Upload
others
View
0
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
01417268:2nd 2014 chapterII:08022015
1
บทท 2 การแกระบบสมการเชงเสน พจารณาระบบสมการเชงเสน
11212111 bxaxaxa nn
22222121 bxaxaxa nn
mnmnmm bxaxaxa 2211
เราสามารถเขยนไดในรปเมทรกซ BXA เมอ
3
2
1
21
22221
11211
,
x
x
x
X
aaa
aaa
aaa
A
mnmm
n
n
และ
3
2
1
b
b
b
B
เรยกเมทรกซ A วาเมทรกซของสมประสทธ ในกรณท 0B จะเรยกระบบสมการขางตนวาระบบสมการเอกพนธ
(Homogeneous system) ในกรณท 0B จะเรยกระบบสมการขางตนวาระบบสมการไมเอกพนธ
(Non homogeneous system)
------------(1)
01417268:2nd 2014 chapterII:08022015
2
เทคนคพนฐานในการแกระบบสมการแบงไดเปน 2 แบบคอ o ทางตรง (Direct Method) เชน การใชกฎเครเมอร การหาอนเวอรสของ
เมตรกซ การก าจดแบบเกาส เปนตน o ประมาณคาผลเฉลยโดยการท าซ า (Iteration Method) เชน ระเบยบวธ
ของ Jacobi หรอ ระเบยบวธของ Gauss-Seidel บางครงระบบสมการเชงเสน (1) อาจเขยนแทนดวยเมทรกซแตงเตม
mn
n
n
mnmm
n
n
b
b
b
aaa
aaa
aaa
BA
2
1
21
22221
11211
]|[
ในบทนเราจะพจารณาการหาผลเฉลยของสมการ (1) เมอ nm หรอระบบสมการ n สมการ n ตวแปร นนคอเราจะไดเมทรกซแตงเตมมขนาด
1 nn การด าเนนการตามแถว (Elementary Row Operations) บนเมทรกซคอการ
ด าเนนการอยางใดอยางหนงตอไปน 1. สลบทระหวางแถวท i กบแถวท j เมอ ji เขยนแทนดวย ji RR 2. คณแถวท i ดวยจ านวนจรง 0k เขยนแทนดวย ii kRR หรอ ikR 3. แทนทแถวท j ดวยผลบวกของแถวท j กบ k เทาของแถวท i โดยท
0k เขยนแทนดวย ijj kRRR หรอ ij kRR
01417268:2nd 2014 chapterII:08022015
3
Gauss - Jordan
ระเบยบวธ Gauss-Jordan
คอการด าเนนการตามแถวกบเมทรกซแตงเตม ][ IA ใหอยในรป ][ 1AI ][ IA ][ 1AI
แลวหาผลเฉลยของ BXA โดยใชเมทรกซผกผน (Inverse) ของเมทรกซ A นนคอ BAX 1
ขอควรระวงคอเมตรกซ A จะหาเมตรกซผกผนไดกตอเมอ A เปนเมทรกซเอกฐาน นนคอ det (A) 0
ตวอยาง จงหาผลเฉลยของระบบสมการ
52
723
1032
zyx
zyx
zyx
วธท า ในขนแรกตรวจสอบวาเมทรกซของสมประสทธเปนเมทรกซเอกฐาน
030
112
231
321
)det(
112
231
321
AA
เปนเมตรกซเอกฐาน
100112
010231
001321
]|[ IA
01417268:2nd 2014 chapterII:08022015
4
102550
011510
001321
2 13
12
RR
RR
1573000
011510
0231301
5
2
23
21
RR
RR
30/130/530/7100
011510
0231301
30
13R
30/130/530/7100
30/530/530/5010
30/1330/530/1001
5
13
32
31
RR
RR
ดงนนจะไดวา
1
2
3
30
60
90
30
1
5
7
10
157
555
1351
30
1X
นนคอ 2,3 yx และ 1z เปนผลเฉลยของระบบสมการ
01417268:2nd 2014 chapterII:08022015
5
การก าจดแบบเกาส (Gauss Elimination)
ลดรปเมทรกซ A ใหอยในรปเมทรกซขนบนได(หรอขนบนไดลดรป) โดยวธด าเนนการตามแถว เชน
000
110
021
,
10000
01000
00521
BA
ในทน A เปนเมทรกซขนบนไดลดรป แต B เปนเมทรกซขนบนได จากนนเปลยนเมทรกซขนบนไดกลบไปเปนระบบสมการเชงเสนใช “วธการแทนคายอนกลบ” เพอหาผลเฉลยของระบบสมการเชงเสนทก าหนดให
วธทงายทสดในการลดทอนรปทสดคอถา 0iia เราจะหา ii
kiki a
am
