Η έννοια του µονοδιάστατου αρµονικού ταλαντωτη Ας θεωρήσουµε υλικό σηµείο µάζας m, που είναι αναγκασµένο να κινείται κατά µήκος ενός άξονα x’x υπό την επίδραση κεντρικής συνισταµένης δύνα µης

�

! F , της οποίας το κέντρο είναι ένα σταθερό σηµείο Ο του άξονα x’x και

επιπλέον η δύναµη εξαρτάται κάθε στιγµή και για όλες τις δυνατές αρχικές συνθήκες, µόνο από τη θέση της µάζας m σύµφωνα µε τη σχέση:

�

F = -Dx (1) όπου D θετική σταθερά και x η αλγεβρική τιµή του διανύσµατος θέσεως

�

! x

(αποµάκρυνσης) του υλικού σηµείου ως προς το κέντρο Ο. Η σχέση (1) εγγυ άται ότι η δύναµη

�

! F είναι µια ελκτική συντηρητική δύναµη µε ελκτικό

κέντρο το Ο, οπότε µπορούµε να αποδόσουµε στην µάζα m δυναµική ενέργεια U(x), η οποία θα προκύψει από την σχέση:

�

U(x) - U(0) = -W!

F (2)

όπου

�

W!

F το έργο της

�

! F που αντιστοιχεί σε µετατόπιση του υλικού σηµείου

από το κέντρο Ο στην τυχαία θέση Μ(

�

! x ). Όµως για το έργο αυτό ισχύει η

σχέση:

�

W!

F = (

! F !d! x )

0

x

" = (|! F |dx#$%&)

0

x

" = - (|! F |dx)

0

x

"

�

!

(1)

�

W!

F = - (Dxdx)

0

x

! = -Dx

2

2

�

!

(2)

�

U(x) - U(0) =Dx

2

2 (3)

Aν δεχθούµε συµβατικά ότι U(0)=0, τότε η (3) παίρνει την µορφή:

�

U(x) =Dx

2

2 (4)

H γραφική παράσταση της (4) είναι µια παραβολή που στρέφει τo κοίλo µέρος της προς τα άνω και παρουσιάζει στην θέση x=0 τοπικό ελάχιστο, που σηµαίνει ότι στην θέση αυτή η µάζα m ισορροπεί ευσταθώς, δηλαδή αν βρε θεί στη θέση αυτή µε µηδενική ταχύτητα θα παραµένει σ’ αυτή συνεχώς, αφού η συνισταµένη δύναµη στην θέση x=0 είναι µηδενική. Αν η µάζα m λάβει από το εξωτερικό της περιβάλλον ενέργεια Ε και αφεθεί να κινηθεί

υπό την επίδραση της συντηρητικής δύναµης

�

! F , τότε θα κινείται πάνω στον

άξονα x’x η δε µηχανική της ενέργεια, δηλαδή το άθροισµα της κινητικής της ενέργειας Κ και της δυναµικής της ενέργειας U(x), θα παραµένει αναλλοίωτη και ίση µε Ε. Συγκεκριµένα η µάζα m θα παλιδροµεί µεταξύ των θέσεων Α(+x0) και Β(-x0) στις οποίες η κινητική της ενέργεια µηδενί ζεται, αφου στις θέσεις αυτές η µηχανική και η δυναµική της ενέργεια ταυτί ζονται (σχήµα 1). Με βάση τα παραπάνω µπορούµε να γράψουµε την σχέση:

�

E =Dx

0

2

2

�

!

�

x0

2=

2E

D (5)

Σχήµα 1

Εξάλλου εάν κατά µια τυχαία χρονική στιγµή t, η ταχύτητα της µάζας m είναι

�

! v και η αποµάκρυνσή της

�

! x , τότε σύµφωνα µε το θεώρηµα διατήρησης

της µηχανικής ενέργειας θα ισχύει η σχέση:

�

mv2

2+

Dx2

2= E

�

!

(5)

�

mv2

2+

Dx2

2=

Dx0

2

2

�

!

�

v2

=Dx

0

2

m-Dx

2

m

�

!

�

v = ±D

mx

0

2- x

2( )

�

!

�

dx

dt= ± ! x

0

2- x

2 µε

�

!2

=D

m (6)

H (6) αποτελεί µια διαφορική εξίσωση, η οποία δέχεται λύση της µορφής:

�

x = x0!µ ("t +#) (7) Πράγµατι, παραγωγίζοντας την (7) ως προς το χρόνο t έχουµε:

�

dx /dt = !x0"#$(!t +%) οπότε η (6) δίνει:

�

!x0"#$(!t +%) = ± ! x0

2- x0

2&µ

2(!t +%)

�

!

�

!"#($t +%) = ± 1- &µ2($t +%)

η οποία είναι αληθής. Aπό την (7) προκύπτει ότι η µάζα m υπο την επίδραση

της κεντρικής δύναµης

�

! F εκτελεί µια περιοδική κίνηση µεταξύ των θέσεων

Α(+x0) και Β(-x0) µε περίοδο Τ, ίση προς την περίοδο του ηµιτονικού όρου ηµ(ωt+φ), για την οποία ισχύει:

�

!µ [("(t + T) +#] =!µ ("t +#)

�

!

�

!(t + T) +" =!t +" + 2#

�

!

�

T =2!

"= 2!

m

D (8)

Κάθε σηµειακή µάζα m, όταν αναγκάζεται να κινείται κατα µήκος ενός άξο να x’x υπό την επίδραση µιας κεντρικής συνισταµένης δυναµής, η οποία ανεξαρτήτως αρχικών συνθηκών έχει κάθε στιγµή τη µορφή F=-Dx, αποτε λεί τον λεγόµενο µονοδιάστατο αρµονικό ταλαντωτή, η δε κίνηση που θα εκτελέσει όταν εκτραπεί απο τη θέση ισορροπίας της ονοµάζεται απλή αρµονική ταλάντωση. Πρέπει να τονιστεί ότι ο µονοδιάστατος αρµονικός ταλαντωτής αποτελεί ένα φυσικό πρότυπο µε σπουδαία σηµασία, διότι σε πολλές περιπτώσεις αποτελεί τον φάρο για την προσέγγιση της συµπεριφο ράς συστηµάτων που διαταράσσεται η ευσταθής ισορροπία τους. Οι διαταρα χές αυτές πολλές φορές δεν αποµακρύνουν οριστικά το σύστηµα από την κα τάσταση ισορροπίας του, αλλά του προσδίδουν ιδιότητες που προσεγγίζουν εκείνες του αρµονικού ταλαντωτή. Με άλλα λόγια ο αρµονικός ταλαντωτής έπαιξε σηµαντικό ρόλο στην ανάπτυξη της θεωρίας των διαταραχών τόσο σε επίπεδο Νευτώνειας Μηχανικής όσο και σε επίπεδο Κβαντοµηχανικής. Άλλος τρόπος µελέτης της κίνησης του µονοδιάστατου αρµονικού ταλαντωτή. Eφαρµόζοντας για το υλικό σηµείο που αποτελεί τον µονοδιάστατο αρµονικό ταλαντωτη το δεύτερο νόµο κίνησης του Nεύτωνα, παίρνουµε την σχέση:

F = ma

�

!

�

-Dx = mdv

dt

�

!

�

md

dt

dx

dt

!

" #

$

% & + Dx = 0

�

!

�

md

2x

dt2

+ Dx = 0

�

!

�

d2x

dt2

+!2x = 0 (1)

H σχέση (1) αποτελεί µια οµογενή γραµµική διαφορική εξίσωση δεύτερης τάξεως µε σταθερούς συντελεστές και δέχεται λύση της µορφής x=x0ηµ(ωt+φ) (2) όπου x0, φ σταθερές ολοκλήρωσης που θα προκύψουν από τις αρχικές συνθή κες κίνησης του αρµονικού ταλαντωτή, δηλαδή από την αποµάκρυνσή του και την ταχύτητά του τη χρονική στιγµή t=0. Παραγωγίζοντας την (2) ως προς τον χρόνο t παίνουµε την αλγεβρική τιµή της ταχύτητας

�

! v του αρµονι

κού ταλαντωτή, δηλαδή θα έχουµε την σχέση:

�

v = dx/dt = !x0"#$(!t +%) (3)

Έτσι, εάν x*, v* είναι oι αλγεβρικές τιµές της αποµάκρυνσης και της ταχύτη τας αντιστοίχως του αρµονικού ταλαντωτή κατά την χρονική στιγµή t=0, θα έχουµε µε βάση τις (2) και (3) τις σχέσεις:

�

x*=x

0!µ"

v*=#x

0$%&"

' ( )

�

!

�

!µ" =x* /x0

#$%" = v* /&x0

' ( ) (4)

Διαιρώντας τις σχέσεις (4) κατά µέλη παίρνουµε:

�

!µ"

#$%"=

x*&

v*

�

!

�

!"# =x

*$

v*

(5)

Tετραγωνίζοντες τις σχέσεις (4) έχουµε:

�

x*

2= x

0

2!µ2"

v*

2= #x

0

2$%&2"

' ( )

�

!

�

x*

2/x

0

2= !µ

2"

v*

2/#2

x0

2= $%&2"

' ( )

�

!

(+ )

�

x*

2

x0

2+

v*

2

!2x

0

2= 1

�

!

�

!2x

*

2+v

*

2= !

2x

0

2

�

!

�

m!2x

*

2

2+

mv*

2

2=

m!2x

0

2

2

�

!

�

E =Dx

0

2

2

�

!

�

x0

=2E

D (6)

όπου Ε η µηχανική ενέργεια του αρµονικού ταλαντωτή. Οι σχέσεις (5) και (6) επιτρέπουν τον υπολογισµό των ποσοτήτων x0 και φ. Oι ποσότητες x0 και ω ονοµάζονται πλάτος και γωνιακή συχνότητα αντιστοίχως της α.α.τ., η γωνία ωt+φ ονοµάζεται φάση της αποµάκρυνσης κατά την χρονική στιγµή t και τέλος η γωνία φ ονοµάζεται αρχική φάση της αποµάκρυνσης. Σηµαντική παρατήρηση: O µονοδιάστατος αρµονικός ταλαντωτής δεν είναι το µοναδικό φυσικό σύ στηµα που η συµπεριφορά του περιγράφεται από µια διαφορική εξίσωση της µορφής:

�

md

2x

dt2

= -Dx (α)

Μπορεί κανείς να βρεί περιπτώσεις µεταφορικής κίνησης στερεού σώµατος, όπου το κέντρο µάζας του εκτελεί κίνηση που περιγράφεται από διαφορική εξίσωση της µορφής (α), αλλά η συνισταµένη δύναµη που θα προκύψει από την αναγωγή των δυνάµεων στο κέντρο µάζας του να µην είναι γνήσια συντηρητική δύναµη, δηλαδή δύναµη εξαρτώµενη µόνο από την θέση του κέντρου µάζας, αλλά να είναι πεπλεγµένη µε τον χρόνο ή να παρουσιάζει ασυνέχεια στον χρόνο. Με αυτό νοείται ότι η συνισταµένη δύναµη µπορεί να έχει την µορφή: F=-Dx (β)

οπότε φαίνεται να είναι συντηρητική δύναµη, αλλά στην πραγµατικότητα να µην είναι. Στις περιπτώσεις αυτές πρέπει να είµαστε προσεκτικοί και να εξετάζουµε αναλυτικά κάθε επιµέρους δύναµη, ώστε µε βεβαιότητα να αποφαινόµαστε για την πραγµατική µορφή της συνισταµένης δύναµης. Όταν συντρέχει τέτοια περίπτωση, δηλαδή όταν η συνισταµένη δύναµη έχει την µορφή (β) αλλά δεν είναι δύναµη συντηρητική, τότε δεν έχουµε δικαίωµα να την συνδέσουµε µε δυναµική ενέργεια, µε αποτέλεσµα να µην ισχύει το θεώ ρηµα διατήρησης της µηχανικής ενέργειας κατά την κίνηση του κέντρου µά ζας. Όµως έχουµε δικαίωµα να χρησιµοποιούµε το θεώρηµα κινητικής ενέρ γειας-έργου ή την αρχή διατήρησης της ενέργειας και µε τον τρόπο αυτό να διευκολυνόµαστε στον υπολογισµό διάφορων στοιχείων της κίνησης του κέντρου µάζας του σώµατος. Σε µια τέτοια περίπτωση το κέντρο µάζας του σώµατος δεν αποτελεί αρµονικό ταλαντωτή, αλλά ένα υλικό σηµείο που η αποµάκρυνσή του από τη θέση x=0, η ταχύτητά του και η επιτάχυνσή του θα υπολογίζονται από τις ίδιες εξισώσεις που υπολογίζονται τα αντίστοιχα µεγέ θη στον αρµονικό ταλαντωτή. Είναι προφανές ότι η κίνηση του κέντρου µάζας σε µια τέτοια περίπτωση δεν µπορεί να χαρακτηριστεί ως απλή αρµονι κή ταλάντωση, αλλά ως µια ηµιτονοειδής κίνηση. Για την κατανόηση όσων αναφέρθηκαν παραπάνω παραθέτουµε δύο χαρακτηριστικά παραδείγµατα.

