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Affidabilità delmodello diWinkler di Claudio Comastri, Elisa Maniezzo, Paola Zogno

Parte terzae finale

Confronto tra i coefficienti di sottofondo ottenuti con correlazioni differentiPer confrontare i metodi descritti nel para-grafo precedente si sono presi due diversiesempi di fondazione su suolo alla Winklere i calcoli sono stati effettuati con coeffi-cienti di sottofondo k calcolati con diffe-renti correlazioni. Successivamente, per va-lutare l’affidabilità del modello, i risultatisono stati confrontati con quelli ottenuticon un terreno allo Boussinesq.Nel primo esempio è stato considerato un siste-ma fondazione terreno, con le seguenti caratte-ristiche:b=500 cm= larghezza fondazionel=500 cm= lunghezza fondazioneh=20 cm= spessore fondazioneE=300000 Kg/cm2= modulo di Young ma-teriale piastraν=0.15= coefficiente di Poisson del mate-riale della piastraÈ=300 Kg/cm2= modulo di deformazionedel terrenoν=0.4= coefficiente di Poisson del terrenoH=1.5 m= altezza spessore di terreno in-teressato dalle sollecitazioni provocate dalcaricoP=3000 Kg= carico applicatoApplicando le correlazioni descritte nel paragra-fo precedente sono stati ottenuti i seguenti valo-ri del coefficiente di sottofondo k:

-0,04500

-0,04000

-0,03500

-0,03000

-0,02500

-0,02000

-0,01500

-0,01000

-0,00500

0,00000

0,00 100,00 200,00 300,00 400,00 500,00 600,00

Lunghezza piastra [cm]

Ced

imen

ti [

cm]

Vesic

Vogt

Kogler e Scheidig

Terzaghi

WTSC E=cost

WTSC E=A+Bz

Vlasov

Boussinesq

0,00000

200,00000

400,00000

600,00000

800,00000

1000,00000

1200,00000

0,00 100,00 200,00 300,00 400,00 500,00 600,00

Lunghezza piastra [cm]

Mo

men

to [

Kg

]

Vesic

Vogt

Kogler e Scheidig

Terzaghi

WTSC E=cost

WTSC E=A+Bz

Vlasov

Boussinesq

13 - Cedimenti calcolati con diversi valori di k per una

fondazione quadrata di lato 5 m

14 - Momenti flettenti per unità di larghezza di una

fondazione quadrata di lato 5m calcolati con diversi

valori di k

13

14

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• VOGT: k=0.80 Kg/cm3

• VESIC: k=0.59 Kg/cm3

• KOGLER e SCHEIDI: k=1.62 Kg/cm3 con α =2.7

• TERZAGHI: k=1.32 Kg/cm3 conk1=2 Kg/cm3

• WTSC: k=2.00 Kg/cm3 con E=co-stantek=1.7 Kg/cm3 con E=A+Bz,A=250 Kg/cm3 e B=0.666 Kg/cm2

con• VLASOV: k=1.4 Kg/cm3 con

H/r=1.26 e Knw=0.7I risultati ottenuti con i diversi va-lori di k sono stati graficati: in par-ticolare il grafico in figura 13 riporta i valoridei cedimenti provocati dal carico applicato,mentre in quello in figura 14 sono rappresenta-ti i diversi valori del momento flettente per uni-tà di larghezza.Dai grafici precedenti si può vede-re come i valori delle sollecitazio-ni della piastra varino poco con ilcambiare del valore del coefficien-te di sottofondo k. La stessa cosa non si può affermareper quanto riguarda i cedimenti inquanto il loro valore dipende mag-giormente dal coefficiente di sotto-fondo.Infine si può notare che i momentiflettenti trovati con il metodo diWinkler si avvicinano molto a quelli del meto-do di Boussinesq anche se il valore massimodeterminato con quest’ultimo è leggermente in-feriore. Per quanto riguarda i cedimenti, inve-

ce, quelli trovati con Boussinesq sono maggio-ri di quelli calcolati con il metodo di Winkler:il coefficiente k che permette di trovare

