07 - Artes Plasticas_ Los Trazos Reguladores de La Proporcion Arquitectonica_ Sentido y Practica, Por Jose Villagran Garcia

A R T E S P L Á S T I C A S

. ., ,: :. ,. :, ' LOS TRAZOS REGULADORES

DE LA PROPORCIÓN ARQUITECTÓNICA*

SENTIDO Y PRÁCTICA

■ por José VILLAGRAN GARCÍA

PRIMERA PARTE

EL TEMA DE LOS TRAZOS: Una tradición milenaria truncada.—Aversión y desconocimiento.—Investigadores y creadores actuales de sistemas.—La trayectoria invitativa de Le Corbusier.—Armonía y geometría en la naturaleza.—La antropometría de Vitrubio.

He aquí un tema abrupto y difícil sobre el que vamos a desenvolver en ocho sesiones una síntesis expUcatoría e invitativa sobre todo, a penetrar en su campo de estudio y en sus aplicaciones prácticas. La tarea, sin lugar a duda, es comprometida y difícil, aunque en menor escala que el tema mismo. Esta primera sesión se me ha impuesto con insistencia como indispensable proemio de acceso, dadas las condiciones que en nuestro medio profesional y escolar lo rodean. Podría intitularse con una pregunta: ¿por qué tratar de los trazos reguladores de la proporción? Estoy convencido de que sin este prólogo, que será una invitación y no una demostración rígida y con bases científicas recias y necesariamente duras, poco amables y suficientemente oscuras, mucho de lo que podrá obtenerse al través de una serie de mostraciones, que deseamos sean por lo contrario amables y amenas, vendría por tierra.

Si nos hemos -decidido en esta ocasión por tema tan intrincado y cercado de malos entendidos, no menos que de oposiciones, inconsistentes, lo-reconozco, mas al fin oposiciones que enfrían al más encendido de los entusiasmos, ha sido porque se me ha solicitado de parte de uno de los más estudiosos, perseverantes y promisores grupos de profesores jóvenes

* Curso sustentado en El Colegio Nacional, en noviembre de 1967. . - . -■"-:••.'.'

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de Historia del Arte en nuestra Escuela de Arquitectura de la Universidad Nacional y porque el organizador del Seminario de Restauración de Monumentos, le ha dado la bienvenida para incluirlo en el curso de este año, a la vez que me ha proporcionado documentos que he aprovechado, tanto por incluirlos en el etudio que presento, como por analizar los monumentos a que algunos se refieren.

Se hace por todo esto inaplazable una respuesta a esa inquietante pregunta de ¿por qué los trazos? Para evitar que acontezca algo así como decía el humorista inglés Chesterton en una de sus más destacadas obras, que al hombre moderno le sucede que al tratar en una reunión de científicos acerca de la sensibilidad de un determinado felino: el gato, comienza negando la existencia del gato. No sería productiva ni lógica la empresa de internarnos en el intrincado y abrupto terreno de los trazos, si por adelantado negamos el trazo como instrumento auxiliar que fue para el arquitecto de miles de años y será para el actual. Y ¿cómo entender su actual sentido si nuestra afección al tema se torna apasionadamente en su contra, en vez de abrir con fría generosidad de científico la puerta de la reflexión y del conocimiento a lo que nos ofrece el cuantioso acerbo de que habremos de tomar lo fundamental para nuestras mostraciones y aplicaciones?

El estudio sistematizado de los trazos reguladores de la proporción constituye, en esta mitad de nuestra centuria, una disciplina compleja y ardua. Quizás por ello la oposición y el desconocimiento de que es objeto. No obstante pertenecer el tema a la Teoría del Arte, exige buena dosis de geometría y aritmética, no menos que el auxilio de otros conocimientos históricos y filosóficos; mismos que han sido el punto de partida para las conquistas logradas por una serie de investigadores notables a quienes se debe el lugar y la consistencia que actualmente le corresponden.

La naturaleza de este amplísimo capítulo de la Teoría del Arte, nos exige dejar bien claro el objeto que persigue la serie de pláticas que hoy iniciamos. Sería falta de cordura pretender resumir en las ocho sesiones de que dispondremos, toda la amplitud que ofrece el tema y, no menos carente de sensatez, juzgarlo por lo que en tan escaso tiempo po-dremos y deberemos dejar aquí expuesto. Nuestro propósito es intro-ducir e invitar al estudio de los trazos; y cosa de particular interés, a su elemental práctica de parte del arquitecto; lo mismo del activo creador, que del historiógrafo; del dedicado a las restauraciones de monumentos, que del investigador orientado hacia otros aspectos de la Teoría de nuestro Arte.

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No puede ser sino modesta la intención que mueve la serie de mostraciones que constituyen nuestro estudio; sin por ella dejar de inflamarse en el más sano entusiasmo que a todo intelectual, a quien anime la juventud del espíritu, despierta introducirse a campos conectados con su especialidad, y que poco o nada frecuenta. Inútil agregar que para aquellos que han tenido contacto con el tema, tras de estiadios de mayor cuantía, muy poco o nada podrá ofrecerles esta introducción invitativa como no sea llevarles a un más sólido convencimiento de la amplitud que presenta al estudioso y la seriedad y multiforme preparación que le exige.

Los conocimientos y las técnicas que integraron la disciplina de los trazos han sido una tradición que pervivió por milenios a los avatares de la historia mediterránea. Sin embargo, al finalizar el siglo xvni y alborear el XIX, el racionalismo, la conmoción revolucionaria francesa y algunas de sus consecuencias, como fueron el establecimiento del sistema métrico decimal y la enseñanza de la arquitectura en escuelas abiertas libremente al público, no menos que el naciente romanticismo, truncaron lo que había sido una tradición transmitida bajo juramento, de maes-tros a discípulos; de iniciados, como se llamaba a los poseedores de esos conocimientos, a neófitos que solicitaban ingresar, ya a los sindicatos o masonerías de la Edad Media; ya a las Academias Pitagóricas de los tiempos clásicos o quizás, mucho antes, a cenáculos o talleres cuya organización entre los egipcios es casi desconocida. El hecho histórico como sea nos interesa para explicarnos, por un lado la continuidad y por el otro por qué al cercenarla de un certero golpe, los últimos iniciados se llevaron sus conocimientos y secretos a la tumba. Un pasaje de la Crónica de Utrecht del siglo XIV, deja translucir el celo con que los "iniciados" guardaban los conocimientos que se les confiaban; he aquí lo que relata: "Habiendo inopinadamente llegado el obispo a la obra de la catedral y sorprendido los secretos del maestro de obras, quien se ocupaba haciendo trazos, no vaciló éste en darle muerte inmediatamente. Si se toma en cuenta la significación religiosa del obispo y el sitio en que se encontraban: la catedral, podrá apreciarse la gravedad del acto cometido". (Jou-ven, p. 70).

Los arquitectos de las nuevas generaciones del siglo xix, discípulos de los últimos iniciados fuera ya de las corporaciones juramentadas, se interesaron paulatinamente en descubrir lo que presentían existir y nunca se les enseñó. Durand fue uno de ellos y un revolucionario maestro; sin embargo, sus enseñanzas consignadas en su bien conocido Tratado de Arquitectura, basan la composición, desde el punto que nos interesa,


en la modulación más shnple: la cuadrática o sea: la cuadrícula; que tanto efecto ha causado en las últimas generaciones de arquitectos y que, como se ve, no es novedad. Debe subrayarse este hecho para apreciar la vaga tradición que aún palpitaba en el arquitecto del pasado siglo y la que sigue palpitando en el actual, quizás por el innegable vacío que dejó la ausencia de aquella milenaria técnica con que rectificar las composiciones estilísticamente más disímbolas. A todo arquitecto asalta la eterna duda al concluir su obra: comprobar sus aciertos es una satisfacción y descubrir sus desaciertos una positiva ayuda.

Al polifacético arquitecto VÍollet-Ie-Duc y a otros investigadores como Choisy y el Dr. Tierchs, tocó abrir la marcha interesada en extraer de los únicos testigos vivos que existían: las grandes obras, aquellos truncados acontecimientos de que tenían noticias aunque los ignoraban en su auténtico contenido. Sus conclusiones, de meritoria validez, han podido ser corregidas y superadas en nuestro siglo merced a los arquitectos, arqueólogos, estéticos y matemáticos que apoyados en textos de Platón, Euclides, Aristóteles y otros más; así como interpretando a Vitrubio, a Luca Pacioli di Borgo, Leonardo y Alberti, y valiéndose de escritos de tratadistas posteriores como Blondel han llegado a una posible reconstrucción de los sistemas empleados secularmente o quizás al menos a establecer otros similares; ya que, ante las obras calificadas como maestras por distintas épocas, cada uno de estos sistemas, diferentes en detalle, han coincidido poniendo de manifiesto la existencia de un tema armónico regente mediante la geometría y el cálailo aritmético.

—Tnmcada la tradición, los trazos, de instrumento cotidiano del arquitecto que fueron, se han convertido en motivo de investigación científica para un escogido y reducido grupo y para otro, el mayor y bien numeroso por cierto, de repulsa y de insana crítica. Julián Guadet, gran maestro de Teoría de principios del siglo, atacó virulentamente a Vitrubio y al hablar de la Proporción dice: "la ciencia nada tiene que ver. . • (ni tampoco) las cabalísticas combinaciones; las propiedades de los números. . . (son) . . . pura quimera o superstición"; sin embargo, más adelante parece volver por sus fueros diciendo: "la arquitectura no tiene reglas: tiene leyes que nadie podrá violar impunemente. Sería de interés deducir con certeza esas leyes, de la va^'iedad de las proporciones" (J. Guadet, tléments et Théoríe de l'Archiíectm-e, Vol. I, p. 138). Cabe preguntarse cómo serán castigados quienes infrinjan las leyes de nuestro Arte; si él mismo dice que sería de interés deducirlas de la variedad de la proporción en las grandes obras históricas. - .. .. ■


El grupo de investigadores ha seguido el consejo del maestro francés al intentar descubrir esas leyes, que no son otras que las de la armonía que rige las grandes creaciones artísticas del hombre y las formas del cosmos, del que, a la postre, el hombre es parte. Mas al lado de este grupo selecto y reducido de investigadores y de estudiosos, debe comprenderse al grupo más numeroso, aquel que siguió el rumbo que también señaló el mismo Guadet, sólo que en su aspecto negativo. Debe notarse que semejante actitud de repulsa arranca del pasado siglo, y a pesar de la tremenda evolución registrada estilísticamente y en tantos otros aspectos de nuestra cultura, alimenta aún a muchos arquitectos que, sin duda, ignoran el nivel alcanzado por los investigadores y quizás por este desconocimiento, deturpan peyorativa y olímpicamente, no en terreno científico, lo que creen coincidencias fortuitas o vulgares recetas culinarias. Sin embargo, estos mismos profesionales se traicionan al aceptar sin discusión los sistemas modulares para componer sus plantas, que no otra cosa son la cuadrícula y las fórmulas —verdaderas recetas—- que les obsequian los peritos en Estática y en movimientos telúricos, sin percatarse que el sistema cuadrático, al igual de las fórmulas de la mecánica, se apoyan en la armonía cósmica interpretada al través de la geometría y la matemática en general que, a la postre, han sido los instrumentos milenarios empleados por los artistas del espacio arquitectónico.

¡Qué fácil es volver la espalda a lo que se desconoce, tanto como tildarlo de inexistente cuando se ignora, por voluntad o por circunstancia! Para el auténtico hombre actual de ciencia, nada es desechable, mientras no alcance una evidencia plausible que autorice su eliminación y aún entonces dice con sana prudencia: 'parece ser' o 'por ahora parece' que esto es así, pues una experiencia vivida por toda una generación, muestra que lo que ayer se supuso absurdo, ahora es una realidad tangible; y lo que ayer se preconizó como legalidad absoluta, ha pasado a ser simple accidente condicionado. La ruta que sigue la ciencia actual es bien diferente a la que, en la nuestra, la del arte, adoptan muchos que al penetrar en sus dominios extravían la brújula y se revuelven sonambúlícamente.

A pesar de todo, como decíamos, hay que situarse comprensivamente en el punto de vista del arquitecto actual alejado de esta clase de estudios, si hemos de intentar hacer eficaz nuestra invitación a penetrar a este su campo. Lógicamente surge una pregunta que es además objeción: ¿para qué sirven los trazos? ¿no acaso la proporción se alcanza cuando se posee talento al través de estudiar las grandes obras maestras? ¿el músico, no se forma de igual modo interpretando las obras maestras antes de lanzarse a la composición? Esta pregunta me la hice yo también en


1921, al primer contacto con los trazos armónicos que hacía Diego Rivera en sus grandes pinturas murales. Me inquietó ver a un revolucionario en todo aspecto como él, recurrir sin eufemismos al trazo; abrió para mí un nuevo panorama, que se acrecentó poco tiempo después al conocerse en México el ya histórico libro de Le Corbusier: Vers une Archi-tectm'e en el que, amén de otras muchas enseñanzas y sugerencias, se pronuncia decidido moderno de vanguardia a la vez que acérrimo partidario de los trazos armónicos. En esos años se contaba ya con obras escritas como la de Cook Lm curvas de la vida que daban a conocer el fruto de pacientes y sabias investigaciones en la materia. En Europa, los pintores más avanzados practicaban habitualmente dentro de las nuevas corrientes estilísticas, los sistemas de trazos derivados de la sección áurea.

Paréceme, por tales motivos, inmejorable puerta de ingreso al estudio del tema, el esplendente ejemplo de Le Corbusier, por ser la figura más respetada en nuestro momento; por haber cumplido una brillantísima trayectoria como técnico y como arquitecto-artista del espacio y por ser insospechable de academismo o de escolaridades; ya que, como es sabido, se formó con Perret y fuera de las escuelas. Y. nada mejor que traer a cuento algunos pasajes de su Cronología, verdaderos y evocativos trozos de memorias escritas por él mismo en su Modular, con aquel estilo un tanto cortado e incisivo que practicó toda su vida.

Dice: "a los veintitrés años de edad, sobre la mesa de dibujo, nuestro hombre —se refiere en tercera persona a él mismo— ha dibujado la fachada de una casa que va a construir. Se plantea una angustiosa pregunta: ¿cuál es la regla que ordena, que liga todas las cosas? Me encuentro ante un problema de naturaleza geométrica; estoy en pleno fenómeno visual; asisto a la creación de un ser en sí mismo. ¡Por la garra se conoce al león! ¿Adonde está la garra, adonde el león?. . . Gran inquietud, gran zozobra, enorme vacío. Un día,. . . sobre la mesa se encuentran diversas tarjetas postales ilustradas. Su ojo se ha fijado en la fotografía del Capí-tolio, de Miguel Ángel, en Roma. Su mano ha tomado otra tarjeta y puesto hacia arriba su cara blanca, intuitivamente pasea uno de sus ángulos (el recto) sobre la fachada del Capitolio. Súbitamente una verdad admisible se le aparece: el ángulo recto rige la composición; los lugares geométricos (lugares del ángulo recto) comandan la composición íntegra. Esto es una revelación, una certidumbre. La misma prueba triunfa sobre un cuadro de Cézanne. . . la composición de las obras de arte está ordenada por reglas; reglas que pueden ser métodos agudos, sutiles, conscientes; más también pueden ser recetas vanalmente aplicadas. Pueden estar implicadas en el instinto creador del artista, como manifestación de una


armonía intuitiva, en el eejmplo de Cezanne es casi seguro; Miguel An-gel era de naturaleza diferente, inclinado a los trazos voluntarios y preconcebidos, sabios... Cuando años después de su escrito El Espíritu nue^ y Los trazos Reguladores (1921), aparecen los libros de Ma-tila Ghyka sobre la proporción en la Naturaleza y las Artes y sobre el Número de Oro, no estaba preparado para poder seguir prácticamente la demostración matemática (el álgebra de las fórmulas); por lo contrario, las figuras, que de hecho son su objeto, instantáneamente le son aprehensibles". (p. 29).