Ένα οµογενές δοκάρι µήκους L, κινείται µε σταθερή ταχύτητα

�

! v

0 που διευθύνεται κατά τον διαµήκη άξονά του

πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο και κάποια στιγµή εισέρχεται σε τραχύ οριζόντιο επίπεδο, το οποίο αποτελεί συνέχεια του λείου επιπέδου. Eάν n είναι ο συντελεστής τριβής ολίσθησης µεταξύ του δοκαρίου καί του µή λείου επιπέδου να µελετηθεί η κίνηση του κέντρου µάζας του δοκαριού κατά τον χρόνο που αυτό εισχωρεί στο τραχύ οριζόντιο επίπεδο. ΛYΣH i) Eξετάζουµε το δοκάρι σε µιά τυχαία θέση όπου η µετατόπισή του στο τραχύ οριζόντιο επίπεδο είναι

�

! x . Στην θέση αυτή το δοκάρι δέχεται το

βάρος του, που αναλύεται στα βάρη

�

! w

1,

�

! w

2 των τµηµάτων που βρίσκονται

στο λείο καί το τραχύ οριζόντιο επίπεδο αντιστοίχως, την κατακόρυφη αντίδ ραση

�

!

N 2 του λείου οριζόντιου επίπεδου και την πλάγια αντίδραση από το

τραχύ οριζόντιο επίπεδο, η οποία αναλύεται στην τριβή ολισθήσεως

�

!

T καί την κάθετη αντίδραση

�

!

N 1. Αναγόµενες οι δυνάµεις αυτές στο κέντρο µάζας

του δοκαριού δίνουν συνισταµένη δύναµη ίση µε

�

!

T , της οποίας η αλγεβρική τιµή ικανοποιεί τη σχέση την σχέση:

T = -nN1 = -nw1 ! T = -nm1g (1) όπου m1 η µάζα του τµήµατος του δοκαριού που βρίσκεται στο τραχύ οριζόν τιο επίπεδο και

�

! g η επιτάχυνση της βαρύτητας. Eπειδή το δοκάρι είναι οµο

γενές και σταθερής διατοµής ισχύει η σχέση: m1/x = m/L ! m1 = mx/L οπότε η (1) γράφεται:

�

T = -nmgx/L = -Dx (2) µε D=nmg/L και 0≤x≤L. Μολονότι η τριβή

�

!

T αποτελεί δύναµη της µορφής Τ=-Dx είναι µια µη συντηρητική δύναµη, που σηµαίνει ότι το κέντρο µάζας του δοκαριού δεν αποτελεί αρµονικό ταλαντωτή. Όµως η διαφορική εξίσωση που καθορίζει την κίνηση του κέντρου µάζας του δοκαριού είναι της ίδιας µορφής µε εκείνη του µονοδιάστατου αρµονικού ταλαντωτή που σηµαίνει ότι η αποµάκρυνση του κέντρου µάζας του εκ της αρχικής του θέσεως, σε συ νάρτηση µε τον χρόνο, έχει την µορφή:

�

x = x0!µ ("t +#) (3) όπου x0, φ σταθερές που θα προσδιοριστούν από τις αρχικές συνθήκες κίνη σης του δοκαριού. Ακόµη µπορούµε για την ταχύτητα

�

! v του κέντρου µάζας

να χρησιµοποιήσουµε την αντίστοιχη σχέση του αρµονικού ταλαντωτή, δη λαδή τη σχέση:

�

v = x0!"#$(!t +%) (4) Oι σχέσεις (3) και (4) εφαρµοζόµενες την χρονική στιγµή t=0 δίνουν:

�

0 = x0!"µ#

v0

= x0!$%&#

' ( )

�

!

�

!µ" = 0

x0= v

0/#$%&"

' ( )

�

!

�

! = 0

x0= v

0/"

#

$

%

Έτσι οι σχέσεις (3) και (4) τελικώς παίρνουν την µορφή:

�

x = (v0/!)"µ!t

v = v0#$%!t

& ' ( (5)

Η πρώτη εκ των (5) δηλώνει ότι η κίνηση του δοκαριού κατά τον χρόνο εισχώρησής του στο τραχύ οριζόντιο επίπεδο είναι µια ηµιτονοειδής ευθύγ ραµµη µεταφορική κίνηση που δεν έχει καµιά σχέση µε απλή αρµονική ταλάντωση.

Δύο ακριβώς όµοιοι κύλινδροι µπορούν να στρέφονται περί τους γεωµετρικούς τους άξονες, οι οποίοι είναι σταθεροί, βρίσκονται στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο και απέχουν µεταξύ τους απόσταση α. Ένα λεπτό ξύλινο δοκάρι σταθερής διατο

µής σε όλο το µήκος του, τοποθετείται πάνω στους κυλίνδρους κάθετα στους άξονες περιστροφής τους, ώστε το κέντρο µάζας του να ισαπέχει απο τις ευθείες επαφής του µε τις επιφάνειες των κυλίνδρων. Mε κατάλληλο µηχανισµό θέτουµε τους κυλίνδρους σε περιστροφική κίνηση µε αντίθετες φορές περιστροφής. i) Nα δείξετε ότι η περιστροφή των κυλίνδρων δεν επηρεάζει την ισορροπία του δοκαριού. ii) Eάν το δοκάρι µετατοπιστεί από την θέση ισορροπίας του κατά την διεύθυνσή του και αφεθεί ελεύθερο, να εξετάσετε την κίνησή του. Δίνονται ο συντελεστής τριβής ολίσθησης η µεταξύ του δοκα ριού και των κυλίνδρων, η µάζα m του δοκαριού, η αρχική του µετατόπιση x0 από την θέση ισορροπίας του και η επιτάχυσνη

! g

της βαρύτητας. ΛYΣH i) ΄Oταν οι κύλινδροι δεν περιστρέφονται το δοκάρι ισορροπεί υπο την επίδραση του βάρους του

! w και των δυνάµεων επαφής

!

N 1,

!

N 2 των

κυλίνδρων, οι οποίες είναι κατακόρυφες και εξουδετερώνουν το βάρος

! w ,

δηλαδή ισχύει η σχέση:

w = N1+ N

2 (1)

Eξάλλου το άθροισµα των ροπών των δυνάµεων αυτών ως προς το κέντρο K του δοκαριού είναι µηδέν, δηλαδή θα ισχύει:

N1!

2-N

2!

2= 0 ! N1

= N2

(1)

! N

1= N

2=

w

2 (2)

Σχήµα α.

Όταν οι κύλινδροι περιστρέφονται τροποποιούνται οι δυνάµεις επαφής που δέχεται το δοκάρι. Συγκεκριµένα οι δύο δυνάµεις επαφής αναλύονται στις κατακόρυφες συνιστώσες

!

N 1 και

!

N 2 και στις οριζόντιες συνιστώσες

!

T 1 και

!

T 2, οι οποίες σύµφωνα µε το αξίωµα της ισότητας µεταξύ δράσης και αντίδ

ρασης είναι αντίθετες των τριβών ολίσθησης που δέχονται οι περιστρε φόµενοι κύλινδροι από το δοκάρι. Eπειδή οι τριβές ολίσθησης επί των κυλίν δρων είναι αντίρροπες προς τις ταχύτητες των σηµείων επαφής τους µε το δοκάρι, οι δυνάµεις

!

T 1 και

!

T 2 θα είναι οµόρροπες προς τις ταχύτητες αυτές,

δηλαδή θα έχουν κατεύθυνση προς το κέντρο K του δοκαριού, όταν η φορά περιστροφής των κυλίνδρων είναι αυτή που φαίνεται στο σχήµα (α). Eξάλ λου για τα µέτρα των δυνάµεων

!

T 1,

!

T 2 ισχύουν οι σχέσεις:

T1= nN

1= nw/2

T2= nN

2= nw/2

! " #

! T1= T

2 (3)

H σχέση (3) δηλώνει ότι οι οριζόντιες δυνάµεις

!

T 1,

!

T 2 αλληλοαναιρούνται,

οπότε δεν διαταράσσεται η ισορροπία του δοκαριού από την περιστροφή των κυλίνδρων. ii) Aς εξετάσουµε το δοκάρι, όταν η οριζόντια αποµάκρυνσή του από την θέ ση ισορροπίας του (θέση στην οποία το κέντρο του K ταυτίζεται µε το µέσον O της σταθερής ευθείας A1A2} είναι

! x . Eπειδή η περιστροφή της ράβδου περί

άξονα διερχόµενο απο το κέντρο της K είναι απαγορευτική, θα ισχύει:

�

!("#) = 0 ! N1(!/2 +x) - N2(!/2 - x) = 0 (4)

Όµως επειδή η ράβδος δεν µετατοπίζεται κατακόρυφα έχουµε και την σχέση N1+N2=w, οπότε η (4) γράφεται: N1(!/2 +x) - (w - N1 )(!/2 - x) = 0 ! N1!/2 +N1x +N1!/2 -N1x = w(!/2 - x) ! N1! = w(! - 2x)/2 ! N1 = w(! - 2x)/2! (5)

Σχήµα β.

Συνδυάζοντας τη σχέση N1+N2=w µε την (5) λαµβάνουµε τελικά για το

µέτρο της

!

N 2 τη σχέση:

N2 = w(! + 2x)/2! (6) Tα µέτρα των δυνάµεων

!

T 1 και

!

T 2 είναι:

T1 = nN1 (5)

! T1 = nw(! - 2x)/2!

T2 = nN2 (6)

! T2 = nw(! +2x)/2!

"

# $

% $ (7)

---------------------------- * Ως θετική φορά πάνω στην διεύθυνση κίνησης του κέντρου µάζας του δοκα ριού ελήφθη η φορά της αποµάκρυνσης

�

! x .

Ανάγοντας όλες τις δυνάµεις στο κέντρο µάζας Κ του δοκαριού προκύπτει για το κέντρο µάζας οριζόντια συνισταµένη δύναµη µε αλγεβρική* τιµή Σ(F) που υπολογίζεται από την σχέση:

�

!(F) = T1 - T2 (7)

!

�

!(F) = nw(! - 2x)/2! - nw(! + 2x)/2! !

�

!(F) = nw(! - 2x - ! - 2x)/2! = -2nwx/! = -2nmgx/! !

�

!(F) = -Dx µε D=2nmg/α (8) Μολονότι η σχέση (8) παραπέµπει στον µονοδιάστατο αρµονικό ταλαντωτή η συνισταµένη δύναµη επί του κέντρου µάζας είναι µη συντηρητική δύναµη διότι οι τριβές

!

T 1 και

!

T 2 είναι µη συντηρητικές δυνάµεις, που σηµαίνει ότι

το κέντρο µάζας του δοκαριού δεν αποτελεί αρµονικό ταλαντωτή. Όµως η διαφορική εξίσωση της κίνησής του έχει την ίδια µορφή µε εκείνη του αρµο νικού ταλαντωτή και το γεγονός αυτό µας επιτρέπει αβίαστα να χρησιµο ποιήσουµε για τις αλγεβρικές τιµές της αποµάκρυνσης

! x και της ταχύτητας

�

! v τις σχέσεις:

x = x0!µ("t +#)

v = x0"$%&("t + #)

!

" #

$ # (9)

Oι σχέσεις (9) εφαρµοζόµενες την χρονική στιγµή t=0 δίνουν:

x0 = x0!µ"

0 = x0#$%&"

!

" #

$ # !

! ="

2

Άρα η τελική µορφή της εξίσωσης αποµάκρυνσης του δοκαριού είναι:

�

x = x0!µ (!t +"/2) = x0 "#$!t (10) µε ω2 =D/m=2nmg/mα=2ng/α Aπό την παραπάνω ανάλυση προκύπτει ότι το κέντρο µάζας του δοκαριού εκτελεί οριζόντια περιοδική κίνηση µεταξύ των θέσεων +x0 και –x0, η οποία µπορεί να χαρακτηριστεί ως αρµονική ταλάντωση, λόγω της εµφάνισης του όρου συνωt. H περίοδος T της ταλάντωσης αυτής υπολογίζεται από την σχέ ση:

T = 2!m

D= 2!

m"

2nmg= 2!

"

2ng (11)

δηλαδή η περίοδος της µεταφορικής κίνησης του δοκαριού είναι ανεξάρτητη της µάζας του. Παρατήρηση: Στην διάρκεια της κίνησης του δοκαριού οι τριβές που δέχονται οι τροχοί και το δοκάρι παράγουν ανά περίοδο αρνητικό έργο, δηλαδή εξ αιτίας των τριβών αυτών το σύστηµα τροχοί-δοκάρι απορροφά από το εξωτερικό του

περιβάλλον ενέργεια που µετασχηµατίζεται σε θερµότητα. Με τον τρόπο αυτόν συντηρείται η κίνηση του δοκαριού και η περιστροφή των τροχών. Δύο κλασσικά παραδείγµατα απλής αρµονικής ταλάντωσης α. Tαλάντωση µικρού σώµατος µε την βοήθεια ελατηρίου Θεωρούµε µικρό σώµα µάζας m, το οποίο έχει στερεωθεί στο ένα άκρο κατα κόρυφου ελατηρίου σταθεράς k, του οποίου το άλλο άκρο είναι στερεωµένο σε σταθερό σηµείο. Όταν το σώµα ισορροπεί στην θέση O, δέχεται το βάρος του

�

! w και την δύναµη

�

!

F 0 από το ελατήριο, των οποίων τα µέτρα ικανοποι

ούν την σχέση:

w = F0 (1) Eκτρέπουµε το σώµα κατακόρυφα, το αφήνουµε ελεύθερο και το εξετάζουµε σε µια τυχαία θέση M, όπου η αποµάκρυνσή του ως προς το σταθερό σηµείο O είναι

�

! x . Στην θέση αυτή το σώµα δέχεται το βάρος του

�

! w και την δύναµη

�

!

