések esetén. ?m

Kidolgozás:

Megoldás: mNcn

m /sec72,3455,9 2

2

2

.

1.35. példa __________________________________________________________________ [3, 359.o.]


19

Tökéletesen simának feltételezett vízszintes síkra

helyezett m tömegű hasábhoz az ábrán vázolt módon

1m és 2m jelű, tömegtelennek tekintett „vékony”

merev rudak kapcsolódnak. Az 2m jelű rúd az „O”

ponton átmenő és a rajz síkjára merőleges tengely körül

elfordulhat. Az m tömegű testhez és az 2m jelű

„vékony” rúdhoz az ábrán látható módon a 1c és 2c

rugóállandóval jellemzett, de tömegtelennek tekintett

rugók kapcsolódnak. A rajzolt állapot egyensúlyi

állapotnak tekintendő. Adott: m , 1c , 2c , d , b .

Feladat: Határozzuk meg a vázolt rezgőrendszer másodpercenkénti rezgésszámát kis kitérésű rezgések

esetén. ?

Kidolgozás:-

Megoldás:

2

11

2

22

2

1

cd

b

cm

1.36. példa __________________________________________________________ [5, 72. o.] [3, 360.o.]

Az ábrán látható módon a 1c és 2c rugóállandóval

jellemzett, de tömegtelennek tekintett rugók végein agy-

egy ütközőlap található. Az ütközőlapok az 0x

koordinátájú helyzetben, a tökéletesen simának

feltételezett vízszintes síkra helyezett m tömegű hasáb

oldallapjaihoz éppen csak hozzáérnek.

Az m tömeget x koordináta irányába nyugalmi helyzetéből kitérítve, rezgésbe hozzuk.

Adatok: kgm 8 , Nmc /103 21

, Nmc /101 22

.

Feladat: Számítsuk ki az egy teljes – szakaszonként szinuszos – rezgés megtételéhez szükséges időt.

?T

Kidolgozás:-

Megoldás: sec45,221 mcmcT

1.37. példa __________________________________________________________________ [3, 361.o.]

Az ábrán vázolt m tömegből, 1c és 2c rugóállandóval jellemzett

tömegtelennek tekintett rugóból álló rezgőrendszer tökéletesen

simának feltételezett egyenes vezetékben mozoghat.

Adatok: sec

1314 , cmc 3 ,

sec/21 cmv , sec101 t .

Feladat: Hogyan kell indítani 00 tt időpillanatban a rajzolt sajátkörfrekvenciájú modellt ( ?0 x ,

?0 v ), hogy az indítástól számított sec1t múlva sebessége 1v , koordinátája c legyen?

Kidolgozás:-

Megoldás:

cmAx 99,210 , sec/58,18314 20 cmAv , )0592,0( 2 cmA

1.38. példa __________________________________________________________________ [3, 361.o.]


20

Az ábrán vázolt modell rugalmas, de elhanyagolható

tömegű tengelyből és két egymáshoz kapcsolódó, merev,

forgástengelyükre számítva 11J és 22J tehetetlenségi

nyomatékú merev fogaskerekekből áll.

Adott: 11J , 22J , d , 1R , 2R , l , G (csavarási

rugalmassági modulusz).

Feladat: Határozzuk meg a vázolt modell percenkénti

rezgésszámát. ?n

Kidolgozás.

Megoldás:??

22

2

1

211

2

1

2

0

1

55,955,9

JR

RJ

R

R

cn

.

1.39. példa __________________________________________________________________ [3, 363.o.]

Az ábrán vázot rezgőrendszer egy két

végén befogott, változó keresztmetszetű

tengelyből és egy hozzá rögzített „ D ”

átmérőjű v vastagságú, fajsúlyú merev

tárcsából áll.

A változó keresztmetszetű tengely egyes

szakaszainak átmérői 1d , 2d , a szakaszok

hossza: 1l , 2l és 3l . A tengelyszakaszokat

tömegtelennek, de rugalmasnak tekintjük.

A tárcsát nyugalmi helyzetéből kis szöggel elfordítjuk, (miközben a torziós tengely elcsavarodik),

majd magára hagyjuk.

Feladat. Mekkora lesz a rendszer sajátkörfrekvenciája? ?

Kidolgozás:-

Megoldás: 321

3214 )(

32

ccc

ccc

D

g

1.40. példa __________________________________________________________________ [3, 363.o.]

Az ábra szerinti elrendezésben 1G és 2G súlyú pontszerű testeket

erősítettünk „vékony” merev tömegtelen „ A ” végpontjában

ideális csuklóhoz kapcsolódó rúdhoz.

A c és 0c rugóállandóval jellemzett csavar- és spirálrugók

tömegtelenek. A vázolt helyzet egyensúlyi, a rugók erőmentesek.

Adatok: NG 401 , NG 202 , Ncmc /05,0 , cmNradc /02,00 cml 20

Feladat. Határozzuk meg a csillapításmentes rezgőrendszer sajátkörfrekvenciáját. ?

Kidolgozás:


21

Megoldás:

sec/4,192

1900

22

21

0 radlmlm

cc

1.41 példa ___________________________________________________________________ [3, 364.o.]

Merev, de tömegtelennek tekinthető, két végén súrlódásmentesen

csapágyazottnak feltételezett (1) jelű tengelyhez az ábrán látható

módon egy ugyancsak tömegtelen, egyik végén ütközővel ellátott

„vékony”, de merev DC jelű rudat erősítettünk. Erre a rúdra a

szimmetriatengelyében átfúrt m tömegű golyót helyeztünk. Az m

tömegű golyót c rugóállandóval jellemzett, de tömegtelennek

tekintett rugóval kapcsoltuk az (1) jelű tengelyhez. Az m tömeg és a

rúd között mozgás közben fellépő súrlódást zérusnak tekintjük. A

rendszert az BA tengely körül állandó szögsebességgel

forgatjuk.

Adott: m , c , d ,b , Feladat: Számítsuk ki a vázolt m tömegből és c rugóból álló rezgőrendszer sajátkörfrekvenciáját

függvényében. ?)( f

Megoldás: 21

mc.

1.42. példa __________________________________________________________________ [3, 364.o.]

Egy pontszerű m tömeg, valamint az ábra szerinti

elrendezésben egy ehhez rögzített kétalátámasztású, 1c

rugóállandójú laprugó és a 2c rugóállandójú hengeres

csavarrugó rezgőrendszert képeznek. A rugókat

tömegtelennek tekintjük. A rajzolt helyzet egyensúlyi, a

rugók erőmentesek. A pontszerű testet x irányban nyugalmi

állapotából kissé kitérítjük és utána magára hagyjuk. A rugó

legnagyobb alakváltozása az „O” pontnál maxx . A súlyerő

hatását elhanyagolhatjuk.

Adatok: kgm 3,0 , Ncmc /01,01 , (az x koordinátához tartozó érték)

Ncmc /02,02 , cmx 4max .

Feladat:

A. Számítsuk ki a vázolt rezgőrendszer x koordinátájához tartozó eredő rugóállandóját. ?ec

B. Mekkora a rendszer legnagyobb rezgési sebessége? ?max x

Kidolgozás:

Megoldás:

A. Ncmcc

ccce /066,0

21

21

.

B. smxx /83,2maxmax

1.43. példa __________________________________________________________________ [3, 366.o.]


22

Egy m tömegű, homogén tömegeloszlású r sugarú korong

csúszásmentesen gördülhet egy R sugarú görbülettel kialakított

kényszerpályán. Az (1) jelű nyugalmi helyzetből a (2) jelű helyzetbe

kimozdítva, majd elengedve, a korong az (1) jelű egyensúlyi

helyzetéhez viszonyítva a kényszerpályán „jobbra-balra” gördül

csúszásmentesen az ábrán vázoltak szerint.

Adott: m , R , r , )(sin .

Feladat: Mennyi a vázolt modell rezgésideje? ?T

Kidolgozás:

Megoldás:

rR

gT

23

2

22

.

1.44. példa ___________________________________________________________________ [2, 79.o.]

Az m tömegű, R sugarú korong az 1R sugarú henger alakú

érdes kényszerpálya felületén csúszásmentesen gördülhet.

Adatok:

kgm 5,0 ; 8,0 ;

mR 2,0 ; mR 11 ;

Feladat:

Határozza meg a korong mozgásának periódusidejét.

Kidolgozás:

Megoldás.

1.45. példa __________________________________________________________________ [3, 366.o.]

Az ábrán vázolt rezgőrendszer az l hosszúságú zérus tömegű merev

rúdból, az m pontszerű tömegből és a hozzá kapcsolódó rugókból áll. A

modell a függőleges síkban kis kitérésű forgórezgéseket végezhet.

