GENERATORI ANALOGNIH FUNKCIJA

1 UVOD Sastavni delovi analognih računara su elektronska kola kojim se realizuju različite funkcijske zavisnosti izlaznih veličina od ulaznih i ona se nazivaju generatorima analognih funkcija, a često i konvertorima. Pored toga, ova kola se koriste u mernim kolima za linearizaciju nelinearnih karakteristika mernih pretvarača, a imaju primenu i u brojnim telekomunikacionim kolima i sistemima za kompresiju signala. Praktično ne postoje ograničenja u pogledu funkcijskih zavisnosti koje se mogu realizovati generatorima analognih funkcija. Više signala je moguće sabirati, oduzimati, množiti konstantama ili ih medjusobno množiti i deliti, a moguće je integraljenje, diferenciranje, logaritmovanje, stepenovanje ulaznih signala. Za realizaciju ovakvih funkcijskih zavisnosti koriste se nelinearne karakteristike pasivnih i aktivnih elektronskih komponenata. Najpre su korišćene diode i tranzistori proizvedeni u bipolarnoj tehnici, ali sada se koriste i komponente proizvedene tehnologijama koje su kasnije razvijene. Ovde će biti reči o generatorima analognih funkcija sa bipolarnim i MOS komponentama. Svakako treba imati na umu da se u ovakvim elektronskim kolima koriste i operacioni pojačavači pa za njihovu preciznu analizu se moraju uzeti i realni parametri tih pojačavača (ofset napon i struje polarizacije, diferencijalno pojačanje, ulazna i izlazna otpornost itd). Pri upotrebi bipolarnih komponenata najčešće se koriste dioda i tranzistor. Činjenica da je zavisnost napona na diodi kao i napon izmedju baze i emitora tranzistora u aktivnom režimu nelinearna, zapravo logaritamska funkcija struje diode, odnosno kolektora omogućavaju njihovu primenu u generatorima funkcija. Za tranzistor koji radi u aktivnom režimu, kao i za diodu, koja se u tehnici integrisanih kola realizuje spajanjem baze i kolektora,

može se napisati sledeća zavisnost: u Vi

IV

i

IBE TC

ST

C

S

= ⋅ −

≅ ⋅ln ln1 ,

gde je VT termički napon, a IS inverzna struja zasićenja kolektorskog kola. Ovaj izraz se može koristiti u opsegu od oko šest dekada u okolini struje od 1µA. Pri malim strujama nastaju greške usled zanemarivanja potpunog uticaja struje IS, zapravo jedinice u prethodnom izrazu. Pri velikim strujama kolektora napon baza emitor postaje linearna funkcija, a ne logaritamska funkcija struje kolektora. Pored toga, korišćenjem ovog izraza ne uzimaju se u obzir otpornosti tela baze rB, emitora rE i kolektora rC, kao ni modulacija širine baze sa promenom napona uCE, odnosno Erly-jev efekt. Za preciznu analizu generatora analognih funkcija mora biti razmatrana i temperaturska zavisnost parametara tranzistora, a posebno temperaturska zavisnost termičkog napona VT i inverzne struje zasićenja kolektorskog spoja IS. Pri realizaciji generatora nekih analognih funkcija mogu se koristiti i MOS tranzistori, s obzirom da njihova struja drejna ima nelinearnu zavisnost od pobudnog napona na gejtu. U zavisnosti od oblasti rada, linearna ili oblast zasićenja, treba koristiti odgovarajuće izraze za struju drejna. U linearnoj (omskoj) oblasti, kada je UD<UG-UT struja drejna je data izrazom:

( )( ) ( )I I U U U U U UD DSS G T D S D S= ⋅ ⋅ − − − −

2

1

22 2 ,

gde su naponi sorsa i drejna u odnosu na osnovu označeni sa US i UD, respektivno, a sa IDSS

je označen izraz: I CW

LDSS p ox= ⋅ ⋅ ⋅1

2µ ' .

Medjutim, kada je sors vezan za podlogu, tj. kada je US=0 dobija se sledeći izraz za struju drejna u linearnoj oblasti:

60 ANALOGNA ELEKTRONIKA

( )I I U U U UD DSS G T D D= ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅

2

1

22 .

U oblasti zasićenja, kada je ispunjen uslov UD>UG-UT, važi sledeća zavisnost:

I IU

UD DSSG

T

= −

1

2

,

a kada se uzme u obzir da širina prelazne oblasti na spoju drejn-osnova, koja u stvari predstavlja osiromašenu oblast od tačke prekida kanala do drejna, nije konstantna ovaj izraz se modifikuje i izgleda:

( )I IU

UUD DSS

G

TD= −

+ ⋅1 1

2

λ ,

gde 1/λ odgovara Erly-jevom naponu kod bipolarnih tranzistora. Treba napomenuti da su u prethodnim izrazima svi naponi bili dati u odnosu na osnovu, odnosno US=USB, UD=UDB i UG=UGB.

