ANAΛYTIKH MEΛETH THΣ KENTPIKHΣ KINHΣHΣ *

13. Tαχύτητα και επιτάχυνση υλικού σηµείου σε πολικές συντεταγµένες Θεωρούµε υλικό σηµείο, το οποίο εκτελεί επίπεδη κίνηση διαγράφοντας την τροχιά (C) του σχήµατος (23). Eάν

! r είναι η επιβατική ακτίνα του υλικού

σηµείου ως πρός το σταθερό σηµείο O του επιπέδου κίνησης κατά µια τυχαία χρονική στιγµή t, τότε η αντίστοιχη ταχύτητα του

! v θα είναι:

�

! v =

d! r

dt=

d

dt(r! e r) =

dr

dt

! e r + r

d! e r

dt (1)

όπου

! e

r το µοναδιαίο διάνυσµα της επιβατικής ακτίνας

! r . Eξάλλου εάν

d! e

r εί

ναι η µεταβολή του

! e

r µεταξύ των χρονικών στιγµών t και t+dt και dθ η αντίσ

Σχήµα 23

τοιχη µεταβολή της γωνίας θ που σχηµατίζει η επιβατική ακτίνα

! r µε τον πο

λικό άξονα Ox, τότε εκ του σχήµατος (23) προκύπτει η σχέση:

�

d! e

r= d!

! e ! !

�

d! e

r

dt=

d!

dt

! e ! (2)

όπου

! e ! το µοναδιαίο διάνυσµα κατά την κάθετη πρός την επιβατική ακτίνα

! r

------------------------------------ * H ενότητα αυτή ενδιαφέρει όσους έχουν την θέληση να εµβαθύνουν σε θέµατα που αφορούν την κίνηση δορυφόρων.

διεύθυνση. Tο διάνυσµα αυτό δείχνει την φορά κατά την οποία η γωνία θ αυξά νεται. Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) και (2) παίρνουµε:

�

! v =

dr

dt

! e

r+ r

d!

dt

! e ! (3)

Aπό την (3) προκύπτει ότι, η συνιστώσα

! v

r της

! v κατά την διεύθυνση της επι

βατικής ακτίνας ! r έχει αλγεβρική τιµή dr/dt, ενώ η συνιστώσα

! v ! η κάθετη

προς την επιβατική ακτίνα έχει αλγεβρική τιµή r(dθ/dt), δηλαδή ισχύουν οι σχέσεις:

v

r=

dr

dt και

v!= r

d!

dt (4)

Eάν

! a είναι η επιτάχυνση του υλικού σηµείου κατά την χρονική στιγµή t, θα

έχουµε:

�

! a =

d! v

dt

(3)

!

�

! a =

d

dt

dr

dt

! e

r+ r

d!

dt

! e !

!

" #

$

% & !

�

! a =

d2r

dt2

! e

r+

dr

dt

d! e

r

dt+

dr

dt

d!

dt

! e !+ r

d2!

dt2

! e !+ r

d!

dt

d! e !

dt

(2)

!

�

! a =

d2r

dt2

! e

r+

dr

dt

d!

dt

! e !+

dr

dt

d!

dt

! e !+ r

d2!

dt2

! e !+ r

d!

dt

d! e !

dt (5)

Σχήµα 24

Eξάλλου, εάν

d! e ! είναι η µεταβολή του µοναδιαίου διανύσµατος

! e ! µεταξύ

των χρονικών στιγµών t και t+dt, εκ του σχήµατος (24) θα έχουµε:

d! e !

= -d!!! e

r !

d! e !

dt= -

d!

dt!! e

r (6)

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (5) και (6) παίρνουµε:

�

! a =

d2r

dt2

! e

r+ 2

dr

dt

d!

dt

! e !+ r

d2!

dt2

! e !- r

d!

dt

2

! e

r

�

! a =

d2r

dt2

! e

r+ 2

dr

dt

d!

dt

! e !+ r

d2!

dt2

! e !- r

d!

dt

!

" #

$

% &

2

! e

r !

�

! a =

d2r

dt2

- rd!

dt

!

" #

$

% &

2'

(

)

)

*

+

,

,

! e

r+ 2

dr

dt

d!

dt+ r

d2!

dt2

!

"

#

$

%

& ! e ! (7)

Aπο την (7) προκύπτει ότι, η συνιστώσα

! a

r της

! a κατά την διεύθυνση της επι

βατικής ακτίνας ! r έχει αλγεβρική τιµή:

�

ar=

d2r

dt2

- rd!

dt

!

" #

$

% &

2

(8)

ενώ η συνιστώσα

! a

! κατά την κάθετη προς την

! r διεύθυνση έχει αλγεβρική

τιµή:

�

a!

= 2dr

dt

d!

dt+ r

d2!

dt2 (9)

Oι σχέσεις (4), (8) και (9) είναι πολύ χρήσιµες, όταν εξετάζουµε την επίπεδη κίνηση υλικού σηµείου κατά την οποία αυτό δέχεται δύναµη που κατευθύνε ται προς ένα σταθερό σηµείο του επιπέδου κίνησής του (κεντρική δύναµη) 14. Eµβαδική ταχύτητα και στροφορµή κατα την επίπεδη κίνηση υλικού σηµείου i) Eµβαδική ταχύτητα Θεωρούµε υλικό σηµείο το οποίο εκτελεί επίπεδη κίνηση διαγράφοντας καµπύ λη τροχιά (C), η οποία σε πολικές συντεταγµένες περιγράφεται από την συνάρ τηση r=f(θ), όπου

! r η επιβατική ακτίνα του υλικού σηµείου ως προς ένα σταθε

ρό σηµείο O του επιπέδου κίνησης και θ η αντίστοιχη πολική του γωνία (σχ. 25). Έστω ότι µεταξύ των χρονικών στιγµών t και t+dt το υλικό σηµείο µετα τοπίζεται από την θέση M στην θέση M', οπότε η επιβατική του ακτίνα

! r θα

διαγράψει στον χρόνο dt το στοιχειώδες εµβαδόν dS=(OMM'). Oρίζεται ως εµβα δική ταχύτητα του υλικού σηµείου κατά την χρονική στιγµή t ένα διανυσµατι κό φυσικό µέγεθος, του οποίου το διάνυσµα

!

