Upload
danijela-knezevic
View
218
Download
0
Embed Size (px)
DESCRIPTION
destk
Citation preview
J e lena
Diferencija lna geometrija
J e lena Beban Brkić
UVOD
1 OSNOVNI POJ MOVI VEKTORSKE ALGEBRE
Pojam vektora
Geometrijs ki p rika z vektora
Usmjerena dužina
Ekvivalentne usmjerene dužine
Klasa usmjerenih dužina = vektor
Oznake: AB, CD,... ili a, b, v, ....
Uobičajeno je, iako neprecizno, pisati a =AB, budući da a predstavlja klasu, a AB samo jednu
usmjerenu dužinu iz te klase. Usmjerenu dužinu iz klase biramo po volji odabirom njene početne
točke.
a
b
A
B
C
D
Slika 01.1 Predstavnici vektora a i b
Geometrijski, vektor je zadan s:
• prevcem nosiocem na kojem se vektor nalazi
• duljinom ili modulom
• orijentacijom na pravcu nosiocu
Ponovimo dalje:
Nul-vektor
Kolinearni vektori
Komplanarni vektori
a
ba b
Slika 01.2 Kolinearni vektori na paralelnim pravcima a i b; Komplanarni vektori u ravnini π
Računanje s vektorima
■ Množenje vektora s kala rom (bro jem)
X - skup svih vektora prostora E3
- polje realnih brojeva
2 0 1 _ u vod_ JBB_ p p_p roba .n b
Neka je a⟶
ϵ X i λ∈ .
Umnožak ( ) vaktora i skalara je funkcija koja paru ( a⟶
, λ) pridružuje vektor λ a⟶
.
Dakle, ( ): X × ⟶ X
( a⟶
, λ) ↦ λ a⟶
= b⟶
∈ X
Vektor b⟶
= λ a⟶
definiran je ovako:
• duljina: b⟶
= λ a⟶
= λ · a⟶
• pravac nosioc vektora b⟶
jednak je onome od a⟶
• orjentacija: ista za λ > 0suprotna za λ < 0
λ>0
A
B
C λ<0A
B
C
Slika 01.3 a⟶
= AB, b⟶
= λ a⟶
= AC, za λ > 0 i λ < 0
Svojstva operacije množenja sa skalarom:
(1) λ (a + b) = λ a + λ b
(2) (λ + μ) a = λ a + μ a
(3) (λμ) a = λ (μ a)
(4) 1 a = a
Neki posebni slučajevi (za vektor a ≠ 0):
⊳ λ = 0 → λ a⟶
= 0 a = 0, nul-vektor;
⊳ λ = - 1 → λ a⟶
= (- 1) a⟶
= - a⟶
, suprotni vektor;
0 1 _ u vod_ JBB_ pp_ proba .n b 3
⊳ λ → λ
⊳ λ = 1
a → ao = a
a, jedinični vektor (zaista, ao = a
a=
a
a= 1)
■ Zbra jan je vektora
ab
a
b
a+b
ab
a+b
Slika 01.4 Zbrajanje vektora po pravilu trokuta i po pravilu paralelograma
a⟶
, b⟶∈ X;
(+): X × X⟶ X
( a⟶
, b⟶
) ↦ c⟶
= a⟶
+ b⟶
∈ X
Svojstva operacije zbrajanja:
(1) a⟶
+ b⟶
= b⟶
+ a⟶
komutativnost
(2) ( a⟶
+ b⟶
) + c⟶
= a⟶
+( b⟶
+ c⟶
) asocijativnost
(3) a⟶
+(– a⟶
) = (– a⟶
) + a⟶
= 0⟶
postojanje suprotnog elementa
(4) a⟶
+ 0⟶
= 0⟶
+ a⟶
= a⟶
postojanje neutralnog elementa
(X, +, ·) je vektorski (linearni) prostor
Razlika dvaju vektora a⟶
i b⟶
defininira se na sljedeći način: a⟶
– b⟶
=
a⟶
+(- b⟶
)
Slika 01.5 Oduzimanje vektora
4 0 1 _ u vod_ JBB_ p p_p roba .n b
a×Ö
b×Ö
a×Ö
- b×Ö
- b×Ö
a×Ö
+ H- b×ÖL
■ Linearna kombinac ija vektora
Opći oblik linearne kombinacije vektora: λ1 a1⟶
+ λ2 a2⟶
+ … + λn an⟶.
