MATERIJALI I KONSTRUKCIJE51(2008)2 (25-40)25 SAVREMENE METODE SEIZMIKE ANALIZE KONSTRUKCIJA ZGRADA ore LAINOVI PREGLEDNI RAD UDK: 624.01.04.001.23:699.841 = 861

1UVOD Seizmikoj zatiti u svetu posveuje se velika panja jersuiskustvapokazaladarazaranjatokomjakih zemljotresa mogu imati katastrofalne razmere, uz realnu mogunost velikog broja ljudskih rtava [19]. U zemljama koje se nalaze u seizmikim aktivnim podrujima, seizmi-ka zatita objekata se regulie odgovarajuim tehnikim propisima [9]. S obzirom da se seizmiki rizik u urbanim sredinamatokomvremenapoveava,usvetujereali-zovan niz eksperimentalnih i teorijskih istraivanja u cilju prouavanjaponaanjakonstrukcijazavremezemljo-tresa,aidanassuodreeniaspektiseizmikezatite predmet intenzivnih istraivanja. Sadanji nivo seizmike zatite,kojijepredvientehnikimpropisima,nijeu potpunostizadovoljavajuiineobezbeujeadekvatnu zatitukakoprivrednihresursa,takoiljudskihivota [41].Katastrofalneposlediceiznedavnihzemljotresa ukazuju na potrebu za novim postupcima prorauna [17], kaoidefinisanjenovihprojektnihkriterijuma,kojibi obezbedilipotrebnubezbednostobjekatainjihovihkori-snika, ali i smanjila oteenja objekata na prihvatljiv nivo. Uradujedatkratakprikazmetodaanalize konstrukcija zgrada na seizmika dejstva i projektovanja seizmikiotpornihkonstrukcija.Zaanalizuuticaja zemljotresanagraevinskekonstrukcije,potrebnoje usvojiti odgovarajui dinamiki model i definisati pobudu uzavisnostiodnainaprikazaseizmikogdejstva. Seizmikaanalizasastojiseizproraunadinamikih karakteristikakonstrukcije,odreivanjaseizmikihsila naosnovumehanikihosobinakonstrukcijeobjektai zadatog pomeranja tla i iz prorauna uticaja u konstruk-cijiusleddejstvaindukovanihseizmikihsila[22].Kada seodredeuticajiukonstrukcijiusleddejstvaseizmikih sila,sprovodisedimenzionisanjesvihkritinihpreseka zareleventnukombinacijuseizmikogdejstvaiostalih optereenja.Nakontoga,uzprimenuadekvatnihkon-strukcijskih reenja i razradu detalja specifinih za aseiz- dresa autora:Vanr. prof. dr ore Lainovi, dipl. in. gra.,Fakultettehnikihnauka,TrgDositejaObradovia6, 21000 Novi Sad. mikoprojektovanje,obezbeujesepotrebnanosivosti dovoljan kapacitet deformisanja razmatrane konstrukcije. Potrebnanosivostpremaaktuelnomkonceptu seizmikezatite,odreujesezauticajeukonstrukciji usledseizmikihsilakojeodgovarajutzv.projektnom nivou(povratniperiodTr 500god.).Ovesileodreuju se primenom faktora redukcije koji se usvaja u zavisnosti od pretpostavljenog kapaciteta deformisanja konstrukcije [16].Konstrukcijakojajeprojektovananaovakavnain popravilumoedaizdrizemljotresnodejstvobez ruenja,poduslovomdastvarnekarakteristike dogoenogzemljotresaodgovarajuusvojenom seizmikom hazardu. Nedostatak ovog koncepta ogleda seutometosenaosnovusprovedenogprorauna nema uvid u veliinu oteenja nosee konstrukcije [28]. Iskustvaizdogoenihzemljotresaukazujudaovakvo projektovanjeneobezbeujeuniformnirizikjerrazliite konstrukcijemoguimatirazliitoponaanjeiveoma razliit stepen oteenja u toku istog zemljotresa. Vaan aspekt aseizmikog projektovanja je spreavanje naglog inekontrolisanogruenjakonstrukcije.Sadanjapraksa projektovanjapredstavlja tradicionalnipristup,zasnovan nasilamaiodreivanjupotrebnenosivosti[15]. Poslednjihgodinarazvijasejedannovipristupkojise, umestonasilama,zasnivanadeformacijamaikontroli oteenja[3],[8],[20],[23],[28]i[37].Njegovabitna prednostuodnosunaaktuelnikonceptprojektovanjaje mogunostproceneseizmikihperformansiobjekata, kaokombinacijeponaanjanoseekonstrukcijei nenoseihelemenata,kojimase formirakompletanopis ukupnogstepenaoteenjaobjektazavienivoa seizmikoghazarda[27].Projektomkonstrukcijei adekvatnimgraenjempotrebnojespreitiprevelika oteenjanoseekonstrukcijeipovredeljudizadejstvo projektnog zemljotresa. Istovremeno se mora obezbediti iadekvatanstepenzatitenapojavuoteenjai ogranienjau funkcionisanjuobjektazazemljotresekoji semogudogoditivieputaueksploatacionomveku zgrade, ali i dovoljnu sigurnost od ruenja za zemljotrese sa manjom verovatnoom pojave od projektnog.

MATERIJALI I KONSTRUKCIJE51(2008)2 (25-40) 26 2TEORIJSKE OSNOVE SEIZMIKE ANALIZE KONSTRUKCIJA ZGRADA Zemljotres je veoma sloen fenomen pri kojem dolazi dorazliitihpojava,alijesainenjerskogstanovita najvanijapojavapomeranja(kretanja)povrinskih slojevatla[2].Zavremezemljotresadolazido vibracionogkretanjatemeljnogtlanakomejeobjekat fundiran,teseizmikodejstvoimaizrazitodinamiki karakter.Prikazzemljotresnogdejstvaprekospektra odgovorauslovljavaanalizukonstrukcijeu frekvencijskomdomenu,akadajedejstvomogueg zemljotresadatoprekovremenskeistorijeubrzanjatla, analizasesprovodiuvremenskomdomenu [4].Analiza konstrukcijanadejstvozemljotresazasnivasenateoriji prinudnih vibracija usled proizvoljnog pomeranja osnove ug(t).Uslovdinamikeravnoteelinearnoelastinog sistemasajednimstepenomslobode,datje nehomogenom,diferencijalnomjednainomdrugog reda: ( ) ( ) ( ) ( )gmu t cu t k u t mu t + + && & && (1) gde je sa m obeleena masa, c je priguenje, k je krutost sistema,u(t)jerelativnopomeranjemase,dokjesa takomobeleenizvodpovremenu.Reenjem jednaine(1)dobijaseodgovorkonstrukcijeu(t)na zadato zemljotresno kretanje tla: ( )01( ) ( ) sin ( )ttg ddu t u e t d (&&(2) gdejesadobeleenakrunafrekvencijapriguenih vibracija:d = (12).Sapoznatimpomeranjemu(t), seizmikesilezavremezemljotresaFs(t)odreujuse kao: ( ) ( )sFt k u t (3) nakonegasesileupresecimakonstrukcijemogu odrediti uobiajenim metodama statike.Zaanalizuviespratnihkonstrukcijazgrada,po praviluseusvajadinamikimodelsakoncentrisanim masamaunivousvakogsprata.Timesedobijasistem sakonanimbrojemstepenisloboden,pasuuslovi dinamikeravnoteeopisanisistemomjednainau matrinom obliku: ( ) ( ) ( ) ( )gt t t u t + + && & && mu cu ku me (4) gdejemdijagonalnamatricamasa,cjematrica priguenja,kjekondezovanamatricekrutosti,eje vektorijisusvilanovijednakijedinici,au(t)jevektor spratnihpomeranja.Sistemdiferencijalnihjednaina(4) predstavlja sistem od n (gde je n ukupan broj dinamikih stepeni slobode) simultanih jednaina koje treba reavati kao celinu. Meutim, ovaj sistem jednaina se primenom modalneanalizemoetransformisatinanmeusobno nezavisnihdiferencijalnihjednaina.Ovatransformacija sesprovodiputemmodalnematricetakodasvakom stepenu slobode odgovara po jedna jednaina, a potom seukupnoreenjeproblemadobijasuperpozicijom reenja pojedinih jednaina [5]. Dinamikiodgovorr(t)bilokojeveliinemoeseza svaki ton vibracija prikazati kao: 2,( ) ( ) ( )i i st i i ir t r At Dt (5) gdejeAi (t)pseudoubrzanje,aDi(t)pomeranjeonog sistemasajednimstepenomslobodeijakruna frekvencijaiipriguenjeiodgovarajui tom svojstvenom obliku vibracija: ( )01( ) ( ) sin ( )i itti g didiDt u e t d (( &&(6) U(5)sari,stjeobeleenavrednostposmatrane veliine r usled statikog dejstva modalnih "sila" Si: i i i S m (7) kojeopisujumodalnuraspodeluinercijalnih karakteristikasistemazasvakioblikvibracija.Saije obeleensvojstveni vektor ui tom tonu vibracija, asa i faktor participacije: Tiii Ti i iLM mem (8) kojisluizaocenuuticajapojedinihtonovavibracijana