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1
Universidade Federal de Itajubá
21/03/2011 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 1
Matemática Financeira
Engenharia Econômica
Matemática Financeira(Princípio básico)
“Não se soma ou subtrai Não se soma ou subtrai quantias em dinheiro que não estejam nas mesmas datas!”
21/03/2011 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 2
2
Matemática Financeira
O que foi feito?
21/03/2011 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 3
Matemática Financeira
21/03/2011 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 4
3
Matemática Financeira
21/03/2011 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 5
A pergunta é: vocês acreditam nisto?
21/03/2011 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 6
4
De fato o que você tem nas mãos na maioria das vezes!
21/03/2011 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 7
Significado dos juros
Fatores de Produçãoconsiderados em economiaSalário Aluguel
Trabalho Terra
AdministraçãoTécnica
Royalty Lucros
Juros21/03/2011 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 8
Capital
5
JUROS: presença no dia a dia
compras à crédito;compras à crédito;
cheques especiais;
prestação da casa própria;
desconto de duplicata;
vendas à prazo;
empréstimos.
21/03/2011 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 9
Juros Simples:• J: Juros
• i: Taxa de juros
Matemática financeira
J = P * i * nF = P + J
F = P + P * i * nj
• n: Número de Períodos
• P: Principal
• F: Valor Futuro
F P P i n
F = P (1 + i * n)
P F F F
21/03/2011 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 10
6
Matemática financeiraJuros compostos: • J: Juros
• i: Taxa de juros
• n: Número de Períodos
• P: Principal• P: Principal
• F: Valor FuturoF1 = P (1 + i)
F2 = F1 (1+ i) = P (1 + i)2
F3 = P (1 + i)3
F
P F1
F2
F3
F = P (1 + i)n
21/03/2011 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 11
Matemática financeiraExemplo II.1Para um capital de R$ 100.000,00 colocado a 20% a.a. durante3 anos, qual o valor futuro para os casos de considerarmos jurossimples e juros compostos?simples e juros compostos?Solução:
Ano Juros Simples Juros Compostos
0
1
R$ 100.000,00R$ 100.000,00 R$ 100.000,00R$ 100.000,00
R$ 120.000,00R$ 120.000,00 R$ 120.000,00R$ 120.000,00
2
3
R$ 140.000,00R$ 140.000,00 R$ 144.000,00R$ 144.000,00
R$ 160.000,00R$ 160.000,00 R$ 172.800,00R$ 172.800,00
Juros de Juros de 60,0%60,0%
Juros de Juros de 72,8%72,8%
21/03/2011 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 12
7
Matemática financeira
Fluxo de Caixa
entradas (receitas)valor residual
0 1 2 3 n
( + )
entradas (receitas)
vida do projeto
( - )
saídas (despesas operacionais, manutenção, etc...)
investimento
21/03/2011 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 13
Matemática financeira
Terminologia:
Excel i: Taxa de juros Taxa
n: Número de Períodos Nper
P: Principal VP
F: Valor Futuro VF
21/03/2011 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 14
F: Valor Futuro VF
8
Matemática financeiraRelações de Equivalência
Relação entre VP e VF
VP
VF
0 n
VP: Valor Presente
VF: Valor Futuro
0 n
VF = VP(1 + i)n
21/03/2011 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 15
Matemática financeira
VF
Relação entre VF e VP
Relações de Equivalência
VF
VP
0 n
VP: Valor Presente
VF: Valor Futuro
21/03/2011 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 16
VP = VF/(1 + i)n = VF (1 + i) - n
9
Matemática financeira
Relação entre VP e VF – Exercício II.3
Relações de Equivalência
• Conseguiu-se um empréstimo de R$10.000,00
em um banco que cobra 5% ao mês de juro.
Quanto deverá ser pago se o prazo do
empréstimo for de cinco meses?
21/03/2011 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 17
Matemática financeira
Relação entre VP e VF – Uso do Excel
Relações de Equivalência
10000
0
5
i = 5%
VF = ?
0
21/03/2011 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 18
10
Matemática financeira
Relação entre VP e VF – Uso do Excel
Relações de Equivalência
10000
0
5
i = 5%
VF = ?