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15 - Cedimenti calcolati con diversi valori di k

per una fondazione rettangolare di dimensioni

10x15 m

16 - Momenti flettenti per unità di larghezza di una

fondazione rettangolare di dimensioni 10x15 m

calcolati con diversi valori di k

-0,0600

-0,0500

-0,0400

-0,0300

-0,0200

-0,0100

0,0000

0,0100

0,00 200,00 400,00 600,00 800,00 1000,00

1200,00

1400,00

1600,00

Lunghezza piastra [cm]

Ced

imen

to [

cm]

Vesic

Vogt

Kogler e Scheidig

Terzaghi

WTSC E=cost

WTSC E=A+Bz

Vlasov

Boussinesq

15

-200,00

0,00

200,00

400,00

600,00

800,00

1000,00

1200,00

0,00 200,00 400,00 600,00 800,00 1000,00

1200,00

1400,00

1600,00

Lunghezza piastra [cm]

Mo

men

to [

Kg

]

Vesic

Vogt

Kogler e Scheidig

Terzaghi

WTSC E=cost

WTSC E=A+Bz

Vlasov

Boussinesq

16

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risultati che più si avvicinano a Boussinesq èquello determinato con la correlazione di Vesicper quanto riguarda il centro piastra e di Vogtper i bordi. Nel secondo esempio sono state mantenute lestesse condizioni dell’esempio precedente tran-ne per quanto riguarda le dimensioni della fon-dazione. In questo caso è stata presa in esameuna piastra rettangolare di larghezza b=1000 cme lunghezza l= 1500 cm per poter stabilire comevaria il coefficiente di sottofondo k in funzionedelle dimensioni dell’area di carico.Applicando le correlazioni si sono ottenuti i se-guenti valori di k:• VOGT: k=0.27 Kg/cm3

• VESIC: k=0.35 Kg/cm3

• KOGLER e SCHEIDI: k=0.54 Kg/cm3 conα=2.7

• TERZAGHI: k=1.11 Kg/cm3 con k1=2 Kg/cm3

• WTSC: k=2.00 Kg/cm3 con E=costantek=1.7 Kg/cm3 con E=A+Bz, A=250 Kg/cm3

e B=0.666 Kg/cm2 con• VLASOV: k=1.7 Kg/cm3 con H/r=1.26 e

Knw=0.7Dai valori trovati si può notare come il coeffi-ciente k diminuisca con l’aumentare delle di-mensioni della fondazione.Nelle figure 15 e 16 sono riportati i grafici deirisultati ottenuti: aumentando le dimensioni del-la piastra in calcestruzzo si ha un’inversione ri-spetto all’esempio analizzato in precedenza inquanto anche in questo caso il valore delle sol-lecitazioni, (fig. 16), calcolate con Boussinesqsi discostano, nel centro della piastra, da quellitrovati con Winkler, ma questa volta il valoremassimo è stato ottenuto proprio con il model-

lo di Boussinesq anche se non vi sono grossedifferenze tra i risultati.Per quanto riguarda i cedimenti, (fig.15), in-vece, anche questa volta si sono ottenuti risul-tati che differiscono tra loro e il valore massi-mo lo si ha con Boussinesq. Anche in questocaso i cedimenti che più si avvicinano a quellideterminati con la schematizzazione di semi-spazio infinito del terreno, sono quelli trovaticon il coefficiente di sottofondo k di Vogt eVesic.Si può inoltre notare come aumentando le di-mensioni della fondazione e caricandola al cen-tro, vi sia un leggero sollevamento della piastraai bordi anche se nei casi studiati non si è te-nuto conto del peso proprio che in realtà si op-pone a tale sollevamento.Infine, nonostante si siano notate alcune diffe-renze nei valori dei cedimenti, è comunque veroche si sta parlando di grandezze dell’ordine deidecimi di millimetro.Si può perciò affermare che il modello diWinkler permette di calcolare cedimenti e sol-lecitazioni della piastra, per carico concentrato,paragonabili con quelli ottenuti schematizzan-do il terreno come un semispazio elastico uni-forme alla Boussinesq. Purtroppo, però, nella realtà è difficile trovareun terreno con caratteristiche uniformi con laprofondità soprattutto nel campo delle pavi-mentazioni industriali dove tra terreno naturalee piastra, spesso, è presente una massicciata. Ilproblema diventa perciò più complesso soprat-tutto quando il bulbo di tensione nel terreno in-teressa più strati con caratteristiche di defor-mabilità differenti. �

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