แลวด าเนนการตามแถวโดย ikikk RmRR ดวยวธนเราจะสามารถก าจดแถวทอยใต iia ใหเปนศนยทงหมดท าใหไดเมตรกซแตงเตมเปน
nnn
n
n
ba
baa
baaa
00
0 2222
111211
ซงจะเปนเมตรกซแบบขนบนได
แทนคายอนกลบ จะได nn
nn a
bx
เมอไดคา nx กแทนคายอนกลบไปเพอหา 1nx ซงเราจะได
01417268:2nd 2014 chapterII:08022015
6
nnnn
nnn xab
ax
1111
11
เมอแทนคาไปเรอยๆจะได ix ในรป
1111 ...1
iiinnininiii
i xaxaxaba
x
หรอ
n
ijjiji
iii xaba
x1
1
ตวอยาง จงหาผลเฉลยของระบบสมการ โดยวธ Gauss Elimination
322
22
42
zyx
zyx
zyx
วธท า
3
2
4
122
211
112
]|[ BA
1
0
4
210
2/32/30
112
1
1
3
2 2
1
RR
RR
1
0
4
210
110
11223
2R
1
0
4
100
110
11223 RR
เขยนในรประบบสมการไดเปน
01417268:2nd 2014 chapterII:08022015
7
1 z 0 zy
42 zyx แทนคากลบจะได 14
2
1,10,1
1
1
yzxzyz
สงเกตวาถาในขนตอนท i พบวา 0iia กจะท าให ii
kiki a
am ไมนยาม
หรออาจจะท าใหแทนคายอนกลบไมไดเมอ 0nna แตกไมไดหมายความวาระบบสมการไมมผลเฉลย ดงนนเราจงจ าเปนจะตองปรบปรงเทคนคในการหาคาผลเฉลยน
ตวอยาง พจารณาระบบสมการเชงเสน
434
2
203322
82
wzyx
zyx
wzyx
wzyx
ไดเมตรกซแตงเตม
43411
20111
203322
81211
BA :
เมอเราด าเนนการตามแถว 122 2RRR , 133 RRR และ
144 RRR ตามล าดบเราจะได
01417268:2nd 2014 chapterII:08022015
8
124200
61120
41100
81211
BA :
จะเหนวา 022 a ท าใหการด าเนนการตามแถวแบบตรงไปตรงมาท าตอไมได เราจงจ าเปนตองสลบแถว โดย 32 RR ซงเกดจากการทเราพยายามมองหาหลกน าทไมใชศนยทอยใตแถวท 22a แถวใดททม 2ia ไมเทากบศนยแถวแรก เรากจะสลบแถวนนกบแถวทสอง
ในทนเราได
124200
41100
61120
81211
BA :
ก าจดแถวท 3 และ 4 ไดโดยวธตรง ซงเราได
42000
41100
61120
81211
BA :
แทนคายอนกลบ นนคอเราได 22
44 x ,
21
14 43
xx ,
32
16 242
xxx ,
7
1
1218 2341
xxxx
01417268:2nd 2014 chapterII:08022015
9
ตารางตอไปนสรปจ านวนครงในการค านวณ โดยการก าจดแบบเกาสกบเมทรกซขนาด n
n คณ/หาร บวก/ลบ 3 17 11 10 430 375 50 44150 42875
100 343300 338250
01417268:2nd 2014 chapterII:08022015
10
กลยทธการก าหนดหลก
ถาเมทรกซทตองน ามาท าการก าจดแบบเกาสมขนาดใหญกจะท าใหจ านวนของการค านวณมากขนไปดวยอยางมาก
เมอการค านวณแตละครงมการปดเศษ กจะท าใหเกดการแพรกระจายของความคลาดเคลอนมากตามไปดวย
จากตวอยางกอนหนา ถา 0iia จะหา p ทนอยทสดแตมากกวา i ซง 0pia
แลวท าการสลบแถว i กบแถว p แลวจงด าเนนการตามแถวตอ เพอลดความผดพลาดจากการปดเศษ อาจจ าเปนตองสลบแถวแมวาสมาชกหลก
0iia เพราะเมอ iia มคานอยๆ จะมผลท าใหขนาดของตวคณแถว ii
kiki a
am
จะมากกวา 1 มาก ท าใหเกดคาผดพลาดเมอค านวณ kia ซง ija จะถกคณดวย
kim เมอพจารณาสตรการแทนคายอนกลบ
n
ijjiji
iii xaba
x1
1
พบวาในขนตอนการแทนคายอนกลบ เราจะตองน า iia มาหาร ซงท าใหความผดพลาดจากการปดเศษเพมมากขนมาก
01417268:2nd 2014 chapterII:08022015
11
ตวอยาง จงหาผลเฉลยของระบบสมการ
17.5914.59003.0 yx
78.4613.6291.5 yx โดยใช Gauss elimination โดยทระบบสมการถกก าหนดความแมนย าแบบเลขคณต 4 ต าแหนง (4 S.D.) พรอมดวยการปดเศษ วธท า เนองจาก 003.011 a ซงมคานอยมาก