0
Planilha
21/03/2011 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 19
Exemplo II.2
Qual o valor de uma aplicação em Fundo de renda fixa
Matemática financeira
de R$ 30.000 a uma taxa de 1,4 % ao mês para um
período de 1 ano?
• Qual o valor dos juros?
• Quais os juros líquidos, se o IR é de 20%?
• Qual o valor da rentabilidade líquida mensal?
• Em relação à poupança esta aplicação é
interessante?
21/03/2011 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 20
11
Uso do Excel – Função VF
2. Função
3. Função Financeira
4. Função Financeira VF
1. Dados e1. Dados eresultado
21/03/2011 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 21
Uso do Excel – Função VF
Resultado
21/03/2011 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 22
12
Função Taxa2. Função
3 F ã Fi i3. Função Financeira
4. Função Financeira TAXA
1. Dados eresultado
21/03/2011 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 23
Função Taxa
Resultado
21/03/2011 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 24
13
VF = VP (1 + i) n = 30.000 (1+ 0,014) 12 = 35.446
Solução pelas fórmulas
Juros = 5.446
Juros líquidos = 5.446 – 20% x 5.446 = 4.357
VF (líquido) = 34.357
34.357 = 30.000 (1 + i) 12 i = 1,14% ao mês
21/03/2011 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 25
Lei nº. 11.033, de 21 de dezembro de 2004
O PRESIDENTE DA REPÚBLICA Faço saber que o Congresso Nacional decreta e eu sanciono a seguinte Lei:
• Art 1º Os rendimentos de que trata o art 5º da Lei nº 9 779 de 19 • Art. 1 Os rendimentos de que trata o art. 5 da Lei n 9.779, de 19 de janeiro de 1999, relativamente às aplicações e operações realizadas a partir de 1º de janeiro de 2005, sujeitam-se à incidência do imposto de renda na fonte, às seguintes alíquotas:
– I - 22,5% (vinte e dois inteiros e cinco décimos por cento), em aplicações com prazo de até 180 (cento e oitenta) dias;
– II - 20% (vinte por cento), em aplicações com prazo de 181 (cento e oitenta e um) dias até 360 (trezentos e sessenta) dias;e um) dias até 360 (trezentos e sessenta) dias;
– III - 17,5% (dezessete inteiros e cinco décimos por cento), em aplicações com prazo de 361 (trezentos e sessenta e um) dias até 720 (setecentos e vinte) dias;
– IV - 15% (quinze por cento), em aplicações com prazo acima de 720 (setecentos e vinte) dias.
21/03/2011 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 26
14
Matemática financeira(Taxa Referencial de Juros – TR)
21/03/2011 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 27
http://www.yahii.com.br/tr.html
Matemática financeira(Taxa Referencial de Juros – TR)
21/03/2011 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 28
http://www.yahii.com.br/tr.html
15
Matemática financeira(poupança)
21/03/2011 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 29
http://www.yahii.com.br/poupanca.html
Matemática financeira(poupança)
21/03/2011 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 30
http://www.yahii.com.br/poupanca.html
16
Matemática financeira(TBF)
http://www.yahii.com.br/tbf.html
21/03/2011 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 31
Matemática financeira(TBF)
http://www.yahii.com.br/tbf.html
21/03/2011 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 32
17
Matemática financeiraO que eu faço
com este apartamento?
