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8/17/2019 01 - Sinais e Sistemas (DIEGO VIOT)
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1 –
Sinais e SistemasProf. Diego Viot
DEPARTAMENTO DE E NGENHARIA DE TELEINFORMÁTICA
SINAIS E SISTEMAS 2016.1
8/17/2019 01 - Sinais e Sistemas (DIEGO VIOT)
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• É uma disciplina sobre sistemas e sinais, comotantas outras.
• Pensaremos em sistemas como uma coisa comentrada e saída.
• A abordagem de sinais e sistemas é amplamenteusada: elétrica, mecânica, ótica, acústica, biológica,financeira...
Sinais e Sistemas
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• Sistema massa-mola
• Escolher uma entrada e uma saída!
Sinais e Sistemas- Exemplos
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Sinais e Sistemas- Exemplos
• Sistema massa-mola
• Escolher uma entrada e uma saída!
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Sinais e Sistemas- Exemplos
• Sistema de tanques
• Abstração permite suprimir alguns aspectos para daratenção a outros
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Sinais e Sistemas- Exemplos
• Sistema de tanques
• Abstração permite suprimir alguns aspectos para daratenção a outros
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Sinais e Sistemas- Exemplos
• Sistema celular
• Aumenta-se a abstração em sistemas mais complexos epode-se combinar sistemas componentes
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Sinais e Sistemas- Exemplos
• Sistema celular
• Aumenta-se a abstração em sistemas mais complexos epode-se combinar sistemas componentes
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Sinais e Sistemas- Exemplos
• A abstração de Sinais e Sistemas permite representarum sistema apenas pela forma como ele transformauma entrada numa saída.
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Sinais
• Sinais são funções matemáticas• Variável independente: tempo
• Variável dependente: tensão, velocidade...
• posição (metros)
• fluxo (m³/s)
• pressão sonora (Pa)
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Sinais e Sistemas- Exemplos
• Dado o sinal f(t)
• Ouça os 4 sinais alterados: f 1(t), f 2(t), f 3(t) e f 4(t)• Quantas relações estão corretas?
• f 1
(t) = f( 2t)
• f 2(t) = - f(t)
• f 3(t) = f( 2t)
• f 4(t) = 0,3 f(t)
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Sinais e Sistemas- Exemplos
• Dado o sinal f(t)
• Ouça os 4 sinais alterados: f 1(t), f 2(t), f 3(t) e f 4(t)• Quantas relações estão corretas?
• f 1
(t) = f( 2t)
• f 2(t) = - f(t)
• f 3(t) = f( 2t)
• f 4(t) = 0,3 f(t)
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Sinais e Sistemas- Exemplos
• Dada a imagem f(x ,y)
• Quantas imagens estão de acordo com as expressõesabaixo delas?
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Sinais e Sistemas- Exemplos
• Dada a imagem f(x ,y)
• Quantas imagens estão de acordo com as expressõesabaixo delas?
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h d Si l
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Tamanho do Sinal- Potência do Sinal
• Sinais de energia infinita• A amplitude do sinal () não→ 0 quando || → ∞• A integral da energia não converge
• Para esse tipo de sinal, usa-se a energia média, se ela
existir
• Potência do sinal
• Para existir essa medida, o sinal deve ser periódico
• Potência é valor quadrático médio, então sua raiz é o
valor rms
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Tamanho do Sinal
• Determine as medidas adequadas dos sinais abaixo
• 1.
• 2.
• 3.
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Tamanho do Sinal
• 4.
• 5.
