09 - Losas o Placas

ESTABILIDAD III, Clases desgrabadas 1

CLASE N° 09 (19/Setiembre/06)

LOSAS O PLACAS

MATERIAL: � Hormigón armado por poder adoptar una forma de lamina continua � Armadura en mas de una dirección, malla

FORMA DE LA PLANTA � Rectangular � Polígonos regulares � Otras

APOYOS (DEFORMACION CONDICIONADA) � Lineales (vigas o muros)

− Paralelos – deformación cilíndrica (simple curvatura)

− Otros – deformación de doble curvatura � Puntuales (pilares)

− Según trama regular

− Sin ley de orden – imposible de analizar sin un programa

MODELOS DE COMPORTAMIENTO � Según forma y apoyos

ANALISIS DE CONTINUIDADES � Modelo Lineal � Modelo Plástico

CARGAS � Superficiales � Lineales � Puntuales

DIMENSIONADO Y ORGANIZACIÓN DE ARMADURAS Las losas o placas son elementos de carácter superficial, asociadas al hormigón armado como material de construcción, ya que prácticamente es el único material de construcción que permite construir un elemento con estas características, el cual está siempre asociado a una malla de acero. Malla que tiene un cierto ritmo en su organización. Veremos en esta clase distintos tipos de losas aisladas, sus modelos de comportamiento y las formas de proceder a calcular los elementos necesarios para llegar al dimensionado. En clases próximas veremos el tema de las continuidades, donde es necesario saber ¿cuál es la interacción entre una losa y otra? Mantenemos siempre la consideración tanto para losas aisladas como continuas, la presencia de una malla que tendrá su cierto ritmo, una cierta serie base para organizarse. Partimos entonces de que las losas las podemos plantear porque estamos trabajando con HA y que siempre hay la asociación del hormigón con una malla de acero. Aceros dispuestos en forma regular en dos direcciones principales por lo menos. Tendemos a pensar en estas losas como de planta rectangular, pero no siempre serán así a las que nos tendremos que enfrentar, porque si bien esas serán la mayor parte de la soluciones, porque la disposición espacial nos lleva a considerar plantas rectangulares, pero eso no quiere decir que no aparezcan otros tipos de plantas, así como también estudiaremos distintas posibilidades de apoyos y distintas posibilidades de cargas.


En principio se trata de imaginarnos siempre frente a unas determinas condiciones de apoyo, ¿cuál es la deformación que sufre ese elemento? ¿Cómo de ser inicialmente plano, se pasa a una superficie no plana, por la acción de las cargas? Eso va a estar determinado fundamentalmente por las condiciones de apoyo. Las condiciones de apoyo van a dar cambios cualitativos, las condiciones de carga variarán un poco pero no van a ser demasiado distinto desde el punto de vista de lo que vemos en el grafico de cómo se deforman en el caso de que sea una única carga concentrada en el punto medio de la placa o una carga uniformemente distribuida o si tuviera otro tipo de carga. En principio a los efectos de saber, de plantearse como se deforma nosotros tenemos siempre que pensar en los apoyos como una deformación condicionada, ¿cuán condicionada? Diríamos que el máximo de condiciones, porque en el apoyo el modelo que nos hacemos con el trabajo manual con este tipo de estructuras, es que el apoyo es indeformable, entonces al estudiar la losa vamos a considerar que lo que constituya apoyo en la losa, es un elemento indeformable, si una losa apoya sobre muros, o si apoya sobre vigas, esos elementos hacen que el borde de losa que queda apoyado sobre esos elementos se mantengan rectos, y sí está apoyado en puntos, que puede ocurrir, consideraremos que esos puntos no sufrirán ningún descenso, el resto de los puntos que están con carga gravitatoria, siempre van a descender. Entonces a partir de que el resto de los puntos descienden, hay que imaginarse como es la deformada.

En las siguientes figuras está planteado como se deforma la lamina en el caso de que hayan dos apoyos paralelos, ósea dos líneas de bordes paralelos que no descienden; en el caso de que sean los cuatro bordes, cuando son tres bordes los que permanecen indeformables y el otro es libre de deformación; o cuando hay solamente puntos, cuatro vértices que no se pueden deformar y el resto sí, esto en cuanto a una primera idea de losas de planta rectangular.

2 Apoyos 4 Apoyos

3 Apoyos 4 Puntos


Pero las losas pueden ser de plantas de cualquier número de lados, desde un triángulo a una circunferencia, n lados, pero siempre va a pasar lo mismo. A lo mejor puede suceder que el apoyo sea en dos lados y otros dos estén libres de descender.

