Fungsi TrigonometriTim Matematika Dasar

PERBANDINGAN TRIGONOMETRI PADA SEGITIGA DALAM SUMBU KARTESIUS

Sb y

Sb x

yr

x

=sisiyangberdampingandgn A y

sinussisimiring r

=sisiyangberhadapandgn A x

cosinussisimiring r

=sisiyangberhadapandgn A y

tangensisiyangberdampingandgn A x

Fungsi trigonometri

1sin

csc

1cos

sec

1tan

cot

1csc

sin

1sec

cos

1cot

tan

sintan

cos

coscot

sin

SUDUT ISTIMEWA

0O 30O 45O 60O 90O

Sin 0 1

Cos 1 0

Tg 0 1

Ctg 1 0

1

2

12

2

13

21

32

13

33

y

x

1-1

-1

1

r

12

2

1

2

13

33

sin = y/r

cos = x/r

tan = y/x

Fungsi trigonometri

Fungsi trigonometri untuk sudut (90 + α)o dan (1800 - α)o

• Sin (90 + α)o = cos αo

• cos (90 + α)o = -sin αo

• tan (90 + α)o = -cot αo

• Sin (180 - α)o = sin αo

• Cos (180 - α)o = -cos αo

• tan (180 - α)o = -tan αo

Fungsi trigonometri

Fungsi trigonometri untuk sudut (180 + α)o dan (270 - α)o

• Sin (180 + α)o = -sin αo

• cos (180 + α)o = -cos αo

• tan (180 + α)o = tan αo

• Sin (270 - α)o = -cos αo

• Cos (270 - α)o = -sin αo

• tan (270 - α)o = cot αo

Fungsi trigonometri

Fungsi trigonometri untuk sudut (270 + α)o dan (360 - α)o

• Sin (270 + α)o = -cos αo

• cos (270 + α)o = sin αo

• tan (270 + α)o = -cot αo

• Sin (360 - α)o = -sin αo

• Cos (360 - α)o = cos αo

• tan (360 - α)o = -tan αo

Fungsi trigonometri

Fungsi trigonometri untuk sudut (k.360 + α)o

• Sin (k.360 + α)o = sin αo

• cos (k.360 + α)o = cos αo

• tan (k.360 + α)o = tan αo

Contoh

• Sin 150o = sin (90 + 60)o = cos 60o = ½

• Tan 300o = tan (270 + 30)o =-cot 30o = -√3

latihan

Hitunglah nilai dari :

• sin 225o

• Cos 315o

• Sin (-960)o

• Sin 225o + cos 150o

ATURAN SINUS DAN KOSINUS

ATURAN SINUS

ATURAN KOSINUS

SinCc

SinBb

SinAa

2bcCosA2c2b2a

2acCosB2c2a2b

2abCosC2b2a2c

2 2 2a b c 2bcCosA

2 2 2b a c 2acCosB

2 2 2c a b 2abCosC

a b cSinA SinB SinC

CONTOH SOAL :

Pada segitiga ABC, diketahui

c = 6, sudut B = 600 dan sudut C = 450.

Tentukan panjang b !

0

PENYELESAIAN :

2

6

3

45

6

60

21

21

00

b

SinSin

b

SinC

c

SinB

b

632

66

2

2

2

36

2

63

21

21

b

b

b

Latihan

• Dalam sebuah segitiga ABC diketahui panjang sisi a = 8 cm, sisi b = 3 cm, dan sudut C = 60o. Tentukan panjang sisi c dan kedua sudut lainnya.

15

b. f(x) = cos x o

c. f(x) = tan x o

d. f(x) = 2 sin x o

e. f(x) = cos 2x o

Fungsi-fungsi di atas merupakan contoh fungsi trigonometri

a. f(x) = sin x o

Fungsi Trigonometri

16

1. Y = SIN X

2. Y = COS X

3. Y = TG X

Grafik Fungsi Trigonometri

17

a. Grafik y = sin x , 00 ≤ X ≤ 3600

x 0 30 90 150 180 210 270 330 360

y 0 ½ 1 ½ 0 -1/2 -1 -1/2 0

Grafik Fungsi Trigonometri

18

1

0

-1

90 0 180 0

270 0

360 0

Y = sin x

y

x

19

b. Grafik y = Cos x ; 00 ≤ X ≤ 3600

x 0 60 90 120 180 240 270 300 360

y 1 1/2 0 1/2 -1 - 1/2 -1 1/2 1

20

1

0

-1

90 0 180 0

270 0

360 0

Y = Cos x

21

c. Grafik y = tg x

x 0 45 90 135 180 225 270 315 360

y 0 1 ∞ -1 0 1 ∞ 1 0

22

1

0

-190 0 180 0

270 0

360 0

Y = Tg x

45 0

315 0135 0

225 0

Grafik Fungsi Trigonometri

y = a sin xy = a cos x

y = sin kxy = cos kx

y = sin (ax ± b)y = cos (ax ± b)

