07 Polinomios

ÁlgebraBLOQUE II

7. Polinomios

8. Ecuaciones de 1er y 2º grado9. Sistemas de ecuaciones lineales

Contenidos del bloqueLos contenidos del bloque comienzan con una exposición del lenguaje algebraico y su uso. Se

estudian las operaciones con monomios y polinomios, y se trabajan las igualdades notables. El blo-que prosigue con el estudio de las ecuaciones de 1er y 2º grado y finaliza con el estudio de los sis-temas de ecuaciones lineales.

Los programas Wiris y Derive mejoran el aprendizaje de los contenidos del bloque. Por estarazón, se facilita su empleo como herramientas para el estudio.

Pinceladas de historiaEn la Antigüedad, el álgebra era una parte inseparable de la

aritmética, aunque con el paso del tiempo esta disciplina se fuedefiniendo y separando del área de estudio de la aritmética.

En las culturas egipcia y babilónica ya resolvían ecuaciones deprimer grado y sistemas con dos incógnitas.

En Grecia destaca Diofanto de Alejandría, que era consideradoel gran calculador y que encontró soluciones a más de cincuentaclases diferentes de ecuaciones, generalmente de segundo grado,denominadas «ecuaciones diofánticas».

Durante el Imperio musulmán, se fundaron escuelas por todo suterritorio. De ellas destaca la Bait Al-Hikma (Casa de la Sabiduría).Entre los miembros de esta escuela destacó Muhammad Ibn-MusaAl-Khwarizmi, que escribió más de media docena de obras mate-máticas y astronómicas. El origen de la palabra «álgebra» pareceencontrarse en parte del título de su obra más importante, Hisabal-jabr wa’l-muqabala («El libro de restaurar e igualar, o el arte deresolver ecuaciones»).

En el continente europeo sobresalen Niccolò Tartaglia (1500-1557), Antonio Fiore y Scipione del Ferro (1465-1526), que desa-rrollaron fórmulas para la solución de ecuaciones de tercer grado.Sin embargo, fue Girolamo Cardano (1501-1576) quien introdujoun método regular de resolución de ecuaciones de tercer y cuartogrado en su obra Ars Magna.

La expresión, mediante fórmulas generales, de las ecuaciones ysus propiedades resultó posible por primera vez gracias a FrançoisViète (1540-1603), quien propuso un sistema único de símbolosalgebraicos organizado.

A comienzos del siglo XVIII, cuando vio la luz la obra de NewtonAritmética universal (1707), el álgebra se separaba ya claramentede otras partes de la Matemática.

En el siglo XIX destacan los trabajos de Abel (1802-1829) yGalois (1811-1832), que dan lugar al nacimiento del álgebramoderna. Esta materia estudia operaciones algebraicas que repre-sentan abstracciones lejanas de las operaciones del álgebra ele-mental.

Dentro del álgebra moderna destaca Marjorie Lee Brown (1914-1977, EE.UU.), quien aportó numerosos trabajos a esta dis-ciplina desde que escribió su tesis doctoral en 1943.

Al-Khwarizmi(780-850)

Marjorie Lee Brown(1914-1977)

Polinomios7

127

ORGANIZA TUS IDEAS

E l tema comienza introduciendo la relación entre el len-guaje coloquial y el lenguaje algebraico. Se estudian los

monomios y sus operaciones, el producto de un polinomiopor un monomio y, como paso inverso, se ve la extracciónde factores comunes.Se estudian los polinomios como suma de monomios y secalcula el valor numérico de un polinomio. Se trabajan condetalle las operaciones de suma, resta y multiplicación depolinomios, y, como casos muy especiales, se tratan lasigualdades notables, el cuadrado de un binomio y el pro-ducto de una suma por una diferencia.Se establecen las diferencias entre fórmula, ecuación eidentidad y se calculan los primeros números poligonales:los triangulares y los cuadrangulares.Los polinomios tienen aplicación en el mundo de la cienciay del arte. Se emplean para calcular áreas y volúmenes demateriales, como, por ejemplo, los de la pirámide de la pla-za de la fotografía.

POLINOMIOS

monomios

factorización

lenguajecoloquial

expresionesalgebraicas

igualdades notables:(x + a)2

(x – a)2

(x + a)(x – a)

lenguajealgebraico

operaciones:• suma• resta• multiplicación• división• potencia

operaciones:• suma• resta• multiplicación

permiten pasar del

al formadas por

entre los cuales sepueden realizar

se estudian las

como caso particularse estudian las

son

1.1. Lenguaje coloquial y algebraico

Ejemplo

1.2. Expresiones algebraicas

Los elementos de una expresión algebraica son:

Términos: cada uno de los sumandos.

Término independiente: el que solo tiene parte numérica.

Variables: las cantidades desconocidas. Se representan habitualmente por lasletras x, y, zCoeficiente: la parte numérica que multiplica a las variables. Si en un térmi-no el coeficiente no está expresado, éste vale 1

Ejemplo

1.3. Monomio

Coeficiente de un monomio

Grado de un monomioEl grado de un monomio es el exponente de la variable. Si tiene más deuna variable, se suman los exponentes.

El coeficiente de un monomio es el número que está generalmentedelante y multiplica a la parte literal.

Un monomio es una expresión algebraica en la que las letras o variablessolo tienen las operaciones de producto y potencia de exponente natural.

Una expresión algebraica es una combinación de números, letras yparéntesis, relacionados con operaciones.

El lenguaje coloquial es el que se emplea habitualmente para comunicarse.

El lenguaje algebraico es el que emplea números, letras y paréntesis rela-cionados con operaciones.

128 BLOQUE II: ÁLGEBRA

1. Lenguaje algebraico

Dado el cubo de la figura siguiente, halla su área y su volumen en función de x

P I E N S A Y C A L C U L A

Casos particulares

• Si un monomio no tieneparte literal, su grado escero.

