Upload
ivan-markov
View
246
Download
5
Embed Size (px)
Citation preview
8/16/2019 04_Celicni Plocasti Elementi i Limeni Nosaci 15_16
1/65
Zavod za konstrukcijeKatedra za metalne konstrukcije
http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_a Kolegij: Metalne konstrukcije 2 (diplomski studij)
Separat 4: Čelični pločasti elementi i limeni nosači
1
ČELIČNI PLOČASTI ELEMENTI I LIMENINOSAČI
http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_ahttp://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_ahttp://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_a
8/16/2019 04_Celicni Plocasti Elementi i Limeni Nosaci 15_16
2/65
Zavod za konstrukcijeKatedra za metalne konstrukcije
http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_a Kolegij: Metalne konstrukcije 2 (diplomski studij)
Separat 4: Čelični pločasti elementi i limeni nosači
2
SADRŽAJ
1. TEMELJNI POJMOVI VEZANI UZ PONAŠANJE ČELIČNIH PLOČA .................... 3 1.1. Pojam izbočavanja ploče ................................................................ .............................................................. 3
1.2.
Analogija tlačnog štapa i ploče opterećene na tlak .......................................................................... .......... 3
1.3. Linearna teorija izbočavanja .......................................................... ............................................................. 4
1.4. Nelinearna teorija izbočavanja ................................................................. ................................................. 11
1.5. Geometrijski parametri i rubni uvjeti kod ploča ..................................................................................... 14
1.6. Djelovanja na ploču .................................................................................................................... ................ 15
1.7. Izbočavanje obzirom na parametre ploče ........................................................... ...................................... 19
1.8. Analogija roštiljnog djelovanja kod izbočavanja ploče ........................................................................... 25
1.9. Efektivna širina ploče ........................................................... .............................................................. ........ 26
1.10. Utjecaj imperfekcija na ponašanje ploča u pogledu nosivosti ................................................................ 27
1.11. Elastično ponašanje ploče uslijed djelovanja okomito na njenu ravninu ............................................. 28
1.12.
Ploče i ukrućenja ........................................................ ................................................................. ................ 31
1.13. Ponašanje ploča sa ukrućenjima ............................................................................................................... 33
1.14. Zaključne napomene .................................................................................................................................. 35
2. LIMENI NOSAČI ............................................................................................................... 36 2.1. Tipovi limenih nosača ........................................................... .............................................................. ........ 36
2.2. Dimenzije poprečnog presjeka................................................................................................................... 41
2.3. Načini instabiliteta ................................................................ ................................................................ ...... 42
2.4. Dimenzioniranje ......................................................... ................................................................. ................ 45
2.4.1. Otpornost na izbočavanje uslijed posmika .......................................................................................... 46 2.4.2. Interakcija poprečne sile, momenta savijanja i uzdužne sile ............................................................. 50
3.
PRIMJER PRORAČUNA: STABILNOST HRPTA PUNOSTJENOG NOSAČA ...... 52
http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_ahttp://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_ahttp://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_a
8/16/2019 04_Celicni Plocasti Elementi i Limeni Nosaci 15_16
3/65
Zavod za konstrukcijeKatedra za metalne konstrukcije
http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_a Kolegij: Metalne konstrukcije 2 (diplomski studij)
Separat 4: Čelični pločasti elementi i limeni nosači
3
1. TEMELJNI POJMOVI VEZANI UZ PONAŠANJE ČELIČNIH PLOČA
Nepoznavanje ponašanja čeličnih ploča najčešće proizlazi iz nedovoljnog razumijevanja
temeljnih pojmova vezanih uz problematiku ploča. Iz tog razloga objasnit će se niz temeljnih pojmova koje treba poznavati prije upuštanja u projektiranje čeličnih ploča. U praktičnimzadacima najčešće se primjenjuju limeni nosači, čije pojedine dijelove možemo smatrati
pločastim elementima, tako da za te dijelove vrijede ovdje obrađeni pojmovi.
1.1. Pojam izbočavanja ploče
Izbočavanje ploče je pojava njenog ugibanja izvan ravnine uslijed naprezanja u njenoj ravnini.
Do tog ugibanja dolazi kad se dostigne određena razina kritičnog napona izbočavanjacr
(slika.1).
Slika.1. Izbočavanje ploče
1.2. Analogija tlačnog štapa i ploče opterećene na tlak
Dopuštene nosivosti kod ploča opterećenih na tlak u njihovoj ravnini, općenito su iznad nosivostitlačnog štapa. Zato se može govoriti o različitom ponašanju, u pogledu nosivosti, štapa i ploče:
Tlačni štap – opasnost izvijanja je kodcr
, i to je gornja granica nosivosti štapa
(odgovara Eulerovoj kritičnoj sili cr N )
Ploča napregnuta na tlak – moguća je nosivost iznad kritičnog napona izvijanja
cr
Rješenje problema izbočavanja ploče slično je rješavanju problema izvijanja tlačnog štapa.Analogija problema štapa i ploče vidi se na slici 2.
http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_ahttp://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_ahttp://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_a
8/16/2019 04_Celicni Plocasti Elementi i Limeni Nosaci 15_16
4/65
Zavod za konstrukcijeKatedra za metalne konstrukcije
http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_a Kolegij: Metalne konstrukcije 2 (diplomski studij)
Separat 4: Čelični pločasti elementi i limeni nosači
4
Slika 2. Ponašanje tlačnog štapa i ploče opterećene na tlak
1.3. Linearna teorija izbočavanja
Kod linearne teorije izbočavanja pretpostavlja se da je ovisnost napona i deformacija linearna. Normalni naponi rastu proporcionalno s opterećenjem sve do točke račvanja ravnoteže. Nakon tetočke pretpostavlja se da normalni naponi ne mogu više rasti (slika 3).
http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_ahttp://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_ahttp://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_a
8/16/2019 04_Celicni Plocasti Elementi i Limeni Nosaci 15_16
5/65
Zavod za konstrukcijeKatedra za metalne konstrukcije
http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_a Kolegij: Metalne konstrukcije 2 (diplomski studij)
Separat 4: Čelični pločasti elementi i limeni nosači
5
Slika 3. Linearna teorija izbočavanja
Kod linearne teorije izbočavanja uvode se sljedeće pretpostavke:
Idealno ravna ploča
Idealan centrički unos naprezanja u ravninu ploče
Materijal je homogen i izotropan
Deformacije su male
Izraz za jednadžbu ravnoteže (indiferentne) glasi:
4 4 4 2
x
4 2 2 4 22
N d d d d
dx dx dy dy D dx (1)
ω – deformacija ploče okomita na njenu ravninu
http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_ahttp://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_ahttp://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_a
8/16/2019 04_Celicni Plocasti Elementi i Limeni Nosaci 15_16
6/65
Zavod za konstrukcijeKatedra za metalne konstrukcije
http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_a Kolegij: Metalne konstrukcije 2 (diplomski studij)
Separat 4: Čelični pločasti elementi i limeni nosači
6
N x – normalna sila za jedinicu dužine ( x x
N t )
D – krutost ploče za širinu 1b
3
212 1
t E D
t – debljina ploče
- Poissonov koeficijent
Uvođenjem postavka za oblik deformirane površine ploče dobiva se:
mn
m=1n=1
m x n y a sin sin
a b
(2)
m – broj valova u smjeru xn – broj valova u smjeru y
Da se odredi kritična elastična sila izbočavanjacr
N potrebno je izraz (2) uvrstiti u jednadžbu (1).
Uzimajući u obzir uvjete oslanjanja ploče dobiva se:
22 2 2 2
x 2 2 2
m n a DN
a b m (3)
Vrijednostcr
N odgovara minimumu izraza (3) tj.x cr
N N za 1n .
