7/21/2019 0611-076576596 meggoldusok

1/22

88 A hromszg nevezetes vonalai s krei

I

611. A szerkeszts: 1 O kzppont R sugar k kr, benne c hosszsg hr"A; B.2 AB Thalsz krekT. 3 B kzppontmb sugar kr"kB. 4 kB +kT= Ti. 5 A Ti +k = Ci.Nincs megolds, hac > 2Rvagymb >c; egy megolds van, hamb =c; kt megolds, hamb savagyma >c. 1 egyenl szrhromszget kapunk, ha ma =sa s c>ma. 2-2 egybevg megoldst kapunk, ha ma < sa < c

vagyma < c

7/21/2019 0611-076576596 meggoldusok

2/22

Hromszgek szerkesztse (II. rsz) 89

I619. A szerkeszts: 1 ma hosszsg szakasz"A; T. 2 T-ben merleges AT-re"f.

3 A kzppontfa sugar kr"kA. 4 kA +f=P. 5 AP-reA-ban2

a s2

-aJ

L

KK

N

P

OO szg felvte-

le "b sc flegyenesek. 6 b +f= C sc +f=B. 0; 1 vagy 2 megolds lehet.620. A szerkeszts: 1 ma hosszsg szakasz"A; T. 2 T-ben merleges AT-re"f. 3 Akzppontfa sugar kr"k1. 4 k1 +f=P. 5 A kzppontb sugar kr"k2. 6 k2 +f= C.7 PAC ellentettjtA-banAP-re felmrni"c flegyenes. 8 c +f=B. 0 vagy 1 egyenl szrhromszg vagy 2 egybevg hromszg vagy 2-2 egybevg hromszg lehet a megolds.621. A szerkeszts: 1 ma hosszsg szakasz"A; T. 2 T-ben merleges AT-ra"a.3 A kzppont c sugar kr"kA. 4 kA +a =B. 5 ABT= b szgfelez flegyenese f.

6 f-reB-blfb felvtele"P. 7 e(P;A ) + e(B; T) = C. 0; 1 vagy 2 megolds lehetsges.622. A szerkeszts: 1c szg felvtele"C; a; b. 2 a-val prhuzamos ma tvolsgra"f.3 f+b =A. 4c szgfelez flegyenesre C-bl fc hossz szakasz"P. 5 e(A; P) +a =B.0 vagy 1 megolds lehet.623. Felhasznljuk: a slypont a slyvonal cscstl tvolabbi harmadolpontja. Aszerkeszts:

1 ; ;c s s

2 3 3

2c a"AF1S3. 2 F1S-re S-blF1-gyel ellenttes oldalra

s

3

2 c szakasz"C. 3 A t-

krkpe F1-re B. Nincs megolds, ha az AF1S3-re nem teljeslnek a hromszg-egyenltlen-sgek.

624. Tkrzzk az SBC3-et azFa felezspontra" SlCB3; ; ;SS SF s S B SC s2 3

2

3

2a a c= = = =l l

.SB s3

2b= A szerkeszts: 1 ; ;s s s3

2

3

2

3

2a b c & SSlB3. 2 Tkrzzk Sl-t S-re"A.

3 AB szakasz felezpontja"Fc. 4 SFc-re S-bl indulva Fc-vel ellenttes oldalon s32

c

felvtele"C. Nincs megolds, ha SSlB3-re nem teljeslnek a hromszg-egyenltlensgek.625. A szerkeszts: 1 ma hosszsg szakasz"A, Ta. 2 Ta-ban merleges ATa-ra"a.3 A kzppont c sugar kr"kA. 4 kA +a =B. 5 mc tvolsgra prhuzamosAB-vel"f.6 f+a = C. Nincs megolds, hac < ma, kt egybevg hromszg lehet, ha c =ma s kt-ktegybevg hromszg akkor, hac > ma.626. A szerkeszts: 1 AB szakasz Thalsz kre"kT. 2 e(A;P) +kT= C2; e(B;P) +kT= C1.0; 1 vagy 2 megolds van.627. A szerkeszts: 1 PQ Thalsz kre"kT. 2 mc tvolsgra prhuzamos c-vel"f.3 f+kT= C. 4 e(C;P) +c =A; e(C; Q) +c =B. 0; 1 vagy 2 megolds lehet.628. A szerkeszts: 1 PQ Thalsz kre"kT. 2 kT+k =Mi. 3 e(Mi;P) +k =Ni;e(Mi; Q) +k =Ri. 0; 1 vagy 2 megolds lehet.

624. 627. 628.

7/21/2019 0611-076576596 meggoldusok

3/22

629. a) A szerkeszts: 1 O0 kzppont r0 sugar kr"k. 2 k tmr egyenese"g;

g +k =F. 3 F-ben merlegesg-re"e. 4 F-bl mindkt irnybac

2hossz szakasz felvtele

az e egyenesen"A; B. 5 A-bl rint k-hoz"f. 6 g +f= C. Nincs megolds, ha c # 2r0.b)A szerkeszts: 1c-szg felvtele"C; f; g. 2c szgfelezje"fc. 3 r0 tvolsgraprhuzamos g-vel"e. 4 e +fc = Oo. 5 Oo kzppont r0 sugar kr"k. 6 k-nak fc -val

val C-tl tvolabbi metszspontja"F. 7 F-ben merleges fc-ra"h. 8 h +f=A; h +g =B.Minden c

7/21/2019 0611-076576596 meggoldusok

4/22

Paralelogrammk 91

I

640. 1. eset: A bels szgfelezk ngyszget hatrolnak. f1 = 180 - a : 2 - d : 2 = 180 -

- (a+b) : 2 = 180- 180

: 2 = 90

. f2 = 180- d : 2 - c : 2 = 90

s f3 = 180-b : 2 - c : 2 == 90& f4 = 90&A ngyszg tglalap.

2. eset: fa s fc egybeesik, ezrt AC szimmetriatengely&ABCD rombusz&fb s fd is tllesz&A szgfelezk egy ponton haladnak t.641. A kls szgfelezk mindig meghatroznak egy ngyszget. 2f+ a= 180& f== (180 - a) : 2 s fl = f, mert cscsszgek. 2{+b= 180&{= (180 - b) : 2 s {l = {, mertcscsszgek. fl +{l = (180 -a) : 2 + (180 -b) : 2 = (360 - (a+b)) : 2 = (360 - 180) : 2 == 90&~= 90. Hasonlan belthat, hogy brmely kt szomszdos kls szgfelez szge90.642. 1. eset: Szomszdos cscsok szgfelezi&mindig ltrejn ngyszg. a : 2 +b : 2 == (a+b) : 2 = 90&~= 180 - 90 = 90.fa 9fal sfb9fbl&A ngyszg minden szge 90.&&Tglalap.2. eset: tellenes cscsok szgfelezi. 1 Ha a paralelogramma rombusz, akkorfa /fc& nincsngyszg. 2 Ha a paralelogramma nem rombusz, akkorfa !fc&fa ifc sfa 9 fal&fc 9fal s

fc9

fcl&

fa9

fcl&

a ngyszg minden szge derkszg, ezrt tglalap.643. a)A paralelogramma szemkzti oldalai egyenlk.&A kt paralelogramma oldalai meg-egyeznek, b1 = 180 - a=b2&A kt paralelogramma szgei megegyeznek.&Egybevgk.b) Kt oldal s egy tl egy hromszget alkot, amelyek a kt paralelogrammban egybevgk.A paralelogrammt tlja kt kzppontosan szimmetrikus hromszgre bontja. Az egybevghromszgekbl azonos eljrssal egybevg paralelogrammkat kapunk.c) a;e/2;f/2 egyrtelmen meghatroz egy hromszget. Ennek a hromszgnek a tkrkpeaz tlk metszspontjra egyrtelmen meghatrozza a paralelogrammt.d) e/2;f/2; f egyrtelmen meghatroz egy hromszget. Ennek a hromszgnek a tkrkpeaz tlk metszspontjra egyrtelmen meghatrozza a paralelogrammt.644. a) Igen. b) Igen. Egyenl szr hromszget tkrznk valamelyik szr felezpontjra.c) Igen. Egyenl oldal hromszget tkrznk valamelyik oldal felezpontjra. d) Ha a =evagyb =e, akkor az a;b;e oldal hromszgben kt 90-os szg lenne, ami nem lehet. Nincsilyen tglalap.645. MazABCD paralelogramma tkrkzppontja, azM-en thalad egyenes AB-tE-ben,CD-tF-ben metszi. E s F, A s C, illetve B s D egyms tkrkpei, ezrt AEFD ngyszgtkrkpe CFEB ngyszg s a kzppontos tkrzs egybevgsgi transzformci.646. a) Tengelyesen szimmetrikus paralelogrammk: rombuszok, tglalapok, ngyzetek.b) Minden paralelogramma kzppontosan szimmetrikus.647. Az tlk M metszspontjn thalad egyenes AB-t E-ben, CD-t F-ben metszi. M-re

vonatkoz kzppontos szimmetria miatt: AE = 7 cm&FC = 7 cm&DF= 4,5 cm&EB == 4,5 cm&AB =AE +EB = 7 cm + 4,5 cm& , .AB cm11 5=648. LegyenAB felezpontjaE; CD felezpontjaFs azFE kzpvonal s azAC tl met-szspontja M. AME=FMC, mert cscsszgek, valamint MAE=MCF, mert vltsz-gek, gy AEM3 s MCF3 szgei egyenlk. AE=AB/2 =DC/2 =FC&AEM3 , FCM3&

640. 641. 642.