Lo que nos tenemos que plantear es que tenemos una lámina, un trozo de plano, que sabemos que hay ciertos puntos que están condicionados en su deformación y el resto van a descender, ¿qué pasa? a partir de decir el punto medio baja, como se acomoda el resto a esa deformación. Esto es lo primero que tenemos que aprender a manejar, porque esto nos va dar una idea de dónde precisamos tener una malla traccionada, donde ubicar la malla, sobre cuál de las caras de esa lámina hay que aproximar la malla. Entonces lo primero es pensar en cómo se deforma, luego vamos a interpretar esas deformaciones en modelos de comportamiento. Hay dos comportamientos básicos, uno apoyado en dos lados paralelos y el otro apoyado en todo su perímetro. No hay duda que en el caso de la de lados paralelos, el punto medio desciende y una faja que nos tomemos de un ancho cualquiera se deforma como vemos en la primer figura, si esta cargada en toda la superficie, se deformará toda, si está cargada en un lugar habrán partes que se deformarán mas que otras. Los puntos centrales van a tender a descender y los laterales se van a mantener, esta es una deformación posible, la otra es cuando tenemos comprometidas dos direcciones, apoyos en todo el perímetro, lo cual suponer que desciende el punto central y que no lo hacen los laterales, implica que tengamos que imaginarnos una doble curvatura, en este caso esta deformación, con la misma carga es menor que en la placa anterior, ya que para bajar el punto central debe hacer fuerza en dos sentidos, en el segundo caso la carga será trasmitida a los cuatro bordes, en cambio en el primero solo se trasmite a dos. El echo de considerar una doble curvatura implica que no solo la carga debe hacer descender a las dos fajas en los dos sentidos, sino que además debe provocar un giro, cosa que no pasa en las dos fajas centrales donde solo bajan y se mantienen sin giro, pero en cualquier otra faja no central, no solamente desciende sino que gira, entonces el esfuerzo que debe hacer la carga para hacer la deformación no es solo descender las fajas centrales, sino torcer todas las otras, obvio que también las hace descender, pero además las giras, le provoca una torsión. Quiere decir que esta contribuyendo a un menor descenso en esos puntos el hecho de que se ve obligada a deformarse torcionandose.

Vamos a suponer que tenemos una losa con carga uniformemente distribuida, entonces vamos a decir que esta losa se va a deformar en todos los cortes lo mismo, va a descender en todos los cortes lo mismo, el fenómeno es igual en cualquier punto que lo mida, porque todo es uniforme. Entonces vamos a decir que esto tiene una deformación cilíndrica, es decir que los cortes

perpendiculares a los apoyos nos dan siempre la misma curva y los cortes paralelos a los apoyos son rectas. Esto nos implica que tenemos que colocar una malla en esta losa que va solamente en la cara inferior, y más que una malla en este caso serían hierros en un único sentido, puesto que en el sentido de los apoyos


no tenemos ninguna curvatura y no nos aparecen tracciones ni compresiones, las tracciones y compresiones aparecen en el sentido perpendicular a los apoyos, compresiones arriba, tengo el hormigón, tracciones debajo tenemos que poner acero. Podemos simplificar la resolución de las descarga en este caso como las de una barra sobre dos apoyos en los extremos. (Como se ve en el gráfico)

Profundizando un poco más en este ejemplo de losas apoyadas en lados paralelos, vemos que si tenemos una carga lineal paralela a los apoyos y uniformemente distribuida, también la deformación es cilíndrica. Para estudiarla vasta con hacerlo sobre una faja y lo repitamos en todo el resto. Esto es lo que nos lleva a trabajar con una faja de un metro de ancho, porque nos resuelve una serie de operaciones de forma más sencilla.

Lo que nos va a llevar a un ordenamiento de armaduras como la que vemos en el gráfico, donde vemos que la armadura resistente es la perpendicular a los lados de apoyos, la cual va abajo y la vamos a armar en serie de tres, (dos hierros rectos y uno doblado). Y en el otro sentido es una armadura (secundaria), que simplemente esta dispuesta para conseguir esa malla, porque aunque la losa trabaje solo en el otro sentido, es un elemento de carácter superficial y el hormigón armado nos exige tener una malla, generalmente se habla de una armadura constructiva.