—Otro pasaje consigna: "En 1945, tras años de estancamiento, encontró una frase para expresar el fondo de su sobresalto: "El Espacio Indecible" y la formuló así: Tomar posesión del Espacio es el primer gesto del viviente, hombre, bestia, planta, nube, como manifestación fundamental del equilibirio y la perduración. Prueba primaria de la existencia es la ocupación del espacio. La flor, la planta, la montaña, están de pie, viven en un medio. Si algún día atraen la atención por su actitud afirmativa y soberana, es porque destaca su contenido al provocar resonancias a su derredor. Nos detenemos, sensibles a tan elevado cúmulo de ligamentos naturales; y nos sentimos emocionados ante las múltiples concordancias que orquestan las numerosas espacialidades; y entonces conmensuramos lo que irradian y percibimos. La arquitectura, la escultura y la pintura son específicamente dependientes del espacio; por ellos se exigen la necesidad de gobernarla, cada una según su propios medios. Lo que lleva a concluir algo esencial: la clave de la emoción estética es una función del espacio".

Más adelante se refiere a obras pictóricas y arquitectónicas suyas en las que aplicó a partir de 1918 los trazos reguladores, y dice: "Lugar geométrico del ángulo recto, sección áurea, espiral logarítmica, pentágono, . . . Grupos geométricos que aportan cada uno en sí mismos cierta forma de equilibrio específico, y dan por resultado los diferentes caracteres. El trazo regulador no es en principio una preconcepción; se elige según lo demande la composición que ha sido obtenida previamente, bella y bien nacida. El trazo sobre el plano de equilibrio geométrico tiene por misión ordenar y producir claridad, cumpliendo o reclamando ima positiva purificación. El trazo regulador no aporta ideas prácticas o líricas, no inspira temas, no es creador, sino fuente de equilibrio. Problema de plástica pura". (£/ Modular, 3a. edic. p. 34).

. . . Allá en una de sus primeras publicaciones de los años veinte, al pronunciarse una vez más partidario de los trazos reguladores, explicaba que éstos no representan en la composición sino una especie de prueba


por nueve o reducción a la unidad', como la que se emplea en aritmética para probar una multiplicación. Sí la prueba acusa error en el producto debe corregirse; si por lo contrario manifiesta ser correcto, aceptarse con mínimas probabilidades de equivocarse. Así deberán entenderse los trazos reguladores.

Basten por ahora las citas que llevamos invocadas y después las ilustraciones que mostraremos, para hacernos sentir la convicción que este gran arquitecto contemporáneo tuvo arraigada en su criterio y en su práctica desde que hizo sus primeras armas dentro del campo creativo como arquitecto y como pintor. Jouven, uno de los más recientes expositores que no sólo han estudiado sino practicado con gran proliferación los trazos, dice al respecto: "El espíritu de los trazos debe poseer bien hondas raíces, para que a pesar de haber desaparecido su tradición —se refiere a la transmitida al través de los siglos de maestros aprendices en las corporaciones de arquitectos y de maestros de obra— arqueólogos e historiadores se esfuercen en redescubrirla y arquitectos como Le Corbusier o Vidal, intenten revivir y sacar a plena luz esas prácticas milenarias" (Rylhme et Afchitectwe. Freai. Paris. 1951, p. 68).

—Esta invocación de Le Corbusier abrirá sin duda una primera puerta para penetrar con interés y confianza o al menos benevolencia, a la disciplina a que invitamos. Existen, empero, otros argumentos de peso basados no en la simpatía que nos ofrece el gran creador a que nos hemos acogido, sino en pacientes y asombrosas investigaciones científicas que nos llevan a ver con claridad cómo la armonía que persiguen alcanzar las composiciones milenarias y actuales empalma misteriosa pero evidentemente con la que presta unidad armónica a los diversos seres de nuestro cosmos. La armonía cósmica es el lazo que liga, o la trama sobre que se borda la unidad del universo, de este cosmos que es uno y a la vez verso, diferente. Bien conocidas son las definiciones agustinianas de belleza: orden esplendente y unidad en la variedad.

El ser humano, siendo parte del cosmos y poseyendo el libre albedrío de que no disponen la planta, el mineral o la bestia, cuando su voluntad y su genio creador lo conducen a la obra de arte sublime, realiza en ella un otro aspecto de la armonía cósmica, porque quizás ha logrado incorporarse e incorporar su obra mayormente a las obras mismas de la naturaleza. El hombre de genio que sobresale en su momento histórico, de hecho lo que hace es arraigarse más al cosmos y quintaesenciar y expresar su propia naturaleza cósmica, creando algo que es humanamente nuevo y a la vez obteniendo la sublimación de su obra mediante su parentesco genuino con el mismo cosmos y al través de esa misteriosa red


armónica que envuelve al mundo que se nos da y al que paso a paso, al través de las edades, ha ido penetrando con su intelecto.

—Unas cuantas citas más, sólo que de científicos e investigadores recientes, y precisamente recientes, para constituirse en argumento de peso ante el actual arquitecto, nos permitirán asomarnos a esta armonía cósmica, que el hombre de todos los tiempos ha perseguido y tratado de aprehender con el instrumento que inventó y llamó Geometría; esa Geometría que ahora estamos considerando como 'auténtica interpretación sensorial y macroscópica del cosmos', a la vez que con la aritmética se nos presenta históricamente como una de las 3 partes de aquella otra helénica (la Logística, la Aritmología y la Aritmética) de la que el occidente se apartó y casi olvidó a partir del invento de las cifras árabes, para concentrarse casi con exclusividad en el dominio del cálculo. Un filósofo y matemático eminente y actual, Jiertrand Russel ha dicho: 'Quizás lo más singular de la ciencia moderna sea su retorno al pitagorismo'. Esta afirmación candente podría proporcionarnos un amplio tema de confrontaciones entre las doctrinas pitagóricas y las actuales conquistas de la Logística y la metafísica del número, llevándonos a entender múltiples pensamientos helénicos que fueron anteriormente interpretados como simples metáforas: "El número es Dios', y el hondo sentido de la palabra 'cosmos' inventada por Pitágoras y que significa no otra cosa que 'orden'. Por la geometría se ha intentado penetrar el orden de la creación divina, se ha intentado en suma comprender, patentizar ese orden, presente en cada uno de sus integrantes, el hombre lo mismo que los sistemas astrales o las moléculas químicas.

He aquí unas cuantas referencias a la armonía cósmica, comprobada por la geometría en el mundo inorgánico para después empalmar con el orgánico.

—Matila Ghyka, en su erudita obra Estética de las proporciones en la naturaleza y en las artes (Gallimard. París. 1927), estudia en el capítulo IV la "partición del espacio, el equilibrio cristalino y el principio de la menor acción", iniciándolo con la equipartición del plano y del espacio tridimensional; prosiguiendo con una exposición de los principios de Hamilton de la menor acción debidamente reformados tras los trabajos de Einstein, Weyl y Eddington, para llegar a la conclusión, por demás sorprendente y evidente, de que "El examen detallado de la equipartición y de las particiones homogéneas del espacio conduce a la teoría completa de los sistemas reticulares del punto, que ha permitido en los cien últimos años, construir la cristalografía como lugar de conjunción de la Ciencia al que concurren la geometría, la química molecular y la


teoría general de la simetría". El connotado sabio francés Louis de Broglie, que tanto ha contribuido al progreso de la ciencia contemporánea, dice respecto a esta simetría geométrico-cósmica; . . ."juega un papel considerable en la naturaleza: todo se modifica o los fenómenos transcurren con diferentes aspectos según esté presente o ausente o aparezca con tal o cual carácter. Grandes pensadores científicos como Pasteur o Fierre Curie, han subrayado la importancia de considerar la simetría no sólo en cristalografía, adonde es evidente, sino en todas las ciencias físico-químicas y aun en las biológicas. Emparentada estrechamente con los conceptos abstractos de la teoría de los grupos, el estudio de la simetría es una de las grandes disciplinas que intervienen en todas las ramas de la ciencia contemporánea. Y precisamente porque las simetrías o su ausencia rigen el aspecto de todos los fenómenos, intervienen también en todas las manifestaciones de la vida cotidiana y en particular en el arte". {La SymétYíe, Préface de Louis de Broglie. NicoUe. La Colombe. Paris, 1955).

Justamente el principio de Curie establece que "Para que un fenómeno pueda producirse en un medio, se requiere que no existan en él determinados elementos de simetría" (esta es la disimetría, causa del fenómeno). En un medio perfectamente homogéneo e isótropo no existe 'razón suficiente para producirse un cambio'. "Existe una forma más general del principio de menor acción de la que se puede, según parece, deducir no sólo las ecuaciones gravltacionales, sino también las leyes electromagnéticas y termodinámicas..." (M. Ghyka. Op. cit. p. 16). Otra afirmación conviene mencionarse: "Todo sistema físico-químico aislado (en que no se encuentren organismos vivos) tiende a una posición estable siguiendo una evolución regida por el principio de menor acción (o principio de acción estacionaria de la teoría de la relatividad) cuya forma estadística es: . . . 'Un sistema (por ejemplo un universo) evoluciona constantemente de los estados menos probables a los estados más probables; siendo la configuración de probabilidad máxima a la vez la de entropía máxima, la de mayor degradación de la energía. Cuando el estado de equilibrio final da lugar a configuraciones relativamente estables o aun rígidas, como en los cristales, pueden resultar formas o complejos más o menos geométricos cuyos detalles son igualmente determinados por incidencias especiales del principio general denominado anteriormente ley de la equiparticíón de la energía, ley de la energía poten, cial de superficie mínima, ley de repartición homogénea o simetría de los elementos moleculares y atómicos". (M. G. p. 165).


Entre las 230 formas posibles obtenidas de combinar estas leyes con la teoría de la partición homogénea del espacio, se encuentran las retículas o mallas cúbicas y exagonales y todas sus posibles combinaciones mutuas, pero nunca el pentágono, ni los sistemas pentagonales. En las formas cristalinas o geométricas observadas en la naturaleza, inorgánicas, se encuentran asimismo el tetraedro, el cubo (y su recíproco el octaedro) y todos sus derivados "arquimediales" u otros de simetría ortogonal u oblicua, pero nunca de los dos cuerpos platónicos de armadura pentagonal: el dodecaedro y su recíproco el icosaedro, y ninguno de sus derivados. El estudio general de los sistemas isótropos podía ya prever una preferencia de los sistemas en equilibrio por las retículas cúbicas o exagonales o una combinación de estos dos tipos (cuboctaedro, poliedro de Kelvin, dodecaedro romboidal, etc.); la ley de índices racionales (que no sólo es una observación empírica, sino también una deducción teórica del estudio general de los grupos de simetría y de la partición homogénea del espacio) prueba que la constatación más elevada, la del hecho, tiene una razón lógica y excluye que el pentágono, el dodecaedro y el icosaedro puedan aparecer en una forma cristalina inorgá-nica. Mostraremos después como ilustración, unas cuantas de las fotografías de cristales de nieve de entre los 4,000 tipos fotografiados por Wilson Bentley.

Todas estas citas llevan el manifiesto propósito de hacer, si no una demostración propiamente científica y matemática, porque no es el momento ni la oportunidad, sí fincar un convencimiento respecto al papel que la armonía representa en el mundo inorgánico y en el biológico y el no menos importante de la geometría como instrumento de interpretación y de comprobación de los fenómenos físico-orgánicos.

No escapamos a la tentación de citar, y sobre todo mostrar, una serie de ilustraciones, de un reciente estudio producido por un arquitecto alemán que no obstante referirse a temas amplísimamente estudiados en el terreno geométrico y aritmético, a la vez que con base en observación de la naturalcHa, resulta de interés por ser el último de que hemos dispuesto y provenir de un arquitecto y no de un matemático o de un estético. André Hermant se aboca al estudio de "la geometría y la arquitectura de los vegetales". (DLW Nachrichten 42. 1965). "De todas las 'construciones naturales' son ciertamente las plantas aquellas cuyas condiciones de economía y equilibrio estático tienen el mayor parentesco con las construcciones humanas... el árbol nos da un ejemplo de equilibrio perfecto entre Función, Estructura, Forma y Acción; de exactitud y de armonía que se denominan belleza. ¿Cómo explicar esa. espede de


geometría que se diría casi humana, la que preside la organización vegetal cual si un sabio matemático hubiese calculado monteas? Hemos inquirido de qué 'mecanismo' único y simple sería posible deducir todas las simetrías vegetales: desde la disposición relativa de las hojas y los tallos, hasta las principales de sus mirmas hojas y flores. Haciendo a un lado los factores morfogenctícos, así como las tropías que por la luz y la gravedad tienden a 'deformar', con finalidades fisiológicas, la geometría constructiva, consideramos ésta aisladamente o sea la geometría constructiva".

Expone en seguida una hipótesis que denomina de los "centros generadores", y continúa diciendo: "Los tejidos vegetales crecen por desdo-blamiento continuo de las células a intervalos de tiempos iguales; todo grupo de células se encuentra multiplicado por una constante (q) y el número total de células del grupo se convierte en Mq al cabo de un tiempo ( t ) ; Mq- en un tiempo 2t. . . y Mqn en un tiempo nt. Así cada célula da nacimiento a dos otras al cabo de un tiempo t, después de cada nuevo tiempo t el número se dobla y será: M, 2M, 4M, 8M, 16M, 32M. . . . todo elemento vegetal, siendo la suma de células, las partes homologas de una planta se desarrollan simultáneamente formando una progresión geométrica cuya razón es (q) ■—o sea la relación dimensional entre dos elementos consecutivos—. . . Es propiedad de las progresiones geométricas el que cada término sea media proporcional entre el precedente y el siguiente. . . un elemento aialquiera será pues en principio igual a la raíz aiadrada del producto de los dos elementos que le son contiguos: b = V^^c". Al referirse a la simetría axial agrega: "Es notable que el número de ejes principales sea siempre igual a la suma de los números de espirales derechas e izquierdas y que estos números —ejes o espirales formen siempre una serie de cifras, denominada 'serie Fibonacci' en la que cada término es igual a la suma de los dos que le anteceden: 1, 1, 2, 3. 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89 , . . . Esta serie presenta la particularidad de que la relación entre dos términos tiende por exceso o defecto alternadamente hacia el número de oro 1.618. . . El estudio de la geometría de los vegetales es el objeto de una sección de la Botánica denominada Filo-taxia.—La explicación biológica de estas formas no parece aún haberse encontrado". Concluye su estudio diciendo: "Ojalá pueda la arquitectura que hace el hombre, alcanzar con igual sencillez de medios la diversidad armónica de las selvas de las praderas y de los jardines". Las ilustraciones que veremos harán más explícita la realidad que pretendemos dejar aquí aprehendida: que en el mundo vegetal, lo mismo que vimos acontecer en el mineral, las formaciones pueden observarse y envolverse

LOS TRAZOS REGULADORES DE LA PROPORCIÓN ARQUITECTÓNICA 1 8 1

en trazos de una geometría y una aritmética armónicas. En las ilustracío-nes podremos apreciar cómo este investigador ocasional coincide, quizás sin saberlo, con los científicos y matemáticos que desde hace decenios han expuesto el resultado de sus observaciones: baste citar "La curva de la vida" que estudia Theodore Cook a principios del siglo y las amplísimas aplicaciones que Ghyka hace en 1927 de bs espirales logarítmicas que presiden el crecimiento de diversos seres vivos.

