Upload
others
View
37
Download
1
Embed Size (px)
Citation preview
Khóa học TOÁN 11 – Thầy Đặng Việt Hùng Chuyên đề : LƯỢNG GIÁC
MOON.VN – Học để khẳng đị nh mình www.facebook.com/Lyhung95
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
DẠNG 3. PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG
Dạng phương trình: (sin cos ) sin .cos 0 a x x b x x c
Dạng phương trình: 2 2(tan cot ) (tan cot ) 0 a x x b x x c
Dạng phương trình: 4 4(sin cos ) sin 2 0 a x x b x c
Dạng phương trình: 4 4(sin cos ) cos 2 0 a x x b x c
Dạng phương trình: 6 6(sin cos ) sin 2 0 a x x b x c
Dạng phương trình: 6 6(sin cos ) cos 2 0 a x x b x c
Dạng phương trình: 4 4sin cos .cos 2 0 a x b x c x d
Bài 1: [ĐVH]. Giải các phương trình sau
a) 2sin2x + sinx.cosx – 3cos
2x = 0 b) 2sin
2x – 3sinx.cosx + cos
2x = 0
Bài 2: [ĐVH]. Giải các phương trình sau
a) 2(sinx + cosx) + sin2x + 1 = 0 b) sinxcosx = 6(sinx – cosx – 1)
Bài 3: [ĐVH]. Giải các phương trình sau
a) π
sin 2 2 sin 14
x x b) tan 2 2 sin 1 x x
Bài 4: [ĐVH]. Giải các phương trình sau
a) 1
1 tan 2sincos
x xx
b) 1 1
sin costan cot
x xx x
Bài 5: [ĐVH]. Giải các phương trình sau
a) 1 1 10
sin cossin cos 3
x xx x
b) 2sinx + cotx = 2sin2x + 1
Bài 6: [ĐVH]. Giải các phương trình sau
a) sin3x + cos
3x = 2sinxcosx + sin x + cosx b) 1 – sin
3x + cos
3x = sin2x
Bài 7: [ĐVH]. Giải các phương trình sau
a) 2 sin cos tan cot x x x x b) (1 + sinx)(1 + cosx) = 2
Bài 8: [ĐVH]. Giải các phương trình sau
a) 3(cotx – cosx) – 5(tanx – sinx) = 2 b) sinxcosx + |sinx + cosx| = 1
Bài 9: [ĐVH]. Giải các phương trình sau
Tài liệu bài giảng (Khóa TOÁN 11)
07. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP (P3)
Thầy Đặng Việt Hùng – www.facebook.com/Lyhung95
Khóa học TOÁN 11 – Thầy Đặng Việt Hùng Chuyên đề : LƯỢNG GIÁC
MOON.VN – Học để khẳng đị nh mình www.facebook.com/Lyhung95
a) 2 sin 2 sin cos 2 x x x b) |sinx – cosx| + 4sin2x = 1
Bài 10: [ĐVH]. Giải các phương trình sau
a) 2sin 2 3 3 sin cos 8 0 x x x
b) 2
sin cos 2 1 sin cos 2 0 x x x x
Bài 11: [ĐVH]. Giải các phương trình sau
a) tan 3cot 4 sin 3 cos x x x x b) cos 2 5 2(2 cos )(sin cos ) x x x x
Bài 12: [ĐVH]. Giải các phương trình sau
a) 2sin cot 2sin 2 1 x x x b) 3 3cos2 cos sin x x x
Bài 13: [ĐVH]. Giải các phương trình sau
a) 3(tan cot ) 2(2 sin 2 ) x x x b) 2 2
1 1 5tan cot 1 0
2sin cos x x
x x
Bài 14: [ĐVH]. Giải các phương trình sau
a) 2 2tan cot 3(tan cot ) 6 x x x x b) 2 1 sin cos tan cot 0 x x x x
Bài 15: [ĐVH]. Giải các phương trình sau
a)
