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matematicas
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1
COLEGIO SANTO DOMINGO PP.DD DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
CUADERNILLO DE EJERCICIOS Y
PROBLEMAS DE MATEMÁTICA PARA SÉPTIMO BÁSICO 2015
NOMBRE:
2
Introducción:
Una de las formas más fáciles para estudiar matemática es repasar y
aplicar los conceptos analizados en clases a través de ejercicios y problemas; este
cuadernillo pretende ser una ayuda que debes usar tanto en tu casa como en el
colegio con el fin de facilitar tu aprendizaje.
Algunos de los ejercicios y problemas de las guías que forman parte del
cuadernillo han sido cuidadosamente seleccionados de los textos de estudio
existentes en el mercado y otros son creaciones de tus profesores.
Esperamos que este conjunto de guías te sirva como un apoyo para tu
aprendizaje de la matemática en el presente año.
Muchos éxitos
Departamento de Matemática
3
UNIDAD: CONJUNTO Z
GUÍA: CONCEPTOS BÁSICO EN EL CONJUNTO DE LOS NÚMERO S ENTEROS (Z) I) Escribir el número entero que indica cada expresión: 1) Una deuda de $ 14300. ______________________ 2) Quince grados bajo cero._____________________ 3) siete metros de profundidad.__________________ 4) 8 km hacia el norte. ________________________ 5) 234 años antes de Cristo. ___________________ 6) Gané $ 320000 en un juego. _________________ 7) 27° sobre cero._____________________________ 8) el árbol mide 6 metros._______________________ 9) 43 km hacia el sur. __________________________ 10) Santiago fue fundado en 1542.__________________ II) Completar las siguientes afirmaciones con el símbolo ∈ o ∉. 1) (+ 6) ____ Z - 2) 0 ____ Z+ 3) (+15) ____ Z0
+ 4) ( -2 ) ____ Z- 5) ( -3 ) ____ Z0
+
6) 0 ____ Z 7) 0 ____ Z0
+ 8) ( +1) ____ Z+ 9) ( +4) ____ Z- 10)(-12) _____ Z
III) Ubicar los siguientes conjuntos de números enteros en una recta numérica: 1) A = { 0 , (+7) , ( -3) , ( - 5) , (+ 4) , ( -1) , (+ 1) , ( + 3) }
2) B = { ( - 6) , ( + 4) , ( - 7) , (+ 5) , (+ 2) , ( -1) , ( - 3) }
3) C = { ( + 5) , ( - 3) , ( - 4) , ( + 1) , ( - 2) , ( + 7) }
4) D = { ( +1) , ( - 2 ) , ( + 3) , ( + 4) , ( - 5) , ( - 6 ) , ( - 11) }
IV) Escribir el signo > o < según corresponda: 1) ( + 5) _______ ( + 7) 2) ( - 6 ) _______ ( + 4) 3) ( + 8) _______ ( + 9) 4) ( - 5 ) _______ ( - 7 ) 5) ( + 2) _______ (+ 5 ) 6) ( - 9 ) _______ ( - 8) 7) ( - 1 ) _______ ( +2) 8) ( - 1 ) ________( - 2) 9) ( -3 ) ________(+ 4)
10) ( - 7 ) ________(+14) 11) ( + 1) ________( - 6) 12) ( - 2 ) ________(+ 3) 13) (- 14) _______ (+ 2) 14) ( - 7 ) ________ ( - 9) 15) ( - 1 ) _______ (+ 5) 16) ( - 3 ) ________ ( - 8) 17) ( + 2 ) _________ ( - 31)
V) Encontrar el antecesor de: 1) (-1) = 2) (+54) = 3) (-89) = 4) (-23) = 5) (+18) =
4
VI) Encontrar el sucesor de: 1) ( - 5) = 2) ( +13) = 3) ( -24) = 4) ( + 21) = 5) ( - 70) = VII) Ordenar de menor a mayor los elementos de los siguientes conjuntos de enteros: 1) A = { ( +5) , ( +2) , (- 3) , 0 , ( +4) , ( -5) , ( - 7) , ( +1) } 2) B = { ( -27) , ( +2) , ( -30) , ( -15) , ( +11) , ( +26) , ( + 31) } 3) C = { ( -3) , ( +4) , ( -20) , ( - 24) , ( +6) , ( +23) , ( -25) , ( +7) } 4) D = { ( -9) , ( +7) , ( -19) , ( -7) , ( +5) , ( +8) , ( -13) , ( -1) } 5) E = { (+17) , ( -20) , ( -24) , ( +6) , ( +23) , ( -25) , ( +12) , ( - 4) } 6) F = { ( - 4) , ( -7) , ( +2) , ( +1) , ( +9) , ( +10) , ( +16) , ( -34) } 7) G = { ( -34) , ( - 56) , ( + 65) , ( -23) , ( + 12) , ( -78) , ( - 47) , (+ 6) } VIII) Ordenar de mayor a menor los elementos de los siguientes conjuntos de enteros: 1) A = { ( +2) , ( +7) , ( -8) , ( -1) , 0 , ( - 3) , ( +9) , ( +15 ) } 2) B = { ( -13) , ( +17) , ( + 20) , ( - 18) , ( + 14) , ( - 33) , ( - 52) } 3) C = { ( -4) , ( -7) , ( +2) , ( +1) , ( - 9) , ( +10) , ( +16) , ( +7) } 4) D = { ( +17) , ( -19) , ( +2) , ( - 3) , ( - 5) , ( +4) , ( -16) , ( + 23) } 5) E = { ( - 2) , ( - 6) , (+2) , ( +13) , ( - 8 ) , ( -10) , ( - 19) , ( - 4) } 6) F = { ( +7) , ( - 3 ) , ( +17) , ( - 8) , ( -12) , ( - 15 ) , ( - 86) , ( + 11) } 7) G = { ( - 34) , ( +23) , ( +47) , ( - 69) , ( +14) , ( - 43) , ( -78) , ( + 5) } IX)Un día se registró la temperatura en diversos lugares, comprobándose: 17° sobre cero en Talca; 3° bajo cero en Punta Arenas, 28° sobre cero en Iquique; 12° bajo cero en la Antártida; 27° sobre cero en Santiago y 0° en Puerto Montt.. 1) ¿En qué lugar se registró la temperatura más alta y en cuál la más baja? 2) Registra en una tabla de valores, de mayor a menor, los datos anteriores.
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GUÍA: ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE ENTEROS I) Resolver las siguientes adiciones: 1) ( -11 ) + ( + 6 ) = 2) ( -13 ) + ( - 9 ) = 3) ( +16 ) + ( - 9 ) = 4) ( +26 ) + ( -31 ) = 5) ( -46 ) + ( +38 ) = 6) ( -14 ) + ( -38 ) = 7) ( +30 ) + ( -22 ) =
8) ( -18 ) + ( +13 ) = 9) ( +19 ) + ( -35 ) = 10) ( -85 ) + ( -25 ) = 11) ( -6 ) + ( +15 ) = 12) ( +61) + ( +27 ) = 13) ( +11 ) + ( + 6 ) = 14) ( +13 ) + ( -25 ) =
II)Resolver: 1) ( +8 ) + ( -13 ) + (+ 28 ) = 2) ( -17 ) + ( -6 ) + ( -10 ) = 3) ( -3 ) + ( -12 ) + (+ 20 ) = 4) ( -11 ) + ( +18 ) + (-7 ) = 5) ( -37 ) + ( -7 ) + (-11 ) + ( +18 ) = 6) ( -45) + ( +40) + (-13 ) + (-16) + (+ 8) = 7) ( -25) + ( 32) + (-46) + (+12) + (+17) = 8) (+19) + (-14 ) + (+ 23) + (+7) +( -23) + (-15) = 9) (-53) +(+76) + (-49) + (-28)+ (+54) + (-12) = III)Transformar las siguientes sustracciones en adiciones y luego resolver: 1) ( +8 ) - ( +10 ) = 2) ( -12 ) - ( +63 ) = 3) ( -6 ) - ( -12 ) = 4) ( +25 ) - ( -16 ) = 5) ( -19 ) - ( -30 ) = 6) ( +13 ) - ( +20 ) = 7) ( +42 ) - ( +36 ) =
8) ( -90 ) - ( -90 ) = 9) ( -18 ) - ( +18 ) = 10) ( +75 ) - ( +81) = 11) ( -26 ) - ( -83 ) = 12) ( +68 ) - ( -74 ) = 13) ( -41 ) - ( +37) = 14) ( -57 ) - ( -11 ) =
IV) Resolver: 1) ( +16 ) + ( -7 ) - (-5 ) = 2) ( -23 ) + ( -16 ) - (+12 ) = 3) ( -27 ) + ( +14 ) - (+33 ) = 4) ( -6 ) + ( + 2 ) - (-10 ) = 5) (+12 ) - ( +9 ) - (-32 ) + ( -12 ) = 6) ( -13 ) - ( -6 ) + (+18 ) - ( -23 ) = 7) ( -15 ) - ( -8 ) - (+21 ) - ( +10 ) = 8) ( +12 ) - ( +9 ) + (-8 ) + ( -7 ) + (+ 5 ) = 9) ( +7 ) + ( -9 ) + (-3 ) - ( -12 ) + (-18 ) = 10) (+2 ) + ( +9 ) + (-18 ) - ( +13 ) + (-15 ) = 11) ( -14 ) - ( -5 ) - (+10 ) - ( -9 ) + (-16 ) = 12) ( +34 ) - ( -98 ) - (-31 ) - ( +45 ) - (-12 ) = 13) ( -81 ) - ( -43 ) - (-36 ) - ( -21 ) - (-9 ) = 14) ( -43 ) - ( +71 ) - (-38 ) - ( +34 ) - (-65 ) = 15) ( -98 ) - ( -136 ) - (+45 ) + ( -76 ) - (-23 ) + (+69 ) = 16) ( +83 ) - ( +67 ) - (-78 ) + ( -65 ) - (-56 ) - (+ 81 ) = 17) ( -23 ) + ( -61 ) - (-23 ) + ( -77 ) + (+61) + (-23 ) = 18) ( +53 ) - ( +78 ) - (-98 ) - ( -35 ) - (-43 ) - (-90 ) = 19) ( -76 ) - ( +81 ) - (-16 ) - ( +87 ) - (+98 ) - (-5 ) = 20) ( -123 ) - ( +98 ) - (-874 ) - ( +438 ) - (-765 ) - (-639 ) =
6
V) Completar y calcular los números que faltan para que se cumplalaigualdad: 1) (+37) + ( -6) = (______)
2) (+684) + (_____) = ( +518 )
3) (_____) + (+25) = ( +83 )
4) (_____) + (+16) = ( +48 )
5) (_____) + (-50 ) = ( +71 )
6) (_____) + (-15 ) = ( +40 )
7) (+383) + (_____) = ( +392 )
8) (+76) + (_____) = ( +84 )
9) (+93 ) + (_____) = ( -115 )
10) (+28 ) - (_____) = ( -36 )
11) (-42 ) - (_____) = ( -5 )
12) (_____) – (-46 ) = ( -84 )
13) (_____) – (+37 ) = ( +4 )
14) (+125) - (_____) = ( -45 )
15) (_____) – (+86 ) = ( -4 )
16) (-15 ) - (_____) = ( +39 )
17) (-23 ) - (_____) = ( -54 )
18) (+38 ) - (_____) = ( -72 )
19) (+41 ) - (_____) = ( +15 )
20) (_____) – (-74 ) = ( -27 )
21) (_____) + (-57 ) = ( +61 )
22) (+45 ) + (_____) = ( -73 )
23) (-36 ) + (_____) = ( -7 )
24) (_____) – (-28 ) = ( +61 )
25) (_____) – (+12 ) = ( -54 )
26) (-28 ) - (_____) = ( -98 )
27) (+82) + (_____) = ( -64 )
VI) Comprobar las siguientes igualdades e indicar el nombre de la propiedad que se cumple:
1) ( +9) + ( -8) = ( -8) + (+9) _______________________________________________
2) ( +18) + ( -18) = 0 _______________________________________________
3) ( + 20) + 0 = _______________________________________________
4) (-15) + (+10) = (+10) + (-15) _____________________________________________
5) [(+17) + (-7) ] + (-3) = (+17) + [ (-7) + (-3) ] = ________________________________
VII) Escribir una operación matemática que permita resolver los siguientes problemas, luego
resolver y contestar:
1) En un proceso científico la temperatura inicial era de 10º sobre cero y descendió 21º.