2 GENERATOR LOGARITAMSKE FUNKCIJE Generator logaritamske funkcije je jedno od osnovnih nelinernih analognih elektronskih kola. Realizuje se korišćenjem bipolarnih komponenti, diode ili tranzistora, vezanih u kolu negativne povratne sprege invertujućeg operacionog pojačavača, s obzirom na već pomenutu njihovu logaritamsku zavisnost napona od struje. Osnovna šema generatora logaritamske funkcije koji je realizovan korišćenjem bipolarnog tranzistora prikazana je na slici 1.

Slika 1.

Koristeći uprošćeni izraz za zavisnost napona uBE od struje iC može se napisati izraz za izlazni napon kola sa slike 1. u obliku:

u u Vi

IV

u

R Io BE TC

ST

i

S

= − = − ⋅ = − ⋅ln ln1

, odnosno ( )u K K uo i= ⋅ ⋅1 2log ,

gde je koeficijent K1 dat izrazom: K VT1 2 3= − ⋅. i on odredjuje priraštaj izlaznog napona za datu promenu ulaznog napon; ukoliko se ulazni napon promeni za jednu dekadu

logaritamski nagib LS se može se predstaviti izrazom: LSK V

dB=

1

20,dok K2 predstavlja

logaritamski ofset i iznosi: KR IS

21

1= .

Pri projektovanju generatora logaritamske funkcije otpornik R1 treba odabrati tako da pri maksimalnom ulaznom naponu uimax struja kroz taj otpornik bude manja od maksimalne kolektorske struje tranzistora pri kojoj važi logaritamska zavisnost (ova struja je manja od maksimalno dozvoljene kolektorske struje tranzistora). S druge strane, vrednost otpornika R1 odredjuje minimalnu vrednost ulaznog napona uimin, jer minimalna struja kroz otpornik u tom slučaju mora biti bar 10 puta veća od struje polarizacije operacionog pojačavača IB. Pored ovoga, minimalnu vrednost ulaznog napona ograničavaju i termički šumovi na ulazu

GENERATORI ANALOGNIH FUNKCIJA 61

konvertora. Odnos maksimalne i minimalne vrednosti ulaznog napona definiše dinamiku signala na ulazu DRi, dok je dinamika signala na izlazu odnos maksimalne uomax i minimalne uomin vrednosti napona na izlazu. Odnos dinamika signala na izlazu i ulazu odredjuju koeficijent kompresije CR signala. Napon izmedju baze i emitora raste skoro linearno sa porastom kolektorske struje zbog pada napona na otpornosti tela baze i emitora. Efekat ove dve otpornosti može se predstaviti adekvatno jednim otpornikom rb u kolu emitora tranzistora logaritamskog konvertora (redna veza otpornosti emitora rE i preslikane otpornosti tela baze rB u emitorsko kolo), koja predstavlja ukupnu efektivnu vrednost otpornosti osnove.

2.1 Kompenzacija otpornosti osnove (tela baze) Na logaritamsku zavisnost izlaznog napona od ulaznog uticaj imaju otpornost tela baze i emitora, čija je ekvivalentna vrednost predstavljena otpornikom rb. Na slici 2 je prikazan način kompenzacije uticaja ove otpornosti na prenosnu karakteristiku logaritamskog pojačavača.

Slika 2. Vrednost otpornika R3 treba odabrati tako da ona ne povećava značajno efektivnu vrednost ekvivalentne otpornosti rb. Izlazni napon kola sa slike 2 dat je izrazom:

u r i u R i Vi

I

R

R R

r

Ruo b C be T

C

o

b= − − + = − ++

−

3 2

3

2 3 11ln .

Ukoliko je R3<<R2, uslov za kompenzaciju otpornosti tela baze dat je izrazom: R

R

r

Rb3

2 1

= .

Otpornost tela baze kod logaritamskog pojačavača sa PNP tranzistorom kompenzira se prema slici 3. Izlazni napon je u ovom slučaju dat izrazom:

uR

R ru

r

Ru r

R

RR io

bbe

bbe b C=

+− − + −

4

41

42

2

43 4 .

Uz uslov da je rb<<R4 uslov za kompenzaciju otpornosti tela baze je: R

R

r

Rb3

2 4

= .

62 ANALOGNA ELEKTRONIKA

Slika 3.

2.2 Temperaturna kompenzacija logaritamskog pojačavača Izlazni napon logaritamskog pojačavača temperatuno je zavisan, jer su i I0 - inverzna struja kolektorskog spoja i napon VT temperaturno zavisni. Temperaturna kompenzacija logaritamskog pojačavača može se izvršiti tako što se za otpornik R3 ili R4, na slici 4. uzme temperaturno zavisni otpornik. S obzirom da je izlazni napon dat izrazom:

u VR

R

u

V

R

Ro TR

= − +

1 3

4

1 2

1

ln

i da je ∂∂V

TT > 0 otpornik R4 mora imati pozitivni temperatuni koeficijent

∂∂R

T4 0>

ili

otpornik R3 negativni temperaturni koeficijent ∂∂R

T3 0<

.