Uvrštavajući izraz za krutost ploče D i omjer njezinih stranicaa
b u izraz (3), može se
odrediti kritična elastična sila izbočavanja:
2 22
cr 212 1
m E t t N
m b
(4)
2 22
cr cr,p
212 1
N m E t
t m b
(5)
Koeficijent izbočavanja može se prikazati izrazom:
2
mk
m
(6)
Ukoliko ploča ima samo jednu izbočinu vrijedi 1m i izraz (6) dobiva oblik:
2
1k (7)
http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_ahttp://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_ahttp://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_a
8/16/2019 04_Celicni Plocasti Elementi i Limeni Nosaci 15_16
7/65
Zavod za konstrukcijeKatedra za metalne konstrukcije
http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_a Kolegij: Metalne konstrukcije 2 (diplomski studij)
Separat 4: Čelični pločasti elementi i limeni nosači
7
Uzimajući u obzir gornje izraze može se kritični elastični napon izbočavanja napisati u oblikukoji se često koristi:
cr,p E
k (8)
22
E 212 1
E t
b - općenito
2
2
E190000 N/mm
t
b
- za čelik
E - Eulerov kritični napon izvijanja u elastičnom području za traku ploče debljine t , širine 1 i
dužineb .
Za pojedine napone izbočavanja vrijedi:
x,cr x
y,cr y E
cr
k
k
k
(9)
Za naponE
koji se odnosi na traku ploče vrijedi analogija sa tlačnim štapom, ali treba uzeti u
obzir da tu traku stabilizira vlačna traka kako se i vidi na slici 1.
Iz izraza (8) i (9) vidi se da jecr
direktno proporcionalan sa koeficijentom k .
Koeficijen izbočavanja k ovisi od:
Broja izbočina
Uvjetima oslanjanja ploče
O načinu naprezanja ploče
a) Utjecaj broja izbočina na koeficijent k
Slika 4 Broj izbočina i koeficijent k
http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_ahttp://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_ahttp://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_a
8/16/2019 04_Celicni Plocasti Elementi i Limeni Nosaci 15_16
8/65
Zavod za konstrukcijeKatedra za metalne konstrukcije
http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_a Kolegij: Metalne konstrukcije 2 (diplomski studij)
Separat 4: Čelični pločasti elementi i limeni nosači
8
b) Utjecaj uvjeta oslanjanja ploče na koeficijent k
Slika 5 Rubni uvjeti ploče i koeficijent k
c) Utjecaj načina naprezanja na koeficijet k
Slika 6
http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_ahttp://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_ahttp://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_a
8/16/2019 04_Celicni Plocasti Elementi i Limeni Nosaci 15_16
9/65
Zavod za konstrukcijeKatedra za metalne konstrukcije
http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_a Kolegij: Metalne konstrukcije 2 (diplomski studij)
Separat 4: Čelični pločasti elementi i limeni nosači
9
Na slici 6a vidi se vrijednost koeficijenta k obzirom na ploču koja je napregnuta na savijanje, posmik i tlak. Interakcija savijanja i tlaka prikazana je na slici 6b.
Za proračunate pojedine napone izbočavanja x,cr
, i postojeće naponex
i može se
izračunati idealni uporedni napon izbočavanja na složeno naprezanje normalnim i posmičnimnaponima:
2 2
x
vcr 2 2
x x
x,cr x,cr cr
3
1 3
4 4
(10)
2
1
1 1
x,cr x Ek
cr Ek
Na tabilici 1 prikazane su vrijednosti koeficijenta k u ovisnosti načina naprezanja i uvjetaoslanjanja ploče.
Tablica 1
http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_ahttp://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_ahttp://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_a
8/16/2019 04_Celicni Plocasti Elementi i Limeni Nosaci 15_16
10/65
Zavod za konstrukcijeKatedra za metalne konstrukcije
http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_a Kolegij: Metalne konstrukcije 2 (diplomski studij)
Separat 4: Čelični pločasti elementi i limeni nosači
10
U praktičnim zadacima česti je slučak kada dolazi do izbočavanja ploče samo uslijed posmika:
cr Ek
(11)
U ovisnosti rubnih uvjeta ploče kao i odnosa stranaa
b na slici 7 prikazani su koeficijenti
izbočavanja.
Slika 7 Koeficijenti izbočavanja k za posmično naprezanje Za ploču koja je obostrano zglobno oslonjena i koja je jednoliko opterećena posmičnimnaprezanjima vrijedi:
2
4 005 34
,k ,
za 1 (12)
2
5 344 00
,k ,
za 1 (13)
Na slici 8. vide se polja izbočavanja ploče koja je zglobno oslonjena po rubovima u ovisnostiodnosa strana , a napregnuta je samo posmičnim naponima.
Slika 8. Polja izbočavanja zglobno oslonjene ploče
http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_ahttp://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_ahttp://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_a
8/16/2019 04_Celicni Plocasti Elementi i Limeni Nosaci 15_16
11/65
Zavod za konstrukcijeKatedra za metalne konstrukcije
http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_a Kolegij: Metalne konstrukcije 2 (diplomski studij)
Separat 4: Čelični pločasti elementi i limeni nosači
11
Oblik izbočene ploče uslijed napona čiji su rubovi uklješteni vidi se na slika 9
Slika 9. Polje izbočavanja uklještene ploče
1.4.
Nelinearna teorija izbočavanja
Kod ove je teorije potrebno razlikovati da li Hookov zakon vrijedi neograničeno ili ne, te da li je ploča idealna ili se radi o realnoj ploči. Prekoračenjem točke račvanja ravnoteže dolazi do preraspodjele normalnih napona (postoji rezerva u odnosu na linearnu teoriju). Objašnjenje sevidi na slici 10.
Slika 10. Nelinearna teorija izbočavanja (tri mogućnosti)
Preraspodjela normalnih napona događa se u postkritičnom području. Za praktičan proračunkorisno je postkritično područje nosivosti uzeti u obzir uvođenjem zamjenjujuće širine(djelotvorne širine).
Nelinearna teorija izbočavanja i geometrijska nelinearnost pretpostavke su za proračun krajnjeggraničnog stanja ploče (Traglast). Dopušta se pr eraspodjela normalnih napona uslijed
http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_ahttp://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_ahttp://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_a
8/16/2019 04_Celicni Plocasti Elementi i Limeni Nosaci 15_16
12/65
Zavod za konstrukcijeKatedra za metalne konstrukcije
http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_a Kolegij: Metalne konstrukcije 2 (diplomski studij)
Separat 4: Čelični pločasti elementi i limeni nosači
12
izbočavanja središnje ravnine ploče sve dok u jednom poprečnom presjeku ploče nije dostignutagranica popuštanja na površini ploče ili u njenoj središnjoj ravnini. Onda se odgovarajuća
pripadajuća opterećenja proglašavaju krajnje graničnim opterećenjem. Daljnje plastificiranje
pojedinih zona ploče se ne dozvoljava, tako da se približni postupak onda može prikazati sa dvarazličita kriterija:
Kriterij 1 Krajnje granično opterećenje ploče dostignuto je onda kada se u najna pregnutijem
vlaknu ploče na površini dostigne granica popuštanjay
f
Kriterij 2 Krajnje granično opterećenje ploče dostignuto kada najveći normalni naponi u
središnjoj ravnini ploče dosegnu granicu popuštanjay
f (membransko stanje
napona).
Na slici 11. vidi se da prema kriteriju 1 da će uslijed preraspodjele normalnih napona, kod vitkih ploča (velikih odnosa b/t ) biti prije dostignuto njeno krajnje granično opterećenje.
Slika 11.
Međutim krajnje granično stanje ploče može se odretiti potpunim nelinearnim proračunom pomoču FEM (Finite Element Methods). U tom se slučaju trebaju uzeti u obzir područja pločekoja su potpuno ili djelomično plastificirana. Pretpostavke proračuna su takove da se osim teorijekonačnih pomaka, također uzima u obzir i širenje plastičnih zona po poprečnom presjeku pločeili na njenoj površini. Na temelju tih razmatranja za dostizanje krajnjeg graničnog stanja ploče semogu sada postaviti daljnja dva kriterija koji uzimaju u obzir rezerve nosivosti poprečnog
presjeka i rezerve sustava.
http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_ahttp://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_ahttp://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_a
8/16/2019 04_Celicni Plocasti Elementi i Limeni Nosaci 15_16
13/65
Zavod za konstrukcijeKatedra za metalne konstrukcije
http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_a Kolegij: Metalne konstrukcije 2 (diplomski studij)
Separat 4: Čelični pločasti elementi i limeni nosači
13
Kriterij 3 Krajnje granično opterećenje je najveće opterećenje uzimajući u obzirrezerve poprečnog presjeka i rezerve sustava.