Vektori a1⟶
, a2⟶
, …, an⟶
su linearno nezavisni ako iz
λ1 a1⟶
+ λ2 a2⟶
+ … + λn an⟶
= 0⟶
slijedi da su svi λ1 = λ2 = … = λn = 0.
Vektori a1⟶
, a2⟶
, …, an⟶
su linearno zavisni ako nisu nezavisni, tj. ako iz
λ1 a1⟶
+ λ2 a2⟶
+ … + λn an⟶
= 0⟶
slijedi da je barem jedan λi(i = 1, …, n) različit od 0.
U tom se slučaju jedan od vektora može prikazati kao linearna kombinacija preostalih vektora.
Pr imjer . Neka je 3 a⟶
- 1
2b⟶
= 0⟶
. Možemo pisati 3 a⟶
= 1
2b⟶
ili b⟶
= 6 a⟶
.
Dakle, a⟶
i b⟶
su povezani relacijom b⟶
= λ a⟶, pa zaključujemo da su linearno
zavisni.
Koji je maksimalni broj linearno nezavisnih vektora prostora?
- na pravcu: 1; tj. svaka 2 vektora su linearno zavisna
- u ravnini: 2; tj. svaka 3 vektora su linearno zavisna
(uz uvjet da nikoja dva ne leže na istom pravcu)
- u prostoru: 3; tj. svaka 4 su linearno zavisna
0 1 _ u vod_ JBB_ pp_ proba .n b 5
(uz uvjet da nikoja tri ne leže u istoj ravnini)
■ Ska la rni produkt vektora
Neka su a⟶
, b⟶∈ X i neka je φ = ∢( a
⟶, b⟶
), 0 ≤ φ ≤ .
Skalarni produkt ( ·) je funkcija koja paru vektora ( a⟶
, b⟶
) pridružuje broj a⟶
b⟶
·cos φ.
Dakle, (·): X × X ⟶
( a⟶
, b⟶
) ↦ a⟶
· b⟶
= a⟶
b⟶
·cos φ ∈
Svojstva:
(1) a⟶
· a⟶
≥ 0, a⟶
· a⟶
= 0 ⇔ a⟶
= 0⟶
(2) λ( a⟶
· b⟶
) = (λ a⟶
)· b⟶
= a⟶
·(λ b⟶
)
(3) a⟶
b⟶
= b⟶
a⟶
(4) a⟶
·( b⟶
+ c⟶
) = a⟶
· b⟶
+ a⟶
· c⟶
Posljedice:
(1) a⟶
· b⟶
= 0 ⇔ a⟶
∟b⟶
ili a⟶
= 0⟶
ili b⟶
= 0⟶
(2) a⟶
· a⟶
= a⟶
· a⟶
·cos 0 = a⟶ 2 ⇒ a
⟶= a
⟶· a⟶
(3) cos φ = a⟶· b⟶
a⟶ b⟶
■ Vektors ki produkt vektora
Neka su a⟶
, b⟶∈ X i neka je φ = ∢( a
⟶, b⟶
), 0 ≤ φ ≤ .
Vektorski produkt ( × ) je funkcija koja paru vektora ( a⟶
, b⟶
) pridružuje vektor kojeg označavamo
a⟶
× b⟶
.
Dakle, (×): X × X⟶X
( a⟶
, b⟶
) ↦ a⟶
× b⟶
∈ X
Vektor a⟶
× b⟶
je određen s:
6 0 1 _ u vod_ JBB_ p p_p roba .n b
×
• Modul: a⟶
× b⟶
= | a⟶
|·| b⟶
|· sin∢( a⟶
, b⟶
)
a⟶
× b⟶
je jednako površini paralelograma što ga tvore vektori a⟶
i b⟶
.
• Pravac nosioc vektora ( a⟶
× b⟶
): okomit je na ravninu određenu vektorima a⟶
i b⟶
a⟶
i b⟶
kolinearni ⇒ a⟶
× b⟶
= 0⟶
,
a⟶
× b⟶
= 0⟶
⇒ a⟶
i b⟶
kolinearni ili je barem jedan od njih 0⟶
.
• Orijentacija: po pravilu desne ruke, tj. trojka vektora ( a⟶
, b⟶
, a⟶
× b⟶
) čini desnu
trojku.