—Bien sabido es que estos estudios no se han concretado a sólo minerales, vegetales y animales; en el cuerpo físico del hombre se ha encontrado desde tiempos remotísimos toda una gama de dimensiones armónicas que han servido para crear los sistemas métricos. En efecto, los investigadores a partir del Renacimiento, han partido de los datos que consigna la secular obra de Vitrubio Pollion [Los diez libros d-e la Arquitectura) de fines de la Era antigua o primeros anos de la Cristiana, que como es del dominio público, representa el único tratado de arquitectura de la antigüedad clásica llegado hasta hoy a nuestra civilización mediterráneo-occidental. En su Capítulo I del Libro III, dice: "La composición de los templos depende de la simetría —debe advertirse que simetría en griego se denomina lo que ahora llamamos proporción; la lexicología griega de simetría significa 'con medida' cuyas reglas por tanto deben ser observadas cuidadosamente por los arquitectos. Nace la simetría de la proporción que los griegos llaman analogía. La proporción es una correspondencia de medidas entre una determinada parte de los miembros de cada obra y su conjunto: de esta correspondencia depende la relación de las proporciones. En efecto, no puede hablarse de una obra bien realizada, sí no existe esta relación de proporción, regulada como lo está en el cuerpo de un hombre bien formado. Ahora bien, la Naturaleza ha hecho el cuerpo humano de manera que el rostro, medido desde la barba hasta lo alto de la frente y la raíz de los cabellos, sea la décima parte de la altura total". Sigue aduciendo proporciones de las diversas partes del cuerpo para, al final del párrafo 2, expresar: "En cuanto al pie es la sexta parte de la estatura del cuerpo; el codo la cuarta parte. El palmo la vigésima cuarta y así todos los demás miembros tienen cada uno sus medidas y sus correspondientes proporciones, de las que se han servido los más celebres pintores y escultores antiguos, que con ello consiguieron fama eterna". . . En el párrafo 3 se lee: "Asimismo, como naturalmente el centro del cuerpo humano es el ombligo, trazando con el compás un círailo, este tocaría los dedos de las manos y de los pies; y lo mismo que se adapta el cuerpo a la figura redonda, se adapta también a la cuadrada: por eso, si se toma la distancia que hay de la


punta de los pies a lo alto de la cabeza y se confronta con la de los brazos extendidos, se hallará que la anchura y la altura son iguales, resultando un cuadrado perfecto". (Mostraremos después el trazo vitrubiano interpretado gráficamente por Leonardo da Vinci y otros como el de Agrippa, el de Bonomi del siglo XIX y un último estudio del danés Eivind Lorenzen en su magnífico estudio técnico sobre la Metrología antigua).

—Con toda intención he abusado de la paciencia de ustedes alargando esta exposición de citas, para hacer sentir que nos encontramos ante un verdadero cúmulo de estudios de una amplitud, hondura y seriedad científica, insospechadas para el profesional dedicado tan solo a crear arquitectura y aun para otros que laboran en diversos aspectos de nuestra actividad, ya sean éstas eminentemente técnicas o cabalmente humanísticas; y que de una copiosa bibliografía sobre la armonía del cosmos y sus manifestaciones en sus diversos grupos de seres, se llega sin esfuerzo al convencimiento de que nada extraña tras semejantes incursiones, que el hombre, parte del cosmos como es, ejerciendo su relativa libertad, tienda a plasmar esa misma armonía cósmica en sus obras, sin saberlo ni intentarlo en muchas ocasiones. Cuando está dotado de genio, la realiza en su creación porque precisamente su estructura natural humana, físico-biológica y psico-espiritual, la reclama al imperio de ocultas leyes o por mecanismos que no conocemos, de manera similar a como hemos visto que los grupos y las plantas, o las conchas del molusco cumplen esas leyes que estructuran en último análisis la armonía descubierta por el mismo ser humano y perseguida por su inteligencia creadora. Volvamos a citar ahora aquella frase explosiva de Bertrand Russel: "Quizás lo más singular de la ciencia moderna sea su regreso al pitagorismo" y después este otro pensamiento de hace casi quinientos años de Leonardo, que patentiza cómo en el momento que estamos viviendo de tan asombrosas realizaciones y tan aparentes innovaciones van resultando más y más concurrentes las ramas de la ciencia y del arte divorciadas por la última centuria: "La Naturaleza no infringe jamás su propia ley. . . ¡Oh ínexo^ rabie necesidad, fuerzas los efectos a ser resultado directo de su causa y por una ley suprema e irrevocable, cada acción natural te obedece por el proceso más corto! ¿No es asombroso que Leonardo, el artista y el científico, haya sido el primero en intuir siglos antes de hoy el principio de la menor acción de HamÜton como ley del cosmos, aunándolo al principio de causalidad?

—Las nuevas técnicas a que está dando lugar el empleo de las computadoras electrónicas haa abierto uíi fecundo campo no sólo a la investí-


gación de la armonía en las obras de arte en general, sino también al manejo de la misma armonía cuando, se entiende, quien las pulsa tiene genio creador.

Las novísimas composiciones de música electrónica son un estímulo, sobre todo para el arquitecto que sea auténticamente actual. Es claro que la complejidad de los problemas arquitectónicos exige conocimientos y habilidades que aún no posee la generalidad o quizás ninguno. Posiblemente muy pronto afloren en nuestro agitado mundo actual, sistemas que dejarán confusos a quienes hoy deturpan y ridiculizan la aplicación de la matemática al arte: se perfilan tiempos nuevos que exigen nuevos espíritus y preparación, no menos que amplio criterio para volverse y ver lo antiguo, para avalorarlo y para aprovecharlo, no para regresar a tiempos históricos ya liquidados. Ver hacia atrás significa experiencia, hacia adelante: previsión y hacia hoy realidad, que es lo único que nos pertenece.

—Si hemos ya cruzado, con benevolencia al menos, el umbral de la puerta que conduce al campo de nuestro tema, cabe plantear los diversos enfoques que se imponen como esenciales para alcanzar la propuesta introducción a su estudio y a sus aplicaciones prácticas: en primer término habrá que precisar lo que entendemos por proporción en arquitectura, y lo que habremos de significar por trazos reguladores. En seguida nos asomaremos muy por encima al instrumento de los trazos, la geometría armónica, del modo más sencillo que permita apreciar su variedad de recursos y sus aplicaciones; tras lo cual haremos una exposición sustancial y necesariamente menos que enciclopédica de los sistemas actuales de mayor consistencia científico-histórica: veremos al del noruego Ma-cody Lund, el del norteamericano Hambidge, aclarado por el más reciente de sus expositores, el francés Jouven, el del arquitecto y estético alemán Moessel, el del franco-germano Funck Hellet y por último, haremos breves referencias a los tres sistemas antropométricos, al de Le Corbu-sier, al de Ezra Ehrenkrantz y al más reciente —de 1966— del danés Lorenzen. En seguida dedicaremos tres de las últimas sesiones a mostrar aplicaciones prácticas a algunos monumentos históricos entre los que incluiremos algunos de las épocas precortesiana y virreynal de nuestra rica historia arquitectónica.

—Para cerrar esta nuestra primera sesión, veremos unas cuantas ilustraciones gráficas, referentes a las diversas citadas durante nuestra expo-sición verbal.


—llustracrones:

1. Villa 19l6-Le Corbusier. 2. Villa de Carches, 1916, de Le Corbusier. Fachada principal. 3. ídem. Fachada posterior. 4. ídem. Trazo regulador de las fachadas. 5. Mundaneunm. Planta de conjunto. 6. ídem. Trazo Regulador. 7. Particiones isótropas del plano. 8. Cristales de nieve. 9. Formas pentámeras orgánicas. Marinas. "Kunst formen der Natur".

10. Caracol. Dolium Perdix "Proportional Form". 11. Simetría exagonal. 12. Hermant Andrea. Forma de inserción de las hojas. 13. Hermant Andrée. Forma de inserción de las hojas. 14. Hermant Andrée. Formas de hojas. 15. Hermant Andrée. Formas de hojas. 16. El esquema antropométrico-vitrubiano de Leonardo da Vinci. 17. El esquema antropométrico-vitrubiano de Agrippa Netesheim. 18. El esquema vitrubiano de John Gibson y J. Bonomi. London. 1857. 19. El esquema metrológico vitrubiano de Lorenzen 1966.

SEGUNDA PARTE

PROPORCIÓN Y TRAZOS: El concepto de proporción arquitectónica.— Diversos aspectos concurrentes.^La proporción racional.—La proporción psicológica o escala. La proporción estética. Sentido atual de los trazos.—Bases para su estudio.

Estuvo consagrada nuestra primera plática a constituirse en preámbulo invitatorio a lo que deseamos sea una introducción al estudio de los trazos reguladores de la proporción, particularmente en el campo de la arquitectura.

Nos acogimos al caso ejemplar de Le Corbusier, el notable arquitecto que ha dejado ya huella imborrable de su genial obra en la historia del siglo XX, por su fuerza creadora y su originalidad que no encontraron escollo alguno en los trazos de la proporción, sino por lo contrario, un instrumento de valor que siempre mereció de la parte de él, estí-

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mulo y entusiasta adhesión. Le siguieron en nuestra plática una serie de citas de diversos científicos e investigadores actuales, con la mira de sentar, no de demostrar rígidamente, que existe una armonía en el cosmos que envuelve por igual con sus leyes al hombre y a los demás seres que con él lo integran; leyes que ha perseguido la inteligencia humana desde hace milenios con el instrumento de su invención: la geometría y la matemática en general.

Apoyo para cuanto ha de seguir en nuestra introducción, esa armonía representa por ahora el único argumento para explicar el hecho comprobado amplia y secularmente de por qué al artista creador, lo mismo que al gustador de todos los tiempos históricos y lugares en que han florecido tan diversas culturas, han satisfecho estéticamente las obras de arte en que se ha comprobado y sigue comprobándose la existencia de un tema armónico emparentado o idéntico al que rige a los seres y a los fenómenos cósmicos. El misterio que significa por ahora esta concordancia y esta unificación del criterio de arte, trata de desentrañar la Ciencia o Teoría del Arte, auxiliada de otras disciplinas como la fisiología y la psicología. Algunas hipótesis se han ya presentado en los últimos tres cuartos del siglo, tales como la Teoría fisiológica de Borisav-lievitch, arquitecto y estético servio, quien ha dejado importantes estudios que esperan mayores comprobaciones y fundamentaciones, y anteriormente las tesis del Dr. Tiersch, para no citar sino a los más conocidos en la actualidad.

—Lo primero que se impone, ya lo decíamos en la plática anterior, es precisar qué entendemos por trazos reguladores de la proporción y en seguida qué, por la proporción que regulan. Jouven (Freal, París, 1951. p. 7), uno de los más recientes expositores y vulgariza dores de los trazos, orientado como hemos de ver hacia el sistema de Hambidge, los define así: "una figura geométrica cuyo dibujo coincida con las líneas principales de un edificio —o lo que es igual, su representación gráfica geometral. La elección de esta figura geométrica, concebida por el arquitecto al mismo tiempo que el edificio, descansa en las propiedades notables que posee aparejadas. El problema es conocer cuáles sean las propiedades notables que debe poseer la figura geométrica para constituirse en trazo armónico". El trazo, a mí entender, es un instrumento geométrico que permite poner de manifiesto la existencia de proporciones armónicas continuas o recurrentes en una composición, esto es, que en los diversos aspectos dimensionales de la obra existe una sola serie y gama de razones y de proporciones armónicas, que le prestan la indis-


pensable unidad y el orden que el gustador educado percibe y goza y el arquitecto comprueba.

Es de capital interés establecer un sentido claro y actual al papel del trazo regulador. Recuérdense aquellas certeras afirmaciones de Corbu-sier que citábamos en nuestro preámbulo: "El trazo regulador no es en principio una preconcepción; se elige según lo demande la composición que ha sido obtenida previamente, bella y bien nacida. El trazo sobre el plano de equilibrio geométrico tiene por misión ordenar y producir claridad, cumpliendo o reclamando una positiva purificación. El trazo regulador no aporta ideas prácticas o líricas, no inspira temas, no es creador sino fuente de equilibrio. Problema de plástica pura" (^Modular. 3a. edición, p. 34). Bien simple es, por lo que acaba de decirse, la defi-nición de lo que se entiende y se ha entendido por trazo regulador de la proporción; lo trascendental es saber producir armonía en la obra que se realiza, ser artista en verdad, poseer genio creador para concebir formas dentro del orden cósmico.

Ocupémosnos ahora, así sea de modo más que sucinto, del concepto de Proporción arquitectónica, ya que es igualmente esencial dejar sentada la segunda premisa sobre qué construir nuestras posteriores explicaciones. La proporción en arquitectura se refiere a una de las cuatro calidades óptico-hápticas de la forma, aquella que denominamos "métri-cc¿', siendo las otras tres, la figura, la cromática y la háptka. Propiamente hablando, la proporción es la calidad métrica: la que atañe a las dimen-shnes de la forma arquitectónica y ésta, la forma, es el objeto de la creación del arquitecto como técnico y como artista plástico del espacio edificado y del espacio habitable.

Y aquí, en este punto de partida, se hace indispensable aclarar una serie de conceptos que son básicos para comprender la proporción y para penetrar en el dominio de las dimensiones geométricas y de la armonía. Vitrubio dice: "Nace la simetría de la proporción que los griegos llaman analogía. Es una correspondencia de medidas entre una determinada parte de los miembros de cada obra y su conjunto: de esta correspondencia depende la relación de las proporciones. En efecto, no puede hablar-se de una obra bien realizada, sí no existe esta relación de proporción, regulada como lo está en el cuerpo del hombre bien formado". (L. IIL cap. I . l ) .

La proporción se entiende corientemente poco más o menos de manera pareja a la expuesta en esta cita por el tratadista latino. Según los más recientes investigadores, la auténtica proporción arquitectónica no debe confundirse estrictamente con una simple razón geométrica fruto


de comparar dimensiones físicas, sino que va más allá. Lurgat, por ejemplo, diferencia justificadamente lo que es proporción de lo que significa proporcionar. Y Hellet señala que la "simetría" helénica de que habla Yitrubio, no es la razón geométrica o aritmética, ni la proporción resultante de igualarlas, sino el medio que hace a las razones crear una proporción recurrente o concatenadamente armónica. Vitrubio dice en su Libro I cap. I: "los intrincados problemas de la simetría se resuelven por razones y métodos geométricos".

Hay otro punto de capital interés que no podemos dejar de lado en esta serie de pláticas enderezadas hacia la proporción arquitectónica: es la pluralidad de sus aspectos, dentro de los que se ubica el estético.

En rigor, la proporción arquitectónica ve hacia una armonía no sólo en cuanto a lo bello, sino en directa relación con la pluralidad y unidad de dimensiones del ser humano, cuya naturaleza cabalmente es multiforme: plural. Definimos por ello la proporción en nuestro campo como concordancia, armónica de las partes de una obra con su totalidad y con el multiforme ser humano. Arquitectura es, no hay que olvidarlo ni desestimarlo, arte de construir espacialidades habitables por el ser humano integralmente contemplado, y al agregar al sustantivo ser humano la palabra integralmente contemplado, queremos significar que lo consideramos en su pluralidad dimensional: no tan sólo en la pska imprescindible, ni tampoco aislada de la biológica inapelable, sino por igual en la psicológica y envolviendo y gobernando a todas en la infinita del espíritu que no puede ignorar a las otras tres dimensiones sin desintegrar el concepto de arquitectura. Por ello, al hablar de proporción no podemos considerar las dimensiones de la obra en sólo su aspecto físico-geométrico, conmensurable y numérico, sino como conjunción compleja y hasta misteriosa de dimensiones multiformes, tal y como multiformes son las del hombre para quien se crea y por quien se crea la arquitectura.