EjemploEl grado del monomio 4 escero, porque 4 = 4x0

• Si una variable de un mo-nomio no tiene exponente,su grado es 1

EjemploEl grado del monomio 7x esuno, porque 7x = 7x1

Ejemplo

x

x

x

Lenguaje natural Lenguaje algebraico

El volumen de un cubo de arista x x3

El cuadrado de un número menos el triple de dicho número x2 – 3x

Un número par 2x

Un número impar 2x + 1

Expresión algebraica

5x3y – 4x2y2 + 9

Términos

5x3y, – 4x2y2, 9

Término independiente

9

Variables

x, y

Coeficientes

5, – 4, 9

Monomio

Coeficiente

5x3

5

Grado 3

3x2y5z

3

8

36 : 0,79

Carné calculista

Monomios semejantes

Ejemploa) 5x, – 2x, 7x b) – 4x3, 7x3 c) 3x2y3, – 5x2y3

1.4. Polinomios

Ejemplo

1.5. Valor numérico de un polinomio

EjemploHalla el valor numérico de P(x) = x3 + 5x2 – 7x – 4 para x = 2

P(2) = 23 + 5 · 22 – 7 · 2 – 4 = 8 + 20 – 14 – 4 = 28 – 18 = 10

El valor numérico de un polinomio es el valor que se obtiene al susti-tuir la variable por un número y efectuar las operaciones.

Un polinomio es una suma de monomios.

Términos de un polinomio son cada uno de los monomios que lo forman.

Grado de un polinomio es el grado del monomio de mayor grado.

Coeficientes de un polinomio son los coeficientes de los monomiosque lo forman.

Coeficiente principal es el coeficiente del término de mayor grado.

Término independiente es el monomio que no tiene parte literal.

Monomios semejantes son los que tienen la misma parte literal.

1297. POLINOMIOS

Escribe en lenguaje algebraico las siguientes expre-siones coloquiales:

a) Un número x aumentado en 5 unidades.

b) El lado de un cuadrado mide x metros. ¿Cuántomide su área?

c) Los lados de un rectángulo miden x metros e ymetros. ¿Cuánto mide su perímetro?

En la expresión algebraica: 4xy – 5x + 6x – 3, hallalos términos, el término independiente, las varia-bles y los coeficientes.

Completa la siguiente tabla:

Halla cuáles de los siguientes monomios sonsemejantes: 5x3, 7x, – 7x2, – 9x3, 8x2, x3, 9x

Completa la tabla para P(x) = 7x3 – 9x – 2

Halla el valor numérico del polinomioP(x) = x2 – 7x + 6para los valores que se indican:a) x = 0 b) x = 1 c) x = 5 d) x = – 5

Halla el valor numérico de los siguientes polino-mios para los valores que se indican:a) P(x) = x3 + 3x – 1 para x = 2b) P(x) = x4 – 7x2 + 5 para x = – 3c) P(x) = 5x3 + 6x2 – 4x + 7 para x = 1

7

6

5

4

3

2

1

A P L I C A L A T E O R Í A

BinomioUn binomio es un polino-mio de dos términos.

Ejemplo3x + 7

TrinomioUn trinomio es un polino-mio de tres términos.

Ejemplo5x2 + 3x – 7

Significado de P(x)

P(x) se lee: “pe de equis”, ysignifica polinomio en lavariable x

Términos

P(x) = x4 – 5x2 + 7x – 3

x4, – 5x2, 7x, – 3

Grado

4


– 3

Coeficientes

1, – 5, 7, – 3

Coeficiente principal

1

MonomioCoeficiente

– 7x5 4x3y2z 5 – 6x

Grado

Términos Grado Coeficientes Coeficienteprincipal


2.1. Suma y resta de monomios

Ejemplo6x4 + 2x4 – 5x4 = 3x4

EjemploSuma los monomios 6x5, 7x3, y réstales 4x2 ⇒ 6x5 + 7x3 – 4x2

Opuesto de un monomio

Ejemploa) El opuesto de 7x3 es – 7x3 b) El opuesto de – 5x4 es 5x4

2.2. Producto de monomios

Ejemploa) 3x2 · 4x5 = 12x7 b) 5x4 · 2x5 · (– 3x) = – 30x10

2.3. Cociente de monomios

Ejemplo

a) = 2x5 es un monomio. b) = no es un monomio.

2.4. Potencia de un monomioPara elevar un monomio a una potencia, se eleva el coeficiente a lapotencia y se multiplican los exponentes.

3x2

6x4

2x66x7

3x2

El cociente de dos monomios tiene:

a) Por coeficiente, el cociente de los coeficientes.

b) Por parte literal, la misma, con exponente la diferencia de los expo-nentes. Para que el resultado sea un monomio, el grado del numeradortiene que ser mayor o igual que el grado del denominador.

El producto de dos o más monomios es otro monomio que tiene:

a) Por coeficiente, el producto de los coeficientes.

b) Por parte literal, la misma, con exponente la suma de los exponentes.

El opuesto de un monomio es el mismo monomio cambiado de signo.

b) Si los monomios no son semejantes, el resultado es un polinomiocuyos términos son los monomios dados.

a) Si los monomios son semejantes, se suman o restan los coeficientes yse pone la misma parte literal.


2. Operaciones con monomios

Aplicando las propiedades de las potencias, calcula: a) an · ap b) an : ap c) (an)p


6

+ 2

– 5

3

Propiedades de las potencias

xn · xp = xn + p

= xn – p

(xn)p = xn · p

(x · y)n = xn · yn

( )n= xn

ynxy

xn

xp

Evitar errores

= 4 es un monomio.

= es un monomio.x3

24x5

8x2

12x2

3x2

Ejemplo

(5x3)2 = 25x6

· + : 32

74

52

32

Carné calculista

2.5. Producto de un polinomio por un monomio

EjemploElimina los paréntesis y reduce la siguiente expresión:

5x – 3(8x2 – 4x – 7) – 9x – 2 =

= 5x – 24x2 + 12x + 21 – 9x – 2 =

= – 24x2 + 8x + 19

2.6. Extracción de factores comunes

Ejemploa) 5x – 5y = 5(x – y) b) 8x2 – 6x = 2x(4x – 3)

c) 15x2 + 3x = 3x(5x + 1) d) 2x2y + 6xy2 = 2xy(x + 3y)

e) x3 + 2x2 + x = x(x2 + 2x + 1) f ) 6x5 – 2x3 = 2x3(3x2 – 1)

Consiste en aplicar la propiedad distributiva en su forma inversa:

pa + pb + pc + … = p(a + b + c + …)

El monomio que se extrae tiene como coeficiente el M.C.D. de los coe-ficientes, y como parte literal, las variables comunes elevadas al menorexponente.

