01 Reglas de Probabilidad

INEGAS

MODULO GESTIN DE ACTIVOS FSICOS,

INSPECCIONES Y REEMPLAZO DE EQUIPOS

Unidad 01

Introduccin a la

Probabilidad

INEGAS

Reglas de la Probabilidad

1. Asignacin de la Probabilidad

2. Tipos de Eventos

3. Multiplicacin de Probabilidades

4. Adicin deProbabilidades

Asignacin de la Probabilidad La Probabilidad est asignada por dos mtodos:

Determinacin fsica Apropiada

Geometra, Forma Fsica

Determinacin por el resultado experimental

Nmero de Ocurrencias / Nmero de Intentos

La Probabilidad es un nmero: ( 0 1) (Notar la Sutil diferencia entre Probability y Likelihood)

La probabilidad de un evento est determinado por 2 mtodos. La probabilidad puede ser

asignada basada en las propiedades fsicas (ej. La geometra y la forma fsica de un dado

determinar la probabilidad de una cara hacia arriba en particular luego de que este ruede).

Otra forma de que esa probabilidad sea determinada es analizando los resultados de

intentos experimentales. Cuando se usan los resultados experimentales, la probabilidad de

un evento est determinada dividiendo el nmero de veces que el evento de inters ocurre

por el nmero total de intentos.

La probabilidad es un nmero real que siempre cae entre 0 y 1.

La Probabilidad = 0 no significa que el evento no pueda ocurrir, solo que no es esperado.

Reglas de Probabilidad Diagramas de Venn

Un rectngulo donde el espacio

del evento completo es mostrado

Frecuentemente, se usan diagramas de Venn para expresar la probabilidad en una manera

grfica. Se usa un rectngulo para mostrar todas las posibles salidas, las cuales tienen una

probabilidad de uno. El rea dentro del rectngulo es usada para representar una salida

posible, un evento. El tamao del rea es proporcional a la probabilidad.

E Las reas son ubicadas de acuerdo a la

probabilidad del evento

Rectngulo donde las reas son

ubicadas acorde a la probabilidad

del resultado

En este ejemplo del diagrama de Venn, se muestran dos posibles resultados. Estn

marcados con H y T. Cada uno ocupa la mitad del total del rea, por lo que es claro que

una probabilidad de 0.5 ha sido asignada a cada una. Qu experimento representa?

Lanzamiento de una moneda

H

Proceso? T


Los diagramas de Venn pueden mostrar efectivamente las probabilidades estimadas. En

este ejemplo rpidamente se puede ver que la probabilidad de la falla del software es

groseramente la mitad del total de fallas.

Falla de Software

Falla de Hardware

Falla Operacional


Existen 20 objetos en un contenedor. Si son contados, 16 son dorados por su color.

Basados en la observacin experimental, podemos asignar una probabilidad de 0.8 de que

si seleccionamos al azar un objeto, este ser dorado. Esto se puede ver en el diagrama de

Venn. Contando de otra manera, se determina que 15 de los objetos son bolillas. Basados

en esta informacin, podemos asignar una probabilidad de 0.75 que si seleccionamos al

azar, el objeto ser una bolilla.

Cubos = 5

Bolillas = 15

Dorados = 16

Rojos = 4

P (Dorados) = 0.8

P (Bolillas) = 0.75


Tipos de Eventos

Los resultados experimentales o eventos tienen propiedades. Cuando un resultado no

afecta al otro, estos efectos son llamados independientes. Se asume frecuentemente que

las fallas en un diseo de SIS son independientes.

Cuando una situacin existe donde solo hay dos posibles resultados, los eventos son

llamados complementarios cuando uno solo puede ocurrir. En Ingeniera de la

Confiabilidad, los sucesos y las fallas son complementarios.

Cuando existe una situacin donde ms de 2 resultados pueden ocurrir, el evento es

llamado mutuamente exclusivos. Los modos de fallas son considerados mutuamente

exclusivos.

Eventos Independientes Eventos que no se afectan

entre ellos.

Lanzamiento de Monedas

Tiro de dados

Complementarios - Cuando un resultado no ocurre,

el otro siempre ocurrir

Mutuamente Exclusivos Cuando un evento

ocurre, los otros no pueden ocurrir.

