Upload
moises-angulo
View
216
Download
0
Embed Size (px)
DESCRIPTION
técnica de integración, cambio de variables
Citation preview
Costo Marginal
El costo marginal (en dólares) de una compañía que fabrica zapatos está dado por
En donde x es el número de pares de zapatos producidos. Si los costos fijos son de $100, ¿podrías ayudar a determinar la función costo?, ¿cómo lo harías?
2500100
)(' 2 xx
xC
Logros de la sesión:
Al finalizar la sesión, el estudiante resuelve problemas vinculados a gestión e ingeniería a partir de ecuaciones diferenciales con una condición inicial a través del método de sustitución algebraica.
TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN
I. Cambio de variableEsta técnica se usa cuando se tiene una función que no se puede integrar de forma inmediata y es de la forma:
dxxgxgf )('))((
La elección de la nueva variable depende muchas veces de la habilidad del estudiante para transformar la integral dada en una simple e inmediata. ES decir,
dxxgduxgu )(')(
duufdxxgxgf )()('))((
Ejemplo 1
Calcular
Solución dxxeI x2
dxxeI x2
En este caso se debe elegir la nueva variable
2xu dxxdu 2 dxxdu 21
dueu21
dueu21
ceu 2
Regresando a la variable inicial se tiene:
ce
dxxex
x 2
2
2
dxxdu )'( 2
Ejemplo 2
Calcular
Solución dxxxI cossin
En este caso se debe elegir la nueva variable
Regresando a la variable inicial se tiene:
xu sin dxxdu )'(sin dxxdu cos
duudxxxI cossin cu 2
2
cx
dxxx 2sin
cossin2
Ejemplo 3
Calcular
Solución dx
xxI 3ln
1
En este caso se debe elegir la nueva variable
Regresando a la variable inicial se tiene:
xu ln dxxdu )'(ln dxx
du1
duu
dxxx
I 33
1ln1
duu 3
cx
dxxx
23 ln21
ln1
cu
221
Ejemplo 4
Calcular
Solución dxxxI )2sin( 65
En este caso se debe elegir la nueva variable
Regresando a la variable inicial se tiene:
26 xu dxxdu )'2( 6 dxxdu 56
duudxxxI sin61
)2sin( 65
cx
dxxx 6)2cos(
)2sin(6
65
cu
6cos
DEPRECIACIÓN
a) Exprese el valor de la máquina en términos de su edad y de su valor inicial.
b) Si originalmente la máquina valía $5 200, ¿cuánto valdrá cuando tenga 10 años?
El valor de reventa de una máquina industrial disminuye a una tasa que depende su edad.
/5' 960 tV et
Cuando la máquina tiene t años, la tasa a la cual cambia su valor es
dólares por año.
Solución:
Integrando tenemos:
dtetVt
5960)(
Del enunciado tenemos: V(0)=5200. Entonces:
ce 048005200
Entonces:
4004800)( 5 t
etV
a)
Cet
54800
400 C
En 10 años el valor de la máquina será:
34.432
4004800)10( 5
eV
b)
En 10 años el valor de la máquina será de 432.34 dólares.
Costo Marginal
El costo marginal (en dólares) de una compañía que fabrica zapatos está dado por
En donde x es el número de pares de zapatos producidos. Si los costos fijos son de $100, ¿podrías ayudar a determinar la función costo?, ¿cómo lo harías?
Solución
2500100
)(' 2 xx
xC
dxxx
dxxCxC 2500100
)(')( 2
El costo se obtiene integrando la función costo marginal, es decir:
duudxxx
xC21
1001
2500100
)( 2 duu 2/1
2001
cu 2/3
32
2001
cx
dxxx
xC
300
)2500(2500
100)(
322
En este caso se debe elegir la nueva variable
25002 xu dxxdu 2 dxxdu 21
La integral con la nueva variable es:
Regresando a la variable inicial tenemos:
Pero por dato se tiene que los costos fijos es de $100, entonces:
100)0( C 10030025003
c3
950 c
Por lo tanto, la función costo es:
3950
3002500
2500100
22
xdxx
x