Consiste en aplicar la propiedad distributiva en su forma directa.

(a + b + c + …)p = ap + bp + cp + …

Para multiplicar un polinomio por un monomio, se multiplica cadatérmino del polinomio por el monomio.

1317. POLINOMIOS

Realiza las siguientes operaciones de monomios:

a) 4x5 – x5 + 8x5 b) – 9x3 · x3

c) (– 3x)4 d) – 7x3 : x3


a) (7x5)2

b) – 9x3 + x3 + 5x3

c) – 15x4 : (– 3x)

d) – 7x2 · (– 5x) · x2


a) 12x5 : 3x2

b) 7x3 · (– 7) · x5

c) (3x3)3

d) – 7x2 + 12x2 + 6x2 – x2


a) 5x5 · (– 3x) b) (– 2x3)5

c) 2x – 7x + x – 15x d) 7x3 : 2x

Multiplica los siguientes polinomios por mono-mios:

a) (x4 – 5x3 + 4x + 1) · 2x4

b) (x6 – 3x4 + 6x2 – 9) · 3x5

c) (x4 + 4x3 – 9x + 5) · (– 4x)

d) (x4 – 7x3 + 2x – 12) · (– 5x2)

Elimina los paréntesis y reduce las siguientes ex-presiones:

a) 6x – (5x2 – 3 + 4x2) – 9x – 8

b) 5x2 – 6x – 2(3x + 8x2 – 9x – 4)

c) – (5x – 7 + 2x – 4x2 + 8) + 9x2

d) 9(3x2 – 5x + 7) – 5(4x – 8x2 + 1)

Extrae todos los factores que puedas como factorcomún:

a) 8x – 12y b) 4x5 – 6x3

c) 3x4 + 15x2 – 6x d) 4x2y + 6xy2 – 2xy

14

13

12

11

10

9

8


Evitar errores

Un menos delante de un paréntesis cambia todos lossignos que hay dentro delparéntesis:

Ejemplo5x – 2(7x2 – 8 + 3x) =

= 5x – 14x2 + 16 – 6x =

= – 14x2 – x + 16

3.1. Procedimiento para sumar polinomios

EjemploSuma los polinomios:

P(x) = 2x5 – 9x3 + 7x2 + 8

Q(x) = – 3x4 + 4x3 – 3x2 + 6x – 2

2x5 – 9x3 + 7x2 + 8

– 3x4 + 4x3 – 3x2 + 6x – 2

2x5 – 3x4 – 5x3 + 4x2 + 6x + 6

Opuesto de un polinomio

EjemploHalla el opuesto de P(x) = 5x4 – 6x2 – 7x + 3

El opuesto de P(x) es – P(x) = – 5x4 + 6x2 + 7x – 3

Comprobación:5x4 – 6x2 – 7x + 3

– 5x4 + 6x2 + 7x – 3

0

3.2. Procedimiento para restar polinomios

EjemploDados:

P(x) = x4 – 6x3 + 7x – 8

Q(x) = 2x3 – 3x2 + 5x – 1

halla P(x) – Q(x)

x4 – 6x3 + 7x – 8

– 2x3 + 3x2 – 5x + 1

x4 – 8x3 + 3x2 + 2x – 7

Para restar dos polinomios, se suma al primero el opuesto del segundo.

El opuesto de un polinomio es el que se obtiene al cambiar de signotodos sus monomios. Al sumar un polinomio y su opuesto se obtiene elpolinomio nulo.

a) Se colocan los polinomios, ordenados uno debajo del otro, de maneraque coincidan los monomios semejantes.

b) Se suman los coeficientes de los monomios semejantes y se pone lamisma parte literal.


3. Operaciones con polinomios

Halla el polinomio que calcula el área del siguiente rectángulo:


x + 5

x

62,4 : 9,7

Carné calculista

3.3. Procedimiento para multiplicar polinomios

Se debe comenzar a multiplicar por la izquierda. Así, lo primero que se mul-tiplica son los signos; luego, los coeficientes; y, por último, se suman losexponentes. De este modo es menos probable equivocarse.

EjemploMultiplica los polinomios:

P(x) = 2x3 – 3x2 + 5

Q(x) = x2 – 4x + 6

2x3 – 3x2 + 5

x2 – 4x + 6

2x5 – 3x4 + 5x2

– 8x4 + 12x3 – 20x

12x3 – 18x2 + 30

2x5 – 11x4 + 24x3 – 13x2 – 20x + 30

Observando el ejemplo, se puede afirmar que el grado del producto de dospolinomios es la suma de los grados de los factores.

gr(P(x) · Q(x)) = gr(P(x)) + gr(Q(x))

a) Se colocan los polinomios, ordenados uno debajo del otro, de maneraque coincidan los monomios semejantes. Si falta un grado, se deja unhueco para que sea más fácil colocar los productos parciales.

b) Para multiplicar polinomios, se empieza por la izquierda y se multipli-ca el 1er monomio del 2º polinomio por todos los monomios del1er polinomio; los coeficientes se multiplican, y los exponentes sesuman. Si falta el término de algún grado, se deja un hueco.

c) Se continúa multiplicando los demás monomios del 2º polinomio.

d) Se suman todos los polinomios obtenidos.

1337. POLINOMIOS

Dados los siguientes polinomios:

P(x) = 5x3 – 6x + 9

Q(x) = – 7x4 + 5x3 + 6x – 12

calcula:

a) P(x) + Q(x) b) P(x) – Q(x)


P(x) = 3x5 – 7x4 + 9x2 – 13

Q(x) = 5x4 – 9x2 + 7x – 1

calcula:

a) P(x) + Q(x) b) P(x) – Q(x)

Dado el siguiente polinomio:

P(x) = – 8x5 + 5x4 – 9x2 + 2

a) halla su opuesto: – P(x)

b) suma P(x) con –P(x). ¿Qué polinomio se obtiene?

Multiplica los siguientes polinomios:

P(x) = x2 – 7x + 2 Q(x) = 3x + 1

halla el grado del producto.


