(769602336) BAB 3_Getaran Bebas SDOF

8/19/2019 (769602336) BAB 3_Getaran Bebas SDOF

1/53


2/53

Getaran

(Vibration)Dalam kehidupan sehari-hariterdapat

Senar gitar yang sering andamainkan,

banyak

benda

yangbergetar.Sound

system,

Garputala,

Demikian juga rumah andayang

bergetar dasyat hingga rusak ketika

terjadi gempa bumi.

Ingat juga ketikaanda

tertawaterpingkal-pingkal tubuh anda

juga

bergetar


3/53

Getaran(Vibration

)

Getaran adalah gerakan bolak-balik dalam suatuinterval

tertentu.

Getaran dan gelombang merupakan dua hal yang saling

waktu

berkaitan. Baik itu gelombang air laut, gelombang gempabumi,

gelombang suara yang merambat di udara; semuanya

bersumber pada getaran. Dengan kata lain, getaranadalah penyebab


4/53

Getaran Bebas (Free

Vibration)Getaran bebas terjadi jika sistem berosilasi karenabekerjanya

gaya yang ada dalam sistem itu sendiri .


5/53

mu + cu + ku = p(t )

u(0) = u0 , u (0) = u 0

2

u + 2ζω u + ω 2u = ωn p(t )

n n k

ω 2 = k

n m

Persamaan gerak secara umum :

Kecepatan dan perpindahan saat t=0 :

Sehingga persamaan gerak dapat ditulis :

dimana


6/53

c = 2mω = 2k

cr n ωn

ζ = c

ccr

dan

dimana

ωn adalah frekuensi alami sudut tak

teredam

liat dan ccr adalah koesien redaman kritis.

!rad"s#, $ adalah faktor

redaman

k c


7/53

u(t ) = u p (t ) + uc (t )pon total :

mum daripersama hnya u(t dan

Getaran bebas system SDOF

Re

up(t ! "orced motion related p(t

uc(t ! natural motionDi dalam istilah matematika,penyelesaian u

di"erensial terdiri dari penyelesaiansesungg penyelesaiankomplemen#pelengkap uc(t.

an

u

p

u

P(t)

c

K m

I


8/53

mu + cu + ku = 0

u + 2ζω u + ω 2u = 0n n

u = C e st


Untuk getaran bebas → P(t)=0:

$olusi umum, untuk menyelesaikanpersamaan

diatas%

substitusikan

&aka'.


9/53

( s 2 + 2ζω s + ω 2 )C e st = 0n n

s

2

+ 2ζω s + ω 2

= 0n n


Supaya dapat valid untuk semua nilai t , maka :

Persamaan Karakteristik

(persamaan polynomial deraat n dalam besaran

2

)

2 s

syang mempunyai n bua! !arga


10/53

Getaran bebas

S"#$ %ak %eredam(Undamped)

system SDOF

S"#$ %eredam("amped)


11/53

mu + ku = 0 u + ω 2

u = 0n

s 2 + ω 2 = 0n

s1,2 = ±iωn dimana i = -1

Persamaan gerakan untuk sistem "Undamped SDOF" adala!

atau

dan persamaan karakteristik yang sesuai adala!

akar dari persamaan diatas adalah


12/53

u = C 1eiωnt + C 2e−iωnt

e±iθ = cosθ ± i sinθ

u = A1 cos ωn t + A2 sin ωnt

Sehingga penyelesaian umum :

dengan memperkenalkan persamaan uler

kita dapat menulis ulang persamaan dalam bentuk !ungsi

trig"n"metri# yaitu


13/53

u = u cos ω t + u0 sin ω t

0 n ω n

n u = u0 cos ω nt

an bebas

u(0) = u0 = A1

u (0) = u 0 = A2ωn

dimana $% dan $&adalah k"nstanta real# ditentukan dari k"ndisi

a'al perpindahan dan kecepatan#

adi

adalah resp"n getar dariSDOF".