celokupno pomeranje.Doprinossvakogpojedinanogtonaiuukupnom dinamikomodgovorukonstrukcije,prikazanjekao proizvod rezultata dve analize [7]: 1) statike analize razmatrane viespratne zgrade sa modalnim "silama" Si (sl. 1a); i2)dinamikeanalizesistemasajednimstepenom slobode za zadato ubrzanje tla (sl. 1b). Ukupandinamikiodgovorr(t)dobijase superpozicijom uticaja svih tonova: ,1 1( ) ( ) ( )n ni i st ii ir t r t r At (9) Slika 1 Koncept prorauna primenom modalne analize MATERIJALI I KONSTRUKCIJE51(2008)2 (25-40)27 Primenaovogpostupkazahtevastatikuanalizu viespratnekonstrukcijezanrazliitihsluajeva optereenja(modalnihsilaSiuzetihkaospoljanje optereenje),kaoidinamikuanalizuzanrazliitih sistema sa jednim stepenom slobode za zadato ubrzanje tla g(t). Iakoseprimenomdinamike(vremenske)analize dobijakompletanuviduponaanjekonstrukcijeza vreme zemljotresa, u praksi se ee primenjuje analiza ufrekvencijskomdomenu,primenommetodespektra odgovora [32]. Spektar odgovora Sr neke veliine r(t) po definicijipredstavljanjenumaksimalnuvrednostu funkciji perioda vibracija T i priguenja : max( , ) | ( ) |rS T rt (10) SpektarodgovorarelativnihpomeranjaSddobijase reenjemintegrala(2),nakonegasemoguodreditii spektri pseudobrzina Sv i pseudoubrzanja Sa: 2,v d a dS S S S (11) Naziv"pseudo"koristisejersezaproraunovih vrednostikoristikrunafrekvencijanepriguenih vibracija . Na osnovu spektra pseudoubrzanja Sa moe se odrediti maksimalna seizmika sila: ,max s aF mS (12) Ovakoodreenamaksimalnaseizmikasilakoristi sekaoekvivalentnooptereenjenastatikommodelu konstrukcije,imesemoguodreditiimaksimalne vrednosti sila u presecima. Primenametodespektraodgovoramoguajeikod sistemasaviestepenislobode,akosekombinujesa modalnomanalizom.Kakojeekstremnavrednost pomeranjaDi (t)jednakaspektralnompomeranjuSdiza periodvibracijaTiipriguenjei:|Di(t)|max = Sd(i, Ti), maksimalnaspratnapomeranjaui tomtonuodreuju se prema izrazu: max i i di iS u (13) Sapoznatimpomeranjima,inercijalnesileodreuju seprekomatricekrutostikili,uzimajuiuobzir ekvivalencijuelastinih i inercijalnihsilakojaje izraena relacijomproblemasvojstvenihvrednosti,pomou matrice masa m: 2max max max i i i i i ai iS F ku mu m (14) gdejeSaivredostuspektrupseudoubrzanjazaperiod vibracijaTiipriguenjei.SapoznatimsilamaFimax, maksimalniuticajizasvakitonvibracijaodreujuse uobiajenimmetodamastatike.Pritomesemoravoditi raunadasemaksimalniuticajizapojedinetonove javljajuurazliitimtrenucimavremena.Zbogtogase ekstremnavrednostbilokojestatikeilideformacijske veliineZ,odreujenaosnovuSRSSpravila,kao kvadratnikorenzbirakvadratapojedinihmodalnih odgovora: 2 2 2max 1 2 nZ Z Z Z + + + L (15) Primenajednaine(15)neophodnajeza izraunavanjesvakestatikeilideformacijskeveliine posebno,odnosnodozvoljenojekombinovatisamo konane vrednosti uticaja. 3AKTUELNI KONCEPT PROJEKTOVANJA SEIZMIKI OTPORNIH KONSTRUKCIJA Projektovanjegraevinskihkonstrukcijanadejstvo uobiajeniheksploatacionihoptereenjaiprojektovanje seizmikiotpornihkonstrukcijauosnoviimajupotpuno razliitukoncepciju.Uprvomsluaju,uvoenjem koeficijenatasigurnostipridimenzionisanjupreseka noseih elemenata, obezbeuje sezatita od dostizanja kapacitetanosivosti,dokseudrugomsluajunamerno prelazi ta granica, pri emu se tei da se ostvari dovoljan kapacitetdeformisanja.Klasiankonceptprojektovanja seizmikiotpornihkonstrukcijazasnivasena kontrolisanomsmanjenjunosivosti.Potrebnanosivost odreuje se za projektni nivo seizmikih uticaja Fd, koji je viestrukomanjiuodnosunavrednostsileFepri elastinomodgovoru(sl.2).Timesezastvarno seizmikodejstvodoputanelinearniodgovor,priemu ekonstrukcijetokomzemljotresabitiizloena seizmikimsilamakojesupriblinojednakenjenoj nominalnojnosivostiFy.Naovajnainjekonstrukcija zatiena od nepotrebnog preoptereenja, ali e se javiti odreeni stepena oteenja jer je konstrukcija prinuena da pree u neelastinu fazu rada. Slika2Zavisnostsila-pomeranjeprilinearnomi nelinearnom odgovoru konstrukcije Projektnaseizmikadejstvautehnikimpropisima razliitih zemalja prikazana su u razliitim oblicima, ali im jesvimazajednikodaseproraunskoseizmiko dejstvoodreujuufunkcijiseizminostipodruja, usvojenog seizmikog hazarda, kategorije temeljnog tla, dinamikihkarakteristikakonstrukcije,vanostiobjektai raspoloiveduktilnosti[9].Uzimajuiuobzirove parametre,ukupnahorizontalnasilauosnovizgrade odreuje se kao: Z I CF WR (16) gdejeZkoeficijentseizminosti,Ifaktorznaaja,C koeficijentdinaminosti,Rkoeficijentredukcije,aW teine konstrukcije.

MATERIJALI I KONSTRUKCIJE51(2008)2 (25-40) 28 PomoukoeficijentaIdefiniesevanostobjektau odnosunanjegovuupotrebu.Objektisesvrstavajuu odreenekategorijezakojesepropisujerazliitnivo pouzdanostiuzavisnostiodposledicanjihovogruenja. Za zgrade u kojima se okuplja veliki broj ljudi i za objekte ije je funkcionisanje nakon zemljotresa bitno za javnost, zahteva se vii nivo pouzdanosti.KoeficijentseizminostiZjednakjeodnosu projektnogubrzanjatlaagzareferentnipovratniperiod zemljotresaTriubrzanjazemljineteeg(Z = ag / g). Njegovavrednostzavisiodseizmikezoneukojojse nalazilokacijaobjekta,doksepomoukoeficijenta C(T, )obuhvatajudinamikeosobinekonstrukcijei uticajtemeljnogtlanaponaanjeobjektatokom zemljotresa.KoeficijentCuobiajenoseprikazujekao bezdimenzionalnakrivapobude,kojomseobuhvata dinamikaamplifikacijaubrzanjatlaprielastinom odgovoru.Uzavisnostiodsposobnostikonstrukcijeza nelinearnodeformisanjeidisipacijuenergije,proraun se sprovodi sa smanjenim seizmikim dejstvom, koje se redukuje putem koeficijenta R. Ovaj koeficijent zavisi od primenjenihmaterijala,tipanoseegsistema,nivoa aksijalnognaprezanja,predvienihkonstrukcijskih reenja i nivoa obrade detalja. Zaproraunuticajaukonstrukciji,upraksise najeekoristiekvivalentnastatikametoda(ESM),u kojojseukupnaseizmikasilaodreujeputemizraza (16). Raspodela seizmikih sila po visini zgrade odreuje se prema priblinom obrascu: , 1, 2,...k kkk kWzF F k nWz (17) gdesuFk,Wkizkhorizontalnaseizmikasila,teina sprataiudaljenjespratakodgornjeivicetemelja,an ukupan broj spratova zgrade.Uzimajui u obzir njenu jednostavnost, primena ESM upraksisemoeopravdatizaregularnezgrade. Meutim,kodneregularnihkonstrukcijaneophodnaje primenaspektralnomodalneanalizedabiseobuhvatio uticajraspodelekrutostiimasepovisinizgrade[21]. Ukupna smiua sila u osnovi zgrade Fi i vektor sila Fi za svaki ton vibracija, dati su sa: ,, ,Ti i i ap i i i ef ap i iF S T m S T ( ) ( ) me (18) Sami,efjeobeleenaefektivnatonskamasa,koja predstavljadeomasekojiodgovaraueusvakog pojedinanog tona u generisanju ukupne seizmike sile:, i ef i im L (19) SaSap(i,Ti)oznaenajeordinataproraunskog spektrapseudoubrzanjazaperiodvibracijaTiu posmatranom tonu. Proraunski spektar pseudoubrzanja sekonstruienaosnovuspektralnekriveCdateu propisima i usvojenih parametara Z, I i R: ( , ) ( , )ap gIS T a C TR (20) NakonodreivanjeukupnesmiuesileFi, moese odrediti i vektor sila Fi za svaki ton vibracija: ii i TiF mFme(21) Sa poznatim silama Fi mogu se odrediti i maksimalni uticajiukonstrukcijizasvakitonvibracija,atimei ukupan odgovor na osnovu jednaine (15). 