Kriterij 4 Krajnje granično opterećenje je najveće opterećenje uzimajući u obzir početak tečenja u rubnim vlakancima ploče i rezerve sustava.
Objašnjenje definicija:
Rezerva nosivosti poprečnog presjeka Pod tim se pojmom razumijeva razlika između stanja potpune plastifikacije poprečnog presjeka ionoga stanja kada je počelo tečenje rubnog vlakanca.
Rezerva nosivosti sustava
To je povećanje nosivosti obzirom na početak tečenja rubnog vlakanca ploče (kriterij 1), uodnosu na krajnje granično opterećenje proračunato pr ema kriteriju 4.
Različita krajnja granična opterećenja pravokutne ploče ( 1 ) koja su dobivena na temeljukriterija 1 do 4 prikazana su na slici 12.
Slika 12. Ovisnost opterećenja i deformacija za različite kriterije određivanja krajnjeg graničnogstanja ploče
http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_ahttp://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_ahttp://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_a
8/16/2019 04_Celicni Plocasti Elementi i Limeni Nosaci 15_16
14/65
Zavod za konstrukcijeKatedra za metalne konstrukcije
http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_a Kolegij: Metalne konstrukcije 2 (diplomski studij)
Separat 4: Čelični pločasti elementi i limeni nosači
14
Pripadna krajnja granična opterećenja ploče i odgovarajuće rezerve nosivosti za ploču vitkosti100b / t prikazana su na tablici II.
Oznake:
pl yn f t
cr cr n t
1.5. Geometrijski parametri i rubni uvjeti kod ploča
Važni geometrijski parametri kod ploča prikazani su na slici 13.
Slika 13. Geometrijski parametri ploče
Pojedini rubni uvjeti kod ploča vide se na slici 14.
http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_ahttp://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_ahttp://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_a
8/16/2019 04_Celicni Plocasti Elementi i Limeni Nosaci 15_16
15/65
Zavod za konstrukcijeKatedra za metalne konstrukcije
http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_a Kolegij: Metalne konstrukcije 2 (diplomski studij)
Separat 4: Čelični pločasti elementi i limeni nosači
15
Slika 14. Rubni uvjeti kod ploča
1.6. Djelovanja na ploču
I Djelovanja u ravnini ploče
Slika 15. Djelovanja u ravnini ploče
http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_ahttp://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_ahttp://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_a
8/16/2019 04_Celicni Plocasti Elementi i Limeni Nosaci 15_16
16/65
Zavod za konstrukcijeKatedra za metalne konstrukcije
http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_a Kolegij: Metalne konstrukcije 2 (diplomski studij)
Separat 4: Čelični pločasti elementi i limeni nosači
16
Važno: Ukoliko se ploča izbočila, vrlo je važno razlikovati da li su:
kruti rubovi (jednoliki pomaci ruba)
meki rubovi (jednoliki naponi na rubu)
Slika 16. Stanje jednolikih pomaka i jednolikih napona na rubovima ploče
http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_ahttp://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_ahttp://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_a
8/16/2019 04_Celicni Plocasti Elementi i Limeni Nosaci 15_16
17/65
Zavod za konstrukcijeKatedra za metalne konstrukcije
http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_a Kolegij: Metalne konstrukcije 2 (diplomski studij)
Separat 4: Čelični pločasti elementi i limeni nosači
17
II Djelovanja izvan ravnine ploče
Slika 17. Djelovanje izvan ravnine ploče
http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_ahttp://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_ahttp://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_a
8/16/2019 04_Celicni Plocasti Elementi i Limeni Nosaci 15_16
18/65
Zavod za konstrukcijeKatedra za metalne konstrukcije
http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_a Kolegij: Metalne konstrukcije 2 (diplomski studij)
Separat 4: Čelični pločasti elementi i limeni nosači
18
III Određivanje djelovanja na ploču
U nekim slučajevima određivanja djelovanja na ploču vrlo je jednostavno (slika 18).
Slika 18. Djelovanje na ploču
Ponekad se djelovanje na ploču ne može odrediti jednostavnom teorijom. Tako na primjerkod sandučastog nosača posmična deformabilnost gornjeg pojasa izaziva deformacije tog
pojasa. Tamo gdje je to spriječeno, na primjer radi promjene smjera posmika u srednjojdijafragmi, kao rezultat promjene posmičnih deformacija dolazi do nelinearne raspodjelenormalnih napona. Ova se pojava naziva shear lag (slika 19).
http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_ahttp://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_ahttp://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_a
8/16/2019 04_Celicni Plocasti Elementi i Limeni Nosaci 15_16
19/65
Zavod za konstrukcijeKatedra za metalne konstrukcije
http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_a Kolegij: Metalne konstrukcije 2 (diplomski studij)
Separat 4: Čelični pločasti elementi i limeni nosači
19
Slika 19. Nelinearna raspodjela normalnih napona kao posljedica "shear lag" utjecaja
1.7.
Izbočavanje obzirom na parametre ploče
I Odnos a
b
U slučaju dugačkih ploča najveći početni utjecaj koji sprečava izbočavanje je poprečna krutost
ploče na savijanje između neopterećenih rubova. Kako se odnos ab
povećava, mijenja se i način
izbočavanja, odnosno mijenja se broj poluvalova (izbočina) u produžnom smjeru (slika 20).
http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_ahttp://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_ahttp://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_a
8/16/2019 04_Celicni Plocasti Elementi i Limeni Nosaci 15_16
20/65
Zavod za konstrukcijeKatedra za metalne konstrukcije
http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_a Kolegij: Metalne konstrukcije 2 (diplomski studij)
Separat 4: Čelični pločasti elementi i limeni nosači
20
Slika 20. Promjena načina izbočavanja u ovisnosti odnosa stranica ploče ab
Sa slike 20 vidljivo je da se za proračun duge ploče može usvojiti model pravokutne slobodnooslonjene ploče. Na slici 21. prikazan je koeficijent izbočavanja ploče u ovisnosti odnosa
stranicaa
b
http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_ahttp://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_ahttp://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_a
8/16/2019 04_Celicni Plocasti Elementi i Limeni Nosaci 15_16
21/65
8/16/2019 04_Celicni Plocasti Elementi i Limeni Nosaci 15_16
22/65
Zavod za konstrukcijeKatedra za metalne konstrukcije
http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_a Kolegij: Metalne konstrukcije 2 (diplomski studij)
Separat 4: Čelični pločasti elementi i limeni nosači
22
Slika 22. Rubni uvjeti ploče obzirom na savijanje u ovisnosti koeficijenta izbočavanja k
Tako na primjer ukoliko se ukloni jedan ležaj iz slučaja 1 dobiva se slučaj 4, acr
smanji se za
odnos 4 0 425 / , tako da faktor smanjenja iznosi 9,4. Isto tako ukoliko se uklješti jedan ležaj u
slučaju 1 i na taj se način dobije slučaj 2, poveća secr
faktorom povećanja koji iznosi 1,35.
http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_ahttp://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_ahttp://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_a
8/16/2019 04_Celicni Plocasti Elementi i Limeni Nosaci 15_16
23/65
Zavod za konstrukcijeKatedra za metalne konstrukcije
http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_a Kolegij: Metalne konstrukcije 2 (diplomski studij)
Separat 4: Čelični pločasti elementi i limeni nosači
23
III Interakcija raznih načina izbočavanja
Tamo gdje na ploču djeluje više komponenata naprezanja, oblik izbočavanja dobiva se
interakcijom više različitih oblika izbočavanja. Kod toga bitnu ulogu, na primjer pločena pregnute u oba smjera, ima dominantno (veće) naprezanje (slika 23).