Slika 4.

2.3 Stabilnost logaritamskog pojačavača Kada se koristi tranzistor sa uzemljenom bazom u kolu povratne sprege je nepogodniji od slučaja kada se koristi dioda (tranzistor sa spojenom bazom i kolektrorom), jer je koeficijent povratne sprege u tom slučaju veći od jedinice i kolo može biti nestabilno.

GENERATORI ANALOGNIH FUNKCIJA 63

Slika 5. Koeficijent povratne sprege u ovom slučaju iznosi:

βα

= = = = >=

e

uR g R

r

u

Vd

ou m

E T1 0 1 1

1 1.

Jedan od načina povećanja stabilnosti logaritamskog pojačavača ostvaruje se povećanjem izlazne otpornosti operacionog pojačavača vezivanjem otpornika na izlaz operacionog pojačavača, kao što je prikazano na slici 6.

Slika 6. Ubacivanjem otpornika RK smanjuje se koeficijent povratne sprege koji sada iznosi:

β =+

g RR

r

mK

b

1

1

1.

Drugi način povećanja stabilnosti je korišćenje kondenzatora CK vezanog izmedju invertujućeg ulaza operacionog pojačavača i njegovog izlaza. Na taj način se, zbog velikog naponskog pojačanja, kondenzator CK preslikava na ulaz paralelno otporniku R1 tako da koeficijent povratne sprege iznosi:

βα

=+r

R

sR C Ab K

1

1 01.

Slika 7.

Funkcija kružnog pojačanja A(s)β(s) ima dominantni pol koji je dat izrazom:

ω domKR C A

=1

1 0

.

Na taj način izvršena je kompenzacija logaritamskog pojačavača dominantnim polom. I na kraju, mogu biti kombinovana oba ova načina frekvencijske kompenzacije logaritamskog pojačavača, odnosno mogu biti povezani i otpornik RK i kondenzator CK prema slici 8.

64 ANALOGNA ELEKTRONIKA

Slika 8.

2.4 Integrisani logaritamski pojačavač INTERSIL 8048 Na slici 9. prikazana je šema integrisanog logaritamskog pojačavača sa odgovarajućim spoljašnim elementima.

Slika 9.

Izlazni napon logaritamskog pojačavača dat je izrazom:

u VR

R

i

ITC

REF0

4

3

12 303 1= − ⋅ ⋅ +

⋅. log .

Otpornici R6 i R7 služe za kompenzaciju ofset napona. Podešavanje se vrši tako što se kondenzator C premosti otpornikom R=10k i potenciometrom R6 podesi napon na pinu 7 da bude jednak nuli. Zatim se ukloni otpornik R i potenciometrom R7 podese jednake struje iC1=IREF=1mA. Potenciometrom R3 podešava se željeni nagib logaritamskog pojačavača.

3 GENERATOR ANTILOGARITAMSKE FUNKCIJE Prenosna funkcija antilogaritamskog (eksponencijalnog) pojačavača data je izrazom:

( )u K K u0 1 2 1= exp .

Osnovno kolo antilogaritamskog pojačavača prikazano je na slici 10.

GENERATORI ANALOGNIH FUNKCIJA 65

Slika 10.

Izlazni napon se može predstaviti izrazom:

u R Iu

VT0 2 0

1= −

exp .

Uticaj Erlyjevog efekta može se i u ovom slučaju zanemariti, jer je napon izmedju kolektrora i baze jednak nuli. Uticaj emitorske otpornosti i otpornosti tela baze (zamenjene ekvivalentnom otpornošću u emitorskom kolu rb) može se zanemariti izborom odgovarajućeg otpornika

R2>>rb, i tada je izlazni napon: u u r i u ru

Rube b C be b be1

0

2

= − − = − − ≈ − .

Slika 11.

3.1 Temperaturna kompenzacija antilogaritamskog pojačavača S obzirom da su i I0 i VT temperaturno zavisni to je i izlazni napon zavisan od temperature. Temperaturna kompenzacija antilogaritamskog pojačavača izvodi se na način prikazan na slici 12.

Izlazni napon ovog antilogaritamskog pojačavača dat je izrazom:

u VR

R

R

R R

u

VRT

00

1

4

3 4

1= −+

exp .

Slika 12. Temperaturna zavisnost napona VT se može kompenzovati temperaturno zavisnim otpornikom R3 ili R4. Još jedna šema temperaturno kompenzovanog antilogaritamskog pojačavača prikazana je na slici 13.