En la armadura principal doblamos uno de cada tres porque nosotros estamos falseando la realidad con el molde, nosotros en el modelo decimos que los bordes sobre los apoyos giran libremente, pero si esto esta asociado a una viga también de hormigón, no va a girar libremente, porque para que la tangente sea cualquiera implicaría que la viga puede girar alrededor de su eje lo que quiera y eso no es posible, porque esa viga esta vinculada a soportes y estos limitan el giro de la viga en el sentido de su eje. Entonces la deformación no va a ser tan limpia como la vemos en el esquema anterior, sino que hay

una interferencias producidas por las vigas que obliga que se venga con concavidades hacia abajo y tracciones del lado de arriba, eso nos lleva a prever en la organización de armaduras el doblado de un hierro cada tres para cubrir esa discordancia que tenemos entre nuestro modelo y lo que es la realidad. En cuanto en el otro sentido, (paralelo a los apoyos), como vemos en el dibujo, tenemos un borde de losa que si solamente dejamos la armadura por debajo puede ocurrir que por alguna razón (sea por razones térmicas, sea porque aparezca una carga de borde, o que se produzca un golpe) se puede llegar a producir una fractura como se muestra en el gráfico, entonces lo que se pide es que los hierro suban y vuelvan hacia atrás una distancia igual a 2h, siendo h la altura de la losa. Igualmente recordemos que esta es una armadura secundaria, que no esta para resistir los esfuerzos que derivan del modelo de comportamiento pero que la debemos construir por otra serie de razones, como por ejemplo razones térmicas, razones de contracción de fraguado, etc. Este mismo modelo de armadura lo usaremos cuando tengamos una losa apoyada en todo su contorno y su lado mayor sea mayor a 2 veces el lado

Se fractura

h

2h


menor, porque aunque se de el apoyo en todo su contorno, (los cuatro lados) vamos a despreciar ese trabajo y vamos a considerar que es como una losa apoyada solamente en sus lados mayores. Pero como el apoyo existe, por mas que lo despreciemos el doblado de los hierros longitudinales es diferente, sería como se ve en el gráfico, por lo tanto el detalle constructivo suele ser distinto. La otra posibilidad que tendremos que estudiar para este tipo de losas, es cuando aparecen cargas no uniformes, pueden aparece por alguna razón una modificación en las cargas, en nuestros casos lo que más nos puede aparecer es que ocurra una carga lineal perpendicular a los apoyos, por ejemplo un muro que se tenga que construir sobre una losa, perpendicular a los apoyos. Las diferencias que hay entre esto y el primer caso las tratamos de mostrar con la deformación de la figura. En el primer caso dijimos que el todos los cortes el descenso es el mismo, porque la carga que tenemos que considerar era siempre la misma, pero en este caso NO es así. Tendremos un corte cerca de los bordes libres muy parecido o igual al caso 1, pero cuando nos acercamos al muro y en particular cuando estamos debajo del muro, ahí no hay duda que la carga es mayor, por lo tanto los descensos son mayores y la curvatura va a ser otra. Al ser la losa un elemento único, monolítico, si nosotros hiciéramos un corte en el sentido longitudinal veríamos que gradualmente irían descendiendo más hasta llegar a un máximo y después se vuelve a reconstruir la otra deformación. Nos pasa que la presencia de una carga como ser la de un muro en una determinada posición sobre la losa, no solamente afecta la zona inmediata debajo del muro, sino que afecta una zona con un determinado ancho, que en el gráfico llamamos be, y que lo vamos a tomar como 0,625 de la luz. Esto nos determina que van a ver fajas con diferentes solicitaciones, lo que queda por fuera de be, no se enteran que hay una carga concentrada extra, sino que se comportan como si sobre la losa solamente estuviera la carga uniforme y ahí podríamos determinar para la correspondiente carga P x m2, un momento que simplemente apoyado vale: P x l2 8 Pero cuando estamos en la zona afectada por el muro vamos a tener que considerar que a esto se agrega el peso del muro. Para eso tomamos un valor ficto de carga que es distribuir el peso total del muro entre la superficie (be x l), lo que significa que en esta faja vamos a tener una carga que es igual a la carga P + una carga P’’ que es = peso total del muro l x be Entonces tendremos un momento perpendicular a los apoyos que lo llamaremos M’ = P’ x l2 = P x l2 + P’’ x l2 8 8 8 y en esta zona se agrega al momento generado en el resto de la losa un momento M’’ = P’’ x l2 8 siendo que P’’ es el peso total del muro divido su área de influencia. En el caso anterior si hacíamos cortes longitudinales, obteníamos rectas, con lo que quiere decir que la curvatura es cero por lo tanto no hay momento, solo teníamos momento en la dirección perpendicular y por lo tanto solo colocábamos en la dirección longitudinal una armadura secundaría por las razones ya explicadas, pero en este caso tenemos curvatura en los cortes longitudinales, por lo tanto tenemos que considerar también para esta zona que acá esta actuando un momento en el otro sentido, por lo que tendremos que colocar en esta faja armadura resistente en el sentido longitudinal para un momento. El cual se toma ficto y es considerar un momento igual al incremento que tuvo el momento en el sentido resistente. En definitiva, sobre la faja, en los dos sentidos tendremos que agregar un momento producido por la carga P’’, en el sentido longitudinal ya había un momento por lo que se le suma este quedándonos la expresión M’’ y en el otro sentido no teníamos momento por lo que nos queda M’’ solo.