y = sin x ± cy = cos x ± c

y = k sin2 xy = k cos2 x

24

a. Grafik y = 2 sin x , 00 ≤ X ≤ 3600

Grafik Fungsi Trigonometri

X 0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

y 0 1 √3 2 √3 1 0 -1 -√3 -2 -√3 -1 0

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

0 90 180 270 360

1. Gambarkan grafik y = - 3 cos x

2. Dengan menggunakan gambar grafik, tentukan nilai x yang memenuhi persamaan2 cos x + 1 = 0, untuk 0o ≤ x ≤ 360o

Latihan

b. Grafik y = sin 2x , 00 ≤ X ≤ 3600

X 0 45 90 135 180 225 270 315 360

y 0 1 0 -1 0 1 0 -1 0

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

0 90 180 270 360

c. Grafik y = cos (3x - 45) , 150 ≤ x ≤ 2550

X 15 45 75 105 135 165 195 225 255

y 1 0 -1 0 1 0 -1 0 1

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

15 45 75 105 135 165 195 225 255

d. Grafik y =sin x + 1 , 00 ≤ x ≤ 3600

X 0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

Sin x 0 ½ 1/2√3

1 1/2√3

½ 0 -1/2 -1/2 √3

-1 -1/2 √3

-1/2 0

Sin x+ 1

1 3/2 1+1/2√3

2 1+1/2√3

3/2 1 ½ 1-1/2 √3

0 1-1/2 √3

½ 1

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

e. Grafik y = 2 sin2 x , 00 ≤ x ≤ 3600

X 0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

2sin2

x0 1 √3 2 √3 1 0 1 √3 2 √3 1 0

0

0.5

1

1.5

2

2.5

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

1. Gambarkan grafik y = cos 3x, dengan 00 ≤ x ≤ 3600

2. Gambarkan grafik y = sin (2x + 60), dengan -300 ≤ x ≤ 3400

3.Gambarkan grafik y = 2 cos x - 2

Latihan

persamaan

• Persamaan sin

Jika sin x = sin α, maka :

a. x1 = α + k.360o

b. x2 = (180- α) + k.360o

dengan k bilangan bulat

Contoh

• Untuk -1800 ≤ x ≤ 1800 , tentukan nilai x yang memenuhi persamaan sin x = ½

• Sin x = ½

• Sin x = sin 30o

Berdasarkan rumus, Jika sin x = sin α, maka :

a. x1 = α + k.360o

b. x2 = (180- α) + k.360o

Jadi sin x = sin 300, maka :

a. x1 = α + k.360o

Untuk k = -1 x = 300 – 3600 = -3300 (tidak memenuhi)

Untuk k = 0 x = 30o ± 0 = 30o (memenuhi)

Untuk k = 1 x = 300 + 3600 = 3900 (tidak memenuhi)

Jawab

• Sin x = ½

• Sin x = sin 30o

b. x2 = (180- α) + k.360o

Untuk k = -1 x = 1500 – 3600 = -2100 (tidak memenuhi)

Untuk k = 0 x = 150o ± 0 = 150o (memenuhi)

Untuk k = 1 x = 1500 + 3600 = 5100 (tidak memenuhi)

Nilai x yg memenuhi persamaan sin x = ½ dalam interval

-1800 ≤ x ≤ 1800 adalah {300, 1500}

persamaan

• Persamaan cos

Jika cos x = cos α, maka :

a. x1 = α + k.360o

b. x2 = (360- α) + k.360o

atau x1 dan 2 = ± α ± k.360o

dengan k bilangan bulat

persamaan

• Persamaan tan

Jika tan x = tan α, maka :

x1 = α ± k.180o

dengan k bilangan bulat

latihan

• Untuk -1800 ≤ x ≤ 1800 , tentukan nilai x yang memenuhi persamaan :

a. Cos x = -1/2 √3

b. Tan x = 1/3 √3

• Untuk -360 ≤ x ≤ 360, tentukan nilai x ygmemenuhi pers 2 cos x = 1

o

o1,2

o

o o1,2

1cos x 3

2

cos x cos150

penyelesaian:

