angelikamoreno.files.wordpress.com€¦ · 01–033 Productos notables . Autor: Exacto, esos seis. Toma uno azul y acomódalo pegado a los otros, de manera que comience a rellenar

TAU DE MATEMÁTICAS

PRODUCTOS NOTABLES Segunda parte

ÍNDICE:

I. El cubo de una suma .................................................................................................. 2

A. El volumen de un cubo ........................................................................................... 2

B. Ejercicios .............................................................................................................. 16

II. Cubo de una diferencia ............................................................................................. 17

A. Ejercicios .............................................................................................................. 20

III. El triángulo del Monsieur Pascal ............................................................................... 21

IV. Bibliografía ................................................................................................................ 35

Anexo 1 ........................................................................................................................... 36

Redactado noviembre de 2019, por Angélica Moreno Franco. Ilustraciones de Alejandro Ocampo Franco

01–033 Productos notables

I. El cubo de una suma

A. EL VOLUMEN DE UN CUBO

Autor: Hola, Lector. Seguimos con esto de los Productos Notables.

Lector: Hola, Autor. Estoy listo para seguir aprendiendo las propiedades que tienen los polinomios.

Autor: ¡Muy bien! En este tau vas a trabajar con volumen, ya no con área.

Vas a jugar con bloques, como cuando eras niño.

Para comenzar, recorta y arma los ortoedros que encuentras en el Anexo 1. de este tau. Esto será muy sencillo para ti, ya tienes bastante experiencia armando volúmenes.

Obtienes esta colección de cuerpos:

Vas a jugar con ellos.

Toma primero el cubo de color rosa. Imagina que este puede ser de cualquier tamaño, digamos, de lado 𝑎𝑎.

Calcula el volumen de este cubo rosa.

Lector: ¡Aquí voy!

Figura 1.


1. El volumen de cualquier cubo es el lado elevado a la: a) 1. b) 0. c) 2. d) 3.

d

2. Entonces, el cubo rosa, de lado 𝑎𝑎 tiene volumen: a) 𝑎𝑎. b) 1. c) 𝑎𝑎2. d) 𝑎𝑎3.

d (𝒂𝒂 elevado al cubo es 𝒂𝒂 × 𝒂𝒂 × 𝒂𝒂 = 𝒂𝒂𝟑𝟑).

Autor: Excelente. Ahora, toma el cubo amarillo que tienes armado, más pequeño que el de color rosa.

Imagina que este también de cualquier tamaño, pero con la condición de ser más pequeño que el rosado. Digamos, tiene lado 𝑏𝑏, con 𝑏𝑏 menor que 𝑎𝑎.

¿Cuál será el volumen de este cubo amarillo?

3. Lector: Este cubo amarillo tiene volumen _________.

𝒃𝒃𝟑𝟑 (¡Claro! Su arista es 𝒃𝒃).

Autor: Lo tienes.

Ubica estos dos cubos, uno al lado del otro, así:

Figura 2. ¿ ?


4. En la Figura 2., ¿cuánto mide la longitud de la interrogación? a) 𝑎𝑎 − 𝑏𝑏. b) 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏. c) 𝑎𝑎2. d) 𝑎𝑎3.

b

Imagina un cubo, más grande, en torno a estos dos, cuyas aristas midan (𝑎𝑎 + 𝑏𝑏). Algo así:

Agregar dibujo

¿Cuál sería el volumen de este cubo imaginario?

5. Lector: A ver, Autor, debe ser: a) (𝑎𝑎 + 𝑏𝑏)2. b) (𝑎𝑎 + 𝑏𝑏)3. c) 𝑎𝑎2. d) 𝑎𝑎3.

b (La arista de este cubo mide (𝒂𝒂 + 𝒃𝒃)).

Autor: Muy bien, veo que estás muy atento y sigues cada paso…

Sigue avanzando: Vas a rellenar los espacios que faltan para completar este cubo imaginario. Los vas a rellenar con los otros seis sólidos que armaste.

Lector: Listo, Autor. Tengo tres alargados, de color verde. Tengo tres un poco aplanados, de color azul.

Figura 3.


Autor: Exacto, esos seis.

Toma uno azul y acomódalo pegado a los otros, de manera que comience a rellenar el espacio que falta para formar el cubo de arista (𝑎𝑎 + 𝑏𝑏).

Lector: Hay muchísimas posibilidades. Mira, te muestro tres de las que obtuve:

¡Buen trabajo! Elije una de las posiciones que inventaste.

Agrégale, ahora, un ortoedro de los verdes.

Yo voy a usar la primera posición de estas tres (recuerda que hay muchas posibilidades), y agrego un sólido verde a mi manera, tú hazlo a la tuya (o si quieres, sigues la misma elección que yo) y sigue adelante. Al final puedes comparar, sin problemas. Mira, me quedó así:

Figura 4.

Figura 5.


Sigue jugando con estos volúmenes, toma las decisiones que te parezcan. Uno por uno, termina de acomodar los seis ortoedros (tres verdes y tres azules), hasta que llenes el cubo imaginario de arista (𝑎𝑎 + 𝑏𝑏).

Lector: ¡Listo, Autor! Hay muchas maneras de hacerlo, pero de tanto intentar, me di cuenta de que, de todas formas, siempre los puedo acomodar de manera que quede el cubo que necesito.

Te muestro tres de las maneras que conseguí:

Autor: ¡Lo conseguiste!

Ahora, si utilizas cualquiera de esas maneras de organizar todos esos sólidos, puedes calcular el volumen de ese cubo.

6. Lector: Sí, lo puedo calcular como:

𝒄𝒄𝒄𝒄𝒃𝒃𝒄𝒄; 𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒄𝒄; 𝟑𝟑; 𝒗𝒗𝒗𝒗𝒂𝒂𝒗𝒗𝒗𝒗

Al principio de este tau calculaste los volúmenes de los cubos rosado y amarillo.

Lector: Sí, ya los tengo…

𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉 𝑐𝑐𝑉𝑉𝑏𝑏𝑉𝑉 𝑔𝑔𝑔𝑔𝑎𝑎𝑉𝑉𝑔𝑔𝑉𝑉 = 𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉 _______________ 𝑔𝑔𝑉𝑉𝑟𝑟𝑎𝑎𝑔𝑔𝑉𝑉+ 𝑣𝑣𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉 𝑐𝑐𝑉𝑉𝑏𝑏𝑉𝑉 ______________

+3 ∙ 𝑣𝑣𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉 𝑉𝑉𝑔𝑔𝑜𝑜𝑉𝑉𝑉𝑉𝑔𝑔𝑔𝑔𝑉𝑉 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑉𝑉𝑉𝑉

+_____ ∙ 𝑣𝑣𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉 𝑉𝑉𝑔𝑔𝑜𝑜𝑉𝑉𝑉𝑉𝑔𝑔𝑔𝑔𝑉𝑉 _______________.

Figura 6.


7. Los escribo en mi cálculo del volumen grande:

𝒂𝒂; 𝟑𝟑; 𝒃𝒃; 𝟑𝟑 (𝑽𝑽𝒄𝒄𝒂𝒂𝒄𝒄𝒂𝒂𝒗𝒗𝑽𝑽 𝒄𝒄𝒂𝒂𝒐𝒐𝒄𝒄𝒗𝒗𝒗𝒗𝒂𝒂𝒄𝒄 𝒂𝒂𝒄𝒄𝒓𝒓𝒂𝒂𝒗𝒗𝒄𝒄 = 𝒂𝒂𝟑𝟑; 𝒗𝒗𝒄𝒄𝒂𝒂𝒄𝒄𝒂𝒂𝒗𝒗𝑽𝑽 𝒄𝒄𝒂𝒂𝒐𝒐𝒄𝒄𝒗𝒗𝒗𝒗𝒂𝒂𝒄𝒄 𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒄𝒄 = 𝒃𝒃𝟑𝟑).

8. Falta reemplazar aquí también el volumen de los _______________ verdes y _______________.

ortoedros; azules

¡Tremendo problema tan grande, Autor! No tengo ni idea de las medidas de las aristas de estos ortoedros, sean azules o verdes.

Autor: Entiendo, Lector. No te preocupes. Vamos poco a poco.

Mira los sólidos que tienes armados. Pones el ortoedro azul al lado del cubo rosa, y del amarillo, así:

𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉 𝑐𝑐𝑉𝑉𝑏𝑏𝑉𝑉 𝑔𝑔𝑔𝑔𝑎𝑎𝑉𝑉𝑔𝑔𝑉𝑉 = + +3 ∙ 𝑣𝑣𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉 𝑉𝑉𝑔𝑔𝑜𝑜𝑉𝑉𝑉𝑉𝑔𝑔𝑔𝑔𝑉𝑉 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑉𝑉𝑉𝑉

+3 ∙ 𝑣𝑣𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉 𝑉𝑉𝑔𝑔𝑜𝑜𝑉𝑉𝑉𝑉𝑔𝑔𝑔𝑔𝑉𝑉 𝑣𝑣𝑉𝑉𝑔𝑔𝑔𝑔𝑉𝑉.

Figura 7.


𝒂𝒂

𝒂𝒂 𝒃𝒃

9. Entonces, te das cuenta de que las aristas del ortoedro azul miden (completa el dibujo):

Así es, hiciste una deducción sencilla, comparaste los tamaños, de esa manera sabes las dimensiones de este ortoedro.

Calcula, ahora, su volumen.

Lector: Claro, Autor, con mucho gusto.

10. Mira:

𝒃𝒃; 𝒂𝒂; 𝒂𝒂

𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉 𝑉𝑉𝑔𝑔𝑜𝑜𝑉𝑉𝑉𝑉𝑔𝑔𝑔𝑔𝑉𝑉 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑉𝑉𝑉𝑉 = 𝐴𝐴𝑉𝑉𝑐𝑐ℎ𝑉𝑉 × 𝐿𝐿𝑎𝑎𝑔𝑔𝑔𝑔𝑉𝑉 × 𝐴𝐴𝑉𝑉𝑜𝑜𝑉𝑉𝑔𝑔𝑎𝑎 = _____ × _____ × _____

Figura 8.

¿ ? ¿ ?

¿ ?


11. Autor: Y esto, se escribe, en álgebra, en su forma más simple: a) 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑏𝑏. b) 𝑏𝑏𝑎𝑎𝑎𝑎. c) 𝑎𝑎2𝑏𝑏1. d) 𝑎𝑎2𝑏𝑏. e) Todas las anteriores.

d (𝑽𝑽𝒄𝒄𝒂𝒂𝒄𝒄𝒂𝒂𝒗𝒗𝑽𝑽 𝒄𝒄𝒂𝒂𝒐𝒐𝒄𝒄𝒗𝒗𝒗𝒗𝒂𝒂𝒄𝒄 𝒂𝒂𝒂𝒂𝒄𝒄𝒂𝒂 = 𝒂𝒂 × 𝒂𝒂 × 𝒃𝒃 = 𝒂𝒂𝟐𝟐𝒃𝒃).

Las otras opciones son correctas, son equivalentes entre sí, pero solamente la [d] es la manera convencional, y más simple, en álgebra.

¡Excelente! Ya tienes las medidas y el volumen de los ortoedros azules.

Continúa con los ortoedros verdes, que son un poco más alargados.

Lector: Listo, Autor.

Para saber las medidas de estos ortoedros, tomo uno y lo comparo con el cubo rosado y el cubito amarillo. Mira, encuentro estas dos maneras, aunque me parece que puede haber muchas formas de acomodarlos para compararlos:

Autor: ¡Muy bien!

Entonces, ¿cuáles son las medidas de los ortoedros verdes?

Figura 9.


12. Lector: Te las escribo en un dibujo:

13. Entonces, el volumen de estos ortoedros es: a) 𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉 𝑉𝑉𝑔𝑔𝑜𝑜𝑉𝑉𝑉𝑉𝑔𝑔𝑔𝑔𝑉𝑉 𝑣𝑣𝑉𝑉𝑔𝑔𝑔𝑔𝑉𝑉 = 𝑎𝑎2𝑏𝑏. b) 𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉 𝑉𝑉𝑔𝑔𝑜𝑜𝑉𝑉𝑉𝑉𝑔𝑔𝑔𝑔𝑉𝑉 𝑣𝑣𝑉𝑉𝑔𝑔𝑔𝑔𝑉𝑉 = 𝑏𝑏2𝑎𝑎. c) 𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉 𝑉𝑉𝑔𝑔𝑜𝑜𝑉𝑉𝑉𝑉𝑔𝑔𝑔𝑔𝑉𝑉 𝑣𝑣𝑉𝑉𝑔𝑔𝑔𝑔𝑉𝑉 = 𝑎𝑎𝑏𝑏. d) 𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉 𝑉𝑉𝑔𝑔𝑜𝑜𝑉𝑉𝑉𝑉𝑔𝑔𝑔𝑔𝑉𝑉 𝑣𝑣𝑉𝑉𝑔𝑔𝑔𝑔𝑉𝑉 = 𝑎𝑎𝑏𝑏2.

b; d (Estas dos expresiones algebraicas son equivalentes).