¿Cuál fue la temperatura final? 2) Si la temperatura inicial era de 5º sobre cero y descendió en 9º, ¿cuál fue la temperatura
final?
3) ¿Qué número sumado con (+7) es igual a (-15)?
4) Si la temperatura mínima fue de 7º bajo cero y la máxima fue de 16º sobre cero. ¿Qué diferencia hubo entre la temperatura mínima y la máxima?
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5) El matemático Euclides murió el año 374 antes de Cristo. ¿Cuántosaños han transcurrido
desde la muerte del gran matemático hasta hoy día?
6) ¿Qué número se debe restar a (+654) para obtener (-240)?
7) Roma fue fundada el año 752 antes de Cristo, ¿cuánto tiempo ha transcurrido desde su fundación?
8) ¿Cuánto tiempo transcurrió desde el año 83 antes de Cristo hasta el año 29 antesde
Cristo?
9) ¿Qué número se debe sumar a (-456) para obtener (-354)?
10) ¿Qué número se debe sumar a (+765) para obtener (-78)?
11) ¿Qué número se debe restar a (-76) para obtener (-349)?
12) La temperatura máximade hoy fue 17º sobre cero. Si la temperaturaascendió 18º, ¿Cuál fue la temperatura mínima?
13) Ayer a las 8 P.M. el termómetro marcaba 2ºC. A las12 de la noche la temperatura
descendió 5ºC. ¿Qué temperatura marco el termómetro a las 12 de la noche?
14) Arquímedes (287 – 212 a.C.) fue uno de los más importantes científicos de la Antigüedad y Newton (1643 – 1727) uno de los mejores de la Edad Moderna. ¿Cuántos años vivió cada uno?
15) Andrés debe más dinero que Cecilia. Paulina tiene la misma cantidad que deben sus
amigos y Juan posee la misma cantidad que debe Andrés. Escribir los nombres de estos amigos, en orden creciente de acuerdo a la cantidad de dinero que tienen.
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UNIDAD: RAZÓN, PROPORCIÓN Y PROPORCIONALIDAD
GUÍA: RAZONES Y PROPORCIONES I) Escribir la razón pedida en cada uno de los siguientes casos 1) En una fábrica trabajan 42 hombres y 37 mujeres encontrar la razón entre:
a) El número de hombres y el número de mujeres = b) El número de hombres y el total de trabajadores = c) El número de mujeres y el total de trabajadores = 2) Escribir la razón que corresponde a cada una de las siguientes expresiones:
a) 2 cucharadas por litro = b) 6 sobres para cada 18 personas = c) 10 autitos por cada 2 niños = d) Dos cajas para cada 5 alumnos =
e) Por cada dos tazas de arroz, tres tazas de agua =
3) A los alumnos de 8º básico de un colegio se les consultó acerca del lugar que preferían para pasar sus vacaciones. Las respuestas son las siguientes:
Lugar de vacaciones Playa Campo Montaña Ciudad Viaje al extranjero Preferencias 14 9 6 4 12 Utilizando los resultados de esta encuesta y expresa la razón de dos formas distintas:
a) Entre ciudad y playa = b) Entre campo y montaña = c) Entre viaje al extranjero y playa = d) Entre campo y el total = e) Entre playa y el total = f) Entre total y montaña =
II) Calcular el valor de las siguientes razones:
1) 164
=
2) 8:25 =
3) 4518
=
4) 14:3,5 =
5) 2,5 :10 =
6) 2 8
0 175
,
,=
7) 5,5:2,2 =
8) 3,6: 3 =
9
III) Formar por simplificación una razón equivalente a las razones dadas 1) 16:20
2) 24:10 3)
36
24
4) 2:8
IV) Indicar si los siguientes pares de razones son equivalentes o no
1) 16
32 y
4
8
2) 8:15 y 6:12
3) 3:9 y 6:18
4) 4:6 y 10:15
5) 9:12 y 12:15
6) 4
9 y
12
36
V) Escribir el número que falta para que las siguientes razones sean equivalentes
1) 4
7
8=
2) 4
6
24=
3) 3 9
27=
4) 18
9 6=
5) 4:7 = :14
6) 8:12 = 2 :
VI) Escribir al menos dos proporciones con cada uno de los siguientes conjuntos de números 1) 2, 3, 1, 6 2) 10, 4, 5, 8 3) 4, 6, 3, 2 4) 3, 8, 4, 6
5) 7, 6, 2, 21 6) 4, 8, 2, 1 7) 3, 6, 9, 18 8) 9, 12, 8, 6
VII) Escribir cada una de las siguientes proporciones de 7 maneras diferentes
1) 2
5
4
10=
2) 4 : 3 = 12 : 9
3) 2
3
4
6=
4) x
y
m
n=
5) 8:6 =12:9
VIII) Calcular el término desconocido en cada una de las siguientes proporciones 1) 3:x = 8:16
2) u:6 = 8:3
3) 5:3 = x:9
4) 7:2 = 21:y
5) 3
4 16=
x
6) u
84
20
21=
7) 1 5
12y=
8) x : 4,8 =1,5 : 3,6
9) 2,1 : y = 1,4 : 2,5
10) 15
10 4=
z
11) u
3 2
4 5
7 2,
,
,=
12) z:43
2:
6
5 =
13) x:9
26:
5
3 =
14) 2:65
1: =x
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GUÍA: PROPORCIONALIDAD DIRECTA E INVERSA
I) Construir o completar una tabla de valores correspondiente a cada una de las siguientes situaciones: 1) Alberto compró 4 cuadernos por $ 900 Cuadernos 2 4 6 8 12
$ 900 1.350 2.250 2) Constanza prepara canapés de jamón, con 100 gramos de jamón puede hacer 150 canapés Canapés 150 900 Jamón 50 150 200 300 800 3) Luis calcula que para una fiesta donde asisten 20 personas es necesario tener 8 botellas de 2 litros de bebida Nº de botellas Nº de personas
4) Para pintar una muralla 6 niños demoraron 2 horas Tiempo 1 2 3 4 6 12 Nº niños 5) Claudia demoró 6 horas en hacer un viaje a una rapidez de 40 km/h Tiempo 2 3 4 5 6 8 Rapidez II) Identificar en qué tipo de proporcionalidad se encuentran las variables de las siguientes tablas y
luego completarlas:
M 5 4 12,5 N 20 25
P 6 15 Q 16 40 24
U 4 6 V 6 12 9
X 20 10 5 Y 3 12
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III) Resolver completando las siguientes tablas. 1) Si el kilo de naranjas cuesta $350, ¿Cuánto costarán 5 kg.?
Kg. $ 1 350 5 x
2) Si me cobran $550 por arrendarme unos patines durante 30 minutos, ¿cuánto debo pagar si quiero arrendarlos por 4 horas y media?
$ Tiempo 550 30
x 3) En 6 botellas hay 51 litros de agua, ¿cuántos litros habrá en 15 botellas iguales a las primeras?
Nº botellas Litros 6
4) Si un litro de pintura alcanza para 5 metros cuadrados. ¿Cuánta pintura se necesita para pintar una muralla de 144 m2.
Litros m2
5) Si dos bebidas cuestan $1.300. ¿Cuánto cuestan 5 bebidas?
Nº de bebidas Precio 2 1.300 5
6) Un camión recorre 372 km. en 12 horas ¿Cuántos kilómetros recorrerá en 30 horas?
Km. Horas 372 12
7) Una costurera se demora dos días en confeccionar un vestido. ¿Cuántos vestidos confeccionará en 44 días?
Días Nº de vestidos
8) Un tren hace un recorrido a una rapidez de 60 km./hr. en 8 horas. ¿Con qué velocidad hizo el mismo recorrido otro tren que demoró 12 horas?
Rapidez Horas
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IV) Responder las preguntas relacionadas con cada una de las siguientes tablas: 1) Si A y B están en proporción directa completar la tabla siguiente
A 12 0,5 8 B 18 6 15
2) Si C y D están en proporción inversa completar la tabla siguiente
C 12 4 8 2,5 D 20 0,4 40
3) Si x e y son variables directamente proporcionales:
a) Completar la tabla b) Determinar la constante de proporcionalidad
X 7 8 0,07 Y 21 14 27
4) Si M y P son variables inversamente proporcionales:
a) Completar la tabla b) Determinar la constante de proporcionalidad
M 6 2 5 P 8 12 2,5
V) Resolver los siguientes problemas:
1) En 6 botellas hay 50 litros de agua ¿Cuántos litros habrá en 15 botellas iguales a las primeras? 2) Una cancha rectangular mide 6 metros de largo y 1,5 de ancho. Calcular cuál debe ser la
longitud de una cancha del mismo tamaño si su ancho es de 2 metros? 3) Mauricio Compró una caja de tempera de 6 colores en $ 750, ¿Qué valor tiene una caja
tempera del mismo tipo pero con 12 colores? 4) Un tren hace un recorrido a una velocidad de 60 km/h en 8 horas ¿Con qué velocidad hizo el
mismo recorrido otro tren que demoró 12 horas? 5) El año pasado se limpió un canal en 28 días con 60 hombres; este año se pretende realizar el
mismo trabajo en sólo dos semanas ¿Cuántos hombres se necesitan? 6) Una llamada telefónica a Brasil de 4 minutos costó el mes pasado $ 2.430. Si el valor por
minuto se mantiene ¿Cuánto debo pagar este mes por una llamada de 6 minutos a ese país? 7) Si con 5 litros de pintura se pueden pintar 24 metros cuadrados de muralla ¿Cuánta pintura se
necesita para pintar una muralla de 144 metros cuadrados? 8) Seis obreros hacen un trabajo en 4 días ¿En cuántos días harán el mismo trabajo 8 obreros?
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9) Una oferta consiste en comprar 10 discos compactos en $ 2.500; si Javier compra 16 de esos discos al precio de oferta ¿Cuánto dinero paga?