V S έχει φορέα που διέρχεται από

το σηµείο O και είναι κάθετος στο επίπεδο της κίνησης έχει φορά που ανταποκ ρίνεται στον κανόνα* του δεξιού χεριού και µέτρο ίσο προς το διαφορικό πηλί ----------------------------------- * Σύµφωνα µε τον κανόνα αυτόν η φορά της εµβαδικής ταχύτητας είναι η φορά κατά την οποία εκτείνεται ο µεγάλος δάκτυλος του δεξιού χεριού, όταν τα υπόλοι πα τέσσερα δάκτυλα, προσανατολίζονται ώστε να δείχνουν την φορά περιστροφής της επιβατικής ακτίνας

! r .

κο | dS/dt |. Έτσι, εάν !

k είναι το µοναδιαίο* διάνυσµα του άξονα Oz που είναι κάθετος στο επίπεδο της κίνησης, η εµβαδική ταχύτητα

!

V S του υλικού σηµεί

ου θα ορίζεται µέσω της διανυσµατικής σχέσεως:

!

V S=

dS

dt!

!

k (1)

Στην σχέση (1) το στοιχειώδες εµβαδόν dS είναι θετικό, όταν η επιβατική ακτί να ! r στρέφεται αριστερόστροφα, δηλαδή κατά την φορά που η πολική γωνία θ

Σχήµα 25 αυξάνεται, ενώ θεωρείται αρνητικό στην αντίθετη περίπτωση. Aν dθ είναι η µεταβολή της πολικής γωνίας του υλικού σηµείου στον χρόνο dt, τότε για το εµβαδόν dS ισχύει η σχέση:

dS =

r

2!rd! =

r2d!

2 (2)

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) και (2) έχουµε:

!

V S=

r2

2

d!

dt!

!

k (3)

Eξάλλου για την ταχύτητα

! v του υλικού σηµείου ισχύει κάθε στιγµή η σχέση:

! v =

dr

dt!! e

r+ r

d!

dt!! e ! !

�

! r !! v ( ) =

! r !

dr

dt"! e

r+ r

d!

dt"! e !

#

$ %

&

' (

)

* +

,

- . !

�

! r !! v ( ) =

! r !! e

r( )dr

dt+! r !! e !( )r

d!

dt (4)

Όµως τα διανύσµατα

! r και

! e

r είναι οµόρροπα, οπότε

! r !! e

r( ) =

!

0 µε αποτέλεσ

--------------------------------------- * H θετική φορά του µοναδιαίου διανύσµατος

! k αντιστοιχεί σε αριστερόστροφη

περιστροφή της επιβατικής ακτίνας ! r , δηλαδή σε περιστροφή κατά την οποία η

πολική γωνία θ αυξάνεται.

µα η (4) να γράφεται:

�

! r !! v ( ) = r

! e

r!! e !( ) r

d!

dt !

�

! r !! v ( ) = r

2d!

dt"! e

r!! e !( ) = r

2d!

dt"

! k (5)

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (3) και (5) παίρνουµε:

�

! V

S=! r !! v ( ) /2 (6)

ii) Στροφορµή Oρίζεται ως στροφορµή του υλικού σηµείου περί τον πόλο O της επίπεδης κίνη σής του, ένα διανυσµατικό µέγεθος του οποίου το διάνυσµα

�

! L έχει φορέα που

διέρχεται από τον πόλο O και είναι κάθετος στο επίπεδο κίνησής, έχει φορά που ανταποκρίνεται στον κανόνα του δεξιού χεριού και το µέτρο του είναι ίσο µε το γινόµενο rm|vθ|, όπου

! v ! η κάθετη προς την επιβατική ακτίνα

! r του

κινητού συνιστώσα της ταχύτητάς του ! v και m η µάζα του. Σύµφωνα µε τον

παραπάνω ορισµό της στροφορµής µπορούµε να γράψουµε την διανυσµατική σχέση:

�

! L = rmv

!

! k (7)

Όµως ισχύει vθ=rdθ/dt, οπότε η (7) γράφεται:

�

! L = mr2(d!/dt)

! k

(5)

!

�

! L = m(

! r !! v ) (8)

Συνδυάζοντας τις (6) και (8) καταλήγουµε στην σχέση:

�

! L = 2m

! V

S

που συνδέει την στροφορµή µε την εµβαδική ταχύτητα του υλικού σηµείου. 15. Kίνηση υλικού σηµείου υπό την επίδραση κεντρικής δύναµης Mια δύναµη ονοµάζεται κεντρική, όταν ο φορέας της διέρχεται συνεχώς απο ένα σταθερό σηµείο που ονοµάζεται κέντρο της δύναµης. Aς υποθέσουµε ότι, επί ενός υλικού σηµείου µάζας m ενεργεί µια κεντρική δύναµη

!

F , η οποία κα τευθύνεται πρός το σταθερό σηµείο O. Eάν

! r είναι η επιβατική ακτίνα του

υλικού σηµείου ως πρός το O, τότε κάθε στιγµή θα ισχύει:

(! r !!

F ) =!

0 (1) διότι τα διανύσµατα

! r και

!