Slika 23. Načini izbočavanja kod dominantnih naprezanja u ravnini ploče
Izbočavanje ploče uslijed posmičnog naprezanja predstavlja interakciju dijagonalnogdestabilizirajućeg tlaka i dijagonalnog stabilizirajućeg vlaka (slika 24).
http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_ahttp://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_ahttp://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_a
8/16/2019 04_Celicni Plocasti Elementi i Limeni Nosaci 15_16
24/65
Zavod za konstrukcijeKatedra za metalne konstrukcije
http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_a Kolegij: Metalne konstrukcije 2 (diplomski studij)
Separat 4: Čelični pločasti elementi i limeni nosači
24
Slika 24. Izbočavanje ploče uslijed posmičnog naprezanja
Ukoliko su načini izbočavanja uslijed različitih djelovanja slični, kritični naponi izbočavanjauslijed kombiniranih djelovanja niži su u odnosu na zbroj pojedinih efekata djelovanja.
Na slici 25. vidi se interakcija izbočavanja 1cr
i 2cr
, te djelovanjacr
icr
.
Slika 25. Interakcija izbočavanja1
cr i 2
cr , te cr i cr
http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_ahttp://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_ahttp://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_a
8/16/2019 04_Celicni Plocasti Elementi i Limeni Nosaci 15_16
25/65
Zavod za konstrukcijeKatedra za metalne konstrukcije
http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_a Kolegij: Metalne konstrukcije 2 (diplomski studij)
Separat 4: Čelični pločasti elementi i limeni nosači
25
1.8. Analogija roštiljnog djelovanja kod izbočavanja ploče
Vrlo je korisno razmatranje u pogledu objašnjenja izbočavanja ploče je promatranje ploče koja
se može prikazati na zamjenskom roštiljnom sustavu (slika 26).
Slika 26. Analogija roštiljnog sustava i ploče
Trakasti elementi roštiljnog sustava koji se izvijaju posjeduju veću otpornost na izvijanje,ukoliko su bliže rubu. Može se reći da ti trakasti elementi "nose više" u odnosu na one koji suudaljeni od rubova. Drugim ri ječima trakasti elementi ploče u sredini nose kritičnu silu izvijanja,a oni bliže rubovima nose još više, pa se onda govori o "iznad kritičnom" području nosivosti.
http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_ahttp://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_ahttp://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_a
8/16/2019 04_Celicni Plocasti Elementi i Limeni Nosaci 15_16
26/65
Zavod za konstrukcijeKatedra za metalne konstrukcije
http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_a Kolegij: Metalne konstrukcije 2 (diplomski studij)
Separat 4: Čelični pločasti elementi i limeni nosači
26
1.9. Efektivna širina ploče
Vrlo je važno razlikovati dva pojma koja se u literaturi nazivaju: Efektivna širina - lokalno izbočavanje (eng. effective widths, njem. wirksame Breite)
Efektivna širina - shear lag (eng. effective widths, njem. mittragende Breite)
I Efektivna širina - lokalno izbočavanje
Uz taj je pojam vezana pojava lokalne nestabilnosti tlačnih dijelova poprečnog presjeka i odnosise samo na tlačno napregnute dijelove presjeka (slika 27.).
Slika 27. Efektivna širina ploče (važi samo u tlačnoj zoni)
II Efektivna širina - shear lag
Ova se zamjenjujuća širina ploče uzima u obzir jer su naponi nejednoliko raspoređeni poprečno po presjeku, radi posmičnih deformacija hrptova presjeka. Ova se pojava može odnositi na tlačnei vlačne dijelove poprečnog presjeka, te se naziva shear lag (engl.). Prikaz te pojave vidi se naslika 28.
http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_ahttp://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_ahttp://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_a
8/16/2019 04_Celicni Plocasti Elementi i Limeni Nosaci 15_16
27/65
Zavod za konstrukcijeKatedra za metalne konstrukcije
http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_a Kolegij: Metalne konstrukcije 2 (diplomski studij)
Separat 4: Čelični pločasti elementi i limeni nosači
27
Slika 28. Efektivna širina ploče (važi za tlačne i vlačne dijelove ploče)
1.10. Utjecaj imperfekcija na ponašanje ploča u pogledu nosivosti
Pločasti elementi sadrže geometrijske i strukturalne netočnosti (imperfekcije). Na slici 29 vidi seutjecaj netočnosti ploče na nosivost vitkih i srednje vitkih ploča.
Slika 29
http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_ahttp://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_ahttp://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_a
8/16/2019 04_Celicni Plocasti Elementi i Limeni Nosaci 15_16
28/65
Zavod za konstrukcijeKatedra za metalne konstrukcije
http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_a Kolegij: Metalne konstrukcije 2 (diplomski studij)
Separat 4: Čelični pločasti elementi i limeni nosači
28
Na slici 30. prikazan je odnos vitkosti i nosivosti za ploče opterećene na tlak.
Slika 30. Odnos vitkosti nosivosti ploča u tlaku
1.11. Elastično ponašanje ploče uslijed djelovanja okomito na njenu ravninu
Elastično ponašanje ploče uslijed djelovanja okomito na njenu ravninu ovisi od uvjeta oslanjanja
(slika 31).
http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_ahttp://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_ahttp://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_a
8/16/2019 04_Celicni Plocasti Elementi i Limeni Nosaci 15_16
29/65
Zavod za konstrukcijeKatedra za metalne konstrukcije
http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_a Kolegij: Metalne konstrukcije 2 (diplomski studij)
Separat 4: Čelični pločasti elementi i limeni nosači
29
Slika 31. Elastično ponašanje ploče u ovisnosti uvjeta oslanjanja
http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_ahttp://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_ahttp://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_a
8/16/2019 04_Celicni Plocasti Elementi i Limeni Nosaci 15_16
30/65
Zavod za konstrukcijeKatedra za metalne konstrukcije
http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_a Kolegij: Metalne konstrukcije 2 (diplomski studij)
Separat 4: Čelični pločasti elementi i limeni nosači
30
Na slici 32 vide se "linije tečenja" na ploči, te se može utvrditi da što je više tih linija to je
nosivost ploče veća.
Slika 32. Linije tečenja ploče za različite uvjete oslanjanja
http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_ahttp://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_ahttp://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_a
8/16/2019 04_Celicni Plocasti Elementi i Limeni Nosaci 15_16
31/65
Zavod za konstrukcijeKatedra za metalne konstrukcije
http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_a Kolegij: Metalne konstrukcije 2 (diplomski studij)
Separat 4: Čelični pločasti elementi i limeni nosači
31
1.12. Ploče i ukrućenja
Ploče mogu biti konstrukcijski oblikovane tako da su izvedene sa ukrućenjima ili bez njih (s lika33).
Slika 33. Konstrukcijsko oblikovanje ploča
http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_ahttp://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_ahttp://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_a
8/16/2019 04_Celicni Plocasti Elementi i Limeni Nosaci 15_16
32/65
Zavod za konstrukcijeKatedra za metalne konstrukcije
http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_a Kolegij: Metalne konstrukcije 2 (diplomski studij)
Separat 4: Čelični pločasti elementi i limeni nosači
32
Ukrućenja se postavljaju da se poveća nosivost ploče obzirom na problem izbočavanja . Bitno jeda se ukrućenja postavljaju na ona mjesta gdje su najdjelotvornija. Razmještaj ukrućenjaobzirom na plohu izbočavanja ploče prikazan je na slika 34.
Slika 34. Razmještaj ukrućenja
Imajući u vidu djelotvorno razmještanje ukrućenja ploče načelno se mogu dati sljedeće
preporuke: Kod tlačnih napona podužna ukrućenja
Kod posmičnih napona podužna i/ili poprečna ukrućenja
Kod napona pri savijanju podužno ukrućenje u visini b/4 od tlačnog ruba (Slika35)
Slika 35. Razmještaj podužnog ukrućenja kod naprezanja ploče uslijed savijanja
Kod problema dimenzioniranja ploče, radi jednostavnijeg i praktičnijeg postupka proračuna, poželjno je razlikovati "polje izbočavanja" koje može biti:
http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_ahttp://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_ahttp://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_a
8/16/2019 04_Celicni Plocasti Elementi i Limeni Nosaci 15_16
33/65
Zavod za konstrukcijeKatedra za metalne konstrukcije
http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_a Kolegij: Metalne konstrukcije 2 (diplomski studij)
Separat 4: Čelični pločasti elementi i limeni nosači
33
ukupno polje
djelomično polje
pojedinačno polje
Podjela polja izbočavanja vide se na slici 36.