A c rugóállandóval jellemzett elhanyagolható tömegű hengeres

csavarrugók „vékony”, merev, l hosszúságú zérus tömegű rúd „ E ”

pontjához kapcsolódnak. A rúd „F” jelű vége a pontszerű tömeghez,

másik pedig „O” ponton átmenő, a rajz síkjára merőleges tengelyhez

kapcsolódik a 0c rugóállandójú tömegtelennek tekinthető spirálrugóval

együtt. A vázolt helyzet egyensúlyi, a rugók erőmentesek.

Adott: m , c , 0c , d , l , g .

Feladat: Határozzuk meg, hogy milyen esetben lesz a vázolt rezgőrendszer 0 sajátkörfrekvenciája valós

szám, képzetes szám és nulla.

Kidolgozás:-

Megoldás:

Ha 02

11 2

02

mg

c

d

clm, akkor valós szám, a modell rezgésre képes.

Ha 02

11 2

02

mg

c

d

clm, akkor 0 , a modell nyugalomban van.

Ha 02

11 2

02

mg

c

d

clm, akkor képzetes szám, x minden határon túl növekvő.


23

1.46. példa __________________________________________________________________ [3, 368.o.]

Az m tömegű, R sugarú homogén tömegeloszlású korong a vízszintes

síkon csúszásmentesen gördülhet. Az ábrán vázolt módon a koronghoz a

súlypontjától b távolságban c rugóállandójú, tömegtelennek tekintett rugó

csuklósan csatlakozik. A vázolt helyzet egyensúlyi, és a rugó erőmentes.

Adott: m , R ,b , c .

Feladat: Határozzuk meg a vázolt rezgőrendszer másodpercenkénti

rezgésszámát. ?

Megoldás:

2

3

)(2

2

1 2

2

cmR

bR

T

.

1.47. példa __________________________________________________________________ [3, 368.o.]

Az R sugarú, m2 tömegű homogén tömegeloszlású korongot az

O ponton átmenő, a rajz síkjára merőleges, rögzített tengelyre

súrlódásmentesen erősítettük. A korong egy m tömegű,

ugyancsak homogén tömegeloszlású hasábra támaszkodik. A

korong a hasábon csúszásmentesen gördülhet.

Az m tömegű hasáb tökéletesen simának feltételezett alapon

helyezkedik el.

A koronghoz és a hasábhoz az ábra szerinti elrendezésben 0c , c és 1c rugóállandóval jellemzett,

tömegtelennek tekinthető rugók kapcsolódnak. A vázolt helyzet egyensúlyinak tekinthető, a rugók

erőmentesek.

Adott: m , R , 0c , c , 1c .

Feladat: Határozzuk meg a vázolt kis kitéréseket végző rezgőrendszer percenkénti rezgésszámát. ?n

Kidolgozás: -.

Megoldás.

055,9 n ,

1

2

0

2

2022

1

2

1

c

R

cc

R

Rm .

1.48. példa ___________________________________________________________________ [2, 79.o.]

Az R sugarú m tömegű korong rezgőmozgás közben

csúszásmentesen gördül a vízszintes érdes talajon.

Adatok: kgm 10 ; 6,0 ; Nmc /102 4

Feladat:

A. Számítsa ki a sajátfrekvenciát.

B. Mekkora lehet a súlypont legnagyobb kitérése?

Kidolgozás:-

Megoldás: -

1.49. példa ___________________________________________________________________ [2, 80.o.]


24

A vázolt lengőrendszer AD és BC merev rúdjainak tömege

elhanyagolható. A rendszer vízszintes síkban mozog, a csuklók

súrlódásmentesek.

Adatok:

kgm 5,2 ; ml 3,0 ; Nmc /103 51

; Nmc /102 52

Feladat:

A. Írja fel a rendszer mozgásának differenciálegyenletét.

B. Számítsa ki a sajátlengés frekvenciáját.

C. A lengőrendszer mozgását úgy indítjuk mozgásnak, hogy a 0t

pillanatban a „D” pontot a vázolt irányban elmozdítjuk

mmxD 100 -rel, majd magára hagyjuk. Írja fel az AD rúdnak az

adott indításhoz tartozó mozgástörvényét.

1.50. példa ___________________________________________________________________ [2, 81.o.]

Az m tömegű hasáb a hozzá erősített súlytalan merev karral együtt a sima

egyenes vezetékben mozoghat. A hasábot a mindkét végén csuklós,

ugyancsak elhanyagolható tömegű BC rúd, valamint két egyenlő

rugóállandójú rugó kapcsolja a vele azonos tömegű, l3 hosszúságú merev

rúdhoz, amely az A ideális csukló körül foroghat. A mozgás síkja vízszintes.

Adatok:

kgm 5,0 ; ml 25,0 ; N

cmc 3100362,7 ; NF 620max .

Feladatok:

A. Írja fel a lengőrendszer differenciálegyenletét.

B. Számítsa ki a sajátlengésidőt. C. Mekkora lehet a rúd maximális szögkitérése, ha a rugók karakterisztikája csak a megadott maxF -nál

kisebb rugóerő esetén tekinthető lineárisnak?

1.51. példa __________________________________________________________________ [10, 62.o.]

A G súlyú, A keresztmetszetű, l hosszúságú

prizmatikus keresztmetszetű rúd hosszának 3/1 -ad

részéig fajsúlyú folyadékba merül. A testet c

rugóállandójú rugóra erősítettük fel. A rendszert a

statikus egyensúlyi helyzetéből y mértékben a

bejelölt irányban kimozdítottuk., ezért a rendszer

lengéseket végez.

Feladat.

Határozzuk meg a rendszer lengésidejét.


Megoldás:

cA

g

GT

1

12

0

1.52. példa ___________________________________________________________________ [9, 81.o.]


25

Határozzuk meg az ábrán bemutatott m tömegű, a

forgástengelyre számított s tehetetlenségi

nyomatékú tárcsa lengésidejét, ha a tárcsa

szögelfordulása kicsi és a rugók a nyugalmi

helyzetben terheletlenek.

Megoldás: )(1 2

22

10 bsasS

0

2

T .

1.53. példa ___________________________________________________________________ [9, 81.o.]

Határozzuk meg az ábrán bemutatott m

tömegű, a forgástengelyre számított s

tehetetlenségi nyomatékú tárcsa lengésidejét,

ha a tárcsa szögelfordulása kicsi és a rugók a

nyugalmi helyzetben terheletlenek.

Az ""a hosszúságú rúd tömege am , a ""b

hosszúságú rúd tömege bm ,

Kidolgozás:-

Megoldás: -

1.54. példa __________________________________________________________________ [10, 71.o.]

Az m tömegű S tehetetlenségi nyomatékú korong csúszás

nélkül gördül a vízszintes síkon.

Feladat: Határozzuk meg a rendszer sajátlengésének

körfrekvenciáját.


Megoldás:

2

120

14

rm

cc

S

1.55. példa __________________________________________________________________ [10, 75.o.]

Határozzuk meg a lengőrendszer lengésidejét. A a3 hosszúságú

merev rúd súlya G3

Adottak: a , c , G

Kidolgozás:

Megoldás:

1.56. példa __________________________________________________________________ [10, 75.o.]

a b

1s

2s

s

1x

2x


26

Elhanyagolható súlyú l hosszúságú IE „hajlítási

merevségű” tartó szabad végére c rugóállandójú rugót

erősítettünk. A rugón m tömeg leng.

Feladat: Határozzuk meg a lengésidőt!

Kidolgozás:

Megoldás:

1.57. példa __________________________________________________________________ [10, 76.o.]

Az gm1 súlyú a sugarú tárcsa az A pont

körül a függőleges síkban elfordulhat. A a2

hosszúságú gm2 súlyú merev rúd a B pont

körül fordul el. A rúd és a tárcsa a C

pontban csuklóval kapcsolódik egymáshoz.

Feladat:

Határozzuk meg a rendszer lengésidejét kis

szögelfordulások esetén.

Adott:

NG 4001 , NG 302 ,

cma 10 , Ncmc /025,0

Kidolgozás: könyvben:

Megoldás:

4

4

2

20

BA

c

a

0

2

T

1.58. példa ___________________________________________________________________ [5, 12.o.]

Az ábrán vázolt elrendezésű lengőrendszer rugóinak

állandója Ncmc /05,01 ; Ncmc /2,02 ; Ncmc /1,03 .

Az kgm 5,3 tömegű test lengésének amplitúdója

cmK 1 .

Feladat:

A. Mekkora az eredő rugóállandó és a rendszer vetítő szögsebessége?

B. Mekkora a lengőrendszer energiája?

C. Mekkora az egyes rugókat terhelő maximális erő és az egyes rugókban felhalmozott maximális

energia?

D. Mekkora amplitúdóval leng a 1c és 2c rugók közös „A” pontja?

Kidolgozás:

A.