Por lo que tendremos que proyectar armaduras resistentes en los dos sentidos, como lo vemos en el gráfico adjunto. La faja central es el ancho be sobre la cual es necesario colocar armadura resistente en ambos sentidos, la cual estará conformada en el sentido longitudinal por la armadura secundaría que ponemos + algún hierro intermedio que intercalaremos para llegar a cubrir el área de acero necesario, tener presente que primero se arma de extremo a extremo la armadura secundaria y luego agregamos sobre esta faja, nunca se arma como si fueran tres losas separadas. En el sentido perpendicular a los apoyos, en ese sector colocaremos hierros más gruesos o los mismos más juntos. Volviendo a la losa apoyada en todo su perímetro de la cual ya habíamos explicado cual es su mecanismo

resistente, pero este mecanismo resistente nos está indicando que estos apoyos (los cuatro vértices), si nosotros los liberamos tenderían a levantarse, tienden a subir, si esos vértices no han subido, podemos interpretar que es equivalente la solidaridad con la viga a que si nosotros hiciéramos en esos puntos una fuerza hacia abajo, el vértice lo tironea hacía abajo, lo cual hace que si hiciéramos un corte sobre la diagonal, nos encontraríamos que en la zona próxima al apoyo tendremos curvatura hacía abajo, es decir que en la zona próxima a los apoyos van a aparecer tracciones en la cara superior y por lo tanto el esquema de armaduras que vamos a tener que tener es como la que vemos en el gráfico de abajo, donde vamos a tener que tener armadura arriba en las zonas cercanas a los apoyos y eventualmente no podríamos llegar a tener en la cara de abajo, decimos eventualmente porque después veremos que no es tan así.

Pero en principio nosotros lo podemos plantear de esta manera.


Esto sería una losa apoyada en todo su perímetro, que la vamos a armar tal como esta planteado en el siguiente esquema, en el cual aparece precisamente la armadura base en la cara inferior y las armaduras en los vértices. Pero para esas armaduras en los vértices, las normas dicen que son optativas, que podemos no colocarlas. ¿Qué nos pasaría si no colocamos esa armadura en los vértices?, la losa en esos vértices se fisuraría, y lo haría perpendicular a la tracción, por lo tanto si la tracción la tenemos en el sentido de la diagonal, la fisura será perpendicular a esa diagonal, y a su vez la losa descendería un poco más. Por lo que podremos no colocar la armadura superior en los vértices a costa de colocar un poco más de armadura en el centro de la losa, armando la malla con hierros mas gruesos o más juntos, pero en todo el largo de la losa, no es que

se agreguen hierros en el centro de la losa, sino que se colocan los hierros de borde a borde en ambos sentido y como dijimos mas gruesos y/o más juntos, quedándonos un esquema de armaduras como el que vemos en el gráfico lateral. El colocar los hierros en los vértices no es preceptivo, porque si nosotros no los colocamos no afectamos la estabilidad del conjunto, no causa ruina en nuestro proyecto, descenderá un poco más pero si eso está previsto, la unidad funcional sigue útil, solamente se entra a considerar esta posibilidad cuando por alguna razón hay que defender el espesor de la losa frente a dimensiones muy grandes y entonces ese aumento que se

produce en el centro por no colocar las armaduras puede hacernos salir de rango y no permitirnos unos determinados espesores, en ese caso si vamos a recurrir a construir con las armaduras en los vértices. Generalmente lo que hacemos es tomar el valor que nos da en el centro y hacemos una malla pareja para toda la losa, por razones prácticas. Acá lo que está dibujado es otra posibilidad, que en lugar de hacer el doblado a 1/5 de la luz menor, como habíamos dicho, podemos ir hasta el apoyo y volver hacia atrás hasta 1/5, en lugar de doblarlo podemos ir y volver, las dos formas son factibles de hacerse.


Cuando tenemos plantas con más lados apoyadas en todo su contorno, siempre el mecanismo para plantearse la deformación es el mismo. Viéndolo para el caso de un triángulo, el punto medio desciende, en este caso se han dibujado las deformaciones según las medianas, desciende con libre giro en los bordes, apareciendo el efecto de los ángulos que nuevamente nos va a producir tracciones en la cara superior, sobre los vértices. Esto implica que nuevamente vamos a tener una malla en los vértices de la cara superior y el resto en la cara inferior.