Slika 36. Podjela polja izbočavanja
1.13.
Ponašanje ploča sa ukrućenjima
Mnogi aspekti ponašanja ploča sa ukrućenjima mogu biti objašnjeni proširenjem temeljnih principa ploča bez ukrućenja. Medutim kod toga mora se uvažiti sljedeće:
"ujednačiti" se utjecaj ukrućenja po poprečnom presjeku ploče može samo ako se promatra ponašanje globalnog (ukupnog) modela
ukrućenja su obično postavljena ekscentrično u odnosu na srednju ravninu ploče.Ponašanje na savijanje ekvivalentnog T presjeka uzrokuje lokalna naprezanja
lokalni efekti u ploči i pojedina ukrućenja trebaju se odvojeno razmatrati
tlačno opterećena ortotropna ploča može se ponašati u pogledu izbočavanja na različitenačine već u ovisnosti njenih geometrijskih i statičkih veličina (slika 37):a) izbočavanje ploče (slika 37a)
b) izbočavanje panela izmedu poprečnih ukrućenja (slika 37b)c) ukupno izbočavanje sustava ili izbočavanje ortotropne ploče (slika 37e).
http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_ahttp://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_ahttp://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_a
8/16/2019 04_Celicni Plocasti Elementi i Limeni Nosaci 15_16
34/65
Zavod za konstrukcijeKatedra za metalne konstrukcije
http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_a Kolegij: Metalne konstrukcije 2 (diplomski studij)
Separat 4: Čelični pločasti elementi i limeni nosači
34
Slika 37. Izbočavanje ortotropne ploče
http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_ahttp://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_ahttp://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_a
8/16/2019 04_Celicni Plocasti Elementi i Limeni Nosaci 15_16
35/65
Zavod za konstrukcijeKatedra za metalne konstrukcije
http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_a Kolegij: Metalne konstrukcije 2 (diplomski studij)
Separat 4: Čelični pločasti elementi i limeni nosači
35
1.14. Zaključne napomene
Sažetak dosadašnjih razmatranja o ponašanju pločastih elemenata:
ploče u čeličnim konstrukcijama pružaju otpornost djelovanjima u njihovoj ravnini kao idjelovanjima izvan njihove ravnine
ploče opterećene u ravnini na tlak i/ili posmik podložne su problemu stabilnosti koje sezove izbočavanje
elastični naponi izbočavanja idealne ploče ovise od:
vitkosti pločeb
t
odnosa stranica
a
b
rubnih uvjeta (uvjeta oslanjanja)
interakcije djelovanja
za proračun ploče pri izbočavanju u praktičnim je zadacima korisno se vezati na pojam postkritičnog izbočavanja
ponašanje realne ploče ovisi od geometrijskih i strukturalnih (zaostali naponi) netočnosti
ponašanje ploče izvan njene ravnine u pogledu krajnjeg graničnog stanja graničnog stanjauporabe ovisi od rubnih uvjeta (oslanjanja)
ploče koje su izvedene sa ukrućenjima, kao na primjer ortotropne ploče, mogu pokazatiznakove lokalne ili globalne nestabilnosti.
http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_ahttp://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_ahttp://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_a
8/16/2019 04_Celicni Plocasti Elementi i Limeni Nosaci 15_16
36/65
Zavod za konstrukcijeKatedra za metalne konstrukcije
http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_a Kolegij: Metalne konstrukcije 2 (diplomski studij)
Separat 4: Čelični pločasti elementi i limeni nosači
36
2. LIMENI NOSAČI
Limeni su nosači sastavljeni od pločastih elemenata kako se vidi na slici 2-1.
Slika 2-1 Limeni nosač
Najčešća primjena limenih nosača je kod:
velikih raspona konstrukcija zgrada
mostova nosača dizalica
2.1. Tipovi limenih nosača
Obično se limeni nosači dijele na pojedine tipove obzirom na vrste ukrućenja (slika 2-2).
http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_ahttp://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_ahttp://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_a
8/16/2019 04_Celicni Plocasti Elementi i Limeni Nosaci 15_16
37/65
Zavod za konstrukcijeKatedra za metalne konstrukcije
http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_a Kolegij: Metalne konstrukcije 2 (diplomski studij)
Separat 4: Čelični pločasti elementi i limeni nosači
37
Slika 2-2 Tipovi limenih nosača
http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_ahttp://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_ahttp://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_a
8/16/2019 04_Celicni Plocasti Elementi i Limeni Nosaci 15_16
38/65
Zavod za konstrukcijeKatedra za metalne konstrukcije
http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_a Kolegij: Metalne konstrukcije 2 (diplomski studij)
Separat 4: Čelični pločasti elementi i limeni nosači
38
Obzirom na oblikovanje poprečnog presjeka postoji više mogućnosti izvedbe limenih nosača. Neke mogućnosti prikazane su na slici 2-3.
Slika 2-3 Poprečni presjeci limenih nosača
http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_ahttp://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_ahttp://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_a
8/16/2019 04_Celicni Plocasti Elementi i Limeni Nosaci 15_16
39/65
Zavod za konstrukcijeKatedra za metalne konstrukcije
http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_a Kolegij: Metalne konstrukcije 2 (diplomski studij)
Separat 4: Čelični pločasti elementi i limeni nosači
39
Kod projektiranja limenih nosača potrebno je voditi računa o pokrivanju" M i V dijagrama.Momenti se pokrivaju pomoću pojaseva, a poprečne sile pomoću hrpta (slika 2-4).
Slika 2-4
http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_ahttp://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_ahttp://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_a
8/16/2019 04_Celicni Plocasti Elementi i Limeni Nosaci 15_16
40/65
8/16/2019 04_Celicni Plocasti Elementi i Limeni Nosaci 15_16
41/65
Zavod za konstrukcijeKatedra za metalne konstrukcije
http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_a Kolegij: Metalne konstrukcije 2 (diplomski studij)
Separat 4: Čelični pločasti elementi i limeni nosači
41
Slika 2-6 Otvori u hrptu limenog nosača za prolaz instalacija
2.2. Dimenzije poprečnog presjeka
Oznake dimenzija poprečnog vide se na slici 2-7.
Slika 2-7 Oznake poprečnog presjeka
http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_ahttp://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_ahttp://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_a
8/16/2019 04_Celicni Plocasti Elementi i Limeni Nosaci 15_16
42/65
Zavod za konstrukcijeKatedra za metalne konstrukcije
http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_a Kolegij: Metalne konstrukcije 2 (diplomski studij)
Separat 4: Čelični pločasti elementi i limeni nosači
42
U principu za dimenzije poprečnog presjeka ne postoje ograničenja pod uvjetom da se dokaže
sigurnost nosača. Or ijentacijske vrijednosti mogu se uzeti kako slijedi:
Visina h: 0 012 8
L Lh općenito
0
20
Lh za mostove
0L -razmak nultočaka momentnog dijagrama
Širina pojasnice b:5 3
h hb
Debljina pojasnicef
t : 14f
t
c(klasa 3)
Debljina hrptaw
t :w
200 500d
t (podužno ukrućeni hrptovi)
w
250d
t (hrptovi bez ukrućenja)
2.3. Načini instabiliteta
Načini instabiliteta i poglavlja u EC3 gdje se navode odgovarajući dokazi prikazani su na slici 2-
8.
http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_ahttp://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_ahttp://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_a
8/16/2019 04_Celicni Plocasti Elementi i Limeni Nosaci 15_16
43/65
Zavod za konstrukcijeKatedra za metalne konstrukcije
http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_a Kolegij: Metalne konstrukcije 2 (diplomski studij)
Separat 4: Čelični pločasti elementi i limeni nosači
43
Slika 2-8 Načini instabiliteta
Način izbočavanja vitkog hrpta koji je neukrućen onoga koji je ukrućen prikazan je na slici 2-9.