3
sin cos 2 sin sin cos 2 2 02 2 2 2
x x x xx
b) 1 1 1 1
sin 3 cos3 1 tan 3 cot 3 02 2 sin 3 cos3
x x x x
x x
Bài 16: [ĐVH]. Giải các phương trình sau
a) 2 2
1 12 tan 2 2cot 2 8 0
cos 2 sin 2 x x
x x b)
24 4tan cot 8 tan cot 9 0 x x x x
LỜI GIẢI BÀI TẬP Bài 1: [ĐVH]. Giải các phương trình sau
a) 2sin2x + sinx.cosx – 3cos
2x = 0 b) 2sin
2x – 3sinx.cosx + cos
2x = 0
Lời giải:
a) 2 22sin sin .cos – 3cos 0x x x x sis nin cos 2 3cos 0x xx x
2 32 cos . 13 sin cos 0
4 13 13x x x
cos cos 0
4x x
(với 3 2
cos ,sin13 13
)
cos 0 44
cos 02
x kxk
x kx
Vậy phương trình có họ nghiệm ,2 4
x k x k k
Khóa học TOÁN 11 – Thầy Đặng Việt Hùng Chuyên đề : LƯỢNG GIÁC
MOON.VN – Học để khẳng đị nh mình www.facebook.com/Lyhung95
b) 2 22sin – 3sin .cos cos 0x x x x ssin cos 0c s2 in ox x x x
2 12 cos . 5 sin cos 0
4 5 5x x x
cos cos 0
4x x
(Với 1 2
cos ,sin5 5
)
cos 0 44
cos 02
x kxk
x kx
Vậy phương trình có họ nghiệm ,2 4
x k x k k
Bài 2: [ĐVH]. Giải các phương trình sau
a) 2(sinx + cosx) + sin2x + 1 = 0 b) sinxcosx = 6(sinx – cosx – 1)
Lời giải:
a) 2 22 sin cos sin 2 1 0 2 sin c sin cos sin cosos 2 0x x xx x x xx x
sin cos 0 2 cos . 04
sin cos 2 sin cos 2x x x xx x x
3cos 0
44
sin cos 1 _ sin 1,cos 1sin cos 2
x k kx
x x do x xx x
Vậy phương trình có họ nghiệm 3
4 x k k
b) sisi nn cos 6 sin – cos – cos 1 12 sin cos 131 2 xx x xx xx x
2
cos sin 12 cos sin 13 0x x x x
cos sin 1 21cos 2
cos sin 13 4 22
x x x kx k
x loaix k
Vậy phương trình có họ nghiệm 2 , 22
x k x k k
Bài 3: [ĐVH]. Giải các phương trình sau
a) π
sin 2 2 sin 14
x x b) tan 2 2 sin 1 x x
Lời giải:
a) 2
sin 2 2 sin 1 sin cos 2 sin 04 4
x x x x x
22sin 0 2 si2 sin n 2 sin 1 04 44 4
xx x x
Khóa học TOÁN 11 – Thầy Đặng Việt Hùng Chuyên đề : LƯỢNG GIÁC
MOON.VN – Học để khẳng đị nh mình www.facebook.com/Lyhung95
sin 0 44
21
sin24 2
2
x kx
x k k
xx k
Vậy phương trình có họ nghiệm , 2 , 24 2
x k x k x k k
b) ĐK: cos 0x
Ta có sin
tan 2 2 sin 1 2 2 sin 1 sin 2 2 sin cos cos 0cos
xx x x x x x x
x
2 2sin cos 2 sin cos 1 0 2 2 cos 2 cos 2 0
4 4x x x x x x
24cos 1
4 52 cos 1 2cos 1 0 2
4 4 121cos
114 2 212
x k
x
x x x k k
x
x k
Vậy phương trình có họ nghiệm 5 11
2 , 2 , 24 12 12
x k x k x k k
Bài 4: [ĐVH]. Giải các phương trình sau
a) 1
1 tan 2sincos
x xx
b) 1 1
sin costan cot
x xx x
Lời giải:
a) ĐK: cos 0x
11 tan 2sin cos sin 2sin cos 1
cosx x x x x x
x
2cos sin cos sin 2 0x x x x
cos 2cos sin 2 4 2
2cos sin 1 1
2cos4 2
x loaix x k
kx
x kx
Vậy phương trình có họ nghiệm 2 , 22
x k x k k
