02.c La probabilità quantisticapeople.na.infn.it/~scotti/Area%20studenti/3...E’ possibile conoscere con esattezza il valore della variabile aleatoria E per una molecola ben determinata

02. La Probabilità Classica e la Probabilità Quantistica02.c La probabilità quantistica

Un gatto di Schrödinger

2.d La probabilità quantistica.

Contenuti

02. La Probabilità Classica e la Probabilità Quantistica

Max BornGermania, 1882 - 1970

La Probabilità Classica e la Probabilità Quantistic a

M. Born fu uno dei padri della Meccanica Quantistica moderna. Fu coautore, con Heisenberg e Pascual, della formulazione della “meccanica delle matrici” e diede un contributo fondamentale allo studio delle proprietà quantistiche del legame chimico e allo sviluppo della “Fisca dello stato solido”. Nel 1954 ricevette il Nobel per l’interpretazione probabilistica della Meccanica Quantistica.J. Bell diede, a partire dagli anni ‘60, un fortissimo impulso alla riconsiderazione delle “interpretazioni della meccanica quantistica”. Il suo lavoro teorico, verificato da una serie di esperimenti di ottica quantistica a partire dagli anni ‘90 in poi, ha dimostrato la base intrinsecamente probabilistica e non classica della teoria.

John Stuart BellIrtlanda del Nord, 1928- 1990

2.d La probabilità quantistica

slide#3

La Meccanica Quantistica è una teoria probabilistica, nel senso che non permette di prevedere il risultato delle misure, ma la probabilità che si ottenga un certo risultato da una certa misura. Resta però aperta la questione: operativamente, il termine “probabilità” ha lo stesso significato in meccanica quantistica e in meccanica classica ?

La risposta è no: usiamo il termine “probabilità” in modo equivoco; cioè, questa parola indica operativamente e concettualmente cose diverse nei due ambiti.

La Probabilità Classica e la Probabilità Quantistic a slide#4

H

Cl

1. Consideriamo una singola molecola. Con che probabilità lo ione Idrogeno e lo ione Cloro si trovano alla distanza x?

2. Consideriamo un gas di HCl alla temperatura T. Con che probabilità troviamo una molecola HCl nello stato fondamentale, nel primo stato eccitato vibrazionale, ecc. ?

Per capirlo, consideriamo due distinti problemi che riguardano la molecola HCl.



1. Consideriamo una singola molecola. Con che probabilità lo ione Idrogeno e lo ione Cloro si trovano alla distanza x?

La molecola HCl è un oscillatore armonico quantistico.

La distribuzione di probabilità della variabile aleatoria x è una gaussiana: lo scopriamo risolvendo l’equazione fondamentale della meccanica quantistica, l’equazione di Schrödinger.

Qui col termine “probabilità”, in questo caso intendiamo che:

Indipendentemente da come realizziamo l’esperimento e da quanto accuratamente abbiamo preparato lo stato iniziale della molecole, non è possibile in alcun modo prevedere con esattezza il risultato di una successiva misura della variabile aleatoria x.

E’ unicamente possibile conoscere la probabilità che una misura di x restituisca un certo valore fissato.

Interpretazione di Born della MQ

H

Cl

Un solo oscillatore2.d La probabilità quantistica


2. Consideriamo un gas di HCl alla temperatura T. Con che probabilità troviamo una molecola HCl nello stato fondamentale, nel primo stato eccitato vibrazionale, ecc. ?

0.0

0.5

1.0

2oωh

2

3 oωh2

5 oωh

Eo E1 E2p(E)

E ( )Z

eEp

Tk

E

B−

=

Con misure accurate, in linea di principio potremmo misurare il livello di energia di ogni singola molecola. Scopriremmo che, a causa dell’interazione con la sorgente a temperatura T, alcune molecole si trovano nello stato fondamentale, altre nel primo eccitato, ecc.