Izlazni napon za ovo kolo je dat izrazom:u VR

R

R

R R

u

VRT

00

1

4

3 4

1=+

exp .

66 ANALOGNA ELEKTRONIKA

Slika 13. Stabilnost antilogaritamskog pojačavača nije toliko kritična, jer je koeficijent povratne sprege jednak jedinici i ukoliko je prenosna funkcija samog operacionog pojačavača stabilna i antilogaritamski pojačavač će biti stabilan.

Slika 14.

3.2 Integrisani antilogaritamski pojačavač INTERSIL8049 Na slici 15. prikazana je šema integrisanog antilogaritasmkog pojačavača INTERSIL 8049. Potrebno je da su tranzistori veoma blizu jedan drugom kako bi bili približno na istoj temperaturi.

Slika 15.

4 GENERATORI SIGNALA MNOŽA ČKOG TIPA Ukoliko se ukupna emitorska struja diferencijalnog pojačavača kontroliše naponom uy onda će pojačanje diferencijalnog ulaznog signala ux biti zavisno od napona uy. Prema tome, kolo sa slike 16 može služiti kao analogni množač koji množi napone ux i uy samo u dva kvadranta.

GENERATORI ANALOGNIH FUNKCIJA 67

Slika 16 Tranzistori T3 i T4 predstavljaju strujno ogledalo, tako da je ukupna emitorska struja iee diferencijalnog pojačavača, koga čine tranzistori T1 i T2, jednaka struji kroz otpornik Ry pa se

stoga može pisati sledeća jednačina: iu u

Reey be

y=

− 3 .

Naravno, da bi ova struja tekla ulazni napon uy mora biti pozitivan i veći od napona izmedju baze i emitora tranzistora T3, odnosno T4, što znači da ovaj množač može množiti u najviše dva kvadranta. Ako je ispunjen uslov: u uy be>> 3 , gornja jednačina se može napisati

kao: iu

Reey

y= , pa se kaže da kolo strujnog ogledala sa slike predstavlja konvertor napona u

struju, odnosno izlazna struja strujnog ogledala iee kontrolisana je ulaznim naponom uy. S druge strane, ukupna emitorska struja diferencijalnog pojačavača može se napisati kao: i i i i iee e e c c= + ≅ +1 2 1 2. Rešavanjem ove jednačine po ic1, odnosno po ic2 dobijaju se sledeći izrazi:

ii

i

i

cee

c

c

12

11

=+

i ii

i

i

cee

c

c

21

21

=+

.

Za ulazni napon diferencijalnog pojačavača, koji svakako može biti i pozitivan i negativan, može se napisati sledeća jednačina: u u ux be be= −1 2 , i ukoliko se koristi poznati izraz za napon izmedju baze i emitora tranzistora:

u Vi

I

kT

q

i

J Abe Tc

cs

c

cs

= ⋅

= ⋅

⋅

ln ln ,

za ulazni napon, pod uslovom da su tranzistori T1 i T2 identični, odnosno da imaju jednake inverzne struje zasićenja kolektorskih spojeva Ics, tj. imaju jednake površine emitorskih spojeva A i iste gustine inverznih struja zasićenja kolektorskih spojeva Jcs, može se napisati

sledeća jednačina: u Vi

ix Tc

c

= ⋅ ln 1

2

.

Iz ove jednačine može se lako doći do sledećih izraza: i

iec

c

u

Vx

T1

2

= i i

iec

c

u

Vx

T2

1

=−

.

Korišćenjem poslednja dva izraza dobija se: ii

ec

eeu

Vx

T

1

1

=+

− i i

i

ec

eeu

Vx

T

2

1

=+

.

Izlazni napon diferencijalnog pojačavača dat je izrazom:

( )u R i io C c c= ⋅ −1 2 , tj. u Ri

e

i

eo C

eeu

V

eeu

Vx

T

x

T

= ⋅+

−+

−

1 1

.

68 ANALOGNA ELEKTRONIKA

Kako je: tanhx

e ex x2

1

1

1

1

=

+−

+− ,

izlazni napon se može je oblika:u R iu

VC eex

T0 2

= ⋅ ⋅⋅

tanh ,tj. u R

u

R

u

VC

y

y

x

T0 2

= ⋅ ⋅⋅

tanh .

Ukoliko se ulazni naponi odaberu tako da je u Vx T<< , izlazni napon je proporcionalan proizvodu ulaznih napona:u K u uo x y= ⋅ ⋅ , sa konstantom proporcionalnosti:

KR

R VC

y T

=⋅ ⋅2

.