b) ĐK: sin ,cos 0x x
Ta có 2 21 1sin cos sin cos sin cos sin cos
tan cotx x x x x x x x
x x
sin cos sin cos sin cos 0 2 cos 2sin cos 2 sin cos 04
x x x x x x x x x x x
Khóa học TOÁN 11 – Thầy Đặng Việt Hùng Chuyên đề : LƯỢNG GIÁC
MOON.VN – Học để khẳng đị nh mình www.facebook.com/Lyhung95
2
cos sin cos 2 sin cos 1 04
x x x x x
2cos cos 2cos 1 04 4 4
x x x
2 arccos 2 1cos 2cos 1 0
cos 04 3cos 0
4 4cos 2 1
4
42
4cos 1
4
4kx
x
x x k
x loai k
x
x
x
Vậy phương trình có họ nghiệm arccos3
4, 2 1
4 x k x kk
Bài 5: [ĐVH]. Giải các phương trình sau
a) 1 1 10
sin cossin cos 3
x xx x
b) 2sinx + cotx = 2sin2x + 1
Lời giải:
a) ĐK: sin cos 0x x
1 1 10 sin cos 10
sin cos sin cossin cos 3 sin cos 3
x xx x x x
x x x x
3 sin cos sin cos 1 10sin cos 0x x x x x x
2 23
sin cos sin cos 1 5 sin cos 5 02
x x x x x x
3 2
3 sin cos 10 sin cos 3 sin cos 10 0x x x x x x
2
sin cos 2 3 sin cos 4 sin cos 5 0x x x x x x
2
2 19sin cos 1sin cos 2 _ sin cos 2 3
2 193 sin cos 4 sin cos 5 0 sin cos3
x xx x loai do x x
x x x x x x
2 19cos 1
4 2 193 2arccos 2
43 22 19cos
4 3 2
x loai
x k k
x
(thỏa mãn)
Vậy phương trình có họ nghiệm 2 19
arccos 243 2
k kx
b) ĐK: sin 0x
cossin cot 2sin 2 1 2sin 4sin cos 10 0
s2
in
xx x x x x x
x
Khóa học TOÁN 11 – Thầy Đặng Việt Hùng Chuyên đề : LƯỢNG GIÁC
MOON.VN – Học để khẳng đị nh mình www.facebook.com/Lyhung95
2 22sin cos 4sin cos sin 0 2sin 1 sin 2sin cos cos 0x x x x x x x x x x
2sin 1 1 2sin cos cos sin 1 0x x x x x
2
2sin 1 cos sin cos sin 1 0x x x x x
22sin 1 2cos 2 cos 1 04 4
x x x
1sin 2
2 6
10 2 5cos 1 2
4 4 6
10 210 2 arccos 2cos4 44 4
x x k
x loai x k k
x kx
Vậy phương trình có họ nghiệm 5 10 2
2 , 2 , arccos 26 6 4 4
k k kx kx x
Bài 6: [ĐVH]. Giải các phương trình sau
a) sin3x + cos
3x = 2sinxcosx + sin x + cosx b) 1 – sin
3x + cos
3x = sin2x
Lời giải:
a) Phương trình đã cho tương đương với
3 3cos 2sin cos sin cos sin cos 1 sin cos sin cosin sin ss co2x x x x x x x x x xx xx x
2sin cos sin cos sin cos 0 sin cos sin cos 2 0x x x x x x x x x x
sin 2 0 _ sin cos 22
x do x x x k k
Vậy phương trình có họ nghiệm 2
x k k
b) 3 31 sin cos sin 2 cos sin 1 sin c sin co oss 2 01x x x x x x x x x
2
cos sin 0 coscos sin 1 si sin 1 sin cos cos sin 0n cos x x x x x xx x xx x x
cos 0 14cos 1 sin cos cos sin 0
41 sin cos cos sin 0 2
xx x x x x
x x x x
Giải 14
x k k
Giải 2
2 3 1 2sin cos 2 cos sin 0 3 cos sin 2 cos sin 0x x x x x x x x
2cos sin 1 1
coscos sin 3 _ cos sin 2 4 22
2
x kx x
x kx x loai do x x x k