El problema se torna de arduo en casi inaprehensible cuando se persigue la concordancia en sus estratos más elevados, aquellos que por referirse al espíritu sólo el artista es capaz de objetivar en su propia obra.

0>ncretemos: la pluralidad dimensional humana se proyecta necesariamente como una figura sobre su propia contrafigura, en las dimensiones de la forma arquitectónica. Y cuando de dimensiones se habla en la forma creada, esto es, en la corporeidad de la obra, cabe la medida y la relación de medidas entre sí y con las que exige para su servicio el hombre. De comparar las dimensiones con una unidad métrica, nace el número y de él la cifra. Sería de enorme interés introducirnos en este escabroso y hermoso campo para ver cómo nace el sistema de medidas

MEMORIA DEL COLEGIO NACIONAL

de la contemplación del cosmos, y de referirlo al mesocosmos que es el hombre y cómo, la geometría y el número creación humana, genial, representan el intento milenario de penetrar el misterio del orden y del ritmo del cosmos.

—La proporción arquitectónica presenta, por lo que tan someramente llevamos expuesto, una serie de aspectos que, siendo de un mismo objeto, se requiere contemplar concurrentemente y a la vez uno tras otro en sus respectivas naturalezas, que son bien diferentes entre sí. El primer aspecto lo llamó un ilustre teorizante de principios del siglo, proporción racional, porque es raciocinable; y así lo es en cierto modo; deductible de las condiciones o problemas que debe resolver la forma arquitectónica: en pri-mer término del destino a que utilitariamente se dedicará la obra y, en segundo, del medio psico-eMficatorio, o sea de la materia prima edificatoria de que se vale el arquitecto para transformar el espacio, que en esa transformación radica el construir. Una gama fundamental e inicial de dimensiones, y por tanto, de razones y de proporciones, nace de estos dos considerandos: destino y material edificatorio y constvuctibilidad.

El aspecto raciona!, lógico como impropiamente quizás lo hemos denominado también, se refiere en suma al destino utilitario de la forma, a la resistencia mecánica de la materia- prima y a la corntructibilidad de la forma imaginada. Este primer aspecto, como se ve, atañe a las dimensiones físicas y biológicas del hombre, a la naturaleza de las cosas de que se sirve, y al cómo se sirve de ellas, o dicho de otro modo: a la naturaleza de los diferentes espacios que maneja, a la del propio ser humano y a ese capital dato que es la técnica, o el como los maneja.

El segundo aspecto de la proporción, tan imprescindible en arquitectura como el racional o lógico, posee una sutileza que escapa fácilmente al contemplador y, muy a menudo, al propio arquitecto; es el efecto psicológico que ejerce la dimensión física de la forma en el hombre que la usa y contempla; es aquel que en el léxico profesional se denomina escala arcfuitectónica; diferente, hay que notarlo, de la escala propiamente matemática que es un factor. La impresión que la dimensión causa en el hombre es un fenómeno psíquico y natural; toda dimensión la causa: una cosa es contemplar la pirámide de Teotihuacán en la llanura sobre que se yergue y otra muy diferente imaginarla trans-ladada a la Plaza de la Constitución, cuyas dimensiones coinciden casi exactamente con las de la base del monumento tolteca. La misma dimensión y proporción geométrica cobra diferentes aspectos psicológicos según se contemple en uno u otro medio, posición del ojo, ambiente circundante. El arquitecto maneja esta métrica de tipo psicológico en sentido


de su idea creativa: la torre, la plaza, la nave, cobran una significación dimensional distinta según la maneje el arquitecto con intención y desde Juego, habilidad, en relación a la luz, al color, al punto de vista en que se coloque el espectador. Es capaz de empequeñecer grandes dimensiones físicas al ensalmo de la proporción psicológica, o por lo contrario, agrandar lo que métricamente es pequeño. Una catedral, como la de México, es métricamente pequeña; su altura máxima es de 60 metros y sin embargo, el efecto dimensional que obtuvieron sus hábiles arquitectos la hace grandiosa. Para comprender este sortilegio baste traer a la memoria la altura en que se mueven las torres españolas más o menos contemporáneas de nuestra catedral. La torre de la catedral de Segovia mide, por ejemplo, 110 metros de altura y la de Córdoba 93- Ambas, más de vez y media o casi el duplo, y sin embargo, la grandiosidad de nuestra catedral es manifiesta y compite con la de aquéllas, de mayor altura.

—Como podrá verse, este aspecto de la proporción, es de una sutileza que no admite matcmatización del fenómeno, como no sea a base de una valoración numérica arbitraria que permita establecer relaciones propiamente aritmético-geométricas.

—El tercero y último aspecto es propiamente el estético: aquel que refiere las dimensiones de la obra, comparadas entre sí y con la totalidad de ella, al efecto estético que produce en el artista creador y en el gustador educado. A la proporción estética han enderezado sus investigaciones los notables científicos a que habremos de dedicar los capítulos siguientes; investigaciones que intentan penetrar el misterio de lo bello en la creación arquitectónica al través de la geometría de la forma. Y no debe sorprendernos esto, pues la fisiología y la medicina escudriñan actualmente el misterio de la vida y de la patología, que son fenómenos multidimensionales, al través de trazos geométricos proyectados bidimensionalmente sobre el plano de un electrograma con coordenadas cartesianas. No hay por tanto que inquietarse; ahora como hace siglos, los trazos geométricos sobre el plano bidimensional sirven como instrumento para obtener la evidencia y la estructura de una armonía multidimensional que se impone al gusto del contemplador de hoy y, al tratarse de monumentos seculares, se impuso al de tiempos históricos diversos al nuestro y distantes de los actuales.

—Cabe advertir que los otros dos aspectos de la proporción: el racional o lógico y el psicológico o escala, deben ser concurrentes con el estético, ya que cada uno de ellos presenta una amplia gama dimensional dentro de la cual puede moverse el verdadero artista a su arbitrio.


El rostro humano es un claro y evidente ejemplo que ilustra el punto: su estructura anatómica y fisiológica no obsta, con ser permanente para cada individuo, que sus expresiones anímicas se manifiesten mediante más o menos micrométricas variaciones proporcionales de sus diversos elementos; ojos, boca, comisuras. Exactamente acontece con la proporción estética que se mueve con limitada amplitud dentro de una fisiología arquitectónica y de una anatomía igualmente arquitectónica para alcanzar la expresión estética, la armonía intuida por el arquitecto. El rostro humano hace ver, además, la posibilidad de proyectar en proporciones físicas, y por ello métricas y numéricas, motivos eminentemente anímicos y por tanto provenientes del espíritu. El azoro, el gozo o el sufrimiento, son sentimientos que se externan al ensalmo de variar las proporciones de los diversos rasgos faciales. Lo que hace el hombre con su rostro lo ha practicado con sus arquitecturas: las pequeñas variaciones dimensionales que nada afectan función útil ni resistencia mecánica, han sido instrumento musical de amplitudes infinitas. Valéry lo dice poéticamente en sus Eupalinos: "edificios que cantan", que no sólo hablan de su destino y de su materia prima, sino lo dicen cantando.

Lo que actualmente denominamos proporción, se llamó entre los griegos simetría, que significa etimológicamente con medida; esto es, que no sólo se refiere la proporción a magnitudes, sino a mediciones y éstas no son sino resultado de comparar una magnitud con otra homogénea que es elegida como unidad o módulo. La proporción, o simetría en el sentido helénico, es, pues, un concepto que nace y se identifica con esta comparación conmesurativa o métrica. 'Metros' en griego no significa otra cosa que medir. Los trazos reguladores de la proporción arquitectónica, pictórica o en las otras artes plásticas, lo mismo que en la música, representan un instrumento para poner a descubierto la proporción armónica.

La proporción a secas, necesariamente existe en dondequiera haya dimensiones, mas la proporción íntegramente arquitectónica y valente por ello estéticamente exige ser armónica, pues de no serlo, la forma resultante no sería arquitectónica. Una serie de sonidos musicales emitidos sin armonía tiene proporciones inexorables, y no será música sino ruido. Desde tiempos que se hunden en el misterio de los siglos la geometría fue un instrumento de penetración en el cosmos. Pitágoras al aplicar la palabra cosmos a la totalidad del mundo que se nos da, quiso significar 'orden', 'armonía'. El cosmos es el orden supremo, que se manifiesta en el ritmo arm^-ónico del día y la noche, en la sucesión ordenada de las estaciones anuales, en el latido rítmico del corazón y en los ciclos


vitales, también rítmicos, de los seres vivos. El orden cósmico es un elemento constitutivo de su existencia. El ritmo en la cultura, sea poesía, música, rito mágico o ley científica, se halla adonde quiera que el hombre exista y cree cultura.

La historia habla claramente de cómo el artista ha sido el hombre dotado de imaginación y de genio creativo, que, a sabiendas o intuitivamente, encausa su libre albedrío hacia ese orden cósmico envolvente, a que él mismo pertenece, y que no otra cosa es sino la armonía.

El orden, es la disposición armónica de las cosas iguales y desiguales. A San Agustín se atribuye aquella bien conocida definición de belleza 'spiendor ordinis'. Gastón Sortais, estético de principios de siglo, al analizar las diversas y más conocidas definiciones de belleza, llega a una muy significativa que díce: "esplendor del ser, que desarrolla actividad potente y ordenada". El Diccionario Webster define armonía como: "combinación de partes dentro de un todo proporcionado y armónico". Para no acumular citas, orden, armonía, belleza, proporción armónica, simetría armónica, son conceptos que se muestran y se han mostrado como facetas de cierta honda esencia que aparece como una sola valoración estética, esa que ha llamado belleza. La armonía es la proporción ordenada y el orden: disposición armónica de lo igual en lo diferente. Platón, en el Timeo, dice: "Es imposible combinar bien dos cosas sin una tercera: se requiere un ligamento entre ellas que las unifique y no hay mejor ligamento que aquel que de sí mismo y de las cosas que liga, hace un todo. Tal es la naturaleza de la proporción. . •" La proporción es el vehículo de la unidad; de la unidad enmedio de la variedad; y de esa unidad nace lo bello, y en obtener esa unificación de lo diferente está la esencia de toda composición en las Artes. No podríamos introducirnos más en esta espesura de la Teoría del Arte sin desviarnos de nuestro tema, o al menos, consumir el escaso tiempo de que disponemos.

—La geometría, según llevamos dicho, ha sido un instrumento para penetrar en el misterio del orden cósmico al través de la medida y por tanto del número. La secta de los pitagóricos, intentó acercarse a Dios al través del número y de la proporción, por ello sobre la puerta de Academia de Atenas se leía: no penetre sino el Geómetra. El secreto que guardaron sus miembros ha dificultado conocer con precisión hasta dónde penetraron en esta su intención. Las grandes obras del arte mayor de la arquitectura son los vivos testigos que podemos interrogar interpretando sus dimensiones y verificando sus proporciones al través de la aritmética y la geometría. Los trazos, como decíamos al iniciar esta plática, serán figuras geométricas y armónicas que coincidan con los línea-


mientos sustanciales de una composición representada en el plano del dibujo proyectico ortogonal.

Para emprender el estudio de los 4 sistemas actuales de consistencia científica de trazos reguladores, se hace imprescindible recordar unos cuantos conceptos elementales de aritmética y de geometría, que faciliten su mejor comprensión y algunos otros que, sin ser propiamente elementales, también resultan de inevitable aplicación en los diversos sistemas actuales de que hemos de ocuparnos, siempre en forma necesariamente sucinta, panorámica. Después pasaremos revista a las figuras geométricas planas cuyas propiedades particulares, algunas positivamente notables, han sido base para los trazos antiguos llegados hasta nosotros y para los sistemas actuales de que habremos de ocuparnos en las próximas sesiones.

—Lo primero es recordar que el término proporción, por la tradición clásica, pertenece a la matemática y a la vez al léxico de las artes y, por lo tanto, de su teoría. Significa igualdad de razones y razón; a su vez, en el mismo campo, es el resultado de comparar dos magnitudes homogéneas, representadas numérica o geométricamente.

Se ve cómo el concepto actual de proporción matemática coincide en parte con el que hemos expuesto en la Teoría del Arte, porque la 'proporción' o 'simetría' helénica en las artes y en la comprensión del cosmos, motivó esa comparación por los medios aritmético-geométricos. Ko sería redundante repetir aquella humorada de Bertrand Russel, que citamos en nuestra primera plática: "Quizás la cosa más saliente acerca de la ciencia moderna sea su retorno al pitagorismo".

—llu^traáones:

1. Razones y proporciones. 2. Medias proporcionales. 3. Media y extrema razón. 4. Algunas propiedades del número 0. 5. El pentágono regular inscrito en el círculo y sus propiedades. 6. Figuras geométricas armónicas usuales en los sistemas de trazos. 7. Proporción recurrente.

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TERCERA PARTE

SIMETRÍA RADIAL DE MACODY LUNü: El sistema "ad quadratum" descubierto en la reconstrucción de la catedral de Trondhjeim. El trazo cua-drático y la sección áurea.—Aplicaciones a diversos monumentos de la Edad Media y de la antigüedad clásica.

Preámbulo

La segunda sesión estuvo dedicada a explicar algunos conceptos acerca de lo que significan los trazos reguladores y en seguida los tres capitales y esenciales aspectos de la Proporción arquitectónica: el racional o lógico, el psicológico o escala y el estético. Nos ocupamos después del concepto de razón, proporción, medias proporcionales y media y extrema razón, en el plano aritmético-geométrico y una visión muy por encima de las principales figuras planas armónicas con propiedades especiales, que son las empleadas por los actuales trazos armónicos.

Mencionamos al pentágono regular inscrito, como expresión más notable de la sección áurea; vimos algunos de los triángulos destacados armónicamente y los rectángulos de la "simetría dinámica"; también mostramos otros triángulos no emparentados con el número 0, aunque también armónicos y usados en muchas obras antiguas, como tendremos oportunidades de comprobarlo en aplicaciones a monumentos nacionales.

El arqueólogo noruego Macody Lund, en los primeros decenios del siglo recibió el encargo de auxiliar al arquitecto Olaf Nordhagen en la reconstrucción de la catedral gótica de la antigua Nidaros, denominada hoy Trondhjeim. La reconstrucción de este santuario nacional noruego, una de las catedrales más perfectas de su tiempo y la más importante de Escandinavia, fue iniciada a partir de 1869 por el Arq. Charles Chris-tie y a estas fechas aún no ha sido concluida la última parte de su fachada principal, como lo mostraré en la fotografía que coincidentemente he obtenido en mi reciente visita a esta obra, que por diversos motivos se liga al tema de los trazos de que hoy nos ocupamos.

La investigación a que dio lugar en Macody Lund, la tarea de justipreciar los trazos de reconstrucción proyectados por el arquitecto Olaf Norhagen, quien había continuado la inconclusa labor de su antecesor del pasado sjglo: Charles Christie, la dejó consignada en su extensa obra publicada en lengua noruega el año de 1921 y en francés el siguiente de 1922. Sin embargo, sus pesquisas se inician en 1914, ya que en 1915


expuso sus tesis y descubrimientos por vez primera ante la Sociedad de Ciencias de Cristianía. Es de interés mencionar esta circunstancia, porque hace ver cómo los estudios de este sabio y consistente investigador son paralelos a los de dos otros cuyas conquistas son no menos fundamentales en el progreso que ha registrado, en lo que va del siglo, el conocimiento de ios trazos reguladores de la proporción. En sesiones venideras nos ocuparemos de estos dos otros notables científicos: Jay Ham-bidge, de la Universidad de Harvard, y Moessel, arquitecto alemán dedicado casi por entero a sus investigaciones. Lund, lo mismo que Ham-bidge y Moessel, parecen haber desconocido mutuamente sus correspondientes hallazgos y creaciones, quizás por ser simultáneas y por haber casi coincidido la publicación de sus respectivas obras; más los tres partieron de las mismas fuentes: los textos griegos de Platón, especialmente en su Timeo, y de otros filósofos o escritores como Aristóteles, Euclides o Hipócrates de Chíos; y después las referencias contenidas en la obra de Vitrubio PoUion y de sus comentaristas renacentistas y la serie de documentos góticos de que echaron mano, de modo especial en el caso de Lund. Estas fuentes siguen siendo base para justipreciar el significado y el sentido que han tenido y tienen los trazos de la proporción —la simetría y analogía helénicas de que habla Vitrubio— al través de la cultura mediterránea y proyectados en sus arquitecturas históricas y en las que, de modo evidenciado o no, se han conectado con ella.