Kao što je već rečeno, ulazni napon ux može biti i pozitivan i negativan, a drugi ulazni napon uy samo pozitivan to kolo sa slike 16, sa ispunjenim uslovima, predstavlja analogni množač koji množi u dva kvadranta. Treba napomenuti da se opseg ulaznog napona ux u kome je izlazni napon linearno zavistan od ovog ulaznog napona može povećati ubacivanjem otpornika RE na red sa svakim od emitora tranzistora u diferencijalnom pojačavaču, kao što je prikazano na slici 17. Za ovo kolo se može napisati sledeća jednačina:

( ) ( )u u R i R i u u u R i ix be E c E c be be be E c c= + ⋅ − ⋅ − = − + ⋅ −1 1 2 2 1 2 1 2 ,

i ukoliko je drugi član u poslednjem izrazu mmnogo manji od prvog može se pisati približni izraz: u u ux be be= −1 2 . Medjutim, ubacivanjem otpornika RE izvršena je degradacija emitora, a sa tim je smanjena transkonduktansa tranzistora koja sada iznosi:

gg

g Rmem

m E=

+ ⋅1, gde je: g

i

Vmee

T

=2

.

Slika 17. U slučaju da je: g Rm E⋅ >> 1

transkonduktansa tranzistora sa emitorskom degradacijom je približno: gRme

E= 1

.

Sada se kolektorske struje tranzistora T1 i T2 mogu aproksimirati linearnom

zavisnošću od ulaznog napona: ii

g ucee

me x1 2= + ⋅ i i

ig uc

eeme x2 2

= − ⋅ .

U slučaju identičnih tranzistora možemo pisati:

u V

g u

ig u

i

x T

me x

ee

me x

ee

= ⋅+

⋅

−⋅ln

12

12

.

Imajući u vidu prirodu funkcije ln mora biti ispunjen uslov:

GENERATORI ANALOGNIH FUNKCIJA 69

− <⋅

<12

1g u

ime x

ee, odnosno − < <

i

gu

i

gee

mex

ee

me

2 2

Znači, ulazni napon može biti i veći od VT apsolutna vrednost ulaznog napona mora

biti: u Ri

x Eee<< ⋅2

.

Pod odredjenim uslovima podkolo kola sa slike 18, čiji je ulazni napon uy a izlaz vezan za emitore tranzistora u diferencijalnom pojačavaču predstavlja konvertor napona u struju.

Za ulazne krajeve operacionog pojačavača i izlaznog čvora podkola koje je vezano za emitore diferencijalnog pojačavača sa slike 18 mogu se napisati sledeće jednačine metodom potencijala čvorova:

u u

R

u u

Rie b e aee

−+

−− =

5 40 ,

u u

R

u

Ra e a−

+ =4 3

0 ,

u u

R

u u

Ra y a b−

+−

=1 2

0

Slika 18.

Iz gornje jednačine se dobija izraz za struju iee: iR R

uu

R

u

Ree ea b= +

⋅ − −1 1

4 5 4 5,

dok je veza izmedju napona ue i ua u obliku: uR

Rue a= +

⋅1 4

3,pa je izraz za ukupnu

emitorsku struju: iR

R Ru

R

R

R

R

R

R

R

R

R Ruee y e= ⋅ + ⋅ + −

⋅

+

⋅2

1 5 5

5

3

4

3

2

1

3

3 4

1.

Da bi posmatrano podkolo predstavljalo konvertor napona u struju izlazna struja mora biti funkcija samo ulaznog napona uy, što znači da član uz napon ue mora biti jednak nuli,

70 ANALOGNA ELEKTRONIKA

odnosno elementi u kolu moraju zadovoljiti sledeći uslov: R

R

R

R

R

R5

3

4

3

2

10+ − = ,i tada je

ukupna emitorska struja diferencijalnog pojačavača data izrazom: iR

R Ruee y= ⋅2

1 5.

Koristeći rezultate iz prethodnog zadatka, uz predpostavku da su svi tranzistori identični i da imaju veliko strujno pojačanje, tj. da su bazne struje zanemarljivo male, kolektorske struje tranzistora u diferencijalnom pojačavaču se mogu napisati u sledećem

obliku: ii

ec

eeu

Vx

T

1

1

=+

−, i

i

ec

eeu

Vx

T

2

1

=+

.

Za čvorove u kojima su vezani kolektori tranzistora iz diferencijalnog pojačavača i ulazne priključke operacionog pojačavača vezanog za izlazni čvor kola sa slike 18 mogu se napisati sledeće jenačine metodom potencijala čvorova:

u U

R

u u

Ric CC

C

c cc

1 1

01 0

−+

−+ = ,

u U

R

u u

Ric CC

C

c cc

2 2

02 0

−+

−+ = ,

u u

R

u u

Rc c c o−

+−

=2

0 00 ,

u u

R

u

Rc c c−

+ =1

0 00

Rešavanjem ovog sitema jednačina dobija se:

( )u u uR R

R Ri io c c

C

Cc c= − = −

⋅+

⋅ −1 20

01 2 , tj. u

R R

R Ri

e eo

C

Cee u

V

u

Vx

T

x

T

= −⋅+

⋅ ⋅+

−+

−

0

0

1

1

1

1

.