7/21/2019 0611-076576596 meggoldusok

5/22

92 Ngyszgek

I

&AM=MC&Maz tl felezpontja, ami az tlk metszspontja. Hasonlan megmutathat,hogy GHis tmegyM-en.649. AC +DB =M; AE +DB = G; AF+DB =H. ABCD paralelogramma&MD =MB sAM=MC. ACD3-ben AF s DM slyvonalak&H az ACD3 slypontja, ezrt az albbiak

rvnyesek: ;DH DM DB DB3

2

3

2

2

1

3

1$= = = .HM DM DB DB

3

1

3

1

2

1

6

1$= = = AzABC3-

rl hasonlan belthat, hogy GB DB3

1= s .MG DB DH HG GB

6

1&= = =

650. LegyenAC +BD =MsAE +BD = S. AM=MC sBE =EC&BCA3-benAE sBMslyvonalak, ezrt harmadoljk egymst, vagyis 2ES =AS s 2MS =BS. DS=DM+MS ==BM+MS =BS + 2MS = .BS2651.

TECFparalelogramma, ezrt TE =FC s TF=EC. TFiBC&

FTA

s CBA

egyl-lsak, ezrt egyenlk.&AF=FT&KTECF= 2 $ (TF+ TE) = 2 $ (AF+FC) = 2AC, ami fg-getlen Thelyzettl.

652. Az brn egyformn jellt szgek egyenlk (egy-llsak, vltszgek, cscsszgek). Az ECF3 szgeibltudjuk, hogy egyenl szr:EC =FC.AEB3 is egyenl szr:EB =AB.&EC =EB +BC =AB +BC, vagyis a keresett szrhossza a paralelogramma kerletnek fele.653. Legyen a magassg talppontja T. AT= TB&AD ==BD& BD cm5= .

654. 1. eset:ABCD nem rombusz. M az ABCD paralelog-ramma szimmetria-kzppontja. &AMD3 , CMB3. E, H,illetve F, G a hromszgek magassgainak talppontjai&EtkrkpeM-re G, HtkrkpeM-reF&EFGHkzppon-tosan szimmetrikus ngyszg, azaz paralelogramma. 2. eset:Ha ABCD rombusz, akkor E; F; G; H mind azonos M-mel.655. 1. eset:ABCD nem rombusz. Szerkessznk krketABs CD, mint tmr fl. Ezek Thalsz-krk, amik szim-metrikusakM-re.E tkrkpeM-re G,HtkrkpeM-reF&&EFGH kzppontosan szimmetrikus ngyszg, azaz para-lelogramma. 2. eset: Ha ABCD rombusz, akkor a Thalsz-krkM-ben metszik az tlkat.656. a ial s b ibl&a, al, b, bl egy paralelogrammt fogkzre, amelynek AB s CP tli felezik egymst. Az eljrskivitelezhet, haA sB a paprra esik, klnben nem.

651. 652. 654.

655.

656.

7/21/2019 0611-076576596 meggoldusok

6/22

Paralelogrammk 93

I657. a kzppontos tkrkpe P-re al&a ial s b kzp-pontos tkrkpe P-re bl&b ibl s al +bl =M&a, al, b, blegy paralelogrammt fog kzre, amelynek C-be fut tljaPM. Az eljrs kivitelezhet, ha M a paprra esik, klnbennem.658. ABCD paralelogrammt szerkesztjk.a)A szerkeszts:1 a;b; a"ABD3. 2 DB felezpontja:F. 3 A-t kzppon-tosan tkrzzkF-re " C. Egyrtelm a megolds.b)A szerkeszts: 1 b;ma; 90 " ADT3. 2 A-bl AT-re ahosszsg szakasz "B. 3 BD felezpontja:F. 4 A-t kzppontosan tkrzzk F-re " C.0 vagy 1 megolds lehet.c)A szerkeszts: 1 a;b;e"ADB3. 2 BD felezpontja:F. 3 A-t kzppontosan tkrzzkF-re " C. 0 vagy 1 megolds lehet.659. ABCD paralelogrammt szerkesztjk. a)A szerkeszts: 1 a; ma; a " ABD3. 2 BDfelezpontja:F. 3 A-t kzppontosan tkrzzkF-re" C. Egyrtelm a megolds.b)A szer-keszts: 1 a;mb; 90"DCT3. 2 DC-vel prhuzamosma tvolsgra"e. 3 e + e(C; T) =B.4 BD felezpontja:F. 5 C-t kzppontosan tkrzzk F-re "A. 0 vagy 1 megolds lehet.c)A szerkeszts: 1 a;e/2;f/2"ABF3. 2 AB-t kzppontosan tkrzzkF-re" CD. 0 vagy1 megolds lehet.660. a)A szerkeszts: 1 e/2; f/2; f "MBC3. 2 BC-t kzppontosan tkrzzk M-re ""DA. Egyrtelm a megolds.b)A szerkeszts: 1 e; m; 90 "BDT3. 2 BD felezpontja M. 3 Mkzppont, f/2 sugarkr:k. 4 k+ e(B; T) =A. 5 A-t kzppontosan tkrzzkM-re"C. 0; 1 vagy 2 megolds lehet.661. a)A szerkeszts: 1 a; e; { " ABD3. 2 BD felezpontja: F. 3 A-t kzppontosantkrzzkF-re " C. Egyrtelm a megolds.b)A szerkeszts: 1 a;e;ma "ABD3. 2 BD felezpontja:F. 3 A-t kzppontosan tkrz-zkF-re " C. 0; 1 vagy 2 megolds lehet.c)A szerkeszts: 1 ma;mb; f "DTaTb3. 2 D-ben s Ta-ban merlegesDTa-ra,D-ben s Tb-ben merleges DTb-re. 3 A merlegesek metszspontjai adjk a paralelogramma cscsait.Egyrtelm a megolds.d)A szerkeszts: 1 ma;e; 90"DTaB3. 2 BD felezpontja:F. 3 FB szr,Fcscs { szg""g. 4 g + e(Ta;B) =A. 5 A-t kzppontosan tkrzzkF-re"C. 0; 1 vagy 2 megolds lehet.

662. A szerkeszts: 1 HF. 2 HFfelezpontja:M. 3 HF-et eltoljuk ME-ral:DA. 4 HF-et

eltoljuk EM-ral: CB. 0 vagy 3 megolds lehet.663. Hosszabbtsuk megAB-t azA-n tlb-vel,E-t kapjuk. a kls szg, ezrt a= 2f. A szer-keszts: 1a/2;a +b;e"EBD3. 2 ED felezmerlegese:fED. 3 fED + e(E;B) =A. 4 BDfelezpontja:F. 5 A-t kzppontosan tkrzzkF-re " C. 0; 1 vagy 2 megolds lehet.664. E!AB gy, hogyAE =b legyen. f= 90 + a/2. Aszerkeszts: 1f;a-b;ma"DEB3.2 ED felezmerlegese:fED. 3 fED + e(E;B) =A. 4 BD felezpontja:F. 5 A-t kzppon-tosan tkrzzkF-re " C. Egyrtelm a megolds.

657.

663. 664.

