09-Affidabilità_del_modello_di__Winkler

GeneralitàDal punto di vista fisico il mezzo alla Winkler puòessere assimilato a un letto di molle elastiche mu-tuamente indipendenti, o meglio a un liquido di pesospecifico k nel quale la fondazione galleggia. In ef-fetti il coefficiente di reazione del terreno è, per de-finizione, il rapporto fra carico e cedimento. In unterreno reale il cedimento dipende oltre che dai va-lori del carico e dalle proprietà del terreno, anchedalla forma e dalle dimensioni della fondazione edalla costituzione del sottosuolo. È evidente, quindi, che il coefficiente di sottofon-do k non è una proprietà solo ed esclusivamente delterreno, e quindi non ha alcun senso fornire valoritipici per tipo di terreno. Inoltre la determinazionedi k non è semplice in quanto spesso il terreno è stra-tificato, ha diversi spessori e perciò il valore del co-efficiente di sottofondo dovrebbe, almeno, dipen-dere dallo spessore dello strato di terreno interessatodalle sollecitazioni e dalle sue caratteristiche.Maggiore è lo spessore minore sarà il valore di k.L’uso del metodo di Winkler nelle applicazioni ri-chiede pertanto un’attenta valutazione di un ap-

propriato valore di k da adottare, caso per caso, infunzione di fattori quali il modello del sottosuolo ela dimensione e forma della fondazione.Perciò, se usato con giudizio, il metodo di Winklerfornisce, nella maggior parte delle applicazioni,risultati senz’altro accettabili purché vi sia unastima ragionevole del valore di k. Fortunatamente,i risultati del calcolo in termini di caratteristichedella sollecitazione non sono molto sensibili aivalori di k; pertanto non è indispensabile una va-lutazione molto accurata del parametro ma ba-sta una stima ragionevole. Purtroppo, però, in molti trattati e manuali sonoancora riportati valori di k (quasi sempre erro-neamente categorizzati per tipo di terreno) che,in genere, sono molto elevati. È probabile che tali valori derivino da sperimen-tazioni su piastre di piccole dimensioni e quindidebbano piuttosto essere considerati alla streguadi valori di k1 da utilizzare, poi, in altre correla-zioni per determinare il valore del coefficiente disottofondo in base alle dimensioni e alla formadella fondazione.

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Affidabilità delmodello diWinkler

Dal punto di vista fisico il mezzo alla Winkler può essere assimilato a unletto di molle elastiche mutuamente indipendenti, o meglio a un liquidodi peso specifico k nel quale la fondazione galleggia.

di Claudio Comastri, Elisa Maniezzo, Paola Zogno

COMASTRI imp 14-09-2004 11:00 Pagina 50

Determinazione del coefficientedi sottofondoPer quanto riguarda il coefficiente di sottofondok, sperimentalmente si è notato che:- k varia con l’intensità del carico: tanto più aumentala pressione p, tanto più k diminuisce;- k varia con la velocità di applicazione del carico;inoltre, se p resta costante o varia poco nel tempo,k diminuisce;- k varia con le ripetizioni del carico, in quanto, au-mentando le deformazioni del terreno, k diminuisce;- se il suolo è immerso in falda permanente, k di-minuisce di circa il 40% rispetto ai corrispondentivalori in assenza di falda;- k è tanto più piccolo quanto maggiore è la super-ficie di contatto fondazione-suolo.La conoscenza di k è fondamentale per cui nume-rosi Autori hanno fornito formule per il calcolo evalori numerici sperimentali. Si deve tuttavia a K.Terzaghi lo studio più approfondito del problema el’ottenimento di valori numerici empirico-speri-mentali che si sono dimostrati, a seguito di con-ferme sperimentali, come i più idonei a consentireil calcolo delle fondazioni su suolo elastico con sod-disfacente aderenza al comportamento effettivo delterreno.