Először a 1c és 2c sorba-kapcsolt rugók (mindkettőt ugyanakkora

erő terheli a tömeg K kitérésekor) eredőjét határozzuk meg:

2112 ccc

Az így kapott rendszerben a 12c és 3c rugók párhuzamosan vannak kapcsolva (a tömeg K kitérésekor

elmozdulásuk ugyanakkora) , eredőjük az

312

111

cccr


27

képlet alapján számítható. Ide 12c előbb kapott értékét behelyettesítve:

321

111

ccccr

Ebből az eredő rugóállandó:

Nm

N

m

N

cm

N

cm

ccc

ccccr /10

7

5

70

105

70

5

35,0

025,0

1,02,005,0

1,02,005,0)( 32

321

321

;

A rendszer vetítő szögsebessége: sec/20

2

105

1

5,37

105

11

2323

0 rad

sm

Ns

N

mmcr

B. Mekkora a lengőrendszer energiája?

Nms

radm

m

Ns

s

radm

m

NsKmvmE 07,007,02001,05,3

2

1

2

1

2

12222

20

2max

C. Mekkora az egyes rugókat terhelő maximális erő és az egyes rugókban felhalmozott maximális

energia?

3c rugó

A cmK 1 amplitúdójú lengés a 3c rugóban (a rugóállandó definíciója alapján) N

N

cm

cm

c

KF 10

1,0

1

3

3

maximális erőt ébreszt.

A 3c rugóban felhalmozott (potenciális) energia NmNcmcm

N

cmK

cU 05,051

1,0

1

2

11

2

1 22

3

3

A két sorbakapcsolt rugó energiája a teljes energia mínusz a 3c rugóban felhalmozott energia:

NmUEU 02,005,007,0312 . Ez az energia oszlik meg a két sorbakapcsolt rugó között,

rugóállandójuk arányában.

NmUc

cU 004,002,0

25,0

05,012

12

11

NmUc

cU 016,002,0

25,0

20,012

12

22

D. Mekkora amplitúdóval leng a 1c és 2c rugók közös „A” pontja?

A 1c rugó megnyúlása számítható a benne felhalmozott munka alapján, melyet az előbb meghatároztunk:

2

1

1

1

2

1AK

cU ,

ebből cmcUKA 2,02 11

1.59. példa ___________________________________________________________________ [5, 18.o.]

Az egyik végén csuklóval megfogott, elhanyagolható tömegű,

merev AB rúdra az ábra szerinti kgm 9 tömegű testet

erősítünk. A rúd közepéhez és „B” végéhez kapcsolt rugók

állandója N

cmc 09,01 és

N

cmc 12,02 .

Feladat: Határozza meg a lengésidőt, ha az m test – a

méretek miatt – tömegpontnak tekinthető.


Megoldás: sec421,0T

1.60. példa ___________________________________________________________________ [5, 22.o.]


28

A homogén tömegeloszlású, állandó keresztmetszetű, merevnek

tekinthető rúd a rajz síkjában az „A” csukló körül forgó lengéseket

végez. A rúd hossza ma 2,12 , tömege kgm 10 .

A rugóállandók N

cmc 06,01 és

N

cmc 1,02 . A csillapító hatásoktól

eltekintünk.

Feladat: Helyettesítsük a rugókat egyetlen, a rúd végéhez kapcsolódód rugóval úgy, hogy a lengésidő ne

változzék meg.

A. Mekkora a helyettesítő rugó állandója?

B. Mekkora a lengésidő?


Megoldás:-

1.61. példa ___________________________________________________________________ [6, 36.o.]

Az ábra rúdjai merevek és van tömegük. A rajzolt helyzet

egyensúlyi, és itt a rugó erőmentes.

Írjuk fel az ábrán látható rendszer

o potenciális és kinetikus energiáját,

o mozgásegyenletet

o saját-körfrekvenciát.

Kidolgozás: PPT

Megoldás:

21

2

1

2

121

2

1)(

a

l

lasU 2

122

21

222111

2

1

l

lJlmJEkin

22

21

222111

1

2

12

0

l

lJlmJ

al

las

J

s

red

red

1.62. példa ___________________________________________________________________ [6, 34.o.]

Az ábra modelljén az l hosszúságú rúd merev, de tömegtelen,

a rajta levő m tömeg pontszerű. (A modellbeli rudat akkor

tekinthetjük tömegtelennek, ha a megfelelő valóságos rúd

tömege az adott vizsgálatban elhanyagolható.) A modellnek a

rajzolt helyzete egyensúlyi helyzet. A súlyerőt figyelmen

kívül hagyjuk.

Adott m , c , a , l

Feladat:

A. Általános elmozduláskoordinátának a rugóvég elmozdulását választva írjuk fel a mozgás

differenciálegyenletét.

B. Általános elmozduláskoordinátának a rúd elfordulását választva írjuk fel a mozgás

differenciálegyenletét.

C. Határozzuk meg a sajátlengési körfrekvenciát.

Kidolgozás: PPT

Megoldás:

A. 02

2

xsxa

lm

B. 022 aslm

C. mcl

a

10


29

1.63. példa ___________________________________________________________________ [9, 74.o.]

vizsgáljuk meg az ábrán látható függőleges helyzetű, m tömegű , l

hosszúságú, homogén tömegeloszlású rudat, amely az alsó A végpontja

körül elfordulhat, a felső végpontja pedig egy vízszintes helyzetű, c

rugóállandójú rugóval van kikötve úgy, hogy a rúd függőleges

helyzetében a rugóerő nulla.

Kérdés:

A. Létrejöhet-e a rúd rezgőmozgása ezen függőleges helyzet körül?

B. Írja fel a mozgásegyenletet.

Kidolgozás:

Az egy szabadságfokú rendszer általános koordinátájaként válasszuk a

rúd szögelfordulását a függőleges helyzethez képest.

Kis szögelfordulásokat vizsgálva, alkalmazzuk a

sin és a 2

2

11cos

közelítéseket. A potenciális energia a rugóban felhalmozott rugalmas energiából és a rúd helyzeti

energiájából tevődik össze. A rúd helyzeti energiáját a súlypont magasságával jellemezzük.

21

2

1 l

cUrugó

22)cos1(

2

2

__

lgm

lgmU magasságsulypontrúd

A teljes potenciális energia:

222

2__

22

1

22

1

2

1)(

lgm

c

llgml

cUUU magasságsulypontrúdrugó

A 0 egyensúlyi helyzet akkor stabilis, ha az )(U potenciális energiának minimuma van:

02

)( 2

lgm

c

lU és 0

2

)( 2

2

2

lgm

c

lU

,

vagyis ha a rugóállandó elég kicsi (illetve a rugómerevség elég nagy):

lgm

cs

2

11.

Tegyük fel, hogy ez a feltétel teljesül. ekkor a rúd a függőleges, stabilis egyensúlyi helyzete körül

rezgőmozgást képes végezni. Ennek mozgásegyenletéhez szükség van még a kinetikus energiára:

.32

1

2

1 22

2 ml

JE A

A mozgásegyenlet

0

UEE

dt

d

,

vagyis

.023

22

l

gmc

lml

Átrendezve:

.02

33

l

g

cm

3. GERJESZTETT, CSILLAPÍTATLAN RENDSZEREK

2.1. példa ________________________________________________________________________ [F 1]


30

Az ábrán egy csillapítatlan, gerjesztett lengőrendszer vázlatos képe

látható. A rendszer az egyensúlyi helyzet körül ki kitérésű

rezgéseket végez a vízszintes síkban. Az (1) és (2) jelű merev,

prizmatikus rudak egymásra merőleges helyzetben vannak mereven

összeerősítve. Mindkét rúd m tömegű, illetve l hosszúságú.

Adatok:

kgm 6 mNsss /500021

ml 5,0 mmr 60

Feladat:

Határozza meg, hogy a gerjesztett rezgés állandósult állapotban

A.) mely értékeinél lesz az „ A ” pont )(txa kitérése ellenfázisban az )(tr gerjesztéssel ( ?i ) !

B.) a gerjesztési körfrekvencia értékét a sajátkörfrekvencia kétszeresére választva ( 2 ) mekkora

lesz az 2s merevségű rugóban ébredő erő maximális értéke ( ?max2 rF )!

Kidolgozás:

Megoldás:

2.2. példa ___________________________________________________________________ [3, 391.o.]

A tökéletesen simának feltételezett sínek között

egyenesbe vezetett m tömegű pontszerűnek

tekinthető testhez az ábra szerinti elrendezésben

1c és 2c rugóállandójú elhanyagolható tömegű

hengeres csavarrugók kapcsolódnak.

A 2c jelű rugó szabad végét ty sin0 függvény szerint változó koordinátával gerjesztjük. A vázolt


Adott: m , 1c , 2c , ty sin0 .