14. Autor: Muy bien, ya puedes expresar el volumen del cubo grande, de lado __________, como la suma de todos estos volúmenes con los que construiste ese cubo.

(𝒂𝒂 + 𝒃𝒃)

Figura 10.

¿ ?

¿ ? ¿ ?

𝒃𝒃

𝒂𝒂

𝒃𝒃


Regresa a las preguntas 6 y 7.

15. Como ya calculaste todos esos volúmenes, solamente te falta reemplazarlos:

𝒂𝒂; 𝟑𝟑; 𝒃𝒃; 𝟑𝟑; 𝒂𝒂; 𝟐𝟐; 𝒃𝒃; 𝒂𝒂; 𝒃𝒃; 𝟐𝟐 (𝑽𝑽𝒄𝒄𝒂𝒂𝒄𝒄𝒂𝒂𝒗𝒗𝑽𝑽 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒃𝒃𝒄𝒄 𝒈𝒈𝒂𝒂𝒂𝒂𝑽𝑽𝒗𝒗𝒗𝒗 = 𝒂𝒂𝟑𝟑 + 𝒃𝒃𝟑𝟑 + 𝟑𝟑𝒂𝒂𝟐𝟐𝒃𝒃 + 𝟑𝟑𝒃𝒃𝟐𝟐𝒂𝒂).

16. Ordena esta última expresión respecto a 𝑎𝑎:

𝒂𝒂𝟑𝟑 + 𝟑𝟑𝒂𝒂𝟐𝟐𝒃𝒃+ 𝟑𝟑𝒂𝒂𝒃𝒃𝟐𝟐 + 𝒃𝒃𝟑𝟑

17. También sabes, desde el inicio de este tau que la arista de ese cubo grande es: _________. También sabes, desde hace varios años, que el volumen de un cubo es su arista elevada al…

a) cubo. b) cuadrado. c) triángulo. d) a la cero.

𝒂𝒂; a (Si no lo sabes, realiza un refuerzo en el tema de volumen, pregúntale a tu tutor).

18. Entonces, el volumen de este cubo grande es, también:

𝒂𝒂; 𝒃𝒃 𝑽𝑽𝒄𝒄𝒂𝒂𝒄𝒄𝒂𝒂𝒗𝒗𝑽𝑽 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒃𝒃𝒄𝒄 𝒈𝒈𝒂𝒂𝒂𝒂𝑽𝑽𝒗𝒗𝒗𝒗 = (𝒂𝒂 + 𝒃𝒃)𝟑𝟑

Mira las preguntas 16 y 18. Ya puedes concluir…

Lector: Listo, tengo una nueva regla:

𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉 𝑐𝑐𝑉𝑉𝑏𝑏𝑉𝑉 𝑔𝑔𝑔𝑔𝑎𝑎𝑉𝑉𝑔𝑔𝑉𝑉 = 𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉 𝑐𝑐𝑉𝑉𝑏𝑏𝑉𝑉 𝑔𝑔𝑉𝑉𝑟𝑟𝑎𝑎𝑔𝑔𝑉𝑉+ 𝑣𝑣𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉 𝑐𝑐𝑉𝑉𝑏𝑏𝑉𝑉 𝑎𝑎𝑉𝑉𝑎𝑎𝑔𝑔𝑎𝑎𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉

+3 ∙ 𝑣𝑣𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉 𝑉𝑉𝑔𝑔𝑜𝑜𝑉𝑉𝑉𝑉𝑔𝑔𝑔𝑔𝑉𝑉 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑉𝑉𝑉𝑉

+3 ∙ 𝑣𝑣𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉 𝑉𝑉𝑔𝑔𝑜𝑜𝑉𝑉𝑉𝑉𝑔𝑔𝑔𝑔𝑉𝑉 𝑣𝑣𝑉𝑉𝑔𝑔𝑔𝑔𝑉𝑉.

𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉 𝑐𝑐𝑉𝑉𝑏𝑏𝑉𝑉 𝑔𝑔𝑔𝑔𝑎𝑎𝑉𝑉𝑔𝑔𝑉𝑉 = ____________________________________________.

𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉 𝑐𝑐𝑉𝑉𝑏𝑏𝑉𝑉 𝑔𝑔𝑔𝑔𝑎𝑎𝑉𝑉𝑔𝑔𝑉𝑉 = (____ + ____)3.

(𝑎𝑎 + 𝑏𝑏)3 = 𝑎𝑎3 + 3𝑎𝑎2𝑏𝑏 + 3𝑎𝑎𝑏𝑏2 + 𝑏𝑏3

𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉 𝑐𝑐𝑉𝑉𝑏𝑏𝑉𝑉 𝑔𝑔𝑔𝑔𝑎𝑎𝑉𝑉𝑔𝑔𝑉𝑉 = +

+3

+3


(𝑎𝑎 + 𝑏𝑏)3 = (𝑎𝑎 + 2 + 𝑏𝑏 )(𝑎𝑎 + 𝑏𝑏)

Autor: ¡Muy buen trabajo! Ya te estás convirtiendo en un experto algebrista. Logras inventar reglas muy útiles, a partir de problemas que hacen necesario el uso de letras, porque, para resolverlos necesitas hacer cálculos con cantidades desconocidas, como 𝑎𝑎 y 𝑏𝑏.

Pero falta un último paso: Siempre, en matemáticas, necesitas comprobar que las cosas que has hecho estén correctas.

Lector: Listo, Autor. Voy a comprobarlo. Para esto, realizo el cubo (𝑎𝑎 + 𝑏𝑏)3.

19. Ya sé que la tercera potencia de (𝑎𝑎 + 𝑏𝑏) se puede desbaratar así:

𝟐𝟐

20. También sé que:

𝟐𝟐; 𝒂𝒂; 𝒃𝒃; 𝟐𝟐 (𝒂𝒂𝟐𝟐 + 𝟐𝟐𝒂𝒂𝒃𝒃+ 𝒃𝒃𝟐𝟐).

21. Entonces:

𝟐𝟐; 𝒂𝒂; 𝒃𝒃; 𝟐𝟐 ((𝒂𝒂 + 𝒃𝒃)𝟑𝟑 = (𝒂𝒂𝟐𝟐 + 𝟐𝟐𝒂𝒂𝒃𝒃+ 𝒃𝒃𝟐𝟐)(𝒂𝒂 + 𝒃𝒃)).

Autor: Bien. Ahora, aplica la propiedad distributiva, reduce términos semejantes y ordena respecto a 𝑎𝑎.

22. Completa:

𝒂𝒂; 𝒃𝒃; 𝒂𝒂𝟑𝟑 + 𝟑𝟑𝒂𝒂𝟐𝟐𝒃𝒃+ 𝟑𝟑𝒂𝒂𝒃𝒃𝟐𝟐 + 𝒃𝒃𝟑𝟑

Lector: Listo. El resultado coincide. Da lo mismo expandir el producto que calcular los volúmenes de los pedazos que forman el cubo grande. La regla que descubrí queda verificada.

(𝑎𝑎 + 𝑏𝑏)3 = (𝑎𝑎 + 𝑏𝑏) (𝑎𝑎 + 𝑏𝑏)

(𝑎𝑎 + 𝑏𝑏)2 = 𝑎𝑎 + 2 + 𝑏𝑏

= __________________________. = (𝑎𝑎2 + 2𝑎𝑎𝑏𝑏 + 𝑏𝑏2) ∙ +(𝑎𝑎2 + 2𝑎𝑎𝑏𝑏 + 𝑏𝑏2) ∙

(𝑎𝑎 + 𝑏𝑏)3 = (𝑎𝑎2 + 2𝑎𝑎𝑏𝑏 + 𝑏𝑏2)(𝑎𝑎 + 𝑏𝑏)


23. Conclusión: (𝑎𝑎 + 𝑏𝑏)3 es igual a… a) 𝑎𝑎3 + 3𝑎𝑎3𝑏𝑏 + 3𝑎𝑎𝑏𝑏3 + 𝑏𝑏3. b) 𝑎𝑎2 + 3𝑎𝑎3𝑏𝑏 + 3𝑎𝑎𝑏𝑏2 + 𝑏𝑏2. c) 𝑎𝑎3 + 3𝑎𝑎2𝑏𝑏 + 3𝑎𝑎𝑏𝑏2 + 𝑏𝑏3. d) 𝑎𝑎2 + 3𝑎𝑎2𝑏𝑏 + 3𝑎𝑎𝑏𝑏2 + 𝑏𝑏2.

c

24. Eso, en palabras, es: “Una suma elevada al cubo ((𝑎𝑎 + 𝑏𝑏)3) es igual al cubo del primer término (𝑎𝑎3), más tres veces el cuadrado del primer ____________ por el segundo (3𝑎𝑎2𝑏𝑏), más tres veces el primero por el ____________ del segundo (3𝑎𝑎𝑏𝑏2), más el ___________ del segundo (𝑏𝑏3).”

término; cuadrado; cubo

Resuelve: (𝑉𝑉 + 3)3.

25. El cubo del primer término es ______. El cuadrado del primer término es _____. El cuadrado del segundo término es _____.

𝑽𝑽𝟑𝟑;𝑽𝑽𝟐𝟐;𝟗𝟗

26. El cubo del segundo término es

𝟑𝟑; 𝟑𝟑; 𝟐𝟐𝟐𝟐

27. El producto del cuadrado del primero por el segundo es ______. El producto del primero por el cuadrado del segundo es _____.

𝟑𝟑𝑽𝑽𝟐𝟐;𝟗𝟗𝑽𝑽

= ______.

𝐸𝐸𝑉𝑉 𝑝𝑝𝑔𝑔𝑎𝑎𝑉𝑉𝑉𝑉𝑔𝑔𝑉𝑉 𝑎𝑎𝑉𝑉 𝑐𝑐𝑉𝑉𝑏𝑏𝑉𝑉

𝐸𝐸𝑉𝑉 𝑜𝑜𝑔𝑔𝑎𝑎𝑝𝑝𝑉𝑉𝑉𝑉 𝑝𝑝𝑔𝑔𝑉𝑉𝑔𝑔𝑉𝑉𝑐𝑐𝑜𝑜𝑉𝑉 𝑔𝑔𝑉𝑉𝑉𝑉 𝑐𝑐𝑉𝑉𝑎𝑎𝑔𝑔𝑔𝑔𝑎𝑎𝑔𝑔𝑉𝑉 𝑔𝑔𝑉𝑉𝑉𝑉 𝑝𝑝𝑔𝑔𝑎𝑎𝑉𝑉𝑉𝑉𝑔𝑔𝑉𝑉 𝑝𝑝𝑉𝑉𝑔𝑔 𝑉𝑉𝑉𝑉 𝑟𝑟𝑉𝑉𝑔𝑔𝑉𝑉𝑉𝑉𝑔𝑔𝑉𝑉

𝐸𝐸𝑉𝑉 𝑟𝑟𝑉𝑉𝑔𝑔𝑉𝑉𝑉𝑉𝑔𝑔𝑉𝑉 𝑎𝑎𝑉𝑉 𝑐𝑐𝑉𝑉𝑏𝑏𝑉𝑉

(𝑝𝑝 + 𝑞𝑞)3 = 𝑝𝑝3 + 3𝑝𝑝2𝑞𝑞 + 3𝑝𝑝𝑞𝑞2 + 𝑞𝑞3

𝐸𝐸𝑉𝑉 𝑝𝑝𝑔𝑔𝑎𝑎𝑉𝑉𝑉𝑉𝑔𝑔𝑉𝑉 𝐸𝐸𝑉𝑉 𝑟𝑟𝑉𝑉𝑔𝑔𝑉𝑉𝑉𝑉𝑔𝑔𝑉𝑉

𝐸𝐸𝑉𝑉 𝑜𝑜𝑔𝑔𝑎𝑎𝑝𝑝𝑉𝑉𝑉𝑉 𝑝𝑝𝑔𝑔𝑉𝑉𝑔𝑔𝑉𝑉𝑐𝑐𝑜𝑜𝑉𝑉 𝑔𝑔𝑉𝑉𝑉𝑉 𝑐𝑐𝑉𝑉𝑎𝑎𝑔𝑔𝑔𝑔𝑎𝑎𝑔𝑔𝑉𝑉 𝑔𝑔𝑉𝑉𝑉𝑉 𝑝𝑝𝑔𝑔𝑎𝑎𝑉𝑉𝑉𝑉𝑔𝑔𝑉𝑉 𝑝𝑝𝑉𝑉𝑔𝑔 𝑉𝑉𝑉𝑉 𝑟𝑟𝑉𝑉𝑔𝑔𝑉𝑉𝑉𝑉𝑔𝑔𝑉𝑉

Figura 11.