3.1Numeriki primeri Usavremenimpropisima(npr.EC8[6],FEMA273 [11])referentnimetodzaodreivanjeseizmikihuticaja je metoda spektra odgovora i modalna analiza, pri emu sekoristilinearnoelastinimodelkonstrukcijei redukovanispektri.Zavisnoodkarakteristikanoseeg sistemazgrade,primenjujeseuproenametoda,za zgradekojeispunjavajuodreeneuslove,imulti modalnaspektralnaanaliza("multi-modalresponse spectrumanalysis")zasvetipovezgrada.Nelinearne analize u vremenskom ili frekventnom domenu mogu se koristiti kao alternativne metode uz odreene uslove. Pri tomeamplitudeakcelerograma,zareferentnipovratni period,trebamnoitifaktoromznaajazgrade.Kroz primereregularnihineregularnihkonstrukcijakojisu ovdeprikazani,mogusesagledatiprednostiiograni-enjapojedinihmetodausmislupraktinostinjihove primene.Kodvisokih,vitkihzgradakodkojihjeuticajviih tonovaznaajan,odreenajeanvelopabezdimenzio-nalnihveliinasmiuihsilaimomenatapreturanjapo visiniregularnezgradekojisudobijeniuproenomi multi-modalnomanalizom(sl.3).Krivama"a"prikazani su rezultati dobijeni uproenom metodom (ESM) u kojoj jekorienspektarpremaEC8zaklasutlaBifaktor ponaanjaq = 5.Zaistispektar,primenommulti-modalne analize dobijene su krive "b" za smiui sistem (skeletnukonstrukciju),tj.krive"c"zakonstrukciju fleksionog tipa (zgrada ukruena sistemom zidova). Iz prikazanih dijagrama uoljivo je da su smiue sile imomentipoESMveiodonihdobijenihprimenom multi-modalneanalize.Konzervativnostpriblinog postupkajeizraenijazamomentenegozasmiue sile.Uticajviih tonova izraenjesamougornjemdelu zgrade(priblinougornjojtreinizgrade),naroitoza zgradefleksionogtipa.Kodtihkonstrukcija,seizmika analizaprimenomESMmoedatinekonzervativne rezultate.Ovonemorabitiposebnogznaajajerna mestimanakojimasuuticajidobijenimulti-modalnom analizom vei od onih po uproenoj metodi, uobiajene dimenzijenoseihelemenatakojeproistiuizarhi-tektonskihiliminimalnihkonstruktivnihzahteva,obez-beuju dovoljnu nosivost. Konzervativnost ESM je izraenija za momente nego zasmiuesile,naroitoukritinimpresecima(donji deozgrade),odijegponaanjazavisiseizmiki odgovorcelekonstrukcije.Moguaposledicatogaje veanosivostnasavijanjei,zbogtoga,vea verovatnoanepoeljnoglomanasmicanje[34],[36]. Rezultatianalizebitnozaviseiodkorienogspektra pobude. Krivama "d" su prikazani rezultati multi-modalne analizezaspektarrealnogzemljotresa(El Centro 1940, komponentaS00E,=5%),zazgradufleksionog tipa.U ovomsluajuuticajviihtonovanaukupniodgovor konstrukcijejeznatno veinegokodprimenespektra iz propisa, naroito u gornjem delu zgrade. MATERIJALI I KONSTRUKCIJE51(2008)2 (25-40)29 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0V/0.00.20.40.60.81.0z/HV0,ESMadcb 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8M/0.00.20.40.60.81.0z/H(V0,ESM * H)abcd Slika 3.Anvelope smiuih sila i momenata preturanja Uzimajuirezultatemulti-modalneanalizekao referentne,razmatranajeveliinauticajau2D regularnom i neregularnom okviru (sl. 4) koji se dobijaju primenompriblinihmetodainaosnovumulti-modalne analize[21].Spratnemasesukoncentrisaneunivou pojedinihspratova,aseizmikodejstvo jepredstavljeno projektnimspektromubrzanjazasrednjetlo(B kategorijatla)iprojektnoubrzanjetlaag = 0.2g,sa vrednostima faktora ponaanja q = 5 za regularnu i q = 4 zaneregularnukonstrukciju.Umulti-modalnojanalizi (MMA)uzetjeuticajsvihtonovavibracijanaukupni odgovorkonstrukcije,kojijeodreenprimenomSRSS pravila jednaina (15). U priblinoj analizi je razmatran samo uticaj osnovnog tona vibracija, pri emu je ukupna smiuasilauosnovizgradeodreenakaoproizvod ukupneteinezgradeiordinatespektraodgovoraza osnovni period vibracija T1. Raspodela seizmikih sila po visinizgradejeodreenapremaprvomsvojstvenom oblikuvibracija(MA1),odnosnonaosnovuraspodele (17) koja se koristi kod ESM.Zaregularnukonstrukciju(sl.4a)karakteristini rezultati prorauna, tj. ukupna smiua sila Fb i moment preturanjauosnovizgradeMb,maksimalnevrednosti momentasavijanjaustubovimaMsigredamaMg, maksimalnopomeranjevrhazgradeunimaksimalni relativnispratniotklondr(dr = (ui ui-1) / hi),datisuu tabeli1.Kodneregularnezgrade(sl.4b),analizaje sprovedenasadvaproraunskamodela,priemuprvi (Okvir1)predstavljakonstrukcijusaumerenom promenomkrutostipovisinizgrade,dokdrugi(Okvir2) zgradusaizrazitompromenomkrutosti.Zaproraun uticaja u neregularnim konstrukcijama primenjene su iste metodeanaliza (MMA,MA1iESM) kao iuprethodnom sluaju,akarakteristinirezultatiproraunasudatiu tabeli 2. Slika 4.Regularna i neregularna okvirna konstrukcija

MATERIJALI I KONSTRUKCIJE51(2008)2 (25-40) 30 Priblinemetodepopraviludajuznatnovee vrednostiuticajaukonstrukciji,tojeposledica,pre svega,veesmiuesileuosnovizgrade.Overazlike suposebno izraenekodneregularnihkonstrukcija,kod kojihjeprocenauticajaukonstrukcijiputempriblinih postupakasvakakoneprihvatljiva(uanaliziranim primerimarazlikesuod70do130%).Usluaju regularnihkonstrukcija,priblinemetodegeneralno precenjujuuticajemulti-modalneanalize,alis obzirom daseodpriblinihmetodaoekujukonzervativni rezultati, kao i da razlika u veliini uticaja nije izrazita, te da je priblina metoda znatno jednostavnije za upotrebu, moeseopravdatinjenaprimenaupraksi.Kod neregularnihkonstrukcija,meutim,dobijenerazlikesu znatno vee i rastu sa porastom "neregularnosti".Dobijenerazlikesutakvogredaveliinedase primenapriblinih metodakod neregularnihkonstrukcija ne moe opravdati, ak ni kao priblina procena, ime je potvrenaispravnoststavaEC8kojipriblinemetode analizedozvoljavasamokodregularnihkonstrukcija.U radu [21] je pokazano da se za neregularne konstrukcije u osnovi mora se primeniti prostorni proraunski model i MMAdabisenaadekvatannainobuvatilinepovoljni torzioniefekti.Parametarskaanalizauticajatorzijeje pokazalodasepriblinimpostupkomkodzgradasa slaboizraenomneregularnou,kojijepredvienu EC8,nazadovoljavajuinainmoeprocenitiuticaj torzije[18].Meutim,uvidustvarniseizmikiodgovor nesimetrinihkonstrukcijamoesedobitisamo primenom nelinearne analize [25]. 