P(x) = x4 – 5x3 – 3x + 1

Q(x) = 2x2 – x + 7



P(x) = x3 – 2x2 – 4 Q(x) = – 3x2 + x – 5



P(x) = x2 + x + 1 Q(x) = x – 1


21

20

19

18

17

16

15


4.1. Cuadrado de una suma

a + b x + 5a + b x + 5

a2 + ab x2 + 5xab + b2 5x + 25

a2 + 2ab + b2 x2 + 10x + 25

Ejemplo(x + 5)2 = x2 + 10x + 25

4.2. Cuadrado de una diferencia

a – b x – 3a – b x – 3

a2 – ab x2 – 3x– ab + b2 – 3x + 9

a2 – 2ab + b2 x2 – 6x + 9

Ejemplo

(x – 3)2 = x2 – 6x + 9

4.3. Suma por diferencia

a + b x + 7a – b x – 7

a2 + ab x2 + 7x– ab – b2 – 7x – 49

a2 – b2 x2 – 49

Ejemplo(x + 7)(x – 7) = x2 – 49

Una suma por una diferencia es igual al cuadrado del primero menos elcuadrado del segundo:

(a + b)(a – b) = a2 – b2

El cuadrado de una diferencia es igual al cuadrado del primero, menosel doble del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo:

(a – b)2 = a2 – 2ab + b2

El cuadrado de una suma es igual al cuadrado del primero, más el dobledel primero por el segundo, más el cuadrado del segundo:

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2


4. Igualdades notables

Sustituye los puntos suspensivos por el signo de igualdad = o de desigualdad ≠a) (3 + 4)2 … 32 + 42 b) (3 + 4)2 … 49 c) (5 – 3)2 … 4 d) (5 – 3)2 … 52 – 32


Evitar errores

(a + b)2 ≠ a2 + b2

Ejemplo(3 + 4)2 = 72 = 49

32 + 42 = 9 + 16 = 25

a2 a · b

b2a · b

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

a

b

a b

Evitar errores

(a – b)2 ≠ a2 – b2

Ejemplo(5 – 3)2 = 22 = 4

52 – 32 = 25 – 9 = 16

(a – b)2

b2a · b

a · b

(a – b)2 = a2 – 2ab + b2

b

a

( – )23

54

65

Carné calculista

4.4. Descomposición factorial

Cuando la descomposición factorial es sencilla, se puede hacer mentalmente,observando si se puede extraer un factor común y aplicando las igualdadesnotables.

Ejemploa) x2 + 5x = x(x + 5) b) x2 + 8x + 16 = (x + 4)2

c) x2 – 9 = (x + 3)(x – 3) d) 25x2 – 10x + 1 = (5x – 1)2

e) x2 + x + 1/4 = (x + 1/2)2 f ) x2 – 3 = (x + )(x – )g) x3 + 2x2 + x = x(x2 + 2x + 1) = x(x + 1)2

4.5. Números poligonales

Ejemplo

Números triangulares: t(n) = +

Números cuadrangulares: c(n) = n2

4.6. Diferencia entre fórmula, ecuación e identidadUna fórmula es una expresión algebraica en la que se obtienen valorescalculando el valor numérico para valores de las variables.Una ecuación es una expresión algebraica que solo se verifica para algu-nos valores.Una identidad es una expresión algebraica que se verifica para cualquiervalor de las variables.

n2

n2

2

Los números poligonales son series de números ordenados que estánasociados a un polígono, y reciben el nombre del polígono.

√3√3

La descomposición factorial de un polinomio es su expresión comoproducto de factores irreducibles.

1357. POLINOMIOS

Calcula mentalmente:

a) (x + 1)0 b) (x – 1)0 c) (x + 1)1 d) (x – 1)1


a) (x + 1)2 b) (x – 1)2 c) (x + 1)(x – 1)


a) (x + 4)2 b) (x – 4)2 c) (x + 4)(x – 4)

d) (x + 5)2 e) (x – 5)2 f) (x + )(x – )

Calcula:

a) (2x + 3)2 b) (2x – 3)2 c) (2x + 3)(2x – 3)

Halla mentalmente la descomposición factorial de:

a) x2 + 3x b) x2 – 3x c) x2 – 49

d) x2 + 4x + 4 e) x2 – 6x + 9

Calcula:

a) (3x + )2 b) (3x – )2

c) (3x + )(3x – )Halla mentalmente la descomposición factorial de:

a) 3x4 + 6x2 b) 6x3 – 8x c) x2 – 5

d) x2 – 2x + 1 e) x3 + 2x2 + x

Halla los cinco primeros números cuadrangularessabiendo que vienen dados por la fórmula:

C(n) = n2

Escribe una fórmula, una ecuación y una identidad.30

29

28

12

12

12

12

27

26

25

√5√5

24

23

22


Simplificación defracciones algebraicas

= =

= xx + 2

x(x – 2)(x + 2)(x – 2)

x2 – 2xx2 – 4

Ejemplo

Fórmula:

c(n) = n2

Ecuación:

2x + 3 = 9

Identidad:

(x + 1)2 = x2 + 2x + 1

Números triangulares

t1 = 1 t2 = 3 t3 = 6

Númeroscuadrangulares

c1 = 1 c2 = 4 c3 = 9


1. Lenguaje algebraico

Escribe en lenguaje algebraico las siguientesexpresiones coloquiales:

a) El triple de un número x disminuido en 7unidades.

b) Tenía x euros y me han dado 15 €. ¿Cuántotengo?

c) El lado de un cuadrado mide x metros.¿Cuánto mide su perímetro?

d) Los lados de un rectángulo miden x metrose y metros. ¿Cuánto mide su área?

En la expresión algebraica:

7x2y – 9xy2 + 5xy – 3x + 1

halla los términos, el término independiente, lasvariables y los coeficientes.