EVENTOS:

Puede un evento independiente ser mutuamente exclusivo?... Veamos las definiciones

En un evento exclusivo, un resultado asegura que los oros no pueden ocurrir. En un

evento independiente, un resultado no tiene efecto alguno sobre los otros. Un evento no

puede ser al mismo tiempo independiente y mutuamente exclusivo.


entre ellos.

Lanzamiento de Monedas

Tiro de dados

Complementarios - Cuando un resultado no ocurre,

el otro siempre ocurrir

Mutuamente Exclusivos Cuando un evento

ocurre, los otros no pueden ocurrir.

Tipos de Eventos

Eventos Independientes

Como se estableci, los eventos independientes no tienen efectos entre ellos. Un clsico

ejemplo es el tiro de una moneda. Si este cae de cara, cmo podra afectar a la segunda

moneda? Realsticamente eso no ocurre. Otro ejemplo es el tiro de dados. Cada dado

provee un resultado independiente de los otros.

Qu ocurre con las fallas de los componentes? Frecuentemente consideramos que las

fallas son independientes. Si un componente falla debido a tensin, normalmente ningn

otro debera fallar. Por ello es razonable asumir que los componentes fallan

independientemente. Por supuesto, es posible que una falla ocasiones una tensin en otro

componente y la hiptesis de independencia requiera de cuidado.


entre ellos.

Lanzamiento de dos monedas

Tiro de un par de dados

Falla de un componente en el sistema?

Normalmente considerado independiente!

Eventos Complementarios

Eventos complementarios ocurren cuando dos posibles resultados son mutuamente

exclusivos. Si un evento ocurre, el otro no ocurrir. El resultado del lanzamiento de un

dado es complementario. El suceso y la falla son complementarios. Si un sistema est

operando satisfactoriamente, entonces no ha ocurrido una falla.

Con eventos complementarios, la probabilidad de un evento es igual a uno menos la

probabilidad del otro evento. Si la probabilidad de operacin satisfactoria para el

siguiente ao es de 0.8, cul es la probabilidad de falla?

Es de 0.2

Eventos Complementarios Cuando un evento no

ocurre, el otro ocurrir.

Lanzamiento de Una moneda

Dos eventos posibles cara o cruz

Suceso / falla?

Probabilidad de Eventos Complementarios

P(A*) = 1 P(A)

La probabilidad de una operacin satisfactoria

para el prximo ao es de 0.8. Cul es la

probabilidad de falla para el siguiente ao?

Eventos Mutuamente Exclusivos

Cuando ms de dos resultados son posibles y solo uno ocurrir, ellos son mutuamente

exclusivos. Si un dado es tirado, el resultado es mutuamente exclusivo. Si un para de

dados son lanzados, el resultado es tambin mutuamente exclusivo. Si el resultado es 7,

entonces no ser 11.

Son los resultados mutuamente exclusivos, complementarios? ----- No

Son los resultados complementarios mutuamente exclusivos? ------ Si


Cuando un evento ocurre, los otros no pueden

ocurrir.

Lanzamiento de Un dado

Resultados( 1, 2, 3, 4, 5, 6) sonmutuamente

exclusivos

Complementarios?

Eventos Complementarios son Mutuamente

exclusivos?

Reglas de la Probabilidad

Considere un diagrama de Venn para los resultados del tirado de dados. El resultado

puede ser un 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 o 12. Las probabilidades estn indicadas en el

rea asignada a cada resultado.

Cul es la probabilidad que del rodado resulte un 4? ----- 3/36

Cul es la probabilidad que del rodado resulte un 6? ----- 5/36

Cul es la probabilidad que del rodado resulte un 10? ---- 3/36

Son estos resultados mutuamente exclusivos? ------------- SI

Rodado de un par de dados Diagrama de Venn

Cul es la probabilidad que del rodado resulte un 4?



Probabilidades asignadas basadas en

Las propiedades fsicas de un dado

Multiplicacin de Probabilidades

Cuando hay una relacin lgica entre eventos, las probabilidades de la combinacin de

eventos pueden ser calculadas. Para dos eventos independientes, la probabilidad de

obtener el evento A Y el evento B es igual a la probabilidad de A veces la probabilidad de

B. Esto est representado en el diagrama de Venn como la interseccin entre el Area A y

el Area B.