ดงนน 17646.1763003.0
291.521 m
ด าเนนการตามแถว 12122 RmRR และปดเศษได
17.5914.59003.0 yx 104400104300 y
แทนคายอนกลบจะได 001.1y และ
10003.0
001.114.5917.59
x
แตถาไมปดเศษจะไดระบบสมการคอ
17.5914.59003.0 yx ** 376.104309376.104309 y
จะเหนไดวาการแทนคายอนกลบเพอหา x จงเกดความผดพลาดอยางชดเจน
01417268:2nd 2014 chapterII:08022015
12
ตวอยางขางตนแสดงใหเหนถงความเสยหายเมอสมาชกหลกมคานอยเมอเทยบกบ njinkiakj , เพอหลกเลยงปญหานเราจะใชกลยทธการก าหนดหลก
โดยเลอก pqa ทมคามากเปนสมาชกหลกและสลบสลบแถว i กบแถว p ตามดวยการสลบแนวตง i กบแนวตง q (ถาจ าเปน)
กลยทธงายสด คอ เลอก ณ ขนตอนท i สมาชกในแนวตงเดยวกนทอยใตเสนทแยงมมและมคาสมบรณมากสด กลาวคอหาคานอยทสดของ ip ท kinkipi aa
max
ตวอยาง พจารณาระบบสมการ 17.5914.59003.0 yx
78.4613.6291.5 yx เราจะใชกรรมวธการหาหลกทกลาวมาแลว ซงหลกทเราตองการหาไดจาก
212111 291.5},max{ aaaapi
จะไดวา 2p และ 1i ดงนนจะสลบแถวท 1 กบ 2 นนคอ 21 RR จะไดระบบสมการ 78.4613.6291.5 yx
17.5914.59003.0 yx
หาตวคณเพอก าจดแถวทสอง 000567.011
2121 a
am
01417268:2nd 2014 chapterII:08022015
13
ด าเนนการ 12122 RmRR แลวระบบสมการเปลยนเปน
78.4613.6291.5 yx
14.5914.59 y
ผลเฉลยเมอแทนคายอนกลบทความแมนย า 4 S.D. คอ 10x และ 1y ซงเปนคาทถกตอง
เทคนคทกลาวไปขางตนน เรยกวา “การหาหลกแนวตงสงสด หรอการหาหลกยอย”
สามารถใชการหาหลกแนวตงในการด าเนนการกบระบบสมการเชงเสนสวนใหญ ซงจะใหผลเปนทนาพอใจ
แตในบางสถานการณกอาจจะยงไมเพยงพอ และเกดปญหาขนได เชน
59170059140030 yx
78.4613.6291.5 yx
สงเกตวาสมการแรกคอสมการในตวอยางกอนหนาคณดวย 410 โดยกลยทธการหาหลกแนวตงสงสด คาสมประสทธทมากของสมการแรก ไม
ท าใหเกดการสลบแถว ซงในกรณนจ าเปนจะตองใชเทคนค “การหาหลกแบบแนวตงเปนสวน (scale-column pivoting)”
01417268:2nd 2014 chapterII:08022015
14
การหาหลกแบบแนวตงเปนสวน (scale-column pivoting)
ขนแรกจะตองนยามตวประกอบเปนสวนของแตละแถว
kjnjk aS
,...,2,1max
พจารณาการสลบแถวทเหมาะสม เพอวาง 0 ในแนวตงแรกโดยการเลอกจ านวนเตม p ตวแรกทวา
k
k
nkp
p
S
a
S
a1
,...,2,1
1max
ด าเนนการสลบแถว pRR 1 ผลของการก าหนดสวนเพอรบประกนวาสมาชกสงสดในแตละแถวมขนาดสมพทธเปนหนงกอนการสลบแถวซงจะถกใชเปรยบเทยบในการเลอกแถวสลบตอไป
ในกรณทวไป เมอท าถงขนตอนท i เรากจะเลอกแถวสลบโดยพจารณา
k
ki
niikp
pi
S
a
S
a
,...,1,max
ในเมทรกซจตรสยอยทไดจากการใช Gauss elimination
01417268:2nd 2014 chapterII:08022015
15
ตวอยาง (Sheet) ใชการหาหลกแบบแนวตงเปนสวนกบระบบสมการ
59170059140030 yx
78.4613.6291.5 yx
จะไดวา 591400591400,30max1 S
13.613.6,291.2max2 S
ดงนนเมอพจารณาแถวท 1 ตามการหาหลกแบบแนวตงเปนสวน จะได
4
1
11 105073.0591400
30 S
a ส าหรบแถวท 1
8631.013.6
291.5
2
21 S
a ส าหรบแถวท 2
จะเหนวาคาทค านวณไดส าหรบแถวทสองมากกวาคาในแถวทหนง ดงนนจงจ าเปนตองมการสลบแถว โดยให 21 RR
ใช Gauss elimination จะไดคาผลเฉลยทถกตอง 10x และ 1y