Es tarea ímproba, que se me impone en lo personal casi irreverente, dedicar "a los tres connotados investigadores unos cuantos minutos, para en tan escaso tiempo, reseñar, porque ni siquiera hojear es posible, cada una de las obras en que cada uno expone el fruto de sus pacientes y sabias indagaciones. Algunas, como es el caso de Moessel, consumieron la mayor parte de su vida activa. Sín embargo, no cabe remedio; intentaremos resumir en muy breves palabras y con unas cuantas ilustracío-nes, lo esencial de cada sistema con la intención de introducir a su estudio y empleo.

El sistema de Macody Lund lo denominó "Ad Quadratum", porque sus observaciones se iniciaron comprobando que las obras religiosas de todos los tiempos, se envolvían, lo mismo en planta que en sus elevaciones, dentro de envolventes cuadráticas. Observó que los triángulos equiláteros o el pitagórico que tanto manejó Viollet-le-Duc y algunos otros precursores del pasado siglo, de hecho dejaban de coincidir con numerosas obras y que, en cambio, las directrices oblicuas correctas hacían un ángulo de 63° 26' con la horizontal; ángulo que provenía de la diagonal del doble cuadrado, con valor de V5 si consideraba como mó-


dulo O unidad el lado de los cuadrados. Con esta observación inicial intentó reconstruir los lineamientos generales de diversas obras religiosas y comprobó que se situaban dócilmente dentro del sistema cuadrá-tico a base del doble cuadrado de que habla la Biblia. Avanzando en su investigación dedujo que el sistema no era suficiente para obtener la 'simetría' o analogía recurrentes de los diversos elementos, y de este modo encontró que las bandas horizontales en serie 0 y sobre todo el pentágono regular inscrito en el círculo, como expresión acabada de la sección áurea, le permitían determinar esa extraordinaria recurrencia armónica. De aquí, emprendió un agotador estudio de las principales catedrales góticas para descubrir al fin, tras pacientes verificaciones en plantas, cortes y fachadas, la simetría pentagonal, en un esquema central y complejo, en el que aparecen simultáneamente el cuadrado y algunos triángulos conectados con el número 0. En esta tarea halló a su vez el pentagrama condensado de Hipócrates de Chios, del que años después, como tendremos ocasión de mostrarlo, otro investigador, cuya obra es la última de las pubHcadas por investigadores de fuste y fundadores de sistemas, e! Dr. Charles Funck Hellet, ha obtenido sus no menos notables escuadras Xi y X2. La consistente investigación emprendida por Lund, da a su obra un valor inestimable y un punto sólido para proseguir ascendiendo de esta materia y necesariamente en la interpretación de los oscuros textos antiguos que, como supone Lund, lo son intencionadamente a resultas de la juramentación que se sabe exigían maestros a discípulos antes de convertirlos en iniciados. Firmemente cree Lund que la tradición pentagonal fue transmitida por los pitagóricos y sus adeptos ininterrumpidamente hasta fines del siglo xvín o quzás hasta principios del XIX. Al final de su libro publica la ilustración, que mostraremos, tomada del grabado de un sarcófago romano, en la que aparece una regla dividida en partes armónicas seriales basadas en la sección áurea, lo que le hace suponer fundamentalmente que los arquitectos antiguos usaban sistemas armónicos basados en el número "fi" valiéndose de instrumentos de fácil manejo que les evitaban o simplificaban los 'complicados cálculos' de que habla Vitrubio.

Las ilustraciones que siguen podrán, mejor que una simple descripción, introducirnos al complejo sistema "Ad Quadratum" del connotado investigador y posiblemente descubridor de parte de los trazos empleados por los arquitectos de la antigüedad y de los tiempos medievales.


-^llustractónés:

1. Trazos cuadráticos en varios edificios religiosos. 2. Estrasburgo, Metz, Vezelay y S. Saturnino de Tolosa. 3. Catedral de Southv^êll. 4. Catedral de York. 5. Esquema cuadrático de fachadas góticas. 6. La Sección Áurea y el Pentagrama. 7. Simetría radial gótica. 8. ídem, con el pentagrama para deducir sección de pilares. 9. Notaciones modulares en banda horizontal.

10. Corte tipo de catedral de TRES NAVES. 11. ídem, de CINCO NAVES. 12. TRONDHJEIM. Estado actual de la reconstrucción de la fachada

principal. 13. TRONDHJEIM. Planta y fachada. Trazo. 14. TRONDHJEIM. Fachada lateral. Esquema de trazo triangular. 15. TRONDHJEIM. Fachada principal. 16. COLONIA. Trazo radial de la planta. 17. COLONIA. Diagrama modular del corte. 18. N. Señora. París. Trazo cuadrático y áureo de la fachada. 19. N. Señora. París. Trazo anterior a la reconstrucción del siglo xiil. 20. N. Señora. París. Fachada complementada según el trazo áureo. 21. REIMS. Trazo fachada poniente. 22. PESTUM Y EGINA. Trazo elemental de fachadas. 23. Partenón. Trazo fachada con el pentagrama. 24. Partenón. Trazo de la parte central de la planta. 25. ESCALA armónica en sección áurea decreciente. Grabada en un

sarcófago romano. S. I. o II.

CUARTA PARTE

SISTEMAS DE MOESSEL Y DE FUNCK HELLET: Sistema de Moessel de la 'segmentación armónica del círculo'. Aplicaciones a monumentos egipcios, griegos y medievales. Sistemas triangulares. Las escuadras ",X.i" y "X2"de Funck Hellet.

Nuestra anterior sesión la consagramos a uno de los tres, digamos precursores, que nos han dotado de valiosísimos instrumentos para em-

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prender el estudio de los trazos. Fue el sistema del noruego Macody Lund, denominado por él "Ad Quadratum", el que de modo menos que enciclopédico ocupó nuestra atención. Hoy nos vemos forzados a consagrar una sesión a dos sistemas de diversa edad, aunque, es claro que tratándose de este siglo xx de la velocidad, son muy próximos: el del arquitecto alemán Moessel, contemporáneo de Lund y de Hambidge, y el reciente del Dr. Charles Funck Hellet, publicado en 1951.

Obvio es agregar que para hacer posible una mediana revisión de ambos dos sistemas, la exposición requiere, por una parte, hacer la explicación, lo más simplificada posible y por la otra el indispensable concurso de la atención y voluntad de quienes la siguen.

Moessel ha consagrado buena parte de su vida activa al estudio del problema de la proporción arquitectónica. Se ha valido de las dimensiones de numerosos monumentos antiguos y medievales, de los cuales ha contado con dibujos más o menos dignos de crédito en cuanto su apego a los que representan.

Su labor se ha dirigido lo mismo a las lineales que a áreas y volúmenes, llegando a las trascendentales conclusiones aployadas en los textos antiguos que ya he.mos mencionado: de Platón, Pitágoras, Hipócrates de Chios, Vitrubio, Vinci, Pacioli y otros, lo llevaron a un sistema de trazo y análisis original e ingenioso que ha denominado de la segmentación polar del círculo. (Kreisteiíung). Es de positivo interés asentar que este notable investigador no partió de ninguna idea preconcebida, sino de un riguroso método que lo puso en contacto con centenas de mediciones que poco a poco le descubren impresionantes analogías en los miles de números extraídos de monumentos egipcios, helénicos y de la Edad Media. Las razones geométricas obtenidas, lo mismo que sus diversas potencias, las comprobó como pertenecientes a series y progresiones armónicas, particularmente relativas al número ®.

El sistema gráfico que ideó en sustitución de los cálculos numéricos resulta asombrosamente simple, sin que por ello deje de estar basado en las propiedades armónicas de los polígonos regulares inscritos en el círculo y como proyección sobre los planos horizontal y vertical de los poliedros regulares inscritos en la esfera. La segmentación del círculo la obtiene dividiéndolo en 4, 8 o 16 partes iguales, o bien en cinco, diez y veinte; lo que significa la construcción de cuadrados, de octágonos, de pentágonos, decágonos e icoságonos. Las figuras obtenidas mediante líneas diametrales, con los lados o uniendo puntos determinados por las diversas intersecciones, permiten construir rectángulos y cuadrados que


coincidan con los lincamientos fundamentales del monumento, lo mismo en planta que en corte o fachada. Esta simplicidad es fruto de una meri-tísima labor basada en un profundo conocimiento de la geometría y de la aritmética, mas no sólo de ellas, sino también de una inteligente y feliz interpretación de los textos antiguos que de modo tan impreciso se refieren a los sistemas de trazo. La idea del círculo rector proviene sin duda del que se trazaba en el suelo del sitio en que se edificaría el templo. Era el círculo de orientación que los egipcios y después los griegos y los romanos tenían en gran estima y al que atribuían virtudes de estructura casi religiosa. Los templos cristianos conservaron la práctica de orientar astronómicamente el eje principal del edificio en sentido Oriente-Poniente.

Moessel comprobó que la mayoría de los monumentos analizados correspondía, no a la segmentación astronómica, o sea en sectores múltiplos de cuatro, sino a otra de mayor sutileza basada en el pentágono y el decágono. De aquí que las tablas numéricas calculadas por este autor resulten con valores del número de oro '0 ' = 1.618- y sus diversas potencias ascendentes o inversas, no menos que sus correspondientes armónicos, derivados de trazos con base pentagonal o decagonal.

Como en el caso de Lund y de Hambidge, particularmente fue Platón, con sus referencias a la proporción y la belleza en el Timeo y en el Filebo, quien sugirió la búsqueda y el descubrimiento o invención del sistema. Este párrafo del Filebo es significativo: "Lo que entiendo aquí por belleza de la forma, no es lo que comúnmente se entiende por esta pala-bra; como por ejemplo la de los objetos vivos de sus reproducciones, sino cierta cosa rectilínea o circular, y la superficie de cuerpos sólidos compuestos con lo rectilíneo y lo circular, por medio del compás, el cordel y la escuadra; porque estas formas no son como las otras, bellas bajo ciertas condiciones, sino siempre bellas en s!". (Ghyka. Le nombre d'Or, L p: 71). "Sabemos por Synesius que uno de los grados superiores de iniciación en los misterios de Eleusis se llamaba "iniciación al círculo'; la inscripción pitagórico-órfica de Petilia nos ha permitido reconstruir aproximadamente los detalles de esta ceremonia, en la cual un círculo trazado sobre el suelo jugaba un papel capital. Encontraremos de nuevo la importancia del círculo y de su centro señalado en un misterioso cuarteto de la Edad Media, que se transmitían los maestros talladores de piedra de la época gótica: 'Un punto en un círculo, que se coloca en el cuadrado y el triángulo, ¿conoces el punto? tanto mejor. ¿No lo conoces? todo es en vano*/' (Op. cit.).

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Moessel explica de modo sucinto la esencia de su método en estos párrafos que parece de alto interés citar: "La composición de los planos —arquitectónicos— desde los primeros tiempos de la arquitectura egipcia hasta el final de la Edad Media es, en la gran mayoría de los casos, de naturaleza no aritmética sino geométrica. Deriva de las segmentaciones angulares regulares del círculo. De diferentes particiones del círculo derivan los sistemas rectangulares, triangulares, poligonales, convexos y estrellados, que representan retículas con la forma y la misión de los sistemas de coordenadas. Tales conformaciones geométricas son el fundamento de las composiciones artísticas en arquitectura, pintura y escultura en bajo relieve. Esta geometría que se mueve en el plano (contorno horizontal y elevación), puede considerarse como la proyección de una geometría en el espacio. Las particiones específicas del círculo y las razones numéricas que las caracterizan aparecen en las proyecciones planas de los cuerpos regulares inscritos en la esfera, tetraedro, octaedro, dodecaedro e icosaedro. Estos cuerpos 'platónicos' juegan un papel de trascendencia en la teoría y la práctica de la Antigüedad y la Edad Media, como punto de partida para toda especulación cosmogónica. La par-tición decádica del círculo y sus derivados parecen ser los sistemas más empleados por los maestros antiguos. Por la sección áurea (stige proportion = sección áurea) —proporción continua por excelencia—■ que es la consecuencia de estos sistemas, los elementos de los edificios —u otras obras de arte— concuerdan en cadena creciente o decreciente según la medida de las dimensiones extremas de la planta o de la elevación hasta las más pequeñas subdivisiones de las partes componentes y esto de la manera más sencilla". (Op. cit. p. 72). (Die Proportion in der Antike und Mittelalter. C. H. Beck. Edit. Munchez. 1926) ;

El carácter sintético de nuestro estudio no permite mostrar algunos números relativos a los diversos monumentos, ni lo que sería de mayor interés: las propiedades armónico-proporcionales de las diversas dimensiones lineales que se obtienen con la segmentación polar (Kreisteilung) del círculo y sus múltiples derivaciones.

Este sistema representa, al lado del de Jay Hambidge de que nos ocuparemos en la siguiente parte, uno de los instrumentos de más expedito manejo para el arquitecto en ejercicio activo, que no ha tenido oportunidad de penetrar en la disciplina geométrico-armónica, ni en las teorías de que nos venimos ocupando.

Las ilustraciones que vamos a comentar, seguramente serán de mayor claridad que cualquiera otra referencia descriptiva.

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Ilustraciones:

1. Sistemas de proporción obtenidas con la segmentación polar del círculo.

2. E,squema del templo egipcio. 3. Tumba rupestre. Mira. 4. Esquema de templos griegos. 5. Esquemas de basílica cristiana primitiva y de templo gótico. 6. Esquema de templos típicos góticos. Plantas. 7. Esquemas de templos góticos de 3 y de 5 naves.

Punck Hellet

El sistema consistente y original más actual aplicado a obras de arquitectura corresponde al Dr. Funck Hellet, lo expone amplia y eruditamente en su reciente obra: De la Proporción. La escuadra de los maestros de obra (Vincent Freal & Cié. París, 1951), no obstante que desde 1932 lo aplica en la primera de sus publicaciones intitulada Las obras pictóricas del Renacimiento Italiano y el Número d-e Oro; sólo que, como el mismo título lo dice, se refiere exclusivamente a determinado ciclo histórico de obras pictóricas italianas.

Siguiendo la misma secuela de sus predecesores (el norteamericano Hambidge de quien nos ocuparemos en el próximo capítulo, el noruego Macody Lund y el arquitecto alemán Moessel, del que tan brevemente nos hemos visto obligados a hacer referencia en lo que antecede) su sistema se basa en la interpretación de textos helénicos, medievales y renacentistas, no menos que en el imprescindible Vitrubio PolHon. En tesis general consiste en el empleo de dos escuadras, o sea triángulos rectángulos, que poseen propiedades emparentadas con la sección áurea.

De hecho resulta una creación, ya que no se tiene noticia de ciertas razones geométricas descubiertas por él en el pentágono invertido de Hipócrates de Xios, cuyo misterio parece explicar. Denomina por ello a sus escuadras 'Xi' por la letra inicial de Xios y expone el valor esotérico que les corresponde.