Svojstva vektor skog množenja:
(1) a⟶
× a⟶
= 0⟶
(2) α( a⟶
× b⟶
) = (α a⟶
) × b⟶
= a⟶
× (α b⟶
)
(3) a⟶
×( b⟶
+ c⟶
) = a⟶
× b⟶
+ a⟶
× c⟶
(4) a⟶
× b⟶
= – ( b⟶
× a⟶
)
■ Viš es truki p rodukti
Neka su a⟶
, b⟶
, c⟶
∈ X.
Razmislite koji od sljedećih produkata imaju smisla:
a⟶
· b⟶
· c⟶
a⟶
· b⟶
× c⟶
a⟶
× b⟶
· c⟶
a⟶
× b⟶
× c⟶
a⟶
· b⟶
· c⟶
a⟶
· b⟶
× c⟶
a⟶
× b⟶
· c⟶
a⟶
× b⟶
× c⟶
Vektors ko - s ka la rn i p rodukt (mješ oviti p rodukt)
a⟶
, b⟶
, c⟶
ϵ X
0 1 _ u vod_ JBB_ pp_ proba .n b 7
ϵ
( ): X × X × X ⟶
( a⟶
, b⟶
, c⟶
) ↦ a⟶
× b⟶
· c⟶
∈
Zapisuje se:
( a⟶
× b⟶
)· c⟶
= ( a⟶
, b⟶
, c⟶
)
a⟶
× b⟶
· c⟶
je jednako volumenu paralelopipeda kojeg razapinju vektori a⟶
, b⟶
, c⟶
, tj.
( a⟶
× b⟶
)· c⟶
= ± V . Predznak (+ ili –) ovisi o tome čine li a⟶
, b⟶
, c⟶
desni ili lijevi sustav. Kada
su sva tri vektora u ravnini tada je V = 0.
Za mješoviti produkt vektora vrijedi ciklička zamjena:
( a⟶
, b⟶
, c⟶
) = ( a⟶
× b⟶
)· c⟶
= ( b⟶
× c⟶
)· a⟶
= ( c⟶
× a⟶
)· b⟶
= a⟶
·( b⟶
× c⟶
) = b⟶
·( c⟶
× a⟶
) = c⟶
·( a⟶
× b⟶
) =
– ( b⟶
× a⟶
)· c⟶
= – ( c⟶
× b⟶
)· a⟶
= …
Vektors ko - vektors ki produkt
a⟶
, b⟶
, c⟶
ϵ X
( ): X × X × X ⟶ X
( a⟶
, b⟶
, c⟶
) ↦ a⟶
× b⟶
× c⟶
∈ X
Vektor ( a⟶
× b⟶
) × c⟶
je okomit na vektor a⟶
× b⟶
i na vektor c⟶
pa leži u ravnini određenoj vek-
torima a⟶
i b⟶
.
Os ta li viš es truki p rodukti
1) Skalarni produkt vektorskih produkata
( a⟶
× b⟶
)·( c⟶
× d⟶
) = ( a⟶
c⟶
)·( b⟶
d⟶
) - ( a⟶
d⟶
)·( b⟶
c⟶
) = a⟶
c⟶
b⟶
c⟶
a⟶
d⟶
b⟶
d⟶
2) Vektorski produk vektorskih produkata
( a⟶
× b⟶
)×( c⟶
× d⟶
) = b⟶
[ a⟶
·( c⟶
× d⟶
)] – a⟶
[ b⟶
( c⟶
× d⟶
)] = b⟶
( a⟶
, c⟶
, d⟶
) – a⟶
( b⟶
, c⟶
, d⟶
),
8 0 1 _ u vod_ JBB_ p p_p roba .n b
× × × · × ×
tj. linearna kombinacija vektora a⟶
i b⟶
.
( a⟶
× b⟶
)×( c⟶
× d⟶
) = c⟶
[( a⟶
× b⟶
)· d⟶
)] – d⟶
[( a⟶
× b⟶
)· c⟶
)] = c⟶
( a⟶
, b⟶
, d⟶
) – d⟶
( a⟶
, b⟶
, c⟶
),
tj. linearna kombinacija vektora c⟶
i d⟶
.
Vektori u koordina tnom zapis u
Neka je (X, +, ·) trodimenzionalni vektorski prostor.
Neka je (O; i⟶
, j⟶
, k⟶
) desni pravokutni koordinatni sustav.
i⟶
, j⟶
, k⟶
su linearno nezavisni, jedinični, međusobno okomiti vektori.
O je ishodište koordinatnog sustava.
