350
ARSIMI I MESËM PROFESIONAL PËR VITIN I ARSIMI I MESËM PROFESIONAL PËR TË GJITHA DREJTIMET Naum Cellakoski Verica Bakeva Borivoje Milladinoviq Jovo Stefanovski MATEMATIKA MATEMATIKA

093 Matematika 01 - 02

  • Upload
    others

  • View
    2

  • Download
    0

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: 093 Matematika 01 - 02

ARSIMI I MESËM PROFESIONAL

PËR VITIN I

ARSIMI I MESËM PROFESIONAL

PËR TË GJITHA DREJTIMET

Naum CellakoskiVerica Bakeva

Borivoje MilladinoviqJovo Stefanovski

MATEMATIKAMATEMATIKA

Page 2: 093 Matematika 01 - 02

PARATHËNIE

Ky tekst paraqet librin e matematikës për vitin e parë të arsimit të mesëm profesional. Në të janë të përpunuara të gjitha përmbajtjet të parapara me planet përkatëse mësimore për të gjitha drejtimet të arsimit të mesëm profesional. Sipas programit mësimor, për secilin grup të drejtimeve janë të përpunuara temat përkatëse. Në të secila temë për grupin përkatës të drejtimeve është shënuar me shenjë në mënyrë vijuese:

elektroteknik, makineri, gjeodezik-ndërtimor, komunikacionit, kimiko-teknologjik, xeherorë-gjeologjik, metalurgjik, shërbime-personale (optika e syrit)

ekonomiko-juridik dhe tregtar, lëkuro-tekstil, hotelier-turistik dhe grafi k

shëndetësor, veterinar-bujqësor, pyjor-përpunim i drurit dhe shërbime personale (profi l: teknik i kozmetikës).

Grupi i drejtimeveShenja

T

E

Z

Çdo temë është e shënuar me shenjë përkatëse për secilin drejtim apo grup drejtimesh për të cilin është dedikuar. Në tema të parapara për dy grupe drejtimesh, përmbajtjet mësimore (mësimet) janë të shënuara për cilat drejtime janë të dedikuara, e ato përmbajtje grupi tjetër i drejtimeve nuk i mëson. Detyrat të dedikuara për një apo dy grupe të drejtimeve janë të shënuara në mënyrë përkatëse dhe ato nuk janë të obligueshme për drejtimet tjera. Libri përmban nëntë tërësi tematike. Çdo temë fi llon me shqyrtim të përmbajtjeve mësimore. Gjatë përpunimit të tërësive tematike do të takohesh me:

Kujtohu! Do të thotë, duhet të përkujtohesh në disa koncepte dhe pohime dhe t’iu përgjigjesh kërkesave të dhëna. Kjo do ta lehtësojë të mësuarit e përmbajtjeve të reja.Me këto shenja njësia mësimore është ndarë në pjesë (porcione) të cilat u përgjigjen koncepteve të reja.A B

, ,...

1 2 3, , ,...

Me këto shenja janë të shënuara aktivitetet, pyetjet dhe detyra që do t’i zgjidhësh në orë në mënyrë të pavarur apo me ndihmën e arsimtarit.

Me këtë janë të shënuara pyetjet për të cilat duhet të mendohesh dhe t’u japësh përgjigje.Te kjo shenjë është dhënë ndihmë për zgjidhjen e kërkesës së parashtruar ose përgjigjja.

1

2 3

,

, ,...

Mbani mend!

Kjo të udhëzon në defi nicionin e konceptit të ri apo në pohimet që vlejnë për atë koncept.

Secila temë në fund përmban detyra për vetëkontroll (detyrat kontrolluese tematike) të shënuara me

Në pjesën e dytë të librit janë dhënë përgjigjet, udhëzimet apo zgjidhjet e të gjitha detyrave.

1 2, ,...Në fund të secilës njësi mësimore janë dhënë detyrat për punë të pavarur të shënuara me

Do të na gëzojë nëse ky libër të ndihmon të mbërrish sukses solid. Autorët

Page 3: 093 Matematika 01 - 02

��������������

��

��

��

��

��

������ ���������

��

��

�����

�����

�����

�����

�����

�����

�����

����������

����������

����������

��������

������������������ �������������������������������������

������������������� ��������������������������������

������������������ ����� � �� ����� �� ����� � ��������

�� ��������������� ��������� !"��� ��#���������������������

��� ����� ���� �$������������ �����������������������������

�� ����� �������� ������ ����$����������������������������

����� ������� ��������� ����� �� �� ��������������������������������

���������������������������������

�� ����� ��� �����������������������������������������������

��������� ������� ����� � ��������� �������������������

�������� ����������������������������

"� ���� �����%������ � ����� ������������������������������

�����

��������

����

����

����

��������

��������

��������

��������

��������

����

����������� & ������������� � �� ����� ��������������

2.

32

.3

�3

.4

7.

8

� �.1,23 5� �.0, 3

1.2

1 2 3 4....

05�7�

20�

100�

2002.......�

2� 1�

��

2

3

5

1, 101001000 ...

��� �� �

Page 4: 093 Matematika 01 - 02

���� � � ����� � ������� �� �������� �� ��� ������ ��

��������

����������'�� �� �����������()�*�������� �������� +)�*�������'�������������+)�*��������� ��� +)�*������������� +)�*������������� �

&� ��� ��������� � ���������������� ��������

,������� ����� � � ������ � ��������������(�-�.�/�0�1�2+$-�0�)�3�4�)5+�-�0��/�5�4�6��������4�37

8���������������������������������������� ��� �%����������� � ���������� �

����� �$���(�5��*���������9:����"�����������������#�������;������������ ���������������

# � τ<�-� ���������� ������������� ��������� ������������������� �$���� τ<�-�4�⊥��<� = �(������ ��� ��������� �� τ������������� ���%�$ ����� �-�

*�����+���������������������� ��������������������0�⋅ 3�/�5�4�6�����������%������ ���������������� ������������������� �������� τ<�-�4�>�

&����%������ �������� ������������� ������� �$�����%������?#�� ��������������������� � ���� ;���������������@�������%������ �������������������������=���������������� � ���� �� �����������=������������������� � ���� ����������� ������������������������������� � �� ���������� ���������������� ����

*������(�9�������A���4��6�;+�9# ����� �3��/��0��1��.;+�9�����������'���� ������������ ���$���$������;������������� ��� ' ��� �������������������� ���� ������������ ������� �����

*������9����� ������������������������'������������� ������������ ������������ �������� ��������� ���������

*���������9�� ��������������������� ��;��������������������'��%��������������������

����� �$���(5��:����"�����������������" � ��3�� ������������� '�� �����B�����#�' ������0��# ������������ ��������� ��� �����������.��&������ �� ���$�����������$���$�����A��������2������� ��� ���

"�� ���� �����%����������������������� ��������� �������������������������������� ������ ����� ����� ������� ����*������� ���������'� �������������������

����������%������ �������� ��� ��������'�������� � ����� ���� � ������� ���

��

Page 5: 093 Matematika 01 - 02

�-�# ����� �3�4�0+ $-���/�3�4�A�������4�5+ �-�6�1�0+�-�@������0�C�D+ -�3��/�0�4�5+ %-�>� ������������� ����� �

,������������� ��������������(

��10 2 3 4� � � ����������� 7 4x� � ����� 3x �� ���5���������������� ���+ � 32 6� �

� ,����� �� ������ �$���$����(

�- (3 4 8)� � � + $- (2 8)� + �-�τ<3�����������������$���-+ �- ( 1 1x� � � ����� 0)x � �

�-� (3 4 8)� � � �� �

��������

�������������� �� ���������� ��� �����%����� � �������� ������ ����������E�� �������� ������� �����E�� ����������%������%�������� �������'��������%�����������$���������� �������� ���������������F� ���������E���9� ;��9� ;��?��� G����� ��;��9��� � �� ������� ;�� �� �������9�;�

�� �������� ����������� �������� ����E�� (������������������������������

������� ����� ����F��������������������������������� ���������

�������������� ��� �������������������������� �����������'�� ������������ ������E�� ���� �������9�;�

*������� �������� � ����������������� � ������������ � ����� ���� � ������� ���'� ��������

*�������'�������������������%��������� ��� �������� ���$������ �������� ��%�������'������$���������� �������������� �

H���������%������(5��I ���������3��#����������������������%�����������$���� ����������+�-����$���� �<�� ����������������� -+$-������� �<�� ������������������ -+�-�# ������<�� ����������������� -�������%������� � �<�� ��������� ����� -���%����� �5-��3-�

���������� ������������ �� ��������!���������%������%�����������$����� �������� �

�����'����������$�������������� ������E�� ���� �������� �� ������?�;��'� ������"��������� �����!�����#

: ����� ����������*������?H�������������������������������� ������������������������������ ����������������� ���������������������� ��

?H��;�'� ���������������� ���� ��� ����

J���� �������� ��������(�9K����������������������$���L��

M��������� �������9�L�'�������%���%�� ��������������� = ��9K������������������� ����� ���;<���� ���� �9H����������������������� ���;-������ ��������������� = �� � ������(�9��������� ������� ����������������������� ���;�

Page 6: 093 Matematika 01 - 02

"� ���� ����� �������<����� -�������������������' ����� ���$ ���

��� �$N>��⊥O����� ���� �� ��������$��������$����'�� ����������������� � (

� � ������� ���� �τ%�&��τ%��&�������������� ���������� ���������������������$ �������(

( )pτ ( )pτ ⎤

��

������� ����� �� ���� � �� (�������� ��������� ������� (�&�(�D������������F�%�+ $-��(�:����"������������������������+�-���3P������������F�%�+ �-��(�&������ �� ��� �����������������������$���$�����

���������

�-���(�D����������������� ���τ<��-�4⊥+ $-�:����"������������������������������τ<��&�4�>+�-���(�3P�������������������� �����τ<��-4⊥+ �-�⎤�(�&������ �� ��� �������������������$���$������τ<��-4>

� ���� �������� ���� � ( �-�2 0� + $-5 1� �

�-��<31Q-������ �����������3Q+�9���������3����������� �Q;������ ��������� �93��������� ������� �������$���$������ �Q;�$-��<A≤5-4<A15-+�9���������A������������ �5������$���$������ �5;������ ��������� (�9A�1�5;�

��������

��� ���������������������������������������������������������������

��� �������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

�����������9��� ��;������ � ���� ����������������$����������������������� ����� ���������� ������������� ���

������������9��� ��;������ � ���� ����������������$����������������������� ������ ���������������� ����� ������������ ������������������ ������ ���������� ��������������� ���

���������������� ������ ����������������� ����� ������������� ���

� �

� ⎤

���� ��������� ������������!"��"��������#�����#��$������������ ���������!"��"�������������#��$��

����� ������������� �������������� ���� � ���� ������� (�(�������53���������� ���� ����� ��������.���������(�I�� ����� ��������������������� ���������� ���

����������� ���� � ������ ��������� ( ����������� ���� � ������ ��������� �(

p q∧ p q∨

Page 7: 093 Matematika 01 - 02

������������∧ �(�������53���������� ���� ����� �.�� �'�� ����� ��������������������� ����� ���&�������������∨ �(�������53���������� ���� ����� �.�� �'�� ����� ��������������������� ����� ���

>�$ ��� ����� �������

���������������( �����������������

��� �$�4�N>��⊥O���� ���� �� ��������∧���� ��������∨�$��������$�=�$����$���������$����'�� ��������������� � (

���������

������������������

��������

⊥⊥

⊥⊥

⊥ ⊥⊥

A A� �∧

��������

��������

�����������������⊥ ⊥⊥

⊥ ⊥⊥

A A� �∨

,������������ ����� � ����� � ������������� ����-�������53���������� ���� ����� �2�� �2�������� ���� �����A.+$-�52����������%������A�� � "�<2��D-�4�3.+�-�3⎪2�� �0�C�3+ �-�0�1�A�� �0�/�3�4�2�

&� �����E$��������� �� � � ���� ��� �������������������$������� �� ������

�-��(�������53���������� ���� ����� �2+ �(�2�������� ���� �����A.�

�� ��τ<�-�4�>�� �τ<�-�4�>���� ��τ<��∧ �-�4�τ<�-�∧ τ<�-�4�>�∧ >�4�>�$-��(�52����������%������A+ �(� "�<2��D-�4�3.

τ<�-�4�⊥���������τ<�-�4�>����������τ<��∨ �-�4�τ<�-�∨ τ<�-�4�⊥ ∨ >4�>��-�τ<3⎪2�� �0�C�3-�4�τ<3⎪2-�∧ τ<0�C�3-�4�>∧⊥ 4�⊥��-�τ<��∨ �-4�τ<�-�∨ τ<�-4�⊥∨⊥4⊥

� �

� �

��

� �

p q�

� �

� �

p q�

H������������ �(��(�<)3-��/�5�4�A+��(�D����������������F�%�+��(�35���������� ���� ����� �6�*������ �� ����$���(��-� rp ∧ + $-� ;q p∨ ������-� ;p r�� ������-� .q p�� � �

,������ ���� ���� ������ �

Page 8: 093 Matematika 01 - 02

�-� : 8q p�� � �����������F�%��� �<)3-���/�5�≠�A+� � � � � � �q p q p� � �� � � �� � � �

���

�� ,������ ���� ���� � ����� � (�-������63���������� ���� ����� �A�� �3A���������� ���� ����� �A+

$-�1 1 2

2 3 5� � �� �

1 1 5;

2 3 6� �

�-�0���/�5≠ 2�� ��<6���D-�

���

� ,����������� ��%����� ����� � ���������(�-�A��������������������$-�3��1�����-�0�/�A�C�6� ����-3��1���������4�0� -�������� �� ������������������� ������� �%-�������D3������������� ���-�B� �����E������������������������

� ������� �������� ���� � ����� � �-�������5A�������������������$-�������0P�������������������� �����-���$�����D����� ��-�D����������������F�%�� -�<P�1�0-+�<0�/�A�4�6-+�<2���P-�<5A���5Q-

� H������������ �+

�����������1�3+����������C��)���������� ��(�0�1�)0

*������ � ���� ,p q� ������ ;q r�� ����� ,p r�� � � ������������

�� ��������� �������

� H������������ �(�(�0���������������� ����� ��(�0�����������F�%���*������ ��� ��������������� ���� ���� ������������� (��� ;p q�� ����� ;p q�� ����� ;p q�� � ����� .p q��

� ,������ ���� ����� ������������� � (�-�:����"����������������� ����� ���������� ��$-�:����"������������������������������ ���������������� �������-�:����"�����������������" � ��� ������������������

,������������� ��������������(�-�5Q�/�A�⋅�.�4�0Q���$-�10 5 2 30.� � ��-�612 : 3 24.� ��������-�# ������������ ���� -� ���� ����� � ������ ������������5DQR�

��

�%

�%

Page 9: 093 Matematika 01 - 02

�� ��� �� ���� ������

��������

�����%���������� ����$������ �������� � � � ���� �,������������� �� � � ���� ����%������� �����7# �������%����������������������� �����%������� �������������� ����������%������� �����7

H���������%������(�-���� � �� �������� ����� $���������� ��� ������ �� �$�E�����������$���$�����$-�>� �������������$������������ �� �� ������ ����������� ����$���$����

�������������9��� ������� ����;��������������$��������� � ���� ������������������������ ���� ��������������

�������������������� ������������������������������� ������������������� � ��� ���

�����������9����� �� �� ������� �9�;���������������$��������� � ���� �������������������� ���������������� ��������� ���� ��������������� ���������������������������� ���������������� ���� ������� �������� �������

����������������� � ����� �����������!

,p q⇒

� = �(�9��� ������� ������9��������� ����;��;�������� ���;��9�����������;� ���

������� ����� ���� � ���� �'� ���������

� *��������������� � ������ ���������� � ���� ������� ��(�3.�4�D�⋅ 0�����������(�D⎪3.�

����������������( ��� �3.�4�D�⋅ 0����� ���D⎪3.�

������� �������� 3.�4�D�⋅ 0���� �� �� ������� �D⎪3.�

��� �� � � ���� ����%�������9�����;�����(�(�>� �������������$�������� �(�>� ������������������ ����$���$�����

� H������������ �(��(��������������@J,&�������� ����������(�&������ �� ���������������@J,&���������$���$�����*����������������� � ������ ����� ���� � ���� ��

� �

� �

>�$ ��� ����� ������� (

���������������� ������ ��������

� �

⊥⊥⊥

⊥⊥

⊥⊥

p q

p q

� = �(�9����� �� �� ������� ��;��9������� ������ ����� ��;��9� ��� ���� �� ������� ��������;�

,p q⇔

��

Page 10: 093 Matematika 01 - 02

��

��� ��$�4N⊥��>O���� ���� �� ������⇒��� ��������⇔�$��������$�=�$����$���������$����'�� ��������������� � (

���������

������������������

��������

⊥⊥

⊥⊥

⊥ ⊥⊥

A A� �⇒

��������

��������

�����������������⊥ ⊥⊥

⊥ ⊥⊥

A A� �⇔

� ,������ ��������� ������� � (�-�<)A- ⋅ 0�4�)5A���� �� �� ������� �A�⋅ <)0-�4�)5A�$-���� �02���������� ���� ����� �D����� ���02���������� ���� ����� �.��-���� �0��4�<)0-������ ���0�4�)0��-�������02���������� ���� ����� �0����� �� �� ������� ������ ���%��� ������������� ��� ���� �� ����� �0�

���������(�<)A-�S�0�4�)5A����������(�A�S�<)0-�4�)5A�

���� � �p� �

�� � � �q� �

���� �� � � � � � �p q p q� � �� � � �

��

��� � � � �,p q� ��� �

&�������� � �p q� � ���

��� � �p� ��

&� � � ,q� �� �������� � �p q� � ��.����

�� � �p� �

&� � �q� �

&��������� � �p q� � �

�� �

� ,����������� ����� ����� � ������������ ��(

�-� 35 5 3� � ���� �� �� ������� � 34 4 3.� � $-�20 21 1� �� ���� �� �� ������� �30 31 1.� �

�-���� � 25 1 24,� � ���� ��� 25 1 9.� � �-���� � 1 1 1,

4 3 7� � ���� ��� 3 43 2 .

� ,������ ���� ���� � (

�-�2 3 3 2;> ⇔ > $-�2 3 4 6;> ⇒ >

�-�3 2 2 3;> ⇔ > �-� 2 24 8 3 6.= ⇒ =

���������9��� ������� ����;���������'� ������"���<��� E���������-�������������������������<��� ����������%�����-

� ��������������������������������������������� � ������ ����'� ����� �������������#

Page 11: 093 Matematika 01 - 02

��

���

� # �������� ���$ ������������ ������������ ���� ���� � ����� � (��� ;q p�� � ������ ;p q�� ������ .p q��

� H������������ ��1 2 1

: 1 ;2 3 6

p � �

1 5: 2,5 1,5 10 17; : 5% .

2 1000q r� � � � �

,������ ���� ����� ������������� � ��� ;p q ����� ;p r�� ����� ;p q�� ����� .p q��

� ��� ��� ��'��τ<��⇒ '-�4�>�� �τ<'-4⊥���� ��������������(��-��������+�$-����������

���������������������� �������� ��������� ���

��������

������������������� ��� ���%����,��������������%��7 �������������(����E �� �� ����� ��'���� ��������������� �� ��'���� ��������������������������(�5��3��0��.��G��������$��������� ������� ��������� ��������� � ���� �������

{ }1,2,3,..., 1, , 1,... .n n n= − +�

��� ���� �� �������� � ������ �����������������(

� �

,��������������������������������7,�������������������������������(����������3����������P6�����������AQ5������������7,��������������������������������(���������A�����������3QQ�������������7

� @������������ �������(�9 ���������������������������������� ����7;�

�������Q����� ������������������������������� ���������0 .∉�J�������� ���������������� ���������� ��������E ����� ��� � 0 ,� ������� { }0 0,1,2,3,4,...=�� �'� ��$�������� �E�� ����� ������� ���������

��������

H������������ �� 1 1: 5, : 4

5 4p q� � �

1: 3.

3r � �*������ (

��� ;p q ������ ;p r�� ������ r q��

� �������� ��������� ������� �

H������������ �� : 3| 7, : 3| 9 : 3|1.p q dhe r

*��������� �(��� ;p q ������ ;p q�� � ������ q r��

� �������� ��������� ������� �

�� �������

��������������������������������� �� ������ �E���������������������������J�������� ������� �������������� ���%����� �

H������������ ���(�������53���������� ��)�� ����� �0���(�������53���������� ���� ���� �3+��(�������53���������� ���� ����� �2�*������ �(�-� ;p r�� ��$-� ;p q�� ���-� ;p q�� ���-� .p r�� �

,������ ���� ���� � �

Page 12: 093 Matematika 01 - 02

��

� �����E��������������'������� ���E����� ��� ����� �� �� ��������� 1.OA =

������'����������� ��������Q���������������$����������� ��������5�

������� ������������������������������������ �+�������0��������A���������7&� ���E��������� ��� �������� ������������������$�� �'� ��$������ ����

� ,������� ����� � ����� � ������������� ��(������-�5 7< + �$-� 4 5> + �-�25 26< 7

��������������

������������������������ ���������<��C��-����� ����$�������� ��������������� �������������������������

� ,�������������� ������ ( )0 n≥� �����F������������������

� ,������������ ������ � ������������� ��(

���12 18;< ���������� 5 8;≤ �������� ( )7 3 ;<� ������� ( )8 15 ;≥� �������� ( )3 3 ?<�

�� �������

�������������������� �������������������� �������1 2 3 4 ... 1 ...n n< < < < < < + <

8�������������������������� ��������������������� �$�������� ����

�� �(� �

23 35;+(27 1023) 350.+ +8�%�������� ���������������� ���������<0��A-����� ���� ����������������D���������� ���� �

�� ���������(3,5) 3 5 8.+⎯⎯→ + =

�� �

27 15;⋅(4 25) 13.⋅ ⋅8�%�������� ���������������� ���������<0��A-����� ���� ����������������5A������������

��� ���� ��������(3,5) 15⎯⎯→⋅ �

#$� ������� ������������E������������ ���������������� ��������������������� ������F�%������ ���������������� ������������������ ��� �����������������������'��'� ���������� ��������������������������F�

, ,a b∈� �( )a b+ ∈� ��� ��������( ) .a b⋅ ∈�

��� � �

' � � % (

Page 13: 093 Matematika 01 - 02

��

#$� ����� �����E������������ ��������������� ����� ����$��������� ������� ���������

����������������� �$���E�� � (���12 13 13 12+ = + � ������ (8 15) 12 8 (15 12)+ + = + + � ��� 8 9 9 8⋅ = ⋅ ��� (7 5) 4 7 (5 4)⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ � ������ (5 13) 8 5 8 13 8+ ⋅ = ⋅ + ⋅ � ��� ( )8 5 13 8 5 8 13.⋅ + = ⋅ + ⋅

����F�� , ,a b c ∈� ��� ����� ��������� � (

� ( ) ( )a b c a b c⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

� a b b a+ = +

(�����)��*���� ��%�����������&

(��������+���� ��%������������&

#� �����"����

� ( ) ( )a b c a b c+ + = + +

� a b b a⋅ = ⋅#� �$�������

K� ������������E���������������$������������ �� ��$� �� �

�� ��� ��� ��������� ���� �%�����

" ������������ � ��$� �� ���� ���� �� E��������������������������������������������������������������� ���$� ������� �������� ����� � �� � ������ � ��� ��� +������ ��� ��� �� ��� ��������������+��<�����-���+������<����+-���������������� �� � ������������� ������� �������+,�������������� ������������ �����������

( ) ( ).a b c a b c a b c⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

�� �� ���-� 2 6 8 4 7;+ + + + ����$-�5 3 8 2.⋅ ⋅ ⋅

" ������������ �� ��������� ���������E$�� �� � ������������������������$� ���� ���� �����������E� �� �

�� �� �(����-�1234 573 266 427;+ + + ����$-�8 25 125 13 4.⋅ ⋅ ⋅ ⋅

��������

�� ��-�8 5− +������$-�120 90.−M���� �$���E�������/�A�4�5D�#$� ������������������ �������'���������������E$��� ���$� ������������: ����� �� , .a b∈� ������������-������������������������� ����������+������ �$���$����� ������ ����������-��������� �����+���#

�� �(���-�73 65;− �$-�23 25.−� ��

�� # �E$������� �� �����������$���� ���� ��'���������������$���E���(

( )( ) .a b c d ac ad bc bd+ + = + + + �<T��E��(���/���<� �+�/��-�E�� ������ ��-�

����������� �� �'�����������60�)�2A������������������������������������� �������������30�)�3A�����������������������&�������E$������������ ���������� ����������$��������� ������� ���������

(������������*�� ��%�����������!��&( )a b c ac bc+ = +� ( )c a b ca cb+ = +

Page 14: 093 Matematika 01 - 02

��

�� ������

�����������)����������� ������������ ����������������������� ������� ����1���

�� ������������������� �$���E�� � (

��� (25 13) 8 25 8 13 8− ⋅ = ⋅ − ⋅ ����������� 8 (25 13) 8 25 8 13.⋅ − = ⋅ − ⋅

.�����/!������� "���

���E���������������$������������ �� �E$���� �� ������� ������������ ������������F�������, , a b c∈��� �a b> ��� �(�( )a b c a c b c− ⋅ = ⋅ − ⋅ �� � ( )c a b c a c b⋅ − = ⋅ − ⋅ �

�� ,������ ���� ����� ������������� � (�-�15 8 8 15− = − ����� ����$-� (15 8) 5 15 (8 5).− − = − −

����E$���� �� ������� ��������������� ������ ������������ � ����� ������������ �

�� ����� ���$� ���������E����� �E$������ ������� ��������������%�E �����$��������� 0� �������������������������� .� �" ����� �� ����� � �'���� �������$���������� ��� ���� � ����$��������

0 ,� �� ��� �(�����F�� 0a ∈�

�� : ����� ��� 0,a b∈� �� �( ) 0 ,a b− ∈� ����F%���������������������������� ��7

��������

�� ��53A�(�A�M���� �$���E�����.��4�3.�: ����� ��� , ,a b∈� � � ���������������������������������� ����������⋅ ���������$���$����� ������������� �������������������� ���⋅ ����

� �

$� ����������������� ��363Q�� �������������� ������ ����������� ������=�����������������@��������� �� ��� ��������������03��=����7

�=������� � ���� ����� � �� ������������ �� �����������������@������

� ,������ �����(��-�335(50�� $-�53D�(�A�

# ����������� ��� � �����53D�(�A������������������������&�����������F�,a b∈� �� ������($��������������������������������

����� �$�����������4�53�� ���4�A����� �E����������������������������������������� �$���E���������⋅ ����������53�(�A�4������ ��������53�4�A�⋅ ��

�� ���������

�� ����������$��������� ������� ��������������� ���������� �������

0 0 , 0 0 0, 1 1 .a a a a a a a a+ = + = ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ =

Page 15: 093 Matematika 01 - 02

��

! �����..�(�A������������������������# ��������� � ���������������� ���������� ��� �'� �������������$����#������� ��(�..�(�A�4�D�� ��$ ����.���� ��������..�4�A�⋅ D�/�.�

�� �������

����F%������������������������������ ����� �� ��������� 0, ,q r ∈� �����a b q r= ⋅ + ��0 r b≤ < �

�� ��������'� �� ��������� ����$ ���� ��� �������������� ���

K������� ����������������� �06��0Q�� �.�� �A�� ���06�4�6�U�A�/�3���0Q�4�2�U�A�/�Q�� �.�4�Q�U�A�/�.�

�� ����������������� �$���E�� � (

�-� (12 9) : 3 12 : 3 9 : 3;+ = + $-� (24 16) : 4 24 : 4 16 : 4.− = −

������ ���������� ��� ���(

��� , ,a b c∈� �� ( : )a c ∈� �� ( : )b c ∈� �� � ,a b> ���� ��

( ) : : : ,a b c a c b c+ = + ��� ��������( ) : : : ,a b c a c b c− = −

�� ����������������� �$���E�� � ( )36 : 3 6 36 :3 36 : 6.+ = + �8L�����������%����7

���

� �������������������$ ��� �$������������������ { }2006 ;A x x x= ∈ ∧ ≤��

���������� { }101 111 .B x x x= ∈ ∧ ≤ ≤��

� ,������ ���� ����� ������������� � ���25 30;< ������30 50;≤

��� ( )27 26 ;≥� ������ ( )15 15 .≠�

� ����� ����� �� ��� ���� ��� ������ ������������156 28 344 372 100;+ + + +���442 75 192 358 8;+ + + +�-� 4 11 25⋅ ⋅ +������������-�125 25 7 8 4⋅ ⋅ ⋅ ⋅ �

� �� �(

�-�( )45 5 8;+ ⋅ ������$-� ( )372 2 4;− ⋅

�-� ( )3 81 43 5;⋅ − ⋅ �����-� ( )8 2 51 5 17 15 ;+ ⋅ ⋅ − ⋅

-� ( ) ( )12 4 16 84 : 6 2 180 : 4 3 17 5 .⋅ ⋅ − − + ⋅ ⋅

� �� �(��� 9 9 7

98 9 6987 9 59876 9 498765 9 3987654 9 29876543 9 1

⋅ +⋅ +

⋅ +⋅ +⋅ +

⋅ +⋅ +

�������1 9 212 9 3123 9 41234 9 512345 9 6123456 9 71234567 9 812345678 9 9

⋅ +⋅ +⋅ +

⋅ +⋅ +

⋅ +⋅ +⋅ +

�� ���� ���� ���� � � ������ ��� ������������ �������������������

'��'� ��� ����������$���� � ����������������������� �� ��$� �� ����� ��������E$���� �� ������� ���������

�� �� ����������������� ���� ���� � ��<�����-�(�+�� �<��-��-�(����������4�02����4�53�� �+�4�2�

Page 16: 093 Matematika 01 - 02

��

����� � � ������������������������������

��� �������� ������������� ���� ������������������$ �������� ��

, 0 .a b q r r b= ⋅ + ≤ <

��������,���� ������� ��$ �� �������� �

�� ����������������� (

�-�.D�� �2+�������������$-�2P�� �6�

��� ����$���E����������0�������������$ ������4�Q����� ������������������������������� ���� �����������������������������������<����������� ���� ����� ���� ������������%�������-�������� ��� �⎪�-������ �$�����.⎪3.�������'��3.�4�2�U�.+��D⎪P2�������'��P2�4�D�U�53�������D������������ ���� �����������AQ�� ��������8 50� �

� ,����������������� ������ � ������������� ��(

�-��7 21� + $-��4 2� + �-��8 16� + �-��03�����������%�����.

-��0�������� ���� �0P+ %-��6������������ ���� ��0A�

����� ��������9��� ��� ���� ���;������������������� ������ � (

������� ���������� ���� ���������� ���� ������� ���+�������� ���� �� � ��������������� ���� �������

( ) ( )c a c b c a b∧ ⇒ +� � � �

���' ����� ������

�������E����+⎪��� �+⎪����� ��� ������0�+�� ������0�+������� ,m n∈� ���� �����������������������������0�+�����0�+��+�0�<�����-�&���������������������������'���������������������� �������+�� ������������������������������������%������������+���� ��������+⎪<�����-�

������ �m a� ���� n b� &���� ��� ( ) ( ).m n a b⋅ ⋅�

���' ����� �����

����m a� �� ����� ,n b� ���� ��� 1 2 1 2, , .a m k dhe b n k k k= ⋅ = ⋅ ∈� ��������

1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ),a b m k n k m n k k⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ �'�����������( ) ( ).m n a b⋅ ⋅�

� "��� �������(���� ��( ) ( ) ( ), at her ( ).m a m b a b ë ë m a b∧ ∧ > −� � �

����

Page 17: 093 Matematika 01 - 02

��

&��� 1a a= ⋅ ���� ��������a a� �� 1 a� �

�������� ���� ���� �����������67 ���� ���� �����������D7 ���� ���� �����������57

� �

�� �������

������'������ ��������� ���� ��'� ������������ ����������'�������������� ������ ���� ��'� �������������$����������5����������������������� ���� ���������������$����

1��+��*�������+�)���������*��� �������!����������!�� ��/*����2*���������*��� �����3�������)���������������)������4�����������)��5����������%���)�666���#�#�&������!���*�����������5��������������+�"�����77��*���������������3������*)���)����*�

�������5����������������������� ���� ��������$��������� ��

�������3���������������� ����������������� �F��������F�%��

���������������������������������������0������������������� ���������������� ��F����������� ���������'�������� ������� ���� ����� �0�

�������������������� ���E� ����� ��������� ��������������������������� ����������������

�J�������� � ������ � ��� �� ���� ����� ��%���� �

� �������2Q�� �5A3�E$��� ����������E� ������� ���

260 2 30 2 2 15 2 2 3 5 2 3 5;= ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅3152 2 76 2 2 38 2 2 2 19 2 19.= ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅

�������������(� ����������������$������������������������'�� ������������������� ������ ��������'����� ������������������������� ������ ��������� �� �� ������ �� ������� �����E� �� ��������� ���������� �

���������������������� �����

� ,������� ������������ ������������ �������������$���(������-�536+ ��$-�P5P�

��������������%������(����������)�����*����+�����,����'

�������������%����(���������)����*����+����,����'

�������������%����(���������)����*����+����,���%'

��%����%����%%���%(���%����%)���%*���%+���%,���('

��(����(����(%���((���(����()���(*���(+���(,����'

�������������%����(���������)����*����+����,���)'

��)����)����)%���)(���)����))���)*���)+���),���*'

��*����*����*%���*(���*����*)���**���*+���*,���+'

��+����+����+%���+(���+����+)���+*���++���+,���,'

��,����,����,%���,(���,����,)���,*���,+���,,���''

Page 18: 093 Matematika 01 - 02

� �������53Q�� �.3A�E$��� ����������E� ������� ������� � ��%����E������$ ����� ������

120 2 425 ����5�� 60 2 ��85 ����5��30 2 ��17 ����17��15 3 ����1����5 5 ����� 3120 2 3 5= ⋅ ⋅ ������������������������������������������������������������� 2425 5 17= ⋅�����

�������526�E$��� � ��������E� ������� ����

� ��'������ �������526�������������� ���� ����� �3��0�� �A������������� ������� ���������6�� 55����������� ������������ � ��'��526�������������� ���� ����� ����������526������� ��� ����� �50�������'��526�C�52P�4�50�⋅ 50����� ��� �������526�������������� ����� ���� ����������� ���� 50���� �������������������������� ���

�� �������

��� ������������������������������ ���� ����� ��������������� ��������� ����������������������������������������� ������� �������������������������� ����

��������

�� ���� ���� ��������5D�����(�5��3��0��2��P�� �5D�,��������������� ���� ������������3.�,������ ���� ���� ����$��������������� �5D� �3.�

� H������������� ������������������52����������� ����53���

,������������������������� �'��� ���� ���������������� ������� ������$���$�����

�� ���� ���� ����$��������������� �52�� �53������5��3�� �.������ ��� ���� �����������������$���������� ������������.��������

�#��<53��52-�4�.�

>������ ������ ������� ������� ���� �������������.���

�� ���������

�� ���� �����������������$����������������� ������������ �������������������������������������������� ���� ���������� ���� ���

�� ,�������� ���� ��������������������$��������������� �52D�� �5DQ�

3168 2 2 2 3 7 2 3 7;= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ � 2 2180 2 2 3 3 5 2 3 5,= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ����������#��(168,180) 2 2 3 12= ⋅ ⋅ = �

Page 19: 093 Matematika 01 - 02

�� �������

�� ���� �����������������$���������������������������� ��������$���$������ ��������� %�'�� ��������E� �� �������$���������������� �� ������ ����������E� ������� ���� ���������� �� �������������������� ����� �

������ �� ��������� �������� ���� ��������������������$����������������������������� ��������������%����E������$ ����� ������ �

�� ,�����#��<PQ��50A��05A-�� ��%����E����� ���$ ����� ������

��������������������������,'&��%�&��%�����%��%'&���(�&���'����%���'&�����&����%����������&����%&�����*

"�� ��� ����������������� ���������� ������� ������������ �������� �%�������� ������������� ����������� ��������

�� ,�����#�� ������� ��-�3.�� �0Q+ $-63�� �PQ+���-�P�� �5.�&�� � �E�������� �$�������-���� �� ��#�<P��5.-�4�5�

�� ���������

��� ��#�<����-�4�5����� ����������������� ���� ���� ������� �������������� ���� �������(�<����-�4�5

������������ �$������ �������������� ��������� � ���������-�3A�� �35+�$-�5Q�� �00+��-�36�� �0A�

��������

���%�������������0�����(�0��2��P��53��5A��G,����$��������� �����%���� �����������A�

,����$��������� �����%���� �������$�������������� �0�� �A�

�� �����������������$������������������������ ��������$����

� ��

�������� ���F��53������������� ��� ����F��52��������������������������������$������������� ���������$����������������7

���%������������ �53�����(�53��3.��02��.D��G�������������������52�����(�52��03��.D��2.��G� ���������������%�������������������$����������� ������������.D��������� !"�<53��52-�4.D�

�� ���������

���%�������������������$������< !"�-������� ��������������� ���������������������������������������������%������ ����������������� ����������� �$����� !"��<.��2-�4�53+� !"�<D��2-�4�3.�

Page 20: 093 Matematika 01 - 02

��

�� ,���� !"�<5D��3.-�

�������5D�� �3.���E$��� �����������E� ������� ���(218 2 3 3 2 3= ⋅ ⋅ = ⋅ � 324 2 2 2 3 2 3= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ �����&������� !"��!�+&��(�� 3 22 3 72= ⋅ = �

�� ���������

���%�������������������$������������ ��������������� ��������$���$������ ��������� %�'�� �����������������E� �� �������$������������ ����������� �� ������ ����������E� ������� ���� �� ���� �� �������������������� ����� �

�� ,���� !"�<2Q��63��PQ-����� �����������$ ����� ������ �

!"��<2Q��63��PQ-� 3 22 3 5 360.= ⋅ ⋅ =

�� ,���� !"����������� ��-�5.�� �5A+�$-�3Q�� �.Q+��-�2Q��PQ�� �53�

# ����������� �� �� (� !"�<5.��5A-�4�5.�⋅ 5A+�� !"�<3Q��.Q-�4�.Q�

�� ���������

���%�������������������$������������ ��������������� �� �������������� �������������������� ����� ������������������%������������������ ��� !"�<����-�4���

���

� ,������� ������� ���� � ������������� ��+�-�6 23� +���$-�5 135� +����-�9 163� +����-�11 1111?�

� ��� � �⎪<��/� �-� � � +⎪��� ��� ��� �� ������ ���� �� � ����$� �������� ����<�-��"��� �V

� # ��������������� ��� �������(�-�3�+���$-�0�+����-�.�+����-�6������ �n∈� 7

� ��� �+⎪������ ���+⎪��⋅ ������F�b∈� �"��� �V

� �������������������������������������������-�3��)5��$-�3��/5���������������� ���7

� "��� ����� �����F� n∈� ����� ���-� 2 2( 1) ( 1)n n+ − − +$-�( 1)( 2) ( 2)( 3)n n n n+ − + + + ����������������$����

� ,���(�-��#��<5DQ��P2-+����$-��#��<52A��.A��6A-+�-� !"�<5DQ��P2-+�����-� !"�<5D��2Q��6A-�

����' ���������������������%�� ���� ��.DF������� ��63�� ���� �� �53Q�$�$� � 7

Page 21: 093 Matematika 01 - 02

��

� ��� ���������� ���� ��������

��������

�������������������$ ��� �$��������� �����������%��� �� �������������� �����������������

��'� ������ ����������� �� ��������� ���������������� �������7

: =��������6230A.�� �

����������E�������������������%���A�� ����������E���� ��������%����0�� �3�� ������������7

������6230A.����������������������������������� ������ ������������������ ������%������ � ������'������������� ���� ���������$�E�� ����� ������� ����� ����W ��� ������ ����� ���������� ��� ���%������� ������� ����<�E�����-���������� �����������'� ������������ ����"��������

8����%��� ������������������������� ������� �����E������������� ���� �� ������������ ����% � ��� �� ��������� ��� ���"���������������� �����<�E������-��������������� �� ������������ ��������

������� ������� ����� ������ ����E������ � �� ��������%������ ����������� ����������������� ������������� ��� ������ ���� �� ��� ����E������ � ���%����'�����������E�������������� ��������

����������6230A.����%���A������ ����E������ ��� ��� ����������� ��� ������ ������������A⋅5Q4AQ���� +���%���0������ �����E������ �'����� ����������� ��� ������ ������������0�⋅�5Q��4�0QQ����� +��%���3������ �����E������ ������ ����������� ��� ������ �����������(�3�⋅�5Q��4�3QQQ������

������������ ������������� ��� �������%����� ���������� ����� � �� �������� ��� ��� � �� ���������'����� � � ���������������������E���������������������

� ,�������� ���� ���%����A�� �������AAAA�

� "�� �����$ ����� �������� ��������������

�����������

�������#�:�H@B&X���������������#�:���X��������������������#�HX !�������������������HX !�

���������������������������������������������������������������������������������������� �������� �������� �������� �������

���������������������������������������������������������������������������� �������������������� ������������������� ���������������������

: =�������������$ ����,������� ����������%���5��� �������������Q7

����

Page 22: 093 Matematika 01 - 02

��

����������������� ������������� ����5������������������������� ������������� ����5Q��������������5Q�4�5⋅5Q������������� ������� ������������� ����5QQ�QQQ���������������5QQ�QQQ�4�5�5Q�� ���

M ���� ���������� ������������� ����E ��'����� ���������Q�4�Q�5Q������� �E ���� ���������� ������������ ����E ���� ������� ���������Q�4�Q�⋅�5Q�QQQ�4�Q�⋅�5Q�

�����

M ���������%�������� �������L������ ���������E���� �� ���%��� ���� ��� ��������� ������ ������� ����E ���

������$ ������ ����� ����� ��������������������������� �� ������� ��E���� ��������������

K������ =�������������� � ��� ����������������������� F��������������� � �������'����������������� = �(������ ��� ���������������� ����'���� �� ���� ��������� ����'���� ������������� �����$��� ���

� �������������(���'���� ������������ ����'���� �� ����> �������'�� �������������(�-����� + $-��� ��� + �-��� ������� + �-�'��������� 7

� ������(��-�.03+�$-�5QA2+��-�06QD2Q3������������%����� �E$���� ����� ��������%��������� �

�-� 2432 400 30 2 4 10 3 10 2;= + + = ⋅ + ⋅ + ����$-� 6 5 3 23708602 3 10 7 10 8 10 6 10 2.= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ +

�1 2 3 3 2 1 0... ,n n n na a a a a a a a a− − −= ���� �%��������� � ���������(

1 2 3 3 21 2 3 3 2 1 010 10 10 10 ... 10 10 10 .n n n n

n n n na a a a a a a a a− − −− − −= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅ + ⋅ + ⋅ +

: ����� ��������������������� ��������%����@�� ������������������E���������������������%����(

� �������� ��� ����� �������������%������E������ �������(

�-� 3 22 10 3 10 1 10 5;⋅ + ⋅ + ⋅ + $-� 5 34 10 3 10 2 10;⋅ + ⋅ + ⋅ �-� 7 36 10 3 10 5.⋅ + ⋅ +

$-�������.�U�5Q��/�0�U�5Q��/�3�U�5Q���������������%�����'���� �������� �� ���������������������5Q�> ����������� ������ ���%���'���������������� ��� ��E �������������%��������E������� ������������������ ���������������� ������ ���������E ��

����������� 5 34 10 3 10 2 10 403020.⋅ + ⋅ + ⋅ =

� ��E ��� ��� ��������� ����������������� ���������������� ������������� ��� ����� �� ���������� �������������������� ������ ��������� ����$�� � ���

��� ������ ����������������$�E����������������'� ������������� ��$��� �����%���������� �9$���;��'�����������9������;�� �9F�%�;�

Page 23: 093 Matematika 01 - 02

��

��� ������ ����$�����������E���������������������������������������������� ������ ������� ��������'��� ���� � �������� ������� ����� ����������� ������� ����$������� ����E������ � �� ��������%������� ���������������������������� ������ ��� �� ��� ����E������ � ���%����'���� �� ������E������������� �������� ������� ����� �������������� ��� ��� �����%���Q��5��3��0��G��P���������������� ������� ���$��������������� ��� ���%����Q�� �5�������(�5Q�+5QQ�+555�+5Q5Q55Q������������������������� ������� ����$�����

�� �������

��� ������ ����$�����������E��������������������� ������� ����$��������� ��� ����� ������%����Q�� �5�J�E��3�� �F����������� ��

������� ������� ����$������������������������ �� � ����%��������� �������������������� ������� ���� ������ ����� ���������� ������5Q������� ���3���� �������

( )1 2 2 1 02

...n n na a a a a a a− −= = 1 2 21 2 2 1 02 2 2 ... 2 2n n n

n n na a a a a a− −− −⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅ + ⋅ + �

�%���� 1 2 2 1 0, ,..., , ,n na a a a a− − �������� ���Q�� �5���� 0na ≠ �

� ������(�55Q5�+�55

�+�5Q5Q5

��� �5555Q5Q

�������������%���������� �

� 3 2 3 221101 1 2 1 2 0 2 1 1 2 1 2 1= ⋅ + ⋅ + ⋅ + = ⋅ + ⋅ + �� � 211 1 2 1= ⋅ + �� � 6 4 2

21010111 1 2 1 2 1 2 1 2 1= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + �

����������%�����E������ �� �$�E�����������(

�-� 5 4 3 21 2 1 2 0 2 1 2 0 2 1⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + + $-� 5 41 2 1 2 1 2⋅ + ⋅ + ⋅ +

�-� 8 6 31 2 1 2 1 2 1 2 1⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅ + + �-� 4 21 2 1 2⋅ + ⋅ �

������ 5 41 2 1 2 1 2⋅ + ⋅ + ⋅ ���������������%�������%���� ��E��������������������� ���� ����������������

E ����������� 5 41 2 1 2 1 2⋅ + ⋅ + ⋅ 4� 2110010 �

>� �������� ������� �$���E�� � (

�-� 21101 13= + $-� 2111 7= + �-� 211011 27= �

�����������������������������������$�E������������������������ ������� ����� ����

�-� 3 221101 1 2 1 2 1 8 4 1 13= ⋅ + ⋅ + = + + = +

$-� 22111 1 2 1 2 1 4 2 1 7= ⋅ + ⋅ + = + + = +

�-� 4 3211011 1 2 1 2 1 2 1 16 8 2 1 27= ⋅ + ⋅ + ⋅ + = + + + = �

K������ =�������������� ����� ������ = ��$�E����������������� �$�����������5Q55��� = �(�����E ���������

� �$�E�����

Page 24: 093 Matematika 01 - 02

��

�� �������

I����������� �������������������$������������� ������� ��'������������ �����%������������� � ������� ��� ����� �� �������������������

�� ��������-�0A+��$-�53D���������������� ������� ����$�����

�-���������'����������������������� ����������� ������ ����� �����������$��������� �������������(

�35 : 2 17= �� ��$ ������17 : 2 8= ���� ��$ ��������8 : 2 4= ��� ��$ ����'���4 : 2 2= ��� ��$ ����'���2 : 2 1= ���� ��$ ����'����1: 2 0= ��� ��$ �����

��� � ,�����������������������(

�-� 21011 �� 21010 +��$-� 21001 �� � 210010 7

� ����������%������E������ �������(

��-�2 10 1⋅ + + ��$-� 33 10 1⋅ + +

��-� 4 25 10 2 10 3⋅ + ⋅ + +������-� 31 2 1 2 1⋅ + ⋅ + +

� -� 6 3 21 2 1 2 1 2⋅ + ⋅ + ⋅ +�������%-� 8 61 2 1 2 1 2⋅ + ⋅ + ⋅ �

� �������������� ������� ����� ����������(

�-� 211111 +����$-� 210001 +

�-� 210000 +�����-� 2101010 �

� �������������� ������� ����$�����������(�-�D+�����$-�3D+������-�5QQ+������-�50A�

��

128 : 2 64=64 : 2 32=32 : 2 16=16 : 2 8=8 : 2 4=4 : 2 2=2 : 2 1=

� ��$ ����Q� ��$ ����Q� ��$ ����Q� ��$ ����Q� ��$ ����Q

5QQQQQQQ

� ��$ ����Q� ��$ ����Q

��������� ��+� 7128 2= =

� �������3��.��D��52��03��2.���������������� ������ ����$������8������� �7

��������� ��+�0A�4�5�Q�Q�Q�5�5�

Page 25: 093 Matematika 01 - 02

��

����� ������� ��� ������ ��� ����

���������� ��������(

2 21011 11101+ �

� �

#$� �������� ������ ����� ����������������������������� �������������� �������$��$� ������ ���������������������������� ����$���������%�������������$� �� ���������� ������E����������������

�������������� 21011������ 211101

���������� 2101000

�����

>�$ ��������$� �� ��������� ������� ����$������� �������(

� �� �( 2 2 21110 111110 1010101 .+ +

����������������������������������

2

2

2

2

1010101

111110

1110

10100001

+

������������������������������M����� �

� �� �(

�-� 211011 12+ + ���$-� 210 10101 16+ + �

���� ���������$� ����������������������������� ���� ����������� ����

� M$������������� ����$�������� ����������������������������� �������� ����� ������M$��� �������������E������� ��������� ������ ������������ �E$������ ������� �����E�������������������������� ����)

�������� �����E ��������������E���������������������������������

M����� �

��� 2

2

110111

10101−

2100010

���������������������������������������������������������������������������

��������������������� 21110110

������������������������ 210111

��������������������� 21011111

�� �-�� 2 2 2 2110101 22 110101 10110 11111− = − = �

�������$����%���� ����E$���������� ������ ����������%����������E��������������� �%���� �������$����E$���������� ��������������������$ ������������E�����������E������ �����������������E�����������������������E�����

������-������������'��������������

������'������������'��������������

�������������������������������� 210

%(����������������������������)*%

#$��� ���������� ��E���� � ��������������� ����� ���� ��������� ���� �� � �$���$������ �5Q�<$�E� ����� ���-����� ���%�� �������� ������ �������������������� ��$ ������� �����������������E�����#$� �����������%������� ���E�������������

-

����

�� �������������(��-� 2 2110111 10101− +�������$-� 2 21110110 10111− + ���-� 2110101 22− �

Page 26: 093 Matematika 01 - 02

��

� �� ���� ���� ���� � �(

��� 2 2110101101 110111− �������� 2 2 21110101 11011 111111+ − �������� 2 231 111011 (13 1111 )+ − +

� �� �(�53Q0�⋅ .Q3� ���E������������ �������� ������� ����$����������������������������� ������� ����� ���

>�$ ��� �����E������������ ����$�������� �������(

�0 1

0 0 0

1 0 1

� �� ���������(������-� 2 2101101 101 ;⋅ �����$-� 21110 25⋅ �

M����� � ������� 2 2 2101101 101 11100001⋅ = ���������� 2 2 2 21110 25 1110 11001 101011110⋅ = ⋅ =

�������������������

2

2

2

2

101101

000000

101101

11100001

�������������������������������������

2

2

2

2

1110

111000

1110

101011110

�� �������

�� ����� �� ���������� ����� ������������������������� ���� ����������� ����

���

� �������������� �$���E�� � +

�-� 2 2 2 21011 11111 11111 1011 ;+ = + ������$-� 2 2 2 21011 11111 11111 1011 ;⋅ = ⋅

�-�( ) ( )2 2 2 2 210111 11 101 10111 11 101 ;⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ����-�( )2 2 2 2 2 2 21011 1001 101 1011 101 1001 101 .+ ⋅ = ⋅ + ⋅

"�� ��������� ������� ����$������� ����� ����� ������������ ����� � ������������ ���� � �������� ������� ���� ����

� �� �(

�- 2 21110101 11010+ +

$- 2 21110101 101110− +�����-� 2 210101 110⋅ �

� �� ���� ���� ���� � �(

�-� 2 21101 26 10101+ + +��$-� 2 237 1110 101− + +

�-� 2(32 1011 ) 10+ ⋅ +

�-� 2 2 2(21 1001 13 100 ) 10⋅ − ⋅ ⋅ �

� �������������� �$���E�� � (

�-� ( ) ( )2 2 2 2 2 2101 111 1001 101 111 1001 ;+ + = + +

$-� ( )2 2 2 2 2 2 2101 1110 101 101 1110 101 101 ;⋅ − = ⋅ − ⋅

�-�( ) ( )2 2 2 2 2 2101 111 1001 101 111 1001 .⋅ ⋅ = ⋅

Page 27: 093 Matematika 01 - 02

��

������������������� ���������� ����

��������

M�������$���E����(��������� 5 12x + =����������)$��������� ������������ ������������������������ ���1���

� � �� �(

��� 25 13− �������������14 17−

���������5.�)�56������������������������I����� ������ %�������������������������� ����F%����������������� ��'��$�������� ������� �����������E�� � ��� ���������������

M�� ��������������$���������� ������$����� ��������Q�������'������F� a ∈� � 0.a a− = ��������E�� ������E���� ������()�5�<����������(�<Q�)�5��5�)�3�� ��--+�)3�<����������(�<Q�)�3��5�)�0�� ���--+)�0�<����������(�<Q�)�0��5�)�.�� ���--�� ���

J�������� �����������%��������������������������������������������� ������� ������� ��������Q��'� �

$�������� ������� ������������������� ��������� � �������{ }..., 3, 2, 1,0,1,2,3,...= − − −�

���������������������' ��������� �����E���� ����$�������� ����������� ������� ���������$�������� ������������ ������ ����������������������� �� ��������E ��

.% .� .� ' � � %

�������5�� �)5��3�� �)3��A�� �)A�'� ��������� ����������������������������������������������������������Y��

� ,���������������������������������(�5Q��)5A��30��)5307

��� ���������� ��� ����$���� � ������������������������ ��������������� ����������E������ �E ���� ������������������ ���������� �������������

,

0,

,

a

a

a

⎧⎪= ⎨⎪−⎩

������������

0

0

0

a

a

a

>=<

����� �$������ 12 12+ = +� 12 12− = +� 0 0= ��# ����������� �� �� �������� ���������������� ��������� ���$���$������������� .a a= −

����

��������

� ,������ �����$���� ���������� (�)A+�6+�)3Q+�/3Q�

�������)5��)3��)0��G�'� ����� ������������������������$����������������� ����$����������$������������ �������������������������������������������������'� ��������� �������E�������������������� � �� �/5��/3��/0��G���� ���� �5��3��0��G��������E ���������������������E������ ����� �����

������

Page 28: 093 Matematika 01 - 02

"�� (� �������������������E�������������������� ��������������������� �������������E ���������������� �� ������������������� ������

� ,�������� ���� ����� ������������� � (

�-� 5 0− < +���$-�7 0> +����-� 7 0− > +����-� 6 6− < +��� -�7 7> − +���%-� 5 1− < − +����-� 2 3− > − �

� >����� ��������������������� ���������� ���������� ������� �������� ��� ���������� ��$���� �

� B ���������������������������(�3+�)0+�A+�5+�Q+�)2+�).+�D

�� ���������

J�������� ������� �������������� ���%���� ����$���������� ����� �E������������������������ �������������������J��������� ������� ����������E����� ��������� � { }1,2,3,...+ =� ���������$��������� ������ ��������� �������� � { }..., 3, 2, 1 ,− = − − −� �������� { }0 .− += � �� � �

��������

�����$� �� ��� �����E����� ������� ��������� ��(

�������

( 5) ( 7) 12

( 5) ( 7) 12

( 5) ( 7) 2

( 5) ( 7) 2

+ + + = +− + − = −− + + = ++ + − = −

������

( 5) ( 7) 35

( 5) ( 7) 35

( 5) ( 7) 35

( 5) ( 7) 35

+ ⋅ + = +− ⋅ − = +− ⋅ + = −+ ⋅ − = −

� ����� ����� �� ��$� �� ��� �E$���� ���������� ����������� ����������� (

�-���� ,a b +∈� ����� ���( ) ,a b ++ ∈� ���������� ( )a b +⋅ ∈� ��������� ,a b −∈� ����� ��( ) ,a b −+ ∈� �( )a b +⋅ ∈� �

�-���� ,a b+ −∈ ∈� � ����� ���( ) ,a b ++ ∈� �������� a b> +� ( )a b −+ ∈� ���� a b< ��� ( )a b −⋅ ∈� ��-���� � ,a∈� ���� ��� 0 0 ;a a a+ = + =���� 0 0 0 1 1 .a a dhe a a a⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ =

� ���������� ��$-���-���-�� �%�����

�-������ ���������� ����������E�����������������E������������ � ������������� �������������E�����

�� ����-� ( 3) ( 5) ( 6) ( 2) ( 12)− ⋅ − + + ⋅ − − − + �$- ( 4) ( 5) ( 6) ( 3) ( 7)− + − ⋅ + + − ⋅ − +

������E����� ������ �� �E����� �� �����(

�-� ( ) ( ) ( )( 3) ( 5) ( 6) ( 2) ( 12) ( 15) ( 12) ( 12) ( 3) ( 12) 15 12 12 15.− ⋅ − + + ⋅ − − − = + + − − − = + − − = + + − + + =

"�� (�( ) ( )12 12 0.− + + = ��������������������� ���������� �������������������������E ����� �������

( ) ( ) 0a a a a+ − = − + = �

��������������� �$���E����(�( )( 5) ( 3) ( 6) ( 5) ( 6) ( 3) ( 6)− + + ⋅ + = − ⋅ + + + ⋅ + �

" ������������� ���������� �� �������$���� �'���� ���������$� �� ��� �����E����� ������� ���������� ���� � ������$� �� ��� �����E����� ������� ���������

������������������������ ���������������������(1 2 3 4 ... ,< < < <

�������������� ��������������� ��������������������� � (��... 3 2 1 0 1 2 3 4 ...< − < − < − < < < < < <

Page 29: 093 Matematika 01 - 02

� M$������ ������� ��������������%�E ��� �������� ��$� �� ����� �������������F�� ( ), , .a b a b a b∈ − = + −�

����� �$���(��( 7) ( 5) ( 7) ( 5) 2+ − + = + + − = +�( 10) ( 7) ( 10) ( 7) 3− − − = − + + = − �

�� �� �(��-� ( 12) ( 7) ( 3) ( 5)− − − − − ⋅ − �+�����$-� ( 5) ( 3) ( 4) ( 3) ( 10)− ⋅ − − − ⋅ + − − �

M����� ����-�( 12) ( 7) ( 3) ( 5)− − − − − ⋅ − ( 12) ( 7) ( 15) ( 5) ( 15) 20= − + + − + = − + − = − �

����������������������E$��� ������������������� ����������������L���� ������������������������������������������ �� ���� �E$���������M��������� �� �< ��������-�� ��$� �� ��

�� �� �(

��� ( ) ( ) ( ) ( )( )7 4 3 3 6 ;− − ⋅ − − + ⋅ + ��� ( )( ) ( ) ( )( )3 7 2 4 ;− + ⋅ − + −

��� ( ) ( ) ( )( )10 4 3 13 7 2 4 8 3 ;− ⋅ ⋅ − − ⋅ − ⋅ − �� ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 7 4 5 8 6 .− ⋅ + + − ⋅ − + ⋅ −

������ ��� ����������� �� �� ��������������� ��������������������� �������������������������������� ���� ��������������� ���������������� ����� ����$� ���� ����$��������� ������� ���������� �$��������� ������ ��$������������� �� ������ �����

�� ��������������� ��������������� ���������� �����<�������E���-����$���������� �

! ����������������� ������������ ��� 0b ≠ �������������������� ������� �b a� �

�� �� �(���������-� ( 48) : ( 6)+ + + $-�( 48) : ( 6)− − +

���������������������-� ( 48) : ( 6)− + + �-�� ( 48) : ( 6)+ − �

"�� ��� � �����������E�������� ����� ���� ����� ��� ���� ��������� ������������������� ������� ��������� ���� ���� ����� ��� ���� ��������� ������������� �

�� �� ���� ���� ���� � � (

�-�( 5) ( 6) ( 4) ( 42) : ( 7)+ − + ⋅ − − − − + $-� ( 28) ( 45) : ( 9) ( 12) ( 4)− − − + + − ⋅ + �

���

� ,�������� ���� �� ��������� � (

�-� -3 5 2 ( 3) 10+ + − ⋅ − −� � � �+

$-� 2 3 5x x x− + − − −� � � � � ����� 20x = − �

� �� �+

��� ( 10) 3 ( 2)− + ⋅ − ��� ( 7) ( 2) 10 2− ⋅ − − ⋅

���( 24) : ( 6) 3 (2 5)− − + ⋅ −

� �� ���� ������� ��� ������� � � (���5 12 : ( 3) 15 ( 3) 24;+ − + ⋅ − +��� ( )12 ( 2) 4 13 15 : ( 5)− ⋅ − + − − −

��� ( )4( 2) ( 3)( 9) 2 3 4(2 5)− + − − − − − −

��� 6( 3 4) 2(18 3) : ( 5)− − + − − −

� �� �(��� ( ) ( ) ( )6 3 4 5 8 3 : 25 ;− − + − − −���( ) ( ) ( )( )10 4 3 13 7 2 4 8 3 ;− ⋅ ⋅ − − ⋅ − ⋅ −���( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )3 7 3 4 5 6 8 3 5 .− ⋅ + − ⋅ − − − ⋅ +

Page 30: 093 Matematika 01 - 02

��

���������� ���

��������

M������$���E�� �(5 35x ⋅ = − �

7 12x ⋅ = − �

J���E��� x b a⋅ = ����$���������� ����E����� � ���������������������� ���

� � ,���� �����(�-�32 :8 +���$-� 45 : 5− +���-�17 :8 �

! �����56(D������������������������������������� ���� ����'��$�������� ������� � ����E�� � �� ���������������

J��������� ������E�� ������ ���������������'��'� ���� ���

����� ���� :a b �� 0b ≠ ������������� �����%������ ab���� ������� :

aa b

b= �� ������'� ���� ���

����� �$������� �������(��2 4 6 8 7 4

, , , , ,3 5 5 13 5 3

−−

� ���

�� �������

J�������� ������������$�������������� ����'� ��$�������� ������� ���������� ���� ���

� ��������� , , 0 ,a

a b bb

⎧ ⎫= ∈ ≠⎨ ⎬⎩ ⎭

� � �F���� ��'� ������ ��������

� @������������� �������� ��7

������� ���������������������������� ���������� ���

����� �$���(� 5 10 15 7 14 0 05 ...; 7 ...;0 ...,

1 2 3 1 2 1 3

− −= = = = − = = = = = =− −

��������� �����������������

����� � ������������������ �������� .⊆� �

�� � ��2

0+�

5

0

−+��������������������������'���� �������� �E ������������������%�E����

� ,������ ���� ����� ������������� � (

��� ⊂� � � ��� ⊂� � � ��� ⊂� � � �� ⊂� � � ��� ⊂� � � ����� +⊆� �

��������

48 : 6 (48 2) : (6 2)= ⋅ ⋅ �

48 : 6 (48: 3) : (6 : 3)= �

! ������������������� ����� ���� ����� �� ���� �������E ��� ��� ��� ��� ��������������������������������� ��E ��

� � ! ������21:7 (21 3) :(7 3)= ⋅ ⋅ ���

24:8 (24: 4) : (8: 4)= ����������

�� ���

�������������(��a a k

b b k

⋅=⋅�� �

:( 0)

:

a a kk

b b k= ≠ �

��������

Page 31: 093 Matematika 01 - 02

��

�� �������

��� ������� ���� � ���� ����������� � �����E ��� ���������������������)��)�≠�Q��%�� ���� �� ��������� ��� ���� ����������� �����'� ��8/!��������� ������� ������� ���� � ���� ����������� � ��� ��� ��� ���������������������)��)�≠�Q��%�� ���� ��� �������� ��� ���� ����������� �����'� ����!����������� ����

� >� ����2

3�E�� �� �� �3������ ��� ���

�4

5�� �.�

2 2 2 4

3 3 2 6

⋅= =⋅

���4 4 4 16

5 5 4 20

⋅= =⋅

� >� ����� ���(�18

24�

18 18: 2 9 9 :3 3

24 24 : 2 12 12 :3 4= = = = �����

18 18: 6 3.

24 24 :6 4= =

>� �������� ����� ��� �� ���� ������� ���� � ���� �������������� ���� ���� �������� F��������5����������������������� �������������� ����

� >� ���(��3

4+�

5

6�� �

7

3������������� ���� ������������

>� �������L���� �������� ���� �������������������$��������������������'�� !"�<.��2��0-�4�53���� ��

3

4������E�� ������ �0�� �%������

3 3 3 9

4 4 3 12

⋅= =⋅

������������������������E�� ����� � ������ �����

�� ���� �%������5 2 10

6 2 12

⋅ =⋅

�� �7 4 28

3 4 12

⋅ =⋅

��������� ���� ������������������������� ���(

�-�5 7 3 1

; ; ;12 8 4 2

+ $-�3 3 4

6 ; 7 ; 84 8 5

+ �-�+3 7 5 3

; ; ; .4 12 8 16

− −

���������� ���(����-�3

6�� �

4

8+���$-�

3

5�� �

4

7�

�� ������� ��� �� � ���� ���������������� ���� �������� ��� ��������������� ������������

�-�3 4 1

;6 8 2

= = ���$-�3 21 4 20

; ,5 35 7 35

= = ����������21 20

,35 35

> ��� �������� 3 4.

5 7>

����� �$���(�3 8

4 5< �������'��3 5 4 8⋅ < ⋅ +�

2 15

3 4− > − �������'�� 2 4 3 ( 15)− ⋅ > ⋅ − ���� �������� 8 45− > − �

����F���������������������a

b�� ��

c

d�( )0, 0b d≠ ≠ �� ��� ��������������� ����� �(

�a c

b d> ����� �ad bc> ������� �

a c

b d= ����� �ad bc= ����� �

a c

b d< ����� � ad bc< �

Page 32: 093 Matematika 01 - 02

��

K������ ��������� ��� �������������%�E �������� ���� � ���� ���E����������� �$���(

( )( )

3 13 3,

4 4 1 4

⋅ − −= =− − ⋅ −

����5 5

,7 7

− =−

��������$��������� ������� ����������������������������

����������� � (� , , .m

m nn

⎧ ⎫= ∈ ∈⎨ ⎬⎩ ⎭

� � �

�� B ������������������� ��� ����3 8 5 2

, , , , 1.5 9 3 3

−−

!"��<0��A��P-�4�.A�����E�� �������������������������� ��(

40 30 27 45 75,

45 45 45 45 45− < − < < < ��� ��������

8 2 3 51

9 3 5 3− < − < < < �

�� ���$�������� �������������'������������������������

9

4− 1

2−

11

2

� �� � �

�� ����'�������$�������� ����������(�1 5 1 1

4 , 3, , 2 ,2 2 4 2

−− − �

���

� ������������ ����������� ����������������(

�-�3

x+���$-�

2

1x −+����-�

2 1

4

x

x

−+

+����-� 2

2

9

x

x

+−

� ,������ ���� �������������� ��� ���������'�����%�� ��$���E��������������� ���(

�-�3 9

5 a= + $-�

7

9 45

b= +

�-�12 3

16 c= + �-�

24

36 12

d= �

� B ������������������� ��� ���(

�-�3 5 7 1

; ; ; ;16 8 12 2

����$-�4 2 9 7

; ; ;9 3 27 12

− −+

�-� 4 8 55 ; 5 ; 4 .

5 15 6�

� >� ����1 2 1 3

, , 4 , 22 3 5 4

− �E�� ��(

�-�� �3+�����$-�� �0+���������-�� �.�

� �������� ���� �������������������$������� ���

�-� 2 3 1, , ;

3 4 2����������������������$-�

1 3 41 , 2 , 3 ;

2 4 5

�-� 2 1 53 , 1 , 4 ;

3 2 6− − �������������-� 3 5 2

2 , 1 , 3 .5 6 5

− −

Page 33: 093 Matematika 01 - 02

��

����� ���������������� ���

��������

3 5 3 5 8 5 8 5 32; .

4 4 4 7 7 7 7

+ −+ = = − = =

� �

������"��������� ( ), , 0 .a b a b a b a b

cc c c c c c

+ −+ = − = ≠�

���� ������ ��� �� � ���� ������������������ �������� ����������������������$���$������ ������ ������� �� ��������� ���� ������� ���� ��������� ��� ���

����$���������� ������������7

12

����������� ������� ������������7

18� ����������������

,������� ����������� ������������$���������������7,������ ��� ����������$ ���� ����������7

���������������������������������(�7 7

12 18+ ������

� !"��<53��5D-�4�02��� ���7 7 7 3 7 2 21 14 35

.12 18 12 3 18 2 36 36

⋅ ⋅ ++ = + = =⋅ ⋅

� �������

>� ����� � ���� ��������������$��� ���������%�������������%������� � ���� �����������<����%�������������������$�����-�� ���������$��� ������� ���� � ���� ��������������� �������

�a c ad bc ad bc

b d bd bd bd

++ = + = �

� �� ���� ���� ���� � ��3 7 1 5

2 1 18 12 4 6

− + −

"�� ����������(� !"�<D��53-�4�3.�

3 7 1 52 1 1

8 12 4 6− + − 19 19 1 11 57 38 6 44 19

8 12 4 6 24 24

− + −= − + − = = − �

� ������������������� �$���E�� � (���-�1 2 3 1 2 3

2 3 4 2 3 4⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + = + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

+ $-�2 1 1 2

1 2 2 13 2 2 3

+ = + �

8������ �7�����$� �� �� ������� ����������� ��� ������������ �� ��������� �

� �� �(�����-�2 2

3 3⎛ ⎞+ −⎜ ⎟⎝ ⎠

+ $-�1 1

1 14 4

− �

>� ����a

b�� �

a

b− ���������������������������

00

a a a a a a

b b b b b b

−⎛ ⎞+ − = − = = =⎜ ⎟⎝ ⎠�

�� ��� ����������������7 7 35 1 35 36 35 36 35 1

1 112 18 36 1 36 36 36 36 36

−⎛ ⎞− + = − = − = − = =⎜ ⎟⎝ ⎠� ������

��������

Page 34: 093 Matematika 01 - 02

��

��������

�� � �����2 4

3 5⋅ ��������

1 51

2 6⋅

�������������������a c a c

b d b d

⋅⋅ =⋅

� � �� �� ��������� � ��$������ ��� ���� (�

33

4���&�

41

5���&�������

������������������5������� �������� ��� ������

:�������������� 4 41 1 2

5 5+ = ���

������������� ���$������ ��+

3 4 43 1 2

4 5 5V = ⋅ ⋅ �� � 15 9 14

4 5 5V = ⋅ ⋅ ���� �������� 3 9 7

2 1 5V = ⋅ ⋅ �������� 189

18,910

V = = 3cm �

"�� �� �����������E������������ ����E� �������%�� ������� ���������� ����

� ����������������� �$���E����(����-�1 2 3 1 2 3

;2 5 4 2 5 4

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ ⋅ = ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠���$-� 2 3 3 2

1 2 2 1 .3 4 4 3

⋅ = ⋅

� �� ��������������(�����-�1 2 5

2 5 6⎛ ⎞⋅ +⎜ ⎟⎝ ⎠

+ ��$-�5 1 1

6 3 2⎛ ⎞− ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

"� ���������������(� ���E�������� ��� ������� ������������$������������ �� ��$� �� ��� �E$���� ��

�� �(��-�3

04

⋅ +�$-�2

13

⋅ +��-�4 5

5 4⋅ �

����� �$������� ���5

6�� �

6

5������� ����� ������

3

4− �������� �����������

4

3− �������������A������

� �����������1

5�

,������ ����� ����� ����������(�4 1 2 1

; 1 ; 5; 3 ; .7 3 3 4

− −

���� ��������!����F���� ��

a

b�$ ��� 0 0

a

b⋅ = �� 1

a a

b b⋅ = ���� 1

a b

b a⋅ = &������ 0

a

b≠

��� ������������������� ������5����� ���'� ��������� ������

��������

�-�6 2 6 : 2

: 3;5 5 5:5

= = ��$-�1 5 3 4 6

1 : .2 4 2 5 5

= ⋅ =

�� �(���-�6 2

:5 5

+����$-�1 4

1 :2 3

��� � , , 0,a c c

b d d∈ ≠� ��� ��� ����� � :

a c

b d

��������������������x

y���� ��������

x c

y d⋅

�������$���$������ ,a

b��� ��������� :

a c x

b d y=

� ������� �� .x c a

y d b⋅ =

� �� ������� ��� ���������������

236 m ,

5���� �������$������ ����������

12

5����,���

���������� �$��������� ����

����9�⋅������ �� 2 16 2 ,

5 5b= ⋅ �������

3 1 33 11 33:116 : 2 : 3m

5 5 5 5 5:5b = = = =

����33 5

,5 11

b = ⋅ �������� 3m.b =

Page 35: 093 Matematika 01 - 02

��

�� �������

! ������������ ��� ��������$���$������ ��������� ������ ���� ������ ��� ����� ����� ���

�� ���� ������� ������������F������� ���b

a�� � ( )0, ≠c

d

c��� ��

cb

da

c

d

b

a

d

c

b

a

⋅⋅=⋅=: �

�� �� �(��-�7 3

: 28 2

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠+ $-�

3 1 13 2 :1

4 4 2− �

"�� � ���� �����(��-�7 7 7 2 7 ( 2) 1

:8 2 8 7 8 7 4

⋅ −⎛ ⎞ ⎛ ⎞− = ⋅ − = = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⋅⎝ ⎠ ⎝ ⎠+��$-� 3 1 1 15 9 2 15 3 1

3 2 :1 24 4 2 4 4 3 4 2 4

− = − ⋅ = − = �

# �F%����� ����� ���� ��� ����� �7

�� ! �����(� 4:3

2+� ;

4

3:5 ��

5

4:

2

11 ������������%��������� ��� �

"�� � �E����� �(�

22 3: 43 4

= +��3 5

5:344

= +���

1 311 4 2 21 :4 42 55 5

= = �

>� ���� � ������������ ���� � ���� ���������� ���'� ���� ��� ���%�����

�� >� ���� ���%����(����-�

34 ;56

������$-�4

;34

������-�

56 ;4�������-�

11

2 ;3

24

− +

−��� �������� ��������������

"�� �E����� �(����-�

33 5 3 6 94 :

5 4 6 4 5 106

⋅= = =⋅

+������$-�

44 4 4 11 53 3 3 1 34 4

⋅= = =⋅

>� ��� ���%������� ������� ������������������ ��������� ��������� ����������� ������������������ ������� ��������� ��������� ����$� ��������� ���� ������� ���

�� �� �(������-�

2 13 38 59 6

+����������$-�

1 11 2

8 61

2 34

−���������-�

41 2

31

2 32

+ −

− +�

�� �������

#$� �����E$������� �����E������������ ��������������� ����� ����$��������� ������� ����������� ���������� �������$������� ��$������������� �� ������ ����� ��� ������������� ����� ����$��������� { }0��

Page 36: 093 Matematika 01 - 02

��

�� ,������������������ ������� (���-�A�� �6+�����$-�4

13�� �0+������-� 1

22�� �

13

3�

M����� (����

1 1 5 3 10 22 3 112 3 6 2

2 2 12

⋅ + ⋅+= =

������2

a bs

+= �'� ��� �������� ������������ ���� ���

�� ������������-�A�� �P+�$-�2

1�� �

3

12 �� �������� ��������� ����� ������� �� �������� ������

# �������� ������4�2

ba +���������� ������������ ���<��C��-���������������� ������������� ���

�������� ������������ ����������:�������������1����"��� ��

"��� �������� 22

b aa b a a b a a b a a

+< ⇒ + < + ⇒ < + ⇒ < �

���� 22

a ba b a b b b a b b b

+< ⇒ + < + ⇒ + < ⇒ < �������������E���2

a ba b

+< < �

�� ,���������������� ��������������������� ��� �������� �A�� �6�

1

5 76

2s

+= = &������'� 5 6 7< < &���� �� 2

5 65,5

2s

+= = ����3

6 76,5

2s

+= = &�#����

5 5, 5 6 6, 5 7.< < < < "�E����� ��������������������������

�� �������

������ ��F����������� ����������� �� �������������� ��������������� ��������$�������� ������� �������������$������� �� �����

���

� �� �(���-� 5 8 12

17 17 17− + +��$-�

3 1 24 5 1

5 5 5− + +

�-� 1 38 3

3 5⋅ + �����-�

4:12

3�

� �� ���� ���� ���� � � (

�-�3 4 7 1

5 9 15 3− + − +���$-�

3 4 15 4 2

4 5 2− − �

� ,������ ���� ���� � � (

�-� 3 1 72 4

2 3 6⎛ ⎞− − +⎜ ⎟⎝ ⎠

+���$-� 3 5 11 7:

8 4 16 8⎛ ⎞ ⎛ ⎞− −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

+

�-�1 7 4

16 7 3 13 12 5

⎛ ⎞− − ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠�

� �� �(

���

13 2

21

1 13

+������

13

43 5

14 6

+

+ ⋅������

1 13 2 1 2

4 21 1

2 :3 24 3

− −−

� : ����� ����a

b&�

c

d����

m

n����������F%�������

���������"��� ��� ��� ��$���E���(

a c m a m c m

b d n b n d n⎛ ⎞+ ⋅ = ⋅ + ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠ �

��/��3

Page 37: 093 Matematika 01 - 02

��

��������������������� �������������������

� � >� ���(��-�7

2+�$-�

32

5+��-�

7

8

�������������������� ���

"�� ���� ������

�-� 7 7 5 353,5

2 2 5 10

⋅= = =⋅

+

�-�7 7 125 875

0,875.8 8 125 1000

⋅= = =⋅

>� ��� ���� �������������������������� ��� �'� ���� ����� �� �>� ����� �� � ����������� ���� ��'� ���������� ���

� ����� ������������ ����� ���(�� 3 9 7; ; .

4 8 200

�����

>� ���� ���� ��������������������� ���� �������������� �� ��������������� ������������� �����%������

� �������� �����(��-�Q�A��$-3�0A���-�.�53A��������������� ��

"�� ���� �����(�$-�3�0A�4� .20

72

100

352 = �<��� �� =������� ����������� �����������������-

��������

>� ���(�100

72;

10

1� �

1000

6254������������������

�� ������������� ���(�3�2+�0�3A�� ��Q�23A���������������� ������������ ����� = �(0�A����0���������� �A������ ����Q�D6A����Q���������� �D6A�����������3�QP����3���������� �P����'�������

��������

��������� �������� ��������� ����� ������������ � ���$��� ��� ����E$��� ���������������� ���� �������������

� � :������ �������� �����������

������ ��� ���.A��03�� �D��D2A�

������������(�&%�'��������������������������(�&%�'��������������+&+)�����������������������������+&+)�� �

���(&�+���������������������������%)&(��

M����� �

�� �������

#$� ����� �E$��������������%�������� ���%����'�����������E����� ����������� �������� ���������� ������ �� ��� ������ ����������� ������ �

� �� �(��-�23,5 42 0,325− + +��$-�3,125 6,25 4,0125− + �

����������

Page 38: 093 Matematika 01 - 02

� �� ����������� � ������ ������� (�A��D.�� �3�A�

"�� � ���� �����(

������������������������5,84 2,5 14,6⋅ = �������������������� 5,84: 2,5 58,4 : 25 2,336= =������������������������������� 2920 ���������������������������������������������������������������������������'

������������������������������1168 ���������������������������������������������������������������������������� 84

�����������������������������14,600 �������������������������������������������������������������������������� 75

�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 90

�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 75

��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������150

�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������'

������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������'

��������� ��������E �������� ���������������� ��� � � ������� �� ���� �� �� � ��� �� ���� �'� � �� � �� �� � ��� � �� �� �� �������������������$���������

������ ����$� ���� ��������������� ��� ���������� ���� ������ ��� ���� �������L������E����� ������� ��� ������'���� ���� ������$� ������������������������� ���������� ��������������� �� ���������������

� �� ��(�����-�3,25 1,5 4,5⋅ − +�����$-�56 2,875: 2,3− �

��������

>� ����4

5��� ��

5

17�������������������� ����

,������� ��������������� ������������� ������%�����7

� >� �����3

8��

2

3�����

7

22��������

����������� ����

# �������� ���� ������������ ������� ��(

30,375

8= �

20,666...

3= �

70,31818...

22=

����

8���� ����������������� �������������%������� �����%�������� ���

������������������ ������ ���(��14

11��

23

6��

5

7

141,272727...

11= �

232,8333...

6= "�� ��� ��������� ���������������$ �� ����������������� �������

� � ������������� ��������%���� ��������%����� ������������� ����� �

#$ �� ���������� ��������� ��������� �2�����(�Q��5��3��0��.�� �A����������������� ��������� �55�����(�Q�5��3��G�� �5Q� �%���� �����������%��� �'���������� ��'� ���� ���� ���������� ����� ���� �(5�3636G45�<36-+�0�D000����4�0�D<0-���� = ������ ������� �36����� ����+��� ����������� �������� ��� ��� ����� ������������ ��������'� ����������� ����� ������

Page 39: 093 Matematika 01 - 02

��� � ����� �����(

: ����� ����a

b��b∈� ������������������������K������� ��������������������� ����$ �� �� �������������(

Q��5��3��0��G���)5�������������������)������������ ������ ��� ��������������������������$ ��

� ����� ������������� ���������������� � ������������������ ���������������%���� ������������� ����� �

��� ��������� ��������%�� ���������� �����%���������� ���� �������� ������E �� ��������� ��������

������������������ ����$� ��� ������������ �$���(�Q�06A�4�Q�06AQQQ���+�)3�A�4�)3�AQQQ� ���

����� �$����� ,13:1213

12 = ��$ �� ���������� �����(�Q�5��3��0������53���#��������� ������������� �����50

������� ������������������������%������������� ���������� �������

12 :13 0,(923076)= �

"� �� � ������������� �����

������������ �������� ��������' �������� ����� ����������������������

�� �������� �����+��-�5�<A-�� �$-�Q�3<0-�������������� ���

��� � �E����� ��

�������������-� 1,(5) 1,555...x = = $-� 0,2(3) 0,2333...x = =

�������������10 15,(5) 15,555...x = = ����������������������������������������100 23,(3) 23,333...x = =

��������10 15,555... 1,555...x x− = − ���������������������������������������10 2,(3) 2,333...x = =��������������� 9 14x = ������������������������������������������������������ �������100 10 23,333... 2,333... 21x x− = − =

�����������������14

9x = &�������

14 51,(5) 1 .

9 9= = ����������������������������

21 7

90 30x = =

��� �

� ����������������� ������ ���(

7 17 9 32, , , .

4 8 5 25

− −

� ������������ ���������� ��� �� �������(3�53+�Q�QQD+�2�53A+�)A�6A�

� �� ��-� (7,3 2,9) 0,5− ⋅ +���$-� (23,4 12,3) :1,25+ +�-�3,46 2,1 (0,25 1,23)+ ⋅ − +�-�30,25 2,5 (3,02 4,1: 0,25)+ ⋅ − �

� ������������������ ���(��8 11 13

, , .7 45 12

� ��������� ����������������� ��(

�-�0,(6) + $-�2,3(15) +

�-�4,5(18) + �-�2,3(4) �

��������������������������������� ������������� ���� �������"��� �V

���$�E����������� ����������� �(

Page 40: 093 Matematika 01 - 02

��

�����������

��������

M���� �$���E��������)�.�4�Q�

J������ ��������������0������ ����������� �����

� � �������$������ ������������������ �������������(

����)� 2cm �������+� 2cm �

"�� ���E����� �(

���� 2P a= ���� �(��-� 2 16a = +� 16a = 4= ����$-� 2 8a = +� ?a =@� �E�������������������������������������������D7"�� �� ����� �E���������������������������������������������$�������������������������� ���������������D����������'�� 8 2,82842712...a = =

� M���� �$���E����(����-� 2 9 0x − = +���$-� 2 3 0x − = +����-� 2 15 0x − = ��-�:������������ ��E��� ��� ��������������� ����$���������� ���� � �5���

"�� �� �$���E�� �����)�04Q�� ����)�5A�4�Q����������E����� ����$��������� ������� ����������K����������� �E�������������������+������������������������������� ��E���� ���������$���E����+���4��3�

����������������������� 2; 3; 5; 7;...− − &� 3,14159265...π = ���

���� ��������$� � ������ ���������������E���� �����$��������� ������� ���������I��������������� ����� �� ���� �'�����$� ��E�� ����� � ���������$������ �� ����������������������������L��'��������� �� ��������J��������� ������� ������������������������ ��

#������������� ��(�� 2 1,41421356...= �� 3 1,73205080...=�

"�� �� ��������������������%�������� ����� �� ���� ����������� ����� ������� ��������� ����������� �������������� ��������Q�535335333G+�3�60.0..0...G����������������������

�� �������

������������� �������%��������������������������������������������$������ ������������ �%������$��������� ������� �� ������������ �������� �� &�� ��������� =� ���

����������

Page 41: 093 Matematika 01 - 02

��

�����E������ ������������" �������������$��������(� , , ,� � � � ���� .�

,������ ���� ����� �������������� �(

��� ⊆� � ������������� =��� � �

��� = ∅�� � ������� =� ��� �

��� =� � ��

� ,�����������������������(���� 2 �����7

5������ 3 �����

9

5������

5

2����� 2 �/

M����� ����-� 7 1,45

= +� 2 1,414221356...= ����� � 72

5> �

����������

������ ��F����������� ����������� �� ���������������J�������� ������� ��������������$������ �� �����@����� ������$�������� �����������������������7

� � J������� � �� ����������� ������4�53���� ���4�A���

,�������������� �������� ���������"�� ������������������� ����E�� �������������� �F�� �� ������� ��� �������� ����E�������"� �� � ������ ���������F��������� ����E������ �E����� �� ������������� ������������������������

������ ��� ��� �� �� ������9�����;������������������ ���� ����$�������� �������� ��������������������������������

� ���$�������� ��������������� ���������������� ������������������(

2 �� 3 �� 2− �

�� � � �

23

2� 2

3�

������� ;2 ����L����� ��������� �� ������������������ ��E�� ��� ��������������� ����$��������

� ���� � �5�

���$�������� ������������� �� ������������ ����$���������� ���� � �OA45

K�������� � ��� ��E��� ������ � � ���� ���������������� ;2 �����������������'�� �������������� ���������

#$��� �� ����� ;2 �������� � ��������������� ������������� ������� � � ������ ���������������5�

!��� ��E�� ��� ������������%������������ ��������� .3

�������������� ��� (

��

Page 42: 093 Matematika 01 - 02

��

12345678901234567890

1234567890112345678901

1234567890123456789012345678901212345123456789012345678901234567890121234512345678901234567890123456789012123451234567890123456789012345678901212345

123456789012345678901234567890

123456789012345678901234567890

123456789012345678901234567890121234567890123412345678901234567890123456789012123456789012341234567890123456789012345678901212345678901234

J��� �� �� ����� 3 ����$�������� �����������������������

���������� ��������������������� �������������������� �������� �����������'� ������� ������������ ������ ���

���$�������� ��������'���������(��-� ;6 ��$-� ;26 ���-� .17

��������

M���� ��$���E����(�-� 2 0x − < + �$-� 1 0x + ≥ ����$��������� ������ �� ���

M����� �� �%������������ ����%������� ������

� H���������������� ���)3�� �5�

���$�������� ����������'�����' � ������� �����������$����� ��� ���� ������ ������� � ��� '���� ��� �������� �)3�� �5

��� ��������������� �����F%������������ �������������� ���1�)3�� ���C�5�����������������()3�C���C�5���������� �������������������� ������������������� ��������������� �������� �������� �)3�� �5�

���$�������� ��������'�� ���������%���(

�� �� � �

�����(�{ }, 2 1x x x∈ − < <� ���� ( 2,x∈ − �1)

��������� ������������ �������� �)3�� �57

J�������� ���������������� �� ���������������� �������� �������� ���� ������:���'� ������ ���#���������� ���'� ������ �� ���� �������

"���������� �������� ����� �� ���� ����������������� ������ ���������������������� ���� (

�� �

( ) { }, ,a b x x a x b= ∈ < <� ������ ������������

��

�� �������

8����� ����$�������� �������������� ��� ��������������� ���� ������ ������F��������� ������������� �� ����������������$�������� ������������������ ������� ����$�������� ����� �$����������������� �� ������������� ��� ����� ���� ����$� ����

)(

( )

Page 43: 093 Matematika 01 - 02

��

123456789012345612345678901234561234567890123456

123456789012345123456789012345

1234567890112345678901

12345678901234567890

123456789012345678901234567890121234567890123456789012345678901234567890123456789012123456789012345678901234567890123456789012345678901212345678901234567890

123456789012345678901234567890121234512345678901234567890123456789012123451234567890123456789012345678901212345

12345678901234567890

12345678901234567890

12345678901234567890

12345678901234567890

1234567890123456789012345678901212345123456789012345678901234567890121234512345678901234567890123456789012123451234567890123456789012345678901212345

�� �

[ ] { }, ,a b x x a x b= ∈ ≤ ≤� ������� ��������$�����

��

[ ) { }, ,a b x x a x b= ∈ ≤ <� ������ ����������������������� ��������

�� �

( ] { }, ,a b x x a x b= ∈ < ≤� ������ ����������������������� �������

��

a ������������������������ 0 ���������������������������� b

��� � ,x a a> ∈� ����� ���$��������{ },x x x a∈ >� ��� ������������( , )a + ∞ ��������� ���������%��������� ������������ � ,x a a≤ ∈� ����� ���$��������{ },x x x a∈ ≤� ��� ������������( ],a−∞ ��'� ����� ��������%���������� �������

�� ����� ���� �����������������������'��������$�������� ����

�� � � �

�� ��

�� ���$�������� ��������'������� ���� �

��� ( 5,1)− � ��� ( ]3,2− � ��� [ )1,3− � ��[ ]0,4 � ��� ( )4,− ∞

���

� ,������������ ��'��������������������� ��+

��� ⊂� � ���� ⊂� � ���� ⊂� � ���� = ∅�� � �

� ,�����������������������+

�-�π ��� � 22;

7��$-� 306

125�� � 6;���-� 36

25�� � 2?