7/21/2019 0611-076576596 meggoldusok

7/22

94 Ngyszgek

I

665. Legyen a paralelogrammk kzs oldala AB.Kkzppont az tlk felezspontja, ezrt

KazAB egyenestlm/2 tvolsgra van.&KazAB-vel prhuzamos,m/2 tvolsgra lv egyene-sek valamelyikn van. Ezen egyenesek minden pontjhoz tartozik paralelogramma.&A kere-sett ponthalmaz azAB-vel prhuzamos,m/2 tvolsgra lv kt egyenes.666. Legyen a paralelogrammk kzs oldala AB, kzs oldalegyenese d (AD egyenes). Dcscs ad egyenes mindenA-tl klnbz pontja lehet.&C cscs aB-n thaladd-vel prhu-zamosc egyenesen van.&Krajta vanc sd kzpprhuzamosn,e-n.e +AB =F.e-nek min-den F-tl klnbz pontja egyrtelmen meghatroz egy paralelogrammt.&A keresettponthalmaz aze egyenes azFpont kivtelvel.667. Legyen a paralelogrammk kzs oldalegyenesee sf;k = 2(a +b) = lland&k : 2 ==a +b. Dl ! e(A;D)s ADl =a +b&DDl =DC&DDlC=DCDl= 90 - a : 2.&C egyolyan egyenl szr hromszg alapjn mozog, amelynek alappal szemkzti cscsa az egye-nesek metszspontja, szrak : 2. (Az alap kt vgpontja nem j.) Hasonlan jrhatunk el azes f ltal hatrolt tbbi szgtartomnyban is. a+ al = 180&ABlDl+ABlDll= 90&&BlDlBllDll tglalap. A keresett ponthalmaz egy olyan tglalap hatrvonala (kivve a tglalapcscsait), melynek k hosszsg tli az adott egyeneseken helyezkednek el s az egyenesek

metszspontjban tallkoznak.

Deltoidok, rombuszok

668. Az tlk felezik a rombusz szgeit. 2f= a& 19=f s {= (180 - a) : 2 = 71.

669.f= 42.f+{= 90&{= 48. A rombusz szgei 2f s 2{ nagysgak, azaz .

670. AzABCD rombuszB cscsbl indulm magassga feleziAD-t.&m szimmetriatengelyDAB3-ben&AB =BD =a&DAB3 szablyos& a rombusz szgei: 60 s 120.671. Legyen az ABCD rombusz A-nl lv szge 60. ABD3 egyenl oldal&e cm12= .

672. Legyen azABCD rombuszD-bl indul magassgnak talppontja azAB oldalon T.12cm =k = 4a&a = 3 cm sma = 1,5cm&ATD derkszg hromszgben a= 30& a rom-

busz szgei: 30

s 150

.673. a)Az tlk merlegesen felezik egymst.&Mindkt tl szimmetriatengely.&A para-lelogramma oldalai egyenlk.&A paralelogramma rombusz.b)A szget felez tl szimmet-riatengely.&a =b&A paralelogramma rombusz.

674. LegyenEFiBC.&AFED paralelogramma, tlja szgfele-z.&AFED rombusz.&DE=AD = cm3 . Hasonlan: GC=BC == cm3 .EG =DC -DE-GC = cm3 .675. LegyenAB = 2AD sfa + CD =E.AzE-n t hzottAD-velprhuzamos egyenes F-ben metsziAB-t.EFiAD&AFED olyanparalelogramma, aminek az tlja szgfelez.&AFED rombusz.

84 s 96

667/I. 667/II.

674.

7/21/2019 0611-076576596 meggoldusok

8/22

Deltoidok, rombuszok 95

I&AD =DE =a&E felezpontja DC-nek. Hasonlan megmutathat, hogy a B-bl indulszgfelez is felezi aDC oldalt.676. Legyenfa +fb =M ! DC.AzM-en t hzottAD-vel prhuzamos egyenesN-ben metsziAB-t. Legyen MN i AD i BC. AM szimmetriatengelye ANMD-nek.&ANMD rombusz.&&AD =DM. BMszimmetriatengelyeNBCM-nek.&NBCMrombusz.&MC = CB;DM=AD ==BC =MC&DC =DM+MC=2AD.677. Legyen azABCD rombusz tlinak metszspontjaM.a) a1 =a2 s a1 = a2&A1B1D13 ,, A2B2D23 s A1B1D13 , C1B1D13, illetve A2B2D23 , C2B2D23&A1B1C1D1 , A2B2C2D2.b) D1M1 =D2M2 sA1M1 =A2M2 sD1M1A1=D2M2A2= 90&D1M1A13 ,D2M2A23&Aztlk ngy egybevg hromszgre bontjk a rombuszt.&A kt rombusz egybevg.c) a1 =a2 se1 =e2&A1B1D13 , A2B2D23&A kt rombusz egybevg.678. a)A szerkeszts: 1 a; a; a "ABD3. 2 A-t tengelyesen tkrzzk BD-re: C. Egyr-telm a megolds.b)A szerkeszts: 1 e/2;f/2; 90 "ABM3. 2 A-t kzppontosan tkrzzk M-re: C. 3 B-tkzppontosan tkrzzkM-re:D. Egyrtelm a megolds.c)A szerkeszts: 1 a hosszsg szakasz:AD. 2 AD-vel prhuzamos egyenesm tvolsgra:g.3 A kzppont,a sugar kr:k. 4 k +g =B. 5 BD felezmerlegese:fBD . 6 fBD +g = C.0; 1 ngyzet vagy 2 egybevg rombusz a megolds.d)A szerkeszts: 1a szg "A;h;j. 2 h-val prhuzamosm tvolsgra:g. 3 j +g =B. 4 Akzppont, AB sugar kr: k. 5 k +h =D. 6 BD felezmerlegese: fBD . 7 fBD +g = C.Egyrtelm a megolds.679. A szerkeszts: 1 A-t kzppontosan tkrzzkK-ra: C. 2 AC felezmerlegese:fAC .3 fAC +e =B. 4 B-t kzppontosan tkrzzkK-ra:D. 0; 1 vagy vgtelen sok megolds lehet.680. Az A pont tkrkpe K-ra C, ezrt a tkrkpe K-ra kimetszi c-bl C-t. A szerkesz-ts: 1 a-t kzppontosan tkrzzkK-ra:al. 2 al +c = C. 3 C-t kzppontosan tkrzzkK-ra:A. 4 AC felezmerlegese:fAC. 5 fAC +b =B. 6 B-t kzppontosan tkrzzkK-ra:D0; 1 vagy vgtelen sok megolds lehet.681. f-reK-ban lltott merleges aze egyenes. 1. eset:E sFaze egyenes klnbz oldaln

van (E sF1). A szerkeszts: 1 E-t kzppontosan tkrzzkK-ra:El. 2 e(El;F1) +f= C se(El;F1) +e =B. 3 C-t kzppontosan tkrzzkK-ra:A. 4 B-t kzppontosan tkrzzkK-ra:D.2. eset:E s Faz e egyenes azonos oldaln van (E s F2). A szerkeszts: 1 E-t tengelyesentkrzzkf-re:Ell. 2 e(Ell;F2) +f=A s e(Ell;F2) +e =B. 3 A-t kzppontosan tkrzzkK-ra: C. 4 B-t kzppontosan tkrzzkK-ra:D. 0 vagy 1 megolds lehet.682. d(e;f) =m: a rombusz magassga. A szerkeszts: 1 PQ Thalsz kre:kT. 2 Pkzp-pont,m sugar kr:k. 3 k +kT= T.I. Ham < PQ, akkor: 4 e(Q; T) +e =A. 5 e(Q; T) +f=B. 6 P-n t prhuzamosAB-vel:g.7 g +e =D sg +f= C. 2 megolds van.II. Ham =PQ, akkor T/Q: 4 Q-ban merlegesPQ-ra:h. 5 h +e =A sh +f=B. 6 P-nt prhuzamosAB-vel:g. 7 g +e =D sg +f= C. 1 megolds van.III. Ham > PQ, akkor nincs megolds.

678. 681. 682.

7/21/2019 0611-076576596 meggoldusok

9/22

96 Ngyszgek

I

683. Legyen azABCD rombusz tlinak metszspontjaM,Mtvolsga az oldalaktlm1,m2,m3 sm4.AMB3 ,CMB3 , AMD3 ,CMD3&m1 =m2 =m3 =m4.