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Classificação de Sinais
• Sinais contínuos e discretos no tempo
• Sinais analógicos e digitais
• Sinais periódicos e não periódicos
• Sinais determinísticos e aleatórios
• Sinais de energia e de potência
Cl ifi ã d Si i
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Classificação de Sinais- Contínuos x Discretos e Analógicos x Digitais
Cl ifi ã d Si i
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Classificação de Sinais- Periódicos x Não Periódicos
• Sinais periódicos são aqueles que satisfazem
para todo •
Período fundamental é o menor valor que satisfaz acondição de periodicidade• Se é periódico o sinal é também infinito
Cl ifi ã d Si i
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Classificação de Sinais- Sinais de Determinísticos e Aleatórios
• Sinais determinísticos• Representados por funções analíticas
• Pode-se determinar precisamente o valor em um dadoinstante de tempo
• Ex.:
cos()onde
e
são constantes
Cl ifi ã d Si i
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Classificação de Sinais- Sinais de Determinísticos e Aleatórios
• Sinais aleatórios• Sinais sobre os quais há incerteza antes de sua ocorrência
• Não se pode determinar precisamente o valor em um dadoinstante de tempo
• Só podem ser representados por suas características
estocásticas (média, variância, autocorrelação, etc)• Ex.: cos() onde é uma variável aleatória• Ex.: Sinal de voz
Cl ifi ã d Si i
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Classificação de Sinais- Sinais de Energia e de Potência
• Sinal com energia não nula finita: Sinal de energia
0 < < ∞• Sinal com potência não nula finita: Sinal de potência
0 < < ∞• Regra geral• Sinais periódicos e aleatórios são sinais de potência
• Sinais aperiódicos e determinísticos são sinais de energia
Ú
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Operações Úteis com Sinais
• Deslocamento temporal
• Escalamento temporal
• Reversão temporal
O õ Út i Si i
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Operações Úteis com Sinais- Deslocamento Temporal
• O que acontecer em
()acontecerá em
()T
segundos depois:
• Para deslocar () por T ,usa-se ( )
• T positivo, deslocamento
para a direita = atraso• T negativo, deslocamento
para a esquerda = avanço
O õ Út i Si i
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Operações Úteis com Sinais- Escalamento Temporal
• O que acontecer em
()no instante t também
acontecerá em () no instante t/2:
• Para escalonar () pora, usa-se ()
• a>1, compressão
• a
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Operações Úteis com Sinais- Reversão Temporal
• O que acontecer em
()no instante t também
acontecerá em () no instante -t :
• Para reverter (), usa-se ()
Operações Úteis com Sinais
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Operações Úteis com Sinais- Operações Combinadas
• Operação geral seria
( )• As operações de deslocamento e escalonamento podemser feitas em quaisquer ordem, mas os métodos devem serobservados com cuidado
• Caso a seja negativo, faz-se também a reversão
• Método 1: Deslocamento – Escalonamento – Reversão
• Método 2: Escalonamento – Deslocamento – Reversão
Operações Úteis com Sinais
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Operações Úteis com Sinais- Operações Combinadas
• Operação geral seria
( )• As operações de deslocamento e escalonamento podemser feitas em quaisquer ordem, mas os métodos devem serobservados com cuidado• Caso a seja negativo, faz-se também a reversão
• Método 1: Deslocamento – Escalonamento – Reversão
• Método 2: Escalonamento – Deslocamento – Reversão
b/a
Operações Úteis com Sinais
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Operações Úteis com Sinais- Operações Combinadas
Operações Úteis com Sinais
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Operações Úteis com Sinais- Operações Combinadas
Operações Úteis com Sinais
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Operações Úteis com Sinais- Operações Combinadas
(2 5) ?
Operações Úteis com Sinais
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Operações Úteis com Sinais- Operações Combinadas
(2 5) ?Método 1 Método 2
Deslocamento
Escalamento
Reversão
Escalamento
Deslocamento
Reversão
Si i T Di t
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Sinais em Tempo Discreto
• Sinal discreto: sequência de números
[]• Podem aparecer como resultado da amostragem de
sinais contínuos• Quando obtido pela amostragem uniforme de
(), é
expresso por • []
Sinais em Tempo Discreto
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Sinais em Tempo Discreto- Tamanho do Sinal
• Energia do sinal em tempo contínuo
• E em tempo discreto
• Potência do sinal em tempo contínuo
• E em tempo discreto
Sinais em Tempo Discreto
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Sinais em Tempo Discreto- Tamanho do Sinal
• Exemplos
Sinais em Tempo Discreto
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Sinais em Tempo Discreto- Operações Úteis com Sinais
• Deslocamento• O que acontecer em também vai acontecer em []M amostras depois
• M positivo, deslocamento para a direita: avanço
• M negativo, deslocamento para a esquerda: atraso
[ ]• Reversão no tempo
• O que acontecer em [] na amostra , acontece em []na amostra -
• Rotação com relação ao eixo vertical
Sinais em Tempo Discreto
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Sinais em Tempo Discreto- Operações Úteis com Sinais
• Decimação e Interpolação• Similar ao escalamento temporal de sinais contínuos
• Alteração da taxa de amostragem
• Decimação• O fator M deve ser inteiro []
• Interpolação• O fator L deve ser inteiro [ ]
Sinais em Tempo Discreto
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Sinais em Tempo Discreto- Operações Úteis com Sinais
• Decimação []=[]• Reduz o número de amostras• Se [] é obtido pela amostragem de um sinal contínuo no
tempo, esta operação implica em reduzir a taxa deamostragem
•Geralmente resulta na perda de informação
Sinais em Tempo Discreto
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Sinais em Tempo Discreto- Operações Úteis com Sinais
• Interpolação []=[ ∕ ]• Aumenta o número de amostras e a taxa de amostragem• Dois passos: expansão e interpolação
• Não resulta em ganho de informação
Sinais em Tempo Discreto
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Sinais em Tempo Discreto- Operações Úteis com Sinais
Alguns Modelos Úteis de Sinais
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Alguns Modelos Úteis de Sinais
• As funções impulso unitário e degrau unitário
desempenham papel importante na análise de sinaise sistemas.