F από το παραµορφωµένο ελατήριο, η οποία όµως έχει µεγαλύτερο µέτρο από το βάρος, διότι τώρα το ελατήριο είναι περισσότερο τεντωµένο κατά |

�

! x |

απ’ ότι στην θέση ισορροπίας O του σώµατος.

Σχήµα 2 Έτσι η συνισταµένη

�

!

F !"

των δύο αυτών δυνάµεων θα έχει φορά προς τα πάνω, δηλαδή θα είναι αντίρροπη της αποµάκρυνσης

�

! x και η αλγεβρική της

τιµή µε θετική φορά την φορά της

�

! x , θα είναι:

�

F!"

= -F+ w !

�

F!"

= -(F0 + kx) + w

�

!

(1)

�

F!"

= -kx (2) H σχέση (2), η οποία ισχύει µε την προϋπόθεση ότι το ελατήριο είναι συνέ χεια υπό ελαστική παραµόρφωση, εγγυάται ότι το σύστηµα ελατήριο-σώµα αποτελεί µονοδιάστατο αρµονικό ταλαντωτή, που σηµαίνει ότι το σώµα

εκτελεί κατακόρυφη α.α.τ. µε κέντρο ταλάντωσης την θέση ισορροπίας του O και σταθερά ταλάντωσης ίση µε τη σταθερά k του ελατηρίου. Tο πλάτος x0

της ταλάντωσης αυτής ρυθµίζεται εξωτερικά από την αιτία που προκαλεί την εκτροπή του σώµατος από την θέση ισορροπίας του O, η δε περίοδος T της ταλάντωσης υπολογίζεται από την σχέση:

�

T =2! m/k Αξίζει να σηµειωθεί πως αν η αρχική θέση του σώµατος αντιστοιχεί σε µη ελαστική παραµόφωση του ελατηρίου, τότε η σχέση (2) παύει να ισχύει και το σύστηµα δεν αποτελεί αρµονικό ταλαντωτή, δηλαδή το σώµα δεν εκτελεί α.α.τ. αλλά µια πολύπλοκη κατακόρυφη κίνηση. β. Tαλάντωση µαθηµατικού εκκρεµούς Oνοµάζεται µαθηµατικό εκκρεµές ένα σύστηµα, που αποτελείται από µικρό σφαιρίδιο, το οποίο έχει στερεωθεί στο ένα άκρο αβαρούς και µη εκτατού νήµατος, ενώ το άλλο του άκρο έχει δεθεί σε σταθερό σηµείο K. Eκτρέπουµε το σφαιρίδιο του εκκρεµούς από την θέση ισορροπίας του O, ώστε το νήµα να σχηµατίσει µε την κατακόρυφη διεύθυνση µικρή γωνία φ0≈30 και το αφή νουµε ελεύθερο. Tο σφαιρίδιο θα κινείται κατά µήκος ενός κυκλικού τόξου, που έχει κέντρο K και ακτίνα ίση µε το µήκος L του νήµατος. Όµως το κυκλικό αυτό τόξο αντιστοιχεί σε πολύ µικρή επίκεντρη γωνία, οπότε µπο ρούµε να ισχυριστούµε µε καλή προσέγγιση ότι το σφαιρίδιο κινείται πάνω στην οριζόντια χορδή ΑΑ’ του τόξου αυτού, της οποίας το µέσον Ο’ ταυτίζεται περίπου µε την θέση ισορροπίας O του σφαιριδίου. Aς εξετάσουµε το σφαιρίδιο σε µια τυχαία θέση M, όπου η αποµάκρυνση του ως προς το O’

Σχήµα 3

είναι

�

! x η δε γωνιακή εκτροπή του νήµατος από την κατακόρυφη διεύθυνση

είναι φ. Στην θέση αυτή το σφαιρίδιο δέχεται την δύναµη

�

! F από το νήµα

(τάση του νήµατος) και το βάρος του

�

! w , το οποίο αναλύεται στην συνιστώσα

�

! w

2 κατά την διεύθυνση του νήµατος και στην συνιστώσα

�

! w

1 κατά την

εφαπτοµένη του τόξου ΑΟΑ’. (σχήµα 3). Η συνισταµένη των δυνάµεων

�

! F και

�

! w

2 αποτελεί για το σφαιρίδιο κεντροµόλο δύναµη, οπότε ισχύει η σχέση:

�

F - w2

= mv2/L (1)

όπου

�

! v η ταχύτητα του σφαιριδίου στην θέση Μ. Εφαρµόζοντας το θεώρηµα

κινητικής ενέργειας-έργου για την κίνηση του σφαιριδίου από Α σε Μ, παίρ νουµε την σχέση:

�

mv2/2 = mg(L!"#$ - L!"#$0)

�

!

�

v2= 2gL(!"#$ - !"#$0) % 0 (2) διότι συνφ0≈συνφ≈1. Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) και (2) έχουµε F=w2 πού

σηµαίνει ότι η συνισταµένη δύναµη

�

! F !"

επί του σφαιριδίου είναι ίση µε

�

! w

1.

Επειδή η εφαπτοµένη σε κάθε σηµείο του τόξου ΑΟΑ’ συµπίπτει περίπου µε την χορδή του τόξου αυτού, µπορούµε µε καλή προσέγγιση να δεχτούµε ότι η δύναµη

�

! w

1 είναι αντίρροπη της αποµάκρυνσης

�

! x , οπότε η αλγεβρική τιµή

της

�

! F !"

ακολουθεί την σχέση:

�

F!" = -w1 = -mg#µ$

�

!

�

F!"

= -mgx/L = -Dx (3) µε D=mg/L. Eπειδή η

�

! F !"

απορρέει από την συντηρητική δύναµη

�

! w

1 είναι

µε βάση τις γενόµενες προσεγγίσεις και αυτή συντηρητική, οπότε η σχέση (3) εξασφαλίζει ότι το σφαιρίδιο εκτελεί α.α.τ. µε περίοδο Τ, για την οποία ισχύει:

�

T =2!m

D=2!

mL

mg

�

!

�

T = 2!L

g (4)

Aπό την πιο πάνω ανάλυση προκύπτει ότι το µαθηµατικό εκκρεµές για πολύ µικρές εκτροπές του σφαιριδίου του από την θέση ισορροπίας του συµπεριφέ ρεται ως αρµονικός ταλαντωτής. Aς εξετάσουµε όµως γενικότερα την κίνη

Σχήµα 4

ση του σφαιριδίου του εκκρεµούς υποθέτοντας ότι, την χρονική στιγµή t=0 η γωνιακή εκτροπή του νήµατος από την κατακόρυφη διεύθυνση έχει τυ χαία τιµή φ0. Tο σφαιρίδιο υπό την επίδραση της εφαπτοµενικής συνιστώσας του βάρους του

�

m! g µπαίνει σε κίνηση, διαγράφοντας κυκλικό τόξο κέντρου

K και ακτίνας ίσης πρός το µήκος L του νήµατος. Έστω

�

! v η ταχύτητα του

σφαιριδίου στην τυχαία θέση M, όπου η γωνιακή εκτροπή του νήµατος είναι φ. Eπειδή κατά την κίνηση του σφαιριδίου η µηχανική του ενέργεια διατη ρείται σταθερή, θα ισχύει η σχέση:

�

E(A) = E(M) !

�

mgL(1 - !"#$ 0) = mgL(1 - !"#$) + mv2/2

�

!

�

2gL!µ2(" 0 /2) = 2gL!µ

2(" /2) + v2

�

!

�

v2=4gL !µ 2(" 0 /2)-!µ 2(" /2)[ ] (5) Eάν ω είναι η αλγεβρική τιµή της γωνιακής ταχύτητας του σφαιριδίου θα ισχύει v=ωL, οπότε η (5) γράφεται:

�

!2L2=4gL "µ 2(# 0/2)-"µ 2(# /2)[ ]

�

!

�

! =± 2g

L"µ 2(# 0/2)-"µ 2(#/2)[ ]

1 / 2

�

!

�

d!

dt=± 2

g

L"µ 2(! 0/2)-"µ 2(!/2)[ ]

1 / 2

(6)

Aν δεχθούµε ότι, η αρχική γωνιακή εκτροπή φ0 του νήµατος είναι πολύ µικρή (φ0≈30), µπορούµε να γράψουµε τις προσεγγιστικές σχέσεις:

�

!µ(" 0/2) # " 0/2

!µ("/2) # "/2

$ % & !

�

!µ2(" 0/2) # " 0

2/4

!µ2("/2) # " 2/4

$ % & (7)

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (6) καί (7) παίρνουµε:

�

d!dt

"

# $

%

& '

2

=g

L! 0

2 -! 2( ) (8)

όπου οι γωνίες φ καί φ0 µετρώνται σε ακτίνια (rad). H διαφορική εξίσωση (8) δέχεται λύση της µορφής:

�

! = ! 0"#$( g/Lt) (9) Πράγµατι, παραγωγίζοντας την σχέση (9) ως προς το χρόνο t, έχουµε:

�

d!dt

= -! 0

g

L"µ

g

Lt

#

$ %

&

' (

οπότε η (8) παίρνει την µορφή:

�

! 0

2g

L"µ

2 g

Lt

#

$ %

&

' ( =

! 0

2g

L1- )*+2 g

Lt

#

$ %

&

' (

,

-

.

.

/

0

1 1 !

�

!µ2 g

Lt

"

#

$ $

%

&

' ' = 1 - ()*2 g

Lt

"

#

$ $

%

&

' '

δηλαδή η (9) επαληθεύει την (8). H (8) εκφράζει ότι, αν η αρχική γωνιακή εκτροπή του νήµατος από την κατακόρυφη διεύθυνση είναι πολύ µικρή, τότε η κίνηση του σφαιριδίου είναι µια περιοδική κίνηση µε περίοδο:

�

T =2!

g/L= 2!

L

g (10)

Παρατήρηση: Eάν η αρχική γωνιακή εκτροπή φ0 του νήµατος από την κατακόρυφη διεύ θυνση δεν είναι πολύ µικρή, τότε η κίνηση του σφαιριδίου του εκκρεµούς είναι µεν περιοδική κίνηση, αλλά η περίοδός της δεν δίνεται από την σχέση (10). Στην περίπτωση αυτή η ηµιπερίοδος T/2 της κίνησης θα προκύψει από την (2), άν την ολοκληρώσουµε µε όρια ολοκλήρωσης φ=+φ0 και φ=-φ0, οπότε θα έχουµε:

�

dt =d!

2 g/L "µ2(! 0/2)-"µ

2(!/2) !

�

T

2=

1

2

g

L

d!

"µ2(! 0/2)-"µ

2(!/2)-! 0

+! 0

#

!

�

T =g

L

d!

"µ2(! 0/2)-"µ

2(!/2)-! 0

+! 0

#

(11)

O υπολογισµός του ολοκληρώµατος στην σχέση (12) είναι εξαιρετικά δυσχε ρής και για το λόγο αυτό δίνουµε το τελικό αποτέλεσµα, που έχει την µορ φή:

�

T = 2!g

L1+

1

22"µ

2 # 0

2

$

% &

'

( )

2

+1

22

$

% &

'

( )

3

42

$

% &

'

( ) "µ

2 # 0

2

$

% &

'

( )

4

+ . . .

*

+

, ,

-

.

/ / (12)

H σχέση (13) επιτρέπει να υπολογίζουµε την περίοδο του µαθηµατικού εκκρεµούς µε όση ακρίβεια θέλουµε, στην δε περίπτωση που η γωνία φ0 είναι πολύ µικρή, τότε οι όροι που περιέχουν το ηµ(φ0/2) σε δύναµη µεγαλύ τερη της µονάδας είναι ασήµαντοι και µπορούν να παραλειφθούν, οπότε η σχέση (4) παίρνει την γνωστή µορφή:

�

T = 2! L/g

Ταλάντωση υλικού σηµείου περί την θέση ευσταθούς ισορροπίας του Θεωρούµε υλικό σηµείο µάζας m, το οποίο δέχεται επιδράσεις από το περι βάλλον του, που περιγράφονται από µια συνάρτηση δυναµικής ενέργειας U(x), όπου x η µεταβλητή που καθορίζει την θέση του υλικού σηµείου. Υποθέτουµε ότι υπάρχει η πρώτη και η δεύτερη παράγωγος της U(x) και επί πλέον ότι για x=x0 ισχύουν οι σχέσεις:

�

dU(x)

dx

!

" #

$

% &

x=x0

= 0 και

�

d2U(x)

dx2

!

"

#

$

%

&

x=x0

> 0 (1)

Τότε η θέση x=x0 είναι θέση ευσταθούς ισορροπίας του υλικού σηµείου. Ας δεχθούµε όµως ότι το υλικό σηµείο εκτρέπεται ελάχιστα από την θέση ισορ ροπίας του, ώστε η µεταβλήτη x να εγκλωβίζεται σε µια περιοχή του x0, πολύ µικρού εύρους ε (ε

�

!0), δηλαδή ισχύει |x-x0|

�

!ε. Αναπτύσσοντας την συνάρτηση U(x) κατά Taylor εντός της περιοχής αυτής παίρνουµε:

�

U(x) =U(x0)+1

1!

dU(x)

dx

!

" #

$

% &

x=x0

(x- x0) +1

2!

d2U(x)

dx2

!

"

#

$

%

&

x=x0

(x- x0)2+ . . .

Όµως λόγω της πρώτης εκ των σχέσεων (1) η παραπάνω γράφεται:

�

U(x) =U(x0)+1

2

d2U(x)

dx2

!

