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05 – Problemas de elasticidad bidimensional
Diego Andrés Alvarez MarínProfesor Asistente
Universidad Nacional de ColombiaSede Manizales
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Convención para los esfuerzos positivos
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Deformaciones
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Ley de Hooke(relación esfuerzos deformaciones)
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Ley de Hooke para materiales anisotrópicos
(relación esfuerzos-deformaciones)
D
1=x, 2=y, 3=z
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Tensión plana
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Deformación plana
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Ley de Hooke para tensión plana
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Ley de Hooke para deformación plana
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Deformaciones iniciales
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Deformaciones iniciales
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Esfuerzos iniciales
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Esfuerzos iniciales
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Esfuerzos iniciales
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Malla de elementos finitos
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Numeración local vs numeración global de los nodos de la malla
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Reglas para la creación de la malla de elementos finitos
Es importante reconocer que la malla de elementos finitos representa una idealización de la geometría real. Por consiguiente, el análisis por elementos finitos reproduce el comportamiento de la malla escogida, y no el de la estructura real.
Solamente comprobando la convergencia de la solución podemos estimar el grado de aproximación de la solución de elementos finitos a la exacta.
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Selección del tipo de elemento
● En caso que se tenga una cierta idea de la forma polinómica de la solución, conviene utilizar elementos con funciones de forma del mismo grado que la solución conocida (rara vez ocurre en la práctica)
● En zonas donde se intuya que pueden existir gradientes de esfuerzos elevados es más adecuado utilizar elementos de mayor orden (método p) o mallas más tupidas (método h).
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Selección del tipo de elemento
● Debe evitarse colocar un elemento pequeño contiguo a uno grande. La transición en tamaño debe ser gradual
● Se recomienda utilizar elementos finitos de pocos nodos (pero no tan pocos!)
● En el caso de elementos Lagrangianos, tener cuidado con el problema de Runge. Por lo tanto no es bueno escojer tantos nodos.
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Convergencia de la solución
● En lo posible, se deben hacer análisis con mallas cada vez más tupidas, de modo que podamos observar si la solución ha convergido.
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Funciones de forma globales
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Funciones de forma locales
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Elemento triangular de tres nodos
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Discretización del campo de deformaciones
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Discretización del campo de deformaciones
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Discretización del campo de tensiones
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Fuerzas sobre un elemento triangular de tres nodos
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Las fuerzas de superficie pueden ser de dos tipos:●a) Debidas a fuerzas exteriores que actuan sobre los lados del elemento que forman parte del contorno exterior de la estructura●b) Debidas a las fuerzas de interacción entre elementos que se transmiten a través de lados comunes. Estas últimas se ignoran desde un principio pues se anulan en el ensamblaje (ya que tienen igual magnitud y dirección, pero sentidos opuestos).
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PTV aplicado a un elemento
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Hay que destacar que estas expresiones son totalmente generales y, por consiguiente, aplicables a cualquier elemento bidimensional
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Matriz de rigidez para un elemento triangular de tres nodos
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Vectores de fuerzas nodales equivalentes para un elemento triangular de tres nodos
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Ejercicio de programaciónConsidere la viga mostrada, suponiendo que el peso del materiales 7.8 kg/m3, E = 200GPa, el coeficiente de Poisson es 0.30 y elespesor de la viga es 10 cm. Calcule los campos de esfuerzos,desplazamientos y deformaciones de la viga
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Elemento rectangular de 4 nodos
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Elemento rectangular de 4 nodos
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Elemento rectangular de 4 nodos
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Elemento rectangular de 4 nodos
Nota: la matriz de rigidez que aparece en el libro de Oñate está mala. Esta es la correcta:
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Elemento rectangular de 4 nodos
Este elemento es muy bueno para problemas de tracción/compresión pura, pero es malo para problemas de flexión debido a su incapacidad natural de adoptar formas curvas. Por esta razón se necesitan mallas muy tupidas para obtener resultados mínimamente aceptables.
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Ejercicio de programación
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El triángulo de Pascal
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Triángulo de Pascal
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Funciones de forma de un elemento rectangular de clase C
0 y lados rectos
Estos elementos están expresados en las llamadas coordenadas naturales o intrínsecas
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Elemento rectangularserendípito
Elemento rectangular lagrangiano vs
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Polinomios de Lagrange
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Funciones de forma 1D (2 nodos)
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Funciones de forma 1D(3 nodos)
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Funciones de forma 1D(4 nodos)
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Elemento rectangular lagrangiano de 4 nodos
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Elemento rectangular lagrangiano de 9 nodos
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Elemento rectangular lagrangiano de 16 nodos
70Mostrar programa de MATLAB
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Elemento rectangular cuártico lagrangiano
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Otros elementos rectangulares de la familia de Lagrange
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Intercontinuidad elemental
Después de la deformación:
Esto implica que si se hace una transición en el orden de los elementos finitos, se deben utilizar elementos finitos Lagrangianos con diferente número de nodos en cada lado para hacer la transición.
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Serendipia (chiripa)
Una serendipia es un descubrimiento o un hallazgo afortunado e inesperado. Se puede denominar así también a la casualidad, coincidencia o accidente.
El término serendipia deriva del inglés serendipity, neologismo acuñado por Horace Walpole en 1754 a partir de un cuento persa del siglo XVIII llamado “Los tres príncipes de Serendip”, en el que los protagonistas, unos príncipes de la isla Serendip (que era el nombre árabe de la isla de Ceilán, la actual Sri Lanka), solucionaban sus problemas a través de increíbles casualidades.