Uzimajući u obzir napred datu jednakost, izlazni napon može predstaviti u obliku:

uR R

R R

R

R Ru

u

VC

Cy

x

T0

0

0

2

1 5 2= −

⋅+

⋅⋅

⋅ ⋅⋅

tanh .

Ukoliko je ulazni napon: u Vx T<< ⋅2 izlazni napon je proporcionalan proizvodu ulaznih napona:

u K u uo x y= − ⋅ ⋅ , gde je KR R

R R

R

R R VC

C T

=⋅+

⋅⋅

⋅⋅

0

0

2

1 5

1

2.

Kao što je već rečeno, ulazni naponi ux i uy mogu biti i pozitivni i negativni tako da kolo sa slike predstavlja analogni množač koji množi ulazne napone u sva četiri kvadranta. Kada je otpornik R4=0 naponi ua i ue su jednaki pa je dovoljno pisati samo dve

jednačine: u u

R

u

Rie b eee

−+ − =

5 30 ,

u u

R

u u

Re y e b−

+−

=1 2

0 .

Eliminacijom napona ub iz poslednje dve jednačine dobija se izraz za struju iee

uobliku: iR

R Ru

R

R

R

R

Ruee y e= ⋅ + ⋅ −

⋅2

1 5 5

5

3

2

1

1.

Da bi posmatrano podkolo predstavljalo konvertor napona u struju izlazna struja mora biti funkcija samo ulaznog napona uy, što znači da član uz napon ue mora biti jednak nuli. U ovom slučaju elementi u kolu moraju zadovoljiti uslov:

R

R

R

R5

3

2

10− = .

GENERATORI ANALOGNIH FUNKCIJA 71

pa da posmatrano podkolo predstavlja konvertor napona u struju i tada ukupna emitorska struja ima istu funkcijsku zavisnost od ulaznog napona uy:

iR

R Ruee y= ⋅2

1 5.

Kolo sa slike 19 generiše funkcija tanh-1(ux) i ako se ono primeni u kolu sa slike 20 može se proširiti opseg linearnosti.

Slika 19 Prilikom ove analize pretpostavićemo da su svi tranzistori identični i da imaju veliko strujno pojačanje, tj. da su bazne struje zanemarljivo male, a da su emitorske i kolektorske struje približno jednake. Za kolo sa slike 19 može se napisati sledeća jednačina: u u R i R i ux be Ex c Ex c be= + ⋅ − ⋅ −1 1 2 2, odnosno, ( )u u u R i ix be be Ex c c= − + ⋅ −1 2 1 2 ,

Slika 20.

Ako je ispunjen uslov da je: Ri

VExeex

T⋅ >>2

, možemo pretpostaviti da su naponi

baza-emitor tranzistora T1 i T2 približno jednaki pa se ceo ulazni napon rasporedjuje na emitorske otpornike i može se pisati sledeća jednačina: ( )u R i ix Ex c c= ⋅ −1 2 .

Za kolektorske struje ovih tranzistora se može napisati i sledeći izraz: i i ic c eex1 2+ = , Rešavanjem poslednje dve jednačine za kolektorske struje posmatranih tranzistora dobijaju se sledeći izrazi:

( )ii u

R

ixc

eex x

Ex

eex1 2 2 2

1= +⋅

= ⋅ +

72 ANALOGNA ELEKTRONIKA

i ( )ii u

R

ixc

eex x

Ex

eex2 2 2 2

1= −⋅

= ⋅ − ,

gde je sa x označen izraz: xu

R ix

Ex eex=

⋅.

Izlazni napon kola sa slike 19 dat je izrazom:

u u u Vi

IV

i

Ix be be Tc

csT

c

cs

' ln ln= − = ⋅

− ⋅

3 4

3

3

4

4

.

U slučaju identičnih tranzistora T3 i T4, izlazni napon je:

u Vi

iV

i

ix Tc

cT

c

c

' ln ln= ⋅

= ⋅

3

4

1

2

,

uzimajući u obzir kaskadnu vezu tranzistora T1 i T3, odnosno T2 i T4. Izraz za izlazni napon je prema tome:

u Vx

xx T' ln= ⋅

+−

1

1,

pa koristeći poznatu relaciju:

( )tanh ln− = ⋅ +−

1 1

2

1

1x

x

x

izlazni napon ima konačan oblik:

( )u V x Vu

R ix T Tx

Ex eex

' tanh tanh= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅⋅

− −2 21 1 .