sistem "undamped

ika ů(0) = 0 # adi


14/53

u = u0 cosωnt

T = 2π

(s)

n ωn

f = 1 = ω n (Hz)

n

"apat dili!at ba!&a respon merupakan gerakan !armonikseder!ana dengan amplitudo uo, dan

natural '

periode dari 'undamped

dan sebua! rekuensi dari 'undamped natural '


15/53

α

u(t ) = U cos(ωnt − α ) = U cos ωn t −

u(t ) = u cos ω t + u0

sin ω t 0 n ω n

n

u(t ) = A cos ω t + B sin ω t = A2 + B2 cos(ω t ± α ), tanα = sin α = ±

B

n n ncos α A


16/53

ontoh

&00 lb*!t

Model Struktur :

E = 30.106 psi

I = 82,5 in4

W = 200 x 25 = 5000 l

! = 386 in"s2

F(t)

%+ !t

#ers$%$$n &er$k d$n pers$%$$n respons

!et$r$n e$sn'$ ()(t*=0* +

,-

&+ !t

.&/


17/53

Model S!F&00 lb*!t

F(t)F(t)

%+ !t

Model Matematis FB

y

$(t)

K

s$(t)m

m

I

,-

.&/


18/53

Penyelesaian

I + fs = F (t )

:

$(t

) s

m" y + k " y = F

(t )12 E (2 I ) 12 "#0 "10$ (2 "%2,&)

K = = = 101%& lb ' in(1&"12)# L#

W

g

&000

#%$ = 12"lb" s2 ' in

m = =

2πωn

k 101%&"#%$

&000ω = = = 2%"0 rad ' s T = = 0"22 sn n

m

ωn 1 101%&"#%$&000

f = = = "$ sps2π 2π

12" y +101%& y =

0

Persamaan Gerak

m

I


19/53

u(t ) = u cos 2%"0t + u 0 sin 2%"0t

0 2%"0

Persamaan Respons Getaran Bebas :

u0u(t ) = u cos ω t

+ sin ω t

ω 0 n n

n


20/53

u(t ) = u cos 2%"0t + u 0 sin 2%"0t

0

2%"0

Latihan

y(0) = 0,001*t

%ika& Simpangan

awal'ecepatan awal y (0) = 0,1*t'dtGambarkan (espons Struktur))

!*asukan nila t+ sampai t+,

dengan

waktu .#

inter/al

u0u(t ) = u cos ω t

+ sin ω

t

ω 0 n n

n


21/53

espon Getaran Bebas $D)* +ak

+eredam.0

u(t

.

0

.

0 1 2 3

t(time

-.

-

.0

-

.0


22/53


23/53

%uned ass "amper


24/53


25/53


26/53

-esarnya aktor 'damping ' ( ζ ) , dapat digunakan untukmembedakan . kasus, yaitu:

overdamped ( ζ > + )

critically damped ( ζ =+ )

underdamped (0 / ζ /+)


27/53

2 1

s1,2 = −ζω n ± ω n ζ − s1,2 = −ζω n

u(t ) = (C + C t )e−ζω nt

1 2

u(t ) = +u + (u + ζω u )t e−ζω

nt

Kasusritially damped ( ζ = + )

etika ! maka

persamaan

menjadi

$olusinya

menjadi%

%$k$ respon d$ri siste% red$%$nkritis $d$l$:


28/53

2 1

s1,2 = −ζω n ± ωn ζ

−

s1, 2 = −ζω n ± ω

ω = ω ζ 2 −1n

Kasusoverdamped ( ζ 1 + )

(

ζ> 1)

Persamaan diatas dapat ditulis

dimana


29/53

2 1

s1,2 = −ζω n ± ωn ζ

− s1,2 = −ζω n ± iω d

ω = ω 1− ζ 2d n

2π

T d = ω

Kasus Underdamped ( 0 / ζ / +)

( 0 <

ζ< 1)

diatas2ebi! muda! bila menulis persamaandalam bentuk

dimana ωd adala! rekuensi alami ' damped

yang diberikan ole!

circular '

yang sesuai dengan periode damped , %d, yang

diberikan ole!