Halla cuáles de los siguientes monomios sonsemejantes:

7x, – 5x3, – x, 5x3, 4x2, x, 9x2


Halla el valor numérico del siguiente polinomio:

P(x) = – x3 + 5x – 1

para los valores que se indican:

a) x = 0 b) x = 1 c) x = 3 d) x = – 3

Halla el valor numérico de los siguientes poli-nomios para los valores que se indican:

a) P(x) = – x3 + 5x – 4 para x = – 2

b) P(x) = x4 + 7x – 12 para x = 3

c) P(x) = 2x5 – 8x3 + 5x + 3 para x = 1

d) P(x) = – 3x5 + 7x3 – 8x + 5 para x = – 1

2. Operaciones con monomios

Realiza las siguientes operaciones de mono-mios:

a) 7x5 – 4x5 + 9x5 b) – 5x2 · x

c) (– 2x5)3 d) – 6x3 : (– 3x)


a) (3x4)3 b) – 5x3 + 2x3 + 4x3

c) – 12x2 : (– 4x) d) – 6x2 · (– 9x) · x3


a) 56x5 : 8x b) 6x3 · (– 9x2)c) – 3x2 + 15x2 + 4x2 d) (2x5)2


a) 6x4 · (– 9x3) b) (– 3x3)3

c) 5x – 9x + 7x – x d) 6x5 : 4x


a) (x5 – 7x3 + 6x – 1) · 8x2

b) (2x4 – 8x2 + 7x – 9) · 7x3

c) (6x4 + 5x3 – 8x + 7) · (– 9x)

d) (x4 – 9x3 + 7x – 6) · (– 6x4)

Reduce las siguientes expresiones:

a) 8x – 12x2 + 1 + 7x2 – 3x – 5

b) x2 – 6x – 5x2 + 7x2 – 5x – 9

c) – 7x – 8 + 9x – 11x2 + 6 + 8x2

d) 7x2 – 9x + 6 – 7x – 8x2 + 12

Elimina los paréntesis y reduce las siguientesexpresiones:

a) 7x – (8x2 + 9 + 5x2) – 7x – 2

b) 2x2 – 5x – 3 (2x2 + 4x2 – 5x – 6)c) – (3x – 5 + 9x – 7x2 + 4) + 10x2

d) 7 (x2 – 6x + 9) – 7 (3x – 7x2 + 9)

Extrae todos los factores que puedas comofactor común:

a) 6x – 8y b) 8x3 – 12x2

c) 4x4 + 10x3 – 6x2 d) 9x2y + 6xy2 – 3xy

45

44

43

42

41

40

39

38

37

36

35

34

33

32

31

Ejercicios y problemas

Monomio

9x3

– 7x2yz5

8x– 3

Coeficiente Grado

Términos

P(x) = – 9x4 + 5x2 – 17

Grado Coeficientes Coeficienteprincipal


1377. POLINOMIOS

3. Operaciones con polinomios


P(x) = 7x4 – 5x2 + 2

Q(x) = – 5x4 + 9x2 + 4x – 10

calcula:

a) P(x) + Q(x) b) P(x) – Q(x)


P(x) = – 2x4 + 5x3 + 12x2 – 9

Q(x) = 4x4 – 8x2 – 5x – 3

calcula:

a) P(x) + Q(x) b) P(x) – Q(x)

Dado el siguiente polinomio:

P(x) = 5x4 + 7x3 – 2x + 9

a) halla su opuesto: – P(x)

b) suma P(x) con – P(x). ¿Qué polinomio seobtiene?


P(x) = x2 + 4x – 3 Q(x) = 5x + 2

Halla el grado del producto.


P(x) = – 2x4 + 3x2 – 5x + 7

Q(x) = 4x2 – 2x + 6



P(x) = 5x3 – 3x – 1 Q(x) = – x2 + 2x – 4



P(x) = x3 – 2x2 + 4x – 8 Q(x) = x + 2



P(x) = 2x3 + 5x2 – 7 Q(x) = 3x2 – 4x + 6



P(x) = 7x3 – 4x – 1 Q(x) = – 2x2 + 5x – 3



P(x) = x3 + 2x2 + 4x + 8

Q(x) = x – 2


4. Igualdades notables


a) (x + 2)0 b) (x – 2)0 c) (x + 2)1 d) (x – 2)1


a) (x + 2)2 b) (x – 2)2 c) (x + 2)(x – 2)


a) (x + 3)2 b) (x – 3)2 c) (x + )(x – )


a) (x + 6)2 b) (x – 6)2 c) (x + 6)(x – 6)

Calcula:

a) (3x + 5)2 b) (3x – 5)2 c) (3x + 5)(3x – 5)

Calcula:

a) (2x + )2 b) (2x – )2

c) (2x + )(2x – )Sustituye los puntos suspensivos por uno delos signos = o ≠ :

a) (x – 3)2 … x2 – 6x + 9

b) (x + 2)2 … x2 + 4

c) (x – 3)2 … x2 – 9

d) (x + 2)2 … x2 + 4x + 4

Halla mentalmente la descomposición factorialde los siguientes polinomios:

a) x2 + 5x b) x2 – 5x c) x2 – 25

d) x2 + 2x + 1 e) x2 – 10x + 25

Halla mentalmente la descomposición factorialde los siguientes polinomios:

a) 6x3 + 9x2 b) 8x4 – 12x2 c) x2 – 3

d) x2 – 8x + 16 e) x3 – 2x2 + x

Halla los cinco primeros números triangulares,sabiendo que vienen dados por la fórmula:

t(n) = +

Identifica cada una de las siguientes igualdadescomo fórmula, identidad o ecuación:

a) 3x = 5 + 2x b) A(R) = πR2

c) (x + 2)(x – 2) = x2 – 4

66

n2

n2

2

65

64

63

62

12

12

12

12

61

60

59

√3√3

58

57

56

55

54

53

52

51

50

49

48

47

46



Escribe en lenguaje algebraico las siguientesexpresiones coloquiales:

a) El año pasado me daban x € de paga y esteaño me dan un euro más. ¿Cuánto recibo depaga este año?

b) Ayer anduve x y hoy he andado el doble.¿Cuánto he recorrido hoy?

c) Un perro come x y un gato come la mitad.¿Cuánto come el gato?

d) La altura de un rectángulo mide x y la basemide el triple de la altura. ¿Cuánto mide labase?

Escribe la expresión algebraica de:

a) El siguiente de un número.

b) El anterior de un número.


a) Un número par.

b) Un número impar.

c) Tres números pares consecutivos.


a) Un cuadrado perfecto.

b) Un cubo perfecto.