Me parece de mucho interés un pasaje de la obra de Hellet en el que expone de modo breve lo que después desarrolla en sus aspectos múltiples, matemáticos y también, como se dice, históricos: "Hipócrates de Xios, cuyo nombre ha quedado ligado al pentágono invertido, fue excluido de la secta de los pitagóricos por haber divulgado el secreto de este

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pentágono, emblema y signo de reconocimiento de la confraternidad. Intentemos penetrar en este secreto inviolado hasta hoy. El pentágono invertido presenta una base ed y dos largas puntas divergentes a y b, seme-jando su conjunto un 'bonete de asno' —o sean las llamadas en español orejas de burro que se colocaban el pasado siglo a los malos estudiantes.—Las caras inferiores E son iguales, las superiores E más largas. El arquitecto noruego Lund considera este pentágono como una ayuda-memoria para construir el pentágono regular. Ahora es demasiado conocida esta construcción para necesitar del pentágono invertido. En todo caso, tomando el vértice o del ángulo cóncavo como centro y trazando una circunferencia por los puntos a y b, se dibuja a la vez el círculo circunscrito al pentágono convexo y —por la bisectriz vertical y las rectas que unen su intersección superior con el círculo con los puntos c y d de la base las cinco intersecciones con la circunferencia que permiten trazar un pentalfa— o sea un pentágono estrellado. La circunferencia concéntrica que pase por c y d determina un pentágono menor. La razón del número de Oro —'Fi'-— existe entre el centro O y los círculos mayor y menor.

En principio es necesario construir ante todo el pentágono invertido o disponer de un 'patrón' antes de poder trazar el pentágono convexo. No hay en esto secreto alguno, sino más bien una complicación. El problema se plantea muy diversamente cuando se refiere el pentágono invertido a los triángulos X^ y X^. El número 36 era el número sagrado de los pitagóricos, y, como escribe Plutarco en su Isis y Osirh, 'el gran juramento, la clave de la interpretación del mundo, la fuente y raíz de la eterna naturaleza'. Ahora bien, por dos veces, el ángulo de 36°, ángulo del triángulo Xj está contenido virtualmente, es decir secretamente, en el pentágono invertido: lo. entre la base ed prolongada y el lado inferior del brazo ca; 2o. entre la recta virtual ab que liga horizontalmente los brazos largos y el lado inferior ac de uno de estos brazos. En consecuencia, se podrá verificar o construir una escuadra a 36^ con ayuda de un patrón que posea la forma del pentágono invertido. Esto, no es aún un gran secreto, pero sí constituye uno de sus elementos. Un dato más secreto, inédito, se encuentra en este polígono. Las razones X^ y X^ —y solamente ellas— se encuentran entre todos los lados desiguales. Así, todas las rectas reales o ficticias de este bizarro pentágono poseen entre sí la razón geométrica X^, a saber: ■ ' , . ,

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La razón Xg se encuentra una vez entre el lado mayor o radio ac y este lado prolongado hasta la base, o sea: adÊ^ ^=z 1.3S19 ^^==^2

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Solamente el cálculo ha podido diferenciar así estas dos razones, el compás de reducción es demasiado impreciso para señalarla. Otra particularidad inédita del pentágono de Hipócrates de Xios es que permite construir las dos escuadras X^ y Xg por dos trazos geométricos similares "que de modo sencillo consisten en prolongar el lado mayor E hasta encontrar los puntos 'o y c', este último en la tangente trazada en el punto a' del círculo circunscrito: el triángulo o a c' es la escuadra X^, en la que ae' es igual a ac. Haciendo ac' igual al radio ca y uniendo el punto o' con el punto d de la base del pentágono se construye la escuadra X2. Ambos triángulos son expresión gráfica de la razón correspondiente. Existe, agrega Hellet, 'otra relación geométrica entre los dos triángulos en la interpretación del teorema de Pitágoras. El pentágono invertido permite dividir una recta en mayor, menor y mayor (M,m,M). Lo que equivale a tomar el pentágono invertido como 'escuadra o instrumento de trazo". Estudia en seguida las propiedades de la escuadra Xi y sus múltiples aplicaciones, así como sus relaciones con el número 'Fi' V ^ y ciernas números que con ellos se refieren para formar las series armónicas, bien conocidas en la materia correspondiente.

Ilustraciones:

1. Pentágono invertido de Hipócrates de Xios y generación de las escuadras X^ y Xo.

2. Trazo práctico de X^ y Xs-3. La escuadra X^, el decágono y los medios lados divididos en

M,m,M. 4. Algunas propiedades de la escuadra Xi. 5. Trazo elemental de la Pirámide de Keops. 6. Trazo total de la Pirámide de Keops. 7. Templo de Segesto. 8. Pórtico de Octavio. 9. Planta de la catedral de Amiens.

10. Corte de la misma catedral. 11. Partenón. Análisis de la planta. 12. Partenón. Análisis de la fachada. 13. Partenón. Análisis del entablamento.

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QUINTA PARTE

SIMETRÍA DINÁMICA DE HAMBIDGE. El sistema rectangular de Jay Hambidge. Rectángulos estáticos y rectángulos dinámicos. Segmentación armónica. Sistema práctico de Georges Jouven y aplicaciones.

En sesiones precedentes hemos mostrado dos de los sistemas que, con el que motiva la de hoy, constituyen la trilogía de mayor reciedumbre que ha producido lo que va del siglo en el conocimiento y manejo de los trazos reguladores de la Proporción. Cronológicamente, el del norteamericano Jay Hambidge tue el que primero se publicó; su obra La- Diagonal data del año 1919, en tanto que Ad Ouadratmn, -de Macody Lund, vio la luz pública dos años después, en 1921, en lengua noruega y en 1922 en francés. La obra del arquitecto alemán Moessel se editó hasta 1926; sin embargo, en nuestras sucesivas pláticas hemos alterado el orden cronológico por razones ajenas a él: expusimos en brevísimo resumen el sistema de Lund cono inicial, por referirse con exclusividad a la proporción en obras arquitectónicas y por su mayor complejidad de manejo, ya que exige una dosis de conocimientos geométricos fuera de lo habitual.

El sistema de Moessel, de la segmentación armónica del círculo, pudo apreciarse en la siguiente y más resumida mostración, como orientado también a obras arquitectónicas y como apoyado, del mismo modo que el de Lund, en la matemática, en la interpretación de textos antiguos y en increíble cantidad de análisis numéricos de monumentos históricos. Moessel ha creado un procedimiento más sencillo que el del arquitecto noruego, aunque también reclama un conocimiento suficiente de la geometría de ios polígonos inscritos en el círculo, particularmente del pentágono y sus derivados el decágono y el icoságono.

En la misma sesión incluimos en apretado resumen el sistema de las escuadras Xi y X2 del Dr. Funck Hellet, con un apoyo científico similar al que poseen los que le anteceden.

Hay otra circunstancia que nos decidió a alterar, en nuestra mostración, el orden cronológico: los tres sistemas reseñados se refieren sólo a monumentos arquitectónicos, en tanto que el de Hambidge nació de la investigación de casi dos centenas de vasos y artefactos griegos, y su aplicación a monumentos arquitectónicos se contrae exclusivamente al Parte-nón, analizado por el Dr. Caskey. Hay otra ciroinstancia: los tres antedichos sistemas trabajan exclusivamente dentro de un solo canon armónico: la sección áurea, el de Hambidge posee amplitud temática sobresaliente y por ello es aplicable a diversos cánones y gustos.


Hambidge ha logrado interpretar con singular acierto textos helénicos que le sugirieron un método sencillo y científico de trabajo, que si bien no aplicó a las obras arquitectónicas como ahora podemos hacerlo, sí nos legó una base firme y consistente para ello.

En su obra Dynamk Symm'etry, dice: "Platón nos da una interesante visión de los alumnos de la Academia, quienes estudian aritmética valiéndose auxiliarmente de las formas irracionales" y en otro párrafo agrega: "Los griegos inventaron un análisis geométrico que apellidaron de aplicación de las áreas". Este método es muy valioso en el análisis dinámico (p. 35, Op. cit edic. 1932). Ghyka al exponer el sistema hambid-geano explica: "(Platón en el Teeteto y el Timeo) muestra por lo demás, que cuando los antiguos hablaban de proporciones analizables entre superficies o entre números planos, éstos siempre fueron 'números rectangulares' (del tipo a X b, producto de números componentes), es decir, de superficies rectangulares que ellos comparaban'" (M Ghyka. El número de Oro. I, p. 59. Gallimard. París, 1931). De estos párrafos y de otros del mismo Platón, de Euclides y de Vitrubio, llegó a su sistema de los rectángulos dinámicos que se caracterizan por una razón geométrica irracional resultante de comparar sus dos lados desiguales: V2, V3, V^, V5, y así sucesivamente, además de sus derivados: tales como mitades, duplos o inversos; números que son "conmensurables potencialmente" o sea al través de trazos geométricos, como la espiral de Platón formada por las raíces aladradas de los 17 primeros números, y a la que presumiblemente se refiera la cita de Hambidge acerca de las formas irracionales que Platón dice auxiliaban a sus alumnos en la Academia cuando estudiaban la aritmética, pues se 'sabe que se les enseñaban las raíces de precisamente los primeros 17 números.

Los números planos a x b, o lo que significa un área rectangular, permitieron a Platón establecer "la medía geométrica proporcional" y en la geometría del espacio lo llevaron al conocido problema de la "duplicación del cubo" y por él a "medias inconmensurables" e "inconstruc-tibles euclidialmente". Representa una pérdida insustituible el desconocimiento, al menos hasta ahora, de los tratados sobre "simetría" citados por Vitrubio, no menos que el de las ilustraciones de sus Diez libros de la Arquitectura; pues quizás hubieran dilucidado multitud de temas que sólo han recibido hoy como solución meras hipótesis o conjeturas y quizá hasta verdaderas creaciones de parte de quienes acuciosa, consistente y científicamente han escudriñado esta apasionante rama del conocimiento.


—Como en los casos anteriores, no penetraremos en el aspecto matemático hondo que sirve de fondo a este sistema, sino preferentemente nos valdremos de una serie de ilustraciones que permitan introducir a su estudio y aplicaciones drásticas.

—Adelantando lo que veremos en las figuras geométricas, resumamos la base sustancial del sistema: Hambidge denomina a los rectángulos "estáticos" cuando la razón resultante de comparar numéricamente sus dos lados desiguales es un número racional, por ejemplo; 1/2 2/3 o 3/4, como es el caso del rectángulo formado por dos triángulos rectángulos de Pitágoras, y que veremos en nuestra última sesión, estructuran con precisión el trazo de dos catedrales mexicanas de los tiempos virreynales: la de México y la de Mérida. A los rectángulos con razón o tema irracional, los llama "dinámicos": son aquellos que principalmente observó en sus investigaciones sobre los vasos helénicos: 1/V2, 1/V3, 1/4, 1/V5 y 1/V + 1 o sus derivaciones con el número 0. Encontró que los rectángulos dinámicos se presentan con mayor recurrencia en las obras examinadas y analizadas que los estáticos que acusaron ser un número mínimo. Según el libro del Dr. Caskey Geometría de los Vasos Griegos, de 191 vasos analizados, 9 estuvieron encuadrados por rectángulos o temas estáticos y los 182 restantes por rectángulos dinámicos repartidos así: 18 en V2; ó en V3 y 158 en V5, ^ y temas derivados de éstos". (Ghyka, Esthétlque des Proportions. p. 323, Gallimard. París, 1827).

Establece o acepta una serle de leyes que, de conformidad con el actual concepto de ley, lo son por representar meras coincidencias estadísticas; la primera es la de "no mezcla de temas armónicos en una misma obra", que claramente explica su enunciado: en una obra un canon o tema rectangular rige la armonía de toda la obra. La segunda es la del cuadrado, que figura como excepción de la anterior en cualquier obra regida por un tema irracional o racional. Esta ley la hemos visto comprobada en el sistema cuadrático de Lund, en el que, como se recordará, alterna con el pentágono áureo. La tercera se deriva de un muy poco conocido teorema eucHdiano, que establece que la diagonal de un rectángulo genera, con su normal trazada desde los dos vértices opuestos, rectángulos semejantes si se construyen con el lado menor y una paralela a él llevada en el punto de intersección de la dicha normal con el lado mayor opuesto. Tratándose de los rectángulos dinámicos, esta construcción de las diagonales y sus normales es notable, como mostrarán las ilustraciones, y representa uno de los hallazgos más originales de Hambidge, pues posee enorme valor en los análisis y permite la fragmenta-


ción indefinida y armónica de un rectángulo en sentido descendente y teóricamente infinita.

Esta fragmentación, a su vez, es extraordinaria en cuanto a posibilidades, siempre recurrentemente, o sea, obteniendo áreas semejantes o gnómicas y, por consiguiente, logrando la famosa e indispensable "conmensuración" de Alberti y los Renacentistas.

La partición analógica permite una escala indefinida de superficies y líneas proporcionales dentro del tema que rige la obra analizada. Por ello su primer libro lo dedicó a la diagonal. Volveremos a ver aquellos trazos de Le Corbusier en su bien conocida Villa de Garches, en que usa precisamente el sistema de Hambidge, de la diagonal del rectángulo áureo y sus normales, obteniendo así una rectificación dentro de formas estilísticamente nuevas en su tiempo y, sin embargo, dentro del canon o tema milenario del número 0 .

El análisis del Partenón que el Dr. Caskey practica, es la única obra de arquitectura en que aplica el sistema dinámico. Consiste en determinar un rectángulo envolvente que la abarque, ya siendo éste uno de los dinámicos o la combinación de varios del mismo tema y del cuadrado o cuadrados. En seguida se vale de la fragmentación armónica del rectángulo o rectángulos y cuadrados, por medio de diagonales y normales a ellas, encontrando la posición de puntos vitales en la composición que señalan lo mismo líneas, que áreas armónicas y canónicas, o sea temáticas.

—El más reciente seguidor del sistema de la Simetría Dinámica es, según las informaciones de que dispongo, Georges Jouven, quien ha practicado durante el cautiverio que sufrió en la pasada conflagración universal, 3,500 análisis y encontrado 180 diferentes trazos. Es muy útil, en el plano' práctico que perseguimos, traer aquí sus conclusiones que, desde luego, extracto para no alargar nuestra sesión de hoy: Se eliminarán —dice— hasta donde esto sea posible como documentos de base, los "releves" que generalmente han servido tan sólo para la conservación del monumento y que normalmente carecen de exactitud dimensional. Se escogerán preferentemente los documentos originales o su reproducción fiel fotográfica, relativos a plantas, fachadas, cortes y detalles, trazados por sus autores.

—Para estudiar los monumentos conviene determinar previamente su metrología propia. Para analizar un monumento gráficamente, se comenzará por trazar las líneas principales de su composición, como ejes, niveles vitales, etc., cosa fácil, agrega Jouven, para un arquitecto. En seguida se procederá a determinar el tema o canon empleado por su autor inclu-


sive, si la obra pertenece a quien la analiza. Para ello se vale de una transparencia con las direcciones de las diversas diagonales de cada tema, de sus normales y de las diagonales cuadráticas. Mostraremos uno de estos trazos auxiliares, que desde luego deben estar preparados para cada uno de los temas conocidos, o sea los dinámicos de Hambidge; y es claro que ya en una aplicación de todos los conocimientos que se poseen y se aplican, también de los rectángulos estáticos que se sabe fueron usados en la antigüedad, como se desprende de las descripciones vitru-bianas.