http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_ahttp://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_ahttp://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_a
8/16/2019 04_Celicni Plocasti Elementi i Limeni Nosaci 15_16
44/65
Zavod za konstrukcijeKatedra za metalne konstrukcije
http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_a Kolegij: Metalne konstrukcije 2 (diplomski studij)
Separat 4: Čelični pločasti elementi i limeni nosači
44
Slika 2-9 Izbočavanje hrpta neukrućenog i ukrućenog
Radi pojave iznad kritičnog izbočavanja hrpta ploče, za razliku od tlačnog štapa, moguće je povećanje nosivosti ploče u odnosu na početno kritično izbočavanje. U hrptovima limenihnosača moguća je pojava djelovanja vlačnih polja ("tension field action"). Analogija srešetkastim nosačem vidi se na slici 2-10.
http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_ahttp://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_ahttp://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_a
8/16/2019 04_Celicni Plocasti Elementi i Limeni Nosaci 15_16
45/65
Zavod za konstrukcijeKatedra za metalne konstrukcije
http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_a Kolegij: Metalne konstrukcije 2 (diplomski studij)
Separat 4: Čelični pločasti elementi i limeni nosači
45
Slika 2-10 Iznad kritično izbočavanje hrpta ploče prikazano pomoću analogije sa rešetkastim
nosačem
2.4. Dimenzioniranje
Radi složenosti problema dimenzioniranja svih tipova limenih nosača, promatrat će se samo onitipovi kod kojih se usvajaju sljedeće pretpostavke:
hrbat je izveden s poprečnim ukrućenjima
poprečna ukrućenja posjeduju dovoljnu krutost
djelovanje nije prisutno između poprečnih ukrućenja
hrptovi su punostijeni bez otvora za instalacije
http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_ahttp://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_ahttp://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_a
8/16/2019 04_Celicni Plocasti Elementi i Limeni Nosaci 15_16
46/65
Zavod za konstrukcijeKatedra za metalne konstrukcije
http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_a Kolegij: Metalne konstrukcije 2 (diplomski studij)
Separat 4: Čelični pločasti elementi i limeni nosači
46
2.4.1. Otpornost na izbočavanje uslijed posmika
Otpornost na izbočavanje uslijed posmika općenito ovisi od odnosa visine nosača d i debljine
hrpta t w razmaka poprečnih ukrućenja a. Tipičan poprečno ukrućeni limeni nosač prikazan je naslici 2-11.
Slika 2-11 Limeni nosač sa poprečnim ukrućenjima
Otpornost poprečnog presjeka uslijed posmika za sve četiri klase poprečnih presjeka, pokuša seizračunati kao plastična posmična otpornost djelotvorne površine Av pri posmiku (hrpta),
označava se sa:
pl,RdV
Ukoliko se prekorači granična vitkost hrpta wt
hw , nastupaju problemi instabiliteta tako da više ne
može biti dostignuta vrijednost pl,RdV . Redukcija nosivosti hrpta uslijed izbočavanja od posmika
slijedi na isti način kao i redukcija kod klase 4 uslijed normalnog naprezanja. Tako da se primjenjuje postkritična linija izbočavanja. Dakle slijedi:
redukcija
http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_ahttp://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_ahttp://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_a
8/16/2019 04_Celicni Plocasti Elementi i Limeni Nosaci 15_16
47/65
Zavod za konstrukcijeKatedra za metalne konstrukcije
http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_a Kolegij: Metalne konstrukcije 2 (diplomski studij)
Separat 4: Čelični pločasti elementi i limeni nosači
47
pl,RdV ba,RdV
Interakcijski izrazi za otpornost poprečnog presjeka ostaju nepromijenjeni, samo umjestopl,RdV
kao granična vrijednost uzima se ba,RdV .
Dokaz za izbočavanje hrpta visine hw uslijed posmika potreban je ukoliko je:
72
w
t
hw
- za neukrućene hrptove
k t
hw 31
w
- za ukrućene hrptove,
gdje je
1,2 za klase čelike do S460
1,0 za klase čelika više od S460.
Neukrućeni hrptovi ipak trebaju ukrućenja na ležajevima limenog nosača.
Prema Eurocode 3 računska otpornost na posmik za ukrućene i neukrućene hrptove treba se uzetikao:
M1
Rd bf,Rd bw ,,
3
t h f V V V
w yw
Rd b
gdje je doprinos hrpta dan s:
M1
w
Rd bw,3
t h f V
w yw
w
a doprinos pojasnica s V bf,Rd
hw - visina hrpta
wt - debljina hrpta
M1
- parcijalni faktor za otpornost
Za hrbat limenog nosača može se napisati izraz za svedenu vitkost:
k t
h f w
4,3776,0
cr
yw
w
cr - idealni kritični posmični napon kod kojeg dolazi do izbočavanja izračunat prema
teoriji elastičnosti E
k cr
http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_ahttp://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_ahttp://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_a
8/16/2019 04_Celicni Plocasti Elementi i Limeni Nosaci 15_16
48/65
Zavod za konstrukcijeKatedra za metalne konstrukcije
http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_a Kolegij: Metalne konstrukcije 2 (diplomski studij)
Separat 4: Čelični pločasti elementi i limeni nosači
48
E
- Eulerov kritični napon izvijanja u elastičnom području ploče čija je debljina t w = 1 i
visina hw
hw - visina hrpta
wt
- debljina hrpta
yf
- granica popuštanja
y
235
f - parametar za kakvoću čelika
k
- faktor izbočavanja uslijed posmika izračunat linearnom (elastičnom) teorijom
izbočavanja
Na temelju izračunate svedene vitkosti hrptaw
mogu se dobiti vrijednostiw
kako slijedi:
a) Debeli hrptovi Ukrućen kraj Neukrućen kraj
/83,0w
w
w
b) Srednje vitki hrptovi
08,1/83,0 w
ww /83,0
ww /83,0
c) Vitki hrptovi
08,1w
ww 7,0/37,1
ww /83,0
Faktor izbočavanja k određuje se:
za hrptove sa poprečnim ukrućenjima samo na ležajevima: 34,5
k
za hrptove sa poprečnim ukrućenjima na ležajevima i središnjim ukrućenjima ako je
zadovoljeno 1wh
a
sl w
k ahk
2
/34,54
za hrptove sa poprečnim ukrućenjima na ležajevima i središnjim ukrućenjima ako je
zadovoljeno 1wh
a :
sl w
k ahk 2
/0,434,5
gdje je:
http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_ahttp://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_ahttp://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_a
8/16/2019 04_Celicni Plocasti Elementi i Limeni Nosaci 15_16
49/65
Zavod za konstrukcijeKatedra za metalne konstrukcije
http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_a Kolegij: Metalne konstrukcije 2 (diplomski studij)
Separat 4: Čelični pločasti elementi i limeni nosači
49
4
3
3
2
9
w
sl w sl
ht
I
a
hk
ali ne manje od 3
1,2
w
sl
h
I
t
a je razmak između poprečnih ukrućenja
I sl je moment površina drugog stupnja uzdužnog ukrućenja oko osi z - z . Za hrptove ukrućene sdva ili više uzdužna ukrućenja, nije potrebno da su jednoliko raspoređeni I sl je suma krutostisvakog individualnog ukrućenja.
Prethodni izrazi za k vrijede ukoliko je 3wh
a . Ukoliko je 3
wh
a k se računa prema
izrazu:
332
3
2,218,03,6
1,4w
sl w
sl
ht
I ht
I
k
Na slici 2-12 prikazana je ovisnostw
χ i
w koja se može nazvati krivulja izbočavanja hrpta
uslijed djelovanja posmika.
Slika 2-12 Ovisnostw
iw
Krivulja 1 dana je za nosače s ukrućenim krajem.
http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_ahttp://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_ahttp://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_a
8/16/2019 04_Celicni Plocasti Elementi i Limeni Nosaci 15_16
50/65
Zavod za konstrukcijeKatedra za metalne konstrukcije
http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_a Kolegij: Metalne konstrukcije 2 (diplomski studij)
Separat 4: Čelični pločasti elementi i limeni nosači
50
Krivulja 2 dana je za nosače s neukrućenim krajem.