x k.360

cos x cos150

x 150 k.360

o o o1

o o o2

o o1

o o2

o o o1

o o o1

o o

k 1 x 150 360 210

k 1 x 150 360 510

k 0 x 150 0 150

k 0 x 150 0 150

k 1 x 150 360 510

k 1 x 150 360 210

HP 150 ,150

Cos x = -1/2 √3

o

o

o

o o

o o o1

o o1

o o o1

o o

1tanx 3

3

tanx tan30

penyelesaian:

x k.180

tanx tan30

x 30 k.180

k 1 x 30 180 150

k 0 x 30 0 30

k 1 x 30 180 210

HP 150 ,30

Tan x = 1/3 √3

o

o1,2

o

o o1,2

2cos x 1

1cos x

2

cos x cos60

penyelesaian:

x k.360

cos x cos60

x 60 k.360

o o o1

o o o2

o o1

o o2

o o o1

o o o1

o o o o

k 1 x 60 360 300

k 1 x 60 360 420

k 0 x 60 0 60

k 0 x 60 0 60

k 1 x 60 360 420

k 1 x 60 360 300

HP 300 , 60 ,60 ,300

2 cos x = 1

persamaan

• Persamaan a cos x + b sin x = c

diubah menjadi k cos (x-α) = c, sehingga

k = dan tan

disesuaikan kuadrannya dengan

tanda a dan b)

2 2

ccos(x )

kb

dengan a ba

(

latihan

• Untuk 0 ≤ x ≤ 360o, tentukan nilai x yg memenuhi pers √3 cos x + sin x = 1

• Untuk 0 ≤ x ≤ 360o, tentukan nilai x yg memenuhi pers √3 cos x + sin x = 1

• a = √3, b=1, c=1

kuadran I, krn a dan b positif)

sehingga

atau cos (x-30

atau x=330

2 2

o

o

o

o o o o

o o

o o

k ( 3) 1 2

1tan , 30 (pada

3

3 cos x sinx 1

2cos(x 30 ) 1

1cos(x 30 )

2

cos(x 30 ) cos60 ) cos300

x 90

HP 90 ,330

Invers fungsi trigonometri

• Agar invers dari fungsi trigonometri merupakan fungsi trigonometri merupakan sebuah fungsi, maka harus ada domain (daerah asal) fungsi, misal :

2/3

1atau

2/0

1jikasecsec

2/2/jikatantan

0

11 jikacoscos

2/2/

11jikasinsin

1

1

1

1

y

x

y

xxyxy

y

xxyxy

y

xxyxy

y

xxyxy

49

Teorema

Invers fs sin x

• Fungsi y = sin x dengan daerah asal memiliki invers :

y = sin-1 x atau y = arc sin x atau sin y = x

• Sin-1 x adalah sudut pada interval yang memiliki nilai sama dengan x : -1 ≤ x ≤ 1

• Contoh : sin-1 ( ½ ) = = 30o

x2 2

6

52

Grafik invers fs sin x

Grafik invers fs sin x

Grafik fungsi y = arc sin x atau y = sin-1 x memiliki

• daerah asal : -1 ≤ x ≤ 1

• Daerah hasil : x2 2

Invers fs cos x

• Fungsi y = cos x dengan daerah asal memiliki invers :

y = cos-1 x atau y = arc cos x atau cos y = x

• cos-1 x adalah sudut pada interval yang memiliki nilai sama dengan x : -1 ≤ x ≤ 1

• Contoh : cos-1 ( ½ ) = = 60o

3

0 x

55

Latihan

1. Hitunglah nilai :

1 otan tan240

A = arctan(

maka tentukan nilai A

3 52.jika ) arctan( ),

4 12

Jawab

tan

karena tan t>0, maka 0<t<90 t = 60

1 o 1

1

0 o

1 o o

tan tan240 tan ( 3)

misal ( 3) t,makatant 3

,sehingga

jadi tan tan240 60

1 otan tan240

Jawab A = arctan

A = sin arctan

x = arctan atau tan x =

sin x = dan cos x =

tan y =

sin y = dan cos y =

3 5jika arctan

4 12misal

3 5sin arctan

4 12

3 3dimana

4 43 4

maka5 5

5 5y arctan atau

12 125 12

maka12 13

Jawab A = sin arctan

A = sin (x+y)

sin A = sin x.cos y + sin y.cos x

sin A =

A =

jadi,

3 5sin arctan

4 12

sin

3 12 5 4. .

5 13 13 5

36 20 56sin

65 65 65

56A arcsin

65