NOTA: chiripa si está en el diccionario, serendipia no lo está. Serendipity si existe en el diccionario inglés.
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Elementos serendípitos rectangulares
Se obtienen de la siguiente manera:● Se selecciona el número de nodos de cada
lado para definir una variación lineal, cuadrática, cúbica, etc., sobre dichos lados que garantice la continuidad interelemental.
● Se escoge el mínimo número de nodos en su interior de modo que se obtenga una variación polinómica de xi y eta completa y simétrica, del mismo grado que la variación sobre los lados.
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Elemento rectangular serendípito de 4 nodos
Este elemento pertenece a ambas familias: Lagrangiana y Serendípita
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Elemento rectangular serendípito de 8 nodos
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Elemento rectangular serendípito de 12 nodos
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Elemento rectangular serendípito de 17 nodos
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Elemento rectangularserendípito
(GANADORES!)
Elemento rectangular lagrangiano vs
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Funciones de forma de elementos triangulares de lados rectos
Estas funciones de forma se caracterizan porque sus funciones de forma contienen exactamentetodos los términos de un polinomio completo de un determinado grado.
1 término
3 términos (lineal)
6 términos (cuadrático)
10 términos (cúbico)
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Coordenadas de área
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Coordenadas de área
Interpolación paramétricade la geometría
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Elemento triangular de 3 nodos
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Elemento triangular de 6
nodos
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Elemento triangular de 10 nodos
Mostrar programa de MATLAB
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Coordenadas naturales del triángulo
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¿Cuál elemento finito tiene más precisión?
Los elementos rectangulares son más precisos que los triangulares para el mismo número de grados de libertad. No obstante, los elementos triangulares son mucho más versátiles que los rectangulares en la discretización de geometrías complejas.
Los elementos de bajo orden son más sencillos de utilizar aunque en problemas con altos gradientes de esfuerzos la precisión sólo se alcanza a cambio de introducir un gran número de elementos sencillos, lo que puede hacer obligatorio, e incluso más rentable en ocasiones, el utilizar elementos de orden más elevado.
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La matriz Jacobiana
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El teorema de la función inversa
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El Jacobiano (determinante de la matriz Jacobiana)
El Jacobiano se puede entender como la candidad de estiramiento que una impone una transformación de variables.
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Ver: http://www.wikimatematica.org/index.php?title=Cambio_de_variables_en_integrales_múltiples
Cambios de variable en integrales múltiples
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La transformación de coordenadas rectangulares a polares. Se puede notar que el área de la región polar es distinta que la de la región rectangular, lo que justifica la necesidad del jacobiano.
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Elementos isoparamétricos bidimensionales
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Elementos cuadriláteros isoparamétricos bidimensionales
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Si se utilizan funciones de forma lineales ningún ángulo interior entre dos lados del elemento sea mayor de 180o.
Si las funciones de forma son cuadráticas es necesario además que los nodos sobre los lados se encuentre en el tercio central de la distancia entre los nodos esquina adyacentes.
Para funciones de forma de órdenes superiores es necesario comprobar el signo del Jacobiano.
x
x
x
y
y
y
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104El integrando es una función racional por loque debe hacerse uso de la integración numérica
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Elementos triangulares isoparamétricos bidimensionales
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Integración numérica utilizando las cuadraturas de Gauss Legendre
sobre dominios cuadriláteros
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Cuadraturas de Gauss Legendre
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Cuadraturas de Gauss Legendre
Recuerde que una cuadratura de orden n en cada dirección natural integra exactamente un polinomio de grado 2n-1 o menor en la correspondiente coordenada natural
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Integración numérica utilizando las cuadraturas de Gauss Legendre
sobre dominios triangulares● David Dunavant, High Degree Efficient Symmetrical
Gaussian Quadrature Rules for the Triangle, International Journal for Numerical Methods in Engineering,Volume 21, 1985, pages 1129-1148.
● http://people.sc.fsu.edu/~jburkardt/m_src/dunavant/dunavant.html
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En la tabla la precisión indica el grado del polinomio que se integra exactamente.
En los artículos científicos usualmente se tabulan los Wi de modo que sumen 1. Sin embargo en la fórmula se requiere dividir por 1/2. Aquí los pesos ya se han dividido por 1/2.
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Selección del orden de integración
En nuestro caso las integrales son funciones racionales y la integración exacta no es posible. Escoja una número de puntos de integración que integre exactamente los términos de Kcorrespondientes al polinomio completo contenido en las funciones de forma esta estrategia se llama la cuadratura mínima para obtener la convergencia.
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Si se escojen menos puntos de integración podrían aparecer mecanismos internos.
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EJEMPLO MATLAB
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Integración numérica de la matriz de rigidez del elemento
Elemento rectangular:
Elemento triangular:
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Integración numérica del vector de fuerzas másicas
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Cálculo de los esfuerzos principales
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Teorías de falla
En el ámbito de la teoría de la elasticidad la falla se produce cuando se produce fluencia en el material. Para calcular el esfuerzo de fluencia las dos teorías de falla más populares son:
● Criterio de falla de Tresca (teoría del máximo esfuerzo cortante)
● Criterio de falla de Von Mises (teoría de la máxima energía de deformación)
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Tresca
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Von Mises
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Comparación de las superficies de fluencia para los criterios de Von Mises y Tresca en usando las tensiones principales como coordenadas. Observe que el criterio de Tresca es más conservador
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