En estos casos vamos a elegir siempre dos direcciones como principales y vamos a hacer una malla ortogonal porque es la manera de tener el mínimo de cruce posible entre los hierro. Si hiciéramos una malla paralela a cada uno de los lados, tendríamos una serie de cruces que nos haría perder altura, cosa que no es conveniente, por lo que tomamos dos direcciones, uno de los lados cualquiera, si el triángulo es isósceles la base, si es un equilátero puede ser cualquiera, si es un triángulo rectángulo los dos catetos, siempre es a la lógica del conjunto al cual pertenece la losa. Lo único que para este tipo de losa, por lo menos para losas triangulares, las normas no admiten obviar la armadura superior, por lo que nos estaría quedando una armadura como se ve en el gráfico. ¿Qué pasa cuando llegamos a tener infinitos lados?, ósea el perímetro es una circunferencia, pasa en este

caso que todas las deformaciones son iguales, cualquier diámetro es el mismo y no tenemos efecto de ángulo, en este caso no aparece el efecto de querer levantarse, y tenemos el valor del momento para el dimensionado, M = P x d2 20 Aquí también se arma en dos direcciones, eligiendo dos de los diámetros cualquiera, ortogonales, pueden aparecer en los textos otro tipo de organizaciones determinadas, para los casos de 10 o 15 metros de diámetro.


Cuando tenemos X infinitos lados, lo que hacemos es considerar la circunferencia inscripta en el perímetro y dimensionarla como una losa circular, cuyo diámetro queda definido por la circunferencia inscripta.

Vemos en el esquema, como al aumentar los lados, la influencia de los ángulos se va perdiendo cada vez más. El tema de la resolución de losas a pesar de que parece muy inocente, es del punto de vista matemático muy complejo, porque la ecuación diferencial que rige los extremos de la barra, que es lo que nos permite a nosotros trabajar desde el punto de vista matemático cualquier losa, que sabemos que si tenemos la carga la integramos y nos da el cortante y si la volvemos a integrar nos da el flector y si derivamos nos da la deformada. Esa ecuación que es muy simple cuando tenemos una barra, se complejiza a extremos tales que no tiene resolución la ecuación diferencial cuando tenemos una placa, no tiene una resolución directa. No podemos llegar a valores, y se ha trabajado siempre con aproximaciones, que han permitido llegar a valores razonables. Y en los textos no aparece un catalogo muy grande de formularios para determinar solicitaciones en losas.

Las losas de planta rectangular apoyadas en tres lados, la diferencia que tienen con las que están apoyadas en todo su contorno, es que el lado libre se puede deformar, por lo que va a bajar y tendremos una curva de ese lado como vemos en el gráfico. Esto se parece bastante a media losa de 4 apoyos, donde la mayor deformación se da en el borde libre y en la medida que nos acerquemos a los vértices

tendremos el efecto de torsión y el levantamiento de los apoyos. En principio tendremos que prever la aparición de una malla superior en los vértices, como vemos en el gráfico.

Y una organización de armaduras, como también vemos en el gráfico, donde aparecen muchas de las cosas que ya vimos: al haber curvatura en ambos sentido la malla se arma justamente en ambos sentidos; un borde libre que va a llevar al diseño de hierros doblados que vimos en los bordes libres, y ángulos donde vamos a tener que colocar armadura en la cara superior, acá tampoco se nos va a dejar quitar esa armadura.


Estas losas son sensibles a sus proporciones en planta, en cuanto a lo que ocurre. Tomando siempre Ly a la que es la dirección perpendicular al borde libre, si Ly = Lx/2, prácticamente estaremos colocando una doble malla, porque el efecto de los ángulos compromete a una tal cantidad de la superficie de la cara superior, que es preferible una organización como doble malla. Cuando la relación de luces tiende a ser un cuadrado, ya podemos distinguir dos zonas de armaduras, donde para la armadura inferior en la zona cercana al borde libre, las curvaturas son sensiblemente mayores a las curvaturas cercanas al apoyo, por lo que podremos tener armaduras resistentes distintas en una mitad que en la otra, viendo los hierros que van paralelos al borde libre, y en la cara superior se nos va a reproducir la necesidad de cubrir con una malla la primera mitad, la que está próxima a los vértices en el cual concurren dos lados apoyados. Y cuando la losa tiene proporciones de (Ly = 1,5 Lx), se empieza a parecer mucho a lo que sería una losa apoyada en los dos lados longitudinales, por lo que en la cara inferior todo lo que pasa es casi parejo por lo que no vale la pena entrar a graduar entonces la armadura se arma toda igual, y en la cara superior tendremos que cubrir lo que pasa en los vértices con una malla superior.


Cuando tenemos un voladizo, este está apoyado sobre la línea roja y el resto se desforma cuanto quiere, desciende cuanto quiera. Tiene una deformación que podríamos llegar a decir que es cilíndrica, sí la carga es uniforme o sí la carga es en líneas paralelas al apoyo, solo tenemos curvatura en un sentido, en los cortes paralelos a el apoyo serían rectas, por lo que vamos a necesitar una malla en la cara superior y nada en la cara inferior. Pero hay que tener cuidado, porque esta malla debe continuarse sobre la losa que tiene continuidad con el apoyo, sino esto se cae.