Feladat:

A. Írjuk fel a rezgőrendszer differenciálegyenletét.

B. Határozzuk meg az inhomogén egyenlet partikuláris megoldását.

C. Ábrázoljuk a

függvényében az inhomogén differenciálegyenlet partikuláris megoldásában

szereplő 0x amplitúdójának és a gerjesztő-függvény 0y amplitúdójának 00 / yx hányadosát.

Kidolgozás: Könyv

Megoldás:

A vizsgált modell mozgását leíró differenciálegyenlet:

2

0

1

sin1

c

xtyx

cxm

. (1)

Az (1)-et rendezve, x együtthatójával végigosztva, majd x -et kiemelve:

tmc

yx

ccmx sin

111

2

0

21

. (2)

A rezgőrendszer sajátkörfrekvenciája:

21

0

111

ccm . (3)

A (3)-at (2)-be behelyettesítve:

tmc

yxx sin

2

020 . (4)

Folyt köv.


31

2.3. példa ___________________________________________________________________ [3, 394.o.]

Az R sugarú m tömegű, homogén tömegeloszlású korong

„A” pontjában a rajz síkjára merőleges ideális

csapágyazású tengely körül forgórezgéseket végezhet. A

koronghoz az ábra szerinti elrendezésben 0c , 1c , 2c és

3c rugóállandóval jellemzett tömegtelennek tekintett

spirál és hengeres csavarrugók kapcsolódnak.

A 2c rugóállandójú rugó szabad végét tFFg sin0

törvényszerűség szerint változó erővel gerjesztjük. A vázolt


Adott: m , R , 0c , 1c , 2c , 3c 0F , .

Feladat:

A. Határozzuk meg a vázolt rezgőrendszer rezonancia körfrekvenciáját. ?rez

B. Mekkora a gerjesztett rezgéseket végző tárcsa szögkoordinátájának rezgési amplitúdója

állandósult állapotban? ?0

C. Határozzuk meg a tömegtelennek tekintett, 2c rugóállandójú rugó (1) jelű végének

mozgástörvényét? ?)(1 ty

Kidolgozás: A. A vizsgált modell mozgását leíró differenciálegyenlet:

RFc

R

c

R

cJ gAA

3

2

1

2

0

1 (1)

ahol AAJ a korong „A” ponton átmenő és a rajz síkjára merőleges tengelyre számított tehetetlenségi

nyomatéka:

2

2

1mRJ AA (2)

Az (1)-et rendezve, (2)-t behelyettesítve, majd együtthatójával végigosztva és -t kiemelve:

tmR

F

c

R

c

R

cmR sin

212 0

3

2

1

2

02

. (3)

A rezgőrendszer rezonancia körfrekvenciája:

3

2

1

2

020

12

c

R

c

R

cmRrez (4)

Folytatás Könyvben

2.4. példa ____________________________________________________________________ [6. 72.o.]


32

Az ábra rúdjai merevek és van tömegük. A rajzolt

helyzet egyensúlyi, és itt a rugó erőmentes.

Írja fel az ábrán látható rendszer mozgásegyenletét.

2.5. példa ___________________________________________________________________ [3, 397.o.]

Az m tömegű, tökéletesen simának feltételezett

felületek között egyenesben vezetett testhez az ábra

szerinti elrendezésben 1c és 2c rugóállandójú,

elhanyagolható tömegű rugók kapcsolódnak. Az m

tömegű egyenesbe vezetett test „O” pontjához egy l

hosszúságú „vékony” merev, tömegtelennek tekintett

rúd kapcsolódik, melynek „D” jelű végére pontszerű

0m tömeget erősítettünk. Az l hosszúságú rúd, az m

tömegű test „O” pontján átmenő és a rajz síkjára

merőleges tengely körül állandó szögsebességgel

forog.

A vázolt rezgőrendszer a vízszintes síkban végzi a mozgását.

Adott: m , 0m , 1c , 2c , l , , .

Feladat: Határozzuk meg a vázolt gerjesztett rezgőmozgást végző modell x koordinátájának

mozgástörvényét ?)( tx az 0)0( x és 0)0( x jellemzőjű indítás esetén.


2.6. példa ___________________________________________________________________ [3, 401.o.]

Az m tömeg tökéletesen simának feltételezett vezetékben mozoghat. A tömeghez az ábra szerinti

elrendezésben kapcsolt c rugóállandójú, elhanyagolható tömegű rugó másik végét kulisszás hajtómű

mozgatja. A kulisszás hajtómű mechanizmusa, amint az ábrán is látható, a következő elemekből áll: Egy

R sugarú tárcsából, mely az „O” ponton átmenő és a rajz síkjára merőleges tengely körül állandó

szögsebességgel forog, továbbá egy a tárcsán található „D” jelű csapból, mely a (B) jelű, simafalú

vezetékben (kulisszában) mozoghat, amely mint merev test mereven az (e)-jelű vízszintes rúdhoz

kapcsolódik.

Az (e) rúd a „B” és „E” jelű simafalú sínekben vízszintes irányban mozoghat. Az m tömeg állandósult

rezgés állapotában a rezgőmozgást leíró x koordináta A amplitúdójának nagyságát ismerjük, és

feltételezzük, hogy az

hányados nagyobb, mint 1. ( a sajátlengés körfrekvenciája.)

Adatok: cmNm /sec002,0 2 cmR 10 Ncmc /01,0 cmA 2

Feladat: Mekkora az R sugarú tárcsa állandó szögsebességének nagysága? ?


33

Kidolgozás:-

Megoldás:

sec

25,546 2 rad .

2.7. példa ___________________________________________________________________ [3, 402.o.]

Az ábrán látható sima, elhanyagolható tömegű cső

belsejében tökéletesen simának feltételezett felületek

között m tömegű testet helyeztünk el. A testet a

csővel c rugóállandójú tömegtelennek tekintett rugó

köti össze. A keretet a vízszintes síkhoz rögzített

koordinátarendszerhez képest tUU sin0

törvényszerűség szerint mozgatjuk.

Tegyük fel, hogy a tömeg csak a gerjesztett rezgésrésznek megfelelően mozog. Nyugalmi állapotban a c

rugóállandójú rugó erőmentes.

Adott: m , c , , 0U .

Feladat: Ábrázoljuk a rugóban ébredő periodikusan változó erő amplitúdóját függvényében.

?)(0 F

Megoldás:

22

20

0 )(

c

UF

*

2.8. példa _______________________________________________________ MCD [5,77.o.][3, 403.o.]

A B-D elhanyagolható tömegű, merev rúd „B” végét

helytálló csuklóhoz rögzítettük, „D” végére pedig

m tömegű pontszerű testet erősítettünk. A rúd „B”

ponton átmenő és a rajz síkjára merőleges tengely

körül foroghat. Az ábra szerinti elrendezésben a

rúdhoz 1c az m tömeghez 2c rugóállandójú

tömegtelennek tekinthető rugók kapcsolódnak.

A 2c rugóállandójú rugó „E” végét függőleges

egyenesen tyy sin0 törvényszerűség szerint

mozgatjuk.

A rezgőrendszer a vízszintes síkban végzi a mozgását. A vázolt helyzet egyensúlyi, a rugók erőmentesek.

Adatok: kgm 100 Ncmc /001,01 , Ncmc /0005,02 ,

cmy 50 , sec/4,31 rad .

Feladat: A. Határozza meg a tömeg gerjesztett lengésének amplitúdóját.

B. Mekkora a 2c rugóban ébredő maximális erő számértéke? ?max F

C. Rajzolja fel jelleghelyesen a gerjesztés és a válasz szinorját.

Kidolgozás: Válasszuk elmozdulás koordinátának a tömegpont x elmozdulását (kis -kre).

Tömegpont kinetikus energiája


34

2

2

1xmE xmE

x

xmE

xdt

d

Kinematikai kapcsolat: 2

1

xx ;

1

1

1

cs ;

2

2

1

cs

A két rugó potenciális energiája:

22

122

2

12

221121

42

1

2

1

22

1

2

1

2

1xs

sxs

xsxsxsUUU

xs

sU

2

1

4

Homogén mozgásegyenlet:

04

21

xs

sxm

sec43,474

21

0

rad

m

ss

Inhomogén mozgásegyenlet

tysxss

xm sin4

0221

Megoldást feltételezzük txtx sin)( 0 alakban, behelyettesítjük fenti egyenletbe:

tystxss

tmx sinsin4

sin 02021

02

Egyszerűsítés után:

02021

02

4ysxs

smx

Ebből 0x kifejezve:

020

2

2

0

21

2

2

212

020

44

ym

s

y

m

ss

m

s

ss

m

ysx

(A képletben az „ 0x ” a rúd „D” végpontjának függőleges irányú maximális elmozdulása, állandósult

állapot feltételezésével.)

