01 Introducción a la Probabilidad

Control Estadístico de procesos

Ing. Julio Carreto

Control Estadístico de

Procesos

Introducción a la Probabilidad

Ing. Julio Carreto 3


22 R Cada vez que realizamos un cálculo matemático para resolver un problema, lo que estamos haciendo es aplicar un modelo matemático a un fenómeno de la realidad.



Este fenómeno puede ser, por ejemplo, la caída de un objeto desde cierta altura, y en este caso utilizamos un modelo que es la Ley de Gravedad.



¿Qué es un modelo?.



Al enfrentar un problema de física, química, ingeniería o de algún otro tipo, estamos analizando e investigando una parte o aspecto de la realidad material que nos rodea.



Para resolver el problema, necesitamos modelar esa realidad, es decir, construir una representación en la mente de cómo ocurren los hechos, junto con ecuaciones matemáticas que permitan calcular los efectos de los mismos.



El modelo de fuerza gravitatoria o leyes de la gravedad permite estudiar la caída de un cuerpo en el vacío.



Cuando aplicamos este modelo a la caída real de un cuerpo, estamos dejando de lado la influencia del aire, cuyo rozamiento en el cuerpo disminuye su velocidad, pero lo hacemos a sabiendas que este rozamiento es muy pequeño y por lo tanto no va a afectar demasiado nuestros cálculos.



En ningún caso se debe confundir modelo con realidad. Un modelo es sólo una representación de la realidad, utilizado para estudiar y analizar dicha realidad.



Los modelos matemáticos que mencionamos hasta ahora, después de efectuar los cálculos nos dan un resultado numérico preciso, por ejemplo, que la velocidad de un automóvil es de 75,5 Km/Hora.



También podemos calcular la corriente eléctrica que circula por un cable con la Ley de Ohm y obtenemos, por ejemplo, un resultado como 5,7 Amperes:

ARV

I 7.5



Este tipo de modelos matemáticos se denominan Determinísticos.



Hay fenómenos que necesitan otro tipo de modelos matemáticos, que se denominan no determinísticos, probabilísticos o estocásticos.



Por ejemplo, supongamos que un agricultor necesita saber cuanta lluvia va a caer en los próximos meses, antes de decidir si le conviene sembrar o no esta temporada.



El agricultor se informó en la oficina de meteorología acerca de la presión barométrica, la temperatura, velocidad del viento y otros datos meteorológicos de la zona en que vive.



Sin embargo, no hay una ecuación que con todos esos datos le permita calcular los milímetros de lluvia que van a caer en un mes en forma precisa.



De la misma manera, ningún operador puede calcular cuanto va a subir la Bolsa, ni siquiera si va a subir o bajar, aún cuando tenga a su alcance todas las variables económicas disponibles para el país.



Este tipo de fenómenos No admiten un modelo determinístico, sino un modelo probabilístico, que como resultado nos dice la probabilidad de que llueva una cierta cantidad, o la probabilidad de que la Bolsa suba un cierto porcentaje.



El resultado no es un valor determinado, sino la probabilidad de un valor.



Veamos algunos ejemplos de fenómenos o experimentos para los cuales es apropiado o conveniente utilizar un modelo probabilístico:



Experimento 1: Se lanza un dado y se anota el número

que aparece en la cara superior.



Experimento 2: Se arroja una moneda cuatro veces y se

cuenta el número total de caras obtenidas.



Experimento 3: Se arroja una moneda cuatro veces y

se anota la sucesión de caras y cecas obtenidas.



Experimento 4: Se fabrican artículos en una línea de

producción y se cuenta el número de artículos defectuosos producidos en 24 horas.



En todos estos casos, el resultado del experimento no se puede predecir con absoluta certeza. Hay varios resultados posibles cada vez que se realiza la experiencia.



Para cada experimento del tipo que estamos considerando, se define el Espacio Muestral como el conjunto de todos los resultados posibles que pueden producirse al realizar el experimento.



Experimento 1: Se lanza un dado y se anota el número

que aparece en la cara superior.