Khóa học TOÁN 11 – Thầy Đặng Việt Hùng Chuyên đề : LƯỢNG GIÁC
MOON.VN – Học để khẳng đị nh mình www.facebook.com/Lyhung95
Vậy phương trình có họ nghiệm 2 , , 24 2
x xk k k k
Bài 7: [ĐVH]. Giải các phương trình sau
a) 2 sin cos tan cot x x x x b) (1 + sinx)(1 + cosx) = 2
Lời giải:
a) ĐK: sin cos 0x x
2 2sin cos
2 sin cos tan cot 2 sin cossin cos
x xx x x x x x
x x
2
2 sin cos sin cos 1 sin cos 1 sin cos 2x x x x x x x x
3 2
sin cos sin cos 2 0 sin cos 2 sin cos 2 sin cos 1 0x x x x x x x x x x
sin cos 2 cos 1 2 24 4 4
x x x x k x k k
Vậy phương trình có họ nghiệm 24
k kx
b) 1 sin 1 cos 2 sin cos sin co sin cos 1 3 0s 1 0 2 sin cos 2x x x x x x xx xx
2 22 sin cos sin cos 3 0 2cos 2 2 cos 3 0
4 4x x x x x x
2cos 2
4 2
23 22cos 0
4 2
x x k
kx k
x loai
Vậy phương trình có họ nghiệm 2 , 22
k x kx k
Bài 8: [ĐVH]. Giải các phương trình sau
a) 3(cotx – cosx) – 5(tanx – sinx) = 2 b) sinxcosx + |sinx + cosx| = 1
Lời giải:
a) ĐK: sin cos 0x x
cos sin
3 cot – cos – 5 tan – sin 2 3 cos 5 sin 2 0sin cos
x xx x x x x x
x x
cos sin 3 cos 1 5 sin 1 0
sin cos
x xx x
x x
3 cos sin cos sin 5 sin sin cos cos0
sin cos
x x x x x x x x
x x
Khóa học TOÁN 11 – Thầy Đặng Việt Hùng Chuyên đề : LƯỢNG GIÁC
MOON.VN – Học để khẳng đị nh mình www.facebook.com/Lyhung95
cos sin cos sin 0 13 5
cos sin cos sin 0 3 5sin cos 0 2
sin cos
x x x x
x x x xx x
x x
Giải: 2 21 2 sin cos sin cos 1 0 2cos 2 2 cos 1 0
4 4x x x x x x
2 2cos
4 2 2 2arccos 2
2 42 2cos
4 2
x
x k
x l
k
oai
(thỏa mãn)
Giải: 3 3
2 tan arctan5 5
x x k k
Vậy phương trình có họ nghiệm 2 2
arccos 23
arctan,2 4 5
x k x kk
b) sin cos sin cos 1 2 sin co 2sin cos 1 2 0sx x x x x x xx
2
23 0 2 cos 2 2 co2 sin co s 3 0
4 4s sin cos xx x x xx
2cos
4 2
3 22cos 0
4 2
x x k
kx k
x loai
Vậy phương trình có họ nghiệm ,2
k k kx x
Bài 9: [ĐVH]. Giải các phương trình sau
a) 2 sin 2 sin cos 2 x x x b) |sinx – cosx| + 4sin2x = 1
Lời giải:
a) 2
2 sin 2 sin cos 2 2sin cos sin cos 2 sin cos 1 sin cos 2x x x x x x x x x x x
3 2
sin cos sin cos 2 0 sin cos 2 sin cos 2 sin cos 1 0x x x x x x x x x x
sin cos 2 cos 1 2 24 4 4
x x x x k x k k
Vậy phương trình có họ nghiệm 24
k kx
b) sin – cos 4sin 2 1 sin 8si– co n coss 4 3 0x x x x xx x
2
sin – cos
sin – cos sin – coss
11
4 3 0 cos3in – 2cos 4
4
xloai
x x
x x x xx x
Khóa học TOÁN 11 – Thầy Đặng Việt Hùng Chuyên đề : LƯỢNG GIÁC
MOON.VN – Học để khẳng đị nh mình www.facebook.com/Lyhung95
4 4
24 4
x kx k
kx k
x k
Vậy phương trình có họ nghiệm ,2
x k kkx
Bài 10: [ĐVH]. Giải các phương trình sau