Brojem 3 označeno je područje faktora
U slučaju da otpornost pojasnice nije potpuno iskorištena kod prihvaćanja momenta savijanja( M Ed
8/16/2019 04_Celicni Plocasti Elementi i Limeni Nosaci 15_16
51/65
Zavod za konstrukcijeKatedra za metalne konstrukcije
http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_a Kolegij: Metalne konstrukcije 2 (diplomski studij)
Separat 4: Čelični pločasti elementi i limeni nosači
51
Rd pl
Rd f
Rd pl
Rd f
M
M za
M
M
,
,
1
2
3
,
,
1 0,1121
(7.1)
gdje su M f,Rd računska plastična otpornost na savijanje presjeka koji se sastoji od efektivne površine pojasnica, a M pl,Rd je računska plastična otpornost poprečnog presjeka koji se sastoji odefektivne površine pojasnica i potpuno efektivnog hrpta bez obzira na klasu.
Rd pl
Ed
M
M
,
1
Rd bw
Ed
V
V
,
3
Ovaj dokaz je potrebno provesti na svim presjecima osim onih koji su smješteni unutarudaljenosti hw/2 od ležaja s vertikalnim ukrućenjem.
Računska plastična otpornost na savijanje M f,Rd može se uzeti kao produkt granice popuštanja,
efektivne površine pojasnice kao najmanja vrijednost A f f y/ M0 i udaljenosti između težišta pojasnica.
Ukoliko je prisutna uzdužna sila N Ed , M pl,Rd i M f,Rd trebaju se reducirati prema člancima 6.2.9 i5.4(2) EN 1993-1-1. Kada je uzdužna sila toliko velika da je cijeli hrbat u tlaku treba se
primijeniti sljedeće:
Pojasnica u sandučastom nosaču treba se provjeriti prema izrazu (7.1) uzimajući da je M f,Rd = 0 i
Ed uzet kao prosječni posmični napon u pojasnici koji ne smije biti manji od polovice
maksimalnog posmičnog napona u pojasnici. Također je potrebno umjesto1
uzeti1
. Dodatno,
potpanele treba kontrolirati na prosječno posmično naprezanje u potpanelu i χ w određen za posmično izvijanje potpanela u skladu s točkom 5.3, EN1993-1-5, pretpostavljajući da suuzdužna ukrućenja kruta.
http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_ahttp://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_ahttp://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_a
8/16/2019 04_Celicni Plocasti Elementi i Limeni Nosaci 15_16
52/65
Zavod za konstrukcijeKatedra za metalne konstrukcije
http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_a Kolegij: Metalne konstrukcije 2 (diplomski studij)
Separat 4: Čelični pločasti elementi i limeni nosači
52
3. PRIMJER PRORAČUNA: STABILNOST HRPTA PUNOSTJENOGNOSAČA
Potrebno je dimenzionirati zavareni nosač sustava proste grede izložen djelovanju kontinuiranogopterećenje i koncentriranih sila. Nosač je bočno pridržan na krajevima i na mjestima djelovanjakoncentriranih sila.
Zadano:
vlastita težina i korisno opterećenje
kN/m60d q
kN540d
P
Materijal: S2352
y N/mm235 f
Statički sustav:
Konstrukcija nosača:
P P
q
l/3 l/3 l/3
l=16m
2666 2666 266626665336
16000
1
1
2 = 12x200
= 25x450
hrbat 10x19802 = 12x200
http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_ahttp://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_ahttp://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_a
8/16/2019 04_Celicni Plocasti Elementi i Limeni Nosaci 15_16
53/65
Zavod za konstrukcijeKatedra za metalne konstrukcije
http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_a Kolegij: Metalne konstrukcije 2 (diplomski studij)
Separat 4: Čelični pločasti elementi i limeni nosači
53
Učinci djelovanja:
Geometrijske karakteristike nosača:
mm2030h 2cm423 A
mm450b 46y
cm10908,2 I
mm10w t
3
y cm28652W
mm25f t 4z cm37985 I
z
y
450
10
2 5
1 9 8 0
2 5
2 0 3 0
Presjek 1-1
P P q
l=16m
2666 2666 5336 2666 2666
1020 860 700
1020 860 700
4800 4587 4587
2507 2507
http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_ahttp://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_ahttp://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_a
8/16/2019 04_Celicni Plocasti Elementi i Limeni Nosaci 15_16
54/65
Zavod za konstrukcijeKatedra za metalne konstrukcije
http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_a Kolegij: Metalne konstrukcije 2 (diplomski studij)
Separat 4: Čelični pločasti elementi i limeni nosači
54
mm1980wh 66
w cm10382 I
3
zcm1688W 4t cm535 I
3
y pl, cm32357W
Otpornost poprečnog presjeka
''Shear lag''
Pojasnica:
500
e L
b
mm2252
450
20
bcb
mm16000e
L
32050
0
L
320225
Zanemaruje se utjecaj ''shear lag-a''.
Klasifikacija presjeka
Pojasnica:
- u tlaku:
925
2/450
f t
c
1klasuza9max
f t
c
1Klasa99
Hrbat:
- savijanje:
19810
1980
wt
c
http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_ahttp://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_ahttp://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_a
8/16/2019 04_Celicni Plocasti Elementi i Limeni Nosaci 15_16
55/65
Zavod za konstrukcijeKatedra za metalne konstrukcije
http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_a Kolegij: Metalne konstrukcije 2 (diplomski studij)
Separat 4: Čelični pločasti elementi i limeni nosači
55
1klasuza72max wt
c
72198 Nije klasa 1
2klasuza83max
wt
c
83198 Nije klasa 2
3klasuza124max
wt
c
124198 Hrbat je klase 4
Poprečni presjek je svrstan u klasu 4.
Određivanje efektivnog presjeka i računanje efektivnih geometrijskih karakteristika:
Pojasnica:
Klasa 1 Nije potrebna redukcija pojasnice
Hrbat
mm198025220302f t hhw
mm10w t
Za 9,231 k
1
2
http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_ahttp://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_ahttp://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_a
8/16/2019 04_Celicni Plocasti Elementi i Limeni Nosaci 15_16
56/65
Zavod za konstrukcijeKatedra za metalne konstrukcije
http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_a Kolegij: Metalne konstrukcije 2 (diplomski studij)
Separat 4: Čelični pločasti elementi i limeni nosači
56
673,0426,19,2314,28
10
1980
p
0,1
3055,0
2
p
p
647,0
426,1
13055,0426,12
Hrbat je potrebno reducirati koeficijentom redukcije 0,647 (reducira se samo tlačni dio hrpta!):
1980b , 1
0,640
11
1980647,0
1ce
bbb mm 0,64 cm
cm6,250,644,04,0 ee1 bb
cm4,380,646,06,0 ee2 bb
2
21eff cm0,3884,386,252
198423
2
eebruto bb
b A A
Pomak težišta iznosi:
cm04,5 yN e
y
450
10
2 5
1 9 8 0
2 5
z
256
350
384
2 0 3 0
http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_ahttp://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_ahttp://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_a
8/16/2019 04_Celicni Plocasti Elementi i Limeni Nosaci 15_16
57/65
Zavod za konstrukcijeKatedra za metalne konstrukcije
http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_a Kolegij: Metalne konstrukcije 2 (diplomski studij)
Separat 4: Čelični pločasti elementi i limeni nosači
57
4
yeff, cm28,2785440 I
3
yeff, cm55,2614454,106
28,2785440W
Otpornost presjeka na savijanje
0,1
5,2355,26144
M0
yyeff,
Rdel,Rdc,
f W M M
kNcm614396Rdc, M kNm6144
Uvjet nosivosti:
0,1Rdc,
Ed
M
M
0,178,06144
4800 Uvjet je zadovoljen.
Otpornost presjeka na posmik:
mm10 mm,1980 ww
t h
19810
1980
w
w
t
h
Dokaz stabilnosti ukrućenog hrpta uslijed posmika potreban je ukoliko je:
k
t
h
w
w
31
Prvo polje:
mm2666a
mm1980wh
2
434,51347,1
1980
2666
w
w
h
a
k h
a
http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_ahttp://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_ahttp://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_a
8/16/2019 04_Celicni Plocasti Elementi i Limeni Nosaci 15_16
58/65
Zavod za konstrukcijeKatedra za metalne konstrukcije
http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_a Kolegij: Metalne konstrukcije 2 (diplomski studij)
Separat 4: Čelični pločasti elementi i limeni nosači
58
545,7
347,1
434,5
2
k
96,70545,72,1
31198
10
1980
t
hw - dokaz stabilnosti je potreban.