4NELINEARNE METODE ANALIZE 4.1Metoda faktora duktilnosti Kodkonstrukcijakojeimajuvelikuobezbeenu duktilnost, mogue je u veoj meri smanjiti nosivost nego kodzgradasamanjomraspoloivomduktilnou[33]. Timeeseiskoristitinelinearnoponaanjekonstrukcije, adapritomeipaknedoedoruenjaobjekta.U zavisnostiodpostignutogbalansaizmeunosivostii duktilnostipriodreenojkrutosti,moeseoekivatii razliit odgovor konstrukcije pri dejstvu jakih zemljotresa. Projektovanje seizmiki otpornih konstrukcija zasniva senakontrolisanomsmanjenjunosivostikonstrukcije. Zaoekivanoseizmikodejstvodoputasenelinearni odgovoruzpojavuodreenog("kontrolisanog")stepena oteenja. S ciljem da se izbegneeksplicitna nelinearna analiza,kojajedostasloenaiveomaretkoprimenljiva u praksi, a uzimajui u obzir sposobnost konstrukcije za disipaciju energije kroz prevashodno duktilno ponaanje njenihelemenata,zaseizmikiproraunseprimenjuje linearnaanalizazasnovananaspektruodgovorakojije redukovan u odnosu na elastian spektar. Ova redukcija sesprovodiprekotzv.faktorredukcijeR,pomoukoga sestvarnoseizmikodejstvosmanjujenanivodejstva zakojisekonstrukcijiobezbeujepotrebnanosivost. Vrednostiukupnogfaktoraredukcijerazlikujuseu normama razliitih zemalja za detalje videti [22]. Primenomlinearneanalizeiredukovanogseizmi-kogdejstva,moesedobitiveomadobraprocena veliine seizmikih sila koje e konstrukcija indukovati za vremestvarnihzemljotresa,alisepomounjenemoe dobitiuvidustvarnuveliinupomeranjaidrugih deformacijskih veliina pri dejstvu jakih zemljotresa [20]. Potosezavremejakihzemljotresaoekujenelinearni odgovorveinekonstrukcija(osimnuklearnihelektrana, visokihbranaisl.),tojezaprocenuukupneseizmike otpornosti konstrukcije potreban uvid ne samo u veliinu sila ve i u veliinu nelinearnih deformacija.Jedanodnajvanijihciljevaaseizmikogprojektova-njajeobezbeenjedovoljnogkapacitetadeformisanja konstrukcije.Zbogtogajeveomavanoznatiukojoj merisemoesmanjitinosivostuodnosunanosivost kojajepotrebnadapristvarnomdejstvujakihzemljo-tresa, ne doe do prevelikih oteenja ili ak do ruenja konstrukcije.Zaovuprocenusemorapoznavatiodnos izmeusposobnostikonstrukcijezadisipacijuenergije (globalneduktilnosti)ifaktoraredukcije.Analizauticaja zemljotresapremapropisimasprovodiseprimenom linearnoelastinogmodelairedukovanogseizmikog dejstva, te se ne raspolae procenom nelinearnih efeka-ta. Zbog toga se nelinearni efekti u propisima obino uzi-majupriblino,pomoufaktoraduktilnosti( =u / uy, u nelinearno pomeranje, uy pomeranje na granici ela-stinosti).Ovajkonceptproraunazasnovanjenaprin-cipu jednakih pomeranja elastinih i neelastinih sistema Tabela 1.Karakteristini uticaji za regularnu konstrukciju UticajMMAESM [%]MA1 [%] FbkN173.16207.0019.5207.0019.5 Mb kNm2194.602690.9122.62649.3020.7 Mg kNm81.8798.5020.398.7320.6 Ms kNm87.61104.8019.6104.9019.7 un cm1.041.2822.81.2620.7 dr- 1/12321/102520.21/102120.7 Tabela 2. Karakteristini uticaji za neregularne konstrukcije Okvir 1Okvir 2 Uticaj MMAESM [%]MA1 [%]MMAESM [%]MA1 [%] FbkN199.21355.4278.4355.4278.4206.72355.4271.9355.4271.9 Mbo kNm3002.905609.6086.85743.0091.23141.105609.6078.66706.00113.5 Mg kNm97.94178.5082.2183.9087.899.21156.7058.0219.00120.7 Ms kNm82.42149.9081.9155.3088.491.59146.6060.1200.60119.0 un cm3.476.4485.66.6190.42.093.3560.44.62121.0 dr - 1/5351/29084.51/28091.11/5501/34957.61/240129.2 MATERIJALI I KONSTRUKCIJE51(2008)2 (25-40)31 (sl.5a),izkojegsledidajefaktorredukcijejednak duktilnosti sistema: n eu u R (22) Principjednakihpomeranjaelastinihineelastinih sistemajeveomajednostavanipogodanzapraktinu primenu.Meutim,analizanelinearnogodgovora pokazujedazakrutekonstrukcije,kodkojihjenosivost odreena na ovaj nain, zahtevana duktilnost pri dejstvu uobiajenih zemljotresa postaje izuzetno velika. Da bi se ograniio iznos plastinih deformacija i dobila zahtevana duktilnostuuobiajenimgranicama,kodkrutih konstrukcijasemoraobezbeditiveanosivostod prosene.Zaodreivanjepotrebnenosivostikrutih konstrukcija,NewmarkiHall[32]suprimenilikoncept zasnovannaprincipujednakedisipacijeenergije elastineielasto-plastinekonstrukcije(sl.5b),na osnovu kojeg sledi: 2 1 R (23) Poreenjem izraza (22) i (23) moe se zakljuiti da je priistojduktilnostikodkruihkonstrukcijadozvoljena manja redukcija nosivosti. Proraun zasnovan na konceptu jednakih pomeranja (ilijednakihenergija)samojegrubaaproksimacija procenestvarnereakcijekonstrukcijenadejstvorealnih zemljotresa.Mnogobrojneparametarskeanalize nelinearnogodgovora[14],[16],[31],pokazujuda dozvoljenaredukcijanosivostizavisiodnivoa nelinearnihdeformacija,krutostikonstrukcijei frekventnogsastavaoscilacijatla.Pritomesemora voditiraunadadozvoljenaredukcijanosivostizavisii od tipa zemljotresa [26]. Primenom principa jednakih pomeranja i konstantnog faktora redukcije, to je uobiajeno u inenjerskoj praksi, dobija se nedovoljna nosivost za krute objekte [29]. To je posebnoizraenokodslabihkonstrukcija, tj.priprimeni veegfaktoraredukcijeR(sl.5).Zbogtogasekod konstrukcijaprojektovanihnaosnovuaktuelnihseizmi-kihpropisa,pridejstvustvarnihzemljotresamogu oekivativeeneelastinedeformacijeodpretpo-stavljenih, a time i vei stepen njihovog oteenja [28].Osnovniproblempriprojektovanjujekakoodrediti minimalnunosivostkojaebitidovoljnadanivo nelinearnihdeformacijabudeupredvienimgranicama. Ovajproblemsemoenazadovoljavajuinainreiti akose,umestokonstantnogfaktoraR,koristifaktor redukcijekojizavisiodperiodakonstrukcijeT, predvienog nivoa nelinearnih deformacija (duktilnosti ) i frekventnog sastava kretanja tla, tj. perioda Tg: ( )15 21 1 1 exp3gTRT + 1 _ + 1 , ](24) Slika 5 Redukcija nosivosti prema konsceptu: (a) jednakih pomeranja, i (b) jednakih energ +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0PeriodT(s)0.00.20.40.60.81.01.2Potrebna nosivost NyStandard EQsvi zapisi BL HM = 0.00 = 5%Standard EQsvi zapisi BL HM = 0.00 = 5%R = 5 = 3 = 5R = 3 Slika 6 Potrebna nosivost pri konstantoj duktilnosti i pri primeni konstantnog faktora redukcije R

MATERIJALI I KONSTRUKCIJE51(2008)2 (25-40) 32 Naovajnainmoeseodreditinosivostkojaje potrebnadase,zadejstvo"obinih"zemljotresa,dobije istazahtevanaduktilnost( = const.)nezavisnood krutosti [24].Metodafaktoraduktilnostijeurazliitimvidovima ugraenauveinusavremenihaseizmikihpropisa. Proraun zasnovan na ovoj metodi omoguava priblino obuhvatanjenelinearnihefekataprimenomelastine analizeiredukovanogseizmikogdejstva.Ovametoda nakvalitativannainodraavaosnovneprincipe projektovanjaseizmikiotpornihkonstrukcija.Njeno razumevanjejeodbitnevanostizarazumevanje ponaanjarealnihkonstrukcijazavremejakih zemljotresa,atimeizapravilnoaseizmiko projektovanje. 4.2Nelinearna statika analiza Metodeanalizakonstrukcijanaseizmikadejstva mogusepodelitinastatikeidinamike,amodeli konstrukcijanalinearneinelinearne.Shodnotome, moguesuetirikombinacijeovihanaliza.Stvarno ponaanjekonstrukcijezavremezemljotresamoese najboljesimuliratiprimenomnelinearnedinamike analize(NDA).Meutim,NDAjejouveksuvie komlikovane za praktinu primenu, te su se u poslednje dvedecenijeintenzivnorazvijajalemetodeprorauna zasnovanenatzv.nelinearnojstatikoj("pushover") analizikonstrukcija.Rezultatiovihistraivanjasu implementiraniunajnovijepropisezaprojektovanje seizmikiotpornihkonstrukcija:FEMA 356[12], FEMA 440 [13] i EC8 [6]. Polazni sistem kod nelinearne statike analize (NSA) je sistem sa vie stepeni slobode za koji je potrebno odrediti "pushover" krivu, tj. zavisnost ukupnepopreenehorizontalneseizmikesilei horizontalnogpomeranjavrhazgrade.Ukupnasmiua sila(tj.nosivostkonstrukcije)ioblik"pushover"krive zaviseodusvojene(primenjene)raspodeleseizmikih silapovisinizgrade.Primenjujuserazliitioblici raspodelepoprenogoptereenja:ravnomernai trougaonaraspodela,premaprvomsvojstvenomobliku [1],premaFEMApropisima,raspodelapremaSRSS kombinacijimodalnihspratnihsila,raspodelakoja odgovara ekvivalentnom modalnom obliku [42] i sl. Noseakonstrukcijaviespratnihzgradamoese analiziratidekompozicijomnaodreenepodkonstrukcije koje ine viespratni okviri optereeni u sopstvenoj ravni. Pojedini