28. Ahora, escríbelo completo: (𝑉𝑉 + 3)3 = ______ + 3______ + 3_____ + _____ =___________________.

𝑽𝑽𝟑𝟑;𝟑𝟑𝑽𝑽𝟐𝟐;𝟗𝟗𝑽𝑽;𝟐𝟐𝟐𝟐; 𝑽𝑽𝟑𝟑 + 𝟗𝟗𝑽𝑽𝟐𝟐 + 𝟐𝟐𝟐𝟐𝑽𝑽 + 𝟐𝟐𝟐𝟐

Ahora resuelve éste: (2𝑥𝑥 + 1)3.

29. El cubo del primer término es _______. El cubo del segundo es _____.

𝟖𝟖𝒙𝒙𝟑𝟑; 𝟏𝟏

30. El triple del producto del cuadrado del primero por el segundo es _____. El triple del producto del primero por el cuadrado del segundo es _____.

𝟏𝟏𝟐𝟐𝒙𝒙𝟐𝟐; 𝟔𝟔𝒙𝒙

31. Escríbelo completo. (2𝑥𝑥 + 1)3 = ______________________.

𝟖𝟖𝒙𝒙𝟑𝟑 + 𝟏𝟏𝟐𝟐𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝟔𝟔𝒙𝒙+ 𝟏𝟏

Otro ejercicio: (2𝑝𝑝 + 3𝑘𝑘2)3.

32. El cubo del primer término es _____. El cubo del segundo término es _____.

𝟖𝟖𝒑𝒑𝟑𝟑; 𝟐𝟐𝟐𝟐𝒌𝒌𝟔𝟔

33. El triple del producto del cuadrado del primero por el segundo es ______. El triple del primero por el cuadrado del segundo es ______.

𝟑𝟑𝟔𝟔𝒑𝒑𝟐𝟐𝒌𝒌𝟐𝟐; 𝟓𝟓𝟓𝟓𝒑𝒑𝒌𝒌𝟓𝟓

34. Entonces, (2𝑝𝑝 + 3𝑘𝑘2)3 = _____________________.

𝟖𝟖𝒑𝒑𝟑𝟑 + 𝟑𝟑𝟔𝟔𝒑𝒑𝟐𝟐𝒌𝒌𝟐𝟐 + 𝟓𝟓𝟓𝟓𝒑𝒑𝒌𝒌𝟓𝟓 + 𝟐𝟐𝟐𝟐𝒌𝒌𝟔𝟔

Ejercicio: (𝑐𝑐𝑧𝑧 + 𝑔𝑔𝑤𝑤)3.

35. El cubo del primer término es _____. El cubo del segundo término es _____.

𝒄𝒄𝟑𝟑𝒂𝒂; 𝒗𝒗𝟑𝟑𝟑𝟑


36. El triple del producto del cuadrado del primero por el segundo es ______. El triple del producto del primero por el cuadrado del segundo es ______.

𝟑𝟑𝒄𝒄𝟐𝟐𝒂𝒂𝒗𝒗𝟑𝟑; 𝟑𝟑𝒄𝒄𝒂𝒂𝒗𝒗𝟐𝟐𝟑𝟑

37. Entonces, (𝑐𝑐𝑧𝑧 + 𝑔𝑔𝑤𝑤)3 = ______________________________.

𝒄𝒄𝟑𝟑𝒂𝒂 + 𝟑𝟑𝒄𝒄𝟐𝟐𝒂𝒂𝒗𝒗𝟑𝟑 + 𝟑𝟑𝒄𝒄𝒂𝒂𝒗𝒗𝟐𝟐𝟑𝟑 + 𝒗𝒗𝟑𝟑𝟑𝟑


B. EJERCICIOS

38. Resuelve los siguientes ejercicios. Compara las soluciones con las que te damos. i. (𝑥𝑥 + 5)3 ii. (1 + 𝑏𝑏)3 iii. (2𝑥𝑥 + 𝑦𝑦)3 iv. (𝑎𝑎 + 4𝑏𝑏)3 v. (4𝑥𝑥 + 5)3 vi. (𝑎𝑎 + 3)3 vii. (2 + 2𝑦𝑦)3 viii. (2𝑎𝑎 + 3𝑏𝑏)3 ix. (𝑥𝑥2 + 4)3 x. (𝑎𝑎2 + 𝑏𝑏2)3 xi. (2𝑥𝑥2 + 3𝑦𝑦2)3 xii. (3𝑥𝑥2 + 5𝑦𝑦2)3 xiii. (3

7𝑏𝑏𝑚𝑚 + 4

9𝑔𝑔𝑛𝑛)3

xiv. (23𝑥𝑥𝑎𝑎 + 3

4𝑦𝑦2𝑏𝑏)3

xv. (14𝑉𝑉2𝑥𝑥+𝑦𝑦 + 1

3𝑉𝑉2𝑥𝑥−𝑦𝑦)3

i. 𝒙𝒙𝟑𝟑 + 𝟏𝟏𝟓𝟓𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝟐𝟐𝟓𝟓𝒙𝒙+ 𝟏𝟏𝟐𝟐𝟓𝟓

ii. 𝟏𝟏 + 𝟑𝟑𝒃𝒃+ 𝟑𝟑𝒃𝒃𝟐𝟐 + 𝒃𝒃𝟑𝟑 iii. 𝟖𝟖𝒙𝒙𝟑𝟑 + 𝟏𝟏𝟐𝟐𝒙𝒙𝟐𝟐𝒚𝒚 + 𝟔𝟔𝒙𝒙𝒚𝒚𝟐𝟐 + 𝒚𝒚𝟑𝟑 iv. 𝒂𝒂𝟑𝟑 + 𝟏𝟏𝟐𝟐𝒂𝒂𝟐𝟐𝒃𝒃+ 𝟓𝟓𝟖𝟖𝒃𝒃𝟐𝟐 + 𝟔𝟔𝟓𝟓𝒃𝒃𝟑𝟑 v. 𝟔𝟔𝟓𝟓𝒙𝒙𝟑𝟑 + 𝟐𝟐𝟓𝟓𝟐𝟐𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝟑𝟑𝟐𝟐𝟐𝟐𝒙𝒙+ 𝟏𝟏𝟐𝟐𝟓𝟓 vi. 𝒂𝒂𝟑𝟑 + 𝟗𝟗𝒂𝒂𝟐𝟐 + 𝟐𝟐𝟐𝟐𝒂𝒂+ 𝟐𝟐𝟐𝟐

vii. 𝟖𝟖 + 𝟐𝟐𝟓𝟓𝒚𝒚 + 𝟐𝟐𝟓𝟓𝒚𝒚𝟐𝟐 + 𝟖𝟖𝒚𝒚𝟑𝟑 viii. 𝟖𝟖𝒂𝒂𝟑𝟑 + 𝟑𝟑𝟔𝟔𝒂𝒂𝟐𝟐𝒃𝒃+ 𝟓𝟓𝟓𝟓𝒂𝒂𝒃𝒃𝟐𝟐 + 𝟐𝟐𝟐𝟐𝒃𝒃𝟑𝟑 ix. 𝒙𝒙𝟔𝟔 + 𝟏𝟏𝟐𝟐𝒙𝒙𝟓𝟓 + 𝟓𝟓𝟖𝟖𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝟔𝟔𝟓𝟓 x. 𝒂𝒂𝟔𝟔 + 𝟑𝟑𝒂𝒂𝟓𝟓𝒃𝒃𝟐𝟐 + 𝟑𝟑𝒂𝒂𝟐𝟐𝒃𝒃𝟓𝟓 + 𝒃𝒃𝟔𝟔 xi. 𝟖𝟖𝒙𝒙𝟔𝟔 + 𝟑𝟑𝟔𝟔𝒙𝒙𝟓𝟓𝒚𝒚𝟐𝟐 + 𝟓𝟓𝟓𝟓𝒙𝒙𝟐𝟐𝒚𝒚𝟓𝟓 + 𝟐𝟐𝟐𝟐𝒚𝒚𝟔𝟔

xii. 𝟐𝟐𝟐𝟐𝒙𝒙𝟔𝟔 + 𝟏𝟏𝟑𝟑𝟓𝟓𝒙𝒙𝟓𝟓𝒚𝒚𝟐𝟐 + 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟓𝟓𝒙𝒙𝟐𝟐𝒚𝒚𝟓𝟓 xiii. 𝟐𝟐𝟐𝟐

𝟑𝟑𝟓𝟓𝟑𝟑𝒃𝒃𝟑𝟑𝒂𝒂 + 𝟏𝟏𝟐𝟐

𝟓𝟓𝟗𝟗𝒃𝒃𝟐𝟐𝒂𝒂𝒈𝒈𝑽𝑽 + 𝟏𝟏𝟔𝟔

𝟔𝟔𝟑𝟑𝒃𝒃𝒂𝒂𝒈𝒈𝟐𝟐𝑽𝑽 + 𝟔𝟔𝟓𝟓

𝟐𝟐𝟐𝟐𝟗𝟗𝒈𝒈𝟑𝟑𝑽𝑽

xiv. 𝟖𝟖𝟐𝟐𝟐𝟐𝒙𝒙𝟑𝟑𝒂𝒂 + 𝒙𝒙𝟐𝟐𝒂𝒂𝒚𝒚𝟐𝟐𝒃𝒃 + 𝟗𝟗

𝟖𝟖𝒙𝒙𝒂𝒂𝒚𝒚𝟓𝟓𝒃𝒃 + 𝟐𝟐𝟐𝟐

𝟔𝟔𝟓𝟓𝒚𝒚𝟔𝟔𝒃𝒃

xv. 𝟏𝟏𝟔𝟔𝟓𝟓𝒂𝒂𝟔𝟔𝒙𝒙+𝟑𝟑𝒚𝒚 + 𝟏𝟏

𝟏𝟏𝟔𝟔𝒂𝒂𝟔𝟔𝒙𝒙+𝒚𝒚 + 𝟏𝟏

𝟏𝟏𝟐𝟐𝒂𝒂𝟔𝟔𝒙𝒙−𝒚𝒚 + 𝟏𝟏

𝟐𝟐𝟐𝟐𝒂𝒂𝟔𝟔𝒙𝒙−𝟑𝟑𝒚𝒚


II. Cubo de una diferencia

Autor: Ya tienes mucha habilidad para armar volúmenes por pedazos.

Ahora, trabajarás con el volumen, pero de una resta.

En este capítulo vas a descubrir la regla para el volumen de un cubo de arista (𝑎𝑎 − 𝑏𝑏).

Lector: Listo, ya tengo mucha práctica, ¡aquí voy!

Autor: Comienza, entonces por acá…

39. Sabes bien que: (Escribe el exponente que falta.)

𝟐𝟐 ((𝒂𝒂 − 𝒃𝒃)𝟑𝟑 = (𝒂𝒂 − 𝒃𝒃)𝟐𝟐 ∙ (𝒂𝒂 − 𝒃𝒃)).

40. Entonces: (𝑎𝑎 − 𝑏𝑏)3 =… a) (𝑎𝑎2 + 2𝑎𝑎𝑏𝑏 + 𝑏𝑏2) ∙ (𝑎𝑎) − (𝑎𝑎2 − 2𝑎𝑎𝑏𝑏 + 𝑏𝑏2) ∙ (𝑏𝑏) b) (𝑎𝑎2 − 2𝑎𝑎𝑏𝑏 + 𝑏𝑏2) ∙ (𝑎𝑎) − (𝑎𝑎2 + 2𝑎𝑎𝑏𝑏 + 𝑏𝑏2) ∙ (𝑏𝑏) c) (𝑎𝑎2 − 2𝑎𝑎𝑏𝑏 + 𝑏𝑏2) ∙ (𝑎𝑎) − (𝑎𝑎2 − 2𝑎𝑎𝑏𝑏 + 𝑏𝑏2) ∙ (𝑏𝑏) d) (𝑎𝑎2 − 2𝑎𝑎𝑏𝑏 + 𝑏𝑏2) ∙ (𝑎𝑎) + (𝑎𝑎2 − 2𝑎𝑎𝑏𝑏 + 𝑏𝑏2) ∙ (−𝑏𝑏)

c; d

41. Utiliza la propiedad distributiva: (𝑎𝑎 − 𝑏𝑏)3 = 𝑎𝑎3 − _________ + 𝑎𝑎𝑏𝑏2 − 𝑎𝑎2𝑏𝑏 + _________ − 𝑏𝑏3 .

𝟐𝟐𝒂𝒂𝟐𝟐𝒃𝒃; 𝟐𝟐𝒂𝒂𝒃𝒃𝟐𝟐

42. Reduce los términos semejantes y ordena respecto a 𝑎𝑎: (𝑎𝑎 − 𝑏𝑏)3 = ___________________________________ = ____________________.

𝒂𝒂𝟑𝟑 − 𝟐𝟐𝒂𝒂𝟐𝟐𝒃𝒃 − 𝒂𝒂𝟐𝟐𝒃𝒃+ 𝒂𝒂𝒃𝒃𝟐𝟐 + 𝟐𝟐𝒂𝒂𝒃𝒃𝟐𝟐 − 𝒃𝒃𝟑𝟑; 𝒂𝒂𝟑𝟑 − 𝟑𝟑𝒂𝒂𝟐𝟐𝒃𝒃 + 𝟑𝟑𝒂𝒂𝒃𝒃𝟐𝟐 − 𝒃𝒃𝟑𝟑

Orden descendente respect a la letra 𝑎𝑎.