• Podem ser utilizadas para simplificar vários aspectosde sinais e sistemas
• A função impulso unitário constitui um elemento básico deconstrução e de representação de outros sinais
• A função degrau unitário é conveniente na descrição desinais causais, aqueles que começam em =0
• A função exponencial complexa é conveniente nadescrição de sinais senoidais e é de fácil manipulaçãomatemática
Alguns Modelos Úteis de Sinais
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Alguns Modelos Úteis de Sinais- Funções Impulso Unitário e Degrau Unitário
• Impulso unitário discreto
0, ≠ 01, 0• É uma das funções mais simples• Também conhecida como delta de Dirac
Alguns Modelos Úteis de Sinais
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Alguns Modelos Úteis de Sinais- Funções Impulso Unitário e Degrau Unitário
• Degrau unitário discreto
0, < 01, ≥ 0
• A sequência impulso discreto pode ser expressa como aprimeira diferença do degrau discreto: [ 1]
Alguns Modelos Úteis de Sinais
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Alguns Modelos Úteis de Sinais- Funções Impulso Unitário e Degrau Unitário
• A sequência degrau discreto pode ser expressa por
uma soma cumulativa de impulsos discretos: =− []
Alguns Modelos Úteis de Sinais
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Alguns Modelos Úteis de Sinais- Funções Impulso Unitário e Degrau Unitário
• Alternativamente, a sequência degrau discreto pode
ser expressa por uma soma de impulsos discretosdeslocados:
[ ]• Propriedade de amostragem da sequência impulso
discreto:
0 • De maneira geral:
Alguns Modelos Úteis de Sinais
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Alguns Modelos Úteis de Sinais- Funções Impulso Unitário e Degrau Unitário
• Que sinais contínuos servem ao mesmo propósito?
• Supondo que o impulso contínuo fosse definidocomo
() 0, < 01, 00, > 0• Não seria uma boa opção, pois sua integral é zero!
Alguns Modelos Úteis de Sinais
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Alguns Modelos Úteis de Sinais- Funções Impulso Unitário e Degrau Unitário
• Impulso unitário contínuo• Age como um pulso de área unitária, mas com largura zero
• Só é não nula em
• Sua integral definida é um!
Alguns Modelos Úteis de Sinais
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Alguns Modelos Úteis de Sinais- Funções Impulso Unitário e Degrau Unitário
• A integral do impulso unitário contínuo é o degrau
unitário contínuo() 0, < 01, ≥ 0
Alguns Modelos Úteis de Sinais
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• As relações entre degrau e impulso contínuos são
análogas às relações em tempo discreto:
• Pode-se expressar o degrau contínuo no tempo como umaintegral de impulsos deslocados
• Para ∆ suficientemente pequeno e utilizando a definição
formal , pode-se chegar à propriedade daamostragem
Alguns Modelos Úteis de Sinais- Funções Impulso Unitário e Degrau Unitário
Exercício MATLAB
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Exercício MATLAB
• Entender, mexer e verificar código Matlab
Fs = 100; % 1
dt = 1/Fs;
StartTime = -10;
StopTime = 10;
t = StartTime:dt:StopTime-dt;
x = (t>=0) + (t>=2)–2*(t>=4);
figure;
stairs(t,x); % plot, stem...
ylim([-1.2 1.2]);
•
Altere o código substituindo as partes sublinhadas(frequência de amostrage Fs e funções de plote). Quais asdiferenças entre eles?