Za svaku točku A vektor OA nazivamo radijvektorom (radijus vektorom) točke A.
x
y
z
i× j
×Ök×Ö
O
Slika 01.6 Sustav (O; i⟶
, j⟶
, k⟶
)
Pr ikaz vektora u koordinatnom sustavu:
Za točku A(x, y, z) je OA = x i⟶
+y j⟶
+z k⟶
= {x, y, z}.
Dakle, vrijedi relacija
točka A(x, y, z) ↔ vektor OA = {x, y, z}
0 1 _ u vod_ JBB_ pp_ proba .n b 9
↔
Neka je dalje OA = a⟶
,
a⟶
= ax i⟶
+ay j⟶
+az k⟶
= {ax, ay, az}
ax, ay, az - komponente vektora a⟶
, tj. skalarne projekcije vektora a⟶
na koordinatne osi x,
y, z (npr. ax = a⟶
. i⟶
)
x
y
z
i×
a×Ö
j×Ö
ax i×
a y j×Ö
az k×Ö
k×Ö
O
Slika 01.7 Prikaz vektora a⟶
u koordinatnom sustavu (O; i⟶
, j⟶
, k⟶
)
Vektorski prostor X = {{ax, ay, az} ax, ay, az ∈ } nazivamo euklidskim prostorom i označavamo
E3.
U koordinatnom zapisu:
- jednakost vektora: a⟶
= b⟶⇔ ax=bx, ay=by, az=bz
- množenje vektora skalarom: λ a⟶
= {λax, λay, λaz}
- zbrajanje vektora: a⟶
+ b⟶
= {ax+bx, ay+by, az+bz}
- skalarni umnožak: a⟶
· b⟶
= axbx + ayby + azbz a⟶
· a⟶
= ax2 + ay
2 + az2 =
a⟶ 2
- vektorski umnožak: c⟶
= a⟶
× b⟶
=i⟶
j⟶
k⟶
ax ay az
bx by bz
- mješoviti umnožak: ( a⟶
, b⟶
, c⟶
) =
ax ay az
bx by bz
cx cy cz
- vektor dvjema točkama A(x1, y1, z1) i B(x2, y2, z2):
AB = (x2 – x1) i⟶
+ (y2 – y1) j⟶
+ (z2 – z1) k⟶
1 0 0 1 _ u vod_ JBB_ p p_p roba .n b
AB = {(x2 – x1), (y2 – y1), (z2 – z1)}
Zadaci
01 Dani su vektori a = {1, 2, –4}, b = {2, 0, 3} i c = {1, 0, 1}.
Izračunati sljedeće produkte: a b, a·b, (a·b)c, (a·b)·c, a·(b c), (a b)·c, (b a)·c, (a b) c, a
(b c).
02 Za vektore iz zadatka 01 izračunati (2a + 3b – 5c) (a – 2b – 4c).
03 Na vektorima iz zadatka 01 provjeriti sljedeće identitete:
( a⟶
× b⟶
) × c⟶
= b⟶
( a⟶
· c⟶
) – a⟶
( b⟶
· c⟶
),
a⟶
×( b⟶
× c⟶
)= b⟶
( a⟶
· c⟶
) – c⟶
( a⟶
· b⟶
).
Napomena: Gornji se izrazi mogu zapisati i pomoću determinante:
( a⟶
× b⟶
) × c⟶
=b⟶
a⟶
b⟶
· c⟶
a⟶
· c⟶
= b⟶
( a⟶
· c⟶
) – a⟶
( b⟶
· c⟶
),
a⟶
×( b⟶
× c⟶
)=b⟶
c⟶
a⟶
· b⟶
a⟶
· c⟶
= b⟶
( a⟶
· c⟶
) – c⟶
( a⟶
· b⟶
).
Provjera:
04 Provjeriti da li su vektori a = {1, 2, –4}, b = {2, 0, 3} i c = {1, 0, 1} linearno nezavisni.
■ Saže tak poglavlja
Osnovni pojmovi vektorske algebre.
■ Is hod i učenja poglavlja
Po završetku ovog poglavlja studenti će biti u stanju vršiti računske operacije s vektorima u pros-
toru E3: zbrajati vektore, množiti vektor sa skalarom, izračunati skalarni i vektorski produkt dvaju
0 1 _ u vod_ JBB_ pp_ proba .n b 1 1
vektora, mješoviti produkt vektora.
1 2 0 1 _ u vod_ JBB_ p p_p roba .n b