10) Para construir una casa 6 obreros se demoran tres meses ¿Cuánto tiempo se demoraran en
construir una casa igual 18 obreros? 11) Ricardo demora 11 minutos en dar dos vueltas por el parque en bicicleta; cuanto demora en
dar 6 vueltas si mantiene la velocidad? 12) Claudia pagó $ 2.400 por un trozo de carne de 800 gramos; ¿Què valor tiene otro trozo de la
misma carne cuya masa es 900 gramos? 13) Rubén recorre la distancia entre dos ciudades en 4 horas a una rapidez promedio de 90 km/h,
por una falla mecánica en el regreso Rubén sólo puede alcanzar una rapidez promedio de 60 Km/h ¿Cuánto tiempo demorará?
14) Para construir una muralla de 6m2 se ocuparon 210 ladrillos ¿Cuántos ladrillos del mismo tipo
se necesitan para construir otra muralla de 9m2? 15) Julián se comió un plato de 120 gramos de arroz primavera lo que le aportó 450 calorías
¿Cuántas calorías le aporta una repetición de 90 gramos? 16) Laura preparó tallarines con salsa para 3 personas usando 200 gramos de fideos. En otra
ocasión Laura hizo 2 paquetes de 400 gramos ¿Para cuántas personas alcanza la comida? 17) Francisco compró un terreno de 25m de largo y 12 metros de ancho, el decide cambiarlo por
otro que tenga sólo 20 metros de largo ¿Cuál debe ser el ancho para que el terreno conserve el tamaño?
18) Félix compró 12 tornillos por $ por 100 ¿Cuánto debe pagar por 18 de los mismos tornillos? 19) Sandra viajó al sur y gastó 40 litros de bencina para recorrer 600 kilómetros; para el viaje de
regreso sólo le quedan 30 litros en el estanque ¿Cuántos kilómetros puede recorrer antes que se acabe la bencina?
20) Pedro ha leído 40 páginas de su libro en 4 horas, el libro en total tiene 240 páginas ¿Cuánto
tiempo necesita para terminar el libro? 21) Un grupo de excursionistas tienen alimentos para 9 días; antes de partir desisten algunos de
ellos y ahora a los 5 restantes la misma comida les alcanza para 12,6 días ¿Cuántos excursionistas desistieron del viaje?
22) Patricio atiende a 12 pacientes en una mañana demorándose 20 minutos con cada uno
¿Cuántos pacientes puede atender en otra mañana si debe demorarse 30 minutos con uno? 23) En un establo hay comida para que los 18 animales que lo habitan se alimenten durante 50
días; si se venden tres de los animales ¿Para cuántos días alcanzara la comida de los animales ahora?
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24) Una familia de 6 personas decide ir de vacaciones y al hacer su presupuesto ven que el dinero les alcanza para salir 20 días. Antes de iniciar los preparativos para el viaje, el hijo mayor se entera de que ganó un premio en la olimpíada de matemática y que debe viajar al extranjero justo en la misma fecha de las vacaciones. ¿Para cuántos días más de vacaciones les alcanza el dinero al resto de la familia?
25) Nueve hombres hacen un trabajo en 6 días ¿Cuántos hombres más serían necesarios para
hacer el trabajo en 4 días?¿Cuantos hombres menos serán necesarios para hacer el trabajo en 18 días?
26) Un turista dispone de 15 días para realizar sus vacaciones; para ello dispone de $ 300 mil; si
desea quedarse 5 días más y ya gastó todo el dinero ¿Cuánto debe pedir al banco? 27) En un frigorífico están guardadas las raciones para un grupo de 50 mineros para 12 días. Por
motivos de urgencia la empresa debe aumentar el turno en 10 mineros ¿Para cuantos días alcanzan las mismas raciones?
28) Un jardinero planta un sitio de 10m de largo y 4m de ancho en 5 horas ¿Cuánto tiempo le
llevará plantar otro sitio de 60m de largo y 6m de ancho? 29) Una terraza se construye con 160 pastelones cuadrados cuyos lados miden 30cm ¿Cuántos
pastelones cuadrados cuyo lado mide 40cm se necesitan para construir otra terraza del mismo tamaño?
30) Rodrigo tiene el triple de la edad de su hermano Manuel, si en 5 años más Manuel tendrá 10
años ¿Cuál es la edad actual de Rodrigo? 31) Nicolás ha jugado 12 partidos en el campeonato de básquetbol de su colegio; el ha hecho 216
puntos. El debe jugar 3 partidos más en los que espera mantener su promedio de puntos por partido ¿Cuántos puntos debe lograr para alcanzar su objetivo?
32) Beatriz estudia 2 horas diarias de domingo a viernes y el sábado descansa; El domingo y el
lunes de una semana no pudo estudiar, ella desea estudiar el mismo tiempo cada semana y decide estudiar la misma cantidad de tiempo cada día de los que queda de la semana ¿Cuánto tiempo debe estudiar cada uno de los otros días?
33) Se tiene azúcar envasada en 2 sacos uno de ellos cuesta $5.400 y el otro $ 3.800 ¿Cuántos
kilos tienen cada uno si el saco más pequeño tiene 8 kilos menos que el más grande?
34) Dos estaciones de trenes se encuentran a una distancia de 720 km. En un dibujo representativo estas estaciones distan 9 cm. Si en este mismo dibujo la distancia entre otras dos ciudades es 2,5 dm, ¿cuál es la distancia real?
35) En el huerto de una escuela se tiene sembrado un cantero de ají que tiene forma rectangular de 8,4 m de largo por 20 dm de ancho y cubre dos séptimos del mismo. ¿Cuál es el área del huerto?
15
GUÍA: TANTO POR CIENTO I) Escribir la fracción equivalente a cada uno de los siguientes tanto por ciento
1) 25% 2) 75% 3) 6% 4) 5% 5) 24% 6) 200%
7) 38% 8) 21% 9) 250% 10) 63% 11) 120% 12) 12,5%
13) 26% 14) 11,7% 15) 18% 16) 37% 17) 49,6% 18) 22,75%
II) Calcular 1) 23% de 400 2) 45% de 680 3) 32% de 25 4) 75% de 56 5) 80% de 45 6) 72% de 50 7) 43% de 1500 8) 5% de 420 9) 1% de 15.000 10) 4% de 250 11) 28% de 50 12) 16% de 72 13) 32% de 40 14) 12,5% de 64 15) 1,2% de 30 16) Qué % es 30 de 40 17) Qué % es 42 de 105 18) Qué % es 15 de 60 19) Qué % es 4 de 200 20) Qué % es 8 de 160 21) Qué % es 400 de 200 22) Qué % es 125 de 50 23) Qué % es 4 de 32 24) El número cuyo 20% es 5 25) El número cuyo 45% es 18 26) El número cuyo 250% es 75 27) El número cuyo 50% es 12 28) El número cuyo 10% es 1,5 29) El número cuyo 8% es 108 30) El número cuyo 12,5% es 64
31) 10% de 250 32) 20% de 45 33) 75% de 80 34) 5% de 840 35) 12,5% de 128 36) 50% de 24 37) 25% de 68 38) 10% de 23 39) 20% de 65 40) 100% de 2,345 41) 200% de 34,5 42) 300% de 20 43) 20% de 200 44) 50% de 12,5 45) 10% de 12,8 46) Qué % es 32 de 128 47) El número cuyo 12% es 48 48) 36% de 50 49) 52% de 200 50) El número cuyo 15% es 66 51) Qué % es 20 de 160 52) El número cuyo 10% es 23,8 53) El número cuyo 8% es 12 54) 24% de 25 55) Qué % es 50 de 12,5 56) Qué % es 24 de 300 57) El número cuyo 35% es 49 58) El número cuyo 125% es 100 59) Qué % es 33 de 100 60) El 350% de 14
16
III) Resolver los siguientes problemas
1) En un curso de 40 alumnos el 40% son varones ¿Cuántos varones y cuántas damas hay en el curso?
2) Juan tiene $3.000, le da el 35% a su hermano Daniel ¿Cuánto dinero le queda?
3) Rodrigo tiene que pagar $ 90.000; si le hacen una rebaja del 5% ¿Cuánto tiene que pagar ahora?
4) Pedro tenía $ 8.000; si gastó el 20% y le dio a su mejor amigo el 40% del resto ¿Con Cuánto dinero se quedó?
5) Una pieza de género vale $2.500; si el vendedor le vende en $ 2.000 ¿Qué % hizo de descuento?
6) En un curso de 21 alumnos hay 3 que están enfermos ¿Qué % del total está enfermo?
7) Una persona gastó $181.500 en una lavadora; ese dinero equivale al 25% de lo que tenía ¿Cuánto dinero le queda?
8) El 30% de los trabajadores que hay en una fábrica son mujeres. Si hay 350 hombres ¿Cuántos trabajadores hay en total en dicha fábrica?
9) Una casa está asegurada en 2.500 U.F; la cuota mensual del seguro es de 2,75 U.F ¿Qué % del valor de la casa es la cuota del seguro?
10) El 35% de las bolitas que tiene Gastón son 21 ¿Cuántas bolitas tiene en total?
11) Juan tenía 500 hojas de papel y gastó 280 ¿Qué % del papel que tenía le queda?
12) Un agricultor vende 400 quintales de trigo que corresponden al 80% de su cosecha ¿a cuántos quintales asciende la cosecha total del agricultor?
13) La superficie de un sitio es 350 metros cuadrados. El 30% se ocupará para edificar una casa y el resto se destinará para patio ¿De qué tamaño es el patio?
14) En una tienda tienen en oferta una polera que el comerciante compró en $2.400 y la vende con un 15% de pérdida ¿Cuánto dinero pierde?
15) Un comerciante vende un llavero con un 50% de ganancia. Si la ganancia es$ 450, ¿cuál es el precio de venta del llavero?
16) El auto de Isabel tiene un 60% de su estanque lleno de bencina; si se sabe que la capacidad máxima del estanque es 40 litros ¿Cuánta bencina le queda?
17) Alberto debe bajar su peso en un 15%; si su peso es 80 kilos ¿Cuánto tiene que llegar a pesar?
18) Luis recibirá un 12% de aumento de su sueldo; si se sabe que el gana $450.000 al mes ¿Cuál será su nuevo sueldo?
19) Matías creció el 10% de lo que medía y ahora mide 1,65m ¿Cuántos cm creció?
20) Pedro compró un sillón en $48.000 y lo vendió en $75.000 ¿Cuál fue su % de ganancia?
17
21) De las 90 aves que hay en una granja 63 son gallinas ¿Qué % de las aves de la granja son gallinas?
22) En una panadería se hicieron pasteles con un costo de $12.500 y se vendieron en $11.250 ¿Cuál fue el % de pérdida?
23) Las ventas de una zapatería durante el mes de agosto ascendieron a $7.500.000; si en dicho mes se pagaron $1.350.000 por impuestos ¿Qué % se paga de impuesto?
24) Un inversionista recibió como ganancia $ 75.000 lo que corresponde a un 15% de lo que había invertido ¿Cuánto dinero invirtió?