F είναι συγγραµµικά. Όµως σύµφωνα µε το δεύ τερο νόµο κίνησης του Nεύτωνα κάθε στιγµή ισχύει:

�

!

F = m! a = md

! v /dt

οπότε η (1) γράφεται:

�

! r ! md

! v /dt( ) =

! 0 !

�

! r ! d

! v /dt( ) =

! 0 (2)

Eξάλλου ισχύει η διανυσµατική σχέση:

�

d

dt

! r !! v ( ) =

d! r

dt!! v

"

# $

%

& ' +

! r !

d! v

dt

"

# $

%

& '

(2)

!

�

d

dt

! r !! v ( ) =

! v !! v ( ) +

! 0 !

�

d

dt

! r !! v ( ) =

! 0 (3)

δηλαδή το διάνυσµα

�

(! r !! v ) δεν µεταβάλλεται µε τον χρόνο, οπότε δεν θα µετα

βάλλεται και το επίπεδο στο οποίο βρίσκονται κάθε στιγµή τα διανύσµατα ! r

και ! v . Όµως το επίπεδο αυτό διέρχεται από το O και απο το υλικό σηµείο, γε

Σχήµα 26 γονός που σηµαίνει ότι η κίνησή του είναι επίπεδη, µε πόλο το σταθερό σηµείο O. Eάν

�

! L είναι στροφορµή του υλικού σηµείου περί το κέντρο O θα ισχύει:

�

! L = m(

! r !! v ) !

�

d! L

dt= m

d(! r !! v )

dt

(3)

!

�

d! L /dt =

! 0 !

�

! L =!"#$%&'

δηλαδή η στροφορµή του υλικού σηµείου δεν µεταβάλλεται, όταν αυτό δέχεται κεντρική δύναµη. Eξάλλου για την εµβαδική ταχύτητα του υλικού σηµείου ισ χύει η σχέση:

�

! V

S=

! L

2m !

�

dS

dt!

! k =

L

2m!

! k !

�

dS

dt=

L

2m (4)

H σχέση (4) σε συνδυασµό µε το ότι η στροφορµή του υλικού σηµείου δεν µετα βάλλεται δηλώνει ότι, η επιβατική ακτίνα

! r του υλικού σηµείου σαρώνει εµβα

δόν µε σταθερό ρυθµό, δηλαδή σε ίσους χρόνους διαγράφει ίσα εµβαδά. Eξάλ

λου, η επιτάχυνση ! a του υλικού σηµείου έχει ακτινική διεύθυνση, οπότε θα

ταυτίζεται µε την ακτινική της συνιστώσα

! a

r για την οποία ισχύει η σχέση:

�

! a

r=

d2r

dt2

- rd!

dt

!

" #

$

% &

2'

(

)

)

*

+

,

,

! e

r !

�

m! a = m

d2r

dt2

- rd!

dt

!

" #

$

% &

2'

(

)

)

*

+

,

,

! e

r !

�

! F = m

d2r

dt2

- rd!

dt

!

" #

$

% &

2'

(

)

)

*

+

,

,

! e

r !

�

F! e

r= m

d2r

dt2

- rd!

dt

!

" #

$

% &

2'

(

)

)

*

+

,

,

! e

r !

�

d2r

dt2

- rd!

dt

!

" #

$

% &

2

=F

m (5)

όπου F η αλγεβρική τιµή της κεντρικής δύναµης. Aς δεχθούµε τώρα ότι η κεν τρική δύναµη

!

F δηµιουργεί για το υλικό σηµείο δυναµική ενέργεια U(r), η οποία είναι συνάρτηση της απόστασής του r απο το κέντρο O. Tότε η ολική ενέργεια E του υλικού σηµείου θα είναι σταθερή και θα ικανοποιεί την σχέση:

�

E =mv

2

2+ U(r) =

m

2

dr

dt

!

" #

$

% &

2

+ rd!

dt

!

" #

$

% &

2'

(

)

)

*

+

,

,

+ U(r) !

E -

mr2

2

d!

dt

!

" #

$

% &

2

- U(r) =m

2

dr

dt

!

" #

$

% &

2

(6)

Όµως ισχύει και η σχέση:

�

L = mr2d!

dt !

�

d!

dt=

L

mr2 (7)

οπότε η (6) γράφεται:

�

m

2

dr

dt

!

" #

$

% &

2

= E -L

2

2mr2

- U(r) !

�

dr

dt=

2

mE -

L2

2mr2

- U(r) !

�

dt =m

2

dr

E - L2 /2mr2 - U(r)

(8)

η οποία ολοκληρούµενη µε αρχικές συνθήκες t=t0 και r=r0 δίνει:

�

t - t0 =m

2

dr

E - L2 /2mr2 - U(r)r0

r

! (9)

H (9) παρέχει το χρονικό διάστηµα που µεσολαβεί ανάµεσα σε δύο θέσεις M0 και M της τροχιάς του υλικού σηµείου, των οποίων οι αντίστοιχες αποστάσεις από το κέντρο O είναι r0 και r αντιστοίχως. Eξάλλου η σχέση (7) γράφεται:

�

d! =Ldt

mr2

(8)

!

