MA-1223MA-1223Aljabar LinierAljabar Linier

Ruang Hasil Kali Dalam

Ruang Hasil Kali Dalam (RHD) Hasil kali dalam adalah fungsi yang mengaitkan setiap

pasangan vektor di ruang vektor V (Misalkan pasangan u dan v, dinotasikan dengan <u,v>) dengan bilangan real dan memenuhi 4 aksioma

(i) < u , v > = < v , u > (Simetris) (ii) < u + v , w > = <u , w > + < v , w > (Aditivitas) (iii) untuk suatu kR, < k u , v > = k < u , v > = < u , k v > (Homogenitas) (iv) < u , u > 0, untuk setiap u dan < u , u > = 0 u = 0 (Positifitas)

Ruang vektor yang dilengkapi dengan hasil kali dalam Disebut Ruang Hasil Kali Dalam

Panjang Vektor, Jarak antara dua Panjang Vektor, Jarak antara dua vektor, dan besar sudut dalam RHDvektor, dan besar sudut dalam RHD

Misal

u

w

dan

ada di V, maka

2/1u.uu

1. Panjang vektor

2/1wu,wuwu

2. Jarak dua titik

wu

w,ucos

3. Sudut antara

u

w

dan

Basis OrthonormalBasis Orthonormal Diketahui V ruang hasil kali dalam dan n321 v.,..,v,v,v

Beberapa definisi penting

adalah vektor-vektor dalam V

a. H = disebut himpunan ortogonal jika setiap n321 v.,..,v,v,v

vektor dalam V saling tegak lurus, yaitu 0v,v ji

Untuk i ≠ j dan i, j = 1, 2, 3, … ,n

b. G = disebut himpunan ortonormal jika n321 v.,..,v,v,v

- G himpunan orthogonal

1v,v ii

- Norm dari =1 i = 1, 2, 3, … ,n atauiv

DefinisiDefinisia. S = Adalah basis orthonormal untuk RHD V n321 v.,..,v,v,v

dan makaVu

dapat ditulis

nn332211 vv,u...vv,uvv,uvv,uu

b. Misal V RHD dan n321 v.,..,v,v,v

orthonormal dari vektor-vektor V. Jika W adalah ruang vektor yang dibangun oleh maka Vu

nn3322112 vv,u...vv,uvv,uvv,uuw

adalah himpunan

n321 v.,..,v,v,v

dimana w1 ada di W dan w2 ortogonal pada W dengan memisalkan

21 wwu

nn3322111 vv,u...vv,uvv,uvv,uw

dan

Metode Gramm SchmidtMetode Gramm Schmidt Metode ini digunakan untuk merubah suatu himpunan

vektor yang bebas linear menjadi himpunan yang orthonormal.

Jika yang akan ditransformasikan adalah himpunan vektor yang merupakan basis RHD V maka metode gramm schmidt akan menghasilkan basis orthonormal untuk V.

Misalkan diketahui K = adalah himpunan n321 v.,..,v,v,v

vektor yang bebas linear, maka K dapat dirubah menjadiS = yang orthonormal menggunakan metode n321 u.,..,u,u,u

Gramm Schmidt yaitu:

Metode Gramm Schmidt (2)Metode Gramm Schmidt (2)1. Misalkan merupakan perubahan dari vektor

21 udanu

1121 uu,vw

maka

1u

2. Langkah kedua

1v

1u

1w

2v

1

11 v

vu

, maka diperoleh , sehingga1u1

didapatkan orthonormal.1u

2w

11222 uu,vvw

Sehingga didapat dua vektor1122

11222

uu,vv

uu,vvu

yang orthonormal2u

Metode Gramm Schmidt (3)Metode Gramm Schmidt (3)3. Langkah ketiga

321 udanu,u

2231131 uu,vuu,vw

1u

1w3v

2w

22311332 uu,vuu,vvw

Sehingga didapat dua vektor

2231133

22311333

uu,vuu,vv

uu,vuu,vvu

yang orthonormal2u 3u

4. Langkah keempat 3342241144

33422411444

uu,vuu,vuu,vv

uu,vuu,vuu,vvu

n. Langkah ke-n 1n1nn22n11nn

1n1nn22n11nnn

uu,v...uu,vuu,vv

uu,v...uu,vuu,vvu

Hal-hal yang perlu diperhatikanHal-hal yang perlu diperhatikan Metode ini, pemilihan v1, v2, …,vn tidak harus

mengikuti urutan vektor yang diberikan tetapi bebas sesuai keinginan, karena basis suatu ruang vektor tidaklah tunggal.

Pemilihan urutan yang disarankan adalah yang mengandung hasil kali dalam yang bernilai nol, yaitu <vi ,vj>=0, dalam kasus ini pilih v1 =vi , v2 =vj dan seterusnya.