� ,�������$�������� ��������� ���������������� �������(��� 5 ����� 5− ����� 10 ���� 15

� ����'���� ��� $����� ��� ���� ��� ���� �(���[ ]4,0− ������ ( )2,2− ������ 1

,22

⎡ ⎞⎟⎢⎣ ⎠����� ( ],3−∞

� ��������������������� ���� ��

��� { }, 1 3x x x∈ − ≤ <� ���� { },0 10x x x∈ < ≤�

���{ }, 1x x x∈ ≥ −�

� ���$�������� ��������'�� ��� �� �� ��� ���� � +

�-�[ )3,2− �� �[ ]1,3 ; $-�( ]1,4− �� �( )2,6 ;

�-�( ), 1−∞ − �� �[ )2, .∞� ,����������� ���� ���� � (

�-�( ]5,4− �� �( )1,5− + $-�( ]0,5 �� �[ ]6,1− +

�-�( ), 3−∞ − �� �[ )1,− ∞ �

[]

[ )

]

()

Page 44: 093 Matematika 01 - 02

��

������������������������ �����

� K�����E����� ������ ����� ���������� ����E ��'������������ ������������������������ ��������������������� ��������� ������������������������ ������������ ��������� �<��������������������

���������� �� ���-��� ������� ��������������� ��� ���� �� E��������������������� ����� ��������� ���� ������ ����� �%� �����������������������

�� �������������� ���������������������������������������� �����������������������E�� �������� ��� ����������%�����

�����'��������������������� ���� ������������������������������������ ���� ������������������������������ ���$�������������� �$��������������� ��

����� �$��������������� ������������������ ������%�������� ����.6A����

"� ��� �%������������ ����������� ��5�������������$����������������������� �5�������������������������� ��� ������� ���������������������� ��<.6A�)�5-���� �<.6A�/�5-������ �������������� �������Z.6.���.62��[�

8���� ��� ���� ������������ �$���(�.6.���+�.6.�2���+�.6A�2����������� ��� �����%���� ��������������������

#����� ����������������� �������� ���������������� � �<.6A�±�5-���

� �������������� ����������%��������������� ,2 ���� � [ ].5,1;4,12 ∈

&������ ����������%����������5�.5+�5�.3+�5�.3A+�5�.P+�5�.PP�� ������ ��� ��� ��%���������� ������������ ��'������������ �������Z5�.+��5�A[�

� ������ ��� �����%������������������������� ������������������ ���������������� �������� ��� ������

������� ������������� ��������������� ���� �������������������������������������������������������%���������F��������������� ���������������������������$������$��������������������������� ,Δ <� = �������-����������������� ��������� ������ �������� ���������������$�����

� J�� ��� �������� ���$������$�������� � [ ].42,1;41,12 ∈

��� ������������������%����E�� ����5�.5�� �5�.3�� ��������������������� ������� ���������� ���$������$������������� �������������������������# �������������������� ������ �������� ���$�����

��� ����������������� ��� �����%���� �������������� ��������

'� ����$���$���������������������%������#

1a a−

����

Page 45: 093 Matematika 01 - 02

��

�������∈Z5�.5+5�.3[��� ������� ������%��������������

��� ������� ����������� ����������∈Z5�.5+5�.3[��������E�������' �&(� � �&(���

������⎪�-��⎪����' ������������ ������ �'������������ ����� ����������'����������� ��������������� ��5�.5� �5�.3���� ����� ���$���E���⎪�-��⎪≤⎪5�.3)5�.5⎪4Q�Q5���� ����������$�����$�����Δ ≤�Q�Q5�

������Δ 4�Q�Q5��������%� ������ ����$�����$������

����������������$�����$������������������������ �������������Δ���� ��������⎪�-��⎪≤ Δ�

������Δ�'� ����� ���������$������$�����H$���E����⎪�-�

�⎪≤ Δ������������������ � ����%���(

1 1a a a− Δ ≤ ≤ + Δ ��� � 1 ,a a= ± Δ'������������� �����' ����� � ( )1 1, .a a a∈ − Δ − Δ

� � ��� �����$� ���������<0�3AQ±Q�QQ5-�����,������� ������������������������ ��� ��� �$� �����

�������� ����� �������5��4�Q�QQ5��������������$����������������������� �Q�QQ5������ �������

� 3,250 0,001,t − ≤ ���������( ) ( )3,250 0,001 kg 3,250 0,001 kg,t− ≤ ≤ + ��� ���������������������3,249kg 3,251kg.t≤ ≤

� K�������� ��������� ��������4�<0.6±0-��� �������� ��� ����������%����������� ��� ������$�����$��������� �������� ����� �

( ) ( ) 1 2 3347 3; 347 3 , 344; 350 , 345m; 346,5m; 348,6m,�d d d d d∈ − + ∈ = = = �������� ��� ����������%�����

�������( 1 2 3347 345 2m; 347 346,5 0,5m; 1,6m.d d d d d d− = − ≤ − = − ≤ − ≤

� � H������������������������4�<5�/�Q�5-��� ��

��4<5Q�/�Q�5-���,������������� ��������� �������

���'������������ ������$������$��������������$�����Q�5��4�5���

"�� �������� �������������� �������������'����$�����$������� ��Q�5��4�5��������$����������������������� �

&���������$�����$���������������� �� ��������������� �������� ������������������ ���������������� �%�� �

�� ��������� ��������$�������'���������$�� ��������� 1a a

−= ���������������������������������������������

������%����

������� ���������� ���$����� �����������(� 1 2

1dm 1 1dm 10,1, 0,01.

1m 10 10m 100prandajδ δ= = = = = =

� ��'������ ��������������� ���������� ���$����� ���������������������

K�$����� �������� � ������ ��� ����'���� ��������������� ������$������ ����'���� �� ���$����� ������� ( )100 %.prδ δ= ⋅

���� �$���(� 1 20,1 100 10%, 0,01 100 1%.prpr ndërsaδ δ= ⋅ = = ⋅ =

Page 46: 093 Matematika 01 - 02

��

� �������%�F�������� ����������� ��������(<5Q.±A-"������������$����� ������������� ��� �7

���������� ����������������������� ��������%�F������������ ��������������� ������

�( ) ( )104 5; 104 5 , . . . 99; 109d mth− + �������

#�� ��� �%������ � � ��� �� � ������ ��������� ������ ��� ����� ����99 109

1042

+ = � ������� �������5

0,0480...,104

δ = = �������� 0,05,δ < ������� 5%.prδ ≈

� � ������� ���������� ���(�4�DQ��\�� ���$���� ������A]�� ���������$�����$������ ������������%�������� ������� ������ ����7

����%������� 1 0,05V V

−= = ���� �� 1 0,05 80 4km/h,V V− = ⋅ = ���������80 4 80 4,V− ≤ ≤ + ������

� ( )76,84 km/h.V ∈

� K������������ �������'�������������������������%��� ���� ������'�� ��� ���������� ��� ��������������������������%��� ���� ����������������� �������� ��� ���%��� ���������� �

����� �$����� ...,41421356,12 = ���������π 4��� �������������$������ ���(

�-���+ $-������+ �-��������� �� ��� �� �

B���$������������ ���������� ����������� � (

��� ���%��� ������ ����������������Q��5��3��0�� �.����� �����%������ �������������'�� �����$��������������������������������� ����%��� ������ ����������������A��2��6��D�� �P����� �����%���� �%�������������$������������������ �E�����������5�

��� 2 1,41; 3,14;π≈ ≈ �������� 2 1,4142; 3,1416;π≈ ≈ ������� 2 1,414214; 3,14593.π≈ ≈

&� ������ �����������'��������� �����$���������������� ����������%������������ ������� ��# �����$�������$� ��������$��������������K�$��������������������� ����������������$��������������������������������� �� � �

���������$������� �������56�3D0�����$����� ��������� ����� �

K�$�����$����������17,283 17,28 0,003.− = �����'��Q�QQ0�≤�Q�QQA�����������$���������������������

� �A���������� ��������������� �����'�����( ,005,001.02

1 =⋅ ��������� .005,001,02

128,17283,17 =⋅≤−

Page 47: 093 Matematika 01 - 02

��

K���������$��������������� ��� �� ����$�����$������������������������ � ,0005,0001.02

1 =⋅ �������

����$��������������������� �� ���������������� ���� �� � 00005,00001.02

1 =⋅ �

������������������������$����������������� �� ���$�����$������������������������ �n−⋅10

2

1�

: ����� ��������%����� �� � ���������������%��������������%�������� ���� ��������%��� �������<�� %�� -

�������������� ���$�����$������������������������ � .102

1 p−⋅ ���� �������

����� �$���� � ���������4�A�06�� ���$����$�����Q�QA���%����A�� �0� �������%��� ���������� � �� 11

5,37 10 0,05,2

a −− ≤ ⋅ = ����������%���6���������� ������������'�� 215,37 0,05 10 0,001.

2a −− ≤ < ⋅ =

> ���������≈�5�A63Q�� ���$����$�����Q�QQ5�� ������ ���%�������������������������������'�

211,5720 0,001 0,005 10 .

2a −− ≤ < = ⋅

#������ ��������������������������������%�������������������� ��� ����� ���%���� ��������������

����� �$����� ��������36�2+�5�.5.3+�0�QQ������������%�������������������"�� ���� ���$�����$���������(�Q�QA+Q�QQQQA+�Q�QQA�

� �� �(����-�2

39

+ ��� ������ �� +

> ��������� ��������� ������������ ������ ����'���%������������������� ��$� ������

>�����E����� ����A�.65D20�������� ��� �����%���� ������� ����������������������� �⎪�-�

�⎪≤Q�Q.�

��%������ ����������� ���� ��� ����� ��� ������������� ����������%��� �������� ���$����������������������� ���������

�� �����$�������������� ��� �� ���� �������

1 5,472.a =

����������� �� �� ���������������� �����������%����<� ���������������D��2��0-������������������������ ��

1

110 .

2pa a −− ≤ ⋅

$-� 60 57− �� ������ �� +������-� 345 344− �� ��� ��� �� �

�-�2

3 1,73 0,22 1,95;9

+ = + = ���$-�7,75 7,55 0,20;− = ����-� 345 344 18,574 18,547 0,027.− = − =

Page 48: 093 Matematika 01 - 02

�� J������� ��� �������������������3�.�±�Q�5������4�0�6�±�Q�5���������� ��� ������ ���������� �� ������������ ��� ������$�����

"�� ����� �� ������������������$�������������������� ��(

2,4 0,1 2,4 0,1;a− ≤ ≤ + �3,7 0,1 3,7 0,1.b− ≤ ≤ + ��2,3 3,6 2,5 3,8; 5,9 6,3,a b a b+ ≤ + ≤ + ≤ + ≤ �������

2 5,9 2 6,3,L⋅ ≤ ≤ ⋅ ��������11,8 12,6.L≤ ≤

���� ����������%������������������ ����� ������� ��� (

���4� 2,122

6,128,11 =+$�&�����������$�����$������������������������ ��

12,6 11,80,4cm.

2

− =

�����'����� ���� �������� ������� ���%�������������������� � ����������� ������ ����� ���%��������������������9�4�5D�3����

��������� ������ �������%��������'���%����������������������E� ���� ����������������������%��� ����������

�� ,�������������� ��� ������������������� ���������������56������������� �����������0�.2��

���� �4���⋅ ������ ����4�a

S�����4 .913294,4

46,3

17m= �������'����������������� �� �������������� ��

$���������� ������ ����'���%������ ����������4�.�P��

�� �� ����������� ���� � �������������� ����%��������� �������������� ���� �� ��������������A�56���� �0�A3��

25,17 3,52 18,1984m .S = ⋅ =

28,28 9,50 9,50 8,282,3 3,6 2,5 3,8; 8,28 9,50. 8,89cm , 6,1.

2 2a b a b S a b ndërsa

+ −⋅ ≤ ⋅ ≤ ⋅ ≤ ⋅ ≤ = ⋅ = = Δ = =

Page 49: 093 Matematika 01 - 02

���

� ,������$������ ������������������(

�-������������4�<A2�̂ �Q�A-��+

$-���������(�4�<63�̂ �5-���+

�-��� �������(�4�<PA�̂ �A-��\+

�-�� ������;�4�<.�A�̂ �Q�3�-"�

� > ��� ���� �����%��������� � ��� ����$�����$������ �� �����(�-�6 5,6;≈ ��$-�1,983 1,98;≈ ���-�0,991 0,99.≈

� > ������T������ ���� � �����������33Q��� ���$���� ������2]�������������%�������� �����7

� ,������������%���������������������� ���� ����%��������� �(���%�&(*,�!'&��������'&�%�!'&'����������*�)&+�!�'�

� "� ������$������$���������� ��� ��������%����(�-�5�.5+�$-�5.P�A�5Q+��-�Q�QQQQ56P��<��� �����������%���� ����������������������-

� B���$������������� ����������� ���%������� %�� (���-�5�603+��0�.3A5+

$-�536D0+��5.PAQQQQQ+��50P55QQ�

� �� ��.�<32-�/� 5 ����� ���%�������� %�� �

�� ��� ���������%�������� %�� ��������� E������������$������ ������ �

�� ������� ��� �� +

�-� ( )5,2 27 34,6 0,85;+ − ��$-� 3 2;−

���3 2 :8;π �"��( )5 7 : 3 ;+ ���17 5 24 .π+ ⋅

�� �(

�-� 36

5 + �� ���������Q�QQ5+

$-� 3)6(,2 ⋅ �� �������Q�5

�� �� ��� ��� ������ ���������� ��� �����)������� � $�E�� ��4� 5D�.��� � � ���������4�6�2���

�� J������� � �� ����������� ����� <A�2Q�5-��+<6�D�±�Q�5-������ ��� ��� ������ ���������� ��� ������$�����

�� : ����� �� 8,34 0,01;a = ± � 6,21 0,01.b = ±�� ���� ���� ���� � �(�-� ;a b+ ��$-� ;a b− ���-� 2 ;a b+ ���-�

a

b� ��� ������$�����

Page 50: 093 Matematika 01 - 02

��

������������� �������������

���� ������5)�.������ �� ���������������� � �%���������� ��������,�����������������

��

��

"� ��� ���� � �� ( )4 3 4 6− − �

��� 2;− ����'� ����� �� 14.−

"� ��� ���� � ��� 5 2 11

6 3 2⎛ ⎞− ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

��

�-�3

;2

$-�3

;4

�-�1

;4

�-�1

.3

!"��<6��P��5.-�����( �-�.3+ $-�20+ �-�PD+ �-�532�

������56�������������������� ������� ����$���������(�-�5QQQ5

�+ $-�5QQ5Q

�+ �-�5Q5Q5

�+ �-�55QQQ

��

�������5555Q5��������� �������� ������� ����� ����

�� ���� ���� ���� � ��06�/�55Q5��/�5Q5

��

�� ���� ���� ���� � ���1 3 1

5 1 2 :1 .2 4 4

⎛ ⎞+ −⎜ ⎟⎝ ⎠

��������� ���3�0<5A-������� ������ ��

B ���������������������������(� ( ) 12; 3; 2, 3 ; 2,3434...; 1 ; 1,31212....

3− − −

��� ���� ����� ��� ���� ���� �

�-�[ ] ( ]3, 5 2,7 ;− $-�( ] [ )3, 4 4, 7 ;− �-�[ ) [ )2, 3 2, 5 .−

��� �( ) ( ) ( ) ( )| | , at her | .m a m b a b ë ë m a b∧ ∧ > − �"��� ��

��������

��������

�����

�����

����

�����

��������

��������

��������

��������

�����

Page 51: 093 Matematika 01 - 02

��

��������������

" ������" ��������� �����" �������$���$���������������������������������������������������

#$� ����� �E$������ �� ����� ������

���E������� ������� ����������������

��

��

��

����� � ������������ �����������

M$��������� ����� ��������������������������� ��

�����

�����

�����

�����

�����

�����

�����

& ������������� � �� ����� ������������ �����������

��� �� ��� ���� ��� � �� �� ����=� ������E����� ����� � �������� �� ���E����������� ����%���������������������

�E����� ����� � ��� ���E���� ����%���� ���������%� � ���������������������������������

�E����� ����� � ������ ���E�� �������

������������ ��� ������������������

"������ �� �� ��� ������������������������

Page 52: 093 Matematika 01 - 02

��

����������������������������������������������������������������������������������

�������������

K� � ��������������������������������������� ���������� ���������B�� ��������� ��������� ������������ �� ��� �� � �������� ����������������������� ��������������� ���� ���������

�������<�� ��0QQ���� � ������ �������� -�� ����������� � ����� �����������K�������������������� � �������� ��������������%����� ����������������� �� � �� ������������� �� ����������� ������������������� ������� � ����������� �$���(��������� ���E����� ������������������ ����'��������$�� ����&������ ����� ������%�E ��� �������� ������� � ��� �����������������������������������������%�E ��%�� �������� ��'�����������%�E �������'�� ��� �� �$���'� ���������������� �� �� �������� ���� ������%�E���������� ������ ���

�� ���������

������ ��� � �� ����������%�E ����������������� ��� � �� ����L��������(���������� ���E�������%����� ����� ����>����������� �� ���� ������������=� ����� ���������%�E�����

�$�����J�������� ��������������� �������%������������������������������������������������ ������ ���%����'� ���� ��"�� ��'�������������� ����������'���������������� �%��������� ������������������������������������ �($������� ������ ������ �������%��� ������ ������

�� �������

*������� ����������������� �������������� ������� ������$������ ������������ �������� � ����� �������������'� ��� ��%�"���

������ ��������������� � ����������������$�������������� �$�����$�������� ������� �� ���$�������� ��=����� ��������������� ��$�������� ���$��� ����F���������� � ���

����� � ����������'�������$��������� ���%���� ��������� ��'��������������� � ,� ������� � � �� �� �������� ��������������� �$��<��=����� ������� ������� �$�� �<��E�����������' �������������������� ����� ���������$�� �<������� �������������������������������� ������������$�≡�<�

�� �������

��������$������� �� '� ��%��� �������� ����� �� ����%��� ��

Page 53: 093 Matematika 01 - 02

��

" ���$�������� ,� ���� � �F�����$����������� � � ���� �N@O� � ,� �������%�������� � ���� ��������%������� �'� ����������&� ���E��� ����%�������������������$������������������� ,� ��� ����������������%�������� � ���� �&� ���E������������� ����������������������+���������������%� ��� �������������%�$ ������ �(�π��Σ�α��β��Ω�G�

8��$������� ������ �������%��'� ��%��� �������� ���� �%�����>� ������������������� ��������%��������� � ���� �������%���+����� ��������� ���E��� ����%�������%������� � �� ��� � ���� �

� K� � ������������� ������L����������� ����� �%������ ��� � ���� �� ��E������ ����� ������� �" ������ ��E����� ������� � ��� � ���� �������� �����%���������� � �������������������

����� � �����$�E��������� � ������������� �� �� ��������� ���������� ����

������������ �%��� �� ������� � �� � �� ��� ��� � ���� �� � �� �� ����� �� ������������ ��������� ����

�� �������

��� ��������������� ������������ ���������� ����'� ��������������� ��� ��������#>����������� �� ��� ������� � ��� �'� �����������&�� ��� ���� ����

> � ������ ����� �����%��������������������'%� ���������"�� �� %� �������� ��������� �$������ � ���9��� ���������������������$����� ���������� �� ����������� �������������� ;�������� ������%������������E�����*������� ���� � �� � �������������������� ��(�9&������ �� ��$��������� �������������� ;�

���F��� � ����� ����������(���������� ����������������'��� ��$� ����<�������-��������� � ����$���������"����,�����������������$� �� ���� ���������� %�������� ��"��#

� �E������ ����� ����%������ �� � �� ��� � ���� ���� ��� ���� ������ � �� � �� �� ��������

�����E��������������'������� ���E��� �����������

,������ ���� ����� ������������� � (

�-� ;A a∈ ���$-� ;D a∈ ����-� ;B a∈ ����-� ;E a∉ ��� -� .C a∉

� �

���� �������� ���E����� ����%��������������������� � ������'���������������������� ���E ���

@�������������������� ��� �

� �

� � �������� � �����

� �

Page 54: 093 Matematika 01 - 02

��

������'������ ������� ���E��� ��������'� �������������� �#

������F������������������� ����������� �� ���������� ���E���

*������9����� �� �������;��������������������������9�������������;�� �9� �������;������������������� ��� F������������������� ���������� �� ��&� ���E���'������������������������������ �$�� �<����� ���������� ���E��$<#

#������ ���������� ����������� � �������������� ������� ������� ���������������� ����������

������������� �� ������������ ����������� �� � �

(� �����#�: ����� ���$�� �<������������������ �� �����@��������������$�� �<������� ���������� ���E��� ������

�� �E����������=� �������������� ������� ���E������&�������������$��<�� �=������������������� �� �

������� ����������������������%��������� ���E�� �

(� �������: ����� ���$������ �F%������ ���������<�� �=������������ �� �� �������$� ���������������������<�� �=������� ���������� ���E�������������������������� ������%�������������������� �����������>������ ���E���<=�� ������������$������� ���������� ���E����������'������� ���E���<=�������%���������������� ��� �������������$������������%��������� ���E��

� ��

� @����������������$����������� �� ������������� ��9�� ���E��$<�� �9�� ���E��<$;7

� : ����� ���$������ �F%������ ��>� ��� � �E�������������<�� �=������������'��������$��<�� �=������������� �� �

: ����� ���<�� �$������������������ �� ���������������$�� �<����������������� ���E���� ��������� �E������������'���������� ������ ���E��������������� ����� ���=���������� ��������&�������������$�<�� �=�������������� ��

��

� ���� ���E�������������������@��<���=�� �?����� ��� ��� ����� ���������� �� 7

��� �$����������� ������� ����� ���E�� ���������� ��������$���������������� ���E�����<$∈�-�� ������������� ���E�����<$∉�-����� �<$∈�-����� ���� ���� ������$����� ������� ���E���������� ���E��������������������$�

���������

Page 55: 093 Matematika 01 - 02

��

� �E������ ����� ����������� ����%���� ���� ���� ������������� � �

���� ���������%������ ������������ ����������� �� �� � �E������� � ������������������������������%��������������

��

�������� ����������� �� ������� �����������%����

��������������������� ��� ��� ���E����� ����%���������������$���������������� ����$�������� .�

�������������� �E��������������������������'���������� ��������%���� �������� �

(� ������ ��������������������� ��� �� ������������ ����������� �� �$��<� �=��������������������������������� �����������%���� ����������������� �E����������?�'���������� ��������%������&�������������$��<��=�� �?�������� ��������%���� ��������

123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890

��

������'������ ������������%������������'� �������������� ��

� : ����� ���$������ �F%������ ��>� ��� � �E�������������<��=�� �?�������'��������$��<��=�� �?�������� ��������%���� ��������

���������

��� �$����������� �F%������ ����� ��� �E�������������<�� �=������������'��������$��<�� �=������������� �� ����'�� ���������# �������$��<�� �=������������������������%��Σ ≡�$<=�� �������� �E���������?�������'��?�∉ Σ���� ���������� ��� �������$��<��=�� �?��������� ��������%���� ��������

� ����� ���� ���E���%������������������ ��� �(��-������������ ���������� +�$-�� �������� ������'��F��������������� ����� �������� ����������� �

���������

�-�>� ��������$<=�� ������?�'���������� ��������%���� ��� ���������<��E�����-$-�>� ���������F%��������$<=�� �������?�� �5�'������ ���������� ������� ������������ �� ����%���� ��� ���������$<=� � �

������� �������������������������������%�� �

(� �����#�: ����� ���$������ �F%������ ����E�������������<�� �=����������������������� ���E����� ��������

�E�������������'���������� ����������� ���E��� ����� �����������$��������$��<�� �=���������������� �� ����������������

������������������ �����������%���'������������ �������������$���������������������%��

Page 56: 093 Matematika 01 - 02

��

� : ����� ���$������ �F%������ ��>� ��� � �E��������������������%���'�����������������������$�

*������9�����������;�������������� ����9�����������;�'�� ���������������� ����� ���������������������� ���� � �9��������� ����;��� �F������������������ ��������

*������ �%���������������� ���E�� ��������������� ����%����'������ ����������������������'� �������� �%���K��������%��� ����� ������������� �� ��� �� ��� �� ������������� ��'���������� ������ �

��� ����� ������������������������ �����������������

��������

A a∈ �� � ;A∈Σ �B a∈ �� � .B ∈Σ

8%�����E�� �� ����� �������� ���E����� ���%���Σ?

� � � Σ

� ����������� ��������� ������� ��� ���E���� ����%������������$���������

������ ��������� ����� �� ����������>� ��� ���E����������� � ����%��������� ���� ���� ��� ���E������� ��������%������ ����%���������������� ���E�����

��� ���������$�� �<������ ���E��������� ��������%��������� ��� � ��� ���E�������� �������%�����

��

��� � >� ��� �� ��������������������� ��������

�����������+������������������������ ���E��

� >� ��� �� �� ����������������� �������������������+�� ������������� �������� ���� ���E��

� : ����� ���$��<��=��?�� �5�� ������������������'����������� ��� ����� �������������� �� ��>� �� � �������������+� ����� ������ ����� �����%� �

� : ����� ���$��<��=�� �?�����������������'��������� ��� ����� �������������� �� �� �����%� ������������������7

� "�E�������������������������� �� ��������������� ������������(�-�������������� +$-���������������� �

�E���� ��� ���E���� ����%������������ ���� �������(

��������

��� ��E����� ����� ������ ���E����� �������$��<� �=������������������ ������ ���E�����

� �

��� �� �� ����$<�� ��� ���E�����������������������$���������� ���� ���� �������$�� �<���������������������������� ���E�����������<� � �=� ����� ��� ����� � ������ � ���� ���E�����

Page 57: 093 Matematika 01 - 02

��

�������������� ���E����� ����%���Σ����� �(�-�������� ��������������$��������� ����������∩ Σ 4 ∅���E���-+$-����� ���� �������������������$��������� ����������∩ Σ 4�N$O����E��$-+�-�� ���������� ��� ���E������������ ��������%����� ����������∩ Σ 4������E��+-

�� Σ

�Σ � Σ

�� �������

&� ���E����� ����%���Σ�'����������������������$�������� ��� ���E����'������ ��������%����Σ�� ��� ����������� � +�������(��⎪⎪Σ&� ���E����� ����%���Σ�'�������� �������������������$������$����� ����� ���������� ���E���� � ���������%����Σ����������$�

>���'������������� � ��������E������ ����� ������ ���E���� ����%����

���� ���������%������� ���������������� ���E� �

(� �����#� ���������������%��������� �������������������: ����� �����������$�� �<�����������������������$�� �<������� ���������� ���E����������$�� �<����� ������� ���E������ �������%������������������������� ���E�������� ��������%�����

��� �$�����������'���������� ������� ���E��������� ��� �E���������� �� �����������%���'������������������$�� ��� ���E�����

(� �����#� �������������� ���E��������� ������������������<�� �=�

�����'�� ,A a∉ ��� ��� �������$��<�� �=�������������� �� ����������������

������������������������%�����&�������������������$��

���

�� ���E�������������������������%���: ����� ���Σ�����%����F%��������'�������������������$�� ��� ���E����������'�����%���Σ

����������������������� �� �$��<�� �=���������

���� ��� ����%� ��Σ�� �Σ

�������� ��

� >� ��� ����� ���������%������� ������������ ��� ���E����������� �

B��%��������$����� ����������� �� �<��-�'��������������� ��� ���E����������� �<��-�������'��� ������ ������� ��� ���E�� �� ����%�����������������������$���������������

����� ��� �������� ��������%�����

� "��� ��� ��������� ���E��� �����������������%������������%� �

�- $- �-

Page 58: 093 Matematika 01 - 02

(� ������ �������������� ���E����� �E�������������$�� �<�� ��������� �E����������=∉�����������������$�<�� �=�������������� �� �� ��������

������������������������%��������������� �E���������%��������

�����'���������� ������� ���E��������������������� � �������� ���E����� �� ����������>���>∉��������������������%���&��������������� ���E��������������%������������%� �

� H��������+ �-���������+ $-��������+ �-��� ������ �����%� ���������������'��������$����������� �����7

�-���%��������+ $-���%�������� �-����������%���������������������������� ��� ���������������� �� ������

� I�������� �����E������ ����� ����������%� � ��������'�������� � �������� � (

��E���������������������%� �'������������� ���E�������$������ �

(� �����#� ��������������������� � �E������������������'���������� ��������%���� ���������: ����� �����

�����$��<�=�� �?�� ���������� �������$��<�� �=��������������������%���Σ����������� �������$��<�� �?�������������������%���Σ

���&� ���E��$<�4��������������������$�������� ����%����Σ

��� �����������

���$�������� ����%�������'������������ �������� �����'�����������%� �������'����� �����������%� ��������� ���������

����� ��� ����������������� ���������� ���������$������������������� �'������ ����

�� ���E������������������%� ��Σ��� �Σ��������� ���E�������$����������� ���������Σ�∩Σ�4�

�E����� ����� � �������%� � ��������� ���� ������������� � (

��� �������%� ���������������������$���������� ������������������� � ������������ ���������$������

��

�-�� ���� ����� ��������Σ�≡Σ����E���-

�-�� ��������������������$��������� �������Σ�∩Σ�4∅����E���-�

$-�� ������������ ���E�������$��������� �������Σ�∩Σ�4�����E��$-+

���������������%� ����� ��(

1Σ2Σ

�� �������

B��%� ��Σ��� �Σ��'����������������������$��������� ������� ��� ����������� � +��������Σ��⎪⎪�Σ�B��%� ��'�������� ���������� ���E�������$���������� ��

1Σ2Σ�- $- �-

Page 59: 093 Matematika 01 - 02

� @����� ��������%� ����� ���� �������������������$�����7 '����������� ��

� ������$��<�� �=����� ��������%����Σ��� �������%����Σ

���@���� ���� ����������%�������� ����%� �

��� ��������� �7� '����������� ��

� 8%�����E����� ����� ���������� ������%� ������������������ ������(�&$<=�� �$<?, $-�$<@�� �$.?7

H�������'����������������������$����� �=���������� �� ����� ���������� ��

>���'������� � ���������������� ���E����� ����%���Σ����������� � ���� ���������∩Σ4∅�������������� �� ��������������%����Σ��� ���E�'������������ � �� ��� ���E����7: ����� ����⎪⎪Σ�<��E�����-��@�� ���� ��������%��Σ��'�������������� ���E������ ��������������� ��� ����%����Σ�� ��� �����%����Σ��������� ���E�����������'���⎪⎪������ ��� ���E������ ���������������� � ����� ���������� �������'������ ��������%���� ������������������������ ���E���������� ���������%����Σ��'��������������������� ����E������ ��⎪⎪Σ�����������������%����Σ �E������� ���E�'������������ � �� ��� ���E�����������%���������� ���E������������� �� ������� ����� �������� �� � ����%����Σ� ������������%��Σ��'�� �����$����� ���E������ �������������� � �� ����%����Σ�

�� �������

������ ���E������������� � �� ����%��������� �������%����� �E������� ���E����'������������ � �� �� ���E�����

���

� >� ��� ������ ���������%��� �E������������������ ���E�'�� �� ���������%�����

� "��� ��� �������������$�'������ ��������%�������������%����������� ���E��'������ �������%�����

� : ����� ���Σ��� �Σ

��������%� ����������

� �� ����� ���Σ�∩Σ�4∅��"��� ��� � �E������������������ ���E�'����� ���������������%� ��

� : ����� ������� ���E���������Σ����������%��,����������� ���������∩Σ4Σ�

� ������������ ������$�'���������� �������%���� ��������������' ���� ���E����'����������� � �� ����%���� ������� �

Σ�

� ���� ���������%��Σ����� ���������������� ���E�� � � �����������������$�� �����'��$∉��"��� ��

Page 60: 093 Matematika 01 - 02

��

��� ����� ������������������

�������� &���� ���E�����$����������������� �(

���F%�����E����� ����� �������� ���E������ ��7

8%�����E����� ����� �������� ���E������ ��7

������� ��������������������$�������� �������� ;a b = ∅

���� ���� �������������������$��������� �������

{ };a b A=

���� ����������������������$���������� �������

{ }, , ,... .a b A B C=

�E������ ����� ��������� ���E�� �������'�������������� ��� � ��� ����� � (

��� ������ ���E�����������������������������$����������� ��������������$���$��������$������������

(� ���������� �$�� �<����������������������� �'������������� ���E������ ��� ���E��������� �����������

�E���������� �� ���������� ���E�'����������������������@���� ���E�������������� ��� ������� ��������� ���E����� ���������� ���E�����&��������� ���E������ ��������$������� �������� ������ �

&���� ���E����������� �������������� ������������ ����������������$������

(� ��������� ��� ���E������ ����������������� ����������������$���������� ������������������� ��&���������� ��� ���� ������ ���E�� ���������� ���� ������������ �E$��E������� ����������$���� �������������������������� ���� ��� ���E������ ������� ��� ���������∩�4N$O

&���� ���E��'������ ������������������ �� �����������%�� ��

(� �����#�: �������� ���� ���E������ ������������$�<��E�����-�� ������������� ���E������������������$� �E����� � ������<�����������

�� ���E������������������$� �E����������=��������$��<�� �=������������� �� ���������������������������������� �����������%������� �� �E������������%���� ������'������������������$��<�� �=����� ����������

�����%� ��Σ

��� �������$������� ��������������� ������� ��

&���� ���E��'������ �������������� ��������%���� �������(� ��

Σ �

� � ��

Page 61: 093 Matematika 01 - 02

��

� >� ��� �� ������� ���E�� ���������'���������� ������� ���E����������������������������������%� �

��� ���������� ���E������������������������ � ��� ���� ���E��� ������� ����������� � �� �������� ��� ����������������������������%���������������������� ���E�� ������� �� �������������������������������%��� ������ ��������%� �

� &���� ���E����� ������� �����������$��&� ���E�������� ��������%���������������� ���E����������%�������@���� �����%� ����� ��7

,�����E������ ����� ������ ���E�� ���� ������� ���∩ ��4 ∅��@� �E��������� ���E��'���������� �������%���� �������7��������� ������������������� � ���� ��� � ���(

��

�(� ������� ������ �E��������������������������$��<��=�� �?�'��������� �������������������%���&� ���E���$<�� �=?������������������ �������%���� ��������������'����� ��� �� �����%�������������������������� ���E����� ��� � �������$��<��=�� �?���������� ������������%��

&���� ���E��'���������� �(�� ����������� � �� ��������� ��������%���� ��������

�� �������

&���� ���E��'���������� ��������%���� ��������'� ��� ����"�����������&���� ���E����� ���'������ ��������%���� ��������� ��������� ��� ������ ��'� ���� ���E������� � +��������⎪⎪��

� X������������%���Σ�� ��� ���E������ ������� ��� ���E������ ������� �����������$�� ���� �� ���E�������� ��������%����Σ����� ��������� ���� ���E����������� ��������%����Σ7

� &� ���E���� �� ���������%������@����� ��������%������� ���E��'������������ � �� ��� ���E����7

���

� ���������� � � � ���� ������������� �������������������%�(��-��� ����������� �� +$-������� ���E�� ���������� �������������� �������%�+��-������ ���E��'������ �7

� >� ��� ������ ���E����������� ������ � ������������ �����������%��

� &� ���E���� �� ���������%��������������@�&� ���E�������� ��������%���������������������������@��,�������E������ ����� ����� ���E�� ���� ���

� �����%� ������������������ ��� ��� ���E�������������������������������7

� �����%� ������������������ ������� ���E�� �� ���������� �� ��� ���������� ���������������� ������� ���E��� �����7

��E��������� ���E��'���������� �������������������%�� ��

Page 62: 093 Matematika 01 - 02

��

���� ��� ���������������������� �

� �����E����������������� ���E����� ������'� ��������� ������� ���E�� �������������� ���E��������� �

��

���%���������������&������������'� ������$��������� �������������� ������ ���E�����������$������������E$��E�����'��������������� ������� ����������'�

������� ��$������� ���������������'� �������� ���E���������$������ �������'�����' ��%������� � ���� � ������'� ��������� ����"�� �%������� ���������������'�

�����E������������������������������������ ���E���'$�� �'<�

� @������������������������ ���E���$<�� �<$7

� ���������� ���E�������������������������� ���E����7

��������

��'� ���������� ���E���'$�� �'<����%�������� � ���� 7

�� '� �� %�������� � ���� � � ����'����� ����E����7

�����E��������������'���������������� ���E��� �%�����������$������

��

α

��'� �������'��������%�����7

�"�� ���������� ���E���'$�� �'<���

*�������� � ���� � ���������$� ���� ������������ ���E�� �� �%������������$������� ��������� ���� ��� ���%���� �����%�E����� ����������� ���E��'� ������#

�� ��� ����%����'�����������������'� ���� ��� $� ���� � ������������ ��� ������� ���

��

��

������������ �������������� ����������� ���E�'� ��������� � ��

�� �

��

��E����� �����������%������������ ���

Page 63: 093 Matematika 01 - 02

��

��

��

��

�������� � �� ������ ���������������������� �������������������� ����������� ��� �5°�������������������5DQ°�

���� ��'�����������������$������� ����������� ������$� ���� �������$�������'� ���������� ��������

���� ��$'<�� �<'=���������� �%'��������� ��%'����@'.�� �.'1�%���������������������

�� �������

&������ ����������� ����������%���������������������'� ����������� ��# ���� �������� � ������'��������5DQ°���������������������$���$������ �������� ����������'���'� �������� �����

� H����������� ��������� ���E��� ������%��� ���� �������$������� ������ �%�������������� ���E��� ����7

� "�E�������� ���E��'������ ���,������� ������ � ����%�����������������'��7

���' �E����� ��

γβ

δα

: ����� �����∩ ��4�N�O��H����%���������� ��α��β��γ�� �δ��������E������������ ����'�������+�α�� �β�α�� �δ��γ�� �δ�� �γ�� �β�

��'� ������ ��γ�� �α�� ����� ��γ�� �β7�8%������������������������������ ������� ����� �

� X��������� .AOB� � ������ ������'���� � AOB� ����������������� ��� ������������������ ���� 7

>������������ �� ��� ������������$���$������ ��� ��� ��

(� ������8��������� ������'�������� ��� ���� ���������������� ����������%�E���������������� ��� �������� ��� ����� �� ��� ��������� �� ������������� ��������<��E�����-��# '��������������� �� ���������������$���$������ ��� ���<�����5DQ°-����� ��� � � �������������� �� ��� �����������$���$������ ��� ���� ������PQ°� �� �

&������ ������� ��������� ��������������� ������� ��������PQ°�'� ������������������ ��

&������ ������� ��������� ����������������������� ��������5DQ°�'� �������������� �������������� ��

Page 64: 093 Matematika 01 - 02

��

�� �������

����������������������������� ����������� ����'� ������������������������������������������� ����������� ������������������� ����������������'� ���������� ������ ����������������������� ������ ����������������'� ���������������������������� ��'��������������� ���������������������'� ����������������������������� �� ���'������������ ����� � ���� ������������ ����� � ���� ��������������� ���������� �����'���

� : ����� ����������������α 4�20°.AL��,����������� ��������� � ������ ����� � �����

� �������� ��������� � ����� � ���� ����������3.°������������ ��� ��� ���%����� ���������� �����,������������� ����' �E����� ��

: ����� ���α�� �β ����� �� ����������� �� ����� ���α C β��������������� ������� ��(� 02 24α β= − �� 0180 .α β+ = �B� ��� � 0 02 24 180β β− + = � � 03 204 ,β = ��������� 0 068 , 112 .β α= =

�������� ��������� � �������� ����������5Q°����������� ��� ��� ��� %���� ���������� �����,���������� �

��������

,������ ������� �1�� �A����� �������� ������� @�� �.7

� ��

�����E��������������'��������� %������� � ���� �

� �

*�������� � ���� �'������$�������������������� $�� �<�� ���������������'������ �������� ����� '� ����������� ���� ��� �$<�

�����E��������������'������ �� ����$<��������$�� �<�'� �������� ������� ����� �� ����������������� ����

� ����� �'� ����������� �� �� ������ ���� ��� ��AB 4��

*������ ����$��������� �� �� ��$<��<=��=?��?5����������'��F������ �� �� �%'��� ����������� ���������� ���E�'� ����������� #�������$��<��=����'� ����������������� �� �� ��$<��<=��=?�G$ ������������������ ��

� �

� �

��

�- $- �- �-

Page 65: 093 Matematika 01 - 02

��

"���� ��� ����������� ��� ���� �� � �$���� <��E�����-� ���� ��������� ����$������ ��������������� ��'� ������������������������� �������� ��� ����� ����������� �������E��������-�� ��(

"���� ��� �� ��$������ �������������$�������%'��� �'������ ��'� �����������������

�����E������������������������������������������ ����,������ ����� ������ ��$������� ������������� 7

�� ��� ����%���� ���%�E����� �������

�� �������

*�������� � ���� � � ���$����������������� ������� �� ��� ���� � ���� ��� $� ���� �'� �������������#

� �

��

��� ������$������'� ��������$ ������������� �� ����� ���� ����%����'� ���������������#

���F���������������������$������ ��������$���$������ �������� ����� � �� ��������������������������������� �������+��� ���������������������� ����������������������� ���

"�� ������������������$<=?5B������� ���������� �� ������� �� �������������� �������������������������� ������������������� �������������������'� ����������������������� ����������@.1AC9DE���������������������������#

"�� ����� ���������������������� �%'��� �������������������� ������ '����� ���E����� ������������������ ��� �����������������������%����������������� ������� ���E�

�� ��

,������������������������������ ��-���-�� -�� �%-��������� �� 7����'�������� ������� ���������%������� ������������������������ ���

�� �������� �� ���������������������� ��%'���������������������'� ��������� � ��������������

��������

��������� ������������ '�����������������(�-��� ��������+ ����$-��������������+�-�� ����������7

������������������ �� ������ ����������������������' ��������������� �

.P AB BC CD DE= + + +

����������������� ������������������������' �� ��������������� ������������� ������������

Page 66: 093 Matematika 01 - 02

��

�������������������-��������� ����������������������� '����-��������� ���� ���������� ��� �������?������������������� � �����)����������� � ��� �%������(

( )3.

2n

n nD

⋅ −=

��������� ������������ '����� ����������������������������'����(�-�������$�����+ $-����$��� ���$�����7

�� �� ��������� ����������������� � ���(�-�� ����������+ $-����$��� �����������

�� � ��������� ��������� ���������������������������� �������������������������������' �(��-�A�������� +$-�D�������� + �-�53�������� 7

M����� ��$-�������)�0�4�D���� ��� ����55���������� 442

)311(1111 =−⋅=D �������� �

� �

α β

γδ

ϕ

1α1β

1γ1δ

1ϕ�������� ���������������� ��������������������� ����' ������������������ ���� ������������������7

����9�� ��������������� � ����$� ���� �����)���������� � ��� �%������(

( ) 02 180 .nS n= − ⋅

�� ��� �������� ����� � ����$� ���� ���(��-�� ����������+�$-��� �����������

�� ,���������� ����� � ����$� ���� ���������������������������������������������������������� '��(�-�.�������� + $-�2�������� + �-5Q�������� �

M����� ���-�������)�0�4�5Q���� ����4�50����������9���4�<50�)�3- ⋅ 5DQ° 4�5PDQ°

������������ � ����������������������$���$������ ������� �$������ ��������

���������$������%'��� �����������������%�����������������������������������E����������������� �α�β��γ��δ�� �ϕ�

��������������������������'���� ���������������$� ������������������������'� �����������������������������������E��������� ��������� ������α���β���γ���δ��� �ϕ��

���� ����� � ��������� ����� ���������������������

( )0 0 0 0180 180 180 2 360 .nn S n n⋅ − = ⋅ − − =

�� ������������������������� ����� � ����$� ���� ������ �$���$������ ������� ����� � �������� 7

Page 67: 093 Matematika 01 - 02

��

���

� "�E���������� �α�� �β�� ����������������������(��-�γ 4�3α / β��$-�δ 4�0α )�3β�

� X���������������α �4�6A°��,����������� �������� � ������ ����� � �����

� ������������������ � ������'���������������� �����,����������� �

� "���� � �� �� ��$������ � ���$���� �� �� �� $������ ������������� ������������%����� 7

� @� �E����������������������������'�������� ��� � �$�����7

� ,�������� �� ��� ������������ �����������������3�(�0�(�A

� � ������� ������������������������������53Q°��,����������� ��������

���� � ���� � � ��� $� ���� � ��� ��������������������352Q°�� ��������� ����� ��������������' �������������������7

���� ����������

������ �������� ����������� � �� ������ � �������� �� �� ���� ����� �=� ������� ���������������������������%�E����

�� �������

J�������� ��������������� �����������%��������������������������������������������������� �����'�����������%��'� �� ����

��������

,������ ���� ����� ������������� � (���� ;A k∈ �������� ;B k∈ ��������� ;C k∈��� ;a k = ∅ ��������������� { };p k D= ��������� .q k = ∅

�����E��������������'������� ������ ���E��� �����

:��� ��� ��������'� ���� E � ��� ���������������� ������'�' ����� ��� ����������E���������������� ���)%'���&�

:��� ������ ������������ ���� ���������� ���E �� ������' ����� ��� ����'� ���� ���� ��� � �� ��������� ��� ���������� ���E �

� &�� �������������� ����' ���� ���� ��� E ����������E������ ����� ����� �������������� ��������� ���E���� ��� ������������E�������

J�������� ��������������� �����������%������� ��� ��������� �� ����������� ������'�����������%������������� ���� �� ����� ��� ��������'� �� � �#

"�� ��'����������$������� ��������������� ����$� ���� ������ ����� � ������ ������ ����

��

��

, ; , ; , ;BO r B k CO r C k DO r D k> ∉ < ∉ = ∈ ����� ������� ���� ���E������ ���� �' �����'��������� ��� �� ��� E��������������)�∩ ��4 ∅�

Page 68: 093 Matematika 01 - 02

�����'�������������' ������ ������� ���'� ��������� #�

��

��

�� ���������� ������� ����������������� ����������� ��'� �������

�� ������� �� ����������������������' ������ ��� ������� 7

,����� �� �������������� ����������� �������� �����������������E����7

� X������������������ ����� ������$����������� �������������$������� �� �� �� cmAB 3= ��

cmAC 2= ������������ ����'�������������������$��<�� �=�

)���"���� %����E� �� ����� ���� ������� ������������������' ������ ��� ����

� ���������� ���������3.�����������0A���������' ����������� �����,������ E �� �������� ���

>� ��������$9'������������ ����<��E�����-��� ���� � � cmOS 35= ��

.122

1cmABAS == ����������������� � ����������������� ��(

2 2 2 2 2 2; 35 12 1225 144 1369,AO AS OS r= + = + = + = �������� 1369 37cm.r = =

��

� B� E��� ������� ����������4�56����,�������������� ������� �����������D���������' ��������������� ���

��

��

������E����������������� ���)�� ��� ���E������ ������������ ��(

&� ���E�������� �������������������$������$�� ��� ����)�� ����'� ����������� ��� ����

8������� ���� ��� �������������� �� ��� E �� ��� ������������������������

&� ���E���������������������$�������� ��� ����)�� �'� ���� ��� �

������� ��� �������������� ������������ ���������������$�������� ��� ����

��������

��'� ������ ��α�� β7

αβ

�������������������������� �� �����' ������ ��� �����������'� ������ ��� � #

�������������������������� �� ������� ���� ������������������� ����� ��� ������ ����'� �������� �%� ��#����������������' ����������������������������� ��% ����

Page 69: 093 Matematika 01 - 02

� �����������' ������ �� ��% �����������������$�������������������������� ����� ��� � ������� � �

8�������� ��% ������������ ������������������ ��������' �������������� ��

(� �����#�&�����'��������� ����� ������������� �������� �' ����� ��� ��������������������������� ������$� ���� ������������ ��% ����<��E�����-�

�α

β

�-

1β2β

α

β

1α2α

$-

�α

β

�-> � ������������� �������������������' ����� � �� ���� ����� ��� �� ���� $� ���� ������������ ��% ����$-�������'�

,rOCOBOA === � ��� �� � � �� ���)

������$'<�� �='<������$���������� $�E��� $<� � � =<�� �������� � ��(β�4�<$'�� �β��<='#����� ��������������� ������������� ������������ ��� �α��4�3β��� �α��4�3β���� �������������� �

α 4 α��/ α��4�3β��/�3β��4�3<β��� β�-�4�3β���� ��� �β 4�2

1 α�

"��� ��� � ������������ ������-�� ��-������� � ������ ��� (

>������������ ��� ��% ������������������$���������������������� �������������������

����������� ��% ����������������$������ ����� ��� ������������� �����<� � ��� �>�� ��������������� ��% ���-

� ����� ����� ��� E �5�3������������������������������������������ ��������' ������� ��53Q°��,������� ������ ��' ����������� ����� ���� ������

��

��

�� �������

��� ������$������������� ��0Q°������ ��������������� ��������� �$���$������ ��������� ���� ��E������� ���������

� ,����������������� ������ ��� ����������������� ����(�-�����.+ $-�����5� �3A������� �-�����A� �3A��������

"�� ���$'9��F7°�� ��'$9���7°��&������� ASOΔ �������������

�� ���������$���$�������� �$������OA �4���4�5�3����������� ,2

1AOOS =

K� �������� .6,02,12

1mOS =⋅=

Page 70: 093 Matematika 01 - 02

��

� ��������� ��� ����������' ��� �� �� �������3�(�0��,�������� ��� ��% ��� ���������������$������' ����������

: ����� ������� �� ����������� ��% ��� ����� ���������������� ��' ���� ������� ��������� ����� ���������'��������' ������� ��02QR�� ������������������������������� ������� ��(

( )( ) ( )0 0 0 01 2 360 : 2 3 2 360 :5 2 72 144α = ⋅ + = ⋅ = ⋅ = �� � 0 0

2 3 72 216 ,α = ⋅ = ��������� 01 1

172

2β α= ⋅ = �� � 0

2 108 .β =

��������������$������� ������������������������� ����'� ������ ��������� �� #

���� �� ����$������������������������������������ � ���� � ��

"��� ��� � �������)���"��#�,���������� ����� � �' ���� �'��������������� �� ����� �� ����$����

�����������������

����� ��������� ����$������ �������$��������������������������� ��������������$���$����� ��

� ��

��

(� �������� ��������� ������ �AC � ,BCADCD += ���E�������: ����� ��

@��.��1�� �A�������������������$������� ���������������$<=?� �������������

�� �� �<��E����-��>� ��������������� ����$@'�� �$A'�����������������

<�� 7-���� ���������� ��� � AQAM = �

�������� ����������� , ,BM BN CP CN dhe DP DQ= = = ������ ��

�� �� ��$@�� �$A�'� ��� �� �� ������� ����� �� �����������$���$������ ��� � �

.AB DC AD BC+ = +

:��� ���' ���� � �������@�� ���� ��� ���)<���6��-������3A����,�������������� �� �� ���������� ����������� �� �������� '������������@�

� �

������������@�������������' ���������� ������������� �� �� ������� �����

����� ,MQMP = �����)� ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

OMN2

1, �)��4N1��AO�������� ��������)�@'1

� ��( ,57649625725 22222=−=−=−= OPMOMP ��� ����� 24=MP ���

�������������$������� �������������������� ������������� ���'� ������ ���������������� �

����������������������� �������� ��� � ������� � (

� �

���F���� �����������$� ������� ��� ���������� �������������

;AM BM CP DP AQ BN CN DQ+ + + = + + + � ( ) ( ) ( ) ( );AM BM CP DP AQ DQ BN CN+ + + = + + +

Page 71: 093 Matematika 01 - 02

��

B� E��� ������� ��������A�������������� ��������$��������� '�������� �� �� ��� ����������'��� �� �������� �������������������53�����,�������� ����' ���� ����������$�

������������ ����������������� ���� ������ �� �������� '������������������������� ������� �����������������$���$������ ��������� ��% ��������������������� ���������� �

��

����������������� ������������� ����� ������ �� �������� '��������������� ������� ���������� ����������� ��� � ��(

(� �����#�&�������� ������ �δ �4 β��>� ��������$<'������$��������� �$�E��$<���������'?����������������$��$�E��<��E�����-������α 4 δ<���� �� ������� �������������� -�� �α 4 β�<������� � ����

��-�

��� ��� δ 4 β��

��

α

β

δ

���

��� �$<�� �=?���������� ������������� ���

��� ��� BDAC = �� �@,\\J&�

� ��������������������52����� �����' ����� �� �����������������5A�����,������ E �� �� ����

� ������������� ��� ������������ '������� ���� ������'������� �$���$������ ��� E ��,����������������� ����� �

� ���������$�'������ ��������� ����)�����

��� '��� ���� ���� AB 45A��� � � ����

AC 4�P�����,�������������� �������<=�

� ����� ���������$� ����������������������$<=?������$�4�6�/�3Q°���J�4�5Q�/A�� �,�4�0�/�.Q°�,���������������������<�������'����������� ��������

� &������ �%'��� ������������������������������536°�� �PA°5QL��,����������� ��� �������������������

� @������ ��� ��������� �� �� ��� ��� ������������������� �� ��������������(�-�AQ°��D0°��50Q°��PA°+���$-�DQ°��6Q°��DQ°��50Q°7

"��� ��� ����� E��$�����������������$� �)������ ������� ��

����� ����������������������� E��$����)������"��� �� � � ����� �� ���� E��� ����� �$���$������ ������� �� �� �������� E���

�� ������� ������� � ������� �����$<� ����� ����������� ���� .�D��� � � 5�D��� ���� �������� ���� ��� �����,������ E �� �������� ���

Page 72: 093 Matematika 01 - 02

��

����������������� �������������������������

��������

,����������� ������ � �������������7�&�$<�� �<$����������� ����������������� �� ���$-� .AB BA= �-�{ } { }, , .A B B A=�-�( ) ( ), , .A B B A=

������$�� �<�������������������� ����� �� ����$<� �

>���������������� ���-��$-�� ��-�

� ���� �� $<� � � <$� ����' ���$��������� ����������������� ������� ���E�$<���� ��������� �� �������������

�� ����� �������������������� �� ���������� �%����������� ��� ������������ ��$�������'� ����������� ������ �

������ �� ������� ������'� ��� ����

�� �������

� ������%������������������������ ��������������� �$��<�� �=�� ��� ���������� ��������������������� ������� ����������� �� �� ������ ��������� ��� ��������7

a→

�� ����� ��� ������� �%���������$�� ��$��������<� ��������� � .AB→

�������E��������������'����

� �� �� ������ �������AB→

��� .MN→

���������� �������$�� �<������ ������ ���AA→

�'� ����������� ������ "� ��

8��� �� ������� �������E �� AB→

����� ��������������������� ��� ���E���$<����������������������� �������� ���E���$<�� ���������| |AB AB=

→<���$���$������ ����������� �� �� �����$<&

��� �� ��� ��������� ������������� �� ������� ����������<� ���� ���� ���������-���� ������������� ���� � ���� �� ���� ��������� �� ��������� �� �� ���������� ������

������������ �� ����� ��� ������� ���������� ������� ����� ��������� �$���� , ,a b c→→ →

�� ������ F?����������� �� ��%�������� �%�������� �����+����������� ����� �� ����� ���� ��� ���� , , .| | | | | |a b c

→ → →

�� ������� �������E ��AA→

�'� ��� ����E ��� ���� ��� � 0 ,→

��� �������� 0 .AA→

=→

Page 73: 093 Matematika 01 - 02

��

��������

# ������������������������������� ���E7����� ���� ��� ���E����� ������������� � 7: �������� ���� ���E����������%������ ���� ���E����� �� ��� ���� ���%�� '�� ����� ����� � �� �� ���E����7

�J�������� ������������ ���E�� ������ �

������������� ��������%����������������' �������� �����

����� �� ���E� � ����� $������ �� �� �� ��� ���)%�'��� � � �������� ������

��� �������$�� �<��������������� ����� ����������' ����� ���

������ ���E������ ��������� �������������������������� ��������������

����� ������AB→

�� ���� ����� ������� ���E������

" ������������������� ������������������ ���E�� ������ ���E����������� ������ � �'� ������� �������� �#�" ������'��������������� ����'� ������� ����������� ��

�� �������

� �����E������� ���E������ ������������� � �� ���������'����������� ������-�,������� ����� ������� ��������� ���7$-�,������ ��������������� ����-�,������ �������������������� �� ��������������� ����������7

��

��

� �

��

�&��� �� �� ���������$���$�������� ��������������������������������������������E���� ���� ��&�� ��������� ������������� ���� �� ���� ������������ �� ���� ������������

&��� �������������$� �$� ������ ��������� ������������ ������������$���$�����

�� �������

a→

b→

c→

d→

q→

p→

" ������ a dhe b→→���������$���$������ �������

.a b→→ =

" ����� c dhe d→→� �� ����� p dhe q

→ →���������

���$���$�������� 7

� ,������ ����������E������������������������������� � �� ������������� ������������7@����� ������ ���������� ������� ������$���$����7

Page 74: 093 Matematika 01 - 02

��

� ������������ ������$� �������������� ������� ���E��� �����������E����� ���E����������'������ ������� � �� ��� ���E��������������

� �

� �

������ ���E�����E�� ������������F%������ �@�� �.�� ������� ���������������<��������������������������� ��������@.<$<��E�����-��&� ���E�� ���������������� �� �� ������������������������ ������� ���������(

������������ ������ �������������� ������� ���E��� ����������������� �� ���������� ���E� ��������������� � �� ��� ���E��� ������

��

� X���������� �����AB→

�� ������ �F%������ �=#���������� ����CD

→��������������$���$������ �� ������ ������

�-���� ������=�������������� ���E���$<����� ���E������������ ����������E������� �� �������������� � �

���

��������������� ��������������������$���$������ � ������ ������'� ��$���� � �� ������

X���������� �����a �� ��� ����������������������������'������ ������$���$������ �� ������ ����7

� "�E������� ��������� ����'������������������$���$������ ������� +�-���� ����������+ $-���� �����������

� ���$������� ���$���$<=?�<��E�����-������������� ������ , , .AB BC CD dhe AD

→ → → →

� �

,������ �������������$���$����7

,������ ��������������������

�����'� AB CD= �� ,AB CD� ����������������������������������������$���$��������� �� ���� ����������������

&��� ������ ���� ������������� �� ������������$���$�����'� ������� ������� ��

�� �������

" ������������������ ������ a→���� ��� � .a

→− a→

a→−�����E����������������� ������AB

→����CD

→����������������

�� �������� .AB CD→ →

= −

$-���� ������=����� ������� ���E���$<����� ��� � �� �������������������������� ���E��� ��������

Page 75: 093 Matematika 01 - 02

��

&�� � ��%����E����E����� �� �� ������2������������ ������������� �(

��� ��������������$@.<����������� ���������� ���� ������AB dhe MN→ →

���������$���$������� �������� .AB MN

→ →=

"��� ��������������������� ���� ������� ������������%�E������� ����� ����$���$�����

"� �� � ������������������� ����������� �� ������AB dhe DC→ →

��������$���$������ ��������� ����������������� ���E����� ����������������$<=?����������� ������

(� �����#���� AB DC→ →

= ��� ��� �� AB CD= ��� .AB CD� ������'��$=����������� ������� ��� ���E�� �$<�� �=?����� ��� � .BAC DCA=� ��������� � ABC CDAΔ ≅ Δ <�� 7-����� ��� � ,DAC BCA= � � �����'�������������� ��� ������� ���������� ���� ��$=����� ��� � .AD BC��������������$<=?����������� �������# ����� � ��������� ����

&��� �����AB �� �DC ������������������ ������������������ ���E���������$���$�������� �� � ������� ��������������$<=?����������� ������

��

���

� M�� ���������������������� �$��<��=�� �?� ��� ������ ����� �� �� ���������%�� ��� ������ ������ 7

� M�� ���������������������� �'��$��<�� �=�J������ ������ , ,AB BC BA dhe CA

→ → → →�� �%��������

������ �E�� ����'#

� : ����� ���$<=?������ ������� �9��� ���� ������� � ���������,����������������F�%� �� � ����� ���������$���$���������������� ���� ������������������$���$����(

�-� ;AB dhe CD→ →

��$-� ;AB dhe DC→ →

���-� ;BC dhe CB→ →

�-� ;AS dhe BC→ →

�� -� .SA dhe CS→ →

������������� ��������������

��������

J������� ������ a→ �� %���������������'�

,������ ����� ���������$� �� �� ������� �� ��7

a→

a→ b

� ���� ���%�� ��� ������� ����� ����� ������� a dhe b

→→�� ������'�

���������� ������OA a→→

= ��� .AB b→→

=

, ,OA a AB b→→→ →

= = �� � .OB OA AB a b→→→ → →

= + = +

a→ b

→a→

b→

" �����OB ���������� �� ����� �a �� �b�� �������� baOB += �

H���� ����� � ������ a→��

.b→�J��� �� ����� b

→����%�����

����$��������� ������ .a→

���������

Page 76: 093 Matematika 01 - 02

��

" ������AB dhe BA→ →

������ ������������������������������ ���� ��������� ������������ ������ �����

.AB BA AA→ → →

+ = � ��� AA→

�����' �������� ������������%�E���������� ����������������� "� ���� ���� �� � 0 .AA

→ →= #�������� ������E �������E ����� ��������| | 0.AA

→= � ����������������� ����� �����

� ���� ������������������ ����E ����� �������� 0 .a a→→ →⎛ ⎞+ − =⎜ ⎟⎝ ⎠

��� � a→�������������� �������� �� 0 0 .a a a

→ →→ → →+ = + =

� H���������� ����������� ��� .a dhe b→→,���������� a b

→→+ ��� .b a→ →+

" ������a dhe b→→���$������� �%������������$��������������

$�������'��AB a→→

= �� .AD b→→

= �*����������� �������$<=?������������������� a b AC

→→+ =

→�� ���� �����

%������������ ����������� ������ ����#�� ���������� ��� (

� �

�b→

a→

a→

a→

b→

b→

� ���� �� ����� �a dhe b→→ �����%�������������� �������������� ��

���� ����� ����� ���������������� �����%��������������������������%�������� �� ����������������������$���������������$������� �� ��������������

�� �������

� ,���������� ����� ����� (��-�� ���� ����������+�$-�� ���� ������������

���� �� ����� �������� ������E�� ���� �������'�

b→

a→

a→

b→

, , .OA a AB b OB OA AB a b→ →→ →→ → → → →

= = = + = + , , .OA a AB b OB OA AB a b→ →→ →→ → → → →

= = = + = +

�� ��

� � � � ��

��� � , dhea b c→→ →

�������� ��������F%������������ ������������ �(

�-� ,a b b a→ →→ →+ = + �� ������������ + $-� ,a b c a b c

→ →→ → → →⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + = + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠�� ������������ �

(� �!

����� ������ ,AB AC dheCB→ → →

������E������� ��$���E��

,AB AC CB→ → →

= + �'��'� �� �������� ��������

" �����E ����������� ���� ���������� ����

, d.m.th .AB BC AC AD DC a b b a→ →→ →→ → → → →

+ = = + + = +

Page 77: 093 Matematika 01 - 02

��

# �E$������� �� ������������� ������������� ������� ����� ����� ����� ��������� �������������� �������'�������������� �������������� ��$� ���� �

� ,���������� �� ����� �������������E�����

.AE AB BC CD DE a b c d→→→ →→ → → → →

= + + + = + + +

" ������ , , ,a b c d→→→ →���'������ � ����� ����

������������ ���� �AE→

�'� ��� E������ �������� �� ��������� ��������� �����%�E�����������$� �� �����%���� �

a→

b→

c→

d→

a→

b→

c→d

� �

� �

a→

c→

b→ ������� ��������������� ���������� ����� c

→����������� � �����

a→�� .b

→�#��������� �� � � ������������ c

→��������E$���� ����

������� �� � a→��� b

→�<��E�����-�

" ������������ c→����� ���������������� �� ����E$��� �������

���� �� ���� ���������������� ���� �� ���� ����� �� ��� ���E����� ������������������������ ���� �� ����� ���� ����� ������ ,c AC

→ =→

���������������� �������� ������ c→���� a AB

→ =→

���� ,b AD→

=→

���������������������������������������������� ���� �<��E�����-�

��� �� E��������������0 ���������%�������������$����� ���� ��������� ���������������������������� �����%����

����� �������� �������� � ��� ��������� ����� ����� ������� ������������� ������������� ����������� c

→��������� ��������������

� �� ����E$��� ��������� ����<��E�����-�

��� ������������ ����� c→��� ��������� ���� ����� ,a

→���� ��

���� ���� ������ b→���� ��������� ���������������� �� �<��E�����-�

a→

b→

c→

1a→

1b→

a→

c→

b→

� �

a→

c→

b→

� � H���������� ������AB a→→

= ��� .AC b→→

= �,����� ����� ,x→

������'� .AC x AB→→ →

+ =

a→� �

x→ ������� ������������$� �� ����� ����� �<��E�����-�� �������� ���������� ���

.AC x AB→→ →

+ =

��������������� ����� �� �%������������$������������ ����%���������������������������$��������E$����������������$������������ ��$�����������E$���������

�� �������

b→

,x AB AC CB→ → → →

= − = �� ��������� �����x ������������

��� ����� a→��� .b

Page 78: 093 Matematika 01 - 02

� ,��������������a )b �������'��� ������'���E$��� ���L���������� ������ ������������� ������E$������

� ���$������� ��� ���������$<=������������������ ������<��E�����-�� �� � �����(

������-� AC→

�� BC→

�� � ;BA→

�$-�CB→

�� AB→

�� ;AC→

��-�BA→�� CA

→�� .CB

� �

�����������-� ;AC BC BA→ → →

= − �$-� ;CB AB AC→ → →

= − ��-� .BA CA CB→ → →

= −

���

� H���������� ������a ��b �� �c �� �%�����������$���������������������� ���� �

� &������ �� ������ ��������$<=?����� ����������'��>� ������ � �(

�-� ;OA OB OC OD→ → → →

+ + + �$-� ;BC OA OC→ → →⎛ ⎞+ +⎜ ⎟⎝ ⎠

�-� ;AB DO OA→ → →⎛ ⎞+ +⎜ ⎟⎝ ⎠

������-� .DO OA BC→ → →⎛ ⎞+ +⎜ ⎟⎝ ⎠

� X���������� ����������$<=?5��K� ��������������������������������� ���� �����AB→

������������ ����� ��E ���� �%������� �$������������ �� ��������������

� �����9� ����� ������ ���� � ������� � � ������� ��������$<=?�� �� �� ������� ���

, , dheAB AD CB DC→ → → →

�� �������� �� �����

dhe .SA SB→ →

� H����������� �������&��������,����� �����.AB CA BC

→ → →+ +

� �����'����� ��������%���� ������ �������$<=?��"��� ��� ������������������

.OA OC OB OD→ → → →

+ = +

X���� ������� ������������� ������ ����� ����-��������<-�-������������ ����� �� � ������ ��������� �������

).( baba −+=− �&����������� ���'�����E$� ����� ����������� ����%�� �� �'��� ��������������<'�

E$��� �-��L���������� ������ ������������� ��������������<E$�������-�

a→

b→

� �

�a→

b→

−b→

���������

, ; ( ),AB a BC b AC AB BC a b→ →→ →

= = − = + = + −→ → → → →

������� .AC a b→→

= −→

Page 79: 093 Matematika 01 - 02

������ � � ������ ���������

��������

X���������� ����� .a→

����������� �����(

,������ ����� ������������E����� ������� �� ��7

a→��� ;a a

→ →+

��� .a a a→ → →

+ +

� � X���������� ������ .a→

a→

$-a→−

a→−

a→− �

��

3 .MN MP PQ QN a a a a→ → → →→ → → → ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + = − + − + − = − ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

�� 2 .AC AB BC a a a→ → →→ → →

= + = + =

a→ a

��

���������

"�� ��� �� ������2 a→���� 3 a

→− �����

���� �� �� �� ������ �����

��� � ,k ∈� ���� ���k a a k→ →

⋅ = ⋅ ������� �������� ���� �� ������ a→�� �� ������������$���$����

� �| | | | | | .k a k a→ →

⋅ = ⋅

" ������k a→

⋅ ������� ������������ �� ������ ,a→

���� �� 0.k >

" ������k a→

⋅ ������� ������������� �� ����� ,a→

���� 0.k <

�� �������

" �����2 a→������� ������������ �� ������ ,a

→��������� ����� 3 a

→− �������

��� ������������� �� ������ .a→

� X���������� ������F%�������� .a→

����������� ����(� 32 , 2 .

2a a dhe a→ → →

− ⋅

a→

�| |a→

| |a→

2a a→ →=

���������%�E������������E����� �� ������� ���������� �(

1 ;a a→ →

⋅ = �� 1 ;a a→ →

− ⋅ = − ��0 0 ;a→→

⋅ = �� ( )0 0 .k k→ →

⋅ = ∈�

� "�E���� �������F%�������� ,a→

� ������������������ ����(

�-�3

2 ;4

a→⎛ ⎞⋅ −⎜ ⎟⎝ ⎠

$-� 23 ;

3a→⎛ ⎞− ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

�-� 12 .

2a→⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

T��E���� ���������� ���� ����� ��� �������

���������� ���(

��� 2 ;a→

⋅ ���� 3 .a→

− ⋅

" ������ 2 a→������� ���� ������������ �� �����

,a→

����������������� ���������� �$���$������ ����������� ��� ��E�������� ���������$��������������� ����� ��� � �| |a

→<��E�����-

Page 80: 093 Matematika 01 - 02

� H���������� ����� .a dhe b→→���������

� ������ 2 .c a b→→ →⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠

a→

b→

� >� ������ � �

�-�2 3 3 ;a b a b→ →→ →⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

$-�3 4 ;a b a b→ →→ →⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

�-�3 2 2 6 .a b c b a b c→ → →→ → → →⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + + − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠;OC a b

→→→= +

2 2 .OB OC a b→→→ → ⎛ ⎞= = +⎜ ⎟⎝ ⎠ a

b→

ab→

→ +

ab→

→ +

� �

���

� �� ��$���E��������� ��������� ������ x→��

� : ����� ���������$��<��=�� �?����� �� �� � � ��� � ���@� � �.� ������������� � �� � �� �� � �$<�� �=?���>� ��� (

�-�2 2 ;x a b a b x→ →→ → → →⎛ ⎞− + = + +⎜ ⎟⎝ ⎠

$-�3 2 2 3 ;a b x a x→→ → → →

− − = −

�-� 3 2 .a x b b a x→ →→ → → →⎛ ⎞− + = + +⎜ ⎟⎝ ⎠

2 .MN AC BD AD BC→ → → → →

= + = +

� "��� �� � �� � �� � $������ � ��� ������ ���������������������� ������������� �������

� : � ��� � ���9��� ���� �������� � � �������)� ��������$<=?� � � � � ��� � ���'� ����� F%������ ��>� ��� (

4 .OS OA OB OC OD→ → → → →

= + + +

���� � � ��������

&������� ���� ����� ������������� � �������� ���� �������� �� ����� ��M$������� � ����� �������� ��������� ���������� � �

� "���� �� �� � ��� ������������������� � �� �$�������� ����������������������������$�������� ��������� ���������� �$���$������ ��������� �������������������$���� �

(� �����#�: ����� ���<�$������� �� �� � ��� ���������$<=�<��E�����-� ������� ������������$� �� �� �� ����� �� ��(

� �

��

��

1 1 1 1B A B C CA= +→ → →

��� � 1 1 1 1 .B A B A AB BA= + +→ → → →

�# ��$� �� �� ������ ����$���E��

$���E�� �%�����+� 1 1 1 1 1 12 ;B A B C CA B A AB BA= + + + +→ → → → → →

1 1

1| | | |,

2B A AB=→ →

����������� 1 1

1

2B A AB= �� 1 1 .B A AB�

� H���������� ������ .a dhe b→→

��������� �����+

�-� 2 ;a b→→

+ �������$-� 2 ;a b→→

− �������-�1

.2

a b→→

− +

���������� ������ c→���� � ��%����E����� ����� 2 2 .c a b

→→ →= +

1 1 1 1 1 12 ;B A AB B C B A CA BA⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

→ → → → → →��

1 1

10 0 ,

2B A AB

→ →= + +

→ →��������� 1 1

1.

2B A AB=→ →

��� ���������� ���

Page 81: 093 Matematika 01 - 02

� "��� ��� ������ �� �� � ����� E�������� �$���$������ ������������� �$�E�� �������� E���� ���������� � �� ����T��E��(� %����E�E����� �� �� �������������� �

� : ����� ���@�� ������ �� �����$<�� �� ����� ���'������ �F%������ ��"��� ����� 1 1

.2 2

OM OA OB= +→ → →

� �

�(� �����#� ������� ������������$� �� �� �� ����� �� ��(

OM OA AM= +→ → →

���� .OM OB BM= +→ → →

�0���� ��������#��1���1�����2�$���������

2 .OM OA OB AM BM⎛ ⎞= + + +⎜ ⎟⎝ ⎠

→ → → → →������'�� 0AM BM

→+ =

→ →�<� ���������������-�

��� ��� �2 ,OM OA OB= +→ → →

��� ����� 1 1.

2 2OM OA OB= +→ → →

� : ����� ���$���J��� �=��� � �� �$������ ������ ���������$<=�

"��� ����� (��� 1 1 1 0 .AA BB CC→

+ + =→ → →

(� ������# �E$������� �E����� ������ �������������� �� ��(

� �

����

��1 1 1

1 1 1 1 1 1, , ,

2 2 2 2 2 2AA AB AC BB BA BC CC CA CB= + = + = +→ → → → → → → → →

��������

1 1 1

1 1 1,

2 2 2AA BB CC AB BA AC CA BC CB

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + = + + + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

→ → → → → → → → →������� 1 1 1

1 1 10 0 0 0 .

2 2 2AA BB CC

→ → → →+ + = + + =

→ → →

������

� : ����� ���D�' ����� ���������������� ��������$<=�� �� ����� ���'������ �F%������ �

�"��� ��� (� 1.

3OT OA OB OC

⎛ ⎞= + +⎜ ⎟⎝ ⎠

→ → → →

� : ����� ���D�' ����� ���������������� ��������$<=�� �� ����� ���'������ �F%������ �

"��� ��� (���� 0 .TA TB TC→

+ + =→ → →

� X����������������������$<=?�������'�

.AB DC=→ →

�"��� ���

2 .AC BD BC+ =→ → →

� "��� ��� �� � �� �$������ ������$����������� ������ �����������

� "��� ��� ������ ������������� ��� ���������$<=

����� �$���$������ �� ( )1.

2CA CB+

Page 82: 093 Matematika 01 - 02

�������������������� ���

���� ������5�� �3�������%������

&������ �����������'������� �

&��� �������������� ������� �

����� �� ������ ������� ���������������� ������ �������������������������������

H����������������������� ���������� ��� ���������� �� ��# ������� �������������������������(5+ 0+ . � 2��� ���E�

��������� �������� ���������52���������5A���������' ����������� �����B� E��� ��� ��������+��-�56��+��$-�3.���+���-�D������-�3Q����

�����%� ���������������������� ������ ���E����������� ������ � 7�-�3+ $-������ �-���%��������+ �-�5�

����������������������� ����� � ����$� ���� ������5QDQ°��,����������� ��������������������� � �'��������������' ��������������������

���� ��������α�� �������� � �������������'��������3.A°��,�����������α��

����������� ���E��'������ ������������ �� �����������%���"��� ��

���� �� ����$������������������������������������� � ���� ��"��� ��

���$������� ������ ��������$<=?����������������� ������<��E�����-�,������ ���������(�-�����������+ $-����� ��+ �-����$���$����7

��

� �

&� ���E���� �� ���������%��������������@#�&� ���E�������� ��������%�����������������������������@��,�����E������ ����� ������ ���E�� ���� ���

��

"��� ��� �� � �� �$������ ������$������������ ������ �������������

Page 83: 093 Matematika 01 - 02

��������������

>� ������������������������������������

��������������������� ����� ������ ����������������������������������

*������ �������� ���� ������� � ����� � ���� �������������������

M������� ��� ��������������� ��������

& ����������E$������� �%������ � ������ ���� ������������������������������������

������� ��������������� � ��������� ���� �PQ°.................................

��

��

��

�����

���

���

������

K��%����� �%������ � �������� ��������������������������������������������������� ���:����������� ��%������ �

������ ���� ��������������������������� ��

�����

�����

�����

�����

�����

�����

����������

�����������%������ � ������ ���� ���� ��������������� ��Q°�� ���PQ°................................ ��

�����

1

2

& ������������� � �� ����� ������������ �����������

������ ������ ������� �������� ������������

*������ ������� ���� ����0Q°�.A°��2Q°..........................................

Page 84: 093 Matematika 01 - 02

�����������������������

��������

������������ ��� �$������'� ���� �������

������������ �������� ���� �����($������������+�$��������+�$���$������7

����� ���� ������������������� � 7

,������ �����������(������� ���+������� ��+����������7

��� ����������� �������� �� �� � �1 ,AA a=

1 1 1;BB b CC c dhe DD d= = = ��%������������������������� �$���� : : ,a b c d= ��� ���������� �� �� �� ���� ������� ��� ��������

��� ������������� ��������������� ��� ����� ���E����������� ������ � ����� ���� �� �� � �%����������������������������������� � �� �� �� ���� ���� ������������ ����<� � �� �>�� ���-

� ��������� �������@J,�� �$�<�=��� ���� ���������������������� ��� ����� ���������� ���������������$���$������ ��� ����� ���������� ������ ����������� ����� �$���������������

�������������� ���� �������

�������� 1 1 1, ,A A B B C C= = =� � � � � �

��������1 1 1 1 1 1: : : .AB A B BC B C AC A C= =

��������������������(� 1 1 1.ABC A B CΔ Δ�$ <

=

$� <�

=�

� ����� �������� EFGΔ ������E������� �� ���

.KL EF� �>� ��� � .EFG KLGΔ Δ�

4 5

B

E

G

����$���E���� ����� � ���%����E�� ����� ����� � �� ����������� � �

��������������� ���� �$������ ��������� �E$���� � ���� �>�� ��������� �� �� ���������� �

����������� ��� �������� ������������� �� � �� ������������ �<� ������������%�E��-�� ������� ������������ ���� �� ���� ���� � �� �������� ����� ������������

&���� �����������������������(

������ ����������������$���$����+

������ ����$������������������ ��������������������� �� ����$����������� ����������� ��������������� �� �%��������� ������ �$������ ���������$���$�����

����� ��� �$������������������ ��������������������� �� ��� �$����������� ����������� ����

����������������������� �� �� �� ��� �������+ �-�3��0��5Q��5A+ $-�.��D��53��52�

Page 85: 093 Matematika 01 - 02

>� �����������%��������������������������������������� ����������������� � �������� � ����# �����%�������� �����%����������� ������������������&� ��� ��F���� ��������� �������������������

���� �����E$��� ���������� �������������� ��������������� ������� �������������� ������� �� � ���

�� ������$���� � ������%������ ��� � ���� ���F�����(��� �������������$���� ���������������������

�� ������ ����&�������� �������� ��� ��������������� ��������������� ��%��������������� ��� � ����

� ����E���� �������� ������������ ������ ��� ��������� ���� � ���$� � �����������������������������

����������������� � E���������� ������ ���������������� ������������������������L������������� ��� ���

���F� �� ��������������� ����������������� �� �� ���������� �� ����

� ������������������������ ����������$<=�� � 1 1 1,A B C ��� (

��� 20, 22, 50 ;BC AC C= = = °� �1 1 1 1 130, 33, 50 .B C A C C= = = °�

$��1 1 1 1 125, 70, 70 ; 50, 140, 70BC AC C B C A C C= = = ° = = = °� �

� @������������������� ���������� �$�����(

�-�0��.��A�� �2��D��5Q+���$-�3��3��0�� �2��2��D+���-�P��53��5D�� �0��2��.7

� 8L������ ����� ������������� ��� �������� ������� ���7

�� � �� ��� � �� ������ ��������������� ���������$������� �����<��� � ��� ���� ��E�-�� ����� �� ��������������

��� � �� � ABCΔ <��E�����-�������������� a �� � ,b ���� ��E��

������ �+������������� �� ��������� �α �� � ;β ����$� ����������������������� � ����������������� ������� ��K��������(����� �������$�����������α�������������� ���� ������'�������� ��� ������� ������������β�� � ����$�����������������α#

���� �������$�����������β�������������� ���� ������'�������� ��� ������� ������������α�� � ����$�����������������β�

���

�c

β

α

���� � � �� ��� � �� ������ ��������������� ����$<=������ ������+

2 2 2 , 90 .a b c α β+ = + = °

B

Page 86: 093 Matematika 01 - 02

������

� & ���������� � ���������������� � ����� ������� � �� �����E����� �� ��� �������������� ���(

���>��E���� ���� �������������� ������� ������������������������ � �

���>��E���� ���� �������������� ������� ������������������ ��E��� �������� � �

��>��E���� ���� �������������� ������� ��������������������� � �� �������������������

��>��E���� ���� �������������� ������� ����������������� ��E��� �������������������

# ��������� �� �������� �� ������� � �� ����������������������E���� ��� ������ ������������� �$���(���� ������5�� �3��� ��%����E����� �� � �������������������������� � ����� ��E����� ����������� ���� ���+����0�� �.����������� �� ���������� �������������Y� �� �����'����������������L���� �������� ����� ������5�� �3�����$����������0�� �.�����������'����������� �� ���� ����� ��� �������� ���������� ����� � ������������ ������ � ����$������ ������ ��������������� �����:����� ������������������%��� �� �������'�������� �%������ ������� ���� �

� �����E��������������� .ABC MNCΔ Δ�

,��� ,CB dhe MN ���� (

5, 6, 12 15.CM CN AB dhe CA= = = =

� �

)

���

� �

��

�'

� �

� �

� �����E�������� ABCΔ �������� '������������=?� �@.__$<�� ���� �������������� ������� �� ��������� ����� ����������������������� ���� 7

� ������� E���$<=?��� �$�E��$<�� �=?�����)��� ���$=�� �<?����� �����������9�

���"��� ��� � .ABS CDSΔ Δ�

$��,���� ,CD ����

12, 6 3.AB AS dhe SC= = =

&�� �������� � ,ABC PQRΔ Δ ��������� �3��������E�������

� �

���

>� �������������� ���������������������������������� ��� ��� ������� � � �� �� � �� ���������� ���������� ����������������������$�������<�� 7-

>��E���� ���� �������������� ������������������� �� ����������������� ������������ ���������� � � �� ��� � �� ����������� ��������

Page 87: 093 Matematika 01 - 02

H����������� �������������� ���

ABC �� 6, 8a b= = ��

1 1 1A B C �� � 1 19, 12.a c= =

�-�>� ��� ������ ������������������������

$-�,������������ ���� ����������$��������

�������� ���� ��E�������$<=�� ���������������$�<�=��

"�E����� ��� ������������������������� ����������������������������������������� �����$������� ���� ���� ������� �� ���� ���������$����������������� ���� ��E������'������ ��� �������� ��@��������������������� ��������"�E�������� �������������� ���� ACB ����

1 1 1A C B �$�=�<��� ����� � � �� �� ����

� � �� ��>� ��� (���� �α �4 α������ ��� 1

1

.aa

c c=

� ��� ����� ��� ��������� ������������� ����� �������������

AC 1C 2C

B1B

2B

c

b x

y

α

�����E������������������������������$3� ����������$���������������

F%������ �<��<���<��������������<��<���<������ '�������� ����������$��� �%������� �������������� ����$<=��$<�=���$<�=��

������������������� ��������������α����������$�������'������������ �� ������� ����� ���������������� �� .ABCΔ

> ������������ �������������� ����� ����������������α�������������� ����������$��������������������α� ���� ��E���������������������������<�� ��� �������������+���� , )a BC c AB= =

> ������������ �������������� ����� ����������������α�������������� ������������� ���������������α� ���� ��E���������������������������<�� ��� �������������+����� , ).b AC c AB= =

�������*

8��������������7

������������ ��������� ���� ����������������7

��������������� ��� �������� ���� ������������� ����$������ ��������� ������� ���� �������

� 1 1 2 2 1 2

1 2 1 2

... ...B C B C AC ACBC AC

dheAB AB AB AB AB AB

= = = = = =

�� �� �%������� ���� �� ������ �$���E�� �

������������� ������ �������������� ������������������7

Page 88: 093 Matematika 01 - 02

&���������� � 1 2 ,α α≠ ����� ��� 1 2sin sin .α α≠

�������������������������������������������������������

1 2α α≠ �� ���� ��E����������� ��1 2 .A B A B≠

���������1 2

,CB CB

A B A B≠ ��� �������� 1 2sin sin .α α≠

�����E����������������� ��������������� ���� 1A CB ��

2A CB ��� ���� � �������$�������<=������ ����������

������ ��������������� ���������E������ ��(

sin ; sin ;a b

c cα β= = ��� cos ; cos .

b a

c cα β= =

� ���$�E����������%�E�� � ������������ �� ���E�����������������α�� ����α�

α

a

a

��������������������������������� ��������������� �������������������� ������������� ��������������� ���� ��E���

+������������������������������ ��������������� �������������������� ����������$�������������������� ���� ��E���

� � �

�c β

α

+

)��

α

��

α

��� ��

�� �������

@����������� �������� ������ a

c�'� ����������������α�� ���� ��� ����α�

@����������� �������� �����bc

�'� �������������������α�� ���� ��� ����α#

1α2α

2A 1A C

B

�������������'���������������������������%��� ��� (

���6

sin 0,6;10

α = = ����$��cos ;n

pα = ��������� %����E�� � 2.d a=

Page 89: 093 Matematika 01 - 02

# ������ ��������� ����������������������������%������ ��� ����! �����������'� ��������������������α'������ �����$������� ��������� ,ABCΔ �������� ���������������������������������������+������� ��� ��α���� �����������α�

�����'�������� ���������������������������$��������� ��������� ������������� ���������������������������������

"� ���� ����� ������ � ��$ ���������������������������� ������������� ����� �������� ����������������������������� �����������������������

# ����� � � ���� �������� ��������������� ����$<=��������������E��������������%�� ������� ����� � ������� �������

α

a

b

c

A

B

C

# ����������� ��������α������ �� � ����α���� ����������α������%�����������������α�

���������������������������������������������������������

��������������� �������E����������������� �������������� ��$=<��� �$=<���� ���� � �������$������$=������ ���������� α�≠α��� ���� ��E����������� � 1 2.AB AB≠

X���� �'������ �1 2

,AC AC

AB AB≠ ��� �������� 1 2cos cos .α α≠

# ����������� ��������α������ �� � �����α���� �����������α������%�����������������α�

2α1α

A

2B

1B

C

������������������������������������ ��������������� ��������������������� ������������� � ���� ����������$��������������������

,��������������������������������� ��������������� ��������������������� ����������$������� ��� ������������� ���������������

-$�������*

&���������� � 1 2 ,α α≠ ���� �� 1 2cos cos .α α≠

Page 90: 093 Matematika 01 - 02

-$�������*

������ ��������������� ��������E������ ��(� tg ; ctg .a b

b aα α= =

y

xz

αα5

4 3

*������ ������α�����α�����α�� �����α�'� ��%���������������� �� �������� ��������$�E��������� �%������ � ������������������������� �� F��� ���� ������ � ������'� ��� �������� ��

>����� ���������� ��E$�������������@�������� F�������� ���������� ���'����� ���� ���E�� ����� �� ���� ���������������������������� �� ������

���� �

,������ ���� �%������ � ������� ���� �������� ��� ������ ������������� ������� ��� � ��� ����� ��� � �� ������� +� ������� ��E�� ��� ��������(��� 3, 4;a b= = �������������$-� 8, 10;a c= =�-� 15, 17;b c= = �����������-� 12, 35.a b= =

� ���������������� ����������� ������������ ��� �%��������������� ����(

�-�5

sin ;7

α = �������$-� cos 0,6;α =

c)� 2tg ;

3α = �������������-�ctg 2.α =

,��������%����������������� ������������� �������������� �������A������� ��� E �� ��� ������ �����%������������� ��AQ°�

� �

����������� ������� ���� �����%����� ��� � (�� ��������'������������� �������� ���� ����'���������������

�� ��

���22 2sin , cos , tg , ctg .

2 22

a ah a h h a

ab b b a h hα α α α= = = = = = =

α

b

a

hb

�� �

2

a

,�������� ����������E������������������%�E������

,������ ���� �%������ � ������� ���� ������������������������� ��������������� ������� ���� � �� �����'�����������D�(�5A

Page 91: 093 Matematika 01 - 02

����� ������ ������� �������������������

�-�#������ ������� ( ) ( )ctg 40 ctg 90 63 15’ ctg 26 45’; 40 26 45’; 66 45’.α α α− ° = ° − ° = ° − ° = ° = °

#������ � ���������� ctg tgα β= � ��� �� � � 090 ,α β+ = � �������� ( )0 0 040 63 15 90 ,α ′− + = � �� �������

066 45 .α ′=

,����������� ( )0 90α α° < < ° �����$���E��

��� tg tg 46 ;α = ° �$-� tg 26 ctg ;α° = ��-� ( )tg 20 ctg 63 24’;α + ° = ° ��-� ( )ctg 40 tg63 15’.α − ° = °

�������$�����������'��������� ���� ��

��������������� ��������������� � �� ����� �������� ������� ���� �� ������� �� � �������� � ���� � ���� ���� ��������

,����������� ��������α����� ���sin sin56 32’;α = ° �$-�sin cos50 ;α = ° ��-�cos cos65 ;α = ° ��-�cos sin 33 33’.α = °

�������sin sin 25α = ° ���� ��� � 25 ;α = °

$-����� ( )sin cos25 sin 90 25 ,α = ° = ° − ° ��� ����������� sin sin 65α = ° ���� ��� 65 .α = °

� ,����������� ��������α����� (��-�sin sin 25 ;α = ° ���$-�sin cos 25 .α = °

���������%�E����������������� ����������������� ��( ���������� sin cos ,a

cα β= = �� cos sin .

b

cα β= =

��� ����� ������β����$���E���� ��������� �E�� ��������PQ°)α�������%�����

� �����E����� ����� ����� �� ������������� ����$<=�

���

�cβ

α

�������*

&������ ������ ��������� ������PQ°�'� ����� ����� � ���� �

,��������������� � ���������������α����� ��� 30 ;α = ° �$-� 5 22’;α = ° ��-� 45 30’28’’.α = °����� ������������� �������� �� ���������������� � ���� ���� ���������������� 90α β= ° − �� � 90 .β α= ° −

����� �$�������� � 21α = ° �� � 69 ,β = ° ������'�� 90 ,α β+ = ° �� ���sin 21 cos69 ,° = ° �cos 21 sin 69 .° = °

( )sin cos 90 ,α α= ° − �� ( )cos sin 90 .α α= ° −

( ) ( )0 0tg ctg 90 ; ctg tg 90 .α α α α= − = −

��� ���������� (���� �α��≠ α������ �������α�≠�����α��������������� ����� ����������α�4���α������ ���α�4α�#$����� ��������������������������������������� � �������α�����α�� �����α���������(

M����� �

Page 92: 093 Matematika 01 - 02

� >� ������ � ���-�2sin 25 3cos65 ;° + ° ���$-� 4tg60 2ctg30.

3tg60 ctg30

° + °° − °

���2sin 25 3cos65 2sin 25 3sin 25 5sin 25 ,° + ° = ° + ° = ° � 2sin 25 3cos65 2cos65 3cos65 5cos65 ;° + ° = ° + ° = °

� >� ������ � ����-�5sin15 2cos75

;5sin15 2cos75

° − °° + °

�����$-� 4tg 20 5ctg70.