"

#

$

%

&

x=x0

(x- x0)2+ . . . (2)

Eξάλλου το γεγονός ότι η διαφορά x-x0 είναι πολύ µικρή, µας επιτρέπει να θεωρούµε τους όρους, που περιέχουν την διαφορά αυτή σε δύναµη µεγαλύ τερη του δύο, αµελητέους, οπότε η (2) παίρνει την προσεγγιστική µορφή:

�

U(x) ! U(x0)+1

2

d2U(x)

dx2

"

#

$

%

&

'

x=x0

(x- x0)2 (3)

Παραγωγίζοντας την (3) παίρνουµε για |x-x0|

�

!ε την σχέση:

�

dU(x)

dx!

d2U(x)

dx2

"

#

$

%

&

'

x=x0

(x- x0) (4)

Εάν εντοπίσουµε την προσοχή µας στην περίπτωση που η συνάρτηση U(x) εκφράζει δύναµη και η µεταβλητή x απόσταση, τότε η ποσότητα –dU(x)/dx εκφράζει την αλγεβρική τιµή F της δύναµης αυτής, οπότε η (4) γράφεται:

�

-F =d

2U(x)

dx2

!

"

#

$

%

&

x=x0

(x- x0)

�

!

�

-md

2x

dt2

=d

2U(x)

dx2

!

"

#

$

%

&

x=x0

(x- x0) (5)

Θέτοντας

�

d2U(x)/dx2[ ]x=x0

= k > 0

η (5) παίρνει την µορφή:

�

-md

2x

dt2

=k(x- x0)

�

!

�

d2x

dt2

+k

m(x- x0) = 0

και µε αλλαγή της µεταβλητής από x σε x’=x-x0 η παραπάνω σχέση γράφε ται:

�

d2x'

dt'2

+k

mx'= 0

�

!

�

d2x'

dt'2

+!2x'= 0 (6)

µε ω2=k/m. H (6) εγγυάται ότι το υλικό σηµείο, αν εκτραπεί ελάχιστα από τη θέση x=x0 ευσταθούς ισορροπίας, συµπεριφέρεται ως αρµονικός ταλαντω τής, δηλαδή εκτελεί απλή αρµονική ταλάντωση µε περίοδο Τ, που υπολογί ζεται από την σχέση:

�

T = 2!m

k= 2!

m

d2U(x)/dx2[ ]x=x0

Φθίνουσα µηχανική ταλάντωση Όταν ένα οποιοδήποτε σύστηµα που µπορεί να ταλαντεύεται εκτραπεί από την κατάσταση ισορροπίας του µε προσφορά κάποιας ενέργειας και στη συνέχεια αφήνεται ελεύθερο, τότε λέµε ότι αυτό εκτελεί ελεύθερη ταλάν τωση. H ελεύθερη ταλάντωση διακρίνεται σε αµείωτη και σε φθίνουσα. Oνοµάζεται αµείωτη ελεύθερη ταλάντωση εκείνη που διατηρεί σταθερό πλάτος κατά την εξέλιξή της, οπότε η ολική ενέργεια του αντίστοιχου ταλαντωτή δεν µεταβάλλεται χρονικά. Kάθε αµείωτη ελεύθερη ταλάντωση χαρακτηρίζεται από την ιδιοπερίοδό της T0, η οποία εξαρτάται από τις συνθή κες που επιβάλλουν την ταλάντωση. Έτσι στην περίπτωση του αρµονικού ταλαντωτή η ιδιοπερίοδός του T0 εξαρτάται από την µάζα του m και από την σταθερά D της ταλάντωσής του, σύµφωνα µε την σχέση:

�

T0= 2! m/D (1)

Eξάλλου ονοµάζεται φθίνουσα ελεύθερη ταλάντωση, εκείνη που το πλάτος της µειώνεται µε τον χρόνο, οπότε η ολική ενέργεια του αντίστοιχου ταλαν τωτή θα ελαττώνεται, µετατρεπόµενη σε θερµοδυναµική ενεργεια που κατανέµεται στον ίδιο τον ταλαντωτή και στο εξωτερικό του περιβάλλον. Kατά την εξέλιξη µιας φθίνουσας ελεύθερης ταλάντωσης ενεργεί επί του ταλαντωτή µη συντηρητική δύναµη αντίρροπη της ταχύτητάς του (δύναµη τριβής), µέσω του έργου της οποίας συνεχώς αφαιρείται ενέργεια από αυτόν µε αποτέλεσµα να µειώνεται το πλάτος της ταλάντωσής του. Θεωρητικό ενδιαφέρον παρουσιάζει η περίπτωση του µονοδιάστατου αρµονικού ταλαν τωτη που εκτός της δύναµης επαναφοράς δέχεται από το περιβάλον του

δύναµη τριβής

�

!

T µε µέτρο ανάλογο προς το µέτρο της ταχύτητας

�

! v του

ταλαντωτή, οπότε αυτή θα έχει την µορφή:

T = -bv (2) όπου b η λεγόµενη σταθερά απόσβεσης του ταλαντωτή, η οποία εξαρτάται από το γεωµετρικό του σχήµα και από το φυσικό σύστηµα που του προβάλ λει την τριβή (π.χ. από την φύση του ρευστού µέσα στο οποίο ταλαντεύεται).

Σχήµα 5 Στην περίπτωση αυτή, εάν D είναι η σταθερά της αντίστοιχης ελεύθερης αµείωτης ταλάντωσης του ταλαντωτή και m η µάζα του, κάθε χρονική στιγµή t θα ισχύει, σύµφωνα µε τον δεύτερο νόµο του Νεύτωνα, η σχέση: ma = -Dx - bv

�

!

�

m(dv /dt)= -Dx - bv

�

!

�

md

dt

dx

dt

!

" #

$

% & = -Dx - b

dx

dt

�

!

�

md

2x

dt2

+ bdx

dt+Dx =0 (3)

όπου x, v, a η αποµάκρυνση, η ταχύτητα και η επιτάχυνση αντιστοίχως του ταλαντωτή κατά την θεωρούµενη χρονική στιγµή t. H σχέση (3) αποτελεί µια οµογενή γραµµική διαφορική εξίσωση δεύτερης τάξεως µε σταθερους συντελεστές, της οποίας η λύση εξαρτάται από τις αρχικές συνθήκες κίνη σης του ταλαντωτή και από τις τιµές των µεγεθών m, D και b. Διακρίνουµε τις εξής περιπτώσεις: i) Tα µεγέθη m, D, b ικανοποιούν την σχέση:

�

D/m - (b/2m)2> 0

Στην περίπτωση αυτή το χαρακτηριστικό πολυώνυµο που αντιστοιχεί στην διαφορική εξίσωση (3) έχει µιγαδικές ρίζες και η λύση της έχει την µορφή:

x = Ae

-b/2m!"#($t + %) µε ! = D/m - (b/2m)

2 (4) όπου A, φ σταθερές ολοκλήρωσης, οι οποίες θα καθορισθούν από τις αρχικές συνθήκες στις οποίες βρίσκεται ο ταλαντωτής. Aς δεχθούµε ότι την χρονική στιγµή t=0 ισχύει x=x0 και v=0. H (4) εφαρµοζόµενη για t=0 δίνει:

x0 = A συνφ (5)

Eξάλλου παραγωγίζοντας την (4) ως προς τον χρόνο t παίρνουµε την ταχύ τητα v (αλγεβρική τιµή) του ταλαντωτή, οπότε θα έχουµε:

�

v =dx

dt= -

Ab

2me-bt / 2m

!"#($t +%) - $Ae-bt / 2m&µ($t +%)

�

!

�

v = -Ae-bt / 2m b

2m!"#($t +%) +$&µ($t +%)

!

" #

$

% & (6)

H (6) εφαρµοζόµενη την χρονική στιγµή t=0 δίνει:

�

0 = -Ab!"#$

2m+ %&µ$

!

" #

$

% &

�

!

b!"#$

2m+ %&µ$ = 0

�

!

b!"#$

2m+ % 1 - !"#

2$ = 0

(5)

!

�

b

2m

x0

A+ ! 1 -

x0

2

A2

= 0 !

�

b

2m

!

" #

$

% &

2

x0

2

A2

= !2

1 -x

0

2

A2

!

"

#

$

%

&

�

!

�

b

2m

!

" #

$

% &

2

x0

2

A2

+ !2 x

0

2

A2

= !2

�

!

�

x0

2

A2

b

2m

!

" #

$

% &

2

+D

m-

b

2m

!

" #

$

% &

2'

(

)

)

*

+

,

, = !

2

�

!

�

x0

2!

0

2

A2

= !2

�

!

�

A =x

0!

0

!

(7)

όπου ω0 η γωνιακή ιδιοσυχνότητα του ταλαντωτή, ίση µε

�

D/m .΄Eτσι η σχέση (4) γράφεται:

x =

x0!0

!e

-bt/2m"#$(!t +%) (8)

µε συνφ = x0/A = x0ω/x0ω0 = ω/ω0 Λεπτοµερής µελέτη της συνάρτησης (8) οδηγεί στο συµπέρασµα ότι, αυτή παρουσιάζει τοπικά µέγιστα και µάλιστα τα µέγιστα αυτά εµφανίζονται κατά περιοδικό τρόπο, µε περίοδο T που δίνεται από την σχέση:

�

T =2!

!

=2!

D/m - (b/2m)2 (9)

Oι χρονικές στιγµές που η αποµάκρυνση του ταλαντωτή γίνεται µέγιστη προκύπτουν ως λύσεις της εξίσωσης dx/dt=0, κάθε δε µέγιστη τιµή είναι µικρότερη της προηγουµένης της, δηλαδη παρουσιάζεται µια περιοδική µείωση των µέγιστων τιµών της αποµάκρυνσης του ταλαντωτή, που ουσια στικά οφείλεται στην µείωση του εκθετικού όρου e

-bt/ 2m , καθόσον η τιµή του

συν(ωt+φ) σε όλα τα µέγιστα έχει την ίδια τιµή. H περιοδική αυτή µείωση των µέγιστων τιµών της αποµάκρυνσης του ταλαντωτή συνιστά µια φθί νουσα ταλάντωση, η οποία χαρακτηρίζεται από διαδοχικές µέγιστες τιµές της αποµάκρυνσης του ταλαντωτή, οι οποίες φθίνουν περιοδικά µε περίοδο T, που ονοµάζεται ψευδοπερίοδος* της φθίνουσας ταλάντωσης. Eξάλλου, αν θεωρήσουµε δύο διαδοχικές µέγιστες τιµές xn-1 και xn της αποµάκρυνσης, εκ των οποίων η xn αντιστοιχεί την χρονική στιγµή tn τότε η xn-1 θα αντι στοιχεί την χρονική στιγµή tn-T θα ισχύουν δε οι σχέσεις:

�

xn-1 = Ae-b(tn -T)/2m

xn = Ae-btn/2m

!

"

#

�

!

(:)

�

xn-1

xn

=Ae

-b(tn -T)/2m

Ae-btn/2m

�

!

�

xn-1

xn

=e

-btn/2me

bT/2m

e-btn/2m

= ebT/2m (10)

Έτσι, εάν x1, x2,... xn είναι oι µέγιστες τιµές (πλάτη) της αποµάκρυνσης του ταλαντωτή, θα ισχύουν οι σχέσεις:

�

x1

x2

=x

2

x3

= . . .x

n-1

xn

= ebT/2m (11)

δηλαδή ο λόγος δύο διαδοχικών µέγιστων τιµών της αποµάκρυνσης του ταλαντωτή είναι σταθερός, εξαρτάται δε η τιµή του από τα µεγέθη b και m, που σηµαίνει ότι, τα πλάτη αυτά αποτελούν τους όρους µιας φθίνουσας γεω µετρικής προόδου µε λόγο ebT/2m. Εξάλλου κατά την εξέλιξη της φθίνουσας ταλάντωσης ισχύει η σχέση:

�

-1 ! !"#($t +%) ! +1

�

!

�

-A e-bt/2m! A e-bt/2m

!"#($t +%) ! +A e-bt/2m

�

!

�

-A e-bt/2m

! x ! +A e-bt/2m (12)

µε Α=x0ω0/ω. Aπό την (12) γίνεται φανερό ότι η αποµάκρυνση x του ταλαν τωτή φράσεται προς τα άνω από την συνάρτηση:

�

f1(t) = Ae-bt/2m (13) και προς τα κάτω από την συνάρτηση:

�

f2(t) = -Ae-bt/2m (14) ------------------------------------ * Για την ακρίβεια η φθίνουσα ταλάντωση που περιγράφεται από την συνάρτηση (8) δεν είναι περιοδική κίνηση, αφού η συνάρτηση αυτή δεν είναι περιοδική. Έτσι η περίοδος T που αντιστοιχεί, στον όρο συν(ωt+φ) ονοµάζεται ψευδοπερίο δος της φθίνουσας ταλάντωσης.

Αυτό σηµαίνει ότι οι συναρτήσεις f1(t) και f2(t) αποτελούν περιβάλλουσες της x=x(t) και µάλιστα τα διαγράµµατά τους είναι δύο εκθετικές καµπύλες συµµετρικές µεταξύ τους ως προς τον άξονα των χρόνων (σχ. 6) που οριοθετούν το διάγραµµα της x(t). Αν τώρα θεωρήσουµε τα σηµεία επαφής της f1(t) και της x=x(t), αυτά αντιστοιχούν στις χρονικές στιγµές t* που ικα νοποιούν την σχέση:

�

Ae-bt* / 2m

= Ae-bt* / 2m

!"#($t* +%)

�

!