21/03/2011 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 33
Matemática financeira
21/03/2011 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 34
http://www21.bb.com.br/portalbb/rentabilidade2/GFI7,2,9085,9089,1.bbx?tipo=01&codigoMenu=1092&codigoRet=5489&bread=7_1
18
Matemática financeira
21/03/2011 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 35
http://www21.bb.com.br/portalbb/rentabilidade2/GFI7,2,9085,9089,1.bbx?tipo=01&codigoMenu=1092&codigoRet=5489&bread=7_1
Matemática financeira
21/03/2011 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 36
http://www21.bb.com.br/portalbb/rentabilidade2/GFI7,2,9085,9089,1.bbx?tipo=01&codigoMenu=1092&codigoRet=5489&bread=7_1
19
Matemática financeira
21/03/2011 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 37
http://www.tesouro.fazenda.gov.br/tesouro_direto/rentabilidade.asp
Matemática financeira
21/03/2011 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 38
http://www.bb.com.br/portalbb/home17,129,129,0,0,1,7.bb?codigoMenu=1092&codigoRet=1443&bread=4
20
Matemática financeira
Relação entre VP e PGTO
Relações de Equivalência
VP: Valor Presente
PGTOVP
0 n
PGTO = Pagamento uniforme
VP = PGTO (1 + i) - 1 + PGTO (1 + i) - 2 + . . . + PGTO (1 + i) - n
VP = PGTO [ (1 + i) - 1 + (1 + i) - 2 + . . . + (1 + i) - n ]
21/03/2011 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 39
Matemática financeira
Relação entre VP e PGTO
VP
Relações de Equivalência
PGTOVP
0 n
VP = PGTO [ (1 + i) - 1 + (1 + i) - 2 + . . . + (1 + i ) - n ]
r - 1
.rna - 1a = Sn
i ) i + 1 (1 ) i + 1 (
PGTO =VP n
n
21/03/2011 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 40
21
Matemática financeira
Relação entre VP e PGTO
Relações de Equivalência
i ) i + 1 (1 ) i + 1 (
PGTO =VP n
n
1 - ) i + 1 (i ) i + 1 (
VP = PGTO n
n
21/03/2011 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 41
Matemática financeira
Relação entre VP e PGTO – Exercício II.6
Relações de Equivalência
• Um empresário pretende fazer um investimento
no exterior que lhe renderá US$ 100.000 por
ano, nos próximos 10 anos. Qual o valor do
investimento, sabendo-se que o empresário
trabalha com taxa de 6% ao ano?
21/03/2011 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 42
22
Matemática financeira
Relação entre VP e PGTO – Excel
Relações de Equivalência
0 110
100000
VP = ?i = 6% ao ano
21/03/2011 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 43
Matemática financeira
Relação entre VP e PGTO – Excel
Relações de Equivalência
VP = ?
0
i = 6% ao ano
110
100000
Planilha
21/03/2011 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 44
23
Matemática financeira
Relação entre VP e PGTO – Exercício II.7
Relações de Equivalência
• O que é mais interessante, comprar uma TV
LED por R$ 4.000,00 à vista, ou R$ 4.410,00
em 3 vezes, sendo a primeira prestação no ato
da compra?
21/03/2011 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 45
Solução
Quais são as opções de compra?
4000
0 1 2
1470
0 1 2
21/03/2011 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 46
1470
24
Solução
4000 2530
21/03/2011 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 47
1470 1470
Solução
VPN 22530 N = 2
O que esta faltando?
21/03/2011 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 48
1470
PGTO
25
Matemática financeira
Relação entre VP e PGTO – Excel
Relações de Equivalência
2530
1470
Planilha
21/03/2011 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 49
Solução
a.m. 10,63%i%
2530
1470
A vista ou a prazo?
O que significa a taxa?
21/03/2011 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 50
1470
26
Matemática financeira
Relação entre VP e PGTO – Exercício II.8
Relações de Equivalência
• Vale a pena pagar à vista com 20% de desconto
ou a prazo em 3 pagamentos iguais, sendo o
primeiro hoje?
21/03/2011 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 51
Solução
Quais são as opções de compra?
0,8X
0 1 2
X/3
0 1 2
21/03/2011 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 52
X/3
X = preço de etiqueta
27
Solução
0,8X 0,8X-X/3
21/03/2011 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 53
X/3 X/3
SoluçãoVP
N 20,8X-X/3
N = 2
O que esta faltando?
21/03/2011 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 54
X/3
PGTO
28
Solução
a.m. 27,47%i%
0,8X-X/3
X/3
A vista ou a prazo?
O que significa a taxa?
21/03/2011 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 55
X/3
Matemática financeiraCaso Real
IPVA 99 – Espírito Santo
Veículo: Quantum 1988
• Opção 01 – à vista: R$ 217,37 (14/10/99)
• Opção 02 – 2 vezes:
• Primeira: R$ 163,77 (14/10/99)
d $ ( / / )• Segunda: R$ 89,31 (12/11/99)
• Qual a taxa de juros para a opção de parcelar?
21/03/2011 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 56
29
Matemática financeiraCaso Real
IPVA 99 – Espírito Santo
P = 217,37 – 163,77 = 53,6
F = P (1 + i) n
89,31 = 53,6 (1 + i) 1
F = 89,31 i = 66,62% a.m.