Porque esta deformación se trasmite también hacia adentro de la otra losa y hay que colocar una armadura que pase hacia adentro, de no ser así esto se cae. Por lo que tendríamos un esquema de armaduras de la siguiente forma: como hay un borde libre hay que protegerlo, y se ancla, en general el anclaje suele andar en el orden de lo que se vuela, una regla de buen construir sería anclar lo mismo que se voló. Este es un voladizo simple, voladizo en un solo lugar. ¿Qué pasa cuando ese voladizo está en un ángulo? Nos tenemos que imaginar como un sistema de dos fajas que bajan en ambas direcciones, teniendo el punto más bajo en el vértice exterior, quedándonos un sistema de doble curvatura.

Y en este caso también las armaduras deberán ser pasantes, ya que el anclaje debería ser el largo del voladizo. Entonces para los voladizos, tendremos malla por arriba y un anclaje suficiente.


Puede darse un único caso de losa en voladizo, que no requiera continuidad, y es cuando la losa esta en la

siguiente condición, una losa que esta apoyada en dos lados y tiene dos lados libres, en este caso no se requiere continuidad, pero si se requiere que haya algún peso sobre todo el borde de apoyo para que eso no se vuelque. Por ejemplo si lo tenemos apoyado simplemente sobre el muro, la losa giraría sobre la diagonal, por lo tanto o le colocamos un peso arriba, o aparecería un elemento de hormigón que tiene algún anclaje en las fundaciones, puede ser una viga carrera con un pilar de traba que ancla en las fundaciones y esto estabilizaría esta losa. Estudiando las deformaciones de esta losa, haciendo un corte por la diagonal vemos que todos los puntos bajan, obteniendo una suerte de mensula, pero como todos estas puntos bajan, tengo una doble curvatura, lo que nos implica tener una doble malla, porque en el sentido de la (línea roja) tenemos tracciones por arriba, y en el sentido de la (línea azul) tenemos tracciones por debajo, por eso la armadura debe ser una doble malla. Otro voladizo particular es cuando tenemos una situación en planta en la que vuela en los dos sentidos, como lo vemos en la figura, esto esta volando en la dirección de la línea azul, y tiene una deformada de doble curvatura en el sector que se forma con el ángulo de los apoyos y una deformada de simple curvatura en los sectores de los apoyos. Para resolver esto, los sectores de simple curvatura como ya dijimos lo podemos solucionar anclando el volado en la losa, pero para el sector de la esquina tenemos que medir el volado por la diagonal, esto nos va a dar una mayor armadura, y además el punto rojo baja mas que todo el resto del volado, y es algo que se nota, por eso hay que tener preciso cuidado con la flecha para que no supere los valores máximos recomendados.

Hay que ser muy estrictos con la flecha en estos casos, para no caer en deformaciones notorias, y la flecha hay que verificarla con la luz de la diagonal (línea azul), sino se ve. Para el armado de esto se recomienda el siguiente esquema, tener presente que en este dibujo solo se representaron los hierros en un sentido, pero va igual en el otro sentido, la armadura la determinamos para el momento del voladizo simple, pero en la zona cercana al vértice duplicamos la armadura, nos viene a quedar una zona de un ancho igual a la mitad del voladizo con armadura duplicada, esto pasa en ambos sentidos. Esto generalmente nos da valores bastantes fuertes, porque cuando hacemos estas cosas no es para volar 60 cm. y nada mas, generalmente son volados importantes. Si son volados de 40 cm. no le damos importancia.

LA ARMADURA DEBE SER UNA DOBLE MALLA


Ejemplo: ¿Cómo estimar la altura para una losa? Es una buena práctica trabajar con las recomendaciones que da la norma, tanto para losas armadas en 1 dirección como en 2 direcciones, nos da un criterio de los espesores en función de las luces en planta, la norma nos dice: que si se cumple eso, (los datos que están en el cuadro) no debemos verificar la flecha. TABLA 25. Losas – Valores de m

NOTA: Para losas armadas en dos direcciones, la luz de cálculo es la luz menor. Para losas armadas en dos direcciones con relación luz mayor/luz menos, mayor de 1,3 el proyectista deberá disminuir los valores de la tabla 25 B comparándolos con los casos correspondientes de la tabla 25 A.