684. A rombusz szemkzti oldalai prhuzamosak.&T1P s PT3, illetve T2P s PT4 egy-egyegyenesen vannak. T P PT m T P PT 1 3 2 4+ = = + , aholm a rombusz magassga.& T P T P 1 2- =

T P T P 4 3= - .685. S;M; Q, illetveP;M;R egy-egy egyenesen vannak.& SQ =RP= a rombusz magassga.M a szimmetria-kzppont, ezrt MR =MQ =MP=MS&PQRS ngyszg tli egyenlhosszak s felezik egymst.&PQRS tglalap.686. A tengelyes szimmetria miatt a msik kt szg egyenl. 2b+ a+ c= 360& .96=b687.a= 39 s c= 100&b= (360 - a- c) : 2 = 110,5. A szimmetriatl oldalakkal be-zrt szge: a/2 = 19,5 s c/2 = 50. A msik tl oldalakkal bezrt szge ezeknek a ptszge:90 - a/2 = 70,5 s 90 - c/2 = 40.688. Legyen azABCD deltoid szimmetriatengelyeAC =f;BD =e; AC +BD =M.a)A szer-keszts: 1 e; b;b "DBC3. 2 D kzppont, a sugar kr:k1. 3 B kzppont, a sugarkr:k2. 4 k1 +k2 =A. 0 vagy 2 megolds lehet.

b)A szerkeszts: 1 a;e;a"

DBA3

. 2 DB felezmerlegese:g. 3 A kzppont,fsugarkr:k. 4 k +g = C. 0 vagy 2 megolds lehet.c)A szerkeszts: 1 Ha a

7/21/2019 0611-076576596 meggoldusok

10/22

696. Legyen az ABCD tglalap tlinak metszspontja K. a) A1D1 =A2D2; A1B1 =A2B2;D1A1B1= 90 =D2A2B2&A1B1D13 , A2B2D23. A1B1D13 kzppontos tkrkpe K1-reC1D1B13 sA2B2D23 kzppontos tkrkpeK2-re C2D2B23&A1B1C1D1 ,A2B2C2D2 .b) C1K1 = C2K2;K1B1 =K2B2; C1K1B1= C2K2B2&C1K1B13 , C2K2B23. CiKiBi3 kzppon-tos tkrkpeKi-reAiKiDi3&A1B1C1D1 , A2B2C2D2.c) A1D1 =A2D2; A1C1 =A2C2; C1D1A1= 90 = C2D2A2&A1D1C13 , A2D2C23. AiDiCi3kzppontos tkrkpeKi-re CiBiAi3&A1B1C1D1 ,A2B2C2D2.697. a)AB-tl sDC-tl egyenl tvolsgra lv pontokAB sDC kzpprhuzamosn,EG-n

vannak.AD-tl sBC-tl egyenl tvolsgra lv pontokAD sBC kzpprhuzamosn,HF-nvannak. Mindegyik oldaltl egyenl tvolsgra lv pontok csakEG sHFkzs pontjai lehet-nek. Egy ilyen pont van: M, a tglalap kzppontja. MF=ME csakis akkor teljesl, ha atglalap ngyzet.b)A megfelel pont csakis az oldalfelez merlegesek metszspontja lehet, ami a tglalap k-zppontja. Ez egyttal az tlk metszspontja is, s mivel az tlk felezik egymst, ez a pontmegfelel.698. Legyen az tlk metszspontja K.KC =KB&KCB=KBC= 60&KBC3 egyenloldal&BC =KC =KB& 2BC =AC =BD.699. Legyen az tlk metszspontja K. Az tlk egyenl hosszak s felezik egymst. &&KC =KB =AC/2&KC =KB =BC&KBC3 minden szge 60.700. Legyen CD felezpontjaFsAF9FB. Tengelyes szimmetria miattAF=FB.&FAB==FBA= 45&DAF= CBF= 45&AD =DF=FC = CB&AB = CD = 2AD.KABCD = 2(AB +AD)&AD cm5= s AB cm10= .

701. AB =AC&ABC=ACB= 45&PB =PQ s RQ =RC&kAPQR = 2(AP+PQ) == 2(AP+PB) = 2AB a Q helytl fggetlenl.702. P rajta van a szgfelezjn& d(P; AD) = d(P; AB) s P rajta van d szgfelezjn&& d(P;AD) = d(P;DC), ezrt d(P;AB) = d(P;DC)&Prajta van azEFkzpvonalon. Hason-

lanR is rajta vanEF-en, Q s S pedig a GHkzpvonalon.&EDP=PDC=DPE (szg-felezs s vltszgek)&b/2 =ED =EP. Hasonlan belthat,hogy b/2 =RF=FC. PR =EF-ED-RF=a-b/2 -b/2 =a -b.703. A szerkeszts: 1 a-t kzppontosan tkrzzk K-ra: al.2 al +c = C. 3 C-t kzppontosan tkrzzk K-ra: A. 4 Kkzppont, KA sugar kr: k. 5 k +b =B. 6 B-t kzppon-tosan tkrzzkK-ra:D. 0; 1; 2 vagy vgtelen sok megolds lehet.704. Kzppontos szimmetria miattER =FP;RQ =PS s QF== SE. A prhuzamossgok miatt egylls s vltszgek ke-letkeznek, ezrt az brn az egyformn jellt szgek egyenlk sQR =EF.&kPQRS=2(FQ + QR +RE) = 2(BF+FE +ED) = 2BD.705. G tengelyes tkrkpe DC egyenesre Gl, ezrt CGl iAEs CAB= GlFC (egyllsak)&E;F; Gl egy egyenesen van sEGl iAC.&EA = GlC = CG&E kzppontos tkrkpe K-ra

Tglalapok, ngyzetek 97

I

702. 704. 705.

701.

7/21/2019 0611-076576596 meggoldusok

11/22

98 Ngyszgek

I

G&G-bl AB-rl visszaverdve E-be rkezik a goly&Fkzppontos tkrkpeK-ra H&&EFGHparalelogramma, amelynek kerlete a 704. feladat szerint fggetlen E helyzettl.706.a + b= 90, mert AAlBl3 derkszg. AAlBl3 ,BBlCl3 , CClDl3 ,DDlAl3, merta derkszget kzrefog oldalaik: b s (a +b). & AlBl=BlCl= ClDl=DlAl&AlBlClDlngyzet.707. PQRS ngyszg minden szge 90, ezrt tglalap. f+ {= 90.APB3,BQC3,CRD3,DSA3, mert szgeik egyformk, tfogjuk egyenl&AP=BQ ==RC =DS sPB = QC =RD = SA.1. eset: PB +BQ = QC + CR =RD +DS = SA +AP, vagyis PQ = QR =RS = SP&PQRSngyzet.2. eset:PB -BQ = QC-CR =RD-DS = SA-AP&PQ = QR =RS = SP&PQRS ngyzet.708.

Legyen azABC3

-benfc+

AB=

D. AD-bl hzott prhuzamosok metszspontja a befo-gkkal E sF.DFiAC&DF9BC sDE iBC&DE9AC, ezrt CEDFminden szge 90.CD szgfelez, ezrt FCD=DCE= 45&FC =FD, va-lamint CE =ED, azaz a CEDF tglalap szomszdos oldalaiegyenlk.&CEDFngyzet.709. AzAC tl fl rajzolt ACEFngyzet tartalmazza aBcscsot.AC azABCD ngyzet tlja, ezrtACB= 45&CBegyenes az ACEF ngyzet tlegyenese, ezrt tmegy F-en.(Hasonlan belthat, hogy AB is tmegy F-en.) A ngyzettli felezik egymst.&CF= 2CB& CF a2= .710. A tglalap szgfelezi 45-os szgeket hoznak ltre.&APB3-benAPB= 180 - 2 $ 45 = 90,DRC3-benDRC== 180 - 2 $ 45 = 90, AQD3-ben AQD= 180 - 2 $ 45 == 90&PQR= 90&PQRS tglalap. Az bra szimmetri-kus a tglalap szimmetriatengelyeire, vagyis QS-re sPR-re.&&QP= QR =RS = SP&PQRS ngyzet. QS szimmetria-tengely & TWkzpvonal & TW= a s TW 9 AD, illetveTW9BC&AT= TQ =b/2 = WB = SW& OS a b= - .

711. AP=AQ=CS=CR&PB=BS=DR=DQ& a=

= 45&b= 90& .DB tl szintn 45-ban haj-

lik az oldalakhoz.&DB i QPiRS, ezrtEF= QP=RS. 45-osszgek miatt QE =DE s PF=FB s SF=FB&kPQRS == .2DB = lland

PQRS tglalap

706. 707/I. 707/II.

710.

711.

7/21/2019 0611-076576596 meggoldusok

12/22

Ngyszgekrl ltalban 99

I

712. A szerkeszts: 1 AC =e. 2 AC felezmerlegese. 3 AC felezpontjbl e/2 sugarkr, kimetszi a felezmerlegesblB-t sD-t. Egyrtelm a megolds.713. a) Hosszabbtsuk meg AC-t a-val.&AB =AE. a= 45&b= 22,5. EF9CB&bl == 22,5 s EF=FC. A szerkeszts: 1 (e +a) tfogj egyenl szr derkszg hromszg:ECF3. 2 egyik hegyesszgnek szgfelezje kimetszi a szemkzti befogbl B-t. 3 BC =aoldal ngyzet. Egyrtelm a megolds.b) BD tlraa-t felmrve kapjuk E-t.EF9BF& a= 45.DE =DA&b= 67,5&bl = 67,5.A szerkeszts: 1 (e-a) tfogj egyenl szr derkszg hromszg: EFB3. 2 egyik he-gyesszg kls szgnek szgfelezje kimetszi a szemkzti befog egyenesbl A-t. 3 BA =aoldal ngyzet. Egyrtelm a megolds.714. A szerkeszts: 1 f-et tengelyesen tkrzzk e-re: fl. 2 fl +g =B. 3 B-t tengelyesentkrzzk e-re: D. 4 BD felezpontja: F. 5 F kzppont, FB sugar kr: k. 6 k +e == {A; C}. 0; 1 vagy vgtelen sok megolds lehet.

