7/27/2019 01 - Sorozatok, sorok, fggvnyek hatrrtke s folytonossga (Ismeretlen, 2010)

1/7

Sorozatok, sorok, fggvnyek hatrrtke s folytonossgaLeindler Schipp - Analzis I. knyve + jegyzetek, kidolgozsok alapjn

Szmsorozatok, vektorsorozatok konvergencija

Def.: Szmsorozatok rtelmezse:A termszetes szmok halmazn rtelmezett fggvnyt sorozatnak nevezzk.

Ha a szban forg fggvny rtkkszlete R-nek egy rszhalmaza, akkor vals

szmsorozatrl, ha C-nek egy rszhalmaza, akkor komplex szmsorozatrl szoks

beszlni.

Az olyan sorozatokat amelyek rtkkszlete Rn (n-dimenzis euklideszi tr) egy

rszhalmaza Rn-beli vektorsorozatoknaknevezzk.

Az a sorozattal az nN szmhoz rendelt rtket a sorozat n-edik tagjnak, vagy a

sorozat n helyen felvett rtknek nevezzk.

Def.: Az olyan sorozatot, amelynek rtkei azonos rtelmezsi tartomnnyal rendelkezfggvnyek, fggvnysorozatnaknevezzk.

Def.: Korltossg

Akkor mondjuk, hogy az a =(an) vals vagy komplex szmsorozat fellrl (alulrl)

korltos, ha ltezik olyan K (k) szm, hogy minden nN indexre fenll az | an | K

egyenltlensg, azaz:

K R hogy nN an K (k Rhogy nN kan). A K (k) szmot a sorozat fels

(als) korltjnak nevezzk.

Def.: Az (an) vals szmsorozatot konvergensnek nevezzk, ha ltezik olyan AR

vals szm, hogy ennek minden >0 sugar krnyezethez ltezik olyan n0N

kszbindex, hogy a sorozat minden n0-nl nagyobb vagy egyenl index an tagja benne

van az A szm sugar krnyezetben, azaz

AR, hogy >0 vals szmhoz n0 N, hogy nn0 indexre |an-A|

7/27/2019 01 - Sorozatok, sorok, fggvnyek hatrrtke s folytonossga (Ismeretlen, 2010)

2/7

2. ||.||: X Rfggvny, melyre:

a) ||x||0 (xX)

b) xX: ||x|| = 0 x =0

c) xX, Resetn ||x|| = ||x||

d) x,yX esetn ||x||+||y||||x+y||

Def.: Az (Rn, ||.||) normlt trben az (an): N Rn vektorsorozat konvergens, ha

L Rn : >0 vals szmhoz n0 N, hogy nn0 indexre ||L-an||P (an 0 szmra a K(+):= (1/, +) ( K(-):= (-,-1/) ) halmazt a +(-) 1/ kezdpont (-1/ vgpont) krnyezetnek nevezzk.

Def.: Sorozat limesz szuperiorja s limesz inferiorjaTetszleges a=( an) vals szmsorozatra legyen

lim an = lim sup an:=

ha a fellrl nem korltos, akkor + klnben lim An

lim an = lim inf an:=

ha a alulrl nem korltos, akkor - klnben lim Bn, ahol

An= sup { ak : k=n,n+1,n+2, }Bn = inf { ak : k=n,n+1,n+2, }

Ttel: Legyen a=( an) egy vals szmsorozat. Ekkor tetszleges K< lim a (k>lim a)szmnl a-nak vgtelen sok tagja nagyobb (kisebb) s minden L>lim a (l < lim a)szmnl a-nak csak vges sok tagja nagyobb (kisebb).

Az a sorozatnak akkor s csak akkor van hatrrtke, ha lim a = lim a = lim a.