43. Observa bien los signos de ese resultado. El signo del primer término es +. El del segundo es ____. El del tercero es ____. Y, el del cuarto es ____.

– ; +; –

(𝑎𝑎 − 𝑏𝑏)3 = (𝑎𝑎 − 𝑏𝑏) ∙ (𝑎𝑎 − 𝑏𝑏).


Ahora, compara estos dos productos notables:

44. Según eso, … a) los exponentes de los términos son diferentes en ambas soluciones (el primero con el

primero, etc.) b) los exponentes de los términos son iguales en ambas soluciones. c) todos los signos son positivos en la solución del cubo de la suma. En la diferencia son

todos negativos. d) los signos son positivos en el cubo de la suma. En la diferencia se alternan así: más,

menos, más, menos.

b; d

¿A qué es igual (2𝑦𝑦 − 3𝑏𝑏2)3? Vamos por partes:

45. El cubo del primer término es ______. El cuadrado del primer término es ______. El cubo del segundo término es ______. El cuadrado del segundo término es ______.

𝟖𝟖𝒚𝒚𝟑𝟑; 𝟓𝟓𝒚𝒚𝟐𝟐; 𝟐𝟐𝟐𝟐𝒃𝒃𝟔𝟔; 𝟗𝟗𝒃𝒃𝟓𝟓

46. El triple del producto del cuadrado del primer término por el segundo es ______________. El triple del producto del primer término por el cuadrado del segundo es _______________.

𝟑𝟑𝟔𝟔𝒚𝒚𝟐𝟐𝒃𝒃𝟐𝟐(𝟑𝟑 ∙ 𝟓𝟓𝒚𝒚𝟐𝟐 ∙ 𝟑𝟑𝒃𝒃𝟐𝟐); 𝟓𝟓𝟓𝟓𝒚𝒚𝒃𝒃𝟓𝟓(𝟑𝟑 ∙ 𝟐𝟐𝒚𝒚 ∙ 𝟗𝟗𝒃𝒃𝟓𝟓)

47. Ahora escríbelo completo: (2𝑦𝑦 − 3𝑏𝑏2)3 = ___________________________________________.

𝟖𝟖𝒚𝒚𝟑𝟑 − 𝟑𝟑𝟔𝟔𝒚𝒚𝟐𝟐𝒃𝒃𝟐𝟐 + 𝟓𝟓𝟓𝟓𝒚𝒚𝒃𝒃𝟓𝟓 − 𝟐𝟐𝟐𝟐𝒃𝒃𝟔𝟔

48. Resuelve: (𝑐𝑐𝑝𝑝−1 − 𝑞𝑞𝑤𝑤−3)3. El triple del producto del cuadrado del primer término por el segundo es ____________. El triple del producto del primero por el cuadrado del segundo es ____________.

𝟑𝟑𝒄𝒄𝟐𝟐𝒑𝒑−𝟐𝟐𝒒𝒒𝟑𝟑−𝟑𝟑

49. Ahora completo: (𝑐𝑐𝑝𝑝−1 − 𝑞𝑞𝑤𝑤−3)3 = ____________________________.

𝒄𝒄𝟑𝟑𝒑𝒑−𝟑𝟑 − 𝟑𝟑𝒄𝒄𝟐𝟐𝒑𝒑−𝟐𝟐𝒒𝒒𝟑𝟑−𝟑𝟑 + 𝟑𝟑𝒄𝒄𝒑𝒑−𝟏𝟏𝒒𝒒𝟐𝟐𝟑𝟑−𝟔𝟔 − 𝒒𝒒𝟑𝟑𝟑𝟑−𝟗𝟗

(𝑎𝑎 + 𝑏𝑏)3 = 𝑎𝑎3 + 3𝑎𝑎2𝑏𝑏 + 3𝑎𝑎𝑏𝑏2 + 𝑏𝑏3 (𝑎𝑎 − 𝑏𝑏)3 = 𝑎𝑎3 − 3𝑎𝑎2𝑏𝑏 + 3𝑎𝑎𝑏𝑏2 − 𝑏𝑏3


50. Entonces el cubo de la diferencia de dos términos es igual al ___________ del primero, menos 3 veces ______________________ por el segundo, más 3 veces el primero por _________________________, menos el cubo del segundo.

cubo, el cuadrado del primero, el cuadrado del segundo


A. EJERCICIOS

51. Resuelve estos ejercicios: i. (1 − 𝑦𝑦)3 ii. (3𝑉𝑉− 2𝑉𝑉)3 iii. (1

2𝑥𝑥 − 2)3

iv. (23𝑝𝑝 − 1

5𝑞𝑞)3

v. (𝑥𝑥2 − 3𝑦𝑦)3 vi. (1 − 2𝑘𝑘)3 vii. (2 − 4𝑎𝑎𝑉𝑉)3 viii. (3

4𝑥𝑥𝑦𝑦 − 2

3𝑦𝑦𝑎𝑎)3

ix. (𝑥𝑥𝑎𝑎+1 − 8)3 x. (𝑉𝑉𝑥𝑥+2 − 𝑉𝑉𝑥𝑥+2)3 xi. (𝑉𝑉𝑦𝑦 − 2

3)3

xii. (15𝑜𝑜 − 1

3𝑣𝑣)3

xiii. (17𝑓𝑓𝑚𝑚 − 2

5𝑔𝑔𝑛𝑛)3

xiv. (9𝑥𝑥3𝑏𝑏 − 13𝑦𝑦3𝑏𝑏+3)3

xv. (14𝑎𝑎𝑥𝑥+𝑦𝑦 − 1

2𝑏𝑏𝑥𝑥−𝑦𝑦)3

i. 𝟏𝟏 − 𝟑𝟑𝒚𝒚 + 𝟑𝟑𝒚𝒚𝟐𝟐 + 𝒚𝒚𝟑𝟑

ii. 𝟐𝟐𝟐𝟐𝒂𝒂𝟑𝟑 − 𝟓𝟓𝟓𝟓𝒂𝒂𝟐𝟐𝑽𝑽+ 𝟑𝟑𝟔𝟔𝒂𝒂𝑽𝑽𝟐𝟐 − 𝟖𝟖𝑽𝑽𝟑𝟑 iii. 𝟏𝟏

𝟖𝟖𝒙𝒙𝟑𝟑 − 𝟑𝟑

𝟐𝟐𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝟏𝟏𝟐𝟐𝒙𝒙 − 𝟖𝟖

iv. 𝟖𝟖𝟐𝟐𝟐𝟐𝒑𝒑𝟑𝟑 − 𝟓𝟓

𝟏𝟏𝟓𝟓𝒑𝒑𝟐𝟐𝒒𝒒+ 𝟐𝟐

𝟐𝟐𝟓𝟓𝒑𝒑𝒒𝒒𝟐𝟐 − 𝟏𝟏

𝟏𝟏𝟐𝟐𝟓𝟓𝒒𝒒𝟑𝟑

v. 𝒙𝒙𝟔𝟔 − 𝟗𝟗𝒙𝒙𝟓𝟓𝒚𝒚 + 𝟐𝟐𝟐𝟐𝒙𝒙𝟐𝟐𝒚𝒚𝟐𝟐 − 𝟐𝟐𝟐𝟐𝒚𝒚𝟑𝟑 vi. 𝟏𝟏 − 𝟔𝟔𝒌𝒌+ 𝟏𝟏𝟐𝟐𝒌𝒌𝟐𝟐 − 𝟖𝟖𝒌𝒌𝟑𝟑

vii. 𝟖𝟖 − 𝟓𝟓𝟖𝟖𝒂𝒂𝑽𝑽+ 𝟗𝟗𝟔𝟔𝒂𝒂𝟐𝟐𝑽𝑽𝟐𝟐 − 𝟔𝟔𝟓𝟓𝒂𝒂𝟑𝟑𝑽𝑽𝟑𝟑 viii. 𝟐𝟐𝟐𝟐

𝟔𝟔𝟓𝟓𝒙𝒙𝟑𝟑𝒚𝒚𝟑𝟑 − 𝟗𝟗

𝟓𝟓𝒙𝒙𝟐𝟐𝒚𝒚𝟑𝟑𝒂𝒂+ 𝒙𝒙𝒚𝒚𝟐𝟐𝒂𝒂 − 𝟖𝟖

𝟐𝟐𝟐𝟐𝒚𝒚𝟑𝟑𝒂𝒂𝟑𝟑

ix. 𝒙𝒙𝟑𝟑𝒂𝒂+𝟑𝟑 − 𝟐𝟐𝟓𝟓𝒙𝒙𝟐𝟐𝒂𝒂+𝟐𝟐 + 𝟏𝟏𝟗𝟗𝟐𝟐𝒙𝒙𝒂𝒂+𝟏𝟏 − 𝟓𝟓𝟏𝟏𝟐𝟐 x. 𝒂𝒂𝟑𝟑𝒙𝒙+𝟔𝟔 − 𝟑𝟑𝒂𝒂𝟐𝟐𝒙𝒙+𝟓𝟓𝑽𝑽𝒙𝒙+𝟐𝟐 + 𝟑𝟑𝒂𝒂𝒙𝒙+𝟐𝟐𝑽𝑽𝟐𝟐𝒙𝒙+𝟓𝟓 − 𝑽𝑽𝟑𝟑𝒙𝒙+𝟔𝟔 xi. 𝒂𝒂𝟑𝟑𝒚𝒚 − 𝟐𝟐𝒂𝒂𝟐𝟐𝒚𝒚 + 𝟓𝟓

𝟑𝟑𝒂𝒂𝒚𝒚 − 𝟖𝟖

𝟐𝟐𝟐𝟐

xii. 𝒐𝒐𝟑𝟑

𝟏𝟏𝟐𝟐𝟓𝟓− 𝒐𝒐𝟐𝟐𝒗𝒗

𝟏𝟏𝟐𝟐𝟓𝟓+ 𝒐𝒐𝒗𝒗𝟐𝟐

𝟏𝟏𝟓𝟓− 𝒗𝒗𝟑𝟑

𝟐𝟐𝟐𝟐

xiii. 𝟏𝟏𝟑𝟑𝟓𝟓𝟑𝟑

𝒇𝒇𝟑𝟑𝒂𝒂 − 𝟔𝟔𝟐𝟐𝟓𝟓𝟓𝟓

𝒇𝒇𝟐𝟐𝒂𝒂𝒈𝒈𝑽𝑽 + 𝟏𝟏𝟐𝟐𝟏𝟏𝟐𝟐𝟓𝟓

𝒇𝒇𝒂𝒂𝒈𝒈𝟐𝟐𝑽𝑽 − 𝟖𝟖𝟏𝟏𝟐𝟐𝟓𝟓

𝒈𝒈𝟑𝟑𝑽𝑽 xiv. 𝟗𝟗𝒙𝒙𝟗𝟗𝒃𝒃 − 𝟖𝟖𝟏𝟏𝒙𝒙𝟔𝟔𝒃𝒃𝒚𝒚𝟑𝟑𝒃𝒃+𝟑𝟑 + 𝟑𝟑𝒙𝒙𝟑𝟑𝒃𝒃𝒚𝒚𝟔𝟔𝒃𝒃+𝟔𝟔 − 𝟏𝟏

𝟐𝟐𝟐𝟐𝒚𝒚𝟗𝟗𝒃𝒃+𝟗𝟗

xv. 𝟏𝟏𝟔𝟔𝟓𝟓𝒂𝒂𝟑𝟑𝒙𝒙+𝟑𝟑𝒚𝒚 − 𝟑𝟑

𝟑𝟑𝟐𝟐𝒂𝒂𝟐𝟐𝒙𝒙+𝟐𝟐𝒚𝒚𝒃𝒃𝒙𝒙−𝒚𝒚 + 𝟑𝟑

𝟑𝟑𝟐𝟐𝒂𝒂𝒙𝒙+𝒚𝒚𝒃𝒃𝟐𝟐𝒙𝒙−𝟐𝟐𝒚𝒚 − 𝟏𝟏

𝟖𝟖𝒃𝒃𝟑𝟑𝒙𝒙−𝟑𝟑𝒚𝒚


III. El triángulo del Monsieur Pascal

El Señor Blaise Pascal le da su nombre a este curioso triángulo, aunque no es él quien lo inventó.

Como ocurre con muchos descubrimientos famosos, este lleva el nombre de alguien que no fue su autor. Blaise Pascal era un matemático y filósofo francés, muy reconocido por su aporte a la teoría de la probabilidad y la combinatoria (Autor del libro Traité du triangle arithmétique, que trata acerca este tema).

Este triángulo también es conocido como Triángulo de Tartaglia, pues el matemático e ingeniero italiano, Niccolò Fontana (apodado Tartaglia, por ser tartamudo); fue uno de los primeros que lo publicaron en Europa, pero tampoco fue él quien se lo inventó.