La distribuzione statistica delle popolazioni sarà uguale alla distribuzione di Boltzmann con Ω(Ε) = 1 :

Col termine “probabilità”, in questo caso intendiamo che:

E’ possibile conoscere con esattezza il valore della variabile aleatoria E per una molecola ben determinata.

Tuttavia le molecole sono tante. Per questo è interessante studiare la distribuzione statistica della popolazione in termini della variabile aleatoria E.

slide#6

Un insieme di molte particelle



Il caso proposto mette in luce la profonda differenza tra l’ambito della Fisica classica e quello della Meccanica quantistica:

In Fisica classica, se conosciamo accuratamente lo stato iniziale di un sistema, possiamo prevederne accuratamente l’evoluzione. La Fisica classica è deterministica.

Se ricorriamo agli strumenti della Meccanica statistica, lo facciamo “per convenienza” e non per motivi di principio, quando il sistema che studiamo contiene molte particelle.

In Meccanica quantistica, se anche conosciamo accuratamente lo stato iniziale di un sistema, non possiamo prevederne accuratamente l’evoluzione. La Meccanica quantistica non è deterministica.

Non si tratta dunque di convenienza: ricorriamo all’analisi statistica perché non possiamo in nessun modo fare di meglio.

La meccanica quantistica ci dice molte cose, ma non ci fa penetrare più a fondo il segreto del Grande

Vecchio. In ogni caso, sono convinto che Dio non giochi a dadi col mondo.

“La natura, così come oggi siamo in grado di capirla, si comporta in modo tale che risulta

fondamentalmente impossibile prevedere esattamente cosa succederà in un dato esperimento. È una cosa orribile. Infatti i filosofi avevano stabilito

come uno dei requisiti fondamentali della scienza che nelle stesse condizioni debba verificarsi la stessa

cosa. Questo è semplicemente falso”.A. EinsteinUn punto di vista sbagliato

R. FeynmanUn punto di vista corretto



I quantoni

Il fisico J Levy-Leblond ha coniato il termine “quantone” per identificare “una particella quantistica”.

Le proprietà fondamentali dei quantoni non dipendono dalla loro natura: possiamo parlare indifferentemente di elettroni, protoni, neutroni, in alcuni esperimenti anche di interi atomi o molecole; oppure invece fotoni, o altre particelle elementari.

Nelle prossime slide si mettono a confronto le proprietà di una particella classica, di un’onda e di un quantone in un famoso “esperimento di pensiero”: la doppia fenditura.

Particella classica

Localizzabile

Discreta

Onda

Non localizzabile

Continua

Quantone

Non localizzabile

Discreto


Consideriamo tre esperimenti di MC, cioè condotti con particelle macroscopiche di cui possa essere seguita la traiettoria:

configurazione S = “la particella passa a sinistra”;configurazione D = “la particella passa a destra”;configurazione SD = “la particella passa a sinistra oppure a destra”.

In MC gli eventi S, D sono mutuamente esclusivi e le probabilità si sommano:

p(S∪D) = p(S) + p(D)

MC

S D SD

Un esperimento di Meccanica Classica

NS

NS

NDND

P = probabilità che R faccia clic

Il rivelatore R può essere traslato

N



La probabilità ∆p che una particella cada nell’intervallo di larghezza ∆x è il rapporto tra casi favorevoli e casi totali:

( )N

xNp

∆=∆

D’altronde. le distribuzioni di probabilità p(x) e p’(x) sono definite dalle relazioni:

EsercizioUn fascio di N particelle classiche incide su uno schermo, di dimensioni a × L.Lo schermo è dotato di un rivelatore suddiviso in pixel di dimensioni a × ∆x.

Noto il numero ∆N(x) di particelle che incidono sul pixel posto in x, determinare:

a) la distribuzione di probabilità lineare p(x) ;b) La distribuzione di probabilità areale p’(x).