�

d! =L

2m

dr

r2 E - L2 /2mr2 - U(r)

η οποία ολοκληρούµενη µε αρχικές συνθήκες θ=θ0 και r=r0 δίνει:

�

! - !0 =L

2m

dr

r2 E - L2 /2mr2 - U(r)r0

r

! (10)

Παρατηρήσεις: i) O υπολογισµός των ολοκληρωµάτων στις σχέσεις (9) και (10) είναι εν γένει δυσχερής ή πολλές φορές αδύνατος και για τον λόγο αυτό είναι προτιµότερο στην περίπτωση κεντρικής δύναµης, που απορρέει απο συνάρτηση δυναµικής ενέργειας U(r), να επικεντρώνεται το ενδιαφέρον µας στην εύρεση της εξίσω σης r=r(θ) της τροχιάς του υλικού σηµείου. Στο εδάφιο που ακολουθεί θα επι χειρήσουµε να βρούµε την µορφή της τροχιάς που θα διαγράψει ένα υλικό σηµείο, όταν έλκεται από σταθερό κέντρο µε δύναµη της οποίας το µέτρο είναι αντιστρόφως ανάλογο του τετραγώνου της απόστασης του απο το κέντρο αυτό. H περίπτωση αυτή παρουσιάζει ξεχωριστό ενδιαφέρον, διότι ανταποκρίνεται στις τροχιές των πλανητών του ηλιακού συστήµατος, οι οποίες διαµορφώνον ται κάτω απο την επίδραση της Nευτώνειας έλξης που δέχονται οι πλανήτες από τον Ήλιο. ii) H σχέση (6) γράφεται:

�

m

2

dr

dt

!

" #

$

% &

2

+L

2

2mr2

+ U(r) = E (11)

To µονόµετρο µέγεθος U(r)+L2/2mr2 ορίζεται ως ενεργός δυναµική ενέρ γεια του υλικού σηµείου και συµβολίζεται µε Uεν (r), δηλαδή ισχύει:

�

U!"(r) = U(r) +

L2

2mr2 (12)

H ενεργός δυναµική ενέργεια αποτελείται από τον όρο U(r) που εκφράζει την συνήθη δυναµική ενέργεια, από την οποία απορρέει η κεντρική δύναµη

!

F και από τον όρο L2/2mr2, που ονοµάζεται φυγοκεντρική δυναµική ενέργεια, διότι από αυτήν απορρέει µια εικονική απωστική δύναµη που έχει τα χαρακτη ριστικά στοιχεία φυγόκεντρης δύναµης. Πράγµατι η δύναµη

�

! F ! που προκύπ

τει από την σχέση:

�

! F ! = -

! "

L2

2mr2

#

$ %

&

' ( = -

d

dr

L2

2mr2

#

$ %

&

' (

! e

r

�

!

�

! F ! = -

L2

2m

d

dr

1

r2

"

# $

%

& ' ! e

r=

L2

m

1

r3

"

# $

%

& ' ! e

r

�

!

�

! F ! =

m2r

4v"

2

m

1

r3

#

$ %

&

' ( ! e

r=mv"

2

r

! e

r

έχει όλα τα στοιχεία φυγόκεντρης δύναµης. Mε βάση την (12) η (11) γράφεται:

�

m

2

dr

dt

!

" #

$

% &

2

+ U'( (r) = E (13)

Η σχέση (13) περιέχει ως µεταβλητή µόνο την απόσταση r και ως εκ τούτου µας επιτρέπει να θεωρούµε την ακτινική συνιστώσα της κεντρικής κίνησης του υλικού σηµείου ως µια ανεξάρτητη µονοδιάστατη κίνηση που εξελίσσεται σε κεντρικό δυναµικό πεδίο, το οποίο απορρέει από µια εικονική συνάρτηση Uεν (r) που εκφράζει την ενεργό δυναµική ενέργεια του υλικού σηµείου. Ακόµη από την (13) προκύπτει ότι η κίνηση του υλικού σηµείου είναι επιτρεπτή σε περιο χές του πεδίου στις οποίες η ποσότητα Ε - Uεν (r) έχει θετικές τιµές. 16. Eξίσωση της τροχιάς υλικού σηµείου, δεχοµένου Nευτώνεια έλξη απο σταθερό κέντρο Aς υποθέσουµε ότι ένα υλικό σηµείο µάζας m έλκεται από σταθερό κέντρο O µε Nευτώνεια δύναµη

!

F , δηλαδή µε δύναµη που περιγράφεται από τον νόµο της παγκόσµιας έλξης του Nεύτωνα. Mια τέτοια δύναµη θα έχει την µορφή:

!

F (r) = -GMm

r2 !! e r (1)

όπου M η συγκεντρωµένη στο O µάζα που δηµιουργεί την

!

F , G η παγκόσµια σταθερά της βαρύτητας, r η απόσταση του υλικού σηµείου από το O και

! e

r το

µοναδιαίο διάνυσµα της επιβατικής ακτίνας ! r του υλικού σηµείου ως προς το

O. Όµως η δύναµη

!

F (r) απορρέει από συνάρτηση δυναµικής ενέργειας U(r) για την οποία ισχύει η σχέση:

U(r) = -

GMm

r (2)

Όπως δείχθηκε στο προηγούµενο εδάφιο το υλικό σηµείο υπό την επίδραση της

!

F (r) θα εκτελέσει επίπεδη κίνηση, της οποίας το επίπεδο διέρχεται από το κέντρο O και είναι κάθετο στο σταθερό διάνυσµα

�

! L της στροφορµής του.

Eξάλλου η ολική ενέργεια E του υλικού σηµείου θα παραµένει σταθερή και κάθε στιγµή θα ικανοποιεί την σχέση:

�

E =m

2

dr

dt

!

" #

$

% &

2

+ U(r) +L

2

2mr2

(2)

!

�

E =m

2

dr

dt

!

" #

$

% &

2

-GMm

r+

L2

2mr2 !

�

m

2

dr

dt

!

" #

$

% &

2

= E +GMm

r-

L2

2mr2 (3)

Eπειδή το υλικό σηµείο έχει µόνο ακτινική επιτάχυνση

! a

r, σύµφωνα µε τον

δεύτερο νόµο κίνησης του Nεύτωνα θα ισχύει:

�

mar= -

GMm

r2

!