Concluye Jouven, antes de mostrar unos cuantos análisis de su colección de tres mil quinientos: "A partir de este momento —o sea de haber encontrado' el tema que rige una obra— cada quien seguirá lo que su sentido crítico y su intuición le inspiren. Por nuestra parte —agrega— hemos verificado algebraicamente todas las construcciones geométricas". Su obra, en la que expone el sistema, incluye un capítulo dedicado al estudio matemático de los temas, preparado por Boris Maldant, de la Escuela Politécnica de París y del doctor en ciencias Jean-Pierre Pérez, concluyendo que "los dos comprueban que la elección restringida de temas en la utilización del principio de recurrencia de la forma está regido por razones matemáticas y que los iniciados habían resuelto a la perfección el problema de incorporarse al dios geométrico de Platón". (Jouven, p. 34, Edic. Vincent. Freal. París, 1951).

Ilustraciones:

1. Rectángulos estáticos y rectángulos dinámicos. 2. Espiral con las raíces cuadradas de los primeros 17 números

enteros. Platón. 3. Rectángulo V2, y descomposición armónica. 4. Rectángulo V3, ídem. 5. Rectángulo V5, ídem. 6. Rectángulo 0, ídem. 7. Rectángulo 0 y V5 ídem. 8. Rectángulos giratorios y descomposición armónica del cuadrado. 9. Rectángulo 0 descomposición armónica según Wiener.

10. Le Corbusier. Villa de Carches. 11. Le Corbusier. Mundaneum. 12. Espejo griego. Trazo armónico seg. Hambidge. 13. Vaso griego Kylix, Trazo armónico según Hambidge.


14. Transparencia de Jouven para !a búsqueda de temas armónicos rectangulares.

15. Partenón, trazo fachada según Hambidge. Dr. Caskey. 16. S. Pedro y Sta. Práxedes. Roma. Trazo Jouven. 17. Puerta Brissac. Vauban. Trazo según V2, de Jouven. 18. Ville de Chaux. Ledoux. Sala de Bozas. V3 . Trazo Jouven. 19- Sta. Cruz y S. Lorenzo. Florencia. Trazo Jouven. 20. Pabellón Boutard, Gabriel. V5 . Trazo según Jouven. 21. Hotel de Ville, Lyon. Sala de Fiestas. Mansard. Trazo según

Jouven. V5 y 0.

SEXTA PARTE

— Los sistemas seriales-antropométricos. El Modulor, de Le Corbu-sier. El Número Modular patrón, de Ezra Ehcenkrantz. Las escalas antropométricas, de Lorenzen.

— Documentos antiguos conocidos más importantes relativos al empleo de trazos reguladores.

— Después de habernos ocupado en las sesiones anteriores de los cuatro sistemas actuales de trazos, los más consistentes científica, histórica y estéticamente que ha producido lo que va del siglo, o sean los de Lund, Moessel, Hellet y Hambidge, parecerá improcedente el tema que hemos reservado para la de hoy, por referirse no precisamente a sistemas geométricos, sino a sistemas seriales, esto es, de series numéricas y a la vez antropométricas o relacionadas de modo directo o indirecto pero intencional con las dimensiones genéricas del cuerpo humano. La razón de esta aparente anomalía es bien sencilla: se trata de dos sistemas que intentan ajustarse a las actuales tendencias de industrializar, no sólo las partes ya industrializadas entre nosotros como son los ladrillos, las baldosas para pavimentos o las hojas de madera multilaminar, sino elementos fabricados en serie, como son los bastidores para ventanas, las hojas para puertas y las unidades completas para cocinas y cuartos de baño o las estructuras resistentes para cubiertas <le grandes claros y tantos otros que aún estamos lejos de producir en nuestro campo local de la edificación. FJ" países con problemas de industrialización de los edificios,


que deben ser producidos en serie y a precios lo más económicos posible, el problema que se plantea al arquitecto que maneja buena parte de esos elementos manufacturados y diseñados por otro, origina los dos primeros sistemas de que nos ocuparemos en esta ocasión: el "Modulor" creado por Le Corbusier y su grupo y el "Número Patrón Modular", ideado por el norteamericano Ezra Ehrenkrantz; el primero se dio a conocer en su forma que denomina Le Corbusier "definitiva" en 1948 y el segundo se publica en Londres en 1956. Su autor ha sido un becario Fulbríghl, en la "Estación de investigaciones edificatorias" de Walford en Inglaterra. Afronta fundamentalmente el problema de encontrar un sistema sencillo para proporcionar estéticamente y a la vez estimular la creación de productos industriales y procurar libertad o flexibilidad al arquitecto que trabaje con ellos; atacando así la uniformidad monótona que, dice, tiene por consecuencias la disolución de la personalidad y la abolición de todo espíritu de creación. Ese que le consta escasea cada vez más en la medida que crecen la urgencia de habitaciones masivas y la exigencia de obtenerlas a precios accesibles a las clases económicamente menos dotadas, aunque por mejor educadas, deseosas de alcanzar ambientes acordes con sus aspiraciones estético-sociales.

Entre nosotros, apenas se esboza esta clase de problemas, es cierto, mas he creído indispensable referirme, así sea de modo muy sucinto, a estos dos sistemas por sus indudables cualidades, por las confusiones que el multipublicado de Le Corbusier provoca en quienes, si no lo conocen, al menos lo citan, y porque el carácter invitatorio de estas pláticas exige no dejar a un lado las tres posturas más recientes de sistemas reguladores de la proporción arquitectónica, que si bien se exponen fundamentalmente a base de números, no por ello dejan sus autores de referirlos a las figuras geométricas, especialmente a los rectángulos estáticos y dinámicos de Kambidge, ya que tienden necesariamente a obtener la tantas veces citada "conmensuración" o "analogía" en las proporciones de una obra arquitectónica.

— Ehrenkrantz expone su propósito de obtener un sistema que corrija hasta donde le sea posible, las lagunas de los sistemas seriales más usuales. Citaremos con él tres típicos, en primer término, el industrial de Albert Farweil Bemis, publicado en el Tomo III de The Envolving Home, Rationd Design, de 1936; y en segundo lugar, el estético estilizado en El Modulor de Corbusier y en tercero y último, el "matemático que comenta tomando como tipo el de la Serie Renard, que puede encontrarse en la obra Estaf?darjzaáóf2 germano.industrial para las industrias DIN.


—El primero o industrial, de Be??¿/s consiste en la adopción de dos módulos fijos: 3" y 4", que como es bien sabido, norma la generalidad de los productos norteamericanos e ingleses, especialmente de materiales y de artefactos para la edificación. Las composiciones arquitectónicas en estos países siguen aceptando el sistema Bemis. Ehrenkrantz, muestra sus aciertos y sus lagunas y al fin !o conceptúa como el primer escalón en esta inevitable labor de obtener dimensiones armónico-industrializables.

Del 'Modulor' analiza sus aciertos y sus lagunas; ya tendremos oporutnidad muy en breve, al explicar las ilustraciones significativas, hacer ver cómo sus dos seríes, la Azul y la Roja, una mitad de la otra, son en último análisis series aditivas Fíbonacci. En su empeño de lograr la serie con dimensiones antropométricas como iniciales, se vio obligado a conceder a la estatura humana 1.83 y a la altura máxima a que alcanza el brazo 2.26, ambas alejadas del promedio universal. Por otra parte, la gama de proporciones resulta reducida a la razón de la Serie F, que tiende al número Fi, en más o en menos. Ya veíamos en la sesión anterior cómo la ventaja del sistema "Simetría Dinámica" es permitir una gran amplitud de temas o cánones aparte del áureo.

■—El sistema matemático lo ilustra tomando la Serie Renard, aceptada internacionalmente para usos ingenierJles. Esta Serie resulta inapta para obtener la 'conmO'dulación', ya que adopta una serie de números en progresión geométrica con razón 2, excepto al llegar al 32, que lo convierte en 31-5 y al 64 que sustituye por 63, pasando después al 125 y prosiguiendo de nuevo con la razón dos hasta el 1000. Quizás estas anomalías tengan explicada justificación industrial o ingenieril, mas no se adaptan a ningún sistema armónico arquitectónico ni musical.

El tercer sistema a que nos referimos es el antropométrico de Loren-zen, con base en la descripción dimensional de VÍtrubÍo y en los esquemas gráficos de Leonardo da Vinci, del siglo XV, y de Gibson y Bonomi, del año de 1857. La finaUdad expresa de este arquitecto y arqueólogo fue rehacer el sistema metrológico helénico y comprobarlo en la 'Naos Hecatompodos' del Partenón, o nave de los cien pies. De hecho encontró la metrología antigua egipcia, aparte de la posiblemente helénica. Comprobó en las esculturas, el doriforo y otros egipcios, sus hallazgos, así como en la vara de Amenamop de la XIX Dinastía, que posee el museo de Turín. El resultado de su trabajo lo ha publicado el año pasado en su obra Metrología Antigua, escrita en danés y simultáneamente en otra edición en inglés. He creído de gran interés aunque sea asomarme a este sistema, por representar un estímulo al arquitecto investigador y activo, al exponer como origen de los sistemas métricos y de la propor--

t o s TRAZOS REGULADORES DE LA PROPORCIÓN ARQUITECTÓNICA 2X1

ción al hombre y sus dimensiones corpóreas, muestra inseparable del orden cósmico, de ese orden que es la armonía que rige al universo todo.

Lo más notable del estudio de Lorenzen quizás sea, para nuestro propósito, el descubrimiento de una gama- de escalas o sistemas metro-lógicos armónicos y constructibles gráficam-ente por medio de la diagonal raíz de cinco, que contribuye, en mutitud de aspectos, al progreso de la arqueología mediterránea y estimula al arquitecto en otros para perseguir sistemas apoyados en los de mayor reciedumbre descubiertos o creados hasta hoy para alcanzar el ideal actual: un sistema apto para la industrialización, armónico, que permita la 'conmodulación', que sea de gran sencillez su manejo y antropométrico, ya que la arquitectura nace para el hombre y sus cosas y todas ellas, lo mismo que los espacios que crea para habitar, necesariamente deben contemplarlo, como hemos dicho en nuestra segunda plática, en la integridad de sus aspectos: físico, biológico, psicológico y del espíritu, en que se incrusta lo estético.

—Ilustraciones:

1. Instrumentos de un arquitecto, grabados en una tumba del siglo I o II. Turín.

2. Le Corbusier. El Módulo, trazo definitivo, 1948. 3. ídem. Antropometría. 4. ídem. Series Roja y Azul. 5. ídem. Series superpuestas gráficamente y rectángulos resultantes. 6. Chandigarh. Planta. Suprema Corte. 7. ídem. Corte 8. Ezra Ehrenkrantz. Número patrón Modular. Los tres Ejes X, Y, Z. 9. ídem. Series 1 y 3.

10. ídem. Series 3 y 9-11. Planta de una biblioteca. 12. Erza Ehrenkrantz. Fachada de escuela primaria. 13. ídem. Tabla comparativa de su sistema con algunos rectángulos

de Hambidge. 14. Esquema antropométrico de Vitrubio, según Leonardo da Vinci. 15. ídem, según Gibson y Bonomi, 1857. 16. ídem, según Lorenzen. 17. Escalas A, Al, A2, . . .al al , a2, . . .de Lorenzen. 18. Lorenzen. Planta Partenón, con acotaciones en sus escalas.


Anexo: Trazos históricos que se conocen hasta esta fecha.

1. Arsenal del Pireo. 2. Trazo Atrium. VÍtrubÍo (Choisy). 3. ídem. núm. 2. 4. Templo Victoria. 5. Áptera seg. Vitrubio-Lurcat. 6. Basílica seg. Vitrubio-Choisy. 7. Teatro seg. Vitrubio-Choisy. 8. Catedral Milán. Planta seg. César Cesariano. 9. ídem. Corte y fachada.

10. Restitución corte ídem. seg. Ghyka. 11. Filiberto Delorme. Trazo Capilla. 12. ídem. aro. St. Denis, París.

SÉPTIMA PARTE

APLICACIONES PRACTICAS: Aplicaciones a monumentos precortesia-nos. Los trazos del arquitecto Manuel Amábilis en la arquitectura maya. Análisis de otros monumentos. Aplicación de los trazos a monumentos precortesianos de México.

—La sesión de hoy vamos a dedicarla a estudiar unos cuantos trazos aplicados a monumentos precortesianos nacionales; hemos elegido aquellos de los cuales contamos con estudios autorizados en materia de trazos, y los únicos que han llegado a nuestro conocimiento son los efectuados con gran amplitud por el arquitecto yucateco Manuel Amábilis, cuya obra intitulada Arquitectura Precolombina de Méxko, ha sido publicada en 1956, no obstante haberse presentado en 1929 al Concurso para adjudicar el Premio de la Raza, convocado por la Real Academia de Bellas Artes de San Fernando, de Madrid, corporación esta meritísima que lo otorgó a nuestro connotado compañero y compatriota. En esta obra hace su autor un resumido extracto de los sistemas de Hambidge y de Ma-cody Lund, que aplica a diversos monumentos y esculturas de la península yucateca, que nosotros —ignoro si con razón o sin ella—, llamamos

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15 30 60 120 240 24 48 96 192 384

1 2 4 8 16 2 4 8 16 32 3 6 12 24 48 5 10 20 40 80 8 16 32 64 128

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mayas y el Arq. Amábilis toltecas. Su particular punto de vista aparece bien claro al través de toda su obra; en estos dos párrafos parece sintetizar lo que piensa respecto de los trazos geométricos que ha encontrado en los monumentos y obras estudiadas: ". . .en esta parte —'dice— vamos a exponer los conceptos científicos que poseyeron —se refiere a los toltecas— haciendo notar que, si bien sólo nos referiremos a sus profundos conocimientos matemáticos, especialmente geométricos, siendo las matemáticas la base de todas las otras ciencias, lógico es presumir que las cultivaron todas, hecho que está corroborado por la complicada organización social que alcanzaron"."No nos detendremos a considerar el nuevo problema que se levanta para la actual investigación científica y filosófica, al demostrar que los mismos procedimientos geométricos de composición que se empicaron en las artes orientales y occidentales de la antigüedad, son los que utilizaron los toltecas; porque este es un aspecto de la cuestión que no nos corresponde y porque es tan sólo un término más, cuyo valor real hemos encontrado, de la ecuación que la labor prehistórica del hombre en los continentes ha planteado; y cuya incógnita final, despejada, nos revelará el común origen de todo el saber humano que sobre la tierra ha florecido" (Op. cit- p. 158).