�

!"#($t* +%) =1 Εξάλλου η (6) τις χρονικές στιγµές t* δίνει:

�

v(t*) = -Ae-bt* / 2m b

2m+ 0

!

" #

$

% & < 0

που δηλώνει ότι κατά τις χρονικές στιγµές t* η αποµάκρυνση του ταλαν τωτη δεν παρουσιάζει ακρότατα, δηλαδή τα ακρότατα της x=x(t) δεν ανή

Σχήµα 6 Σχήµα 7 κουν στην περιβάλλουσα f1(t). Mε τον ίδιο τρόπο αποδεικνύεται ότι τα ακρό τατα της x(t) δεν ανήκουν στην περιβάλλουσα f2(t) (σχ. 6). Παρατηρήσεις: α) Eάν δεν υπάρχει δύναµη τριβής, τότε θα έχουµε b=0, δηλαδή b/2m=0, ω=ω0= D/m , συνφ=1 και A=x0, οπότε η σχέση (8) παίρνει την µορφή: x = x0συνωt (15) η οποία εκφράζει µια αµείωτη αρµονική ταλάντωση και η γραφική παρά σταση της x=x(t) είναι η συνηµιτονοειδής καµπύλη του σχήµατος (7). β) H σταθερά απόσβεσης έχει αρκετά µικρή τιµή ώστε

�

D/m>>(b/2m)2 . Tότε

θα είναι ω

�

!ω0 µε αποτέλεσµα να προκύπτει συνφ

�

!1, δηδαδή φ

�

!0 και επιπλέον A

�

!x0 οπότε η σχέση (8) γράφεται:

�

x = x0e

-bt/2m!"#$

0t (16)

και περιγράφει µια ταλάντωση, που φθίνει µε πολύ αργό ρυθµό (φθίνουσα ταλάντωση µε πολύ µικρή απόσβεση). ii) Tα µεγέθη b, D και m ικανοποιούν την σχέση

�

D/m - (b/2m)2< 0

Στην περίπτωση αυτή το χαρακτηριστικό πολυώνυµο που αντιστοιχεί στην διαφορική εξίσωση (3) έχει ρίζες πραγµατικές και η λύση της έχει την µορ φή: x = e

-bt/2m(C1e

!t+ C2e

-!t) µε ! = (b/2m)

2-D/m (17)

όπου C1, C2 σταθερές ολοκλήρωσης, οι οποίες καθορίζονται από τις αρχικές συνθήκες κίνησης του ταλαντωτή. Στην περίπτωση αυτή η αποµάκρυνση του ταλαντωτή δεν αλλάζει πρόσηµο και η ταλάντωση του χαρακτηρίζεται ως απεριοδική. Aυτό σηµαίνει ότι η σταθερά απόσβεσης b έχει τόσο µεγά λη τιµή ώστε, όταν το σώµα αποµακρυνθεί από την θέση ισορροπίας του δεν την υπερβαίνει ποτέ. Στο σχήµα (8) φαίνεται η γραφική παράσταση της σχέ σεως (17).

Σχήµα 8 Σχήµα 9

iii) Tα µεγέθη D, b και m ικανοποιούν την σχέση

�

D/m - (b/2m)2 = 0 Στην περίπτωση αυτή το χαρακτηριστικό πολυώνυµο της διαφορικής εξίσω σης (3) έχει µια διπλή ρίζα και η λύση της είναι της µορφής: x = e

-bt/2m(C1 +C2t) (18)

όπου C1, C2 σταθερές ολοκλήρωσης*, που καθορίζονται από τις αρχικές συνθήκες κίνησης του ταλαντωτή. H σχέση (15) περιγράφει την λεγόµενη φθίνουσα ταλάντωση µε κρίσιµη απόσβεση κατα την εξέλιξη της οποίας ο ταλαντωτής, όταν αφεθεί ελεύθερος πλησιάζει ασυµτωτικά προς την θέση ισορ ροπίας του χωρίς όµως να την υπερβαίνει. Στο σχήµα (9) φαίνεται το διάγ ραµµα της σχέσεως (18). Eξαναγκασµένη µηχανική ταλάντωση - Συντονισµός Θεωρούµε αρµονικό ταλαντωτή γωνιακής ιδιοσυχνότητας ω0, ο οποίος εκτε λεί φθίνουσα ελεύθερη ταλάντωση µε σταθερά απόσβεσης b (λ.χ. ένα σύστη ---------------------------------- * Eάν δεχθούµε ότι, την χρονική στιγµή t=0 ισχύει x=x0 και v=0, τότε οι τιµές των σταθερών C1 και C2 είναι C1=x0 και C2=bx0/2m.

µα που αποτελείται από ένα κατακόρυφο ελατήριο και µια σφαίρα του βρίσ κεται µέσα σ’ ένα υγρό) όπως φαίνεται στο σχήµα (10). Λόγω της τριβής που δέχεται η σφαίρα από το υγρό (αντίσταση του υγρού) αφαιρείται συνεχώς, µέσω του έργου αυτής, ενέργεια από την σφαίρα µε αποτέλεσµα να µειώνε ται το πλάτος ταλάντωσής της. Aν όµως επί της σφαίρας εξασκηθεί µε κατάλ ληλο τρόπο κατά την διεύθυνση ταλάντωσής της εξωτερική περιοδική δύνα µη, τότε είναι δυνατό µέσω του έργου της δύναµης αυτής να προσφέρεται στην σφαίρα ανά περίοδο τόση ενέργεια, όση αυτή χάνει λόγω της δύναµης τριβής από το υγρό. Στην περίπτωση αυτή η ταλάντωση της σφαίρας θα διατηρεί σταθερό πλάτος ονοµάζεται δε εξαναγκασµένη ταλάντωση.

Σχήµα 10 H πειραµατική και θεωρητική µελέτη της εξαναγκασµένης ταλάντωσης έδειξε ότι, ο ταλαντωτής δονείται όχι µε την γωνιακή του ιδιοσυχνότητα ω0 αλλά µε την γωνιακή συχνότητα ω της εξωτερικής περιοδικής δύναµης, δη λαδή η εξωτερική περιοδική δύναµη επιβάλλει στον ταλαντωτή την δική της γωνιακή συχνότητα. Eξάλλου, το πλάτος x0 της εξαναγκασµένης ταλάντω ης, εξαρτάται καθοριστικά από την γωνιακή συχνότητα ω και από την σταθερά απόσβεσης b, η εξάρτηση δε αυτή απεικονίζεται στις λεγόµενες καµπύλες συντονισµού, οι οποίες στην ουσία είναι οι γραφικές παραστάσεις της συνάρτησης x0=f(ω) που αντιστοιχούν στις διάφορες τιµές της σταθεράς απόσβεσης b (σχήµα 11). Aκριβέστερα ισχύουν τα εξής: i) Aν η σταθερά απόσβεσης b της ταλάντωσης είναι µηδενική, τότε καθώς η γωνιακή συχνότητα ω της εξωτερικής περιοδικής δύναµης πλησιάζει την γωνιακή ιδιοσυχνότητα ω0 , είτε εκ µικροτέρων είτε εκ µεγαλυτέρων τιµών, το πλάτος x0 της εξαναγκασµένης ταλάντωσης αυξάνεται και όταν συµβεί ω=ω0 τότε το πλάτος αυτό απειρίζεται (εστιγµένη καµπύλη α). H περίπτωση αυτή παρουσιάζει θεωρητικό µόνο χαρακτήρα, αφού στην πράξη δεν εµφα νίζεται ποτέ. O απειρισµός του πλάτους της εξαναγκασµένης ταλάντωσης χωρίς απόσβεση (b=0), που αντιστοιχεί στην περίπτωση ω=ω0 ονοµάζεται συντονισµός του ταλαντωτή προς την εξωτερική περιοδική δύναµη, δηλα δή προς τον διεγέρτη του. ii) Aν η σταθερά απόσβεσης b δεν είναι µηδενική αλλά έχει σχετικά µικρές τιµές, τότε υπάρχει µια γωνιακή συχνότητα ω* της εξωτερικής περιοδικής

δύναµης, για την οποία το πλάτος της εξαναγκασµένης ταλάντωσης γίνεται µέγιστο αλλά πεπερασµένο, δηλαδή δεν απειρίζεται. H γωνιακή αυτή συχνό τητα είναι µικρότερη της ω0 και όπως θα αποδειχθεί στο επόµενο εδάφιο, η τιµής είναι:

�

!* = !0

2- b

2/2m

2

Σχήµα 11

H µεγιστοποίηση του πλάτους x0 της εξαναγκασµένης ταλάντωσης, όταν συµ βεί ω=ω* αποτελεί την κατάσταση συντονισµού του ταλαντωτή προς τον εξω τερικό διεγέρτη. Στην πράξη δεχόµαστε ότι η κατάσταση συντονισµού προ σεγγίζεται ικανοποιητικά, όταν η γωνιακή συχνότητα ω της εξωτερικής πε ριοδικής δύναµης βρίσκεται σε µια περιοχή γωνιακών συχνοτήτων που έχει κέντρο την ω* και εύρος Δω που καθορίζεται µε πρακτικά κριτήρια, ώστε η απόκλιση από τον συντονισµό να είναι µικρή. Aυξανόµενης της σταθεράς απόσβεσης η ω* γίνεται µικρότερη το δε µέγιστο πλάτος κατά τον συντονισ µό µειώνεται, δηλαδή ο συντονισµός γίνεται ολοένα λιγότερο οξύς. Aυτό φαίνεται στις καµπύλες συντονισµού α1, α2, α3 που αντιστοιχούν στις τιµές b1, b2, b3 της σταθεράς απόσβεσης, για τις οποίες ισχύει b1<b2<b3. Παρα τηρούµε ότι, µε την αύξηση της σταθεράς απόσβεσης οι καµπύλες συντο νισµού µετατοπίζονται προς µικρότερες γωνιακές συχνότητες και ταυτόχρο να χαµηλώνουν. Πρέπει ακόµη να τονίσουµε ότι, στην κατάσταση συντο νισµού ο ταλαντωτής απορροφά από τον διεγέρτη ενέργεια µε τον µεγαλύ τερο δυνατό ρυθµό, µε αποτέλεσµα να εκδηλώνεται µέγιστη τιµή στο πλάτος της εξαναγκασµένης ταλάντωσης. iii) Aν η σταθερά απόσβεσης έχει σχετικά µεγάλη τιµή, τότε το πλάτος x0 της εξαναγκασµένης ταλάντωσης πολύ λίγο επηρεάζεται από την γωνιακή συχνότητα ω της εξωτερικής περιοδικής δύναµης. Συγκεκριµένα υπάρχει στην περίπτωση αυτή µία ευρεία περιοχή γωνιακών συχνοτήτων, όπου το πλάτος x0 διατηρείται περίπου σταθερό και εποµένως δεν παρατηρείται πρακ τικά φαινόµενο συντονισµού. H περίπτωση αυτή απεικονίζεται στην καµπύ

λη c του σχήµατος (11). Mαθηµατική περιγραφή της εξαναγκασµένης ταλάντωσης Yποθέτουµε ότι το σφαιρίδιο του σχήµατος (10) εκτελεί εξαναγκασµένη τα λάντωση σταθερού πλάτους x0, υπό την επίδραση µιας εξωτερικής περιο δικής δύναµης F=F0ηµωt, κατά την εξέλιξη της οποίας επί του σώµατος ενερ γεί δύναµη τριβής της µορφής T=-bv, όπου b η σταθερά απόσβεσης. Eάν D είναι η σταθερά της αντίστοιχης ελεύθερης και αµείωτης ταλάντωσης του σώµατος, τότε κάθε στιγµή σύµφωνα µε τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νεύτωνα, θα ισχύει η σχέση:

�

F0!µ"t - Dx - bv = ma

�

!

�

F0!µ"t - Dx - b

dx

dt=m

d2x

dt2

�

!

mdx2

dt2 + bdx

dt + Dx = F0!µ"t (1)

όπου x η αποµάκρυνση, v η ταχύτητα και a η επιτάχυνση του σφαιριδίου κατά την χρονική στιγµή t που το εξετάζουµε. H (1) είναι µια γραµµική και µη οµογενής διαφορική εξίσωση δεύτερης τάξεως, η οποία περιγράφει την κίνηση του σφαιριδίου, η δε γενική της λύση είναι άθροισµα µιας µερικής λύσεως αυτής και της λύσεως της αντίστοιχης οµογενούς εξίσωσης. Όµως η λύση της οµογενούς εκφράζει ή µια φθίνουσα ταλάντωση ή µια απεριοδική ταλάντωση που σηµαίνει ότι αργά ή γρήγορα η κίνηση που αντιστοιχεί στην λύση της οµογενούς θα σταµατήσει και το σφαιρίδιο θα βρεθεί σχεδόν στην θέση x=0. Tο γεγονός αυτό µας επιτρέπει να παραλείψουµε την λύση της οµογενούς εξίσωσης και να περιορισθούµε µόνο στην µερική λύση της (1), η οποία περιγράφει την µόνιµη κινητική κατάσταση του συστήµατος. Eίναι λογικό να δεχθούµε ότι στην µόνιµη κατάσταση η δύναµη F=F0ηµωt, λόγω του ηµιτονικού της χαρακτήρα επιβάλλει στο σφαιρίδιο αρµονική κίνηση που περιγράφεται από µια συνάρτηση της µορφής:

�

x = x0!µ("t - #) (2) όπου x0 και φ η σταθερές ποσότητες που απαιτούν προσδιορισµό. Η (2) µε διπλή παραγώγιση ως προς τον χρόνο δίνει:

�

dx/dt = x0!!"#($t +%)

d2x/dt2 = -x0!2"µ($t +%)

# $ % (3)

Έτσι η σχέση (1) γράφεται:

-mx0ω2ηµ(ωt-φ) + bx0ωσυν(ωt-φ) + Dx0ηµ(ωt-φ) = F0ηµωt

�

!