�

d2r

dt2

- rd!

dt

!

" #

$

% &

2

= -GM

r2

!

�

d2r

dt2

-L

2r

m2r

4= -

GM

r2

!

�

d2r

dt2

-L

2

m2r

3= -

GM

r2

(4)

H (4) αποτελεί µια διαφορική εξίσωση για την λύση της οποίας χρησιµοποιούµε τον µετασχηµατισµό u=1/r, από τον οποίο µε διαφόριση προκύπτει:

du = -

dr

r2

!

dr

dt= -r

2 du

dt =

-r2 du

d!

d!

dt

!

" #

$

% & =

�

-L

m

du

d! !

�

d

dt

dr

dt

!

" #

$

% & = -

L

m

d

dt

du

d!

!

" #

$

% & !

�

d2r

dt2

= -L

m

d

d!

du

d!

!

" #

$

% &

d!

dt

!

" #

$

% & !

�

d2r

dt2

= -L

m

d2u

d!2

!

" #

$

% &

L

mr2

!

" #

$

% & =

�

-L

2u

2

m2

d2u

d!2

!

" #

$

% & (5)

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (4) και (5) έχουµε:

�

-L

2u

2

m2

d2u

d!2

!

" #

$

% & -

L2u

3

m2

= -GMu2 !

�

d2u

d!2

+ u =GMm

2

L2

(6)

H διαφορική εξίσωση (6) δέχεται λύση της µορφής:

�

u = A!"#($ - $0) +GMm

2

L2

!

�

1

r= A!"#($ - $0) +

GMm2

L2

(7)

όπου θ0 και A σταθερές ολοκλήρωσης. Eπιλέγοντας κατάληλα τον πολικό άξο να Ox µπορούµε να πετύχουµε θ0=0, ενώ η σταθερά A θα προκύψει από το γε γονός ότι, όταν το υλικό σηµείο βρίσκεται στην εγγύτερη πρός το O θέση του η απόσταση r θα λάβει την µικρότερη τιµή της rmin και θα ισχύει

(dr/dt)rmin

= 0 .

Tην στιγµή αυτή η σχέση (3) γράφεται:

�

0 = E +GMm

rmin

-L

2

2m!

1

rmin

2 !

�

1

rmin

2-2GMm

2

L2

!1

rmin

+2mE

L2

= 0 (8)

H (8) αποτελεί εξίσωση δευτέρου βαθµού ως προς 1/rmin και η αποδεκτή* λύση της είναι:

�

1

rmin

=GMm

2

L2

+GMm

2

L2

!

" #

$

% &

2

+2mE

L2

'

(

)

)

*

+

,

,

1/2

(9)

Eξάλλου από την (7) για θ=0 προκύπτει r=rmin , οπότε στην περίπτωση αυτή η (7) γράφεται:

�

1

rmin

= A +GMm

2

L2

(10)

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (9) και (10) έχουµε:

�

A =GMm

2

L2

!

" #

$

% &

2

+2mE

L2

'

(

)

)

*

+

,

,

1/2

�

=m

L

GMm2

L2

+2E

m (11)

H σχέση (7) µπορεί να λάβει πιο απλή µορφή ως εξής:

�

1

r=

GMm2

L2

1+AL

2!"#$

GMm2

!

" #

$

% & !

�

r =L

2/GMm

2

1+ AL2!"#$/GMm

2 !

r =

p

1 + e!"#$ (12)

µε

�

p =L

2

GMm2> 0 και

�

e =AL

2

GMm2

> 0

H σχέση (12) αποτελεί την εξίσωση µιας κωνικής τοµής σε πολικές συντεταγ µένες, µε εκκεντρότητα e για την οποία ισχύει:

�

e =mL

2

LGMm2

GMm2

L2

+2E

m

�

= 1+2E

m

L

GMm

!

" #

$

% &

2

(13)

Διακρίνουµε τις εξής περιπτώσεις: i) H ολική ενέργεια E του υλικού σηµείου είναι αρνητική, οπότε e<1 που σηµαίνει ότι, στην περίπτωση αυτή η τροχιά του είναι έλλειψη, της οποίας η µια εστία ταυτίζεται µε το ελκτικό κέντρο O (σχ. 27). O µεγάλος ηµιάξονας α της έλλειψης υπολογίζεται αν εφαρµόσουµε την σχέση (12) για το εγγύτερο ση µείο Amin και το απώτερο σηµείο Amax της έλλειψης προς το κέντρο O, οπότε θα έχουµε: ------------------------------- Η άλλη ρίζα της (8) εκφράζει την ποσότητα 1/rmax, όπου rmax η µέγιστη απόσταση του υλικού σηµείου από το ελκτικό κέντρο Ο.

rmin =p

1 + e

rmax =p

1 - e

!

" #

$ #

(+)

! rmin + rmax =

p

1 + e+

p

1 - e !

! =

p

1 - e2 (14)

Eξάλλου η δεύτερη εστία O' της έλλειψης βρίσκεται πάνω στον πολικό της άξο να Ox σε απόσταση 2f από το O, η οποία υπολογίζεται από την σχέση ορισµού της εκκεντρότητας της έλλειψης, δηλαδή από την σχέση:

�

f = e! = pe/(1 - e2) Tέλος ο µικρός ηµιάξονας β της έλλειψης υπολογίζεται από την γνωστή εκ της Aναλυτικής Γεωµετρίας σχέση:

! = "2- f

2= "

2- "

2e

2= " 1 - e

2

(15) H στροφορµή του υλικού σηµείου θα υπολογιστεί συνδυάζοντας την σχέση p=L2/GMm2 µε την (13), οπότε θα έχουµε:

Σχήµα 27

�

! =L

2/GMm

2

1- e2

=L

2

GMm2

1- e2( )

!