P (A y B) = P(A) * P(B)

El sistema es satisfactorio si ambos elementos estn satisfactorios. Si la probabilidad de

suceso de la operacin para el siguiente ao es de 0.9 para el limit switch y de 0.98 para

la vlvula solenoide, cul es la probabilidad de operacin satisfactoria para el sistema?

Para eventos independientes

P (A y B) = P (A) * P (B)

El siguiente ao, la probabilidad de una operacin

satisfactoria para un limit switch es de 0.9 y la

probabilidad de operacin satisfactoria para una vlvula

solenoide es de 0.98. Cul es la probabilidad de suceso del

sistema consistente en ambos elementos?


P (A y B) = P (A) * P (B)

La probabilidad de suceso requiere que del suceso del

limit switch Y del suceso de la vlvula solenoide, entonces

usando la multiplicacin:

Psistema = 0.9 * 0.98 = 0.882


Adicin de Probabilidades

Cuando la relacin lgica entre dos eventos est representado por una funcin O, la

combinacin de dos eventos mutuamente exclusivos puede ser calculada por adicin. Si

por ejemplo hay dos resultados, A y B, que son mutuamente exclusivos, entonces la

probabilidad de que ocurra A o B es PA ms PB. Los eventos mutuamente exclusivos no se

solapan en un diagrama de Venn.

P (A o B) = P(A) + P(B)


Estos dos resultados son mutuamente exclusivos, por lo que las probabilidades pueden ser

aadidas

P (A o B) = P(A) + P(B)


Si un dado es rodado, cul es la probabilidad de

obtener un 4 o un 6?

Es la probabilidad de rodar un 4 o rodar un 6. La

probabilidad de rodar un 4 es 1/6, la probabilidad

de rodar un 6 es 1/6, entonces la probabilidad de

rodar un 4 o 6 es 1/6 + 1/6 2/6


Si un par de dados son lanzados, cul es la probabilidad de obtener un 7 o un 9? Dado que

son resultados mutuamente exclusivos, las probabilidades individuales deben ser

aadidas.

P (7 o 9) = 6/36 + 4/36 = 10/36

Par de dados rodando

Mutuamente exclusivos Cul es la probabilidad de

rodar un 7 o un 9?

P (A o B) = P(A) + P(B)



Cuando los eventos no son mutuamente exclusivos, la situacin es algo ms complicada,

Considerando el diagrama de Venn del Evento A y del Evento B, tal que A y B no son

mutuamente exclusivos. La probabilidad total de cada evento est representada por el

rea en cada crculo. La probabilidad de que cualquier evento ocurra estara representada

por el rea de ambos crculos. Como no son eventos mutuamente exclusivos hay un

solape entre ambos crculos. Esta situacin representa que ambos eventos ocurran

simultneamente ( A y B).

P (A o B) = P(A) + P(B) P(A y B)



Si la probabilidad de A O B se calcula por simple adicin, entonces la seccin solapada

sera contada dos veces!. Para corregir ese error tenemos que sustraer una vez el rea del

solape. El rea del solape est calculada usando la multiplicacin de probabilidades. La

ecuacin final que es usada para adici de probabilidades de eventos no mutuamente

exclusivos es:

P(A o B) = P(A) + P(B) P(A y B) = P(A) + P(B) P(A)*P(B)

P (A o B) = P(A) + P(B) P(A y B)



P (A o B) = P(A) + P(B) P(A y B)


Un saco contiene 100

objetos, todos ellos son

bolillas o cubos. Todos ellos

son dorados o rojos. El 75%

de los objetos son bolillas, y

el 80% son dorados. Si se

elije al azar un objeto, cul

es la probabilidad que ya sea

bolilla dorada?


P (A o B) = P(A) + P(B) P(A y B)


Un saco contiene 100 objetos, todos ellos son

bolillas o cubos. Todos ellos son dorados o rojos.

El 75% de los objetos son bolillas, y el 80% son

dorados. Si se elije al azar un objeto, cul es la

probabilidad que ya sea bolilla dorada?

Los eventos bolilla y dorada no son mutuamente exclusivos porque es

posible sacar un objeto que resulte ambos, una bolilla color dorada.