9 tg 20

° + °°

M������������%����������������� ���� �������%�������������������������������������� ���� ������%����������������������%��������������� ���� ���� �������%�������������� ���������������������� ������ ���� ������%��������������� ������� ��������������'���������������������������%�������� (

8��%������������� ���������������� �����������������������$���$������ ��%�������������������������������������� � �����

���

,����������� ��������α����� (�-�sin 23 16’ cos ;α° =$-�cos27 23’ sin ;α° =�-�ctg tg15 ;α = °

�-�ctg5 45’ tg .α° =

,����������� �������������� �-� ( )sin 10 sin 30 ;α + ° = °$-� ( )cos 15 cos23 15’;α − ° = °�-� ( )tg 20 ctg15 20’;α + ° = °�-� ( )ctg 15 tg15 23’;α − ° = ° -� ( ) ( )tg 20 ctg 20 ;α α− ° = + °%-� ( ) ( )sin 10 cos 10 .α α+ ° = ° +

>� ������ � �(

�-� sin15 ctg62;

cos75 tg 28

° °+° °

����$-�2 2

sin 40 cos50;

cos 50 sin 40

° ⋅ °° + °

������-�3sin 70 2cos20

;2sin 20 cos70

° − °° + °

�������-�4tg5 2ctg85

.4 tg5 ctg85

° − °° + °

>� ������ � ����� ��� ���

� 90 :α β+ = °

�-� sin cos ;α β+ ���������$-� cos sin ;α β−

�-� 2 2sin cos ;α β+ �������-� 2 2cos sin .α β−

� @� �E�������������������������������� �������� � (�� �����%������������� ������������������������$���$������ ��%������������������������

$-�4tg60 2ctg30 4 tg 60 2 tg60 6 tg60

3.3tg60 ctg30 3tg60 tg60 2 tg60

° + ° ° + ° °= = =° − ° ° − ° °

-$�������*

Page 93: 093 Matematika 01 - 02

�������*

����� ����� ������� ����������� !��� "���

�� ����� ���� �� � ������� � � �� ������������� ����$��������7,������ ������������$���$�������� ������������ �� ����7:���������� ��� ��������$���$������������ ��� (������ � ���������� ��� ���� �� � $������ �� ��� ���� �� ����� � �

:�������� ��� ���������$���$�������� �$�������

����� �$���$������ 3

.2

a

� ,������ ���� �%������ � �����)�� ���� �����α 4�0Q°�

M����� (�: ������������� �������$���$������$<=�� �$�������������������=�����������������==�����������$==�������0Q°�� ����������������������� ��������������� ����$=�=������� ��������$==��� ������%�E�������%������ �������� ���� �� ��(

����� 12sin30 ,2

a

a° = = �������

332cos30 ,

2

ah

a a° = = =

� ,������ ���� �%������ � ������� ���� �����α 4�.A°�

����������%�E��������%������ � ������� ���� ��%�����(��2

sin 45 :22

a a

c a° = = =

�������cos 45 ?° tg 45 1.a

a° = = ��������ctg 45 ?°

��

60°

1C2

a

30°

32 2tg30 ,33

2

a a

h a° = = =

�������

32ctg30 3.

2 2

aha a

° = = =

1 3 3sin 30 , cos30 , tg30 , ctg30 3.

2 2 3° = ° = ° = ° =

��

45°

3 1sin 60 cos30 , cos60 sin 30 ,

2 2° = ° = ° = ° =

3tg 60 ctg30 3, ctg 60 tg30 .

3° = ° = ° = ° =

M����� ��: ����� �������� ��� ��� ���������$���������$<=��������������E������@�� ��������� � ����������������� ���+��� ������ ����� 2.c a=

30° 45° 60°���

���

�"

��"

1/ 2 2 / 2 3 / 2

3 /3 � 3

2 / 2 �3�3 / 2

3 3 /3�

&�� � ��%����E����� ����� �%������ � ������� ���� ������� � ����� � ���� �������� ���� �%������ � ������ ���� �����α 4�2Q°

��� �������

Page 94: 093 Matematika 01 - 02

������������������ ����� ������� ��������� �����������

��������

8�������(��-�������+�$-��������+��-������ ���+��-������� ��������������������������� ��������������� ���7 ������������� ������E������������(

�-� sin , cos , tg , ctg ;α α α α ������������$-� sin , cos , tg , ctg .β β β β

β

α

%

�� ,������ ���� ���� � �(���-�cos60 sin30

;1 sin30 1 cos60

° °+− ° − °

��$-�( )2sin30 cos60

.5 tg 60 tg30

° − °° ⋅ °

�-�

1 1 1 1cos60 sin30 2 2 2 2 1 1 2.

1 1 1 11 sin30 1 cos60 1 12 2 2 2

° °+ = + = + = + =− ° − ° − −

��$-�( )

2

21 1

sin30 cos60 12 2.

5 tg60 tg30 535 3

3

⎛ ⎞+⎜ ⎟° + ° ⎝ ⎠= =° ⋅ °

⋅ ⋅

� ,������ ���� ���� � �(

�-� ( )( )1 sin 60 1 sin 60 ;+ ° − ° ��$-�3sin 30 tg30 cos60 ctg60 .° ⋅ ° + ° ⋅ °� �������������� �$���E�����2cos30 3ctg60 tg60 ctg30 0.° + ° − ° − ° =

3 32cos30 3ctg 60 tg 60 ctg30 2 3 3 3 3 3 3 3 0.

2 3° + ° − ° − ° = + − − = + − − =

� �������������� �$���E������-�sin30 cos60 tg45 ;° + ° = ° �$-� 2 2cos 60 sin 60 ctg45 .° + ° = °

���

,������ ���� ���� � ��<5)A-(

�-�3sin 60 2cos30 ;° − °

$-�( )( )tg 45 tg60 tg 45 tg60 .° + ° ° − °

�-�( )2sin 30 cos60

;tg 45 ctg 45

° + °° + °

�$-�ctg 45 tg 45

.sin 60 cos60

° − °° − °�

�-� 2 2 2sin 30 cos 45 tg 60 ;° + ° + °

$-� 2 2 22sin 60 cos 30 ctg 30 .° + ° + °

�-�4sin30 cos30 tg60 ;° ⋅ ° ⋅ °

$-� 23tg 30 4sin 45 cos60 .° − ° °

���

2

2

1 4sin6 ;

1 4cos6

π

π

+��$-�

2 2

2 2

3tg ctg6 4 .

sin cos3 4

π π

π π

+

−�

�������������� �$���E���

�-�2sin30 2cos30 3 1;° − ° + =$-� 2cos30 3ctg60 tg60 ctg30 ;° + ° = ° + °

�-�sin 30 cos60

2;1 cos60 1 sin30

° °+ =− ° − °

�-� ( )21 12 sin 30 cos60 .

tg 45 ctg 45+ = ° + °

° °

����������� ����������������� ���������������D������ ��� E��� ��� ������ ��������� �������%����������� ��(�-�30 ;° ��$-� 45 ;° ���-�60 ?°

Page 95: 093 Matematika 01 - 02

����� ��������������� ����$<=�����+

���

�c

β

α�-� ������ %���������� ���sin , cos ;

a b

c cα α= =

$-2 2 2 2 2

2 22 2 2 2

sin cos 1.a b a b c

c c c cα α ++ = + = = =

���������������� ������ � �� � �� ������� ����������� ���������������������������������α�

����� �$���������α 4�2Q°��� ��(�2 2

2 2 3 1 3 1sin 60 cos 60 1.

2 2 4 4

⎛ ⎞ ⎛ ⎞° + ° = + = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠

� ������ ������� ���� (��-� 2 2sin 30 cos 30 1;° + ° = �$-� 2 2sin 45 45 1.° + ° =

# �E$������� �%������������α /�����α 4�5������������������� ���� ���������� �����%������ � �

,����cos ,α ���� � 3sin .

5α =

"� ��� ������ ����α�������E�� �����������$���E���������α /�����α 4�5���� �������2

23cos 1,

5α⎛ ⎞ + =⎜ ⎟⎝ ⎠

�� ����2

2 9 16 4cos 1 ,

25 25 5α ⎛ ⎞= − = = ⎜ ⎟⎝ ⎠

�� �4

cos .5

α =

,����cos ,α ���� �sin 0,8.α =

,����sin ,α ���� � 8cos .

17α =

�-��� ���� ����α�� ���α+$-��� ������� ��� ��������α /����α�

(� �!������� ���� ���� � ��������� ����������α /�����α 4�5����� �(2 2sin 1 cos ,α α= − ��� �������� 2 2cos 1 sin .α α= −

��

&����� � 2 2sin cos 1α α+ =

� >� ������ � �( �-� 2 23 sin cos ,α α− − ���������$-� ( ) ( )1 cos 1 cos .α α+ ⋅ −

a) ( )2 2 2 23 sin cos 3 sin cos 3 1 2.α α α α− − = − + = − =

� >� ������ � �( �-� ( ) ( )1 sin 1 sin ;α α− ⋅ + ������$-� 1 1.

1 cos 1 cosα α+

− +

$-�( ) ( ) 2 21 cos 1 cos 1 cos sin .α α α α+ ⋅ − = − =

Page 96: 093 Matematika 01 - 02

�� ,������ ���� �sin , tg , ctg ,α α α ���� �24

cos .25

α =

�������������������������� ��������2 2 2 2

22 2

24 25 24 7 7sin 1 cos 1 .

25 25 25 25α α −⎛ ⎞= − = − = = =⎜ ⎟⎝ ⎠

��������

7sin 7 1 1 2425tg ; ctg .

24 7cos 24 tg 725 24

αα αα α

= = = = = =

���

�c

β

α

��� �������%�E�� �� �%������ � ������� ����

�-�sin sin

tg ;cos cos

a c

b c

α ααα α

⋅= = =⋅

����$-�cos cos

ctg ;sin sin

b c

a c

α ααα α

⋅= = =⋅

�-� tg ctg 1.a b

b aα α⋅ = ⋅ =

# �E����� �� �� ������D������������ ����%������ � � � � ������������� �������� ��%������ � ������ ���� (

����� �$����� 3 3tg 60 ctg 60 3 1.

3 3° ⋅ ° = ⋅ = =

�"�� tg ctg 1α α⋅ = ���� ��� �1

ctg ,tg

αα

= �����1

ctg 0,4.2,5

α = =

�� ,�����-� ctg ,α ���� �4

tg ;3

α = ����������$-� tg ,α ���� � ctg 1,25.α =

# �������� ����� � �� � �� ������� ��%������ � ������� ���� ����� ������������� ��� �������%�������������������� ���� ���� ��� �%������ � ������ ���

,����ctg ,α ���� � tg 2,5.α =

� "��� ��� ���-�sin

tg ;cos

ααα

= �����$-�cos

ctg ;sin

ααα

= ������-� tg ctg 1.α α⋅ =

(� �!��������α ⋅ ����α 4�5����� ��1

tg ,ctg

αα

= �1

ctg ,tg

αα

= ���

sina

cα = �� �cos

b

cα = ��� ���� sina c α= ⋅ �� �� cos .b c α= ⋅

sintg ;

cos

ααα

= cosctg ;

sin

ααα

= tg ctg 1.α α⋅ =

*������ ������� ���� ������� ����������������������������� ����� �

Page 97: 093 Matematika 01 - 02

8 cossin .

15

αα ⋅= ��� ������ ����������α� �E�� �����������$���E���� 2 2sin cos 1,α α+ = ������%�����(

228 cos

cos 1,15

α α⋅⎛ ⎞ + =⎜ ⎟⎝ ⎠��

2264cos

cos 1 | 225.225

α α+ = ⋅ �&�� � �����E����$���E����� �33A�%�����

2 264cos 225cos 225;α α+ = � 2289cos 225;α = � 2 225cos ,

289α = ��� ����

225 15cos .

289 17α = =

���%����2 2 2 2

22 2 2 2

15 17 15 2 32 8 8sin 1 cos 1 .

17 17 17 17 17α α − ⋅= − = − = = = =

�&�����'������� � ������� ��������������E���� ��� ��%����E����� ����� � �� � �� ������� �%������ � ������� ���� �

�� ,������ ���� �sin , cos , ctg ,α α α ���� � 8tg .

15α =

��������������������������� �������� 1 15ctg .

tg 8α

α= = �����

sintg

cos

ααα

= �� ��� sin 8,

cos 15

αα

= ��� �������

�� ,������ ���� ����������������� �20

sin .29

α =

�� �������

��� ��������������������������F%������������ �����������������$���E���(

2 2 sin cossin cos 1, tg , ctg , tg ctg 1,

cos sin

α αα α α α α αα α

+ = = = ⋅ =

���������'� ������������������� �� �������� ����

��� ������������� ��� �%������������ �������� ����� ��� ����� ��������������� �� � ���

����������� � ������� �$�������� �7

ctg ,24

α = �������� ���� ��sin , cosα α ����� tg .α

M����� �

����7

ctg24

α = � ��� ��� �24

tg .7

α = ���� �$������� 2 2sin cos 1α α+ = � ��� �������� � 2cos α �� ��(

2 2

2 2 2

sin cos 1,

cos cos cos

α αα α α

+ = ��� �������� 22

1tg 1 .

cosα

α+ = �# �E�� �����������

24tg

7α = �%�����

2

2 2

24 1 625 11 ; ,

7 cos 49 cosα α⎛ ⎞ + = =⎜ ⎟⎝ ⎠

��������� 2 49cos ,

625α = ��� ���������

7cos .

25α =

���� 2 2sin 1 cosα α= − ���� ��� 24

sin .25

α =

Page 98: 093 Matematika 01 - 02

���2 2

2 2 2 2 2 22 2

sin sintg sin tg sin sin sin

cos cos

α αα α α α α αα α

− = ⋅ ⇔ − = ⋅ ⇔

( )2 2 2

2 2 2 22 2 2 2

1 sin 1 cos 1 cossin 1 1 cos sin sin .

cos cos cos cos

α α αα α α αα α α α

− −⎛ ⎞⇔ − = ⋅ − ⇔ ⋅ = ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

����&���������%����������� ����������$���E�������������� ��(

2 2 22 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2

sin 1 1 cos sintg sin sin sin 1 sin sin tg sin .

cos cos cos cos

α α αα α α α α α αα α α α

−⎛ ⎞− = − = ⋅ − = ⋅ = ⋅ = ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

���

���� ������5�)�.�������� ���� �%������ � ��� ��������� ���� ����� ���������������%������(

� �

� �

�-�5

sin ;13

α = �$-�7

sin ;25

α = ��-� 3sin .

2α = ���

12cos ;

13α = ����

20cos ;

29α = ���� cos 0,8.α =

�-� 5tg ;

12α = �$-� 9

tg ;40

α = ��-� tg 3.α = ��� 21ctg ;

20α = ����

8ctg ;

15α = ���� ctg 2,4.α =

+������K������%����E������������������� �������� ��������������������%�� ������ �������� �$���E����� ���%�� ����� �����������������$���E��������'�����$���� ��

>� ��� ������ �������$���E��(��-� 2 2 2cos sin 1 2sin ;α α α− = −

$-� ( ) ( )2 2sin cos sin cos 2;α α α α+ + − = ��-� ( ) ( ) ( )1 sin 1 sin tg ctg ctg .α α α α α− ⋅ + ⋅ + =

��

�� ,������ ���� �sin , cos , tg ,α α α ���� �4

ctg .3

α =

�� >� ��� ������ �������$���E��(� 2 2 2 2tg sin tg sin .α α α α− = ⋅

J���E���� ��������������� ������������������

& ������E������� �������������������� ���E$����%������

2

tgsin

1 tg

ααα

=+

����������2

1cos .

1 tgα

α=

+

J���E���� ���������'� ������������� �������� ����������'���������� ��� ����%������ ������� ���� � �������� ���� ����������� � ��������������(5��>����%�� �� � ����� ������� � ���� �������� �$���E������ ����������� �����$���E����������E������� ��������������� �'����3��>����%�� ��� ������������ �$���E����� �$� ������� �� ������ ��� ���� ������� ���� �$���E����

Page 99: 093 Matematika 01 - 02

>� ������ � ������ ������<A�)�53-(

��� 3 2sin sin sin ;α α α− ⋅

��� 2 3cos sin cos .α α α⋅ +

�-� 2sin sin cos ;α α α− ⋅

$-� 2cos sin cos .α α α− ⋅

�-� 1 sin 1 sin ;α α+ ⋅ −

$-� 1 cos 1 cos .α α− ⋅ +

��-�

2

sin 1;

cos 1 sin

αα α

++

$-�2

cos 1.

sin 1 cos

αα α

++

���2 2cos cos

;1 sin 1 sin

α αα α

−− +

���2 2sin sin

.1 cos 1 cos

α αα α

−− +

"��� ������������ �$���E����<50�)�56-(

1 cos sin2ctg .

sin cos 1

α α αα α

− + = −−

sin 1 cos, sin 0.

1 cos sin

α α αα α

+= ≠−

��1

tg ctg ,sin 0,cos 0;sin cos

α α α αα α

+ = ≠ ≠⋅

��� 2

ctgtg ctg , cos 0.

cos

αα α αα

+ = ≠

�-�( ) ( )2 2

2

21 tg 1 tg ;

cosα α

α+ + − =

$-�sin cos 1

.1 ctg 1 tg sin cos

α αα α α α

+ =+ + +

�-�2 2

tg ctg;

1 tg 1 ctg

α αα α

=+ +

$-� tg tgtg tg .

ctg ctg

α β α βα β

+ = ⋅+

��

��

��

��

��

�-�( )21 tg 2 tg ;α α+ −

$-� ( )21 ctg 2ctg .α α+ −

�-�( )( )

2 2

2 2

1 sin cos;

1 sin cos

α αα α

− +

− −

$-�( )( )

2 2

2 2

1 cos sin.

1 cos sin

α αα α

− +

− −��� 2tg tg sin ;α α α− ⋅

��� 2ctg ctg cos .α α α− ⋅

��

����

��� ��$ ��� ����� ����� �� ���� � %������ � ������ ���� ��������� ���� ��0Q°��.A°�� �2Q°�

B����������������������� ���� �%������ � (�-� sin ;α � $-� cos ;α � �-� tg ;α � �-� ctgα � ���

{ }0 0 030 , 45 , 60 ,α ∈ ���� �%������������� ������ �����

����� ��������� ������ ������� ��������� ������������������� �#��

��������

30° 45° 60°

���

���

�"

��"

1/ 2 2 / 2 3 / 2

3 /3 � 3

2 / 2 �3�3 / 2

3 3 /3�

Page 100: 093 Matematika 01 - 02

���

K�����E����� ������ ������ ��� �� ��������������������������������� �� ��sin 30 sin 45 sin 60° < ° < °� � tg30 tg 45 tg60 ,° < ° < ° �������cos30 cos45 cos60° > ° > ° �� �ctg30 ctg45 ctg60 .° > ° > °

������������������%��� ��� �� �E�������� �������������������� ��0Q°����2Q°���������� ������ ���������������E��� ������������������� ������� ����������E���� ��

&������ ������ ������ �� � �����F%������� ����� �����������������������α�

�����E������������E���������� ��������� ��� ����� �' �������

������'�� �� ��� E � 1.OB =��� �� ��� ������<��� <��� <��������� E�� ���� ���������� ��F%������ �� ������������������������� �����������'����$�E��� ��������� ������������=���=���=�����������������α�α���α

������������� �� ������������� �������������� ���

'=�<���'=�<���'=�<������ �F?�����α�:α�:α����

������E����������� �'������ � 1 1 2 2 3 3 ...B C B C B C< < < ����� 1 2 3 ...,OB OB OB= = = ��������������������

��������� �� 3 31 1 2 2

1 2 3

...,B CB C B C

OB OB OB< < < ��� �������� 1 2 3sin sin sin ... .α α α< < <

&���������� ����������������α����� ������ ��� � �%�����������α����� ����� ���������� �α��C α������ �������α��C�����α�

@������ ���%�E����������� �����α�

H�������'������������ �� �� �� � � 1 1 2 2 3 3, , ,...B C B C B C ��������������������� ������ � 1,OM = ��� ������sin 1.α <&���������� �������α����� ��� �� �������PQ°����� �������α������ ��� �� �������5���� ������������ �����α�E���� ��� �� �������Q����� �������α�E���� ��� �� �������Q�

�������������������� �������� (�����Q° 4�Q�� �����PQ° 4�5�

-$�������!

��� �0 90 ,α° ≤ ≤ ° ���� ��0 sin 1.α≤ ≤

B����������������������������sin 42 , sin 39 , sin57 .° ° °

�����'��39 42 57,° < ° < ���� ��sin 39 sin 42 sin 57 .° < ° < °

� B��������� ����������������(���-�sin55 , sin36 , sin43 ;° ° ° �$-�sin44 , sin40 , sin48 .° ° °

Page 101: 093 Matematika 01 - 02

���

&���������� ����������������α����� ������ ��� � �%����������α����� ����� ����������� �α��C α

��

��� �������C�����

B������ ��������α������� ���%�E����������'��α C�PQ°������������ ���α���������� ���%�E����

"�� ��� ������ �� �� ����� � ��%���PQ°����������������������� ����K� ������������ �α���������� �PQ°���� ���������������������� ������ ��� ��� ���E���=<��

������������� ��(���� �������α����� ��� �� �������PQ°����� �����α����� ����%������� �������9� �����������%�;�

� >���� ��� � ����� ��������E�����'�������� ����������������α�����������α����� ��� �� ������PQ°�

�����'�� 1 2 3 ...OC OC OC> > > �� � 1 2 3 ...OB OB OB= = = ���� ��� �� 31 2

1 2 3

...,OCOC OC

OB OB OB> > > ��� �������

1 2 3cos cos cos ... .α α α> > >

�����'��� �� �� �� 1 2 3, , ,...OC OC OC �����E������������������� ��������������������� �� 1,OM = ���� �

� �%������������������������������������ �5���� ������������C��5

#����������� �������� (�cos0 1° = �� �cos90 0.° =

-$�������! ��� ��0 90 ,α° ≤ ≤ ° ��� ����1 cos 0.α≥ ≥

� B�����������������������������cos38 , cos60 , cos17 .° ° °

�����'��17 38 60 ,° < ° < ° ���� ��� �cos17 cos38 cos60 .° > ° > °

� B��������� ����������������(

�-� cos38 , cos71 , cos10 ;° ° ° �$-� cos22 , cos39 , cos75 .° ° °

�����E��������������� �� �������� ���F%������������� ���� 1 2 3, , .....ACB ACB ACB ��� �� 1AC = ������ ���$��������������������� ��������� � ������� �������� �� 1 2 3, , ,...α α α ���� 1 2 3 ...α α α< < <

������E����������� �'������ ������

1 2 3 ...CB CB CB< < < ���� 1,AC = ���� ���

31 2 ...,CBCB CB

AC AC AC< < < �� ������� 1 2 3tg tg tg ... .α α α< < <

������������ � 090 ,α → ��� ��� tg .α → +∞

&���������� ����������������α����� �������'������ ��������PQ°����� ���%����������α�E���� ��� � �������E ����

Page 102: 093 Matematika 01 - 02

���

#����������� �������� ����Q° 4�Q�

-$�������! ��� �0 90 ,α° ≤ < ° ���� ��0 tg .α≤ < +∞

� ������� tg 45 , tg10 , tg87 , tg12° ° ° ° �� tg50° �����������������������

tg10 tg12 tg 45 tg50 tg87 .° < ° < ° < ° < °

� @������ �������� (���-� tg 46 1;° < �$-� tg 44 1;° < ��-�1 tg15 0?− ° >

� '���� �� ����� ����E�������� ������'�������� ����������� �%����������������� �������������������� �� �E���� ��

X���� �'������ ������������� ��'��ctg90 0.° =

# �F?��������� � 0 ,α → ° ��� ���ctg .α → +∞

: ����������������� ��� (���� �������α����� ������ ��� � �%������������α�E���� ��

-$�������! ��� � 90 ,α ≤ ° ���� ���ctg 0.α ≥

����� �$�������� � 1 25α = ° �� � 2 55 ,α = ° �� �������� 1 2 ,α α< ���� ���ctg 25 ctg55 .° > °

���

,����������������������������(�

�-�sin 43° �� �sin 49 ;° �$-�cos 43° �� �cos49 ;°

�-� tg 43° �� � tg 49 ;° ����-� ctg 43° �� ctg 49 .°

,������ �������� ������������������������

��������������(��-�sin15 , sin 75 , sin 45 ;° ° °

����������$-� cos20 , cos70 , cos45 ;° ° °

�����������������������-� sin 50 , cos60 , sin 40 ;° ° °

�����������������������-� cos15 , sin15 , cos18 .° ° °

,������ ����� � ����� � �������������(

��� sin 28 sin42 0;° − ° < ���� sin32 sin33 0;° − ° >��� sin40 cos40 0;° − ° > ���� cos 20 sin 20 0.° − ° >

� ,�����������������������������(�-� tg15° �� � tg72 ;° ����$-� tg36° �� � tg34 ;°�-� ctg15° � ctg72 ;° ���-� ctg 26° �� � tg 26 .°

,����� ����� �������� � (

�-� tg 23 1;° − ��������$-�1 tg72 ;− ° ������-� tg51 1;° −

�-� tg1 ctg1 ;° − ° �� -� tg89 ctg89 .° − °

,������ ����� � ����� � �������������(

�-� tg35 1;° < �$-� 3 tg10 ;< ° �-� 3tg80 ;

3° <

�-�1 tg 46 .< °

,����� ����� ���� � �(

�-� sin35 cos27;

tg35 ctg 26

° − °° − °

�$-� cos27 sin35.

ctg73 tg15

° − °° − °

� B�������'�����E���� ���� ���� (�-�������� $-���������+�-������ ���� �-������� ������ ������ � �11 , 21 , 31 , 41 , 51 .° ° ° ° °

Page 103: 093 Matematika 01 - 02

���

��� ��������������� ������������

��������

*�������� � ���� � �%�������� ������������)� ���E�� �� ������������$���������%��������� �� ����������%���������%�E����� ����'� �������

& ������������� ���� ����������������������� (����������� ���������������������� �� ���������������� �������� ������� �������� � �E������������� � �� ������ �

@��������� �$������ ���������������� � �� ��������� �� �������������������������� ������ ������������������������ ������$���������������� ����������� �� �������� �� ����������������� � �� ������ � �����

���� ����������������������� ������������������'������������ � � ��������������� ����������������� ��������� �� ����� � �������������

���� �PQ)����� ��� ������������� ����'� ����������<��� ��� �5°�

�������������������� ������������(��������<��� ��� �5L-�� �� �����<��� ��� �5`-����������������������� ���������������������������������������� ���� �������� �������(

1 60’;° = ������������������������������� 1’ 60’’;= ����������������������������������� ( )1 60 60 ’’ 3600’’.° = ⋅ =

������������� ����������%������������ ���E�'� ���������� ���K������ �������������'���'� �������� �����

����������������������������� ���������� ���'� ���������������������'����������������� ����������� �������� ����������� �����������'����'� ��������� ��

K�������� ��������� ����� � ��� �%������

,180

rπ α°=°

� ������������ E��� ��� ������������α

�����������' ��������������

� ���� ������ � ��� ������������(�����-�0°+�������$-�A°03L+��������-�.Q°5DL

� ���� ������ � ������-�AR+�����$-�DR53L+�����-5QR53L�0Q`��

��������� ��������� ��������� �� ����� � ������� ����

K�����</-���������� �5QQ)����� ��� ������������� ����

�������������������� �������������������� ���E���� �<5L�� �5�-�� �� ������ ���E���� �<5`�� �5��-

����������������'������������ ���E���� ��������������������� ���E���� �������'����� ������ ���E���� ��� �������1 100 ;cg = �����������������������������������1 100 ;c cc= �������������������������������� ( )1 100 100 10000 .

cc ccg = ⋅ =

Page 104: 093 Matematika 01 - 02

���

�� ���������� ��� ������������������������ ���� ��� E ����������������������� ��������$���$������ ������������' ��'������������' ����������������� �������

31 2

1 2 3 180o...

r r r

π α= = = = ⋅�� ��

������r

��� ������� ��E����������� ��������' ����������������������� �� �������������������������������

�������� ��

��� � ,r=� ����� ���� 1,r

=������������������' ������ �� ������������������� �� ����� � +����������'� �

������

,�������F%����� ������������������������ ������������������������������� �������������������

��� �������� 0 ,1ϕ = ���� ��� 0 00

1 1 0,01745 .180

radπ= ⋅ =

��� �������� ,1 radϕ = ���������0

0 0180"1 1 57 17 44,8 57 17 45 .rad

π′ ′′ ′= ⋅ = ≈

��� �������� 0 ,180α = ���������� 0 00

180 180180

radπ π= ⋅ = �� �� 0 3,14,180 ≈

���� � 0 2360 radπ= �� � 0 6,28 .360 rad≈

����%�������������������� ��������� ����180

rπ α=� �����������������������' ������������������������

��������� ��(

180r

π α= ⋅��

.�����������������' �����'������������ ���������� ������������� ��������������� �$���$������ �� E �� ��� ����

����� 0

180or

π α= ⋅�������

rϕ=�

����� ��� ���������������������������� 0

180o

πϕ α= ⋅ �������0180o

radα ϕπ

= ⋅

�� �����������������(����-�0Q�+�����$-�.A�+������-�PQ�+������-�6DQ�+���� -�.D�3.L02;

-��.D�3.L02;�4�.D��/�24

60

o⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

�/�36

3600

o⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

�4�.D�.5�������48 41

0 845180

o

o

,, rad

πϕ ⋅= ≈ �

����

Page 105: 093 Matematika 01 - 02

���

��������

,���������� � � �� �� � �� ������ �������������� ���7���� � � �� �� � � �� � ��� �� �������������� ��������� �������α / β 4PQ°�������+�#������ �������������� �����������������������������7

8?������������E���� ���� �������������� ���7

������������� ������ � �� �����E����� �� �� ��������������� ���7

�������02°5QL5A`�������� ����������

��

���������10 15

36 10’15" 3660 3600

° °⎛ ⎞ ⎛ ⎞° = ° + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

36 0,166 0,004 36,17 .= ° + ° + ° = °�������36 10’15" 36,17 .° = °

���� ���������� ���������� ������������� ��X���� �'������ ����������������������.DR��#����������������

�����(48,253 48 0,253 ;° − ° = ° ��0,253 60 15,18’,° ⋅ = �������� ���15’.

>����������������� �����(15,18’ 15’ 0,18’;− = ��0,18’ 60 10,8’’,⋅ = �� ��������11’’.

#�����%�����48,253 48 15’11’’.° = °

� ������� .D�3A0°� ������� � ��� ��������������� �� �����

���������

� M���� ��� ��������������� ������ ���� ��E��� ������+�4�53�� �������� ��������α 4�0Q°�

&� ����������������������� ���� � ���a � � .b

���� 90 ,α β+ = ° ���� �� 90 90 30 60 .β α= ° − = ° − ° = °

���� sin30 ,12

a = ° ����� �� 12 sin 30 6cm.a = ⋅ ° =

��� ��� 2 2 2 212 6 108 6 3 cm.b c a= − = − = =

�����'����� ���������������� ��%����E����� �%����������-�������+�$-������ ��

���������

K�����E����� ������� ��������������� ������ �� �������'�� ��� ����������������� ���� �%������ � ������ ���� ������������������������ ������� �E�������� ������ ���������������������� ���� ���� ����%������������� �%������ � �� ��������������� ���� �����$������������������� ������ ���� ��� ��� �� ������������������ ����� � �����������#�� ����������%����E������$ ���������� ���� %������ � ������� ���� �� ���������������������� ����� � �

���� ��������� ������������ �������������������$ ����������� ��������������

������ �������������� �����������������������������7

Page 106: 093 Matematika 01 - 02

���

�����E������ �������� �� �$��� ����� ������������ ����(�-�,�������� ��� ��� ����%������ � ������� ���� ������������ ��������������+$-�,�������� ���������������� ���������������%��������������� ����

> ������������������������������0�������������������������������� � �� ������ ��������� �� ��������������������� ����(���456������ �������%�� ��� ������� �����������+

��784������ �������%�� ��� ������� �����������+

��678������ �������%�� ��� ������� ����������

#������ �E�� �� ������ ������������������������������������������� ������� �

> ���������������������$���� �������(

> ������������� ��� ���� ������ �� ������� 476

���������� ������������������� ����������� ��� ����&�K��B@&�� �KB@�

�����'�� � ����� �����������������������������E�� ����������� ����������

0945

����� ���������'�� ��� ����&�K�<������-�

����� ���������'�� ��� ����B@&�<������-�

����� ���������'�� ��� ����KB@�<����-

�� ���� ���� �%������ � ������� ���� ������������.0°�

������ ������������%������������������%����E����� ��������������� �������� ���������,���������

�����'��������������%����E�� � ����������������

0����������������������%������������������������ ����(

ose

����� ����� �E�� ����������

��*������� ����.0�

456

��� ��� �"� �

& ���� ���������'�� ���� ��� ���������

Page 107: 093 Matematika 01 - 02

���

����������� �� �� ������ ��� �������������������������� �� ������������������������� ���� ���+������������������.0°7���' ���� �����(

����������������� � �%�������� ����Q�P03A5A+

)������ ���������'�� ���� ���5�Q6302D6�

)�� ����� �

�������������� ��� ��(

0,6819983���

���

�"

(%

����%������� ����.0�<� ��������&�K-+

�"

��$ �3: �� �3� � ����

+�����#�K������� ��� � ���������� �� ��� ���� �%������ � ������� ���� ����L���������� ����������� �A�� ����� � �

�� ���� ���� �%������ � ������� ���� �������������� ���-�0Q°+�$-�62°

�� �� ���� ���� �%������ � ������� ���� �������������� ���-�A5R.DL+�$-�02R5QL5A`�

$-�36 10’15’’.°

�-�������� ���������������� �������� ���������������� ��������48’: 60 0,8 ; 51 0,8 51,8 .= ° ° + = °

&�������51 48’ 51,8 .° = °

��%������� ����A5�D�� ���������� �����������������%������� E����� ������ �

sin51,8 0,78585, cos51,8 0,61840, tg51,8 1,27077° = ° = ° = �� �ctg51,8 0,78692.° =

$-�������� ������ ������������������������ ��������36 10’15’’ 36,17 .° = ° ������������������ �����������������%�����(� 0sin 36,17 0,59018;= � 0cos36,17 0,80727;=tg36,17 0,73108,° = ���� ctg36,17 1,36783.° =

�-������������� ���� ��� �%��������������� ������ �������������������������������������E����� � �$����������%� ������� ��������������� ���������������� ���������������%��������������� �����

���

M����� �

0,7313537���

0,932515���

Page 108: 093 Matematika 01 - 02

��

$-�5��*������� ����0,67589.

0��0,476698 60 28,60188’,° ⋅ = ��� ���������28’;

���0,60188’ 60 36,1128’’ 36’’⋅ = ≈

&������������� 47 28’36’’.α = °

���� �� 1 1 1sin , cos , tg− − −��������%������������� ����%���������������α�����α����α�������������

�� ,�����������α����� �����α 4�Q�A�

+��������� �������������������� �������� ����������������������5� �E�� �����������B@&�

,����������� ,α ��-�sin 0,66044;α = �$-�cos 0,67589;α = ��-� tg 1,0913;α =�-� ctg 0,41491.α =

��0,333438 60 20,0063’ 20’° ⋅ = ≈

���%���������� 41 20’.α = °

��

��� ���������'�� ��41,333438 ,° �'����������� 41,333438 .α = ° �( )41,333438 41 0,333438 .° − ° = °

���M�� �����������&�K�<������ �����������-�

���*������� ����Q�A�

�� �����

������ ���������'�� ��������0Q���� ��������α 4�0Q°

� ��$ ����� �� ����� � � �� ����

�-�5��*������� ����Q�22Q..�<� ��������&�K-�

��$ ������� 47,476698 ;°

�� ����� � ��$ ����� �� ����� � � �� ����

Page 109: 093 Matematika 01 - 02

��

�-������������������������ ���������-�� �$-�� ������%���� 47 30’.α = °

�-�5��*������� ����0,41491;

.��0,465949 60 27,956946’,° ⋅ = ��� ��������27’; ��0,956946’ 60 57,416767’’ 57’’.⋅ = ≈

���%����������� 67 27 ’57 ’’.α = °

�� ,����������� ,α ���� �(��-�sin 0,97450;α = �$-�cos 0,44620;α = ��-� tg 0,61322;α =�-�ctg 0,63299.α =

��� ��� ����'�� �%���������� ��������� �����%��������� ��������� �������������������$������������� ��� ����%������������� ������ ��������������'�� ��������Y���

� �� M���� ��� ��������������� ������� �������������(���-� 20 , 35 52’.a cm α= = °

90 90 35 52’ 54 08’β α= ° − = ° − ° = °

tg 20 tg54 08’, 20 1,38313 27,66 .b

b b cma

β= ⇒ = ⋅ ° = ⋅ ≈

20 20sin , 34,13 .

sin sin 35 52’ 0,58590

a ac c cm

α= ⇒ = = = ≈

°

�� M���� ��� ��������������� ������� ����������� 215 , 38 15’.b cm α= = °

��� ����� � ��$ �3: �� �3� � � �� ����0�� ����� ��$ ����� ����� ���������'�� ��67,465949 .°

+������K� � ����� �� � ������������ ���������� ������� ��� ���������������������������� �� �����

������� ��� �������

����� �$�������� �%������� ���3,2571, � �������������� ��$ ����� ���� ���������'�� ��Y�)�

'����� �

X��������(� 020, 35 52 .a α ′= = ����� �(� , , .b c β

�� M���������������� ����� ���� � �� 24, 32.a b= =

���' �E����� ��

��

Page 110: 093 Matematika 01 - 02

���

X��������(� 24, 32.a b= = ����� �+� ,c α ����� .β

2 232 24 1024 576 1600; 40.c c= + = + = =

24tg 0,75,

32α = = ��� ���� 36 52’11’’.α = °

+����������� ���������� � ������������'������ ��������������� ������������� ��������������� � �� ������

�� M���� ��� ��������������� �������� ����������(

�-� 3 , 4 ;a cm b cm= = ��-� 8 , 17 ;a cm c cm= = ��-� 12 , 37 .b cm c cm= =

� M���� ��� ��������������� �������� �������������� ��E��+�4�.A���� ���������������

36 20’.β = °

X��������(�� 45 , 36 20’.c cm β= = ° ���� �(� ,a b ��� .α

90 90 36 20’ 54 40’.α β= ° − = ° − ° = °

���� cos36 20’ 45 cos36 20’45

aa= ° ⇒ = ⋅ ° ��� �������� 45 0,80558 36,25cm.a = ⋅ ≈

��� ����������� �� ��%����E����� ��������β�

���� sin36 20’ 45 sin36 20’,45

bb= ° ⇒ = ⋅ ° ��� �������� 45 0,59248 26,66 .b cm= ⋅ ≈

��� ����������� �� ��%����E����� � ��������α� ������ � ����%�������� ���� ���������������������� ����� �����

���

�� ������������� ��������������������������������� ��� ��� ���������� ��� ��� ���(�-�A����+�$-�0Q����+��-�5����

B� E��� ��������� �� ������02����,������������� �������������' ��������������������

�7

9

π ��������

�� ���������������� �(��-�02�+����$-�5QD�+��-�35Q�+������-�353�3.L+���� -�0.A�02L�

�� ���������������� �������������������(

�-�6

π+����$-�

3

π+������-�

3

4

π+������-�

7

8

π+���� -�.�����

M���� ��� ��������������� ������� (

��� 23 cm, 38 ;c β= = ° ����� 3dm, 36 52’.c α= = °

�-� 473cm, 16 40’;b α= = °

$-� 25cm, 72 30’.a β= = °

# ��������������� �� (���� �������������������� �� � ��������4�+�-����� �������������������������� ������ ������ ��� ��%����E �� � � �������� �����������������%������� ��� ���� �����%����������������� ��� ����� ��'�� � � �� �� ����������������� ���� ������� ������������������

� M���� ��� ��������������� ������� ����������� 70c = ����� 058 30 .α ′=

Page 111: 093 Matematika 01 - 02

���

��� 12cm, 110cm;a c= = ���� 4cm, 5cm.b c= =

�-� 5cm, 40 ;a α= = °

$-� 16cm, 14 15’.b β= = °

� �-� : 3: 5, 8cm;a c b= =

$-� : 12 :13, 15cm.b c a= =

�� �-� 26cm , 3cm;S a= =

$-� 2180cm , 40cm.S b= =

�� �-� 230cm , 22 37’;S α= = °

$-� 224cm , 53 8’.S β= = °

��������������� � � ������ ����� ������� �

� � �� ��� ��� ����� ��� �������������������� ���������������5A����

������ �������������� ����$<=�

� ��� �������� �����������$<=?�����(� ( ) ( )2 2 12 9 42cm.P a b= + ≈ + ≈

� �� ��� ��� ����� ��� ������������ �$��������4�52���� ������������ �������$���� �� �������� ������α 4�02°3QL�

� �� ��� ��� ������ ����������� ��� ���������$����������� �������4�.Q���� �������������������..°

��������

�������$���$������ ��� �������� ����������7

8?��������� E�7

,��������� E� �'������$��������7

> ��� ��������$������������������� ���� '�����$�E������� � ������ ����������

� �$���������������� ����%����������� ��02°A3L

� ��� (� cos36 52’15

a = ° � � � sin36 52’,15

b = ° � �� �������� 15 cos36 52’ 15 0,80003 12a cm= ⋅ ° ≈ ⋅ ≈ �

15 sin36 52’ 15 0,59995 9cm.b = ⋅ ° ≈ ⋅ ≈

1AC C� ������������ ���������������� ��� � 2 sin 22 ,40

a

= ° ��� �������

40 sin 22 ,2

a = ⋅ ° ��� ����� 2 40 0,37461 30cm.a ≈ ⋅ ⋅ ≈

�� ��� ���� 2 30 2 40 110cm.P a b= + = + ⋅ =

���� cos22 ,40

h = ° ���� �� 40 cos22 40 0,92718 37cm.h = ⋅ ° ≈ ⋅ ≈

Page 112: 093 Matematika 01 - 02

���

� ,����� ��� ����� ��� ���������$���������� ������������4�5.������ ����������$�E�������AQ°�

� ������� E���$������������������+�$�E�� ���� ���4�.3��������������������$�E �α 4�.6°3QL�� ����+�4�3A������ ��$�E����� ����� �����������

������E����������� �'������ (� �����-������ ������������-� �#

������ �������������� ������������������� ������ �������(

25 sin 47 20’ 25 0,73531 18,4 .h cm= ⋅ ° ≈ ⋅ ≈

25 cos47 20’ 25 0,67773 17 .x cm= ⋅ ° ≈ ⋅ ≈

�� � �� �� ����������������� E�������(

18,4h cm≈ ���� 42 2 17 8 .b cm≈ − ⋅ =

� ,����$�E��� ������� ����������� ����� E���$������������ (�$�E����� ���� ������D2�������������������$�E �A.°�� ������6Q���

� ������������� �������'���� �� ������������53QQ�������������������������� �������������� � � ��������� � � ���� � ����������� ���������$������������ �'�������������� ����� ����������������� ������������� �� �� ����������������� �������� �������������5D°0QL�� ��������� �� ���������������$����� �� � �'� 7� <�����E������-

��� ����� ���� ��������� ��������� ������� ��

� ������������������� ��� ��� ��������

������ ���������E���������� ctg18 30’,1200

x = ° ���� �

��4�53QQ�U����5DR0QL�a�53QQWU�3�PDD2Da0AD2�.��

�� ���������� ������ �� ������������������������� ��AQQ����<�������$ � ����������-

Page 113: 093 Matematika 01 - 02

���

# �'������'��������� ���� ������ �����������������(

���� ��� 45AC m= � � � ������ β 4� 3AR�� ,����� ������� �������

���� ��E������ ����� � ������ � tg 25 ,45

BC = °

�� �������� 45 tg 25 ;BC = ⋅ °

�� ,������ ������� ��������������� � 100 , 20 .AC m β= = °

�� �������� �� ����E����������� �������������� ������ � �����������4�.�A���@��%������ �� ���������3Q��� �������������� � �����������&� ����7�<������E������-

4,5tg 0,225;

20α = = � 12,68038 12 41’.α ≈ ° ≈ °

�� �������� �������%�������������������� ���������"�4�5�3����������������������������<���� �����-��������������������������������������E���� ����� ��� ��� ��������� ������$������������<���������-��4�56���

������E����������� �'������ 0,17

sin 0,14166,1,2

α = ≈ ��� ����

8,14430 8 9’.α ≈ ° ≈ °

�� ,����������� ������� ��������� �������� ���������Q�DA������� ����������������50��

(�

���

� �� ��� ��� ����� ��� ��������������������� ���������������3A���� � ������� �$��������������� �%����������� ��02°3QL�

� �� ��� ��� ����� ��� ������������ ������������������� �� ������� � � ����� 2.°.QL� � ������������7+�#

� ,���������� ��� ���������$����������$�E� ���������������.D����� ������0Q����

� ,����� ��� ����� ��� ���������$����������������� �����5A�A���� ���������$�E���00°�

� J�E��� ����� E���$��������������5A����� 53�3�����������������.����,�������� �� ���� E���

,����$�E��� ������� ����������� ����� E��$������������� �$�E����� ���� ������D2�����������������$�E �A.°�� ������6Q�

'&�*

0, ,BC ≈ ⋅ ≈��� ����� �� �

Page 114: 093 Matematika 01 - 02

���

� ��� ������� ��� � ���������������������#��

��������

8�������������7

������F�%������ ���������������� �� ���������L��'�� �����������������%�

( ),M x y

'

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩

����� � ����� � ������ ������� %�E������ ��������� ��� ���� ������ ���� ���� ���� � ���������������� �������������� ����

��� ��E�� ���������� ���������������K� �������� � � �������� �� ���� ����%�� �� � ����� '��9�������������� �PQ°L�� ������� �����9��� � ����� ;������������� �$��������� ��� �����'��� �����������9���������;(�����5Q�������������� ��)2Q°+��������������������� ��)02Q°+�����3.����������� ��3.�⋅ <)02Q°-�4�)D2.Q°�

� ����'������ � ������������ �+

�-�225 , 390 , 870 ;° ° ° �$- 45 , 210 , 660 .− ° − ° − °

�� ��$�������� ����� �� � ��$��� ��� ������� �� ����������03����� �2Q����

� "������� �� �� ��� E ���4�P����������� '������� ������ ������������� ���' ���� � ����������������4�.5��,������������ ������� �� � �

���������������4�5A��� ����E��������������� ������ ��������������α 4�A0°DL��,����������������� ��������

��

��

��

��

��

��

���������������� ��� ��'�� �%����$� ���� �����������4�P����� ��� E �� ��� ������ ��E�����%�����������α 4�53°.5L�

�� ������������ �=��������%�$��������� ��� �������@�� ����������������������62����� �����E����������=������ �����������<������� �� ����-��� ��3D°�

& ��� ��� ������ ���������$�������� �������� E����%����� ����������3A�������������� ���� ������ ����������������������AD°7

��������� ��������� �� �% � ��� ������������5AQ������ ��������������������� �� ������P°� ����������� ����� ���������� ������������

8%������������ �%�������� ��������������20������ � ������ �� ������ �� ���� �E���� �� ��� �����������A°AQL�

,�������������� ��������������� � � �� � ��������������E�����

�����������������%����������L����� ���� �F�%������ ��������������� �� ���<���3-���������������$�������������3�Y�������� �������� ����� ����������$������'� ������������ ������ <������E������-�

Page 115: 093 Matematika 01 - 02

���

870°

$- 45− °

�-225°

390°

210− °660− °

> �� ���������������E������������������������������������������������� ������������������� ���� ��������������������������������������������������������������� ��� ��������������� �� �����������'�������������� ������ ��

B�����������������%��� �������������� ��������� ��E���� �� �� ����� �������E��������� �������-������� �������"��������� ���������������"������������������ ������$-���������������������/�� ���������������������

� K�����E����� �������$� � � ���������� ���� ������'�� ��� ���� ��������������%������ � ������ ���� �������� � ���������� ���� �PQ°�� ����� � �� ����� ������'�� ���� ���+������

������� ���������������'3���E�������� ��� ��� E ����4��5��K������� ���E�'α� ��� ���� �������������@<�α��3α-�� �%���������α�� ��� �����E���� ���$�����'�

������ �������������� ����'@@�?��� ��� (

���� sin , cos .1 1

y xy xα α

α αα α= = = =

� ���������������(��-�6DQ°+��$-�)553A°+���-�356Q°�

( ),M x yα α

sinα

cosα ��� �

� ���

( )0, 1−

( )1,0−

B� ���� �' ��������%�������� ����� ��������������� ��� E �� ���������5�'� �� ���� �������� ���

���$�E���������������������L�������������%�E�� ������ � ������������ �������� �����������������(

+������������������F%���������������$���$������ ���������� ��������������������������������������� ��� ���� ���������� �������� �����������α 4��3α#��������������������F%���������������$���$������ ��$������ ��������������������������������������� ��� ���� ���������� �������� ����������α �4���α#

���������%�E�� ��� ���� � ��������� ���������� ���� �PQ°����� � ��������� �� ����� �

���� ���� ���� ���� ������������������������������ ��� �������� �� ��������������� ���7������������$���������������������� � (

Page 116: 093 Matematika 01 - 02

���

� �# �������� ��� ���������� ������������ ���� (

�-� sin 600 , cos600 ;° ° �$-� sin 780 , cos780 ;° ° ��-�sin1110 , cos1110 .° °

$-�- �-

sin 600 0,87° = −cos600 0,5° = −

sin 780 0,87° =cos780 0,5° =

sin1110 0,5° =cos1110 0,87° =

��������� �$�������������� ������� �������� ���������� � �%������ � ������� ���� �������� ������������ ����+

( )sin 600 sin 240 1 360 sin 240 ,° = ° + ⋅ ° = °( )sin 780 sin 60 2 360 sin 60 ,° = ° + ⋅ ° = °( )sin1110 sin 30 3 360 sin30 ;° = ° + ⋅ ° = °

( )cos600 cos 240 1 360 cos240 ,° = ° + ⋅ ° = °( )cos780 cos 60 2 360 cos60 ,° = ° + ⋅ ° = °( )cos1110 cos 30 3 360 cos30 .° = ° + ⋅ ° = °

����� �� � ��������������������������������������(( )sin 360 sin ,kα α+ ⋅ ° =

( )cos 360 cos .kα α+ ⋅ ° =

�������������������������� ���������)�4�Q��̂ �5��̂ �3��������������������������������� ��QR�� ���02QR�����

0 360 .α° ≤ ≤ °

� # �������� ��� ���������� ������������� ���� (��-� sin30 , cos30 ;° ° �$-� sin120 , cos120 ;° ° ��-

sin 210 , cos210 ;° ° ��-� sin 320 , cos320 ;° ° � -� ( ) ( )sin 120 , cos 120 .− ° − °

������������� ���� �@%�α��3α&������������������@<��α�����α-������������������α�

�� �� ��

sin30 0,5° =

cos30 0,87° =sin120 0,87° =

cos120 0,5° = −( )sin 120 0,87− ° = −

( )cos 120 0,5− ° = −

� ,������ ���� �%������ � ������� ���� ����α�� ���α�������� � �Q°��PQ°��5DQ°��36Q°�� �02Q°�

Page 117: 093 Matematika 01 - 02

���

��� � "�E������� ��� �(120 , 120 , 540 ,° − ° °

540 , 750 , 750 .− ° ° − °"�E����� ���������� ������ ����������������

1 2 3, ,M M M � � � 4 ,M '�� �� �������� �� <� ����-����� � �50AR��05AR��).AR��)50AR

� # �������� ��� ���������� ����������� ���� ��-�sin90 , cos90 ;° °$-�sin180 , cos180 ;° ° ��-� sin 270 , cos270 ;° °�-� sin 360 , cos360 .° ° � �� ����� sin 0° � � cos0 ?°

� ���� ���� ��450 , 164 , 3000° − ° ° �� �)�5QQQ�

�����������%���� 360 ,kα + ⋅ ° 0 360 ,α≤ ≤ °.k ∈�

# �������� ��� ���������� �������������%��������� ���� ���-�sin54 ;° �$-�cos178 ;°�-� ( )sin 370 ;− ° ��-� ( )cos 198 .− °

�-�1 cos1800;

1 sin1800+ °− °

�$-�0sin 45 sin 405 sin 765

;cos 45 cos405 cos765

° + − °° − ° + °

�-� cos360 cos750 cos1110.

sin360 sin 750 sin1110° + ° − °° + ° − °

���� ���������� ����� ���������� �����

�������*

��������������������������������������������������������� ����������������������� ����������� �������α���� �����������α������%����������������α.��������������������������������α�������������������������� ����������������������� ����������� �������α���� ����������α�������%����������������α���������������%����������������������������������������%��������������������

( )sin 90 cosα α° − = ����� ( )cos 90 sin .α α° − =( )sin 360 sinkα α+ ⋅ ° = �� � ( )cos 360 cos ,kα α+ ⋅ ° = ����k ∈� �� �0 360 .α° ≤ ≤ ° �������������� �����

02Q°�<� �3π��������� -���� ���� ���������� ������������������ ����� ���������������� �������������%������ �� ����� �� �� ����� � �� �D402Q°�<D3π-� �����%�������������������'�� �������������������� �<� �%�����-����$ ��� �� ����%�� �

��� �1

2,2

y x= − ���������$ �����

� �2−

"�E������%����� �%���������1

2.2

y x= −

,������ ���� ���� � �(

�������$���E�� ��� ������ �����F��02Q°���� ���� ���������� ������������������ ������������� ��� %������ �������� ���� �������� �������������%���������� ���������� ���������� �D�4�02Q°�

� ,������������ ��$���E�� � ����� � ��������������(��-�sin 450 sin90 ;° = ° �$-�cos380 cos20 ;° = °�-� sin500 sin 50 ;° = ° ��-� sin 750 sin75 ;° = ° � -� cos1140 cos60 .° = °

� �� ���� ���� ���� � ��1 cos400.

1 cos40

+ °+ °

�����'� ( )cos400 cos 40 360 cos40 ,° = ° + ° = ° �� ���1 cos400 1 cos 40

1.1 cos40 1 cos 40

+ ° + °= =+ ° + °

Page 118: 093 Matematika 01 - 02

��

��

6π3π

2

π3

π6

π 3

2

ππ 2π2

3

π 5

6

π 4

3

π 5

3

π

1−

'

� K�������E�������������%��������%������ � �������� ��������������� ���� ���������� ��'3������� ������%���������������������� �������� ��������� ��������������������������������������

��� ���� ������������� ����������������� ��������� ��������������� �$����������������4�3��� ���� �����������3������������������������������������ �������� ���� �F��������� ���"� ���� �%������ � �������������� �3���������%������ ���

siny x= ���������� cos .y x=

� ��������$ ���� �%��������� siny x= ���� �3 5 3 7

0, , , , , , , , 2 .4 2 4 4 2 4

xπ π π π π ππ π⎧ ⎫

⎨ ⎬⎩ ⎭

���������

'4

π2

π 3

4

π π 5

4

π 3

2

π 7

4

π2π

' 2

2� 2

2' 2

2− 1− 2

2− '

"�E�������� ���������� ������ ��� E ���4�5�������������������������������������������� �� �������E�� �������F%��������

� "�E������%����� �%�������� sin .y x=

K��%����� �%���������������������������E������� �$���� �� ������ ��������������$ ����# ���������$����� ����� ������ ���������� �� ���������'���� ���� �%������������������� ������� ��������������������������������������������%������������E������� �������� ��� ���������� �������������������� � �

K��������� ��� �������������' �������$�������� ��������������4�5�� ��� 2 6,283185...,L rπ= = ��� �������

2 6,π ≈ ������������������������������ ����$�������������������� � 1.3

π ≈

:��������� �����������%������%���������3�4������'� ������������

�����

Page 119: 093 Matematika 01 - 02

��

x 0

0 0

2π 3

2ππ 2π

1−

� "�E������%����� �%���������3�������������� �������ZQ��3π[�

K��%������������E������� ����� �������� ������ ������� ������ �

cos x 1 1x

π

1

1−�

y

#������ ��������������� ���� �������� �� �� =���������� ��������%����� �%���������3������������∈ZQ�3π[��������E������� �������� ������ ������� ������ ����%������������ ������������� ������������%�����������E ������������ �������������������E�����

x

sin x

0

0 0 0

2π 3

2ππ 2π

1−1 �

1−

1

2π π

32π

*��������3���������������� ��(

1° ����������%�E������%��������������� �����3����������� ��� �����������������������F��������� ����� ������������F���∈<)∞�/∞-�

3° �*�������� 3����� ����� � ������� �� ����� � � �� �D43π�� �� �������� ( )sin 2 sin ,x k xπ+ =

0, 1, 2,...k = ± ±

2° �*������� siny x= ����������%�E������� �������� 1 sin 1.x− ≤ ≤

4° �M ��� �%������������ ���������� �� �� �/��2�)*���������� �$�����������(��... , 0, , 2 , ...,π π π− ��� �������

0y = ����� ( ).x k kπ= ∈�

5° �"� ����������� � �%���������3����������5�� �%�� ������3 5 9

..., , , , ,... ,2 2 2 2

xπ π π π⎧ ⎫−⎨ ⎬

⎩ ⎭∈ ���� �������

max 1,y = ����� ( )2 .2

k kxπ π+ ∈= � �� ������ ��������5�

6° �"� ���������� � �%���������3����������)5�� �%�� ������3 7 11

..., , , , ,... ,2 2 2 2

xπ π π π⎧ ⎫−⎨ ⎬

⎩ ⎭∈ ��� �������

min 1,y = − ����� ( )32 .

2k kx

π π+ ∈= �

Page 120: 093 Matematika 01 - 02

���

*��������3��+������������� ��(

1° ��X�����������%�E��������� ������������� ���

2° �*��������3��+�������������%�E������� ��������)5�≤ �+������≤5�

3° �*��������3��+���������� ������� �� ������ � �� � 2 ,T π= �� �������� ( )cos 2 cos ,x k xπ+ = .k ∈�

4° �M ��� �%������������ ���������� �� �� ����%������������� �$�����������(�3 5

, , ,...,2 2 2

...π π π− ��� �������

cos 0,y x= = ����� ( ).2

k kxπ π+ ∈= �

5° �"� ����������� � �%�������� cosy x= ������������ � { }..., 2 , 0, 2 , 4 ,... ,x π π π−∈ ��� ������� max 1y = ����

( ).2 kx kπ ∈= �

�" ��������� ���������� �������E������� ����%���������������� ���������������� � ������������������ ������ � ����������������������� �3π��K� ����������� ��� ����%��������� �������� ����� ���� �

[ ] [ ] [ ] [ ]..., 4 , 2 , 2 ,0 , 0,2 , 2 ,4 ,...π π π π π π− − − ������ ��� �������������������� �������ZQ�3π[������E����������E��������-�� ���E�������$-��������������%�����?���� � ;����%������ � � sin ,y x=�� ������� cos .y x=

2

π 2ππ

x

y

3

2

π

2π− 3

2

π− π−2

π−52π 3π 7

2

π 4π

y

� x2π− 3

2

π− π−2π−

2

π π 32π 2π 5

2π 3π 7

��

$-

)��"� ���������� � �%�������� cosy x= ������� 1− ����� � { }..., , 0, , 3 ,... ,x π π π−∈ �� �������� min 1y = − ����

( ).2 kx x kπ ∈= + �

"�� �� ����%����� ���������� ����������������������'������ ����� ����������+�������� ��� ����� ��E���� ���� �������� �� ����� ��������������

"�� �����%������%���������3�4��������������%�� ����� ����%����� �%���������3�4������� �9E� �����;������

���������$������������� .2

π

Page 121: 093 Matematika 01 - 02

���

K��%����� ���������� �������������������'������ ������ ���������+�������� ��� ����� ��E�� �� ���� ��������� ���������������� �

� ������������������ ���������������� ���E���%������ ��3��������� �3��+������������ �������Z)3π�.π[��8������ �7

���

� "�E������%����� �%��������(�-� sin ;y x= − �$-� 2sin ,y x= ��-� 1 cos .y x= +

������������ ���<���������-��������� �������%�� ������������� ������ �<E �����=�� ����-���%��������(�-� sin ;y x= ��$-� cos ?y x=

� !����"��� #$%����$%#& �% ��

��1

cos ,2

y x= ��� 1 sin ;y x= − ���� cos 1.y x= − −

� � "�E������%����� �%��������� cos .y x= −

1−

'

2π π 3

2

π 2π

cosy x= −

� "�E������%����� �%���������1

sin .2

y x=

1−

'

2π π

3

2

π

1sin

2y x=

siny x=

� "�E������%����� �%��������� 1 sin .y x= +

1−

'

2π π

3

2

π

1 siny x= +

siny x=

Page 122: 093 Matematika 01 - 02

���

�������������������� ���

� �����E������� ,ABC MN ABΔ � � .NP AC��-� ���� ����������� �7$-�,������� ����� ����������������������� ����� 7

� �

� �

�� ��� � ( ) ( )0 0sin 35 cos 35 ,α α+ = + ���� ���α � (������-�0A +����������$-�AA +���������-�5Q +����������-�Q �

� ,������ ���� ���� � ��( )20 0

0 0

sin30 cos60.

tg 45 ctg 45

+

+

� ,����cos , tgα α �� �ctg ,α ���� �5

sin .13

α =

� >� ��� �$���E����������������� 2 22 2

1tg ctg 2.

sin cosα α

α α= + +

� ,������ ���� ���� � ��sin cos

,sin cos

α αα α

+−

���� �5

tg .4

α =

� ,������ ����� � ����� � �������������(��-� 0tg35 1;> ����$-� 03 tg10 ;< �����-� 01 tg46 ;< �����-� 0ctg1 1.<

B���������������������������(

�-� 0 0 0sin 48 , sin 75 , sin 20 ; $-� 0 0 0cos50 , sin 60 , cos10 .

��������� ��02�3.A°�������� �������������������� �� �����

�� K�����</-�����(��-�5Q�)���+������$-�5QQ�)���+�������-�2Q�)���+�������-�PQ�)������ ��� ������������� ����

�� ����� ����� ��� E �P������������ '�������� �� ���� �������� ������������� ����' ���� ����4�.5��,���������������� ������� �� � �

+ −

− +

+−

− +

+−−+

+

−−

+�- $- �- �-�� # �����$���������� ����������������� ���

��E���������������������� ������� ���������������������������������� ���� �%���������������

�� M���� ��� ��������������� ������� � 230 cmS = �� 022 37 .α ′=

�� ,������ ���� ���� � ��0 0 0

0 0 0

cos360 cos750 cos1110.

sin 360 sin 750 sin1110

+ −+ −

�� Vizato grafikun e funksionit y = sin x - 2.

Page 123: 093 Matematika 01 - 02

���

����� ��� �������

*�'���� ���E������� ������� �%�'�E������%�'�� ���������������������������

�� � ��������� ������� �����������

#$� ����� �E$������ ������ � ����

*���������������E�����������������

M$�������������� � ���� �E$�����%���������������E�����������������

M$������������������ �E$������ �%����������������$����������������

�� ���� �����������������$������ ���%�������������������$����������

>� �������� $��� ��M�� ������ ��� ���������������������������������������������

��

��

��

�����

���

���

���

������

�� ����� �� ��� ������� $��� ������ ����� �������������� � �����������������������

M$������������������������E� ������ ������� ��=� ��������E� ���� ���$������������������ �����������������

��

���*�'��� ��� �� ��E ��� ���������������� ����������������������������������������� ��

� �2a b� 2 22a ab b� �

�����

�����

�����

�����

�����

�����

�����

����������

����������

����������

& ������������ � �� ����� ������������ ������������

���������� ��������� ������������������

Page 124: 093 Matematika 01 - 02

���

��� ��������� � ������� � ������ � � � ���� ��

�������* � : ����� ������������������ ���

���������⋅�������� ����������+���������⋅�⋅�� ����������+� ���

��� � ��� %���� ��� �������� ��������⋅�⋅�⋅�⋅������ �����������������E� ��

������������ ������ ���� ������$�"�� �%�'���� na ���������������������≥�3�� ���� ������� ������%� �������������� ������ ���$�E������E ��� � �� � ��

��������������� ... ,n

n

a a a a a⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =����� ����� ,a n∈ ∈� � �� 2n ≥ �

� ����'�������%�'������� �(�-� x x x x x⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + $-�( 3) ( 3) ( 3)− ⋅ − ⋅ − + �-�

3 3 3 3

4 4 4 4⋅ ⋅ ⋅ + �-� ( ) ( ) ( )x y x y x y+ ⋅ + ⋅ + �

� ����'�������%����������������������E� �� �����������%�'���(�-� 53 + $-� 40,2 + �-� 4( 7)− +���-� 3( 1)x − �

����������%�E�����%�'��� ����������� ��� �� ��5������� �����������K� �������� 1a a= +������ �$���(� 1 1 1( 5) 5; ( 1) 1; ( ) .x x a b a b− = − − = − + = +

�����

1( 1) 1− = − ��� 2( 1) ( 1) ( 1) 1− = − ⋅ − = �� 3( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 1− = − ⋅ − ⋅ − = − ���� 4( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 1− = − ⋅ − ⋅ − ⋅ − = �����

2( 1) 1k− = �� �( )2 11 1

k −− = − ������� ������ .k ∈�

� ,������ ���� �%�'�� (��-� 2002( 1)− +�����$-� 2003( 1)− �

������P������������� ����� � � � � � � 23 3 3⋅ =

@����� ������������������������ ��������������������P7������������A��� ���� �������������������������������A�⋅ A�⋅ A� ����������������������������������

3⋅3⋅3⋅3⋅3�

��$������� �'������%� ��� �����' ���������������������������������������E� �������������

Page 125: 093 Matematika 01 - 02

���

��������

�������� ������ �� ����� � ���� ���5�

��������� �� �����%�'�������������������7

���������⋅ �������� �� �����%�'���A�

��������� �� �����%�'����������������⋅��⋅��7

! ������������<��≠�Q-������ �� �����%�'����0�

��������� �� �����%�'���������� � ����⋅�������<��≠�7-7

� >������E����%�'����� �� ���������∈B+����∈��

� ��(

� ...m

m

a a a a a= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅����� �� ...n

n

a a a a a= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅����� �

�������������� ...m n

m n

a a a a a a+

⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅����� ���� �������

m n m na a a +⋅ = �

&�������%�'����� �$�E����������������E ������'�� $�E� a ∈� �������� ��� ������� �� �� ���� %�'�� ,m n∈��$��� ��

� ,��������� �(

�-� 5 7 8x x x⋅ ⋅ + �����$-� 6 2610 10⋅ + �-� 4 5( 3) ( 3)x x− − + �-� 3 4( 4) ( 4)− ⋅ − �

�� �������

m n m na a a+ = ⋅ �����F%�����a ∈� �� , .m n∈�

� �������������� �� �����E������������ �� ��� ��$���E���� :m n m na a a −= ��� ��� �� 0a ≠ � m n> 7

� Njehso: a) 6

2, 0

xx

x≠ ; b)

11

8

( 3), 3 0

( 3)

aa

a

+ + ≠+

.

�� �������

( )0m

m nn

aa a

a− = ≠ �����F� , 0a a∈ ≠� �� , .m n∈�

�� ����������������'�� �������%������������������� ���������%�'�� �

(� �������.�����/!��������������� �8���������*���������3�����%�!����*����&��������������������3�����/��8������������!������������ �H����#

���$���E����� � �%��������� ��������� �$����� 5 3 2 4 2 3 4a a a a a a a a a= ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅

( )0m

m nn

aa a

a− = ≠ ������������ ��� ����� �����%���������� �$�����

125 12 7

7

aa a

a−= = ����� 0a ≠ �

Page 126: 093 Matematika 01 - 02

���

��������

3A A A A� � � ����� �2A x= ��%�����

���� ( )32 2 2 2 6.x x x x x= ⋅ ⋅ =

���������� �nma 7

E���� ( ) ... .nm m m m m

n

a a a a a= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅���������

@�� ��( ) ... ,nm

m n

a a a a a⋅

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅����� ��� ��������( ) .nm m na a ⋅=

��� ���������� (�� .....m

m

a a a a a= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅������� &

J���E��� �%������������� ���������%�'�E����� �%�'�������� , .a dhe m n∈ ∈� �

� �� � ������ � �����'�������%�������%�'����� �$�E���(

�-� ( )54 ;x ���$-� ( )102 3 ;x x �����-( )32 7

8.

x x x

x

�� �������

����F%������a ∈� �� � ,m n∈� �� ��$���E��� ( ) ( )n mm n m na a a⋅ = = ���@����������� ������������� �����������������

��������

3a a a a� � � �3 ,b b b b= ⋅ ⋅

( )33 3 .a b a a a b b b ab ab ab ab= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =

���E�%�'���� 4 4 4.x y z⋅ ⋅

33

3.

a a a a a a a a

b b b b b b b b

⋅ ⋅ ⎛ ⎞= = ⋅ ⋅ = ⎜ ⎟⋅ ⋅ ⎝ ⎠

! ������5 5

5

x y

z������� ����%�'��� �$�E�� .

xy

z

: ����� ��� ...m

m

a a a a a= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅����� �� �... .m

m

b b b b b= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅����� ������������� m ma b⋅

� ��(�� ... ...m m

m m

a b a a a a b b b b⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =����� �����

( ) ( ) ( ) ( ) ( )... .m

m

ab ab ab ab ab= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =�����������

&������������� ( )mm ma b ab⋅ = �� � .mm

m

a a

b b⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

��������������m

m

a

b�� ��

...

... ....

mmm

m

m m

a a a aa a a a a a

b b b b b b b b b b

⋅ ⋅ ⋅ ⋅⎛ ⎞= = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⎜ ⎟⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⎝ ⎠

�����

����� �������

>� ������ � �(�������-�2 6

;3

x x

x ��$-�2 3

5

3 4;

2

x x

x �-�5 5 5

5

2 3 4.

12

⋅ ⋅

���� � �$���(� ( ) ( )3 412 4 3 4 3 ;a a a a⋅= = = � � � ( ) ( )6 212 2 6 ;a a a= = � � � ( ) ( )1 1212 12 1 .a a a= =

������������������������ ( )34 .x

Page 127: 093 Matematika 01 - 02

���

�� �������

J���E���(�( )m m mab a b= �� �m m

m

a a

b b⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

H������ ����������%�'�E����� ���������� � ������

�� ��� � �%�'�E����(����-�5

;xy

z⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

�$-�53 2

5;

x y

z

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

��-�32 3

4 5

2.

3

x y

a b

⎛ ⎞−⎜ ⎟

⎝ ⎠

���

� @��������� ���A���%�'�7

� ,������������ ������ � ������������� ���-�( )7

2 0;− < $-�( )403 0;− <

�-� 4 7 0a b < ����� 0, 0;a b> <�-� 7 20 0a b > ���� 0, 0?a b< >

� K� � ��� ����������� �3�'������ �����������$�������(�-� 2002 1;x = $-� 2001 1;x = −�-� 1 4;x = − �-� ( 3) 27;x− = − -� 3 3;x y= %-�2 2 .x y=

� ����������� ������'�������%�'��� �$�E��5Q(�-�5QQQQ+ $-�5QQQQQQ�

� ����������� ������'������������������������������ �%�'�������$�E��5Q(�-�6QQQ+�����$-�63QQQQQQ+������-�0.6QQ�

� ����������� ������'����������������������� ���� �%�'����5Q���-�0P6.+������$-�Q�A2A0+������-�0A�

� ����'�������%�'��� �$�E������� � �(

�-� 3 4 5 ;x x x x⋅ ⋅ ⋅ �����$-�6 7

8;

x x

x������-� 8 3 2: .x x x⋅

��� � �%�'�E����(

��- ( )( )322 3 4 ;a a a⋅ ⋅ ���$-� ( )( )432 .a

����������%�'��� �$�E������� � �+

����-� ( )33 2 10 2: ;a a a a⋅ ⋅ ����$-�( )( )( )

652 3

108 7.

a a

a a

�� :�������������������������� ���+

�-�3 3

3

4 12;

24

⋅ ��������$-�3 63 2 125

.1000

⋅ ⋅

�� ,������'��$���E�������� �����������(

�- 3;xa a� $-�( ) ( )2 34 ;xa a=

�-�( ) ( )5 43 7 3 ;xa a a a⋅ = ⋅

�-�( )( )( )432

42 412

: .xa

a a aa

⋅ =

M$���������� ���������%�'����������%����E�������� ������$���E������ � (�-� 2 22 2 4 4 16;⋅ = ⋅ = $-� 2 22 2 2 2 2 2 16;⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = �-� 2 2 2 2 42 2 2 2 16;+⋅ = = =

�-� ( )22 2 22 2 2 2 4 16;⋅ = ⋅ = = -� ( )22 2 2 42 2 2 2 16.⋅ = = =

�-�X�����%����E������ ��������������E������%�'�� �� ��� �� ������������

Page 128: 093 Matematika 01 - 02

��

����������� ������� �����

��������

��$� �� 12, 2, ,...

2������������ �

��$���<�������� �$���+����������3���-������������ ������ ���� ����$����������$� �� ��������������� ����� �'� �����3������ ��'� ��$��������������������� ����� �������������� 7,���������� ������� �� 7

� � �������������� � ���� ��������������� ��� ������� ���������

�������� �� ����� �� +��$� �� ���E$���� ��� ����E��������� �%�'�E������ ��� �� ���������������

2 3 236 3.

4a b ab− −

��� ��� � � '� �� ��� ���� �������������$ ���� ��������

� �������������� � ������������������������������ ����� ��� �� �%�'�� �

2 3 42.

3a b c− � �� ��� ���������������� ����� $��� �'� �������#

�,������������ � ������ � ����� $��� ��������� (

�-� 23 ;a b− �����$-� ( )2 23 5 ;x y xy− ������-�23

;x

y������-�

53;

5

x����� -� 23 4 ;x y− �����%-�6+����� -���7

#����0�������������%������� ����#

@������������������0����⋅ �����%�������� 7

> ������A����+��������A���������%�������/����+���������� �� ���� �/���������������+�

�����%�'����������� � ������ ������� �� �

>� �� ��������������3��� ������� ���� �3�����.�/�A�4�P� ��������� �� �����������3��,���3�,� �,�� ������ ���� �37#�� ��������� �-I������������������� ������'��������� ������ �� �����������

#$��� ��� ������� �� ������� �������'��$��� ��� %��� �� �� ���� ������ ��� ������ �� ������� ��

,���� � %��� ����� � � �� ���� ��� �� � ����� � (� 2 2 4 33

3; ; 3 ; .4

a a a b

�������� � � : ����� ����������� �(

3 3 2 22 , 3 , 5 , 7.A x y B x y C xy D= = − = − =� �� ��(

�� �������

���� ��������������%������������ � '� �� ��� ���� � ����� ��������� � ��������<#�� ��� �� ���������� -�

"�� (� �� � ��3

y

x + �� � 3 5

5x xy

x− +

−���������

��� � ���������������� �� ���������������

��� 3x ≠ − ���� �������� 5x ≠ �

#�� ������(�������� ��������� ��� ���� � ��'���������������������� ��� �%�'�� ���������� � �

�-�$�� ��3����������+

$-�$�<�� ��3��%-���3�&������$���+

�-�$�<�-�=�� ��3����%-���3�&�-�%-��3&�����������+

�-�$�<�-�=�-�?�� ��3����%-���3�&�-�%-��3&�-������

������

Page 129: 093 Matematika 01 - 02

��

�� ���� ������� ��� ������� � � � ( )2 5x x + �� 3 5x x+ ������-� 0;x = �$-� 3;x = ��- 1;x = −

�- 2,5.x = �8������ �7����� 1x = − �� ��(� ( ) ( )2 5 1 1 5 6x x + = − ⋅ + = − �� 3 5 1 5 6.x x+ = − − = −

�� �������

�� � ��'��������� ������ ��� ���������������F���� ������������ � ��� ��$�����������������%�E����'� ����� � ����������������� �J���E��� ������� � � ��� ���� �������� �'� �����������#0� �������������������� ��� �� �� ����%�'�� ���������� � ������������ ����������������������� ���� �� ��� �������%�'��E �����������������%���������� ���� ������������� �� ���������������� ���������%��������� �0� �������������<���%��������� -������ �$���$������ �%�'���� �������'�����%�'������������ ���� ����� � �'�� ����$���������

� ����� ����%��������� ��������� 2 27 3 4 2 5 .M x y xy y x y x x x= − ⋅ − + ⋅ − � �������%�'�� ����7

��� � ���������%��������� ���� �(

�-� 23 ;x y xy⋅ $-� 2 2 32 .xy x y xy⋅ ⋅

� ,���(�� %��� �������� ������� �� �� %�'���� ���� � �� ������� ���� �3�

���-� 3 43 ;x y z $-� 32;

3x y− �-�� 1

3 .5

� �� ���� ������� ��� ������� � � (

�-� 2 3 3 43 4a b a b− ����� 2, 1;a b= − = −

$-�3 3

2 2

a b

a ab b

−+ +

����� 2, 1.a b= = −

� ������������� ���� � �$���E���(

�-� ( ) { }2 3 22 2 2 4 , 1,0,1 ;x x x x x+ = + ∈ −

$-�( )2 2 22 3 4 6 9 ;x y x xy y− = − +

{ }( , ) (1,0),(0,1), ( 1,1) .x y ∈ −

� ����� �� �����������������%��������� � ������%�'���� ���� (

�-� 2 3 22 3 5 3 ;x x x x x− + − + −

$-� 2 2 2 22 2 2 3 5 .x y xy xy yx y x− − + −

������������� ������� �����

��������

����� ��@����� �.�-�����$� ��������'�����$� ������� �� ������� ���� �������

2 .M N a b a b a+ = + + − =#$���������� � 2A a b= − ��� 3 .B a b= +

� � ,�����������M N P− + ����� � 2

2

2

2 3 1,

4 5 3,

3 8 7.

M x x

N x x

P x x

= − + −= − += − − +

���E����� ��

Page 130: 093 Matematika 01 - 02

���

�������(� ( ) ( )2 2 22 3 1 4 5 3 3 8 7 .M N P x x x x x x− + = − + − − − + + − − +:������ ��������������( 2 2 22 3 1 4 5 3 3 8 7.M N P x x x x x x− + = − + − − + − − − +#$�������� �� ������� �� ������%���(

����������������������������������������������������������� 29 3.M N P x− + = − +# ����$����@��@%�&���������������� ������� ���# ����$����A��A<���3-��������������� ������� ���� ��## ����$����J��J%�������-���������������� ������� ������� �+#

��������

#����� ����� ����E �� ����� '�� %��� �� �� ����E �� ������ �� ������� ������E����� ��������� � � �������������� ������ �� ��������� ������ ���������E����� �%�'�� �

�� ���������� ���� �

���� 2 33x y �� � 3 45 .x y−

� H�������������� �(�� 2 2 2( ) 4 2; ( ) 3 4 5; ( ) 2 7 6.M x x x N x x x P x x x= − + − = − + = − − +,�����������(

�-� ( ) ( ) ( );M x N x P x+ − $-� ( ) ( ) ( );M x N x P x− − �-�2 ( ) 3 ( ) ( ).M x N x P x− +

� � �� ���������� ���� �

� 3 42

3x y− �� 4 53

.4

x y z−

��������

������E����� %��� �� ��� �%�����(

2 3 1;

3 4 2⎛ ⎞ ⎛ ⎞− ⋅ − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠����������� ��� ���� �� �����(�� 3 4 4 5 7 9 .x y x y z x y z⋅ =

���������������������� 7 91.

2x y z

���������������������� ������� ���(�� 3 4 4 5 7 9 7 92 3 2 3 1.

3 4 3 4 2x y x y z x y z x y z

⎛ ⎞− ⋅ − = ⋅ =⎜ ⎟⎝ ⎠

� �� ������� �(����-� 2 3 4 2 25 3 ;a b c a b c− ⋅ �����$-� ( )5 6 429 ;

3a b a b⋅ − �������-� ( )4 4 3 33 2

7 .14 3

a b a b ab⎛ ⎞⋅ − ⋅ −⎜ ⎟⎝ ⎠

��������

��� $���E���� ( )A B C A C B C+ ⋅ = ⋅ + ⋅ ����E$������� ����������$���� �M$���� �����������$���� ������� � �( ) .a b c d+ − ⋅

� � �������� 2 3 23 2 5x y xy xy− +����E� �� ������� 3 32 .x y−

"�� ���E����� �(

�������(( ) ( )2 3 2 3 33 2 5 2 .x y xy xy x y− + ⋅ −

������ �����������$���� �� ��(� ( ) ( ) ( )2 3 3 3 2 3 3 3 33 2 2 2 5 2 .x y x y xy x y xy x y⋅ − − ⋅ − + ⋅ −

������� �� ���������E����������� � �%�����(� 5 6 4 5 4 46 4 10 .x y x y x y− + −

����������������E��� ������� ���(�( ) ( )4 2 2 3 5 4 2 23 5 2 4 12 20 8 .xy x y x y x y x y x y− + − ⋅ − = − +

Page 131: 093 Matematika 01 - 02

���

������������

��� �$��<��=�� �?��������� ����� ���( ) ,A B C D A D B D C D+ + ⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅� � ( ) .D A B C D A D B D C⋅ + + = ⋅ + ⋅ + ⋅

� ,��������� �( �-�( ) ( )4 3 6 3 3 23 5 2 4 ;x y xy x y xy− − ⋅ − $-� ( )3 5 4 3 5 338 4 12 .

4x y x y x y xy⋅ − + −

��������

���E�������� 2 1x x+ + �� ��������1.x +

T��E��(�����E 2 1x x+ + �� ���� �������2 1x x+ + �� �5�

,���������� ������ � ����%�������

� � ���E������ �3 22 3 5 7x x x− + − �� � 4.x −

"�� �E����� �

��� 4M x= − �� ������%���

���� ( )3 22 3 5 7 .x x x M− + − ⋅

M$�������E����� ���������� ������� �������� 3 22 3 5 7 .x M x M x M M⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅

M�� ����� 4M x= − �� �%���(� 3 22 ( 4) 3 ( 4) 5 ( 4) 7( 4).x x x x x x x− − − + − − −

�� ���� ���E$�������E����� �������� ������(4 3 3 2 22 8 3 12 5 20 7 28.x x x x x x x− − + + − − +

��� ��������� �%���������%��������� �� �%���(4 3 22 11 17 27 28.x x x x− + − +

�������������������������� �$���������� �(

2(3 2 1)( 3)x x x− + − + =3 23 9 2 6 3x x x x x= − + + − − + =3 23 11 7 3.x x x= − + − +

���E������ ��� ��������� �%����������� ������'��%�'��� ������� �������E���� �(

�����-� ( )( )2 32 3 1 4 5 ;x x x− + − + �������$-�( )( )2 3 25 2 3 2x x x x x− + − − + − �

,������������ ��������� �+������'������� �� 3 2( ) 2 9 13 6P x x x x= − + − ��

( )( )2( ) 2Q x x ax bx c= − + + ����� ����� ������������������

"�� ���� �����(

�������1%�&���������%��������� �����������������A%�&� ������%���������%���������� �� %�����(

� 3 2 2( ) 2 2 2Q x ax bx cx ax bx c= + + − − − =� ( ) ( )3 22 2 2 .ax b a x c b x c= + − + − −

Page 132: 093 Matematika 01 - 02

���

&������� �� ������� �������������������$���$�������� �� %��� �� �������������� � ��������� � ��� �� ��������������������$���$�����

������������ ( ) ( )P x Q x= ���� (� 2,a = � 2 9,b a− = − �������� 5,b = − � 2 13,c b− = ������� 3.c =

���

� �� ���� ������� ��� �����������

�-�� ( )( )( )2 2 25 2 3 4 ,abc a b abc ab a b− − − − ����� 2, 1, 3;a b c= − = − =

$-� ( ) ( )( )2 2 2 2 23 2 4 3 4 5 3 , për 1, 2, 3.x z xyz xyz x z x z x z xyz x z xyz x y z− − − − + − − − = − = = −

� H�������������� � 3 2( ) 2 1P x x x= + − �� � 2( ) 1.Q x x x= + + �,��������� �(

�-� ( ) ( );P x Q x+ $-� ( ) ( );P x Q x− �-� ( ) ( ).P x Q x⋅

� ��� ����%��������� ��������(

�-� 3 2 3 23 7 1 3 7 ;x x x x x x+ + + − − − $-�( ) ( )2 25 5 3 4 5 3 .m m m m− + + − − −

� ��� � �����E������ ��������� �%���������� �������������%���������

�-�( )( )2 1 3 2 ;x x− + $-�( )( )2 22 4 1 3 2 5 ;x x x x− + − + −

�-�( )( ) ( )( )2 22 3 1 2 2 5 4 5 .x x x x x x− + − − + − + −

� ,������������ ��������� �+�������'������� ��1%�&�� �A%�&����� ������$���$����(

�-� 3 2( ) 6 23 29 12P x x x x= − + − ��� $-� 3 2( ) 2 4P x x x x= − + + ��

���� ( )( )2( ) 1Q x x ax bx c= − + + ��������������� ( )( )2( ) 2 .Q x ax bx c x= + + +

������������������ ��������������

��������

( ) ( )( )2a b a b a b+ = + +

,���(

�-�( )22 ;x + $-�( )3

2 .x +

� � *�'�E�$��� �(

�-�( )222 3 ;x y+ $-�( )223 2 ;x y−

�-�( )322 ;x y+ �-�( )32 22 .x y−

Page 133: 093 Matematika 01 - 02

���

"�� �(� ( ) ( )( )22 2 2 2 2 2 22 3 2 3 2 3 2 2 2 3 2 3 3 3 ,x y x y x y x x x y x y y y+ = + + = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ ��������

��������������� ���� ( ) ( ) ( ) ( )2 24 2 2 2 24 12 9 2 2 2 3 3 .x x y y x x y y+ + = + ⋅ ⋅ +

�� �������

������%������� �%������������������������%��������������E��������������� ����������������$������� ���$����$������

� *�'�E���$��� ��� �������� �%������ ���������E��� �������(

�-�( )23 4 32 3 ;a b ab+ $-�( )32 2 33 2 .x y x y−

"�� ���E����� �(

$-�M$������( )3 3 2 2 33 3A B A A B AB B− = − + − �� �%�����(

��������( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 2 2 32 2 2 3 2 2 3 2 33 3 3 2 3 3 2 2 ,x y x y x y x y x y x y− ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − � �����%�'�E����

��������� 6 3 4 2 2 3 2 4 6 6 927 3 9 2 3 3 4 8 ,x y x y x y x y x y x y− ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − �����������������E�������� �

��������� 6 3 6 5 6 7 6 927 54 36 8 .x y x y x y x y− + −

��������������� ��������� �$������'������(

�( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 3 2 2 33 2 3 3 2 3 2 22 3 2 3 2 3 3 2 3 3x y xy x y x y xy x y xy xy+ = + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + =9 3 6 2 2 3 2 4 3 68 3 4 3 3 2 9 27x y x y xy x y x y x y= + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + =9 3 7 4 5 5 3 68 36 54 27 .x y x y x y x y= + + +

����# �E$������� �%�������( )2 2 22A B A AB B+ = + + �� ��(�( ) ( )2 23 4 3 4 3 32 2 2 3 3 ,a b a b ab ab+ ⋅ ⋅ + �������

����%�'�E������ �����E�����%�����(� 6 8 4 7 2 64 12 9 .a b a b a b+ +

������������� ���������� �$������ ��������(

( ) ( ) ( )2 2 25 2 4 5 2 5 2 4 42 5 2 2 2 5 5a b ab a b a b ab ab− = − ⋅ ⋅ + =�������������������������������������������������� 10 4 6 6 2 84 20 25 .a b a b a b= − +

������������������� ����������� � ��� (

( )2 2 22A B A AB B+ = + + ������ ����� ( )2 2 22 .A B A AB B− = − +

&����( $-� 4 2 29 12 4 ;x x y y− + ���-� 3 2 2 4 68 12 6 ;x x y xy y+ + + ���-� 6 4 2 2 4 66 12 8 .x x y x y y− + −

( )3 3 2 2 33 3A B A A B AB B+ = + + + ����� ���� ( )3 3 2 2 33 3 .A B A A B AB B− = − + −

� ��� � �%�'�E����(��-�( )22 3 ;x y− ��$-�( )2

3 5 ;x y− + ���-�( )27 34 7 ;x y+ ���-�( )23 23 7 .x y− −

Page 134: 093 Matematika 01 - 02

���

� *�'�E(���-�( )33 2 ;x y− ��$-�( )3

3 5 ;x y− + ���-�( )32 32 3 ;x y− − ���-�( )32 23 5 .x y xy+

��������

( ) ( ) 2 21 1 1 1.x x x x x x− ⋅ + = + − − = −�� ������� �(

�-� ( ) ( )2 2 ;x x− ⋅ + �����$- ( ) ( )22 2 4 ;x x x− ⋅ + +

�-�( ) ( )22 2 4 .x x x+ ⋅ − +

� � �� �(

�-�( ) ( )2 3 2 3 ;x y x y− ⋅ +

$-�( ) ( )2 22 3 4 6 9 ;x y x xy y− ⋅ + +

�-�( ) ( )2 4 2 25 5 25 .x y x x y y+ ⋅ − +

� �� ������� �(

�-�( )( )2 3 5 5 2 32 3 3 2 ;x y xy xy x y− + $-�( )( )2 2 2 2 3 3 4 44 5 16 20 25 ;xy x y x y x y x y− + +

�-�( )( )3 4 6 8 4 5 2 23 2 9 6 4 .x y xy x y x y x y+ − +

��������������������� ����� �$���������� �(

( )( )3 3 6 2 4 4 2 62 3 4 6 9x y xy x y x y x y− + + = ( ) ( ) ( )( )2 23 3 3 3 3 32 3 2 2 3 3x y xy x y x y xy xy− + ⋅ + =

����������������������������������������������������������������������� 9 3 3 98 27 .x y x y= −

������������

*�������'�������������%�������������������%��������������E�������������������������������������������� ���������������$ � �� ������ ���$ � �

����������� �� ���������E�������������������� ( ) ( )2 22 24 9 2 3 .x y x y− = −

( ) ( ) 2 2A B A B A B− ⋅ + = −

$-�M����� ������������� ( ) ( )3 33 38 27 2 3 ,x y x y− = − �� �������

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )2 2 3 32 3 2 2 3 3 2 3 .x y x x y y x y− ⋅ + ⋅ + = −

( ) ( )2 2 3 3A B A AB B A B− ⋅ + + = −

�-��������������� ����E����� �� �������� �%�����(

( ) ( )2 2 3 3.A B A AB B A B+ ⋅ − + = +

Page 135: 093 Matematika 01 - 02

���

���

*�'�E�$��� ��

� �-�( )22 1 ;x + $-�( )2

2 1 ;x −

�-�( )22 3 ;x y− + �-�( )22 1 .x− −

� �-�( )32 ;x + $-�( )3

2 3 ;x −

�-�( )32 1 ;x + �-�( )32 22 .x y−

� *�'�E�$��� ��

�-�232

3 ;3

bab

⎛ ⎞−⎜ ⎟

⎝ ⎠$-�( )32 32 3 ;x y xy+

�-�( )324 5 .x y x−

� *�'�E���������( )2.a b c+ +

T��E��(�E�� ����� ,a b A+ = ������%���( )2

.A c+

� �-�( )( )1 1 ;x x− + �����$-� ( )( )1 2 2 1 ;x x− +

�-�( )( )2 22 2 ;x x− + ���-�( )( )2 2 2 32 3 2 3 .x y x y− +

���E������ ��� �E$������� �%��������������E���������������

� �-�( )( )22 2 4 ;x x x− + +

$-�( )( )2 4 21 1 .x x x+ − +

� ���E������ ��� �E$������� �%������ ��������E��������������(

�-� 2 3 2 32 4 2 4;

3 5 3 5xy x y xy x y

⎛ ⎞⎛ ⎞− +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

$-� 2 21 2 1 1 4;

2 3 4 3 9x y x xy y

⎛ ⎞⎛ ⎞− + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

�-� 2 2 4 2 3 3 2 42 3 4 1 9.