propisi ograniavaju primenu NSA na regularne okvirepovisini,stimtosedozvoljavaprimenaikod okvirasadiskontinuitetomuprizemlju. Okviriuravnise modelirajuprimenomlinijskihelemenatakonstantnog poprenogpresekasadvavoraitristepenaslobode pomeranjausvakomvoru.Zanelinearnuanalizu zgradauobiajenosekoristemodelisaplastinim zglobovima koncentrisanim na krajevima tapova [35], a u novije vreme i vlaknasti (fiber) modeli pomou kojih se moeobuhvatitiipropagacijeneelastinihdeformacija du tapova. Unelinearnojstatikojanaliziodreujesezavisnost izmeuukupnesmiuesileihorizontalnogpomeranja vrha zgrade u vidu tzv. "pushover" krive. Za viespratne okvire primenjuju se konvencionalna i adaptivna metoda uzprimenuinkrementalnogpriratajapoprenog optereenjaipraenjapropagacijenelinearnihdefor-macija[30].Celokuposeizmikooptereenjedelisena inkremente, a celokupan sistem se posmatra kroz raliite konfiguracijeukojimasejednaineravnoteereavaju za inkrementalno optereenje (sl. 7). Uslovi ravnotee su opisanisistemomnelinearnihalgebarskihjednaina, koje se, umesto za ukupno optereenje, reavaju za niz posebnihinkrementalnihdelovaoptereenja.Uokviru svakoginkrementa,pretpostavljasedajesistem jednaina linearan,pasereenjenelinearnogproblema dobijakaozbirnizainkrementalnihreenja.Kao posledicalinearizacije,javljajuseneuravnoteene (rezidualne) sile koja su mera odstupanja linearizovanog reenjaodtanog.Uokvirusvakoginkrementavrise iteracija, kako bi se izbalansiralo rezidualno optereenje, priemusekoristiNewton-Raphsonovilinekidrugi iterativnipostupak.Raspodelaseizmikogoptereenja povisinizgradeuobiajenojekonstantnautoku inkrementalnogprirataja,alisemoeimenjatisa promenomkrutostiuinkrementalnimsituacijama (adaptivna analiza). Ukovencionalnojaanaliziprvosesprovodistatika analizazavertikalno optereenje,azatimsezadejstvo horizontalnihsilanastavljanelinearnastatikaanaliza. Prethodnojepotrebnodefinisatigeometrijusistema, karakteristikematerijala,preliminarnedimenzijepopre-nihpresekaikoliinuarmaturezasvetapove,karak-teristike plastinih zglobova (npr. prema [11]) u zavisnosti od tipa elementa (greda, stub...). Sledei korak je modalna Slika 7 Konvencionalna "pushover" analiza MATERIJALI I KONSTRUKCIJE51(2008)2 (25-40)33 analizasanultimpoetnimuslovima(nultonaponsko stanje).Nakontogasepostepenonanosipopreno optereenjeipratiformiranjeplastinihzglobovasa prelaskomsistemauzonunelinearnogponaanja.Kod vitkih,neukruenihokvira,mogujeproblemstabilnosti reenjaipojavadivergencijeusledefekatateorije drugogreda.Ovakvisistemipoznatisukaosistemikoji omekavaju(softeningsystems).Nedostatak konvencionalnemetodejetosepoprenoseizmiko optereenjenemenjasapojavomipropagacijom plastinihzglobova,veseraspodelaoptereenja zadravakonstantnomutokucelokupneanalize.Zbog toga se prema propisima zahteva da se u analizi moraju koristiti bar dve razliite raspodele optereenja. 4.3N2 metoda N2metodasekoristizaseizmikuanalizu viespratnihzgradaiunjojsekoristedvamatematika modela.Prvimatematikimodeljesistemsavie stepenislobode(MDOF multidegreeoffreedom),a drugijesistemsajednimstepenomslobode(SDOF singledegreeoffreedom).Konstrukcijaviespratne zgrademodelirakaoekvivalentnisistemsajednim stepenomslobode,ijesekarakteristike(silaF*i pomeranjed*)odreujupomoukarakteristikasistema sa vie stepeni slobode ukupne smiue sile u osnovi zgradeVipomeranjavrhazgradedt.Zavisnost izmeu sileVipomeranjadtodreujesepomounelinearne statike("pushover")analizezausvojenuraspodela poprenogoptereenja,kojaostajekonstantnatokom celokupneanalize.Kozreavanjeinkrementalnih nelinearnihuslovaravnotee,pratiserazvojplastinih zglobovasvedokseneformiranekiodmoguih mehanizama ruenja [38].Izborraspodeleseizmikihsilapovisinizgrade predstavljaveomavaankorakuNSA.Pritometreba istai da jedinstveno reenje ne postoji, jer se primenom razliitihraspodelapoprenogoptereenjadobijaju razliitekrivesila-pomeranje[30].Zbogtogaseu praktinimproraunimauobiajenoprimenjujubardve razliite raspodele poprenog optereenja [11].Seizmikizahtevizaekvivalentnisistemsajednim stepenom slobode mogu se odrediti pomou nelinearnih spektarailiprimenomnelinearnedinamikeanalize. Rezultatiodreeniiznelinearnogodgovorasistemasa jednimstepenomslobode, madarelevantni kao osnovni podaci,morajusemodifikovatizaprojektovanje viespratnihzgrada[40].Maksimalnopomeranje ekvivalentnogsistemad*ransformieseumaksimalno pomeranjevrhazgradedtkojemeviespratnazgrada bitiizloenautokuzemljotresa.Uticajiuviespratnoj konstrukciji(sileupresecima,spratnapomeranja,itd.) odreujusepomouNSA,priemujepotrebno realizovatimaksimalnopomeranjevrhazgradedt.Na ovajnainmoesenajednostavannainproceniti veliinaseizmikihzahtevanalokalnomiglobalnom nivou cele konstrukcije. N2 metoda [10] se sprovodi u 8 koraka,azbogsvojejednostavnostijeuvrtenau standard EN 1998 [6].Korak1Ulaznipodaci.UanalizisekoristiMDOF proraunskimodel,priemuseporedpodataka potrebnihzalinearnuanalizu,moraodreditiizavisnosti sila-deformacijazasvenoseeelemente(gredei stubove).Seizmikodejstvoseprikazujeputem elastinogspektraubrzanjakojireprezentujeseizmiko dejstvo na razmatranoj lokaciji za usvojeni projektni nivo seizmikoghazarda(uobiajenoseuzimapovratni period zemljotresa od Tr = 475 god.). Korak2Spektarzahteva(demandspectrum). Polazei od uobiajenog spektra odgovora, kojim je data zavisnostspektralnogubrzanjaodperiodavibracija, seizmikodejstvoseprikazujeutzv.ADformatu (A = acceleration,D = displacement),imesedobija spektarzahteva.Unjemujeprikazanazavisnost spektralnogubrzanjaispektralnogpomeranja,doksu vrednosti perioda vibracija date u vidu radijalnih linija (sl. 8).ZalinearnoelastiniSDOF(singledegreeof freedom) sistem moe se napisati relacija: 224de aeTS S(25) gdejeSdespektralnopomeranje,Saespektralno ubrzanje, a T period vibracija linearnog sistema. Slika 8.Spektar zahteva

MATERIJALI I KONSTRUKCIJE51(2008)2 (25-40) 34 ZanelinearniSDOFsistemsabilinearnom zavisnousila-pomeranje,vrednostspektralnog ubrzanja i pomeranja moe se odrediti kao: 2 22 2,4 4aea d de ae aS T TS S S S SR R R (26) gdejeduktilnostsistema,aRfaktorredukcijekoji zavisi od duktilnosti, tj. od disipacije histerezisne energije duktilnihkonstrukcija.PritometrebaistaidafaktorR nije jednak faktoru redukcije R koji se uobiajeno uzima upropisima.FaktorRupropisimapredstavljaukupni faktor redukcije seizmikog dejstva, koji prored disipacije energijeuzimauobzirifaktorrezervenosivostiRs (R = R Rs).ZafaktorredukcijeRuradu[14]su predloeni sledei izrazi: 1( 1) ,C CCTR T T R T TT + < (27) gde je TC karakteristina vrednost perioda vibracija tla ovavrednostpredstavlja granicu izmeuoblastispektra sakonstantnimubrzanjemioblastisakonstantom brzinom.Polazeiodelastinogprojektnogspektra datogpropisima,koristeijednaine(25)do(27), mogu se konstruisati spektri zahteva pri konstantnoj duktilnosti (sl.8),kojireprezentujuneelastinespektre.Naslicisu prikazaninelinearnispektrizazadatevrednosti duktilnosti,kojisuodreeninaosnovuelastinog spektra datog u EC8 za kategoriju tla B. Korak3Pushoveranaliza.Zavisnost izmeusilei