Entonces, se usa la adicin de una probabilidad de la forma no

mutuamente exclusiva:

P (B y D) = 0.75 +0.8 (0.75*0.8) = 0.95



La probabilidad de obtener un

objeto dorado o un objeto rojo

puede tambin ser calculado

usando la regla de los eventos

complementarios. La nica

forma que NO se obtenga el

resultado deseado es el de tener

un cubo rojo. Esa probabilidad es

igual a:

0.2*0.25 = 0.05

Entonces: 1 -0.05 = 0.95

Otra vista del problema es muy usado. Cul es la probabilidad de no obtener un

objeto que sea ni dorado ni bolilla. Esto ocurre si el objeto es un cubo rojo. Esa

probabilidad es de 0.05. Usando la regla de los eventos complementarios, la

probabilidad de obtener un objeto que sea bolilla o dorada es 0.95.



La probabilidad de obtener un

objeto dorado o un objeto rojo

puede tambin ser calculado

usando la regla de los eventos

complementarios. La nica

forma que NO se obtenga el

resultado deseado es el de tener

un cubo rojo. Esa probabilidad es

igual a:

0.2*0.25 = 0.05

Entonces: 1 -0.05 = 0.95

Un cubo rojo:

La probabilidad de tener un objeto rojo es igual a 1 menos la probabilidad de

obtener un objeto dorado (eventos complementarios). Eso es igual 1-0.8 = 0.2

La probabilidad de tener un objeto cubo es igual a 1 menos la probabilidad de

obtener un objeto bolilla (eventos complementarios). Eso es igual 1-0.75 = 0.25

La probabilidad de tener un objeto que sea cubo rojo es igual: 0.2*0.25 = 0.05.

Un cinco por ciento de oportunidades de obtener un cubo rojo.


Qu ocurre con tres eventos?

Tres Eventos Independientes

P (A o B o C) = P (A) + P (B) + P (C) P (A*B) P( A*C) P( B*C) + P (A*B*C)

La situacin se torna ms complicada. Las probabilidades de cada evento se

aaden, las probabilidades de cada combinacin de dos eventos al mismo tiempo

se sustraen. Finalmente la probabilidad de los tres eventos se aade. Qu es esto?





El objetivo es representar el rea representada por los eventos A o B o C. Primero

aadiremos las probabilidades del evento A ms el evento B. Hay mucha rea. El

rea A y B tiene que ser sustrada





Cuando el rea A y B ha sido sustrada, el rea extra se fue.





Si se aade el rea C, se incluye nuevamente mucha rea. Esta tiene que ser

quitada





Quitando el rea A Y C, es una solucin parcial, pero permanece mucha rea.





Cuando el rea BYC se quita, el resultado es muy pequeo..





Cuando el rea AYBYC es aadido, el resultado es el correcto.


Solucin General:


P (A o B o N) =

1- (1-PA)*(1- PB) *.* (1 - PN)

Una forma general de la ecuacin usando los eventos complementarios puede ser

usada


Ejemplo: Se lanza un par

de dados, cul es la

probabilidad de obtener

un 2 en uno o ambos

dados?


Viendo el diagrama de Venn de las posibilidades de los posibles resultados, se

puede ver que cualquier resultado donde un dos est presente es aceptado.

P (A o B) = P(A) + P(B) P(A y B)


Probabilidad de obtener

un dos en el primer dado?

1/6


El resultado se muestra en el diagrama de Venn

P (A o B) = P(A) + P(B) P(A y B)


Probabilidad de obtener un

dos en el segundo dado?

1/6


El resultado se muestra como una columna en el diagrama de Venn

P (A o B) = P(A) + P(B) P(A y B)


Probabilidad de obtener un

dos en el primer o en el

segundo dado?

1/6


Uno podra asumir que la probabilidad es que cualquiera sea 2, por tanto 1/6+1/6

o sea 2/6. Pero no es adecuado, dado que el resultado donde un dos aparece es

contado dos veces. Para ser acertados hay que sustraer esa posibilidad. El

resultado final es 11/36 como se ve en el diagrama de Venn

P (A o B) = P(A) + P(B) P(A y B)

P (A o B) = 1/6 + 1/6 1/36


Reglas de Probabilidades Ejercicios

Hacer en un ahoja de papel

Lanzando un par de dados, cul es la probabilidad de

obtener un cuatro en ambos dados?


obtener el mismo nmero en ambos dados?

Asumiendo que la probabilidad de nacimientos es de

P(nio)=0.5 y P(nia)=0.5. Una familia tiene dos nias,

cul es la probabilidad de que el tercer hijo que nazca sea

una nia?