25) El precio de una cocina es de $108.000 si se paga al contado; para comprarla a crédito deben cancelarse doce cuotas de $13.770 durante un año (una cuota al mes) ¿En que % aumenta el precio a pagar por la cocina cuando se compra a crédito?
26) El 75% del área de un cuadrado es 27 metros cuadrados ¿Cuánto mide el perímetro del cuadrado?
27) Óscar vende autos y hoy a precio de promoción ofrece un vehículo con un 10% de descuento en $3.780.000 ¿Cuál era el precio original del automóvil?
28) Si el lado de un cuadrado aumenta en un 20% ¿En qué % aumenta su área?
29) Si el lado de un cuadrado disminuye en un 40% ¿En qué % disminuye su área?
30) Si la arista de un cubo aumenta en un 10% ¿En qué % aumenta su volumen?
31) Si la arista de un cubo disminuye en un 20% ¿En qué % disminuye su volumen?
32) Rodrigo obtuvo 15 votos en la elección de la directiva del curso que esta formado por 24 alumnos; el dijo que había obtenido más del 60% de apoyo por parte de sus compañeros ¿Es verdad?
33) Daniel salió elegido presidente del centro de alumnos de su colegio con 547 votos sobre un total de 1024 alumnos y su prima Mónica fue elegida presidente de curso con 22 votos sobre un total de 42 alumnos ¿Cuál de los dos obtuvo un apoyo mayor en términos porcentuales?
34) Luis Alberto invirtió $ 15 millones de pesos al 6% de interés anual durante dos años ¿Cuánto dinero ganó?
35) Mariana obtuvo el 37% de los votos de su circunscripción electoral con 185.000 votos aproximadamente ¿Cuántos electores tenía dicha circunscripción?
36) Se dice que el IPC para 1997 se estima en un 5,5%; si una persona en enero de 1997 tenía un sueldo de $ 732.000 y éste se reajusta todos los años en enero de acuerdo al IPC ¿Cuál va a ser su nuevo sueldo?. Si su empleador decide subirle el 8% sobre el IPC ¿Cuál va ser entonces su sueldo?
37) En la compra de una novela, Luisa ha pagado $ 4500. ¿Cuál es el precio de costo dicha novela si el distribuidor ha ganado 12% en la venta?
38) Un pantalón en una vitrina estaba hace dos días a $ 25.000, ahora esta a $ 15.000 ¿Qué tanto por ciento hay de descuento?
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39) Un comerciante compra poleras por $ 3.000 cada una y las venda con un 20% de pérdida ¿Cuál es el precio de venta?
40) El dueño de una zapatería compra zapatos por $ 15.000 el par y los vende ganado un 20% ¿Cuál es el precio de venta?
41) Un comerciante compra una caja con 100 caramelos por $ 1.000, el vende cada caramelo en $ 50 ¿Cuánto dinero gana? ¿Cuál es su porcentaje de ganancia?
42) Un computador completo cuesta $ 600.000; si el comerciante hace una rebaja y lo deja en $ 570.000 ¿Qué tanto por ciento hace de descuento?
43) Una camisa es comprada en una fábrica por un comerciante en $ 2.500; el la vende en su local ganando un 80% ¿Cuál es el precio de venta de la camisa?
44) Una cámara último modelo se vende en $ 650.000; el comerciante gana un 15% y le da un tercio de su ganancia al vendedor ¿Cuál es el precio del costo de la cámara?
45) Un cepillo de dientes eléctrico se vende a $ 9.000, el comerciante se gana un 50% ¿Cuál es el precio de compra?
46) En una liquidación se rebajan en un 15% ciertos artículos. Completar el siguiente cuadro
47) Una familia tiene un terreno de 48 há y por situaciones ajenas a su voluntad deben venderlo perdiendo un 15% del valor de la tasación, que es $ 42.825.000.
a) ¿En cuánto lo vendió? b) ¿Cuánto es la pérdida?
48) Después de un tiempo, el nuevo dueño decide venderlo nuevamente y esta vez lo hace
con un 20% de ganancia sobre el precio que él pagó. ¿En cuánto lo vende?
Artículos Precio 15% de descuento Nuevo Precio Televisor $ 105.900 Equipo de música $ 125.780 Personal estéreo $ 27.950 Radio reloj $ 18.590 Zapatillas $ 15.870 Polerón $ 5.680 Buzo $ 12.475
19
UNIDAD: ALGEBRA
GUÍA: INTRODUCCIÓN AL ÁLGEBRA I) Escribir las siguientes adiciones como multiplicaciones, siguiendo el ejemplo del ejercicio n°1:
1) 2+2+2=3 • 2
2) 5+5+5+5+5+5=
3) 6+6+6+6=
4) 9+9+9=
5) 7+7+7+7+7+7=
6) 8+8+8+8+8+8+8=
7) m+m+m=3m
8) z+z+z+z=
9) t+t+t+t=
II) A partir de las siguientes situaciones contesta las preguntas a continuación: 1) “El precio de un libro es X” a) ¿Cuál es el doble de su precio? b) ¿Cuál es la mitad de su precio? c) ¿Cuál es su precio aumentado en $ 100? 2) “La edad de Juan es Y” a) ¿Cuál es el triple de su edad? b) ¿Cuál es su edad disminuida en 3? c) ¿Cuál será su edad en 12 años más? d) ¿Cuál era su edad hace 5 años? 3) “La estatura de Pedro es V” a) ¿Cuál es la tercera parte de su estatura? b) Si pedro crece 5 cm ¿Cuál es su nueva estatura? 4) “La Masa de Antonia es W” a) ¿Cuál es el cuádruplo de su masa? b) Si Antonia baja 6 kilos ¿Cuál es su nueva masa? c) ¿Cuál es su masa aumentada en 12 kilos? d) ¿Cuál es su masa disminuida en 7 kilos? e) ¿Cuál es el triple de su masa, aumentada en 8 kilos? f) ¿Cuál es el quíntuplo de, su masa disminuido en 8? 5) “La temperatura interna de un refrigerador es T” a) Si la temperatura aumenta en 2º ¿Cuál es su nueva temperatura? b) ¿Cuál es la tercera parte de, la temperatura aumentada en 5º? c) ¿Cuál es la quinta parte de la temperatura, disminuida en 3º?
20
a=7cm
b=6cmc=5cm
6) “El volumen de una botella de bebida es V” a) Si Pedro toma 3 vasos de 200 cm3 ¿Cuánta bebida queda? b) ¿Cuánta bebida hay en 4 botellas del mismo tipo? c) ¿Cuántos vasos de 250 cm3 se pueden llenar con la botella?
III) Escribe una expresión equivalente a cada uno de los siguientes enunciados:
1) Suma entre a y b 2) Diferencia entre x e y 3) Producto de p y q 4) División entre m y n 5) Duplo de x 6) Triple de a 7) Mitad de u 8) Agregar y a x 9) x veces y 10) Doble de a
11) Restar p a q 12) Tercera parte de u 13) Exceso de m sobre n 14) Aumentar p en q 15) Restar u de x 16) Cuociente entra x e y 17) El cuadrado de m 18) El cubo de x 19) La enésima potencia de a
IV) Encuentra el valor solicitado en cada uno de los siguientes enunciados concretos:
1) El perímetro de un cuadrado se puede calcularsegún la expresión: aP ⋅= 4 , donde ‘a’ corresponde a la medida de un lado del cuadrado. ¿Cuál es el valor del perímetro del siguiente cuadrado?
2) El perímetro de un rectángulo se puede calcular según la expresión: baP ⋅+⋅= 22 , donde ‘a’ y ‘b’ corresponden a las medidas de los lados del rectángulo. ¿Cuál es el valor del perímetro del siguiente rectángulo?
3) El perímetro del un triángulo se puede calcular según la expresión: cbaP ++= ,donde a, b, c corresponden a las medidas de los lados del triángulo. ¿Cuál es el valor del perímetro del siguiente triángulo?
a = 7cm
a = 6 cm
b = 4 cm
21
h=7c
mb=6cm
4) El área de un triángulo se puede calcular según la expresión: 2
hbA
⋅= , donde b corresponde
a la medida de la base del triángulo y h corresponde a la medida de la altura del triángulo que llega a la base.¿Cuál es el valor del área del siguiente triángulo?