( ) ( ) ( ) xax'pSx'pp;xxpp ∆=∆=∆∆=∆



slide#10

pixel

Confrontando le relazioni, si ottiene:

( ) ( ) ( ) ( )xNa

xN

xa

px'p;

xN

xN

x

pxp

∆∆=

∆∆=

∆∆=

∆∆=

Ripetiamo l’esperimento con particelle microscopiche: i quantoni.Otterremo un risultato diverso:

la mappa corrispondente a SD non è la somma delle mappe corrispondenti a S e a D!

Si manifesta invece il fenomeno dell’interferenza e appaiono frange chiare e scure alternate.

S D SD

NS ND

Un esperimento di Meccanica Quantistica



N

NQ

Le regole della Probabilità Quantistica sono diverse dalle regole della Probabilità Classica:

2p ψ=⇒ψAmpiezza di probabilità Distribuzione di probabilità

Per ciascun evento, si introduce un numero complesso ψ, detto ampiezza di probabilità.La probabilità è pari al modulo quadro di ψ.

S D SD

NS ND




N

NQ

Regola di Born

Principio di sovrapposizione: Si sommano le ampiezze di probabilità

dssd

d

s

"DS"Evento

"D"Evento

"S"Evento

ψ+ψ=ψ⇒∪ψ⇒

ψ⇒

S D SD

NS ND




N

NQ

( ) *dsd

*s

2d

2s

2ds

dssd

DSp

"DS"Evento

ψψ+ψψ+ψ+ψ=ψ+ψ=∪

ψ+ψ=ψ⇒∪ Termine di interferenza

Il modulo quadro della somma è diverso dalla somma dei moduli quadri: le probabilità non si sommano .

S D SD

NS ND




N

NQ

La doppia fenditura: MC e MQ a confronto

MC p(S∪D) = p(S) + p(D) S e D sono mutuamente esclusivi

MQ p(S∪D) ≠ p(S) + p(D) S e D non sono mutuamente esclusivi

Onde in una vascaParticelle macroscopiche

A differenza delle particelle macroscopiche, per le onde non c’è aut aut: le onde passano contemporaneamente attraverso le due fenditure



Come le onde, i quantoni non sono localizzabili: infatti, visto che S e D non sono mutuamente esclusivi, possono realizzarsi insieme: I quantoni possono passare contemporaneamente attraverso entrambe le fenditure. Le particelle classiche, invece, sono localizzabili.

Probabilità Quantistica

Nei fenomeni di assorbimento (ma anche di emissione), il comportamento del quantone è quindi identico a quello delle particelle classiche: i quantoni sono discreti . Le onde, invece, sono continue.

Quando il quantone raggiunge un pixel del rivelatore, o c’è un clic, o niente: non si può mai rivelare mezzo quantone. Un’onda, invece, è rivelabile su tutto il suo fronte contemporaneamente.

1.a La probabilità classica e la probabilità quant istica

Ci resta un piccolo elenco di domande …

• Abbiamo anticipato che in meccanica quantistica le le mappe di probabilità sono determinate a partire dalla funzione d’onda ψ. Ma in che modo?

• Perché ψ è detta “funzione d’onda”?

• Come si calcola ψ per un sistema quantistico?

• Quali sono le proprietà di ψ, sul piano matematico e sul piano della fisica?

• Che relazione c’è tra ψ e i risultati delle misure delle grandezze fisiche del sistema?



Per descrivere il comportamento dei quantoni, Bohr enunciò il “Principio di complementarietà”: un quantone si comporta come una particella o come un’onda, mai entrambe le cose insieme.

Il punto di vista moderno è diverso. A livello fondamentale, un quantone non è né onda, né particella classica. Piuttosto si può affermare che abbiamo due modelli fisici (“onda” e “particella classica”), ciascuno dei quali va bene in alcune situazioni e non in altre.

Ha senso in Fisica chiedersi quale sia “natura fondamentale” del quantone? No: la Fisica descrive ciò che noi osserviamo, non la “natura fondamentale” delle cose!

Principio di complementarietà

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