pomeranjakodviespratnekonstrukcijeodreujesena osnovu"pushover"analize.Iakozavisnostsila-pomeranjemoebitiuspostavljenazabilokojusilui pomeranje,onaseuobiajenouspostavljazaukupnu smiuusiluipomeranjevrhazgrade.Izborraspodele seizmikih sila po visini zgrade predstavlja veoma vaan korak u nelinearnoj statikoj analizi. Pri tome treba istai dajedinstvenoreenjenepostoji,jerseprimenom razliitihraspodelapoprenogoptereenjadobijaju razliitekrivesila-pomeranje.Upraktinimproraunima uobiajenoseprimenjujudverazliiteraspodele optereenja,priemusezaodreivanjeekstremnih vrednostikoristianveloparezultata.PremaEC8 proraunsesprovodiza"ravnomernu"i"modalnu" raspodelupoprenogoptereenjakodravnomerne distribucijeseizmikesileupojedinimnivoimasu proporcionalnespratnimmasama,doksukodmodalne raspodeleseizmikesilepovisinizgraderaspodeljene prema istom zakonu koji je usvojen u elastinoj analizi.Korak4EkvivalentniSDOFmodel.Seizmiki zahteviseodreujuprimenommetodespektra odgovora,priemusenelinearnoponaanjeuzima eksplicitno.Zbogtogaseviespratnakonstrukcija,tj. MDOFsistem,moramodeliratikaoekvivalentniSDOF sistem.KarakteristikeekvivalentnogSDOFsistema(sila F* i pomeranje d*) odreuju se na osnovu karakteristika MDOF sistema (ukupne smiue sile V i pomeranja vrha zgrade dt): * *,td Vd F (28) Konstanta predstavlja faktor participacije: 2i ii imm (29) gdesusaiobeleenaspratnapomeranjakoja odgovarajuusvojenojraspodeliseizmikihsilapovisini zgrade.Pritomejevektorspratnihpomeranjanormiran tako da je pomeranje na vrhu zgrade jednako 1.Zavisnostsila-pomeranjeuspostavljenazaMDOF sistem,primenjujeseinaSDOFsistemjednostavnim deljenjemisileipomeranjafaktoromparticipacije, odnosnopromenomrazmerezaobeose.Dabise odredilaidealizovanaelasto-plastinavezasilei pomeranjazaSDOFsistem(sl.9),primenjujese preporuka Evrokoda 8 data u aneksu B: ** **2my myEd dF _ ,(30) gde su *ydi *yFpomeranje i sila na granici teenja, *mdjepomeranjekojeodgovarasiliprikojojseformira potpuni plastini mehanizam, a *mEenergija potrebna za njegovo formiranje. Usvajajuielastoplastinuzavisnostsila-pomeranje, mogu se odrediti masa m*, krutost k* i period vibracija T* ekvivalentnog SDOF sistema: * * * * * * *, / , 2 /i i y ym m k F d T mk (31) Naosnovuovakoodreenihkarakteristika ekvivalentnogSDOFsistema,moeseodreditii zavisnostubrzanje-pomeranjedatog sistemau vidu tzv. krive kapaciteta (capacity curve, capacity diagram), koja se dobija ako se vrednosti sile podele sa ekvivalentnom masom m*:* */aS F m (32) Ovakrivaimavelikuprimenuiunekimdrugim postupcima prorauna koji se zasnivaju na ekvivalntnom SDOFsistemu,npr.uCSM(CapacitySpectrum Method). Slika 9.Odreivanje idealizovane bilinearne veze sila pomeranje prema EC8 Korak 5 OdreivanjeseizmikihzahtevazaSDOF sistem.SeizmikizahtevizaekvivalentniSDOFsistem mogu se odrediti pomou grafikog postupka prikazanog nasl.10.Pritomejeneophodnonaistomdijagramu MATERIJALI I KONSTRUKCIJE51(2008)2 (25-40)35 nacrtati spektar zahteva za projektno seizmiko dejstvo i krivukapacitetazarazmatranibilinearnisistem.Presek radijalnelinijekojaodgovaraperioduvibracijaT* bilinearnogsistemasaspektralnomkrivomodreuje potrebnunosivostsistemaSaeiveliinupomeranjaSde prilinearnoelastinomodgovorukonstrukcije.Vrednost ubrzanjaSayreprezentujevrednostseizmikogdejstvai potrebankapacitetnosivostirazmatranogsistemapri nelinearnom odgovoru. Slika10.Odreivanjeciljnogpomeranjazaekvivalentni SDOF sistem Faktor redukcije R odreuje se putem izraza: *( )aeayS TRS (33) AkojeperiodvibracijarazmatranogsistemaT*vei ilijednakperioduTC,vaiprincipjednakihpomeranja linearnih i nelinearnih sistema. U tom sluaju zahtevana duktilnostipomeranjesistemaprinelinearnom odgovoru Sd mogu se odrediti na osnovu izraza: **, ( )dd deySR S S Td (34) Ako je period vibracija razmatranog sistema T* manji odperiodaTC,zahtevanaduktilnostse moeodrediti iz jednaine (27), tj. na osnovu izraza: *1 ( 1)CTRT + (35) Pomeranjesistemaprinelinearnomodgovoru odreujesenaosnovudefinicijeduktilnosti,tj.putem izraza: **1 ( 1)de Cd yS TS d RR T _ + ,(36) Sveveliineuovomkorakusemoguodrediti numeriki, tj. bez upotrebe dijagrama. Meutim, grafika prezentacija postupka moe pomoi boljem razumevanju zavisnostiizmeuosnovnihveliinaprinelinearnom odgovoru. Korak6Odreivanjeglobalnihseizmikihzahteva zaMDOFsistem.Maksimalnopomeranjeekvivalentnog SDOFmodelaSdtransformieseumaksimalno pomeranjevrhazgradedtpomoujednaine(28),tj.na osnovu izraza: t dd S (37) Ovo pomeranje se uzima kao maksimalno pomeranje (targetdisplacement)kojemeviespratnakonstrukcija biti izloena u toku zemljotresa. Korak7Odreivanjelokalnihseizmikihzahteva za MDOF sistem. Veliina lokalnih seizmikih zahteva za razmatranukonstrukciju(maksimalnarelativnaspratna pomeranja,rotacijepoprenihpresekanakrajevima tapova i sl.) odreuje se na osnovu nelinearne statike analize(NSA)zaMDOFsistem,priemujepotrebno realizovatimaksimalnopomeranjevrhazgradeDt odreenouprethodnomkoraku.Uovompostupku primenjujeseraspodelapoprenogoptereenjakojaje usvojena u treem koraku. Korak8Proveraseizmikihperformansi konstrukcije.Poslednjikorakpredstavljaprocenu seizmikihperformansirazmatranekonstrukcijekroz uporeenjeveliineseizmikihzahtevaodreenihu koraku7iraspoloivogkapacitetakonstrukcije.Ova proveraseuobiajenosprovodiinaglobalnomina lokalnom nivou. 4.4Numeriki primer AnaliziranjepetospratniABokvir[39]sajednakim koncentrisanimmasamam =20,4 tunivousvihetaa (sl.11a).Armaturaugredamaistubovimaodreenaje naosnovupreliminarneanalize,priemususeizmiki uticaji odreeni primenom ekvivalentne statike metode. Elastinispektarodgovorazahorizontalnoseizmiko dejstvouzetojepremaEC8:tipelastinogodgovora1, tip tla B, ag = 0.3 i = 1. Pri dimenzionisanju elemenata konstrukcijekorienajearmaturaRA400/500ibeton markeMB30.Dimenzijepoprenihpresekastubovasu 4040 cm,agreda3040 cm.Stubovisuarmirani simetrino sa 12R16, a grede u kritinim presecima sa 4R16.Nakonusvojenearmature,definisanesu karakteristike plastinih zglobova (krive sila-deformacija) premaFEMA273uzavisnostiod tipaelementa(greda, stub...) i vrste deformacije (savijanje, smicanje...).Nakondefinisanjasvihpotrebnihulaznihpodataka, sprovedenajenelinearnastatikaanalizaviespratne konstrukcije. U proraunu je usvojena linearna raspodela seizmikihsilapovisinizgrade("modalna"raspodela), pri emu je ona zadrana konstantnom u toku celokupne analize.Naosnovusprovedene"pushover"analize, odreenajezavisnostsila-pomeranjezacelukon-strukciju(sl. 11b).Potpuniplastinimehanizamse formirao pri sili238 kN V i pomeranju vrha konstruk-cije15.7 cmtd .Faktorparticipacije(29)iekvivalentnamasa(31)1 idealizovanogSDOFsistemaiznose1.36 i *62.52 t m , respektivno. Prema jednaini (28), odre-enesusilaipomeranjeutrenutkuformiranja mehanizmaruenja: * *175 kN; 11.54 cmy mF d .Na osnovuodreenepovrine *1614.5 kNcmmE ,izjedna-ine(30)odreenojepomeranjenagraniciteenja: *4.64 cmyd .PeriodvibracijaidealizovanogSDOF

