09-_Affidabilità_del_modello_Winkler_-_parte_seconda

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di Claudio Comastri, Elisa Maniezzo, Paola Zogno

Parte seconda

Nuove prospettivePer capire il significato e i limiti del modello diWinkler e del relativo coefficiente di sottofondok, sono stati fatti numerosi studi. Lo scopo princi-pale di queste ricerche è quello di determinare il gra-do di affidabilità del modello di Winkler e di tro-varne delle correlazioni dirette con la teoria delsemispazio elastico e i relativi parametri. In parti-colare sono state portate a termine due nuove ri-cerche che hanno permesso di introdurre due nuo-vi modelli: Winkler-Type Simplified Continuum(WTSC), Vlasov model.

Winkler-Type SemplifiedContinuum (WTSC)Nel modello WTSC la geometria del problema con-siste in uno strato elastico di spessore finito H edestensione laterale infinita, appoggiato su uno stra-to di base rigido, e sottoposto a un carico perpen-dicolare p(x, y). Si assume, inoltre, che tutte le ten-sioni e deformazioni siano uguali a zero, trannequelle verticali, σz ed εz. Partendo da queste ipo-tesi il modello WTSC consente di risolvere i se-

guenti casi:E=A, modulo di deformazione del terreno costantecon la profondità;E=A+Bz, il modulo di deformazione del terrenovaria linearmente con la profondità;E=A+Bz0.5, il modulo di deformazione del terre-no varia secondo la radice quadrata della profon-dità. Le condizioni al contorno assunte sono:- gli spostamenti alla base dello strato elastico sonouguali a zero;- le tensioni verticali in ogni punto della superficiesono uguali al carico applicato in quel punto.Poiché tutte le tensioni e le deformazioni, esclusequelle lungo l’asse verticale, sono assunte ugualia zero, l’equazione di equilibrio, trascurando il pesoproprio del materiale, diventa:

cioè si impone che σz sia costante con la profondi-tà e uguale a –p. La relazione tra deformazioni etensioni permette di scrivere:

Affidabilità delmodello diWinkler

COMASTRI imp 27-09-2004 14:34 Pagina 74

con w=spostamento lungo verticale.Risolvendo l’equazione precedente in base alle con-dizioni al contorno e ponendo E=A, quindi ipotiz-zando un modulo di deformazione del terreno co-stante, si ottiene:

da cui:

e quindi:

Riordinando i termini si ha:

in cui ksc è il modulo di sottofondo equivalente perun continuo semplificato.Per un terreno con modulo di deformazione che va-ria linearmente con la profondità, E=A+Bz, ksc puòessere così espresso:

Mentre nel caso in cui E=A+Bz0.5, si ha:

Questa procedura suggerisce che il modu-lo di sottofondo k può essere interpretato evalutato usando un approccio che ha comebase la teoria dell’elasticità. Come per il modello di Winkler, anche peril modello WTSC, è molto importante deter-minare il valore di ksc.La valutazione di ksc si basa su due punti fon-damentali: la scelta dello spessore dello stratoelasticamente deformabile H, e la determina-zione del valore e della variabilità del modulodi Young, E.Per quanto riguarda la scelta dello spessore H,essa è influenzata dalle dimensioni dell’area dicarico rispetto alla profondità dello strato inde-formabile. Infatti, se l’area di carico è piccola ri-spetto alla profondità dello strato rigido, alloraè più appropriato scegliere un valore di H mi-nore rispetto al reale spessore dello strato de-formabile, in particolare H dovrebbe essere scel-to in base alla profondità alla quale i cedimentirisultano trascurabili. Se invece l’area di carico è grande rispetto allaprofondità dello strato rigido, allora H dovreb-be assumere un valore uguale a tale profondità.In generale:

nel quale Ik è un coefficiente che richiede ulte-

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riori studi per la determinazione, mentre b è lalarghezza dell’area di carico.Si può perciò notare che il valore di ksc variaindirettamente con l’estensione dell’area dicarico.Risulta a questo punto interessante il para-gone tra il modulo ksc calcolato usando il mo-dello WTSC e il tradizionale valore di k. Per fare questo è stato considerato un terrenosabbioso con modulo di Young variabile con laradice quadrata della profondità z. È stato inol-tre assunto che la sabbia fosse caricata con cari-co uniforme da una piastra quadrata e perfetta-mente flessibile. Per il calcolo del valore di Hsi è assunto Ik=2 ed è stato trascurato l’effettodel carico sul modulo di deformazione. Nelle fi-gure 8 e 9 sono riportati i risultati ottenuti da unasabbia sciolta e da una densa.I valori ottenuti dal metodo WTSC sono statiparagonati al valore di k ottenuto da Terzaghi.Dai grafici si può notare come per fondazioni dipiccole dimensioni il valore di ksc si avvicini mol-to al valore di k ottenuto da Terzaghi, mentre conl’aumentare delle dimensioni dell’area di cari-co i vincoli assumono un ruolo significante finoad arrivare a un valore verso il quale il modulo

ksc converge. Infine, soprattutto in condizionidense, diminuisce la differenza tra il valore di ke quello di ksc con l’aumentare delle dimensionidella fondazione. Questa nuova prospettiva si chiama Winkler-TypeSimplified Continuum in quanto si basa sulla teoriadell’elasticità e utilizza la stessa equazione diffe-renziale del modello di Winkler. Si è perciò dimo-strato che il modello di Winkler può essere inter-pretato definendo il comportamento di un corpoelastico di spessore finito H nel quale solo le tensionie gli spostamenti lungo la verticale hanno valore di-verso da zero e sono causati da un carico normalealla superficie e uniformemente distribuito. Il va-lore del nuovo modulo di sottofondo ksc dipende dalmodulo di Young dello strato deformabile ma anchedallo spessore H ed è perciò possibile determinar-lo in modo più razionale rispetto al k di Winkler cheviene spesso ricavato da tabelle o grafici.