21/03/2011 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 57
Como as lojas divulgam seus preços
Sem juros?
21/03/2011 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 58
30
Algumas taxas
http://www.anucc.org.br/servicos/index/25
21/03/2011 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 59
Portal Globo 05/08/2008
21/03/2011 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 60
31
Algumas taxas DEMONSTRATIVO DAS TAXAS DE JUROS
PRATICADAS EM 2007
Bancos Empréstimo Cheque EspecialPessoal
HSBC 4,67% 8,47% Banespa 5,80% 8,38% Bradesco 5,57% 8,01% Banco do Brasil 4,62% 7,68% Caixa Econômica Federal 4,68% 7,20%
Itaú 5,95% 8,47% , ,Santander 5,80% 8,38% Nossa Caixa 4,25% 8,10% Real 6,50% 8,40% Unibanco 5,87% 8,39%
21/03/2011 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 61
Algumas taxas
21/03/2011 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 62
http://www.bcb.gov.br/fis/taxas/htms/tx012010.asp
32
Algumas taxas
21/03/2011 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 63
Algumas taxas
21/03/2011 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 64
33
Algumas taxas
21/03/2011 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 65
Algumas taxas
21/03/2011 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 66
http://www.bcb.gov.br/fis/taxas/htms/tx012020.asp
34
Algumas taxas
21/03/2011 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 67
Algumas taxas
21/03/2011 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 68
35
Algumas taxas
21/03/2011 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 69
http://www.bcb.gov.br/fis/taxas/htms/tx012040.asp
Algumas taxas
21/03/2011 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 70
36
Algumas taxas
21/03/2011 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 71
Regulamentação sobre taxas
Portaria n0 14 da Secretaria de Direito Portaria n0 14 da Secretaria de Direito
Econômico, de 22 de junho de 1998.
Lei n0 8.078/90. (Código do consumidor).
Lei da usura - Decreto Lei n0 22.626 de
7/4/1933.7/4/1933.
Artigo 192 da Constituição da República
Federativa do Brasil.
21/03/2011 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 72
37
“Todas as vezes que os governos tentam tirar d i d dos ricos para dar aos pobres, os ricos ficam mais ricos e os pobres
mais pobres.”mais pobres.
Abraham Lincoln (1809-1865)
21/03/2011 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 73
Matemática financeira
Relação entre VF e PGTOVF
Relações de Equivalência
PGTO
VF
0 n
VF = PGTO + PGTO (1 + i)1 + PGTO (1 + i)2 + . . . + PGTO (1 + i)n-1
VF = PGTO [1 + (1 + i)1 + (1 + i)2 + . . . + (1 + i)n-1 ]
21/03/2011 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 74
38
Matemática financeira
Relação entre VF e PGTO
Relações de Equivalência
i
1 ) i + 1 ( PGTO =VF
n
1 - ) i + 1 (
iVF = PGTO n
21/03/2011 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 75
Matemática financeira
Relação entre PGTO e VF
Relações de Equivalência
• EXEMPLO II.10 - Quanto deve-se
depositar anualmente numa conta a
prazo fixo que paga juros de 12% ao
ano para se ter R$ 500 000 00 daqui ano, para se ter R$ 500.000,00 daqui
a 14 anos?
21/03/2011 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 76
39
Matemática financeira
Relação entre PGTO e VF – Exercício II.10
Relações de Equivalência
0
i = 12% ao ano
1 14
VF = 500000
PGTO = ?
21/03/2011 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 77
Matemática financeiraSéries Infinitas
1 ) i + 1 ( PGTO =VP
n
i ) i + 1 ( PGTO =VP n
i ) i + 1 (
1 ) i + 1 ( PGTOlim =VP n
n
n
i ) i + 1 (
1 i ) i + 1 (
) i + 1 ( PGTOlim =VP nn
n
n
iPGTO
=VP
21/03/2011 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 78
40
Matemática financeira
• EXEMPLO II 11 Quanto deverei
Relações de Equivalência
• EXEMPLO II.11 - Quanto deverei
depositar em um fundo com a finalidade
de receber para sempre a importância
anual de R$ 12.000,00 considerando ser
a taxa anual de juros igual a 10%?a taxa anual de juros igual a 10%?