Existen referencias de que los primeros en utilizarlo fueron los chinos, en el siglo XII. Sus propiedades fueron estudiadas por el matemático chino Yuang Hui, en el siglo XIII, y por el poeta persa Omar Khayyam, en el siglo XII.

Lector: Muy buen apunte, pero, ¿esto para qué me sirve?

Autor: Ya vamos a eso. Míralo con detenimiento, sin prisa…

Lector: Parece un tonto juego de números en forma de triángulo. No le veo la gracia.

Figura 13. Triángulo de Pascal (Artacho, 2018)


Autor: Este triángulo parece un jueguito para niños, como muchos inventos y descubrimientos muy útiles para la humanidad, comenzó como eso: un juego numérico.

Ya verás cómo utilizarlo…

Mira las filas (sentido horizontal), la primera está formada por un solo número, el 1.

52. La segunda fila está formada por dos números dispuestos a lado y lado, formando un triángulo, de tres números ____.

𝟏𝟏 (¡Eres un excelente observador!)

53. Para formar la tercera fila, sumas los dos números de la segunda. Te da: ____.

𝟐𝟐

54. La tercera fila tiene ____ números. El número ____, que lo calculaste en la pregunta anterior, y dos números ____, dispuestos a lado y lado de este.

𝟑𝟑; 𝟐𝟐; 𝟏𝟏

55. La cuarta fila tiene ____números. Se obtienen _______________ (multipicando/ restando/ sumando/ dividiendo) los números de la fila anterior, es decir, la _______________. Se completa, como la anterior con dos números ____, en los extremos.

𝟓𝟓; sumando; tercera; 𝟏𝟏

Muy bien, de esta misma forma se va formando cada fila, una tras otra.

Ahora, observa de nuevo:

(𝑥𝑥 + 𝑦𝑦)2 = 𝑥𝑥2 + 2𝑥𝑥𝑦𝑦 + 𝑦𝑦2 → (𝑥𝑥 + 𝑦𝑦)3 = 𝑥𝑥3 + 3𝑥𝑥2𝑦𝑦 + 3𝑥𝑥𝑦𝑦2 + 𝑦𝑦3 →

(𝑥𝑥 + 𝑦𝑦)4 = 𝑥𝑥4 + 4𝑥𝑥3𝑦𝑦 + 6𝑥𝑥2𝑦𝑦2 + 4𝑥𝑥𝑦𝑦3 + 𝑦𝑦4 →

Triángulo de Pascal y Polinomios Figura 14.


Lector: ¡Ya veo para donde vamos, Autor!

Autor: ¿Qué descubriste aquí?

56. Lector: La segunda fila me muestra los ______________ (prefijos/coeficientes/ potencias / exponentes) del polinomio que corresponde a (escribo el exponente que falta.

coeficientes; 𝟐𝟐

Autor: ¡Correcto!

De la misma forma…

57. La tercera fila del triángulo te muestra los _________________ (prefijos/ coeficientes/ potencias/exponentes) del polinomio que corresponde a (escribe el exponente que falta.

coeficientes; 𝟑𝟑

58. El triángulo de Pascal te muestra las coeficientes de los polinomios que son resultantes de __________________ (raíces/productos/cocientes/potencias).

potencias

Si respondiste “producto” también es correcto, toda potencia es un producto.

Lector: Ya veo, esto me soluciona una buena parte del trabajo…

Autor: Tienes toda la razón, esto puede agilizarte los cálculos de potencias más grandes.

Por ejemplo, calcula: (𝑥𝑥 + 𝑦𝑦)6.

59. Lector: Para saber los coeficientes que resultan al expandir esta potencia, necesito mirar la fila número __________, del triángulo de Pascal. Los números que aparecen en esta fila son: ___; ___; ___ ___; ___; ___.

seis; 𝟏𝟏; 𝟔𝟔; 𝟏𝟏𝟓𝟓; 𝟐𝟐𝟐𝟐; 𝟏𝟏𝟓𝟓; 𝟔𝟔; 𝟏𝟏

Pero, ¿cómo saber las combinaciones de potencias de 𝑥𝑥 y 𝑦𝑦 que resultarán en el polinomio final?

(𝑥𝑥 + 𝑦𝑦)

(𝑥𝑥 + 𝑦𝑦)


Autor: Necesitas descubrir la regla, para aplicarla en adelante.

Escribe las potencias de (𝑥𝑥 + 𝑦𝑦), en la forma del triángulo de Pascal. Completa los espacios que faltan:

60. Lector: Para llegar a (𝑥𝑥 + 𝑦𝑦)6, primero necesito calcular (𝑥𝑥 + 𝑦𝑦)4 y (𝑥𝑥 + 𝑦𝑦)5. Ya sé que: (𝑥𝑥 + 𝑦𝑦)3 = ______________________________. Y que: (𝑥𝑥 + 𝑦𝑦)4 = (𝑥𝑥 + 𝑦𝑦) ∙ (𝑥𝑥 + 𝑦𝑦)____.

𝒙𝒙𝟑𝟑 + 𝟑𝟑𝒙𝒙𝟐𝟐𝒚𝒚 + 𝟑𝟑𝒙𝒙𝒚𝒚𝟐𝟐 + 𝒚𝒚𝟐𝟐; 𝟑𝟑 ((𝒙𝒙+ 𝒚𝒚)𝟓𝟓 = (𝒙𝒙 + 𝒚𝒚) ∙ (𝒙𝒙 + 𝒚𝒚)𝟑𝟑).

61. Entonces, me queda: (𝑥𝑥 + 𝑦𝑦)4 = ___ ∙ (𝑥𝑥 + 𝑦𝑦)3 + 𝑦𝑦 ∙ (𝑥𝑥 + 𝑦𝑦)___.

𝒙𝒙; 𝟑𝟑 ((𝒙𝒙+ 𝒚𝒚)𝟓𝟓 = 𝒙𝒙(𝒙𝒙+ 𝒚𝒚)𝟑𝟑 + 𝒚𝒚(𝒙𝒙+ 𝒚𝒚)𝟑𝟑).

62. Ahora, expando los cubos: (𝑥𝑥 + 𝑦𝑦)4 = 𝑥𝑥 ∙ (_____________________) + 𝑦𝑦 ∙(_____________________).

𝒙𝒙𝟑𝟑 + 𝟑𝟑𝒙𝒙𝟐𝟐𝒚𝒚 + 𝟑𝟑𝒙𝒙𝒚𝒚𝟐𝟐 + 𝒚𝒚𝟑𝟑; 𝒙𝒙𝟑𝟑 + 𝟑𝟑𝒙𝒙𝟐𝟐𝒚𝒚 + 𝟑𝟑𝒙𝒙𝒚𝒚𝟐𝟐 + 𝒚𝒚𝟑𝟑

63. Realizo las multiplicaciones y reduzco términos semejantes (completa los exponentes y los coeficientes):

𝟑𝟑; 𝟓𝟓; 𝟑𝟑; 𝟔𝟔; 𝟐𝟐; 𝟐𝟐; 𝟓𝟓; 𝟑𝟑; 𝟓𝟓 ((𝒙𝒙 + 𝒚𝒚)𝟓𝟓 = 𝒙𝒙𝟓𝟓 + 𝟓𝟓 ∙ 𝒙𝒙𝟑𝟑𝒚𝒚 + 𝟔𝟔 ∙ 𝒙𝒙𝟐𝟐𝒚𝒚𝟐𝟐 + 𝟓𝟓 ∙ 𝒙𝒙𝒚𝒚𝟑𝟑 + 𝒚𝒚𝟓𝟓 ).

(𝑥𝑥 + 𝑦𝑦)1 = 1 ∙ 𝑥𝑥 + 1 ∙ 𝑦𝑦

(𝑥𝑥 + 𝑦𝑦)2 = 1 ∙ 𝑥𝑥2 + 2 ∙ 𝑥𝑥𝑦𝑦 + 1 ∙ 𝑦𝑦2

(𝑥𝑥 + 𝑦𝑦)3 = 1 ∙ 𝑥𝑥3 + 3 ∙ 𝑥𝑥2𝑦𝑦+ 3 ∙ 𝑥𝑥𝑦𝑦2 + 1 ∙ 𝑦𝑦3

(𝑥𝑥 + 𝑦𝑦)4 = 1 ∙ 𝑥𝑥4 + ___ ∙ 𝑥𝑥 𝑦𝑦+ 6 ∙ 𝑥𝑥2𝑦𝑦2 + ___ ∙ 𝑥𝑥𝑦𝑦 + 1 ∙ 𝑦𝑦4

(𝑥𝑥 + 𝑦𝑦)5 = 1 ∙ 𝑥𝑥5 + ___ ∙ 𝑥𝑥 𝑦𝑦+ ___ ∙ 𝑥𝑥 𝑦𝑦 + 10 ∙ 𝑥𝑥 𝑦𝑦 + ___ ∙ 𝑥𝑥𝑦𝑦 + 1 ∙ 𝑦𝑦5

(𝑥𝑥 + 𝑦𝑦)6 = 1 ∙ 𝑥𝑥6 + ___ ∙ 𝑥𝑥 𝑦𝑦+ ___ ∙ 𝑥𝑥 𝑦𝑦 + ___ ∙ 𝑥𝑥 𝑦𝑦 + 15 ∙ 𝑥𝑥 𝑦𝑦 + ___ ∙ 𝑥𝑥𝑦𝑦 + 1 ∙ 𝑦𝑦6

Figura 15.

(𝑥𝑥 + 𝑦𝑦)4 = 𝑥𝑥 + ___ ∙ 𝑥𝑥 𝑦𝑦 + ___ ∙ 𝑥𝑥 𝑦𝑦 + ___ ∙ 𝑥𝑥𝑦𝑦 + 𝑦𝑦


64. De la misma forma, obtengo:

𝟓𝟓; 𝟓𝟓; 𝟓𝟓; 𝟏𝟏𝟐𝟐; 𝟑𝟑; 𝟐𝟐; 𝟐𝟐; 𝟑𝟑; 𝟓𝟓; 𝟓𝟓 ((𝒙𝒙 + 𝒚𝒚)𝟓𝟓 = 𝒙𝒙𝟓𝟓 + 𝟓𝟓 ∙ 𝒙𝒙𝟓𝟓𝒚𝒚 + 𝟏𝟏𝟐𝟐 ∙ 𝒙𝒙𝟑𝟑𝒚𝒚𝟐𝟐 + 𝟏𝟏𝟐𝟐 ∙ 𝒙𝒙𝟐𝟐𝒚𝒚𝟑𝟑 + 𝟓𝟓 ∙ 𝒙𝒙𝒚𝒚𝟓𝟓 + 𝒚𝒚𝟓𝟓).

65. Y, para terminar:

𝟔𝟔; 𝟓𝟓; 𝟏𝟏𝟓𝟓; 𝟓𝟓; 𝟐𝟐; 𝟐𝟐𝟐𝟐; 𝟑𝟑; 𝟑𝟑; 𝟐𝟐; 𝟓𝟓; 𝟔𝟔; 𝟓𝟓

(𝒙𝒙 + 𝒚𝒚)𝟔𝟔 = 𝒙𝒙𝟔𝟔 + 𝟔𝟔𝒙𝒙𝟓𝟓𝒚𝒚 + 𝟏𝟏𝟓𝟓𝒙𝒙𝟓𝟓𝒚𝒚𝟐𝟐 + 𝟐𝟐𝟐𝟐𝒙𝒙𝟑𝟑𝒚𝒚𝟑𝟑 + 𝟏𝟏𝟓𝟓𝒙𝒙𝟐𝟐𝒚𝒚𝟓𝟓 + 𝟔𝟔𝒙𝒙𝒚𝒚𝟓𝟓 + 𝒚𝒚𝟔𝟔.

66. Autor: ¡Excelente trabajo! Ya puedes completar los espacios que faltan en el triángulo de la Figura 15. Escríbelo competo, en tu metodología.