Vlasov ModelCon il modello di Vlasov si è cercato di trovare unnuovo modo per determinare il valore del coeffi-ciente k da utilizzare nel modello di Winkler per l’a-nalisi di piastre soggette a un carico concentrato

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8 - Sabbia sciolta in condizioni sature

(1Kp/ftq=157 KN/mc)

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9 - Sabbia densa in condizioni sature

(1Kp/ftc=157KN/mc)

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od uniformemente distribuito. La particolarità diquesto modello è che utilizza dei parametri adi-mensionalizzati e rispetto al modello di Winkler in-troduce un parametro di taglio. Il modello si basasull’ipotesi che lo strato di terreno deformabile,sotto la piastra, sia di spessore finito e appoggi di-rettamente su materiale rigido, indeformabile.L’equazione che governa il modello di Vlasov èstata adimensionalizzata utilizzando due parame-tri: r e D.Considerando una piastra di spessore uniforme si ha:

con:

Es=modulo di deformazione del terreno;H=spessore dello strato deformabile di terreno.Una volta determinato r, le coordinate degli assi elo spostamento lungo la verticale w sono così adi-mensionalizzati:X=x/r;Y=y/r;Z=z/r;W=w/r.Utilizzando i parametri adimensionali, l’equazionedi Vlasov diventa:

dove:

= modulo di sottofondo del terreno adimensionale;

= parametro di taglio del terreno adimensionale;

= carico distribuito adimensionale.

Si può notare che l’equazione precedente non di-pende dalle dimensioni della piastra di fondazio-ne 2a e 2b: l’effetto delle dimensioni della fonda-zione si può considerare introducendo un ulterioreparametro 2a/r.Inoltre ponendo il termine Tn=0, l’equazione diVlasov si riduce a una forma adimensionale del mo-dello di Winkler.Risulta, a questo punto, interessante determinare ilcoefficiente di sottofondo adimensionale K del mo-dello di Winkler a partire dal coefficiente Knv diVlasov. Per fare questo è stata considerata una pia-stra sottoposta a un carico concentrato applicatoal centro e utilizzando il modello di Vlasov, concoefficiente Knv opportunamente calcolato, è sta-to determinato lo spostamento massimo al cen-tro provocato dal carico. Utilizzando lo stesso co-efficiente di sottofondo Knv, la stessa piastra èstata risolta con il modello di Winkler ed è sta-to trovato il valore del rispettivo spostamen-to massimo al centro. Infine utilizzando il rap-porto tra i valori degli spostamenti ottenuticon i due modelli, si è potuto calcolare il va-lore equivalente del coefficiente di sottofondo K

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= rigidezza flessionale della piastra di fondazione;


del modello di Winkler. A questo punto la piastra è stata risolta con il mo-dello di Winkler utilizzando il nuovo valoredi K fino a quando la differenza tra i valorimassimi degli spostamenti ottenuti dai duemodelli non fosse trascurabile.Il procedimento è stato poi ripetuto per diver-si valori dello spessore H del terreno defor-mabile, per piastre di dimensioni diverse econ differenti posizioni del carico. Si è po-tuto così notare che per 2a/r>4 le dimensio-ni della piastra 2a e 2b non influiscono sulvalore di K, cioè la piastra può essere consi-derata di dimensioni infinite ed è stato pos-sibile ricavare un grafico in cui i valori diK sono espressi in funzione di H/r e della po-sizione del carico sulla superficie della pia-stra, fig. 10. Una volta determinato il valo-re di K si può facilmente determinare ilcoefficiente di sottofondo dimensionale k con

la seguente espressione:

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11 - Modulo adimensionale K nel: a) centro della piastra;

b) bordo della piastra; c) un quarto della lunghezza della

piastra

10 - Valore adimensionale del coefficiente di sottofondo

K per il modello di Winkler

10

11

a)

b)

c)


Come è noto secondo il modello di Winkler conk costante, una piastra sottoposta a un carico uni-formemente distribuito risulta non sollecitata.Per rimediare a ciò si è pensato di variare il va-lore di k lungo la superficie della piastra comeindicato nelle figure 11, 12.Si può concludere dicendo che questo metodo

consente di determinare k , basandosi sulle pro-prietà e la geometria della piastra e del terre-no, e di utilizzarlo per analizzare piastre ap-poggiate su uno strato medio di terrenoutilizzando il conosciuto modello di Winkler.

(continua sul prossimo numero)

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12 - Valori di K in un quarto della piastra per: a) H/r=4; b) H/r=6; c) H/r=9; d) H/r=11

12a 12b

a) c)

b) d)


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