Megoldás:

A. A tömeg gerjesztett lengésének amplitúdója cmx 911,70

B. Nc

xyF 5822

0005,0

91,75

2

00max

C. A két szinor egymással fázisban van, körfrekvenciával forognak a komplex síkon az origó körül. A

gerjesztés szinorának amplitúdója cmy 50 , a válasz szinorának amplitúdója cmx 911,70 .

2.9. példa ___________________________________________________________________ [3, 404.o.]

Az ábrán tökéletesen simának feltételezett vízszintes síkra

helyezett, pontszerűnek tekinthető m tömegű test és a hozzá

csatlakozó c rugóállandójú elhanyagolható tömegű rugóból

álló rezgőrendszer modellje látható.

Az m tömegre tF

tFFg 3sin3

sin 00 törvényszerűség

szerint változó gerjesztő erő működik.

Adott: m , c , gF , 0F , 2

.


35

Feladat: Határozzuk meg és ábrázoljuk a mozgást leíró differenciálegyenlet alapján az inhomogén

egyenlet partikuláris megoldását megadó függvényt. )(. tx partinh

Megoldás:

Ellenőrizni

2.10. példa __________________________________________________________________ [3, 405.o.]

Az egyik végén befogott, tömegtelennek tekinthető

l hosszúságú tartó, mint c rugóállandójú laprugó

„B” jelű végéhez csuklósan csatlakozik az R

hosszúságú, elhanyagolható tömegű rúd. A „BE”

rúd „E” jelű végére, 0m tömegű, pontszerű testet

rögzítettünk.

A B csuklóponton átmenő és a rajz síkjára merőleges tengely körül az R hosszúságú rúd állandó 0

szögsebességgel forog. Feltesszük, hogy a laprugó hosszirányban mereven viselkedik. A laprugó „B” jelű

végének elmozduláskoordinátáját jelöljük y -nal. (A mozgás a vízszintes síkban történik)

Adott: 0m , R , c , 0 .

Feladat: Határozzuk meg a vázolt modell „B” pontjának y koordinátáját az idő függvényében,

állandósult rezgési állapot figyelembevételével. )(ty

Kidolgozás:-

Megoldás:

t

mc

Rmt

m

Fty 0

200

200

0220

0 sin1

sin)(

. 2000 RmF

2.11. példa __________________________________________________________________ [3, 406.o.]

Az m tömegű homogén tömegeloszlású rúd „O”

végpontja helytálló csuklóhoz kapcsolódik. A rúd a

rajz síkjára merőleges „O” csuklón átmenő tengely

körül forgórezgéseket végezhet a vízszintes síkban.

A rúd „B”, „O” és „D” jelű pontjához 0c , 1c , 2c , és

3c rugóállandóval jellemzett tömegtelennek

tekinthető rugók kapcsolódnak. A 3c rugóállandójú

rugó „E” jelű végét tyy sin0 törvényszerűség

szerint mozgatjuk. Az „O” jelű csapágyat simának

tekintjük. Az ábra szerinti helyzet egyensúlyi

állapotot jelent, itt a rugók erőmentesek.

Adott: l , 0c , 1c , 2c , 3c , ,m 0y , .

Feladat:


36

A. Határozzuk meg az OB rúd „O” csapja körül végzett forgórezgésének rezgésidejét ?)( T . A

gerjesztett rezgés vizsgálatnál az állandósult állapotot vegyük tekintetbe.

B. Milyen körfrekvencia esetén lép fel rezonancia a koordinátára vonatkozóan? ?)( rez

C. Határozza meg az 0

0

y

hányadost állandósult lengésekre az függvényében.

Kidolgozás:-

Megoldás:

A.

2T

B.

3

2

2

2

1

2

02 4

13

c

l

c

l

c

l

clmrez .

2.12. példa __________________________________________________________________ [3, 407.o.]

Az ábra szerinti rezgőrendszer 1l hosszúságú, 0c

rugóállandójú, elhanyagolható tömegű, „A” végén befogott

torziós tengelyből és „B” végpontján mereven

hozzáerősített, l hosszúságú, merev, tömegtelennek

tekinthető rúdból áll.

Tételezzük fel, hogy az 1l tengely csupán a a csavaró

igénybevétel hatására szenved deformációt, a hajlítással

szemben viszont „merev”. A BD rúd D végéhez egy 01 m

tömegű csapágyat erősítettünk, melyben az elhanyagolható

tömegű EF rúd illeszkedik. Az „E” és „F” pontokban az EF

rúdhoz mereven az ugyancsak elhanyagolható tömegű, 2l

hosszúságú merev rudak kapcsolódnak, melyeknek végin

0m nagyságú pontszerű tömegek találhatók.

Az EF rúd a D csapban szögsebességgel forog. (A súlyerő hatásokat tekintsük a megoldásnál

zérusnak.)

Adott: l , 1l , 2l , 0m , , G csúsztató rugalmassági modulus, pI az AE rúd keresztmetszetének poláris

másodrendű nyomatéka.

Feladat: Határozzuk meg a vázolt modell „D” pontjának )(ty koordinátáját. (Csak a gerjesztett

rezgésrészt vizsgáljuk.)

Kidolgozás:-

Megoldás:

tl

ty

sin)(

22

22

,

ahol 00

2

2

2

1

mcl és

GI

lc

p

10 .

2.13. példa __________________________________________________________________ [3, 408.o.]


37

Az ábrán egy mechanikai elven működő műszer elvi vonalas

vázlata látható. A műszer mutatójának tehetetlenségi

nyomatéka az „A” ponton átmenő a rajz síkjára merőleges

ideális csapágyazású tengelyre AAJ . Az m tömegű testhez

csatlakozó c rugóállandóval jellemzett rugót, valamint a hozzá

kapcsolódó AD merev rudat tömegtelennek tekintjük.

Az AD rúd a mutatóhoz mereven kapcsolódik. A modell a

vízszintes síkban végezhet rezgőmozgást. A c rugó szabad

vége a gerjesztés hatására tUU sin0 törvényszerűség

szerint mozog.

Adott: m , c , l , , 0U , AAJ .

Feladat:

A. Írjuk fel a vázolt rezgőrendszer mozgását leíró

differenciálegyenletet.

B. Határozzuk meg az gerjesztő körfrekvencia

rezonanciaveszélyes értékét a koordinátára

vonatkoztatva.

Kidolgozás:-

Megoldás:

A.

tclmJ

lU

clmJ

l

AAAA

sin2

0

2

2

B. clmJ

l

AA

rez

2

2

2.14. példa __________________________________________________________________ [3, 409.o.]

Az ábrán egy mérőműszer elvi vonalas

vázlata látható. A berendezés egyrészt az

OB jelű m tömegű, merev mutatóból áll,

mely az „O” ponton átmenő és a rajz

síkjárta merőleges tengely körül

elfordulhat.

Az „OB” rúdhoz a D csuklópontban egy

zérus tömegű függőleges rúd közvetítésével

kapcsolódik az ábra szerinti „A”

keresztmetszeti területű dugattyú. A

dugattyúház rögzített, a dugattyú és a

dugattyúház között c rugóállandójú

hengeres csavarrugó található.

A mérőműszer mutatójának „B” jelű vége a dugattyúra működő állandóp 0 nyomásnál u értékkel tér

ki. A műszer rugózását az jellemzi, hogy MPap 20 statikus nyomásnál az cmu 5,0 .

Adatok:

sec1,00 t , MPap 20 , 26,1 cmA , cmu 5,0 ,

kgm 3106 , cml 81 , cml 22 , sec/14,3 rad .

Feladat:

A. Számítsuk ki a vázolt rezgőrendszer gerjesztő körfrekvenciájának rezonanciaveszélyes értékét,

ha a szelepre ható p nyomás nagysága tpp sin0 törvény szerint változik. ?rez

B. Határozzuk meg az 0

0

p

x hányadost az

függvényében. ApF 00

Kidolgozás:-


38

Megoldás:

A.

sec/32,80101,3105

124

radrez

B.

0

0

p

xR .

4. SZABAD, CSILLAPÍTOTT RENDSZEREK

3.1. példa ___________________________________________________________________ [3, 370.o.]

A tökéletesen simának tekinthető vízszintes

síklapra az 1m és 2m tömegű pontszerű testeket

helyeztük. A testekhez az ábrán látható módon

„vékony” merev elhanyagolható tömegű, (b) jelű

rudak kapcsolódnak csuklók segítségével. A

rudak „A” és „E” jelű végét helytálló csuklóhoz

erősítettük.

Az 1m és 2m testek közé c rugóállandóval

jellemzett tömegtelennek tekinthető rugót és k

csillapítási tényezőjű dugattyút iktattunk be. Az

ábrán vázolt helyzet egyensúlyi, a rugó

erőmentes.