(𝑥𝑥 + 𝑦𝑦)1 = 1 ∙ 𝑥𝑥 + 1 ∙ 𝑦𝑦

(𝑥𝑥 + 𝑦𝑦)2 = 1 ∙ 𝑥𝑥2 + 2 ∙ 𝑥𝑥𝑦𝑦 + 1 ∙ 𝑦𝑦2

(𝑥𝑥 + 𝑦𝑦)3 = 1 ∙ 𝑥𝑥3 + 3 ∙ 𝑥𝑥2𝑦𝑦 + 3 ∙ 𝑥𝑥𝑦𝑦2 + 1 ∙ 𝑦𝑦3

(𝑥𝑥 + 𝑦𝑦)4 = 1 ∙ 𝑥𝑥4 + 4 ∙ 𝑥𝑥3𝑦𝑦 + 6 ∙ 𝑥𝑥2𝑦𝑦2 + 4 ∙ 𝑥𝑥𝑦𝑦3 + 1 ∙ 𝑦𝑦4

(𝑥𝑥 + 𝑦𝑦)5 = 1 ∙ 𝑥𝑥5 + 5 ∙ 𝑥𝑥4𝑦𝑦 + 10 ∙ 𝑥𝑥3𝑦𝑦2 + 10 ∙ 𝑥𝑥2𝑦𝑦3 + 5 ∙ 𝑥𝑥𝑦𝑦4 + 1 ∙ 𝑦𝑦5

(𝑥𝑥 + 𝑦𝑦)6 = 1 ∙ 𝑥𝑥6 + 6 ∙ 𝑥𝑥5𝑦𝑦 + 15 ∙ 𝑥𝑥4𝑦𝑦2 + 20 ∙ 𝑥𝑥3𝑦𝑦3 + 15 ∙ 𝑥𝑥2𝑦𝑦4 + 6 ∙ 𝑥𝑥𝑦𝑦5 + 1 ∙ 𝑦𝑦6

Ahora estás listo para indagar y descubrir la regla que buscas. Los coeficientes los tienes muy claros.

Trabaja con los exponentes de la 𝑥𝑥 y la 𝑦𝑦.

(𝑥𝑥 + 𝑦𝑦)5 = (𝑥𝑥 + 𝑦𝑦)(𝑥𝑥 + 𝑦𝑦) = 𝑥𝑥5 + ___ ∙ 𝑥𝑥 𝑦𝑦 + ___ ∙ 𝑥𝑥 𝑦𝑦 + 10 ∙ 𝑥𝑥 𝑦𝑦 + ___ ∙ 𝑥𝑥𝑦𝑦 + 𝑦𝑦5

(𝑥𝑥 + 𝑦𝑦)6 = (𝑥𝑥 + 𝑦𝑦)(𝑥𝑥 + 𝑦𝑦)

= 𝑥𝑥6 + ___ ∙ 𝑥𝑥 𝑦𝑦 + ___ ∙ 𝑥𝑥 𝑦𝑦 + ___ ∙ 𝑥𝑥 𝑦𝑦 + 15 ∙ 𝑥𝑥 𝑦𝑦 + ___ ∙ 𝑥𝑥𝑦𝑦 + 𝑦𝑦6

(𝑥𝑥 + 𝑦𝑦)1 = 1 ∙ 𝑥𝑥 + 1 ∙ 𝑦𝑦 (𝑥𝑥 + 𝑦𝑦)2 = 1 ∙ 𝑥𝑥2 + 2 ∙ 𝑥𝑥𝑦𝑦 + 1 ∙ 𝑦𝑦2

(𝑥𝑥 + 𝑦𝑦)3 = 1 ∙ 𝑥𝑥3 + 3 ∙ 𝑥𝑥2𝑦𝑦 + 3 ∙ 𝑥𝑥𝑦𝑦2 + 1 ∙ 𝑦𝑦3 (𝑥𝑥 + 𝑦𝑦)4 = 1 ∙ 𝑥𝑥4 + ___ ∙ 𝑥𝑥 𝑦𝑦 + 6 ∙ 𝑥𝑥2𝑦𝑦2 + ___ ∙ 𝑥𝑥𝑦𝑦 + 1 ∙ 𝑦𝑦4

(𝑥𝑥 + 𝑦𝑦)5 = 1 ∙ 𝑥𝑥5 + ___ ∙ 𝑥𝑥 𝑦𝑦 + ___ ∙ 𝑥𝑥 𝑦𝑦 + 10 ∙ 𝑥𝑥 𝑦𝑦 + ___ ∙ 𝑥𝑥𝑦𝑦 + 1 ∙ 𝑦𝑦5 (𝑥𝑥 + 𝑦𝑦)6 = 1 ∙ 𝑥𝑥6 + ___ ∙ 𝑥𝑥 𝑦𝑦 + ___ ∙ 𝑥𝑥 𝑦𝑦 + ___ ∙ 𝑥𝑥 𝑦𝑦 + 15 ∙ 𝑥𝑥 𝑦𝑦 + ___ ∙ 𝑥𝑥𝑦𝑦 + 1 ∙ 𝑦𝑦6


Para la última línea del triángulo, observa y completa:

67. Primer término del polinomio. Coeficiente: ____. Potencia de la 𝑥𝑥: ___. Potencia de la 𝑦𝑦: ___.

𝟏𝟏;𝟔𝟔;𝟐𝟐; (𝒙𝒙𝟔𝟔 = 𝟏𝟏 ∙ 𝒙𝒙𝟔𝟔 ∙ 𝒚𝒚𝟐𝟐).

68. Segundo término del polinomio (𝑥𝑥 + 𝑦𝑦)6. Coeficiente: ____. Potencia de la 𝑥𝑥: ___. Potencia de la 𝑦𝑦: ___.

𝟔𝟔;𝟓𝟓;𝟏𝟏 (𝟔𝟔𝒙𝒙𝟓𝟓𝒚𝒚 = 𝟔𝟔 ∙ 𝒙𝒙𝟓𝟓 ∙ 𝒚𝒚𝟏𝟏).

69. Tercer término del polinomio (𝑥𝑥 + 𝑦𝑦)6. Coeficiente: ____. Potencia de la 𝑥𝑥: ___. Potencia de la 𝑦𝑦: ___.

𝟏𝟏𝟓𝟓;𝟓𝟓;𝟐𝟐

70. Cuarto término del polinomio (𝑥𝑥 + 𝑦𝑦)6. Coeficiente: ____. Potencia de la 𝑥𝑥: ___. Potencia de la 𝑦𝑦: ___.

𝟐𝟐𝟐𝟐;𝟑𝟑;𝟑𝟑

71. Quinto término del polinomio (𝑥𝑥 + 𝑦𝑦)6. Coeficiente: ____. Potencia de la 𝑥𝑥: ___. Potencia de la 𝑦𝑦: ___.

𝟏𝟏𝟓𝟓;𝟐𝟐;𝟓𝟓

72. Sexto término del polinomio (𝑥𝑥 + 𝑦𝑦)6. Coeficiente: ____. Potencia de la 𝑥𝑥: ___. Potencia de la 𝑦𝑦: ___.

𝟔𝟔;𝟏𝟏;𝟓𝟓 (𝟔𝟔𝒙𝒙𝒚𝒚𝟓𝟓 = 𝟔𝟔 ∙ 𝒙𝒙𝟏𝟏𝒚𝒚𝟓𝟓).

73. Séptimo término del polinomio (𝑥𝑥 + 𝑦𝑦)6. Coeficiente: ____. Potencia de la 𝑥𝑥: ___. Potencia de la 𝑦𝑦: ___.

𝟏𝟏;𝟐𝟐;𝟔𝟔 (𝒚𝒚𝟔𝟔 = 𝟏𝟏 ∙ 𝒙𝒙𝟐𝟐 ∙ 𝒚𝒚𝟔𝟔).


74. Organiza toda esta información en el siguiente cuadro:

Términos de (𝑥𝑥 + 𝑦𝑦)6

Coeficiente Potencia de 𝑥𝑥 Potencia de 𝑦𝑦

Primero: 𝑥𝑥6. Segundo: 6𝑥𝑥5𝑦𝑦. Tercero: 15𝑥𝑥4𝑦𝑦2. Cuarto: 20𝑥𝑥3𝑦𝑦3. Quinto: 15𝑥𝑥2𝑦𝑦4. Sexto: 6𝑥𝑥𝑦𝑦5. Séptimo: 𝑦𝑦6.

Términos de

(𝑥𝑥 + 𝑦𝑦)6 Coeficiente Potencia de 𝑥𝑥 Potencia de 𝑦𝑦

Primero: 𝑥𝑥6. 1 6 0 Segundo: 6𝑥𝑥5𝑦𝑦. 6 5 1 Tercero: 15𝑥𝑥4𝑦𝑦2. 15 4 2 Cuarto: 20𝑥𝑥3𝑦𝑦3. 20 3 3 Quinto: 15𝑥𝑥2𝑦𝑦4. 15 2 4 Sexto: 6𝑥𝑥𝑦𝑦5. 6 1 5 Séptimo: 𝑦𝑦6. 1 0 6

75. Ahora, observa el triángulo de Pascal, al inicio de este capítulo del tau. Y siguiendo la misma regla que en la pregunta anterior, llena el siguiente cuadro, para (𝑥𝑥 + 𝑦𝑦)7:

Términos de (𝑥𝑥 + 𝑦𝑦)7

Coeficiente Potencia de 𝑥𝑥 Potencia de 𝑦𝑦

Primero: 𝑥𝑥7. Segundo: Tercero: Cuarto: Quinto: 35𝑥𝑥3𝑦𝑦4. Sexto: Séptimo: Octavo: 𝑦𝑦7.

Términos de

(𝑥𝑥 + 𝑦𝑦)7 Coeficiente Potencia de 𝑥𝑥 Potencia de 𝑦𝑦

Primero: 𝑥𝑥7. 1 7 0 Segundo: 7𝑥𝑥6𝑦𝑦. 7 6 1 Tercero: 21𝑥𝑥5𝑦𝑦2. 21 5 2 Cuarto: 35𝑥𝑥4𝑦𝑦3. 35 4 3 Quinto: 35𝑥𝑥3𝑦𝑦4. 35 3 4 Sexto: 21𝑥𝑥2𝑦𝑦5. 21 2 5 Séptimo: 7𝑥𝑥𝑦𝑦6. 7 1 6 Octavo: 𝑦𝑦7. 1 0 7


(𝑥𝑥 − 𝑦𝑦)4 = (___ − ___)(𝑥𝑥 − 𝑦𝑦) .

76. Trabaja de la misma manera, pero ahora, con este ejemplo: (𝑎𝑎 + 3𝑐𝑐)4. Completa el siguiente cuadro:

Términos de (𝑎𝑎 + 3𝑐𝑐)4

Coeficiente (T. Pascal)

Potencia de 𝑥𝑥 = 𝑎𝑎

Potencia de 𝑦𝑦 = 3𝑐𝑐

Términos indicados

Primero: _________. Segundo: _________. Tercero: _________. Cuarto: _________. Quinto: _________.

Términos de (𝑎𝑎 + 3𝑐𝑐)4 Coeficiente

(T. Pascal) Potencia de 𝑥𝑥

Potencia de 𝑦𝑦

Términos indicados

Primero: 𝑎𝑎4. 1 4 0 1 ∙ 𝑎𝑎4 ∙ (3𝑐𝑐)0 Segundo: 12𝑎𝑎3𝑐𝑐. 4 3 1 4 ∙ 𝑎𝑎3 ∙ (3𝑐𝑐)1 Tercero: 54𝑎𝑎2𝑐𝑐2. 6 2 2 Cuarto: 108𝑎𝑎𝑐𝑐3. 4 1 3 Quinto: 81𝑐𝑐4. 1 0 4

(El cubo (𝑎𝑎 + 3𝑐𝑐)4, es (𝑥𝑥 + 𝑦𝑦)4 , con 𝑥𝑥 = 𝑎𝑎 y 𝑦𝑦 = 3𝑐𝑐).

77. Entonces,

𝟓𝟓;𝟏𝟏𝟐𝟐;𝟐𝟐;𝟐𝟐;𝟏𝟏𝟐𝟐𝟖𝟖;𝟓𝟓 ((𝒂𝒂 + 𝟑𝟑𝒄𝒄)𝟓𝟓 = 𝒂𝒂𝟓𝟓 + 𝟏𝟏𝟐𝟐𝒂𝒂𝟑𝟑𝒄𝒄+ 𝟓𝟓𝟓𝟓𝒂𝒂𝟐𝟐𝒄𝒄𝟐𝟐 + 𝟏𝟏𝟐𝟐𝟖𝟖𝒂𝒂𝒄𝒄𝟑𝟑 + 𝟖𝟖𝟏𝟏𝒄𝒄𝟓𝟓).

Pregunta calientacabezas: Si el binomio que elevamos tiene un signo menos (“−“) en medio, ¿cómo son los signos del polinomio resultante?

Lector: Creo que la forma de averiguar esto3 es calcular y observar, hasta descubrir una regla.

Autor: ¡Estás en lo cierto!

Comienza desarrollando: (𝑥𝑥 − 𝑦𝑦)4.

78. Completa:

𝒙𝒙;𝒚𝒚;𝟑𝟑 ((𝒙𝒙 − 𝒚𝒚)𝟓𝟓 = (𝒙𝒙 − 𝒚𝒚)(𝒙𝒙 − 𝒚𝒚)𝟑𝟑).

(𝑎𝑎 + 3𝑐𝑐)4 = 𝑎𝑎 + ____𝑎𝑎3𝑐𝑐 + 54𝑎𝑎 𝑐𝑐 + ____ 𝑎𝑎𝑐𝑐3 + 81𝑐𝑐 .