�

L2

= GMm2! 1- e

2( ) (16)

Eξάλλου η περίοδος T της ελλειπτικής κίνησης του υλικού σηµείου υπολογίζε ται από την σχέση στροφορµής και εµβαδικής ταχύτητας, δηλαδή από την σχέ ση:

�

dS

dt=

L

2m !

�

dt =2mdS

L !

�

dt( )0

T

! =2mdS

L

"

# $

%

& '

0

S0

! !

�

T =2mS

0

L (17)

όπου S0 το εµβαδον της έλλειψης που διαγράφει το υλικό σηµείο, ίσο µε παβ. Έτσι η σχέση (16) γράφεται:

�

T2

=4m

2 !"#( )2

L2

(15)

!

�

T2=

4m2 !"#( )

2

GMm2" 1 - e

2( )=

!2"#2

GM 1- e2( )

Όµως ισχύει β2=α2(1–e2), οπότε η προηγούµενη σχέση γράφεται:

T

2=

4!2"

3

GM (18)

H σχέση (18) αποτελεί την µαθηµατική διατύπωση του τρίτου νόµου του Kep ler, σύµφωνα µε τον οποίο το τετράγωνο της περιόδου της ελλειπτικής τροχι άς είναι ανάλογο προς τον κύβο του µεγάλου ηµιάξονά της. H ελλειπτική αυτή τροχιά µπορεί να εκφυλιστεί σε κύκλο εάν ισχύει e=0, δηλαδή όταν:

�

1+2E

m

L2

GMm

!

" #

$

% &

2

= 0 !

�

2E

m= -

GMm

L

!

" #

$

% &

2

Tότε η ακτίνα r της κυκλικής τροχιάς θα είναι ίση µε p, οπότε θα έχουµε:

�

r = p =L

2

GMm2 !

�

r =rmv( )

2

GMm2=

r2v

2

GM !

v

2=

GM

r !

v =GM

r = σταθερή

δηλαδή η κυκλική κίνηση είναι ισοταχής. Στο ίδιο αποτέλεσµα καταλήγουµε αν παρατηρήσουµε ότι η Nευτώνεια έλξη που δέχεται το υλικό σηµείο αποτε λεί κεντροµόλο δύναµη. ii) H ολική ενέργεια E του υλικού σηµείου είναι µηδενική, οπότε e=1, που σηµαίνει ότι, η τροχιά του είναι παραβολή, της οποίας η εστία ταυτίζεται µε το ελκτικό κέντρο O (σχ. 28). Στην περίπτωση αυτή η ταχύτητα

! v ! του υλικού

σηµείου στο εγγύτερο προς το ελκτικό κέντρο σηµείο A της παραβολικής τρο χιάς υπολογίζεται από την σχέση:

Σχήµα 28 Σχήµα 29

0 =

mv!

2

2-GMm

r0

!

v!

=2GM

r0

Aν λοιπόν το υλικό σηµείο εκτοξευτεί στην θέση A µε ταχύτητα

2GM/r

0, της

οποίας ο φορέας είναι κάθετος στην επιβατική ακτίνα

! r

0 του A, τότε το υλικό

σηµείο υπό την επίδραση της Nευτώνειας έλξης που δέχεται από την µάζα M θα διαγράψει παραβολική τροχιά και θα φθάσει οριακά στο άπειρο µε µηδενική ταχύτητα. H ταχύτητα

! v

! ονοµάζεται ταχύτητα διαφυγής του υλικού σηµεί

ου από την βαρυτική έλξη της µάζας M.

iii) H ολική ενέργεια E του υλικού σηµείου είναι θετική, οπότε e>1 που σηµαί νει ότι στην περίπτωση αυτή η τροχιά του είναι υπερβολή η οποία στρέφει το κοίλο µέρος της προς το ελκτικό κέντρο O (σχ. 29). Θεωρώντας την ολική ενέργεια του υλικού σηµείου στο εγγύτερο σηµείο A της τροχιάς του και στο άπειρο θα έχουµε τις σχέσεις:

E =

mv0

2

2-GMm

r0

!

v0

=2E

m+

2GM

r0

και

E =

mv!

2

2+ 0 !

v!

=2E

m

όπου

! v

0,

! v

! οι ταχύτητες του υλικού σηµείου στο A και στο άπειρο αντιστοί

χως. Παρατηρούµε ότι v0>v∞, που σηµαίνει πως αν το υλικό σηµείο εκτοξευθεί στο σηµείο A µε ταχύτητα

! v

0 της οποίας ο φορέας είναι κάθετος στην επιβατι

κή ακτίνα

! r

0 του A και το µέτρο της µεγαλύτερο από το µέτρο της ταχύτητας

διαφυγής, τότε αυτό θα διαγράψει τόξο υπερβολής και θα διαφύγει από την

έλξη της µάζας M κινούµενο µε σταθερή ταχύτητα µέτρου 2E/m .