a) 2sin 2 3 3 sin cos 8 0 x x x b) 2
sin cos 2 1 sin cos 2 0 x x x x
Lời giải:
a) 2
2 1 sin 2 3 3 sin cos 6 0 2 sin cos 3 3 sin cos 6 0PT x x x x x x x
Đặt sin cos 0 2t x x t ta có: 22 3 3 6 0t t vn
Vậy PT vô nghiệm
b) Đặt sin cos 2t x x t ta có: 21
1 2 2 02
tt t
t
+) Với 1t ta có: 21
sin 24 2
2
x kx
x k
+) Với 2t ta có: 3
sin 1 24 4
x x k
Vậy nghiệm của PT là: 3
2 , 2 , 24 2
x k x k x k k Z
Bài 11: [ĐVH]. Giải các phương trình sau
a) tan 3cot 4 sin 3 cos x x x x b) cos 2 5 2(2 cos )(sin cos ) x x x x
Lời giải:
a) ĐK: sin 2 0x . Khi đó sin 3cos4 sin 3 cos
cos sin
x xPT x x
x x
sin 3 cos sin 3 cos sin 3 cos 2sin 2 14 sin 3 cos
sin cos sin 3 cos 0 2
x x x x x x xx x
x x x x
+) 2 2 2
3 31 sin sin 2
4 4 232 2
3 9 3
x x k x k
x x tmk
x x k x
+) 2 sin 03 3
x x k tm
Khóa học TOÁN 11 – Thầy Đặng Việt Hùng Chuyên đề : LƯỢNG GIÁC
MOON.VN – Học để khẳng đị nh mình www.facebook.com/Lyhung95
Vậy nghiệm của PT là: 4 2
,3 9 3
kx k x
b) 2cos 2 5 4 sin cos 2 cos sin cosPT x x x x x x
2 22cos 4 4 sin cos 2cos sin 2 4 4 sin cos sin 2x x x x x x x x
Đặt 2sin cos 2 sin 2 1 sin 24
t x x x t t x
Khi đó: 2
23 1
4 4 1 sin 34 221
2
x kt loai
PT t t xx kt
Vậy nghiệm của PT là: 3
2 , 22
x k x k
Bài 12: [ĐVH]. Giải các phương trình sau
a) 2sin cot 2sin 2 1 x x x b) 3 3cos2 cos sin x x x
Lời giải:
a) ĐK: sin 0x . Khi đó: 2cos cos2sin 2sin 2 1 2sin 1 4sin 1
sin sin
x xPT x x x x
x x
512 , 2sincos
6 62sin 1 1 2sin 1 0 2sin
sin cos 2sin cos 0 2sin sin 2 cos 0
x k x kxxx x
xx x x xx x x
2
1 5sin cos
22 sin cos sin cos 1 0
1 5sin cos
2
x x
x x x x
x x loai
3 1 5 3 1 5cos arccos 2
4 42 2 2 2x x k
b) cos sin cos sin cos sin 1 sin cosPT x x x x x x x x
cos sin cos sin 1 sin cos 0 sin cos cos sin 1 sin 1 0x x x x x x x x x x x
4sin cos 0
sin cos sin 1 cos 1 0 sin 1 22
cos 12
x k
x x
x x x x x x k
xx k
Vậy PT có 3 họ nghiệm như trên.
Bài 13: [ĐVH]. Giải các phương trình sau
a) 3(tan cot ) 2(2 sin 2 ) x x x b) 2 2
1 1 5tan cot 1 0
2sin cos x x
x x
Khóa học TOÁN 11 – Thầy Đặng Việt Hùng Chuyên đề : LƯỢNG GIÁC
MOON.VN – Học để khẳng đị nh mình www.facebook.com/Lyhung95
Lời giải:
a) ĐK: sin 2 0x . Khi đó sin cos 3
3 2 2 sin 2 2 2 sin 2cos sin sin cos
x xPT x x
x x x x
+) Đặt sin 2x t ta có:
213
2 2 3 03
tt t t
t loait
+) Với 14
t x k
b) ĐK: sin 2 0x . Khi đó 2 2
1 5 1. 1 0
sin .cos 2 sin .cosPT
x x x x
+) Đặt
2
12 sin cos
1 5 21 0
1sin cos 2sin cos 2
2
t x x
t t tx x
t x x loai
+) Với 1
sin cos sin 2 12 4
x x x x k
Vậy 4
x k
là nghiệm của phương trình.