F0ηµωt - (Dx0 - mx0ω2)ηµ(ωt-φ) - bx0ωσυν(ωt-φ) = 0 (4) H (4) εφαρµοζόµενη την χρονική στιγµή t=0 δίνει:

(Dx0-mx0ω2)ηµφ-bx0ωσυνφ =0 ! (D-mω2)ηµφ =bωσυνφ !

�

!µ"

#$%"=

b&

D- m&2

�

!

!"" =b#

m(D/m - #2)=

b#

m(#0

2- #

2) (5)

όπου ω0 η γωνιακή ιδιοσυχνότητα της ελεύθερης ταλάντωσης της σφαιρας, η οποία ικανοποιεί την σχέση mω0

2=D. Eξάλλου η (3) για t=φ/ω δίνει: F0ηµφ - bx0ω = 0

�

! bx0ω = F0ηµφ

�

! x0 = F0ηµφ/bω (6) Όµως εκ της Tριγωνοµετρίας είναι γνωστη η ταυτότητα:

!µ" =

± #""

1 + #"2"

!

(4)

�

!µ" =

±b#

m(#0

2-#2)

1 +b2

#2

m2(#0

2-#2)2

�

!

�

!µ" =b#

m2(#0

2-#2)2 + b2#

2

οπότε η σχέση (6) γράφεται:

x0 =F0

m2 (!0

2 -!2 )2+ b2

!2

(7)

Για να διερευνήσουµε την σχέση (7) θέτουµε:

�

m2(!0

2- !

2)

2+ b

2!

2= "

2

!

�

m2(!

4+!0

4-2!0

2!

2) + b

2!

2= "

2

!

�

m2!

4+ (b

2- 2m

2!0

2)!

2+ (m

2!0

4-"

2) = 0 (8)

H (8) είναι διτετράγωνη εξίσωση ως προς ω και πρέπει οι ρίζες της αντίστοι χης επιλύουσας εξίσωσης να είναι πραγµατικές, δηλαδή πρέπει η διακρίνου σα της επιλύουσας εξίσωσης να είναι µη αρνητική, οπότε θα έχουµε:

�

(2m2!0

2-b

2)

2- 4m

2(m

2!0

4-"

2) ! 0

�

!

�

(2m2!0

2- b

2) 2! 4m

2(m

2!0

4- "

2)

�

!

�

m2!

0

4- "

2 !2m

2!

0

2- b

2

2m

"

#

$

%

&

'

2

�

!

�

!2! m

2"

0

4-

2m2"

0

2-b

2

2m

"

#

$

%

&

'

2

�

!

�

!2!

4m4 "0

4-4m4 "

0

4- b

4+4m2 "

0

2b

2

4m2

�

!

�

!2!

b2(b

2+ 4m2 "0

2)

4m2

! ! b "0

2- (b/2m)

2

�

! !min = b "0

2- (b/2m)

2 (9) µε την προϋπόθεση φυσικά ότι ισχύει 2mω0>b. Tότε όµως το πλάτος της εξαναγκασµένης ταλάντωσης παίρνει την µέγιστη τιµή του:

x0(m!x) =F0

"min

�

!

(10)

x0 (m!x) =F0

b "0 2 - (b/2m)2

(10)

η δε αντίστοιχη προς την (9) επιλύουσα εξίσωση θα έχει µιά διπλή ρίζα, που δίνεται από την σχέση:

!

*

2=

2m2!

0

2- b

2

2m2

=!0

2-

b2

2m2 !

�

!*= !

0

2-

b2

2m2 (11)

δηλαδή όταν b ! 0 µε b<2mω0, η γωνιακή συχνότητα της εξωτερικής περιο δικής δύναµης για την οποία µεγιστοποιείται το πλάτος της εξαναγκασµέ νης ταλάντωσης (συντονισµός) είναι µικρότερη της γωνιακής ιδιοσυχνότη τας του ταλαντωτή. Yπολογισµός της µέσης ισχύος απωλειών Eάν W0 είναι η ενέργεια που αφαιρείται από τον ταλαντωτή ανά περίοδο T, µέσω του έργου της δύναµης τριβής, τότε το πηλίκο W0/T ονοµάζεται µέση ισχύς απωλειών του ταλαντωτή και συµβολίζεται µε P!, δηλαδή ισχύει:

�

P != W

0/T (1)

Όµως η ενέργεια W0 είναι ίση µε την απόλυτη τιµή του έργου της δύναµης τριβής σε χρόνο µιας περιόδου, το οποίο έργο υπολογίζεται αν διαµερίσουµε την περίοδο T σε στοιχειώδη χρονικά διαστήµατα dt1, dt2,... dtn και αθροί σουµε τα αντίστοιχα στοιχειώδη έργα dW1, dW2,... dWn της τριβής. Έτσι θα έχουµε:

�

W0= |dW

1+ dW

2+ ... + dW

n| = |dW|

0

T

! (2)

Όµως το στοιχειώδες έργο της τριβής, που αντιστοιχεί στο τυχαίο στοιχειώ δες χρονικό διάστηµα dt είναι: dW = -bv.vdt = -bv2dt (3) όπου

�

! v η ταχύτητα του ταλαντωτή κατά την χρονική στιγµή t, µετά από

την οποία θεωρήθηκε το στοιχειώδες χρονικό διάστηµα dt. Συνδυάζοντας τις σχέσεις (2) και (3) παίρνουµε:

�

W0 = | -bv2dt|

0

T

! =b (v2dt)

0

T

! (4)

Aς δεχθούµε ότι, η εξίσωση της αποµάκρυνσης του ταλαντωτή κατά την εξέλιξη της εξαναγκασµένης ταλάντωσής του είναι της µορφής x=x0ηµωt, όπου x0 το πλάτος αυτής και ω η γωνιακή συχνότητα της εξωτερικής περιο δικής δύναµης που επιβάλλει την εξαναγκασµένη ταλάντωση. Tότε η εξίσωση της ταχύτητας του ταλαντωτή θα είναι της µορφής v=x0ωσυνωt και η σχέση (4) γράφεται:

�

W0 =b (!2x0

2"#$

2!tdt)

0

T

! =b!2x0

2("#$

2!tdt)

0

T

! (5)

΄Oµως ισχύει η τριγωνοµετρική ταυτότητα 2συν2ωt=1+συν2ωt, οπότε η σχέση (5) γράφεται:

�

W0 =b!

2x0

2

2(1+"#$2!t)dt

0

T

! =b!

2x0

2

2(dt)

0

T

! + ("#$2!tdt)

0

T

!"

#

$

$

%

&

'

'

�

!

�

W0 =b!

2x0

2

2(T + 0) =

b!2x0

2T

2

�

!

�

W0

T=

b!2x

0

2

2

�

!

(1)

�

P !=

b!2x

0

2

2

Για να διατηρείται εποµένως το πλάτος της εξαναγκασµένης ταλάντωσης σταθερό, πρέπει η µέση ισχύς της εξωτερικής περιοδικής δύναµης να είναι ίση µε bx0

2ω2/2. Mια εφαρµογή θεωρητικού χαρακτήρα, που αφορά την εξαναγκασµένη ταλάντωση χωρίς απόσβεση (b=0) Αρµονικός ταλαντωτής µάζας m, εκτελεί αµείωτη ταλάντωση µε γωνιακή συχνότητα ω0. Την στιγµή t=0 ο ταλαντωτής βρίσκεται στην θέση αναφοράς x=0 και έχει ταχύτητα

�

! v

0 θετικής κατεύθυν

σης, δέχεται δε την επίδραση δύναµης που έχει φορέα την ευθεία ταλάντωσης η δε αλγεβρική της τιµή µεταβάλλεται µε το χρόνο t, σύµφωνα µε την σχέση: F = F0συνωt όπου F0, ω θετικές και σταθερές ποσότητες. i) Να δείξετε ότι για t>0, η µετατόπιση του ταλαντωτή ικανοποιεί την σχέση:

�

x(t) =F0

m(! 0

2-!

2)"#$!t - "#$!0t( ) +

v0

! 0

%µ!0t (α)

ii) Να δείξετε ότι για ω→ω0 η παραπάνω σχέση παίρνει την µορφή:

�

x(t) =v0

! 0

-F0t

2m! 0

"

# $

%

& ' (µ! 0t (β)

ΛΥΣΗ: i) Εάν x είναι η µετατόπιση του ταλαντωτή από την θέση αναφοράς x=0 κατά µια τυχαία χρονική στιγµή t, τότε η αντίστοιχη δύναµη επανα φοράς που δέχεται θα είναι –m

�

!0

2x και σύµφωνα µε τον δεύτερο νόµο κίνη σης του Νεύτωνα θα ισχύει η διαφορική εξίσωση:

�

md

2x

dt2

= -m!0

2x + F

0"#$!t

�

!

�

d2x

dt2

+!0

2x =

F0

m"#$!t (1)

Για την λύση της εξίσωσης αυτής ακολουθούµε την εξής διαδικασία. Δοκιµά ζουµε ως µερική λύση της (1) την συνάρτηση:

�

x1(t) = A!µ"t + B#$%"t (2) οπότε µε διπλή παραγώγιση της συνάρτησης αυτής θα έχουµε:

�

dx1(t)

dt= A!"#$!t - B!%µ!t

�

!

�

d2x1(t)

dt2

= -A!2"µ!t - B!

2#$%!t (3)

Αντικαθιστώντας στην (1) την τιµή της δεύτερης παραγώγου εκ της (3) παίρ νουµε την σχέση:

�

-A!2"µ!t - B!

2#$%!t +! 0

2(A"µ!t + B#$%!t) = E0q#$%!t /mL

�

!

�

(! 0

2A -! 2A)"µ!t + (! 0

2B - B!2 - F0/m)#$%!t = 0 (4)

Επειδή η (4) πρέπει να ισχύει για κάθε t>0, αυτό εξασφαλίζεται από τις σχέ σεις:

�

!0

2A -! 2

A = 0

!0

2B - B! 2

- F0/m = 0

"

#

$

�

!

�

A(! 0

2 -! 2) = 0

B(! 0

2 -! 2) = F0/m

"

#

$

�

!

�

A = 0

B=F0/m(! 0

2-! 2)

"

#

$

(5)

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (2) και (5) παίρνουµε:

�

x1(t) =F0!"#$t

m($ 0

2-$

2) (6)

Η λύση της αντίστοιχης οµογενούς της (1) έχει την µορφή:

�

x2(t) = C1!µ"0t + C2#$%"0t (7)

όπου C1, C2 σταθεροί συντελεστές, που θα προσδιορισθούν από τις αρχικές συνθήκες κίνησης του ταλαντωτή. Η γενική λύση x(t) της (1) θα προκύψει ως άθροισµα των λύσεων x1(t) και x2(t), δηλάδη:

�

x(t) = x1(t) + x2(t)

�

!

(6),(7)

�

x(t) =F0!"#$t

m($ 0

2-$

2)+ C1%µ$0t + C2!"#$0t (8)

Παραγωγίζοντας την (8) ως προς τον χρόνο έχουµε:

�

dx(t)

dt= -

F0!"µ!t

m(! 0

2-!

2)+ C1! 0#$%!0t - C2! 0"µ!0t (9)

Για t=0 οι σχέσεις (8) και (9) δίνουν:

�

0=F0/m(! 0

2-! 2)+C2

v0=C1! 0

"

#

$

�

!

�

C2 =- F0/m(! 0

2-! 2)

C1 = v0/! 0

"

#

$

Η τελική εποµένως µορφή της (8) είναι:

�

x(t) =F0!"#$t

m($ 0

2-$

2)+

v0

$ 0

%µ$0t -F0!"#$0t

m($ 0

2-$

2)

�

!

�

x(t) =F0(!"#$t - !"#$0t)

m($ 0

2-$

2)

+v0

$ 0

%µ$0t (α)

ii) Όταν ω→ω0 ο πρώτος όρος της σχέσεως (α) καθίσταται απροσδιόριστος και για να αρθεί η απροσδιοριστία του εφαρµόζουµε τον κανόνα de L’ Ηοspi tal, οπότε θα έχουµε:

�

lim!"! 0

#$%!t - #$%!0t

! 0

2 -! 2

&

'

(

)

*

+ =lim!"! 0

d(#$%!t - #$%!0t)/d!

lim!"! 0

d(! 0

2 -! 2)/d!=

�

=

lim!"! 0

(-t#µ!t)

lim!"! 0

(-2!)=

t#µ!0t

2! 0

Άρα η οριακή µορφή της x(t) όταν ω→ω0, δηλαδή στην κατάσταση <<συντο νισµού>> του αρµονικού ταλαντωτή είναι:

�

x(t) =F0t!µ"0t

2m" 0

+v0

" 0

!µ"0t =F0t

2m" 0

+v0

" 0

#

$ %

&

' ( !µ" 0t (β)

Παρατήρηση: 1η Η σχέση (β) δεν εκφράζει αρµονική ταλάντωση, αλλα µια πολύπλοκη κίνηση κατά την εξέλιξη της οποίας η αποµάκρυνση της µάζας m παίρνει τιµές που

αυξάνονται χρονικά προς το άπειρο και αυτό οφείλεται στον όρο F0tηµω0t/2mω0. Άρα δεν έχει νόηµα να µιλάµε για πλάτος εξαναγκασµένης ταλάντωσης στην περίπτωση αυτή ή µε άλλα λόγια καµπύλη συντονισ µού δεν υπάρχει. Αυτός είναι και ο λόγος που η καµπύλη (α) στο σχήµα (10), που αντιστοιχεί σε b=0, σχεδιάστηκε εστιγµένη. Για να γίνoυν τα παραπάνω αντιληπτά χρησιµοποιούµε την γνωστή σχέση:

�

- 1 ! "µ (# 0t) ! +1

�

!(" )

�

-1 ! x(t)/F0t

2m" 0

+v0

" 0

#

$ %

&

' ( ! +1

�

!

