Resistência dos Materiais II

Flexão Assimétrica

e

Esforços combinados

Prof. Esp. Douglas José de Sousa

Introdução

O que é Flexão?

É aquilo que adquire um formato curvo quando sujeito a uma carga

aplicada.

O que é Assimetria?

É aquilo que não possui simetria, que não é divisível em metade por um

eixo de forma que ambos os lados tenham o mesmo valor.

Introdução

Na fórmula da flexão, impusemos a condição de que a área da seção

transversal fosse simétrica em torno de um eixo perpendicular ao eixo

neutro e também que o momento interno resultante M agisse ao

longo do eixo neutro.

Flexão Assimétrica

No entanto, agora iremos ver que a fórmula da flexão também pode

ser aplicada tanto a uma viga com área de seção transversal de

qualquer formato, como a uma viga com momento interno resultante

que aja em qualquer direção.

Momento aplicado ao longo do eixo

principal

Considere que a seção transversal da viga tem a forma assimétrica

mostrada na Figura abaixo. As coordenadas x y z tem origem no

centroide C da seção transversal. A distribuição de tensão que age sobre

toda a área deve ter: FR nula, MR em torno do eixo y nulo e MR em

torno do eixo z igual a M.

Momento aplicado ao longo do eixo

principal

Como já adotado o eixo z passe pelo centroide da área da seção

transversal. Além disso, z representa o eixo neutro para a seção

transversal, a deformação normal variará de zero no eixo neutro a

máxima em um ponto y localizado à maior distância y = c do eixo

neutro.

Momentos Aplicados Arbitrariamente

Um elemento pode ser carregado de tal modo que o momento interno

resultante não aja em torno de um dos eixos principais da seção

transversal (y e z). Quando isso ocorre, em primeiro lugar, o

momento deve ser decomposto em componentes dirigidas ao longo

dos eixos principais. Assim, a fórmula da flexão pode ser usada para

determinar a tensão normal provocada por cada componente do

momento.

Momentos Aplicados Arbitrariamente

Considere a viga abaixo

Aqui o M forma um ângulo 𝜃 com o eixo principal z. considerando que

𝜃 é positivo quando esta direcionado do eixo +Z para o eixo + Y,

decompondo M em componentes ao longo dos eixos Z e Y, temos:

Mz=M cos 𝜃;

My= M sen 𝜃.

Momentos Aplicados Arbitrariamente

Representação das componentes em torno dos eixos Z e Y

Momentos Aplicados Arbitrariamente Aplicando a fórmula da flexão a cada componente do momento nas figuras

anteriores, podemos expressar a tensão normal resultante em qualquer

ponto na seção transversal em termos gerais, como:

𝜎 = −𝑀𝑍𝑌

𝐼𝑍+

𝑀𝑌𝑍

𝐼𝑌Equação 1

• 𝜎 é tensão normal em um ponto;

• Y e Z representam os eixos principais dos momentos de inercia mínimo e

máximo para a área.

• MY e MZ são as componentes do momento interno resultante direcionadas ao longo dos eixo principais Y e Z.

• IY e IZ são momentos principais de inercia calculados em torno dos eixos Y e Z.

Para a figura abaixo temos a orientação do eixo neutro.

=

O ângulo 𝛼 do eixo neutro pode ser determinado através da equação 1 e admitindo

𝜎 = 0, umas vez que, nenhuma tensão normal age no eixo neutro, assim:

Y=𝑀𝑌 𝐼𝑍

𝑀𝑍 𝐼𝑌𝑧 ; como MZ= M cos 𝜃 e My sen 𝜃, temos:

Y= 𝐼𝑍

𝐼𝑌𝑡𝑔 𝜃 𝑧

Esta equação define o eixo neutro para a seção transversal, como inclinação da reta

e tg𝛼 = 𝑦/𝑧 temo que a orientação do eixo neutro é:

o ângulo 𝛼 pode é determinado pela seguinte expressão:

𝛼 é o ângulo entre o eixo z e o eixo neutro. 𝜃 é ângulo entre o eixo z

e o momento aplicado.

Exercício 01

Para a figura abaixo com seção transversal mostrada, encontre a tensão

de flexão em cada ponto e a orientação do eixo neutro.

Mz=M cos 𝜃 e My= M sen 𝜃.

𝜎 = −𝑀𝑧𝑌

𝐼𝑧+

𝑀𝑦𝑍

𝐼𝑦

𝜎𝑏 = 2,25 𝑀𝑃𝑎

𝜎𝑐 = −4,95 𝑀𝑃𝑎

𝜎𝑒 = 4,95 𝑀𝑃𝑎

𝜎𝑑 = −2,25 𝑀𝑃𝑎

Exercício 02.

A viga em seção T está submetida ao momento fletor de 15 kN.m como mostra a

figura abaixo. Determinar a tensão normal máxima na viga e a direção do eixo neutro.

𝜎𝑏 = 74,8 𝑀𝑃𝑎

𝜎𝑐 = −90,3 𝑀𝑃𝑎

Exercício 03

A viga da seção abaixo esta sujeita a um momento M = 3500 Nm.

Determine a tensão de flexão nos pontos A e B da viga e a orientação do

eixo neutro.