Poznato je da x može biti u granicama: − < <1 1x , pa se mogu odrediti granice mogućih promena ulaznog napona i one su date sledećim uslovom: − ⋅ < < ⋅R i u R iEx eex x Ex eex. Prilikom analize kola sa slike 20 najpre treba naći zavisnost izlaznog napona uo od ulaznih napona ux’ u uy’, koji predstavljaju izlazne napone dva identična kola čija je šema prikazana na slici 19. Napon ux’ je već dat, a na sličan način za napon uy’ se može napisati izraz:

u Vu

R iy T

y

Ey eey

' tanh= ⋅ ⋅⋅

−2 1 ,

gde napon uy mora zadovoljiti uslov: − ⋅ < < ⋅R i u R iEy eey y Ey eey.

Ovom prilikom pretpostavićemo, takodje da su svi tranzistori identični i da imaju veliko strujno pojačanje, tj. da su bazne struje zanemarljivo male. Koristeći ranija izvodjenja mogu se pisati sledeći izrazi za kolektorske struje svih tranzistora:

ii

e

cee

u

Vy

T

1

1

=

+−

' , ii

e

cee

u

Vy

T

2

1

=

+

' ,

ii

e

i

e e

cc

u

V

ee

u

V

u

V

x

T

x

T

y

T

31

1 1 1

=

+

=

+

⋅ +

− − −' ' ' , i

i

e

i

e e

cc

u

V

ee

u

V

u

V

x

T

x

T

y

T

41

1 1 1

=

+

=

+

⋅ +

−' ' ' ,

GENERATORI ANALOGNIH FUNKCIJA 73

ii

e

i

e e

cc

u

V

ee

u

V

u

V

x

T

x

T

y

T

52

1 1 1

=

+

=

+

⋅ +

' ' ' , ii

e

i

e e

cc

u

V

ee

u

V

u

V

x

T

x

T

y

T

62

1 1 1

=

+

=

+

⋅ +

− −' ' ' .

Izlazni napon diferencijalnog pojačavača dat je izrazom: ( )u R i io C c c= ⋅ −35 46 ,

gde su struje ic35 i ic46 date izrazima: i i ic c c35 3 5= + , i i ic c c46 4 6= + . Izlazni napon posle zamene izraza za struje ic3, ic4, ic5 i ic6 postaje:

u Ri

e e e

Ri

e e e

o Cee

u

V

u

V

u

V

Cee

u

V

u

V

u

Vx

T

y

T

y

T

x

T

y

T

y

T

= ⋅

+

⋅

+

−

+

− ⋅

+

⋅

+

−

+

− − −

1

1

1

1

1 1

1

1

1

1

' ' ' ' ' ' ,

odnosno,

u R i

e e e e

o C ee u

V

u

V

u

V

u

Vx

T

x

T

y

T

y

T

= ⋅ ⋅

+

−

+

⋅

+

−

+

− −

1

1

1

1

1

1

1

1

' ' ' ' .

Izlazni napon se na kraju može predstaviti izrazom:

u R iu

V

u

Vo C eex

T

y

T

= ⋅ ⋅⋅

⋅

⋅

tanh tanh

' '

2 2,

odnosno,

uR i

R i R iu uo

C ee

Ex eex Ey eeyx y=

⋅⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ .

Izlazni napon je proporcionalan proizvodu ulaznih napona ux i uy, koji naravno moraju zadovoljiti postavljene uslove. Kako ovi naponi mogu biti i pozitivni i negativni, kaže se da analogni množač sa slike 20 množi u sva četiri kvadranta. Na slici 21 prikazana je šema integrisanog transkonduktansnog analognog množača koji množi u sva četiri kvadranta.

74 ANALOGNA ELEKTRONIKA

Slika 21 Svi tranzistori su identični i imaju veliko strujno pojačanje, tj. bazne struje su zanemarljivo male, a emitorske i kolektorske struje su približno jednake. Za invertujući i neinvertujući ulaz operacionog pojačavača vezanog na izlazu kola sa slike 21 mogu se napisati sledeće jednačine:

u U

R

u u

Ric CC

C

c oc

−+

−+ =

035 0

u U

R

u

Ric CC

C

cc

−+ + =

046 0 ,

čijim se rešavanjem dobija: ( )u R i io c c= ⋅ −0 35 46 .

Koristeći predhodne rezultate izlazni napon se može dati u sledećem obliku:

u R iu

V

u

Veex

T

y

T0 0 2 2

= ⋅ ⋅⋅

⋅

⋅

tanh tanh

'

,

gde je:

u Vu

R ix Tx

Ex eex

' tanh= ⋅ ⋅⋅

−2 1 .

Ukoliko ulazni naponi zadovoljavaju sledeće uslove: − ⋅ < < ⋅R i u R iEx eex x Ex eex − ⋅ < < ⋅R i u R iee y ee,

izlazni napon je približno:

uR i

R i Vu uo

ee

Ex eex Tx y=

⋅⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅0

2.

U integrisanom transkonduktansnom množaču elementi su tako odabrani da je: uu u

ox y=

⋅10

,

i njegova blok šema prikazana je na slici 22.