Monoton sorozatok

Def.: Az a =(an) vals szmsorozatot novekednek (cskkennek) nevezzk, ha minden

nN indexre an an+1 (an an+1). Ha minden n termszetes szmra an < an+1 (an > an+1)

teljesl, akkor az (an) sorozatot szigoran nvekednek (szigoran fogynak, vagyszigoran cskkennek) nevezzk. A nveked vagy cskken sorozatokat tgabb

- 2 -

7/27/2019 01 - Sorozatok, sorok, fggvnyek hatrrtke s folytonossga (Ismeretlen, 2010)

3/7

rtelemben monoton, a szigoran nveked vagy cskken sorozatokat szigoranmonoton sorozatoknak nevezzk.

Jellsek: (an) -szig. monton nv, (an) -szig. monoton fogy, (an) - monotonnv, (an) - monoton fogy

Ttel: Ha az (an) vals szmsorozat monoton nveked (fogy), s korltos, akkorkonvergens, slim an = sup an (lim an = inf an)

Biz.: Legyen sup an =: A. Ekkor a fels hatr rtelmezse alapjn minden nN

szmra an A s tetszleges >0 szmhoz ltezik olyan NN, hogy aN >A-. Mivel

(an)monoton nveked, azrt minden n N indexre is an >A- teljesl. Azt kaptuk teht,hogy

>0 NNn N A-< an A,

ez pedig azt jelenti, hogy lim an =A.

Monoton cskken sorozatra analg mdon bizonythat.

A vgtelen numerikus sor fogalma s konvergencija

Legyen a=(an) egy vals vagy komplex szmsorozat. Az a1+a2+ a3 = an (ezentl

n=1

csak: an) szimblumot (formlis vgtelen sszeget) vgtelen numerikus sornak,vagy vgtelen szmsornak nevezzk. Az an szmot a an sor n-edik (vagy ltalnos)tagjnak nevezzk.

Def.: Az sn = a1+a2++an (nN) egyenlsggel rtelmezett (sn ) sorozatot az an sor

rszletsszegei sorozatnaknevezzk.Def.: Akkor mondjuk, hogy an sor konvergens, ha rszletsszegeinek sorozatakonvergens. A sn rszletsszegek sorozatnak hatrrtkt a an sor sszegneknevezzk. Ha az (sn) sor divergens, akkor azt mondjuk, hogy a an vgtelen sordivergens.

Ttel: Cauchy-fle konvergencia-kritrium

A an sor akkor s csak akkor konvergens, ha >0 szmhoz ltezik olyan NN, hogy

minden n m N indexre |sn-sm-1| = |am + am+1 + an|

7/27/2019 01 - Sorozatok, sorok, fggvnyek hatrrtke s folytonossga (Ismeretlen, 2010)

4/7

Ilyen sorok rszletsszegeire nyilvn

sn= a1+a2++an a1+a2++an +an+1 =sn+1teljesl, azrt a pozitv tag sorok rszletsszegeinek sorozata monoton nveked.

Ttel: Pozitv tag sor akkor s csak akkor konvergens, ha rszlesszegeinek sorozatakorltos.

Legyen an s bn pozitv tag sorok s tegyk fel hogy an bn. Ekkor e sorokrszletsszegeire nyilvn 0 sn :=a1+a2++an b1+b2++bn =:tn teljesl. Ennek alapjn

(tn) korltossgbl (tn) sorozat korltossga is kvetkezik s megfordtva, ha (s n) nemkorltos, akkor (tn) sem lehet korltos.

Ezzel az szrevtellel s az elz ttellel addik az n. pozitv tag sorokra vonatkoz

sszehasonlt kritrium: Legyen 0anbn. Ekkor, ha a bn sor konvergens, akkoranis konvergens, s ha a an sor divergens, akkorbn is divergens.

Azt a tnyt, hogy a anpozitv tag sor konvergens, a an < szimblummal jelljk.