Adott: 1m , 2m , l , c , k

Feladat:

A. Határozzuk meg az ábrán vázolt rezgőrendszer mozgását leíró differenciálegyenletet.

B. Mekkora a rezgőrendszer hozzárendelt körfrekvenciája? ?

Kidolgozás:

A vizsgált modell 1m és 2m tömegének mozgását leíró differenciálegyenletei:

Fxxkc

xxxm 221

1211

(1)

és

2

2121

22

Fxxk

c

xxxm

, (2)

ahol F a „B” és „D” jelű csuklók által az AB, illetve ED rudakra kifejtett erő. A geometriai

kényszerkapcsolatból:

12 4xx (3)

A (2)-ből F -et kifejezve:

c

xxxxkxmF 21

21222 (4)

A (4)-et behelyettesítve az első (1) egyenletbe


39

c

xxxxkxmxxk

c

xxxm 12

21222112

11 4 (5)

kiküszöböltük az F erőt. Az (5) egyenletet rendezve:

2112

2211 334 xxkc

xxxmxm

(6)

Most a (3) geometriai feltétel felhasználásával kiküszöböljük az 2x -t. (6)-ba (3)-at behelyettesítve

1111

1211 434

344 xxkc

xxxmxm

majd elvégezve a lehetséges összevonásokat:

11

121 99

16 xkc

xxmm . (7)

(7)-et rendezve és nullára redukálva:

09

916 11121

c

xxkxmm . (8)

(8)-at az 1x együtthatójával végigosztva kapjuk a vizsgált rezgőrendszer rendezett, végleges formában

felírt differenciálegyenletét:

016

9

16

9

21

11

21

1

cmm

xx

mm

kx (9)

A vizsgált rendszer (csillapítatlan) sajátkörfrekvencianégyzete:

cmm

21

2

16

9 (10)

Vezessük be az alábbi jelöléseket

kk 9 ,

mmm 21 16 ,

A hozzárendelt (csillapított) körfrekvencia lesz:

221

2

21

2

2

164

81

16

9

2 mm

k

cmmm

k

. (11)

3.2. példa ___________________________________________________________________ [3, 373.o.]

A tökéletesen simának tekinthető vízszintes síkra

helyezett m tömegből c rugóállandóval jellemzett

tömegtelennek vett rugóból és k csillapítási

tényezővel jelölt rezgéscsillapító szerkezetből álló

rezgőrendszer modellje látható az ábrán.

A rendszert a 00 t időpontban az ábrán látható értelmű 0v kezdősebességgel rezgésbe hozzuk és azt

tapasztaljuk, hogy a rezgést leíró )(tx függvény amplitúdója 10 „teljes rezgés” után sec.9t -ban a felére

csökken. (A 00 t időpontban legyen 0x . A vázolt helyzet egyensúlyi, a rugó erőmentes.

Adott: kgm 02,0 , sec9t .

Indítási feltételek: 0t -nál 00 x , 00 vx .

Feladat: Számítsuk ki a csillapítóerő arányossági tényezőjét. ?k


Megoldás: cmNk sec/0308,0

3.3. példa ___________________________________________________________________ [3, 377.o.]


40

Az ábrán egy mérőműszer modellje látható. A mérőműszer

mutatójának tehetetlenségi nyomatéka „O” ponton átmenő és a

rajz síkjára merőleges tengelyre ooJ , rugózása pedig olyan, hogy

az „O”-n átmenő forgástengelyre működő oM nyomaték a

mutató o elfordulását eredményezi. A mutatóhoz mereven

kapcsolódik az elhanyagolható tömegű h hosszúságú merev kar,

melynek „E” pontjához csuklósan csatlakozik a k csillapodó

dugattyú. A mutató csapsúrlódását zérusnak tekintjük. (A

mozgás síkja a vízszintes sík.)

A rajzolt állapot egyensúlyi, a oc spirálrugó a vázolt

alaphelyzetben nyomatékot nem fejt ki. A mutatót nyugalmi

egyensúlyi helyzetéből 01 20 -kal kitérítve, az ábra szerinti,

„A” kiinduló helyzetből kezdősebesség nélkül elengedve, a

mutató az alaphelyzeten túllendül, majd ezt követően 2 -vel

jellemzett „B” helyzetig jut el. A vizsgált rezgőrendszert enyhe csillapításúnak tekintjük.

Adott: cmNJ 200 sec6,0 ,

cmN

radc 1,00 , 0

1 20 , 02 2 .

Feladat: A műszer 00J tehetetlenségi nyomatékú mutatóját kétszeres tehetetlenségi nyomatékú )2( 00J

mutatóra cseréljük ki.

A. Számítsuk ki a modell rezgésidejét az eredeti mutató ?T és a kicserélt mutató ?T esetében.

B. Határozzuk meg a rezgéscsillapítás mértékét az eredeti mutató ? és a kicserélt mutató ?

esetében.

C. A rezgés említett jellemzői ( T és ) %-ban kifejezve milyen mértékben változnak a rugócsere

következtében?


3.4. példa ___________________________________________________________________ [3, 382.o.]

Az ábrán látható rezgőrendszer összes rúdja

merev, „vékony”, elhanyagolható tömegű. A

c rugóállandóval jellemzett rugó

tömegtelennek tekinthető. Az „O” csuklóval

megfogott rúdnak van csak tömege. Az „O”-

val jelölt és a rajz síkjára merőleges

forgástengelynél ébredő csapsúrlódást

zérusnak vesszük.

A „DE” jelű derékszögben meghajlított merev

rúd a „G” jelű sínben súrlódásmentesen

mozoghat. Az „E”-ben

a 2k csillapítási tényezőjű munkahenger házát a „DE” derékszögben meghajlított merev rúdhoz

erősítettük. A „DE” rúd az „AB” rúdhoz a „D” csukló közvetítésével kapcsolódik. Az „AB” rúd „O”

ponton átmenő és a rajz síkjára merőleges forgástengelyre számított tehetetlenségi nyomatékát jelöljük

ooJ -val. A mozgás a vízszintes síkban történik.

Adott: 00J , 1l , 2l , 3l , 4l , c , 1k , 2k .

Feladat: Írjuk fel a rezgőrendszer mozgását jellemző differenciálegyenletet.

Kidolgozás:-

Megoldás:

3232

211

43 lllklkc

llJoo

.


41

3.5. példa ___________________________________________________________________ [3, 383.o.]

Az R sugarú, m tömegű, homogén tömegeloszlású korong az

„A” pontban a rajz síkjára merőleges tengely körül

forgórezgéseket végezhet. A koronghoz az ábra szerinti

elrendezésben a c és 0c rugóállandóval jellemzett

tömegtelennek tekintett hengeres csavar- és spirálrugó

csatlakozik, valamint k csillapítási tényezővel jellemzett

rezgéscsillapító. A vázolt helyzet egyensúlyi, a rugók

erőmentesek. A rendszert enyhe csillapításúnak tekintjük.

Adott: m , R , b , k , 0c , c .

Feladat: Határozzuk meg a vázolt rezgőrendszer „hozzárendelt”

körfrekvenciáját. ( ? ).

Kidolgozás:-

Megoldás:

2

22

2

02

22 12

2 m

k

c

b

cRmJ

Rk

AA

.

3.6. példa ___________________________________________________________________ [3, 383.o.]

Egy rezgőrendszer a sebességével egyenesen

arányos csillapítással rezgőmozgást végez. A q

-val jelölt elmozdulás-koordináta értékeket

mérések alapján állapítottuk meg.

Ennél a csillapításnál az egymást követő

azonos értelmű koordináták számértékének

logaritmusai számtani sorozatot képeznek. A

méréssel meghatározott q koordináták

számértékeinek logaritmusait a t idő

függvényében az ábrán láthatjuk.

Adott:

kgm 765,0 a rezgőrendszer tömege,

sec07,2T a rezgésidő mért értéke,

a q koordináták számértékeinek logaritmusai:

85,3ln 1 q 74,3ln 2 q 45,3ln 3 q 34,3ln 4 q 05,3ln 5 q 94,2ln 6 q 65,2ln 7 q

Feladat:

A. Határozzuk meg a q koordinátához tartozó csillapítási tényezőt. ?qk

B. Számítsuk ki a rezgőrendszer sajátkörfrekvenciáját. ?

C. Mekkora a q elmozdulás-koordinátához tartozó rugóállandó? ?qc

Kidolgozás:-

Megoldás:

A. T

mkq

2

B. sec

07,32

2

2 rad

m

k

C. Nmm

cq /0139,01

2


42

3.7. példa ____________________________________________________________________ [2, 81.o.]

A vázolt lengőrendszer m tömege vízszintes sima síkon mozoghat.