Ngyszgekrl ltalban

715. A hromszg kr rt kr kzppontja az oldalfelez merlegesek metszspontja.E sHrajta vanAMoldalfelez merlegesn&EH9AC.Fs G rajta van CMoldalfelez merle-gesn&FG9AC& .Hasonlan lthat be, hogy . Az alhzottakbl kvet-kezik, hogyEFGHparalelogramma.716. BC iEF&DC iEF s AC iED&FC iED, teht CFED paralelogramma.&CF DE=a/2 = CAD=ADE, mert vltszgek&ADE=EAD&AE DE= . Az alhzottakblkvetkezik, hogy CF AE= .

GHiEFEHiFG

713/I. 713/II.

715/I. 715/II.

7/21/2019 0611-076576596 meggoldusok

13/22

100 Ngyszgek

I 717. RS kzpvonal ACD3-ben&RS iAC s RS =AC/2. PQ

kzpvonalACB3-ben&PQ iAC sPQ =AC/2. SPkzpvonalBDA3-ben&SPiBD s SP=BD/2.RQ kzpvonalBDC3-ben&&RQ iBD s RQ =BD/2. RS = QP= 13,5 cm; SP=RQ == 9,5 cm; RSP=RQP= {= 6342l; SRQ= SPQ = 180 -- {= 11618l.718. Legyenek azAB, BC, CD sDA oldak felezpontjai rend-

reF1,F2,F3 sF4.F1F2 kzpvonal azABC3-ben& F FAC

21 2=

s F1F2 iAC. F3F4 kzpvonal az ACD3-ben F FAC

23 4& = s

F3F4 iAC.A kt kvetkezmnyt sszevetve:F1F2 =F3F4 sF1F2 iF3F4 . Hasonlan megmutathat,hogyF1F4 =F2F3 sF1F4 iF2F3.

719. F1 felezi AB-t, F2 felezi BC-t&F1F2 kzpvonal az ABC3-ben&F1F2 =AC

2s

F1F2 iAC. F3 felezi DC-t, F4 felezi AD-t&F3F4 kzpvonal az ADC3-ben&F3F4 =AC

2s

F3F4 iAC.A kt kvetkezmnyt sszevetveF1F2 =F3F4 sF1F2 iF3F4&F1F2F3F4 paralelogramma.

720. F4 felezi AD-t, F2 felezi BD-t&F2F4 kzpvonal az ABD3-ben&F2F4 =AB

2s

F2F4 iAB. F1 felezi AC-t, F3 felezi BC-t&F1F3 kzpvonal az ABC3-ben&F1F3 =AB

2s

F1F3 iAB. A kt kvetkezmnyt sszevetve&F4F2F3F1 paralelogramma.

721. F1F2F3F4 ngyszg paralelogramma&tli felezik egymst&F1F3 +F2F4 =MfeleziF1F3-at s F2F4-et. A 720. feladat lltsa szerint F1F6F3F5 ngyszg paralelogramma, ezrt tlifelezik egymst, teht azF5F6 tlnak t kell mennie azF1F3 tlMfelezspontjn, ami ppena bizonytand lltst jelenti.722. Legyenek a deltoid oldalfelez pontjaiE,F, G sH.EFGHegy olyan paralelogramma,aminek oldalai prhuzamosak a deltoid tlival. Mivel a deltoid tli merlegesek egymsra,EFGHtglalap.723. Legyenek azABCD ngyszg oldalfelez pontjaiE,F, G sH.EFGHparalelogramma,aminek oldalai prhuzamosak a ngyszg tlival. Akkor lesz tglalap, ha szomszdos oldalaimerlegesek egymsra.&AC9BD&A ngyszg oldalfelez pontjai akkor alkotnak tgla-lapot, ha a ngyszg tli merlegesek egymsra.724. Legyenek a ngyszgAB,BC, CD sDA oldalainak felezpontjai rendreE,F, G sH.EF; FG; GH; HE kzpvonalak egy-egy hromszgben, ezrt EF iGH iAC s EF= GH==AC/2, illetveFG iEHiBD s FG =EH=BD/2. Ha AC =BD, akkor EF=FG = GH=HE,

vagyis .725. Legyenek a ngyszg AB, BC, CD s DA oldalainakfelezpontjai rendreE,F, G sH.EF;FG; GH;HE kzpvona-lak egy-egy hromszgben, ezrt EFiGHiAC sEF= GH==AC/ 2, illetveFG iEH iBD s FG =EH=BD/ 2.&EFGHngyszg szomszdos oldalai merlegesek egymsra s egyenlhosszak. .726. Legyenek a paralelogrammaAB,BC, CD sDA oldalai-nak felezpontjai rendre E, F, G s H. EF; FG; GH; HEkzpvonalak egy-egy hromszgben, ezrt EFiGHiAC sEF= GH=AC/2, illetve FG iEHiBD s FG =EH=BD/2.

EFGHngyzet

EFGH rombusz

717.

721.

7/21/2019 0611-076576596 meggoldusok

14/22

Ngyszgekrl ltalban 101

Ia) EFGHtglalap&EF9FG&AC9BD&ABCD rombusz.b) EFGHrombusz&EF=FG&&AC =BD&ABCD tglalap. c) EFGH ngyzet&EFGH tglalap is, rombusz is&ABCDrombusz is, tglalap is&ABCD ngyzet.727. Legyenek azABCD ngyszg oldalainak oldalfelez pontjai rendreE,F, G sH.EFGHparalelogramma, ezrt tli felezik egymst, s az tli azABCD ngyszg kzpvonalai.728. Lsd az brt!

729. Legyenek a ngyszgAB,BC, CD sDA oldalainak oldalfelez pontjai rendreE,F, Gs H. EFGH paralelogramma tli az ABCD ngyszg kzpvonalai. EG =HF+EFGHtglalap+EF9 FG +AC 9 BD.730. Legyenek a ngyszgAB,BC, CD sDA oldalainak oldalfelez pontjai rendreE,F, GsH. EFGHparalelogramma tli az ABCD ngyszg kzpvonalai.EG9FH+EFGHrom-busz+EF=FG+ AC BD= .731. Tkrzzk a ngyszget a vizsglt kzpvonalnak egyik vgpontjra! CAl =BA sEFk-zpvonala aDAlA3-nek.DCAl3-ben a hromszg-egyenltlensg:DAl

7/21/2019 0611-076576596 meggoldusok

15/22

102 Ngyszgek

I

733. a)A szerkeszts: 1 AB =a. 2 A-ban a, B-ben b az AB-re " e; f. 3 f-en BC =b.4 C-ben cBC-re azA-val azonos flskban "g. 5 g +e =D. 0 vagy 1 megolds lehet.b)A szerkeszts: 1 AB =a. 2 A-ban a,B-ben b azAB-re"f;g. 3 B kzppont,e sugarkr:k. 4 k +f=D. 5 g-nBC =b. 0; 1 vagy 2 megolds lehet.c)A szerkeszts: 1 AB =a. 2 A-ban a, B-ben b az AB-re " e; f. 3 f-en BC =b. 4 ACvalamelyik pontjban egy-egy egyenes, amiAC-vel +{, illetve -{ szget zr be:gi . 5 B-n tgi-vel prhuzamos:hi. 6 hi +e =Di . 0; 1 vagy 2 megolds lehet.734. a)A szerkeszts: 1 AB =a. 2 A-ban a,B-ben b azAB-re"f;g. 3 A kzppont,esugar kr:k1. 4 k1 +g = C. 5 C kzppont,c sugar kr:k2. 6 k2 +f=D. 0; 1; 2; 3 vagy 4megolds lehet.b)A szerkeszts: 1 AB =a. 2 A-ban a az AB-re " h. 3 B kzppont, f sugar kr: k1.4 k1 +h =D. 5 DBvalamelyik pontjban egy-egy egyenes, ami +{, illetve -{ szget zr beDB-vel:gi. 6 A-n t prhuzamos gi-vel:j i . 7 D kzppont, c sugar kr:k2. 8 ji +k2 = C.0-tl 8-ig terjedhet a megoldsok szma.735. A szerkeszts: 1 AB =a. 2 A-ban a,B-ben b azAB-re"e;f. 3 FtetszlegesPpont-

jbang flegyenes, amire (BP;g) =c. 4 g-nPR =c. 5 R-en t prhuzamosf-fel:h. 6 h+e ==D. 0 vagy 1 megolds lehet.