�

-F0t

2m! 0

+v0

! 0

"

# $

%

& ' ( x(t)(

F0t

2m! 0

+v0

! 0

(γ)

Από την (δ) παρατηρούµε ότι οι ευθείες x’(t)=

�

± (F0t/2mω0+v0/ω0) αποτελούν την περιβάλουσα της συνάρτησης (γ), η οποία οριοθετεί τις τιµές της απο µάκρυνσης της µάζας m και την κατευθύνει προς το άπειρο (σχήµα 12).

Σχήµα 12

Είναι προφανές ότι η περίπτωση αυτή έχει καθαρά θεωρητικό χαρακτήρα, διότι στην πράξη κανένα ελατήριο δεν µπορεί να αντέξει σε τέτοια παραµόρ φωση. Παρατήρηση: 2η Παραγωγίζοντας την (β) ως προς τον χρόνο t παίρνουµε την ταχύτητα v(t) του εξαναγκασµένου αρµονικού ταλαντωτή χωρίς απόσβεση, δηλαδή θα έχουµε την σχέση:

�

v(t) =F0!µ"0t

2m" 0

+F0t#$%"0t

2m+ v0#$%"0t (γ)

Από την (γ) προκύπτει ότι λόγω του όρου F0tσυνω0t/2m η ταχύτητα του τα λαντωτη παίρνει µέγιστες τιµές που αυξάνουν µε το χρόνο προς το άπειρο.

Παρατήρηση: 3η Από την ανάλυση που έγινε πιο πάνω προκύπτει ότι η εξαναγκασµένη τα λάντωση ενός αρµονικού ταλαντωτή χωρίς απόσβεση έχει µαθηµατικό µόνο ενδιαφέρον και κανένα πείραµα δεν µπορεί να καταδείξει τι ακρίβώς συµ βαίνει, αφού η συνεχώς αυξανόµενη µέγιστη αποµάκρυνση <<τρελαίνει>> το σύστηµα, η δε συνεχώς αυξανόµενη ταχύτητα κατά τον <<συντονισµό>> αντικρούεται από την θεωρία της Ειδικής Σχετικότητας. Σύζευξη ταλαντώσεων Θεωρούµε δύο µικρά σώµατα της ίδιας µάζας m, τα οποία µπορούν να ολισθαίνουν σε λείο οριζόντιο επίπεδο, δεµένα στις άκρες τριών οριζόντιων ελατηρίων αµελητέας µάζας, όπως φαίνεται στο σχήµα (12). Tο µεσάιο ελατήριο προκαλεί σύζευξη των δύο σωµάτων και απαγορεύει σ’ αυτά να εκτελούν ελεύθερη ταλάντωση, όταν εκτραπούν από τις θέσεις ισορροπίας τους O1 καί O2. Aς εξετάσουµε τι θα συµβεί, όταν τα δύο σώµατα εκτραπούν από τις θέσεις ισορροπίας τους και αφεθούν ελεύθερα. Eξετάζοντας το σύστηµα σε µία τυχαία θέση, όπου οι αποµακρύνσεις των δύο σωµάτων είναι x1, καί x2, παρατηρούµε ότι, το µεν αριστερό σώµα δέχεται τις οριζόντιες

δυνάµεις

�

!

F 1 καί

�

!

F από τα ελατήρια µε τα οποία είναι σ' επαφή, ενώ το δεξιό

σώµα δέχεται τις οριζόντιες δυνάµεις

�

!

F 2 καί -

�

!

F από τα αντίστοιχα ελα τήρια. Eάν δεχθούµε ότι, στην θέση ισορροπίας του συστήµατος τα τρία ελατήρια έχουν το φυσικό τους µήκος τότε για τα δύο σώµατα, σύµφωνα µε το δεύτερο νόµο του Nεύτωνα, µπορούµε να γράψουµε τις σχέσεις:

Σχήµα 12

�

m(d2x1/dt2) = -F1 + F

m(d2x2/dt2) = -F - F2

!

"

#

�

!

�

m(d2x1/dt2) = -kx1 + k'(x2 - x1)

m(d2x2/dt2) = -k'(x2 - x1) - kx2

!

"

#

�

!

�

d2x1/dt2 = -(k + k')x1/m + k'x2/m

d2x2/dt2 = -(k + k')x2/m + k'x1/m

!

"

#

(1)

όπου k η σταθερά των δύο ακραίων ελατηρίων και k' η σταθερά του µεσαίου ελατηρίου. Oι σχέσεις (1) αποτελούν ένα σύστηµα δύο οµογενών γραµµικών διαφορικών εξισώσεων δεύτερης τάξεως µε σταθερούς συντελεστές, οι οποί ες περιγράφουν την κίνηση του συστήµατος. Για την λύση του συστήµατος αυτού ακολουθούµε την εξής διαδικασία. Προσθέτουµε τις εξισώσεις (1) κατά µέλη, οπότε θα έχουµε:

�

d2x1

dt2

+d

2x2

dt2

= -(k + k')(x1+ x2)

m+

k'(x1+ x2)

m

�

!

�

d2(x1 + x2)

dt2

+k(x1+ x2)

m= 0 (2)

H (2) αποτελεί µια οµογενή γραµµική διαφορική εξίσωση δεύτερης τάξεως µε σταθερούς συντελεστές και δέχεται λύση της µορφής:

�

x1+ x2 = A1!µ ("1t +#1) µε

�

!1

2= k/m (3)

όπου A1, θ1 σταθερές ολοκλήρωσης που θα υπολογιστούν από τις αρχικές συνθήκες κίνησης των δύο σωµάτων. Ας δεχθούµε ότι την στιγµή t=0 τα σφαιρί δια κρατούνται ακίνητα στις θέσεις x1=x2=A, H (3) για t=0 δίνει:

�

A + A = A1!µ"

1

�

!

�

2A = A1!µ"

1 (4)

Παραγωγίζοντας την (3) ως προς τον χρόνο παίρνουµε:

�

dx1

dt+

dx2

dt= A1!1"#$(!1t +%1) (5)

H (5) για t=0 δίνει:

�

0 + 0 = A1!

1"#$%

1

�

!

�

!"#$1= 0

�

!

�

!1= " /2

οπότε η (4) δίνει Α1=2Α µε αποτέλεσµα η (3) να παίρνει την µορφή:

�

x1 + x2 = 2A!µ("1t + #/2)

�

!

�

x1+ x

2= 2A!"#$

1t (6)

Σχήµα 13 H σχέση (6) εγγυάται ότι, ένας δυνατός τρόπος κίνησης του συστήµατος είναι τα δύο σώµατα να εκτελούν αρµονική ταλάντωση γωνιακής συχνότητας ω1 και κάθε στιγµή να έχουν την ίδια αποµάκρυνση (x1=x2). H ειδική αυτή περίπτωση συµβαίνει όταν τα σώµατα εκτραπούν από τις θέσεις ισορροπίας τους προς την ίδια κατεύθυνση κατά ίσες αποστάσεις και αφεθούν ελευθερα. Tότε το µεσαίο ελατήριο δεν θα εισφέρει στην ταλάντωση του συστήµατος, διότι τα δύο σώµατα κάθε στιγµή µετατοπίζονται οµόρροπα και έτσι το ελατήριο διατηρεί το φυσικό του µήκος (σχ. 13). Αυτός ο τρόπος ταλάντωσης των σωµάτων ονοµάζεται κανονικός τρόπος ταλάντωσης σε συµφωνία φάσεως. Aν τώρα αφαιρέσουµε κατά µέλη τις εξισώσεις (1) θα έχουµε:

�

d2x2

dt2

-d

2x1

dt2

=-(k + k')(x2- x1)

m-k'(x2- x1)

m !

�

d2(x2 - x1)

dt2

+(k + 2k')(x2- x1)

m= 0 (7)

H (7) αποτελεί επίσης µια οµογενή γραµµική διαφορική εξίσωση δεύτερης τάξεως µε σταθερούς συντελεστές και δέχεται λύση της µορφής:

�

x2 - x1 = A2!µ (" 2t +#2) µε

�

! 2

2 = (k + 2k')/m (8) όπου A2, θ2 σταθερές ολοκλήρωσης που επίσης υπολογίζονται από τις αρχι κές συνθήκες κίνησης των δύο σωµάτων. Ας δεχθούµε ότι την στιγµή t=0 τα δύο σώµατα κρατούνται ακίνητα στις θέσεις x1=A και x2=-Α, H (8) για t=0 δίνει:

�

A + A = A2!µ"

2

�

!

�

2A = A2!µ"

2 (9)

Παραγωγίζοντας την (10) ως προς τον χρόνο παίρνουµε:

�

dx1

dt-dx2

dt= A2! 2"#$(! 2t +%2) (10)

H (10) για t=0 δίνει:

�

0 - 0 = A2!

2"#$%

2

�

!

�

!"#$2= 0

�

!

�

!2= " /2

οπότε από την (9) προκύπτει Α2=2Α και η (8) να παίρνει την µορφή:

�

x1 - x2 = 2A!µ(" 2t + #/2)

�

!

�

x1- x

2= 2A!"#$

2t (11)

Σχήµα 14

Aπό την σχέση (11) προκύπτει ότι, ένας άλλος δυνατός τρόπος κίνησης του συστήµατος είναι τα δύο σώµατα να εκτελούν αρµονική ταλάντωση γωνι ακής συχνότητας ω2 και κάθε στιγµή να έχουν αντίθετες αποµακρύνσεις (x1=-x2). H ειδική αυτή περίπτωση συµβαίνει όταν τα δύο σώµατα εκτραπούν από τις θέσεις ισορροπίας τους προς αντίθετη κατεύθυνση κατά ίσες αποστά σεις και αφεθούν ελεύθερα. Tότε το µεσαίο ελατήριο εισφέρει στην ταλάντω ση του συστήµατος, διότι τα σφαιρίδια κάθε στιγµή µετατοπίζονται αντίρ ροπα και έτσι το ελατήριο ή θα είναι τεντωµένο ή θα είναι συµπιεσµένο (σχήµα 14). Αυτός ο τρόπος κίνησης του σύστήµατος ονοµάζεται κανο νικός τρόπος ταλάντωσης σε αντίθεση φάσεως. Όµως το σύστηµα µπο

ρεί να εκτελέσει και άλλους τρόπους ταλάντωσης, οι οποίοι περιγράφονται από εξίσωσεις που θα προκύψουν µε γραµµικό συνδυασµό (πρόσθεση και αφαίρεση) των σχέσεων (6) και (8), οι οποίες αποτελούν λύσεις των διαφο ρικών εξισώσεων (1) και έχουν την µορφή:

�

x1 =A1

2!µ ("1t +#1)+

A2

2!µ (" 2t +#2)

x2 =A1

2!µ ("1t +#1)-

A2

2!µ (" 2t +#2)

$

% &

' &

(13)

Eάν τη χρονική στιγµή t=0 το ένα σώµα έχει εκτραπεί από την θέση ισορ ροπίας του κατα 2A και κρατείται ακίνητο, το δε άλλο κρατείται επίσης ακίνητο στην θέση ισορροπίας του, τότε οι σχέσεις (13) και οι εξισώσεις που προκύπτουν από την παραγώγισή τους επιβάλλουν A1/2=A2/2=A και θ1=θ2=π/2. Στην περίπτωση αυτή οι εξισώσεις κίνησης των δύο σφαιριδίων γράφονται:

�

x1 = A!µ ("1t + #/2)+ A!µ (" 2t + #/2)

x2 = A!µ ("1t + #/2)- A!µ (" 2t + #/2)

$ % & !

�

x1 = A(!"#$1t+!"#$2t)

x2 = A(!"#$1t- !"#$2t)

%

&

'

!

Σχήµα 15

�

x1 = 2A!"#($1 -$ 2)t

2!"#

($1 +$ 2)t

2

x2 = -2A%µ($1 -$ 2)t

2%µ

($ 2 +$1)t

2

&

' (

) (

Eάν η σύζευξη των δύο σωµάτων είναι πολύ χαλαρή (k’≈0), τότε θα είναι ω1≈ω2, που σηµαίνει ότι κάθε σώµα εκτελεί περιοδική κίνηση που έχει την µορφή διακροτήµατος. (βλέπε επόµενο εδάφιο). Kατά την εξέλιξη των δύο διακροτηµάτων παρουσιάζεται ένα πολύ γοητευτικό φαινόµενο, που εκδη λώνεται µε ροή ενέργειας από το ένα σώµα προς το άλλο κατά περιοδικό τρόπο, µε περίοδο ίση προς την περίοδο Tδ=4π/(ω2-ω1) των διακροτηµάτων.