Halla mentalmente el valor numérico de lossiguientes polinomios para x = 0:

a) x2 – 3x – 5

b) 7x3 + 4x2 – 6x + 1

c) x4 – 7x2 + x – 7

d) 2x5 + 9x3 – 12x + 23

Observando los resultados obtenidos, ¿cómoenunciarías una ley para hallar el valor numéri-co de un polinomio para x = 0?

Halla mentalmente el valor numérico de lossiguientes polinomios para x = 1:

a) 2x2 + 5x – 3

b) x3 – 3x2 + 5x + 2

c) 3x4 + 9x2 – 7x – 5

d) x5 – 2x3 + 13x + 8

Observando los resultados obtenidos, ¿cómoenunciarías una ley para hallar el valor numéri-co de un polinomio para x = 1?

Halla mentalmente los valores que anulan lossiguientes binomios:

a) x – 5 b) x + 3

c) 2x – 6 d) 3x + 15


a) x2 + 6x – 1 para x = 2

b) 3x3 – 5x2 + 3x + 4 para x = – 2

c) x4 + 2x2 – 5x – 7 para x = 3

d) 2x5 – 5x3 + x + 1 para x = – 3

Dados el triángulo rectángulo y el cuadradosiguientes, halla sus áreas en función de x


a) (5x3)2 b) 7x3 – x3 + 2x3

c) 12x3 : (– 3x2) d) x3 · (– 3x) · x2


a) (x3 – 3x2 + 6x + 2) · 3x

b) (x5 + 5x3 + 7x – 1) · 2x2

c) (x4 – 3x3 – 6x + 7) · (– 5x3)d) (– 3x4 – 9x3 + 7x – 6) · (– 8x4)

Extrae todos los factores que puedas comofactor común:

a) 8x2 – 12x b) 8x4 + 6x2

c) 2x4 + 4x3 – 6x2 d) 6x2y + 4xy2 – 8xy


P(x) = 7x3 – 5x + 1

Q(x) = – 4x4 – 9x2 + 4x – 7

R(x) = 5x4 – 7x3 + 5x + 6

calcula:

a) P(x) + Q(x) + R(x) b) P(x) + Q(x) – R(x)

c) P(x) – Q(x) – R(x)

79

78

77

76

2x +

2

2x

x +

5

75

74

73

72

71

70

69

68

67

Ejercicios y problemasPara ampliar

1397. POLINOMIOS

Dados el rombo y el romboide siguientes, hallasus áreas en función de x

Dado el ortoedro o paralelepípedo de la si-guiente figura, halla el volumen en función de x

x

x + 3x – 3

94

2x + 6

3x – 5

x2x – 6

93


Problemas

Dados los siguientes polinomios:P(x) = 2x3 – 7x + 5 Q(x) = 3x2 + 6x – 1calcula: P(x) · Q(x)

Dados los siguientes polinomios:P(x) = x4 – 8x2 + 6 Q(x) = 5x3 + 7x – 9calcula: P(x) · Q(x)

Sustituye los puntos suspensivos por uno delos signos = o ≠ :a) (x + 5)2 … x2 + 25b) (x + 5)2 … x2 + 10x + 25c) (x – 4)2 … x2 – 8x + 16d) (x – 4)2 … x2 – 16

Calcula:a) (x + 1/3)2 b) (x – 1/2)2c) (x + )(x – )Calcula:a) (x + 3/2)2 b) (x – 2/3)2c) (x + )(x – )Halla mentalmente la descomposición factorialde los siguientes polinomios:a) 12x4 + 18x3 b) 18x5 – 24x4 c) x2 – 7d) x2 – x + 1/4 e) x3 + 2x2 + x

Halla mentalmente la descomposición factorialde los siguientes polinomios:a) 15x6 + 20x3 b) 20x6 – 30x4 c) x2 – 1/4d) x3 + 6x2 + 9x e) x5 – 10x4 + 25x3

Identifica cada una de las siguientes igualdadescomo fórmula, identidad o ecuación:a) 5 + 3x – 4 = 5x + 1 – 2x b) (x + 1/2)(x – 1/2) = x2 – 1/4c) V(x, y, z) = x y z

Las siguientes fórmulas corresponden a Geo-metría. Identifica cada una de ellas:

a) P(a) = 4a b) A(a) = a2

c) L(R) = 2πR d) A(R) = πR2

Calculadora

Dada la fórmula de Herón para el cálculo delárea de un triángulo:

A(a, b, c) =

p = semiperímetro

halla el área de un triángulo cuyos lados midena = 9 m, b = 8 m y c = 5 m. Redondea el resul-tado a dos decimales.

Dada la fórmula del área del rombo:

A(D, d) =

halla el área de uno cuyas diagonales midenD = 7,5 m y d = 3,8 m. Redondea el resultado ados decimales.

Dada la fórmula de la longitud del arco:

LArco = · n°

halla la longitud de uno que tiene 3,5 m deradio y un ángulo de 135°.Toma como valorde π el que da la calculadora y redondea elresultado a dos decimales.

Dada la fórmula del volumen de la esfera:

V(R) = πR3

halla el volumen de una que tiene 6,5 m deradio.Toma como valor de π el que da la calcu-ladora y redondea el resultado a dos decimales.

43

92

2πR360°

91

D · d2

90

√p(p – a)(p – b)(p – c)

89

88

87

86

85

√5√5

84

√2√2

83

82

81

80


El espacio que recorre un coche cuando arran-ca viene dado por la fórmula:

e = (7t – t2), donde e se mide en metros, y t,

en segundos.

Calcula el espacio que recorre en los 3 prime-ros segundos.

Dada la fórmula del área del triángulo:

A(b, a) =

halla el área de uno de 8 m de base y 9 m dealtura.

Dada la fórmula del área del círculo:A(R) = πR2

halla el área de uno que tiene 5 m de radio.Toma como valor de π = 3,14, y redondea elresultado a dos decimales.

Dada la fórmula del área del paralelepípedo uortoedro:

A(a, b, c) = 2(ab + ac + bc)halla el área de uno en el que a = 12 m, b = 7 my c = 3 m

Dada la fórmula del volumen del cubo:V(a) = a3

calcula el volumen de uno que tiene 5 m dearista.