Determinazione di k medianteprove edometricheIn mancanza di prove dirette sul terreno è possibi-le determinare il valore di k in funzione del modu-lo E’di compressione edometrica (o modulo edo-metrico) determinato in laboratorio per un intervallodi pressione corrispondente a quello reale di eser-cizio della fondazione. Tuttavia è importante ricor-dare che i valori di k così ottenuti hanno valore in-

dicativo, in quanto in laboratorio non è possibile te-ner conto di tutti i fattori che influenzano l’effetti-vo valore.Il modulo E’è definito dalla relazione:

con:h: altezza del provino alla pressione efficace “p’”di prova;∆∆h: variazione di “h” per un incremento ∆∆p’del-la pressione efficace.Inoltre indicando con:e: indice dei vuoti;∆∆e: variazione dell’indice dei vuoti per una va-riazione ∆∆p’ della pressione efficace a espan-sione laterale impedita;risulta:

Noto E’da prove edometriche, VOGT, per una pia-stra rettangolare di larghezza b e lunghezza l, haproposto:

e per una lastra circolare di raggio R:

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Koegler e Scheidig, invece, hanno fornito correla-zioni che, oltre alle caratteristiche geometriche del-la fondazione, considerano anche lo spessore H del-lo strato di terreno considerato elastico, isotropo edomogeneo:- per una superficie di grandezza infinita:

- per superfici circolari e quadrate:

essendo il diametro 2R del cerchio uguale al latob del quadrato. Nella correlazione compare il coefficiente α chevaria da 3 per H/2R=1 a 2 per H/2R=∞, (Fig.1)

- fondazione nastriforme di lunghezza infinita e lar-ghezza b:

in cui β è un coefficiente variabile tra 1.82 per H/b=1e 0.54 per H/b=20, (Fig. 3).

Calcolo di k mediante prove dicarico sul terrenoLa via normalmente seguita per determinare k èquella di effettuare una prova di carico su piastradel terreno. La distribuzione delle pressioni sul terreno dipen-de da vari fattori: la natura del terreno, il valore del-

la pressione media e la dimensione della piastra.Lungo il contorno della piastra in terreni sabbiosiper rifluimento la pressione tende ad annullarsi; siaccentua, invece, rispetto al valore medio in corri-spondenza del centro, dove peraltro si risente delbeneficio di un compattamento dovuto alla presenzadella piastra rigida.In genere, per una stessa piastra, al crescere dellapressione media, tendono ad attenuarsi le disuni-formità della distribuzione delle pressioni, e la stes-sa circostanza si manifesta al crescere delle dimen-sioni della piastra, in quanto i disturbi di bordotendono ad attenuare la loro influenza.Nonostante ciò, con una prova di carico sul terrenosi possono correlare gli spostamenti ai valori medi

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1 - Variazione del coefficiente α di Kogler Scheidig in

funzione dello spessore dello strato di terreno

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delle pressioni:

con:Q: carico complessivo applicato;A: area della superficie di contatto piastra-terreno.Se si riportano in diagramma i risultati di una pro-va di carico, ossia se si costruisce il diagramma pres-sioni-spostamenti, si ottiene una curva che ha unandamento caratteristico per quasi tutti i tipi di ter-reni sufficientemente compatti, (Fig. 3).Dopo un primo tratto pressoché lineare OA, a se-

guito di fenomeni di rifluimento e di superamentodella capacità portante limite in prossimità dei bor-di, si manifestano accrescimenti degli spostamen-ti w più che proporzionali rispetto agli accrescimentidel carico. Quindi è immediato riconoscere che knon è costante, ma varia al variare della pressionep cui si fa riferimento. Perciò quando si esegue unaprova di carico con piastra è opportuno applicare alterreno una pressione prossima alla pressione diesercizio Pe che si presume sia trasmessa dalla fon-

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2 - Valore del coefficiente β per fondazioni rettangolari in

funzione dello spessore dello strato

di terreno

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3 - Diagramma pressioni-spostamenti

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4 - Valore di k in funzione della pressione di esercizio pe

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dazione al terreno, (Fig. 4).Inoltre per piccoli diametri della piastra , φ<25cm,gli spostamenti diminuiscono all’aumentare del dia-metro della piastra, mentre per diametri maggioridi 25 cm gli spostamenti, a parità di pm, si accre-scono all’aumentare del diametro, (Fig. 5).Questo perché, per piccoli valori del diametro del-la piastra, i fenomeni di rifluimento che si manife-stano in prossimità dei bordi della piastra stessa nonrisultano più trascurabili; cioè prevale l’influenzadei rifluimenti rispetto all’influenza della defor-mazione del terreno.Perciò l’esame dei diagrammi precedenti mette inluce che non è attendibile operare prove di caricosul terreno con piastre di diametro piccolo, mino-re di 40 cm, e che k non è costante, ma dipende an-che dalla scelta del diametro della piastra (al cre-scere del diametro e a parità di p, si accrescono glispostamenti e quindi diminuisce il valore di k).In definitiva, il coefficiente di sottofondo k, ha unsignificato del tutto convenzionale e i risultati di unaprova di carico con piastra vanno quindi interpre-tati con molta cautela.