5) El dinero que gasta Antonio por comprar 3 cuadernos y 12 lápices en una librería se puede calcular según la expresión: LCG ⋅+⋅= 123 , donde C corresponde al valor de cada cuaderno y L al valor de cada lápiz. Si cada cuaderno cuesta $700 y cada lápiz $500. ¿Cuánto dinero gasta Antonio? V) Encuentra el valor solicitado en cada uno de los siguientes enunciados: 1) Si x = 3 ; y =2 determine el valor de:
a) 2xy
b) x2 - y2
c) 2x – 3y
d) y – 3x
2) Si m = 2 y n = 3 determine el valor de:
a) m - m2 - 2n
b) m2 - n2
c) m2 + 2mn + n2
d) n
1
m
1 −
22
GUÍA: REDUCCIÓN DE TÉRMINOS SEMEJANTES Y ELIMINACIÓ N DE PARÉNTESIS I) Determinar si las siguientes parejas de términos son o no semejantes
1) 2b, 2c
2) a, 4a
3) x, 7x2
4) 2a2,2a
5) x2y, xy2
6) x2, 12x2
7) u3v,-3u3v
8) xn-1,yn-1
9) 14b,17b
10) a2bc2,12a2bc2
11) -13x3yn-3,18xn-3y3
12) 23p5qm-n,-2p5qm-n
II) Reducir términos semejantes en las siguientes expresiones algebraicas
1) x + 2x
2) m + 2m
3) 8a-6a
4) -9p -12p
5) 11b +9b
6) -9y +9y
7) a + 2a +9a
8) 9ab - 15ab
9) 7a-3a+a-6a
10) 9a -3a +5a
11) -8w +9w -w
12) 2x-4x+x-3x
13) 2u -2u
14) -x +19x -18x
15) 19m -10m -6m
16) m + n -m + n +m+n
17) 2x -6y -2x -3y -5y
18) 15u +13u -12v -11u -4b -v
19) x + 4y - 5x - y
20) 7a -9b +6a - 4b
21) 31a - 17b +15a -22b
22) 5x - 11y -9 + 20x -1 -y
23) 0,2x - 3y -1,98x -2,15y
24) 3,7u + 0,5v -1,48u -0,18b
25) 3,4a -0,2b -3,5a -0,2b
26) a +b -c -b +2c -a
III) Eliminar los paréntesis y luego reducir términos semejantes 1) (a + b) + (a -b)
2) 5a + (a -b) + 6b
3) 3a + 7b + (b -a)
4) 7x - (3x - 2y) + y
5) (a + b) + (b -a)
6) (a -b) - (a +b)
7) x + 5y - (x +4y)
8) 17 -(4c -3d) + (7c -5d)
9) 12 + (2a +b) - (3a -15)
10) 7x- (2 -3x) +(8 -5x)
11) 23u -(u -5) -16
12) 2a -(2a -3b) -b
13) 5u - (2u -3v)
14) 2w - (3u - 2v -7w) - (-u +3v)
15) 4w -7 +(8 - 2w)
16) 4p -(2q -3r) +(7p -2q +r)
17) -(a+b -c) -(-a+b+c) -(a -b +c)
18) 12a -(3a +4b) + 7a -(2a -3b)
19) 10u + (2u + 5v) +2u -(u -5v)
20) 2x -(x + y) + 2y +(2x -4y)
23
GUÍA: ECUACIONES I) Encuentra el número que debe ir sobre la línea para que se verifique la igualdad: 1) 2 + = -7
2) 7 – = -12
3) 16 = -8 –
4) 1 = -5 –
II) Resuelve las siguientes ecuaciones aditivas:
1) u + 4 = 7
2) a + 18 = 20
3) t - 9 = 2
4) x + 2 = - 4
5) y - 6 = -17
6) m + 5 = 18
7) x + 13 = 67
8) 21 = y – 14
9) -15 = n + 13
10) 12 = z + 20
11) y + 10 + 25 = 40
12) u + 24 – 9 = 8
13) a – 8 + 13 = -12 + 8
14) b – 5 – 14 = -22 – 6
15) 45 – 15 = 5 – 35 + x
16) 8 + d – 6 = 10 – 8
17) 2 + y = 6
18) 3 + t = -9
19) 14 + w = 23
20) -8 + x = 16
21) 9 = 15 + p
22) -12 = 26 + m
23) 4
3
3
2 =+x
24) 8
3
8
5 −=−x
25) 3
2
5
3x =+
26) 16
5
4
1 −=−x
27) 16
15
4
1
8
3 =++ x
24
III) Resuelve las siguientes ecuaciones multiplicativas:
1) 3y = 12
2) 8x = 32
3) 2m = 64
4) 5a = 75
5) 14n = 224
6) 7t = 16
7) 6x = 28
8) 12d = 138
9) 14 = 2y
10) 45 = 15b
11) 10w = 2 • 30
12) 14 • 6 = 7z
13) 8
3
4
3 =x
14) 24
35x
6
5 =
15) 24
5
2
1 =x
16) 24
12
4
1 =x
17) 7
105 =x
18) 2
95,0 =x
IV) Resuelve las siguientes ecuaciones mixtas:
1) 4n + 3 = 45
2) 6t + 8 = 32
3) 2x – 45 = 5
4) 3y – 5 = 13
5) 5m – 18 = – 8
6) 4a – 28 = – 12
7) 9u + 40 = 78
8) 12 + 3q = 84
9) 15 + 6r = 69
10) 8 + 7x = 71
11) 24 + 8y = 58
12) 18 = 4y + 2
13) 81 – 55 = 6 + 5a
14) 14 – 9 = 3u – 4
15) 6
5
5
3
2
1 =+ x
16) 15
17
5
3
5
4 =+ x
17) 6
5
12
11
8
3 =+ x
V) Resuelve las siguientes ecuaciones con incógnita en ambos lados de la ecuación:
1) 5j - 9 = 3j + 5
2) 2k + 7 = 12 - 3k
3) 10 - 4x = 18 - 6x
4) 5m - 3,2 = 2m + 2,8
5) 5n + 12 = 25 – 4n + 5
6) 3ñ - 15 - 14 = ñ – 11
7) - 13 + 12p = - 1 - 24p
8) 8
1
6
5
3
2
4
3 +=+ xx
9)4
3
6
5
5
4
2
1 +=+ xx
25
I) Resuelvelos siguientes problemas utilizando ecuaciones:
1) Al dinero que tengo le sumo $5.000 y me quedan $9.000, ¿cuánto dinero tenía?
2) Me compré un helado y me sobraron $7.110. Si pagué con un billete de $10.000, ¿cuánto me costó el helado?
3) Si la mitad de cierto número es 13, ¿cuál es el número?
4) Los dos séptimos de un número son 8, ¿de qué número se trata?
5) En una fábrica se producen 120 jabones cada día. El número total de jabones producidos es 3.000, ¿cuántos días se trabajaron?
6) El perímetro de un cuadrado es 84 cm, ¿cuánto mide el lado del cuadrado?
7) Un granjero desea hacer un corral para guardar sus animales, el terreno del cual dispone
tiene forma rectangular y su perímetro mide 60 m. Si el largo del terreno mide 20 m, ¿cuánto mide el ancho?
8) Eugenia y Ramón tienen $20.000. Si Eugenia tiene $6.000 más que Ramón, ¿cuánto
dinero tiene Ramón?
9) Juan tiene $2.000 más que Pepe y entre los dos tienen $12.000, ¿cuánto dinero tiene Pepe?
10) Antonia ha gastado $3.500 más que Ignacia. Si entre los dos han gastado $15.800, ¿cuánto gastó Antonia?
11) En un triángulo isósceles sus ángulos basales miden 84°, ¿cuánto vale el otro ángulo?
12) El suplemento de un ángulo es 55°, ¿cuánto mide el ángulo? 13) Calcular la medida del ángulo x del triángulo de la figura
14) Si m y n son rectas paralelas, calcular el valor del ángulo α en la figura
x
2x
3x
m
n 2x
3x α
26
UNIDAD: POTENCIAS
GUÍA:POTENCIAS
II) Escribir como potencia.
1) 2 • 2 • 2 • 2 =
2) 3 • 3 =
3) 4 • 4 • 4 • 4 =
4) 5 • 5 • 5 =
5) 1 • 1 • 1 •1 • 1 • 1 • 1 • 1 • 1 =
6) 6 • 6 • 6 •6 • 6 =
7) 7 • 7 • 7 =
III) Calcular el valor de las siguientes potencias: 1) 112 =
2) 122 =
3) 192 =
4) 252 =
5) 282 =
6) 302 =
7) 33 =
8) 73 =
9) 93 =
10) 24 =
11) 54 =
12) 37 =
IV) Completa con los símbolos >, < o = según corresponda:
1) 23 __ 32
2) 43 __ 26
3) 82 ___ 43
4) 62 ____ 34
5) 34 ____ 92
6) 63 _____ 34
27
GUÍA : POTENCIAS Y RAICES I) Calcula el valor de cada potencia.
2
3 6)
5
1 5)
5
2 4)
3
2 3)
3
1 2)
4
1 1)
543322
II) Calcula el valor de cada potencia. 1) (1,25)3 2) (0,25)3 3) (0,01)5 4) (0,5)35) (1,5)2 6) (0,02)3 III) Encuentra el exponente de cada potencia para que se cumpla la igualdad.
( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] 2515 3) 216 6 2) 128 2 1) ______ === V) Calcula el valor de las siguientes raíces cuadradas
1) 25 = 5) 81 = 9) 36 =
2) 16 = 6) 225 = 10) 64 =
3) 49 = 7) 100 = 11) 121 =
4) 289 = 8) 256 = 12) 400 = VI) Calcula el rango donde se encuentra el resultado de las siguientes raíces:
1) =27
2) =18
3) =39
4) =50
5) =66
6) =84
7) =99
8) =120
9) =615
28
GUÍA: MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE POTENCIAS
I ) Aplica la propiedad de la multiplicación de potencias y calcula el valor de la potencia resultante:
1) 3 3 · 34 · 3 =
2 ) 5 7 · 53 =
3 ) 2 5 · 24 · 2 =
4) 23 · 24 · 22
5 ) 4 2 · 43 =
6) 25 x 24 =
7) 35 x 36 =
8) 13 · 14 · 15 =
9) 104· 107 =
10) 3 4· 3 6 =
11) 41 · 42· 44 =
12 ) 2 2 · 23 · 24 · 24 =
13 ) 3 1 · 33 · 34 =
14)
3
3
4
·
3
3
4
=
15 )
7
7
4
·3
7
4
=
16)
3
3
1
·
5
3
1
=
17)
3
2
3
·
4
2
3
=
II) Aplica la propiedad de la división de potencias y calcula el valor de la potencia resultante:
1) 17: 14=
2) 35 : 32 =
3) 48 : 43 =
4) 78 : 76 =
5)
8
3
7
:
5
3
7
=
6) 8
3
1
:
5
3
1
=
7)
3
2
3
:
2
3=
29
GUÍA: POTENCIAS DE 10
I)Escribe el valor de las siguientes potencias: 100= 103= 107 = 106= 101= 102 = 104 = 108 = II)Descomponer los siguientes números, utilizando base 10. Como lo indica el primer ejercicio 1) 492 = 4 • 100 + 9 • 10 + 2 • 1 = 4 •102 + 9 • 101 + 2 • 1 2) 3.409 = 3) 6.000 4) 1.234.456 = 5) 17.435.692 = 6) 239.876.551= 7) 1.345.897= III)Escribe el valor de las siguientes potencias: 10-1 = 10-2 = 10-3 = 10-4 = 10-5 = 10-6 = 10-7 = 10-8 = IV) Descomponer los siguientes números, utilizando base 10. Como lo indica el primer ejercicio 1) 0,392 = 3•10-1 + 9 • 10-2 + 2 • 10-3
2) 0,034 = 3) 0,06 = 4) 0,1235 = 5) 0,435692 =
6) 0,239876 = 7) 3,5= 8) 2,47= 9) 3,06= 10) 1,008=
30
GUÍA: POTENCIAS DE IGUAL EXPONENTE
I) Aplica la propiedad de la multiplicación de potencias y calcula el valor de la potencia resultante:
1) 42 · 52=
2) 53· 33 =
3) 54· 64 =
4) 72· 82=
5) (3 · 5)3 =
6) (3 · 5 · 6) 3=
7) 2,72 ·0,52=
8) 0,165·2,55 =
9) =
⋅⋅⋅4
62
14
4
1
10) =
⋅
33
2
3
3
2
11) =
⋅
44
2
3
5
2
12) =
⋅
44
2
4
15
2
13) =
⋅
77
2
16
15
3
II) Aplica la propiedad de la división de potencias y calcula el valor de la potencia resultante:
2) 13: 13=
3) 32 : 52 =
4) 35 : 45 =
5) 27 : 47 =
6) 249 : 89 =
7) 212 : 32 =
8) 3,83 :0,023
9) 76 : 76 =
10) 2,46 : 0,36 =
11) 102 : 102 =
12) =
÷
33
2
3
3
2
13) =
÷
44
2
3
5
2
14) =
÷
55
2
4
15
2
15) =
÷
77
2
16
15
3
31
UNIDAD: MEDICIÓN
GUÍA EQUIVALENCIAS DE UNIDADES DE LONGITUD
I) Convertir a la unidad solicitada: 1) 58 m a cm:
2) 150 cm a mm:
3) 370 cm a dm:
4) 20 mm a m:
5) 15 km a m:
6) 0,12 km a m:
7) 7.685 cm a m:
8) 0,8 hm a km:
9) 106 cm a km:
10) 1,82 dam a km:
11) 2,8 dam a dm:
II) Resuelve los siguientes ejercicios:
1) ¿Cuál es la cuarta parte de 20 m? (expresar en cm)
2) ¿Cuántos metros se deben agregar a 1 km para que sea equivalente a 1.700 m?
3) ¿Cuál es el perímetro del triángulo que se muestra en la figura? (expresar en cm)
4) Un terreno para pastar, de forma cuadrada, tiene 305 dm de lado. Si se quiere cercar con cinco vueltas de alambre. ¿Cuán metros de alambre se necesitarán?