Dada la fórmula del área de la esfera:A(R) = 4πR2

halla el área de una que tiene 8 m de radio.Toma como valor de π = 3,14 y redondea elresultado a dos decimales.

Dibuja y halla los cinco primeros númerostriangulares.

Dibuja y halla los cinco primeros números cua-drangulares.

Prueba que la suma de dos números imparesconsecutivos es siempre múltiplo de 4

El perímetro de un rectángulo mide 24 ma) ¿Cuánto mide la base más la altura?b) Si la base mide x, ¿cuánto mide la altura?c) Calcula el polinomio que halla el área del

rectángulo en función de x

d) Calcula el área del rectángulo cuando la basemide 5 m

El primer polinomio de los números primos deEuler es: P(x) = x2 + x + 41

Para x = 0, 1, 2, …, 39, P(x) es un número primo.

Halla los 5 primeros números primos que seobtienen aplicando dicho polinomio.

Para profundizar

Dados el trapecio y el círculo siguientes, hallasus áreas en función de x

Dibuja y halla los cinco primeros números pen-tagonales.

Dibuja y halla los cinco primeros númeroshexagonales.

Dado un número x:

a) Halla el siguiente.

b) Eleva este siguiente al cuadrado y desarrollael cuadrado.

c) Observa el resultado y escribe una ley quepermita calcular, a partir del cuadrado de unnúmero, el cuadrado del siguiente.

d) Pon un ejemplo.

Simplifica las siguientes fracciones algebraicas:

a) b)

Simplifica las siguientes fracciones algebraicas:

a) b)

El segundo polinomio de los números primosde Euler es:

P(x) = x2 – 79x + 1601

Para x = 0, 1, 2, …, 79, P(x) es un número primo.

Halla los 2 últimos números primos que seobtienen aplicando dicho polinomio.

112

x2 – 25x2 + 10x + 25

x2 – 2xx2 – 4

111

x2 + 2x + 1x2 – 1

x2 + 3xx2 + 6x + 9

110

109

108

107

x + 5

x – 5

xx – 3

106

105

104

103

102

101

100

99

98

97

b · a2

96

14

95


1417. POLINOMIOS

Longitudes, áreas y volúmenesEn el cálculo de longitudes aparecen siempre variables lineales; en el de áreas, variables cuadradas; y en el devolúmenes, variables cúbicas, porque se miden en unidades lineales, cuadradas y cúbicas, respectivamente.

Halla la fórmula del perímetro de un cuadrado de lado x. Aplica la fórmula al caso en que x = 5 m

Halla la fórmula de la longitud de una circunferencia de radio x. Aplica la fórmula al caso en quex = 5 m. Utiliza como valor de π el que trae la calculadora, y redondea el resultado a dos decimales.

Halla la fórmula del área de un cuadrado de lado x. Aplica la fórmula al caso en que x = 6 m

Halla la fórmula del área de un círculo de radio x. Aplica la fórmula al caso en que x = 7 m. Utilizacomo valor de π el que trae la calculadora, y redondea el resultado a dos decimales.

Halla la fórmula del área de un cubo de arista x. Aplica la fórmula al caso en que x = 8 m

Halla la fórmula del área de una esfera de radio x. Aplica la fórmula al caso en que x = 9 m. Utilizacomo valor de π el que trae la calculadora, y redondea el resultado a dos decimales.

Halla la fórmula del volumen de un cubo de arista x. Aplica la fórmula al caso en que x = 10 m

Halla la fórmula del volumen de una esfera de radio x. Aplica la fórmula al caso en que x = 11 m.Utiliza como valor de π el que trae la calculadora, y redondea el resultado a dos decimales.

120

119

118

117

116

115

114

113

Aplica tus competencias

Define qué es el valor numérico de un polinomio. Pon un ejemplo.

Escribe en lenguaje algebraico las siguientes expresiones coloquiales:

a) El triple de un número x disminuido en 7 unidades.

b) Dos números impares consecutivos.


a) 4x5 · (– 8x2) b) (– 5x2)3 c) x2 – 7x2 + 5x2 – 3x2 d) 12x5 : 18x3

Dados los polinomios: P(x) = 2x5 – 8x4 + 7x2 – 3; Q(x) = 6x4 – 5x2 + 9x – 4

calcula: a) P(x) + Q(x) b) P(x) – Q(x)


P(x) = 3x3 – 7x – 6; Q(x) = 5x2 – 9x + 1. Halla el grado del producto.

Calcula:

a) (2x + 1/2)2 b) (2x + 3)(2x – 3) c) (x – 5)2

El espacio que recorre un coche cuando arranca viene dado por la fórmula:

e = (7t – t2), donde e se mide en metros, y t, en segundos.

Calcula el espacio que recorre en los 3 primeros segundos.

Halla la descomposición factorial de los siguientes polinomios:

a) 6x3 + 9x2 b) x2 – 49 c) x2 + 10x + 25 d) x2 – 8x + 16

8

14

7

6

5

4

3

2

1

Comprueba lo que sabes


Calcula el valor numérico del polinomio:

P(x) = x3 + 5x2 – 7x – 4

para x = 2

Solución:

a) Introduce el polinomio.

b) Escribe P(2)

c) Pulsa Calcular


P(x) = x4 – 6x3 + 7x – 8

Q(x) = 2x3 – 3x2 + 5x – 1

calcula:

P(x) – Q(x)

Solución:

a) Introduce los polinomios.

b) Escribe P(x) – Q(x)

c) Pulsa Calcular


P(x) = 2x3 – 3x2 + 5

Q(x) = x2 – 4x + 6

Solución:

Desarrolla:

(x + 5)2

Solución:

a) Escribe

(x + 5)2

b) Pulsa Calcular

Factoriza:

x3 + 2x2 + x

Solución:

a) Escribe

factorizar(x3 + 2x2 + x)

b) Pulsa Calcular

Plantea el siguiente problema y resuélvelo con ayudade Wiris:

Halla el décimo número triangular, sabiendoque la fórmula de los números triangulares es:

t(n) = +

Solución:

Consiste en hallar el valor numérico paran = 10

Internet. Abre: www.editorial-bruno.es yelige Matemáticas, curso y tema.