3 4 9 2 16x y xy x y x y x y

⎛ ⎞⎛ ⎞+ − +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ :����������������� ���� ��� ����� ��

������� ���� �� ������� (

�-�( ) ( ) ( )( )2 32 1 2 2 1 2 ;x x x x− + − − − −

$-�( )( ) ( ) ( )( )22 21 1 1 1 1 ;x x x x x x x− + + + + − + + −

�-�( ) ( ) ( )( )2 21 4 1 6 1 1 ;a a a a− − + − + −

�-�( ) ( ) ( )2 2 2.a b c a b a c− + + + − +

����� � � ��� �����

��������

#���� �� ��� ��� ����� ����� '�� %��� �� �� �� ��� �� ������ �� ������� ����� �������� ������� �� ��������� ��� ������� �� �������� ������������ �����������%�'�� ��� �� �����(��������������������� 4 5 2 210 :5 .x y x y

� � �� ���5 6 3 35 5

: .6 3

x y x y⎛ ⎞ ⎛ ⎞−⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

"�� ���E����� �(5 5 5 3 1

: .6 3 6 5 2

− = − ⋅ = −

( )5 6 3 3 2 3: , 0, 0.x y x y x y x y= ≠ ≠

&������� ��������� 2 31.

2x y−

������������� �� �������������� ������� ��(���� 3 4 2 2 2 27 7 7 4 1: .

8 4 8 7 2x y x y xy xy

⎛ ⎞− = − ⋅ = −⎜ ⎟⎝ ⎠

� �� �(��-� 3 4 42 4: ;

3 3x y xy

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

��$-� ( )4 5 4 312 : 5 ;

2a b a b− ��-� 6 7 4 42 11

3 : .3 13

a b a b⎛ ⎞− −⎜ ⎟⎝ ⎠

Page 136: 093 Matematika 01 - 02

���

��������

( ): : :A B C A C B C+ = + ������ 0.C ≠

" ����������$���� � �������� ��� �������������$� �� ���� �(

���������� ( ) ( )2 32 8 : 2 ; 0, 0.a b ab ab a b− ≠ ≠

� � �� �����������(2 3 3 4 3 34 8 12x y x y x y− + �� �������( )2 ,xy−

��� � 0, 0x y "�� �E����� �(

&� ������� ��(( ) ( )2 3 3 4 3 34 8 12 : 2 .x y x y x y xy− + −

# �E$������� ��������������$������ ��( ( ) ( ) ( )2 3 3 4 3 34 : 2 8 : 2 12 : 2 .x y xy x y xy x y xy− − − + −

������ �������������� � �� ��( 2 2 3 2 22 4 6 .xy x y x y− + −

���������� ��� ���������� ���� ������� ���������� �$���(

������������������������������������������ ( ) ( )4 5 5 3 2 2 2 2 2 3 312 9 3 : 3 4 3 1.x y x y x y x y x y x y− − − = − + +

�� �������

��������� ��� ��� ����������'��� ������������������������ ��� ��� ������������ ������������ �������������� � ������ � ������ �%�������$��� ��

� �� �(

�-�( ) ( )4 5 5 6 4 4 4 420 30 10 : 10 ;x y x y x y x y− − − $-�� ( )3 3 4 4 5 5 2 212 3 5 : .

2x y x y x y x y

⎛ ⎞− + − −⎜ ⎟⎝ ⎠

��������

,���� �������0D5�(�53�@�%��� ��$ �� 7

������������+(������;��%�

'

��

%+%)

�(�(

� � �� �����������3 2( ) 6 15 10 2A x x x x= − + − ��

�������� 2( ) 3 6 2.B x x x= − +"�� �E����� �(

36x � ��� �������� � 23x �� �%����� 2 .x

�������� ( )B x �� �����E����� � ��� %������ 3 26 12 4 .x x x− +

�������� 3 2( ) (6 12 4 )A x x x x− − + ����

( ) 21 3 6 2,R x x x= − + − ���� ( )1R x �������$ ���

��������� ������� 23x− ���� 23x �� �%������� 1.− � �0�� 1− � �����E������������<%�&��

�������� �%������ �E$� ���������������C�%�&#���������������E ��

�! ����������������� ( ) 2 1Q x x= − &���������$ ����������� ( ) 0.R x =

&������ ( ) ( )( ) ,

( ) ( )

A x R xQ x

B x B x= + ��� ��������� ( ) ( ) ( ) ( ).A x Q x B x R x= ⋅ +

Page 137: 093 Matematika 01 - 02

���

������������� ����������������(

���� �������� ���� �E$�������� �����$� �� �� ����������������������� ���� ����

����� ( ) ( )3 2 26 15 10 2 : 3 6 2 2 1x x x x x x− + − − + = −

����� 3 26 12 4x x x± ±���� 23 6 2x x− + −��� 23 6 2x x±� �

����������'

� �� � ( ) ( )2 3 210 7 3 9 : 5 3 .x x x x x− + + − +

���' �E����� �(

�������� 3 2 10x x+ + ��� ���� �� ���������� 2 3.x x− +�

���' �E����� �(

���%����������� �������������������� �� ������������� ����� ��������� ��(

������������� ( ) ( )3 2 23 7 9 10 : 3 5 3 2x x x x x x− + + − + = +

������������� 3 23 9 15x x x± ±�

������������������������ 22 6 10x x− +���������������������� 22 6 10x x− ±������������������������������������������'

#$ ���������6�� ���������������(3 22 10 ( 3)( 1) 7.x x x x x+ + = − + + +

��� � ��� �������(

�-�( ) ( )22 3 : 2 3 ;x x x+ − + $-�( ) ( )3 2 22 1 : 1 ;x x x x x+ + − + +

�-�( ) ( )23 7 : 2 ;x x x+ − + �-�( ) ( )3 22 7 4 5 : 1 .x x x x+ + + +

��� � ��� �������� ������������)� �3���3��� �����������-�3�

���' �E����� �(

� ( ) ( )3 22 10 : 3 1x x x x x+ + − + = +

3 2 3x x x− ±�

��������� 2 10x x− +������� 2 3x x− ±��������������������� 7

�� ( ) ( )2 22 :x xy y x y x y− + − = −

���������������� 2x xy− �

����������������������� 2xy y− +

����������������������� 2xy y±�

���������������������������������'

# �E$������� �%������

( )2 2 22A B A AB B− = − + ������������%����

� ��( ) ( )2 22 : ,x xy y x y x y− + − = − �� '�

( )22 22 .x xy y x y− + = −

Page 138: 093 Matematika 01 - 02

��

�� �� �� �����(

�-�( ) ( )2 4 4 : 2 ;x x x+ + + $-�( ) ( )3 2 2 33 3 : ;x x y xy y x y+ + + +

�-�( ) ( )2 2 : ;x y x y− − �-�( ) ( )3 3 2 2: .x y x xy y+ − +

������������

*���������������E�������������������� � �%������������ ��������������������� �������

������ ( ) ( )2 2 : ;A B A B A B− − = + ��� ( ) ( )2 22 : ;A AB B A B A B− + − = −

������ ( ) ( )3 3 2 2: ;A B A B A AB B+ + = − + ��� ( ) ( )3 3 2 2: ;A B A AB B A B− + + = −

�������������������� ( ) ( )3 2 2 3 2 23 3 : 2 .A A B AB B A B A AB B− + − − = − +

� ����������������������� ��� ������������������������������� ��� ����������� ����������������!��

���

� ,���� ������ ���� � �����

��≠�Q��3�≠�Q�

� �� �� ������ ���������� ���������� ���≠�Q��3�≠�Q��-�( )3 5 4 4 2 2 2 22 3 5 :7 ;x y x y x y x y− −

$-� 4 4 5 5 6 6 3 32 1 4 1: .

3 3 3 9x y x y x y x y

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

� ��� � ��� �������(

�-� ( ) ( )4 22 5 14 : 2x x x x+ + − + ������ 2;x ≠ −

���( ) ( )4 3 22 3 4 3 5 : 3 ,x x x x x− − + − − ����� 3;x ≠�-� ( )5 2: 1 ;x x + ��-�( ) ( )5 1 : 1 ,x x− − ����� 1.x ≠

� ,���� ������� ��$ �� ���������� ��������������� � (

�-�( ) ( )3 24 2 1 : 2 ;x x x x− − + −

$-�( ) ( )4 3 2 22 3 5 3 : 2 3 .x x x x x x− + − + − +

�-� ( )3 4 2 32 : 5 ;x y x y− $-� 4 32 4: ;

3 9x y x y

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

�-� 5 3 51 12 : .

2 2x y x y

⎛ ⎞− −⎜ ⎟⎝ ⎠

��������

���$���E����� ( )A B C D AB AC AD+ + = + +�����E$������� ����������$���� �M$����������������$�������

( )3 2 1 .x y− +

"� �� ( )AB AC AD A B C D+ + = + +��������������������E$����������������$������ ����������-�F3����#

� � M$��� ����������E� ������� ����������� 3 2 23 6 9x y x y x− −

"�� �E����� �

������0�������� ���� ����������������$�������� %��� �� � �

�� ���� ��������$���������� ��� ���� �� ��������

#������� ����� �� ���� ������ ������ ����$����������� � ������������

Page 139: 093 Matematika 01 - 02

��

>��E$��� ����������������E� ������� �����������������������'�� �����������������E� �� ������'��F������E� ������ �������E$���� ����

��� ���������� 3 2 23 6 9x y x y x− − �� ��� �������� ������� 2 22 9x y xy x− − � �������������������������������� ( )2 23 2 3x x y xy− −

��������������������(� ( )3 2 2 2 23 6 9 3 2 3x y x y x x x y xy− − = − −

� M$��� ����������E� ������� ��������� �(

�-�� 2 2 3 3 45 10 15 ;x y x y xy− + − $-� 1 23 6 12 .n n nx x x+ +− −

��������

���� ( ) ( )2 ,x y a x y+ + + � �E�� ��������,x y A+ = %������2 .A a A⋅ + ⋅

( ) ( );A B A B B A− = − − + = − −

( ) ( )( ) ( )22 2.A B B A B A− = − − = −

"� �������-�( ) ( )3 3?A B B A− = − −

�������������$-� ( ) ( )4 4?A B B A− = −

� � ���������<��)�3-�/��<3�)��-E$��� � ��������E� ������� ����

���E����� �(

M�� ������� ,x y A y x A− = − = − ��� �%�������⋅ $�-���⋅ $���� ��������$%��-��&## �E�� ������������ ��%�����

( )( ).x y a b− −

������������������ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ).a x y b y x a x y b x y x y a b− + − = − − − = − −

� M$��� ��������E� ������� ��������� �(

�-� ( ) ( );x a b y a b+ − + ���$-� ( ) ( );x a b c y a b c+ − − − − + �����-� ( ) ( )1 1 .a x y b x y+ − − − +

��������

# �����E����� ������ � � ���� x y+%�����2 2 .x y bx by+ + +

( )2 2 2 ;x y x y+ = + ��� ( ).bx by b x y+ = +

#$��������$���E�� �� �������� �

8���%���7

� � ������������3������E$��� � �������E� ������� ���#

"�� �E����� �(

�������������������'������� ����E� �� �����$������� �%�����(

( );ax ay a x y+ = + �� ( ).bx by b x y+ = +

���%����� ( ) ( ) ( )( ).a x y b x y x y a b+ + + = + +

M������� ����������������%�� �� � �� ���������������� ��������������� �

���������� �� �� ������������(

( ) ( ) ( )( ).ax ay bx by a x y b x y x y a b+ − − = + − + = + −

Page 140: 093 Matematika 01 - 02

���

� M$��� �������� .ax bx cx ay by cy+ + − − −

��� � �E����� �(

� ( ) ( ) ( )ax bx cx ay by cy a x y b x y c x y+ + − − − = − + − + − = ( )( ).x y a b c− + +

�����'�����$������������ ��������������� �������(������������������������������������ ������� ���� ���

� M$��� ��������E� ������� ��������� �(

�-� ;ax ay by bx− + − $-� 2 2 2 ;x xy x y− − + �-� 2 2 .ax bx bx ax a b− − + − +

���

� �-�2 2 ;x y+ $-� 15 20 ;ax ay− − �-� 3 24 6 ;a a b− �-� 3 3 2 24 8x y x y� �

� �-� 2 25 20 5 ;x xy y− − $-�3 9 12 .ab ac ad+ −

� �-� ( ) ( )7 ;a x y x y+ + + $-� ( ) ( )7 2 ;q p q p q p− + −

�-� ( ) ( )2 3 5 3 ;m x n x− − − �- ( ) ( ) ( )22 a b a b a b− − + ⋅ − �

� �-� 2 ;x xy ax ay+ + + �������$-� 2 3 3 ;a ab a b− − +

�-� 25 10 2 2;ax ax bx b x− − + − + ��������-� 2 2 4 5 3 43 3 .xyz x y x y x y z xy z+ + + − −

������ � � ��� ����������� � �������������������� ��������������

��������

( )( ) 2 2A B A B A B− + = − ������%�������������E��������������

@��� ��$���E��

���������� ( )( )2 2 ?A B A B A B− = − +

� � M$��� ��������E� ������� ����������� 2 4.x −

���' �E����� �(

����������� �������������� �������������

� �3��

M$��� ��������E� ������� ��������� �(

Page 141: 093 Matematika 01 - 02

���

J���E�� ( )( )2 2A B A B A B− = − + ������%����������E$���������� �E�� �������� , 2A x B= = �� � E$������%��������%�����(� ( )( )2 2 24 2 2 2 .x x x x− = − = − +

M�������������(� ( ) ( )( )22 216 9 4 3 4 3 4 3 .x x x x− = − = − +

� ���������%������������������ � �(��- 2 25;x − ��������$- 2 24 9 ;x y− �-� 225 1.x− +

� M$��� ��������E� ����� � ��( ) ( )2 2.a b c d− − −

���' �E����� �(

# �E$������� �%������ ( )( )2 2A B A B A B− = − + �� ���� � ��%����E����E�� ���������A a b= − &

B c d= − ��� ��(

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2a b c d a b c d a b c d− − − = ⎡ − − − ⎤ ⎡ − + − ⎤ =⎣ ⎦ ⎣ ⎦

( )( ).a b c d a b c d= − − + − + −

� ���������%������������������ � �( ���������%������������������ � �(

�-� ( )2 2 ;a b c+ − ��$-� ( )22 ;a b c− − ����-�� ( )2 24 ;x y y+ − ����-� ( ) ( )2 216 25 2 .x y x y+ − −

��������

( )( )2 2 3 3A B A AB B A B− + + = − �

( )( )2 2 3 3A B A AB B A B+ − + = + ������%�����

��������E��������������

8�������' ����$���E���(

( )( )3 3 2 2A B A B A AB B− = − + + �

( )( )3 3 2 2 ?A B A B A AB B+ = + − +

� � ������ ��� %���� ��� ������������ �� 3 8x − �� � 3 125x + �

���' �E����� ��

J���E���

( )( )3 3 2 2A B A B A AB B− = − + + �

( )( )3 3 2 2A B A B A AB B+ = + − + �����%�����

����E$������

�����'�� 3 3 38 2x x− = − �� � 3 3 3125 5 ,x x+ = + ���� �E$������� �%������ ��������� �����E$������ ����� � �%�����(

( )( )3 3 3 28 2 2 2 4x x x x x− = − = − + + ����� ( )( )3 3 3 2125 5 5 5 25 .x x x x x+ = + = + − +

� M$��� ������ �(

�-� 3 1;x − ��$-� 3 38 ;x y− ��-� 3 38 ;x y+ �-� 3 364 125 .x y+

Page 142: 093 Matematika 01 - 02

���

� ����������������������E� �� ������ ���� 3 356 7 .x y−

���E����� �(

@�������� ����������F�����3�������������$ �������������� ��=� ��� �� �����E� ����������$������������������� ��(

( )3 37 8 .x y−

#�� �������������������$ �� ���������������� �E$������� �%��������������������� ���$ � �%�����(

( ) ( ) ( )( )33 3 3 3 3 2 256 7 7 8 7 2 7 2 4 2 .x y x y x y x y x xy y⎡ ⎤− = − = − = − + +⎣ ⎦

M$��� �����������������E� �� ������ ������������( ) 2 2 2.a b x ay by+ − −

# ���������� ��������� �� ��=� ��� �� �����E� ����������$�������������������� ��(

� ( ) ( )2 2 .a b x y a b+ − +

# ��=� ��� �� ������� ��������E� ��������� �����������������%�����(

� ( )( )2 2 .a b x y+ −

�� �������������� ����������' �������������������� �������������%���������%�����(

� ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2a b x ay by a b x a b y+ − − = + − + =

������������������������������������������������������������������������������ ( )( )2 2a b x y= + − =

������������������������������������������������������������������������������ ( )( )( ).a b x y x y= + − +

>����%��������������� � �(

�-� 2 2;ax ay− $-� 3 ;ax a+ �-�( ) ( )3 3;a b x a b y− + − �-� 4 37 7 .x xy−

���

� �-� 2 2 16;x y − $-�( )21;a b− − �-� ( )22 .x x y− −

>����%�������������������E� �� ������ ��������� ����������(

� �-� 3 38 ;a b− $-� 3 3 3 1.a b c +

� �-� 2 2 2 2 ;ax bx ay by− − + $-� 3 3 3 3.ax bx ay by+ − −

� �-� 3 2 2 3;x x a a+ − − $-�( ) ( )2 2;a b c x y z+ + − + − �-� ( ) ( )2 2

4 9 .a b x y− − −

Page 143: 093 Matematika 01 - 02

���

������ � � ��� ��� �������� � ������������������� ������ ��� �

��������

J���E����( )2 2 22A B A AB B− = − + � � ( )2 2 22A B A AB B+ = + + ����� ��� ����� ��%��������������E�������������

8�������' ����$���E���

( )22 22A AB B A B+ + = + ��

( )22 22 ?A AB B A B− + = −

� � M$��� ��������E� ���������2 4 4x x+ +

"�� �E����� �(

J���E��� ( )22 22A AB B A B+ + = + �����%����������E$������

" ����� , 2A x B= = �� �%�����

( )22 2 24 4 2 2 2 2 .x x x x x+ + = + ⋅ ⋅ + = +&������� ( )22 4 4 2 .x x x+ + = +

"�� ��� (

� ( )22 4 4 2x x x− + = −

� � �22 8 4 2x x x� � � � �������'�� 8 2 2x x− ≠ − ⋅ ⋅

� ( ) ( )22 24 4 4 4 2x x x x x− + − = − − + = − − �

� ���������%������������������$����������� �(

�-� 2 6 9;x x− + $-� 2 24 20 25 ;x xy y+ + �-� 2 212 4 9 .xy x y− −

� M$��� ��������E� ����������� 2 22 .ax axy ay− +

���E����� �(

���=� ���������E� ���� ����$�������������������� �%������ ( )2 22 .a x xy y− +

�� ���������������������������$��������� ��������( )2.x y−

&������� ( ) ( )22 2 2 22 2 .ax axy ay a x xy y a x y− + = − + = −

� ��� ��E$�������� ������ � (�-� 2 22 4 2 ;x xy y+ + $-� 3 2 2 37 28 28 ;x y x y xy+ + �-� 4 2 3 3 2 49 18 9 .x y x y x y− +

� >����%������%����������������������� 2 2 22 .c a ab b− − −

"�� ������%������(

�������������%������ ( )2 2 22 .c a ab b− + +

�� ���������������������������$������� ����������� ( )22 .c a b− +

M$������%��������������������� �������� �� �%������� ( ) ( ) ,c a b c a b⎡ − + ⎤ ⎡ + + ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ��� �������

�������������������( )( ).c a b c a b− − + +

Page 144: 093 Matematika 01 - 02

���

#����������� �� ��������� �$������ ��������(

( )2 2 2 24 4 1 4 4 1y x x y x x− + − = − − + =

������������������������� ( )22 2 1y x= − − =

������������������������� ( ) ( )2 1 2 1y x y x= ⎡ − − ⎤ ⎡ + − ⎤ =⎣ ⎦ ⎣ ⎦������������������������� ( )( )2 1 2 1 .y x y x= − + + −

� M$��� ��������E� ������� ��������� �(

�-� 2 22 9;x xy y− + − $-� 2 2 2 2 25;a b c abc+ − − �-� 2 21 2 .x y y− − −

���

� �-� 2 24 4 ;x xy y+ + $-� 2 225 10 ;x xy y− + �-� 2 220 25 4 .xy x y− −

� �-� 2 27 14 7 ;a ab b+ + $-� 3 2 2 38 8 2 ;x y x y xy− + �-� 3 250 20 2 .a a a+ +

� �-� 2 2 2 2 ;x y z xy+ − + $-� 2 24 2 ;p pq q− + − �-� 2 2 216 9 12 4 .m x xy y− + −

� �-� 2 2 2 9;x y xy+ − − $-� 215 2 .x x− −

M$��� ������ �(

������� ���� ������ ������������������ �� ���� ������ �����������

��������

�� ���� ���� �53�����(�5��3��0��.��2�� 53���������� ���� ���� �5D�����(�5��3��0��2��P�� �5D���� ���� ��� ���� �������$�����������5��3��0�� �2�X���� �'������ ��� ���� �����������������$�����<�#�-�����53�� �5D������������2�,�����#��������� �

�������������������� 3 26x y �� � 5 39 .x y

� � ,�����#����������� �

( )ab a b− �� ( )2.b a b−

���E����� �(

�� ���� ���� �� ( )ab a b− �����(

( ) ( )1, , , , , ,a b a b ab a a b b a b− − − � ( ).ab a b−

������������� � ( )2b a b− �����

1, , ,b a b− � ( ) ( ) ( )2 2, , .a b b a b b a b− − −

�� ���� ���� ����$����������������� � ����� ( )1, , , .b a b b a b− −�#�� ( ) ( ) ( ), .ab a b b a b b a b⎡ − − ⎤ = −⎣ ⎦

�� �������

�#�������������� ��������� � �%�� ������������������������ ���� �� �������$������������� ����� � ��� �F?������ ������� ����� �� �� ��� ��� �� �������������'������'�� ���������� �� E$���� ������� ��#���������� �������������� ������5����� ���� ���� ������ ������ ���� �����������������

Page 145: 093 Matematika 01 - 02

���

� ,�����#����������� �� 2 2 2 22 4 ; 4a b ab a b− − ���� 2 24 4a ab b− +

"�� �E����� �(

����� �� ��������E$��� �����������E� ������� ����� �� ��(

( ) ( )( ) ( )22 2 ; 2 2 ; 2 .ab a b a b a b a b− − + −

"�� ����� ��#��������- �

� ,�����#����������� �( �-� 3 4 5 6 2 512 ; 18 ; 30 ;x y x y z x y $-� 2 2 2 2; 2 ;x y x xy y− − +

�-� ( ) ( ) ( )2 3 3 5 22 ; 2 ; 2 .x y x y x y x y x y x y+ + + �-� 3 3 3 3 3 2 22 2 ; ; 2 .x y x y xy x x y xy− − − +

��������

������02���������� ���� ����� �� �����������(5��3��0��.��2��P��53��5D�� �02��> ���� ������02����������%��������� ������� �

K� �����������%������������ �.��2��P�� �53�

� � ,����$��������� �����%���� ������$�������������� � �F��� I%��3&#

H������� � � �� ����$�������������������(

( ) ( )3212 ; 12 ;x x y x x y+ +

( )200210060 ;...x x y+

� ,���� !"���������� � (� 2 2 3 3 2 2; ; 2 .x y x y x xy y− − − +

"�� ����� �����(

����� �� ��������E$��� �����������E� ������� ����� �%�����(

( )( ) ( )( ) ( )22 2; ; .x y x y x y x xy y x y− + − + + − ��������( )( )( )22 2x y x xy y x y+ + + − ���������%�����������������$������������� � ���������

�� �������

!"��%�� ��������������������������E� �� ������ ������ �F?������ ������� ����� �� �� ��� �� �� ������������'������'�� ��� ������ �� �E$���� ���

� ,���� !"�� ������ � �-� 3 4 5 5 212 ; 18 ; 30 ;x y x y x y $-� 2 24; 4 4;a a a− − +�-� 2 2 39; 6 9; 27;x x x x− + + + �-� 3 2 2 23 12 12 ; 4 4 ; 3 12 .x x x x y xy y x y y− + + + −

� ,���� !"���������� � (�-� 5 3 2 4 2 5; 28 ;a x y a x y ������$-� 2 2 2 29 36 ; 18 72 72 ;a b a ab b− − + �-� 2 2 3 21; 2 1; 1.a a a a a a− + + + + +

���

� ,���� !"���������� � (�-� 5 3 2 4 5 74 ; 6 ;a x y a x y ����$-� 2 22 ; 2 ; 4 ;x y x y x y− + − �-� 2 2 3 33 6 ; 4 4 ; 8 .a b a ab b a b− − + −

� ,�����#��� � !"���������� � (�-� 2 3 25 ; 25 ; 10 25;a a a a a a− − − + $-� 23 15; 25;5 .a a a− − −

Page 146: 093 Matematika 01 - 02

���

������������ ������� � ��������� �

��

�� �������

33 : 4,gjegj sisht

4ë �������� ���������� �

��� ���( ) ( ) 22 : 3 , ose

3

xx x

x

++ −−

�������� ��

@����� ���� ���� ���< ���� ��-����� ���E �7

� : ����� ���@�� �.������ ��

�� ���M

N�( )0N ≠ '� �������������$ ���

�� ��� �������������

@���������� �������������.��������� �������� ����

� �� � �� ���������� $��� �������� ������� $��� (

� � � � � � � � � � � � � � � � ( ) ( )3 7 2, 0; ; , 2 ; ; , 0 .

5 2 7

x a b a by a b

y a b

+ +≠ ≠ ≠−

� ,������ ���� �� ��������������� ��������� ������2

1

x

x −�� �

2

2

2.

x

x x−������������ ���������� ��������

�� �����������$���$����7

���' �E����� �(

������ ���� �������� ���� �� ������������������� ����������������� 1 0x� � ��� �������� \ 1x�� ������������� ���� ������������������� ������������������ 2 0x x� ���� �������

� �\ 0,1x�� �

�>� �����2

1

x

x −�� ��

2

2

2x

x x−�������� �����������$���$�������� �������������$��������� { }0,1 .� �

>� �������� ������%�E�������������� ����������� ������ ������� ������< ���� ������� ����������� ����� ��E ��-�>� �������� $��� �� ������� �$� ���� ��������������� �E�� ������������������������� � �� �� ���� ���� ����� ������� ������������������ �������������� ������������ ��� ����� ������������������������� ��� ���� ���������

������ ������ �����������$���$�����M

N�� �

P

Q�������

M P

N Q= �� �M Q N P⋅ = ⋅ ����

0, 0.N Q≠ ≠

� ,������ ���� �� ��������������� � ������ ���(

�-�3

3

x

x−+ $-�

3;

2 4

x

x +�-�

( )3

;1

x

x x

−−

�-�( )( )( )

3 1.

1 3 5

x

x x x

+− − −

������������

Page 147: 093 Matematika 01 - 02

���

��������

>� ����2

3�E�� �� �� �3��*���

2 2 4.

3 2 6⋅ =

>� ����3

x�E�� �� �� � ( )0 .x x ≠

� � >� ����� ( )15

5

xx

x

− ≠−

E�� �� �� �����������#

"�� ��E����� �(

������ ����� � ���� ���� �����E����� ����������������������(

( ) ( )( ) ( )

2

2

1 51 4 5.

5 5 5 25

x xx x x

x x x x

− ⋅ +− + −= =− − ⋅ + −

�� �������

J���E��� ( )0, 0M M P

N PN N P

⋅= ≠ ≠⋅

��� ���� ��� ����MN �� ���E�� ������ ���������1�

� �������� ���� �������������� ����(��2 2

2, , .

1

y x

x x xy y x− + −"�� �E����� �(

��E$��� �����������E� ������� ���� ���� ���� ��� ��� ���������� �� ��(

����������������������� ( )2 1 ,x x x x− = −

����������������������� ( )1 ,xy y y x+ = +

������������������������ ( )( )2 1 1 1 .x x x− = − +

,������� !"������ ���� ����� �%������ ( )( )1 1xy x x− +

,�������E�� �� ��������� �������� ��

M�� �� ���������� � ����������E� ���� !"����������������%�� ����� ���� ���� �������� � �

����E�� ������ ��� ��� ���������(

( )( )( )

( )( )( )

2

2

1 1;

1 1 1 1

y x y xy y

x x x x y x xy x x

+ += ⋅ =

− − + − +

( )( )( )

( )( )( )

21 1;

1 1 1 1

x x x xx x

xy y y x x x xy x x

− −= ⋅ =

+ + − − +

( )( ) ( )( )2

2 2 2.

1 1 1 1 1

xy xy

x x x xy xy x x= ⋅ =

− − + − +

� �������� ���� �������������� ���(���-�2 2

,4 3

a b

y xy+���$-�

2 2, .

m n

a ab ab b− −

�������� ���� �������������� ���

Page 148: 093 Matematika 01 - 02

��

��������

>� ���15

25� ��� ������� �A�����

15:5 3.

25:5 5=

>� ���� �3��� ����2

.4x

� � >� ����� ���

( )3 2

2

44, 4 .

16

a aa a

a

− ≠ ≠ −−

"�� ��E����� �(5���������������������������������������

�����2�������������������#����

( )3 2 24 4a a a a− = − ���� ( )( )2 16 4 4 .a a a− = − +

������ ����� � ���� �������� �������� �����������)�.�� �%�������2

.4

a

a +��� ������ ��� ������� ������������������������� � (

( )( )( )

23 2 2

2

44.

16 4 4 4

a aa a a

a a a a

−− = =− − + +

������������

>�� �� �� �� �� ��� ( )0M

NN

≠ � �� ��� ���� ������ ��� � � ���� ��� ��� �� ��� �

� ���������1�4��#�( ),M N �

�����

����� ������� �� ( )20 16 8 13

47 17 120, 0, 0

a b c aa b c

bca b c= ≠ ≠ ≠ ����������������������� �����

E$�������� ���������%�'�� �� �$�E������������

>� ����� ���(��-�( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )8 10 12

3 11 20

1 2 41, 2, 4 ;

1 2 4

x y zx y z

x y z

− + −≠ ≠ − ≠

− + −���$-� ( )

2

3

4 42 .

8

x xx

x

− + ≠−

��� � ,������ ���� �� ��������������� � ���

�� �������� � ����� $��� (

�-�3 5

;1

x

x

−+

$-� ( )( )2

;1 4

x

x x

+− +

�-� 2

5;

9

x

x y y

−− �-� 4 3

2.

x y

x xy

+−

� ,������ ���� �� ��������������� � ����� �������� � ����� $��� (

�-� 2 2

1, ;

9 3

a

a b a b− +��$-� 2 2 2

1 2 1, , .

1x x x x x− − +

� >� ����� ��(

�-�2 2 5

3 10;

x y z

x y z$-�

( ) ( )( ) ( )

3 2

5

1 1;

1 1

x x

x x

− +

− +

�-�3

2

2 2;

2 2 2

x

x x

−+ +

�-�2 2

.ax ay bx by

x y

− + −−

� >� ����� ��(

�-�21

;1

a

a

−−

��$-�2 8 16

;4

x x

xy y

− +−

���-�3

3 2.

2

x x

x x x

−+ +

Page 149: 093 Matematika 01 - 02

��

����� ���������������� ���

��������

2 3 1 4.

7 7 7 7+ − =

�� �(3 5x

a a a− + ���� 0.a ≠

���$��� ���� ����� � ���� �����������7

� � K� � ������� ��� ��� (

� �2 3 1 5, 2 .

2 2 2

x x xx

x x x

� � ��

"�� ��E����� �(

2 3 1 5 2 3 1 5 2 7.

2 2 2 2 2

x x x x x x x

x x x x x

� � � � � � � � �� � � �

� � � � �

� K� � ������� ��� ��� � ( )2 20, 0, .

a b a ba b a b

ab b a ab ab

++ − ≠ ≠ ≠− −

���E����� �(

>� ���������� � ���� �������������

# �E$�������� � ���� �� �� ��(�� ( ) ( )2 2; ; .ab b b a b a ab a a b ab− = − − = −

!"���� ���� �� �����(� ( ).ab a b−

>� ������E�� ������ �� ��(�� ( ) ( )( )( )

( )2 2

.a b a ba b

ab a b ab a b ab a b

+ −+ −

− − −

��E$�������� ������������$� �� �� ��� ��� �� � ���� ������������� �%�����

( ) ( )2 2 2 2 22a b a b b

ab a b ab a b

+ − + =− −

�������� �������%������� ( )2

.b

a a b−

�������������� ����������(

( ) ( )2 2

a b a b a b a b

ab b a ab ab b a b a a b ab

+ ++ − = + − =− − − −

( )( )( )

a a b b a b a b

ab a b

⋅ + ⋅ − + −= =

( )2 2 2 2a b a b

ab a b

+ − += =−

( ) ( )22 2

.b b

ab a b a a b= =

− −

�� �������

# �$���E����� ( )0M P M P

NN N N

++ = ≠ ���� ���� �����������$� �� �� ��� ���

� � ���� �����$���$�����

Page 150: 093 Matematika 01 - 02

���

� ,���������� ��� ���

�-�2 2

2 3 4 5;

m p m p

m p mp

− −− �������$-� 2 2

1;

9 3

a

a b a b−

− +���������-�

2 2 2 2

2 2.

x y x y

xy xy y x xy

+ − +− −

��������

2 5 2 5 10

3 7 3 7 21

�� � �

��� ���������(

�-� 25;

3� �������$-�

32 ;

3� ������-�

2 9

3 10� �

� � ���E��� ���(

3 2 2

3 2

2 2 2, ,

1 2 2 2

x x x a a x

a x x x x

+ − − + −+ − − + +

( )1, 2, 2, 1, 1 .a x x x x≠ − ≠ − ≠ ≠ ≠ −

"�� ��E����� ��

������ ����� � ���� ���� ��� ��� �����������E$��� �����������E� ������� ���(

�������������� ( ) ( ) ( )( ) ( )( )( )3 2 2 22 2 2 2 2 1 2 1 1 ;x x x x x x x x x x x+ − − = + − + = + − = + − +

�������������� ( ) ( ) ( )( ) ( )( )( )3 2 2 22 2 2 2 2 1 2 1 1 ;x x x x x x x x x x x− − + = − − − = − − = − − +

��������������� ( )2 1 .a a a a+ = +

����������� ��(� ( )( )( ) ( )( )( )( )

2 1 1 1 2.

1 2 1 1 2

x x x a a xa

a x x x x

+ − + + −⋅ ⋅ =+ − − + +

#��������� ������'��E����������������� ����������%���(

�( ) ( ) ( )

( ) ( )23 2 2

3 2 2

2 2 12 2 2 2

1 2 2 2 1 2 2 2

x x x a ax x x a a x x

a x x x x a x x x x

+ − + ++ − − + − −⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =+ − − + + + − − − +

�������������������������������������������������������������������������( )( )( ) ( )

( )( )( )2 1 1 1 2

.1 2 1 1 2

x x x a a xa

a x x x x

+ − + + −= ⋅ ⋅ =+ − − + +

��� �������

������������� ����������� ��� �������� ������������� ����������������������� �� �������� �� ��� ������ � ���� ���������������� ���� �� �������� ��� ��� ��>� ����'������E ������������� ������������'�������� ��������E �������� ���� ����������� ��������������� �����E� ���� ����������� ���� ��� ������� ��

� �� ���������(

�-� ( )21

1, 1 ;1 1

a aa a

a a

−⋅ ≠ ≠ −− +

$-� ( )2 2 2

20, 0, .

a ab a b aba b a b

a ab ab

− +⋅ ≠ ≠ ≠ −+

Page 151: 093 Matematika 01 - 02

���

����

2 5 2 7: .

3 7 3 5= ⋅

�� �� �����(

�-�3 9

: ;5 25

������$-�3

:7;5

������-�5

3: .7

� � �� ������ ����2

2

25

3

x

x x

−−

��

�� ���� �2

2

5

9

x x

x

+−

� ( )0, 3, 3, 5 .x x x x≠ ≠ ≠ − ≠ −

"�� �E����� �(

��E$��� ���������� ����� � ���� ���� �� ��� ���������� �� ��(

( )( )2 25 5 5 ;x x x− = − + �� ( )( )2 9 3 3 ;x x x− = − + �� ( )2 3 3 ;x x x x− = − �� ( )2 5 5 .x x x x+ = +

>� ���'���� ��� ������E ��� ��� ����� ����� ������ ����� ������������� ���� � +��� �������

�( )( )

( )( )( )

( )5 5 3 3

3 5

x x x x

x x x x

− + − +⋅

− +���� ������������ �������%������� ( )( )

2

5 3.

x x

x

− +

��������������������(�( )( )

( )( )( )

( )( )( )2 2

2 2 2

5 5 3 3 5 325 5: .

3 9 3 5

x x x x x xx x x

x x x x x x x x

− + − + − +− + = ⋅ =− − − +

� �� �� �����(

�-�2 2 3 3

3 2 2

4 8: ;

15 5

x y x y

b c b c$-�

2 2

3 3 2 2: .

3 3

b y b y

a y a ay y

− −− + +

�� �������

J���E����M P M P

N Q N Q

�� �

����� ��� : ( 0, 0, 0),

M P M QN Q P

N Q N P� � � � �

H������ ��������������E���� ��� ����������� ��� ����� $��� �

��������

����������������������������

22 7 143 .

5 3 5 157

⋅= =⋅

�����'��������� �������������(

��������-�

13 ;58

������$-� 3;

75

��������-�

35 .8

� >����%����� ����

��%�����

2

11

11

11

aa

a

+ +−

+−

"�� ��E����� �(

Page 152: 093 Matematika 01 - 02

���

������������%������������ ����� � ���� ����� �� ��(2 21 1 1 2

11 1 1

a aa

a a a

− + −+ + = =− − −

�� � ( )( ) ( )2 2

2 2

1 1 1 21 1 .

1 1 1 1

a aa

a a a a

− + −+ = = ≠ ±− − − +

B�� ��

( )( )

( )( )( )( )( ) ( )

2

2

2 2

22 1 11 1 1; 2 .

2 2 11 1

aa a aa a a

a a aa a

−− − +− = = + ≠ ±

− − −− +

�������(�

( )( ) ( )( )

( )( )( )( )( ) ( )

2 2

2

2 2 2

2

1 1 1 21 2 1 11 1 1 1 , 1; 2 .

1 1 1 2 2 111 1 1 1 1

a aa a a aa a a a a

a a a aa a a a a

− + −+ + − − +− − −= = = = + ≠ ±− + − − −+

− − + − +

������������

>� ��� ���%������� ������� �������� ����������'������������������� ��������������� ���������� ������� ������������������ ����$� ���������� ����� ���� ������ �����E� ���� ����������������������� �����E� ���� �$� ��������� ���������������� �� ��

��� ��� ����� �(�2 2 2 2

3 2 4: .

x x xy xy

x y x y x y x y

⎛ ⎞+ −⎜ ⎟+ − − −⎝ ⎠

���E����� ��

������� ������ ������������� ������� ���� ���� � ������������� �%�����(

�( )( )

24 4.

x xy

x y x y

−− +

���������������(��( )( )

( )( )24 4,

4

x y x yx xy x y

x y x y xy y

− +− −⋅ =− +

����� 0, , .y x y x y≠ ≠ ≠ −

���������� ������� ��(� 2 2 2 2

3 2 4:

x x xy xy

x y x y x y x y

⎛ ⎞+ − =⎜ ⎟+ − − −⎝ ⎠

�( ) ( )

( )( )( )( )3 2

4

x x y x x y xy x y x y

x y x y xy

− + + − − += ⋅ =

− + ( )( )( )( )2 23 3 2

4

x y x yx xy x xy xy

x y x y xy

− +− + + − ⋅ =− +

�( )

( )( )( )( )4

.4

x x y x y x y x y

x y x y xy y

− − + −= ⋅ =− +

�� >� ������ � ��<��� ��� ����� �� ���������-(

�-� ;

x y x y

x y x yx y x yx y x y

+ −−− +− +++ −

$-�2 2

2 2 2 2 2 2

2 4 4 2: 1 .

2 4 2 4

x y y x y

x xy x y xy y x y

⎛ ⎞⎛ ⎞ − −+ − −⎜ ⎟⎜ ⎟+ − − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Page 153: 093 Matematika 01 - 02

���

� �� � �-� 1 1;

a b a b+

− +$-� .

a b

a b a b+

− +

��� �

� ���E���� ���������� ������ ���(

�-�3

2

3 1;

1

a x

x a

+⋅−

���$-�2 2

2 2

3 3;

2 2 2

x y x y

x y x xy y

− −⋅+ − + �����-�

2 2 2

2

9 3: ;

a x a ax

a ax a x

− −− −

�����-�4 3 3

3 2 2

1 1: .

1 2 2

x x x x

x x x x

+ + + +− + − +

� ��� ��� ����� �� ���������( �-�

1 1

;a bb a

−$-�

2

13

.1

9

x

x

��� ����������������������������������� �

��

��������

�� �(2 3;a a⋅ � 5 3: ;x x � : .m na a

�������%�E �� ,na �a ∈� �� � ?n∈�

� � M$����� ������������� �������� %�'�� �� �$�E��������������

� �$��(����-� 5 5: ;a a ��$-� 3 7: .x x

&�� � �E�������� �����������%���(

��� 5 5 5 5 0: ;a a a a−= = ����� 3 7 3 7 4: .x x x x− −= =

����%�'���� 0a �� � 4a− �������������E$�����������%�E����� ����������%�'�� , .na kun∈� ���������%�'��%�� �������%�E�������� �(

0a �����1�� �� na− ����� 1na�������F�� { }\ 0 .a dhe n∈ ∈� �� ��� � ���

� �� �( �- 02 ; $-0

1

3⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

+ ��- ( )02a + ���( )2a ≠ − +���- ( )0

2 �

� �� �(��- 23− + $-( ) 25

−− + ��- ( ) ( )32 0a a

−− ≠ �

���E����� �(

�- 22

1 13

3 9− = = + $- ( )

( )2

2

1 15

255

−− = =−

+������������- ( )( ) ( )

3

3 3 33

1 1 12

82 2a

aa a

−− = = = −− −

"�� �(� na− �� � ( )0na a ≠ ������������� ������

Page 154: 093 Matematika 01 - 02

���

��������

K�����E�� ���������$������� ���� ��� ������ ����$��������� �� ���������� ��� ������� ��������������� ������'���� ���� � ���� ����

� � # �E$������� ������%�E����

1nn

aa

− = ���� �(��- 2 3;a a− −⋅ ��$-�( )32 .a−

�- 2 3 (2 3) 2 ( 3)2 3 2 3

1 1 1a a a a

a a a− − − + − + −

+⋅ = ⋅ = = = �

8?�����������%����7

���������� � ��������� � � ��� !!������ �" �������#����������������������!�����# ��������#�����������#�!!���������� ��������$������������� ������� �" �������#����������%���$�#��#��� ��

( )1. ; 2. : ; 3. ;nm n m n m n m n m m na a a a a a a a+ − ⋅⋅ = = =

�� ( )4. ; 5. .m m

m m mm

a aa b a b

b b⎛ ⎞⋅ = ⋅ =⎜ ⎟⎝ ⎠

>������ �����������( )m m ma b a b⋅ = ⋅ �

��� 0m = �� ��� ( )0 0 0a b a b⋅ = ⋅ ������ '�� � ( )01a b⋅ = �� 0 0 1 1 1a b⋅ = ⋅ = &� ��� �� � ( )0 0 0a b a b⋅ = ⋅

���m p= − � ( )0p > �� �� ( ) ( )( )

1 1 1 1.

m p p p m mp p p p p

ab ab a b a ba b a bab

− − −= = = = ⋅ = ⋅ =⋅

� �������������� �$���E�� ����� � (���- 5 3 2a a a−⋅ = +��$- 3 2 5:a a a− = +���-( ) 23 6a a−− = �

�� �������

�� ����� ��� �%�'������ �� ������������� ������E ��� ��������������� ��������� ���������� ������ ����������'���� ���� � �����%�'����� ��� �� ���������������

� ��� ���� ����� �� ���������(

�- 2 4 6:x x x− − −⋅ + $- ( )3 2 2 3:x y xy x y− − −⋅ + �-( ) 24 3

5

a a

a

−⋅

����F�� { }, \ 0a b∈� �� �����F�� ,m n∈� ��� �(

��� ���� ������� � ��������������������� �

�����∈���������������� �����������������

Page 155: 093 Matematika 01 - 02

���

"�� ��E����� �(

��� ( ) ( ) ( )3 2 2 3 3 1 1 ( 2) 2 3 2 1 2 3 2 2 1 ( 3) 4 2: : :x y xy x y x y x y x y x y x y x y− − − − + + − − − − − − − − − − −⋅ = ⋅ ⋅ = = =

� �� ���� ���� ���� � �(����2

2

3

−⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

����������2

4 12

4

−− ⎛ ⎞⋅ ⎜ ⎟⎝ ⎠

���������� 1 1 11 2 3− − −+ + �

"�� ��E����� �(

�-�( ) ( )

2 22

2 2 2

2

2 1 1 3 3 9

3 2 42 223 3

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞− = = = = − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠− −⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

!"��#

( )1 1, 0, .

n n

n n

n

a ba b n

ab aabb

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = = ≠ ≠ ∈⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

:���������� �� ���� ������������ � ������ � (

�-� 43 ;x y− $-�2 3

1 3 2

3;

4

a b

a bc

− −

− − − �-�1 1

2 2.

x y

x y

− −

− −

−−

��( )

( )( )1 1

2 22 2

2 2 2 2

1 1

1 1

y xxy y xx y xyx y xy

y xx y y x y x y xx y x y

− −

− −

−− −− = = = =−− − + +−

&������� 0x ≠ &�� 0y ≠ &�� .y x≠ ±

� :���������� �� ���� ������������ � ������ � (

�-� 2x y− + $-� 2 2 42 a bc− − −− + �-�2

1 2

2

3

x y

xy

− − �

���

� �� ���� ���� ���� � �( �-� 2 1 1 22 1 4 4− − − −− − + + $-�

02

1 1

33 2 1

21 4 2

− −

⎛ ⎞+ −⎜ ⎟⎝ ⎠− ⋅

� �������� ����� ������� ��5( �-�2 2

2 3;

x y

a b

− $-�2 3

2

5;

x b

c

− �-�1 1

2 2.

x y

x y

− −

− −

+−

� >� ������������� � ���� ��5( �-�1 2

2

4;

3

x

y

− $-�0 2

4 1

(2 3);

a a

a b

−�-�

2

2

3.

1

a

a

−−

� ����������� �������������%������ 10 ; , .ka a k⋅ ∈�

�-�3,5 + $- 0,006− +���������-�&��� �������������������� ���������Q�QQQQQQQQA0���

Page 156: 093 Matematika 01 - 02

���

� ��������� � �����%�'��� �$�E����� ��������� ���� ���� �����������4�)3�

�-�� �43 15 2: ;a a a a� � $-�� �� �� �

252 4

220 9.

a a

a a

� H�������������� �� � � 2 2 1,P x x x� �

� � 2 3 2.Q x x x� � ,��������� �

�- � � � �;P x Q x �$- � � � �;P x Q x� ��- � � � �.P x Q x�

�������������������� ���

� ��� ��� ����� �� ���������(

�-� 5 2 3: ;x x x x⋅ ⋅ $-�( )3 5 2

6

:.

:

x x x

x x

� ,����%�'���� ��������

( ) 2 3 4 6 52 3P x ax y ax y x y= + + − ��� (

�-���������������� + $-�3������������ +�-����3������������� �

� ��� ����%��������� ��������(

� � � �� � � �2 21 1 1 1x x x x� � � � � � �

� ������'�����%����������������(

���-� ( )2A B− = $-�( )( )A B A B− + =

� �� ��������� �(

�-� ( )3 4 312 : 3 ;x y z xy z− ��$-� 4 4 3 32 5: .

3 6x y x y

⎛ ⎞ ⎛ ⎞−⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

�� �� �����

� � � �3 26 5 8 2 : 2 1 .x x x x� � � �

B���$�������������� �� �������

( ) ( )3 3 :a b a b− − ����

�-� 2 2 ;a b− $-� 2 2 ;a b+

�-� 2 2 ;a ab b+ + �-� 2 2.a ab b− +

�� M$��� �����E� ���(

�-� 2 3 2 2 212 8 4 ;x y x y x y− + ��$-� 2 212 27;x y −

�-� 2 24 4 1.a x ax− +

�� M$��� ��������E� ������� ��������� �(

�- 3 23 4 12;x x x� � �

$- 2 2 2 24 4 ;a x a x a� � �- 32 16x � �

�� ,�����#��� � !"����������� �(

�- 2 4 2 42 ; 6 ; 8 ;x y xy x y

$- 2 2 34; 4 4; 8x x x x� � � � �

�� ���� ��� ��� �a c

b d+ �����(

�-� ;a c

b d

++

$-� ;a c

bd

+

�-� ;ad bc+ �-�( ) ( ): .ad bc bd+

�� >� ����� ���(

�-�2 8 16

;4

x x

xy y

� �� $-�

3

3

8

8 2

x

x x

��

�� >� �����4

a������� ����%��������� ������

��%�����

�� >� ������ � �

2 3

1 3:

1 1 1

ax a x

x x x x

� �� � � � �� �� � � ��

�� ���� ���

�-�22 4

2 2;

a b a

c b

−−

− −

⎛ ⎞⋅⎜ ⎟

⎝ ⎠����$-�

1 22 2

3: .

ab a b

c c

− −− −

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

� >� ������ � ���1 1

2 2.

a b

a b

− −

− −

+−

� >� ������ � ���2

n n

n n

a a

a a

−+ +

���� .n ∈�

Page 157: 093 Matematika 01 - 02

���

��������� � �� �� �����=� ������ ��� ����������$������������������������

������� � �����������������������������������

�� ����� ��� ���������� �����������

B���� ��� ������ ����� �����������������

:�������������� ������������������������������

:��������� ����'���� ������������������������

:��������� ����'���� ���$�����'���:��������� ����'���� ���������'�������

:��������� �����������������������������������

��

���

��

���

���

���

���

���

����� �������� � � ������� �

:��������� ����������������������������������� ���

����� ����� �����=� ���������� ����� �����E�� �� ��������������������������������

����� ����������� ����� ���E�� ��������

���

���

B� ������ ��� ������ ��� ������������������ ���

B� ������ ��� ���� ����$�������������������� ���

:��������� ������ ����������������������������� ���

:��������� ����E� �� ������������������������� ��

�����

�����

�����

�����

�����

�����

�����

����������

����������

����������

����������

����������

����������

��������������

:��������� ����$���� ����E� �� ��������� �����������

����'��������%�� �� ���$ �� ��������� ������������������������������������� ��

����������

& ������� ����� �������� � ������������ �������

�����

Page 158: 093 Matematika 01 - 02

��

���� ����������������$�������� ��� ��������������� %� &

� ���� ���� ��������� ��� ����� ���� ����������������� +��������������������������������� �� ������� ���� ������� ������� �������� ��������������� ��E ��� ������������ ����E��������

'���������� ������������������������ �

��� ���������������������������� �� ��� � �� ������ ����������� �� ���������������������%�E ��������� ��� ����������������� �������� ��� ����������������������������������������� ��������������� ��������� ������������� ��� ������@������ ���%��� ������������������� ����<���F������������������ -����������#

# �������������� ���������������������������������� �� ��������� ���������� ���� ��������� ���������������� ����E�� ������������<��������� ����-������������ ��������������� ��������������� ������ � ������������ �5�����$� ������������������4�������� ������������ ��� �� ���������� �������������������4K5�'� ����� ��������������������4������� �$�����03.������������������������������������������@�% ���� ���� ���� ��������� �� ������# ����������� ����������������� ������ �� � ����������������������$ � �� ��������<03.���4�03.QQ���-�

� ��������������� � ��� ������������������� ��� ��������������������������� ������������� ����(������� ������������$�������������� ���������������������� ������ ������������������������

� ���� ��E ���������������'������� �� ������E��������� ��� ������������������� ��� ������������������'��� ���� ������������������� ������ ����� �

���� ������� �b�b����������������$���� ���� ��������������������� ���������������������� ��������� ����

���%���������� �������bb������'������������������� ����� ���������������$�������������� ���������������������%�E�� ������� ��� ��������������� ���������� �������������� �'�������������E�� ������������ � �� � ����� ��� �������� ���F�����(����� ����,K �<� ���� ����Y�����Y� ����-�'������� �����%�E��������� ���#�* �<� ����Y��������Y%����Y� ����-��������������� ����� ���

" ���������%����������� �������������������������5P2Q�����B#����������5P2A�������� ����:��������������������� �� �������� ������������������������� ��� ��������������������������������$����� ��������������� ������� �� ���� ��������� ��� ���������������������� ��� ����������������%�E ����������������������������������� ��� �������'�� ���������=� �������$�E��������� � �%�E�� �

Page 159: 093 Matematika 01 - 02

��

������

� ���

� �� �������� ���������

��� #������

�������

� ����

��� �

� ����

���� ��

#�

8

<

��

��������

��

��� ���� ������������ � �����

������ ���� �� �

%���� �������

#" ����

�������� %�����

���

��� "� ������ ��� ��� %�����

� ��

� ��

����

� ��

���

���

5

=

6

0

#

1810

� ��

� ��

� ���

����

����

���

���

μ

% ��

��

1510

1210

910

610

310

210

110

110−

210−

310−

610−

910−

1210−

1510−

1810−

������������� �� � �� ���� �����������������$ �������� � (

��������������� � �� ���������������$ ���5��������=� ���������������� � (�������<�-����%�����=����<H-����������� � � ����������<c-����%�'�������<"-������ ������� � ������� ��<!E-�����%� �� ����������<,-����� � ������� ����<�c-������ E��� ���� � ����� ��� �����<>-������������������� ������������<��-���������� �����%�'��� ��%�����<*-������������ ���� � ����� ���

������������� ��������������������������� ��� � � �� ���� ����=� ���� %�� ��� ����E���������� ���������� ���������� �� %��� � ��� ����� ���� �� ��� ������� ��� ������ ����������������$ ����3(

�� %������ � ������������������� ����� ����$����� ��� ���� %����� <���� ����� ��� �������%���������%����� ���-�

����� ������� ����� �������������%����� ��������������� ������ ��� �<0Q�����..������AA"��2Q�c��3.��� ���-�

����'���

����'���

Page 160: 093 Matematika 01 - 02

���

���������� � �������$������ � ����������� ����������� � �� �� ��'�� ������������������ ���������$����� � �������� ��%����E����������������� ����������������� ����������������������

����� ����������$������< �-������������������ �� � �� ��� �����(

)��� ( ) 2a 100 m ,= ������������+

�� �����( ) 2ha 10000 m ,= ������������+

��������( ) 31 dm ,=� �����������+

���� �����( )t 1000 kg,= ���������+

���������, ������( )C ,° ����� �� ��������� ��������� �� �0 C 273,15K;° =

��$��( ) 5bar 10 Pa,= ���������� �<���� � ������� �� ������-�

��������� ������������������� ����� � (

��������( ) 610 m,μ −= ������������+

������� ������� ��� 32,832m ,= �����������+

��������������� ����� ���� �� 100 kg,= ���������

� ������������ ������ ����� ������� �E������� � ��������� ���� ������ �������������� F��������������������� ��������������� �����@������ � !J@�������E������������� �������������������

���� E ����(�������������������������������� �� ��������� ���� �� ��� �� �F������

5����������������������������� � �� (

)�5������ ( )yd 0,914m= �� �12 yd 11 m=

)�1yd 3= �����( )ft , 1ft 30,48cm=

)�1ft 12= ���F��( )in , 1in 2,54cm=

)�5����� ������ �� 1760 yd 1609,34m= =

)�5����� �� ��� �� 1852m.=

3��������������������������� � �� (

)�H����������( )sq yd �

)� 21sq yd 0,8354m=

)�������������� ������1�����( )acr ,

1acr 0,4047 ha.=

0���������������������

�������� � �� (�)��������$����( )cu yd .

31 cu yd 0,7635 m=)�������������� ����� � +��� ������ ������� � +

1��� ������ ������� � � 32,8315m .=

.������������������� �� �������

)�5������( ) 4,54345g = �

)�5���� � 0,25g 1,136= = �

)�5�$�� � 36g 163,57= = �

)�5�$�� ��( )bsh 36,35= �

)�5������ ��( )q 8= �$�� ��

)� ( )1 q 64 g 290,781 .= = �

Page 161: 093 Matematika 01 - 02

���

���������������� ���

)�1 28 ; 1 453,6gqr lb lb= =

)�1 16lb = ���� ( ); 1 28,35goz oz =

)�1 16oz = ������ ( ).dr

A�3������� ��� �� �F������

)�5������$���( ) 373, 242grtrlb =

)�5 12trlb = ������ ( ); 1 31,1035gtroz troz =

�A�5��������������� ����

)�5��� �����<�������-����� E �( ) 1016kget =

)�1 20et = ��� ��� ����( )cwt ;1cwt 50,8kg=

)�1 4cwt = ������ � �( ) 112qr = ��$���( );lb

) 1 qr 12,7 kg.=

)�1 20tro = �� ��� ��� ( )dwt)�1 24dwt = ��� ���( )gr)�5������� 4= ��� ������������� �F�����(5������ 0,2053 .gr=

8�������������7

���������������

��'� ��������(�D�����3A����5P�R,7D����A����5.���

,����������������� � �� ��������� �� (�-�K�����������$-������+���-����7

� K��������� ����������������� �%�� �������� ���'��'� ���� �������������

������ ������� �$�����5A�����D5�����32��� ���AQ� ������.3"���������� �$�������������������������������� � � ��������������� �� ���� ������������ �����������'������������� � �������

������� � ���������������� �����(

����� ������������ �$���(�%�#"����(�#"&�� � ����� � &��������*�������������������� �$���+�A���� �5QQ���0"�� �2�"��3��� �50��+���� ����������� �$���+�A��+�0�3�+�6"+�� �� ����������� �$���(�.��6���5A���P�2��D��+�."A�"#

� 8%���������������� � ������������ � (��-�3����� �.����+���$-�D�����A2���� �53���+

�-�P"����"���+"+���-�2��� �P�7

� �H����������������������(��-�D���� �2���+�$-�53����2��� 30��+��-�53A����52���� �6�7

���������������������������� ����������������������������� ����������������������� �$�����2���� 6�����������2����������� �������������������������������6������������� ����������������

�������������� ������������������� �������������� ������ ������ ���������������� ������������������ �������������� ������� ������� �����$������������� �����������������

��������

Page 162: 093 Matematika 01 - 02

���

� � ������������������ ��������������Q�63��� �7

&�� ���E������ ������� ��(Q�63����= 0,72 12⋅ ��� 8,64= ��

&�������Q�63��� ��4�D������5P������.����.D��������

���� ������0��������������������� ������������������������������ ����������������

��� ����� ���������'� �� �"������

� ������������������ ��������������Q�0D��� �7

� ���� ��������2������5.������P����02�������7

��������������� �� �������� �����E$�� ����� ����� ��������� �� E���������� �������������������� ���������������� ����������� ��������������� �������������������K� ��������

02����(�2Q�4�Q�2���-�,���

P�2����(�3.�4�Q�.�����/�5.�����

5.�.������(�0Q�4�Q�.D�����/�2�����

)&(+�����������;�'&�(��� ����� ��������������������$� �������������������� ������ ������������������������ �� ���������������'� � �������

� ���� ��������6������53������5A����3A�������7

� �������������0��� ��D������53������D����3.�������7

��������� ������������� ���+

���B E���������� ����������� ��� �����������������������������+

3��B ��������� ����������������� ����������������������������

)�D���

Q�2.��� 0,64 30= ⋅ ��� 19,2= ���)�5P���

Q�3��� 0,2 24= ⋅ � 4,8= ��

��.��

Q�D�� 0,8 60= ⋅ �� 48= ������

Page 163: 093 Matematika 01 - 02

���

���' ���� ��������%��� ��;�3 12⋅ �������;�%)�����

-�+�����

((�������⋅ �%'������;��%�'�����-��������

�%%����������(����������)'��;�'&(���

-�+���

+&(�������(��;�'&%������

��������� ��(�0��� ��D������53������D����3.��������4�5003�0A������

�������������A���� �55������5.������.����A��������2�� ����7

��� ������������������ ������������000333��7

&� �������� ����� �������� ��������000333��+�����������$������ ������������������������������� ������������������ ��� ���������������$ �� �� ����������������������������� (

����000333���(�2Q�%������AAA0������ ��$ �� �.3��������AAA0�����(�2Q�%������P3��� ��$ �� �00�����

����P3��(�3.�%������0���� ��$ �� �3Q����������� ���(�000333���4�0�3Q�00����.3��

�� �������������������� ������������02.A.0��������7

�� ��� ������ ��� ������ ���� ����� ������ ����������.A3P���7

�����'��� �������������� �������%�� ��������� ��������� ��� ��� �5Q��� E������������ ���� ��� �����%����������� ������� ��������.A3P����4�.���A���3����P���

�� ����������� ��������� �������� ������������5.A20��7

( )14 lb : 28 0,5 gr 1 gr 28 lb= =3 gr+

( )3,5 gr : 4 = 0,875 cwt 1 cwt = 4 gr16 cwt+

( )16,875 cwt : 20 = 0,844 et 1 et = 20 cwt+23 et+

23,844 et.

�� ���� ��������� E �< �-�������30� ��52��d��0����5.��$7

Page 164: 093 Matematika 01 - 02

���

���

������� ���� ������D����2���.�����A����� ���������

�������������������������� �� ����������0AD0�.2���7

��� ���� ����������0����D�����2���3���7�

��� ����������2���A����D����.���7�

��� ������������� 2 2 2 28 hm 5 dam 40 m 5 dm 7

��� ������������������ �����������.D3A023���

��������� �������� ���������������� ��� �����������30.A62D3Q��7

���� ��������������������������� �� ����������30A530�0A2���7

������������������ ��������������Q�A.�� �7

(� �������30� ��52��d��0����5.�$����� �� � ������(� ��30���52���0���5.�

&������� ��30���52���0���5.�4�30�D..� �

�� ���� ��������� E �< �-�������5A� ��5.��d��3����53��$7

�� ����$��������� ��0���3���52���.

3 et 20 = 60 cwt⋅+2 cwt

62 cwt 4 = 248 gr⋅+16 gr

264 gr 28 = 7392 lb⋅+4 lb

7396 lb.

�� ����$��������� ��30���52���0���5.7

�������������� ���!>���A� ��6��d��0����5.��$�5.�'��

��

����$��������� ��3Q���5.���0���557��

Page 165: 093 Matematika 01 - 02

���

����� ����������������������

� �� ����� �(��$� �����E$�����������E����� ��� ��������������� ���� ����������L�������������� � �$������� ��

� ����������� ����� (���� � �0�� ����� �A� ������������������� � �(�� � �+� �������������������� ��� � �(� � �% � ��� ��� ������� ����������� �������� 7

K������$� �� ��<E$���� �-���������� ���� ������������� �������������� �����������'����������� ��� ���������� ��������������� ������ ���������$��� ��<E$��� �-�

�� h� �����%�� � ������ ���� � �����(�� � �����+ �(�� � �����(�� � �����% �+

*�� � ������� � ����) � ��;��+�� � ����� � ���) �

� ���� �������� ��������������������2���A06�������������)0���5DQ������������������ ��� ���A���.3Q���� �������������������������� ������ �������� �����7

� & ������ ���������������� �������������� ������������ ����E�����������2������ �3D����������������55������ �5A���������������������������5Q������ �.Q���� �����������$ ��������������E����� � �� ����������� ������� ���������� �E�����.A�������7

+

�)�������+��

������������

�'������('��

�*������+%���;��+�������%��

−((������)'��

�+�������%��

�)������%*��

� ���� ����������������0����������������������������2���PA������������A���.3Q����� ����� ���.���3DQ�������������������������������� ��������������0���.A2����

�-� ������������ ��������������7 $-� �����������$ ����������� 7

� �� �����������( )45m 26cm 4 mm 12⋅

#������ ���( )45m 26cm 4 mm 12 540m312 cm 48 mm = 543 m 16 cm 8 mm.⋅ =

#������ ������45m 26 cm 4 mm = 45264 mm, �� ��(

( )45m 26 cm 4 mm 12 45264mm 12 = 543168mm 543m16cm 8 mm.⋅ = ⋅ =

� �� ���������������( )3h 45 min 6 s 8.⋅

Page 166: 093 Matematika 01 - 02

���

� ������ ������ ������������ ������������� �E����D���6����2������%�� ����%�������� �E����������������7

8m7 dm 6 cm 8,76m; 8,76m : 3 2,92m.= = �&�������( )8m 7 dm 6 cm :3 2m 9 dm 2 cm.=

�� ��( )2 2 232m 46dm 15cm : 5.

(� ����������� ������A�� �������E���������������� ������ ������������ ������������������� ������2����E���������������� ������ ������������ �������� ������������������ ����������� ����������� ������� ���������������� � � �� ���� �� ��K���������E������ ��� �������������������� ���� ���������� �� ���� �� ������������������������� ������������� ������������������������������ ����������������������� �������������� ������

#������ ������0���6���AQ������ ������������� ��� ���������� ���� ����� ��� ��� �� ������� ���� ���������$���������5���3���AQ���7

&������������ ��������������������������� ��������� �������

3t 7 hg 50 kg 3750kg, 1t 2 hg 50 kg 1250 kg; 3750 kg :1250 kg = 3.= = �&�������� ���� ��0��������

�� 8�������5�����������������������53QQQ�� ������ ��� ������� ��������� ������5Q����������%��������$������� ���� ���� +�.���5Q���� �5.��7

"������������������������ 34 0,1 0,14 0,056m .V abc= = ⋅ ⋅ = �"���������5Q������� �����3 310 0,056m 0,56m .⋅ = �����'��F�������5���������53QQQ�� ������� ��(�0,56 12000 6720.⋅ =

&�����������5Q��������� ��������� ��263Q�� �����

���

��������������������������� �����������0�� ��D������� �3A�������������������.��� ��6������ �35����������� ������������� �� ��� ��6��� ��.������� �56��������� �����E��� ���������������������������

���� ���������������5A���DQ�����������������������������D���3.A����� ������������$ ������� �7

��

����%�'��� �>���������A�5.�⋅ 5Q�����������������%�'������ ������0�2A�⋅ 5Q� ���� ����

���������������� �������7

������� ��������������0�������%(����������2A���6Q������������53Q���3Q����� ����� ���D3��2Q����� ��� ������ ����������������������� �F���������%��������.DQ�� ����7

�� �(

�-�( )3 3 316m 25dm 240cm :15;

$-� ( )5t 420 kg 8 hg 4 dag 20;⋅�-�( )25 h 2 da 8 :8;� � ��-� ( )2 2 2124m 18 dm 40cm :16;

-�( )24 8 5 min : 5.ditë orë

8�������5���������������������������PQQQ� ������ ��� ������� ��������� ������0Q������� �%���������$������ ���� ���� (�-�A���0Q���+�5Q���+�53���+$-�0���2Q���+�0Q���+�.�A���7

Page 167: 093 Matematika 01 - 02

���

������������������� ���

� ���� ���� ��������� ��� �� �������'�� ��� �����L��������������������������� ������� ���������������� ���������� ��������������������� ��������������� ������������� ���� ���

�� ������������� � ,a

b�����'� �������������� �������������������������������������

"� ��� �����������(������������������ �������'��%�� ��� ��� �������� ���� ���� �'� �����%��������� ����������#�� %��� ������ ���� ������ ��� �)�

� ,����� %��� �� �� ������ ��������� ������ �(

4 1520:5, : , 100 m: 25 m 24 kg :6 kg.

3 5dhe

8%�����������7

����������������� ��������������� �������� %��� ����������� �����������$���$�������� ��������)�4�.�

&������� ���������$���$�������� ������� %��� ��������������������� ��������

� ��������������� ������ � ���������$���$����(

�-�D(53�� �5.(35+ $-�55(33�� �00(22+ �-�33(00�� �00(..�

����������������� ���� ������������������� ����� ��� ��������

� ����������� �� ������ ����(�����1:5; �����100:1; �����3 7

: .4 5

X���� �'������ ������������������ � ��������� ������������ ��� ������������$���$������ �5�

B�����������$������ ������������� �'� ��������������������������������$������ ���� �� ���������������� �'� �����"���� �

����� �$�������������� ����� ��D(0�� �0(A����������������������� �������� ���E�����D�(�0�(�A�

��������������������������E������� ���� ��������� ���������������%���������+�

# ��������������������������������� ������ ������ ���+��������+�� ���+�

� �������������������� �� ��� ��������������������� ��������� ���E�����5(0(A(6�

# ����������������������������������������� ������� ���(�5(0��5(A��5(6��0(A��0(6�� �A(6���������� ���� ��� �������� � (

"� ��� ������������������������ ������������������� �����������E����� ��� �������� ���������������������������������$���$������ �Q������������ ������� ���� �������������E�� ���������� ������������� ���� ����������� ������

Page 168: 093 Matematika 01 - 02

��

���� �������� ������� � ����������������� �� ��� �����

��������������������������� ������ ���� ��������� : ,a k b k⋅ ⋅ ��� �������� : ,a b

k k����)������������� ����

���������� ��Q�

����������������������� ��(�� 1 2 3 1 2 3: : : ... : : : : ... : .n na a a a a k a k a k a k=

# ��%����E����� �������� �� ������� ������������ ������

� >� �������� �(��-�1 2

2 :1 ;4 7

��$-�2

5:1 .3

���1 2 9 9 1 1 7 4

2 :1 : : : 7 : 4.4 7 4 7 4 7 28 28

= = = =

$-������'��� ��

: ����� ������������� �� ��� ����� 1 1 1 2 2 2: : .a b k dhe a b k= = �# �����E����� ��������� ����������������� %���������������( ) ( )1 2 1 2 1 2: ,a a b b k k⋅ ⋅ = ⋅ �'��'� ���������� $� �� ��� ��� ���������� 1 2 .k k⋅

����� ������ �� ����$��������������%�� ��� ������ �� ��� �������� � (2:3, 5:6 9:10.dhe

� H�������������� �(�� : : .a b k dhe c d k= = ��������$���$������ ��� ����� ���������%������$���E���(: :a b c d= �������������� �� ���������� �'� ���� ������������ ��� �����

&��������������� ����$���$��������������� �� ����� �$���E�����%����������� ������

�������������+�� ����������������� ������ ��������� ����+�����������������������������������������������+����������������� ���� �������������������������

@��������������� ����������<��� ��-�'� �� � ������ ����������������������������������� ����� ���<��� +-�Y����� ���$ ��������M������������� ��������������+������� = ��9�������������� ������������+�������;�

�������� ��������32 :8 20 : 5= �������������� ��������� ������������ ��������� ��������� ���$� ������� ��������� ���� �%�������

32 5 160 8 20 160.dhe⋅ = ⋅ = ������������� ���������$���$����������������� ������������������� ������

K� ���������������������������� �������� ����� � (

> �� ���������� ����������������������� ������������������$���$������ ��������� ��������� ���$� ������

# �������� ������� ������������ ������ ���������a c

b d= �������E����� ���������� ��������+#

���$�E������������ �� ����� ���������������� ����������������� ���������� �������������� �������������������

Page 169: 093 Matematika 01 - 02

��

,������ ���� ����������� �������(�-� : 4 8 : 2;x = �$-�7 : 12 : 4;x = ��-� 4 : 2 :3;x = ���-�3:5 6 : .x=

��� 2 4 8, 2 32, 16.x x x= ⋅ = =

����� ����������+�������� ������ ���� ������ ����� �(

��� : : ;a c b d= ���� : : ;b a d c= ��� : : ;b d a c= ���� : : ;c a d b= ���� : : ;c d a b= ���� : : ;d b c a= ���� : : .d c b a=

X���� �'������ �� ������� ������� ������ ����� � ������ ������ ���� �$���E���������+�� ��������������!��������*)����3������������������!��� ��������&���������������������,��&������������!������,+&������������!����������������������������������������������!������#

���������� �������� ����� �'����� ��������$���E���.�⋅ 53�4�2�⋅ D�

������������+�������� ������ ���� �������� ����� � (

5-� : : ;a b ck dk= ��3-� : : ;ak bk c d= ��0-� : : ;ak b ck d= ��.-� : : ;a bk c dk= ��A-� : : .ak bk ck dk=

����� ��������������������� ���������������������� ��������������$� �������� ������������������� ��������E ��� ��� ��� ��� ������������������������������ ������ ��E ���

�� �����'��������� ���������� �

# �������� ������� �� ������ ����� ������������ ������

�� >� �������� ��������2 1 7

: : .3 5 15

x=

������E������������� ���������������� �5A�� �%������7

10 :3 : .15

x= �# �����E����� �����������������

� ������������������� �����������%������� �5A��� ���5Q�(�.A�4���(�6�<����� ������� ��� �������� �A-�

3�(�P�4���(�6�

�� >� �������� ����� �(��-�1 2 3

: : ;6 5 8

x= ���$-�3 2 1

: : .4 3 7

x =

� ����� ����� ��'�����'�������� �����������'����������� ����� �����������

H�������������� ����� �� ��� ���(� 1 1 1 1 2 2 2 2: : : : .a b c d dhe a b c d= =� �# �����E������ ��������� ��� ���������������� ����������������� ������ ����� � ��%�������������� ����� ����� ��(

( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2 1 2: : ,a a b b c c d d⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ��� �������� 1 1 1 1

2 2 2 2

: : ,a b c d

a b c d= ����������'� ���� ������������� $� ��

&���������� �������������� ��������� ����� �����E ��<�� ��� �-��������������������%�� �������������� ��������������'� ���� ����������� $� ��

Page 170: 093 Matematika 01 - 02

���

�� ,����3���������� ����� �(��9: 5:7 : 3:10.x dhe x y= =

���

,����� �������������� �(��-�8: 7;

$-�3m :9m; ��-�7cm : 3g; ��-�2

4km : m;5

-�2

: 0,34;3

%-�11m :1l; ��-� 34m :8.

@���������$���$���������� �(

���124:31 4,72:1,43;dhe ���� 1 2 27:1 : ;

5 3 5dhe

���4m:5dm 560cm:7cm;dhe �"��3 4

: 3,70:2.4 5

dhe

>� �������� �(���-�7200 : 2700;

$-�6,24 :3,48; �-�1 1

6 :5 ;2 5

�-�4m : 5dm; -�16dl : 24hl.

B���� ������ � ������%���������'�������������������� ���5(�-�3: 6; ����$-� 45:0,90; �����-�0,25: 0,07;�-�20m : 4cm; -� 6 h : 8 ;v je t �%-� hl7dl : 28 .

���� ����$�� �<���������%��������� �������������� ���� ���� �� ����� ����$������DQ���� 2Q�������� �������� ����<������PQ���� �AQ������������� �� ��������� ������� �

�� ����������� ������������������(

�-� : 7,x ��� ��� ��� ����������3+

$-�36 : ,y ��� ��� ��� ����������.�

@���������%�� ������� ������� ������ �(

�-�0A(�A�� �.3�(�2+ $-�5A�(�0�� �5D�(�2+

�-� 53� (� 0� � � 3Q� (� A+� �-� 2�.D� (� 3�3.

� �6�03�(�0�5.+

-�2 4 4

:4 :4 ?3 3 5

dhe

"����� ����� �� ��� ������� � � �����94;��

%����������� �����(��-�7 :12 14 : 4;=

$-�8:3 7 : 4;= ��-�0,25:0,50 13,8 : 27,6?=

,������������� ���������������� �����

��-�5: 3: 21;x = ���������������$-� :18 4 : 24;a =

�-�3

3 :3,5 : 0,75;4

x= �������-� 42 : 7 18: .p=

�������������������� ����� �� ������ �� �'�

%�� ����������� ����������(�3�������#

��

��%����������� �������� ����$�����9 : 15 : 70,x xy = ��� �����%�������9 : 3:14,y = ��� �������

�9 14

42.3

y⋅= =

Page 171: 093 Matematika 01 - 02

���

�������� �����$�������������� ������������

�������� �

8?�����������7

8?���������� ������7

8?����� ����� � �� � ������ ����� � 7

,������ �������� ����������� ����� � �����7

,���������� ������ �'������������$���7

>����� ���� � ������� ����������� ����� � �� �������� ��������� ������� �������

� F��������� �����E���� �����%���� ����

��������� ��������a c

b d= ���� �(

1 1, .a c a b c d

gjegjësishtb d b d

+ ++ = + =

����� ���������%����������������� �� � ���������%���( ( ) ( ): :a b b c d d+ = +

�������������������������%�� �� � ������ ������( �� ( ) ( ): : .a b b c d d− = −

&������� ����� �� �%������������L��������������%��� ( ) ( ): :a b c d b d+ + =

( ) ( ): :a b c d b d− − = �� ����������� � ( ) ( ) ( ) ( ): :a b c d a b c d+ + = − −

� ������ ������

>�������������� ����� �� �%�������'� ���� ������������&�� ���������� �������� � ��������+��#

� ,��������������� ������(����-�( )3 : 3: 2;x x− = �����$-�( )2 : 5 :3.x x+ =

&��L������' ������������������E����� �� �� �������� ����(

������

( )2 3 3

6 2 3

6 5

6;

5

x x

x x

x

x

− =− =

=

=

��

( ) ( )3 : 3 2 : 2

3: 5 : 2

6.

5

x x x

x

x

− + = +=

=

#������� #��������

� M������������������������������ �(���� ( )8 : 5 3: ;x x+ = �����( ) ( )7 : 7 2 :5.x x− + =

� "��� �� ������ ����� ( ) ( ): : 3 : 3 : .a b c d a b c d a c= ⇔ + + =

( ) ( ) ( ) ( ): :a b a b c d c d+ − = + −

Page 172: 093 Matematika 01 - 02

���

: ������ �������� ������� : : ,a c

a b c d gjegjësishtb d

= = �M������������������� ������ ������������0�

� 3 3,a c

b d+ = + ��� ������� ����� ( )3 3 3

1 .3

a b c d a b bose

b d c d d

+ + += =+

� �������������� ��� ��� ����

������ ����� ��� ��( ( )2 .a c a b

b d c d= ⇔ = #�����%������� ��<5-�� �<3-���� ���

�� ( ) ( )3, : 3 : 3 : .

3

a b agjegjësisht a b c d a c

c d c

+ = + + =+

������������� ������ ����������'��������� ���� ��

� ���������� ����������%� ��� � �� ����������������� ����� � ���������'�������������� ����� �����E������

����� �$�������� ������ �� �$���$�����5(3��0(2�� �5Q(3Q���������� �� �����9$����;������%����������� �������5�(�3�4�0�(�2�4�5Q�(�3Q���������'� ���� �����������"���� �

�������������(

J���E��� ��� �������� ���������� � ����$���$�����'� ���� �����������"���� ������������������� +

1 1 2 2: ; : ; .....; : ,n na b k a b k a b k= = = ���� ��� 1 1 2 2: : ........ :n na b a b a b= = = ����������� ����������E�����

���������� 1 2, , ......., na a a � ���� �������������� �����<���������-�� ���������������� � 1 2, , ....., ,nb b b

���� �������)���������%���������� ����������#

��������� �������� ���E��������������%���E �� � ���������(

1 2 3 1 2 3: : : ... : : : :... : .n na a a a b b b b=

��������� �������� ���E������� ��������� ��(

����� �����������E���������������� � ���� �����E ��� ��� ��� ��� ����������������������������� ������ ��E ������������������������ ������������������������� ������ ������������������� ������ ������������������� ������

"��� �������� ���

# �E$������� �������� �� ������� ����� �� ���E������������L���� ������

����� �$���������� �����������E�����1 2 3

7 3 1: : : : ,

8 4 2a a a = �� �����E����� ������������������ ���������� �D�

�����%�� ��������������������� ������ : : 7 : 6 : 4.a b c =

�������� $��� � ������������������ ������������������������ $��� � ������������������ ����������������� �������������E������������������������������������������������������������������ ��������� ������������� �������� ���E����� 1 1 2 2: : .... :n na b a b a b= = = ��� �

1 2 1 2

1 2 1 2

........ .

....n n

n n

a a a aa a

b b b b b b

+ + + = = = =+ + +

Page 173: 093 Matematika 01 - 02

���

!"���������� �)�������� ��� ������ � ����$���$���������� 1 2

1 2

, , .... ,n

n

aa ak k k

b b b= = = ���� ��

1 1 2 2, ,...... .n na kb a kb a kb= = = ��� �����+�( )1 21 2 1 2

1 2 1 2 1 2

...... ....

... ... ...nn n

n n n

k b b ba a a kb kb kbk

b b b b b b b b b

+ + ++ + + + + += = =+ + + + + + + + +

��������� 1 2 1 2

1 2 1 2

......

...n n

n n

a a a aa ak

b b b b b b

+ + + = = = = =+ + +

�K���'���� ��������� � ��

� ��������� �����������E�����5Q�(�2�(�.�4�5A�(�P�(�2����$�E������ ���������������� ���������%�� ����������� ����� �� ���������� ����� �

���( ) ( )10 6 4 : 15 9 6 10 :15, 20 : 30 10 :15.ose+ + + + = =

���( ) ( )10 6 4 : 15 9 6 6 : 9, 8 :12 6 : 9.ose− + − + = =

�� ( ) ( )10 6 4 : 15 9 6 4 : 6, 12 :18 4 : 6.ose+ − + − = =

� ,������� �3���������� �������� : 4 6 : 3: 2.x y= =

�� ������� ����������������%�������������� ����� ��� ���������������� ����+���(�.�4�0�(�3�� 2�(�3�4�0�(�3���� ����� ���� ��� +���4�2��3�4�.�

� ,������������� ���������������� ���������2 : 3 : 6 8 : :18.x y z= = =

� # ������ ����� �( : 4 :3; : 3:8, : 4 :5.a b b c c d= = = ������������ �����������E����#

�� � : 4 :5c d = ���� ��+�����4�D�(�5Q��������������� ������������������������������+�����4�.�(�0�(�D�(�5Q�

# ������ ����� �(�������4�3�(�0,�����+�4�0�(�D,�+�����4�.�(�6�������������� �����������E����#

�������.AQ����� ������������ ���'�����������3�(�0�(�A�(�D�

& �����������E��������������������

450,

2 3 5 8 18 2 3 5 8

a b c d a b c d+ + + = = = = =+ + +

��� ����

������������� 25, 25, 25, 25,2 3 5 8

a b c d= = = =

50, 75, 125, 200.a b c d= = = =

#������ ����������������� ��� ������� ��(��������+�����4�3�(�0�(�A�(�D�� ���������+��4.AQ� ������������� ������������ �������� ���E������ �(

#������������ ���� �������������L����� ���� 3)�� 0)�� �)� � � D)�� ��� )� ����� � %��� ���� ������ ���������@�� ��(2 3 5 8 450,k k k k+ + + = ��18 450,k = ��������� 25.k = ����������� ���� ��������������()��� ��� ����� 2 25 50;⋅ =)��� ��� �����3 25 75;⋅ =)��� ��� ��� ��5 25 125;⋅ =)��� ��� ��������8 25 200.⋅ =

������ ���� ������.AQ

Page 174: 093 Matematika 01 - 02

���

� ��������0�� �$��������������'��������������� ����������� ����

�� �������2QQ����� ���������� ���'�����������5�(�0�(�2�

���

M���� ������ �������(�-� ( ) ( )3: 4 7 : 7 ;x x= − +$-�( ) ( ) ( ): 2 : .a x b x a x x+ − = −

� ������������ �����������E������ ����� ����� �(�� : 2 :3, : 6 :5, : 15 :11;x y y z z d= = = �� : 7 :9, : 1: 2, : 7 :15.x y x z x d= = =

"��� ��������������(

� ( ) ( ):a b c d a b c d+ + + − + − =

( ) ( ):a b c d a b c d= + − − − − + ⇒

: : .a b c d⇒ =

,������������� ���������������� �������

2 : 3 : 6 8 : :18.x y z= = =�

�������52Q����� ������������ ���'����������3�(�A�(�6�(�2�

"��� ��������������

�1 1 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2 2 2

.a b c a x b y c z a

a b c a x b y c z a

+ += = ⇒ =+ +

�������� � � ���������� ���������

� 5 3 0 . A 2 6 ���

3Q�'����%(���%��(� ��������$ ���(

K�����E����� ������������ ��� ������������� �� �� �� �E�������� ���������������� � �����3��0��.��G� ����������'� ���E��� �� � ��� ��� ������ � ��������������� ���������� ���� �������������� �������� �����H�� � ������� �$������������� �����������(

)�� ��� �������� ����� ��� E��� ����+

)�� ��� �������� ���������$���$�������� �$�������������+

)�B����� ��������� �$ �E���� ���=���+

)�B����� ������������������E� ��������������� �� ���������������������������������������

���������������������������� ������ �'��������������������� ��������������������������� ������������ �������������� ������������������������������� , 0.

yk ose y kx k

x= = ≠

���$���E���'� ��%� ������ �� ������������ �������������������)��Y���%��������� �����������

���������� ����������� �������� ������ ����������� ������������ ���� �%������������ ���3�����������������%����������������������� ������������� ���������� ���E� �������������������������� ����� ��������������<��� �������������

)�& ����������*�%(�#"

Page 175: 093 Matematika 01 - 02

���

4− 3− 2− 1− 5 3 0 .14

� 13

− 12

− 1− 512

13

14

���������$ ���(

5 3 0 . A 2 6

02

J�E�

:�������

&� ���������������������02����

D P 55 53

0

5Q

������ �������� ����$������ ������ ������ ����� � ������� ������������������ �������������������� ��� ������������ ��������������� �������������������������������������3��)���

� , .k

xy k ose yx

= =

K��%����������� �����������E�� �������������� ��������'��'� ������ $���

<��� �����

� "�E������%����� ��3�4�5�

� >� ���� �� �$������������� �'��� ���������� ���������E�� ����

#��������'��������������� ����������� ����� �������� ���������E�� ����� � ����������$������'� ���������������� ��� �� ����������������� �

���

,������� ������������ ������������� ��� (

�-� ����� ������������ ��� ��� ����+

$-�J������� ��������� ��������+

�-�B� E���� ��������� ��� ���7

(

%

�.�.%.(

.�

.�

.%

.(

� � % (

.�

,������� ��������� ���������������������� ���������� ����� ������������ ���������E�� ���(�-� ����� ������������ ��� ��� ����+$-������������������� �� ���������E� ������� ����E� ����� ����������������+�-�"� ��� ������� � �� ������� ��������������� ���� �����������������-�"� ��� ������� � �� � ���� ��������������� ������ ���������������+ -����������� �%������ ������%�' ������$� ����7

ky

x= ����������� , 0 .�x ≠�

&�� � �E������������� ����������������������� �� �E�������� �$�E�������� ���������������3��0��.��G ������������� �����E���� ���������'� ��������������������������� ���� ���������� ������"�� ���������� �$���()����� ����������������� ������������� �������������������+)� � ������� �����E� ��� ���� �� ���� ������������ ��������)� ������ ���E���� ����������� ������������������������������� ������ ���������E�� ����

Page 176: 093 Matematika 01 - 02

���

�'���������%����������

�('������<�������%���������E���-�����������<�������%���� ����-

X���� �'������ ���������������������������� ���������E�� ������ '������������������������ �������������������$����������������������

����������� �����������

�������� �8?���������� ������(

,������������������������� ����������� ���7

,������������������������� ���������E�� ���7

�AQ� ��� $���� � �������� 3AQQ� ������ ��� �������������53Q

����$���� 7& �����������E�� ����� ��� ������� ��� �������� ����������������� ������'�����������%���� ��>��������� ������ �������

������������ ���������� ������� ����������<�������%�������-������������� �������� ����������<�������%��� ����-��� �F?������� ��������� � ���'���� ���� �������� ��������� ����� ��������� ������� ����������������������� �����

��� ��� �������� �������� ��������������� ����������������������� ����������� ������������������ �������������� ����������������������� ���������E�� ��������������������� ��� ������%�������������������������

�� �������� ��������� ��� �� ��� ������� ���������� ������������� � �������������������

���� ����+ ���'�#"��$���� ��'�#"��$����

��''�� ������������� ����

�������������$� ��%������������������'��������������� ����������� ����������������� ��������������� ���

��������� �%����������� �������(���(�3AQQ�4�53Q�(�AQ���� ������%������2500 120

6000.50

x⋅= = �&�������53Q

���$���� ���������2QQQ�� �����

� ��������������������� ��2QQ��=����������������������5A������ � �� ���������������������=����� � ���=�����������D������ � 7

� ������������������$������3Q�������������5.Q��������������������������������������������$������0A�������������������������������������� ����������7

Page 177: 093 Matematika 01 - 02

���

����� ���������������������� ��(�� :140 20 :35,x = ��� ����� 140 2080.

35x

⋅= =

&�������0A���������������$����������������DQ������

� # �������� ��������������'�����52�� ���������������' ��5������� �������� ���������������'�����������' ��53�� ����7

� ������������������$������0Q�������������2Q�����������������������������3Q��������������5Q����� ��������������������� � �A���������������������������� �� �����������7

�����'�������������������������0Q�������������3Q������������ ������� ��������������������������������$���������������������� ��(

>����� �������������������������������$������������3A������������ �������

%'����������'��������

)'�������������

: 60 30 : 20,x = 90x = �����

������������� ������63������������������� ��������� ������� ������������63�/�5Q�4�D3������

���

����3QQQ�� ����������$� ���AQ����������� �� ������������������$�� ������5.QQ�� �����

� �������������������53���E�������������������'��������5A������� ������������E��������������� ������������3Q��������7

.Q������������� ��� ��� ������������� ���������3QQ��������� ����������� ���� ������������������� ��������� �������������������'������������0QQ��������

������������� �� ������� ����� ������������� ���5QQ�"������ ��� ��5A����� ������� �������� ����������%������� ��� �������������������� ����%�� ����(��-�2AQ"����+�$-�.Q"����7

�������������3Q����������� ������$������������������.A������������� ������%�������5A��������� �����3Q������ ������������������� � �5Q��������������������������� ������� ������%�����7

�'��������������������

,'�������������

72x = �����: 90 20 : 25x = �

Page 178: 093 Matematika 01 - 02

��

����������� ����������

�������� �

����������������� ��� �����$������ �����'����E��������� ��� ������� ��� ��������� ����

���F���$�E ������� ����7

# ��� ������� ��� ��������� ����� ��� ��� ������������������������ ��������� ��� ����� ��� ��� ��������

�������������� �� ������������� ������ ��� �������� ���������������� ��� �

���� ��������� ������������ �����������������G������������ ����� ��� ���������� ������ ���G�� ������������ ��� ��� ������� ����$�������� %�����

������ ������� ����$��������� ������� ������������������������������� � �� ��� ������ ��� ����

�� �����# �� �$������� �������������� ������E$�� ������� �����

�������������� ������������������52QQ��������� ���.���� ����� ����0��������� �E����03QQQQ� ���� � ������������ �������������������������5QQQ��������� ���A�������� ����.������3Q��������������� � �������������������

��%�������� ���

�������������������������������������������� ����������� �������������������������� ���������� ���� ������������������������� ���������������������� ���������������������������������� ���� ������� ���������� ������ ������� ���������(�03QQQQ�4�5QQQ�(�52QQ

5 : 4=420 :300=

( ) ( ): 320000 1000 5 420 : 1600 4 300x = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

�� ������( )320000 1000 5 420

, 3500001600 4 300

x gjegjësisht x⋅ ⋅ ⋅

= =⋅ ⋅

� ��

� ������������ ����� �����������0D��������� ���5�.���� ����� ����3��������%����������������������� ������3D���������� ������������ ��%�������� ������������ ��������������������������������������� �� �������3.��������� ���5�P���� ����� ����5�A��7

� ����������� ��3Q��������������������A����������D����� �����������3Q�QQQ������������������ ���������������� ���� �������� �������������� ��'������������� ��0Q����������������������������A����������������������2Q�QQQ���������������

�)''�����������'''����������

(�������� ���������� ��

%''������� ���(�'������� ���

%�''''�� ���<�������%��������E���-��������� ���<�������%��� ����-

Page 179: 093 Matematika 01 - 02

��

�'��������%'��������

������:�����

+�������

�''''�#"

)''''�#"

������� �� ���������� ������ �������������������������������� ��������� ���������� �������A� ��������� E������������������� � (

3Q��������� ��������� ������������A����������������������<0Q-����������������� �������������������������<���������������������E�� ���-�

��� ������������D������������������� ��������A����������������� �������������������<A-������� ��� ���� ���������������<�������� ���������E�� ���-�

3Q�QQQ�������������������A����������������������<2Q�QQQ��-������������������<���������������������� ���-

����������� ���� �� ���������� ����%�� ������� ����������� �(����(�A�4�3Q�(�0Q8 :5=60000 : 20000=

�� ����5 20 8 60000

16.30 5 20000

x⋅ ⋅ ⋅= =

⋅ ⋅�&������� 16x = ������

� ����������� ��3A�����$������0Q�����������������������F������������������ �E����02A��������������� ����������������� ���� ������52���������� �����F����.Q�����$�������A�����������7

� >� � ����������<����-��� ��52Q��d��������������'������5Q���������� ������������2�������������������������������������02Q�������� ���.��� ����� ����3�A��� ��������������������������������A ������������ ��5AQ�d����� ��������D����������6������������� ���� ����������������� ���0�A������������� ����3�������� �� ����������������������

*�������� ���(

%� ����������� ���������

�'�����)�����

)��

*��

�)'�#?�

��'�#?