79. Pero, ya sabes que: (𝑥𝑥 − 𝑦𝑦)3 = ___________________________.

𝒙𝒙𝟑𝟑 − 𝟑𝟑𝒙𝒙𝟐𝟐𝒚𝒚 + 𝟑𝟑𝒙𝒙𝒚𝒚𝟐𝟐 − 𝒚𝒚𝟑𝟑

80. Entonces: (𝑥𝑥 − 𝑦𝑦)4 = (_________)(𝑥𝑥3 − 3𝑥𝑥2𝑦𝑦 + 3𝑥𝑥𝑦𝑦2 − 𝑦𝑦3) = 𝑥𝑥 ∙ (_____________________) − 𝑦𝑦 ∙ (_____________________).

𝒙𝒙 − 𝒚𝒚; 𝒙𝒙𝟑𝟑 − 𝟑𝟑𝒙𝒙𝟐𝟐𝒚𝒚 + 𝟑𝟑𝒙𝒙𝒚𝒚𝟐𝟐 − 𝒚𝒚𝟑𝟑; 𝒙𝒙𝟑𝟑 − 𝟑𝟑𝒙𝒙𝟐𝟐𝒚𝒚 + 𝟑𝟑𝒙𝒙𝒚𝒚𝟐𝟐 − 𝒚𝒚𝟑𝟑

81. Aplica la propiedad distributiva y reduce términos semejantes: (𝑥𝑥 − 𝑦𝑦)4 = ____4 − 4𝑥𝑥___𝑦𝑦+ ____𝑥𝑥2𝑦𝑦2 − 4𝑥𝑥𝑦𝑦___ + 𝑦𝑦4

𝒙𝒙;𝟑𝟑;𝟔𝟔;𝟑𝟑 ((𝒙𝒙 − 𝒚𝒚)𝟓𝟓 = 𝒙𝒙𝟓𝟓 − 𝟓𝟓𝒙𝒙𝟑𝟑𝒚𝒚 + 𝟔𝟔𝒙𝒙𝟐𝟐𝒚𝒚𝟐𝟐 − 𝟓𝟓𝒙𝒙𝒚𝒚𝟑𝟑 + 𝒚𝒚𝟓𝟓).

¡Excelente trabajo!

82. Calcula esta otra potencia de (𝑥𝑥 − 𝑦𝑦):

𝒙𝒙;𝒚𝒚;𝟓𝟓;𝒙𝒙𝟓𝟓 − 𝟓𝟓𝒙𝒙𝟑𝟑𝒚𝒚 + 𝟔𝟔𝒙𝒙𝟐𝟐𝒚𝒚𝟐𝟐 − 𝟓𝟓𝒙𝒙𝒚𝒚𝟑𝟑 + 𝒚𝒚𝟓𝟓;𝒚𝒚;𝒙𝒙𝟓𝟓 − 𝟓𝟓𝒙𝒙𝟑𝟑𝒚𝒚 + 𝟔𝟔𝒙𝒙𝟐𝟐𝒚𝒚𝟐𝟐 − 𝟓𝟓𝒙𝒙𝒚𝒚𝟑𝟑 + 𝒚𝒚𝟓𝟓

83. Aplica la propiedad distributiva y reduce términos semejantes: (𝑥𝑥 − 𝑦𝑦)5 = _______________________________.

𝒙𝒙𝟓𝟓 − 𝟓𝟓𝒙𝒙𝟓𝟓𝒚𝒚 + 𝟏𝟏𝟐𝟐𝒙𝒙𝟑𝟑𝒚𝒚𝟐𝟐 − 𝟏𝟏𝟐𝟐𝒙𝒙𝟐𝟐𝒚𝒚𝟑𝟑 + 𝟓𝟓𝒙𝒙𝒚𝒚𝟓𝟓 − 𝒚𝒚𝟓𝟓

Lector: ¡Ya me estoy pillando la regla!

Autor: ¡Súper!

84. Calcula este otro, por último, para ver si también cumple lo que tienes en mente:

𝒙𝒙;𝒚𝒚;𝟓𝟓 ((𝒙𝒙 − 𝒚𝒚)(𝒙𝒙 − 𝒚𝒚)𝟓𝟓).

= 𝑥𝑥 ∙ (______________________) − ____ ∙ (______________________). (𝑥𝑥 − 𝑦𝑦)5 = (___ − ___)(𝑥𝑥 − 𝑦𝑦)

(𝑥𝑥 − 𝑦𝑦)6 = (___− ___)(𝑥𝑥 − 𝑦𝑦)


(𝑥𝑥 − 𝑦𝑦)(𝑥𝑥 − 𝑦𝑦)5 = ____ ∙ (𝑥𝑥 − 𝑦𝑦)5 − ____ ∙ (𝑥𝑥 − 𝑦𝑦)5 85. Y, aplicas la propiedad distributiva…

𝒙𝒙; 𝒚𝒚

86. También sabes que: (𝑥𝑥 − 𝑦𝑦)5 = ______________________.

𝒙𝒙𝟓𝟓 − 𝟓𝟓𝒙𝒙𝟓𝟓𝒚𝒚 + 𝟏𝟏𝟐𝟐𝒙𝒙𝟑𝟑𝒚𝒚𝟐𝟐 − 𝟏𝟏𝟐𝟐𝒙𝒙𝟐𝟐𝒚𝒚𝟑𝟑 + 𝟓𝟓𝒙𝒙𝒚𝒚𝟓𝟓 − 𝒚𝒚𝟓𝟓

87. Entonces, (𝑥𝑥−𝑦𝑦)6 = 𝑦𝑦 ∙ (______________________) − 𝑥𝑥 ∙ (______________________).

𝒙𝒙𝟓𝟓 − 𝟓𝟓𝒙𝒙𝟓𝟓𝒚𝒚 + 𝟏𝟏𝟐𝟐𝒙𝒙𝟑𝟑𝒚𝒚𝟐𝟐 − 𝟏𝟏𝟐𝟐𝒙𝒙𝟐𝟐𝒚𝒚𝟑𝟑 + 𝟓𝟓𝒙𝒙𝒚𝒚𝟓𝟓 − 𝒚𝒚𝟓𝟓 𝒚𝒚; 𝒙𝒙𝟓𝟓 − 𝟓𝟓𝒙𝒙𝟓𝟓𝒚𝒚 + 𝟏𝟏𝟐𝟐𝒙𝒙𝟑𝟑𝒚𝒚𝟐𝟐 − 𝟏𝟏𝟐𝟐𝒙𝒙𝟐𝟐𝒚𝒚𝟑𝟑 + 𝟓𝟓𝒙𝒙𝒚𝒚𝟓𝟓 − 𝒚𝒚𝟓𝟓

88. Realiza las multiplicaciones y reduce términos semejantes: (𝑥𝑥 − 𝑦𝑦)6 = ____________________________.

𝒙𝒙𝟔𝟔 − 𝟔𝟔𝒙𝒙𝟓𝟓𝒚𝒚 + 𝟏𝟏𝟓𝟓𝒙𝒙𝟓𝟓𝒚𝒚𝟐𝟐 − 𝟐𝟐𝟐𝟐𝒙𝒙𝟑𝟑𝒚𝒚𝟑𝟑 + 𝟏𝟏𝟓𝟓𝒙𝒙𝟐𝟐𝒚𝒚𝟓𝟓 − 𝟔𝟔𝒙𝒙𝒚𝒚𝟓𝟓 + 𝒚𝒚𝟔𝟔

89. Autor: Ahora, organiza todos estos cálculos en el siguiente cuadro, y compara.

Potencia para desarrollar Polinomio resultante (𝑥𝑥 + 𝑦𝑦)4 (𝑥𝑥 − 𝑦𝑦)4 (𝑥𝑥 + 𝑦𝑦)5 (𝑥𝑥 − 𝑦𝑦)5 (𝑥𝑥 + 𝑦𝑦)5 (𝑥𝑥 − 𝑦𝑦)6

Potencia para desarrollar Polinomio resultante

(𝑥𝑥 + 𝑦𝑦)4 𝑥𝑥4 + 4𝑥𝑥3𝑦𝑦 + 6𝑥𝑥2𝑦𝑦2 + 4𝑥𝑥𝑦𝑦3 + 𝑦𝑦4 (𝑥𝑥 − 𝑦𝑦)4 𝑥𝑥4 − 4𝑥𝑥3𝑦𝑦 + 6𝑥𝑥2𝑦𝑦2 − 4𝑥𝑥𝑦𝑦3 + 𝑦𝑦4 (𝑥𝑥 + 𝑦𝑦)5 𝑥𝑥5 + 5𝑥𝑥4𝑦𝑦 + 10𝑥𝑥3𝑦𝑦2 + 10𝑥𝑥2𝑦𝑦3 + 5𝑥𝑥𝑦𝑦4 + 𝑦𝑦5 (𝑥𝑥 − 𝑦𝑦)5 𝑥𝑥5 − 5𝑥𝑥4𝑦𝑦 + 10𝑥𝑥3𝑦𝑦2 − 10𝑥𝑥2𝑦𝑦3 + 5𝑥𝑥𝑦𝑦4 − 𝑦𝑦5 (𝑥𝑥 + 𝑦𝑦)6 𝑥𝑥6 + 6𝑥𝑥5𝑦𝑦 + 15𝑥𝑥4𝑦𝑦2 + 20𝑥𝑥3𝑦𝑦3 + 15𝑥𝑥2𝑦𝑦4 + 6𝑥𝑥𝑦𝑦5 + 𝑦𝑦6 (𝑥𝑥 − 𝑦𝑦)6 𝑥𝑥6 − 6𝑥𝑥5𝑦𝑦 + 15𝑥𝑥4𝑦𝑦2 − 20𝑥𝑥3𝑦𝑦3 + 15𝑥𝑥2𝑦𝑦4 − 6𝑥𝑥𝑦𝑦5 + 𝑦𝑦6


90. Las diferencias entre los polinomios resultantes de expandir (𝑥𝑥 + 𝑦𝑦)4 y (𝑥𝑥 − 𝑦𝑦)4 son: a) Ninguna. b) El orden de los exponentes. c) Los signos. d) La potencias de 𝑥𝑥.

c

91. Las diferencias entre los polinomios resultantes de expandir (𝑥𝑥 + 𝑦𝑦)5 y (𝑥𝑥 − 𝑦𝑦)5 son: a) La potencias de 𝑥𝑥. b) Ninguna. c) Los signos. d) El orden de los exponentes.

c

92. Y, las diferencias entre los polinomios resultantes de expandir (𝑥𝑥 + 𝑦𝑦)6 y (𝑥𝑥 − 𝑦𝑦)6 son:

a) Los signos. b) El orden de los exponentes. c) La potencias de 𝑥𝑥. d) Ninguna.

a

93. Regla. Para expandir potencias del estilo (𝑥𝑥 ± 𝑦𝑦)𝑛𝑛 (mejor dicho, (𝑥𝑥 ± 𝑦𝑦) elevado a cualquier potencia), utilizo el ________________ de __________, para determinar los _______________ del polinomio que resulta.

Triángulo; Pascal; coeficientes

94. Luego, escribo el desarrollo de las potencias. Si expando una potencia de una suma, los signos:

a) Son todos negativos. b) Se alternan. c) Son todos positivos. d) No importan.

c


95. Y, si expando una potencia de una resta: a) Son todos negativos. b) Se alternan. c) Son todos positivos. d) No importan.

b

96. Ahora, teniendo en cuenta todo lo que has aprendido hasta ahora, desarrolla: (14𝑜𝑜 − 𝑟𝑟)6.

Completa el cuadro:

Términos de (14𝑜𝑜 − 𝑟𝑟)6 Coeficiente



Términos indicados

Primero: ______________. Segundo: ______________. Tercero: ______________. Cuarto: ______________. Quinto: ______________. Sexto: ______________. Séptimo: ______________.

Términos de (1

4𝑜𝑜 − 𝑟𝑟)6 Coeficiente



Términos indicados

Primero: 14096

𝑜𝑜6. 1 6 0 1 ∙ (14 𝑜𝑜)

6 ∙ 𝑟𝑟0

Segundo: − 3512

𝑜𝑜5𝑟𝑟. 6 5 1 −6 ∙ (14 𝑜𝑜)

5 ∙ 𝑟𝑟1

Tercero: 15256

𝑜𝑜4𝑟𝑟4. 15 4 2 15 ∙ (14 𝑜𝑜)

4 ∙ 𝑟𝑟2

Cuarto: − 516𝑜𝑜3𝑟𝑟3. 20 3 3 −20 ∙ (

14 𝑜𝑜)

3 ∙ 𝑟𝑟3

Quinto: 1516𝑜𝑜2𝑟𝑟4. 15 2 4 15 ∙ (

14 𝑜𝑜)

2 ∙ 𝑟𝑟4

Sexto: −32𝑜𝑜𝑟𝑟5. 6 1 5 −6 ∙ (

14 𝑜𝑜)

1 ∙ 𝑟𝑟5 Séptimo: 𝑟𝑟6 1 0 6 1 ∙ (

14 𝑜𝑜)

0 ∙ 𝑟𝑟6

97. Finalmente:

𝟓𝟓𝟐𝟐𝟗𝟗𝟔𝟔;𝟑𝟑;𝟓𝟓;𝟐𝟐𝟓𝟓𝟔𝟔;𝟓𝟓;𝟐𝟐;𝟑𝟑;𝟏𝟏𝟓𝟓;𝟏𝟏𝟔𝟔;𝟓𝟓;𝟔𝟔

(14𝑜𝑜 − 𝑟𝑟)6 = 1

4096𝑜𝑜6 − 3

512𝑜𝑜5𝑟𝑟 + 15

256𝑜𝑜4𝑟𝑟2 − 5

16𝑜𝑜3𝑟𝑟3 + 15

16𝑜𝑜2𝑟𝑟4 − 3

2𝑜𝑜𝑟𝑟5 + 𝑟𝑟6.