Inoltre vale la pena consi-derare che dovendo ne-cessariamente operare conpiastre di piccole dimen-sioni l’influenza del cari-co si rende sensibile sol-tanto in corrispondenzadello strato superficiale diterreno (a una profonditàdi circa 3 o 4 volte il dia-metro della piastra). Inrealtà le fondazioni, di di-mensioni notevolmente

maggiori, impegnano strati più profondi di terre-no e può essere quindi notevolmente differente ilcomportamento del terreno caricato con una piastrao con una fondazione di dimensioni più estese, purrimanendo invariato il valore della p media.Nella Tabella 1 sono riportati i valori indicativi dik ricavati da prove di carico su piastra e quindi di-pendenti solo dal tipo di terreno; tali valori vanno,poi, correlati con le dimensioni e la forma della fon-dazione. Esistono, perciò, delle correlazioni che per-mettono di ricavare il coefficiente di sottofondo par-tendo dai valori di k1 ottenuti da prove di caricosu piastre standard di forma quadrata o circolarecon lato o diametro di 30 cm. Avendo fissato la for-ma e la dimensione della piastra, il valore di k1 di-pende solo dalle caratteristiche del terreno di fon-dazione; ha senso quindi assumere per esso valoritipici, dipendenti solo dal tipo di terreno.In prima approssimazione, e nel campo di profon-dità di interesse per una fondazione diretta, un ter-reno coesivo sovraconsolidato può essere assimi-lato a un mezzo elastico omogeneo. Per un mezzosiffatto, il cedimento w1 della piastra standard di

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5 - Andamento del cedimento w in funzione della pressione media pm

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lato b=30 cm vale:

mentre il cedimento di una trave di fondazione dilarghezza B vale:

Si ha allora:

dalla quale, tenendo conto dei coefficienti I1 (qua-drato, cerchio) e I (striscia indefinita), si ottiene:

Nel caso di sabbie e di argille normalconsolida-te l’assimilazione al semispazio omogeneo, cioècon modulo elastico E costante con la profon-dità, non è più lecita essendo molto più sensibi-le l’effetto del peso proprio del mezzo sul valo-re E, quindi la formula precedente non è piùutilizzabile. Perciò in un terreno incoerente, per la crescita del-le tensioni litostatiche e quindi per la diminu-zione della deformabilità con la profondità, il ce-dimento cresce con una legge meno che linearecon la dimensione in pianta della fondazione, etende a un valore asintotico al tendere a infinitodella dimensione B.Un comportamento di questo tipo, cioè di semi-spazio elastico con modulo di Young linearmen-te crescente con la profondità, può essere model-lato con il cosiddetto “mezzo alla Gibson” o anchecon uno strato elastico di spessore finito poggiantesu di un substrato indeformabile.In questo caso, ai fini della valutazione di k si puòutilizzare la relazione empirica suggerita da Terzaghie Peck (1948):

che porta a un valore asintotico di w=4w1 per Bche tende all’infinito, e assume che non vi sia unasignificativa dipendenza del cedimento dalla for-ma in pianta della fondazione. Si ha allora:

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Tab. 1 - Valori di K

NATURA DEL TERRENO k [Kg/cm3]Torba leggera 0.6 ÷ 1.2Torba pesante 1.2 ÷ 1.8Terra vegetale 1.0 ÷ 1.5Depositi recenti 1.0 ÷ 2.0Sabbia di mare, fina 1.5 ÷ 2.0Sabbia poco coerente 2.0 ÷ 4.0Terra molto umida 2.0 ÷ 3.5Terra poco umida 3.0 ÷ 6.0Terra secca 5.0 ÷ 10.0Argilla con sabbia 8.0 ÷ 10.0Argilla grassa 10.0 ÷ 12.0Sabbia compatta 8.0 ÷ 15.0Ghiaia con sabbia 10.0 ÷ 25.0Ghiaia compatta 20.0 ÷ 30.0


Determinazione di k in base aidati forniti da TerzaghiSi deve proprio a Terzaghi il merito di aver esegui-to lo studio teorico-sperimentale di maggiore im-portanza e di aver fornito valori numerici del mo-dulo k che consentono di eseguire il calcolo dellefondazioni su suolo elastico in buona aderenza alcomportamento effettivo del suolo.Il terreno viene suddiviso in sabbie e argille, tenu-to conto del differente comportamento sotto caricoe della diversità dei parametri che le caratterizzano:

• SABBIEVengono incluse in questa categoria tutte le terreprive di coesione, dotate cioè di solo angolo di at-trito ϕ. Il valore del coefficiente di sottofondo k è influen-zato dalla larghezza della fondazione, dalla profon-dità del piano di posa e dalla forma della fondazione.