%)'��

����:��

���(��

�%&���

��&���

�������

��� ���������� ���������������� ������������������� ������

������������� ���� �� ����� ��� ��� ����� E����������(��������������������������������� � ���������������������� ���� �(

������������� ����������� ��������������� �������(���(�02Q�4�A�(�0120 :160=8 :10=7 : 6=4 :3,5=2,5 : 2,=

��#������� ���������+������������������������ ���������+��K� ��������� ������ ��������+

��*�'������ ���� � � ���������� +���������������������� �����������������+��> ���������� ������ ���������

Page 180: 093 Matematika 01 - 02

��

�� �����360 5 120 8 7 4 2,5

600.3 160 10 6 3,5 2

x⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= =⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

� �������� �������5�2��������� ���0������� ����3�� ����������.Q�������������.A���������������������������� �����������������2QQ������� ���3�.���� ���� ����DQ������� ��������53���������

���

������� �����D�������������50����������%������23.Q�� ������ ��� ����������%������5A������������2��������� ��������������� ���������7

� �������������������� ����.Q�������������2Q�������� ������������6�����������������������������'�����3A�������������������������3Q���������2������������������������������� � 3Q���������������������������� ������� �������� ����� �� �������� �E����������������� ���� ������5������������������7

� ����������� ��� ��� E��% �� �� ���� 5� �� ��������������D����������=� ���.Q������������ ���������������������=� �����D������������2�������E��% �� ������3����� ����� �������������������������

� �������������������� ����PQ�������������5A����� ��� � ������� ���� D� ��� ��� ������ ������������������ ���� ��'�������� ������ ������������53��������� ���� ������A����������7

� B������ �������2��������� ���0����� ���������� ������������ �2Q���������������������DQ������������.A��������� ������������2������ ������ ���� ��� ����� 53Q� �������� �� ���������������������������5Q���������� ���2��� ����������������������� �DQ�������� �����������D�����������7

� J���E ��� �PQ�����)%�'�������5Q.QQ���

��������32��������� ����� ����������D������������ ��� ���������$��������������$���E ���� �2Q�����)%�'������5A��������� �����P�����������7

� ����$������������������� ������������D����������������������%��������������� �������������������������� ���� ���� ��������������������������������� �����������$������� ������'�������������������.� ����������������0� ����������� ���� �3� ������������������ $������� ���������.� ��������������������������5�A� �������������7

&���������4�2QQ���

Page 181: 093 Matematika 01 - 02

��

���� ����������

���� ������ �� �������� ������ ������������ ������ �� ����� ����� ��� ����� ���������� ������� ��� �$�� �<�� ��� ��� ������������ ����� ������������������������������

�������� �

���������� ��������� ������� ��� ������� ����$������ �� ����� ����� ��� ����� �� � ������ � ������������������ ��� ��� �� �����������������G��� ������������� ����� ���'��������� ��� ��� ��������� �� ���� ��� ����G�

& ������'��E���� ��� ��� ������� ��� ���� ��������������������������������������

����� ����������� �����������L��E������� � �� �������'����������������� ������ ������������������� �� ��������� ������� �E�� ���������� ������� �� ��������� ������������������������������������� ��� ������������� ���� ����� �������������� ������ ���� ���������� ��� ���� ������� ������ �������������� ���������������������������"�����%�� ���� �����������������%�� �

������������%� ����������������������� ��������������� ������� �$�������� �3Q������ �����������2QQ� ���������� ���������������(

� ��������' �������������%�����������������E��� ������ � �E�� �������������� ����� �������� �

�'�#"������)''�� ����

� ��� �����������5AQ������������� �3A��������������������������AQQ�� ����7

"�����������%��������������������� � ( ������� �����������

� � � ��

�''���� ����

�� ����(��150 500

3000.25

x⋅= = �&�������5AQ���� ���������������������0QQQ�� �����

� ��� �������������0QQ�����%���� �5A���������%�������������������P2QQ�� �����

� X���� ������� �����5QQ���� ����$ ����%�� ��DQ��������������������������.Q��������������%�� �3QQ����F�� ���� ������F�� ����� �����������'�����%������5A��� ����$ ���7

*������������( ����� ���F�� ��� � ���$ ����''�#"� ���$ ���('�#"�����������'''�#"�F�� ��

���� ��$ ����'''�#"� ��$ ���+'�#"�����������''�#"�F�� ������F�� ��

Page 182: 093 Matematika 01 - 02

��

"�����%������ ��������%����� ����������� ��� ������������������������ ���������� ������� ���E��� ������ �

������������%����� ��%������ ������������������ ������� ��������������$�������������%�����������

����� �� ����� � ()�# �F%�����������%��%����������7)�������������� ���E���� ������ ��������������������� �������7)�8?����� ����$������������ ���������%������� ��� ���������������<����������%�����������������-7)������$���������7

�� ������ ������������������� �� ������ ������������ ��������������������� �� ���������������� ������ ���L�����$������� �������'���� ������ �� �� ���� �'������'�����������%�� ���� ������� �������

"������$���������������� �������������%�� ���������� ��������� �������������%���������������� ��������������� ����������� ���� ������ ���������� ��������

����� �$�������� (����������$� ���� ���� ��������%�� ����������� ��� ���������������������������+���� ���������� ������������� �������������� ����� ��� ���������������� �������(

�� ����(� ,x b d a c e⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ��� �������� .a c e

xb d

⋅ ⋅=⋅

� &� ��� �AQ������E���������33AQ�� ������ �6Q����%���� �20QQ�� ������ ����������%���� �����������$ ������D�����E7

� ������������ �0Q��.QQ�����������������������5D3.Q�e�� ��������5���������������� ���������������������5e�4�AQ�QQ�� ����7

�� �����15 1000 80 200 1

60.1 100 40 1000

x⋅ ⋅ ⋅ ⋅= =⋅ ⋅ ⋅

&��������� �����������2Q���F�� ����������%������5A��� ����$ ����

� ��� ����� ���� ����� ���'����� ������ �E������� � � ������'������������� �

��� ���������������5��������$%&"'�'"��� ���������������0

�� ���������������3�� ���������������0��� ���������������5

Page 183: 093 Matematika 01 - 02

��

� ����%����E����� �AQ�%�����% ��� �������������33AQQ� ���� �������� ���F�����������%�����% ������� ������� ���������5��4�25�� ����7

� K�����%����E��������������� � ������������������$� ���� �E�� ������������'������ � �E�� �� %����E������@���������� ��������������� ���������'���� ���� ������������� �E�� ����F��5QQ� �����

��� ��� �E�� �����$��� ������%����E� ���<������ ��-������ ���������������� ����������� ����$��� ����� ������ ������E$��� ��

� ���:���������� ���������.Q����������������� �F����Q�.�� ����5����� � �E�� �� �%����E����������3Q� ��������F��5QQ�� ������ ��� ����������%���� ������ ������� ���������%��������� ���������P0� ����7

�������� ���������

�����

�����

�''

('��

�'''�"

'&(�£,%�� ����+'�� ����

40 1000 0,4 93 801190400.

100x

⋅ ⋅ ⋅ ⋅= =

����������� �������� ��� �������� ������$� ����������� ����� �� ��� ��������+�����K� ������F�����)�'� ���� �E�� �� �%����E�����5A�� ��������F��5QQ�� ������ �������� = �)�

� ����+�����J��������� �#�� ��(���£ ���� �E�� �� �%����E�����0Q�� ��������F��5QQ�� ������ �������£ = +*�� ����+�����M������,�'�@A���,!*���� �E�� �� �%����E�����3Q�� ��������F��5QQ�� ������ ������5QQ�,!*�4�0DQQ�� ����7

� ���18240 50

30.30400

x⋅= =

&�������5������������������0Q�� �����

&�����������.Q� ������� ������ ����� ��� %����55PQ.QQ�� �����

��� ����� � � �

��B

������������+�('�B

�'&''��� ����

M��������������� ���������������������������������%��� ��������������� �� ����� �������� ������������ � ��������������������������������� ��(

,���� ��� � ����� �������� 5Q� ������� � ������� ��� � ���� ������ ������ 3�3A� e� � � ��� 5�DA�e�4�5��4�P0�� ����7���������������������� �$���$������ �2Q��$�� � �E�� �� �%����E��������5A�� ��������F��5QQ�� ����������� ��� ��������

Page 184: 093 Matematika 01 - 02

��

���� ��������� ������

���'������<]-������ ����'�������� ��� ������������� ���� ���������( ) 11% .

100A A=� ����

������������ ��( )% .100

pp A A= ⋅�

��������

,���(��-�.]����2Q+�$-�3�.]����53�A�# ����'���� ���� �������������� ������/����$������������������� ������� �$�������� ������������ �

.DQ��������� �����������3.Q�$� �� ����������������� ������ ��03Q��������� ���������������������

�������3QQ�$� �� ����� �������� �(� 240 1 200 550% 62,5%

480 2 320 8dhe= = = = ����%�������� �������������

� ��� ������������������$� �� ��������������������

������� ���������������5QQ�������P�D�� �����# �F%������ �������������E������ ���< ��������5-7

X������������������ ������ ��2A���������������AQ����������� �� ���������������� �������� ������3Q���������� 7

3Q����������������%����������.D�QQQ�� ����� ����������3QQ��������%���������������� 5�4P0�� ������ ���� ��� �E�� �� �%����E���������5A�� ��������5QQ�� ����7�<5��4Q�P5.�-

���

��� �������������0QQ�������������� �.QQ�������������������������������AQQQQ7

� �� � ����� �������� 3Q� ��� ��% � ��� 1

5 kg2

��������506A�� ����7

K� ������ J�������� �#�� M�����

��������

�����

�''

(���£

��+*���

�%'���

��������

�����

�''

)�'�

��)����

������

��������

�''

�''

��,�'�@A�

%+''���

����'���

650 61 115

100x

⋅ ⋅=425 87 130

100x

⋅ ⋅= 950 3800 120

100 100x

⋅ ⋅=⋅

45597,5x = 48067,5x = 43320x =

#����������%�������� ������� ��������� �������$� ������������ ���� �M�������������'���� ����� ���������%����E�������������������

��� �������������5QQ������������@����<5���4�.A0�2��-���� ������$��� �����������������������Q�3�������������������%�����������P0� ����7

�������� �E�������� �������� ��0Q����� �� ��� ��������-� ������ ��������������������\�$- �� � ���� ��� ������� ����� �����7<5����� �4�5DA3�-

�������������� ���������� ����������'�� ��� ��AQ�QQQ�$���������0���������� ��� ��� � �����$������ �E��.AQ���$������������� � ��� ��5QQ����������%�� ��DQ������ �������� �� ��5QQ������ ���%�� ��53Q����$���7

Page 185: 093 Matematika 01 - 02

��

�100 100

; ; .100

S p P PP S p

p S

⋅ ⋅ ⋅= = =

��������������������������� ������������������ ������������������� �� ������ � �� ������������ �������'���� ���:��������� ���������� ������� ��� �������� ��'� ������� ������� �������� 122�

� �������P]�%������� ��A5QQQ�� ����� 7

X��������(� 51000 9,S dhe p= = ����� ��1��� ����51000 9

4590.100 100

S pP

⋅ ⋅= = =

&�������%�����������.APQ�� �����

� �������0�A]�����E�������'������������� ���E������ ��02AQQ�� ����7

� 8���������������������������������53]��B�����������2�2Q�� ������ ����� �F����������� ������������ �7

�I������������%���� �� ���%������ �� ���������������� ��������'���� ������� ������� ��������������� �� �(

����������������5QQ+���� ������ �� �� �� � �� �<9-+�����'������<�-+�������� ����'���� ��<1-

:��� �������� ����� � �%�������������� ���(

���������9�� ����1

���������� ��5QQ���������� ���

�� ���������� ������� ������(�9���1�4�5QQ�(���� �9�⋅ ��4�5QQ�⋅ 1������� ���������%����������� �'������ ���� ��������������� ������� ������������� ������� ��� ��� ����������������+

X��������+���4�53]�� �1�4�2�2Q������������� ��9�� 100 6,60 10055.

12

PS

p

⋅ ⋅= = =

&������F��������������� ����� �AA�� ���������������������� ��25�2Q�� �����

� ������������ � �6��=�����������������'� ����� ���������3Q]� ��������������������������=����� � ���=��������������� ����������7

� 8������������������� ��� ���������������6Q�� ����������E������������5.�� ������ ������'��������E��������F����7

X��������(�9�4�6Q�� �1�4�5.�������������� ����

100 14 10020,

70

Pp

S

⋅ ⋅= = = �'���� ������ ��43Q]�

� X����$� ���0Q��� ������������K���������������������������$������� ���33A����� ����������'�������$� ������ ���7

Page 186: 093 Matematika 01 - 02

��

���� ��������� ������� ����� ������ ��������� ������������� ����

������������F������������� ������������������� ���� � �� ������E�������� �E������������������ ����'���� ��<9�±�1-����������� ������� � ���� ���� � �� ��������������� ���� �� ��

�������� �� ����'���� ���$�����'����<��� �����������9���1-������������� �� ����'���� ���������'����<��� ����������9�-�1-�

������ ������ �9�<� �1-����$ ���� ������ ����� �� ��=� �����K� ������������������ �������� � ��9���1�4�5QQ�(���� ��(

!"��(�(������%����������� ���� �����$���� �����������%����� ��� ������� ��� ��������� �������� � ���������� ���(

������������( )100 p±��''

���( )S P± ��������� ��������������� �

� ������������������������� ������$����5DPQ�����������������%������� �� ���������������E�����������D]�� ������������� ���������E������7

( ) ( ): 100 : ,S P P p p± = ± ���� ( ) ( ): 100 : :100.S P p P p S± ± = =

�� ��������( ) ( )100

, .100 100

S P S P pS P

p p

± ⋅ ± ⋅= =

± ±

���

�� ��� ����(

�-53]� �AQQ�� ����� +����$-�2]� �0QQQ��+

�-�3Q]� �5AQQ+ ����-�5A]� �3QQ���

�� ����������� ��������(

��� 52000S = � ����� 17, ?;p P= =

��� 15, 450kg, ?;p P S= = =

��� 4200, 294, ?.S P p= = =

X����� ���E����'������������������� ��� ��2A�QQQ� ������ �� ������ �� �� ��� ���� ��� ��� ���'������ ������������'����������������A]7

8����������������������E���������� ��.Q�� �������0.�� ����������������'���������E�������F����7

��� ���� �����E���� ���� � � �� �E�� �������������� � �����0AQQ�� ��������� ����E�����������.PQ�� ������ ������'��������E��������� �E�� �7

8����������������������3AQQQ�� ������-�M�����F����������5A]�� ������F����� �E��������$-�B��� �F����������3Q]�� ������F������ �������

X���� �����%������ '���������� �� �� .3QQQQ� ������������������� ���E����'������������ �0D2.3Q�� ������� �(�-�����������'����'��������������������+$-�����������'����'���������������� ���E����

���( )S P± ��������� �

�������������� �( )100 p±��

Page 187: 093 Matematika 01 - 02

��

�X��������(�9���1�4�5DPQ�� ���4�D������ ��9�� �1�

�����%�������� ���� ( ) 100 1890 1001750.

100 100 8

S PS

p

+ ⋅ ⋅= = =± +

( ) 1890 1750 140.P S P S= + − = − = �&�����������������56AQ��������������������������� �����������

5.Q������

� �����������������% �����������' ����02DQ�����������% ���� �� �� ��������������� �����������5A]��-� �����������7 $-��������������������� ������������7

� ������������������ �����������$���F����������������������E������������53]�� �F�������E������������5362�� �����

�-� ����� �F�����%��� �������������7$-� ���������$��7

X�����������4�53�� �9�-�1�4�5362�� ���������� ��9�� �1�

�-� ( ) 100 1276 100 1276001450;

100 100 12 88

S PS

p

− ⋅ ⋅= = = =− −

$-� ( ) 1450 1276 174.P S S P= − − = − =

&�������F����������E������������ �5.AQ�����������$��������56.�� �����

� �� �������� ���$� �D]�����50PD.Q�� �������� �(�-��� ���� �������+ $-���$� ��

������������������ ���������� ���������������� �� ������������� �������������$� ����$������ ��������� �������E����� �� �$����������� ������������ ���� �������� ����� �

� X����������������� �53]���$� �����0A3QQ�� ������# �������'����%������� �������� ������������� ������ ���� � �������������������'������$�� ����$���� ������������ ���E ��%�������� ��DQQQ� ����7

X��������(���4�53�� �9�-�1�4�0A3QQ��&� ��������� ��1�� �9�

�����%������������������� �� ����'���� ���������'����� ����������� ( ) 35200 124800,

100 100 12

S P pP

p

− ⋅ ⋅= = =− −

( ) 35200 4800 40000.S S P P= − + = + =

������������� ��������� ��� ����� 1 14 160000, 8000 12800,S S P P= ⋅ = = + =

�������� 11

100 12800 10032.

40000

Pp

S

⋅ ⋅= = = ����������������� �������� ��� �03]�%�����

Page 188: 093 Matematika 01 - 02

� ������������� ���� �1

4� �������� ����������� �D]�%������

3

5�� �3]���$� ����������� ���� ��$ ���

��������������263QQ�� ������ �53]�%�������� �(

�-����������� ��� ������������ ����������������+$-���������%������������'���� ������� ��� ���������� �

��������� ������� ������������ ��� ��������������������������' ���� ���� ��$ ���� ����������������

����263QQ�� ������� ��(�� 1 3 20 5 12 31 .

4 5 20 20

− −− − = =

:������� ����%������������� ���� ��� �������������������'����������� �������������������������� �������� � ������������ (�9����1��4�263QQ�� ���4�53����������� ��

( )3 33

100 67200 10060000.

100 112

S PS

p

+ ⋅ ⋅= = =+

*�����������(�� ( )3 3 3 3 67200 60000 7200.P S P S= + − = − =

!��$� ���� ��3]������ ���������������������� ��� �������������������(

2 2 2: 100 : ,S P p= ���� ������ 2 22

240000 24800.

100 100

S pP

⋅ ⋅= = =

*�������� ��D]������ ����������������( 1 11

100000 88000.

100 100

S pP

⋅ ⋅= = =

"� ��� ���������� � ���������������������(

� 1 2 3 100000 240000 60000 400000.S S S S= + + = + + =

� ������������� ��� ���� ������ ����� �� ������ ���������� ���E����'��������������������� ��263QQQ� ������ �� ����������������� ������������53]+�������� ���������� ���E����.DQQQQ�� ������ ��������������� ������������3Q]+����� � ��� ������� ���E����'��������������������� ��0A3QQQ�� ������ ���� �������������������5Q]���� �(�-���������'�����������������%�����+ $-�� ����������'���� ������� ���E����'�������������������

2

3 3: 60000 :

5 20S =

2

3 2060000

5 3S = ⋅ ⋅

2 240000S =

3

20

3

5

60000

2S

��������������� ����� ��(

1

1 3: 60000 :

4 20S =

1

1 2060000

4 3S = ⋅ ⋅

1 100000S =

3

20

1

4

60000

1S

Page 189: 093 Matematika 01 - 02

*�������1� ��� �������������������(

*�������������������7200 8000 15200+ =

��������������!��$�� ���)�.QQQ

*������������������������������������ 10400P =

100 10400 1002,6

400000

Pp

S

⋅ ⋅= = =

&�������%���������� ���������������� ������3�2]�

������������� ���� ���2

5�� �������� ����������� �D]���$� ���1 3%

4me �%��������������� ���� ��$ ���

����2..QQ�� ������� �F��������� ���E����%�������� ��5A]���� �(

�-��� ���� �������+$-�%���������� ����������$� �+�-����'���� �� �%���������� ����������$� ��

���

������� ���������� ��5A]�F���������������������02DQ�� ������-� �����' ����� ��� ���������������� �������7$-� ��� ������������� ������������7

� ����������� ������� ���E����'�������������������� ��6QAQQ�� ������ �� ����������������� ������������2]�� ��'���������������������������%�����7

� �� �������� ���$� �D]�����50PD.Q�� ������� �(�-�"� ���� ������� $-���$� ��

� K�������������������������� ��30���DDQ������������������Q�A�]�������������������������� ��������������������������7

� J���� � ��� ����� 53�� A.Q� ���� ��������$���E�� �����.�A�]� �� ����� ��� ���������� �����$���E��

� ���������������������������� ����$���������E�����������0�A]�� �����������������������$�������� ������ ����$�����������������53.3���7

8����������������������E������������5A]�� ��������F����������E�����������A]�� �� ���������� ������� ������52Q2�� ������ ����' ���F����������E��������7

��������������$� ���AQ����������������� �F���3Q�� ������������������K��������� ���3Q]� ������������������� �5A]�%�������������.Q]� �������� �5Q]���$� ��# �F%�������'���� ���%��������� �������� ���� ��� ��$ ���� ��������'������$�� ����$���� ����%�� ��6QQQQ� ����7

Page 190: 093 Matematika 01 - 02

��

���� ��������� ����

� ����� ���������5

100� ���������

# ���������� ������������ ��� ����������� ��*�����9�����L���� ������%���������� �� �������'���������������������9����������;�

( )‰ .1000

pp e A A= ⋅

> ����������� ����'���� ��$��������� � �� ����� �5QQ����������� ����������$�������� � �� �E�� ���$����������� ��5QQQ������� �� ������������������� ��� ��������������� ������ �������� ��� � �����'������������ ������ �������

����� �$���(��( ) 3232‰ 250 250 8.

1000të = ⋅ =

������ ���� � ������� � �������� �$������������� ���F�����(���� �������� �������������������������03f��������������� ����F��3AQ��� ��E��������������������������D�%������

& ������������������ �� ���������E���� ������������������������� � �� ������������������ �� ����'���� ������������� �� ����'���� ���� �()���������������5QQQ+ )��"� ������ �� �� �� � �� �<9-+)��������<�-+ )�� ����� ���������<1-�

�������� ������ �������������������������������

��������� �������� ��� �F����������������#

F���������������������������1

4�� ���������

1

3��

������������������� �E������D]���D]�1

6��� �E�������3]�� ��� ��� ��$ �����

E�������A]���� ��� ��$ ������������������

502DQQ�� �������� ��������� ��� �����������

��� ��� ��� ������%������������%����������$�

� �������� ���7

��������������������3A]������������ �5Q]��$� ��AA]�� �D]�%��������������� ������ ���� �%�����3Q]�����P2QQQ�� �������� �(�-��� ���� ���������$-�%������������$� ����-����'���� �� �%������������$� �(

��

,�������������� ��� ����������� ����'���� �7

,�������� ������������ ��������'���� �� �E������7

�� ����������� ����$� ��$��������� � �� �� ���������� ����'���� �7

��������

�����������A]����� ���������� ������� ��������

�������������� ������� �����E����� �5Q������

%����������� ��������50

1000���������������������

�������� �AQ�f�� �� =����9AQ�������;�

Page 191: 093 Matematika 01 - 02

��

:�������������� ����� ������������ ������ �������(�9���1�4�5QQQ�(��#�X���� �'������ �� ����� �� ����� ��� ���������� ������������������ � ���� ���� ��� ���������������+

�������1000 1000

; ; .1000

S p P PP S p

p S

⋅ ⋅ ⋅= = =

�� ���������������� ������ �������� �'� ������� ������ ������� �����������"� ���� � �� �9� � �� ���������� �����������������E��� ��<9���1-���� ��������E���� ������������� ���������<9�-�1-�� ������������������������������ ������� �������$���������������� ������� ���������������������������������%����E��������� ����� �� ��=� ���(

( ) ( )( ) ( )

: 1000 :1000,

: 1000 : .

S P p S

S P p P p

± ± =

± ± =

� K�������������������0.QQ����$���� ��A�f��������������� ����������$���� ����������������7

X��������(�9�4�0.QQ�� ���4�A������������� ��1�

3400 517.

1000 1000

S pP

⋅ ⋅= = = ���������������&�����������������������56����$���� �

� �������0�f�����E����� ��2AQQQQ�� ����� �

� ������������������������������������������� ������ ��A2QQ�� ������'������' ��A�f� ��� �������������� ��������� ��� �������7

X��������(� 5600 5,P dhe p= = ����������� ��9�

1000 5600 10001120000.

5

PS

p

⋅ ⋅= = = �������&��������� ��� �������������553QQQQ�� �����

� ����� � ��� � �� �� ��� ���32AQQQQ�� ������������ ����������E������ ��A.AP�� ������ ��������������������E����7

� J����� ��� ����������������0A3D�����@�$���E�������Df������ ��� ���� �������� ��� ��7

X���������� 3528 8,S P dhe p+ = = ����������� ��9�

( ) 1000 3528 10003500.

1000 1008

S PS

p

+ ⋅ ⋅= = =+

�&������� ��� ��������0AQQ����

Page 192: 093 Matematika 01 - 02

��

���

������(

�-�3‰ ���DQQQ���+�����$-�1,4‰ ���03.�D+

�-�1,8‰ ���0.�QQ6+�����-� 32 ‰

5���2���3DQ���7

� ���� �������� ��.3QQQ� �������������5QA� ���������E���� ����������������7

�� ����������� �������������������� �� �������(

�-� 13 , 650

4p = � ������9�4�7+

$- 72860000S = � ����

127505P = � ������ ?;p =

�-� 1,25, 4 t 800 kg, p S= = ?.P =

� �E�� �� ���� �>>� ���$�� �� ��� ��������E���������E������������6�A�f�� �����.3AA� � ������ �� ����� ��=�� �� ����E��������7

��$������ ��1

2 ‰5

��� �E�� ������������������������03Q6Q.�� ������ ��� ����������� ��� ��������� ����������� �E�� �7

� ����������������$������ ��1

1 ‰4

������=�� � �������������3.Q0QQ�� ������ ��� �����������=�� ��� ������ ��� �������7

��������� ������1

2 ‰2

�����E����$���������������.5DPAQ�� ��������������������������� ��������E����� ����� ���������7

X���������1

418950 2 ,2

S P dhe p− = = ���� ��9�� �1�

( ) 1000 418950 1000420000,

1000 1000 2,5

S PS

p

− ⋅ ⋅= = =− − � ( ) 420000 418950 1050.P S S P= − − = − =

&������������� � �� ������.3QQQQ�� �����������������E����5QAQ�� �����

��������� �����0�f�����E�����������������60A6D2�� ������ ��� ��������������E���7

Page 193: 093 Matematika 01 - 02

��

���� ��������������

�������� � :��������� � �������� ����'�� ����� ���� �������� ����������� �$����� ����

������� � ���������� �������'�������� ������ �� ���� �<�����3 ��� ��Y$ ��-��8�������'�� ������������ �������������� �E��������������$�����J��������%����E�������� � �%�������� �������������� ��������������� �E��� �� ��������������������� ��/%����������������� �����$������ ���� � %�������� �� ����� ����������������E���� ��������� ����%��������� ��� � ������ ����� ���� ������������������� ���������������������������%����E� ���� ��� ��� � ��������$����� �������$������������������'���� ������������

9�*���������8��*����/!�/!����������*�8*��������� ���*������������������� �������� ��

E��������������+�"������������%�����"�*&������/*���)������������������������*�8*����%������""&����)*��������+�)�*������*�������� ������������

��������� � ��� ����'���� �� ����������������������� �������'���� �'� ���� ����������������������� �������'������ ����������������� ����������'������ ��������'������������ ��� �������������

&������������������������� ������������������� ������������ ������������������ �������������������� �������� ���������� ����'���� ��

��� ������� ���� ��� � � ������������ ����� ������������������ �� ������ � �� �������������� ����'���� ��<�� ��5QQ-�������������+

100 100, , .

100

S p P PP S p

p S

⋅ ⋅ ⋅= = =

��������������� ���� �� ����������� �� ����'���� ��$��5QQ���� ������������5QQ7

������%������������������ �� �9�� �1�������������� ��������'���� ���$����� ��������������'����

� ���������������� ��������������� ��DQ�QQQ�� ������������������ �A]�������7

�����'��A]�����DQ�QQQ������.�QQQ����� ��� �������� ��������������.�QQQ�� �����

"�� �� ������������� �� ��� � ����� � ������� ����'���� ��� ��������� ����'���� ��

�������� ��� ��������� ������������������� ������ ����������� � �%��������������������������� ������������ �E�������� ��DQQQQ�� ������$ � �� � ������������$��������� ��������� ��������������� �� � � �����.QQQ�� ������&�������� �E�������� ���������%����E���������������������� �E��������$��������������� ���������G ���������'� ��������E��� �� � ��������

Page 194: 093 Matematika 01 - 02

��

��� ����������������������<����-����� �����������������������<��������-������� ���53�<02Q-� ����� ������� ������������������������������������ ����%������(

, ,100 12 100 360 100 365

K p m K p d K p di i ose i

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= = =⋅ ⋅ ⋅

����<�-������������������� �<����� -�

� ���������������� �����0QQQQ�� ���������%����E����D������� �.]����������� �� �

��������������� ��� �E�������� ������������ ����'���� ����������������������� ���������G� ��������'� ��������E��� �� � ��������

B�� ��� ��������<�-�������������� ����������� ����� (�����������<E-�����'���� �� ���������<�-�� �����<�-�

�� ������� .100

K p ti

⋅ ⋅=

����%�������� ��'������ �������������%����������� �������� (���������������'���� ��� ��������������� ����� �� ��� ��� ��� ������� ������������������� �����������������

������� ������������ ������%������'� ������������������� ������ � ��� ����������������%��� ��������� �E���������������� �����������'� ��))*�$���(��+$�$�"'�"�&(�'&�"�

� ����%������ ���������� ��� ���� (�-�����������<E-+ $-����'���� ��<�-+ �-�����<�-�

�-�100

;i

Kp t

⋅=⋅

�������$-�100

;i

pK t

⋅=⋅

��������-�100

.i

tK p

⋅=⋅

� �������� ���������� ��� ������� ��2QQQQQ�� ���������.��� ��� �A]�������7

600000 5 4120000.

100 100

K p ti

⋅ ⋅ ⋅ ⋅= = =

&�������������������53QQQQ�� �����

��������%�������100

K p ti

⋅ ⋅= ��������� �������� ���������������� ����� ����02Q������� �02A

�������������� ����������0Q������� ���������� ������������������� �� ������0Q������� ����������02Q������

���������<0Q+�02Q-������������ �������� �� ����������� ������������������������02A����������������<)�

02A-�

Page 195: 093 Matematika 01 - 02

��

X���������E�4�0QQQQ�� ��������4�D������� ���4�.������������� ����� �����%�������� ��(

������� ��������������DQQ�� �����

� ���������������� �����2QQQQ�� �������������� ��5..������ �� �A]�������7

� ��� ������� ������ �E�� ���� ��35�Q0�� ������56�Q6�� �P]���������'������� ��������������� �.3.D�� ������<)��02A-7

X��������(���4�P����4�35�Q0�Y�56�Q6����4�.3.D������������� ��E�

��������� ������� ������������ �������� ��� ���(

!"��(�(���&���� �� �E���������������� ��������������� ������ ������� ��

0 &����

�'�;�%�−��%'%�%'�*

CCCCDDDCDCC

K���� �(������+�����

365 100 4248 365 100146000.

9 118

iK

p d

⋅ ⋅ ⋅ ⋅= = =⋅ ⋅

�������������� ��������������5.2QQQ�� �����

� ,������� � ������� �E���������53�Q.�� �5.]�������'�����5P�5Q�������� ��������������� ��AQ.Q� ����7�<)��02A-

# �������'���������������������� ��.DQQQ���������� ��5Q������ �������� ��������������� �3QQQ�� ����7

X���������E�4�.DQQQ����4�5Q����4�3QQQ������������� ����

12 100 2000 12 1005.

48000 10

ip

K t

⋅ ⋅ ⋅ ⋅= = =⋅ ⋅

�������������'������ ��������������A]�

# �������'���� ������������������ �E������2DQQQ�� ��������� �����.������� �3.�������� �������������� ��032.�� ����7�<0Q+02Q-

�� # �������'���� ������������������ �E������2DQQQ�� ��������� �����.������� �3.�������� �������������� ��032.�� ����7�<0Q+02Q-

X��������+�E�4�DQQQQ����4�2�A�� ���4�2AQQ������������� ����

� ��(��12 100 6500 12 100

15.80000 6,5

im

k p

⋅ ⋅ ⋅ ⋅= = =⋅ ⋅

�&��������� � ��������%����E����5A������

30000 4 8800.

100 12 100 12

K p mi

⋅ ⋅ ⋅ ⋅= = =⋅ ⋅

Page 196: 093 Matematika 01 - 02

��

��� �������� �������������������� ���E����� �� AQQQQQ� � ����� ���� .� �� �� � � 2]������7

�� ������� �� ��� �� ����� 5AQQQ� � ����� ���%����E����D������� �53]���������� �� 7

,������� � ����� �E����������53�Q.�� �5.]�������������� ��������P�5Q���������� ��AQ.Q� ����7�<)+02A-

# � ��� ���'���� � ������� ����� � �E�����35QQQQ�� ��������� �����P������������� ������������ ��55Q3A�� ����7

�� ������������� �E������20QQQ�� ������ �5.]������������ �������������A5.A�� ����7

��� ����� ������� ��������� ���������������������������<��������-�������������� ��������

( ),K i± ������������ ��������������������� �� ��������������� ���� ���� �$� ��%��������

�������� �� ����������$��5QQ�<����5QQ-�

������������� : 100 :K i pt= ���� ��������� ����� �� ��=� ���(

( ) ( ): 100 :100 : ,K i pt K i pt± ± = = ��� �������� ����%������(

( ) ( )100.

100 100

K i K i ptK dhe i

pt pt

± ⋅ ±= =

± ±

# �����%�������� � ������������ ���������������������� ��������������$��<���-����'����

�� ����� �52]����������������� ��0������ ����������������32QQQQQ�� ������,����������� ���������� �E������� �������� ������������%������

X��������(� 32600000, 16, 0,25,

12K i p t+ = = = = ������������ ��E�� ���

( )100 100 2600000 2600000002500000,

100 100 16 0,25 104

K iK

pt

+ ⋅= = = =+ + ⋅

( ) 16 0,25 2600000100000.

100 104

pt K ii

pt

+ ⋅ ⋅= = =+

&����������� �� �E�����������3AQQQQQ�� �������������������� �%������5QQQQQ�� �����

�� �������

������������� �$���� �� ���������������������������� ��� ����� �������� � ��� ����������������%��� ��������� �E�������������� ���������'�� ��� ����������������� ������� ����������� �������������������%��� ��������� �E������������'�� � ������������� �������������� ���� ���� ����������������� �E������� ������������ $� ��

Page 197: 093 Matematika 01 - 02

��

�������������%����E����DQQQQ�� ������ �6]��� �������������553Q�� �����<)+�02A-

# �������'������������������E����D.QQQ� ��������3.�QA�� ��� ����0Q�QD��� �� ������ ���������36..�� ����7�<�+02Q-

��$������ �.]����������������0���� � �������� ��5.A2QQ�� ������ ��� �����������E����� ����������������������7

# �36]���������� �� �����DQ������������E����������� ��30QQQQ�� ������ �������������� ������������� ������� �����DQ������ 7

���� �������������

& ������� ������������������ ����������� ������� ��������� ����������� �����������

����� �� ��� ������ ��� ����� E���� ��� � ������'�������������� �������� ���������������� �� ��E$���������� ������� ���� ��������� ������(����� �� ��� ����$������ ��� ��������� ����� �� �������������������������������������������������� � ����� ���������� �

:��������� ������ ����������� ��� ������������ �� $� ����� ��������� �� ����� ���� ������������� �����<���� ������������$���-����� ������������� ������ ������� ���������#������������������ �������������������� ������������� ����� ����E�� ����

� ������� ��3.QQQQ�� ������� ���L������ ��0��������� ��������� ����������� ����� ������ ���� ���� �����������0��.�� �A��� ����������� ����������%����� ������� ����� 7

���������

8?���������� ������7

8?������ %��� ��������������� ������ ������7

,�������������� ���������� ����� �����������$���7

8?����� ����� � �� � ������ ����� � 7

J� ��%����������������� �� ��� ������������ ��������'��� ���� ��������������Y�����(�0�(�.�(�A��@�������� ����%���������������������3�� �8�� ��������� ����� ����������8������I�������� �

3 , 4 , 5 .x k y k z k= = =�����'�� 240000,x y z+ + = � ��(

�3 4 5 240000, 12 240000, 20000.k k k k k+ + = = =

� �������DQ����� ������ ��� ������������A�(�P�(�2�

� ������ ��533AQQ�� ������� ���L������ ��0�� ��� ���������� ��A��D�� �53��� ����������� ��������E�� ����� ������ ���� ���������� ����������%����� �����������7

Page 198: 093 Matematika 01 - 02

� ������ ��A.3QQQ�� ������� �������� ������� ����� ������������ ��������� ����������� ����� ������� ��������� �� ���������������������������������� ������������������5Q���������5Q���������������� ������53���������D������� ����������� ��� ���������������5A���������A�������������� ����������%����� ������������� ������ ������������ ���������������� �������7

B�� ��� 60000x = �� ������ 37500y = �� ������ 25000z = �� �����

���$������� ��6AQQ�� ������� ���L������ ���� ���� �� ��� ��������� ���������E�� ����� ��� �E�� � �$����� � �E�� �� �$��������(��������AQQ�� �������������2QQ�� ����������������� ���6AQ�� ������������� ����������%����� ����7

& ������ ���������� ���������� ������������������ ��

� ������� ��5QP3QQQ��� ���L������������ ���������� � �������'��� ����������������� �����%����3Q]���� ����� ��� ������������� ����������%����� �������������� 7

��� ������������ ������%����5QQ����� ��� �����������%����5QQ/3Q]����5QQ���� ��������53Q��������� �� ��������%����53Q/3Q]����53Q���� ��������5..�: ����� ������3�� �8�������'���� �����%��������������� ���*����������� ������������3���8�4�5QQ�(�53Q�(5..���� �������4�5QQ)��3�4�53Q)��8�4�5..)����������� ��������3���8�4�5QP3QQQ�������������+�5QQ)�/�53Q)�/�5..)�4�5QP3QQQ���02.)�4�5QP3QQQ�)�4�0QQQ�B�� ��� ����4�0QQQQQ��3�4�02QQQQ��8�4�.03QQQ�

� ����� ���������$���������� �� ��� ��������������+#

��� ������������������������������������3�� �8����� ���� ��� : : : : , ,x y z

x y z a b c gjegjësish ka b c

= = = =

�� �������� �(� , , .x ak y bk z ck= = = ��� ��x y z A+ + = ���� �� , .A

ak bk ck A ka b c

+ + = =+ +

B�� �������� ��(� , , .A A A

x a y b z ca b c a b c a b c

= ⋅ = ⋅ = ⋅+ + + + + +

� :��������� ������ �� ��������� �����$�E��������� ����� ��������� � �'� ������� ������� $� ����� ����

��� ������� ������������������3�� �8���� ��

1 1 1: : : : ,

5 8 12x y z = ��� ������� : : 24 :15:10.x y z =

�� �������� 24 , 15 , 10 ,x k y k z k= = = ��������� ��24 15 10 122500;k k k+ + = � 49 122500, 2500.k k= =

Page 199: 093 Matematika 01 - 02

: ����%���������� �����������������3�� �8�� ����������������� : : 10 :12 :15

10 :8 :5

x y z ==

: : 100 :96 : 75,x y z =

�� �� ��� 100 , 96 , 75 .x k y k z k= = = � ����� '�� 542000,x y z+ + = � � ��100 96 75 542000,k k k+ + =542000

271 542000, , 2000,271

k k k= = = � �������� 200000x = � � ����� 192000y = � � ������ 150000z =

� �����

>���$������������%����������� ��30A3QQQ�� ���������$�������� ������3Q���������������������D���������6�����������������03���������������������5.����������A���������������$�������� ��� ���3D��������������������52����������5Q��������������������� ����������%������ �����$����������� �������������������� ����������� ����� �������� ��������� �� �� ����� ���������������7

>� �%������$��<�� �=��������������������������� �������������������������������������352QQQ� ������������������������������������� ����������� ����������� ����� �������� �$����� ���������������� ���������E�� ����� ������� ���������������

���

������ � ���

%+('

�++'%�'' ��'

�''

)'

>�������� �� ���� ����������������$ �������� � (

� ������3�� �8��������������� �'���� ���L����� ����%�����$��<�� �=��@�� ��� 216000,x y z+ + =

�� ������� ������������������������������(�����3���8�4�0�(�A�(�5Q��%�� ������)��3���)��8��7)�5D)�4�352QQQ��������������)�4�53QQQ��B�� ��� ����4�02QQQ�� ������3�4�2QQQQ�� ������8�4�53QQQQ� �����

�� K�����%����E�������(�AQQ����������� �����3Q�� ������0QQ�������������0Q�� ������ �3QQ����$���� ����.Q�� �����������$��������� ��.QQQ�� ������� �E�� ������������ ����������� �E�� ��������� ����������� ����� ������������������������ ���������E�� ����� ��� ���� ������������������������ ������� ��������������� F����7

: : 2880 : 3200 : 3840x y z =1 1 1

: :150 100 60

= ���� �������

2880 3200 3840: : : :

150 100 60x y z =

�� ���� ���������$������� ���������� ����������� ��������� ��� �������������� � (�����+�� ���2�/#

�������� ������� �������� ����� �����%���7

Page 200: 093 Matematika 01 - 02

���

���

������ ��533�AQQ�� ������� �������� ������ �� ������ �����A��D�� �53��������� ����������%����� ������� ����� ����� �����������(�-����������������� ����� ������ ���� +$-��������������E�� ����� ������ ��� 7

� ����� (

�-��������03��������� ������������0(A+

$-��������P2������ ��� ������������5(0(.+

�-��������66��������� ������������ 2 4: ;

3 5

���������%�)�������������������������5 1

12 : :1 .4 2

������� ��5.A2QQQ�� ��������� ������ � ����������'��� �����������������%����3Q]��������� ���������������������� ���������%����� ������ ���7

������� �� 50AAQQ�� ��������� � ��� �� � ����������'��� ������ ���������������%����5Q]��������� �������������

,����������� �������� ������� �� ������������������ � (�� ���������������%����

1

4�

�������� ���������������%�����2

5� �������

�������� ��������� ������%������ ���� ��$ ������532QQQ�� ����� 7

������� �����%������� ������������ �������������������������(�� �����$����������5A]���%��������� �����<����.Q]���������� � �����$��� �����=�����������'��������������$�� �<� ���$���������� ��� ���� �$ ����5.QQQ�� ����� ����������� �����?��������� ����������������� ������$��<�� =�� ������� ������ ���������� 7

���$�������� ��.Q2AQQ�� ��������� ������ ���� ������������ ��������� ����������� ���� �������� ��������� �� ����� �������������������������� ������5Q��������������������5Q����������������� ������53��������������������D������������������������ ��� ��5A���������������������A��������������� ���������%����� ���������7

>� � %������ ����� � ������ ��� $����� ����������������� ��� ����� ��5D63QQQ�� ����� ����� ��������������� ����������������������� ����������� ����� �� ���������������� ����� ������%����� ��������� ��������E�� ����� ����������� �%������ ����������>������� �� ���� ����������������������$ ����

�������������������� �����%���7

������� ������������������������������$� ���� ��� ����� ��32DQQQQ������������� ���������������������� ����������� ����� ������� ���������� �'������������������������������� ���������E�� ����� ������� ���� ���������������������������� �$� ������� ������������������������53����������'�������������DQ�����+�� �������������������������A��������'��������������5QQ�������� ��������� ���������������5A����������'��������������2Q������� ���������������������������3Q������������������������0Q�������������������������� ������ ���7

�+&��� � ����(

���&�%� '��"(& �

�+'

��'��' ��#�

%�#�

)�#�

+&��� � ��,�(

+&��� � ��,�(

Page 201: 093 Matematika 01 - 02

���

�� ���������������� ���E���� ��%����E������ ���������� (� �������%����E��3AQ����� ������5DQ����������� ��� ���3QQ����������� ��������� ���������� ������������ ������53Q������� �� ������3QQ�������� ��� ���0QQ������� �� �������������������� �E�� ���� ��35PQQQ�� ��������� ����������������� ���������� ����� ����� ���� ������7

����� ��������� �����

��������������� ������ �� ���� ������E������ ����� �������������� ����� �� �������'�� ��� ����������E� ���� ������������� �� ����������������������%������� ����E� �� ��<������-�������(�F����������� ������������������������������� �'�����E� ��

,����������F������������� ����� ������������������� �'�����E� �� ���� ����� ��������'�������������� �������� "�� ����

�������� � ������������E� �� ������������� ������� � ���������� ������'������������ ������������������E� ����%�� ������� ���'�������%�� ����� ��������������E� ��� ��������� ��� �F������ ����������

� � K������������ ���� ������������ ������������ ����� �� �������(������� �����������3Q°,������� ������3A°,�������� ��� ���36�°,�� ������� ��������3.°,�� �������� �� ������

� ����� �������������7

� 8���������������������'�� ������+���������� ��2.�� ���������+������ ���� ������2D�� ���������+����� ���� ��� ���63�� ����������� �������F������ ��������5�����������������������������������'�� �7

64 68 72 7469,5.

4c

+ + += = ���&�������F������ ��������5������������������������2P�A�� �����

�������������+���� �+���+��������+��������F��� ���������� ������������������ ���F������+�������E� �� ��

%���������� ����� ������ ��� ���������� �+���+��������+���������������1 2 . . .

.nc c cc

n

+ + +=

:��������� ��� ����� ����� ������������ ���������������������� ��� ���� ����E� �� ��

1 2 3 4

4

t t t tt

+ + += = 20 25 27 24 96,

4 4

C C C C C° + ° + ° + ° °= ������� 24 .t C= °

> �� ��������� ����� � ������������� ����� ������ ��� ������ ��� �������������� � ����� �� �������������� �������������

Page 202: 093 Matematika 01 - 02

���

� �������� ��������� ��� ���� ����������� +�5Q��������5DQ�� ������2��������3QQ�� ������ �D�������33A�� ������ ���������� �F�������������� �'��%�� ��� ����E� �� �� ������ ��� ���� � ����������� 7

���� ������� ���� ���������� ����'������� ���� � ����������� (

�'�#"������+'�� �����= ��+''

�)�#"������''�� ������= ���''

�+�#"���������� �����= ��+''

�(�#"��������������������������= �(+''�� ����

4800 : 24 200.= �B�� ���F����������E� �� ����������� �����5���������� ���3QQ�� �����

"� ����� ����� ����F������+�������������� ������� � ������������ �F��� ���������� �+���+�����+��� � ��� ���������� ��

��������'

�� ��� �������������������� � �������� ��(

"� ��� ����E� �� ���� ������ ��� �$���$������ ������� ��� ��� �����������'��������� ������$���� ������E� �� ��

��������� ��+

( )1 1 2 2 1 2... ... ,n n nq c q c q c q q q c+ + + = + + + �������� ������������������ 1 1 2 2

1 2

....

...n n

n

q c q c q cc

q q q

+ + +=+ + +

8��������� �����������������%���� �'� ��4��������� �� ������� ��� �������������� �� ������Y�� ����-�

� �������$������ � ����AQQ�"�� ���� �%������P]��2QQ�"�� �%������55]�� �PQQ�"�� �%������5.]�� ������%������� ����E� �� �7

E���������� 1 2 3 1 2 3500, 600, 900; 9, 11, 14,q q q c c c= = = = = = ����� ��+#

500 9 600 11 900 14 4500 6600 1260011,85.

500 600 900 2000c

⋅ + ⋅ + ⋅ + += = =+ +

&�������%������� ����E� �� �������55�DA]

� �����E����������'�������� �$�����������������������F��� � ���������� ����������� � � ��������������� ��������������

Page 203: 093 Matematika 01 - 02

���

���E� ������������� ��()������%�"�� ����� ����� ��� ������������ �������������E� ����� �+)����%�"�� /��� ����� �� � �������� ���� � �'�����E� ��

���E� ���������� ����$�E � � �����33�� ������ �����36�� ���������5����'�����%���������E� �� ��� �3A�� ����� �����5���������������������� ��������E� ��������� ����$�E � � 7

��������� �$�����������E� �� ��������%�E����������'������ ��� ������������ �������������E� ����� ����� ���� �3������������� �$�E � ��������������������� ������������������� ������E� ���������� �������� �<��/�3-����������� ��(���⋅� ��3�⋅�36��%����3�-3A��33��/�363�4�3A��/�3A3��33�4�0���/!�/!��������3��3(0��&�������������������������$�E � ���� ������ �� ������� ����������������������0��� ���

>���'�������������� �������������: ����� ���+��� ����F��� �� ������� � �������������������+������F���������E� �� �������� ����� �� ��

��� ��

������������������ ����������������� �������������������� ��������

����������� � ����������E� �� ������� ��(���+������+���%�������&+��/!����)*������+��C�+:�+�,����<���)�+&���%+-�+

�&�� ����%�������������������

��(��

��4<�

��)�+&��<�)�+

�&#

����� ������������ ��������������� ��������������������'�������������� ��������/ ������� ��� ���(

�� ������� ��� ��� �������� ��

���������������� �� ��� ����+

�-+�� �+-+

�#

����� ����� ����������

�� ������� ��� �����������������������3�(�0�

1q

2q

1c

2c

( )2c c−

( )1c c−

�� ���� �� ( )2 7 2 5 2− =

��

�* 0��� �� ( )2 5 2 2 3− =

� H����$� ����� ���� ���������+�3Q�������53�� ������3A��������5D�� ������ �0Q��������33�� ��������5�����,����F������� �������������������5����

� :������� �� ��� ����������E� �� �� �� ������ ����������������� ������������������� ������� ��������������� ����� ������� ���������$����������������$��������E� �� �� �F����� ������ �������������

K�������������� �� ���� �������������������� �������� �� �������������������

Page 204: 093 Matematika 01 - 02

���

� ����������������E� �� ��� �������������� �������� � �������E� �� ��� �%������3A]�� �.Q]��'����%���������E� �� ��� ��2Q � �� �%������0A]7

&���������������������� ���������� �������

&��������������E� ���� �������� ������������3Q � ������������� ������.Q�� �

�� ��� �� 4 l 2 0⋅ = �

%�

(' ���� �� 4 4 0⋅ =� �

���E� ���������� ����� ��������02�� ������ �AQ�� ���������5�� ��'�����%������5.Q�� �� ���� ������������� ������..�� ���������5�� ���������������� ����� ������ �� ������� ��������7

���

>����������� ����� ��� �� ������������� ���� �� ��A�� ����� �����0��� ����� (�5Q2QQQQ� ������ 50AQQQQ� � ����� � � 5D3QQQQ� ������ ������(�-�>����������� ����� �� ����� ��� �� $-�>����������� ����� �� ����� ����� 7

���E� ������������� � �� �F��� ��� ��3AQ� ������ �03Q�� �����'�����%������������ ��������� ��.3����� �F����0QQ�� ����������������������� ����������������� ����������� �7

�������$�$�� ������������ ����$�$� � (5.Q/� ����30Q�� ������ �5DQ�/� ����56Q� ������ �������F������ ��������$�$� � ������7

� # ����E� �� �� ���E����� ��0A�� ����� ��.Q� ����� �� �.A�� ����� �����5���������%��������E� ������ ��.3�� ����� �����5�����# ���������������������E� �������� ���� ������E��7

� ���E� ���������� ����� ��������02�� ������ AQ�� ���������5�"��'�����%������5.Q�"�� ���� ������������� ������..�� ���������5�"��������������� ����� ������ �� ������� ��������7

&��������� �P"�������� ��P2]�� ������������� ������� ��'�����%�� �������� %�������� ��02]7�J�� �������

� ���������������������� ������ �� �����������'����� ������0A�� ���������5����� �.D�� ��������5����'�����%�� �������� ���������� ��32Q����������������������� ������.Q�� �����������7

Page 205: 093 Matematika 01 - 02

���

%�

(�

('

%'

(�

���� �� 1 5 k g 7 5 k g⋅ =

���� �� 1 5 k g 3 0 k g⋅ =

���� �� 1 5 k g 7 5 k g⋅ =

� ��� �� 1 5 k g 1 5 0 k g⋅ =

%%'

����� �33��� ����00Q���

� &��������� ���������� ����������� �F���(�0Q��0A��.3�� �.A�� ��������������������������������� �������������� ��� ����������'�����%���������E� �� ��� ��00Q����� �F����.Q�� ���������������7

���������������� ������ �����E$����������������� ������ ����������E� �� ���K� ���������%��������F�%� �� ����������� ��� ����()�0Q�� �.A�� ������ ������������������� ���� ������ ����� � �A�� �5Q�<���������� ��� ���� ���E� �� �-+)�0A�� �.3�� ����������� ���� ������ ����� � ������3�� �A�

!"��(�(��K��������E� �� ����� ��������%����������F�%� � ����� ����� �� ������������ ������������<����� �$����.A-�� �����������$���<����� �$�����0Q-������������������<�������������������������.Q-�

�����'������� ������������ ��� ������33���������00Q����<� ��� ���������� � ����E� �� �-� ��� ������� �33�� �%������'����������� ����������� ��������������E� �� ���������� ������5A���������� ��������������������'�� �������(

�� ���������� ��� ��� �����������()�6A���������������������� �F����0Q�� ����+)�0Q���������������������� �F����0A�� ����+)�.3����������������� ����� �F����.3�� ����+)�.A������������������������ �F����.A�� �����

� ����� ��������� ����������������

��������

8���������������� ��� ���� ����E� �� �7

8%������������� ������E� ����� ����������� ��� ��� ����E� �� �7

����� ��$���E������� ���� �3������������� ���E����� ������7

��� ����E� ������ ��������������� ����������'�����%���������E� �� ��

������ ����������������� ���� ���� �� �������� �������� "�� ������� $� �#��� �����������������E� ������������ ��()������%�"�� �<�������� ��� ������������ ������������E� ����� �-+)����%�"�� � <�������� ��������� � ��� � �'����E� �-

Page 206: 093 Matematika 01 - 02

���

"�� ��� ���������� �$���������� ������� �F���������������� ������� ��� ���� �F��������������������������������

� & ����� � �����'�����E������� � ����� ������ ��%����E������$��������� ���������� � �

� &��������� �.������� � ������������ �F����32��3D��05�� �02�� ������������������# ����E� �� ������������%������2PQ����� �F����00�� ����������������������� ����������������� ����������� �7

��������������� ���� ������� �F���������������<������ ���������$��-���������������������������� ������� ������ ���� � �<�� ��32��3D�� �05�� ����-�������%�������������F�%����� ����������������E� ��� ���������������<�� ��00�� ����� -������'������� ����� � ���$��������������������� �������(

�+

%)

�)

%�

0��� ��� 3 0 k g 9 0 k g⋅ =0��� ���F�%'�#"�;�,'�#"

),'

����� ��������%���� ��������������),'�#"

%%

690 : 23 30.= ��� ����������%�������� ��� �����������+������PQ����������� ���� ���� � ��������+)�.3Q����������� ������������������

"� ��� ����E� �� �(�2PQ����⋅�00�� �����4�3366Q�� �����

��*,$�

K���� �(�3366Q�� ����

� � � ���� � �������� �� ����� �

0��� ���F�%'�#"�;�,'�#"

<6�/�A�/�3�-��� ���F�%'�#"�;�(�'�#"

PQ���⋅�32�� �����4�30.Q�� ����PQ����⋅�3D�� �����4�3A3Q�� ����PQ����⋅�05�� �����4�36PQ�� ����.3Q���⋅�02�� �����4�5A53Q�� ����

Page 207: 093 Matematika 01 - 02

���

� &��������� �.���� ������E�������03��0.��06�� �.5�� ������ ��� ����� ��� �����$��������E� �� �� ��3.Q����� �F���(��-�0A�� ����+�$-�0D�� ����������������������� �������������� ��� ���������7

# ��� ���������������� � ���������$������������� �������� ���� ������������������������������� � ������������Y�� �������� ��� � ������������<���������������������-�

1q 3q 2 1 32 3q q q= −�' � ���������*�� � ���������(��+ % ���������*

������������ ������� ��������� ������������� ������� �������� ����� �E���� � ������� �$�������� �� �����

�������������� ��� ����� ��(������������4�D(6(0���� ��������4�L)�������)�����4��)#�1��������������������4�02Q������ ��L)����)����)�4�02Q�������������)��3Q�

&����������4�52Q������

��4�5.Q������

��4�2Q����

� ������ ����������.���� ������������� ���������(�56��35��3A�� �0Q�� ����������������J� ����������60�"������� �F����30�� �������������������������� ������ �� ���� ��� ���������7

� � >� ���� ���������� �� �F���(�33��3D�� �03�� ���������5������ ��������E� ��'�����%�� �02Q����������� �F����32�� ����������������������������� ������ �� ���� ��� ����������

& �����������E�������� �$���E������� �� �������� ��

������������������ ��������������� ���� � ���

������ ����� ���� ��(� ( )1 2 3 1 2 3 1 2 322 28 32 26 , 4 2 6 0 |: 2,q q q q q q q q q+ + = + + − + + =

1 2 32 3 0.q q q− + + =

J���E������%��������� ��������� ��� ������������� ������%���������E����� ���� ���������� � ���� ����������������� ��I�����E������������$���E����������������������� �������� ���� ��������� ���# �F?����� ���� �������������������������� �� �����������������%�� �� �� ������ ������F����������� � ������������� �� ������: ����� ������������ �$����������������������������� ��(��� ��-���#

# ����� �� ��� ��� ����F%������ ����� ��

������������� ������������ �����

��

Page 208: 093 Matematika 01 - 02

��

���

� # �������������� ������������������ �������E� ��������'����� ������3D��0A��.3�� �0P� ������������������'�����%�� ��62D����������������������� ������00�� ����������������7

# ������������ ������� ������������������ �������E� ��������'���������� �����(�DQ��DA��P3� �P6�� ������'�����%�� �����E� ������ ��3.Q���� �F����DD�� ����7

� &��������� ������������� � ��������������(3.��00��0Q�� �02�� ������������������� ��# ���� �������������%������35QQ������������ �� �F����05�� ������������������������ ��� ������������� ��� ������������ �7

� ���� �����A.������% �����362�� ������ 22������% �����3DD�� ������ ������������% �� ������ �� ������0QQ�� �����'�����E� ��������� ������3PQ�� ����7

� &��������� ���������� ��������������� �F���(53Q��5.Q��56Q�� �5PQ�� ���������5��������������������� �������������� ��� �����������'����%������5AQ����� �F����5AQ�� ��������5��7

X�������E� �������� �%������.3]�� �0D]� �����'�����%�� ��52Q������������� �%�����0A]��������������������� �� ������������� ����7

� # ��������������� ��������E� ��������� %������.3]��0A]��.D]��2Q]�� �AA]�'����%�� ��32Q������������� �%������.Q7

Page 209: 093 Matematika 01 - 02

��

��������

>��������������������$��� �������������������� ��� ����()�# ���E����� ����� +)�# ������������� ��� �� � �<� ��������� �����-+)�# ��������������� ������� ������ ������$������ �� �� ���

����������� �� ��� ������������ �����������������������$ �������� � �

����� �������� �����������������������

# ����������������������'��� �� ��������� �� ��%����������������%����7

>�� ������ ��$� �������� ���� � �� �� ��� ������ ������� ��� �� ���� ����� ������������������ ���������������

� �

- ��

.�(�

/ 0 0 1 2 )/ -

� � � � � � �

,������������ ����� ��� ��7

,������������ ���������� ��� �����7

,�������������������������������������� �� ��� ��7

K���� ��������� ��� �������������������7

#������ ��������� �����'��� ������������� �'� ������ ���$��� ��

� >����������������� ��� ���������������������� �������������� �����'����� ���������������� #

M����������������������E�����

! # # � � ! &

��

- �(�

.�(

I������������������'�� ��� �������������������� �� ���� (

>����E�� ��$������E������ �������� � ����� ��������� �'������������ ����� ����������$ ���+

>����E�� ��$����� �����������E�� � ��� $��� ��� �� ����������� �������� ������������������ ������ ������������������$ ���+

>����E�� ������������ �������� ����������� �������� ������������ ���������� �����$����� ������+

>������ �����������������������������

&������ ��� ���������������� �

Page 210: 093 Matematika 01 - 02

���

� ���$��������� ������0Q��=���������������������������� ����� �������� �3Q��������������� ����%���������=����� �����������������������

�� �) �' �+ � �' �* �� �) ��

�� �' �+ �' ( �% �' �+ �' �(�+ �� �+ �, �� �' � ) �� )

�����$ ���� ��������������������� �� ���� �>������������'����� ���������������

����������#�$������������

���������:����$�

��3�� ��3�� ���3��� ���3���

� � # ����� ������ ������E��������������'������������������������� ���� ����� ���������������������3.���� ������� ��E��� ����� ���������� �

>�������� ��������������������'��������$ ���

8?������������������ ����� �������� ���� ��E���� ������� ��5A�� ���3A�� ��� �� ������� ��0Q�� ���.Q��� �7

� �' �� �' �� %' %� (' (� �' �� )'

(

)

+

�'

��

�(

�)

0�&���4* ���

5��

��4�

�(�

��������������� ��E��������� ������������ ������������ �����������������������7

6�*�7���(��"7$8(

@����� �:������������������ �$�F��� �������� ��� ���������3.QQ����B�� ��� ������������������������������������� ������������������� ����������� ��������

@��� :����

��

��

��

��

��

- &

��%�

��48

5���48 %� � � � � � � � � � � �� ��

Page 211: 093 Matematika 01 - 02

���

,���������� '����������������� �����7

���F%����������� �� ��������������� ����������� �@������ �:���������� ����������������' ������� �����������7

,������������������������������ ����������7

������������������� ��������������� ������������ �@������ �:�������������������' ������� ������������7

��������� ���������� �5DQ��=������������� � �

>�������� ������������'���� �� ������ �� ����������� ��������� ��������'�� ��� ��������� �������

���������=����� �'����������������

���������������������' ����� ����� ��������� ����

K��� ����

������� K� ������� @������ *�������� B�����

��������=�����

�� �� )) �( �)

����������������02Q°������������������=����� ������5DQ°�02Q° (�5DQ�4�3°�

�������� ��3°���������������������� �������=������

,������������������� ���=����� �'���������������������� 7

����� '�� 33� �=������������ ������ ������� �� ��� �� � 33�⋅ 3° 4�..°����������..°����������������������������� ������������=����� �'���������������������� �

��������������� ����������� � ����� �������� ������ ����������������� �������

97��8�% &��

104°

:$& &�� �32°+�(%"7 &��48°

;��' &��

� 44° <%"' &��

132°

���' �E����� ��

������������������������������$ ���

>����������������������������%�������� �����PQQ����������������������%�$�������������������$ ��������'����������������� ����������� �������

��� �����

������ ������A�� �2

������ ������2�� �6

������ ������6�� �D

������ ������D�� �P

K���� �

��'

,'

%+(

%')

,''

Page 212: 093 Matematika 01 - 02

���

��� ��������������� ����������������������������������� ��������'������� ���������� ��� ����� ��� ����������������������������� ��� ��������������� ������������ ������ ��� ���

���$�$��� ��������� ����� �63Q���$����@���������������������(�� ���������$����� �������$������������������ ���$���� ��������� ��>�����������������'������ ���������� �������

��$��������

� 60°��$��

�� ����� 40°

� �����

��$���� ��������

� 80°

������70°

,����������� (��������� ����$��� ��� ����� ���$��� �� �������� ����$�$��� ��������� �

K���� ������ �63Q���$����&�������02Q�(�63Q�4�Q�A���� �������������$������������� ��Q�A°������ ���� ����� ���� ��$���������� ��� ����� �� �� 2Q°�� �������2Q�(�Q�A�4�53Q���� ������������ �53Q���$����������

������������������������ ������'������' ��� �����7

���������������� ������ ����$�$��� ��7

�� ������-

��������������� ������ ��(

,���������������'������� ���� �F?���������'����������������

�� ���<����������-� �� ������$���� ����������������������� �

"�E�������� ������ �����'������'�������������� = ��

���

B� ��&� ��������������� ��P����� � �� ������� ����� �������� ��� ��<����-� ���� �������$ �������������������������������� ���� ��� � ����E$������� �����������5P33������'�������������� ������������������

���� �� ����������� ��

>��

#����

H���� ��

������

�)

�+

��

+

T����

� �����

������

Page 213: 093 Matematika 01 - 02

���

��� ��$ ��� ���������������� ����� �����������������0A��=���������������� � ��# ���������������������'����������������������� �� ������������=����� �������������� �����������

� 0$�7 -��� 0$�7 0$�7

=�%��

)�#$��

0��&

2� ''

0�7

>��&���

5��� #

)������

9$&��

?����

6(%���

-�7����

+&���&��)

�&��)&��+

%�

�&�(&�,&��)&��(&��*

�&�)&�*&�+&��%&��,

��&��'&�%'

��&��%

�&�,&��%&��*

��&���&��+

��&���

�&��)

>�� ������ ���� ��$ ��� ����������������$����� ��������5PQQ� ������������3QQQ�� ��������)����� �T�� ��)������������3Q3Q����'�� �� ��������������

�D���

G���������� ����

�,'' �,�' �,(' �,)' �,+' �''' �'�'

�&) �&, �&% %&' (&( )&� *&*

�������� ������������� �������������������� �������������� ����� ���������� ��� ����(#��������� �0Q��� � 0Q�� ����+�� ��05�)�0P��� � 5A�� ����+�� ��.Q�)�.P��� � 3P�� ����+�� ��AQ�)�AP��� � 5.�� ����+�������� ����� �2Q��� � 53�� ����+>������������'����� ������������ �������

H������� ���������������� �������E � ���� ������'������������������������� ������� �����������������������������35Q�=�����"�� ������������ �������,����������� ����������� ����������E ��,�������������������������������� ������'��� �

87�#(& �

��#% #�

��#8���8

&�#�%��&��@(����

��#3�%�(����� ���

��� ������

Page 214: 093 Matematika 01 - 02

���

����������� �����������

� ,������ �������� ������ ����� � ������������� � �� ���� �(�-�#�����+ $-�� ��� ���+ �-�����+ �-���7

� ���� ��������2������53������D����0Q�������7

� 8����������������������������������PQQQ�� ������ ��� ������� ��������� ������0Q�����������%��������������� ���� ���� �A��0Q����5Q���� �53���7

� �������52Q����� ������������ ���'�������� ���������������3(A(6(2�

� ,���������������������� � ��������������������E�� ���(�-� ����� ������������ ��� ��� ����+$-�B����� ��������� ���+�-�"� ��� ������� � �� � ���� ������������� ������� ���������������+�-�"� ��� ������� � �� ������� ������������� � ���� ���������������7

� �������������3Q����������� ������$�������������������.A������������� ������%�������5A���������� ����3Q������ �������������������� � �5Q���������������������������� ������� ������%�����7

� ����������� ������E��% �� ������5��� ���������������D����������=� ���.Q������������ ��������������������=� �����D�������������2�������E��% �� ������3����� ����� �������������������������7

������������ �0Q��.QQ�����������������������5D3.Q�e�� ��������5���������������� ���������������������5e�4�.Q�QQ�� �����

���������������� ������������������������������������������������ ����������5A]�� ����������� �������� ���������������55PQQ�� ����7

�� ������� ��� ����<�-��� � ��� �%������(

�-� ;100

k pi

t

⋅= ������$-�100

;k t

ip

⋅ ⋅= �������-� ;100

k p ti

⋅ ⋅= �������-�100

;k p

it

⋅ ⋅= ����)���������������

�−���'������ �����������−��� ���� ��������� �

�� �������� ��� � ����AQQ"�� ���� �%������P��2QQ"�� �%������55]�� �PQQ"�� �%������5.�� ������%������� ����E� �� �7

Page 215: 093 Matematika 01 - 02

���

B������������ ��������������

����� ����������� ����� ��E�� �����������������������������

& ������'������ ����$���E�� ���� �� ��������������

��

��

������ ����.��� �/����.��� 0123��/2�4�2����

�����

J���E�������� $��������������� �

J���E������� ������������������� �

H$���E������� ���� ������������������������������������ ��

*����������� ������������������� �

��� ������$���E�� � ��� �� �� ���������������� ��

�����

�����

�����

�����

�����

�����

��������������

��������

& ������� ����� ������� � ���������������������� ��

����������

����������

����������

����������

����������

����������

����������

Page 216: 093 Matematika 01 - 02

���

��������

��� ���������� � ��� �������������������������

��<��g�Q-�'� �� ���������<� �a

b -+�������'� �

�������������������������'� ������������������

��������

������ �� ��������� � �

������'��%�� ��� ���� �� �� ��� ������������� ���'� ����� �� ���������

� � ,������ ���� ��������(

�-�16 : 4; �������$-� 2 4: ;

3 5��������-� 2,5 : 0,5.

"� ��� � �������� '� �� � � ���%������� ��� �����������M������������� ��� �)�

� ,����� %��� ����� ������ ��������� ������ �(

�-�100 : 25; ������$-� 9 3: ;

4 2�������-�100 m : 25m; �������-� 6kg :12kg.

"�� �� �� %��� ����������� ����������������������� �������

�� �������

! ���������������� ������ �������� ��������� �������������������� ������������������������������ ������������������'� �������������� ������� �

� ,���������� ������������������� (�-�6�(�35+����$-�0A�(�A+�����-�25�(�0��+�����-�0���(�A�+���� -�3A"�(�5D"

��������

,������� ������� � ����� � ���������$���$����(�-�2�(�3+�����$-�5A�(�5Q+������-�.�A�(�0+������-�A�(�37

� � 8%������ � ����������� ��5D�(�53� �5A�(�5Q7

����� ����� ��������� ���������������� ��������� ��$���E���5D�(�53�4�5A�(�5Q�� ������'� ������ �������

� # �������F�%� ��������� � �����������������%�� ������� �����(�-�0A�(�A�� �A�(�.3+������$-�5A�(�0�� �5D�(�2+�������-�53�(�0�� �3Q�(�A7

�� �������

����� ������������$���E�� ��������� � ���������������������������� ��������)�� �+������)���� ������+��#

Page 217: 093 Matematika 01 - 02

���

� �� ���������� ��������� ��������� ������������������������� ����$� ���� ��������� ����� �(�-�3�(�A�4�2�(�53+������$-�0A�(�A�4�3D�(�.�

8������ �7

�� �������

����������������� ������������������$���$������ ��������� ��������� ����$� ������������� ��������������������+���� ��������+��������� �����⋅ ����+�⋅ �#

� ,������ ��$���E�� ������������������� �����(

�-�3A�(�0A�4�5Q�(�5.+ �$-�56�(�53�4�6�(�3+������������-�3�2�(�5�3�4�5�A�(�Q�A+���������-2 3 1 4

: :3 4 2 5

= �7

�� ��$���E�� �����������������%�������� �����(��-�A�⋅�2�4�5A�⋅�3+�����$-�0⋅�.�4�2�⋅�3�

"�� �E����� ��

,������ ���� ����������������������� ��������������� ���I#

"�� �E����� ��

: ����� ��������� ����������E�������� ������� ������������������������ ��� �� ,x a b= ⋅ ������������������� ����� ��� � ���� � ������� ���� ���

�� �� ��� ����� ���� � ���� ���������� (��-�P�� �52+���$-�.�� �3A�

� ��

�-�5 : 2 15 : 6= �� �5 :15 2 : 6= �� � 6 : 2 15 : 5.=

3 4 2 ,x⋅ = ⋅ ��� ��������2�

>���������� �$���E�����6 3

4 2= �E������������������E����������5�

"�� �E����� ��

��� �������5�� ���6 3

1 14 2

+ = + �����6 4 3 2

,4 2

+ += ��� ���������( ) ( )6 4 : 4 3 2 : 2,+ = + �� ����

E$� ����5�� ���<2�)�.-�(�.�4�<0�)�3-�(�3�

������������������ �E����� �� �� ������55� �E$�������������� ���������������+������%����������� ����� �%�����&������%+����&������ �%��-��&������%+�-��&���������������'� ����� ������������&�� ��

�� ,������������� ��������� ������ �������(����( )3 : 3: 2;x x− = ������( )2 : 5 : 3.x x+ =

"�� �E����� ��

$-���������� ����������=� ����<3�/���-��&����4�<A�)�0-�(�0�%������3�(����3�(�0���� ��������� ��� +����0�

Page 218: 093 Matematika 01 - 02

��

� �� ,������ ���� �� ������������.�(�3��2�(�0�� �5Q�(�A�

>���� ������ ��������� ���� ���������������� ��� �.�(�3�4�2�(�0�4�5Q�(�A+��� ����������������������.�(�2�(�5Q�4�3�(�0�(�A�

����������������� ������������

���+��+

��%�� ��$���E����(��(�+���

����

����+

�� ������'� ���� ���������

��"���� �

��������� �������1 1 1

a b c

a b c= = ���� ��� ������)�������)�����+��+�)

�� ,�������3�� �8��������� ������������3���8�4�3�(�0�(�.����� ������ ���� ������36�

"�� �E����� ��

��������3���8�4�3�(�0�(�.���� ��� ��2 3 4

,x y z

k= = = ������������ 2 , 3x k y k= = �� � 4 .z k= ���� ����

�� �����E�� ����������������������3���8�4�36��%������ )����)���I)�4�36���� �����)�4�0�

�� "� ����� �5AQQQ�� ����� ����� ������ ��� �����������+�.(A(2�

"�� �� �� ������ ����� ��������������3������+������8�� ����������������������� ������� ������ ����������$���$�������� ����� ���������%�� ������� ����������E�������������+����������3���8�����

�� �� ������� ����� � ���(����.�(�0����(�+��6(D�� �+�(����2�(�P��%�������� �����������E�����

"�� �E����� ��

��������� ��������������� ��������<� �����E���������� ��������� -�%����������� �����������(�+��3D(3.� ���(�+��6�(�2���������������������������������� ������� �������� ���%�����������������M#�����������(����.�(�0�� ���(����3D�(�35����(�+��6�(�2�� ���(�+��3D�(�3.��� ���(����6�(�P�� ���(����3D�(�02�������� ��� ����������+������3D�(�35�(�3.�(�02�

���

� ,������������� ���������������� �������(�-�3: 2 : 4;x= ������$-� :3 15:9;x =�-� 4 : 2 :3;x = �������-�3:5 6 : .x=

M���� ������ �������

�-� ( )3 : 1:5;x x− =

$-� ( ) ( )5 5: 1: 2.x x− + =

� "� ������ ��5DQQQ�� ��������� ���������.(0(3�

� # ������ ����� ��������� ������+����������I� ��� ������� ����� %�������� �������� ��E����#

� "� ����� ��2AQQQ�� �������?������ ��������������� ���� ���� ��������� �����(�������+�� ��������'����������� �������� �+������������ �����+������I�� �+������ ���M#

&���������4�3�⋅ 0�4�2��3�4�P�� �8�4�53�

Page 219: 093 Matematika 01 - 02

��

�������� � � ���������� ���������

� � �����������������������3Q�� ������ ��� ������������������3��0��.�������������7

# ������������������������ ��������������D������������������� ��������������������� �� �3��.��D�����������������7

���' �E����� ��

"�������� �������� ������������� ���$ ���� ����%������

)�& ����8�''(& � � % (

-�%��( �' (' )' +'

� � � �

��

��

��

��

������$ ���� ����%������� ��� (20 40 60 80

201 2 3 4

= = = = �� ��������������

20,y

x= ��� �������� 20 .y x=

#����������������� ���������������� ���'� ������������ ������������ �����

������$ ���� ����%������� ��� (

8 1 4 2 2 4 1 8 80⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ = �� ��������������

8,y x⋅ = �� ��������8

.yx

=

#����������������� ����������� ���� �������'� ������������� ����������"�� ����#

� ���������������2���������3.�����:�������������� ���������������������5��3��0����<��� ��������E������������������������� -7

� ������������ ��$�����������������52������������������������������������������� ����3��.��D�������7

� ���F%���������� �����+��-�$��������� �� ��� ����1����������+�$-��� E������ �� ��� ����1����� ���+�-������� ��� �������(�� �����������������7

6$8� � ����#���(*� � � (

6$8� � �� �(*� + ( � �

+

� � � �

��

Page 220: 093 Matematika 01 - 02

���

� � ��� ���� ������ ����� �� ��� 2QQ�=���������������������5A������ �

� ������������������=�������� ���=�����������D����� � 7

� ���������D��������� ���� ��������0A������������������������������������������ ����5Q�������7

"�� �E����� �

#��������������������� ����������� ������� 7 #������������������ ���������E�� ������� 7

�������� � )''��=����

+������ � ���=����

+�������� %������

�'�������� ������

: 600 8 :15x =15 8 600x⋅ = ⋅

8 600

15x

⋅=

320x =

: 35 8 :10x =10 8 35x⋅ = ⋅

8 35

10x

⋅=

28x =

&����������D������ � ����03Q��=����� &�������5Q����������������� ��������������3D�����

��� ���������E����� �� ���������������������� ����� ������ ������� � ����� �������� ���������������

!"��(-����� ��������E����� ������� ������������� ���� ��������������� ���� ��� ������������� ����������������������� �������� �E�� ����� ����� ���� ��� ������������� ������������

� ����3QQQ�� ����������$� ���AQ������������������ ��� �������������53A������������������������

���������0Q�������������������� ��������2Q������������������������� ���������������� ����3Q�������7

��� � ����3QQQ�� ����������$� ���AQ���������� �

������������������$�� ������5.QQ�� ����7

� ��� �.Q������������� �������������3QQ���

�������������������������� �������������������������������� ������������������� ���� �������������0QQ������#

� �������������������� ��� �0Q������������53Q����� ������������������� ������'������ �������������� ������5D������<5������4�5Q������ -7

� > ���� ��������������������������������$�������������� ��2QQ�������������� ���������������������������� �������� ���������������$������������� ��5Q�)�7

� �������������0Q����������� ������$������������������2Q������������� ������%�������3Q��������� �����5Q������ ��������� ���� � �A��������������������������$�� ������ ������%�����7

Page 221: 093 Matematika 01 - 02

���

��������

�� � �� )3� /� A�� 3�� )� 0� � � 0��/�A� ������� � ����� $��� �

�����������������$���E���(�-� 24 : 2 3 8 3;+ − = ��$-�2 3 3 5?x x− = +8?�����E������� �$���E����7

@��������4�5�E������� �$���E������)��4���)571 1?x x− = − ����������������$���E���

2 5?x xy+ + =

��� �$�� �<������������ � ����� $��� � ���� ����������������� ����� �����$��

A B='� ��$� �"�� �����$ ���5� �� ��������� ��������� ��� ��� �������������� ���������$���E���

����� �$�������� �2

2 2, ,

1 3 4

xA B

x x

−= =+ −

��� ��

2

2 2

1 3 4

x

x x

−=+ −

������$���E������� $����� �������

�������

����� � ������ ��

������� ����� ���$���E��

>������������� 2 22 5, ( 1) , 1 1, 2 1 0,...x y y y y x x x= − + = + − = − + =

#�������%�� �� � �$���E�� ������ $��� �� �������������������������+������ �$���(2 22 3 5, 0.x y x y xy+ = + − =

��� ����$���E�����$��<� ���������E�� ���� ��� ������������������� ������ ���� ����$���E����������������������$���E���� ���������� ��� ����� ��������������������� ��� ������"�������� ������$���E����<��9 �������$���E����;-�

������������ �$�����������)3������E����� � �$���E����� 2

2 2

1 3 4

x

x x

−=+ −

&������'�

2

2 ( 2) 2,

( 2) 1 3 ( 2) 4

− −=− + ⋅ − −

��������������2 2

;5 5

=

���������A����������E����� � ������$���E���������'��� 2

2 5 2,

5 1 3 5 4

−≠+ ⋅ −

�����1 3

.13 11

� ������� ������E����� � �$���E������ 2

2 2

1 3 4

x

x x

−=+ −

��

�-�������5+���$-�������)5+����-�������0�

# '�(��-� 2

2 1 2;

1 1 3 1 4

−=+ ⋅ −

��$-� ( ) ( )2

2 1 2;

3 1 41 1

− −≠⋅ − −− + ���-� 2

2 3 2,

3 1 3 3 4

−=+ ⋅ −

���� ��� ��E����� ����$���E����

������������5�� �0+������������� �$����������������E����� � ������$���E��������� � �������3�

���������������������+����������E����� �� �$���E����� 2

2 2

1 3 4

x

x x

−=+ −

�� (� 2, 1− �� �0�������������+�)3�

5�� �0�� �$��������-�"������������������$���E��������� { }2, 1, 3 .M = −

������

Page 222: 093 Matematika 01 - 02

���

������� �� �����$���E������� $������������ �������� �������� ������ � (

�-������$���E����E����� +�� ����� ����

"�� +���-� { }3 ;M = ���$-� { }4 ;M =�-� .M = ∅ ��� 7

$-������������������E����� �������7

�����

�-� 2 3 ;x x+ = �$-� 22 3;x = − ���-�0 ( 1) 2;x⋅ + = ��-� 2( 2) 2 ;x x x x+ = + �� -� 1 0 ;x x+ = ⋅ �%-� 1.x x= −

����$���E������� $�����������(

����"��������������������������$� �"���"�������������� �$�������� �E����� � ���������������� �E$��E��������@�≠ ∅+�� �������"����������� �������������$� �"���������� �<����E���������$����-���� �������������E����� ���� ��������@�4 ∅�

� ,�����$���E�� ����� � �����������������7��� 7

��������

# ��������������������$���E���(�-�2 3 0;x − =$-� 2 3 5;x y+ =�-� 2?x yz+ =

J���E������/�3�4�0��������E����� ���4�5��$���)E�����<����3-�4�7�������E����� ���4�Q����4�)3�$���E���� ���� ��3<����5-������%��������E����� ���������$���E��������������� �������E����� �

� � "�� ��$��������� �E����� � ���$���E����(

�-� 2 1 2;x x− = + ������$-� 2 ;x x+ = �������-� 2 1.x = −

��������

J���E����������������$���������� ����E����� ��4�)3���� �$���E����3��/�.�4�Q�� �$��������� ���E����� ���4�)3��J���E�� ����/�6�4�A�� 3��/�.�4�Q������ ������ �� �

����������$���E�� �� ���� ������ ������ �� 7

,������ ��������� �������⇔ <9 ������ ���;-7

,������ ��������� �������?$���E���;7

���� ��� $���E�� �$��<� � �=��?� ���� ������$� �"�������������������

$��������� �E����� � ������� ���������$���$����+������ �

.A B C D= ⇔ =

������������ �@�������$������� �E����� � ���

$���E�����$��<���������@��Y���$���E�����=��?���� �������� �������%���������� �

1 2( ) .A B C D M M= ⇔ = ⇔ =

Page 223: 093 Matematika 01 - 02

���

K������������'���������9E������� �$���E�� � ;��%����E �������� ������� �����������9 ������ ����;+���������������������� ����9��� ����$���E�� ������ ������ �� ;�H��������� ����� (

��� ( );A T A B T B= ⇒ = ⇔ =

�� ;A B A C B C= ⇔ + = +

��� 0 ( ).C A B AC BC≠ ⇒ = ⇔ =

" ���� ����������� ���� ���� ���'����������� �������<� ������-� �����$���E��������������������E�� ���� �� ���� � ��� ����� ������������� ���� �� ����

>���������������� �� �����3°��������������� 2 2 2 26 2 10 (6 3 ) 6 3 (6 3 ),x x x x x x x x+ + − − = − − − ������������5 10 0,x + = �� �����5 10 10 10,x + − = − ����������A=�4�)5Q���������$���E��������������� �� �����0°��%�����

����� �$��������$���E������ 26 2 10 3 (2 1),x x x x+ + = ⋅ − ����� �������� ( )3 2 1x x⋅ − ���������E�� ���� ��� ���� � ���� ���� � 26 3 ,x x− ��������� 2 26 2 10 6 3 ,x x x x+ + = − �����������

2 2 26 2 10 3 (2 1) 6 2 10 6 3 .x x x x x x x x+ + = ⋅ − ⇔ + + = −

" ���� ������� � ��� ���3°�� �0°��������� ������������������� ����� ���������� ����� ���������������� ��$� �"����6/������������������"����$� �"���������� /���� ���������� ��"� ��6�

K������������������ �� �$���E�� ���� ������� �� � �%�����(

����� 0 0AB A= ⇔ = ������;�'

( 3)( 2) 0 ( 3 0 2 0),x x x x− + = ⇔ − = ∨ + = ��������������� �'������ �0�� �)3������E����� ��������

1 15 10 ,

5 5x ⋅ = − ⋅ ��������������4�)3

� ����������� �� �����.°�E���� �$���E���� ( 3)( 2) 0.x x− + =

M����� �

,�"�������$� �"�����������������������������"�������������

� &�� ����%����E����� �����5°�)��.°��E���� �$���E����� 22 8 2 8.x x x− = −

���� �

� ,�����$���E�� ����� � �����������������(

�-�5

;2 3 6

x x x+ = �����$-�5

1;2 3 6

x x x+ = +

�-� 3 1 0;x + = �����-� 4 1 0;x + = � -� 2 21 1 .x x+ = −

� # �E$������� �� ��� �5R�)��.R�E���� �$���E����(

�-�7 (2 3) 10 6 3 ( 2);x x x⋅ − = + + ⋅ −

$-� 2 23 (2 5) 5 ( 1) .x x x x⋅ + = ⋅ − +

� K� ������������E����� �� �$���E����(

�-� 2( )( 2) 0;x x x− − = ����$-�2

2

10.

1

x

x

− =+

� �� �$���E�������� ������������� ��������� �����E���� �����7�M���� �$���E����(

�-�3

1;x

x x

+ =+ ���������$-�

2

2

10.

1

x

x

− =+

Page 224: 093 Matematika 01 - 02

���

����� � � ����

��������

J���E������/�6�4�3��������� �����������$���E��������3�4�Q����������������

�����������������$���E����<��)�5-<��/�3-�4�Q7

�� E����� � ��� $���E���� ��� ���� � ���� ��������7

� ��� ������� � ������ $��� �$�� �<���$���E�����$��<�������� ��������������� �

# ������ �$����������������9E���� �L�����$���E���<��� ��-�

4 1 2 13(4 1) 5(2 1),

5 3

x xx x

− += ⇔ − = + �������� �����0°����������=�4�5A+

12 3 10 5,x x⇔ − = + �������� �����5(

12 3 3 10 10 5 3 10 ,x x x x⇔ − + − = + + − �������� �����3�����=�4�0�)�5Q��+

2 8,x⇔ = �������� �����5+

������������'�� ��� �������������������������� ����������$���E����� ��� ������$� �"������� #>��$���E�� ������������(

1 2 ; 5 4; 2 5 13,...x x x x x− + = = − = −

� M���� �$���E�����4 1 2 1

.5 3

x x− +=

��������

1 12 8,

2 2x⇔ ⋅ = ⋅ �������� �����0°������ 1

;2

C =

4,x⇔ = �������� �����5°����� 1 2 ,2

x x⋅ = ���������1

8 4.2

⋅ =

&�����(��4 1 2 1

4.5 3

x xx

− += ⇔ =

J���E������4�.����� ��������E����� �� ������������.�<������'��.�4�.-���������� � �$���E����������������������� ������ ���������� ��������E����� +��������.�

� M���� �$���E�����3 1

5 .4

xx

+− = �� '�����������������������E����� ��

(� ��������������������������� �������������������� �E������������$���E�� (�������������� �����$���E�������9���� = ������ ��������������������� ����� �������������������;��������$�������������� ����������������� ����;�����9��� ������ ���� ���L��9�������E��� �)5;� ����"�E�������� � ����������� ��� ����� ����� ��'��� �������������������� �������������� �� �����5°�)�0°����� ����������������������'��� �������������������������%����$���E��� ������ ���

��������

Page 225: 093 Matematika 01 - 02

���

��������

J���E���Q�(���4�Q�������������������������������≠�Q�@������$���E���Q�(���4�Q������������������≠�Q7@����������4�Q�$���E������(�Q�4�6��������������$���E�������������� ��� 7@����Q�⋅ ��4��������� �����������������������∈ B�� ���≠�Q7

�����$���E������ ��������������� ����%���

,ax b=

������ ��������������� ���

����������������������(

���� 0,a ≠ �$���E�����������E��������� ����� ��������E����� �� ;b

a������������(���� �ax b=

����E ��� �1

a�%�� �� ,

bax b x

a= ⇔ = � ��� �������������

b

a�����E����� �

I����E������E��������� �$���E�������������� ������������� ������ ���

��� 0a = � ���4�Q�$���E��������������������E��������Y�� ������������ ��������E������� �����

�������������������������������⇔ �7�⋅ ����7���������$���E���������������� ������� ������������� ���

�������7�� ���≠�Q��$���E���������������������<����E����������$����-�������'��$���E���Q�⋅ ��4������≠�Q�������������$���E�������������� ��� �������������������

�-� 6 7 6( 1);x x x+ = − − �-�2 1 1

1 .2 3

xx

− − = −

� �� ����������$���E�������� ���� �� ���������������'���������

� ,���������������������$���E���(���-� 3 6 5( 2);x x x− = − − $-�2( 3) 2 4;x x− + = −

� ������������ ���������������$���E����<��)�0-��4����)�0�������� ��(�-�����������+ $-���E��������� ����� �����E����� +�-���E��������� ���%���������E����� 7

��������

>��������������$���E�� ���������� ������������� ����3��8���

@����������������$���E�����������4�A����' ���������������7

��� ����$���E�������/�3�4�A����� ��� ���3� ���������%������$���E�����������4�A

�������� �����������������+��� ��� �������� ����� <� ��-��K�����E����� �����$���E�� � ���������������� ����� �������� �����

� M���� �$���E������ 2 1,

1 ( 1)

x x m

m m m m

−+ =− −

������������������ ���<����� ���-�

Page 226: 093 Matematika 01 - 02

���

������������������E���������%���������$���E�� �����������%�� �������� ���� ������� �� �� ��������� �����+������������(

���5

3: ,3 2 6

x xm = + = �����

32: ,

2 2

xm x= + = �����

1 2 8: 2 ,

2 3 3

xm x= − − − = � ���

"�� �E����� ��

������ ����%�������� �E����� ��� ���L��������������� ���������������������$���E��������������������� ������������"�����#

"�� ��� �������4�Q������4�5����$���E�������'�� ��9�� ���� � ���� ��E �L+������'���� ���������������� �E����������� ��� ����� �E����������$���E�� ��������4�Q�� ���4�5�����������E��������� ��9����E�������$���E���������� ������'����≠�7�������≠��#�����������������E������ ��%��-�5-�� �� ��������������$���E�����������%�� ��$���E���

(2 1) 2 1.m x m− = −

>������� ���L����������� ����� �� �+������������� ��������$���E�����������E�������7

�����5°��$���E�������� ��������E����� ����� � ��-��≠�Q���� ����������� �� 1;

2m ≠ ���������������5�

�����3°��$���E������������������E��������� ������%���������E����� ����� � ��-���7���� ���������� �

1,

2m = �����'������� ������ ���� �$���E�����Q�⋅ ��4�Q�

����$���E���������������$���������������� ���(���������������������������E������������ �$���E����$� ������� ����������� ����� F����� � � ��������� �� � ����� ������� ����� �������������� �$����

� M���� �$���E������3 2

2.2 3

x x a

m

− −+ =

$���E����x x b

a b b a b+ =

+ +�����������������≠�Q�� ���≠ )��

� ,���������������� ����������� ���� ���� ����������E��������$���E����x x b

a b b a b+ =

+ +

���

� @������ ������ �� �$���E�� �(

��� 3x = ���� 2 9;x = ������ 3x x+ = ��� 3;x x= −

� M���� �$���E����������'�����L��� ����� �'�����������������(

�-� ( )22( 1) 1 4;x x+ − − = �����$-�2

.3 4

x x− =

� M���� �$���E����(

�-�14 1 2 3 3 4

,15 5 3

x x x− − −+ =

$-�4 3 3 1 5 1

1 0;3 4 8

x x x− − +− − + =

�-� ( ) ( ) ( )5 2 2 1 3 2.