Trapzok

736. AD1D3 sBD2C3 egyenl szr, mert szgeik: 90, 45, 45&c cm6= .

737. A trapz kt szge .

738. 2AT=AD, mert a= 60. A szimmetria miatt SB =AT. AB =AT+ TS + SB, azaz a ==b/2 +b +b/2 = b2 .

739. A trapz kzpvonala az alapok szmtani kzepe: k= , cm11 5 .

740. A trapz kzpvonala az alapok szmtani kzepe: c cm22= .

741. A trapz kzpvonala az alapok szmtani kzepe:k = 10,5 cm > 10,4 cm, ezrt a prhu-zamos a rvidebb alaphoz van kzelebb.

107 s 72

733. 735.

736. 738.

7/21/2019 0611-076576596 meggoldusok

16/22

742. DE iCB&DC =EB. GHkzpvonal&2GH=AE + 2DC&DC cm12 &= AB cm14= .743.a= 60&ABD= 30 s AB = 2AD = 10 cm. b= 180 - a= 120 s DBC= 30 sCDB= b- 90 = 30&DC = CB = 5 cm. A trapz oldalai: .

744. a) 3912l; 3912l; 14048l; 14048l.b) a= (180 - {)/2 = 69&b= 111.745. E2F2 az ABCD trapz kzpvonala&E2F2 iAB iCD&ABF2E2 s E2F2CD trapz, sezek kzpvonalai E1F1, illetve E3F3. E2F2 = (AB + CD)/2 = cm13 , E1F1 = (AB +E2F2)/2 == cm15 ,E3F3 = (E2F2 + CD)/2 = cm11 .746. LegyenEF a trapz kzpvonala sEF+AC =M.EFiAB sFaBC felezpontja&MFazABC3 kzpvonala& /MF AB 2= . Hasonlan megmutathat, hogy /EM CD 2= .747. LegyenEF a trapz kzpvonala sEF+AC =KsEF+BD =L. EFiAB iCD;E azAD

felezpontja;FaBC felezpontja&EKkzpvonal azACD3-ben sLE kzpvonal aBAD3-ben&EK=DC/2 sLE =AB/2&KL =EL -EK= ( )/AB DC 2- .748. Legyen AC felezpontja K, BD felezpontja L, valamint a KL egyenes metszspontjaAD-velE,BC-velF.AK=KC sBL =LD&KL rsze azABCD trapz kzpvonalnak.& Pr-huzamos az alapokkal. EKkzpvonala ADC3-nek, ezrt EK=DC/2, valamintEL kzpvo-nalaADB3-nek, ezrtEL =AB/2&KL =EL-EK= ( )/AB DC 2- .749. AzEFkzpvonal azMpontban metszi azAC tlt.EFkzpvonal, ezrtEFiDC.E azAD felezpontja, ezrtEMazADC3 kzpvonala.&MfeleziAC tlt.750. Legyen az tlk metszspontja M. A feladat szerintMfelezpontjaAC-nek, illetveBD-nek, ezrtABCD kzppontosan szimmetrikusM-re, teht paralelogramma& DC AB= .751. A feladat szerintEFkzpvonal tmegy az tlkMmetszspontjn&EMkzpvonalaazADC3-nek, ezrtEM=DC/2, valamintEMkzpvonala azABD3-nek, ezrtEM=AB/2&&DC =AB, valamintAB iDC, teht .752.

Az ABCD trapzban CD =a, EFkzpvonal s EF+

AC =Ks EF+

BD =L. EKk-zpvonala azADC3-nek, ezrtEK=DC/2, valamintLFkzpvonala aBDC3-nek, ezrtLF==DC/2&EK=LF=a/2. A feladat szerintEK=KL =LF, ezrtKL =a/2. AzEFkzpvonal

azAB sCD alapok szmtani kzepe: a b a

b a2

32

2&$+

= = .

753. AzABCD trapzEFkzpvonalnak metszspontjaAC-velK,DB-velL.EFazABCDkzpvonala&EK kzpvonala az ADC3-nek, ezrt EK=a/2, valamint LF kzpvonala a

BDC3-nek, ezrtLF=a/2&EF=a a a

2

2

2

3+= &KL=EF-

-EK-LF=a/2& EK KL LF= = .754. AA1 = 5 km s BB1 = 4 km. AF+FF1 =BF+FF1&&AF=FB. FF1 akkor a legrvidebb, ha merleges f-re. EkkorAA1 iFF1 iBB1&ABB1A1 trapz, aminek kzpvonalaFF1.&FF1 == (BB1 +AA1)/2 = 4,5 km = m4500 .755. 1. eset:Az egyenes nem vlasztja elA-t sB-t. A 754. bra

jellseit hasznljuk.AA1 = 10 cm sFF1 = 8 cm.AA1 iFF1 iBB1 9 e&ABB1A1 trapz,aminek kzpvonalaFF1. &FF1 = (BB1 +AA1) / 2& BB cm61= .2. eset:Az egyenes elvlasztjaA-t sB-t. (755. bra)AA1 = 10 cms FF1 = 8 cm. AA1 iFF1 iBB1 9e&FF1kzpvonala az ABG3-nek. & BG = 16 cm s AF1 =F1G&AF1A13 ,GF1B13&B1G == 10 cm&BB1 =BG + GB1 = cm26 .

ABCD paralelogramma

5 cm, 5 cm, 5 cm s 10 cm

Trapzok 103

I

754.

755.

7/21/2019 0611-076576596 meggoldusok

17/22

104 Ngyszgek

I

756. AA1 = 6 cm, DD1 = 9 cm, KK1 = 7 cm. AA1CC1 trapz, aminek kzpvonala KK1&

& 2KK1 =AA1 + CC1& CC cm81= . DD1BB1 trapz, aminek kzpvonala KK1& 2KK1 ==DD1 +BB1&BB cm51= .

757. AB =a s CD =c. a= 45&ATD3 s BQC3 egyenl szr, ezrt AT= TD =m sQB = QC =m&a =AB =AT+ TQ + QB = 2m +c. Kzpvonal: 2k =a +c = (2m +c) +c == 2(m +c)& .

758. a)A szerkeszts: 1 AB =a. 2 A-ban a, B-ben b az AB-re " e; f. 3 AB-velprhuzamosm tvolsgra:g. 4 e +g =D sf+g = C. 0 vagy 1 megolds lehet.b)A szerkeszts: 1 AB =a. 2 A-ban a,B-ben b azAB-re "e;f. 3 F-enBC =b. 4 C-benprhuzamosAB-vel:g. 5 e +g =D. 0 vagy 1 megolds lehet.c)A szerkeszts: 1 a;e; b"ABC3. 2 C-ben prhuzamosAB-vel:f. 3 A-ban a azAB-re"g.4 f+g =D. 0; 1 vagy 2 megolds lehet.759. a)CCl iAD&ClB =a-c. 1. eset: Ha Cl / B, akkorABCD paralelogramma.2. eset: Cl /Y B. A szerkeszts: 1 a-c; a; b " ClBC3. 2 BCl meghosszabbtsa Cl-n tl

c-vel "A. 3 C-n t prhuzamosAB-vel:e. 4 C kzppont, c sugar kr:k. 5 k +e =D.0 vagy 1 megolds van.b)A szerkeszts: 1 kt prhuzamos egymstl m tvolsgra:e sf. 2 e-nAB =a. 3 A-bana az AB-re: g. 4 g +f=D. 5 D-bl f-re c hosszsg szakasz a szgtartomnyban " C.Egyrtelm a megolds.c)A szerkeszts: 1 a; f; a " ABD3. 2 D-ben prhuzamos AB-vel: e. 3 D-bl e-n chosszsg szakasz a szgtartomnyban"C. 0; 1 vagy 2 megolds lehet.d)A szerkeszts: 1al = 180 - a. 2 e; c; al " ACD3. 3 A-bl prhuzamos DC-vel: fflegyenes. 4 A kzppont,a sugar kr:k. 5 k +f=B. 0; 1 vagy 2 megolds lehet.

e) DB eltoltja DC-ral CDl. A szerkeszts: 1 a +c;e;f"ADlC3. 2 A-bla hosszsg sza-kaszADl-n"B. 3 B-n t prhuzamosDlC-vel:g. 4 C-n t prhuzamosAB-vel:h. 5 g+h =D.0 vagy 1 megolds lehet.f)A szerkeszts: 1 kt prhuzamos egymstl m tvolsgra: g s h. 2 g-n AB =a. 3 Bkzppont, f sugar kr: k. 4 k +h =Di . 5 h-n Di-bl c hosszsg szakasz az AD ltal

hatroltB-t tartalmaz flskban:Ci . 0; 1 vagy 2 megolds lehet.760. a)DB eltoltja DC-ral CBl, {l = 180 - {. A szerkeszts: 1 e;f; {l "ABlC3.