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6 - Valore di k1

per sabbie

Per quanto riguarda la larghezza delle fondazione.Terzaghi, in via sperimentale, ha ottenuto:

con:b=larghezza della fondazione;k1=modulo unitario di reazione del sottofondoin Kg/cm3 valido per una fondazione nastrifor-me di lunghezza 1 metro e larghezza b=1m.I valori di k1 sono riportati in Figura 6.Per le sabbie il modulo di reazione del sottofondoaumenta linearmente con l’aumentare della pro-fondità del piano di posa della fondazione rispettoal piano del terreno:


purché kz<2kb.Infine il coefficiente di sottofondo k dipende dallaforma della fondazione. Se si considera una fonda-zione rettangolare larga b e lunga l , secondoTerzaghi il valore di k diminuisce all’aumentare dil secondo la:

con:kq=modulo di reazione del sottofondo per unapiastra quadrata di lato b.Se si considera il modulo di reazione del sottofon-do per una piastra quadrata di lato 1 metro si puòscrivere:

Si può, perciò, arrivare a una forma generalizzatache tenga conto di tutti e tre i fattori:

nella quale:f(l)=fattore d’influenza di lf(z)=fattore d’influenza di zpertanto risulta:

nella quale b, l, z vanno espresse in metri e k1 inkg/cm3.

• ARGILLEVengono incluse in questa categoria tutte le terredotate di coesione, la cui classificazione è basatasia sulle dimensioni dei granuli che sul limite diliquidità e l’indice di plasticità, secondo la rettadi Casagrande.Anche per le argille i valori di k sono influenza-ti dalle dimensioni della fondazione, mentre ri-sultano indipendenti dalla profondità del piano diposa.Per quanto riguarda le dimensioni della fonda-zione, se si indica con k1 il modulo di reazionedel sottofondo per una piastra di lato 1 metro e sesi considera una fondazione rettangolare di lar-ghezza b e lunghezza l (b<l), si ha:

in cui l e b sono espressi in metri e k1 in Kg/cm3.I valori di k1 forniti da Terzaghi sono riportati infigura 3-7.

• TERRE MISTE DOTATE DI COESIONEE ATTRITOVengono incluse in questa categoria tutte le terrein cui i valori di c e ϕ assumono valori signifi-cativi. Il comportamento di questi terreni agli ef-fetti di k sarà intermedio a quelli visti in prece-denza a seconda del maggiore o minore contenutodi sabbia o argilla.Se si indicano con k1 il valore sperimentale delmodulo di sottofondo ottenuto mediante prova supiastra di cm 30x30 e con k2 un analogo valoreottenuto con prova su piastra da cm 60x60, si può

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scrivere:

Tuttavia si può trovare il valore di k anche in fun-zione del coefficiente ks di un terreno sabbiosoe di quello di un terreno argilloso, ka, in base allapercentuale di sabbia Ps e a quella di argilla Papresente nel suolo:

Le formule riportate consentono di ricavare i va-lori medi del modulo di sottofondo k nell’ipotesiche sia conosciuta la composizione del terreno

e/o che sia possibile effettuare prove di carico insito. Le correlazioni, inoltre, oltre a considerareil tipo di terreno e le sue caratteristiche di defor-mabilità, consentono di ricavare k in funzione del-la forma e delle dimensioni della fondazione.Questo è molto importante in quanto da esse di-pende la superficie di terreno interessata dalle ten-sioni scaricate dalla fondazione stessa (bulbo ditensione).Infine grazie a Vesic si è riusciti a trovare una cor-relazione tra il modulo di sottofondo k, che ca-ratterizza il modello di Winkler, e il modulo ela-stico e di Poisson del terreno, che caratterizzanoil modello di Boussinesq:

con:Es= modulo di Young del terreno;vs= coefficiente di Poisson del terreno;Eb= modulo di Young della fondazione;I= momento di inerzia della fondazione.L’espressione è un po’ complicata ma, poiché ilrapporto Es/B assume valori attorno all’unità, esostituendo Es con il modulo edometrico Eed siottiene:

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7 - Valori di k1

per argille

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(continua sul prossimo numero)


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