21/03/2011 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 79
Matemática financeira
Séries Perpetuas – Exercício II.11
Relações de Equivalência
0 1
12000
VP = ?
0
i = 10% ao ano
1 VP = PGTO / i
VP = 12000 / 0,1
VP = 120000
21/03/2011 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 80
41
Matemática financeira
• EXEMPLO II 12 Qual a menor quantia
Relações de Equivalência
• EXEMPLO II.12 - Qual a menor quantia
que um grupo deve cobrar hoje, para dar
uma renda anual de R$ 6.000?
21/03/2011 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 81
Matemática financeira
Séries Perpetuas – Exercício II.12
Relações de Equivalência
0 1
PGTO = 6000
VP = ?
0
i = ?
1
21/03/2011 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 82
42
Matemática financeira
Exemplo extra
21/03/2011 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 83
Matemática financeira
Quais são as opções do financiamento?
500
0 1 36 0 1 36
Q pç
50021,84
21/03/2011 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 84
43
Matemática financeira
500
0 1 36
500
21,84
21/03/2011 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 85
Matemática financeira
VP O que esta
faltando?
N = 36
0 1 36
500
PGTO
21,84
21/03/2011 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 86
44
Matemática financeira
O que
• i = 2,69% a.m.
significa a taxa?
0 1 36
500
21,84
21/03/2011 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 87
Matemática financeira
1.499,00 à vistaOu 12 x 124,91“ j ”
Exemplo extra
“Sem juros”
Mas, com 15% de desconto:R$ 1.274,15
Qual a verdadeira taxa verdadeira taxa de juros?
21/03/2011 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 88
45
Exemplo extra
Matemática financeira
• Qual o valor de uma prestação relativa a um
financiamento de R$ 1.200,00 para pagamento em
12 parcelas a uma taxa de juros de 3% ao mês?
• Qual a prestação se a taxa for de 5% ao mês?
Q l ã d d d 400 00?• Qual a prestação se der uma entrada de 400,00?
21/03/2011 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 89
Matemática financeiraTaxas Efetiva, Nominal e Equivalente
Equivalência entre Taxas Efetivas
VF = VP*(1 + i a) 1
VF = VP*(1 + i m) 12
(1 + i a) 1 = (1 + i m) 12VP
VF
1 ano ou12 meses
(1 + ia) = (1 + i sem)2 = (1 + im)12 = (1 + i d)360
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Matemática financeiraTaxas Efetiva, Nominal e Equivalente
Taxa Nominal
O período de capitalização é diferente do expresso na taxa
Exemplos:• Poupança - 6 % aa com capitalização mensal = 0,5 % am• SFH - 12 % aa com capitalização mensal = 1 % am
12 % a.a.c.m. = 12 / 12 meses = 1 % a.m.c.m. = 12,68 % a.a.c.a.
Nominal Efetiva Efetiva
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Matemática financeiraTaxas Efetiva, Nominal e Equivalente
EXEMPLO II 15 Q l j d • EXEMPLO II.15 - Qual o juro de
R$2.000,00 aplicados hoje, no fim de 3
anos, a 20 % ao ano capitalizados
mensalmente?
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47
Matemática financeiraTaxas Efetiva, Nominal e Equivalente
Exercício II.15 – Calcular os juros
VP = 2000
VF
3 anos
Juros = 1626,26
i = 20% AACM
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Matemática financeiraTaxas Efetiva, Nominal e Equivalente
• Exemplo II.18 - Peço um empréstimo de
R$ 1.000,00 ao banco. Cobra-se
antecipadamente uma taxa de 15% sobre
o valor que é entregue já líquido, e depois
de um mês paga se R$ 1 000 00 Qual a de um mês paga-se R$ 1.000,00. Qual a
taxa efetiva de juros deste empréstimo?
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Matemática financeiraTaxas Efetiva, Nominal e Equivalente
Exercício II.18 – Calcular a taxa de juros
VP = ?
1 mês
VF = ?
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Matemática financeiraTaxas Efetiva, Nominal e Equivalente
Exercício II.18 – Calcular a taxa de juros
VP = 850
VF = 1000
1 mês VF = VP (1 + i) n
1000 = 850 (1 + i) 1
i = 17,64% a.m.
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