Esto es indicativo para empezar a trabajar, pero en general anda bastante bien. Generalmente buscamos redondear los espesores de losas en valores lógicos, y en general el espesor de 10cm. es el de partida por defecto, salvo que las plantas sean muy grandes, si el espesor verifica esto, se sigue para adelante. Una vez resuelto el espesor, nos quedara resolver el tipo de acero que usamos y la concordancia entre el tipo de hormigón y el tipo de acero que vamos a utilizar. Según Norma UNIT 1050 26.2 Clasificación de la resistencia característica de proyecto Las clases de hormigón indicadas seguidamente, estan de acuerdo con lo establecido en la norma UNIT 972: C-12,5; C-15,0; C-17,5; C-20,0; C-22,5; C-25,0; C-30,0; C-35,0; C-40,0; C-45,0; C-50,0 Los números indican la resistencia característica de proyecto del hormigón a compresión a los 28 dias, expresada en mega pascales, determinada según el ensayo especificado en la norma UNIT-NM 101 para probetas cilíndricas. 26.3 Resistencia mínima del hormigón en función de la del acero La resistencia característica de proyecto del hormigón, fck expresada en MPa, no debe ser menor que la indicada en la tabla 10 Comentarios: La tabla 10 se basa fundamentalmente en la norma de buena práctica de no usar aceros de resistencia muy alta con hormigones de baja resistencia. El incumplimiento de está, aparte de conducir a longitudes de anclaje y empalmes desproporcionadamente grandes, puede ocasionar presiones excesivas sobre el hormigón en las zonas curvas de las barras. La tabla 10 no debe interpretarse en el sentido que, si por un fallo accidental, se registran en una zona de la obra resistencias inferiores a las especificadas, la zona resulte inadmisible, sino simplemente que dicha zona requerirá un estudio detallado de su comportamiento previsible. Tabla 4.5.1 (Tablas y Abacos) Con estos valores tendríamos decido una parte, que son los materiales, ahora tendremos que ver que medimos en consonancia con nuestro modelo de comportamiento, para poder llegar a saber que cantidad de esos materiales vamos a colocar Ejercicio: Nos tomamos una losa triangular con esa planta, como nuestra la figura, es un triangulo isósceles

que tiene una base de 6 metros y una altura también de 6 metros. Vamos a trabajar ayudados por una serie de tablas, que nos van a permitir medir los momentos que vamos a necesitar para un trabajo posterior que van a ser las descargas para cada uno de los apoyos, que nos van a permitir después en nuestro modelo funcional estudiar que pasa con ellas. En general todas las tablas de losa con las que nos vamos a encontrar son del tipo adjunto, donde tenemos carga uniforme y planta rectangular, podemos tener planta rectangular y carga no uniforme, carga triangular, carga hidráulica que aparece en las

paredes de los tanques de agua, carga provocadas en forma lineal por muros, losas apoyadas en tres lados y losas triangulares. Todas estas losas de distinta planta y con distintas cargas, tienen siempre el mismo


diseño en su cabezal. Determinan los momentos a partir de hallar primero el total de carga que hay sobre la losa.

En el ejemplo resuelto vemos que lo primero es el momento en x, que es el área del triángulo, ly por lx sobre 2, multiplicado por la carga uniforme que hay sobre la losa, la carga por m2 (900), divido un coeficiente (30,12). Este coeficiente siempre va a estar dado por la relación de luces y en función de distintas condiciones de apoyo, cuando aparece una línea delgada es simple apoyo, cuando aparece la línea mas gruesa quiere decir que tiene continuidad por ese borde. Para nuestro ejemplo la relación de luces es 1, 6/6, tenemos que hallar un momento en la dirección X y otro en la dirección Y, un momento perpendicular a la base y otro paralelo a la base, es decir vamos a tener armaduras perpendiculares a la base y paralelas a la base. Después de hallar los momentos 538 y 679 daN.m, los pasamos a cm. y después los mayoramos por 1,6; este valor hallado es nuestro valor de momento de dimensionado, vamos a tener momento en x y momento en y Estos valores de momento que hallamos son los que se producen considerando una faja de ancho un metro, ósea una faja de ancho 100 cm. Es decir que en la losas macizas, vamos a tener siempre secciones rectangulares de hormigón armado con b = 100 Vamos a aplicar las expresiones que nos permiten determinar en función del momento las armaduras para

una seccione rectangular; hallamos un coeficiente µ que es el derivado del momento, de las dimensiones de

la sección, de la calidad del hormigón que estamos usando, y con ese µ podemos hallar un valor de omega

ω que luego nos permite hallar la cantidad de armadura que necesitamos.