(14𝑜𝑜 − 𝑟𝑟)6 =

1

𝑜𝑜6 − 512

𝑜𝑜 𝑟𝑟 +15

𝑜𝑜 𝑟𝑟 −

516

𝑜𝑜___𝑟𝑟___ +

𝑜𝑜2𝑟𝑟4 −32𝑜𝑜𝑟𝑟 + 𝑟𝑟 .


98. Otro último ejemplo: (1 − 12𝑉𝑉𝑠𝑠+𝑟𝑟)5. Completa el cuadro:

Términos de (1− 12𝑉𝑉

𝑟𝑟+𝑔𝑔)5 Coeficiente



Términos indicados

Primero: ___________________. Segundo: ___________________. Tercero: ___________________. Cuarto: ___________________. Quinto: ___________________. Sexto: ___________________.

Términos de (1− 12𝑉𝑉

𝑟𝑟+𝑔𝑔)5 Coeficiente



Términos indicados

Primero: 1. 1 5 0 15 ∙ (12𝑉𝑉

𝑠𝑠+𝑟𝑟)0

Segundo: −52𝑉𝑉𝑠𝑠+𝑟𝑟 . 5 4 1 −5 ∙ 14 ∙(1

2𝑉𝑉𝑠𝑠+𝑟𝑟)1

Tercero: 52𝑉𝑉2𝑠𝑠+2𝑟𝑟 . 10 3 2 10 ∙ 13 ∙ (

12𝑉𝑉

𝑠𝑠+𝑟𝑟)2

Cuarto: −54𝑉𝑉3𝑠𝑠+3𝑟𝑟 . 10 2 3 −10 ∙ 12 ∙ (

12𝑉𝑉

𝑠𝑠+𝑟𝑟)3

Quinto: 516𝑉𝑉4𝑠𝑠+4𝑟𝑟 . 5 1 4 5 ∙ 11 ∙ (

12𝑉𝑉

𝑠𝑠+𝑟𝑟)4

Sexto: − 132𝑉𝑉5𝑠𝑠+5𝑟𝑟 . 1 0 5 −1 ∙ 10 ∙ (

12𝑉𝑉

𝑠𝑠+𝑟𝑟)5

99. Luego: (1 + 1

2𝑉𝑉𝑠𝑠+𝑟𝑟)5 = ____ − 5

2𝑉𝑉_______ + _____

2𝑉𝑉2𝑠𝑠+2𝑟𝑟 − 5

_____𝑉𝑉3𝑠𝑠+3𝑟𝑟 + 5

_____𝑉𝑉_______ − 1

_____𝑉𝑉_______.

𝟏𝟏; 𝒓𝒓 + 𝒂𝒂; 𝟓𝟓;𝟓𝟓;𝟏𝟏𝟔𝟔;𝟓𝟓𝒓𝒓 + 𝟓𝟓𝒂𝒂;𝟑𝟑𝟐𝟐;𝟓𝟓𝒓𝒓 + 𝟓𝟓𝒂𝒂

(1 + 12𝑉𝑉𝑠𝑠+𝑟𝑟)5 = 1 + 5

2𝑉𝑉𝑠𝑠+𝑟𝑟 + 5

2𝑉𝑉2𝑠𝑠+2𝑟𝑟 + 5



32𝑉𝑉5𝑠𝑠+5𝑟𝑟.


100. Utiliza el mismo cuadro, con el triángulo de Pascal, para calcular las siguientes potencias de binomios (escribe los procedimientos y las respuestas, en tu metodología): i. (𝑎𝑎 + 1)4. ii. (𝑉𝑉 + 2𝑉𝑉)5. iii. (𝑏𝑏2 + 𝑐𝑐3)4. iv. (2𝑥𝑥3 − 3𝑦𝑦)6. v. (𝑤𝑤

2− 2

𝑧𝑧)5

vi. (13𝑝𝑝 + 1

2𝑞𝑞2)4.

vii. (4 − 𝑥𝑥𝑚𝑚

3)4.

viii. (2𝑔𝑔𝑥𝑥 + 𝑟𝑟𝑥𝑥)5. ix. (1

5𝑥𝑥𝑚𝑚+𝑛𝑛 − 1

3𝑦𝑦𝑚𝑚+𝑛𝑛)6.

x. (2 + 𝑚𝑚𝑛𝑛

𝑛𝑛)4.

i. 𝒂𝒂𝟓𝟓 + 𝟓𝟓𝒂𝒂𝟑𝟑 + 𝟔𝟔𝒂𝒂𝟐𝟐 + 𝟓𝟓𝒂𝒂 + 𝟏𝟏;

ii. 𝒂𝒂𝟓𝟓 + 𝟏𝟏𝟐𝟐𝒂𝒂𝟓𝟓𝑽𝑽+ 𝟓𝟓𝟐𝟐𝒂𝒂𝟓𝟓𝑽𝑽𝟐𝟐 + 𝟖𝟖𝟐𝟐𝒂𝒂𝟐𝟐𝑽𝑽𝟑𝟑 + 𝟖𝟖𝟐𝟐𝒂𝒂𝑽𝑽𝟓𝟓 + 𝟑𝟑𝟐𝟐𝑽𝑽𝟓𝟓; iii. 𝒃𝒃𝟖𝟖 + 𝟓𝟓𝒃𝒃𝟔𝟔𝒄𝒄𝟑𝟑 + 𝟔𝟔𝒃𝒃𝟓𝟓𝒄𝒄𝟔𝟔 + 𝟓𝟓𝒃𝒃𝟐𝟐𝒄𝒄𝟗𝟗 + 𝒄𝒄𝟏𝟏𝟐𝟐; iv. 𝟔𝟔𝟓𝟓𝒙𝒙𝟏𝟏𝟖𝟖 − 𝟓𝟓𝟐𝟐𝟔𝟔𝒙𝒙𝟏𝟏𝟓𝟓 + 𝟐𝟐𝟏𝟏𝟔𝟔𝟐𝟐𝒙𝒙𝟏𝟏𝟐𝟐𝒚𝒚𝟐𝟐 − 𝟓𝟓𝟑𝟑𝟐𝟐𝟐𝟐𝒙𝒙𝟗𝟗𝒚𝒚𝟑𝟑 + 𝟓𝟓𝟖𝟖𝟔𝟔𝟐𝟐𝒙𝒙𝟔𝟔𝒚𝒚𝟓𝟓 − 𝟐𝟐𝟗𝟗𝟏𝟏𝟔𝟔𝒙𝒙𝟑𝟑𝒚𝒚𝟓𝟓 + 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟗𝟗𝒚𝒚𝟔𝟔; v. 𝟑𝟑𝟓𝟓

𝟑𝟑𝟐𝟐− 𝟓𝟓𝟑𝟑𝟓𝟓

𝟖𝟖𝒂𝒂+ 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟑𝟑𝟑𝟑

𝒂𝒂𝟐𝟐− 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟑𝟑𝟐𝟐

𝒂𝒂𝟑𝟑+ 𝟓𝟓𝟐𝟐 𝟑𝟑

𝒂𝒂𝟓𝟓− 𝟑𝟑𝟐𝟐

𝒂𝒂𝟓𝟓

vi. 𝟏𝟏𝟖𝟖𝟏𝟏𝒑𝒑𝟓𝟓 + 𝟐𝟐

𝟐𝟐𝟐𝟐𝒑𝒑𝟑𝟑𝒒𝒒𝟐𝟐 + 𝟏𝟏

𝟑𝟑𝒑𝒑𝟐𝟐𝒒𝒒𝟓𝟓 + 𝟏𝟏

𝟔𝟔𝒑𝒑𝒒𝒒𝟔𝟔 + 𝟏𝟏

𝟏𝟏𝟔𝟔𝒒𝒒𝟖𝟖;

vii. 𝟐𝟐𝟓𝟓𝟔𝟔 − 𝟐𝟐𝟓𝟓𝟔𝟔𝟑𝟑𝒙𝒙𝒂𝒂 + 𝟑𝟑𝟐𝟐

𝟑𝟑𝒙𝒙𝟐𝟐𝒂𝒂 − 𝟏𝟏𝟔𝟔

𝟑𝟑𝒙𝒙𝟑𝟑𝒂𝒂 + 𝒙𝒙𝟓𝟓𝒂𝒂

𝟖𝟖𝟏𝟏;

viii. 𝟑𝟑𝟐𝟐𝒂𝒂𝟓𝟓𝒙𝒙 + 𝟖𝟖𝟐𝟐𝒂𝒂𝟓𝟓𝒙𝒙𝒓𝒓𝒙𝒙 + 𝟖𝟖𝟐𝟐𝒂𝒂𝟑𝟑𝒙𝒙𝒓𝒓𝟐𝟐𝒙𝒙 + 𝟓𝟓𝟐𝟐𝒂𝒂𝟐𝟐𝒙𝒙𝒓𝒓𝟑𝟑𝒙𝒙 + 𝟏𝟏𝟐𝟐𝒂𝒂𝒙𝒙𝒓𝒓𝟓𝟓𝒙𝒙 + 𝒓𝒓𝟓𝟓𝒙𝒙; ix. 𝟏𝟏𝟓𝟓𝟔𝟔𝟐𝟐𝟓𝟓𝒙𝒙𝟔𝟔𝒂𝒂+𝟔𝟔𝑽𝑽 − 𝟐𝟐

𝟑𝟑𝟏𝟏𝟐𝟐𝟓𝟓𝒙𝒙𝟓𝟓𝒂𝒂+𝟓𝟓𝑽𝑽𝒚𝒚𝒂𝒂+𝑽𝑽 + 𝟏𝟏

𝟑𝟑𝟐𝟐𝟓𝟓𝒙𝒙𝟓𝟓𝒂𝒂+𝟓𝟓𝑽𝑽𝒚𝒚𝒂𝒂+𝑽𝑽 − 𝟓𝟓

𝟔𝟔𝟐𝟐𝟓𝟓𝒙𝒙𝟑𝟑𝒂𝒂+𝟑𝟑𝑽𝑽 + 𝟏𝟏

𝟐𝟐𝟐𝟐𝒙𝒙𝟐𝟐𝒂𝒂+𝟐𝟐𝑽𝑽𝒚𝒚𝟓𝟓𝒂𝒂+𝟓𝟓𝑽𝑽 −

𝟐𝟐𝟓𝟓𝟐𝟐𝟓𝟓

𝒙𝒙𝒂𝒂+𝑽𝑽𝒚𝒚𝟓𝟓𝒂𝒂+𝟓𝟓𝑽𝑽 + 𝟏𝟏𝟐𝟐𝟐𝟐𝟗𝟗

𝒚𝒚𝟔𝟔𝒂𝒂+𝟔𝟔𝑽𝑽;

x. 𝟏𝟏𝟔𝟔 + 𝟑𝟑𝟐𝟐𝒂𝒂𝑽𝑽

𝑽𝑽+ 𝟐𝟐𝟓𝟓𝒂𝒂𝟐𝟐𝑽𝑽

𝑽𝑽𝟐𝟐+ 𝟖𝟖𝒂𝒂𝟑𝟑𝑽𝑽

𝑽𝑽𝟑𝟑+ 𝒂𝒂𝟓𝟓𝑽𝑽

𝑽𝑽𝟓𝟓.


IV. Bibliografía

Ballén Novoa, J. O., (2012), El álgebra geométrica como recurso didáctico para la factorización de polinomio de segundo grado, Bogotá, Colombia. Universidad Nacional de Colombia.

Jiménez Ardila, S. M., Salazar Fino, V. P., (2013), Propuesta didáctica: Tabletas algebraicas como una alternativa de enseñanza del proceso de factorización de algunos polinomios de segundo grado, Bogotá, Colombia. Universidad Pedagógica Nacional.

Artacho, A., (2018), El triángulo de Pascal y el binomio de Newton. Matemáticas Cercanas. Recuperado de: https://matematicascercanas.com/2018/10/22/triangulo-pascal-binomio-newton/


Anexo 1




9

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angelikamoreno.files.wordpress.com€¦ · 01–033 Productos notables . Autor: Exacto, esos seis. Toma uno azul y acomódalo pegado a los otros, de manera que comience a rellenar