6 3 2

x x x+ − −− =

��� 83 5

x x+ = ����� 15;x = ���2 1

01

x

x

− =−

���� 1 0.x + =

Page 227: 093 Matematika 01 - 02

���

� M���� �$���E����(�-� 1 0;ax a x+ + + =

$-� ;ax b bx a

a bb a

− −− = −

�-�2 2

1;1 1

x n x n

n n

+ −+ =− +

��-�1

2.1

x a x

x x a

− −+ =− −

� &#� ������� � ��

�� 2 5;x x= − ��� 4 0.x x− + =

����������� ���������� �� ����

� M���� �$���E������ 2

1 1 8.

3 3 9

x x x

x x x

+ −− =− + −

��� ���������E����� �� �����$���E������ �������� ��� ������� �������$���E���������������������������������4�0����4�)0�$���E���������������������'��������� ������$���E�����%���������� ���� ��E �������������������������≠�0�� ���≠ )0�������'�� !"��<��)�0����/�0�����)�P-�4����)�P�∧����)�P�≠�Q����� � �����E���$���E������ ����)�P�%�� ��<��/�5-<��/�0-�)�<��)�5-<��)�0-�4�D=�� ������� ���������Q�⋅ ��4�Q�

���������

&�������$���E�����������E��������� �� ������������ ������������ ������ ��0�� �)0�������E����� ���������$�������� �E����� � �����

{ }| , 3 3 .M x x x dhe x= ∈ ≠ ≠ −�

� >� ��� �$���E����� 2

1 1 2

2 2 4

x

x x x− =

+ − −������������������

� M���� �$���E������ 0.x a x a

a b a b

+ −+ =− +

J���E���������������������������� ����-��<�� 7-��������������������������������������� ������ ������� ������������ ������������������ �������������'��������≠�Q�� ���-���≠�Q������������������ � �����E���$���E������ �<�����-<��-��-�%�� �

( )( ) ( )( ) 0x a a b x a a b+ + + − − = ����� .ax ab= −

���������

������≠�Q�$���E�������� ��������E����� ����-���� ������'����≠ -��� ���≠���<�� 7-�

������4�Q�� ���≠�Q�� ����������������E����� � �$���E�����

� M���� �$���E������2

2 2

2 16.

2 2 4

x x a a

x a x a a x

+− =+ − −

��������

Page 228: 093 Matematika 01 - 02

��

& �����������E�������� ��������'���������9��� ������������;��>���������� ����������������������� �������������=������

��������1 1 1

,10 15x

= + �� �����%�� ����4�2�

# ����>����������������������������������������1 1

10 15+ ��� ��������������������

1 16 1.

10 15⎛ ⎞+ ⋅ =⎜ ⎟⎝ ⎠

� # ����������$��������������������� ������5Q����������� �� ����������<�����5A��������������������������������������������������7

M����� �

���������������� ���������$��������������1

10��� ��������������������<�������������

1

15��� �����������

����������������������������������1

x��� �����������

� ������������$�� ��������� ���������������.������������������� ��$�������������E$��E ��������� ��������� ��������6���������������������$�� ������������ ��� ������������������������

��� �

� M���� �$���E����(

�-�3 2 5

;1 1x x x

+ =− +

���$-�2 2

2;2 2

x x

x x

− ++ =+ −

M���� �$���E����(

��� ( ) ( )2 25 ;x m x x m m+ = + +

���4

3 ;1

aa

x

+− =−

���� 2

1 1;

1 1 1

a

x x x− =

− + −

���2 2

2 2.

ax b bx a a b

a b a b a b

− + ++ =+ − −

������������� �$��'��� �����������%������'�� ���$������ �� ������$���������� �����5.������������� ����%�������������������������������$���������� ���������'��� ������� ����E����� ���������������������������F�����������3Q� ���������� ����� ����� � �������$����������5Q������� �� ����������� �����������7

�-� 2

3 1 2 52 ;

6 9 3

x x

x x x

+ −= −+ + +

�-� 2 2 3 2

7 8 37 9.

1 2 1 1

x

x x x x x x

−+ =− − + − − +

� ������������$�� ��� ����������K�������������������$���������������P������������ �����������5Q���������������������$�� �������� �E$��E������ ����������������������������������7

� ���� ���%��� ������������������%�������50����� ���%������E�� ��������� �� ���������������������P������������ ���������,�����������������

� ������'������������������E� �� ��'��%�� �����0������������� �2Q]�%������� �A������������ �D3]�%������

Page 229: 093 Matematika 01 - 02

��

����� �� � ����

��������

2 3y x= − ������%���������� ���

,������ ���� �%���������3�� ��-��

,���������������� %��� ���������� ������ ����������������������������%���������3�4�3��)�07

,�����%����������' ��$�������� ������ ( ){ }, | ?x y x dhe y x∈ =�

� *��������2%�&�������������� �������

��� � ��%����E������������3��2%�&����� ��%����������� ���2%�&�������������������� � � ���������������

.y ax b= +

*������ ����� �� ���������� ��������������������������� ���������� ���� ��� � ����� � � ������������� ������ ������ �������� �$������� �E�� �� ���������� �D������������� ����������������������������<����� �$����Y������� -���������� � ��� �%������

( ) o ,T x ax T= +

������������ �E�� ������������ ���������<���������������-��> �������� �E�� ��%��� �'��������� ������������<�����E�����'������ ���-����������������������������� � ��������� �<������������� ����������� ����������-�

��������������<������� -��'� ��%������������ �

� ����� �%�������<%������������ ��-�� ������������ � �������� ��������������������E� ��������������� � ��� ������ �� ������

( )s t vt= � � ( ) 0 ,s t s vt= + ����� ������������ ��������������������

� ����� �%�������<%������������ ��-�� ����������������� � ���� ������� �F������ � ��������'��������$� �� ��� ������%��� ���� � ������������

( ) 0 ,v t v gt= + ����/���������������������>����

����%������2�<�-�4����/��� ����������

���%����������� ������������ ���F%������������ ��+

�������<%���� ������%�E����-���%�������������� �������$�������� ������� �� ��<�� 7-+

� �%������%������������ ��������$�������

( ){ }, , .G x y x y ax b= ∈ = +�

��������

Page 230: 093 Matematika 01 - 02

���

����'�� ��� � �����������%����� %��������

��������������� 2 3.y x= +

� �

*��������3�� �������������� ���������'��������%�����3����������� ���4�3�� �����#

&� �����%��������������$�������� ,� �����'������ ������ x ∈� ����( )2 3 .x + ∈�

"�� ��E����� ��

K��%���������������$�������� ( ){ }, | , 2 3 .G x y x y x= ∈ = +�

J���������4��� � �������� �����' ������� �%������� ����������� ��������������%����������������������������������� ������������ ��������� ����

��� ���������� �� �%�������%������������� �����������'�� ��� �� ����"�����������������E������� ���������%�������������������������� ��������F�%� ���������� �<��3-�����������%����# ��� ���E��� ���E�����������E��������������'��������%�����%���������3� ������������'��<)5��5- ∈ K��<5��A- ∈ K�

#������� ��������� ���� ���E����� ��� ������9���%�����%��������G;� ��9� ��� ���E���%�����������������'������� � ��������G;�

&�� � �E�������� ������ ��������� ������������� �� �'���E���� ����%���� �<�� ���E�� -�������� �� �$�� ���������� ���� ������� %��� �� ����� ������%���������3��������+����������� �������������������

�������� 0x = �%�������� y ax b= + �%������ ���3��⋅ Q����������������%����<�� ���E�-������������������<Q���-�<��E�����-�

( )1,1−

( )1,5

� ������� ���� ��������������������E����� ���E��� �������������%���������������'�����%������ �(���-� 2 1, 2 3;y x y x= + = − �������������$-� 1, 2 1.y x y x= + = − +

( )0,b

( )0,2

( )0, 1−

0b >

0b =

0b <

��������

"�E����� ���E���'�������������������$<3��0-� �<<)5��)3-�

����'�� ����%������%���������

����'�� �%���������3� �-�����'�� �� ���$ ���

1− Q 5�

3

Page 231: 093 Matematika 01 - 02

���

������������

0,b > ����%���� ��� ���� �����E���� ����$�����3+

0,b = ����%���������������%��������<��������-� ����������

0,b < ���%���� ��� ���� ����� ����� ����$�����3�

� %��� ������ ����������9� �� �����������������%���� ��� �����$�����3;���������� ���������� .b

!"���

���� '������E����������������������������'��������%����� �%������ �

1 , 1, 2 , 2y x a y x a= = = = ������1

, .2 2

xy a= =

�� �

�� � � �

� ��

��

���

�� � �

��

��

��

���� ��������E���������������� �(���� ����������<����� ���-���E��� ������5���������������� ��5���

3���� ��3����0���� ��0����.������������ ���������%������ ��E��� ������������������5��3�1

2�)����� ����

�����'���������� %��� ������������

����� �� � ��������������(���������������� ��� �������� ������ ���������E�������� �� ������ ������

2 1

2 1

.y y

ax x

−=

����� %��� ������� � ���� ������������ ������� ����%����<�� ���E��-�� �'� �����%��������� ����������� ����%������ ������ %��� ������������������ ������������� ������%����� ���� ������� ���E������� � ��<�� 7-

��

��

� �

( )1,a b+( )1 1,x y

( )2 2,x y

2 1x x−

2 1y y−

� ,����%������������ ������%��������������������������������$<5�5-�� �<<0�6-�

��� � �E����� ��

Page 232: 093 Matematika 01 - 02

���

: �����������������������F%������ �@%���3&������ ���E���Y����%��������%������������ ��������������

� %��� ����� ��� ������������������������ �������� �%�������� 2 1

2 1

,y y

ax x

−=

−�����������������������$

�<�� ��(�7 1

,3 1

a−=−

���� �����<� �@+�1

,1

ya

x

−=−

��� ������+� 1 7 1,

1 3 1

y

x

− −=− −

� ����������%��������������

��������3�����-� #

�����������%������������ ���<������� �����������������E$��������� ������� �����

� ,����%������������ ������%��������������������������������<)3��0-�� �<A��).-�

� #$����� ��������� �� �� �� ������������'������ ����%����������E�����<� �� �������������� ��-�,���(

�-� ��� ������ ����������������5���7

�� � �

� �

$-� ��� ������� �������� ���������� ����%�������$����7

�-� ������%������������ ���� ����������������������'�� ������������������� ������� �

0a =

� � �

1a =

( )1, 1b +

� �

1−1a=−( )0,b

( )1, 1b −

���� %���������3���� � ���� ������������������ ������ ����������� ������ ���������� ��� %��������������������

y x b= +��������� �

y x b= − +�����E$������<E����� �-

��������

����2%�& ����5��� �(�%<5-�� �%<3-�

"�� ��� ��� ��5�C�3���� ��2<5-�C�2<3-�

������������ ��������%��������3����������������(�-� 0;a > ���������$-� 0;a = �����������-� 0?a <

� 8%���� ������ %���� ���%���� �� %��������3�� ������ �������E��������$������7

��������-���� ������� %��� �������������E���� ����� � ������������ �����������(

Page 233: 093 Matematika 01 - 02

���

���

� ����'�������%������%������ �

�- 2 3;y x= − + ���$-� 2 1.y x= − −

� "�E������%����� �%���������3�� ���������� �� ��� ���������������������$<)5��3-�

� ����'�� ����%������%���������3�����-������� ���%����������������� ���E������ � �� ����%����� %���������3�� �����

� ���%���������3����������������� �������'�����%�����������������������������+��$<Q��3-� �<<)0�Q-�

������� � � ����������������������

�0a >

( )0,b

0a <( )0,b

������ ������� ���� ���������� �������������� �� ��E���� ������� ���� ������E���� ������������� ��#

��������

H$���E����=��/�5�C�Q������������������������$���E����=�/�5�C�0��������� ���

����� �E����� �� ��$���E����������N�7

�� ��$���E�����������:�7��������E����� 7

� : ����� ���$�� �<������� � ����� $��� � ����������� ����� ������� ���

����� �$������( )( )

2

23

112 3 1, , 1 0, 0,

1 1

xxx x x x

x x

−+− < + ≤ + > ≥− +

�������$���E�� �� ���������������

��������� ��� ���� ������$���E��+�C��≤��1��≥������ �$����

,A B<

%�� ��� ������� �����������������������'� ���$� �"���������������� �

��� ������������� �����������������$���E�������������$���E�������������� ��� ����� ������������� ��� ���� ������"����������$� �"�����

����������� �$�����$�������� �E����� � �����$���E�������-�I�1�Q������$������� ������� �� ����������� ���� �.���� ����������� ������<.��/�∞-+����������������������� ���� �9�$���E����� ������ ��������F���������∈ <.��/�∞-;�

����������

Page 234: 093 Matematika 01 - 02

���

� ,����$��������� �E����� � �����$���E����+

�-� 2 5 0;x + < $-� 4 1 0.x + >

�-�H$���E�������������������������������������� ��������������������"�������$-�M������������ �������$�������� ������� �� ���� ������������������� ���� �$�������� �E����� � �������� ������( ), .−∞ +∞

� ,������$���E�� ����� � ����������E����� 7��� 7

��� ( )21 2 0;x − + < ���

2

20;

1

x

x≤

+���

2

2

10.

x

x

+ ≤

� ����� �$��������� �E����� � �����$���E����(

�-� 1;x < $-� 1;x ≤ �-� 2 0;x + ≥ ����-� 5 0.x − <

��������

@������ ������ �� ��$���E������� ��� �0�1�5� �5�C�0�7

������ �� ��� ���� �� ���������� �� ����$���E�����=�C�07

@������ ������ �� ��$���E�� � 1x > �� 2 1 2?x + > +

� ���� ��� �$���E�� � � ��� � � ������������������� �$�������� �E����� �

.A B C D< ⇔ <

K���������������������� �� ���%������ ����������������� �����$���E�� ���� ��� +����� ����� ���� � �����$���E�� �� ������� ������� �$���(

���� ;A B B A< ⇔ > ���� ,A B A C B C< ⇔ + < +

���=��������� � � �F%������ �'���������������������� ���� �� ��������������� ������$���E�����$�:�<#

���=��������� � � �F%������ �'���������������������� ���� �� ��������������� ������$���E�����$�:�<#

3 2 3 3 2 3 2 3.x x x− ≥ ⇔ − + ≥ + ⇔ ≥ +

���� ( )0 ,C A B AC BC> ⇒ < ⇔ < �� ( )0 ,C A B AC BC< ⇒ < ⇔ >

!� �� � ������(�=�1�Q�<�� ��������=�C�Q-�������$���E�� ���������� ��� �����F���� ������� ������������� �����$�:�<#����� ����� ������%����E �������� ����� ��� �� (������"������������ ����������$� �"������� ���������������$� �"����

������������� �$���$������ �$��������� �E����� � ����� �������������������� �� � ���������������(

Page 235: 093 Matematika 01 - 02

���

'���� ���������� �������� �� ��� ����.���

� >� ��� ��� �� ������ �������� � ��� ( ) 22 6 6.x x x x x− > − + ⇔ < −

��������

�-� 0,x >$-� 0,x <�-� 0,x ≥�-� 0,x ≤

����'��������� ���E������ ��� ���� ���� ��-� ( ),3 ;x∈ −∞ $-� ( )2, ;x∈ ∞�-� ( ],5 ;x∈ −∞ �-� [ )3, .x∈ ∞

,����E����� �� ��$���E�� � (

�-�0 0;x⋅ < $-�0 0;x⋅ ≤�-�0 1;x⋅ < − �-�0 1.x⋅ > −

H����������$���E�� ��� �E����� �� ���� (( )0, ;x∈ ∞( ),0 ;x∈ −∞[ )0, ;x∈ ∞( ],0 .x∈ −∞

,ax b<

������ ��������������� ����'� ����$� �"������� �������������� �

�-�3

2 3 ;2

x x< ⇔ < 3, ;2

x⎛ ⎞∈ −∞⎜ ⎟⎝ ⎠

���3

5 3 ;5

x x− ≤ ⇔ ≥ −3

, ;5

x⎡ ⎞∈ − +∞⎟⎢⎣ ⎠

�-� ( )2 1 2 1 0 3 0 3,x x x− < + ⇔ ⋅ < ⇔ <

����������� ��� ��$���E���������������� ������ ���� ��$���E���� ���������� ��� ����������$�������� E����� � ������������� ,� ������������( ), ;−∞ +∞ �������������� ���� ��$���E������������������$� �"������������������"�� ��

������$���E����������� �E$������� �� ��� +5� ��� �6�������%�� �����%���

� ,����$��������� �E����� � �����$�)��E����(

�-� 2 3;x < ���$-� 5 3;x− ≤ ����-� ( )2 1 2 1 .x x− < +

M����� ������ �������� �E����� ������ � �

� ,����$��������� �E����� � �����$���E�������1 3

1.3

xx

+ < −

���1 3

1 0 2,3

xx

+ < − ⇔ < − ����%������ ��$���E���������������� ������ ���� ��$���E��������������

��� ��� ��'������������$���E�����������E����� �

� M���� ��$���E�������5 7 1 1 3 2 37

.8 6 3 4 12

x x x x+ − + −− ≥ + +

��������������� �������� �$���E�� �+���� ������� ���� ������$������?�������������������� ������;��������?������������������ �������;�� ������� ����������%�� ���$���E��� ������ ������� ��)A5��≥�A5�

�����'��)A5�≠�Q���$���E����� ��� �������� �)A5���� �������� �����E����� � 1

51− �<� �������� �����V-�

��������%�� ����≤)5���� ��������$�������� �E����� � � ��$���E�������������������� ������ ������<)∞��)5[�

Page 236: 093 Matematika 01 - 02

���

��������

,����E����� �� ����$����������$���E�� � ��≥�Q�� ���≤�Q�

M������� �$���E�������C�A������$�������@�4�<)∞��A-��������� ��$���E�������1�)5�����@�4�<)5��∞-������ �@@�∩@�4�<)5��A-�����E����� � ������������������� ��$���E�� � �

����'�� � ���%������ E����� �� � ���� ���� ���$���E�� � ���C�5�� ���1�)5�

J��������� �E����� � �����$���E�����������������' ���� � ����%���������$�������� �������� � 123456789012345678901234123456789012345678901234123456789012345678901234

1−2−3−4−5− � �]

����E������ ���� �$������ ��������������������������� ����������%���������������E�����

M���� ��$���E�������3 5 6

24 2

x x− −+ ≤ �� �$��������� �E����� � �����'�� ����$�������� ����

���� �

� M���� ��$���E����(�- ( )2 3 7;x x x− − < +$-�( ) ( ) ( )2 2 2

3 1 4 3 5 4 .x x x− + + ≥ +

� M���� �$���E����(

�-�3

;4 2

xx− < ��������$-�

2 3 1.

4 3 2

x x x− −− ≥

� M���� �$���E����(

�-�5 3 2

3 ;2 6

x x− −> + $-�7 6 2

1 .5 10

x x+ +≥ +

����������������� ��$���E�� �

I� �����������$� �"������������������� �

@������' ������ ���� ���������������� �E��� ��������� ��� ���������� �������������������������$���E�� �������������'������$���E�� ������������� ������$���E����� ��� ���������������F������������������ ���� ������"�����������������

����$��������� �������������� ������� �� ������������� ������������������ ������$���E�� � ��� ���� �����$���������"���������������+����E���� ���������� �����$���E�� � ����������������� ��$������� �E����� � ��������

: ����� ���$:<�� �=:?�����$���E�� � ���������������

( ) ( )A B dhe C D< <

� M���� ����� ���� ��$���E�� � ��4 3 5,

1 16 2 .

x

x x

− ≥⎧⎨ + < −⎩

M����� �

� ��� � �������� ��� ��������������������

��������

Page 237: 093 Matematika 01 - 02

���

��� ������$���E��������� ����E�� ���� ��� ��� �����'������� ������ ���� �������������� ���$������� �E����� � ������������������������� �����9��;������������������ ����� ���� ������������������ ��������������������� ��������� ���

2,

5.

x

x

≥⎧⎨ <⎩

���%���������� ��$�������� �E����� � ������ �������$���E���� F���+���������� �� ��� � ��� ����� $������� ���������������� ��� ����$������ ���� ���� � �YE����� � ������� ���$�������� �E����� � ������� ���������� �������$���E������������������� �����������������(

[ )2, 2,x x≥ ∈ +∞

( )5, ,5 ,x x< ∈ −∞

��������$�������� �E����� � �@� ����� ���������� ���� ( ) [ ) [ ),5 2, 2,5 .M = −∞ +∞ =

J���������@����������������� � ����%������� �������� ����$�� � ���� ��� ��������$������ ���(

(� ������#���������� ��� �������E����� ������������� �������$���E�� � �������� ����� �����%�����H���������� ����������������������������(

�-�( )

( )2, 2, , 2 ;

1, 1, 1, .

x x x

x x x

⎧ < − < − ∈ −∞ −⎪⎨

> > ∈ +∞⎪⎩

��� ����������E����� �������'�

$-�3,

3.

x

x

≤⎧⎨ ≥⎩ ��� ��������������"�������/

�����'�( ] [ ) { },3 3, 3 .−∞ +∞ =

���0 1,

2.

x

x

⋅ < −⎧⎨

>⎩ ��� ����������E����� ��� 7

�-�( )( )

0 3, , ,

5, ,5 ,

x x

x x

⎧ ⋅ ≤ ∈ −∞ +∞⎪⎨

< ∈ −∞⎪⎩

123456789012345678901234123456789012345678901234123456789012345678901234

� �� � � � �[

123456789012345678901234567891234567890123456789012345678912345678901234567890123456789

� �� � � � �)

123456789012345671234567890123456712345678901234567

� �� � � � �)[

( ) ( ), 2 1, .−∞ − +∞ = ∅

�������� ( ) ( ) ( ),5 , ,5M = −∞ ∩ −∞ +∞ = −∞�����$�������� �E����� � �������� ����

� M���� ����� ���� ��$���E�� � ��

2 21

3 5 31 5

.3 4 6 2

xx

x x

⎧− − < +⎪⎪⎨⎪ + < +⎪⎩

J��������� �E����� � �����'�� ����$�������� ����

Page 238: 093 Matematika 01 - 02

��

��������

, 0| 3 | 3, | 3 | 3, | |

, 0.

x xx

x x

≥⎧− = + = = ⎨− <⎩

0 00

0 0.

A AA B ose

B B

> <⎧ ⎧⋅ > ⇔ ⎨ ⎨> <⎩ ⎩

� M���� ����� ���� ��$���E�� � ��

10

5

4.

x

x

x

≤⎧⎪ > −⎨⎪ <⎩

( )( )

( )

10, ,10 ,

5 5, ,

4, ,4 ;

x x

x x

x x

⎧ ≤ ∈ −∞⎪⎪ > − ∈ − +∞⎨⎪

< ∈ −∞⎪⎩

J�������� �E����� � �@� ����� ��������(

( ) ( ) ( ),10 5, ,4 ,M = −∞ ∩ − +∞ ∩ −∞

( ) ( ) ( )5,10 ,4 5,4 ,M = − ∩ −∞ = − ������������

( )5,4 ,M = − �<��E�����-

5 5 5,x x< ⇔ − < < �B�� ��� �� ( )5,5 ;M = − ���������������� 3 2 2 3 2x x− ≤ ⇔ − ≤ − ≤ �������������

�� ������������������� ���������� ����� �����$���E�� ��E������� �� ��������� ��� ���� ��������������(

1234567890123456789012345123456789012345678901234512345678901234567890123451234567890123456789012345

6− �5− 4− 3− 2− 1− � � � � � � � � � ��

� M���� ����� ���� ��$���E�� � ���

2 1 4,

3 7 27,

4 1 20.

x x

x x

x x

− > +⎧⎪ + < +⎨⎪ − > +⎩

1 5x ose x> < �8$%���������� �����������1 5.x< <

1,1 7

7,

xx

x

>⎧< ≤ ⇔ ⎨ ≤⎩

���������� ( ]1,7 .M =

&����� ����������� �����E����� ������� ��������$���E�� � ���� �� +��������� �$���

���� �(�3 1,

1 3 53 5,

xx

x

− >⎧< − < ⇔ ⎨ − <⎩

�������������1 3 5 1 3 5 3.x x< − < ⇔ + < < +

3 23 2

3 2.

xx

x

− ≥ −⎧− ≤ ⇔ ⎨ − ≤⎩

( )( )3 5 0;x x− + > �����$���E������� �����$��������� �������� � � �����$���E�� � �������������<��)�0�1�Q�� ���/�A�1�Q-�� �<��)�0�C�Q�� ���/�A�C�Q-�<������������������ �������E�������� ����������E� ���������� �������������-��������������� �$�������� �E����� � �@� ��$���E������������������������$������� ����E����� � �@��� �@������������ � � (

Page 239: 093 Matematika 01 - 02

��

3 0

5 0,

x

x

− >⎧⎨ + >⎩

3 0

5 0,

x

x

− <⎧⎨ + <⎩

���� ( ) ( )1 2 , 5 3, .M M M= ∪ = −∞ − ∪ +∞

80;

3

x

x

− ≤+

� �����$���E������� �����$��������� �������� � � �����$���E�� � �������������

( )1 3, ;M = +∞

( )2 , 5 ;M = −∞ −

8 0,

3 0,

x

x

− ≤⎧⎨ + >⎩

( ]1 3,8 ;M = − �������8 0,

3 0,

x

x

− ≥⎧⎨ + <⎩ 2 ;M = ∅ ����� ( ] ( ]1 2 3,8 3,8 .M M M= ∪ = − ∪ ∅ = −

( ) ( )8 0 3 0 8 0 3 0x x x x− ≤ ∧ + > ∨ − ≥ ∧ + < �<������ ��������������� ��������� ������� ���� � ���� �������� ���������������-�����������$�������� �E����� � �@� ��$���E�������������������������$������� ���E����� � �@��� �@������������ � � (

� M���� ��$���E������1 1

0.4 2

x

x

+ + <−

���

M���� ����� ���� ��$���E�� � ( � M���� ��$���E����(

�������-�2 3 0,

3 0;

x

x

+ <⎧⎨

+ >⎩$-�

10 0,

2 1 0,

2 0.

x

x

x

− ≤⎧⎪ + >⎨⎪ − >⎩

���������-�10 2 0;x≥ + ≥ �������$-� 3 4;x− <

���������-� ( )3 0;x x − < ��������-�3

7.5x

≤ −+

Page 240: 093 Matematika 01 - 02

���

����������� ����������

� M������$���E�� �(

�-� ( ) ( ) ( ) ( )22 5 3 4 1 2 3 ;x x x x x x x− + + = + + − $-�

2 1 2 3 1;

3 4 5 6 5

x x x+ + ++ + + =

�-�4 1 1

0.3 2 2 6x x

+ − =− −

� ����������32��� ����� ��� ����� � �$����������5Q���� � ���������� ����� � ������ ��� ����� � �$����� ���� ���������� ���� �$���7

� :��� ���������� �������� � �$�� �<��� ����������� ��� � ����������0������������� ������������� �� ���������� ������ ��� ������� � �$�� �<����� ��� ������� ��� �������������� ������AQ��������������� ��� ������������� ��� ������DQ���������7

� �������.A6A����� ������ ��$� ����������'�����������������������0(A(6�

M���� �$���E������ ��������E����� ��

( ) ( ) 0.a x b b x a+ + + =

M�������$���E�� �(�

�-�3 1 1

1;5 2 7

x x x− +− + <

$-�( )( ) ( )( )9 3 6 7 18 1 3 2 1.x x x x− − < − + −

M���� ����� ���� ��$���E�� � (�

���

5 3 1

1 23 5;

2 3

x x

xx

− > +⎧⎪⎨ − < −⎪⎩

$-�

2 1 1 34

5 2 53 2 2

6.7 7

x x

x x

− +⎧ ≥ −⎪⎪⎨ +⎪ ≤ +⎪⎩

M�������$���E�� ����� ��������%������� ����� ������$���E�� � (

�-� ( )( )1 4 0;x x+ + > �������������$-�1

0.2

x

x

− <+

Page 241: 093 Matematika 01 - 02

���

��������������

>� �����������������������������������

:��� �������� ��$������ �� ����� � ����� ��������"���� �� �� �������������

������ ���������� ������ ������������

���������� ��� � �� ����� �����������������������������������������������

������������+������ ������� ����� E�����������������������������������������

���������� ��� � �� �������� ��������� ����� E������������������

��

���

������ ��������� ����������������

�����

�����

�����

�����

�����

�����

��

123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890

& ������������� � �� ����� ����������� ������

Page 242: 093 Matematika 01 - 02

���

��������

������������ �������� ���� ������-�J����������������$-�$��������+�-�$���$������7

������������������ ������

α

γ

β� �

��

����������������� ��� �$������'� �� ���������

,���������� � � �� �� � �� ������ ��������7

,������ �������'� �(�-�����������+���$-������� ���+��-������� ��7

������ +�-��������������$-������ ������������������������ ��������� ������7

"��� �� � � ����� ����� � � ���� ��������������5DQ°�

� �

X��������� .ABCΔ>������ � �

α β

γ

��

M����� ������ �������� �E����� ������ � �

�����E�������������������=� ����� ��� '���� ���E��@.������� � �� �$�������$<+���������������%���������� ���� ��

α β

γ

��

1α1β

α 4 α���������������β 4 β

��<������� ������ ������� ���������� ���� ��$=��������������<=�� ��� ���E��

����� � �$<�� �@.�0180MCN =� �<����������������-����������� 0

1 1 180 .MCNα γ β+ + = =�0

1 1 180 .MCNα β γ α β γ+ + = + + = =�

� ��������� ���������������������.Q°����������������� �������6A°�� ���������������������� ��7

� ��������� �������$���������������������������.Q°������������������������� �����$�E��7

0180 .α β γ+ + =

�-���� �������� ���������� ���������������$���$������ �������� ������ ����������� �������� �� � ����� �� ��� �����������$���$����������� ����� �$-� ��������������� ���������$���$����������2Q°��-������� ���������������� ���� �������������'���������������������-����� �� ������������� ��������������� ������������� � ���� �

� &�� � ��%����E����� � �������������� ����� � ���������� ������������ ��� ����������������� ������ � �

Page 243: 093 Matematika 01 - 02

���

� �����E��������������'��������� �� ������ ���������� �/������ ���������$<=��-�>� ��� � 0

1 1 1 360 .α β γ+ + =$-�,���� 1,γ ���� 050α = �� � 080 .β =

1β�

��������

�������%�������� � ���� �*��� �*

��� ���� �����

������������������ �� �����E� ������������� �� ������������� � ��������B

� ≅�B

���� �� ��

� �%������B������� ������������� �%�������B�#

� ���� ��� �� ������� � ��� � � ����� ����������������� �������� ���� ����

��������$���� ������ �����E� ������������� ��� ������������ �

���� ��'�������� ��������� ���� ��������� �������� � ��� ���������'� ��������� �������

���� �� ������ ���� � � ��� ��������� � $������ �� ��� ����������� �� �� ��� ���� � �������� ��'� ���������� ���������$ ������� �������

� �����E��������������'���������� ��������������������� ABCΔ ��� 1 1 1,A B CΔ �������� ���������� ����+�$�� �$���<�� �<���=�� �=��

���������������� �������(

1 1 1.ABC A B CΔ ≅ Δ

� �

8%���������$��������������� �� ��� ��7

8%������������� ���������� �� ��� ��7 � � ��

��

��

���������%�E�������� �������� ����������� ������������%������ ���� � 1 1 1,ABC A B CΔ ≅ Δ ���� ��(

"� �� � � ���������(

1 1 1 1 1 1

1 1 1

, , ,

, , .

AB A B BC B C AC AC

A A B B C C

= = == = =� � � � � �

��� � � � �� ��� � �� ��������� ��������� �������� �� ��������� ����� ����$���$��������� ������� �������������������������

���������������� ������ �������� ��������������� �� � �� ���������������������$������ �� � � � �� � ��� ���� �<���� ���� �������������������-�

@������ ������� ����������� ��������� � ������������� ���������� ��� ��� �������� �������������������������

Page 244: 093 Matematika 01 - 02

���

���+������7�7<$������Y������Y�$�����-

&���� ����������������������������� ����$������� ������������� ����� ������������� ��������������������������$���$������ ����$������� �������������� ����� ������ ����������� ����

��

&�����(

��� ���� ABCΔ ���� DEFΔ �<��E�����-(

, ,AB DE AC DF dhe A D= = =� ��������� .ABC DEFΔ ≅ Δ

���+������7�<�����Y�$������Y�����-�

&���� ���������������������������� �����$������� �������� �'������ �������������������� ��������������������������$���$������ �����$������� �������� �'������ ������������� ����������� ����

&�����(

��� � ABCΔ ��� RSTΔ <��E�����-(

, ,AB RS A R dhe B S= = =� � � ���� ��� .ABC RSTΔ ≅ Δ

� �

� �

1�������777<$������)�$������)�$�����-�

&���� ���������������������������� ������ �$������������������ ���������������������������$���$������ ��� $����������� ����������� ����

&�����(

��� ���� ABCΔ ���� PQRΔ <��E�����-(

, ,AB PQ BC QR dhe CA RP= = =�������� .ABC PQRΔ ≅ Δ

�� �

� �

������������ ��� �������� ��%����E ���������� ������ �$���E��������� �������� ��$���E���������� � �� �����E����� �� �� ����� ��� ���

� �� �� ��$<�� �=?��������� �����������9�<��E�����-��"��� ��� �� .AC BD=

�� ������������� ������� ��(�� , 1 2SA SB SC SD dhe= = =� � �<������� ��� ���'�E����-�� ����� � ���� ,ASC BSDΔ ≅ Δ ��������� AC BD=<���$�������� ���� ������ �������� ������������-�

&�� ����%����E����� ����� ����������������������� �������� ��%������ ����(�-�J�J������������������ ��� �������� ������� ����$-��J������������������� ��� �������� �$����������-�JJJ������������������ ��� �������� �$���$�������

��

� �

Page 245: 093 Matematika 01 - 02

���

���

� ,���������� ��� ������������ ������ ������� � ������������� �$���$������ �������� �� ���

� ��� ,ABCΔ �������α����555°���������β�������� �������������� �������γ������������������������ ��β�� �γ7

�� K������� ���E��$<� ��� ��� �� �����=?�� ������������ ������� �� ���"��� ��� ����

,AC AD= ���� ��� .AB CD⊥

� ,���������� ��� ���������������������������������� �� ������ �����+�-���$���$������ ��������%'���������� ��������$-������������ �������%'�������� ��������

�� �� �� �%������ ������J����������� ���)����� ������ ���+� �-� ������� �� ��� � � +$-�������� ������ ��E�� �

� "��� ��� �F�������������������� ���������������$���$������ ������� �������� � ���$� ���� ��%'��� �

� ,������������� ������������������������ ���� ���� � � ��� ���� � � ��� ������� ���� ��������������� ����

� ������ �����������������!"���� �,AB KL= � BC KM= � �� .B K=� � ,����

� � �� � ��� �� ��� � � �� � ��� ���� �� �������� ���������������������$���$���������� ����� 7

� ��� ���� ,ABC BA BCΔ = �� ���� �@����� ������� ��$�� �=�������'� ,ABM CBM=� ���� ���@������� �����$�������$=��"��� ����

�� �� �%�������������J�J����������)�������� ������ �������� �$���������

& ������ ������� ��-�Y�-���������������� ��E������

� � �

� ��

�-�X�������� , 1 2.SAB TBA= =� � � �����"��� ��� � .ABT BASΔ ≅ Δ$-�X��������(� , 1 2.S T= =� � � ����"��� ��� � .ABT BASΔ ≅ Δ

�-�X��������� , .AT BS AC BC= = ��"��� �� � .ACS BCTΔ ≅ Δ

�� >� ��� ���� ��� ����� ���������� ����������������������������$���$������ ��� ����� ����� ����������� �������� �������� ��������������������������������������������������

Page 246: 093 Matematika 01 - 02

���

��������������� ���������������������������� ��������

� � X����������� �������$��������ABCΔ � ���� �,@�4�,J�<%����-

"��� ��� (� .A B=� �

� �

>���' ���� ���� �� C� � ��� �� ��� �$�E���$<������ �?����E������$-�

��������

8?�%����E������������ ������ �$���E���������� �� �� � ���� ��������������� � ����� � � �� ����� ��������7

������������ ��������� ��� ������$��������7

8?����� ���������� �������������������(�-�J�J+���$-��J�7

>� ��� � CDA CDBΔ ≅ Δ <������J�J-�� ����� ����%��������� � .A B=� � � �

��

��

� X��������� ABCΔ �� � A B=� � ���E�������-��"��� ��� �� .AC BC=

� �

� �

�� ��

>���' ���� ���� �� � C� � ��� �� ��� �$�E���$<����� �?����E������$-�>� ��� CDA CDBΔ ≅ Δ �<�������J�-�� ����� ����%�������� � .AC BC=

# �� ������5�� �3� ����� �� �� � ����<� ����������� ������ -������� ���������$������������������� �� ��������������� ���������(

.!�����)�����������������)��������������� �������������)���3�)�����������������#

# �%������� ��������� ������5�� �3����%�������� (

���F���� �������

���$�����$������ ����$���$��������� ������ �� �$���$������ � ������ �����

���$��������� � ����$���$��������� ��$���������$���$�����

� � ����� ���������$<=������E��������&� .AB AC> �"��� �� � .C B>� �

���

Page 247: 093 Matematika 01 - 02

���

I��������� ����������� ����������$�������$<�< �������������� ���� �� $=-�� E�� �� ������?�� ����� '�� .AD AC= �# � ��� �� ��� %����� ���������$���������$=?����������E�����$-��� �� .ACD ADC=� �

C ACB=� � ���������������� � ,ACD� �������� ADC� ���������������� �� B� �<������������������ ).BCDΔ ��������� , , ,C ACD ACD ADC ADC B> = >� � � � � � '��������� � .C B>� �

���

� ��� ABCΔ ���������(� .C B>� � �������� ������ (� .AB AC>

� �"��� ���������������� ������������9����� �� ;��� ������� �� �����9 ���������;�

����������%�������<����� ��-�� � .AB AC>

���F���� �������

���$�����$���������������� ����� ������������������ �� ���������

���$������������������������� ��$��������� ���� �

�� �������

� �� ���� (�-������ ��������������� ����$��������� ���� ��������� ��E�+$-������ ��������������� ���$��������� ���� ���������$����������������� ��+�-������ ���������$������������������ ��'������ �����$���������������� ����������������

��������

������������� ��� � ����� �������$�E���� �� ��������$��������7

��� RSTΔ ����� ����(� 5, 8RS ST= = � ��

6.TR = � @� �� ����� #���$�� ,S T� � ��������� �$�"� /

� � ��� ABCΔ �����E����������$������������ �+����������(

.a b c≥ ≥ �"��� ��� �

.a b c< +

��

>�����E�������������������� ����������� �$������$<������������� ���� �� �$������$=��@�� ���� ������ ��(�� �� AB AC= ���� .AB AC<

��� ��������� � ,AB AC= ���� ���������� �����

��� ��������� ,AB AC< ��� ���������� �����

� ����������� ,C B=� � ������������$��.

������������������������ �������� .C B>� �

����������� ,C B<� � � ������������

������������ ������� .C B>� �

Page 248: 093 Matematika 01 - 02

��

I��������� �������������E�������$�������$=��������������$�$��� AD AB c= = �� ���� �������?�� �������<�<��E�����-�

ABDΔ ������$������������������ .ADB ABD=� �

,CBD ABD>� � �������� .CBD ADB>� �

�����'���� ,BCDΔ ����$�������������������������� ��$��������� ��������� ��� � .CB CD< ��������� �CB a= ���� ,CD b c= + �%�� � .a b c< +

��

��

������������� �������� �$������������ �+�

� �����$�������������� ������� ������ ��������� ��� �������������+

�����$�������������� ���� �� �<�� ����$���� � -�������������������� ��� ���� �������

�� �������

, , ;a b c b c a c a b< + < + < +

| |, | |, | | .a b c b a c c a b> − > − > −

���� ������������ �� ������������� ��"��������� ����������/��'����������(���� ������� �+������������ ����E���������������'�+���:�����+����:�+������+�:����������� ���� ��� �� �� �� �'�������������������$���$������ �������������� �+������������������ ���� �������

@� �E������� �������� �$�����(�-�0���A���P+ $-�3���2���6+ �-�0���.���6+ �-�33���33���3�7

��������� �������������$�����������6�������������� ����3��������9��������%�;��������������� �$����������� ��7

%����E�� E������������� �����2�(�����N�����+#��������������������������������$���E����E$��� ���������+�� �����������������������������%����$���E���� ����������

� �� ABCΔ �<��E����������� �����2-�����������(� .a b c≥ ≥ �"��� ��� (

, .b a c c a b> − > −

Page 249: 093 Matematika 01 - 02

��

��������

8%�����E����� ����� ����������� �� �� �@.� �$������$<7

8����������� �� �� � ��� ��������7������@�� �.������� � �� �$������ �$=�� <=���� .ABCΔ � �� ����@.����������� �� �� ��� ���������$<=�

� ��

��� � 6cm,AB = ����������������@.7�

� �

������������������ �@.����������� �� �� �<'�������������������$������� �$�������$<-� �� ���������$<=����� ��

1.

2MN AB dhe MN AB=�

� ��

��

α

γ1α

2γ3α

������� ����@����$�������$=���ABCΔ �������� '����� ���E��

( )MN AB N BC∈� ���� ( ),MP BC P AB∈� ��� ����E�����

"��� ��� (

;AP PB=

;CN NB=1

.2

MN AB=

������������ ���'��� APMΔ ��� ,MNCΔ � �������BPNΔ ���� .MNPΔ

:�������������������� �� ��������� �(

APM MNCΔ ≅ Δ �<������� ������J�(� 1 1,α α γ γ= = ���������� ������ ���� ��AM MC= ���������������-�

��������AP MN= �� � .MP CN=

BPN MNPΔ ≅ Δ � <������� ������J��� 2 3 2 3,α α γ γ= = � ��������� ������ ������� ��.1� ��$������

���$�����-����������MN PB= �dhe� .MP NB=

B�� ������(�AP MN PB= = ��� ,CN MP NB= = ��� ��������1������� �����$<�� �.������� �����=<�&�������� �� �� ��@.��@1�� �.1��������������� �� ������ ���������$<=�

���� AP MN PB= = ���� ,AP BP AB+ = ���� ��� � 1.

2MN AB=

&� ���E��'�������������� ���� �����$���� ������ ���������� ����������� � �� ��� ������

�� �������

�-� �����������$������� ��� ���� $-�� �� ���������������� ��$������ ������ ���������<����� �� �� -���������������� $������������ � �

"� �� � � ���������(

��� �@.����������� �� �� � � ABCΔ �#���������������������������� � �� �$������ �$=�� �<=���� ��

MN AB� ������ ���� 1.

2MN AB=

Page 250: 093 Matematika 01 - 02

���

�� >� ��� ������� �� �� ���(�-��� ��������������� ����%�������� ������������� ���+$-��� �������$���������%�������� �������$���������

���

� ��� ABCΔ $�����������(10cm, 12cm, 6cm.AB BC AC= = = ,������ �

���� � ������ ������������������������ �������������������7

� �� : .ABC BC CA ABΔ < < �@����� �����������������<����� ������� ��7

� ����� ��������������� ���� 0( 90 )ABC CΔ =��������������������������.0°��,������ ������� � � ��������� ���� 7

� ����� ���������$<=�����������������������������$� �����α�4533°�� ������� ������ �$� ������������������=������γ 4�.Q°��,��������$������ ��� ����������������� �������� �������� ��������

� �������������� �� �$� ���� ������ ��������$���������$<=������5QQ°��,�������������������������$�E�� ��� ��������7

� �������� �������� �� �� �����������E�� ��� �������(�-�P������6������5A���+ �$-�3������3������Q�3��+�-�Q�0�����6A������.����

� ��� ��� ��������$<=����$��������4�A���� ��4�0���������������� ���$������ ��� ���+7

�� �� ��$<�� �=?����� �����������5������'�

ACE CAE>� � ����� .EDB DBE>� �"��� ��� � .AB CD> �<J�� ���E�������-

"��� ��� ��������� �� ���� ��������������� (�������������� ������������������ ���������������$����������$������������������������������� �������� ��� �������� ���������

�� ���$�������$<������ ���������$<=����������������?��"��� �� � � � �� ����=?� ����� �������������������� ��������� ��$������ �$=� �<=��<J�� ���E������-

�� ������@��.�� �1������� � �� �$������ ����� ���������$<=���� ��� ��� ����� ��� ���)������$<=����� �� ��� �������� ���������@.1�����56�3A����

�� � ��� �������� ���������$<=������3.������������ ��� ��������������������$<.@�����33������� ������������ ����������� �� �@.����� ���������$<=�<��E�����-�

� �

�� : ����� ���@������ �$� ���� � �F%������ ��� ���������$<=#�"��� ���

.MA MB CA CB+ < + ��<J�� ���E������-

�� M�� ���������������@���������� �������$<=� � ��� � � � � �� �� � � � ���� �� �� ����������"��� ��� ������ ����� ��� � �� �� � (�-��������� ���� �� �������� ��� ���+$-��������� ������� �� ��� �������� ���������<J�� ���E�������-

Page 251: 093 Matematika 01 - 02

���

� ����������� ���������������� ��

��������

8?�������� ������� �� �� ����7� ���������� �7

����$������������� ABCΔ <�����E����-�����E�� ���� �����?� � � ����� ��� '���������� ���E��=?�

� ��

K������� ���E��=?����� ����� C� ���� ABCΔ � ������������������������� �γ��� �γ��

�� ����=?�<��F������ � ��������-�'� �+

$ ���� �� ��� ���������$<=�� ���� '�������������=����� �?������ �����$�������$<+���� ��� ��

��<�����E����-+

$-��� ������ ��� ���������$<=�� ������������������=����� � ;CD AB⊥��� ��� ��

�#

�-�K������� ���E��=?� '� �� ����� ���� <��������� -� � C� ���� ���������$<=����� �3

�4�3

�(���� ��� ��

�#

� �

�� ��

��� ��� ������������������� ���<��������E����-����� ������$�E�� ���������� ������������������=������ �������E������ �$�������$<�

� �

��

������������ �9� �� ;�� �?��������L��������� � ����������� �� �� ��������������

� �-� ��'� ����� ���� �� �� �� �� � �$<��<=�� �=$�����$<=7$-� �(�� �� �������������� ���� �������� � ����� ���� ����$������ +����� ������� ������7

��������

��� �@����������� ���� ���� ������ �� �����$<����� ������� ��������� ����� � �� �� ��@$�� �@<7��� �@����������� ���������� ������������1'A����� ������� ��������� ���� ������������ �@�� ���� ������� �����������������������ME �� � ?MF

� ����

� �

B� ������������������������������� (�-�' ������� ��� E �+$-�� ��� �������������

� �

8?�������� ������� �������7� ���������� �7

Page 252: 093 Matematika 01 - 02

���

� � "�E����� �������$<=�

������������ ���� ������ �������$������ �<=�� �=$�� ������ �'��� �� �� ���� �

"��� ��� � � ���� ���������� �$�������$<������������������'�

����������%����� �'������' ����� ��� ����'����������������� �� � .ABCΔ

'������E�������

������ ����������� ���� ������ �� ��������� ��� (

, ; , .a bO s prandaj OB OC O s prandaj OC OA∈ = ∈ =

����������� ,OA OB= �� ������'� .cO s∈

�� ���� �� �$������ ������ ���������$<=����� ��������������'�� �����������' ����� ��� ����������������������� ���������$<=�

�� �������

� "�E����� �������$<=������������� ���� ��<��������� �-��α�� ��β�������� � �α ��� ( ),A Bβ α β= =� � �� ������ �9�� �� �� ���� �

"��� ��� � � ���� ��������������������������9�

��

��

��

� �

� �

sα sβ

��

����

������ ����������� ���� ������������� ��(

1 1SB SC= �� � 1 1.SC SA= ���� ���

1 1,SA SB= �������� .S sγ∈

�� ���� �� ����� � ������ ���������$<=����� ��������������9�� �����������' ����� ��� ������$� ��������������� ���������$<=�

�� �������

��������

������' ����������������� ���E������ ����������������@�<�����E����-7 ���������� '�������� ����������@����� �� ����$<�� �����������������.����� �� �����=?�������E����7

� � � ��

��

��

� �

Page 253: 093 Matematika 01 - 02

���

� � ����� ���������$<=������E����������� ����������$��<��=������������������������$������ �����������$������� �� �$

���<

���=

�����$�E����������� ������� �

��'� ��� ������ �� ���$$���<<��� �==�7

� �

��

��

��>���� �� �� �� �$$���<<��� �==��<�� ������� � ABCΔ -����� ����

������O+����'� ����' ����� � ABCΔ �

����� �� ����' �����O�<������� �� � ABCΔ �/

� '��� �-��� ��������������� ����$<=�� $-��� ��������������� ���$<=������E���� ��

��

��

��

#

C H≡

��

,����� ����� ���������� � �� �������������� ���� ?ABCΔ

������ ���������� � �� �������������� ��� .ABCΔ

> �� ������� ������������������<� ���E��� �� ���� -����� �������������+����'� ��� �� ��� � ��� ���������

�� �������

���' ���������� ������������������������������ �$� ���� ������� ��������������� ���)������� ��� �������� ������������� ����������������� ��������������� ���)������������� ����� �

� � �����E��������������'����� .ABCΔ ���������&��

������

�������������������� � �� �$������

��&���������

� �

��

��

�� ��'� ��� �� �� �����&�����������/

��'� �������D����������������� ���� �� �� �� �$$

���<<

��� �==

�7

������ �� ���$$���<<��� �==��'� ��� �� ����������� ���� ���� �������D��'� ������ ���������� ��� ���������$<=�

Page 254: 093 Matematika 01 - 02

���

� ����� ���������$<=������E������������� '���� �� ��$$��� �==������������ ���� ���� ������������� �D������� ���������$D=��������� '�������� �� �� �@.�<����� � �� �$=-��������

� �

��

��

����� ���������$<=�Y����� �� ��

� 1 1 .A C AC� �"��� ��� (

�-� 1 1 .MNT A C TΔ ≅ Δ

$-� 12AT TA= ⋅ <�� ��������D� ������������ �� �� ���������3(5-�

�-�# ����� ���� '����� ���������<������������������D�<�D����������� ���������� �� ABCΔ �

��� �� �� �������'����� ������

�-�"�� �� � 1 1

1

2MN AC AC= = �<�� 7-�� 1 1M TA C=� � � � 1 1,N TC A=� � �����������������������J�

%�� ���-�

$-������������� 1 1MNT A C TΔ ≅ Δ ����� ��� � 1,MT TA= �� '��������������� ,AM MT= �%�� ��$-�

# ����� ���� '����� ���������<��� �����������������������������D�������'�� � ���� �������� �� �$$������� ������ 12 ,AT TA= ⋅ ����E������ �������������D� ������ �������������������� �� ��$$��

���� �������� ��������� �� ������ �������������+����'� ������� �������� ��� ���������

�� �������

����� ���������� ������� ������� �� ��������� ���������'���� ���� ���� �������������� ������ ���� �� ��� ����� ����

�����������+�' ����� ��� ��������������������' ����� ��� �������$� �������������' ����� ������ �����������'� �������������� ���������������� ���������

Page 255: 093 Matematika 01 - 02

���

���

� ���������������� ��������������� �������A3°� �� ����� ���� �� '�� �� %������ ��� � ��� ���������� �������������� ��E��

� �� ���������� ����� ���� ������������� ������������ ABCΔ '������������� '�������������=����� � 062A =� ��� 074 .B =� J�� ��E�������

� J������� ABCΔ ����� ���������� 5 cm,a =6 cm,b = � 9 cm.c = ,�������������������������

������ 7

� ��� ABCΔ ��������������� �� 068A=� �� 040 .B =� �>������� ������ �������� �+

�-���������� +$-���� ���� � �������� � ���� .ABCΔ

� "��� ��� ������ ���������� ���� '������������=��������������� ��������� ��������������� ���

ABCΔ ����� � $���$������ � �������� ��� ��E���

� ����������� ��������������������������������� ������ �7

,������������������������������� ������ ���)������������������ ���������� ��������7

"�E����� �������$�������� ABCΔ �5 � ����������������� ���������� ��������������������� �� ���������� �7$-�,�������������������� ����' ������O�� ' ������'������ �������$� ������������������ �������

�� ����� ���������$��������� ,ABCΔ �� �=?��������������������� �����������$�E���$<���� �� ,CD ���� �� ��� ����� ��� �������� �$<=�� �$?=������������������02���� 3D���

�� ��� �� ��������� $��������� ����������ABCΔ �� �$�E�����&���������������������������

$���$������"��� �V

�� �� ������� � ������� ��� $� ������ ���� ������������� ��� ���� ���� �� �������� � �������� ��%'��� �������������@��"��� ��� @������������� ������������������ �$���������� ���������

� ��� � �� ������� �������������� ����� ABC����� 6 cma = ���� 8 cm.b = �-� ��������� E��C� ��� ������������������7�$-� �������� ������� ���� '�������������=��������������� ���7

Page 256: 093 Matematika 01 - 02

���

��� ���������� ��<���� ����������?$��� �L������������ ���E��� �������� ���E� �� ������-(�-�� �� ����� ����������������+$-�������� ���������������7

��

��������� ��������������������� ��

��������

'���� ���� ��� �%�����

3-� ���������� ����� ������� �� �� ����7 '���� ���� ��� �%�����

0-� ���������� ����� ������� �������7 '���� ���� ��

.-�"�E����������� ���E���'��� ������������������� ����60 ;° ����30 ;° ����120 ;° ���90 .° '���� ���� ��

�� ��

α/ 2α

/ 2α

� �

���

��

r�����

r�����

α α

60° 30°

�� ��

120°

� �� 1O

�������������� �� �����������@�������������� ���� �������������� (�-���������� ��PQ°+��$-���� ���� ������ �� ������ '���� ���� �� �$����

� �

Page 257: 093 Matematika 01 - 02

���

� � >���������� ���� ����������� �����������������$�������������� �������� ����� �

H��������(�� �� �� �����+�� �������α����� �(������������ �� ABCΔ � �$��������� �+�� ������������ ����� �α�

>�����E����� �� ����������E�������� ��� ������������������$<=��������������E�������9 ����;

���� �����������

'����� ���� ��� ���������# ������������� ������$������ � � �� �� ����������������������7

��������� �����$��� �������������������� ���E���$���� ������$������������������� ������������ %�����������������$��$��� ��$�������+�� ���Y�� ����%�� ������ ��<�� �=�

>� ����������������������$<=������E����� � �� �� � �� �������������������� ��������� �������� ����'��������������� �� �� ����������������������� � ABCΔ ������� �����J�J-�

(� �����

M������� ������ ��� ����������� ���� ��E���������������� ����(������"�/����� ������/�� �������������������

8����"�������%�E����������� ����������������� �������������E����� �� �������������(���� �������� �� � � �� � ���������� �%�������������������� �$� ��������������� �� �� ��������������@����E����� ��� �%�����������������������E����� ������E������� �� �������M�������%������ %������+�?>�����E����� �� ������������� �;�

����� ���������������������E���� ����$� ��������������%������������������ � �� � �� ����$���������������� ����������������� �'������'�����%�� ��%������ ���������

(� ���������� �������������������'�����$��� ���� �%������ �%������������������� �� �� ������"��� �������������� ������� � ���������� ���������������

� ��

� �

α α α

Page 258: 093 Matematika 01 - 02

��

������������ ������ ���������� ������ �� �+��-������� �������������������� ��� �E�� �� ����F%������ ��� � � �� � ��������+�$-����E����� ����� ����������� ������E�� �� ���������� ���� � � �� � �������7

������%�E��� ��������������������������������E���������% � �����������E$����������� �F�����E����� � �������� ������������� ����� ����������� �

� >���������� ���� ���������������� �����$������� �������� �'������ ��������

X��������(�� �� ����+�� ����� ��α�� �β�

���� �(�>���������� �� ABCΔ �� �$������+�� ����� �α�� �β�'������ ��������

���� �����������

�������������� ������������� � ���� �����������������

"�E�������������� ���E�$>�� � �$������ .c AB= ���$����������������� �� �����$<��� ���������$�� ����$>�� ������������������� �� �����$<�� ���������<�� �����<$�������� ����� � ��� ����� ����������=�

>� ����������%����� ABCΔ �����E����� � �� �� � �� ������<���������(�F���� ��������� ����'�������������� �� ����������������������� � ABCΔ ��������� �����J�-�

@������F�� ����������������������������� ���������� �����$��������������� �������� �'������ ������7

X��������������� ������� � 180 .α β+ < °

� >���������� ���� ����������� ������������� �$������������ �+�

H��������(�� �� �� �������� �+

���� �(������������ �� ABCΔ �� �$������������+#

����

α β�

α β�� �

α β

� ��

� �

�����������

Page 259: 093 Matematika 01 - 02

��

������������������ ������������� ���E��� �F%������ ����������� ���������� ��� �� �� � �������������� �$����� .c AB= ��������������� ���� ���� �' ��������$�� ��� E ����� ��� ���� �' �����<�� �� E ������� ���������������������������$������=�'���������� �����$<����� ��� ABCΔ ������������� �� �� ������� ������E����� � �� �� �<9�� ������������ ;-+���� ����������������� ������ ���� �����������E����� �# ���������������� �� �� � �������+��������������������������������� ABCΔ /�<�������� +�� ������������� �$����������≤�+#-

� � ����������� �������$���������� ABCΔ � �$�E�� 3cmc = �� ��������� 3cm.ch =

� ����������� ������������� ���� ABCΔ ��� ���� ��E���������� 4cmAB = � ��������������������� ��.Q°�

X��������(

'����������������

������������� � �E����� ABCΔ /<�������� (� .2 2a

a ab t b− < < + �

X��������+ ���� �����������

'����������������

��

�� � � � �

ch

ch ch

40°

����

40° �

� � �

40°

���

at1A

2

a ���� �

�at

1A2

aX��������(

at2

a

��������� ABCΔ �� �$�������������������� ��������������������#

�����������

�����������

'����������������

Page 260: 093 Matematika 01 - 02

���

�����(����� ���$�������� ����� ��,���������(�-����� ��%'��� �����������$+$-�$�������%'��� ����$�������$<P

�����F�%� �� ()����� � �������$�����+)�$������ �������$�����+)����� � �������$������

�� �� �$=�� �<?�'� ����������������������������$<=?#

���

���������������� ����-�45 ;° ����$-�15 ;°�-�105 ;° ������-�135 .°

"�E����� ���E��� � ���� ��� ���������@������������ ����� ��� E ���4�3���'�� ������� ���E��������������@�

���������� ABCΔ (

�-�� �$����� 5cma = � ���4�.����� �����

� ����� � 50 ;γ = °

$-�� �$����� 5cma = � ����� ������� 30β = °� �γ 4�6Q°��-�� �$����� 3,5cm, 4cm, 2,5cm.a b c= = =

@����������������� ���� ��������

���$����� 5cmc = �� ����� ������

105 80 ;dheα β= ° = °$-�$������ 9cm, 4cm, 5cm;a b c= = =�-�$��������� ����� ������� 3 ?dheα β α=

�������� ABCΔ � � $������ 4cmb =� � 5cmc = � � ������ �� ��� � 65 .α = °������������(�-���E���������� �� ���������������+$-���E���������� �� ����$� ����������

����������� �������$���$������(�-�� �$������.���+$-�� ���������0����

����������� �������$��������(�-�� �$�E����4�0�A���� ������������$�E���� ��6Q°+$-�� �������4�A���� �����������$�E����� �2A°�

����������� ������������� ���(�-�� ���� � �0���� �.�A��+$-�� ���� � �3�A���� ������������������ ��.Q°�

����������� ������������� ���� ABCΔ ��� ���������(�-� ��� �����4� 0�A���� � ����� � ����������I��+�,

�&���� ������ ������ ������������#��������������� �����$-��������E����� 7

��������� ABCΔ ��� ����������(�-�$���������� �+��� ������������+$-�$�������������������

��� ������ �����������

��

'��������������� �� ��������E����� �

��

������������ '���������� ��������� �

��������

���� ��������� ����� ����������� '�� �������� $������� ��� ��E����� ����� ����'�����������������$<=?� �

Page 261: 093 Matematika 01 - 02

���

� �

1D2D

�������� ���������� ���������������������������������� �������� ��

������ 1 1 ?α β γ+ +

>� ��� ������ ����� � �������������������

360α β γ δ+ + + = °

� ���������������$������ ������ � ������ ���������� ��������������������������������7

H���������������� ���� ����������������� ��� ����(

����� ������ >��� E� >��� E���

−� ���������$����������� � −� ����� ����������$���������� �

−������������������$���������� � �

������E����������������� ������ ���$<=?Y������������� ���������$����������� � (

�������������� '���� �� �� ��??��� �??��������� ��������������� ����$������ ������ � +� ������ �� �������������<� ���������� ����-�'� ��� ������ ������ ��������������$������

������������������� ���������� �����������)� �����7

����� �������$<=?������E������ �������� ��$=��������������

����� ��������

>� ��� � .ABC CDAΔ ≅ Δ

����������%���� �� (�-� , ;AB CD AD BC= =$-� , .BAD DCB B D= =� � � �

����������� �� �� �α��4 γ

��� �α

��4 γ

��<�������

��� ������ -��$=� �����$������ ����$�����������������������������J�(� .ABC CDAΔ ≅ Δ�� �������� � � �� ���������� ���������$���$������� ��������$���E�����-�� �$-���������������

���������

� �1α2α

1γ2γ�

���� ��������������$<=?� ����E������-����� �� ����������������

� +�����������������E�������$-���������� '�� � �����������$=�

1α2α

δ

1γ2γ

β�

δ

βα

γ

��- $-�

AB DC

AD BC

��

Page 262: 093 Matematika 01 - 02

���

&�������������������������� �����

1 .° �J������� ����$�������������� ��������������$���$����������� ����� �2 .° ����� �� ����$�������������� ��������������$���$����������� ����� �

0°�� ���� ����� � �'������ �����$������� ���������������� �������������5DQ°�

'��������� �������������E������ ��'����� (

1 1; 180 ;α β β β= + = ° 180 .α β+ = °

� ������������ ���������������������6A°�� ����������� ���� ����������� �������7

� �������� ��������$<=?������E������������� '��������� ��� ��� ���� ���� �������������� �9�

"��� ��� (� , .SA SC SB SD= =

I��������� ���� �$���E����������������������%�������� ���� .SAB SCDΔ ≅ Δ� AB CD= �������1 , 1 3 2 4dhe° = =� � � � ������� ���� ������ ����������E$������������J��-

� �������������EG@.������E��������������� ������ ����� ��� ����� ������E������ ��������������� � �� �� � (�E.��.@��@9�� �9G#

4 .° ����� ����������� ������������� ���������� ����������� ��� �� �������� �

# �������� �� �� ������ �������� �������� � �

α 1ββ� �

( %

��� �

��

! ")���

�����

(&����

%���

� "��� ��� ������ ����������� ���

Page 263: 093 Matematika 01 - 02

���

��� �������� ������ ���� ������� �$����� ���������� ���� �� ������ ���E�� ���� ����������$���$��������� �� ,m n� �������������� ��������� �� ����������� � �

8%�����E����� ����� �������� ���E������ �������E��������� ����� �� ��� ������� �� ��������$���$����

�����E�����������������������)�����$<=?�������������������� �

$=�� �<?��������� ��� ������ ��� �� ��9�

"��� �� � � ������������� $<=?� ��������� ������� ������������ AB CD� � ��

.AD BC�

"�� �� (�� ,SA SC SB SD= = �<���������-+

3 4=� � <������� �������'�E����-+�������J�J��� ��� � SAB SCDΔ ≅ Δ

# ������� ���� �� 1 2=� � <���������������� ��� �������� -����������������� ������ ������� ��������� ���� ��$=�������������������� � ��� .AB CD�

B�� ��������$�������$<�� �=?������������������$<=?����������� �

�������������������������������%������ (

( ), , 7 8; , 5 6;SAD SCB SA SC SD SB BKB prandajΔ ≅ Δ = = = =� � � �

��� ����� ���� � �� ������� ���� ������ ���� ��$=�� �������

.AD BC�

���%��������������������$<=?������������$����������� � ����������������������� ������

# ������������ ����� (

������� ��������������������������� ���������� ���������� ��� �� �������� ����� ��������������������������� ������

�������'� ����������� ���� �� ������ ���

>� � ��� ��������������� � ������� ����� � �<���������������� ������������� �����-�

������� �����������������������$������������$���������������� � �� ����$���$��������� ��������������������������� �����

��������

αβ

γ

%

(

� �

��

�� �

� �

Page 264: 093 Matematika 01 - 02

���

"�� ��� (�����AB CD� ��� AB CD= �<��E�����-���� ��� ABC CDAΔ ≅ Δ <������J�J-�� ������������ ����%�������

� � AD BC= ���� .AD BC�

"�� ��� (�����AB CD dhe AD BC= = ���� �� ABC CDAΔ ≅ Δ<������JJJ-������������ �������������'� 1 2,=� � ���� ���%��������� � ;AB CD� ���������������� � � ����

.AD BC�

����� ����� ��������������������� � �� ������$������ �

��������

7���

− ���� � �"���� ��� ��� �� ��� "������ ������������������������

7�����

− ���� � �"�������� ���#�#��#��������������#���������>����#����� ��� ������������������1��

��� �� �����������$<=?� ����E������������� '���������� �

$=�� �<?�"��� ��� (� .AC BD=

'������E��������"�� ��� � ABC BADΔ ≅ Δ<������J�J-���� ������(� AC BD= <���$������� ���� �������������������-�

# ������������ ����� (

&�5������ �������� ���������������� ����������������$���$����������� ����� �

"� �� � � ����� �� ����� ����� <� ���� ����� ��������-�

&�3����� �������� �������������� ���������������������$���$��������� ������������������� ���������

�� "��� ��� ������ �������� �������� � �������$��

�������� ������������������������������$������������$��������������$���$��������� ��������������������������� ������

� �

��

<�����

4����#�����

− ���� � �"����������� ����"������#�����������������

−���� � �"����������� ����"������#������������������������"�����������������������������

� �

Page 265: 093 Matematika 01 - 02

���

B�5��&������ �� ���$��������� �������������� �

����������������� ���� �������� ��� �������� ������������������$���$<=?� ��� ��E�������� AOB dhe AODΔ Δ � � �� �� � � ����� �����������<� ���������JJJ-���� ������(

( 90 ), .AOB AOD gjegjësisht AC BD= = ° ⊥� �

"� �� � ������������� �����<� ����������$-(

B�3����� ���������� ���������������� �� �������������� ����� �������������$�

�� "��� ��� (

B�0��&��������� ���$����������� ���� � ����� � �������$������

�� "��� ��� (

��5��&������ �� ��������������� �������������� �� ����$���$�����

��������

, ���"�������������������'������ �������������$���������� � � �� �� �($<�� �=?�− �$�E����$?�� �<=�−�����

1CC �− ���������� �� ����@.������� ������� ������������������� � �� ����� ��'� ������������� ����� E���

�1C

AB CD�

� �

#�������� F �������� �������� E � �

>��� E�$��������

− ����� E�� ������ �$���$�����

� �

>��� E������� ���

− ����� E�� ����������������������������� $�E���

Page 266: 093 Matematika 01 - 02

���

Vëre se: KBN DCNΔ ≅ Δ (sipas KBK: , ,NB NC KBN C KNB DNC= = =� � � � ) prandaj ,NK ND= gjegjësisht MN është vija e mesme e .AKDΔ Përpos kësaj, , .BK CD b prandaj AK a b= = = +

>�3������ ��'������ ����������� ��������������� E������������ � ���� �

"�� ����� ��α�� �δ����������$?�������� E���$<=?������E������ ������� ��������α

��

"�� �� �α α���� �α

��� δ �L7°#��� �������α / δ 4�5Q°�

��������������� (�β / γ 4�5DQ°�

�������� E���$��������������������������� ��������� � �

���

����������������$<=?�� �������� ��$=������������������� ���������� ��� ����� �������� ������3D���� �02����,�������������� ������� ����� �� ��� ������������������������.Q���

��� ���� ������������$<=?� ����� ����(�-�α 4�DQ°��β

��4�5.Q°��γ 4�50Q°+��$-�α

��4�03°�

γ 4�53P°��δ 4�2P°��,���� ���� � �� ��� ������� �� ����$� ���� �

�������� ��������$<=?�<� �$�� �=������� �������$�����-����������(

2 10 3 20 .A x dhe C x= + ° = − °� � � ��������7

� "��� ��� ��������� � �������� E���

>5��"���� �� �� � ����� E������������� � �� �$�E���� ������ �$���$������ �������� ������������� �

I��������� ����������'������E�������� ���� ��� ���� ��� ����� ��E������ ���� E��$<=?��� � $�E��AB adhe CD b= = ����� �� �� � .MN m= �� �����������E�������� ���������������$E?�

� � !

, .2

a bMN AB MN CD dhe MN

+=� �

�� "��� ��� ������ �������� �������� � ��������� E�

B�� �������� ,MN AK� �1

,2

MN AK= �� �������

α

γ

β

δ1α

>0������ ��'������ �����$�E��� ��������� ����� E��$�����������������$���$����������� ����� �

>.��&������ �� ����� E���$�����������������$���$����������� ����� �

Page 267: 093 Matematika 01 - 02

���

��������������������� ����������� �� ��������������� � �� �$������ ���������� ���������7 '����������� ������ �

���������������������������$����������� � ��-�@��� ��� �� ���������������������� ������� �����7� �������� ���$��� � �� � �$����$-�@������������������� �� �� ����� ������������� �������7

X���� ����� ����� ������� � � $�����14cmAB = ���� 9cm.AD = � �� ������� �� A�

��� ��$�������=?����������@������������ ������ � B� −���������.�<.������������ ��?�� @-��,�������������� �� �� �� � +�?@��@.� �@=�

�������� ��������$<=?�����������$=�������� ���� �<����<?-���������� ��<�� �?����� ��� '�������� ������������ ��$=���$�E��� ��������� ������������������������@� �.���"��� ��� � .BM DN=

&������ �� ���������������$<=?����� ����������'����� .OA OC= ���� � ,ABD BDC=� ���� ��� �������������$<=?� ����� ����)� �������"��� ��

�-�X���������������

������ ��� AX BY⊥4* !�� 8 ���(������&�

� .AX BY=���A&��(���(%(���8�

��������� ,AX BY=

��

��� � ��� ����� �������� � ����� ������������ � ������������������������������ �����$���$��������� �������������$��"��� ��

��

XC YD= !$�2�������D������� ������� �����#�����

"��� ���������������� E���$���������<� ���>0�-(�9���� ��'������ �����$�E��� �������������� E��$�����������������$���$������ ��� � ;�

��

"��� ��� ������ �� �� � ����� E��������������������� �� �����

��

@����� ������� �� �� � ����� E������������������ �� �� �������� � 7

��

��������� ��������������������� ��������� ��

����������������� ,ABCΔ ���� ��� �(�-����$������� �������� ����� +$-��� �$�����7

� ,����� � ��� � ����� ������� �� ����� �������7

,������ ��� ������������� �� ������ �������7 �������������� ������$<=?�� �$����������� �� ������� ����� �

���������

$ �

� �

&������ ������������� ������������������AA°7����� ��� ������� ����� ���� �� � ��������� ������7

� α

Page 268: 093 Matematika 01 - 02

��

��������$�� �9�����E��;(������ ���� ������ ������������������������E������<��E�����(�9 ����;-���������$<=����������������������������� �� �� �� �� ,AB a AD b= = �� �������� ,α=� ��������� �� �� ������������������� � �� ����$���$������ �$<�� �$?���������������&������������ �������$<=?��������������� ������ ��������������������� � � � �� �� ������

���� M������

��������� �������������������������� ��������$<=?������������� �F%�������������������������� �����$���� �� ������������� ��'�����%����E����� ��

'����� ����� ����E�������9M������;�

������������������� ����������������$<?7

������������������������=P

'����� ��������������$<=?����������� ������������ � � �� � ���������

>�����E����� ������ �������$<=?������������������<��E�����(�9 ����;-�

����� '�� ������� �� ��� ����� ������ ����)���� ��� � ������ �� ��'�� � AOBΔ ���������������������������� �$�����

1 2, , .2 2

d dAB a AO BO= = =

����

I���������������������� ��������$<=?��������� �������������9�� ���������������;�$'<<��E�����(�9M������;-�

����������������������� ��=�� �?7

'����� ������ ��������������������������������� �� �� ������

M������

& ��������E����� ���� � 1 2 1 2 .2 2 2 2

d d d da− < < +

� �

� �

� ��

1

2

d2

2

d

1d2d

�� �

α

��

� �

α

� �

� �������������� ��������$<=?���� �����������$��������� �������� ��������(

� ��

� �

� �������������� ����������� ������������������ �� ������������� ������� ϕ�� �����

Page 269: 093 Matematika 01 - 02

��

��������

� � ��� ��������� ����� �������� �� (�-��� ����������+$-���$��7�������������� ���������� ����(�-���������� �+$-�$� ������� �+�-���������� ��� �$� ������� ���� ��7

����������� ���������$<=?��� �����������$������� �������� ��(

������������������ ���� ��������������������

: ����� ����� ����������$<=?���������������< ����-�

���� M������

"�� �� ��� �������������� ���� ABCΔ ���������������������������� � � � �� �� ������

'������ ����������������������� ABCΔ �� �����������

'������E�������9M������;�

�� ����'� �������� � ������ ����������������' ����� ��� �������������������

� �����$��� ���E��������������� '���������� �� ����� ��������� �� �� ���� �9��������� '�������� ��� $�������� ����$�E�������+�5��B��4��O�

"��� ��� �������5��B��4��� �O������������� ����������������9������������������ ����������� ��

,���������' ������ ����������� E��� �������� ��7

�����$���������$� ������� ���� ���' ����� ���������������� ���� �������� � ����������� E��������������� ���������������$���

@��'� �� �����$ ������� �� ������$���

� �

�� �

� � � �

��

� �

� �

� �

#�

Page 270: 093 Matematika 01 - 02

���

� "�E�����$�� ���������E����� ���� �$� �������������� ������������������ �� ����

� 1 25cm 4cm.d dhe d= =

�������������������������� ��� �$� ������� ��� ���B� �������������� �� � ��$ ������� �� �������� ����� +�' ����� ���� �������� ���� �������� � �

� ���������������� �������� �A��������������E����� ���� �������������� ����$� ��������������������

�������� �

,����������������'� ������ E�� ���������� E��7

> ����� ������������ E���$���������

������������� E�$���������� ($�E������������ �������� �����

�����

������E�������� �� �� ����

: ����� ���$<=?����� E������������������������ ,AB a BAD dhe BD dα= = =� <��E�����-

>��� E���� '�� ��� ��� ����� $������ %'��� � ��$���$�����'� ���������#

������?��� �� ������� �� �� ��������� �� �)<<��-�� �������$������������ .A α=� �������������� ABCΔ�������'������������=������%�� ������� �� � ��� ���E���������?�'������������ � �� �$<�� �������<3���

.ABC α=�

������������� E�� �$�E������ ���� ����� �� ����$�E�����

)���"��#�: ����� ���$<=?� ���� E�����������������������, ,AB a DC b A dhe Bα β= = = =� � �<��E�����-����� ����$�E��

$<� �E�� ����������5������������'�� ,bAE = ��� � �������5

��� '����� ���E��������� � �� �������$������������ ,A α=���� ����� ���� ���� �������$3���� ,B β=� ������� �������=���� ���� �������$��� ��� ���E�����'�������������=�� ���������� � �� ���� �� ���������?�����������9%������������ ;����������������� ����� E�������� BCEΔ �� �$������BE a b= −� ����� dheα β �<�����-�

� ��

��

� �

a b−

α1α β

��

α

� �

� �

Page 271: 093 Matematika 01 - 02

���

�� ���� �������$<=?������E�����<� �AB AD dhe CB CD= = ���������� '��������� ��$=�� �<?��� ��� ���� ���� �������������� �'�

��������=������ ����� ���������� ����� � ������������ ��� ���� �� �� ������

"��� ��� .ABC ADCΔ ≅ Δ

2 .° �&��������� �� ������� ���������������� ����������������� ��$������� �$���$������������� ����� � ���� � ��������� �� ���� ����� � �������� ���� ����

3 .° �&������ ����� �����������%����������� �$������������$���$��������������$���$�����

1 .° ��&������ �� �� ����������������� ������� ����� �

�� ���������� �����$<=?���� �����������$������� ,a AB b BC= = �� ����� �� ,A Cα γ= =� � ���%����������$������������$���$�����

���

�������������� ������� �$��������4�A�����4�0�A���� ������� ����� �α 4�5QQ°�

� �������������� ������$<=?���� ����������$���������4�.������4�0���� �������������4�2���

� �������������� ������$<=?���� ����������5 m, 4mAC BD= = � ����������� 3 .ah cm=

� ����������� ���������$<=?���� ����������$��������� ������������������������E���������� �� ����������������

� ����������� ���������� �������� � ���������4�A���� (��������� ��������� � � 50 ;ϕ = °��������� ��$�������� �������� ��������������E����������� �� ���������������

� �����������$�� �$��������� �������� ���#

� ������������� E�$���������$<=?���� ���������(�$�E�� ,AB a A α= =� � ������������

������������� E�$������������ ����������$�E������ ���� �������������$�E�����

��������� ���� E�� � $�E�� �� � ��� � ������� ��

��� ��

��

��

�� ���������� �������� �����������$�������� �������� �

21 2 1 2, .

2

dd d d d dhe a

⎛ ⎞> >⎜ ⎟⎝ ⎠

Page 272: 093 Matematika 01 - 02

���

�������������������� ��

� ,���������� ��� �����������������������������������02°����������������� �����������������A�(�0�

� ,������������� ����� � ������ ���������������������� ��������������������������� ������������� ������%'��������� �������

� H���������������9��$��<������������������� ����������� ���E��-�����������������$

��� �<

����� ���� �� �$�� �<�������� �� �9�

$-�"��� ��� �1 1AB A B= ��� 1 1.AB A B�

� B����������������������$������� � ,ABCΔ ��� �%�������������� ���������� �� 55 35 .A dhe B= ° = °� � �

� >� ��� �����F���� ��������� �����$�������������� ������� �������� �� ��� ���������� ���������

� !��� ��E�� ��� ��������������� ���� ABCΔ ������,����-� ��������� E���C� ��� ������������������7$-� ����������� ����� ���������=���������������� ����� ���� �� ���=������� ��E��7

� ,�������������������������������� ���������� ��������$������������� ��������������� ����������$�E�7

����� ���������$��������� ABCΔ � �$�E��$<�� �� �� ���� '������������ ��$�� �<���������$���$����� ��� � ��"��� ��

��������� ABCΔ � � $������ 4cma = �� � ���� � ��� ��� 50 75 .dheβ γ= ° = ° ��������� ��� ABCΔ$� ��������� ��� ���#

�� ����������� ������������� ���� ABCΔ � ���� � �0���� ���� ��E��2���

�� ��������������������������� ��������� ���������$���$��������������������� ��������6Q°�� �5.Q°�,�������� �� �$� ���� ����������������������

�� H�������������� ����� �������������&������'��� �� �� ��=?�� �@.��������� ������� ���E�� ���������"��� ��� ��������������=?.@����������� ������

�� �����������$�� �$��������� �����������

�� ������������� E�$������������ �����������$�E������������������ ����������$�E��

Page 273: 093 Matematika 01 - 02

���

��� �����������������������������������������

" ����� �������� ��������������������������������

>����%��������������� ����������������������

#$� ����� �E$������ �������� ����������

���E������� ��������%�'�E���� �������E������������� ��������������������

B�������E������ ���� �������� ������������������������������������������������

�� � ����������� �������������������������

��

��

��

��

��

������ ������� �

�����

�����

�����

�����

�����

�����

�����

��������������

& ������������� � �� ����� ������������ ��

Page 274: 093 Matematika 01 - 02

���

,����������� ����E����������E����� � �$���E����(��-����4�36+�$-���4�2.+��-����4�.P7

> � ��� ��������� ����� �������������������� ����$��������� ������� �� ���� ������ �E����������������� ��������$���E��������4���

� ,����<�������-�E����� �� �$���E����(

�-� 3 64;x = − �������$-� 3 64;x = ��������-� 5 32;x = − ��������-� 3 27.x =

�-� 4,x = − �����'��( )34 64;− = − ������-� 3,x = ������'�� 33 27.=

��������

������4�3�� { }2, 1, 0,1, 2n ∈ − − �������� ������&���� � .nx a=,������ �������%����E� �'������������� ��� ��7

������ ������������

� � ������� �����������������52�����,�������������� �$������������������

� "���������������$�������53A�����,������������� �� ��������$���

������� ���������� �$���������� � ��� �%�������9�������������������������$���� �� ����� � ��� %�������(����#I������� ��������������� �$����������������������������������������� �� ��������$������ �����E������$���E��������4�52��� �$���E��������4�53A�

M������� �$���E��������4�52��������4�.�� ���4�).���������E������� �$���E��������4�53A��������4��A����������$������ ����������������4�.������������ ������$����������4�A���

�� �E���������4�).� �$���E��������4�52����������E����� � �� ������� � ��� ��( )24 16?− =

M������� �$���E��������4�36��������4�0���������0��4�36+�E������� �$���E��������4�)36��������4�)0�������'�<)0-��4�)36�

����E����� �� �$���E��������4����� ��� � ���� � �� ����� � �<��������� �������������� ���-�

,�� ���������F��������� �����1�Q�� �F����������������� �E�������������� ����� ����E������������������E����� � �$���E����������#

Page 275: 093 Matematika 01 - 02

���

M������� �$���E��������4�P��������4�0�� ���4�)0�������'��0��4�P�� �<)0-��4�P��M����� �� �$���E�������4�3A��������4�A�� ���4�)A�

�� �������

����� ������������� �����1�Q�� ������ �������������������F�%�� 2 , ,n k k= ∈� �E����������������� ����� �Y����������������� �� ( )22 .

kkx x a= − =

&������������1Q�� � 2 ,n k k= ∈� &�$���E���������������E����� ���������������������� ���������� ���M����� ���E���� � ��������� � ,n a ��������E����� ��� ����� � ��������� � .n a−

����� �$�����$���E������4D��������������� �� �'�������������������������B�������E���� ������ 8, ��������������� ����� ������ 8.−

�� �������

����� ������������� ������ �� �������������������� �� 2 1, ,n k k= + ∈� �E�������������� ����� �����

���������'����������#

&������������ �������������������� ����� )����� �� ������������� ����� �E������ ��������������� ��'�������E����� � �$���E������������ ����������� ��������� �� .n a

��������<�≥3-�'� ���� �� ����������������������'� ����� ����� ������ ������� ������� ����������� �����

#���������������������������� �� n a �'� �� ����"��

����� �$����� 3 1 1;− = − � 5 3 3 31 1; 0 0; 27 3; 125 5− = = = − = − � ��

��� ���≥�Q�� ���4�3����� ������� ���� � 2 a ���������� a ���������� =���������������� � ��#

��� ��� �� ��������������������������F�%��� ���1�Q����� ���������� ��)��� ����������������� �����������������'���������@������������������������������������������ �� �

J���E�����-����4�).��$-����4�)D5������E����� ����$��������� ?�

�����'�����≥�Q�� ����≥�Q�����F��������� ��������� ��� �$���E�� �� ���������������E����� ����$��������

,� ��������������� � �� 4− ���� 4 81− ����������������� ��������������� � �� ��� � �� ���������

����������$��������� .�

Page 276: 093 Matematika 01 - 02

���

�� �������

B�����E������������ �� ���� ������� ��� �� �������������������F�%�������������������%�E�������$�������� ������� �� ���

� ,������������� � ����� � ������������(����� 9 8;− �����12 0; �����16 256;− ���� 4 16.−

� ������(��-� 5 52 ; �����$-� 3 32 ; ������-� ( )33 2 ;− ������-� ( )22 ?−

�������� �

����� ����� ��� 2;− ���� ( )22− �������������E������ �������������� �� ( )2

2 2.− ≠ −

�����'� ( )22 4,− = ���� ��� �� ( )2

2− ��������������������� ( )2 22 2 2.− = = �������������������'

( ) ( )4 24 4 24 3 3 3, 5 5 5− = = − = = � ����&������� � ( ) ( ) ( )2 4 242 | 2 |, 3 | 3 |, 5 | 5 | .− = − − = − − = − ��������

��� � ,a∈� ���� ���� 2 | |,a a= ���������������� ���������������������F�%����������&� | |n na a=

-$�������*

,| |

n n a

aa ⎧

⎨⎩

=

� ,������ ���� ���� � � (��-� ( )55 7 ;− ����$-� 3 39 ; �����-� ( )44 4 ;− �����-� 6 63 .

�������( ) ( )2 334 , 5 ? �M����� �������'��( ) ( )

2 24 2 4,= = ���� ��� ��( )2

4 4.=

�������� �� ��������� ���( ) ( )3 73 75 5, 15 15= = � ���

����� �$���&�( )55 5 5,− = − ������������������� �����( )2

3 3,− ≠ − �� '�� 3− ���������������

������������������ � n a ��������������� ���( ) .n

n a a=

���������������������#&����������������������#

Page 277: 093 Matematika 01 - 02

���

�������*

�� �� , ,ma a m∈ ∈� � �'� ��%�'��

��� � ,m +∈� ���� ������� ... ,m

m

a a a a= ⋅ ⋅ ⋅�������≥�3�� ���������� ����4�Q�� ��� ≠�Q����� ������4�5���� � ,m −∈� ������������ ,m k k= − ∈� � ��≠�Q����� ��� 1

.m kk

a aa

−= =

� K�����E�� ���������������������%�'���� � � ��� �� ��E ��� ��������������

� ��������� ������ �� ����� ��� ������ ��������� ������ ����������������������� ��������%�'��� ��� �� ���������������>���������$����� � �����E�� ������������������%�'�������� �%�����%�'����� ��� �� ���������������

-$�������*

��� � a +∈� ����m

n∈ �!��� ,m n∈ ∈� � �&���� ��

.m

n mna a���

����������%�E������ ��(��11 3

3 32 2 34 4 2; 4 4 64 8; 27 27 3.= = = = = = =

� �� �����-� 0,59 ; ������$-�2

38 ; �������-�1

3125 ; �������-� 0,50,01 .

$-�2

23 38 8 4;= = ��������-�1

0,5 20,01 0,01 0,01 0,1.= = =

��� � 1,m = ���� ���1

:nna a= �1

1

1 11: .n

nn

m aa

a

−= − = =

���������%���������������%�'���(

�-�1249 ; $-� 0,5100 ;− �-�

2

3 ;a �-�2

3 ;x−

-�2132 ;a b⋅

�-�1

249 49;= $-�2132 3 2 .a b a b⋅ = ⋅

��� ���������� ���������������������������������� ��������� ���m

n���������� �� �� ������� �$����

�3 6 9

...4 8 12

= = = ������%�E���������� �����������%�'����m

na �������� ���������� �� ��������� ������$���$������ m

n��������������� �� �������������%�'��������������� �(

, , , , .m m k

n n k nk mka a a a m n k⋅

+⋅= = ∈ ∈ ∈� � �

���m

na �'� ��%� ���� ��������� ��������

Page 278: 093 Matematika 01 - 02

��

���

� ,������ ���� �%�'���(

�-�329 ; ���$-�

124 ;

−����-�

1249 ; ����-� 1,516 ; ��� -�

238 .

� �� �(���-�1 20,52 31 1 8

2 ;4 4 27

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

�� �(����-�2 1 113 3 3 ;a a a

−⋅ ⋅ ��$-�

11132 : ;b b b−⎛ ⎞

⋅⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

�����������������%�'���(

�-�14 ;x ����$-�

11322 ;a b �����-�

21323 .a b

�� ����������%�'�����������(

�-� 4 3 ;a �$-� 4 2 32 ;a b ��-� 3 2 ;b a⋅ ��-� 32 2 .a a+

� ������������ ������������ �������������������(

$-� 0,5 0,25 0,75 036 81 16 5,6 .+ − −

�-�

65

13

4152: : .x x x

−⎛ ⎞⎜ ⎟⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎜ ⎟⎝ ⎠

� �� ��-� 5 32; ��$-� 3 64;− ���-� 4 16; �-� 3 0,008; ���-� 6 64.