Gyk- s hnyados-kritrium

Cauchy-fle gykkritrium: Ha a an sorra lim n|an| 1 akkoran divergens. (lim n|an| =1 hatrozatlan eset)

Biz.: Tfh. lim n|an|

7/27/2019 01 - Sorozatok, sorok, fggvnyek hatrrtke s folytonossga (Ismeretlen, 2010)

5/7

olyan NN szm, hogy minden rN indexre |aN+r||aN+r-1|>|aN+r|, vagyis az (|an|) sorozat a N

indextl kezdve monoton nv. Innen kvetkezik, hogy lim an 0, ezrt an divergens.

Leibniz-tpus sorok

Def.: Legyen 0an+1 an. Ekkor a (-1)n-1 ann=1

(n. vltakoz eljel) sort Leibniz-tpus sornak nevezzk.

Ttel: A Leibniz-tpus sor akkor s csak akkor konvergens, ha lim an = 0.

(Biz.: Leindler-Schipp Analzis I. 77. oldal, ha kritek lerom kzzel)

A hatvnysor fogalma

Legyen x, x0Ks a =(a0, a1,, an,) (anK) egy tetszleges sorozat. Az

a0 + a1 (x-x0) + a2(x-x0)2 + + an(x-x0)

n+ = an(x-x0)n (*)n=0

alak vgtelen sort hatvnysornaknevezzk. Az ai (i = 0,1,2,) szmokat a hatvnysoregytthatinak, az x0 szmot a hatvnysorkzppontjnak, az x-et pedig a hatvnysorvltozjnakszoks nevezni.

Cauchy-Hadamard ttel:

Ttel: Legyen

R :=

0, ha limn|an| = +

+, ha limn|an|=0

1/lim n|an|, klnben.

Ekkor a

KR (x0):= {x K: |x- x0| < R}

halmaz pontjaiban az (*) sor abszolt konvergens, |x- x0|>R esetn pedig divergens.

Biz.: Legyen elszr |x- x0|1

- 5 -

7/27/2019 01 - Sorozatok, sorok, fggvnyek hatrrtke s folytonossga (Ismeretlen, 2010)

6/7

kvetkezskppen ebben az esetben (*) valban divergens.

A KR (x0) krnyezetet az (*) hatvnysorkonvergencia tartomnynak, az R-et pediga konvergencia sugarnaknevezik.

Kvetkezmnyek:1) Ha R a (*) hatvnysor konvergencia sugara s 00 >0: x K(a) Df esetn f(x) K(f(a)).

Def.: Legyen f Rn Rm (n, m>0) fggvny s folytonos az a Dfpontban. Azt

mondjuk, hogy lim fhatrrtk, s lim f = L Rn, ha

>0 >0: x (K(a)\{a}) Df esetn f(x) K(L).

Kompakt halmazon folytonos fggvnyek tulajdonsgai:

K= RC

Def.: A H halmazt zrt halmaznak nevezzk, ha brmely, H elemeibl alkotottkonvergens sorozat hatrrtke is H-hoz tartozik.

Def.: Akkor mondjuk, hogy a Kvalamely H rszhalmaza kompakt, ha H korltos s zrt

halmaz.

Ttel: Ha HK1 kompakt s f: HK2 folytonos fggvny, akkor Rf (a fv. rtkkszlete) is

kompakt.

Heine ttel

Def.: Akkor mondjuk, hogy az fK1K2 fggvny a HDf halmazon egyenletesen

folytonos, ha>0 >0 x,y: |x-y|

7/27/2019 01 - Sorozatok, sorok, fggvnyek hatrrtke s folytonossga (Ismeretlen, 2010)

7/7

Weierstrass-ttel

Weierstrass-ttel: Ha HK kompakt halmaz s f:HR folytonos fggvny, akkor

f-nek van maximuma s minimuma.

Az inverz fggvny folytonossga

Ttel: Legyen H1K1 kompakt, f:H1H2K2 pedig egy folytonos bijektv lekpezs.

Ekkor az f-1:H2H1 fggvny is folytonos.

Bolzano ttel

Bolzano ttel: Legyen [a,b]R s f:[a,b]R folytonos fggvny. Ekkor f minden f(a)

s f(b) kz es rtket felvesz, azaz ha pl.: f(a)