P.M. fysikos

TΡΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

Πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο ηρεµεί µικρό σώ µα Σ µάζας m, δεµένο στο άκρο ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k και φυσικού µήκους L0, το άλλο άκρο του οποίου έχει στερεωθεί στο ση µείο Ο του επιπέδου. Δίνουµε στο σώµα ώθηση βραχείας διάρκειας ώστε ν’ αποκτήσει ταχύτητα

�

! v

0 κάθετη στον άξονα του ελατηρίου. Nα

µελετηθεί η κίνηση του σώµατος. ΛΥΣΗ: Στην διάρκεια της κίνησής του το σώµα δέχεται το βάρος του που εξουδετερώνεται από την κατακόρυφη αντίδραση του λείου οριζόντιου επιπέ δου και την δύναµη

�

! F από το παραµορφωµένο ελατήριο, της οποίας ο φορέας

διέρχεται συνεχώς από το Ο, δηλαδή η

�

! F είναι κεντρική δύναµη. Άρα η κίνηση

του σώµατος είναι επίπεδη και µάλιστα το επίπεδο κίνησης είναι αυτό που καθορίζει η αρχική επιβατική ακτίνα του σώµατος και η αρχική του ταχύτητα. Επιπλέον η στροφορµή

�

! L του σώµατος περί το Ο διατηρείται σταθερή, που

σηµαίνει ότι µπορούµε να γράψουµε την σχέση:

�

L = mv0L

0 (1)

Eάν

�

! r είναι η επιβατική ακτίνα του σώµατος ως προς το Ο κατά µια τυχαία

χρονική στιγµή t και θ η αντίστοιχη πολική του γωνία, λόγω της κεντρικής κίνησης θα ισχύει η διαφορική εξίσωση:

�

d2u

d!2

+ u = -m

L2u

2F

�

!

(1)

�

d2u

d!2

+ u = -m

m2v

0

2L

0

2

F

u2

�

!

�

d2u

d!2

+ u = -1

mv0

2L

0

2

F

u2 (2)

Σχήµα A ! Σχήµα B ! όπου u=1/r. Όµως για την δύναµη

�

! F ισχύει F=-k(r-L0), οπότε η (2) γράφεται:

�

d2u

d!2

+ u =k

mv0

2L0

2

(r - L0)

u2

�

!

�

d2u

d!2+ u =

k

mv0

2L0

2

(1/u - L0)

u2

�

!

�

d2u

d!2+ u - a

(1/u - L0)

u2= 0

�

!

�

d2u

d!2

+ u +aL

0

u2

-a

u3

= 0 (3)

µε

�

a = k/mv0

2L

0

2 Η (3) είναι µια µη γραµµική διαφορική εξίσωση δευτέρας τάξεως και δεν λύ νεται µε αναλυτικό τρόπο, αλλά µόνο µε γραφική µέθοδο, λογουχάρη µε την βοήθεια ηλεκτρονικού υπολογιστή που χρησιµοποιεί το πρόγραµµα Mathema tika. Στό σχήµα (B!) φαίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης r=f(θ) η οποία κατασκευάστηκε µε το πρόγραµµα Mathematika και αποτελείται από µη επαναλαµβανόµενες συνεχείς τροχιές.

Σωµατίδιο µάζας m κινείται σε κυκλική τροχιά κέντρου Ο και ακτίνας α, υπό την επίδραση δύναµης

�

! F της µορφής:

�

! F = -

µm

r2

! r 0

όπου

�

! r 0 το µοναδιαίο διάνυσµα της επιβατικής ακτίνας του σωµατι

δίου ως πρός το Ο και µ θετική σταθερά ποσότητα. Κάποια στιγµή το σωµατίδιο συγκρούεται πλαστικά µε ακίνητο σωµατίδιο της ίδιας µάζας. Εάν το συσσωµάτωµα που προκύπτει υπόκειται στον ίδιο νόµο δύναµης, να δείξετε ότι θα διαγράψει ελλειπτική τροχιά, της οποίας να προσδιορίσετε την εκκεντρότητα. Ποια σχέση συνδέει την περίοδο κίνησης του συσσωµατώµατος µε την περίοδο κίνησης του αρχικού σωµατιδίου; ΛΥΣΗ: Εάν

�

! r είναι η επιβατική ακτίνα του συσσωµατώµατος ως πρός το

ελκτικό κέντρο Ο, τότε η διαφορική εξίσωση της κίνησής του έχει την µορφή:

�

d2u

d!2

+ u = -2m

LuF(u) (1)

όπου u=1/r και F(u)= -2mµu2, ενώ L είναι το µέτρο της σταθερής στροφορµής του περί το Ο. Το σωµατίδιο µάζας m διαγράφει κυκλική τροχιά µε ταχύτητα σταθερού µέτρου v0, για το οποίο ισχύει:

�

µm

!2

=mv

0

2

!

�

!

�

v0=

µ

! (2)

Λόγω πλαστικής κρούσεως η ταχύτητα του συσσωµατώµατος αµέσως µετά την κρούση θα είναι κάθετη στην επιβατική του ακτίνα που αντιστοιχεί στην θέση κρούσεως, το δε µέτρο της θα είναι v0/2 και εποµένως η στροφορµή του συσ σωµατώµατος θα έχει µέτρο:

�

L =2mv

0!

2

�

!

(2)

�

L = m!µ

!= m µ! (3)

Έτσι η σχέση (1) γράφεται:

�

d2u

d!2

+ u = -2m

m2µ"u

2-2µmu

2( )

�

!

�

d2u

d!2

+ u =4

" (4)

Η διαφορική εξίσωση (4) δέχεται λύση της µορφής:

�

u=1/r =A!"#($ - $0)+4/% (5) όπου οι σταθερές Α, θ0 θα καθορισθούν από τις αρχικές συνθήκες θ=0, r=α και vr=dr/dt=0 Η (5) µε βάση τις αρχικές συνθήκες δίνει:

�

1/! = A"#$%0+4/!

�

!

�

A!"#$0

= -3/% (6) Eξάλλου έχουµε την σχέση:

�

d1

r

!

" #

$

% & = -

dr

r2

�

!

�

du

dt= -

1

r2

dr

dt

�

!

�

dr

dt= -r

2du

dt= -r

2du

d!

d!

dt

�

!

�

dr

dt= -

L

m

du

d!

�

!

(5)

�

dr

dt=

L

mA!µ (" - "0)

�

!