2 C kzppont, b sugar kr: k. 3 k +ABl =Bi .4 Bi-n t prhuzamos CBl-vel: hi . 5 C-n tprhuzamos ABl-vel:g. 6 hi +g =Di . 7 Ha { ! 90,akkor msik megoldshoz juthatunk az 1-5. lpseksorn aze;f; {-bl szerkesztettABlC3-bl kiindulva. Amegoldsok szma 0-tl 4-ig vltozhat.

b) DB eltoltja DC-ral CBl. A szerkeszts: 1 e; f; m ""ABlC3. 2 C-n t prhuzamosABl-vel:g. 3 ABl-re

c =k-m sa =k +m

756. 757.

760.

7/21/2019 0611-076576596 meggoldusok

18/22

Trapzok 105

IA-bl a hosszsg szakasz " B. 4 B-n tprhuzamos CBl-vel: h. 5 g +h =D. 0; 1 vagy 2megolds lehet.

c) DB eltoltja DC-ral CBl, {l = 180 -{. Aszerkeszts: 1 e; f; {l " ABlC3. 2 C-n tprhuzamosABl-vel:g. 3 A-ban aAB-re:j.4 g +j =D. 5 D-n t prhuzamos CBl-vel:h.6 h +ABl =B. 7 Ha { !{l, akkor az 1-6. lpseket {l helyett {-vel vgrehajtva msikmegoldshoz jutunk. 1 vagy 2 megolds lehet.

d) DB eltoltja DC-ral CBl. A szerkeszts: 1 e;f;m"ABlC3. 2 A-banAB-re a:j. 3 C-n t

prhuzamos ABl-vel:g. 4 g +j =D. 5 B

l-t eltoljuk CD-ral:B. 0; 1 vagy 2 megolds lehet.761. a) ADl = 2k. A szerkeszts: 1 2k; e; f" ADlC3. 2 C-n t prhuzamos ADl-vel: g.

3 A-ban aADl-re:h. 4 g +h =D. 5 D-n t prhuzamos CDl-vel:j. 6 j +ADl =B. 0 vagy1 megolds lehet.b) ADl = 2k. A szerkeszts: 1 2k; e; f"ADlC3. 2 C-n t prhuzamos ADl-vel: g. 3 Akzppont, d sugar kr:k. 4 k +g =D. 5 D-n t prhuzamos CDl-vel:j. 6 j +ADl =B.0; 1 vagy 2 megolds lehet.762. Legyenek a trapz alapjaiAB > CD. Hzzunk prhuzamostD-n tBC-vel! EzAB-t met-sziE-ben. 1. eset: HaE /YA, akkorDE = CB;AE =AB-EB =AB-DC.ADE3-re a hrom-szg-egyenltlensg:AD +DE > AE, azazAD +BC > AB-DC.2. eset: Ha E /A, akkor ABCD paralelogramma, az alapok klnbsge 0, gy igaz az llts.763. a) AE =a -c. 1. eset:a >c.A szerkeszts: 1 a -c;b;b"AED3. 2 D-n t prhuza-mosAE-vel"g flegyenes. 3 g-nDC =c. 4 C-n t prhuzamosDE-vel:h. 5 h + e(A;E) =B.0 vagy 1 megolds lehet.2. eset: Haa =c, akkorABCD egya sb oldal tglalap. Egyrtelm a megolds.b)A szerkeszts: 1 AB =a. 2 A-ban sB-ben ellenttes irnyban aAB-re:j sh flegyene-sek. 3 j-nAD =b sh-nBC =b. 0 vagy 1 megolds lehet.c) AG =FB = (a-c)/2. A szerkeszts: 1 m; c " GFCD tglalap. 2 GFmeghosszabbtsamindkt irnyban (a c)/2 hossz szakasszal "A;B. Egyrtelm a megolds.d)A szerkeszts: 1 a;b;e"ABD3. 2 D-n t prhuzamosAB-vel:g. 3 B kzppont,b suga-r kr:k. 4 k +g = Ci . 5 Ci kivlasztsa gy, hogy CiBA=BAD. 0 vagy 1 megolds lehet.

e) DB eltoltja DC-ral CCl. A szerkeszts: 1 a +c; e; e " AClC3. 2 ACl-n Cl-bl BCl =c.

3 C-t eltoljuk C Bl -ral:D. 0 vagy 1 megolds lehet.764. Legyen a trapzAB > CD alapjaira merleges szraAD, s C merleges vetleteAB-reE.a)A szerkeszts: 1 AD =m. 2 A-ban s D-ben merleges AD-re azonos flskban: g, h.3 g-nAB =a. 4 h-nDC =c. Egyrtelm a megolds.b) AE =c&EB =a-c. A szerkeszts: 1 90; a c; b " CEB3. 2 EB-t meghosszabbtjukE-n tl:BA =a. 3 A-ban merlegesAB-re:g. 4 C-n t prhuzamosAB-vel:h. 5 g +h =D.0 vagy 1 megolds lehet.c) AE =c&EB =a c. A szerkeszts: 1 90; a c; a " CEB3. 2 EB-t meghosszabbtjukE-n tl:BA =a. 3 A-ban merlegesAB-re:g. 4 C-n t pr-huzamos AB-vel: h. 5 g +h =D. Egyrtelm a megolds.765. Legyenek a trapz alapjai: AB > CD.Az A pontbanhzott szgfelezMpontban metszi aCD oldalt.BAM==AMD, mert vltszgek, gy AMD=DAM&&AMD3 egyenl szr, vagyis AD =DM& MC =DC --DM= CB&CMB=MBC. CMB=MBA, mert

vltszgek, teht MBC=MBA, vagyisMrajta van a Bcscsnl lev szgfelezn.

761.

763.

7/21/2019 0611-076576596 meggoldusok

19/22

106 Krk

I Krk

Kr s egyenesek

766. Felvesszk a kr kt nem prhuzamos AB s CD hrjt.fAB +fCD =Ka kr kzppontja.767. FfeleziAB-t, G felezi CD-t, valamint d(K;AB) = d(K;F) sd(K; CD) = d(K; G).AFK3 ,DGK3, mert AK=KD =r, AF=DG =h/2 s mindkettderkszg.&KG =KF.768. A1A2 =B1B2&d1 =d2&a ib miatt K rajta van az a s b

egyenesek kzpprhuzamosn. A kzpprhuzamos mindenpontja megfelel.769. A1A2 =B1B2&d1 =d2&K rajta van (a; b) szgfelezegyenesein. Mindkt szgfelez minden pontja megfelel.770. AKkzppont kr AB hrjnak felezpontja F. Ha h == 2r, akkor KF= 0. Ms esetben Pitagorasz-ttel az AFKderk-

szg hromszgre: AF rh

42

2

= - .

771. Pitagorasz-ttel az AKF3-re, illetve a CGK3-re: AF=

= r FK2 2- s CG = r GK2 2- .

AF= r FK2 2- < r GK2 2- = CG&AF < CG&AB < CD.772. A hromszg oldalai a krlrt kr hrjai. Legyen AB a

hromszg leghosszabb oldala. A 771. feladat lltsa szerint ahrom hr kzlABvan legkzelebb a kr kzppontjhoz.773. LegyenAB a kr azon hrja, amelynekPa felezspontja sKP9AB! A tetszleges,P-re illeszkedXYhr biztosan hosszabbAB-nl, hiszen a kzpponttl val tvolsga kisebb PK-nl(FKP3-ben FK befog, PK tfog).&AB a legrvidebb hr. Aleghosszabb hr aP-re illeszked tmr, CD.774. A 773. feladatban lttuk, hogy aKkzppont krben aP-ntmen hrok kzl legrvidebb a KP-reP-ben lltott merlegeshr. A leghosszabb hr aKPegyenesnekCD szakasza.KP9ABmiatt CD 9 AB.775. P azt az AB hrt felezi, amely merleges KP-re, hiszenKAB3 egyenl szr, sKPslyvonala egyttal magassgvonal is.

768.

767.

771. 773.

769/I.

769/II.

769/III.