30/53

−ζω nt

u(t ) = e ( A1 cos ω d t + A2 sin ω d t )

u + ζω u

u(t ) = e−ζω nt u cos ω t + 0 n 0

sin ω t )

0 d d

ωd

u(t ) = Ue−ζω nt cos(ω t − α )d

u(t ) = A cos ω t + B sin ω t = A2 + B2 cos(ω t ± α ), tanα = sin α = ± B

n n ncos α A

"engan bantuan dari ormula 3uler, penyelesaian(t), dapat ditulis dalam bentuk

umum, u

dan uga, uo dan 4o digunakan untuk mengevaluasi 5+ dan 5

, dengan !asil:


31/53

6ambar diatas menunukkan perbandingan antara respon*respondari sistem*sistem SDOF mempunyai level*level yang berbeda

dalam subcritical damping. "alam tiap kasus, karena uo = 0

, respon yang didapat


32/53

u(t ) = e−ζω nt ( A cos. ωt + A sin. ωt )1 2

u + ζω u

u(t ) = e−ζω nt u cos. ωt + 0 n 0 sin. ωt )

0

ω

Penyelesaian umum, u (t), dapat ditulis dalam bentuk

dan uga, uo dan 4o digunakan untuk mengevaluasi 5+ dan 5

, dengan !asil:


33/53

u + ζω u

u(t ) = e−ζω nt u cos. ωt + 0 n 0 sin. ωt )

0

ω ωn = &rad ' s

u 0 = 20in ' s

0.

3

0

0.

.4

.4 0.

3

.2 1.


34/53


35/53


36/53

ζ = c

ccr

3ksperimen Penentuan dari$rekuensi 5lami "asar dan

$aktor Damping darisebua! sistem S"#$

Faktor

dampin

! ζ !

e"ekti"

#m#mnya di#k#r! dan bila

dari

iininkan!

persamaan

nilai dari $ dapat dihit#n

#ndamped

ditent#kan

sistem

%&'F

rek#ensi alami

sederhana dapat

dari seb#ah

dari pen#k#ran statis


37/53

ontoh

ent#ka

n

"rek#ensi alami dari seb#ah sistem peas

sederhana denan men#nakan pen#k#ran statis

Penyelesaian :

Lok k

fs=kust

w

'

ust


38/53

ωn*

+ k,m 1

keseimbanan berat dari massa yan terant#n pada

peas dit#n-#kkan

+ ↓ ∑ F = 0ata#

W − f s = 0

pada

Lok

*

k

fs=kust

w

.

dari persamaan

pada peas

aya yan menyebabkan perpan-anan

f s = ku st /

f s = mg = ku st persamaan . dan / diab#nkan mendapat

'ust


39/53

-adi! dari persamaan

1

dan

g 2ω =nu st


40/53


41/53

ontoh

*rekuensi natural dari balok kantilever denganmassa lumped (terpusat bergerak dinamis.&assa bergerak dengan amplitudo / ! inkemudian dilepaskan. Gerakan yang terjadiditunjukkan gambar di bawah yangmengindikasikan bahwa redaman pada struktursangat kecil. 0itung "rekuensi natural dalamradian per detik dan hert1. Berapa periodenya2


42/53

Penyelesaian :

Pada titik a! beban telah bererak 12 p#taran

1"2&

put$r$n0" s

f ≈ = #"12& -n

ω n = 2π f n1

=

1

($"2%)(#"12&) = 1"$rad's

T n = = = 0"#2 s

f n#"12&


43/53

erdapat d#a metode yan

hampir

"a$tor!

sama #nt#k

the dampin

ζ!

enent#kan

men#nakan

denan

bebas

ekaman melemahnya etaran

sistem

%&'F

: metoda

loarithmi$

ari seb#ah

de$rement

dan

metoda setenah amplit#do


44/53

u = eζω nT d

u!

u

metoda

loarithmi$ de$rement

alam ! amplit#do

erakan!