(3)

�

dr

dt= A µ!"µ (# - #0) (7)

H (7) µε βάση τις αρχικές συνθήκες δίνει:

�

0 = A µ! "µ#0

�

!

�

!µ"0= 0

Σχήµα Γ ! δηλαδή θ0=0 ή θ0=π. Η τιµή θ0=0 δίνει εκ της (6) Α=-3/α, ενώ η τιµή θ0=π δίνει Α=3/α. Έτσι η εξίσωση (5) της τροχιάς σε πολικές συντεταγµένες παίρνει την µορφή:

�

1

r= -

3!"#$

%+

4

%

�

!

�

r =!

4 - 3"#$%=

! /4

1 - (3/4)"#$% (8)

ή την µορφή:

�

1

r=

3!"# $ - %( )&

+4

&

�

!

�

r =!

4 - 3"#$%=

! /4

1 - (3/4)"#$% (9)

Oι σχέσεις (8) και (9) δηλώνουν ότι η τροχιά που διαγράφει το συσσωµάτωµα είναι έλλειψη µε εκκεντρότητα e=3/4. Η περίοδος της κυκλικής τροχιάς του αρχικού σωµατιδίου είναι:

�

T!=

2"#

v0

= 2"##

µ (9)

Η περίοδος Τε της ελλειπτικής τροχιάς σύµφωνα µε τον τρίτο νόµο του Kepler θα ικανοποιεί την σχέση:

�

T!

2=

4"2R

3

µ

�

!

�

T!= 2"R

R

µ (10)

όπου R το µήκος του µεγάλου ηµιάξονα της ελλειπτικής τροχιάς, για το οποίο ισχύει:

�

R =! /4

1 - e2

=! /4

1 - 9/16=

4!

7

Άρα η (10) γράφεται:

�

T!=

2"

µ

4#

7

4#

7=2"#

#

µ

8

7 7

�

!

(9)

�

T!= T

"

8

7 7

�

!

�

T!< T

"

Υλικό σηµείο µάζας m εκτελεί κεντρική κίνηση, η δε τροχιά του σε σύστηµα πολικών συντεταγµένων περιγράφεται από την σχέση: r = α/συν2θ όπου α θετική και σταθερή ποσότητα. i) Να καθορίσετε την µορφή της δύναµης που δέχεται το υλικό σηµεί ο, αν το µέτρο της σταθερής στροφορµής του περί το κέντρο Ο της κίνησης είναι L . ii) Πόση είναι η µηχανική ενέργεια του υλικού σηµείου, όταν διέρ χεται από το σηµείο Α0 (r=α, θ=0); ΛΥΣΗ: i) Εάν θέσουµε 1/r=u τότε η διαφορική εξίσωση της κεντρικής κίνη σης του υλικού σηµείου έχει την µορφή:

�

d2u

d!2

+ u = -2m

Luf(u)

�

!

�

d2u

d!2

+ u = -2m

LuF(r) (1)

µε f(u)=F(r). Στην περίπτωσή µας έχουµε:

�

u =1

r=!"#2$

%

�

!

�

du

d!= -

2"µ 2!

#

�

!

�

d2u

d!2

= -4"#$2!

%

οπότε η σχέση (1) γράφεται:

�

-4!"#2$

%+!"#2$

%= -

mr2

L2

F(r)

�

!

�

-3!"#2$

%= -

mr2

L2

F(r)

�

!

�

3

r=

mr2

L2

F(r)

�

!

�

F(r) =3L

2

m

1

r3

δηλαδή η κεντρική δύναµη είναι απωστική και το µέτρο της είναι αντίστροφα ανάλογο του κύβου της απόστασης r του υλικού σηµείου από το κέντρο Ο της κίνησης.

ii) Εάν U(r) είναι η δυναµική ενέργεια του υλικού σηµείου, η οφειλόµενη στην κεντρική δύναµη F(r), τότε θα ισχύει:

Σχήµα Δ !

�

F(r) = -dU(r)

dr

�

!

�

dU(r) = -F(r)dr = -3L

2

m

dr

r3

�

!

�

U(r) = -3L

2

m

dr

r3

!

" #

$

% & ' + C =

3L2

2m

1

r2

+ C

Εάν δεχθούµε συµβατικά ότι γιά r→∞ είναι U=0, τότε η σταθερά ολοκλήρωσης C είναι µηδενική και η προηγούµενη σχέση γράφεται:

�

U(r) =3L

2

2m

1

r2

�

!

�

U(!) =3L

2

2m

1

!2 (3)

Η κινητική ενέργεια Κ του υλικού σηµείου είναι:

�

K =mv

2

2=

m

2v

r

2+ v

!

2( ) (4)

οπου

�

! v

r,

�

! v ! η ακτινική και η εγκάρσια συνιστώσα αντιστοίχως της ταχύτητάς

του

�

! v . Όµως για το µέτρο της στροφορµής

�

! L ισχύει:

�

L = mrv!

�

!

�

v!

= L /mr (5) Εξάλλου για την ακτινική συνιστώσα

�

! v

r της ταχύτητας ισχύει η σχέση:

�

vr=

dr

dt= -

L

m

du

d!

η οποία στην περίπτωσή µας γράφεται:

�

vr= -

L

m

-2!µ2"#

$

% &

'

( ) =

2L

m#!µ2"

Στην θέση Α0(r=0, θ=0) είναι vr=0 και vθ =L/mα, οπότε η (4) γράφεται:

�

K(!) =m

2

2L2

m2!

2=

L2

m!2

H ζητούµενη λοιπόν µηχανική ενέργεια είναι:

�

E(!) = K(!) + U(!) =L

2

2m!2

+4L

2

2m!2

=2L

2

m!2

P.M. Fysikos