MATERIJALI I KONSTRUKCIJE51(2008)2 (25-40) 36 sistema iznosi *0.81s T , a ubrzanje na granici teenja 22.8 m sayS .Naosnovuspektrazahtevaidijagrama kapacitetakonstrukcije(sl.12),odreenesuvrednosti 25.45 msaeS i9.04 cmdeS .Faktorredukcije(33) iznosi:1.95 R .PotojeperiodidealizovanogSDOF sistema *T veiod0.5 sCT ,primenjujesepravilo "jednakihpomeranja":1.95 R i 9.04 cmd deS S . ZahtevanopomeranjeSDOFsistematranformiese upomeranjevrhazgrade(37),kojezarazmatranu konstrukcijuiznosi:12.3cmtd .Nakon toga,ponovo je sprovedenanelinearnastatikaanaliza,priemuje viespratnkonstrukcijapostupno"gurana"svedoknije dostignutavrednostzahtevanogpomeranja.Pri dostignutomciljnompomeranju12.3 cmtd ,odreena supomeranjaunivomeuspratnihtavanicairelativna spratna pomeranja (sl. 13). Slika 11.a) Geometrijske karakteristike okvira, b) "Pushover" kriva MDOF sistem Slika 12.Elastini i neelestini spektar zahteva i dijagram kapaciteta idealizovane konstrukcije MATERIJALI I KONSTRUKCIJE51(2008)2 (25-40)37 Slika 13.a) Spratna pomeranja;b) Relativna spratna pomeranja Zarazmatranoseizmikodejstvo,ukonstrukcijise javljajunelinearnedeformacije,priemudolazido plastifikacijeustubovimaprizemljaina krajevimasamo nekihgreda(sl.14).Pridostignutom nivoudeformacija, kojeodgovaciljnompomeranjudt,nijeseformirao potpuniplastinimehanizam.Ovoukazujeda konstrukcijaimadovoljankapacitetdeformisanjada izdrizemljotresdatejainebezruenja.Ustubovima prizemlja i na krajevima odreenog broja greda dolazi do plastifikacije,aliniujednompresekunijedostignuto stanje loma (deformacije su manje od graninih). Slika 14.Deformacijasistemairasporedplastinih zglobova za ciljno pomeranje td5ZAKLJUAK Ponaanje konstrukcija za vreme jakih zemljotresa je veomatekopouzdanopredvideti.Razlozizatosu stohastikaprirodazemljotresa,nedovoljnopoznati parametrilokacijeinedeterministikasvojstvakon-strukcije. Osnovni zadatak zemljotresnog inenjerstva je razvojadekvatnihmetodaprojektovanjaukojojmetode analizeuticajazemljotresazauzimajuznaajnomesto. Odreivanjedinamikihuticajaukonstrukcijiusled dejstvazemljotresazasnovanojenateorijivibracija. Meutim,upraktinimproraunimaseizmikaanaliza uobiajenosesprovodiprimenomESM,naroitoza jednostavnekonstrukcije.Timesezapraktinorea-vanjeproblemaseizmikezatitezadataksvodina statikiproblem,tj.naodreivanjeseizmikog"optere-enja",usledkojegseseizmikiuticajiukonstrukciji moguodreditiuobiajenimmetodamastatikekon-strukcija.Kako na osnovu statike teorije nije mogue odrediti realnuvrednostseizmikogdejstvaistvarniraspored inercijalnih sila za vreme zemljotresa, to se u seizmikoj analizimorajuuzetiuobziridinamikekarakteristike konstrukcijesvojstvenevrednostiisvojstvenioblici vibracija.Zaanalizuuticajazemljotresapotrebnoje usvojiti odgovarajui dinamiki model i definisati pobudu uzavisnostiodnainaprikazivanjaseizmikogdejstva. Prikazzemljotresnogdejstavaprekospektraodgovora uslovljava analizu u frekvencijskom domenu, a u sluaju kadajedejstvomoguegzemljotresadatopreko vremenskeistorijeubrzanjatla,analizasesprovodiu vremenskom domenu.Madaakcelerogramidajunajpot-punijeinformacijeokretanjutlatokomzemljotresa,u zemljotresnominenjerstvujeeaprimenaspektara odgovora.Onidajuoiglednijupredstavuokarak-teristikamakretanjatla,asemtogasuipogodnijiza praktinuprimenu.Zbogtogasespektriodgovora uobiajenouzimajukaoosnovninainprikazivanja seizmikog dejstva u tehnikim normama.Primenomvremenskeanalize(modalneanalizei metodedirektnenumerikeintegracije)moguejena najbolji nain sagledati ponaanje konstrukcije za vreme zemljotresa.Naovajnainseneodreujusamo

MATERIJALI I KONSTRUKCIJE51(2008)2 (25-40) 38 maksimalnevrednostiuticajavesedobijaiuvidu njihovukvalitativnupromenu(vremenskitok).Upraksi seanalizauticajazemljotresa,popravilu,umestona dinamikojanalizi,zasnivanaprimenimetodespektra odgovora.Spektralnareprezentacijaseizmikogdejstva obezbeujejednostavnopolazitezaaseizmiko projektovanje,jerododnosasvojstvenihperiodai predominantnihperiodapobudezavisidinamika amplifikacijaseizmikogdejstva.Primenommetode spektra odgovora moe se odrediti maksimalna vrednost odgovorasistemasajednimstepenomslobodeza zadatupobudu.Meutim,vrednostiseizmikihuticajau konstrukcijidobijenihizspektraodgovora,madasu relevantni kao osnovni podaci, moraju se modifikovati pri projektovanjuviespratnihkonstrukcijazgrada.U odnosunasistemesajednimstepenomslobode, ponaanjeviespratnihkonstrukcijajeznatnosloenije, jer na njihov seizmiki odgovor utie i raspodela krutosti i masepovisinizgrade.Uticajovihveliinanadinamiki odgovorobuhvaenjesvojstvenimoblicimavibracija. Zbogtogaje,kodsistemasaviestepenislobode, neophodnaprimenaspektralnomodalneanalize(SMA) u kojoj de kombinuju rezultati metode spektra odgovora i rezultatimodalneanalize.Pritomesedobijajusamo ekstremnevrednostiuticajaukonstrukciji,kojese odreujustatistikomkombinacijom maksimalnihuticaja dobijenih u pojedinim tonovima vibracija. Sarazvojemraunaraupraksusupostepeno uvedeneimetodeanalizekojesezasnivajuna nelinearnomponaanjukonstrukcija.Nelinearna zavisnostizmeusilaipomeranjakodviespratne konstrukcijemoesedovoljnojednostavnoodrediti primenomnelinearnestatike("pushover")analize. Jednaodnovih metodakojajezasnovananaovakvom postupkujemetodaN2,kojajezbogsvoje jednostavnostiuvrtenaiustandardEN1998. Neophodnojeistaidaseponaanjekonstrukcijaza vreme zemljotresa ne moe dovoljno dobro proceniti ako senjihovaotpornostodreuje,kakojetouobiajeno, samozajedannivoseizmikogdejstvainaosnovu kriterijumasigurnostiiskazanihposilama.Potrebne seizmikeperformansekonstrukcijamoguseodrediti samoakosezadovoljeviestrukiprojektnikriterijumi sigurnosti(popomeranjima,deformacijamai oteenjima), pri emu se ova provera mora sprovesti za seizmikadejstvasarazliitomverovatnoompojave zadetaljevideti[29].Samosenatajnainmoe obezbeditidasviciljeviizahteviseizmikezatite (sigurnost,funkcionalnostiekonominost)buduu potpunosti zadovoljeni. 6LITERATURA [1]Albanesi T., Nuti C.: Local Response Evaluation in ReinforcedConcreteFramesviaPushover Analysis,UniversityG.DAnnunzioofChieti, PRICOS, University of Roma Tre, DISC, 2003. [2]Anii D., Fajfar P., Petrovi B., Szavits-Nossan A., TomaeviM.:Zemljotresnoinenjerstvo visokogradnja, Graevinska knjiga, Beograd, 1990. [3]BerteroD.R.,BerteroV.V. :Performance-based seismicengineering. EarthquakeEngineeringand Structural Dynamics 31 (3), 2002, pp. 627-652. [4]BriS.,Lainovi.:Seizmikadejstvaprema Evrokodu 8.Savetovanje"Evrokodovii jugoslovenskograevinskokonstrukterstvo", PosebnaizlaganjaEC5-EC8,Beograd,1-2april 1997, str. 101-114. [5]BriS.:DinamikadiskretnihsistemaOdabrana poglavlja. Studentski kulturni centar, Beograd, 1998.