Mi = P. Lx . Ly 2 . mi


Pero podemos hacer una forma mas fácil, que es utilizando un ábaco “Determinación de Armaduras en Losas”, que tiene las curvas para los valores de resistencia característica del hormigón de 150, 175, 200,

250 y 300. Entonces podemos no buscar el valor de µ para entrar, sino un valor que es el momento de dimensionado sobre la altura útil a cuadrado Md d2

Con este valor entramos en las abscisas de este ábaco, y luego con el valor de ω leído en el ábaco,

podemos hallas As = ω . d La tabla esta hecha para un acero de 4200, por eso en el caso de trabajar con un acero de 5000, tenemos que multiplicar por 0,84, que es la diferencia que hay entre 5000 y 4200. Las losas se conforman con una malla, una responsable a resistir las tracciones asociadas a un momento, en una de las direcciones y la otra responsable de resistir las tracciones asociadas a los momentos de la otra dirección. Por lo tanto unos hierros van por arriba de los otros, con lo que tenemos en cada sentido distinta altura útil, y para condiciones normales de recubrimiento, la mínima distancia a la cara inferior, si estoy en el tramo, sería en la cara superior si estamos en el apoyo, es de 1,5 cm. por lo tanto a partir de ese valor vamos a tener que estimar un valor de recubrimiento mecánico, ¿cuánto le tengo que restar a la altura real para llegar a la altura útil? Se trabaja con 1,5 cm. + medio diámetro ficto que es 0,5cm., por lo tanto a la altura real le vamos a tener que restar 2 cm. para tener la altura útil, para la malla que esta más cerca de la cara inferior, pero para la malla que está sobre esta, tengo que sumarle la otra mitad del diámetro y medio diámetro más, por lo que sería 1 cm. más, con lo cual le tendríamos que restar 3 cm. a la altura real para obtener la altura útil de la malla que va por arriba. (Como se ve en el gráfico)

d = h – 2 d´ = h – 3 d´ = d – 1

En general las losas en el caso de ser macizas las vamos a armar con hierros de 6, de 8, de 10, o de 12, se nos recomienda no usar hierros mayores a 12 por el poco espesor que tienen las losas. Nada nos obliga ni nos dice cual de las dos mallas va por arriba o por abajo, tenemos que ver cual es más conveniente, y asociamos la dirección en la que se produce el mayor momento para poner los hierros por debajo, aprovechando la mayor altura útil para tener el mayor par interno y que me de la menor componente de tracción. Siguiendo con el ejercicio: Tenemos la pareja de materiales y Consideramos una h = 10 cm, (la consideramos pensando que si esta hubiera sido una losa rectangular de 6 x 6, nos tendríamos que haber toma un 50 avos de la luz, que nos daría 12 cm., como la losa es triangular, los momentos van a ser menores por eso podemos tomarnos 10 cm.? Y con este valor despejamos los valores de: d = 8 cm (y) por ser el mayor momento. d´ = 7 cm. (x)


Hallamos el valor de Md d2 Con este valor entramos al ábaco y obtenemos el valor de W. Con el W y las alturas útiles, obtenemos el valor en cm2 del área de acero que necesitamos en cada dirección, este valor lo buscamos en el cuadro y obtenemos el diámetro de las barrillas y la separación. Pautas para organización de las armaduras: Los diámetros pueden ser: 6, 8, 10 o 12 Las separaciones tienen que ser siempre ≤ a 2 veces la altura real y no mayor que 20 cm. La separación mínima de 10 cm., es una separación de lógica, porque sino van a ir demasiadas barrillas, vamos a tener que hacer un montón de ataduras, desde el punto de vista de la mano de obra no es nada conveniente para la economía. Si el caso lo amerita, nada nos prohíbe separarlos cada 8 o 9 cm. Tendremos que verificar unos valores de cuantías:

− La cuantía geométrica mínima que es 1,5 por 1000 para aceros de superficie conformada y para aceros lisos es del 2,5 por 1000

− En losas macizas sobre apoyos paralelos se fija una cuantía mecánica mínima para la armadura secundaria o de repartición de:

Hallada la armadura tendremos que dibujarla, teniendo presente de que quede bien claro cual va por abajo y cual va por arriba, si al elegir los hierros podemos utilizar el mismo diámetro en ambas direcciones tendremos bien claro que la que tenga separaciones menores es la que va por debajo, como es en este caso. En el dibujo, en ambos sentidos estarían faltando los dos hierros que no se doblan, solo doblamos uno de cada tres. Y en este caso es mejor llegar con los hierros hasta el borde y volver, que subir a 1/5 del borde, porque es mas fácil el replanteo de los hierros en obra. Lo que tenemos que agregar son las armaduras en los apoyos, que sabemos que las necesitamos, pero la tabla no nos las dio, lo que se hace es colocar una malla en los dos sentidos con la misma característica que la mayor de las dos direcciones de la malla principal, es una regla de buen construir. Las losas siempre es la asociación de una cantidad de hormigón a una malla, esa malla tiene que estar puesta del lado donde hay tracciones, para lo cual tenemos que saber imaginarnos la deformada de las losas y luego saber que para cualquier losa aislada todas las tablas que aparecen tienen la misma variantes.

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09 - Losas o Placas