—A nuestro juicio, el problema de si los pobladores toltecas y mayas estuvieron vinculados en su origen con civilizaciones avanzadas de los continentes asiático o aun europeo, ciertamente es de gran interés; y como asienta el Arq. Amábilis, su solución permitirá enormes avances en los diversos aspectos que plantea a la antropología, la historia, la arqueología y tantos otros que sería largo mencionar. En el caso que nos ocupa, el de la verificación de una armonía universalmente presente en las grandes creaciones de la humanidad, lo de máxima importancia es alcanzar esta verificación empleando cualquiera de los sistemas consistentes y bien cimentados que llevamos expuestos. No me es dado, ni poseo apoyo autorizado de qué valerme, asegurar que la civilización maya-tolteca, haya empleado los mismos sistemas de trazo que la antigüedad mediterránea; lo único que cabe afirmar es que, al verificar por medio de los trazos de Lund y de Hambidge, la existencia de proporciones armónicas en las obras analizadas semejantes a las mediterráneas, el hecho puede proceder de un común origen del conocimiento, como también de h idea que hemos expuesto en la primera plática: que el ser humano posee por su propia estructura cósmica, siendo como es parte del cosmos, un sentido que lo lleva hacia esa armonía que viene com-probándose al través de las ciencias físicas y biológicas, como existente con idénticas directrices en los seres que con el hombre integran el


mundo cósmico: lo mismo en el físico, en el vegetal, que en el animal. En el caso del hombre, el ejercicio de su Ubre albedrio y la relativa variedad corpórea que registra la especie humana en sus diversos individuos, así como sus relativas y diferentes agudezas visuales o talentos, explican el que unos cuerpos nos parezcan más perfectos que otros; unas inteligencias más agudas que otras y unos gustos más finos que otros; para al final concluir que, aquellos que se nos dan como más acabados tipos humanos en el sentido corpóreo, o en el creativo o comprensivo, son precisamente los que más incorporados están al cosmos; a su orden y a su armonía de esencia. El hombre genial, en el terreno del arte, decíamos, es aquel que más se incorpora a esta armonía u orden armónico que es el cosmos; sobresaliendo entre sus contemporáneos como extraordinario y a la vez constituyéndose en exponente de su momento histórico. Por ello, a nuestro modesto juicio, la verificación armónica por el camino de los trazos de la proporción, nos acerca a ese misterioso orden cósmico y nos comprueba que hombres de muy remotos siglos respecto a nuestro momento actual, que estilísticamente difieren en sus obras de lo que ahora hacemos, sin embargo expresaron sus diversas intuiciones estéticas dentro de una armonía que es la misma que ha placido por milenios a la cultura mediterránea; no sólo a la heleno-latina de que procedemos más cercanamente, sino a la que generó con anterioridad a ésta y hunde sus raíces en la oscuridad de los siglos.

—En las ilustraciones mostraremos que el Arq. Amábilis empleó preferentemente para la arquitectura el sistema 'ad pentágonum" de Lund; excepcionalmente encontró dos monumentos arquitectónicos en que el sistema no fue pentagonal, sino exagonal. Sin embargo, cabe citar que a la luz de los investigadores actuales, en realidad puede relacionarse el tipo exagonal con el triángulo rectángulo denominado por Né-roman, del Timeo, por mencionarlo Platón en su Timeo como el más bello de los triángulos. Su razón es 1/V3 o 1/1.732. (Hellet ha realizado interesantes estudios acerca de la relación que tiene este triángulo con el número 0 . Su hipotenusa hace 30° y 60° con los catetos, y si la V 3 no tiene parentezco con el número 0, el arco de 30° en un círculo con radio, uno, vale 7r/6 o sea 0.5236, que casi corresponde al codo real egipcio; y el arco '7r/l2 vale 0.2618 a 0-/10, que es el pie egipcio).

En seguimiento de los trazos del Arq. Amábilis, mostraremos los procesos sucesivos en la rectificación de la Pirámide del Adivino de Ux-mal, en la que se encontró el tema V2 como directriz, empleando el sistema de Hambidge y las transparencias y consejos de Jouven. Dado que no se ha dispuesto sino de los dibujos de conjunto publicados en 1964

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por la Editorial Garriga, sólo ha podido llevarse el análisis hasi:a ei punto que permiten estos dibujos y por la vía sólo gráfica. No están acotados y su escala es pequeña; sin embargo, aprovechemos el caso, no por concederle defmitiva validez, sino por ilustrar el proceso seguido, que como dice Jouven, una vez determinado el tema por medio de la transparencia, lo que sigue queda al criterio y la sagacidad del analista.

—Ilustración es:

1. Sección áurea. Pentagrama. 2. Diagrama modular pentagonal. Lund. 3- Chichén-Itzá. Célula de la Iglesia. AmábiUs. 4. Las Monjas. Planta. Amábilis. 5. Las Monjas. Corte. Amábilis. 6. Uxmal. Las Monjas. Fachada superpuesta. Amábilis. 7. Uxmal. Las tortugas. Fachada. Amábilis. 8. ídem. Planta. Análisis. Amábilis. 9. ídem. Corte. Análisis. Amábilis.

10. Uxmal. Palacio del gobernador. Fachada y planta. 11. ídem. Corte. 12. Acab-Dizib. Corte. Trazo exagonal. Amábilis. 13. Casa Roja de Qiichén-Itzá. Trazo exagonal. Amábilis. 14. Chichén-Itzá. Relieve de Las Monjas. Trazo.A mábilis. 15. Trazo del Chack-mool. Amábilis. 16. Rectángulos estáticos y dinámicos. Hambidge. (67- VI. l ) . 17. Transparencia para identificación del tema \ /2 (67. VI. 2) . 18. Rectángulo \/2. Hambidge. 19. Uxmal. El Adivino. Edic. Garriga. 1964. 20. ídem. Análisis elevación frontal. Etapa 1. JVG. 1966. 21. ídem. Etapa 2. 22. ídem. Etapa 3. 23. ídem. Trazo total. 24. Planta ídem. Etapa 1. 25. ídem. Etapa 2. 26. ídem. Trazo total.

2 l 6 MEMORIA DEL COLEGIO NACIONAL

OCTAVA PARTE

APLICACIONES PRACTICAS: Análisis de la Catedral Metropolitana de México. Trazos en otros monumentos. Aplicación a monumentos virrey-nales de México.

—Mostramos en nuestra anterior sesión algunas aplicaciones prácticas de los trazos a monumentos mayas. De los análisis realizados y publicados por el Arquitecto Amábilis extrajimos la mayor parte de ellas. Se recordará que fundamentalmente emplea el sistema radial de Lund basado en el pentágono y el pentagrama hasta encontrar, como lo hace Lund respecto de las catedrales góticas y los templos griegos, el módulo en el 6o. o 7o. círculo interior y mínimo de la serie descendente de pen-talfas y pentágonos. En dos casos excepcionales, la Casa Roja de Chi-chén-Itzá y el templo Acab-Dizib, usa el exágono, al que trata en forma semejante a la radial pentagonal innovada por Lund. También tuvimos oportunidad de ver dos análisis relativos a obras escultóricas en los que el mismo arquitecto Amábilis echa mano del sistema de Hambtdge.

—En el análisis armónico de la pirám.ide denominada del Adivino, de Uxmal, siguiendo el método recomendado por Jouven, encontramos como tema regente el rectángulo dinámico V2, que lo mismo en la elevación que en la original planta, permite determinar las proporciones en los lineamientos fundamentales de la composición.

—Hicimos notar que estando basado el estudio que presentamos en los dibujos geometrales del Adivino, publicados por Garriga el ano de 1964 a escala pequeña y sin constar en ellos acotación alguna, más que dejar asentado que el monumento responde armónicamente al canon V2, lo que perseguimos fue ilustrar de modo práctico y sencillo, el manejo del sistema instaurado por Hambidge y tan ampliamente aplicado por Jouven. El mismo fin orienta hoy los tres análisis de monumentos de la época virreynal que ocuparán nuestra atención. Sobre cada uno de ellos hemos dispuesto de docnamentación muy diferente que se hace indispensable dejar claramente especificada. Para la Catedral Metropolitana de México hemos usado la planta que se considera actualmente como la original según el valioso estudio del Dr. Luis G. Serrano, publicado por la Universidad Nacional en 1964. Al comparar las dimensiones del dibujo de Claudio de Arciniega con las dimensiones del monumento realizado, se pudieron comprobar las variaciones que explicablemente sufrió el trazo original; variaciones sin duda originadas por errores de ejecución que en nuestras actuales edificaciones existen por igual. Se encon-


tro que los entretejes sufren variaciones no sólo uno respecto del otro sino, por ejemplo, la nave central mide 15.72 en su proporción Sur en tanto que 15.90 = 19 V = 15-9223 en la zona Norte. Esta y otras observaciones en el Sagrario que se acopla al oriente de la catedral, justifican ampliamente el consejo de Jouven de valerse preferentemente, cuando esto sea posible, de los trazos del autor del monumento analizado. Desafortunadamente sólo nos fue dado contar con el plano de Arcinie-ga; la fachada es un levantamiento fotogramétrico realizado por la Comisión Nacional de Irrigación en 1929 y el corte, lo mismo que la fachada posterior del Sagrario, proceden de un levantamiento de tipo arquitectónico y no propiamente arqueológico, o sea apto para efectos de conservación y de ilustración de conjunto. Del mismo tipo son la planta y la fachada de la catedral de Mérida, ya que el corte que pudimos obtener resultó con diferencias dimensionales sustanciales respecto a la planta. Veremos cómo la planta de la catedral mostró inequívocamente el canon armónico empleado y en cambio el levantamiento topográfico de la planta del Sagrario, acotado y minucioso que sirvió para llevar al cabo la recimentación del monumento, registró diferencias y hubo que tomar dimensiones medias y aplicar el criterio que arquitectónicamente queda manifiesto en la composición de esta obra maestra de Lorenzo Rodríguez (proyectada a mediados del siglo xvni, 1749)- Como vamos a comprobarlo en las ilustraciones que siguen, la planta de Arciniega, lo mismo que la de la catedral de Mérida, acusan con precisión la primera, y con la exactitud que permite la segunda, el empleo del tema del rectángulo estático basado en el triángulo de Pitágoras, cuyos lados son números racionales y enteros: la tan conocida y aún empleada escuadra pitagórica que, a partir de VioUet-Ie-Duc, se denominó triángulo egipcio y que al través de nuestras pláticas hemos mencionado y señalado para hacerlo llegar a la sesión de hoy. Las fachadas de las dos catedrales y el corte de la de México, evidencian su apego al tema de las plantas. En el caso de la planta de la de Mérida, veremos la segmentación armónica del triángulo pitagórico con la idea de aplicar el Teorema de Tales, y la cualidad de proporcionalidad que posee la altura de un triángulo trazado sobre la hipotenusa. En el Sagrario el tema fue diferente. Inspirada su planta en la de Bramante para la Basílica de San Pedro de Roma, era de suponer que por pertenecer a una época en que la sección áurea estaba tan en boga, Lorenzo Rodríguez la habría tomado como tema armónico de su notable y a la vez original obra. Veremos cómo, a pesar de carecer de algún dibujo original de Rodríguez, fue posible colegir el

2 1 8 MEMORIA DEL COLEGIO NACIONAL

tema del rectángulo 0, o sea de la sección áurea, concediendo a las aproximaciones, lo mismo aritméticas que geométricas, un necesario y justificado coeficiente de error.

La serie de pláticas que llega a su fin con la de hoy, debe cerrarse con unas cuantas conclusiones, que si bien han sido ya expuestas al través de lo que hemos considerado y mostrado sucesivamente, de todos modos resultará productivo concentrarlas en pocas palabras que esperamos tengan ahora, al final, una significación mayor que anteriormente, ya que no obstante la visión panorámica que hemos presentado, impuesta por el escaso tiempo de que hemos dispuesto, seguramente lo dicho en la primera y en la segunda de nuestras exposiciones cobrará ahora un volumen y una perspectiva que entonces posiblemente no me fue dado infundirles y ahora, quienes han seguido paciente y entusiastamente el desarrollo de la serie, sin duda, así lo espero, sabrán comunicarles.

—En primer término, estarán acordes en afirmar que el tema de los trazos y su empleo de parte del artista creador ha cobrado una renovada actualidad a partir del siglo pasado y alcanzado excepcionales conquistas en los últimos cincuenta años, que ponen al servicio del artista creador, lo mismo arquitecto, que escultor o pintor, un instrumento de relativo fácil manejo apoyado en las pacientes y consistentes investigaciones de un puñado de científicos, estéticos y geómetras, hombres de gran preparación cultural que han intentado resucitar conocimientos sepultados por determinadas circuiistancias históricas y crear sistemas con base en la historia de las artes y del pensamiento mediterráneo, no menos que en la naturaleza misma del cosmos.

Este párrafo de Corbusier sintetiza puntos sustanciales que conviene no perder de vista; lo citamos en nuestra primera plática y dice: "El trazo regulador no es en principio una preconcepción; se elige a demanda de l:i composición previamente obtenida, bella y bien nacida. El trazo sobre el plano ÚG equilibrio geométrico tiene por mi'Sión ordenar y producir claridad, cumpliendo o reclamando una positiva purificación. El trazo regulador no aporta ideas prácticas o líricas, no inspira temas, no es creador, sino fuente de equilibrio. Es problema de plástica pura".

Esta cita me lleva a otra más, sólo que de Jouven. Con estas palabras termina su obra Rkmo y Arquitectura: "De todo el presente estudio concluiremos finalmente invirtiendo los términos -del problema, que una de las mayores virtudes de los trazos es haber sido utilizados por hombres de primera fila —aun si algunas partes de la doctrina son débiles, sus más enconados adversarios deben recordar en todo momento que


fueron los 'Iniciados' tales como Vauban, Mansard y Gabriel, quienes nos legaron las más puras obras maestras de nuestra arquitectura". Ya en otro párrafo el mismo autor decía: "El espíritu de los trazos debe haber tenido tan hondas raíces, que a pesar de haber desaparecido la tradición, arqueólogos e historiadores se empeñan en reconquistarla y arquitectos como Le Corbusier o Vidal, intentan revivir a la luz meridiana aquellas prácticas milenarias". (Jouven, p. 68).

—En estas dos citas queda dicho una vez más cuál es el sentido de los trazos y caá.1 aquel argumento invitatorio de que echamos mano al abrir nuestras pláticas y responder en parte a aquella pregunta de ¿por qué oaiparse de los trazos ? No creo que ninguno de quienes me han seguido día a día piense que el trazo sustituye al genio, ni que el trazo sea cosa distinta a lo que con precisión y claridad, ha dejado escrito Corbusier.

—Por último, deseo rubricar este ciclo de pláticas no sólo con la gratitud que debo a todos aquellos que con entusiasmo y constancia me han estimulado y, por qué no decirlo, compensado en mucho el entusiasta esfuerzo y el cúmulo de labores que me ha representado, no sólo en estos últimos meses de preparación inmediata, sino al través de años, resumir en ocho pláticas lo que exige, ustedes lo saben y han visto prácticamente ya, todo un curso de buen número de sesiones expositivas y de aplicaciones prácticas sobre la mesa de dibujo. He dicho que no sólo con gratitud rubrico nuestro ciclo, porque la mayor satisfacción que puede caber es despertar en algunos espíritus la inquietud y, en nuestro caso, el deseo de ahondar, practicar y aplicar constructivamente, el trazo, objeto de nuestro estudio. Esta ha sido la meta y la finalidad de cuanto hemos expuesto y mostrado en esta cátedra. Sirvan los frutos que pueda cosechar cada uno de ustedes, de silencioso o de público homenaje a esos cuantos científicos y estéticos a quienes debemos un tributo de gratitud V de admiración.

'Ilustraciones:

1. Catedral de México. Planta de Arciníega. 2. ídem. Fragmento anterior de la Planta de Arciníega. 3. ídem. Comprobación de la existencia del triángulo de Pitágoras. 4. Diversas figuras empleadas en los trazos armónicos.


5. Catedral de Mcxico. Planta. Trazo armónico. Etapa 1. 6. ídem. Etapa 2, 7. ídem. Etapa 3-8. ídem. Trazo total. 9. Corte transversal. Trazo armónico.

10. Catedral de México. Fachada, en geometral. U. ídem. Trazo. 12. Catedral de Mérida. Fachada. 13. ídem. Bóvedas. 14. ídem. Planta. 15. ídem. Planta, trazo armónico. ló. ídem. Geometral de la fachada principal. 17. ídem. Trazo armónico. 18. ídem. Esquema del trazo. 19. Planta del Sagrario Metropolitano de México, Baxter. 20. ídem. Cálculo del tema armónico. 21. ídem. Trazo armónico. 22. Geometral de la fachada posterior de! Sagrario Metropolitano

de México. 23. Trazo de la misma fachada.

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07 - Artes Plasticas_ Los Trazos Reguladores de La Proporcion Arquitectonica_ Sentido y Practica, Por Jose Villagran Garcia