Ejercicios

La probabilidad de obtener un cuatro en cada dado es 1/6, la probabilidad de

obtener un cuatro en uno Y en el otro es igual a 1/6 * 1/6 = 1/36


obtener un cuatro en ambos dados?

Reglas de Probabilidades

Ejercicios

La probabilidad de tener un nmero especfico en ambos dados es 1/36. Hay seis

formas de obtener el mismo nmero, los cuales son Mutuamente Exclusivas. Por

tanto, la probabilidad de obtener el mismo nmero en ambos dados es:

1/36 + 1/36 + 1/36 + 1/36 + 1/36 + 1/36 = 1/6


obtener el mismo nmero en ambos dados?


Ejercicios

La respuesta es 0.5. Mientras uno pueda argumentar con la suposicin que las

probabilidades de nacimientos son eventos independientes, que es generalmente

asumido. Entones los eventos previos no afectan a futuros eventos.

Asumiendo que la probabilidad de nacimientos es de

P(nio)=0.5 y P(nia)=0.5. Una familia tiene dos nias,

cul es la probabilidad de que el tercer hijo que nazca sea

una nia?


Ejercicios

Pensando en una variacin del viejo problema de la ruleta rusa, la probabilidad

de un incidente en el primer ao puede estar asignado basado en la construccin

fsica. El valor asignado es 1/6

Usted carga una bala en un cargador de una pistola de seis

disparos. Una vez al ao hace girar el cargador y dispara

hacia su tanque de almacenamiento qumico. Si el arma se

dispara, el tanque explotar causando un incidente (dao

al equipo y un problema ambiental). Cul es la

probabilidad de un incidente el primer ao?

Cul es la probabilidad de un incidente en un intervalo de

tres aos?

Cul es la probabilidad de un incidente en diez aos?


Ejercicios

Cul es la probabilidad en un intervalo de tres aos? Una respuesta natural sera

3/6 es eso correcto?

Qu se puede pensar en un intervalo de 10 aos? La respuesta natural sera 10/6.

Pero eso no es una probabilidad vlida dado que es mayor que 1!!! La respuesta

de 10/6 no puede ser correcta.








tres aos?



Ejercicios

Cul es la probabilidad en un intervalo de tres aos? Un enfoque es el calcular la

probabilidad de no tener un incidente en un ao. Esto es un evento

complementario que es igual a 5/6. No ocurrir un incidente en tres aos solo si

no hay incidentes en el ao 1 Y en el ao 2 Y en el ao 3. Esa probabilidad es:

5/6*5/6*5/6 = 0.5787

La probabilidad de un incidente es por lo tanto:

1- 0.5787 = 0.4213








tres aos?



Ejercicios

Siguiendo un enfoque similar para un periodo de 10 aos, la probabilidad es igual:

1 (5/6)10 = 0.8385

Ese nmero est mucho mejor que 10/6 !!!








tres aos?



Se discutieron en esta leccin las reglas de la probabilidad y como ellas

son usadas para calcular las probabilidades de eventos individuales y

combinacin de eventos.

Las probabilidades son asignadas a eventos individuales ya sea

examinando las caractersticas fsicas de la situacin o examinando los

datos de ocurrencias histricas.

La matemtica probabilstica depende del tipo de evento que est en

estudio. Eventos independientes son aquellos que n dependen en el

resultado de otros eventos. Eventos mutuamente exclusivos ocurren

cuando solo un resultado de un grupo de posibilidades puede ocurrir a un

solo tiempo cualquiera. Eventos complementarios son un caso especial de

eventos mutuamente exclusivos donde solo dos resultados son posibles.

El clculo de los resultados de una combinacin de eventos es desarrollado

basados en el tipo de eventos y como ellos estn lgicamente relacionados.

Cuando los eventos tienen una lgica Y, la probabilidad de la salida es

calculada por una multiplicacin de probabilidades. Cuando los eventos

tienen una lgica O, la probabilidad del resultado es calculado usando una

adicin de probabilidades.

Resumen

Sumario

Reglas de Probabilidad

1. Asignacin de La Probabilidad

2. Tipos de Eventos

3. Multiplicacin de Probabilidades

4. Adicin deProbabilidades

Documents

01 Reglas de Probabilidad