5) Una carrera ciclística comprende tres etapas y su recorrido total es de 725 km. La primera etapa comprende 249,6 m y la segunda es de 31.500 dam. ¿Cuál es la distancia a recorrer en la tercera etapa? (expresar en km)
6) De un rollo de alambre que tiene 45 m, se venden sucesivamente 5,4 m, 80 cm, 170 dm y 1.200 mm. ¿Cuántos metros quedan en el rollo?
7) Un joven recorre un cuarto de distancia entre dos ciudades a pie, un quinto en bicicleta y
los 55 km en tren. ¿Cuál es la distancia entre las dos ciudades? (expresar en km)
32
GUÍA EQUIVALENCIAS DE UNIDADES DE SUPERFICIE
I) Convertir a la unidad solicitada: 1) 27 m2 a cm2:
2) 230 cm2 a mm2:
3) 510 cm2 a dm2:
4) 80 mm2 a m2:
5) 34 km2 a m2:
6) 0,94 km2 a m2:
7) 6.492 cm2 a m2:
8) 0,7 hm2 a km2:
9) 203 cm2 a km2:
10) 3,28 dam2 a km2:
11) 1,4 dam2 a dm2:
II) Resuelve los siguientes ejercicios:
1) Un terreno para pastar tiene 3000 dm2 de superficie. Si se quiere sembrar con alfalfa.
¿Para cuántos metros cuadrados se deben comprar las semillas?
2) ¿A cuántos m2 equivale 13.462 ha (hectáreas)?
3) ¿A cuántos dm2 equivale 92 m2?
4) Una fotografía rectangular se ha pegado en una cartulina en blanco como se muestra en la figura. ¿Cuál es el área del papel que no ha sido cubierta por la fotografía? (expresar en cm2)
5) ¿Cuál es el orden de menor a mayor de las medidas: a = 5,2 m2, b = 540 dm2, c = 0,72 m2, d = 7,1 x 104 cm2?
6) El área de un terreno rectangular es de 36 m2. Si el lado menor mide 40 dm, ¿cuánto mide el lado mayor? (expresar en dm)
7) En un salón de reuniones se coloca una alfombra rectangular de 2,4 m de largo por 20 dm de ancho y cubre la novena parte del mismo. Si el salón es rectangular y posee 7,2 m de largo. ¿Cuál es el ancho del salón? (expresar en dm)
45 cm
6 dm
2 dm 0,4 m
33
GUÍA DE ÁREAS Y PERÍMETROS
I)Calcular el área y el perímetro de las siguientes figuras: 1) 2) 3)4) 5) 6) 7) 8)
8 m
4 m
A = P =
8 m
8 m
A = P =
A = P =
44 m
22 m
17 cm.
29 cm.
A = P =
13 m
13 m
A = P =
24 m
24 m
A = P =
A = P = 35 m
15 m
32 m 32 m
A = P =
34
II)Calcular el área y el perímetro de las siguientes figuras: 1) 2) 3) 4)
5) 6)
9m.
8 m.
6 m.
12 m.
A= P=
3 m
5 m
6 m
A= P=
A= P=
12 cm.
8 cm. 4 cm.
4 cm.
3 cm.
A= P=
10 cm.
6 cm.
4 cm.
3 m.
8 m.
A= P=
A= P=
4 cm.
4 cm.
2 cm. 2 cm.
5 cm.
6 cm.
35
III) Resuelve los siguientes problemas:
1) Calcular el perímetro de un cuadrado de lado:
a) 5 cm b) 8 mm c) 0,078 m d) 0,23 cm e) 7 dm
2) Calcular el perímetro de un rectángulo cuyo largo mide 8 cm y el ancho mide 5 cm.
3) Calcular la medida del lado de un cuadrado cuyo perímetro es 48 cm
4) Determinar los perímetros de los siguientes cuadriláteros:
a) Un cuadrado de lado 7,3 cm b) Un rectángulo de largo 8,6 m y de ancho 62 cm. c) Un rectángulo de largo 8 Km y de ancho 36 Hm
5) Ana María recorre una cancha, que mide 20m de largo y 16 m de ancho. Si da 3 vueltas
alrededor de ella. ¿Cuántos metros recorrió?
6) Un ring cuadrado de lado 14m, se ha cerrado con 3 corridas de cuerdas. ¿Cuántos metros de cordel se ha empleado?
7) Una cancha rectangular tiene un perímetro de 320m, calcular cuánto mide el lado de la cancha si el otro lado mide 60m.
8) Paula acaba de fabricar una piscina en su casa de 4,5 m de largo y 2,5 m de ancho. Desea poner reja a su alrededor como medida de protección, si tiene un enrejado de 15 m de longitud ¿Le alcanza la cantidad de material?
9) Andrea necesita tapizar una silla de base cuadra de lado 50 cm. Para pegar el género con el cual tapizará usará una cinta adhesiva especial para este tipo de trabajo ¿Cuántos centímetros necesita de cinta?
10) Un atleta entrena diariamente corriendo alredor de un parque que tiene forma rectangular, con 3 Km de largo y 2 Km de ancho. Si actualmente recorre 3 vueltas diarias,¿Cuántos kilómetros habrá recorrido en una semana?
36
GUÍA DE TRIÁNGULOS “ TEOREMA DE PITAGORAS”
I) Calcular el valor de la hipotenusa en los siguientes triángulos rectángulos: 1) 2) 6 mm 3 cm x x y 8 mm 4 cm 3) 4) z 5 cm 12 cm 8 m 15 m x 5) 9 cm 6) 12 cm 10 m y x 24 m
II) Calcular el valor de cada cateto 1) 9 cm 2) 26 mm z 24 mm 15 cm y 3) 4) 34 cm x 8 m 30 cm y 10 m
37
III) Calcular el perímetro y el área de las siguientes figuras. 1) ABCD es un cuadrado, BCE es un triángulo rectángulo, CE = 13 cm y BE = 5 cm A = P = 2) Triángulo ABC es isósceles de base AB, AD = DB, CD = 12 cm y CB = 13 cm C A = P = A D B 3) ABCD es un rectángulo AC = 17 cm , AB = 15 cm , BE = 6 cm. D C A = P = A E B 4) ABCE es un rectángulo, BD = 18 cm, DE = 17 cm, AE = 10 cm A = P =
C
B E
D
A
C
A B
D 17 cm
10 cm
18 cm
X
E
38
IV) Los siguientes datos corresponden a la medida de los lados de triángulos. ¿Cuáles son rectángulos?
1) 3 cm., 4 cm., 5 cm. 4) 12 cm., 16 cm., 20 cm. 2) 3 cm., 6 cm., 8 cm. 5) 8 cm., 15 cm., 17 cm. 3) 20 cm., 75 cm., 85 cm. 6)5 cm., 12 cm., 13 cm. V) Calcular la altura sobre la base del triángulo isósceles cuyos lados miden: 1) 17 cm., 17 cm., 16 cm. (base) 5) 7 cm., 7 cm., 10 cm. 2) 15 cm., 15 cm., 18 cm. (base) 6) 8 cm., 8 cm., 5 cm. 3) 26 cm., 26 cm., 20 cm. (base) 7) 23 cm., 23 cm., 10 cm. 4) 13 cm., 13 cm., 10 cm. (base) 8) 61 cm., 61 cm., 22 cm. VI) Resuelve los siguientes problemas:
1) Un albañil apoya una escalera de 5m. contra un muro vertical. El pie de la escalera está a 3 metros del muro. Calcular la altura a la que se encuentra la parte superior de la escalera.
2) Una cancha de fútbol mide 90 m. de ancho y 120 m de largo, el máximo permitido por el
reglamento. Un jugador quiere recorrer la máxima distancia sin cambiar de dirección ¿podrías indicar cuál es y calcular esa distancia?
3) Una antena repetidora de televisión mide 40 metros de altura. Se quiere sujetar al suelo
con tres cables. Si las fijaciones del suelo están a 30 metros de la base, ¿cuál es la longitud de estos cables?
4) ¿Qué altura debe tener una bodega para colocar toneles de vino, tal como se indica en la
figura, si el diámetro de cada tonel es de 2 metros?
5) El teleférico de la ciudad A sale de la base de una montaña sube hasta su cima y acaba en la ciudad C. Observa el siguiente esquema y calcula:
a) ¿Qué distancia recorre el teleférico desde la ciudad A hasta la ciudad C?
b) ¿Qué distancia hay entre las ciudades A y C?
600 m
800 m 1700 m
A C
B
39
GUIA VOLUMENES
I) Resolver los siguientes problemas usando equivalencia de unidades de volumen: 1) Un laboratorio farmacéutico envasa el alcohol en frascos de cuatro tamaños. Observa el volumen en centímetros cúbicos de cada frasco y calcula la capacidad en litros de cada frasco.
2) Un taller vende bidones de agua destilada. Observa la capacidad en litros decada uno de los bidones y calcula el volumen en cm3de cada bidón.
3) Completa la siguiente tabla, transformando a la unidad que corresponda:
mm 3 cm 3 dm 3 (litro) m3
7 200 500
325.000 8.375 12,5 27,54
4) ¿Cuántas botellas de 750 cm3 se necesitan para envasar 12 litros de leche? 5) Una piscina tiene una capacidad máxima de 15 m3 ¿con cuántos litros se llena? 6) El estanque de agua deuna casa de la playa es de 7.000 litros ¿Cuántos m3 tiene dicho estanque? 7) Luis compra 15 cajas de jugos de 200 cm3 ¿Cuántos litros de jugo compró Luis?
40
8) En una de sus mayores crecidas el río Mapocho registró un caudal de 108 m3 por segundo ¿A cuántos litros equivale? 9) Un remedio viene en una botellita de 50 ml; la dosis que debe recibir el hijo recién nacido de Carmen es de 5 gotas diarias. Si el remedio duró 10 días ¿Cuál es el volumen de la gota de remedio medida en cm3? 10) Se ha calculado que el volumen de 20 gotas de un líquido es 40 ml ¿Cuántos mm3 tiene una gota de ese líquido? II) Calcula el volumen de los siguientes cuerpos de acuerdo con las medidas dadas: 1) El prisma de la figura mide 10 cm de largo, 15 cm de ancho y 7 cm de alto 2) La pirámide tiene un área basal de 15 cm2 y una altura de 18 cm 3) El prisma triangular tiene por base un triángulo cuya área es 120 cm2 y una altura de 20 cm 4) La pirámide tiene una basa cuadrada cuyo lado mide 6cm y una altura de 16 cm 5) El prima tiene 40 cm de largo, 25 cm de ancho y 12 cm de alto; entregar el resultado en litros
41
III) Resolver los siguientes problemas 1) Calcular el volumen de un cubo de arista 5 cm.
2) ¿Cuál es el volumen de una pirámide recta de base triangular, cuya base mide 15 cm2 y su altura 25 cm?
3) ¿Cuál es el volumen de una pirámide recta de base cuadrada, cuya arista basal mide 10 cm y su altura 30 cm?
4) ¿Cuál es el volumen de una pirámide recta de base cuadrada, si el perímetro de su base es 36 cm y su altura es 4 cm?