3

P

! pada

perm#laan dari p#taran dan

amplit#donya!

3

4

! pada

&idapat persamaan

akhir

the loarithmi$ de$rement

δ di-elaskan sebaai berik#t

:


45/53

T = 2π = 2π

d

ω d ω 1 − ζ 2n

δ = ζω T = 2πζ

n d

1 − ζ 2

δ = 2πζ

ζ = 1 ln U

nat#ral

damped !

imana

d

adalah periode

sebaai berik#t :

di-elaskan

-adi! kita mendapatkan

3nt#k

dampin

ke$il (

ζ < 0* ) ! perkiraannya :

dapat diterima! mem#nkinkan "aktor dampin #nt#k

didapat dari persamaan :


46/53

u/(t ) = Ue−ζω nt

u/ = u/

"

2

u/ ζω

= en #T d = 2

pada

metoda

rosed#r

setenah

yan sama -#a diterapkan

amplit#do!

dimana hasilnya mer#pakan

perhit#nan yan sederhana #nt#k "aktor

dampin

5etoda setenah amplit#do berdasarkan pada

en6elope $#r6e

(k#r6amplit#do dari en6elope)

pada d#a titik

dimana :

P dan R!

adalah

7

periode

damped

itik8titik terseb#t

yan

b#lat

terpisah! dimana

7

9em#dian!

tidak har#s seb#ah bilanan


47/53

2π # ζ

= ln(2)1 − ζ 2

%ehina diperoleh persamaan

Gra"ik h#b#nan antara

ζ dan

7


48/53

2π # ζ = ln(2)

ζ = 0"11

#

nilai dampin

ζ*etapi! #nt#k yan ke$il!


49/53

b) Pen#ranan loaritmis

(δ )

ontoh

Sebuah sistem bergetar terdiri dari berat W = 10 lb dan pegasdengan kekakuan K = 20 lb/in. Akibat redaman viskous (liat)

sehingga teradi amplitudo pun!ak 1"0 dan 0"#$.

a) Frek#ensi nat#ral tak teredam (:n)

$) Rasio redaman(;)

d) 9oe"isien redaman($)

e) Frek#ensi nat#ral redaman (:n)


50/53

ωn = g #%$ in'sec 2m

secn 2π 2π10 #%$

2 0,%& y2

0,%&

2π 2π

Penyelesaian :

a) Frek#ensi nat#ral tak teredam (:n)

KK = 20 lb/in , m = W = 10 lb

ω = 20 = 2,% rad atau f = ω = 2,% = ,2 sps

b) Pen#ranan loaritmis

δ = ln y1 1 1,00

δ = ln 1,0 = 0,1$&

$) Rasio

redaman(;)

ζ = δ ζ =

0,1$# = 0,02$


51/53

#%$cr

ccr

= (0,02$) 210 ⋅ 20

#%$

in

$

$

d) 9oe"isien redaman($)

ζ = c c = 2 k ⋅ m = 2 10 ⋅ 20

c = ζ ⋅ ccr

= 0,0#lb ⋅ dt

e) Frek#ensi nat#ral

redaman (:&)

ω = ω 1− ζ 2 ,

ω = 2"% 1− (0"02$)2

= 2" rad'det


52/53

onto

h

G#nakan metode setenah amplit#do #nt#k

memperkirakan the dampin dari seb#ah sistem

yan

erakannya terekam dalam ambar berik#t!


53/53

ζ = 0"11

ari titik R ! dimana amplit#do dari the en6elope

<

Perkirakan -#mlah p#taran antara

P R

:

7

+

<dan

2"2&

Penyelesaian :

< Gambar sketsa dari the en6elope $#r6e

( terdapat pada ambar)

< =mbil titik P pada p#n$ak dan #k#r #P

#

P

+ 0// in

$#r6e

adalah

#

P

,* + 0** in

** p#taran

< G#nakan persamaan diba?ah ini #nt#k

memperkirakan

ζ :

ζ = 0"11 = 0"0

Documents

(769602336) BAB 3_Getaran Bebas SDOF