�-� 1;x − ����$-� 5;x + �����-� 4 2 6;x −

�-� 3 1;x + ���� -� 5 1 ?x−

� ,������������� � ��'������������������������(

�-� 9;− ��$-� 3 1;− ���-� 5 32; ���-� 4 16;− �� -� 6 0;

%-� 0; ���-� 3 0,01;− ��-� 0,01.−

� ,�������������������������(

�-� 23 3;= ���$-� ( )23 3;− = − ����-� ( )2

3 3.− =

� �� �(���-� 3 1;− ��$-� ( )77 1 ;−

�-� ( )44 3 ;− ����-� 3 4169 125 16.− − +

����� �$�����1

3 38 8 2,= = �������1 2

3 6= �#����

2

6 6 2 68 8 64 2.= = = �4��������&��1 2

3 68 8= ����

�� ����� ��� �%�'������ �� ���� ��������� ������������������������ ���������� ������ �����������'���� �������� ����� ��� �%�'������ �� ���� ��������� ��������������������

��� ���� ����� ������ � (��-�2 13 2 ;a a⋅ �$-�

3 11,54 2 : ;x x x−⋅ ��-�

21 32 ;a a

−⎛ ⎞

⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

��-�

123 234 .x a

⎛ ⎞⋅⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

���' �E����� ��

$-�3

2

3 13 1 3 2 6 1141,5 114 24 2 4 4: ;x x x x x x x

⎛ ⎞+ − −⎜ ⎟⎝ ⎠+ +

−⋅ = = = = ����������-�2

3

2 231 13 31 122 2 1

.a a a a aa

⎛ ⎞⋅ − ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

− −+ −⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⋅ = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

����F�� ,a b +∈� �� �F�� , ,m p

n q∈� ���� , , ,m p n q∈ ∈� � ��� �(

0 0 01 . ; 2 . : ; 3 . ;

p

qp p p p m pm mm m mq n q q n q n qn n na a a a a a a a

+ − ⋅⋅⎛ ⎞

⋅ = = =⎜ ⎟⎝ ⎠

( )0 04 . ; 5 . .

mmm mm nnn nn

mn

a aa b a b

bb

⎛ ⎞⋅ = ⋅ =⎜ ⎟⎝ ⎠

Page 279: 093 Matematika 01 - 02

��

�� ������������

����������

, 0.m m k

kn n k

⋅= ≠⋅

���������%���������������%�'���(

:, 0.

:

m m kk

n n k= ≠

, 0.m

n m na a a= >

21 1 332 2 23 , , 2 .a a b

� �������� ���� �������� � 3 8 ���� 6 64.

3 8 2,= ������'��� 32 8;= � 6 66 64 2 2.= =

&��������������� 3 8 �� � 6 64 �������� ��� ��� ����

� 3 68 64 2,= = ��� ��������� 3 63 62 2 .=

� B������� 33, 2 �� � 42

3�E�� ���� ���-�0+ $-�.�

���3

3 3 92 3 61 3 3 1 3 3 1242 2

3 3 3 ; 2 2 ; .3 3

⋅⋅ ⋅ ⋅ ⎛ ⎞= = = = ⎜ ⎟⎝ ⎠

� M�� ��� �3��������(�-� 5 2 ;a �$-� 3 2 ;a b ��-� 4 2 3 ,ab c ����� 0, 0, 0.a b c> > >

�-� 5 5 2 102 2 2 4 ;a a a⋅ ⋅= = �����$-� ( )23 62 2 4 26 .a b a b a b= =

� >����%���������� �� �������������������(���-�� 3 42, 2, 2; ��������� 34 3 26 , , 2 .a a ab

>����%��������������� ������������� ��� �� ������� ����������$����� �����%���������������������$����������� �� �� �

�-� !"���( )2,3,4 12,= �������� 2 6 3 4 4 36 4 33 412 12 122 2 64, 2 2 16, 2 2 8;⋅ ⋅ ⋅= = = = = =

$-� !"��( )6,4,3 12,= ��������� ( )43 4 312 4 12 122 3 3 3 9 2 2 4 4 86 3 4, , 2 2 2 .a a a a a ab ab a b⋅ ⋅ ⋅= = = = =

�� �������

��� ��� �� ���� ���������� ��� �� ���� ���� � ������������������E����� �������������������� ����� ��� ��������������������

��� ������������ �� �� ��� � 0a > � � , , ,m n k ∈�

��� ��� .n kn m m ka a⋅ ⋅=

�������������� .m m k

n kn m m kn n ka a a a⋅

⋅ ⋅⋅= = =

���� ���'� ��"��� ���� ������

Page 280: 093 Matematika 01 - 02

��

� ���������� �� �������������������(��-� 3 44, 3, 2; ����$-� 2 23 5, , .x xy x y

5��������*�!�����������)*���!���������3����������������!����������!�������!��� "������8��� ��������������!���������!��������������������8��� �#

� �������� ���� �������� �� 9 68 ��� 3 28 .

( ) ( )6 999 6 3 18 2 29 98 2 2 2 2 4;= = = = = ( ) ( )2 33 2 3 2 23 38 2 2 2 4.= = = =

&���������������� 9 68 ����� 3 28 �������� ���������������� �������� 9 36 28 8 .=

� �������������� 612 6 33 , 3 3dhe ������� ����%�'��� ��� �� ����������������

# �E$������� �m

n m na a= �� ��(�36 1

612 6 3 612 23 3 , 3 3 , 3 3= = = � ������'��6 3 1

,12 6 2

= = ���� ��� �������������36 1612 23 3 3 ,= = ��� ��������� 612 6 33 3 3.= =

� >� ����������(���-�12 8 ;a $-� 24 18 ;a �-� 8 2 4 .a b

�-� 12:2 6 6:2 312 8 8:2 4 4:2 2a a a a a= = = = ��� �� 12:4 312 8 8:4 2 ;a a a= =

$-� 24:624 418 18:6 3 ;a a a= =

�-�"�� �� !"�<D��3��.-43����������� 8 42 4 2 .a b ab=

� >� ����������(���-� 6 4 ;a $-� 4 28 ;x y �-� 6 4 86 .x y z

����������������� �(���� ���1�Q�� � , , ,m n k ∈� ����� �� : : .n k nm k ma a=

��������������:

: : : .m k m

n k nm k mn k na a a a= = =

���� ���'� ������������� ������

�� �������

��� ��� �� ���� ���������� ��� �� ���� ���� � ���������������� ������������������ ���� �������� ������$���������� ����� ��� ��������������������

Page 281: 093 Matematika 01 - 02

��

��� ������������ n ma �� �� ������������������� ���� ������ �� ���������� � �������������+����� ��������� �����⋅ ������ ��

����F�� 0a ≥ ���� , .n n p pn mn a a a⋅∈ = =�

��� � 2 22 , | | ,k k p pn mn k a a a⋅= = = �����F��� .a ∈�

��� � ( )2 12 12 1, ,k pk pn mn k a a a+ ⋅+= + = = ������ ������ .a ∈�

����� �$���(� ( ) ( ) ( )6 3 3

6 9 346 3 3 348 3 1 1 1 15 5 125; 6 | 6 | 6 ; 4 4 64; .

2 2 2 8⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = − = − = − = − = − − = − = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

>� ������ � �(������ 54 4 5, ;x x ��� ( )33 2 ;x − ��� 2 4 4.x x− +

M�����

�-� 4 4

,

0 ,

,

x

x

x

⎧⎪= ⎨⎪ −⎩

$-� ( )33 2 2,x x− = − ������ ��� �� .x ∈�

��� ( )( )

22

2 ,

4 4 2 0 ,

2 ,

x

x x x

x

⎧ −⎪− + = − = ⎨⎪ − −⎩

�������������(�6 8 �� �6 5 + $-�3 4 �� � 4 3 + �-� 5 �� �3 11�� ������������ �� ��� �� ��������������� ������������� �����������'�������� � ���������� ����������

���� 6 68 5,> �����'��8 5;> �����$-� !"� ( ) 12 433,4 12, 4 4 ,= = ������ 12 34 3 3 ,= ������'�� 3 34 3> ��� ���

� 3 44 3;> �����-� !"� ( )2,3 6,= �������� 6 3 65 5 125,= = ��������� 6 23 611 11 121,= = ������� 35 11.>

�� B����������������������������(����� 3 3 310, 8, 43; ������� 3 63, 6, 37.

���

� M�� ��� �0��������(

��� 3 2; ������ 2 ;a ������ 3 22 ;a b ����� 2 34 3 .a b

>� �����������<A)6-

������������������ �� ���������������$�����<3).-(

� �-� 3 34 4 ;a adhe �����������$-� 3 62 52 ;x dhe ab

�-� 3 42 22 3 .a b dhe a b

� �-� 3 63 6, 2 ;dhe ���������$-� 812 2 24, ;a b a dhe ab

�-� 42 3 56 82 , 3 .xy x dhe y

� ���2

3 46

2

3 , ;a a b a

dhec bcb c

����2 2

4 3 10553, .

a ba dhe

ab

� �-� 3 62 ; ����$-� 4 64; �����-� 5 32; ������-� 0,01.

� �-� 4 2 ;x ����$-� 6 4 ;x ������-� 6 3 ;x ������-� 12 8 .x

� �-�12 6 3 ;a b $-� 4 2 225 ;a b

�-� 2 281 ;x y �-�12 9 364 .a b

�-� ( )23 ;− $-� ( )44 5 ;− ���������-� ( )33 4 ;−

�-� ( )33 3 2 ;− -� ( )2

2 5 .−

�� �

�������1�Q�������4�Q�����������C�Q

������)�3�1�Q��������������������1�3������)�3�4�Q��������������������4�3

������.���H�'&����#���������������H��

Page 282: 093 Matematika 01 - 02

��

��������� � � ���������

��������

B������� 3 2a ������� ����%�������%�'����� �� �� ����������������

*�'�E(

�-�( )2;a b⋅ $-� ( )2

: ;a b

�-�( )23 ;a b⋅ �-� ( )

34: .a b

� � ����������� ������(

�-� 64 25 64 25;⋅ = ⋅

$-�100 100

.25 25

=

��������������� �� �$�������� ��������� ��� ����������������&������������������� � ������������ ������� � ��������������� ��E���������� �$���$������ ���������� � ������ �������� ������ �������� ������� �

� �� �(��-� 3 8 64;⋅ ����$-� 38

.64

� �� �(��-� ( )3 27 64 125;⋅ − ⋅ �$-� 532

.243

� >� ������ � �(

�-� 9 6 33 ;x y z $-�3

36 3

8.

27

a b

x yM����� �

��� 339 6 3 9 6 3 3 23 3 .x y z x y z x y z= ⋅ ⋅ =

� ������������ ������������ ������������������$�������(

�-� ( ) 3 33 2 2;x x x x+ = ⋅ + $-�4

42 4 2

?1 1

x x

x x=

+ +

�-������ ������� ;x∈� $-����� 0.x ≥

( )1 11

;n nn n nnab ab a b a b= = ⋅ = ⋅

1

1

1

, 0, 0, .n

n

nnn

n

a a a aa b n

b b bb

⎛ ⎞= = = ≥ > ∈⎜ ⎟⎝ ⎠�

����������� ����������������E����� ������������ �������� ������

���������������� �(

������ �������� ���� � ���������������� �������������������� ����� ��������E� ��

Page 283: 093 Matematika 01 - 02

��

� � >� ������ � �(���� 216 ;a b ���5 3

5 .32

x y

.�(�%&(��

�-� 2 216 16 4 ;a b a b a b= ⋅ ⋅ = $-�35 55 3 5

3555

.32 232

x yx y xy

⋅= =

>����%����������������������� �'� ���&�� ��������"������� ���������� ������

� �=���������E� ���������� ���������������(

�-� 8; �����$-� 3 192; �������-� 4 11 ;a �������-� 3 7 572 ;a b ������ -� 24 16.a +

�-� 3 28 2 2 2 2 2;= = ⋅ = �$-� 4 4 411 8 3 2 3 ;a a a a a= ⋅ = ���-� ( )2 2 24 16 4 4 2 4.a a a+ = + = +

,���������E� �����������=��� �������� ���������������7

: ����� ��� ������ .n ma ���� �m n> ���� ,m np r= + ���� ��� .np r npm ra a a a+= = ⋅ ��� ���������� ���

.n np pn nm r ra a a a a= ⋅ =

�=���������E� ���������� ���������������(��-� 4 35 ;a ����$-� 7 145 .x y

��� 4 435 8 3 ,a a a= ������'��35 8 4 3.= ⋅ +

� '����$�������� 12 4 3 2 3= ⋅ = ����� ��������������������

2 3 4 3 12.= ⋅ = ��������%�������������� �'� ��%����������"������� �����

��� � ( )0, 0 ,nA α β α β= ⋅ > > ���� ��� .nn nn n n nA α β α β α β= ⋅ = ⋅ =

��� 0, 0,α β> > ���� ���� .nnnα β α β= ⋅

�� *��������E� ��������� ����� ��������(���-� 3 2 ;x x ��$-�2

4 ;a b

b a��-� 3

13 ;

9a

a��-�

2 27.

3 4

x a

x

.�(�%&(�� ��22 27 4 27

3 .3 4 9 4

x a x aax

x x= ⋅ =

������ �����������������=��� ��� ��������E� ���� ���� � ������������

�"#$%&#��

Page 284: 093 Matematika 01 - 02

��

�� ��� ��� ������� ���� ���������������������(

�-�3 5 �� �4 3; ������$-� 32 3 �� � 3 25; �������-� 42 7 �� � 44 2.

�-� 2 23 5 3 5 45; 4 3 4 3 48.= ⋅ = = ⋅ = � �� � 45 48,< ���� ��'��3 5 4 3.<

�� �������

���E� ���%�� ������������������'�����%�'�E ��� ��� �� ���� ���������� �%�'��� �%�����������������������E ��� ���� � ������������

>����%���� �� �� �������� ����������� ������ ����� �'���������������������������(��� ������ � ����� �� ��� � �����%����� ���������� ����@�������%���� ������ �������$�E������ ��� ����� ����� � �� �� �� ����� � �� ��������

�����������%������ ��������������������� �������%� ���� �����

����� �$������������� 3 52 422 2, 3 , 4 ,

3ax a b a �������������������%���������� �

�� �������

�������������������%���������� ���� (

5°�� �� ���������������������$��� ���� �����������������5�3°�� �� ���������������������$�������E� ��'�����������=��� ���������������0°��>� �� �������������� ��� �� �������� � ����������������������� ���� ��������$������

�� �� ��������� ( ) 4 2 2118, 3 1, 0 , 2b a a a c a a b

a≠ ≠�� � � �������������%��������� 7

��� 18 �������������%���������� �������'�� 218 2 3= ⋅ �����$�������E� ��'�����������=��� ������

� ����������������

$-� �� ��� ���������1

a����$��� ���� ����������� ������ ��5�

��� 4 2 22a a b �������������%���������� ��� '���� �� �������������� ��� �� �������� � ������������������ ���� ��������$������3������ ������������������������������ ��� �� ������������������������

�� ���������%���������� ��������(���-� 48; ������$-�1

;2�������-�

32 .x

x

��� 48 16 3 4 3;= ⋅ = ���������1 2 1

2;2 4 2

= = ���������2 2

3 3 3 32 2 2 2 2 3 .

x x xx x x x x

x x x x x

⋅= = = =⋅

����� ����������� ������%���������%���������� �� �%��� �� �����E� ��������� ����� ����������"��

��� ���������� �$�������-������ ������������� (�� 23 32 2 2 3 .x x x

x x= ⋅ =

.�(�%&(��

.�(�%&(�

Page 285: 093 Matematika 01 - 02

��

���

� �� �(��-� 16 121;⋅ �����$-� ( )3 8 27 64;⋅ − ⋅

�-� 2 285 84 ;− ��������-� 519

7 .32

� �� �(��-� 2 4 ;x y⋅ �����$-� 8 124 81 ;x y

�-�15

510

32.

x

y

� �=���������E� ����������������(

��-� 108; ��$-� 3 5 454 ;x y ���-�3 5

4

12.

a b

c

� *��������E� �������������(

�-� 3 2; ���$-� 42 3

;3 2

����-� 1;a

a�����-� 3

2 .2

xxy

y

� ����� ���������������������������(�-�2 3 3 2;dhe ��$-� 335 5 7 2;dhe

�-� 3 33 2 2 3.dhe

� ��������%���������� ��������

�-� 15 ;

3�$-� 3 54; ��-� 2 53 ;a b ��-� 12

;abab

-� 1 12 ;

2 7+ �%-� 3 24 8 ;a a− ��-�

2

1.

a b

b a a−

������������� �������������

��������

,�������� ��������������� 7 �������� %��� �����������(

2 22 ; ; 0,25 ?a b xy y− ���$��� ����� �7

� � ������������� �������

�-� 2 32

24 ;a

a⋅ ����$-� 8; ��������-�

1;

2��������-� 250a

�"#$%&#��

���F������� ��� E����� �� �%������7

���%���������� �

�-� 2 2 2 3 33 32 2

2 2 14 4 4 2 4 2 ;

aa a a a a a

a a a a

⋅⋅ = = ⋅ ⋅ = ⋅⋅

$-� 2 2; �������-�1

2;2

�������-�5 2.a

�� � �� �%����� ,nA B⋅ ������������������� � �������� ���������'� ���������

���������������� ���$�'��������������������'� �����%�������� ������

����� �$������ %��� �� �� �������� (� 3 4 2 345 ; 7 ; 3 2a a b a b⋅ ⋅ ⋅ �����������������(�A��6��� �0�

� %��� �� �� �������� ������ ��������%���������� ����� ������ �����������������������1

4 , 2, 5 .2

a dhe a

Page 286: 093 Matematika 01 - 02

��

� ,������������������������������� (���� 2

3������

1;

24����� 33

a ba

�����1

?abab

��� 33 33 .a b a ab ab

a a= ⋅ = ����� ( )21 1

.ab ab abab ab

= = ��&����������������������������� �

� >� ��� ����������������������� (���� 3 16 ���� 3 54; ����1 3

2 4+ ����

8 1;

9 3− ����

x

y���� .

y

x

��������

����� �� �����������$���� ��������E����������� �� ��$� �� ����� .�

��� ����%���������� ��������

� �

1 12 1 .

2 2ab ab ab− +

>� ������ � �1

2 3 3 3 1 3.2

− +

# �E$������� �� �����������$���� �� ��

1 1 12 3 3 3 1 3 2 3 1 3 3.

2 2 2⎛ ⎞− + = − + ⋅ =⎜ ⎟⎝ ⎠

��������%�����'� ����������� ���������������

(� �!����#$��� ��� �E$��� ��� �������������������� �

� �� �������(������5 5 7 20 2 45;+ − ��� 3 3 33 5 8 27 .a a a+ −

���������

������������ � �� ���������������� ��� �������� ��@�����������������%���������%���������� � ������������ ������������������������ �

�-� ( )5 5 7 20 2 45 5 5 7 4 5 2 9 5 5 5 7 2 5 2 3 5 5 14 6 5 13 5;+ − = + ⋅ − ⋅ = + ⋅ − ⋅ = + − =

$-� 3 33 33 3 3 3 3 3 3 33 5 8 27 3 5 2 3 3 5 2 3 10 .a a a a a a a a a a+ − = + − = + ⋅ − =

� >� ������ � �(���-� 3 33 4;a b

a b− $-� ( )3 3 3 3125 8 27 64 .x x x x− − −

���������

$-� ( ) ( )3 3 3 3 3 3 3 3 3 3125 8 27 64 5 2 3 4 5 2 3 4 4 .x x x x x x x x x x− − − = − − + = − − + ⋅ =

�� �������

&��� �������������������%���������� �'������ ��� ����������� %��� �� � ������� �'� � ���������������

����� �$������������(� 3 3 3 32 2 2 2 214 2 , 2 , 2 2 , 2

2a b ab ab b ab ab ��������������� �

� %��� �� �� �������� �����������������( 2 14 , , 2 , 1.

2a b b

Page 287: 093 Matematika 01 - 02

��

���

� >� ��� ������������� � ��������������� ���� 2 8;dhe ���� 18, 50 98;dhe ����� 3 2 22 2, ;

x ydhe x y

y x− −

� �� �(��-�8 2 6 2 8 18;− + − �$-�1

25 0,2 2 1 3 20;4

+ −

�-� 6 6 94 4 2 9 3 8;− − ���-� 112 27 48;

2− + �� -� 1 1

32 0,5 2 45 .3 8

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

������ � ������� � ����� � � ���������� � � ���������

� � ������� ������ �������$���������� ��� (���� 64 25 64 25;⋅ = ⋅ �����100 100

.2525

=

��������������� �� �$��������������������������� �������� ��������������������������������������+

( )1 1 1

n n nn n na b a b ab ab⋅ = ⋅ = = ��������

1 1

1 .n n n

nn

n

a a a a

b bbb

⎛ ⎞= = =⎜ ⎟⎝ ⎠

�������������������������������� ������ � (

������� ���� ���� �%�����

� �� �(���-� 2 3;⋅ $-� 5 52 2 ;x x⋅ �-� 3 2 25 5: .x y x y

��� � �E����� �����-� ( )3 2 2 3 2 25 5 55: : .x y x y x y x y xy= =

����E ����������������� ��� ��� ������������� ��� �� �������������K����������������������������� ���������� � � ������������������������ ��� �� ������������

(� ��

� �� ��

�-� 12 3;⋅ ���$-� 3 2 32 25 3 15 ;a a⋅ ����-� 48 : 3; ����-�3

4 3 427 : ;3

aa ��� -� ( )( )3 2 3 2 .− +

� �� �(��-�2 36 3 25 2 9 ;a a a− + �����������$-�4

3 34 4 2 33 32 22 3 2 .

b aa a b a ab a b

a b− − +

� �� �(��-� 4 4 4 416 81 625 ;a a a a+ + − �����$-�( ) ( )3 39 8 27 16 .x y y x− − −

����F%�������≥ �Q����≥ �Q�� ��∈ � �� �(

� n n na b a b⋅ = ⋅ ����� .n

nn

a a

bb=

Page 288: 093 Matematika 01 - 02

$-� ( ) ( ) ( )4 3 63 4 12 12 122 2 2 2 2 2x x x x x x⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =

( ) ( )4 3 6 13 1212 122 2 2 2 .x x x x+ += = =

�-� ( ) 4 633 2 3 3 2 2 6

9 62 : 2a b

a b a b ab a b aa b

⋅ = =

2 2 2 6 66 65 6

1 12 2 2 2 .

aa a a a a a

a aa= = = =

� �� �(�����1

3 5 15;3

����2 3 2

9 : 2 ;45 2 3

⋅ ������ 32 12 : 4 ;a x x

a����� 3 62 34 : 2 .a a

� � �� ����-� ( )23 2 ; ���$-� ( )3

2 .a b

"�� �E����� ��

�-� ( )2 3 23 3 3 32 2 2 2 2 2 ;= ⋅ = ⋅ = �������$-� ( ) ( ) ( ) ( )31 33 32 2 2 2 6 3 32 2 .a b a b a b a b a b a b b

⎛ ⎞= = = = =⎜ ⎟

⎝ ⎠

����������������� ������ ���������� ���������������������������������+��( )1 1

.

m mm m n mn n n na a a a a⋅⎛ ⎞

= = = =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

�� �������

B������%�'�E �������'��%�'�E ��� ������� ������������������ ��� �� �����������������������������������+

( ) , 0; , .m

n mn a a a m n= > ∈�

� �� �(��-�( )25 ; ��������$-� ( )2

3 23 ;x ���������-�3

.a

abb

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

� �� �(���-� 3 ;a b⋅ ������$-� 3 42 2 2 ;x x x⋅ ⋅ �������-� 3 2: ;a a �������-� 33 2 3 3 22 : .a b a b ab a b

B������������� ��� �� ���������������������������������������������� ���������� �� ������������������������ ���������E$�������� ���������������E���� ��� ������ �������� �� ��� �� ������������

���������

�� �(��-� 3 729 ; ��������$-� 4 3 .ab

��������� $-� ( ) ( ) ( )1

1 1 122 84 43 3 3 3 34 8 .ab ab ab ab ab

⎛ ⎞= = = =⎜ ⎟

⎝ ⎠

����������������� ������ ���������� ���������������������������������+�� ( )1

1 1 1

.n

n m m m nn m m na a a a a⋅⋅⎛ ⎞= = = =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

� ������� ������ �������$���������� ��� ��� 3 664 64 64.=

Page 289: 093 Matematika 01 - 02

�� �������

B�����E��������������������������� �������������� �� ���������� ��� �� �� ����������� ������������+

, 0; , .m n m na a a m n⋅= > ∈�

�� �� �(��-� 3 8 ; ������$-� 3 43 5 2 ;x y �������-� 3 2 .x x

���������

�-� 3 3 63 4 43 2 2 2 2 .x x x x x x= ⋅ = =

�� �� �(���-� 2 2 2 ; ���$-� 3 2 3 ;a a⋅ ����-� 3 3 2 .a a a⋅

���

� �-� 2 7 3 7;⋅ ���$-� 12 3;⋅ ����-� 3 5 15.⋅ ⋅

��� ���� ����� �� ������� �<5)5Q-(

� �-� 5 ;a a⋅ ���$-� 3 27 ;x x⋅

�-� 33 5 42 25 3 5 .a a⋅

� �-� 3 ;a a⋅ ��$-� 2 33 42 3 ;x x y y⋅ ⋅

�-� 3 42 2 2 .x x x⋅ ⋅

� �-� 48 : 48; ���$-� 33 54 : 2; ���-� 2 3 29 : 2 .

75 2 3

� �-� 3 4 : 2; ������$-� 35 8 : 2; �����-� 62 1 3

1 : 3 .3 3 8

� ��� 5 : ;a a �������� 3 32 23 : ;a a �������3

4 3 427 : .3

aa

� �-� 3 2: ;a a ��$-� 3 62 34 : 2 ;a a �����-� 52 23 : .a a a

�-� 12 6 27 2 3 2 12 3 3;

3⎛ ⎞+ − + ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

$-� ( )5 50 10 18 25 98 : 5 2.− +

�-� ( )72 38 ;a b ����$-�4

42 3

;3 2

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

�����-� ( )23 23 ;x

%-�( )22 3 .+

�-� ( )63 2 3 ;a b ���� -

53

;a b

abb a

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

�� �-� 3 3 ; ������$-� 3 4 3 ;a �������-� 4 ;a a

�-� 3 : ;x xy y xy ����� -� 3 3 2 .a a a⋅

������� �� ������ ����� � ����� �� E���������%���������������������������������� �����%���������� �

Page 290: 093 Matematika 01 - 02

��

��� ��� � � � ������ ������������

��������

( ), 0 .m m k

kn n k

⋅= ≠⋅

( )2 , 0 .a a a a a⋅ = = >

( ), 0 .n na a a= >

� ��� ���� ���� ���������

10

2��

��������5 2 ��� ���������� ������������� �� �

# �������� �������������%�����(

10 :1,41421 7,07108...;= 5 1,41421 7,07105.⋅ =

# �������� ���������� ��������%����� E������������%����E�������������7

"�� ��� �� 105 2,

2= ⋅ ���������������� ��������� ����������������� ������%�������������E���� ���

� ������������������ ����

�� �������

>����%����������� � � ������������� ���� ���� ��� ���������� � ����������� � ���������������� � �������� �'� �� ��������"������� ���������������

� B�������E� � ���� ���� ��� ���(����-� 4;

3�����$-�

3

12;

4�����-�

2 2

.a b

a b

−+

# �E�� ������ ��� ����� ��(

���2

4 4 3 4 3 4 3 4 3;

33 3 3 3 3 3

⋅= ⋅ = = =⋅

$-������'�� 3 23 4 2 ,= ��������E$������$��������� n na a= ��� �����E�� ������ �� 3 2.

�-�( )

( )( )( ) ( )

2 22 2 2 2

2 .a b a b a b a b a ba b a b a b

a b a ba ba b a b a b a b

− ⋅ + − + +− − += ⋅ = = = − +++ + + +

��������� ��(��3 3 3

33 33 32 3

12 12 2 12 2 12 26 2.

24 22 2

⋅ ⋅= ⋅ = = =

�����E$�����(�� ( )2a b a b a b+ ⋅ + = + ����� ( )( )2 2 .a b a b a b− = − +

� B�������E� � ���� ���� ��� ����� ( ), ,n m

An m

B> ����$������������������ � ���������<�����

�������E������ ���� � �'��%����� ������ ����E���� �

���������

Page 291: 093 Matematika 01 - 02

��

.n n n nn m n m n m n m

n n n n nm m n m m n m n

A A B A B A B A B

BB B B B B

− − − −

− + −= ⋅ = = =

��� ���:������� ��������������������� �� ����%��������� �� ��������E$����� ������� ���������E�����

� B�������E� ���� ���� ��� ���(���-� 5;

3 2���$-�

3

5;

49����-�

2 2

3

4;

2

a b

a b

−−

����-�3

4.

16

�-�2

5 5 2 5 2 5 2;

63 2 3 2 2 3 2= ⋅ = =

$-�3 3

3 33 2

5 5 7 5 7;

749 77= ⋅ = �-�

3 2 33

33 3 34 2

4 4 4 2 4 44.

2 216 2 22 2= = ⋅ = =

� B�������E� ���� ���� ��� ���(

��-� 7;

3 2+�������$-� 6

.5 3−

�����'��( )( ) ( )223 2 3 2 3 2 ,+ − = − �� ��(

�-�( )

( )( )

2

7 3 2 7 3 27 7 3 23 2;

73 2 3 2 3 2 9 2

− −−= ⋅ = = = −+ + − −

$-�( )

( ) ( )( ) ( )2 2

6 5 3 6 5 36 6 5 33 5 3 .

25 3 5 3 5 3 5 3

+ ++= ⋅ = = = +− − + −

� B�������E� ���� ���� ��� ���(�����-� 5 3;

5 3

−+

�������$-� 2 3 2.

4 2 3 3

++

���������

$-�>� ���������E�� ������ �4 2 3 3− ������'��( )( ) ( ) ( )2 24 2 3 3 4 2 3 3 4 2 3 3 .+ − = −

( ) ( ) ( ) ( )( )

2 2 2 22 2

5 6 22 3 2 2 3 2 4 2 3 3 8 6 6 9 4 4 3 6 5 6 18 86 2.

32 274 2 3 3 4 2 3 3 4 2 3 3 4 2 3 3 4 2 3 3

−+ + − − + − − += ⋅ = = = = −−+ + − − −

� B�������E� ���� ���� ��� ���

�-� 3;

1 2+�������$-� 11 3

;3 5 2 3+

������-� ;a

a a−��������-�

2 24.

2

a b

a b

−+

��������

( )( ) 2 2;a b a b a b− + = −

( )( ) ( )22 ;a b a b a b− + = −

( )( ) ( ) ( )2 2;a b a b a b− + = −

���������

���������

�-�( )( )

( ) ( )2

2

2

32 2 2 23

3 3 3

24 42 2 .

2 2 2

a ba b a ba b a b

a b a b a b

−− −= ⋅ = + −− − −

���������

Page 292: 093 Matematika 01 - 02

��

� �-�3

3;

18������$-�

4

6;

8��������-�

4 3;

a

a��������-�

5 3.

b

b

� �-� 1;

1

b

b

−−

������$-�2 2

;a b

a b

−+

��������-�3

.a b

a b

−−

� �-� 2;

2 2−���$-� 12

;3 3+

����-� 5;

2 3 2+�����-� 2 3

;2 3

−+

����� -� 3 2 2 3;

3 2 3

+−

���%-� ;x y y x

x y

−−

���-�2

.3 5−

���

� �-� 20;

3 5������$-� 4

;8�������-� 33

;11

��������-�3

4.

2

B�������E� ���� ���� ��� ����<5�)�A-(

� �-� 2;

b

b������$-�

25;

a

a������-�

3 2

2;

4

x

x�������-�

4 3

2.

x

x

�������� ��� ����

�������*

,�������� � ����� $��� �������������� �������� ���������� 7

��'� ��������� 2, 3, 5 ?

������ � ������ $��� �������� ������������%����� ����� �+��$� ����� E$������� ����E������ �������� �%�'�E����� ��� �� �������������������� ����� �'� ��� ����� ����� $��� ������� �

� � ,����� ��� � � ����� ��� � ������� ����� $��� 7

�-� 1;

2�����$-� 3; ������-� 2 4 ;x y− �������-� 2 ;a+

-� 3;

x y

xy

− ��������%-� 4;

5���������-�

12 35 .a bc−

-$�������*

�� � ��� ����������������� ����� �

���� ������5���� � ����������� ��������� � ��$-���-��%-�� ��-�

�� � ��������� �� ���������� �'� ����� ����������$ ����

�� � ����������� ��������������$����������� �������'�������� ���������� ���� ������� � ���������������� ��� ����������������

� ������������ ������������ ����� ������������(

�-� 2 2;x x− − ��������$-� 2 31 ;x x+ − ��������-� ( )131 1 ?x x+ − +

��� 2x ���������������� ������������� ���������������� ( ), ,x∈ −∞ +∞ ��������� 2x − ��������������

� 2 0, 2,x x− ≥ ≥ ������������� [ )2, .x∈ +∞ ����������E������������� ( ) [ ) [ ), 2, 2, ;x∈ −∞ +∞ +∞ = +∞

��� 1x + ��������������� 1,x ≥ − �������� ( )1

331 1x x+ = + ���������������� ������������� ������������

E������������ [ )1, .x∈ − +∞

������� ���������%����� � �� ���������������E������ ���%�'�E������ ��� �� ����������������'� ���� ������ ���������

Page 293: 093 Matematika 01 - 02

��

� ,������ ���� �� �������������� � ������� � ����������� (

��� ;x x− ��������������� 33 ;x x− − ����������������2

.3

x

x

−+

��<���� ��� ���� ���������=������ ���E �-�

������ ������� ������� �������� ������ ����������� ������������������������ �������������������������

� ,�������� � ������������� (��-� 3 81; ������$-� 5 32; �������-�7 4; �������-� 3 63 ?x y

$-� 5 32 2;= �����-� 3 6 23 .x y xy= ����������� � ������������� �

� ,����������� ��������� �3����������������� ������������ � 2x y+ ������$� ����� � �������� �

���� 1, 4x y= = ���� ��� 2x y+ ������������ �������'��� 1 2 4 9 3.+ ⋅ = =

&������� � ���������� ��������������%�� �������� � �������� �� ������ �� ���>����%���� �� ��� � � ���� �����$�E������� ������ ������ ����� ��� ��������

� >� ������ � �+�����-� 2 31 54 ;x x x

x x+ + �������$-� 233 ;a a a a a⋅ ⋅

�-� 1 1;

2 3 2 3+

+ −����������-� 5 1 5 1

;5 1 5 1

− +++ −

���������������� -� .a b

a b a b+

+ −

�-� ( )2 3 2 2 21 5 1 5 1 54 2 2 7 ;

xx x x x x x x x x x x x x x

x x x x x x x

⋅+ + = + + ⋅ = + ⋅ + ⋅ = +⋅

$-� 33 6 6 662 3 4 4 5 3 12 233 .a a a a a a a a a a a a a a a⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = =

��� � ,������ ���� �� �������������� ���������� � �(

�-� 2;x + ������$-� 22 1;x x+ − + �������-� 3 5 ;x x− + − �������-� 1;

2

x

x

−+

������� -�2

.3

x

x

+−

� ,�������� � ����� � ��������������� (�-� ;x x− ������$-� 5 5;x− �������-� 22 ;x x− �������-� 3 233 ;x x− ⋅ ������ -� 3 38 .x x−

� ��� 5 52 3 ;x x⋅ ����� 3 32 2 ;a b ab⋅ ����� 8 : 16; ���� 3 32 4

36 : 2 ;3 3

����� 3 : ;a b ab ����� ( )332 4 ;− ��"�� 3 2 6 .x x x⋅

>� ������ � ��� ��������������������� ����� ��������� � ���������� �

� �-� 60 3 135 10 15;− + �$-� 2 75 3 48 5 12 2 3.+ − −

>� ������ � �(

�-� 3 2 6;

10 7 3 7 4 10− +

− − +

� �-� ;a b a b

a b a b

− +−+ −

$-�5 3 2 2

: .1 11 1

x x x x

x xx x

⎛ ⎞− −⎜ ⎟⎜ ⎟− −− +⎝ ⎠

$-� 1 1.

7 4 3 7 4 3+

+ −

���������

Page 294: 093 Matematika 01 - 02

��

�������������������� �

� ,�������� � ����������������

�-� 49; $-� 4 49;− �-� 0; �-� 3 16 ?−

� ������������ ��������������������� ��� ( )1

31 1 :x x+ − −

�-�[ )1, ;− +∞ $-�[ )1, ;+∞ �-�( )1, ;− +∞ �-�( ),1 ?−∞

� "� ��� ���� � ��1

2a a⎛ ⎞

⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

������(���-��+������$-� 1;a− ������-� 2 ;a− +�������-� 2.a

� ,������ ���� ���� � �(���-� ( )33 4 ;− ������$-� ( )44 3 .−

� "� ��� ���� � ���2

38 ������(���-�2.+�����$-�3+�������-�.+���������-�52�

� ������ ��� �� �����$���$������������(

�-� 3 2 ��� �� 4 2; ������$-� 3 2a b ��� � 4 36 ;x y

� ��������%��������� ��������(����-� 3 5 68 ;a b �����$-�5

44

2.

x ya

a

��� � �������E����(����-� 3 4 ;a a ������$-� 3 .a a a

�� ���� ���� ���� � �(

�-� 8 32 200;− + �������$-� 2 2 33 6 ;xy x y⋅ �������-� 2 34 :a b ab

�� ��� ��� ����� �(

�-� ( )3 2 2 8 2;+ ⋅ ��������$-� ( )3 4 4 3 2 25 5 5 .x y x y x y− ⋅

�� B�������E� ���� ���� ��� ���(����-�26

;4 3− �����$-�

2 2

.x y

x y

−−

�� ,�������� � ��������������� (

�-� ;x x− �����$-� 22 ;x x− �������-� 5;x x− �������-� 3 38 ?x x−

Page 295: 093 Matematika 01 - 02

��

��������������

������� ���������� �� ���������������������������������������������

������� ������ ���������������������������

������� ��� �������������������������������

�� ��������������������� ��������� �%������� �! ���������������������������

������� ����� E���� ����� E�����������

� ��� ����� ��������� ������������������ ����������������������

� ��� ����� ��������� �'����������������

K�������� ��������� ���� ������� �� ��� ����'�����������������������������������

��

��

��

�����

���

���

��������

�����

�����

�����

�����

�����

�����

& ������������� � �� ����� ������������ ��

���������� ���������������� �����������

'�������(��������(��)

Page 296: 093 Matematika 01 - 02

��

���� ���������� ���������������� ��

�� ����������������� �������������%������ ���������� �� ����F����������������������� �� ��������������'���������� ���������� ������������������������������������� � ������F������������ �+��������� ���E��$������

������ ������� �� �� ����������F����������������%�E ���������� ��E ��������� ��������� ��� ������� �������� �������� ����������������������� ��� ������ � �� ����� � �%���������� ��� ���&

���� �������9� ����������������������������� ����E������������������9�1�Q�

���� ������� ��������������������� ������� ���������� ���������������������������������� ��������������������������$���$�����

�������� �����������������������$������ ������ ��������������������� �'���������� ������ ����������� ���������� �$���$������ ������� ��������� ������ ��� ����$���� �

������������ �$����������������������

" ���� �%����������������������� �������������� ������������������������������������������ �� ���������������# ����� ����J������������� �< �-���������� �������'��������������� ��������� ��� ������� ���������� �$������5��� ���������'����������� ��� � ,���� ��� �5����

��������

������� � ���������� �$���������������� �����7��� � ��� �%������

2 .S a=

��������������� ���������� �$������.���� ��� ���� (�������������7��� ������������������ ��������� �$���������� �������� ����������������������� ���7

��������������� ��� ������������ �$�������4�P����� ���4�2���7

8?������������������������������������ �������������� ���7

� � �� �� ��������� � ��������� ������� ���4�D���

������ � ���������������������������� ���� �$���������� ��(

2 2 2 ,d a a= + ��� �������� 2 22 ,d a= ��� ����2

2 .2

da = �&�� �E�� �����������%������9�����

%�����(

���� 8cmd = �� ����2

2832; 32cm .

2S S= = =

������� ���������� �������� �������2

.2

dS =

Page 297: 093 Matematika 01 - 02

��

� �� ����������� ������������$� ��������������� ��� ��� E �A����

������� ��� ������������ ���� ���� ���� ����������������⋅ ��������������

.S a b= ⋅

��� ���������<���������� ������-�� (

� "��� ��� ������������������������������

��� �� �� ������������������' ��'������� ���������

! "

��

���

� �

'������E�����������������������'������������EG@.����������������������������� ������������ ������� ����� �� ���� ���� ���� ����� �������������)������� �$������������������ ����� �$��������

>������� ����������������������������� �������� ��������<���������� �����������-���������������������$���$�����9�

����� ����6����� ��� (

2 22 ,KLMNS S a b= + + ������������ ( )2 2 2 2 2 2 22 , 2 2 ,a b S a b a ab b S a b+ = + + + + = + + ��� ����� .S a b= ⋅

� �� ����������� ��� ������������ �$��������4�P����� �������� ���4�5A����

� �� ����������� ��� ������������ �������� �5Q����� ������������ ��������� � �2.°�

������E����� ������ �� ��������� � �

������������������� ��������� � ����� �����$����$���������������������� ������������<�� 7-

�����E������ OMCΔ ����������� ������ �$�����

, , 5cm2 2 2

a b dOM MC OC= = = = ���� 032 .MOC =� �

��

2

a2

b2

d

%��

���� OMCΔ �� ���(� 0sin32 ,10

CM b

OC= = �< ��� ������ ����������-� 0sin 32 0,53.≈ &�����

0,53,10

b ≈ ������������ 5,3b ≈ ��������(� 0cos3210

OM a

OC= = �� � 0cos32 0,85,≈ ���������� 0,85,

10

a ≈

������������ 8,5a ≈ � ������������ 5,3 8,5,S a b= ⋅ ≈ ⋅ �� � 245cm .P ≈

� �� ����������� ��� ��������������� �������$�����������0Q������������������������ ��$�������� ������� �������.Q°��<K������� �������%����E����������-

Page 298: 093 Matematika 01 - 02

��� � �� ����������� ���������� (

�-�$������.�A���+ $-�������� �D�.����� ,������������� ��� ������������ �$�������

� ��(�� 4cm, 3cm;a b= = �������

3cm, 8cm;

4a b= =

� �� ��� �� ��� E��� �� � � E���� ��������� ��� ����������(�-���� �������$������E��� ��A� ������������ �����$ � �� �����������7$-���� �������$������E��� ��3� ������������ ����E���� ��2� ��7

� �� ��������E��� ���������� ������������ $������E��� �(�3��0��.��A��G� ��7

� �� �� ��������� � �� ����������� � � �� ����������� ��%�������������α 4�AQ°5AL����� $���������$��������������������52�A���

� ,����$������� ��� �������������� (�-�@����������������.�(�P���������9�4�5..��+$-�������$������������� � ������ ���� �� $�������� ����� �9�4�6A���

� �� ����������� ��� �������������������� (�-�J���������4�3�.�� �������� ���4�3�A+$-�&������ ���4�53�� ������� ��������� �� �$�������α 4�0Q°�

�� �� ��������� � �� �����������$<=?<��E�����-�� �$������ 14,3cmAB = �� ����������� �� ������� � ����$���� $�������$<�δ 4�53Q°.2L�

�δ

α α��

���� ������������� ��

��������

8����������$���7

�����E��������������'�������$����$<=?�

��'� ��� �� �� ��?5�� �?4� ���$����$<=?7

� �

��

� �

� � "��� ��� (

������� 9� � ��$����� ����� � $���$������ �������� �$�E������������� ������������������� ���������

.S a h= ⋅

������E����� ������ �� ��������� � ������E��������������'�������$����$<=?������������������?�� �=����������������������?5�� �=B����$�E���$<#

��

AED BFCΔ ≅ Δ �<�� 7-�����������������������������$���$�����.AED BFCS S=

��������������5B=?�������� ���������<�� 7-���������.EFCDS a h= ⋅

�����'�� ,ABCD AED EBCD BFC EBCDS S S S S ah= + = + = ���� �� .S a h= ⋅

��� 0,3m, 0, 2m;a b= = ���1 6

4 m, dm.3 13

a b= =

Page 299: 093 Matematika 01 - 02

� �������$�E���5�������������������$��������������������������� �<��������E���� -(

>� ��� � � ��������������� ��� �(.ABCD EFCDS S a h= = ⋅ �

� �

��

B E≡

� �

& ���� ����%����������������������������� ���$��������� �� � �����$� ��%���������$���������� ������������������ ����

�� �������

� �� ��������������������$������ �$��������4�D�������4�5Q����� ������������4�.����

����9����⋅ ���� �9����⋅ �

��� ��(���⋅ �

���⋅ �

���� �L�⋅ �

�45Q�⋅ .����������

��4�.Q�(�D�4�A����

� J������� ���������� ��������������4�53Q����� ���4�AQ������������������������ ����� �����α 4�.Q°���� ����������� ������ ��������

�� �� 1AD DΔ ���� �(�� 1sin ; sin .aa

hDDh b

bADα α= = = ⋅

�� �� 2DD CΔ ���� �( 2sin ; sin .bb

hDDh a

aDCα α= = = ⋅

�� �� a bS a h b h= ⋅ = ⋅ ���� �(� sin sin .S a b b aα α= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

�� �������

�������&� 0120 50 sin 40 ,S = ⋅ ⋅ �� ������ 2 23856,72 cm 38,5672 dm .S ≈ ≈

�������9� ���$������ �$��������� ���� ������������������� ����� ��

���� � ��� �%������

aS a h= ⋅ ������������������������������ .bS b h= ⋅

�������9� ������ ������������������ � �� � �� �%������

sin .S a b α= ⋅ ⋅

��������

8?�������$�7

������������������ ��������� �� ���$��7

��������� E��� ��� �������$� ��������������$7

� � ,�������������9� ��� ��$���� $��������� �����������

α�

� � ��

� �

� �

� � �

��α

α

����������� �� ����������������� ���� ��������������<� ��

�-����������'������E�������

Page 300: 093 Matematika 01 - 02

���

"�� �� �%������9����⋅ ��������� ��� � �������$���������'��� ��������'�� ������ �� �������������������'�������������$�����

>� ��� ���$��$<=?�<�����E����-�� ��� ����������??�=�=������� ������������$���$����������������%����� ��������� ���$��������9����⋅ ��

���� 1AD DΔ �� ���sin ,h

aα = ��� ����������4���⋅ ����α����������9����⋅ ��⋅ ���α ���⋅����α#

�� �������

�������9� ���$����� � ��� �%������

S a h= ⋅ ���������������������������� 2 sin .S a α=

� �� ������������ ���$������� �$��������4�53������������������� ����������9�4�5Q3�����

����9����⋅ ����� ��� �5Q3�4�5Q�⋅ ��������������4�5Q3�(�53�4�D�A����

� �� ����������� ���$������� �$��������4�5A�������������� E��� ��� �������$� ���������������$�������4�0����

>� ��� (

�������9� ���$���� �������� ����� ��

���� � ��� �%������

1 2 .2

d dS

⋅=

���������� �� ���$���$<=?��������� '����� ���E�������������������� � �� �������� �� �����

"�� �� ��������������@.CA�������� ���������$������� ��������������� 1MN d= � � 2 ,NR d= ��������� 1 2.MNPQS d d= ⋅

��� ����������� ��� �������� ����%������������E����7

������� ���$���$<=?��������� ������ ������� ��������� ��� �����������@.CA�������������+

1 2 .2ABCD

d dS

⋅=

&������ �� �����������������$���$����������� ��� � �����������

���������������������� ���������(

2

.2 2

d d dS

⋅= =

Page 301: 093 Matematika 01 - 02

���

�� ����������� ���$���� �$��������4�50����� �������� ����4�5Q����

"�� �E����� ��

�����$���$<=?� <�����E����-�� �� ��������$<'� ���������� ������������

2 22 1 2 .

2 2

d da

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ �������&��

2 22 2 21 2 113 5 144, 144 12,

2 2 2

d d da

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − = − = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠����#��������

� �

� � � �

�� ,������������������ �� �� ��� ����� ���$���� ���������9�4�36Q������� �������� ���� ������4�5D����

����

� �� ����������� ���$�����$������� ���������� ��+�50�A�����56�.����� ������������� ���� ������.6°5QL�

� �� ����������� ������ ��������� �$������D���� �5A��������� ������������� ���� � ���������2����

� ,����������������� �� ��� �����1������$���� ��������9�4�2������ �������� ����4�.����

� �� ������������ ����������� ���$���� $��������4�53����� ������������ ��$������ α 4�25°3QL�

� �� ����������� ������ ��������� ����������40����� 2 3 cmbh = �� ������������ �

��� �2Q°�� �� ����������� ���$���� �$������52�����

�� E ������ �������$� ����������2����

� ��� ���� ����� ������� ������ $������ ������4�DA���� ��������� �$���$������ �������� ������ ������������� ��$������ ������α 4�20°3.L<��E�����-���� ����������� ������ ��������

����� �������� �$������0Q����� ���������������� �5Q���������$� ������������ ��)��������������'��������$������ ��������� ����$������� ����������� ����������,����$������ ��� �������������� ��������� ����������20�����

� �

α

1 24 cm.d = ��B�� �������� 21 2 24 10120 cm .

2 2

d dS

⋅ ⋅= = =

Page 302: 093 Matematika 01 - 02

���

���� ������������� ��

��������

8?������� �������7

8%������� ������ �������� ����������$������ � �F%�������������� � 7

��������������� ��� ���������������� �� ��������� ������ �������7

&��������� � �� �� ����� �������� ��� ���� ��������������������

� � J������� ������ ��������$<=?�������4�53���� ���4�P��������

������������ ����� ������0Q°���� ����������� �� ���������$<?�

� �

��

���

������� ������ ��������$<=?������ 0 21sin 12 9 sin 30 12 9 54cm .

2S a b α= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =

>� ���������$<?�� �=?<������������������<�� 7-��������������������������$���$�������� �������� ��� � 21

27cm .2ABD ABCDS S= =

"�� �� ������������� ������ ����������������������������� ��� ���������$<?����������1

.2ABD aS a h= ⋅

������%�������������������� ����� �����' �����������������$���������

�� �������

�������9� ��� ���������� �$������������+�� ��������� ��������� �������������� � ���

%������+1

2 aS a h= ⋅ �����1

2 bP b h= ⋅ �����1

.2 cS c h= ⋅

� �� �� �%�����%������������� ������ ��������������� ���������

� �� ����������� ��� ���������$���������� �$�E��3Q����� �����32����

� ,����%������������� ������ ��������������� ������������� ��������������$�������������� ������������ ����� �

�������9� ��� ������������������� � �� � �� ��%����E����� �%������ � ������� ���� �������� ������������������ ����$������� ������������ ����� �

"�� �E����� ��

Page 303: 093 Matematika 01 - 02

���

� ���

��

α

��

�β

���� ABCΔ ������E������ ����1

.2 cS c h= ⋅ ������� �������������� ���

1AC CΔ �� ��(�sin ,ch

bα = �� �������� ch ;������α&������� 1CC BΔ �#����

1

2 cS c h= ⋅ �%������ 1sin

2S c b α= ⋅ ⋅ �����

1sin .

2P c a β= ⋅ ⋅ ����������

sin ,ch

aβ = ��� �������� .sin β⋅⋅= ahc �&�� �E�� ��������� �%�����

�� �������

�������9� ��� ������������������� � ��� �%������

1sin

2S a b γ= ⋅ ⋅ ��� ��

1sin

2S a c β= ⋅ ⋅ ���

1sin .

2S b c α= ⋅ ⋅

(� ������B���*"��������������� "�!��������)*�� ABCΔ ������)���/!��������������*""��γ 1�PQ°�

@������������!�2����������������������� �!�!���������/����������#

� �� ����������� � ABCΔ ���� ��� �� 8cm, 12cmb c= = �� 0= 36 45 .α ′

����������������� ��$������ ���� �+����������������%������� 1sin

2S b c α= ⋅ ⋅ �� ��(

( )0 0 0 218 12 sin 36 45 48 sin 36 45 48 sin36,75 48 0,598 28,72cm .

2S ′ ′= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ + = ⋅ ≈ ⋅ ≈

����� ���������$���$�������� ������������$� ���������2Q°������������� ��������$������ ��������� ��

��

� ��

��

�> ��� �������������� ����<�����E����-���� � �������� ��������

������������� 01sin 60 ,

2S a a= ⋅ ⋅ ⋅ �������� ��� �� 21

3.4

S a= ⋅

����� ����������������

����

�2 2 2

b aa h b h a bS

⋅ ⋅ ⋅= = = ����� .2

cc hS

⋅=

�� �������

������� ��� ���������$���$�������� �$���������������� 213.

4S a=

������� ��� ��������������� ����� ���� � ���� ���������� 1.

2S a b= ⋅

��������� ��%������1

sin .2

S a b γ= ⋅ ⋅

Page 304: 093 Matematika 01 - 02

���

� ,�������������� ���� ��E���������� ��������������� ������� � �� ��������������+���4�53����� ��4�P����

� ��� � �� ��� ��������������� �������������A�(�53������ ��������� ����������.DQ�������� ��� ��� ���� ��� ���������

M����� �

��������� ���� ��� = ,5 12

a bk= ������������ 5a k= �� � 12 .b k= �# �E�� ����������%������� 1

2S a b= ⋅

� ���5 12

480 ,2

k k⋅= ��� ����� 4,k = ���� 2 220 cm, 48 cm, 52 cm.a b c a b= = = + =

���

� �������E��� ���������� ��� ������������ (�-�J�E�� �����E��� ���� � �������� ��������� �����E���� �������� ��+$-�J�E�� �����E���� ����� �������� ��������� �����E���� ��� ��� ��7

� �� ����������� � ABCΔ ����� ��� �(�-����A�����D�� �/��.A +$-����P����+��6�� ����0Q 5Ah+�-���4�A�2����+��6�A�� ��$��.. 5Ah+�-����D�������2D �� �/��63 .Qh

� �� ����������� ��� ��������������� ����� ��� � ���� ���� ���� ��E��+����� (�-���4�53�����5Q+����$-���4�3�.����+��3�2+�-���4�5A�� ������������.AR�

� ������'���������E��� ���������� ��� ���)��������� �$�E�� �����E��� ��AQ]����������������� �����E���� ��0Q]7

� �� ����������� ��� ����������$��������ABCΔ �� �$�E�����������������������$�E��

� ������������������������ ��� �(�-����5A����� ���4�.D 5Ah+$-����D����� �/��AA +�-����5D��� �/��3P .Qh�

� ���� ����$������ ���� ABCΔ ������5A�������� ������������������� �������������������.���� �2�����,������������� ��� ���������

� � ��� �������� ���������$��������������2.�������� ������������������� �$�E�������55������� ����������� ��� ���������

������� ���� �����$���� ������ ���������������� '��� �� ���E�� ����� � �� � $������� �� ����������"��� �� � � �������� ������ )�����������%�������������� ������ ������� �������� ��� ���������

&��$����������� ��������������5Q����� �5.�������� ����������$����$����������������������.A°���� ����������� ��� ���������

�� ,������������� ��� ��������������� ������� ��������� ����� ��� ����� ��E������� �� �� � ����������03����� �5D����

���������9�4���������+���� ��������9�4�53Q����

Page 305: 093 Matematika 01 - 02

���

���� � � ����� ���������������� ���������������� ��

��������

,����� � � �� ������ ����������� ������ �����������'������� � ���������� ����7

� � �� �� ��������� � �� ��������$������� �����������������4�5A����

���' �E����� ��

I������� � ���������� ����������������%��������� ��� ��������� ������������������������������ �� ���������$<=�

: ����� ��� 1CC AB⊥ ��� 1 .AC x= �@�� ��� 1 ,C B c x= − ������� �

1AC CΔ �� ��� 2 2 2 ,ch b x= − ���� 2 2 213 .ch x= −

� ���

��

�� c x−

������������ �� 1CC BΔ �� ��(� ( )22 2 ,ch a c x= − − �������

( )22 215 14 .ch x= − −

�� ������ �$������ �%�����(

( )22 2 213 15 14x x− = − − �� � ( )2 2169 225 196 28x x x− = − − + �� �28 140,x = ��������� 5,x = ��������

2 2 213 5 ,ch = − � � 12cm.ch = �&������ 2114 12 84cm .

2S = ⋅ ⋅ =

������������%������ �E�������� ������������������������ �� �� �E$������%������� �! �����<O�������������������)���/��)��/��$"�)������������)*""��6��#�#�&� ���������(

( )( )( ),S s s a s b s c= − − − ���#���� .2

a b cs

+ +=

�����=� ��� �� �������%���� ��%����E ���� ��� �E����� ������ ������5������ ���������������$�����

�� ����������� ��� ������������������ �E$������� �%����������! �����

� �� ����������� ������ ��������� �$��������4�32������4�3D���� ������������ ����4�0Q���

��

� �

M����� ��&���������$=� � ���������� ��������$<=?� ��� ���� ��������������������<��E�����-�������'������������'������� �$�������� ABCΔ ��������� ��� ��������������

26 28 3042,

2 2

a b cs

+ + + += = = ���������������%����������! ������ ��(

( )( )( ) ( )( )( )42 42 26 42 28 42 30 42 16 14 12,ABCS s s a s b s c= − − − = − − − = ⋅ ⋅ ⋅ � ���

2 2 2 2 27 4 2 2 3 336,ABCS = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = �������������� ������ ���������������� 22 336 672cm .S = ⋅ =

��4�50���� �+�4�5.���

Page 306: 093 Matematika 01 - 02

���

�� �������

������� ��� ������������� �����������$������� �������� � ���

%������� �! ���������� ( )( )( ), .2

a b cS s s a s b s c s

+ += − − − =

� ,������������������������������ ���������$������� ���������������AQ�����AD����� �63����

��������

����� �� ��' ����� ��� �������$� �������������� ������78%����������%������$������ ��� ���������� �� E��� ��� �������$� ���������� ���� '���������������� � 7����� �� ��' ����� ��� ����������������������� ������7������� ��' ����� ��� ����������������������� ��������������� ���7

� � : � ��� � ��� �� �� E��� � �� ���� ��$� ����������� ��� �������

ABCΔ � �$�����+������� �+��,������������� �� ��������������� ���������� ��������+�� ���

� �

�� �

����

��� � �E����� ��

"�� (��� E������������������� �F���������� ���� �������� �$<'��<'=�� �$'=�

�������������������������� ��� ���������� ��(� ,ABC ABO BCO CAOS S S S= + +

,2 2 2

c r a r b rS

⋅ ⋅ ⋅= + + �� � ,2

a b cS r r s

+ += ⋅ = ⋅ ��� .2

a b cs

+ +=

� �� ���� E �� ��� �������$� ��������������� ��������������� ����� ���� � �D����� �5A����

������������� ��(� 28 1560cm ;

2 2

a bS

⋅ ⋅= = = 2 2 2 28 15 289 17cm;c a b= + = + = =

8 15 1720cm.

2 2

a b cs

+ + + += = = ��� ��S r s= ⋅ ���� ���60

3cm.20

Pr

s= = =

�� �������

��� ���������� E � ��� �������$� ��������������� �������� �$������������ �+����� ��

,S r s= ⋅ ��� ������ ,S

rs

= ����� .2

a b cs

+ += ���� � ABCΔ ������$���$����������� ����3

.6

ar =

Page 307: 093 Matematika 01 - 02

���

� �� ���� E ���� ��� �������$� ����������� ��� E ��C� ��� ������������������������ ���������$<=� �$��������4�53�������4�5A����� �+�4�56����

� ,���(��-��� E ��������� �������$� ����������� �$-��� E ��C������ �������������������� ��� �������� �$������06�����5A����� �..����

�-�K������ ��� �������� ��������������37 15 44

48cm,2

s+ += = ���������������%����������! ����

( )( )( ) 248 48 37 48 15 48 44 4 11 3 2 264cm .S = − − − = ⋅ ⋅ ⋅ = ������� E ����������� �������$� ����������� ��

264, 5,5 cm.

48r r= =

�� �������

��� �C�������� E��� ��� ������������������������ ���������� �$������������ �+����� ��

,4

a b cS

R

⋅ ⋅= ������������ .4

a b cR

P

⋅ ⋅= ������ � ABCΔ ������$���$����������� ����3

.3

aR =

$-�B� E���C� ��� ��������������������� � ��� �%������� .4

a b cR

P

⋅ ⋅= � ������������� ��

37 15 44 185 123 cm.

4 264 8 8R

⋅ ⋅= = =⋅

M����� �

���

� �� ����������� ��� ���������� �$������53�0A��06�

� &�� � ���������%������� �! ������=��� %������� ���� ��������� � �� ��������$���$�������

� K� � ���������� ��� ���������$���$��������������������� ��C�⋅ ���4��352�

� ,������������������������������ ���������� $������5D��3Q��0.�

� ,������������� ��� ������������$����������������� �����36����� �3P����������������� ������������$������� ��� ��������32����

� �� �� ��������� � � �� E �� � �� ���� ��$� ���������� � � ��� ������������ ���� ��������������� ����� ���� � �.D���� ��� ��E��60����

� J�E�� � ���� �� �������� $��������� ������4�3.���������������� �������4�3Q���,������ E ���� ��� �������$� ����������� �� E ��C� ��� �������������������

Page 308: 093 Matematika 01 - 02

��

���� ��������� ����������� � ��

��������

8?��������� E�7

���F�������� �$���$���������� �� �� � ����� E��7

�� �����%�� �� ���� E����� �� �������� �����������$���$����7

8?��������� E���7

� � �� ����������� ����� E���� �$�E���� ���� �����������

�'������E�����������������������'��������� E�$<=?�� ��� ��������$.?����������@������ �����������<=�

�����'� ,MB MC BMN CMD= =� � �<���� �������'�E����-� � NBM DCM=� � �<���� ������ ���� -��������� �����J�����%�������� � .BNM CDMΔ ≅ Δ ��� ��������� ���

.BN CD b= =>� ��������$.?�� ����� E��$<=?�����������������$���$�����<�� 7-����������

( )1,

2ABCD ANDS S a b h m h= = + ⋅ = ⋅ ���������������� �� �� � ����� E���� � ( )1.

2m a b= +

� �� ����������� ����� E���� �$�E��53���� �D����� ���������6���

# �E$������� �%������� ( )1

2S a b h= + ⋅ �� ��� ( ) 21

12 8 7 70 cm .2

S = + ⋅ =

�� �������

������� ����� E���� �$�E����� ���� ������������� � ��� �%������

( ).

2

a b hS

+ ⋅=

� �� ����������� ����� E���$���������� �$�E��5.����� �2����� �����A����

M����� ��>��� E��$��������������E������� ���� '� �� �� �� ����� 1DD BC� �������������������� �����

� � �

� �

� �

��

� �

��

� ��� �������$���������� �$�E��1 .AD a b= − ���� 2AD DΔ %�����

2 222h AD AD= − ����

2 22 2 2 14 6

5 9,2 2

a bh c

− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − = − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠��� �������� 3 cm,h = ���

( ) ( ) 214 6 330 cm .

2 2

a b hS

+ ⋅ + ⋅= = =

Page 309: 093 Matematika 01 - 02

��

� �� ������������ �� ��� ����� ����� E��������� ���������( )AD AB⊥ �� �$�E�� 25,3 cma = ���

15,5 cmb = � ������������ ��������� �$�E����� ��50Q°.QL�

M����� ������ ��'������ ������������������ � �������������0 0 0180 130 40 49 20 .β ′ ′= − = ��� �� 1CC BΔ �� ��(

� �

� ��

β1

tg ,h h

a bC Bβ = =

− ��� ( ) 0tg 9,8 tg 49 20 9,8 1,164 11,4 cm.h a b β ′= − ⋅ = ⋅ = ⋅ ≈

( ) ( ) 225,3 15,5 11,4232,56 cm .

2 2

a b hS

+ ⋅ + ⋅= ≈ ≈ ��� �� 1cos

BC a b

cBCβ −= = ���� ��� � 0

9,8,

cos49 20c =

� � 15,04cm,c ≈ �� '� d h= ��� ��� 25,3 15,5 15,04 11,4 67,24 cm.P a b c d= + + + ≈ + + + =

� J�E��� ��������� E�������30���� �56Q�������������������������3�����,�������������� ����� E���

��������

>��� E�����������������������������������$���������� � �8?������ �����7

,������������������������� E���������������� �������������������� ���������������� � � �� � ������

� � �� ����������� ��������������$<=?����� ����������

@,� 4� 56� ���� ������� ���� ��<� � �?� ����������������5Q����� �5.��������������� ��

��

� �

� �

M����� ��&���������$=� ���������������������������� �������� �$������������$������� ������������� ���������������������

������������� 1 2

1 1,

2 2S AC h AC h= ⋅ + ⋅ �� � ( ) ( ) 2

1 2

1 117 10 14 204cm .

2 2S AC h h= ⋅ + = ⋅ ⋅ + =

� �� ����������� ���������������$<=?����� �$<=?����� 20cm, 7cm,AB BC= =13cm, 4cmCD AD= = �� � 15cm.AC =

�����������������$<=?�������� ������ ��

�������� �������������� ���� ����������� ��������

���4�5Q����� ����4�50����

M����� ����� ����������� �� �������������������������� '����� ���E������ � �� �������� ���%�� ���� ����������@.1A�� �$������ 1MN d=��� 2 ,MQ d= ������$��������������F�%� ������ �������� ������� ����� �����F�%��� ������������$���$����������������������� ���������������� ������ ������� ��������� ��� �����������@.1A#

� �

� �

� ��

� �

� �

&�������� 21 2 10 1365cm .

2 2

d dS

⋅ ⋅= = =

Page 310: 093 Matematika 01 - 02

���

�� �������

������� ���������������� �������� �� �������������� ����� ������ � ��� �%������

%����������� 1 2 .2

d dS

⋅=

J������� ������ �����������5Q����� �56���������������������� ���������������$��������� ����������52������ ����������� �� �������

>��� E������������������������$�������%'��� ����$���$�����'� ���������#

&���������<?�<��E�����-��������� ���� � �������� ��$=�� ������$�������� ���������� �������

� �

� �

��

��� DOCΔ �� ��(�2

2 2 2 2 136,

2DO DC OC a AC

⎛ ⎞= − = − =⎜ ⎟⎝ ⎠�������� ��� � 6cm.DO =

���� OBCΔ �� ��(2

2 2 2 2 2 2117 8 225,

2OB BC OC b AC

⎛ ⎞= − = − = − =⎜ ⎟⎝ ⎠��������� 15cm.OB =

��������� 6 15 21cm,DB DO OB= + = + = �� � 21 116 21 168cm .

2 2S AC DB= ⋅ = ⋅ ⋅ =

�� ����������� �� �������� �E$������� �%����������! �����

�� �� ����������� �� �������� �$������D����� �5A����� ������������ ����� �5AQ°�

���

� �� ����������� ����� E���� ���������� �� ��4�.Q����� �����������4�6���

� ������� ��������� E�������02Q������������$�E��� ����� 33�A� ���� �50�A� ������ �����������

� �� ������������ �������� �� �� �������� $��������4�3Q���� ���4�35���� ����������� ����� �PQ°�

���� ������ �$������5Q�� �2������$� ����)�������� ���� ��� E �0���� ����������� ������ ������

� ������� ����� E���$��������������53Q���������������������3����������� �����������������$������� ����� � � ���� �� ���� 53�� ,���� ��� �����1�� �������������� ������$������ ����� � �������� E���

� �� ������������ �� ��� ����� ����� E�������� ����� �$�E����4�3Q���� ���4�P�A������� �������������������������������$�E�������+�4�56�A��

� J�E��� � ���� ���� E�� ����� ��4� 5P��� � ��4�3�������� �������� ����������4�56���� ���4�5Q������� ����������� ����� E���

� �� ����������� ����� E���$<=?�� �$�E��3.���� �5Q������ �� ������� � 15cm.BC =

Page 311: 093 Matematika 01 - 02

���

�� ��� �������� ���������������� ����������

��������

������������ �����������������$��������������$���$������ �������������� ����������$���$����'� ���������������� �������8?������ ��� ������������������7

� ��� ��������)��������������� ������� �$�����������

�� ��� ��� �����1���(�-��������������������� ������� �$��������4�A���+$-�������������������� ������� �$��������4�.����

.P n a= ⋅

� � ��������� ��� ��� E �C�$� ����)������� ����������� ��� ������

I�������E����� ����������� ������������%��'������� ���� ����������E����� ������� ' ���� � ��� ����������� �� � ������ � 63�<02Q�(�A�4�63�-�

���

�� �� ��������������E��������������� �����7

���������������� ��� �������� �'$<��'<=�����'5$�<������� �����J�J-���� ��� �� ���������$<=?5����$���������$���$������ ����� ����$���$�������������������������� ������

� ����������� �� �� ��� E �0���$� ������������������������ ��� ������

'������ ������������E������� ��)���������� �������� ������������E� ��� �������������

"�� �� ������)����������� ������ �� ��������' �����0360

.n

α =

���������� �������� ��������� (

���� ���������������������� ����������������������� ���� ���

���� ������������������������ ��������������$� ������� ���� ��

>���������� ����������� ����� �� �' ����� ���� �'� ��' ����� ������������������� ������

� �����E��������������'��������������������� ������$<=?5G�� ' �����'������ �������� �� �� �� �� ����� � ��������

� �

��������� ������������������(

�-������������������� ����� $-��)������������ �����7������������������� ��������$<'7

��� ��������� ����� ��� ���������$<'��<='���P

Page 312: 093 Matematika 01 - 02

���

���E����-+����'� ��� ���������� ���� ������������������������� ������:�������� h r OS= = � � ABOΔ �'� �� ��������� AOBα = � ����� ��� � ��������������������� ������

� >� ��� ���������9� ��)�������������� ���������������� � �� �%������

1 1,

2 2S n a h S P h= ⋅ ⋅ = ⋅ ��������� 21

ctg ,4 2

S naα=

����������$��������)���� ����1������� ��� ����� ������������' ��������)���������

� ��2

a

�2

α

r h=

����)��������� ��� ������$<=G��$����������� E���C� ��� �������������������� ��� E����� �� �������$� ��������������� � � �� ������ ���������$���������<����� �$������$<'���

%����E�%������� ��)��������� ����$��������� ��������������������<�� �������������� ������-���������<��������E������-(

21 1 1 1; ctg , ctg

2 2 2 2 2 4 2ABO

aS n S n ah na h Ph h S na

α αΔ= ⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅ = = = ⋅

� J������ ������ �����������������4�A������ ��� ��� �����1�� ����������9� �� �����������

02 0 21 180 1

8 5, 40cm; 8 5 ctg 8 25 ctg 22,5 50 2,41 120,5cm .4 8 4

S n a P S= ⋅ = ⋅ = = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ≈ ⋅ ≈

� >� ��� �� ��� ����1�� ���������9� ��)�������������� ���������� �����������-�C+ $-�������������� � ��� �%�����(

<C�� ���������� E �� ��� �������������������� ����$� �������������������0180

2 n

α = �

������E���������� ��������������� �������<������� ������7-���� �� (

�-� 212 sin , sin ;

2 2P n R S n R

α α= =

$-� 22 tg , tg .2 2

P nr S nrα α= =

2 sin , cos 2 tg ;2 2 2

a R r R dhe a rα α α= = =

�-� 12 sin , sin ;

2 2P na nR S n R R

α α= = = ⋅

��������$-� 212 tg , tg .

2 2 2P na n r S Pr nr

α α= = ⋅ = =

Page 313: 093 Matematika 01 - 02

���

��������� ������� �����$� ������ ���%�����������1�� �9�� ������� ����� ���������%�� ������� �������������� �������������E����� ������ ���������� � �

� �� ��� ��� �����1�� ����������9������ ���������������� ������� ��� E ��� ������������������C�4�A���

018010 2 sin 10 10 0,31 31cm;

10P na R= = ⋅ ≈ ⋅ ⋅ ≈ �����

0 21 1 131 cos18 155 0,95 73,62cm .

2 2 2S Pr R= = ⋅ ⋅ ≈ ⋅ ⋅ ≈

�� ��� ��� �����1�� ����������9����������������������� ����������������������������������� ��� ����� ��� E �2����

"�� �� �$� ��%��������������������������������������$� ������������ ���� ��� E � 6cm;r =040 ,α = �� � 020 .

2

α =

"�E����� ������������� �������� ���� �� �����$���������� ��(

02 6 tg 20 12 0,36 4,32cm;a = ⋅ ⋅ ≈ ⋅ = ������������������������������ 9 4,32 38,88cm;P n a= ⋅ ≈ ⋅ =

21 138,88 6 116,64cm .

2 2S P r= ⋅ ⋅ ≈ ⋅ ⋅ =

>� ��� ����������� ��� ������ (�-�$������+$-��� E �� ��� ���������������������������� ������������������������������ ��� ������� ��������������������$������ �

M����� ��: ����� ������������)������������� �������������� �$������������������ ����� �$���������<��E�����-�@�� �������� ��� ����� ���� �1�� �1��� ��(��-�1������ �1���������������

���

� �� ����������� �������������������� ������� $������53�

� �� ��� ��� ������ ���������� ����$��)� ���������������� �������������������$� �)�������������� ����� ��� E �2���� � ����� ����� ��� E �D���������$� ���������

� ������������������������������� �������� �� ��������� � �������� � ��� ���� � ���������������� �

� ,������������� ��������������������� ������ �$��������

� �� ��� ��� ������ ���������� ��� ������������� ������'������(�-�J� ��������������� ����� ��� E �3Q���+$-�H��������������� ��'������� ��� E �3Q����

,’’’ a

a

na

na

P

P == �"��"��������� .’

a

P

a

P =

$-������'$<i�'$�<��� ��� ,’

’,

R

na

R

na

R

a

R

a == ������� .’

R

P

R

P =�

R′

A′ B′

C ′�

a′

Page 314: 093 Matematika 01 - 02

���

� &�� � ��� ����������� ��� �������� ��� ��������������������%�������������������������� ������� �$������53����� ��������������������������� �� ��� � ��� � ��� ��� %���� ���� ������������ ���� ���� �6�.D���� �0�3A�7

B� �� ���� '����� ����� ��������������������������� ������� �� ��� ����2Q���� ���������3.Q������,������ E �� �'������� ���$����� ��������� ��������� ���� �%���

����������������������� �������������$� ������ ��@���� ������� � ��� ���������������� �� ��� ����� ��� ��� ����� ��� ���� ������ �������� ����� ���������A�D.���7

�� ����������� ������ ���������������� ������������������������ ��'������� ��� E �3Q�

�� >� ���������������9�� �9�����F%���������)�������� ������ ������� �$��������� ������� �(9���9������������

�� ��� �������� �����������

��������

8L������� ���� �F?�����'����7 �������� ��� ����1�� ���������9� �'������� �� E ���4�A��7

K�������� � � �� �������� �� �����'��$��� �� �� ������ ��������������������������� �

2 , 10 cm;P r Pπ π= =2 2, 25 cm .S r Sπ π= =

�� ���������� ��� ������������������� ������ � �� ��������������������������� �� ����� ������������������������������ 7

�� ����������������$��� ����������� ��� ���+��������� ����������������$��� ��� �����$������' ������ �+� �� ��� E ���������� �

8L������ ��� ������'�����7

� ������ ��� ��� ����� ��������� �'�������� ����������������������%����������

�� ������ ���� ���� ��%����E����������E����� ����� ����� ���������� ��@�������� � � �������������������%�E������������������E ��������� � %�������������������� ���������������������'���������� ��������� ��� ���� ����

� #�����������������E�������������������� �� E �������������� ������ ��� ����� �����

$� ��������������������������� ������

'���� ���� ��E���� � � � ��� � � � ����� E�������� �����������$������ �����������)������������ �(��-����������� �$������ ��$-��� ������-�� ��� ������ ��-����������

��

� �

Page 315: 093 Matematika 01 - 02

���

"�� �� (�������� ����������$������ ����������������� �$� ����������������������������� ����� � (

����� ��������� �� ������$������E���� �+

��� �������� ������ �����%������� E ���+

� ��� ��������� ������ �����%�����9� ��� ��������'�����;+

������������� ������ �����%�����9������������'�����;+

�����

�����

�����

� H�����������������(�������� ��� E �������� ������� �� ��� ����1������ ��� ����� ��� E ��������� ������� �� ��� ����1��

"��� ��� ��������������’

d

P

d

P = �

��� � ����� �������

�O′

��

�r ′

A′ B′a′

&����$� �������������)��������� ��� ������� $�������������������� ����������� �$�������������� ������ ���+������E��������������'������ ������������� ������������� �������

AOB A O B′ ′ ′Δ Δ <�� 7-+����������� ��� � ,a a

r r

′=

′��������� ,

na na

r r

′=

′�� �� nP

r=

r

Pn ���1��� �1�

������ ��� ����� ��)�������� ������ �������������������$� ��������������������

�������'�������� ������%��������� ��(�1� →�1�� �1�

�→1�

r

P

r

Pn → �� �’

r

P

r

Pn →

�F����������������� ��������<� �����8-(�r

Pn ������ �$���$������ �’

r

Pn ��X������������� �������� ���

��������� � � �9�� ���� ���� ���%���� ;���������$���$������������������r

P������ �$���$������ �

r

P�

�� �������

B��������� ��� ������ ����� ������������$���$�������������������������

<→�� = �(�9� ��������� �����%���� ���;-��B�� ������+

&����������r

P4

r

P���

’2

2 r

P

r

P = ����� ��������’

d

P

d

P =

Page 316: 093 Matematika 01 - 02

���

������d

P����������������������������������������������� ��� �� ������� � �π�<��-��&�������������π

��������� ��%�"�� ���� �������� ��� �����1�� ����� �������������������+

d

P=π �

@������������������������ ���� ���� �%� �������������� ����� ����������(22 1

3,14; 3 ; 3,1416.7 7

=

����$�������d

P=π ���%���������%���������� � ������� ������ �� ��� ���������� ���(

1� π�� 1�� π�#

��� ������π�E�� ���� ��� ��� ���� ������������%�������� ��� � �1������� ����� ��� �����%�����<��� ���������π�������%����E����E���������� ���� �����%����0�5.-�

� K� � ��� E ������� (��-�1�4�3Aπ���+ $-�1�≈�.0�P2���

� >� ��� ��������������9����'������� ��� E ����� �(

��� � ��'�������

�����E��������������'�����'������ ��� E ���� ������������$� ����������)������������ ������� (���� �������� ��� ����1��� ���������9��

��

9����π#

X��������(�'������ ��� E ����� ��� ����1�� ���������9��>���� � �(9����π#

����9��� ��� nnn PhS ⋅=2

1������������ ���������%���� ��(���→����1�→1���������� rPSn 2

1→ �

���������������%�E������9�→�9���������� rPS2

1= �������'��1�� �π �� ��+� ππ 222

1rrrS =⋅= �

� >� ��� ����������9��� �9

�� ����'��' � ��������������������������������� ��� E � ������� ��

��� ��

��

�� ��������9��(�9

����

���(��

��

� � ��� ����������'����������2.��,������������� �'������

� ����������� ����%���������-����� ��������������������������� ��������� �'�����������������9���

�������� ���������������9�����$� ���������������������)�������� ������ �����������������%������ ��

� ������� �'������������������E�����

Page 317: 093 Matematika 01 - 02

���

���

� ������������������������2� ���� ����������

32�.����K� � ��� E �� �������<��� ����������

� �7

22≈π -�� �� ���� E �� ��� ����� ��� �������������������

��$���$������ ������� �� ��� ���� ���������� � ��� E �.�� �2�

� ����������������-�� ��� �����$-��������� '���������� ��� E��� �'������E��� ��.� ��7

� B��������� ��� ���� ���������� ������A(6���������� E��� ��� ��������������������5A����� ���� E �� ��� ��������������

� ����������������� ��� ������ ����������������'����� ����� ��� $���$�������� �� �� E �� '������

� #������� ����� ����5�.���$���DQ��������� �� ��$����� ��� ���� ���� ������������,����� �������� �����E� �����������'������ ������ ���� ����������

� &� ����������� � $������ D� � � 2� ����$� �������������'������� ����������� %������������� ���� ����� ��� �����������

&������ �� �������$�������5D�� �3.���� ���������� �'���������$� ���������������$�

,����� ��� �����1�� ����������9����'���������$� ����������������� E���$���������� $�E��5D����� �D����

������ ��������������������� �������������������

��������

���������������� ���� �����������' ����78L����������� ��7

���� � ����������� ��� ���7

K�������� � ���� �� ��� ����� 63���� �� ������������� ��������� ���������' ��������������������5°7

K������������ ����������������' � ��� �� �� ���������� ������'������������ ������������� ����������� �������������������� ���������' ������� ��02Q°�

����������������"�� ��������� ����������' ���������������������5°������ �02Q)����� ��� ����������

�1 ������ ����������������� .180360

211

ππ rose

r == ��

��� ���������� ������������� ��������' �����α����� ������������ �����"������ ���α� ������ ���� �� �"

��������������+

� ����� ����� ��� E ���4�5A����� ������������ ��������� ���������' ��������������������(�-�α 4�02°+ $-�α 4�.0°53L

�-� .42,93;3180

3615

180cmcm

r ≈==⋅== ππππα�� �$-� ��������� ��α 4�.0°53L����������������

������(� .3,116,36,3180

2,4315;2,43,2,0

60

12’12

0

cmcmpra ≈==⋅=°==⎟⎠⎞⎜

⎝⎛= πππα ��

.180

rπ α=�

α�

Page 318: 093 Matematika 01 - 02

��

��������

8?������ �����'����7

# �������%�������� � ���������� �'�����7

,������ ��� �'������������ ����'����������' ���������������������5°7

� �� ��� �'������ ���%�E����� ���������' ������������'� ������� � �� �

�����E������� ��� ���� �������������������'��������� ����'������ ������' �����α�

α�

����� ���� ��� �����������������02Q�� ������� ����� ������ �����' ������� ��5°�� �������9�� ������ ��������������'���������� �02Q)���� ��� �������������'������������������+

��� �������' ��������α������������ ���� �����'��������α � �������������������� �� �9��������������+

� ������� �� ������'������ ��� E ���4�53���� ������' �����α �4��.Q°�����(2 2

21240 16 ; 16 cm .

360 360

rS S

π πα π π= ⋅ = ⋅ = =

� ���'����� ��� E ���4�5Q��������������� �����'��������������������������������"�4�53�A2������ ���������� �� ������'�����

9

� �

������� ���������� ��������� ����� � ��� �%������

180

παr=� ��� ���� �� �������������� �� ������'����

� ��(� ;218021802360

2 �rrrrrrS =⋅=

⋅⋅== παπαπ

�������� 210 12,5662,8cm .

2S

⋅= =

� �� ��� ��� ���� ���%�E����� �������������������� �������������� '� ��������� � �� �

�����E������� ��� ���� �������������������'���������� �� ���'���������� ��� ��� E ����� �� ����'������������������������ �������$<�� �� �������' �����α�

2

1 .360

rS

π=

2

1 .360

rS S

π αα= ⋅ =

������ .2

�⋅= rS

9

α�

�������9� �� �� �����'�����$=<�<�����E����-��������������������������9������ ������'�����$'<��

���������9������� ���������$���������Δ '$<��������������

1 2.S S S= −

Page 319: 093 Matematika 01 - 02

��

� �� ����������� �� �� �����'������ ������' �����α �4��63°�����'������� ��� E ����4��.��

221 16 72 16 16 3,14sin 0,95 7,6 10,05 7,6 2,45;

360 2 360 2 5

rS r

πα πα ⋅ ⋅= − ≈ − ⋅ ≈ − ≈ − ≈ ���22, 45m .S =

�� ��� ����%���� ���%�E����� ������������� ����� �'� �����"� ���� �������"� � �� ��

9

123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890

������� ����E����� �� ������ �$���$������ ����������� ��������� ������� �'��' � �� ��� E �C�� ������ �������

( )2 2 2 2 .S R r R rπ π π= − = −

� �� ����������� ��� �������E$��E�������� �� ������� ��������������������� ���� �������� �������������������5Q�������������������� ������������3���

B� E��� ��� �������������������C�4�AQ�����������������������������4�.D����������

( ) ( )2 2 250 48 2500 2304 3,14 615,4; 615,4 mm .S Sπ= − ≈ − ⋅ ≈ ≈

���

� �� ������������ ��������� ���� �����' �����α 4�AQ°.2L������ E�����4�3�A��

� �� �(�-�B� E ���� ��� �������� ��������' ������� �DQ°����������� ��������� ���� ���������53�A2���<����π ≈�0�5.-+$-��������' �����α����� ���4�5A����� "�4�5D�D.����

� �� ������������ ��������� ���� ���������� ������'�����'������������� ��$���������� ���������������� ���������$� �������������� ����� ��� E ���4�2���

� � ��� ����������������� ������A.Q�����:�����<�����-� ������������������������� ��������3QQ�����,�����������'�� �%������������� ��� ������ ��� ������������

� ������� ��� � ������������� ����������� �� ��� ����� ���������.AQ���� ��� E �53QQ���,���� ������� '�� �� �������� �� ������ �� ��������

� �� ����������� �� �� �����'������ �����' �����α 4�2Q°����'����� ��� E ���4�53����

�� ����������� � � �� �����'��������� ������������� ��������������4�2����������������' �������������������α 4�53Q°�

�� ����������� ����E���'���� ���������� %���� ������� � ������������ � � ��$� �������������������� �$��������4�5���

� ������� �� ������'����������0π��������������������������������0Q°���� ����������� '������

Page 320: 093 Matematika 01 - 02

���

���� ������5�)�.������� �� ���������������� � �%���������� ��������,�����������������

���������������������������� ������������ �$������2���� �������� �5Q�������(�-�02+ $-�.D+ �-�2Q����+ �-�5QQ�����

B�$��� �$������D���� �������� ��.AR���������������$���$������ (

��-�2.����+ $-�03����+ �-� 232 3 cm ; �-� 232 2 cm .

������� ��� ���������$���������� �$�E����4�3�� ������������������� ��2QR�����(

�-� 2; $-� 2 2; �-� 3; �-�4 3.

������� ���������� ������������A.���������������������� ����������P���� �53����� ��� ��������������(

�-�35���+ $-�.3���+ �-�36���+ �-�50�A����

�� ���� E �� ��� �������$� ��������������� �������� �$������32�����3D����� �0Q���

�� ����������� ����� E���$���������� �$�E��3.���� �5.����� �� �����50���

�� ����������� ����� E���$��������������E�����

J�E��� ��������� E�������02����� �53����� ������� ���������6���%����������� ��5AQ°�� ��������$�E����� ����������� ����� E���

*

��

048 40′

�� ���� �������%� �� ����� ������� ������������� ��������� ����������� ��������� ����� ��������� �������� � ���������������������������53����

&��'��' �������� E ����$���$��������� ��� E��� ��������E��� ������5������ ��� ��� �������� ����E��� ������3��� ���������� ����� ������� �������������������� 7

��������� E��� �'���������� ������ ����������� ������' ������� ��5D°������������5Q7

&���������� ������ ��� E �.��������� �������'������� ����$�����������.������� ����������� �� ���������%�E����� ������' ����� �����

�������������������� �

��

��

��

Page 321: 093 Matematika 01 - 02

���

����������� ���������� ��

������ ��������

�� �� ��� ��� ��� � �� ��� ��� � ���6$8� ����(&��(�%$8(�� ���7�&��(�����5$� �%$#�#����#$'8�

���9 3; 3 5 7; 6 9; 15 10.≤ + ≠ = > ��� ( )1 1 1: 2 ; ;

2 3 3p q p qτ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∧ > ∧ < − ∧ = ⊥ ∧ ⊥= ⊥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

��� ( ) ( )1 1: 3 3 ; ;

3 3q r q rτ⎛ ⎞⎤ ∨ ≥ − ∨ > − ⎤ ∨ = ∨ =⎜ ⎟⎝ ⎠

� � � ����� ( ) ( )1: 2 3 3 ; .

2p r p rτ⎛ ⎞⎤ ∧⎤ ≤ ∧ ≤ − ⎤ ∧⎤ = ∧ ⊥=⊥⎜ ⎟⎝ ⎠

��� :p q∨� ���%$#�(&��(�%$8(�� ���7�&��(��&����(&��(�%$8(��B ���� ( ) ;p qτ ⎤ ∨ =⊥ ∨ ⊥ = ⊥ ����%$#�(&��(�%$8(�� ���7�&��(

�&����%$#�(&��(�%$8(��B ���τ4⎤�∨ ⎤ �C⊥∨�C�����⎤�∧ ����%$#�(&��(�%$8(�� ���7�&��(�������(&��(�%$8(��B ��

�τ4⎤�∧ ��C�⊥∧⊥C⊥����������?�∨ ⊥ C�⊥�����?�∧ ⊥ C�⊥�����?�∨ ⊥ C�?

� ���1 1

: 5 4 , ;5 4

p q⎛ ⎞ ⎛ ⎞⇒ < ⇒ > ⇒ ⊥= ⊥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

� �����1 1

: 5 3 , ;5 3

p r⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎤ ⇔ ≥ ⇔ < ⊥ ⇔ =⊥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

����

1 1: 3 4 , .

3 4r q

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⇒⎤ < ⇒ ≤ ⇒ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠� � � � ��� ( ) ( )| |: 3 7 3 9 , ;p q⇔ ⇔ ⊥⇔ =⊥�

��� ( ) ( ): 3 7 3 9 , ;p q⎤ ⇔⎤ ⇔ ⇔ ⊥ = ⊥� ���� ( ) ( ): 3 9 3 1 , .q r⎤ ⇒ ⇒ ⊥⇒ ⊥ =�� � ���6$8� ����%$#�(&��(� ��7�&(�$3

�&�(8�8��������%$8� ����(&��(� ��7�&(�$�&�(8�8���� ;⊥ ∧ =⊥� ������ ;∧ ⊥ = ⊥� ����� ;⇔ ⊥ = ⊥� ����� .⊥⇒ ⊥ =�

( ) ( ) ( ), , .p q rτ τ τ= = =⊥� �

��� ;� ���� ;� ���� ;� ���� .⊥� q� p� q p⇒� �

⊥�

⊥⊥

� �

⊥�

⊥�

⊥⊥�

�� �� � q� q p⇒� �

⊥�

⊥⊥

⊥�

⊥�

⊥ � ��������� �⊥ ⇒ ⊥ !��"

� � ��� { }1,2,3,..., 2006 ;A = ����� { }101,102,103,...,111 .B = � ���

#����� #���� ⊥ #����� "

� ��� (156 344) (28 372) 100 1000;+ + + + = ���� (442 358) (192 8) 75 1075;+ + + + = ����� (4 25) 11 100 11 1100.⋅ ⋅ = ⋅ =

���400;����1480;����1000;����8; �����" ������������������������������������������ (125 8) (25 4) 7 700000.⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =

� � ����� $%�� ( )c a b a b m c+ ⇒ + = ⋅ ��$%�� c b �%%���� ,b nc= �%�&��� a b a nc mc+ = + = ⇒

( ) .a mc nc a c m n c a⇒ = − ⇒ = − ⇒

� ���'���#�����#�����#��������������(���%��&)'%�*�� ��+ ������ +)��� '�'���

,��-.�/0����&�& ����'�)((�&���& ��"�" �����!��#������!��" � $���-%1�%���� �.��%���.&�*�����%����'�%%�2.%' &

������� ��+ �&)' %���� %� % ��������� �-��' ���)' �����1���� +)��#�����3������������� %� % ������� � ��+ ������ +)��� '������'���"

� �����#�������#����� 5 22 3 5;⋅ ⋅ ��������� 4���$�$3��������������������+�"�� �����( &�-��&0���1�5.-.((�+����������%�����

���.&�.&�"

����������

Page 322: 093 Matematika 01 - 02

���

� � ���1011 1010;> ���������D������ � �����#����������#������������#�����������#��������������#����2������������"

� �����#�������#�������#�������" ��� 21000 ;����� 211100 ;����� 21100100 ;�����210000111 .