5) ¿Cuál es el volumen de un prisma recto que tiene como base un cuadrado de lado 6 cm y cuya altura es de 15 cm?
6) Un helado viene en una caja de 30 cm de largo, 10 cm de ancho y 5 cm de alto ¿Cuántos litros
de helado trae la caja? 7) ¿Cuál es el volumen máximo, en litros, que puede contener un recipiente con forma de prisma
recto de base triangular si su base tiene un área de 0,3 m2 y su altura es de 0,5 m? 8) Un chocolate tiene forma de prisma recto de base triangular cuya base tiene 5 cm2 y cuya
altura es de 30 cm si cada porción del chocolate tiene un volumen de 25 cm3, ¿cuántas porciones de chocolate trae uno de estos chocolates?
9) Una caja de fósforos grande mide 100 mm de largo, 50mm de ancho y 10mm de alto. Un fósforo de la caja mide 50mm de largo, 2 mm de ancho y 2 mm de alto. ¿Cuántos fósforos caben en la caja?
10) Manuel tiene en su casa vasos hexagonales de 14cm2 de base y 10 cm de alto, él los llena con bebida hasta la mitad. ¿Cuántos de estos vasos puede servir con una botella de 3,5 litros de bebida?
11) Si la capacidad de un prisma recto es de 2 litros y su altura es de 40 cm, ¿cuál es la medida de su área basal?
12) Si la capacidad de un prisma recto de base cuadrada es de 256 litros y su altura mide 40 cm, ¿cuánto mide la arista basal?
13) Un florero tiene forma de prisma triangular cuya base mide 25 cm2 y una altura de 40 cm; para poner flores en él se requiere llenarlo hasta sus tres cuartas partes ¿Cuántos litros de agua son necesarios?
42
14) Una piscina mide 4 m de ancho, 6 m de largo y 1,5 m de hondo:
a) ¿Cuál es la máxima cantidad de agua que puede contener?
b) La piscina se llena con una llave que entrega 6 litros por minuto ¿Cuánto se demora en llenar la piscina?
15) Una industria quiere envasar 30 litros de bebida en cajitas con forma de prisma recto cuya área
basal es de 20 cm2 y la altura es de 10 cm, ¿cuántas cajitas se pueden llenar?
16) Se dispone de una llave para llenar una piscina con forma de prisma recto de base rectangular, la cual aporta 100 litros en 1 minuto. Si la piscina mide 400 cm de ancho, 700 cm de largo y 150 cm de alto, ¿cuánto se demora en llenar?
17) Se quiere vaciar 5 litros de bencina en un recipiente mediante un embudo con forma de pirámide de base cuadrada, cuya arista basal es de 10 cm y su altura es de 15 cm. ¿Cuántas veces se deberá usar este embudo a su máxima capacidad?
18) Un grupo de 50 turistas queda atrapado en el interior de una pirámide de base cuadrada, cuya arista basal mide 20 m y su altura es de 15 m. Si cada persona consume 10 litros de aire por minuto, ¿para cuántos minutos alcanzará el aire?
43
A
E
C
D
F
B
GUIA VARIACIONES DE PERÍMETROS Y VOLÚMENES 1) En un triángulo el perímetro es 24 m. Si todos sus lados aumentan al doble ¿Cómo varía el perímetro? 2) En una triángulo se trazan sus tres medianas quedando cuatro triángulos dentro del original como se ve en la figura ¿Qué relación existe entre el perímetro del triángulo ∆ABC con el perímetro del ∆DEF 3) En un rectángulo cuyos lados miden 8 cm y 6 cm los lados mayores disminuyen a la mitad y los menores aumentan el doble ¿En cuánto varía el perímetro del rectángulo? 4) En un rectángulo el perímetro es 40 m, siendo uno de sus lados de 12 m ¿En cuánto varía el perímetro del rectángulo si el lado menor aumenta en 4 cm y el lado mayor se mantiene? 5) En un rectángulo sus lados disminuyen a la mitad ¿Cómo varía su perímetro? 6) ¿Cuántas veces es menor el perímetro de un cuadrado cuyo lado mide 6 cm, comparado con el perímetro de otro cuadrado cuyo lado mide el triple? 7) En un cuadrado que ocurre con su perímetro si sus lados:
a) Aumentan al doble b) Disminuyen a la mitad c) Aumentan tres veces d) Disminuyen a su cuarta parte e) Aumentan 10 veces f) Aumentan n veces
8) ¿Cuántas veces más grande es un cubo de arista 4 cm comparado con otro cubo cuya arista es 2 cm? 9) Si la arista de un cubo se reduce de 6m a 2m ¿Cuántas veces se reduce su volumen? 10) En un cubo la arista aumenta de 4 cm a 12 cm ¿Cuántas veces aumenta el volumen del cubo? 11) Qué pasa con el volumen de un cubo si:
a) La arista aumenta al doble b) La arista aumenta al triple c) La arista aumenta 10 veces d) La arista aumenta n veces e) La arista disminuye a la mitad f) La arista disminuye a la tercera parte g) La arista disminuye a la cuarta parte h) La arista disminuye a la enésima parte
12) Un refrigerador mide 80 cm de ancho, 60 cm de ancho y 200 cm de alto; otro refrigerador mide 50 cm de largo, 40 cm de ancho y 120 cm de alto ¿Cuántas veces es mayor el volumen del primer refrigerador? 13) En una caja el largo es 30 cm, el ancho 20 cm y el alto 10 cm ¿Cuántas veces es mayor el volumen de otra caja cuyo largo es el triple, el ancho el doble y el alto es cinco veces mayor?
44
14) Si un cuerpo aumenta su largo al triple, su ancho 6 veces y su alto 4 veces. ¿Cuántas veces aumenta su volumen? 15) Una caja tiene un largo ‘a’ veces mayor que otra, un ancho ‘b’ veces mayor y un alto ‘c’ veces mayor ¿Cuántas veces mayor es el volumen de la primera caja? 16) Un cuerpo tiene 12 cm de largo, 8 de ancho y 15 de alto; si el largo aumenta al triple, el ancho disminuye a la mitad y el alto no varía ¿Cuántas veces aumenta el volumen del cuerpo? 17) Dos pirámides tienen bases del mismo tamaño la altura de la primera es la mitad de la altura de la segunda ¿Cómo varía el volumen? 18) ¿Cuántas veces disminuye el volumen de una caja si su largo disminuyó a la mitad, su ancho a la tercera parte y su alto a la cuarta parte? 19) Se tiene una pirámide recta de base cuadrada cuyo perímetro es 12 cm y su altura es de 5 cm:
a) ¿Cómo varía el volumen de la pirámide, si el perímetro de la base disminuye a la mitad y la altura se mantiene?
b) ¿Cómo varía el volumen de la pirámide, si el perímetro de la base aumenta al doble y la altura se mantiene?
c) ¿Cómo varía el volumen de la pirámide, si el perímetro se mantiene constante y la altura disminuye a la mitad?
d) ¿Cómo varía el volumen de la pirámide, si el perímetro se mantiene constante y la altura
aumenta al doble?
45
UNIDAD: ESTADÍSTICA E INTRODUCCIÓN A LA PROBABILIDA D GUÍA ESTADÍSTICA
a) Para conocer la preferencia en el pan que comen los clientes de un supermercado, se realiza una encuesta a las personas que compran en la sección de panadería.
• ¿Cuál es la variable en estudio?
• ¿Qué tipo de variable es?
• ¿Cuál es la población en estudio?
• ¿Cuál es la muestra?
• ¿Es representativa la muestra? Justifica
b) En el Colegio Santo Domingo se realiza una encuesta para saber cuántos hermanos tienen
los alumnos, para ello se seleccionan 5 alumnos al azar de cada curso.
• ¿Cuál es la variable en estudio?
• ¿Qué tipo de variable es?
• ¿Cuál es la población en estudio?
• ¿Cuál es la muestra?
• ¿Es representativa la muestra? Justifica
c) En un hospital se desea conocer el peso promedio de los recién nacidos, para ello se
encuesta a las mamás que se encuentran en las habitaciones del sector norte de maternidad.
• ¿Cuál es la variable en estudio?
• ¿Qué tipo de variable es?
• ¿Cuál es la población en estudio?
• ¿Cuál es la muestra?
• ¿Es representativa la muestra? Justifica
d) El alcalde de Linares desea saber el estrato socioeconómico predominante de los
habitantes de su comuna, para ello selecciona al azar 100 encuestas realizadas por los censistas ese año.
• ¿Cuál es la variable en estudio?
• ¿Qué tipo de variable es?
• ¿Cuál es la población en estudio?
• ¿Cuál es la muestra?
• ¿Es representativa la muestra? Justifica
46
GUÍA DE ESTADÍSTICA
I) Clasifica las siguientes variables estadísticas en: cualitativa, cuantitativa discreta o cuantitativa continua.
1) Gustos musicales = 2) Tiempo cronológico = 3) Cantidad de personas = 4) Color de ojos = 5) Estatura =
6) Marca de celular = 7) N° de hermanos = 8) Sabor de helado = 9) Países = 10) Masa corporal =
II) Completar las tablas a partir de las situaciones planteadas y luego elaborar el gráfico más adecuado para cada una de estas tablas. 1) Los siguientes datos corresponden a los colores de ojos de los integrantes de un club vecinal: Café Verde Café Azul Café Café Café Negro Café Azul Café Verde Negro Café Verde Verde Negro Café Azul Café a) Completar la tabla de frecuencias con los datos dados: Color de ojos Frecuencia absoluta Frecuencia relativa Azul Café Negro Verde 2) El conjunto de números que aparece a continuación corresponde a las estaturas (cm) de los seleccionados de básquetbol de un colegio: 168 177 183 159 166 172 170 184 158 172 174 178 173 173 177 166 163 174 165 162 184 182 179 171 180 a)Completar la siguiente tabla: Estatura (cm) Frecuencia absoluta Frecuencia relativa 155 – 160 160 – 165 165 – 170 170 – 175 175 – 180 180 – 185
47
3) Roberto ha entrenado para correr los 100 metros planos, los siguientes datos son sus tiempos en segundos en los entrenamientos oficiales: 11,23 11,08 11,34 11,47 11,32 11,04 11,17 10,98 11,02 11,46 10,99 11,45 11,12 11,43 11,21 a) Completar la siguiente tabla: Tiempo (segundos) Frecuencia absoluta Frecuencia relativa 10,90 – 11,00 11,00 – 11,10 11,10 – 11,20 11,20 – 11,30 11,30 – 11,40 11,40 – 11,50
4) Las masas de los jugadores de una selección de tenis son: 72 68 63 77 81 72 83 64 71 70 68 74 61 73 72 65 80 79 76 77 a) Completar la siguiente tabla: Masa (Kg ) Frecuencia absoluta Frecuencia relativa 60 – 65 65 – 70 70 – 75 75 – 80 80 – 85 5) Los números que aparecen a continuación corresponden a la cantidad de personas que viven en la casa de los alumnos de un curso: 4 6 6 4 5 5 3 2 6 5 4 3 3 5 6 4 7 6 4 5 7 2 3 3 4 a) Completar la siguiente tabla: N° de personas Frecuencia absoluta Frecuencia relativa 1 2 3 4 5 6 7
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6) Los siguientes datos corresponden a la respuesta a la pregunta ¿Cuál es tu deporte favorito? Tenis Fútbol Fútbol Tenis Fútbol Fútbol Atletismo Basquetbol Natación Atletismo Fútbol Basquetbol Tenis Fútbol Fútbol Básquetbol Fútbol Atletismo Tenis Basquetbol Fútbol Fútbol Basquetbol Tenis Basquetbol Fútbol Fútbol Natación a) Completar la siguiente tabla: Deporte Frecuencia absoluta Frecuencia relativa Tenis Básquetbol Fútbol Atletismo Natación
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GUÍA DE PROBABILIDAD I) Determinar si las muestras seleccionadas en las siguientes situaciones son representativas, fundamentar: 1) Para saber las preferencias de sus clientes un supermercado diseña una encuesta y se la aplica a sus clientes durante un mes mientras pagan en las cajas 2) Se pretende saber los lugares favoritos donde se recrean los escolares de una comuna; para ello se seleccionan al azar 5 establecimientos educacionales para aplicar una encuesta a sus alumnos 3) Se pretende saber el grado de satisfacción de los usuarios del metro para ello se les pregunta a los usuarios a la salida de las estaciones más concurridas todos los días de una semana entre las 7 y las 10 de la mañana 4) Se desea estudiar los hábitos de alimentación de los niños menores de 5 años de una comuna, para ello se selecciona al azar a los padres de los niños matriculados en los jardines infantiles de una comuna. 5) El presidente del centro de alumnos de un colegio necesita programar actividades que sean del gusto de los estudiantes, pare ello le pregunta a los jóvenes de cuarto medio que es lo que a ellos les gustaría realizar. 6) Para medir la limpieza del agua de un canal se extraen muestras todos los días a medio día. II) Calcular la probabilidad en las siguientes situaciones a partir de las siguientes tablas o información: 1) La tabla muestra las frecuencias de un dado cargado Cara 1 2 3 4 5 6 Frecuencia relativa(%)
8 10 9 7 8 58
Cuál es la probabilidad de que al lanzar ese dado:
a) ¿Se obtenga 6? b) ¿Se obtenga un 1? c) ¿Se obtenga un número par? d) ¿Se obtenga un número mayor que 3?
2) La tabla muestra los resultados de los alumnos de un octavo básico en la prueba de probabilidad Si se saca un alumno al azar. Cuál es la probabilidad de:
a) ¿Qué el alumno tenga un 7? b) ¿Qué el alumno tenga nota igual o superior a
6,0? c) ¿Qué alumno tenga nota desde 4,0 a 5,9?
Nota Frecuencia relativa(%) 1,0 a 3,9 5 4,0 a 4,9 8 5,0 a 5,9 32 6,0 a 7,0 55
50
17%
45%
26%
12%
Perdió
Gano
Empató
No jugó
3) Se sabe que Juan se tiene que operar de unan hernia, él sabe que de 750 casos registrados como el suyo sólo 15 han tenido complicaciones ¿Cuál es la probabilidad que Juan no tenga complicaciones en su operación? 4) Fernando acierta en 15 de cada 20 penales que ejecuta ¿Cuál es la probabilidad que Fernando se equivoque al lanzar un penal? 5) El gráfico muestra los resultados del equipo favorito de Rodrigo las veces que el ha ido al estadio Calcular la probabilidad de que estando Rodrigo en el estadio su equipo:
a) No juegue b) Gane c) Pierda d) Juegue
6) La tabla muestra la cantidad de vueltas a una pista de atletismo que lograron realizar los alumnos de un curso, completar la tabla y calcular las probabilidades usando decimales
Número de vueltas Frecuencia relativa 5 o menos 0,03
6 0,15 7 0,27 8 0,38 9 0,11
10 o más 0,06 Calcular la probabilidad que un alumno de ese curso haya:
a) Dado exactamente 6 vueltas b) Dado más de 7 vueltas c) Dado menos de 8 vueltas
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GUÍA: CUADRILÁTEROS I) Clasificar los siguientes cuadriláteros en: Paralelogramo, trapecio y trapezoide. 1) AB // CD; AD // BC 2) AB // CD _________________ ____________________ 3) No hay lados paralelos 4) AB // CD; BC // AD ___________________ ___________________ 5) AB // CD 6) AB // CD; AD // BC ________________________ _____________________
AB
C D
A B
C D
A
B
C
D
AB
C D
A B
C D
A B
DC
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II) Considera los siguientes paralelogramos y responde las preguntas que están a continuación
1) 2) 3) 4) 5) 6) a) ¿Cuál es un cuadrado? ______________________
a) ¿Cuál es un rectángulo? _____________________
b) ¿Cuáles son rombos? _______________________
c) ¿Cuáles son romboides? ____________________
a
a a
a
a a
b
b
a a
a a
a b
b a
a a
b
b a
a
a a
53
III) Determinar el o los ángulos pedidos en cada figura. a) ABCD cuadrilátero ∠ CDA = 80º, ∠ X = b) ABCD cuadrilátero∠ DAB = 90º, ∠DCB=100º, ∠ ABC = 35º, ∠ X = D C A X C D X B A B ∠ X = ∠ X = c) ∠CDA = 50º y ∠DAB = 130º; DC // AB d) ABCD cuadrilátero γ = 2β ∠ X = Calcular ∠ X + Y = D X C D γ C A β B Y X A B ∠ X = ∠ X =
54
e) ABCD es un rombo calcular ∠ X y ∠Y f) ABCD es un romboide calcular ∠ X, ∠Y D 130º C D C Y X Y A B 70º X B A
∠X = ∠ X =
∠ Y = ∠ Y =
g) ABCD trapecio rectángulo h) El trapecio PQRS es isósceles
∠β = 62º, ∠γ = ? ∠QRS = 130º,∠ SPQ =?
D C S R
γ
β P Q
A B ∠γ = ∠ SPQ = k) La figura es un paralelógramo l) La figura es un paralelógramo ∠ X = ∠ X = ∠ Y =
78º
Y
X
x
80º
55
m) ñ)
∠ X = ∠ Y = ∠ X = ∠ Y = ∠ Z = o) p)
∠ X = ∠ X = q) r) AB //CD
∠ X = ∠ Y = ∠ X = ∠ Y =
YX
119º106º
Y
X
Z
120º
X
115º 100º
75º
X
63º
93º
59º
Y
X
49º
69º
89º
YX
63ºA B
CD
52º
56
s) Los cuadriláteros de las figuras son paralelógramos.
Y
X
68º
∠ X = ∠ Y = ∠ X = ∠ Y = ∠ Z =
Y
X
46º
∠ X = ∠ Y = ∠ X = ∠ Y = ∠ A = ∠ B = ∠ C = ∠ X = ∠ Y = ∠ Z = t) La figura ABCD es trapecio rectángulo v) El cuadrilátero ABCD de la figura es un Entonces x = trapecio isósceles. Calcular α y β ∠ X = ∠α = ∠β =
YX
Z83º
Y
X
72º
X
2α αU
A
B
C
113º
X
4X α
βX
5X
57
GUÍA DE CUADRILÁTEROS
1. El cuadrilátero de la figura es un paralelogramo. D C
A) Si AB = 6 cm, ¿cuánto mide CD? δ γ B) Si BC = 10 cm, ¿cuánto mide AD? C) Considerando los datos anteriores,
¿cuál es el perímetro de l paralelogramo? D) Si α = 41º, ¿cuánto mide γ ? E) Si el perímetro del paralelogramo
es 28 cm y AB = 5 cm, ¿cuánto mide BC? α β A B
2. Los cuadriláteros de la figura son paralelogramos. Calcula la medida del ángulo pedido en cada caso.
A) B) γ
68º α 103º β
C) D) γ α 63º 56º E) F)
δ γ 50º β α β 109º
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3. El cuadrilátero de la figura es un paralelogramo. D C
A) Si MA = 4 cm, ¿cuánto mide MC? B) Si MD = 10 cm, ¿cuánto mide MB? M C) Si AD = 15 cm, ¿cuánto mide BC? D) Si DB tiene 3 cm más que AC y MC = 5 cm, ¿cuánto mide MB? A B
4. El cuadrilátero de la figura es un rombo. D C
A) ¿Cuánto mide el ángulo AMD? B) Si AB = 12 cm, ¿cuánto mide BC? M
¿Cuál es el perímetro del rombo? C) Si AM = 9 cm, ¿cuánto mide MC? D) Si AC = 16 cm y DB 12 cm,
¿Cuál es perímetro del rombo? (Teorema de Pitágoras) A B
5. Calcula la medida de los ángulos pedidos en los siguientes rombos.
A) B) δ ε 48º 50º
C) 23º D) φ 140º δ
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6. El cuadrilátero de la figura es un trapecio isósceles. D C
A) Si AD = 5 cm, ¿cuánto mide BC? δ γ B) Si α = 73º, ¿cuánto mide β? C) Si γ = 1081, ¿cuánto mide δ? D) Si δ = 123º, ¿cuánto mide α, β y γ?
α β A B
7. Calcula la medida de los ángulos pedidos en cada uno de los trapecios isósceles.
A) B) 43º β 113º δ α β ε φ
C) D) 40º δ 95º δ
60
POLÍGONOS IRREGULARES 8. Calcular el valor de x en cada una de los siguientes polígonos irregulares
90º 90º
150º 150º
X
75º
X
130º 130º
120º 85º
x 75º
X
75º
75º
60º
x
61
POLÍGONOS REGULARES 1) Calcular cuánto mide la suma de los ángulos interiores de los siguientes polígonos regulares a) b) c) d) e) f) g) h)
62
2) Calcular cuánto mide cada ángulo interior y exterior de los siguientes polígonos regulares a) b) c) d) e) f) g) h)
63
3) Calcular cuántas diagonales se pueden trazar en un polígono de a) b) c) d) e) f) g) h)
64
Resolver
a) ¿Cuál es el polígono cuya suma de los ángulos interiores vale 1260?
b) Determinar el polígono regular cuyo ángulo interior vale 135º
c) Hallar la suma de los ángulos exteriores de un heptágono
d) Hallar el valor de un ángulo exterior de un decágono regular
e) Hallar el valor de un ángulo exterior de un polígono regular de 20 lados
f) ¿Cuál es el polígono regular cuyo ángulo exterior vale 120º?
g) Calcular el número de diagonales que se pueden trazar desde un vértice de un pentágono
h) Calcular el número de diagonales que se pueden trazar desde un vértice de un octágono
i) Calcular el número de diagonales que se pueden trazar desde un vértice de un decágono
j) ¿Cuál es el polígono en el que se pueden trazar 3 diagonales desde un vértice?
k) ¿Cuál es el polígono en el que se pueden trazar 6 diagonales desde un vértice?
l) ¿Cuál es el polígono en el que se pueden trazar 0 diagonales desde un vértice?
m) Calcular el número total de diagonales que se pueden trazar en un octágono
n) ¿Cuál es el polígono en el que se pueden trazar 14 diagonales en total?
o) ¿Cuál es el polígono en el que se pueden trazar 20 diagonales en total?