127

n2

n2

2

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124

123

122

121

Paso a paso

7. POLINOMIOS

1437. POLINOMIOS

Linux/Windows


a) P(x) = x2 – 7x – 9 para x = – 2

b) P(x) = x3 + 6x2 – 15 para x = 3


P(x) = 9x4 – 6x2 + 3

Q(x) = – 7x4 + 8x2 + x – 19

calcula:

a) P(x) + Q(x) b) P(x) – Q(x)


P(x) = 5x3 – 7x2 – 9

Q(x) = – 6x4 + 4x2 – 3x + 8


P(x) = x3 + 2x2 + 4x + 8

Q(x) = x – 2

Calcula:

a) (5x + 7/2)2

b) (5x – 7/2)2

c) (5x + 7/2)(5x – 7/2)

Halla la descomposición factorial de:

a) x2 – 5x b) 4x2 – 49

c) x3 – 36x d) x3 – 2x2 + x

Plantea los siguientes problemas y resuélvelos conayuda de Wiris:


V = πR3

halla el volumen de una con R = 7,25 m

El primer polinomio de los números primosde Euler es:

P(x) = x2 + x + 41

Para x = 0, 1, 2, …, 39, P(x) es un númeroprimo.



A =

halla el área de uno que tiene 8,75 m de basey 15,42 m de altura.

b · a2

136

135

43

134

133

132

131

130

129

128

Así funciona

Calcular el valor numérico de un polinomio P(x) para x = aSe escribe el polinomio P(x) y en la línea siguiente se escribe P(a)

Sumar, restar y multiplicar polinomiosSe introducen los polinomios, P(x) y Q(x), uno en cada línea y, en la línea siguiente, se escribe la opera-ción indicada:

P(x) + Q(x)

P(x) – Q(x)

P(x) · Q(x)

Potencias de polinomiosSe introducen las potencias y se hace clic en Calcular

Factorizar un polinomioSe utiliza la función:

factorizar(polinomio)

Practica


Calcula el valor numérico del polinomio:

P(x) = x3 + 5x2 – 7x – 4

para x = 2

Solución:En la Entrada de Expresiones escribe:

x^3 + 5x^2 – 7x – 4

Elige Introducir Expresión

Elige Sustituir variables, escribe enNuevo Valor: 2 y pulsa el botón Simplificar

10


P(x) = x4 – 6x3 + 7x – 8

Q(x) = 2x3 – 3x2 + 5x – 1

calcula:

P(x) – Q(x)

Solución:En la Entrada de Expresiones escribe:

x^4 – 6x^3 + 7x – 8 – (2x^3 – 3x^2 + 5x – 1)

Elige Introducir y Simplificarx4 – 8x3 + 3x2 + 2x – 7


P(x) = 2x3 – 3x2 + 5

Q(x) = x2 – 4x + 6

Solución: En la Entrada de Expresiones escribe:

(2x^3 – 3x^2 + 5)(x^2 – 4x + 6)

Elige Introducir ExpresiónEn la barra de menús elige:

Simplificar/Expandir…/Expandir2x5 – 11x4 + 24x3 – 13x2 – 20x + 30

Desarrolla:

(x + 5)2


(x + 5)^2


Simplificar/Expandir…/Expandirx2 + 10x + 25

Factoriza:

x3 + 2x2 + x


x^3 + 2x^2 + x


Simplificar/Factorizar…/Factorizarx(x + 1)2

Plantea el siguiente problema y resuélvelo con ayudade DERIVE:

Halla el décimo número triangular, sabiendoque la fórmula de los números triangulares es:

t(n) = +

Solución: Planteamiento:Consiste en hallar el valor numérico paran = 10

En la Entrada de Expresiones escribe:

n^2/2 + n/2

Elige Introducir Expresión

Elige Sustituir variables, escribe enNuevo Valor: 10 y pulsa el botón Simpli-ficar

55

Internet. Abre: www.editorial-bruno.es yelige Matemáticas, curso y tema.

127

n2

n2

2

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123

122

121

Paso a paso

Ajusta la configuración: en la barra de menú elige Opciones/Ajustes de Modo…/Simplificación/Restablecer

7. POLINOMIOS

1457. POLINOMIOS


a) P(x) = x2 – 7x – 9 para x = – 2

b) P(x) = x3 + 6x2 – 15 para x = 3


P(x) = 9x4 – 6x2 + 3

Q(x) = – 7x4 + 8x2 + x – 19

calcula:

a) P(x) + Q(x) b) P(x) – Q(x)


P(x) = 5x3 – 7x2 – 9

Q(x) = – 6x4 + 4x2 – 3x + 8


P(x) = x3 + 2x2 + 4x + 8

Q(x) = x – 2

Calcula:

a) (5x + 7/2)2

b) (5x – 7/2)2

c) (5x + 7/2)(5x – 7/2)

Halla la descomposición factorial de:

a) x2 – 5x b) 4x2 – 49

c) x3 – 36x d) x3 – 2x2 + x

Plantea los siguientes problemas y resuélvelos conayuda de DERIVE:


V = πR3

halla el volumen de una con R = 7,25 m

El primer polinomio de los números primosde Euler es:

P(x) = x2 + x + 41

Para x = 0, 1, 2, …, 39, P(x) es un númeroprimo.



A =

halla el área de uno que tiene 8,75 m de basey 15,42 m de altura.

b · a2

136

135

43

134

133

132

131

130

129

128

Así funciona

Valor numérico de un polinomioSe selecciona el polinomio en la ventana Álgebra y en la barra de herramientas se elige Sustituir variables.En la ventana Sustitución de variables se escribe en Nuevo Valor: el valor y se pulsa el botón Simplificar

Suma y resta de polinomiosSe introducen los polinomios en la barra de Entrada de Expresiones con la operación indicada, y se eli-ge Introducir y Simplificar

Multiplicación y potencia de polinomiosSe introducen los polinomios en la barra de Entrada de Expresiones con la operación indicada.

Se elige en la barra de menús:

Simplificar/Expandir…/Expandir

Factorización de polinomiosSe introduce el polinomio en la barra de Entrada de Expresiones con la operación indicada.

Se elige en la barra de menús:

Simplificar/Factorizar…/Factorizar

Practica

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07 Polinomios