• O que são os sinais que compõem o sinal ? Plote-osseparadamente
• Adicionar ao código o cálculo da energia de
Alguns Modelos Úteis de Sinais
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• Exponencial
Em que (cos sin)• As seguintes funções são um caso especial ou podem
ser descritas em termos da exponencial• Uma constante, se 0• Uma exponencial monotônica, se
0• Uma senoide cos, se 0• Ou uma senoide variando exponencialmente
Alguns Modelos Úteis de Sinais- Exponencial
Alguns Modelos Úteis de Sinais
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Alguns Modelos Úteis de Sinais- Exponencial
Alguns Modelos Úteis de Sinais
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• A sequencia exponencial
ou ln•
Exponenciais reais: e reais• Se > 1, módulo cresceexponencialmente• Se < 1, módulo decresce
exponencialmente•
Se > 0, todos os valores terão omesmo sinal• Se < 0, os valores terão sinaisalternados
• Se , módulo constante
• Se , alterna e
Alguns Modelos Úteis de Sinais- Exponencial
Alguns Modelos Úteis de Sinais
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• Sequencia senoidal
cos(Ω )Sendo
cos(Ω ) sin(Ω )Então
cos Ω 2 {−−}
Alguns Modelos Úteis de Sinais- Exponencial
Alguns Modelos Úteis de Sinais
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• Senoidal complexa generalizada
, em que e Então
[] (+)
cos Ω sin(Ω )
Alguns Modelos Úteis de Sinais- Exponencial
Alguns Modelos Úteis de Sinais
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• Senoidal complexa generalizada
cos Ω sin(Ω )
Alguns Modelos Úteis de Sinais- Exponencial
• Se
> 1sequência senoidal multiplicadapor senoidal crescente• Se
< 1sequência senoidal multiplicada porsenoidal decrescente
• Se 1partes real e imaginária sãosequências senoidais
Alguns Modelos Úteis de Sinais
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Alguns Modelos Úteis de Sinais- Exponencial
• Sinais exponenciais contínuos x discretos
Principal diferença: periodicidade
• Em sinais contínuos:• Frequência de oscilação de cresce com a magnitudede • é periódica para qualquer valor de
• Para sinais discretos essas propriedades não sãoválidas! Veja a seguir
Alguns Modelos Úteis de Sinais
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Alguns Modelos Úteis de Sinais- Exponencial
• Para a exponencial complexa com frequência
Ω2 + Ou seja, as sequências
Ω2são idênticas, para
qualquer inteiro• As frequências
Ω, então, são consideradas altas e
baixas quando:• Baixas:Ω em torno de 2, ∀ ∈ ℤ• Altas: Ω em torno de π 2, ∀ ∈ ℤ
Alguns Modelos Úteis de Sinais
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g- Exponencial
0 +π/8 +π/8
+2π/8 +4π /8 +4π/8
+2π/8 +2π/8 +π/8π
Alguns Modelos Úteis de Sinais
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g- Exponencial
• A condição de periodicidade para uma exponencial
complexa discreta é (+) O que implica em
1O que só acontece se Ω for múltiplo de 2, entãoΩ 2 → Ω2 • Conclusão: é periódica se, e somente se, Ω 2
for um número racional
Alguns Modelos Úteis de Sinais
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Ω
Ω
g- Exponencial
ΩΩ
ΩΩ
Ω Ω
Funções Pares e Ímpares
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Funções Pares e Ímpares
• Sinal par []• Sinal ímpar
[]
Funções Pares e Ímpares
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• Qualquer sinal
pode ser decomposto em uma
soma de dois sinais: um com simetria par e outrocom simetria ímpar
•
Parte par 12 [ ]• Parte ímpar
12 [ ]• Tem-se, então
Funções Pares e Ímpares
Funções Pares e Ímpares
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u ções a es e pa es
−()
12 [− ]
12 [− ]
Lista de Exercícios
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LATHI – Problemas
• Sinais contínuos (cap.1)• 1.1: 1, 3, 4, 5
• 1.2: 2, 3, 5• 1.3: 1, 2, 3
• 1.4: 1, 2, 3, 4
• 1.5: 1, 4, 5, 7
• Sinais discretos (cap.3)• 3.1: 1, 2, 4
• 3.2: 1, 2, 3• 3.3: 1, 3, 4, 7