A mozgásnak indított és magára hagyott rendszer lengésének

amplitúdója 5 teljes lengés után a kezdeti érték egytizedére csökken.

Adatok: kgm 5 ; mNs /104 .

Feladat:

A. Állapítsa meg a k csillapítási tényezőt.

B. Írja föl a mozgás differenciálegyenletét.

C. Írja föl a mozgásegyenletet, ha a kezdeti feltételek:

00 t ; cmx 5)0( ; smv /0)0(

Kidolgozás: -

Megoldás: -

3.8. példa ___________________________________________________________________ [3, 385.o.]

Az ábrán egy mutatós műszer elvi vonalas vázlata látható.

Az „A”-ban csapágyazott, a rajz síkjára merőleges tengely

súrlódásmentes. A műszer tekercsét visszatérítő rugó rugóállandója

0c . A tekercs tehetetlenségi nyomatéka az „A”-n átmenő és a rajz

síkjára merőleges tengelyre AAJ . A mutató, a spirálrugó és a

műszer többi része tömegtelen. A modell enyhe csillapítású.

Adott:

sec104 8 cmNJ AA , cmR 4,0 ,

Ncm

radc 6

0 101 .

Feladat:

A. Számítsuk ki a rendszer sajátkörfrekvenciáját. ?

B. Enyhe csillapítás esetén milyen nagyságú k csillapítási tényezőt

kell választani ahhoz, hogy egy teljes rezgési periódus ideje a

csillapítás nélküli rezgésidő 1,1 -szerese legyen?

Kidolgozás:-

Megoldás:

A. sce

rad

cJ AA

5,01

0

B. sec

1042,21,1

4 5

22

42

4

2 Ncm

T

R

RJk AA

3.9. példa ___________________________________________________________________ [3, 386.o.]


43

Az R sugarú, m tömegű, homogén

tömegeloszlású korong csúszásmentesen

gördülhet a vízszintes síkon. A koronghoz két

darab c rugóállandóval jellemzett,

tömegtelennek tekintett csavarrugó kapcsolódik

az ábra szerinti elrendezésben. A koronghoz

kapcsolódik még az ábrán rajzolt módon a (b)

jelű „vékony” merev, tömegtelennek tekintett

rúd, amely az „O” pontjában a rajz síkjára

merőleges tengely körül elfordulhat.

A rúd „A” jelű végpontja k csillapítási

tényezővel jellemzett csillapítórendszerhez

csatlakozik. A vázolt helyzet egyensúlyi, a

rugók erőmentesek. A rezgőrendszert enyhe

csillapításúnak tételezzük fel.

Adott: m , c , R , k .

Feladat:

A. Határozzuk meg a vázolt rezgőrendszer sajátkörfrekvenciáját. ?

B. Mekkora a csillapított rezgés körfrekvenciája?

Kidolgozás:-

Megoldás:

A. cm

27

100

B.

2

2

3

m

k .

3.10. példa ___________________________________________________________________ [2, 82.o.]

Az m tömegű, R sugarú korong az O ideális csukló körül

foroghat. A kerületéhez csuklóval kapcsolt rugók merevsége

egyenlő. A lengéscsillapítót a koronghoz mereven rögzített „a”

hosszúságú kar A pontjához ugyancsak csukló kapcsolja.

Adatok:

kgm 4 ; mR 5,0 ; ma 3,0 ; Nmc /102 4 .

Feladatok:

A. Állapítsa meg a k csillapítási tényezőt úgy, hogy a megindított és magára hagyott lengőrendszer

mozgása az „aperiódikus határeset”-nek feleljen meg.

B. Rajzolja meg a kitérés-idő függvényt )(t -t a sec50 t intervallumban, ha az indítási feltételek:

;0)0( x 2/4)0( smaA .

3.11. példa __________________________________________________________________ [3, 387.o.]


44

A (b) jelű merev, elhanyagolható tömegű rúd

„O” pontjában a rajz síkjára merőleges

tengely körül elfordulhat. Az ábra szerinti

elrendezésben a (b) jelű elhanyagolható

tömegű merev rudak „B” és „D”

végpontjához 1c és 2c rugóállandóval

jellemzett tömegtelennek tekinthető hengeres

csavarrugók, az „E” ponthoz k csillapítási

tényezővel jellemzett csillapítóhenger, és „F”

pontjához pedig egy m tömegű pontszerűnek

tekinthető test kapcsolódik. Az ábra a

nyugalmi helyzetet mutatja, itt a rugók

erőmentesek. (A mozgás síkja a vízszintes

sík.)

Adatok: cml 191 , cml 182 , cml 183 , cml 124 ,

cmNradc /05,00 , Ncmc /02,01 , Ncmc /05,02 , sec/20 cmvD ,

cmNk sec/05,0 , cmNm /sec102 22 .

Feladat:

A. Írjuk fel a rezgőrendszer differenciálegyenletét és a differenciálegyenletet megoldva határozzuk

meg a B-D rúd szögelfordulás koordinátájának időtől való függését, ha 0t időpontban 0

helyzetben a B-D rúd D végpontjának az ábrán látható 0Dv vektorú kezdősebességet adtunk.

?)( t

B. Határozzuk meg a rezgőrendszer hozzárendelt rezgésidejét. ?T

Kidolgozás:-

Megoldás:

A. tel

vt ooJ

lk

D

sin)(2

1

0

24

ahol

sec/6,264

1123

2

24

2

2

22

1

21

023

radlm

lk

c

l

c

l

clm

tehát

tet t 6,26sin109,3)( 79753

B. sec236,02

T .

3.12. példa __________________________________________________________________ [3, 389.o.]

A (b) jelű merev elhanyagolható tömegű rúd „A” végét a

rajz síkjára merőleges, ideális csapágyazású tengelyhez

kapcsoltuk. A (b) jelű rúdhoz az ábra szerinti

elrendezésben 1m és 2m tömegű pontszerű testet,

valamint 0c és c rugóállandóval jellemzett

elhanyagolható tömegű spirál és csavarrugókat, továbbá

k csillapítási tényezőjű munkahengert erősítettük. A

vázolt helyzet egyensúlyi, a rugók erőmentesek.

Adatok: cml 201 , cml 202 , cml 103 ,


45

Ncmc /05,0 , Ncmradc /02,00 , cmNk sec/05,0 ,

cmNm /sec4 21 , cmNm /sec2 2

2 .

Feladat: Határozzuk meg a, hogy a vázolt rezgőrendszer erős, vagy enyhe csillapítású-e?

Kidolgozás:-

Megoldás: A vizsgált rezgőrendszer gyengén csillapított, mert

4

2

22 106,42

1077,68

AAJ

k , ahol 2

1lkk

3.13. példa ___________________________________________________________________ [2, 83.o.]

Az ábrán látható lengőrendszer adatai:

Adatok: kgm 2 , Nmc /103 3 ,

Nmradc /102 40

, ml 1 , ma 3,0 ,

Feladatok:

A. Mekkora a k csillapítási tényező, ha a két teljes lengés után az

amplitúdó a kezdeti érték 05,0 -szörösére csökkent?

)(

)2(

tx

Ttx

B. Határozza meg a rendszer lengésidejét.

C. Hogyan változnak az előbbi értékek, ha a rúd tömegét a kétszeresére növeljük?

3.14. példa ___________________________________________________________________ [2, 84.o.]

A vázolt fizikai inga lengését csak a levegő – sebességgel arányosnak

tekinthető – ellenállása csillapítja. Ha az ingát 00 5 szélső

helyzetből lökés nélkül indítjuk mozgásnak, 60 teljes lengés után áll

meg. (Tekintsük „állónak” az ingát, ha kitérése 10 szögpercnél kisebb.)

Adatok:

kgm 5 ; ml 7,0 , mR 3,0 .

Feladat:

Mekkora k csillapítási tényezővel jellemezhető ebben az esetben a

légellenállás hatása?

5. GERJESZTETT, CSILLAPÍTOTT RENDSZEREK

4.1. példa ____________________________________________________________________ [2, 84.o.]

A lengőrendszer jellemzőit (tömeg, rugóállandók, csillapítási

tényezők) és a gerjesztő hatás amplitúdóját 0F ill. 0y tekintsük

ismert állandónak. A gerjesztő frekvencia konstans.

Feladat:

A. Írjuk fel a mozgás differenciálegyenletét.

B. Határozzuk meg a kialakuló gerjesztett rezgés amplitúdóját és a gerjesztő hatáshoz viszonyított

fázisszögét állandósult állapotban.

C. Határozzuk meg az gerjesztő körfrekvencia rezonancia-veszélyes értékét.


46

4.2. példa ____________________________________________________________________ [2, 84.o.]




Feladat:





4.3. példa ____________________________________________________________________ [2, 84.o.]