1

4

3

2

5

6 6,5,4,3,2,1S

Espacio Muestral S



1

43

2

0 4,3,2,1,0S

Espacio Muestral S

Experimento 2: Se arroja una moneda cuatro veces y se

cuenta el número total de caras obtenidas.



xxxx

xcxxcxxxxxcxxxxcccxx

cxcxcxxcxccxxcxcxxcc

cccxccxccxccxccccccc

S,,,,,

,,,,,

,,,,,

Experimento 3: Se arroja una moneda cuatro veces y se anota

la sucesión de caras (C) y cecas (X) obtenidas.



NS ,...,3,2,1,0

Experimento 4: Se fabrican artículos en una línea de

producción y se cuenta el número de artículos defectuosos producidos en 24 horas.

donde N es el número máximo que pudo ser producido en 24 horas.



Un Suceso, respecto a un espacio muestral S asociado con determinado experimento, es un subconjunto de resultados del espacio muestral.



1

4

3

2

5

6

Espacio Muestral S

Suceso



Entonces, el subconjunto formado por un solo elemento del espacio muestral es un suceso.



1

4

3

2

5

6

Espacio Muestral S

Suceso Elemental



El conjunto formado por todos los elementos del espacio muestral también es un suceso.



1

4

3

2

5

6

Espacio Muestral S

Suceso



Y también lo es el conjunto vacío.



Hemos visto que dado un experimento cualquiera, hay un espacio muestral asociado cuyos elementos son todos los resultados que se pueden obtener de la experiencia.

Un subgrupo o subconjunto de resultados es un suceso.



Ahora ¿Cómo podemos saber si la posibilidad de que ocurra un suceso es grande o pequeña?

Por ejemplo, si arrojamos un dado, ¿Cómo podemos calcular la probabilidad de que salga un 2 ?.



Para esto necesitamos un número asociado con cada suceso, al cual se lo denomina probabilidad del suceso.



Entonces, la probabilidad P de un suceso es un número entre 0 y 1, que nos dice en que medida es posible que ocurra el suceso.



Si la probabilidad es 1 significa que el suceso ocurrirá con toda certeza.

Si la probabilidad es 0,5 significa que un suceso puede ocurrir o puede no ocurrir con la misma probabilidad.

Probabilidad 0 quiere decir que el suceso es imposible que ocurra.



¿Cómo podemos calcular la Probabilidad de un suceso?



La respuesta a esta pregunta no siempre es sencilla y depende del experimento y de su espacio muestral asociado.

Hay casos simples en los que el cálculo es relativamente sencillo.



En primer término, supondremos que se trata de un experimento cuyo espacio muestral es finito y tiene un número pequeño de resultados posibles.

En segundo término, supondremos que todos los resultados que integran el espacio muestral (sucesos elementales) tienen la misma probabilidad de ocurrir.



Con estas dos hipótesis, la fórmula para calcular la probabilidad es muy sencilla.



Supongamos que se trata de un experimento cualquiera cuyo espacio muestral S tiene N elementos (N resultados posibles).

Deseamos calcular la probabilidad de un suceso H (Un subconjunto H del espacio muestral S) que tiene m elementos.



De acuerdo a lo dicho previamente, el número N tiene que ser pequeño y la probabilidad de cada suceso elemental tiene que ser la misma.



Espacio Muestral S

Suceso H

N elementos

m elementos



Entonces la probabilidad P de que ocurra el suceso H es:

Nm

P



Veamos algunos ejemplos. Supongamos que se arroja un dado sobre una mesa y apostamos a que salga un número igual o menor que 4.



Sabemos que son igualmente posibles los números: {1, 2, 3, 4, 5 y 6} (Espacio muestral con 6 elementos).



Pero los números favorables a nuestra apuesta son: {1, 2, 3 y 4} (Suceso con 4 elementos). Entonces, la probabilidad de que ganemos es:

...666,064 P



1

4

3

2

5

6

Espacio Muestral S

Suceso

...666,064 P



Es decir que tenemos a nuestro favor una probabilidad de 0,666.. (o sea aproximadamente del 67 %).



Si apostamos a un sólo número, por ejemplo a que sale un as, la probabilidad de ganar sería:

...1666,061 P



1

4

3

2

5

6

Espacio Muestral S

Suceso

...1666,061 P



Repitiendo, la probabilidad es un número entre 0 y 1, que nos dice en que medida es posible que ocurra un suceso.


Fin de la

sección

Documents

01 Introducción a la Probabilidad