Bài 14: [ĐVH]. Giải các phương trình sau
a) 2 2tan cot 3(tan cot ) 6 x x x b) 2 1 sin cos tan cot 0 x x x x
Lời giải:
a) ĐK: sin 2 0x . Khi đó 2
tan cos 2 3 tan cot 6PT x x x x
Đặt tan cott x x ta có: 2
13 4 0
4
tt t
t
+) Với 1t ta có: sin cos cos 2 1 arctan 2
2cot 2 1 cot 21cos sin 2 2
sin 22
x x x kx x x
x xx
+) Với
1arctan
1 24 tan 22 2
kt x x
b) ĐK: sin 2 0x . Khi đó 1
2 2 sin cos 0sin cos
PT x xx x
Đặt sin cos 2t x x t ta có: 2
2
1 2sin cos 2 2 0
2 1
tx x t
t
Khóa học TOÁN 11 – Thầy Đặng Việt Hùng Chuyên đề : LƯỢNG GIÁC
MOON.VN – Học để khẳng đị nh mình www.facebook.com/Lyhung95
3 2
sin 004
2 2 2 0 1 51 5
sin24 4
xt
t t tt
x
4
1 5arcsin 2
4 4
3 1 5arcsin 2
4 4
x k
x k
x k
Bài 15: [ĐVH]. Giải các phương trình sau
a)
3
sin cos 2 sin sin cos 2 2 02 2 2 2
x x x xx
b) 1 1 1 1
sin 3 cos3 1 tan 3 cot 3 02 2 sin 3 cos3
x x x x
x x
Lời giải:
a) Ta có:
2
2 2 sin 2 sin cos2 2
x xx
, Đặt sin cos 2 sin 2
2 2 2 4
x x xt t
Khi đó: 3 2 22 2 0 1 2 0 2 sin 12 4
xPT t t t t t t
2 42 4 2 2
xk x k
.
b) ĐK: sin 6 0x . Khi đó: 1 sin3 cos3
sin3 cos3 2 0sin3 .cos3 sin3 .cos3
x xPT x x
x x x x
Đặt 2 1
sin3 cos3 2 sin3 .cos32
tt x x t x x
2 2
02 22 0 2 1 2 0
11 1
ttPT t t t
tt t
+) Với 0 sin3 cos3 0 tan3 114 3
kt x x x x
.
+) Với 1 sin3 .cos3 0t x x loai
Vậy nghiệm của PT là: 14 3
kx
Bài 16: [ĐVH]. Giải các phương trình sau
a) 2 2
1 12 tan 2 2cot 2 8 0
cos 2 sin 2 x x
x x b)
24 4tan cot 8 tan cot 9 0 x x x x
Lời giải:
a) ĐK: sin 4 0x . Khi đó 2 2tan 2 2 tan 2 cot 2 2cot 2 6 0PT x x x x
Khóa học TOÁN 11 – Thầy Đặng Việt Hùng Chuyên đề : LƯỢNG GIÁC
MOON.VN – Học để khẳng đị nh mình www.facebook.com/Lyhung95
2
14
tan 2 cot 2 4 sin 2 cos 2tan 2 cot 2 2 tan 2 cot 2 8 0
tan 2 cot 2 2 12
sin 2 .cos 2
x x x xx x x x
x x
x x
51 2 , 2
sin 4 6 62
sin 4 1 22
x k x kx
tm
x x k
b) Ta có: 22 24 4 2 2tan cot tan cot 2 tan cot 2 2x x x x x x
. ĐK: sin 2 0x
Đặt 2
tan cot 4.tan .cot 4t x x x x , ta có 2 1
2 2 8 9 011
t loait t
t
+) Với 2
21 4 211 11 sin 2 sin 2
sin .cos 11 11t x x tm
x x
1 2arcsin 2
2 11
1 2arcsin 2
2 11
x k
x k
Vậy PT có 4 họ ngiệm như trên
Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn