08 Losas Delgadas Kirchhoff

5/20/2018 08 Losas Delgadas Kirchhoff

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08 Losas delgadas

Teora de Kirchhoff

Diego Andrs Alvarez MarnProfesor Asociado

Universidad Nacional de Colo!ia"ede Manizales


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#n$rod%cci&n

'leen$os lainares delgados

Losas o (lacas )son eleen$os (lanos*

L+inas de s%(erficie c%rva

Losas,

Losas delgadas, $eora de Kirchhoff

Losas gr%esas )- delgadas*, $eora de .eissner/Mindlin


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Alg%nas definiciones

Placa, s&lido (aralele((edo en el %e %na des%s diensiones )es(esor t* es %cho +s(e%e1a %e las o$ras dos2

Plano medio de la placa, s%(erficie (lanae%idis$an$e de las caras a-ores de la (laca


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Teora de Kirchhoff vs Teora de.eissner/Mindlin

La $eora de Kirchhoff as%e %e las seccionesor$ogonales - (lanas al (lano edio de la (laca sean$ienen (lanas - or$ogonales des(%es de ladeforaci&n de la (laca2 La $eora de .M as%e %e sean$ienen (lanas (ero N3 or$ogonales des(%s de la

deforaci&n2

Kirchhoff, .eissner/Mindlin,


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4i(&$esis f%ndaen$ales de la$eora de Kirchhoff

5* Los (%n$os del (lano edio solo se des(lazanver$icalen$e u6 v6 0

7* Todos los (%n$os con$enidos en %na noral al (lanoedio $ienen el iso des(lazaien$o ver$ical

* 'l esf%erzo noral 9zes des(recia!le

:* Las secciones or$ogonales - (lanas al (lano edio

de la (laca se an$ienen (lanas - or$ogonalesdes(%es de la deforaci&n de la (laca2

;* 'l a$erial de la (laca es el+s$ico< lineal< iso$r&(ico -hoogneo


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Convenci&n de signos< e=es decoordenadas - des(lazaien$os


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Ca(o de des(lazaien$os

Vector de movimientos)con$iene losdes(lazaien$os - giros de %n (%n$o

del (lano edio de la (laca*2


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Ca(os de deforaciones -esf%erzos


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Le- de 4oo>e

Ma$riz cons$i$%$iva(ara %n eleen$oel+s$ico iso$ro(o

R d t


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?ec$or deoen$os)vec$or deesf%erzos

generaliza/dos*

'l s%! f%iere decir esf%erzos

de fle@i&n

?ec$or de deforaciones generalizadas defle@i&n )o vec$or de c%rva$%ras*

Ma$riz cons$i$%$iva de

fle@i&n generalizada

Recuerde que son momentospor unidad de longitud


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Princi(io de los $ra!a=os vir$%ales


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'c%aciones de e%ili!rio de la (laca


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'c%aci&n diferencial (arcial %edescri!e la flecha en %na (laca

's$a ec%aci&n diferencial (arcial =%n$o con s%scondiciones de fron$era es el (%n$o de (ar$ida(ara resolver anal$icaen$e (ro!leas de (lacasiso$r&(as2

D rigidez a fle@i&n de la (laca )fle@%ral s$iffness*2"&lo es v+lida (ara a$eriales el+s$icos e is&$ro(os

C di i d $


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Condiciones de con$orno


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B%erzas - esf%erzos cor$an$es

Una vez se res%elve la ec%aci&n diferencial

se calc%lan los oen$os (or %nidad de longi$%d

- las f%erzas cor$an$es (or %nidad de longi$%d

finalen$e< los esf%erzos +@ios se es$iancoo,


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Bor%laci&n de eleen$os fini$os

'l (ro!lea radica en la selecci&n de $rinosdel (olinoio -a %e cada al$erna$iva genera %neleen$o diferen$e )- alg%nos de ellos nof%ncionan en la (r+c$ica*2


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Definiciones

"e dice %e %n eleen$o fini$o es conforec%ando los des(lazaien$os - giros en$reeleen$os son con$in%os2

"e dice %e %n eleen$o c%(le la condici&n de(arcela c%ando es$o garan$iza %e lasol%ci&n converger+ a la $eorica al disin%ir el$aa1o de la alla2

"e dice %e el eleen$o $iene invarianzageo$rica c%ando el eleen$o )el (olinoio* no$iene direcciones (referenciales2


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'leen$orec$ang%lar

de c%a$ronodos MC

's$e eleen$o fini$of%e (ro(%es$o en5E: (or MeloshieFics< Che%ng)MC*2


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's$a selecci&n del ca(o de des(lazaien$osgaran$iza la invarianza geo$rica )el (olinoiono $iene direcciones (referenciales*2 3!serve %ea lo largo de los lados x6cons$ - y6cons$ la flechaw vara de ac%erdo con %n (olinoio de $ercer

grado2


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Las cons$an$es G5< G

7< 222< G

57se calc%lan haciendo

donde la a$rizAes$+ dada (or,


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U$ilizando f%nciones de fora< se (%ede e@(resarel des(lazaien$o ver$ical wcoo,

donde,

B%nciones de fora asociadas al nodo 5


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donde,

Para el c+lc%lo de las derivadas an$eriores %$ilizaos,

f

l d l


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.ee(lazando en el PT?

Carga (%n$%al - los dosoen$os flec$ores %e

e%ili!ran el nodo i

L $ i d i id $+ d d


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La a$riz de rigidez es$+ dada (or,



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f

'l vec$or de f%erzas nodales e%ivalen$es (ara%na carga %niforeen$e re(ar$ida de agni$%d qso!re el eleen$o es,

Binalen$e los oen$os flec$ores se calc%lan as,


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Binalen$e< los oen$os flec$ores se calc%lan as,


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'l eleen$o MK es no confore

's (osi!le deos$rar %e a%n%e el ca(o dedes(lazaien$os definido (or,

es$a!lece la con$in%idad de wen$re eleen$os< no

garan$iza< sin e!argo< la con$in%idad de las(rieras derivadas< e@ce($o en los nodos donde

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