7/21/2019 0611-076576596 meggoldusok

20/22

Kr s egyenesek 107

I776. Ah hosszsg hrok Ffelezspontjaid = r h4

22

- tvolsgra vannak a kr kzp-

pontjtl.&Az Fpontok egy Kkzppont, d sugar kl krn vannak. Akl kr brmely Fpontjhoz tartozik egyh hosszsg hr.

A keresett ponthalmaz aKkzppont,d sugarkl kr.

777. Ah hosszsg hrok kzppontjaiKkzppont, rh

42

2

- sugarkl krn vannak.

A keresett hrt megkaphatjuk, haP-bl rintt szerkesztnk akl krhz. 0; 1 vagy 2 megoldslehet.

778. Felhasznljuk: Ah hosszsg hrok kzppontjaiKkzppont, r h4

22

- sugarkl

krn tallhatk, s a h hosszsg hrok a kl kr rinti. A szerkeszts: 1 Kkzppont,

rh

42

2

- sugar kr:kl. 2 P-bl rintkl-hz. 0; 1 vagy 2 megolds lehet.

779. Felhasznljuk: A kr sugara a szerkesztend szablyos hatszg oldala. A szerkeszts:1 Pponton trhosszsg hr szerkesztse (a mdszert lsd a 778. feladat megoldsnl)""A;B. 2 AB oldal szablyos hatszg szerkesztse a krbe. 0; 1 vagy 2 megolds lehet.780. 1. eset: AC +BD ! K. Hzzunk prhuzamost AC hrral a B ponton t! A prhuza-mosnakk-val val msik metszspontja E. AzACEB ngyszg hrtrapz, ezrtAB v sEC vegyenl hossz (i1 = i2). Thalsz-ttel megfordtsa miattDE a kr tmrje, ezrt i3 s CE vegytt egy flkrt alkot, azazi3 s i1 vek is flkrt alkotnak egytt, s ezt akartuk beltni.

2. eset:AC +BD =K& a keletkezett vek egyenl negyedkrk, teht igaz az llts.781. A szerkeszts: 1 K-bl merlegest lltunke-re:f. 2 f+e =F. 3 F-bl mindkt irny-banh/2 hosszsg szakaszfelvtele aze egyenesen:G sH. 4 G-ben sH-ban merlegese-re:g sh. 5 g +k =Msh +k =N. 6 MNa keresett hr. 0; 1 vagy 2 megolds lehet.782. A szerkeszts: 1 a kr egya hosszsg hrjnak kijellse"A;B. 2 e(A;K) +k = C.3 e(B;K) +k =D. 0 vagy 1 megolds lehet.783. A szerkeszts: 1 Kponton t e-vel+45-os, illetve-45-os szget bezr egyenesek:f;g. 2 f+k = {A; C} sg +k = {B;D}.ABCD ngyzet. Egyrtelm a megolds.784. A szerkeszts: 1 P-bl merlegest lltunke-re "Fpont. 2 F-bl mindkt irnybanh/2 hosszsg szakasz felvtele az e egyenesen:A s B. 3 PA sugar,Pkzppont kr:k.Egyrtelm a megolds.

780. 781. 783.

7/21/2019 0611-076576596 meggoldusok

21/22

108 Krk

I

785. 1. eset:h < 2r.Aze-blh hosszsg hrt kimetszrsugar krk kzppontjaira fenn-

ll azAFKderkszg hromszgre felrt Pitagorasz-ttel:KF= rh

42

2

- .KF= d(K;e), teht

a krk kzppontjai aze-vel prhuzamos rh

42

2

- tvolsgra hzdf1 sf2 egyenespron

vannak.f1 sf2 minden pontja megfelel a kvnt feltteleknek.2. eset:h = 2r.Aze egyenes a keresett ponthalmaz.3. eset:h > 2r. Nincs megolds.

786. A keresett kr kzppontja d1 = rh

42 1

2

- tvolsgra van az egyik, s d2 = rh

42 2

2

-

tvolsgra van a msik egyenestl. A szerkeszts: 1 a 786/II. bra alapjnd1

sd2

megszerkesz-tse. 2 b-vel prhuzamos d1 tvolsgra:e1 s e2. 3 a-val prhuzamos d2 tvolsgra:f1 s f2.4 Brmelye-nek brmelyf-fel val metszspontja egy megfelel kr kzppontja. 5 A kapottkrknek az a szgfelezjre val tkrzsvel jabb megoldsokat kapunk. 0; 4 vagy 8megolds lehet.787. Felhasznljuk, hogy a keresett kr koncentrikus a hromszg bert krvel s sugara

R rh

202

2

= +

J

L

KK

N

P

OO . A szerkeszts: 1 fa +fb = O0. 2 O0 kzppont,R sugar kr. Egyrtelm a

megolds.788. Felhasznljuk: A kr tmrje a szerkesztend ngyzet tlja. A szerkeszts: 1 2rtfogj egyenl szr derkszg hromszg szerkesztse"a, a ngyzet oldala. 2 Ppontonta hosszsg hr szerkesztse (a mdszert lsd a 778. feladat megoldsnl)"A;B. 3 AB

oldal ngyzet szerkesztse. 0; 1 vagy 2 megolds lehet.789. Felhasznljuk: A kr sugara a szerkesztend szablyoshromszg magassgnak ktharmad rsze. A szerkeszts:

1 r2

3befogval s rajta fekv 30-os szggel derkszg

hromszg szerkesztse " a hromszg tfogja a szablyoshromszg oldala, a. 2 Pponton t a hosszsg hr szer-kesztse (a mdszert lsd a 778. feladat megoldsnl)"A;B.3 AB oldal szablyos hromszg szerkesztse a krbe. 0; 1

vagy 2 megolds lehet.

785. 786/I. 786/II.

787.

7/21/2019 0611-076576596 meggoldusok

22/22

Kr s egyenesek 109

I

790. AK kzppont krhz a P pontbl e hosszsg rintszakasz hzhat. Az rintmerleges az rintsi pontba hzott sugrra, ezrt PE =e felhasznlsval Pitagorasz-ttel

szerint KP= e r2 2+ .&A keresett P pontok egy K kzppont, KP= e r2 2+ sugar klkrn vannak. Akl kr brmelyPpontja megfelel. A keresett ponthalmaz egyKkzppont,

KP= e r2 2+ sugarkl kr.791. Adott: k; e; a. A szerkeszts: 1 e-vel ( + a)s (-a) szget bezr egyenesek: f s g2 K-bl merlegesf-re sg-re. 3 a merlegeseknekk-val val metszspontjai lesznek az rin-tsi pontok:G1; G2;F1;F2. 4 G1-ben s G2-ben prhuzamosg-vel:g1 sg2 rint. 5 F1-ben sF2-ben prhuzamosf-fel:f1 sf2 rint. 2 vagy 4 megolds lehet.

792. Adott:k;e1;e2. 1. eset:e1 se2 nem prhuzamos. A szerkeszts: 1 e1 se2 ltal meghat-rozott szgek felezse. 2 a szgfelezkre merleges egyenesek:fsg. 3 K-bl merlegesf-re sg-re. 4 A merlegeseknekk-val val metszspontjai lesznek az rintsi pontok: G1; G2;F1;F2. 5 G1-ben s G2-ben prhuzamosg-vel:g1 sg2 rint. 6 F1-ben sF2-ben prhuzamosf-fel:f1 sf2 rint. 4 megolds van.2. eset: Hae1 ie2, akkor a bezrt szg 0, ezrt ktei-vel prhuzamos megolds van.793. Felhasznljuk:AB felezmerlegese felezi az AB vet s tmegy a kr kzppontjn.

A szerkeszts: 1 AB felezmerlegese: fAB. 2 fAB +k =F. 3 F-ben merlegest lltunkfAB-re:e. Egyrtelm a megolds.794. AKkzppont krhz P-bl hzott rintk rintsi pontjai E1 s E2. E1PE2= a&&E1PK= a/2. A keresettP pontokra KP szakasz hossza egy rbefogj, vele szemben a/2hegyesszg derkszg hromszg d tfogja.&AP pontok a K kzppont, d sugar kl

krn vannak. Akl

kr minden pontja megfelel. A keresettponthalmaz aKkzppont,d sugarkl kr.795. A szerkeszts: 1 r; 22,5; 90 " ABC3. 2 K kzp-pont, AB sugar kr:kl. 3 kl +e =P. 0; 1 vagy 2 megoldslehet.796. LegyenPa feltteleknek megfelel pont.&E1PE2== 60.KPfelezi azE1PE2-et sKE2 sugr merleges azE2Printre&AKE2Pderkszg hromszg hegyesszgei 30 s60, ezrt KP r2= .

791. 792.

793.