[6]EN1998Eurocode8:DesignofStructuresfor EarthquakeResistance,Part1:Generalrules, seismicactionsandrulesforbuildings,European CommitteeforStandardization,Brussels, December 2004. [7]Chopra, K.A.: Dynamic of Structures Theory and ApplicationstoEarthquakeEngineering.Prentice Hall, New Jersy, 2001. [8]Chopra,K.A.:Estimatingseismicdemandsfor performance-basedengineeringofbuildings.13th WCEE, Canada, 2004, Paper No. 5007. [9]EarthquakeResistantRegulations,AWorldList- 2004, IAEE. [10]Fajfar,P.:StructuralAnalysisinEarthquake Engineering, XII ECEE, London, IX/2002. [11]FEMA-273/274:NEHRPGuidelinesfortheSeismic RehabilitationofBuildings.FederalEmergency MenagementAgency,Washington,D.C.,October 1997. [12]FEMA356,PrestandardandCommentaryforthe SeismicRehabilitationofBuildings,American SocietyofCivilEngineers,FederalEmergency Management Agency, Washington D. C., 2000. [13]FEMA440,ImprovementofNonlinearStatic SeismicAnalysisProcedures,AppliedTechnology Council(ATC-55Project),FederalEmergency Management Agency, Washington D. C., 2005. [14]FischingerM.,FajfarP.:SeismicForceReduction Factor.InEarthquakeEngineering,A. Rutenberg (editor), Balkema, 1994, pp. 279-296. [15]FoliR.:Stanjeipravcirazvojaaseizmikog projektovanjanovihipostojeihzgrada.V.Banja, JDGK-Simpozijum,29.septembar-1.oktobar 2004., Uvodni referat, Knjiga 1, str. 129-148. [16]FoliR.,Lainovi.:InelasticDemandSpectra forGroundMotionsRepresentingDesign Earthquake.12thECEE,ElsevierScienceLtd., London, 2002., Paper Reference 742, pp. 1-10. [17]FoliR.,Lainovi.:Novemetodeanalizei projektovanjamostovauseizmikompodruju. asopis"Naegraevinarstvo"br.6,Beograd, 2004, str. 9-23. [18]Foli R., Lainovi, .: Uporedna analiza Evrokoda 8zaprojektovanjeseizmikiotpornihkonstrukcija sanekimnacionalnimodredbama.Graevinski kalendar 2003, SDGITJ, str. 429-485. [19]FoliR.,Petrovi,B.:Stanjeiperspektivezemljo-tresnoginenjerstva,JDGK,XIKongres,2002.V. Banja, Uvodni referat, Knjiga 1, str. 115-132. [20]Lainovi.,AlendarV.:Procenaseizmikih zahtevazaprojektovanjekonstrukcijaprema performansama.JDGK,12.kongres,Vrnjaka Banja,26.29.septembar2006.,Uvodnireferat, Knjiga 1, U-8, str. 131-142. [21]Lainovi.,BrujiZ.,RadujkoviA.:Structural ModelsandMethodsforDeterminingSeismic EffectsAccording toEC8.MASE,7th International Symposium, Vol. 2, Ohrid, 1997., pp. EC9/1-6. MATERIJALI I KONSTRUKCIJE51(2008)2 (25-40)39 [22]Lainovi.,FoliR.:Analizakonstrukcijazgrada nazamljotresnadejstva.asopis"Materijalii konstrukcije"br.3-4,JUDIMK,Beograd,2004,str. 31-64 [23]Lainovi.:Applicationofdamagespectrafor seismicdesignofbuildingstructures.25th YugoslavCongressonTheoreticalandApplied Mechanics, Novi Sad, June 1-3, 2005, pp. 1-16. [24]Lainovi.:Influenceofstructuralparameters on inelasticseismicresponse.INDIS2003,9th Nationaland3rdInternationalscientificmeeting, Novi Sad, 26-28. November 2003, pp. 245-254. [25]Lainovi.,FoliR.:Non-linearanalysisof seismicbehaviourofasymmetricinplanbuildings. 1st ECEES,3-8September2006,Geneva, Switzerland, Paper Number: 853, pp. 1-8. [26]Lainovi.:Nelinearnadinamikaanaliza konstrukcijaizloenihdejstvuimpulsnih zemljotresa.asopisMaterijaliikonstrukcijebr. 3-4, Beograd, 2002, str. 73-77. [27]Lainovi.:Procenaseizmikihperformansi graevinskihkonstrukcija.Graevinskifakultet, Subotica,ZbornikradovaGF15(YUISSN0352-6852), 2006, str. 222-227. [28]Lainovi.:Projektovanjeseizmikiotpornih konstrukcijazasnovanonaprocenioteenja. JDGK,11.Kongres,VrnjakaBanja,25-27. septembar 2002, Knjiga 2, str. 163-168. [29]Lainovi.:Viekriterijumskaanalizaseizmike otpornostikonstrukcijaarmiranobetonskihzgrada. JDGK,Simpozijum2004,V.Banja,29.IX1.X 2004.,Predavanjepopozivu,Knjiga1,P-4,str. 65-76. [30]Lainovi.,osiM.:Pushoveranaliza armiranobetonskih okvira. Simpozijum SGIT Srbije, Sokobanja, 13-16 maj 2008. [31]MirandaE.,BerteroV.V.:EvaluationofStrength ReductionFactorsforEarthquake-Resistant Design.EERI,EarthquakeSpectra,Vol.10,1994, pp. 347-359. [32]Newmark N.M., Hall W.J.: Earthquake Spectra and Design. EERI, Berkeley, California,1982.[33]PaulayT.,PriestleyM.J.N.:SeismicDesignof ReinforcedConcreteandMasonryBuildings.John Wiley & Sons, Inc., 1992. [34]PowellG.H.:NonlinearAnalysisPromiseand Pitfalls.TechnicalJournalofRAMInternational, November, 2000. [35]PowellG.H.:NonlinearAnalysisforthePracticing StructuralEngineer.StructuralEngineersWorld Congress, San Francisco, California, USA, July 19-23, 1998, CD-ROM, T101-2/1-8. [36]PriestlyM.J.N.:MythsandFallaciesinEarthquake Engineering Conflict between Design and Reality. Concrete International, February, 1997., pp. 54-63. [37]PriestlyM.J.N.:Performancebasedseismic design.12th WorldConferenceonEarthquake Engineering,Auckland,NewZeland,2000,CD-ROM 2831/1-22. [38]RadujkoviA.,RaetaA.,Lainovi.:Mogui mehanizmilomapetospratneramovske konstrukcije.JDGK,12.kongres,VrnjakaBanja, 26.-29. septembar 2006., Zbornik radova, Knjiga 2, T-6, str. 47-52. [39]RadujkoviA.,RaetaA.,Lainovi.:Seizmika analizaABkonstrukcijeprimenomnelinearne metode N2. DGKS, Simpozijum 2008, Zlatibor, 26.-29. septembar 2008., Zbornik radova, str. 8. [40]Seneviratna G.D.P.K.,KrawinklerH.:Modifications ofSeismicDemandsforMDOFSystems. 11WCEE,Acapulco,Mexico,1996,CD-ROM, 2129/1-8. [41]TassiosT.P.:TheseismicdesignStateof practice.Proceedingsofthe11ECEE,A.A. Balkema,Roterdam/Brookfield,1998.,CD-ROM, pp. 255-267. [42]VallesR.,ReinhornA.,KunnathS.,LiC.,Madan A.: IDARC2D version 4.0: A Computer Program for theInelasticAnalysisofBuildings,Rep.No NCEER-96-0010,StateUniversityofNewYorkat Buffalo, 1996. Napomena: RadjeuraenuokviruprojektaTP16017"Razvoji unapreenjeprojektovanjagraevinskihkonstrukcija izloenihseizmikimiincidentnimdejstvima",kojije finansiranodstraneMinistarstvanaukeRepublike Srbije.

MATERIJALI I KONSTRUKCIJE51(2008)2 (25-40) 40 REZIME SAVREMENE METODE SEIZMIKE ANALIZE KONSTRUKCIJA ZGRADA ore LAINOVI Ponaanje konstrukcija za vreme jakih zemljotresa je veomatekopouzdanopredvideti.Razlozizatosu stohastikaprirodazemljotresa,nedovoljnopoznati parametrilokacijeinedeterministikasvojstvakon-strukcije.Uradujedatprikazmetodaanalize konstrukcijanaseizmikadejstvaiprojektovanja seizmikiotpornihkonstrukcija.Zaanalizuuticaja zemljotresanagraevinskekonstrukcije,potrebnoje usvojiti odgovarajui dinamiki model i definisati pobudu uzavisnostiodnainaprikazaseizmikogdejstva. Seizmikaanalizasastojiseizproraunadinamikih karakteristikakonstrukcije,odreivanjaseizmikihsila naosnovumehanikihosobinakonstrukcijeobjektai zadatogpomeranjatlaiizproraunauticajaukon-strukciji usled dejstva indukovanih seizmikih sila. Kljunerei:seizmikizahtevi,zgrade,oteenje, aseizmikoprojektovanje,nelinearnaanaliza,N2 metoda, "pushover" analiza. SUMMRY MODERN METHODS FOR SEISMIC ANALYSIS OF BUILDING STRUCTURES ore LAINOVI Structuralbehaviourduringstrongearthquakesis verydifficultcertainlytoanticipateduetostochastic natureofanearthquake,deficientrecognizedsite parameters and random structural properties. The paper presentsareviewofstructuralanalysismethodsand designofbuildingstructuresforearthquakeresistance. For analysis of structures subjected to earthquake action it is necessary to adopt the proper dynamic model and to defineexcitationdependingonrepresentationofthe seismicaction.Theseismicanalysisconsistsofmodal analysis,determinationofseismicforcesbasedon structuralcharacteristicsandappliedearthquake motions, and numerical evaluation of dynamic response.Keywords:seismicdemands,buildings,damage, aseismicdesign,nonlinearanalysis,N2method, pushover analysis.