Feladat:





4.5. példa ____________________________________________________________________ [2, 84.o.]


tényezők) és a gerjesztő hatás amplitúdóját 0F ill. 0y

tekintsük ismert állandónak. A gerjesztő frekvencia konstans.

Feladat:





4.6. példa ____________________________________________________________________ [2, 84.o.]

A lengőrendszer jellemzőit (tömeg, rugóállandók,

csillapítási tényezők) és a gerjesztő hatás amplitúdóját

0F ill. 0y tekintsük ismert állandónak. A gerjesztő

frekvencia konstans.

Feladat:



47




4.7. példa ___________________________________________________________________ [1, 319.o.]

Az ábrán vázolt rendszer az l hosszúságú,

elhanyagolható súlyú és tömegű merev rúdból és

az ennek végén rögzített m tömegű golyóból áll.

A rúd ""A végpontjában a függőleges helyzetű,

rögzített csaphoz síkcsuklóval kapcsolódik és

ekörül a vízszintes síkban forgó mozgást végezhet.

1P pontjában a k csillapítási tényezőjű

folyadékfék kapcsolódik a rúdhoz, és az

tMM g cos0

nyomaték terheli.

A 00 t időpillanatban a rúd helyzetét a 00

szög jellemzi, ebben a pillanatban a rugó

terheletlen.

Írjuk fel a mozgásegyenletet úgy, hogy a választott általános elmozduláskoordináta az

A. x legyen

B. 1x legyen

C. 2x legyen

D. 2 legyen

Kidolgozás:

Mozgás közben az rF rugóerő az vF csillapítóerő és az gM nyomaték hat a rendszerre.

11 lsxsFr , 22 lkxkFv , lx . (1 abc)

Írjuk fel a forgástengelyre a perdület tételt:

MFlFlxlm vr 21 (2)

Behelyettesítve (1)-ban szereplő mennyiségeket:

tMlSlklm cos021

22

2 (3)

Fenti egyenlet a mozgásegyenlet, ha általános elmozduláskoordinátaként a szögelfordulást választjuk.

Alakítsuk át a mozgásegyenletet, hogy az általános elmozduláskoordináta a rúdvég x

elmozduláskoordinátája legyen. (1c) összefüggés alapján lx / , lx / , lx / , ezeket

behelyettesítve (3)-ba:

tMxl

lSx

l

lkxlm cos0

21

22 (4)

Az egyenletet végigosztva l -lel kapjuk

tl

Mx

l

lSx

l

lkxm cos0

2

21

2

22 ,

ezt a rúdvégre redukált mozgásegyenletnek nevezzük. A rugót, a folyadékféket és a gerjesztő erőt a rúd

„B” végpontjába redukáltuk. A rendszer egyenesbe vezetett modellje az alábbi ábrán vázolt m tömegű

rendszer, amely az S~

rugómerevségű rugóval, a k~

csillapítási tényezőjű folyadékfékkel kapcsolódik és

gF~

gerjesztőerő terheli.


48

Redukált rugómerevség:

2

21~

l

lSS .

Redukált csillapítási együttható:

2

22~

l

lkk .

Redukált gerjesztés:

tl

MFg cos~ 0 .

4.8. példa ___________________________________________________________________ [1, 322.o.]

Az ábra két tömegű, egy szabadságfokú

rendszert ábrázol. A függőleges rúdhoz k

tényezőjű folyadékfék kapcsolódik.

Mindhárom rúdnak elhanyagolható a

tömege és a tehetetlenségi nyomatéka, és

tökéletesen merevnek tekinthető

mindegyik.

Az ábra szerint

tMM g cos0

gerjesztő-nyomaték terheli a rendszert. A

gerjesztő-nyomatékot a 0P és B

pontokban ható – erőpárt alkotó

tl

MtFFg coscos

0

00

nagyságú erőkkel állítjuk elő.

Feladat:

Írjuk fel a rendszer mozgásegyenletét.

Kidolgozás:

Megoldás a könyvben

4.9. példa ________________________________________________________________________ [F 1]

Az ábrán vázolt r sugarú, 1m tömegű, homogén tömegeloszlású és sima felületű korong mozgásállapotát

a súlypontjához rendelt ic0Ω 11 c kinematikai vektorkettős jellemzi abban a 00 t

időpillanatban, amikor nekiütközik a nyugalomban levő 2m tömegű, l hosszúságú, homogén

tömegeloszlású prizmatikus rúdnak. A rúd az ütközés hatására adott 2 kezdeti szögsebességgel

mozgásnak indul, és kis kitérésű lengéseket végez az ábrán vázolt függőleges síkban. Mozgását az " A "

ponton átmenő vízszintes tengely körüli szögelfordulását leíró )(t koordinátával jellemezzük.


49

Feladat:

1.) Számítsa ki a csillapított rendszer rezgésének periódusidejét (

?T )!

2.) Írja fel a lengőrendszer ( ütközés utáni ) mozgástörvényét ( ?)( t

)!

3.) Számítsa ki

a.) a rúd maximális szögkitérését ( ?max

),

b.) a csillapító erő maximális értékét ( ?max

dF )!

4.) Határozza meg az 1m tömegű test ütközés előtti sebességét ( ?1 c )

!

Adatok:

kgm 81 1* k (ütközési tényező)

kgm 62 0)0( 0

ml 2,1 s/13)0( 2

mNsk /48 smg /81,9

radNmst /396

4.10. példa __________________________________________________________________ [2 85.old.]

Az ábrán vázolt, vízszintes síkban mozgó lengőrendszer

mozgástörvénye állandósult állapotban (a saját-lengésrész

lecsillapodása után) )cos(0 t alakba írható, ha a

rúd szögelfordulását választjuk független változónak.

(Ha pl. a „B” pont elmozdulását vesszük fel független

változónak, akkor e pont mozgástörvénye

)cos(0 tyy BB alakú, ahol nyilván 00 lyB )

Adatok:

kgm 2 ml 8,0

Nmc /103 41

Nmc /105 42

mNsk /77,81 NF 400 .

Feladat:

A. Mekkora a gerjesztő hatás körfrekvenciája, ha a gerjesztett mozgás amplitúdója 0

0 7296,51,0 rad (Vagy myB 08,00 )?

B. Mekkora ebben az esetben a gerjesztő hatás és a gerjesztett lengés fáziskülönbsége?

C. Mekkora a rugókat feszítő legnagyobb erő?

D. Mekkora a gerjesztő hatás átlagos teljesítménye?

E. Mekkora a csillapítóerő legnagyobb értéke és a csillapítás átlagteljesítménye?

F. Ha a gerjesztő hatást hirtelen megszüntetjük ( 0gy lesz), hány lengés után csökken a kitérés

mmyB 1,0 -re?

G. Mekkora I gerjesztő körfrekvenciánál lesz a „B” pont kitérése éppen 0y nagyságú? (Lehet-e a

„B” pont kitérése 0y -nál kisebb?)

H. Feltéve, hogy a lengőrendszerünk lineáris differenciálegyenlete a rezonanciában kialakuló nagyobb

kitérések esetén is érvényes marad, állapítsuk meg 0 .értékét, ha . (Az eredmények alapján

ítéljük meg, hogy valóban lineáris marad-e a differenciálegyenlet?)

I. Közelítőleg mennyi idő alatt alakulhatna ki rezonancia esetén ilyen nagy kitérésű lengés?


50

4.12. példa ____________________________________________________________________ [2 86.o.]

A vázolt lengőrendszer 3,2,1 jelű rúdjainak tömege

elhanyagolható. Az 1m és 2m tömegek anyagi

pontnak tekinthetők. A mozgás síkja vízszintes.

Adatok:

kgm 21 kgm 32

ml 3,0

Ncmc /01,01 Ncmc /005,02

mNsk /10 cmy 5,10

Feladatok:

A. Írja fel a mozgás differenciálegyenletét.

B. Lehet-e állandósult állapotban az 2m tömeg kitérése 6cm, és ha igen, milyen értéknél?

C. Ha a csillapítást elhanyagoljuk, 8,0

-nál mekkora a 2c állandójú rugót feszítő legnagyobb

erő?

D. Mekkora a 2c állandójú rugót feszítő erő a csillapítást is figyelembe véve?

4.11. példa _______________________________________________________________________ [F 2]

Adatok:

kgm 2,1 mNsk /28

mNs /104 ml 4,0

radNmst /180 mmr 08,100

Feladat

1. Írja fel a lengőrendszer mozgásegyenletét!

2. Feltételezve, hoö gy a rendszer rezonanciában van,

határozza meg az állandósult rezgés

szögkitérésének maximum értékét!

3. Az állandósult állapotban számítsa ki a

csavarrugóban ébredő erő maximumát!

-.-

Documents

01 Mechanika Lengéstan Példatár Pápai SDOF