Slika 22

5 VIŠEFUNKCIONALNI GENERATORI SIGNALA Korišćenjem nelinearnih karakteristika tranzistora mogu se dobiti kola za množenje i deljenje analognih signala, koja se koriste u analognim računarima. Prenosna funkcija višefunkcionalnog generatora signala može se predstaviti sledećom jednačinim:

u uu

uyz

x

m

0 =

.

Eksponent m se može podesiti izborom odgovarajućih otpornika vezanih izmedju spoljašnih priključaka ua, ub i uc. Na slici 23 prikazana je šema integrisanog višefunkcionalnog konvertora. Zavisnost izlaznog napona uo od ulaznih napona ux, uy i uz može se menjati različitim vezivanjem spoljašnih otpornika za podešavanje eksponenta m.

GENERATORI ANALOGNIH FUNKCIJA 75

Slika 23

Ukoliko su svi tranzistori u kolu sa slike 23 identični, što se lakše izvodi u integrisanoj tehnici, za ovo kolo se mogu napisati sledeći izrazi:

u u u Vi

ib bez bex Tz

x

= − = ⋅ ln ,

u u u Vi

ic beo bey To

y

= − = ⋅ ln

a s obzirom na različite mogućnosti povezivanja spoljačnih priključaka može se napisati sledeća relacija: u m uc b= ⋅ . Koristeći navedene izraze dobija se:

i ii

io yz

x

m

= ⋅

Ako su operacioni pojačavači idealni, kolektorske struje svih tranzisora date su kao:

iu

Ri

u

Ri

u

Ri i

u

Roo

ox

x

xy

y

yz

z

z= = = =; ; .

Zamenom ovih struja dobija se izraz za izlazni napon višefunkcionalnog konvertora u obliku:

uR

R

R

Ru

u

uoo

y

x

y

m

yz

x

m

= ⋅

⋅ ⋅

,

Usvajanjem Ro=Rx=Ry=Rz izlazni napon postaje:

u uu

uo yz

x

m

= ⋅

.

Eksponent m predstavlja odnos napona uc i ub, pa se za različite slučajeve povezivanja spoljašnih otpornika označenih na slici 23 sa a), b) i c) može dati sledećim izrazima:

76 ANALOGNA ELEKTRONIKA

.

a m

b mR

R R

c mR R

R

)

)

)

=

=+

<

=+

>

1

1

1

2

1 2

3 4

3

Višefunkcionalni konvertor se predstavlja blok dijagramom sa slike 24.

Slika 24 Kontinualna promena eksponenta m može se postići vezivanjem jednog potenciometra i dva otpornika prema slici 25.

U zavisnosti od položaja potenciometra RA, naponi ub i uc mogu se dati sledećim

izrazima: uR

R k Rub

B

B Aa=

+ ⋅⋅ , ( )u

R

R k Ruc

B

B Aa=

+ − ⋅⋅

1

Eksponent m je u ovom slučaju:

( )mu

u

R k R

R k Rc

b

B A

B A= =

+ ⋅+ − ⋅1

,

i kreće se u granicama od (potenciometar u krajnje levom položaju - k=0):

mR

R RB

B Amin =

+

do (potenciometar u krajnje desnom položaju - k=1):

mR R

RB A

Bmax =

+.

Slika 25 Slika 26 Vrednost eksponenta m kod višefunkcionalnog množača moguće je kontrolisati jednosmernim naponima E1 i E2 na način koji je prikazan na slici 26. Za ovo kolo može se napisati:

uE u

ba=

⋅1

10 u

E uc

a=⋅2

10,

GENERATORI ANALOGNIH FUNKCIJA 77

pa je eksponent m dat izrazom: mu

u

E

Ec

b= = 2

1.

Kao što je ranije pomenuto, za dobijanje identičnih tranzistora i temperaturno nezavisnih prenosnih funkcija koriste se integrisana kola. Jedno od takvih nosi oznaku MAT-04 i ono ima podešene ofset napone tranzistora do 200µV i strujna pojačanja β do 2%. Korišenjem tranzistora iz ovog integrisanog kola mogu se realizovati različite zavisnosti izlaznog od ulaznih napona. U nastavku će biti prikazane neke od mogućih realizacija. Kolo na slici 27 realizuje prenosnu funkciju koja predstavlja moduo ulaznih napona.

u Ru

R

u

RoA B=

+

2

1

2

3

2

.

Slika 27 Kolo sa slike 28 ima izlazni napon koji je jednak kvadratu ulaznog napona:

uR

I

u

RoREF

=

2 1

1

2

Slika 28

Na slici 29 je prikazano kolo koje realizuje kvadratni koren ulaznog napona

uR

RI uo REF= 2

2

11

78 ANALOGNA ELEKTRONIKA

Slika 29