Prema Eurocode 3 računska otpornost na posmik za ukrućene i neukrućene hrptove treba se uzetikao:
M1
Rd bf,Rd bw ,,
3
t h f V V V
w yw
Rd b
gdje je doprinos hrpta dan s:
M1
w
Rd bw,3
t h f V
w yw
w
Relativna vitkost hrpta je:
08,1927,1545,7114,37
198
4,37w
k t
hw
522,0927,17,0
37,17,037,1
w
w
kN14020,131
11985,23522,0
3 1Rd bw,
M
ww yw
w
t h f V
Doprinos pojasnice se računa prema izrazu:
2
,1
2
, 1
Rd f
Ed
M
yf f f
Rd bf
M
M
c
f t bV
m f ht
f t bac
ywww
yf f f 697,0
98,101,0
025,045,06,125,0666,2
6,125,0
2
2
2
2
0
,
,
M
k f
Rd f
M M
http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_ahttp://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_ahttp://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_a
8/16/2019 04_Celicni Plocasti Elementi i Limeni Nosaci 15_16
59/65
Zavod za konstrukcijeKatedra za metalne konstrukcije
http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_a Kolegij: Metalne konstrukcije 2 (diplomski studij)
Separat 4: Čelični pločasti elementi i limeni nosači
59
0
2
2
0
1
1, ,min
M
yf
f f
M
yf
f f Rd f
f Ah
f Ah M
kNm M Rd f 53000,1
1035,2025,045,0025,098,1
5
,
kN M
M
c
f t bV
Rd f
Ed
M
y f f
Rd bf 6,735300
25071
1697,0
1035,2025,045,01
2522
,1
2
,
M1
Rd bf,Rd bw ,,3
t h f V V V
w yw
Rd b
0,13
01,098,11035,22,16,731402
5
,
Rd bV
kN kN V Rd b 69,32236,1475,
Uvjet nosivosti:
0,1Rd b,
Ed
3
V
V
0,169,06,1475
10203 Uvjet je zadovoljen.
Srednje polje:
mm5336a
mm1980w
h
http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_ahttp://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_ahttp://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_a
8/16/2019 04_Celicni Plocasti Elementi i Limeni Nosaci 15_16
60/65
Zavod za konstrukcijeKatedra za metalne konstrukcije
http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_a Kolegij: Metalne konstrukcije 2 (diplomski studij)
Separat 4: Čelični pločasti elementi i limeni nosači
60
2
434,51694,2
1980
5336
w
w
h
a
k h
a
89,5
694,2
434,5
2 k
69,6289,52,1
31198
10
1980
t
hw - dokaz stabilnosti je potreban.
Prema Eurocode 3 računska otpornost na posmik za ukrućene i neukrućene hrptove treba se uzetikao:
M1
Rd bf,Rd bw ,,
3
t h f V V V
w yw
Rd b
gdje je doprinos hrpta dan s:
M1
w
Rd bw,
3
t h f V
w yw
w
Relativna vitkost hrpta je:
08,1181,289,5114,37
198
4,37w
k t
hw
476,0181,27,0
37,1
7,0
37,1
w
w
kN7,127830,1
11985,23476,0
31Rd bw,
M
ww yw
w
t h f V
Doprinos pojasnice se računa prema izrazu:
2
,1
2
, 1
Rd f
Ed
M
yf f f
Rd bf M
M
c
f t bV
m f ht
f t bac
ywww
yf f f 395,1
98,101,0
025,045,06,125,0336,5
6,125,0
2
2
2
2
0
,,
M
k f Rd f M M
http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_ahttp://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_ahttp://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_a
8/16/2019 04_Celicni Plocasti Elementi i Limeni Nosaci 15_16
61/65
8/16/2019 04_Celicni Plocasti Elementi i Limeni Nosaci 15_16
62/65
Zavod za konstrukcijeKatedra za metalne konstrukcije
http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_a Kolegij: Metalne konstrukcije 2 (diplomski studij)
Separat 4: Čelični pločasti elementi i limeni nosači
62
Rd pl
Rd f
Rd pl
Rd f
M
M za
M
M
,
,
1
2
3
,
,
1 0,1121
kNm7604100,1
5,2332357 2
0
,
,
M
y y pl
Rd pl
f W M
69,07604
530033,0
7604
2507
,
,
,
1
Rd pl
Rd f
Rd pl
Ed
M
M
M
M
69,01
Stoga slijedi:
0,175,0173,0269,0169,0121 223,
,
1
Rd pl
Rd f
M
M Uvjet je zadovoljen.
Drugo polje:
kN860Ed V
kN1402Rd bw , V
Ukoliko je 5,0Rd bw,
Ed
3
V
V utjecaj poprečne sile se uzima u obzir.
5,061,01402
860
Rd bw,
Ed
3
V
V
Dakle utjecaj poprečne sile je potrebno uzeti u obzir sljedećim izrazom:
Rd pl
Rd f
Rd pl
Rd f
M
M za
M
M
,
,
1
2
3
,
,
1 0,1121
kNm7604100,1
5,2332357 2
0
,
,
M
y y pl
Rd pl
f W M
69,07604
5300
60,07604
4587
,
,
,
1
Rd pl
Rd f
Rd pl
Ed
M
M
M
M
http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_ahttp://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_ahttp://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_a
8/16/2019 04_Celicni Plocasti Elementi i Limeni Nosaci 15_16
63/65
8/16/2019 04_Celicni Plocasti Elementi i Limeni Nosaci 15_16
64/65
Zavod za konstrukcijeKatedra za metalne konstrukcije
http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_a Kolegij: Metalne konstrukcije 2 (diplomski studij)
Separat 4: Čelični pločasti elementi i limeni nosači
64
Površina ukrućenja:
2st cm2,790,12,10,152202,12 A
Moment površine drugog stupnja ukrućenja:
443
2
3
st cm164cm6,689412
12,115225,10202,1
12
202,1
I
Relativna vitkost hrpta:
927,1545,7114,37
1984,37
w
k t
hw
Poprečna sila na koju se proračunava ukrućenje uzima se na udaljenosti 0,5∙hw od kraja panela:
kN6,96099,0601020 Ed
V
kN2,2374,7236,9600,13
5,230,1198
927,1
16,960
3
12
1
w
2Edst
M
yww
w
f t hV N
Na ovu uzdužnu silu potrebno je provjeriti stabilnost poprečnog ukrućenja:
cm33,92,79
6,6894
st
st
A
I i
Dužina izvijanja ukrućenja se uzima kao:
cm14919875,075,0 wi
hl
Hrbat
Poprecno
ukrucenje
15 t w 15 w12
2 0 0
2 0 0
t w
http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_ahttp://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_ahttp://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_a
8/16/2019 04_Celicni Plocasti Elementi i Limeni Nosaci 15_16
65/65
Zavod za konstrukcijeKatedra za metalne konstrukcije
http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_a Kolegij: Metalne konstrukcije 2 (diplomski studij)
Separat 4: Čelični pločasti elementi i limeni nosači
170,09,93
1
33,9
1491
1
i
l
N
f Ai
cr
y
Primjenjuje se krivulja izvijanja c za koju je faktor imperfekcije 49,0 .
507,0170,02,0170,049,015,02,015,0 22
0,102,1170,0507,0507,0
11
2222
Nema redukcije otpornosti!
kN2,18610,1
5,232,790,1
M1
yst
Rd b,
f A
N
Uvjet nosivosti:
0,1Rd b,
st
N
N
0,113,02,1861
2,237 Uvjet je zadovoljen.
http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_ahttp://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_ahttp://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon2_a