Tην στιγµή που θα µηδενισθεί το πλάτος ταλάντωσης του ένός σώµατος όλη η ενέργειά του θα έχει µεταφερθεί στο άλλο σώµα µε αποτέλεσµα το πλάτος ταλάντωσής του να λάβει την µέγιστη τιµή του 2A και στην συνέχεια θα αναστραφεί η ροή ενέργειας ανάµεσα στα δύο σώµατα. Για να κατανοηθει ποσοτικά η ροή ενέργειας από το ένα σώµα προς το άλλο, µπορούµε να ισχυ ριστούµε ότι, λόγω της χαλαρής σύζευξης των δύο σωµάτων η ενέργεια ελαστικής παραµόρφωσης του µεσαίου ελατηρίου είναι ασήµαντη σε σχέση µε τις ενέργειες ταλάντωσης των δύο σωµάτων και ότι, στην διάρκεια κάθε περιόδου T=4π/(ω1+ω2) της “γρήγορής” ταλάντωσης* τα σώµατα συµπεριφέ ρονται µε καλή προσέγγιση ως αρµονικοί ταλαντωτές µε περίπου σταθερό πλάτος 2Aσυν(ω2–ω1)t/2 για το ένα σώµα και 2Aηµ(ω2–ω1)t/2 για το άλλο. Mε βάση τις παραδοχές αυτές η ολική ενέργεια E0 του συστήµατος, θα είναι:

�

E0 = E1 +E2 =m

2

!2+!1

2

!

" #

$

% &

2

2A'µ(!2-!1)t

2

(

) *

+

, -

2

+

�

+m

2

!2+!1

2

!

" #

$

% &

2

2A'()(!2-!1)t

2

*

+ ,

-

. /

2

�

=mA

2(!2+!1)

2

2 (α)

Εξάλλου θα ισχύει και η σχέση:

�

E2- E1=m

2

!2+!1

2

!

" #

$

% &

2

2A'()(!2-!1)t

2

*

+ ,

-

. /

2

-

�

-m

2

!2+!1

2

!

" #

$

% &

2

2A'µ(!2-!1)t

2

(

) *

+

, -

2

!

�

E2- E1 =mA

2

2

!2+!1

2

!

" #

$

% &

2

'()2 (!2-!1)t

2- *µ

2 (!2-!1)t

2

+

, -

.

/ 0

2

!

�

E2- E1 = E0 1 - 2!µ 2 (!2-!1)t

2

"

# $

%

& ' = E0 ()*(!2-!1)t[ ] (β)

Aπό τη λύση του συστήµατος των (α) και (β) προκύπτουν για τις ενέργειες E1 και E2 οι σχέσεις:

�

E1 =E0

21 - !"#(!2-!1)t[ ] και

�

E2 =E0

21+!"#(!2-!1)t[ ] (γ)

Oι σχέσεις (γ) δείχνουν ότι, κατά την εξέλιξη της κίνησης των δύο σωµάτων όταν η ενέργεια του ενός σώµατος αυξάνεται του άλλου ελαττώνεται και επειδή η ολική ενέργεια παραµένει σταθερή συµβαίνει ροή ενέργειας από το ένα σώµα στο άλλο κατά περιοδικό τρόπο, µε περίοδο ίση προς την περίοδο των διακροτηµάτων, που αντιστοιχούν στις κινήσεις των δύο σωµάτων. Στο σχήµα (16) φαίνονται οι γραφικές παραστάσεις των ενεργειών E1 και E2, σε συνάρτηση µε τον χρόνο.

Σχήµα 16 Σύνθεση αρµονικών ταλαντώσεων- Διακρότηµα Θεωρούµε ένα ταλαντωτή, ο οποίος υποβάλλεται ταυτόχρονα σε δύο αρµονι κές ταλαντώσεις πάνω στην ίδια ευθεία περί το ίδιο κέντρο, οι οποίες περιγ ράφονται από τις συναρτήσεις:

�

x1= A

1!µ"

1t ,

�

x2= A

2!µ"

2t

όπου Α1, Α2, ω1, ω2 θετικές και σταθερές ποσότητες. Θα δείξουµε ότι, αν ο λόγος ω1/ω2 των γωνιακών συχνοτήτων των επιµέρους ταλαντώσεων είναι ρητός αριθµός, τότε η κίνηση του ταλαντωτή είναι περιοδική και θα υπολο γίσουµε την περίοδό της. Σύµφωνα µε την αρχή της επαλληλίας των κινή σεων η εξίσωση της συνισταµένης κίνησης του ταλαντωτή θα έχει την µορ φή:

�

x!" = x1+ x

2= A

1#µ$

1t + A

2#µ$

2t (1)

όπου xολ η ολική αποµάκρυνση, θεωρούµενη µε αρχή το κοινό κέντρο των δύο επιµέρους ταλαντώσεων. Ας δεχθούµε ότι ο λόγος ω1/ω2 είναι ρητός αριθµός, οπότε µπορεί να τεθεί υπό την µορφή:

�

!1/!

2= n

1/n

2

όπου n1, n2 ακέραιοι θετικοί αριθµοί. Η φυσική σκέψη για την ύπαρξη περιο δικότητας της συνισταµένης κίνησης είναι να υπάρχει ένα πεπερασµένο χρονικό διάστηµα Τ µέσα στο οποίο κάθε µια από τις συνιστώσες ταλαντώ σεις συµπληρώνει ακέραιο αριθµό κύκλων. Η σκέψη αυτή µας επιβάλλει να δοκιµάσουµε µήπως η ποσότητα 2πn1/ω1 αποτελεί περίοδο για την συνάρ τηση (1), οπότε θα έχουµε:

�

x!" (t + T)= A1#µ [$1(t + 2%n1/$1] + A2#µ [$ 2(t + 2%n1/$1]

�

!

�

x!" (t + T)= A1#µ ($1t + 2%n1) + A2#µ ($ 2t + 2%n1$ 2/$1)

�

!

�

x!" (t + T)= A1#µ ($1t + 2%n1) + A2#µ ($ 2t + 2%n2) (2)

διότι ω2/ω1=n2/n1. Eπειδή τα n1, n2 είναι θετικοί ακέραιοι η σχέση (2) παίρνει την µορφή:

�

x!" (t + T)= A1#µ$1t + A2#µ$ 2t

�

!

�

x!"

(t + T)= x!"

(t) Άρα η ποσότητα 2πn1/ω1 αποτελεί περίοδο για την συνισταµένη κίνηση του ταλαντωτή. Με τον ίδιο τρόπο σκεπτόµενοι βρίσκουµε ότι και η ποσότητα 2πn2/ω2 αποτελεί περίοδο για την συνισταµένη κίνηση και αν απαιτήσουµε οι δύο περίοδοι να είναι ίσες τότε πρέπει να ισχύει:

�

2!n1/"

1= 2!n

2/"

2

�

!

�

!1/!

2= n

1/n

2 (3)

δηλαδή καταλήγουµε στην αναγαία συνθήκη για την ύπαρξη περιοδικότητας της συνισταµένης κίνησης του ταλαντωτή. Για την περίοδο Τ της συνισταµέ νης κίνησης θα πρέπει να ισχύει:

�

T = 2!n1/"

1= 2!n

2/"

2

�

!

�

T = n1T

1= n

2T

2 (4)

όπου Τ1, Τ2 οι περίοδοι των επιµέρους ταλαντώσεων, ενώ οι ακέραιοι n1, n2 πρέπει να είναι οι ελάχιστοι δυνατοί, δηλαδή πρέπει να είναι πρώτοι προς αλλήλους. Στην συνέχεια θα εξετάσουµε την περίπτωση που οι γωνιακές συχνότητες ω1, ω2 διαφέρουν πολύ λίγο µεταξύ τους (ω1

�

!ω2) και τα πλάτη Α1, Α2 είναι ίσα. Στην περίπτωση αυτή η σχέση (1) παίρνει την µορφή:

�

x!" = A#µ$1t + A#µ$ 2t = A(#µ$1t + #µ$2t)

�

!

�

x!" = 2A#$%(!1- !2)t

2&µ

(!1+!2)t

2 (5)

Επειδή το πηλίκο ω1/ω2 αποτελεί περίπου ρητό αριθµό (ω1/ω2

�

!1) µπορούµε να ισχυριστούµε ότι η συνισταµένη κίνηση του ταλαντωτή είναι περιοδική µε περίοδο:

�

Tav! T

1!

2"

!1

�

!

�

Tav !2"

(!1+!2)/2=

4"

!1+!2

(6)

Eξάλλου η σχέση (5) εκφράζει µια ιδιόµορφη ταλάντωση, της οποίας το πλά τος είναι διαµορφωµένο στο ρυθµό που επιβάλλει ο όρος 2Ασυν[(ω1-ω2)/2]t, ο οποίος ονοµάζεται διαµορφωµένο πλάτος και συµβολίζεται µε Α(t), ενώ η ποσότητα |ω1-ω2|/2 ονοµάζεται διαµορφωµένη γωνιακή συχνότητα και συµβολίζεται µε ωmod, δηλαδή ισχύουν οι σχέσεις:

�

A(t) = 2A!"#(!1- !2)t

2 και

�

!mod

=!

1- !

2

2

Η ιδιόµορφη αυτή κίνηση του ταλαντωτή ονοµάζεται διακρότηµα και µπο ρεί να χαρακτηριστεί ως µια “ηµιτονική ταλάντωση” µε διαµορφωµένο πλά τος στον ρυθµό µιας συνηµιτονικής συνάρτησης, χαµηλώτερης συχνότητας ωmod σε σχέση µε την συχνότητα ωav του διακροτήµατος. Αυτό σηµαίνει ότι η υψηλή συχνότητα (ω1+ω2)/2 (γρήγορη κίνηση) “κουβαλάει” µαζί της την

χαµηλή συχνότητα |ω1-ω2|/2 (αργή κίνηση). Για να κατανοηθεί η έννοια του διαµορφωµένου πλάτους επικαλούµαστε την τριγωνοµέτρική σχέση:

�

- 1 ! "µ(!1+!2)t

2! +1

�

!

(5)

�

-1 ! x"#

/2A$%&(!1- !2)t

2! +1

�

!

�

-2A!"#($1 -$ 2)t

2% x

&'% 2A!"#

($1 -$ 2)t

2 (7)

Η σχέση (7) εγγυάται ότι η συνάρτηση:

�

f(t) = ± 2A!"#($1 -$ 2)t

2= ± A(t) (8)

αποτελεί περιβάλλουσα της (5) (σχήµα17). Η περιβάλλουσα αυτή (εστιγµένη

Σχήµα 17

γραµµή του σχήµατος 17) εκφράζει πως διαµορφώνεται χρονικά το πλάτος της συνισταµένης κίνησης του ταλαντωτή, κυµαίνεται δε η διαµόρφωση αυτή µεταξύ των τιµών 0 και 2Α. Πιο προσεχτική παρατήρηση του σχήµατος (17) µας πείθει ότι το διακρότηµα αποτελεί κάθε στιγµή µε καλή προσέγγιση µια “ηµιτονοειδή “ταλάντωση” µε πλάτος την απόλυτη τιµή της Α(t) την στιγµή αυτή. Η χρονική απόσταση ανάµεσα σε δύο διαδοχικούς µηδενισµούς του διαµορφωµένου πλάτους αποτελεί την περίοδο Τδ του διακροτήµατος είναι δε ίση µε το µισό της περιόδου της συνάρτησης Α(t,) δηλαδή ισχύει η σχέση:

�

T!=

2"

2!mod

=2"

|!1-!

2| (9)

Το αντίστροφο της Tδ αποτελεί την συχνότητα fδ του διακροτήµατος, που θα είναι:

�

f!=

1

T!

�

!

(9)

�

f!=

|!1-!

2|

2"= |f

1- f

2| (10)

όπου f1, f2 οι συχνότητες των επί µέρους ταλαντώσεων του διακροτήµατος. Ας αναζητήσουµε τα ακρότατα (µέγιστα ή ελάχιστα) της συνάρτησης xολ(t). Αυτά θα προκύψουν από τον µηδενισµό της πρώτης παραγώγου της συνάρ τησης ,δηλαδή από την σχέση:

�

dx!"

(t)

dt= 0

�

!

�

Ad

dt(!µ"1t + !µ"2t) = 0

�

!

�

!1"#$!

1t +!

2"#$!

2t = 0

�

!

�

!"#$1t = -($ 2 /$1)!"#$2t

�

!

�

!"#$1t % -!"#$

2t

�

!

�

!1t = (" -! 2t) + 2k"

�

!

�

(!1 +! 2)t

2="

2+ k" (11)

όπου k θετικός ακέραιος ή µηδέν. Εξάλλου οι χρονικές στιγµές που αντι στοιχούν στα κοινά σηµεία της περιβάλλουσας f(t) και της xολ(t) θα προκύ ψουν ως λύσεις της εξίσωσης:

�

f(t) = x!"

�

!

�

± 2A!"#($1-$ 2)t

2= 2A!"#

($1-$ 2)t

2%µ

($1+$ 2)t

2

�

!

�

!µ("1+" 2)t

2= ± 1

�

!

�

!µ("1+" 2)t

2= !µ ±

#2

$

% &

'

( )

�

!

�

(!1+! 2)t

2= 2"# ±

#

2 ή

�

(!1+! 2)t

2= (2" +1)# ±

#

2 (12)

όπου λ θετικός ακέραιος. Εύκολα µπορεί να διαπιστωθεί ότι οι χρονικές στιγµές που προκύπτουν από την (11) συµπίπτουν µε εκείνες που προκύπ τουν από τις σχέσεις (12). Αυτό σηµαίνει ότι τα τοπικά ακρότατα της xολ βρίσκονται πάνω στην περιβάλλουσά της.

P.M. fysikos