�� ��� 210001111 ; ���� 21000111 ; ���� 21111110 . � ��� 2111100 ; ���� 211100 ; ���� 2110101110 ; ���� 2100010010 .

� E���& �(�7�%(��(�&�#�(�6(�& &��8 %�%$8�� #�� %����(�������� �%���8�'���7������&�$8(! 8 �*'�7%(�*�� �(

��%7(7�(��(�� '���*'�7%(������%(�& &��8 %���#��(��(�%$8��*�

� � ����#������" ���3��#������3�#������3�"� � ���3��#����3��#�����#�����" ��� 5;− ����� 34;− ����� 9.−

���

9;

17����

4;

5����30.� � ���

13;

45�����

31.

20− � �����#���� 2

4 ;3

���� 19 .

4 ���

3;

14���� 2; ����

31 .

10

( ) ( ) ( )

.( ) ( )

a c m ad bc m ad bc m ad m bc m adm cbm am cm a m c m

b d n bd n bd n bd n bdn bdn bn dn b n d n

+ + +⎛ ⎞+ ⋅ = ⋅ = = = + = + = ⋅ + ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

��� ������ �����3� ���3� ���� � �

3 1 1 32 ; ; 6 ; 5 .

25 125 8 4− � ���� �#�������� ��#�������� ���#������3� �"

1, (142857);0,2(4);1,08(3). ���2

;3

����52

2 ;165

����57

4 ;110

����31

2 .90

1 2 3 4 52 2 2 2 22 2 10 ; 4 2 100 ; 8 2 1000 ; 16 2 10000 ; 32 2 100000 ;= = = = = = = = = =

6264 2 1000000 .= = = �6$8����@(�7�%(��$@ ��(�%$8� ��� �%(�& &��8 %�� %����(�%$8��*��7�%(��(�&�#�$���8�

&� ������������5$ �!���7��&�#�$�����@����(�&��(&��(����"$�& � �%$8� ��� �%�(�&��&� ��������! � �% ��8(��(

'���(�(&��(��

��� 0;x = ���� 1;x = ���� 4;x = − ��� 3.x = ±�

���9 24 28 30

,48 48 48 48

< < < �0�0 ����+��3 1 7 5

;16 2 12 8

< < < �����2 7 9 4

;3 12 27 9

− < − < <

���4 8 5

5 5 4 .5 15 6

> >

� ��� 2 4 2 6, , 4 , 2 ;

4 6 10 8− ���� 3 6 3 9

, , 4 , 2 ;6 9 15 12

���4 8 4 12

, , 4 , 2 .8 12 20 16

− �

��� 15;a = ���� 35;b = ���� 4;c = �0�� 8.d =

���8 9 6

, , ;12 12 12

����10 15 16

1 , 2 ,3 ;20 20 20

����4 3 5

3 , 1 , 4 ;6 6 6

− − ����18 25 20

2 , 1 ,3 .30 30 30

− −

Page 323: 093 Matematika 01 - 02

���

����� ;������ ;������⊥; ���� .���� � ���

22;

7π <�� ����

3066;

125< ����

362.

25> � ���6.&�+%)-+.�+%�- &� ��

- &��%�+ �'��-�+�+����������� 2 25 2 1 ;= + ����� 2 210 3 1 ;= + �$�� 2 215 4 1 ,= − �-.&�+%)-+.�+%�- &� ��

#(%����7�(�8��� ����%$!(�������%7(�#�������

� ��� ( ] ( ) ( )5, 4 1,5 5,5 ;− ∪ − = − ����� ( ] [ ) [ ]0,5 6,1 6,5 ;∪ − = − ���� ( ) [ ), 3 1, .−∞ − ∪ − ∞

����� 0,009 1%;< ���� 0,014 1, 4%;≤ ���� 0,053 5,3%;< ���� 0,045 5%.< � ��� 0,4; 0,071 7,1%;δΔ = = =

��� 0,003; 0,15; ����� 0,001; 0,1%.

� ( )222 13,2 .U V= ± ����������#����������������2%����&)-� ��+ �����-+

��� 2110 0,005;

2−⋅ = ������#����� 71

10 .2

−⋅

� �������#������#����� 6 412800; 150 10 ; 139 10 .⋅ ⋅ � � ��� ���������#���������#����������#���������#������������"

� �������#��������" �� 252cm, 139,8cm . �� ( ) ( )26,8 0,4 ; 43,69 1,34 .P S= = �� ��� ( )14,55 0,01 ;

��� 8,33 8,35; 6, 20 6,22.a b< < ≤ ≤ � � �� 1 1 1 1; ,a a a b a b b b a b a b> ⇒ − > − > ⇒ − < − � �%�&�� 1 1,a b a b a b− ≤ − ≤ −

� %-�+ ����+� ( )8,33 6,22 8,35 6, 20; 2,13 0,02 ;a b a b− ≤ − ≤ − − ≈ ����� ( )75,77 0,17 ; ����0��8,33 8,35, 6,20 6,22,a b≤ ≤ ≤ ≤

�%�&��� � � )001,0(343,1;20,6

35,8

22,6

33,8 ≈≤≤b

a

b

a�� ����� � ���% ��� %%�+�+� & ����� %%�+�+� .����� /*.0 (.��+�� &� %���'�� /*.0 (�'�&� ���� ��.

/'����'�&�������% ���/*.0 (.��+"

������ �1

0,53 0,05; 0,53 0,05 0,01 0,005;2

a a− < − ≤ < ⋅ = ���������������"

����"�

1.

4� ��"� ��" ��� 2110111 .� ���

522 .

165

( )13 1 1,31212... 2 2, 3 2,3434...

3− < − < − < < <� �� ��� ( ]2,5 ; �����{ }4 ; �����[ )2,5 .−

123456789012345678123456789012345678

123456789012345678901123456789012345678901

12345678901234561234567890123456

123456789123456789

12345678901234567890

123456789123456789

12345612345612345678901234567890121234567890123456789012

1234567890123456789012

������������������������������������������������������������������

3� �

� �

�3� �

� �

�������������������������������������������������������������������

� �

1234567812345678

1234567812345678

123456712345671234567

1234567812345678

1234512345

12345671234567

1234512345

1234567812345678

��� [ )1,3 ;x ∈ − ���� ( ]0,10 ;x ∈ ��� [ )1, .x ∈ − ∞

�����������������������������������������������������������������������������������������

3� � � ���� �� �

[ )1,2x∈ �������������������������������� ( ]2, 4x ∈ ������������������������������� x ∈∅ �

� � �

Page 324: 093 Matematika 01 - 02

���

����� � ������������ �����������

�� 67(����7�(! �%(&���(�"7 ����� #���7�%(�#�' %�����#��(�����7�(!� �%(&�����7�#��(��� #�*������7�%(�#�' %����

"7�&��(����7�(!� �%(&��� #���7�%(�#$'8�����#��(�#(%�(&� � � )� #��* !�� � $�-�+�� ���+%���&

%(�����&� %���%7(7�(�7�%(�#�8�'�3

%��� �����7�%(�� #��@(�&��� ��%%(� &�� '(%� ��@�� �(� � ��8 �(&� ���� %(� ����7��

� �"�%�'�� �(� &�7� 2 #��� @(� %$#� &��� ��%� %(

����&� %���%7(7�(�%$#�7�%(�#�8�'�%���

A&��(���8$%�$���&���(�"7 ����� #����(&��� ��%�%(�����&� %���%7(7�(�4�(���#��7%(%7(�����&�� ��&� ��(�8�&�&��� ��%�%(�����&� %���%7(7�(�6(���(���&���(���#��7%(�#��(������&�������!"���!"���!"���#

=�%(��(�8$%�$����&���* 7$�&������@(��(���&(�� #���(�&��� ��%�%(�����&� %���%7(7�(����#��(��� #���(�&��� ��%�%(�����&� %��%7(7�(������������!"��!"��!"��!"��!"���F���(���#��7%(�����&��%(&��� '������#��(��� #��%$#�&��� ��%�%(�����&� %

��%7(7�( �����(���(�� '����������� #�����7�� #�*���(���(%(��(���#��7%(�%7(�����&� ����%��7���������&���7�%("���!"���!"��!

��!"���!"��!"���!"��!"��!"��

+ "��

4���+(����7�(!� 7��(����7�(!� ���+(����7�(!�

��

Σ4<���#$��∉� � ) ��&�<

���#! &��%�� #���∉Σ�G���(�7��(��∈Σ�<�(���(����7�(!����������(���%�����&� %�Σ

� ) ��&�<��%(�����&� %�Σ��#! &��7%(������ #���!"��������@(�%$#�7�%(�#�' %�����6(����7�(!(%��"≡"��"#�����$%�

&�$8(�� #��4<���@(�&��� ��%�%(�����&� %�Σ��∈��)�� '�����7�(!�@(�#�'�%�%(�(��� #(%�������� '(%����� #(��(����7�(!(&��&��� ����%(�����&� %�Σ

6"��#$&�� �Σ�∩Σ

�C∅���7����&������&������ ��%�%(�%��%7(����7�(!���4* !���) ��&�<

���#! &��7%(�� #����∈Σ

� ��∈Σ

��@(

&��� ��%�%(����7�(!(%���-��7�(!����� ����(���%�����&���

�(�8��%�� #��@(�%$#� ���#�7%(����7�(!(&��

�Σ������Σ

� 6$#�(&��(���8$%�$����& �@(�����&� �Σ

�(�� ''��#�����$%��&�$8(������(�"7 ��������&��� ��%�%(%7(�����&��@(�(&��(�����'�'�8������&� %�����(%(�4* !���

��

Σ2

Σ1

8�0"��

��

�� �

Σ

Σ1

8�0"��

-��7�(!(%���������* !���78(��&��$�@(�%(�����&� %��* !���78(����7�(!(%���B���(��&�8��� �����&��7�%(�(��� #(%����(���@ 8���7�(!(%��HH����7

�� ���9

�#����7

�#����7

��" � G���(�7�%(����7�(!���������������'�'��) ��&�<

��%(����7�(!(%���& "$� &���&��� ��%

� #���������� ��&��$�@(��!"�∉��6(����7�(!(%���& "$� &���&��� ����� #��� ��&��$�@(��∉��2 #����!"�������

7�%(�7�#�' %���� ����%��7�& ��&�<�������(���#��7%(�����&���(�*��(8�4* !��

��

��

��

Σ

8�0"�� 8�0"�� 8�0"��

� -��7�(!�����������7�%(

��

) ��&�#$&�� � ����7�(!�����������%$#�#�%(�� #(��(��(���&�#(� ��8�� �����7�%(��&������'�'���&���(�# ��(���6(&��7�%(�����'�'� ��(���(�����(�&��� ��%�%(�����&� %���%7(7�(�@(�#�'�%�%(�(��� #(%�� ���#7��%$#�(&��(���8$%�$����& �@(��∉�"4+ "���

5���,�8$%�(& ��������7�(!����(�&��� ��%�%(�����&� %���%7(7�(�������7�(!����(�8�&�&��� ��%�%(�����&� %���%7(7�(�6(���(

��&��& ��&�?��

�7�%(��(��(���#�$�����������&���4�!"�� �4�!"�������4�!"�� ��+ "�

) ��&�<��%(�����&� %��&��� ��%�&(���#$������ #��7�#�' %������!"�!"��-��7�(!���"$"���&��� ����%(�����&� %

-��7�(!�

Page 325: 093 Matematika 01 - 02

���

�������(&��(������!�#(%����7�(�8����!���������������:��!7��������� ��(&��(�* 7����8�&8���������! �

) ��&�?�����7�(!������%7(�� #(�@(

��

2Σ1Σ

+ "�� + "��

%$#�&��� ����%(���(����7�(!��(���#��7%(%7(�����&��G���(�7�%(���(%(����7�(!�������� #����!"��������6(&��� '�������,� #���(���#��7%(����7�(!�@(�%$#�(&��(����'�'��8�����7�(!(%�� ���(���(�7�%(�(��(���#�$�����������&����(�%��,&�8�4* !���6(&� �� '�������,�� #���(���#3��7%(����7�(!�@(�(&��(�����'�'��8�����7�(!(%�� ���(���(�7�%(��(��(���#�$����,�����&���4+ "���

�� )� #��* !�� � 5(%� �&$�'�8�%����(&��(����°3��°C���° �%�(�&��#(%� �#�8�'�8�%������°3��°C��°

� ����������

� ,2 2 2

kα β γ= = = ��%�&�� 2 , 3 , 5 .k k kα β γ= = = �-$#��!(*�%�(&$���%(� 0180α β γ+ + = �� ��78(� 02 3 5 180 ,k k k+ + = �%�

�#$��"C����:�7��� 8 &�� 0 0 02 18 36 , 54α β= ⋅ = = ��� 090 .γ = � ( ) 0 0 0 0 06 66 2 180 720 ; 720 5 130 70 .S α= − ⋅ = = − ⋅ =

6"� ( ) 0 02 180 2160nS n= − ⋅ = �� ��78(� 12,n = ����%��7 ( )12

12 12 354.

2D

⋅ −= =

�� 2�& �@(� , ,OA OB r OC OD r dhe AOC BOD= = = = =� � ��(��$%��78(�&�� ,AOC BODΔ ≅ Δ ����%��7

���7�#(�$���7����&�� .AC BD dhe CAB DBA= =� � �- �8��� ����(&��(����%&*��&�'7�������7�(!�*��������

�� �����& �@(�#(%�����(�"7�"7(&��������������7�%(��(���������( ���7����&�� AC BD� �!* !���

+ "��� + "���

� ?��#(%�(&� �����4+ "�����(&��(�#(%����7�( ����%��7��2 22 1

;2

r AC OC= +2 2 28 15 289,r = + = �"7�"7(& &��� 17 cm.r = � ���� ����8�I��(! 8

�)���,�(!�������8(%���?�'�& � 0125 .B =� �5��(�#(%�(&� �(&��(���� * �'

���%��7� 0180 .A C+ =� � � 0 0 0 0 0 0180 127 53 ; 180 95 10 84 50 .′ ′− = − =

� ���2�����7� ���& �@(�%$#�#��B �����(�#(%��*��&$�'�8�%���� 5(%�������%(���!(&�7�%(��(���������� �%�(�&��#(%���

���%(�#���(*��7�%(�&$�'�8�%���� �"7�"7(& &���%"�� 0 0, 180 180dheα β β γ α δ= + = + = ���7����&�� 0 0180 180 .dheα γ β δ+ = + =

� ?����! �(&��(���%"7�%� �'�G���(�7�%(�����������!� �%�(�&����#���$� ������! ��6"��*�� � ��

��

� ��

�%

a b c c+ = + ���7����&��� .2

a bc

+= �� 6"��� 1AA t⊥ ���� 1BB t⊥ ���7����&��#��(�#(%�(&�

���%��7� ( )1 1

13,3cm

2r BB AA= + = �!+ "���

��

�� �

+ "���

β ααβ

δα

γ

αα

ββ

) ��&�<� �����&� �(&��(��(���#�$���8������� #��7�#�' %����

6"��( )3

2n

n nD

−= �#�8 � ( )3 25n n − = ����� 2 5 0,n n− = ����7�#$� 0n = ���� 5.n = �2�& �@(�%$#��#! &��%�&�$8(#3

(%�(&��@(�#��!������ %7( ���7����&��#$&�� � �#(�#$������'��(&�%���&(#(%�(&� %

+ "��

αα

6"��#$&�� �α � β � γ C�������������7����&�

Page 326: 093 Matematika 01 - 02

���

� � 0$%���(����8���%����*�#���(�������&�"8�%�� � ?(���������(�7�%(�*�#���(��%(%����������

��#���(�#�' %���(�7�%(�%(%��� ��� �����������6$#�7�%(��(���������(�*�#���(���� ����������

�� G���(�7�%(���(%(�*�#���(� ,a b dhe c

→→ →�8��� #(�� ''�&������(��(���&�#(����)�$8�����,���(&��(�*�#���

AD→

�4* !��� � )� #��� "��������� 0 0 0 ;OA OB OC OD OA OC OB OD→ → →→ → → → → → → →⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + = + + + = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

��� 0 ;BC OA OC BC OA OC BC BC→→ → → → → → → →⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + = + + = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

���� AB DO OA AB DO OA→ → → → → →⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + = + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

;AB DA DA AB DB→ → → → →

= + = + = � 0 .DO OA BC DO OA BC DA BC→→ → → → → → → →⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + = + + = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

� ;AB SB SA→ → →

= − � AD SD SA→ → →

= − =

;SB SA→ →

= − − � ;CB SB SC SB SA→ → → → →

= − = + �DC AB SB SA→ → → →

= = − ��8�0"�����

8�0"���

a→

b→ c

→�

��� c

→b→

a→

� �

8�0"���

AB AE ED DC CB AD DB→ → → → → → →

= + + + = + �3*�/"����"

0 .AB CA BC AB BC CA AA→→ → → → → → →

+ + = + + = =

� ) ��&����"$''(&��(��8�'���7�%���*�#���(*�

��7����&�� OA OD DA→ → →

= + ���� .OC OB BC→ → →

= + �0(��$�7�

��

8�0"���

.OA OC OD DA OB BC OB OD DA BC→ → → → → → → → → →⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = + + + = + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

�2�& �@(������(&��(�����'�'�"��8 ���7����&��DA→

�����BC→

�7�%(

�*�#�����(�#$%�(�� ����%��7� 0 .DA BC→→ →

+ = -8�� �OA OC OB OD→ → → →

+ = + �4* !���

� J"7 ��7��(&��(���(%(�%(���a→

���� �

� �a→

b→

a→

b→

b→

� �

b→

b→

8�0"���

2OB a b→ →→

= + 2OB a b→ →→ ⎛ ⎞= + −⎜ ⎟⎝ ⎠

�� �

� �

b→

b→

1

2a→−

12

2OB a b

→ →→= − +

� ��� 2 2 2 ; 3 .x x a b a b x a b→ → →→ → → → → →− = + + − = + �����3 2 2 3 ; .x x a a b x b a

→ →→ → → → → →− = − + = −

�1 1

.2 2

MN MB BC CN AB BC CD→ → → → → → →

= + + = + +� ��� �

2 2 ; 2 ;MN AB BC CD AB BC CD BC MN AD BC→ → → → → → → → → → →⎛ ⎞= + + = + + + = +⎜ ⎟⎝ ⎠

� 2 .MN AB BC BC CD AC BD→ → → → → → →⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + + = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

� �

8�0"���

� �

� �

�8�0"���

Page 327: 093 Matematika 01 - 02

���

0��!��� 8 %������"$''(&��(��8�'���7���(�*�#���(*��4+ "����#�8 � , ,OS OC CS OS OB BS→ → → → → →

= + = +

.OS OA AS dhe OS OD DS→ → → → → →

= + = + �6(&�� �8�'��� 8�#(���#��(������& �� ��78(�

4 ; 4 ;OS OC CS OB BS OA AS OD DS OS OA OB OC OD CS AS BS DS→ → → → → → → → → → → → → → → → → →⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + + + + + + = + + + + + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

4 0 0 ,OS OA OB OC OD→ →→ → → → →

= + + + + + �.�� 4 .OS OA OB OC OD→ → → → →

= + + +�

� �

��

8�0"��� 8�0"��

6"� MBNΔ �#����

1 1 1 1.

2 2 2 2MN MB BN AB BC AB BC AC→ → → → → → → →⎛ ⎞= + = + = + =⎜ ⎟⎝ ⎠

6"�� QDPΔ �#����

1 1 1 1.

2 2 2 2QP QD DP AD DC AD DC AC→ → → → → → → →⎛ ⎞= + = + = + =⎜ ⎟⎝ ⎠

�6"��1

2MN AC→ →

= �����1

2QP AC→ →

= ���7����&�� ,MN QP→ →

= ���%��7

��& �@(�#(�(�*�� ���#������'�'�"��8 ���7����&��#��(�#(%�(&� �� ���(&��(�����'�'�"��8�4* !����

) ��&�� "���#�8 ��� , , .OT OB BT OT OA AT OT OC CT

→ → → → → → → → →= + = + = + �0��8�'���7�%���#(�,�������& *��

� ��78(�3 .OT OA OB OC AT BT CT→ → → → → → →

= + + + + + �6"��*�� ����� #(&�&(��(%� 8 ����(����#(%�(&� ����7����&�

1 1 1

2 2 2, ,

3 3 3AT AA BT BB dhe CT CC→ → → → → →

= = = ����%��7� 1 1 1

23 ;

3OT OA OB OC AA BB CC→ → → → → → →⎛ ⎞= + + + + +⎜ ⎟⎝ ⎠

&��'()*#� 1 1 1 1

2 2 2 2, ,

3 3 3 3TA A A AA TB B B BB→ → → → → →

= = − = = −�

���� 1 1

2 2.

3 3TC C C CC→ → →

= = − ) ��&�!"7 ��7�&�&(����,�(&�

��%"��8(& 8 ��������#���7����&��#��(�#(%�(&� �(&��(�����'�'�"��82�& �@(�� �"�%�'�������8� ��7�%(���� ���# &���%��8�'� ���7����&�������� %7(����#��(�#(%�(&� ��7�%(���� ���# &���%��8�'� ��8���� (&��(�����'�'�"��8

��

��

� �

8�0"���

6"�� AB DC→ →

= ���7����&��#��(�#(%�(&� ������(&��(�����'�'�"��8�6"�� AC AB BC→ → →

= + �� BD BC CD→ → →

= +

��7����&�� 2 0 2 2 .AC BD AB BC BC CD AB CD BC BC BC→→ → → → → → → → → → →⎛ ⎞+ = + + + = + + = + =⎜ ⎟⎝ ⎠

1 1 1 1 .CC CB BC dhe CC CA AC→ → → → → →

= + = + �6"���7����7��������& �� 1 1 12 ,CC CB CA BC AC→ → → → →⎛ ⎞= + + +⎜ ⎟⎝ ⎠

����7�#$

1

10 .

2CC CB CA

→→ → →⎛ ⎞= + +⎜ ⎟⎝ ⎠�0�@(�� #����!"��������%$#�7�%(�#�' %���� ���7����&�� 1

1| | | | ,

2CC CB CA→ → →⎛ ⎞< +⎜ ⎟⎝ ⎠

��&�

( )1

1.

2ct CC CB CA= < +

��

8�0"���

��

1,

3OT OA OB OC→ → → →⎛ ⎞= + +⎜ ⎟⎝ ⎠

���& �@(��1 1 1 0 .AA BB CC

→→ → →+ + =

� =�%(��@ %7� �%�(�&��&�$8�����,������° � 5�%(����7� 8��(�%7(7�( � 5��(�����7�(!� ���

��" � ���� � ����� �� ��� ;DO dhe BO→ →

�� DA→

��� ;BC→

����� ;DO dhe BO→ →

;DA dhe BC→ →

;AB dhe DC→ →

*�� AB→

���� .DC→

�� )�8�%"(&��

Page 328: 093 Matematika 01 - 02

��

���

α

75

α

10

6

��

α

2

2

3

�� ��

����������� ������ ������� ����

���� ������������

� tg505

H° = �.�� 5,958.H ≈

�� ��� 66 44’;α = ° ����� 62 37’;α = ° ���� 75 ;α = ° ���� 84 15’.α = ° � ��� 20 ;α = ° ���� 38 15’;α = °

���� 54 40’;α = ° ���� 89 37’;α = ° ���� 45 ;α = ° �2�� 35 .α = °

��� 2sinα �.�� 2cos ;β ��� 0; ���� 22sin α �.��� 22cos ;β ����0. 2� ��(�� 45α = ° �#�8 �

��� 2; ����1

;2

����sin 70

;3cos70

°°

����2

.5

� ���3 4 3 4

sin , cos , tg , ctg ;5 5 4 3

α α α α= = = = �����4 3 4 3

sin , cos , tg , ctg ;5 5 3 4

α α α α= = = =

���8 15 8 15

sin , cos , tg , ctg ;17 17 15 8

α α α α= = = = ����12 35 12 35

sin , cos , tg , ctg .37 37 35 12

α α α α= = = =

�0��8

15

a

b= ���7����&��

8

15a b= �����

17,

15c b= ��%�&���

8 17 8sin : 0,470;

15 15 17

ab b

cα = = = =

15 8 15cos ; tg ; ctg .

17 15 8α α α= = =

( ) ( )sin 45 cos 90 45 cos45 tg 45 ctg 90 45 ctg 45 .dhe° = °− ° = ° ° = °− ° = °

��C�� ���C�� �� � 18, 4.CB MN= = � 5��(�����#(%�(&�� ���%�(�87���*�������#(%�(&����(

�%"7�&�(8�7�%(����������������������� 6.CD = ���2(������� ����%$!�

2 26 8 10,c = + = %�(�&���(�����

��

��#������ 2 2

1 15 9 12.b = − = �6"�� 6 : 9 8 :12 10 :15 1,5,= = = ���7����&���(������� %7(�

� ABCΔ 7�%(�������� �%�'��8�������� %7(��(� 1 1 1 ,A B CΔ "7�"7(& &��� 1 1 1.ABC A B CΔ � �����1

1

6 90,6; 0,6.

10 15

aa

c c= = = =

� ���3

;2

����� 2.− ���1

;2

���� 0.� � ���3

3 ;4

����1

5 .4

��� 3; ����1 2.− ��� 0; ����8.

� �����#���������#��������#��������#���������#�� ���8 3

;3

m ����8 ;m ����8 3 .m�

���5 5 12

sin , tg , ctg ;13 12 5

α α α= = =

���5 12 12

sin , cos , ctg ;13 13 5

α α α= = =

�� ���

12 5 12cos , tg , ctg ;

13 12 5α α α= = = ����

24 7 24cos , tg , ctg ;

25 24 7α α α= = =

���1 3

cos , tg 3, ctg .2 3

α α α= = = �

���21 21 20

sin , tg , ctg ;29 20 21

α α α= = = ����� sin 0,6, tg 0,75, ctg 1,33.α α α= = = �

Page 329: 093 Matematika 01 - 02

��

��� sin cos ;α α⋅ ���� sin cos .α α⋅�� �� ���2

1;

cos ���

2

1.

sin �

( )2

sin 1 cossin sin 1 cos

1 cos 1 cos 1 cos 1 cosa

α αα α αα α α

++= ⋅ = =− − + −

( )2

sin 1 cos 1 cos.

sin sin

α α αα α

+ += = � ���&��'()*#"�J(*�%�(&���"α�8��sin

,cos

αα

%�(�&����"α�8��cos

sin

αα

����& '' �%(��8(�$�&

�(��(���&�#(������$%��& �%(%��� �����&��7���,�&(%�1

sin cosα α⋅�!"7���7��8����&α �� I��(! 8����!(*�%�(&���"α�8�

1;

ctg��I��(! 8

1 1ctg , ctg .

tg tgα β

α β= =

� ��� sin49 ;° ���� cos 43 ;° ���� tg49 ;° ���� ctg43 .° � ��� sin75 , sin15 ;° ° ���� cos20 , cos70 ;° °

��� sin50 , cos60 ;° ° ���� cos15 , sin15 .° ° ���&�#�(������&�#�(������&�#�(����&�#�( ��� tg15 ;°

��� tg34 ;° ���� ctg72 ;° ���� tg26 .° ���%�"�� *����%�"�� *������! � *����%�"�� *������! � *

� ���&�#�(������&�#�(������&�#�(����&�#�( � ��� sin51 , sin 41 , sin31 , sin 21 , sin11 ;° ° ° ° °

��cos11 , cos21 , cos31 , cos41 , cos51 ;° ° ° ° ° *� tg51 , tg41 , tg31 , tg21 , tg11 ;° ° ° ° ° 0�ctg11 , ctg21 , ctg31 , ctg41 , ctg51 .° ° ° ° °

�����! � *������! � *

��� 14,16 , 18,12 , 52 .b cm a cm α= = = °

� ��� 53 08, 142 , 495 ;a cm c cmβ = ° ≈ ≈ ��� 79,29 , 16,67 , 17 30’.b cm c cm α≈ ≈ = °

� ��� 50 , 5,96 , 7,78 ;b cm c cmβ = ° ≈ ≈ ��� 75 45’, 63 , 65 .a cm c cmα = ° ≈ ≈

��� 109,34 , 6 16’, 83 44’;b cm α β≈ = ° = ° ��� 3 , 36 52’, 53 08’.a cm α α= ≈ ° ≈ °

� ��� 6 , 10 , 36 52’, 53 08’;a cm c cm α β= = = ° = ° ������� 36 , 39 , 22 37’, 67 23’.b cm c cm α β= = = ° = °

�� ��� 4 , 5 , 36 52’, 53 08’;b cm c cm α β= = = ° = ° ��������� 9 , 41 , 12 41’, 77 19’.a cm c cm α β= = = ° = °

�� ��� 5 , 12 , 13 ;a cm b cm c cm= = = �������������������������������� 6 , 8 , 10 .a cm b cm c cm= = =

���20 21 20

sin , cos , tg ;29 29 21

α α α= = =���9 40 40

sin , cos , ctg ;41 41 9

α α α= = = ����3 1 3

sin , cos , ctg .2 2 3

α α α= = =

���15 8 15

sin , cos , tg ;17 17 8

α α α= = = ����5 12 5

sin , cos , tg .13 13 12

α α α= = = ��� sin ;α ���� cos .α � �� 3sin ;α �� 3cos .α

� ��� cos ;α ���� sin .α ��� 2

1;

cos ���

2

1.

sin α � ��� 2sin ;α ���� 2cos .α �� ���1

;sinα

− ����1

.cosα

� ����°��&��6

π�������°��&��π�������°��&���π � 28 87,96 .cmπ ≈

� ��� ;6

��

3;

8

��

7,068;

6

��

59;

50

��

48.

25

π ��� 30 ;° ���� 60 ;° ����135 ;° ����157 30’;° ���� 229 10’.°

Page 330: 093 Matematika 01 - 02

���

� 69,8 .cm � 27,57 .cm � 57 .cm 106 16’, 36 52’.α β≈ ° ≈ ° 69 31’, 110 29’.α β≈ ° ≈ °

� 4, 56,6.b h= = �2 2

1 2 1634 , tg , 56 10’, 123 50’.

2 2 2 30

d da cm

α α β⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + = = = ° = °⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

��°���I��(! 8�)�@,����* !�� 8 %

� G���(& ����#$''(&�(&��(��"⋅ �"α C���8

�� 97��(& ����� 7�&�(&��(��"⋅ ��"α C���8

�� 40,4 .m �� 21,2 .m �� 150 tg9 23,76.l = ⋅ ° ≈

6,4 .cm� � 6(&����(&��(�'���(& ������$� � ���(���(� 16 tg 28 40’,h = ⋅ ° �"7�"7(& &�� 16 0,54673 8,7 .h m≈ ⋅ ≈ �G���(& �

����$� �� 1,5 1,5 8,7 10,2 .H h m= + ≈ + ≈

120° 120− ° 540°

540− °

750°750− °

� � ���1,0; ���� 0, 1;− ���� 1,0;− ���� 0,1. �� sin0 0, cos0 1.° = ° =

( )450 90 360 , 164 196 1 360 , 3000 120 8 360 .° = ° + ° − = + − ⋅ ° ° = + ⋅ °

��� 0,81; ����1; ���� ���#����������

� ���( )( )

1 cos 0 5 360cos180 1 cos0 1 12;

1 sin180 1 sin 0 5 360 1 sin 0 1 0

+ ° + ⋅ °° + ° += = = =− ° − ° + ⋅ ° − ° −

��

���1; ����1.

Page 331: 093 Matematika 01 - 02

331

a)

1y

x0

10 1

x

yb)

0

1

2

y

x0

1

2v)

2 a)

1 1

y

x

b)

1

0 x

c)y

0

1y

x

15

111 a) Tre trekëndësha. b) Të gjithë janë të ngjashëm ndërmjet tyre, pra,

2 E saktë është nën c).

3 4

6 9. 7 E saktë është nën c).

8 a)

9

10 E saktë është nën b).

11

b)

12 12 E saktë është nën d). 14 1.

b)

b)a)

c)

c)

Page 332: 093 Matematika 01 - 02

���

������ ���������� ��������� ������������������

� � =� ���& �@(�%$#�(&��(������ 8� �&�$8(!$�&*���(���������( � ?(�*(����(�7�%(����������

� ��� 1,x = �.��� 1;x = − ���� 1;x = − ����� 4;x = − ����� 3;x = ����� ;x y= ��2�� .x y= � ��� 410 ; ���� 610 .

� ��� 37 10 ;⋅ ����� 672 10 ;⋅ ���� 2347 10 .⋅ � ��� 33,974 10 ;⋅ ���� 30,0005635 10 ;⋅ ���� 30,035 10 .⋅ � ��� 13 ;x ���� 5 ;x ���� 7.x

��� 42 ;a �����24 .a ��� 7 ;a ������" �� ����#��������" �� ��� 3;x = ���� 6;x = ����� 5;x = ����� 2.x =

���� 3 23 ;x y ���� 4 62 .x y� � ����� 3 4 ;x y z ������ 32

; ; 4.3

x y− ����3

; 1; 0.5

� ���������� � ���������7�

� ��� 3 23 5x x− + − 3���' %�8 �(&��(� �&�#�''(&�&(�����(��� 2 25 7 2x y xy xy− − �3���' %�8 �(&��(� �&�#�''(&�&(�����(

���������� 2 10 .m m−� � ������������ � ��� 26 2;x x+ − ����� 4 3 26 16 21 22 5;x x x x− + − + −

��� 3 27 4 8.x x x− + + � ��� 3 23 ;x x x+ + ����� 3 2 2;x x x+ − − ����� 5 4 3 23 3 1.x x x x x+ + + − −

� ��� 6, 17, 12;a b c= = − = �������' %�8 � �� ''(�%$#��#! &��%

� � ��� 24 4 1;x x+ + ����� 24 4 1;x x− + ����� 2 24 12 9 ;x xy y− + ����� 4 22 1.x x+ + � ��� 3 26 12 8;x x x+ + +

��� 3 28 36 54 27;x x x− + − ��*�� 6 4 23 3 1;x x x+ + + ��"�� 6 4 2 2 4 66 12 8 .x x y x y y− + −

��� 2 2 4 649 4 ;

9a b ab b− + ����� 6 3 5 5 4 7 3 98 36 54 27 ;x y x y x y x y+ + + ��� 6 3 5 2 4 364 240 300 125 .x y x y x y x− + −�

�2 2 2 2 2 2 .a b c ab ac bc+ + + + + � ��� 2 1;x − ����� 21 4 ;x− ����� 4 4;x − ��"�� 4 64 9 .x y− � ��� 3 8;x − ����� 6 1.x +

� ��� 2 2 4 64 16;

9 25x y x y− ����� 3 31 8

;8 27

x y− ����� 6 3 3 68 27.

27 64x y x y+ ��� 3 24 13 9;x x x− + − ����� 2 2 3;x x+ +

��� 23 10 9 ;a a− − ����� 2 22 2 .a b bc+ −

�� ���

2;

5xy− �����

3;

2x− ����� 25 .y � ��� 3 2 22 3 5

;7 7 7

xy x y− − ����� 2 2 3 36 3 12 .xy x y x y− + −

� ��� 3 22 6 7;x x x− + − �����/��(& � 3 22 3 12 32,x x x+ + + 8���7������������(& � 3 ,x x− 8���7�"�+

��� 4 3 2 1.x x x x+ + + + � ���/��(& ����,"-�",".!"8���7��3����������(& ���!"8���7�",/�"0"1#

� � ��� ( )2 ;x y+ ����� ( )5 3 4 ;a x y− + ����� ( )22 2 3 ;a a b− ����� ( )2 24 2 .x y xy − � ��� ( )2 25 4 ;x xy y− −

��� ( )3 3 4 .a b c d+ − � ��� ( )( )7 ;x y a+ + ���� ( )( )7 2 ;p q q p− − ����( )( )3 2 5 ;x m n− + ���� ( )( )3 .a b a b− −

� ��� ( )( );x y x a+ + ����� ( )( )3 ;a b a− − ����� ( )( )2 5 1 ;x ax b− − − ����� ( )( )3 43 1 .xy z xy x y+ + −

� � ��� ( )( )4 4 ;xy xy− + ����� ( )( )1 1 ;a b a b− − − + ����� ( )2 .y x y− � ��� ( )( )2 22 4 2 ;ab ab a b− + +

��� ( )( )2 2 21 1 .abc a b c abc+ − + � ���( )( )( );a b x y x y− − + �����( )( )( )2 2 .a b x y x xy y+ − + +

� ��� ( )( ) ( )( ) ( )( )3 3 2 2 2 2 2 2 ;x a x a x a x ax a x a x a x a x ax x a a− + − = − + + + − + = − + + + +

���( )( );x a c x y z a b c x y z+ − − − + + − + + − �����( )( )2 2 3 3 2 2 3 3 .a b x y a b x y− − + − + −

Page 333: 093 Matematika 01 - 02

���

� ���( )22 ;x y+ ����( )2

5 ;x y− ���� ( )25 2 .x y− − � ��� ( )2

7 ;a b+ ���� ( )22 2 ;xy x y− ���� ( )2

2 5 1 .a a +

� ���( )( );x y z x y z+ − + + ����( )( )2 2 ;p q p q− + + − ����( )( )4 3 2 4 3 2 .m x y m x y− + + −

� ��� ( ) ( )( )2 23 3 3 ;x y x y x y− − = − − − + ���� ( ) ( ) ( )( )22 2 2 215 2 16 2 1 16 2 1 4 1 3 5 .x x x x x x x x x− − = − − − = − + + = − + = − +

� ��� 4 2 2 ;a x y ���� ( )9 2 ;a b− ���� 1.a + � ��� 5 5 712 ;a x y ���� 2 24 ;x y− ���� ( ) ( )2 2 23 2 2 4 .a b a ab b− + +

� ���202�!� 5;a − �)/�2�!� ( ) ( )25 5 ;a a a− + �����202�!� 5;a − ��)/�2�!� ( )( )3 5 5 ;a a− − +

��� ��� 1;x ≠ − ���� 1, 4;x x≠ ≠ − ���� 0, 3; 3;y x x≠ ≠ ≠ − ���� 0, .x x y≠ ≠

���( )( ) ( )( ) ( )( )

1 2 1; ; .

1 1 1 1 1 1

x x x

x x x x x x x x x

+ − −− + − + − +

��� ( )1 , 1;a a− + ≠ ���� , 4;x y

xy

− ≠ ����1

, 0, 1.1

xx x

x

− ≠ ≠ −+

����( )( )

( )2

2

2 1 11;

2 1

x x xx

x x

− + += −

+ +����

( )( )( )( )

, .x y a b a b

x yx y x y x y

− + += ≠− + +

���( )( ) ( )( )

3; ;

3 3 3 3

a a b

a b a b a b a b

−− + − +

���5

, 0, 0, 0;y

x y zx z

≠ ≠ ≠ ����( )2

1, 1, 1;

1

xx x

x

+ ≠ ≠ −−

�� � � ���23

, 0, 1;1

aa x

x≠ ≠ −

−�����

3, , ;

2x y x y≠ ≠ −��� ( )( )

2;

a

a b a b− +����� ( )( )

2 22.

a ab b

a b a b

+ −− +

��� 2

3; 3 ; ;

a xa x a x

a

+ ≠ ≠ ����( )2 1

, 1;1

xx

x

+≠ −

−� ���

1, ;a b

ab≠ �����

1, 0, .

3 1 3

xx x

x≠ ≠

+

��� ��� 2

;y

x����� 2 4

;4

b

a c� �����

3

3

6.

y

x� ���

15;

16� �����

12 .

9� � ���

2 3 2 2

1;

a b x y� �

�����1 2 2 3

1;

5 x c b� � �

����� � � �1

1.

xy

y x xy y x�

��

�I��(! 8��*(��7�!"7 ��7�%������,�(&����(�8(& 8 �

� ��� 1 2 212 ;x y� ����� 6 ;a b� ����� � � 123 1 .a�

� � ��� 135 10 ;�

� ����� 36 10 ;�

� � ����� 1053 10 .�

��� ��� 7 ;x ������" � ��� ( )33 , 2 8;a − = − ����� ( )22 , 2 4.a − = � ����������������" �

��� 1;x − ��*�� 4 3 25 9 7 2.x x x x− + − + � ��� 2 22 ;A AB B− + ����� 2 2.A B− � 2 4 1.x x− − +

� ��� 24 , 0, 0, 0;x y x y z≠ ≠ ≠ �����4

, 0, 0.5

xy x y− ≠ ≠ 23 4 2.x x+ − ��" �� ��� ( )2 24 3 2 1 ;x y y y⋅ − +

��� 22 5 3;x x− +

��� ( )( )3 2 3 2 3 ;xy xy− + ����� ( )22 1 .ax − �� ��� ( )( )( )2 2 3 ;x x x− + + ����� ( )22 2 1 ;a x− − ����� ( )( )22 2 2 4 .x x x− + +

�� ���202�C����"!�)/�2"$"2����""�������202�C��"3�� �)/�2�C �� ��"

�� ���4

, 4;x

xy

− ≠ ����� ( )22 4

, 2.2 2

x xx

x x

− − ≠ −−

��1

, 0.4

a

a

≠ �� , 1.a x ≠ −

�� ���8

4, 0, 0, 0;

aa b c

c≠ ≠ ≠ �����

4 7

5, 0, 0, 0.

b ca b c

a≠ ≠ ≠ � , 0, 0, .

aba b a b

b a≠ ≠ ≠ −

−�

1.

1

n

n

a

a

−+

( ) ( )( )2 22 2 2 4 .x x x x− + + +

Page 334: 093 Matematika 01 - 02

���

����� ������� � � ������� � �����

8645g.�� � 308620cm. � 6,584m. 280540,05m . 55d 20 h 22 min 42 s.

� ��8$�7����� �(�����(��������&�#�%�� � 234 t 576 kg 8 hg 2dkg.

� �(������(��������8 %$����������&�#�%�� � ��8$�7����� �(�����(��������8 %$��

�� ���*7�����8$�7�������� �( � 10 21, 49 10 hm .⋅ � ���������%��( 6 t 835 kg.

�� 3 3 3240 m 378dm 600cm ; ����108 t 416kg 8 hg; ����� 3h 1 da 6 ;� � � ������ 2 2 27 m 76dm 15cm ;

������ �(������(����8 %$�� � ������ �����%��(��������� �����%��(

�� �����������������" � ����������7������7������7� � ���8 : 3; ���� 52 : 29; ���� 65 : 52; ����8; ����1:15.

���1: 2; ����1: 0,02; ����1: 0, 28; ����1: 0,0002; ����1:11520. � ��� 14;x = ���� 9.y = 16 :15.

� ���������7�����������7�����7� ���7�����7������� � ��� 35;x = ���� 3;a = ����225

;280

x = �0�� 3.p =

�� ��� : : , : : , : : , : : , : : , : : , : : .x p y q y x q p y q x p p x q y p q x y q y p x q p y x= = = = = = =

�� ��� 3;x = ���� 3.x = � 4, 12, 12.x y z= = = ��� : : : 12 :18 :15 :11;x y z d =

��� : : : 7 : 9 :14 :15.x y z d = �� ��� ��� ��� � G���(�7��(�� 1 1 1

2 2 2

,a b c

ka b c

= = = ���(���(

1 2 1 2, ,a ka b kb= = 1 2 .c kc= �����& � �&�$8(!�78(�8������(�8���!"�!"(�4�!"�!"("≠"3������ �8�'��� 8 �����(�� ��78(�

( )1 1 1 2 2 2 ,a x b y c z k a x b y c z+ + = + + ���7�#$� 1 1 1

2 2 2

.a x b y c z

ka x b y c z

+ + =+ +

�2�� � 1

2

,a

ka

= �8��B#����� ��78(� 8�' #�� �% %

� � ��� � �� ��� �����������7�%(�%(��(��7�&(� 8��(����7�(�����(��7�&(� 8��(�!����7�(

�� ���8 � ����$%(���( � ����� ��"#�������"" ��� �(

�����$%(���(�����$%(���(

���� �(����� �(

24x = �� �(: 40 15 : 25x = �

5�������(�"7 ��&�8�(&��(

20 24 44+ = � �(

�������%��� � ����� ����� �( ���� �( �����8��� � 2�&���� �(*�

���*7�����8$�7���

����$%(���( ������� �(����$%(���( ������ �(

: 45 20 :15x = ��� 60x = � �(

1 1 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2 2 2

.a b c a x b y c z a

a b c a x b y c z a

+ += = ⇒ =+ +

�� ��� ���"��

� ��������%�� � �������%�� � ���� ���� �����%��(��(������#"�8�''

�� ��#8K� � ����� ���#8K�� ��,�)��3��� ���� ���

Page 335: 093 Matematika 01 - 02

���

��� ��������%�� ���������#"��������� ��������8 � ����������&"#���������#"#�����L" � 2(����L

�������%�� ��L � �����������%��������������%�� � ����L#��������L"

��

��� ������#"������ ���������� ������������#"�����" � ������������%������1,75‰ ; ������#"

� 2,5‰ . �������%�� ���������%��

��� ���������%�� � �������%�� � ��������%�� �L ���� �(

� ��L

� ���������%�� �������������%�� ��������%����������������%��

��� ������������#������ ���������#�������������#������ ����������� � �������� ������������������������� ����������������

� ���������%�� ����������%����������������%�� ��������%�� ���������%���������������%��

���������%�� � �������%�� ���������%�� ���������%���������������%�� � ���������%��

���������%�� �����������%�� ����������%�� ����������%���������������%�� ���������%��

���������%�� ����������%�����������������%�� �� ������ ������������������I��(! 8�250 180 200

: : : : .120 200 300

a b c =

��� �������������%���������������%�� � ��� �����%�� 60, 80.x y= = ���#"��������#"�

� ���4� � 160, 100.x y= =

��� 9 : 4 : 3:8; 90kg, 40kg, 30kg 80kg 4 : 9 :8 : 3; 40kg, 90kg, 80kg 30kg.dhe ose dhe

� ����#" �����#" �����#"���������#" � �� ��#" ��#" ���#" ���#"���������#"��.�����#" ���#" ���#"������#"

�������������#" �����#" �����#"����������#""�I��(! 8�6(&�����,�(%���!"7��� 8�8������! 8 �����(�� ��78(�������������

��7��� �& ��(��&��8�$''����������������.��������������������+" � 70 , 70 , 20 .� � � � ������������� 20 , 180 , 20 , 20 , 20 .� � � � �

� 3200, 480.S P= = � 15200, 12160.S P= = � ����#" ����#" ���#" � ��������%��

� �������%�� �'I � )�& �����(�"7 ��&�8�������� �� � 8 � ����' !$������7�����

�� ������������%��(�������������%��(�� � 8������ �L

��� 8�'� � � ���*7�� � 5 2, 40+ �*7�� �� ��� ��� ��� �� � ���� �(

� ���� �����%�� � ��������%�� �� �� �� �� ��L

Page 336: 093 Matematika 01 - 02

���

����������� ����������� ��������� ���

�����������

�� � ���

5

2����

5

3����������������������� � ���� ����� �����������������C������C����(�C����

� ��������������C�������������������������������C������ �������C������ �������C������

���� ���� ���� �����������������������������C�����������������"��C������

�� � ����#" 2Q��������� ����$%(���(�����������- �(��&�%�(��� �%(���(��&���%�&7�''��&

� �����$%(���(���������#�0������&�%�(��� �%(�# '�8������&���%�&7�''��&

�� ���� �(�

� �������0�"� � ���� �� ��#�����3� �

� 2(���"D�����,�&���%$#�#�%(�#$�� 8�48���8(�$�&�!�������������� ���!"7 ��$�

�����C�������1

3x = − "�

��

�����=�����2�����2�����2� �%(� { }\ 0� �����!��#�������!��" �����C�3��������C���������C��

2(���≠3���C3���(���C3���&�� ' �%$8(�����'����6$#�#��#$�� 8��(���"C����&���"C����"≠ ±"��#��*��(8�%7(

;ab

xa b

=+

��(���"$"���&�� ' �%$8(�����'�(&��(�!"7 ��7���(���"C�3� � ���!"7 ��$�����6$#�#��#$�� 8��(��5"C����&��5"C�3���(�

5"C���(&��(� ���!"7 ��$� ��(��5"≠��������"≠ ±���#��*��(8�%7(�!"7 ��7�� ( )214 1

2x n n

n= − − "����$ %���≠���&)-�-��/0����#��(�

�"C���&�� ' ��"≠���(&��(�!"7 ��7� �����C�M�������C�3�

�� �

� �

����"C�3�����;���!"7 ��$������"C�3������3

2x = ���2(��*"≠����#��!"7 ��7���(�*��8���"C��* ��(�

�*"C���&�� ' �%$8(�����'����2(���"C��� ���!"7 ��$���(���"≠���� ������7

3x

a=

−&������$����������≠3� ���& �@(

� �������"C�� �����(���(�����! 8 �%$#�#��#$�� 8�-8�� ��(���"C��������"≠ 3���*��(8�%7(�!"7 ��7�����2(���"C����&�� ' �%$8(�

���'��"≠ ±���(&��(�!"7 ��7� ��(���"≠���� ���!"7 ��$�����2(���"C�±"������! 8 �%$#�#��#$�� 8 �%�(�&���(���"≠ ±"��#��!"7 ��7���"C��

������� �� ��L

� �2

3a = !"��=���

� � �����N�3 ���:OP�"����3

, .11

⎛ ⎤−∞ −⎜ ⎥⎝ ⎦� ���

1, .

2⎛ ⎞+∞⎜ ⎟⎝ ⎠

����5

, .4

⎛ ⎤−∞ −⎜ ⎥⎝ ⎦� ���6$#�#��#$�� 8

��� [ )0, .+∞

Page 337: 093 Matematika 01 - 02

���

���3

3, .2

x⎛ ⎞∈ −⎜ ⎟⎝ ⎠

���� ( ]2,10 . � � ���[ ]2, 8 ;− ���� ( )1, 7 ;− ���� ( )0, 3 ; ����38

, 5 .7

⎡ ⎞− − ⎟⎢⎣ ⎠

� ���

9;

13x = ���� 1;x = − ���� 4.x = − � ��*7������*7�� � ����#8� � ��� ����� �����

� 2(���"$",��%$#�#��!"7 ��7���(��2

, .ab

a b xa b

≠ − = −+

� ���3

, ;2

⎛ ⎞+∞⎜ ⎟⎝ ⎠���� ( ),39 .−∞ ��� ( ) ( ), 4 1, ;−∞ − − +∞ ���� ( )2,1− �

� ��� ( ),7 ;−∞ �����4

, .19

⎛ ⎞+∞⎜ ⎟⎝ ⎠

�� ����5(%����7�(�������# 180 , , 2 180 .α β γ α β γ γ+ + = ° + = = ° � 23 , 46 .β γ= ° = °

� ���5(%����7�(����5(%�"7��( ��������� !���� ,ABCΔ �#(%����(�7�&��8� ��(��&��8�$'' �%(�(���

�(�� @�����7�(!(%�� ��&��$�@(������*(���&���,�#(%����(�� �$��� �8���(�� '���(&��(�%���(�#(%� � �7�&��(8 �7�%(��(���������(�8�

%7(� �α�����8���7��� �β

45 .° �������#�� !�������#(%�(&��#(%����7�(� ,ABCΔ 8��#(%���(����7�(�%(�#$'8 %�F �����&�(%��8��������7�%���& 8����'�*�

�(�#(%��*���(�%"$&����α�����β�2�&��7�*(���&��α M β C���°����� 90α β+ = ° ����&��#(%� � �#(�#$���δ�(&��(�#(%�� �7�&��(8��(�

.ABSΔ �6(��$%� �&���,�(!�����,�(%��������#��� 45 .2 2

α βδ = + = °

� E(7�* !�� 8 % , , .AC LM A L C M= = =� � � � � E(7�* !�� 8 %�J�����&��%7(%�E5E

-,����#(%�(&�������#���(&�7�%(��(��$�� �&�(8�%(&��#���$�����#(%� ����%(�8�7(&�%(�%7(� %����#(%�(&��7�%(��(�#��(& &��

�(���������(�8��#���$%�����#(%� %������#(%�(&� ���7��(�

� ���0��%� �8(%���&��%7(&�5E5 ���6"� 1 2 ,dhe S T= =� � � � & ��&����,�(&����� ���7����&�� ,SAB TBA=� � ���

�����&��%7��5E5�����0��EEE �� ���-,����#(%�(&���#(%����7�(�7�%(��(��$�� �&�(8�%(&��%7(���#����������#(%� � �%"$&��(

@(�&��� ����%(��(����%7(� ����#(%�(&��7�%(��(�#��(& &����(���������(�8��%7(�(%�#����������#(%� %���%"$&��(�@(�&��� ����%(��(

������#(%�(&� ��7��(�����-,����#(%�(&���#(%����7�(�7�%(��(��$�� �&�(8�%(&��� ����%$!������%7(� �#(%�� �%"$&��(����%7(�

���#(%�(&��7�%(��(�#��(& &����(���������(�8��� ����%$!(%�����%7(� %�#(%���(�%"$&��(�������#(%�(&� ��7��(�

�� 0��%� �8(%���&��%7(&�EEE�4E(7�* !�� 8 %� �� �������� � !���� ���#(%�(&�� �(� B���(��&�(8� ABCΔ ��� �(�� @�

������ ��������� ���������������� �

���7�(!(% �����'�'��8���� %7(%��� ���� '�� �������� %7(��$=������� �%(�� #�������������&��7�&�@,���� .ABC dhe PQCΔ Δ

Page 338: 093 Matematika 01 - 02

��

��(���(�#���$�(&��(�8(� �8����&����!� � ������������" � 2cm 8cm.c< < ��������#�6"���7��&�

ACE CAE>� � �#�8 � ,AE CE ndërsa nga EDB DBE> >� �� �

#�8 � , , .EB ED prandaj AE EB CE ED dhe pre saj AB CD> + > + >� � �

� ����������) ��&�&�(% 8�*��%(�* !�� 8�#�8 �

( ), , 2 ,m b p m a q prandaj m a b p q< + < + < + + + .2

a b cpra m

+ +<

� ���

*�

� 0(� �8����(&��( ,A� �%�(�&��8(� �*�"(' .B� � =� �2�& �@(��� %7�����(���''�(����%$#�(&��(�8(���8����

� 0(���8�����(&��(�#�������(���''(�#(%� ����° E� %7��8(���"7��(�(&��(��� �%�(�&��8(���&�#$��(�(&��(���

6(&�����°�#��#(%� � �7�&��(8��������%(�8�7(& ���(���(���!��(&��(�8(���8�����&��#���$�������%(���!(&

�� ����������5(%���� ADC dhe BDC �8$%���(�7�%(������(���������( ��&���(����7�( ����%��7����(&��(�%��8�'��%(����%(���(

��&�����(&��(�8(���*�"('�4& �'���(& ��&����������������(�%��,&�(8�#$�%7(� ����7��,���(&��(� �"7��(�%(���(���&���� %7���� ABC��� '��&��� �����(���''�#(� 7�#(%� ��(�"7��(�(&��(�8(���8�����&��&�"8�%� ��� �� 34,5dm.

�� ���8��������#� ( )124.

2AB BC AB CA+ + + = �� ���������G�������������7�(!������� %7(%�����(����#(%�(&� �

ABCΔ %(�� #(%���4* !�� 8 ��6"� ABCΔ #�8 � ,DB CD CB< + �"7�"7(& &��

( ). 1DM MB CD CB+ < + ����� AMDΔ �#�8 �� ( ). 2MA DM DA< + �0�

8�'���7�%�����'�� �%�*��!������!���� ������ ,MA MB CA CB+ < + �#$

.CD DA CA+ =

� �������6"�� , , ,AB AM MB BC BM MC CA CM MA< + < + < + ���&�8�'���7�& �� ��78(

( )2 ,AB BC CA MA MB MC+ + < ⋅ + + "7�"7(& &������2(�����&���,�(!�����,�(%

����������

� 38 52 .dhe° °�� ��� 5cm;R = � �� 5cm.ct = � >�%���� �� ����� �� �(� 7�&��(&�#�$��� (&��(� %(� 8�& %

��� ����%$!(&�4?����8����?�'�& �� � 6 .° .ah

���G���(�7��(�������7����'���(& *�

0��&��%7�����* !�� 8 ��

� ’ 68 , 40 , ’ 72 .BHC SHA AHB= ° = ° = °� � �

���G���(�7��(�������7����& 8����'�*���(�#(%� �

4* !�� 8 ��<�(���(�

� 126 , 124 , 110 .ASB BSC CSA= ° = ° = °� � �

��

��

� ���

���

��

� �

Page 339: 093 Matematika 01 - 02

��

� �������6"��&��%7�����* !�� 8 ������(&��(�@�%����������� �

�(�7�&��(&�#�$�� ����%��7 1 1 1.ct CC AC BC= = =

� 6(����#(%�(&� %������� %7(&

.���@�%��������@�%����������� ���(�7�&��(&�#�$��

� ���1�'���(& &( ;ch ���� .cHO h= ��

( )2 2 56, 36 2 56.AC AB CD CD+ + = + =

�� �������G���(�7��(�6�����7����'���(& *���(� ABCΔ �4* !�� 8 ��<�(���(�

10cm.CD = �������#1

2 36; 28,2

AC AB AC AB CD+ = = + =

CVA CVB′ ′Δ ≅ Δ 4& ����#(%�(&���#(%����7�(�8��� ����%$!(��(��(���&�#(���6"���

#(%����(�����������%(��( � ,A CV B CV′ ′=� � ���& �@(��6�(&��(������& 8����'7�

��#(%� �����%(�8�7(&��� ����%��7� ’ ’.CA CB= �<�(���(� ’ ’,AB BA= �� ,ABB BAA′ ′Δ ≅ Δ���7�#$� ’ ’ .a bh AA BB h= = =

� �

1C

ct

� �

6 A′B′

�� ������#�E(7��* !�� 8 %�4�&��&���,�(!��* !�� 8 %�����(%(��0�

&��%7�����* !�� 8 ��� o oMCA MCBΔ ≅ Δ �4& ����#(%�(&���#(%����7�(

8��� ����%$!(� �(��(���&�#(������#(%��� �(���������(� �(�� ����3

%$!(&� ����%��7� .o oMA MB= �6(�8(%,�(��%�'�"�� .o oMA MC=

� � ��������?(�� @��%��8�'�%�%(���%(�� #(%�������%(�%��8�'�%�!"7������ #(%�� ��&��$�@(� 2cm.OM =

���=� �&��&�� 180 .α β+ > ° ����=� �&��&� .a b c> + "���2� �%(&� 45 .α < ° �=� �%(&�� 45 .α ≥ °

�������������5�%&��$#���#(%���(����7�(�7�8"48��#$'8�%(�� #(%��������%(�#���$%��8�������&�"8�%� %� cmbCA 5,3== �6"�

� #��� �& �@�%�(� �7�&��(&�#�$�7������ %�8�����!��%C� ��8�2���7��������� ���8��#���$%��7�(&��(�� #���

� ���� '��(&��(�8�& �

�� %7(&����� BACA 11 = �?��#(%�(&� � �#�%&��$#�$������� ��'��(&�%�#$&����������,�(&����2(��%� ≤ "� ����,���%$#�#��!"7 ��7�

������������������#"J"7��������7�(!(%�������� #(%���%(��(�2�&��7 �'(&���%��8�'�%�%(���%(�(����������������%(�%��8�'�% ��$#�

� ''$���%"�����&��$�����(�� ��&��� #(%�� ��&��$�@(� ahAA = �0��@�%�(��%(�� �7�&��(&�#�$�7�%(�� '' 8������ %�8�����!��� ��

��&��7�8�����!��������7������,���8�����7�(!(%���4%(&���#! &��7%(������ �7�� %�#$'8����������������#(%�(&� �� ABCΔ �-��,���#�

!"7 ��7��%(&����"≥"�������""Q"�

"4�&����"9"�

����"�"≥""�

�������������J"7��������7�(!(%�������%(��(�&�"8�%� %��� �8�

aBC = ���#���� #(%���8�&8������(�&�"8�%� ���� �'(&���%��8�'�%�%(��"4%(�� #(%���B���(��&�8���(��������#�%&��$#��

���7�(!(%� �����'�'��8��� �%(�'��"(& ���%"���#"2�&��7 �7�&��(&�#�$�7������ %�8��@�%�(��%(�� #(%��

���������!��%

�����7��������� �

8�����7�(!(%� �4%(&���#! &��%����7���#$'8 %����(� ABCΔ -��,���#��!"7 ��7��#$��%� ≥ "�

��

Page 340: 093 Matematika 01 - 02

���

�� 12m.AC = � ��� 1 1 140 , 110 , 100 , 50 , 80 ;β δ α γ δ= ° = ° = ° = ° = ° ���� 148 , 14 .α β= ° = °

� 30 .x = ° ���������)���":�%)�'" 2° �� , 3 20 2 10 .C A prandaj x x= − ° = + °� �

62 30’, 117 30’.α β= ° = ° 6� �8(�2��7�*�� &��� �87����%��(�&����&��#(%����@(�&��� ��%�%(��� %7(% ��(��&��8�$''

.dheα β �9+(���(� 55 ,β α= + ° ����%��7�%(���!(��(�*�� &�� 3 : 2 55 180 .α° + ° = ° �.&�� 2 125 .α = ° ���6$#�(&��(�����8�&��&�8��2(��&��8�$'' ���'�� � �#���,���'(��� %7(��(���������� �����%$#�(&��(�����'�'�"��8 ���6$#

(&��(�%(�&��%7(%�;;;�#(�#������� %7(���������������(�7�%(��(�R�(���''�(S � 9cm,DM = ( )5 cm 14cm 9cm , 4 cm.M NMC = = − =

� ������#�4@(��(��,�7�%(�#(%����7�( �8��� ����%$!���(��������������

�#(%���(�%"$&��(��(���������(��E(7��* !�� 8 %

�������E(7��* !�� 8 %�*(���&�� OAB OCDΔ ≅ Δ �4& ��&�5E5� ����%��7� ;OB OD= ���&��7 �!����� %� � %�;��(������3

'�'�"��8 � :�8���� %7(����� 7�7�%(�* 7���(�8�&8���(����#(%�(&��*������������%���������&���������7�%(�&�"7,&8������ �"�%�'�*���(����7�#(%�(&� ������ ( ).AC BD=

������� AMDΔ �4& ����� BNCΔ ��(&��(�����#���(&

��&��7�� ����%$!��� AX dhe BY �7�%(��(���������(� .AX BY= �������������07����%��(�*(�����78(�&�� C� �(&��(� ����7�(

6"� ABX BCY≅� � 4& ��&�EEE��#�8 � ,ABC C=� � ���(��&�#�#��(� 180 ,ABC C+ = °� � ���7����&��� 90 .C = °�

�� ������#"E(7�* !�� 8 %�6(�����'�'�"��8 %����� �� �"�%�'7�����'���(�7��(�& 8����'7���� .BAD� �<�(���(� ,ACB CAB=� �

����%��7� ACBΔ �(&��(�����#���(& � .AB BC= �6(�8(%,�(��%�'�"� � ACDΔ �(&��(�����#���(& ����%��7 .AD DC=

�� ���������A&��(���(%(������! �����"����#���(&�8��#���� AD BC= 4* !�� 8 ��?(

�� ������"2�& �@(���(&��(�8�& � ������������MN AB� 4* !�� 8 � ���7����&� ��(�

� ,ACDΔ � #����(&��(�8�& � ���#�6(�8(%,�(��%�'�"��������(��;� =� �&��&��%(&������(�# &����#�'$���%(�(������7�% �� �"�%�'������ ���# &�������(��(�"7,&3

8���&� %�4& ��&����,�(&���� ����%��7�� �#��(�#(%�(&��%$#�����(� &���������! ���������'�'�"��8

� � ������#"� !��� ABCΔ 48���� %7(��(���(%(� 4cm, 3cm 6cmAB BC dhe AC= = = ��2�&��7

��#���#$'8 %���#��(����(�����'�'�"��8 �

%(�'��"(& ���C���8�%"��� ��(�� @�����7�(!(%� �����'�'��8����2�&��7�������%"�

��&�"8�%� %� 5cmAC = ��&��$�@(� ,C q∈ �"7�7��8�& %����(�&�"8�%� ��������

��#���� #��� B p dhe D q∈ ∈ ��&��$�@(�1

( 2cm).2

SB SD BD= = =

��������6(����7�(!(%�� �!"7����� #���������� ��&��$�@(� ,AB a= �'(&��

*(���������� ( ).dheα β γ δ= = �0��&�"8�%� %�� ��(��(���@$������'�' &���8���� �(&��(�� �$��

#��(�#(%�(&� �� ���� �(&��(�����'�'�"��8 ����%��7� .AD EC= � ��&�AD BC= �& ��&�#$&�� �

���%��7� ,EC BC nga rrjedh se EBC= � � �(&��(�����#���(& ����%��7�#(%����%(���!(�7�%(��(���������(

1 .α β= �2�&��7 �%"�� ( )2 2 2 2 180dheα α β β α δ β γ= = = + = + = ° ���7����&�� .δ γ=

�� ������< ABX BCYΔ ≅ Δ 4���#(%�(&���#(%����7�(� ,AB BC BAX CBY= =� � − #(%���8��#���(���� ���# &���%��8�'��

α 1α

β

δ

� �

��γ

��

;�

� � �

��

�ah

� ������#�6(����7�(!(%���!"7����� #(%�� �'(&���%��8�'�%�5�%(��

%��8�'�%�5�%(���%(�(����������#���� #(%� C n∈ ��&��$�@(� .AC d= �-��,���#��!"7 ��7��%(&���"≤��

Page 341: 093 Matematika 01 - 02

���

���� !�����,����7�(!��������@��(�� '����� ��%�%(%�#(%� % 50ϕ = ° �%(�� #(%�����&��7 ���#��� ,A B p∈ �� #��� , ,C D q∈

�&��$�@(�1

2AO OB d= = ���� 1

.2

CO OD d= = ����� !����#(%� %�����(%(�����&�(%�7��8��7�8�%(�#���$%��8������

� ������#G���(�7��(��������8� � �#(�#$���4* !�� 8 ��- �"�%�'�����

&�"8�%� %� 5 cmAC d= = �������#���8�& %���%(����2�&��7 �7�&��(&�#�$�7������� %�8��@�%�(�����������!��OA− �7�������

����(�#���$%��7������%(�� #(���4�(���&��� �%�(�&������7����&�7�8�����7�(!(%����������7���#$'8 %���#��(����

�������7�%(���� ���# &���%��8�'��4�����(�"7,&8���%�8������7�%���

���%��7� ABC� (&��(�#(%����7�(�� �8$%���(�#�%&��$#������8���'�8�%���

����(%���������7�� 7��������8� � �

� �

�1

2

d

� ��������� !���� ,XAY α=� �#�%&��$#������7�(!�q AX� �%(�'��"(& ��

�������)�@,����* !�� 8 %�6(����7�(!(%���(&��(�!"7���$��&�"8�%�

%"���7�4* !�� 8 ��2���7���� �8���8�(&��(�#$'8 ���5$'8�������������#����%

���7��(����7�(

AB a= � ���� 7�%(� #�%&��$#�$��� .BAX ABYα= =� � 2�&��7 � %(��� (&��(

!"7���$��� #����&��$�@(� AE b= �����%(�(��1�(&��(��(���@$�����7�(!������3

'�'��8���7�����7��8���8�(&��(�#$'8 ���5$'8 ���(&��(�� �$���& �����7���

���7�(!(&� "8�����7�(!(%�@(����(���@$��%(�(��������'�'��8����

� ��������?(�&$��!�78(�&�������! ������%(�* !�� 8�(&��(�!"7 ��7���

����,�(&�(&����!(%������!"7�& 8�%(�(��� #(%����(�� ,BE b= ��(���(�����(

� ��78(�����'�'�"��8�� �&����%��7� 2.EC d= ) ��&�&�7 �� "$���%� �8(&�

�(��#�%&��$#� 8 %��������! �������&��(����#(%�(&� ����8���� %7(

1 2, .AE a b AC d dhe CE d= + = = �) �����(��(���#��&��#$'8�����������

�� �������6(����7�(!(%�� �!"7����� #����������!"�&��$�@(� 1.AC d=

2�&��7�#�%&��$#������7�(!�� ������ �����'�'��8��������%(�'��"(& �22d

�%"���7�

5$'8����∈ ������∈������ ���#��&���&��$�@(� ADaAB ==

8

� 7

��

α

α� �

��

7 8

��α

� �

��

� �

1d 2d 2d

2

2

d

Page 342: 093 Matematika 01 - 02

���

������ ������� � �

� �������� 4;− �����#����� �#�����" � ����������" � ��� 1 0,x − ≥ �0�0 ����+� 1x ≥ �.��� [ )1, ;x∈ +∞ ���� [ )5, ;x∈ − +∞

��� [ )3, ;x∈ ∞ ���� ;x∈� ���� .x∈� ������" ��� 1;− ���� 1;− ���� ( )4 444 3 | 3| 3;− = − = ���� ( )13 5 2 20.− − + =�

�� ��� 9 33 92 2 8;= = ���� 6 38 ;a ���� 9 6 38 ;a b ���� 12 6 927 .a b � ��� 4 123 9a a= ����� 6 125 10 ;a a=

��� 6 44x ����� 6 5 ;ab ���� 12 8 416a b ���� 12 6 327 .a b � ��� 66 2 33 , 2 ����� 6 6; ���� 24 244 2 6,a b a ���� 24 3 6 ;a b

���� 244 4 8 1824 2 ,x y x ���� 3 1524 3 .y ���2 8 4

12 126 2 4,a a b

b c c����

612

3 3 .a

b c ��� 22 4;= ���� 4 464 8;= ���� 2; �0��0,1.

��� ;x ���� 3 2 ;x ���� ;x ���� 3 2 .x� � ��� 4 2 ;a b ���� 4 42 2 2 2 225 5 5 ;a b a b ab= = ����9 ;xy ���� 4 3 .a b

��� ( )23 | 3 | 3;− = − = ����5; ���� 4;− ����3 2;− ���� | 2 5 | 5 2.− = −

���� 4 11 44;⋅ = ���� ( )2 3 4 24;⋅ − ⋅ = − ������"� ( )( )85 84 85 84 1 169 13;− + = ⋅ = ���� 5 5

19 243 37 .

32 32 2= =�

� ��� 2;xy ���� 2 33 ;x y ����3

2

2.

x

y

− � ��� 2108 36 3 6 3 6 3;= ⋅ = ⋅ = ���� 233 2 ;xy x y ���2

2

23 .

abab

c

��� 23 2 3 2 18;= ⋅ = ���� 48

;27

���� ;a ���� 36 .x y ��� 2 22 3 2 3 12, 3 2 3 2 18,= ⋅ = = ⋅ = ����%��7

2 3 3 2;< ���� 335 5 7 2,< ��������� 3 3625 686;< ���� 3 33 2 2 3.> � ���4

3;3

���� 33 2; ���� 2 ;ab b ���� 2 3 ;ab

� ��� ( )3 33 22 32 229 3 3 3 27;

⋅= = = = ����

1;

2�����������������

1.

4� ���

1 3 9 1;

2 2 4 4+ − = − ����� ���

53 ;a ����

76 ;b �����

� ��� 4 ;x ���� 32 6;a ����3 23

.b

a�� ���

34 ;a ���� ( )

12 3 42 ;a b ����

2 13 2 ;b a ����

22 3 .a a+

�� 5(%����7�(����� ����� ����� � 060 .α β γ= = = � �� 1 1 ,ABS A B SΔ ≅ Δ �& ��&�&��%7(&����

1 1AB A B= ����� 1.A A=� � �2�&��7�*(���&�� A� ����� 1A� �7�%(��(�"7�"7(&�4�����(���������(��8�����%&*��&�'�%

����%(����7�(!�����������

����%"��#$�����(��(��$%��&��&� 1 1.AB A B� .CA BC AB< <

��������6"�� a b c< + ���7����&�� ,a a a b c+ < + + ���%��7� ( )1.

2a a b c< + + � ��� 4,5 cm.R = ���� 1 4,5 cm.CC =

>�%����������� ���(�7�&��(&�#�$���(&��(�%(�8�&��(�� ����%$!(&�4�����8����?�'�& �� � >(��(�#��(�

������#") ��&�&��%7�*��%(�* !�� 8 � 1 1ABA BABΔ ≅ Δ �! 1 1,AB BA= �������(���&�#(�

��

����;CAB CBA=� � �& ��&�&��%7(&�E5E� ����%��7� 11 BBAA = �

�� ���� ����� ������ ������ �� �������CD AB MN= = ��� ,CD AB MN� � ���%��7�!����

%� � %��,��(������'�'�"��8

Page 343: 093 Matematika 01 - 02

���

���1 1 7 2 1 3

2 2 2 3 14;2 7 14 14 7

++ = = ⋅ = �2�� 2 2;a a − �0�� 21.a b

b−

�� ����.#������.#����� 3 3 3

1 1 1; ; .xy xy xy

y x xy⋅ � ��� 2; ��������� 3 32 2 3;− ���� 3; ����

17 102 3.

3 3+

��� 3 ;a ����� ( )2 32 .a b ab− ⋅� ��� 4 ;a a ���� 37 5 .x y−

�� �����#������#�������" � ��� 5;a ������#���������" � ��� 6 5 ;a ���� 2126 ;xy x y ���� 122 2 .x x

����#������#�����3

.5

��� 6 2; ���� 15 16; ���� 10. � ��� 5; ���� 3 3; ����� � ��� 6 51;a

a���� 6 8 ;a

��� 5 33 .a a ���18 2 42;+ ������ � ��� 82 6 5 ;ab a b ����8

;27

���� 3 9 ;x x ���� 4 6 ;a b ���� 2 ;a b �2��5 2 6.+

�� ��� 8 27; ���� 4 ;a ���� 8 5 ;a ��� 5 5121;x y

y���� 18 13 .a

�� ���

45;

3���� 2; ����3 11; ���� 32 4. � ��� 2 ;b ����5 ;a a ���� 3 2 ;x ���� 42 .x � ��� 31

12;2

��� 43 2; ���� 4 ;a ���� 5 2 .b ��� 1 ;b− ���� ( ) ;a b a b− + ���� ( )23 .a b− ��� 2 2;+ ���� ( )2 3 3 ;−

��� ( )12 3 2 ;

2− ���� 7 4 3;− ����5 2 6;+ �2�� ;xy �0��

( )( )2

2

2 3 52 2 3 53 5.

3 5 3 5 3 5 3 5

−+= ⋅ = = +− − + −

�� ��� 2 0, 2x x+ ≥ ≥ − �.��� [ )2, ;x ∈ − ∞ ���� [ )2, ,x ∈ − ∞ ���& �@( 2 1x + �(&��(����(���#�$����(��B��� ;x ∈�

c) 3 0x − ≥ dhe [ ]5 0, 3,5 ;x x− ≥ ∈ d) 1 0x − ≥ dhe [ )2 0, 1, ;x x+ ≠ ∈ ∞ e) 2 0x + ≥ dhe 3 0,x − ≠

[ ) ( )1, 3, .x ∈ ∞ ∞ � ��#���" � ����#������#����1

2;2

⋅ �����#����2�#�0�� 32;− ������;)�����7�� ���� �%�'��(&��(�*��(8�%(%���

��� 3 15; ����10 3. ���1; ����14. ���4

;ab

b a−����� �

��"� ���� ��"� ��" ��� 4;− ���� | 3 | 3.− = ��� 12 124 32 , 2 ; ���� 6 4 2 4 36, .a b x y�

��� 32 22 ;ab a ���� 4 2 .x xy� ��� 12 5 ;a ���� 12 11 .a ���8 2; ����46 ;y x y ���� 4 .b�

�����#����� 2 25 5 .xy x y−�� a) ( )2 4 3 ;+ b) ( )( ).x y x y+ +�� �� ��#���"

Page 344: 093 Matematika 01 - 02

���

���������� ���������������� �����������

�����������������

�� ���������'�#�����������'�" � �������8�#���������'�#������� ���8�#�����������8�" � ���-���(�!8�������

�����(���-���(�!*�"('����������( � �� ��� �"""����( 235cm, 577,5cm .a P≈ ≈ � 6"������;(�,

#�8 ��"C��� ��"C��� ����%��7�����C���"⋅ ��"C����� ��"C���-8�����"C��8 ��"C���8�����"C���8 ��"C��8

� ��� 2, 4 0, 7 1,68;S = ⋅ = ���� 36 3 62,35.S = ≈

� 0 0 0 0180 , 2 180 120 46 , 29 37 ; tgb aα α δ α α α′ ′+ + = = − = = ≈ 14,3 0,5685, 8,13cm; 116,26.b S a b⋅ ≈ = ⋅ ≈

�2172, 2dm .S ≈� � 248cm . � 212cm .S = � ���������6(�����'�'�"��8 %������4* !�� 8 ��

AB DM⊥ ����� ,AD DN⊥ �#7������(�����(� 060DABα = =� 4& �#(%���8�

� �

��

��

��

α

α

�#���(���� ���# &���%��8�'���6"�� 0 3sin 60

2= �����

3sin ah

b bα = = �#�8

3 3,

2b= ��8���

6,

3b = ����%��7� 26

2 3 12; 12cm .3

bS b h S= ⋅ = ⋅ = =

�����8�� 10dm, 2,4dm.S h= = �������#"6"�� 1 2

1

2S d d= �� ��78(� 2 3dm,d = �%�(�&��%"��

2 22 1 2

2 2

d da

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

#�8 ��"C�� ��8�a

Sh = � ≈ ��� ���8��� 10,5dm.h ≈ �

2

tg ; tg 7214.2 2

a ah Sα α= = ≈ G���(�7�%(������

��"7��(& �(����� %7(*���(����7�#(%�(&� �������4* !�� 8 ��<�(���(��"⋅ �"�C����2�& �@(

� �

��

ABC QPCΔ Δ��4�&����#�8 � ( ): : ,AB h QP h x= − "7�"7(& &��� ( )3 10 ,x y⋅ − =

%�(�&��!"7 ��7����& &��8 ��( )3 10

63

y x

x y

⎧ = −⎪⎨

⋅ =⎪⎩(&��(���&�#(& �� ( ) ( ){ }7,9 , 3, 21 .S =

-8�� �8$%���(����%��&�#�$��%��,����7�#(%�(&�� ��� %7(�����(�� '�*��7�%(���8

������8 �"7�"7(& &������8��������8

2116, 26cm .S ≈ �(���� 0180 ,α α δ+ + =

�� ���� ��"������ �" � �L� � ���10 2. ���� 15,87.≈ ���� 14,7.≈ ����� 20,86.S ≈ � �������� 0180α = −

( ) 039 20 ;β γ ′− + = �&0��1 1

sin sin2 2

S ab acγ β= = �2�+.' �sin

8,23,sin

bc

γβ

= ≈ ��%�&����1

sin 20,86.2

S bc α= ≈

��� 112,5.S = ��� 263cm .≈ ���� 226,2d m .≈ ���� 2305,85cm .≈ � 218cm .S = � ��������G���(�7��(� 4cmah =

��� 6cm.bh = 6"�� 1 1

2 2a bS a h b h= ⋅ = ⋅ ����� 15cma b+ = � ��78(��"C���8 ��"C���8 ��"C����8�

29cm, 6cm, 18cm .a b S= = =

� 2168cm .S =

���������6"�� 2 64a b+ = ���� 11b a− = �� ��78(� 14cma = ��� 25cm.b = �2(�

'���(& %(���#�8 ��

22 2 ;

2a

ah b

⎛ ⎞= − ⎜ ⎟⎝ ⎠

22 2 14

25 ,2ah

⎛ ⎞= − ⎜ ⎟⎝ ⎠���7�%"�� 24cm.ah = �

1 114 24 168.

2 2aS a h= ⋅ = ⋅ ⋅ =

� �

α αβ β��

#�%&��$#� 8 �4* !�� 8 ����7����&��� #��������� �7�%(�8�&������� %7(*�����������

���%��7�� �(&��(�* 7����8�&8�������#(%�(&� ������?��#(%�(&������� !"�

���!

� ��"����� ��7�%(��(��$�� �&�(8�����#�%(�&,�� %���(�����������2��7�#(�$���7����&�

ABCMCNC SS2

11

=

6"�

Page 345: 093 Matematika 01 - 02

���

� 256cm .S = � ���������G���(�7�%(� 10cm, 14cm,b a= = �����'���(�7��(����#(8!����'���(& &(��"4* !�� 8 �

����

���

?��#(%�(&� ������(&��(�����#���(&�8����!(��� ����%��7� 1 1 .BC CC h= = �2��7

1CC BΔ #�8 �2 2 2 2 2 2

1 1 ; 14 ,CC C B BC h h+ = + = ����� 98 7 2 cm.h = = �2��7

1AC CΔ #�8 �� ( )22 2 22 21 1 110 ; 10 7 2 ,AC CC AC= − = − ��&��� cmAC 21 = �

���%��7� 2 7 2 8 2 cm.AB = + = �1 1

8 2 7 2 56.2 2

S AB h= ⋅ = ⋅ ⋅ =

α

αβ

β� �

��

�� 26dm .S = ��������G���(�7��( 1CC AB⊥ �4* !�� 8 ��<�(���(� 1BCCα =� ���� 1 .C CAβ = � �2��7�%"����7����&�

1 1 ,BCC C CAΔ Δ� ���%��7� 1 1 1 1: : ;BC CC CC C A= �2

1 1 1 ,CC BC C A= ⋅ ����%��7

'���(& ����� ����%$!(�(&��(�8�& �"7��8��� #� �&�"8�%��*��%(��(�� '���(&��(�%���(

� ����%$!��6(&�� 1 132cm, 18cm,BC C A= = ���(���(�%"�� 2 32 18h = ⋅ ���7����&�

24cm.h = �6"�� 1BCCΔ �#�8 �22 2 2 2

1 24 32 , 40cm;a h BC a= + = + =22 2

1b h C A= + = 2 224 18 , 30 cm .b+ = � 240 30600, 600cm .

2 2

a bS S

⋅ ⋅= = = =

�� ���� � 8,5.≈ �����8��� ���������G���(�7�%(� 27cm, 29cm, 26cm.ab c t= = =

0��*�!�� 8 %���* 7(&�&(��(%� 8 ���(��% �� ����������'�'�"��8

����"�8���� %7(� ,AB c BM b= = ���� 2 ,aAM t=�&��$�@(� 54cm,s = � 2 254 27 25 2, 270cm .ABM ABC ABMS S S= ⋅ ⋅ ⋅ = = �

� �

���

� %

6cm, 14,5cm.r R= = � 21320cm ; 15cm; 36,5cm.S r R= = = � 324 3.S = �������3

4

aS

R= �����

3,

2

arS s r= ⋅ =

�2 3

.4

aS =

���%��7�3 2

2 23 3 1; 6 ; 1296; 1296 3.

4 2 4 4

a ar aa Rr a S

R= = = = = ⋅

�� �����8�� � ����8� � �����8����������6(������! %��������(�� @ � DM BC� �����%7��&�

&,�� %(%������#(%�(&� ���(�� �$�������4�� %7(����%���&����������(�����8��%� �8(%������8$'(&�&(

/���% �� 284cm .AMDS = 6"��1

84 142

h= ⋅ �������� ��&��'���(& %(��������! � �84 2

, 12cm.14

h h⋅= =

50, 21, 9.P a b= = = 2206,5cm , 61cm. � 284cm .S = �������6(������! %�������4* !�� 8 � ����7�#$'8 ���

(&��(��(���@$��CM DB� �4��&��� ����%(�*�!�� 8��(�����0�@(�����(&��(

����'�'�"��8 ���7����&�� ,BM DC b= = ����%��7�� ( )1.

2AMC ABCDS a b h P= + ⋅ =

��

��

� �

��

��

���

�),�� %(%��� AMCΔ ��������#��&��8�����8$'(%���/���% ���C���8�

� 1 2

28420; 29; 28 .

29S d d= = = 48.S = �������E(7�* !�� 8�

1

2S r P= ⋅ �4�&��� �#$���(&��(���� 8��� � ���'�� � �

�� 890.S ≈ � 37, 27 cm; 108 cmP S≈ ≈ � 23

3.2

S a= ��� 260 3 cm; 300 3 cm .

��� 2120 3 cm; 1200 3 cm . 255,4cm .≈ � ),�� %�����,&��8�&(�(&��(� 2 224,31m 243100cm ,=

%�(�&��&,�� %����%7(��''�#��(&��(� 2373,68cm ;≈ %$8� � ��''�#�*��(&��(���� � ���8�

2 2 0tg 30 20 tg 6 1260.2

S n rα= ⋅ = ⋅ ≈ �

1,

2S P r= ⋅ ����7�&�7�

1240 60 ; 8cm.

2r r= ⋅ =

Page 346: 093 Matematika 01 - 02

���

2 2 2 21 1: ctg : ctg : .

4 2 4 2S S na na a a

α α′ ′= =��

�� � ��8� � ��� � ����8� ���8� ��������(����������(� ��������"G���(�7��(� 1 4 .r r=

��� ( )1 12 2 4 4 2 4P r r r Pπ π π= = ⋅ = = ���� ( )22 21 1 4 16 16 .P r r r Pπ π π= = = = � � ���8K&���2 #������(

#�'�7(���$"( 2 80 2 0,7 80 351mP rπ π= ⋅ = ⋅ ⋅ ≈ %(�8 %$�( � 30,5.≈ 51,84 162,78.π ≈

� 212 cm, 36 cm .P Sπ π= = � ���������2�& �@(� 2P rπ= ���� 2 ,S r π= ��$�������"7�78(����!�%����(�@��#$��0��&��%7��

��* !�� 8 � �#�8 � ( )2 2 21 1; ; 18 8 5,

2 2r DE DE AD AE AE= = − = − =

1 1 .AD AD D D= + �6"��*�� ����&�"8�%��*����%"7�%� �'��#�8 � 1 1

19;

2AD AA AB= = =

1 1

14,

2DD DC DC= = = ���%��7� 9 4 13.AD = + = �-8��

2 2 213 5 144, 12,DE DE= − = =

���%��7 6cm.r = �:�7��� 8 &�� � 22 6 12 , 36 .P S rπ π π π= ⋅ = = =��

��

� ��

�� ��

��

��

� 2, 215m.≈� ���������5(%� %�α�������&�%�(���78(�%(�&�#�''(�

00 0 046

50 46 50 50,76 ,60

α ⎛ ⎞′= = + ≈⎜ ⎟⎝ ⎠���%��7�

2,5 50,762, 215.

180

π ⋅ ⋅= ≈� � ��� 9cm.r = ���� 072 .α = � 0133 20 .α ′≈ � �������� 2 ,P rπ=

0

270270 270 3

540 2 , ; ; 200 ; 200 ; 200 ; 400 : 3;180 180 180 2

rr r

π απ α α αππ απ

⋅ ⋅= = = = = = =�

0133 20 ,α ′= 4* !�� 8 � 021 30 .α ′= � �������#� 1200 m, 450 m, ?; 450 ;180

rr

π αα= = = =�

0 01200 20 3 450450 ; 21,5 21 30 .

180 3 20

π α π α απ

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ′= = = = =⋅

2

2303 , 6; 36 cm .

360

rr S

ππ π⋅= = = � 7,543cm;≈�

� α

222,62cm .S ≈ ���������6 &�����&�%.%� ��+ � 0 0360 : 5 72 ,α = = ��%�&��� 7,54cm180

rπ α= =� ����� 27,54 622,62cm .

2 2

rS

⋅ ⋅= = =�

�����

2t �

� ( ) 212 2 3 3 cm .S π= − �������2 2 3

360 4

r rS

πα= − �4���#(%�(&� �(&��(������� %7(&��&��� 20, 2 ;P t≈

� � 3,

2 2

tr= ⋅ ����7�#$� ,

3

tr = ���%��7�&,�� %���

����&�#��� ��@��#�������(&��(

2

1 .9

tS

π= ��:�7��� 8 &�� ( )2 2

2 21

3 30,349 0,144 .

9 12 9 12OAB

t tS S S t t

π π⎛ ⎞= − = − = − ≈ −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

�2dm .

4S

π= ���������E(7��* !�� 8 %�)����� ����!�����������4�(������ ���(�7�&��(&�#�$��

�����(����%��&�#�$����8��%� �8(%����� %7(&��

� ��" � ��" � ��" ��� 8cm.r = � 2228cm . � 05 tg 48 40 5,68; 53,96.h P′= ≈ ≈

284cm . � 2101,5mm .≈ �� -���(�#�%(�&,�� %���(���������� �� 7,98.r ≈ ��22,9cm .≈

�(�� 26cm, 7, 2cm .t P= ≈ ��������) ��&�* !�� 8 � �*(���@(�� 0tg 30 ,2

th = ����%��7��

203

; cos 3012 2OAB

t tS r= =

Page 347: 093 Matematika 01 - 02

���

���9:���3/2;���!�

�<#& �8� ���

�E���! 8����#$ *�'�%�� ����E���! 8 �3� �!"7 ��&�(83� ���8$%�$� ����3� ������ %$�� ����3�' %��� ����E�&�#(& ����3�%$8��*��%��,��� ���3�%$8��*���(��'��( ���3�%$8��*����� �%�' ���3�%$8��*�� ���� �%�' ���3���%�$� ���

�+$%#& �% �4����3�' %��� ����3��� "�%�8��� #��3�& %$& ���3�#�& %$& ���3���%"7�%& ���3�#���%"7�%& ���+��8$'��4����3���/���% � ����3��(��&�$8(! 8��(�&�#$��$�� ����3��(��*��(& %��� "�% ���+��8��%��8�'����3�8�%�8 � ����3���' %�8 � ����

9�� 8 �3���&�'$� ���3���'�� * ���3������%�$�' ���"��� #$� �3��$%#& �% ��' %��� ����3��$%#& �% ���� "�%�8��� # ����

�- &7$%#& �% ���1#$ *�'�%�� ��

;%���*�' ���;8�' #�� �% ��;��%� ��� ����;%� � ��(��3�%"7�&�8(� ���3��$�� �&�8(� ����

�5(%� �4����3�@�%���� ���3���� ��� # ���3� �&��� �( ���3� ����%�&�(8 ���5�%7$#& �% ��5��� � �%� � �3����7�(!(& ����3�8�%�8 � ����3��(��7�&(� 8 � ����5�%&��$#& �% � �3����#(%�(&� � ����3�����'�'�"��8 � ����3������! � ����5��(�#(%�(&� �3�#�����3���%"7�%� �' ����0�& ��� �8�� #�� ���0�%�8 �����6$8� 3�%��,��� ���3��(���7�&��( ���3��(��(��(�( ���3���� �%�' ���3� ���� �%�' ���3���� ���# ���3����' ���3���7���� ���3���� �� # ���3�� ���3�� %�� ���3���� ���# &����(���7�&��( ���6�"�� �% ��

.����� �%���8��3�%$8����%��,��� ���3�%$8�������'��( ���3�%$8������� �%�' ���3�%$8������� 8�' ���3�8�%�8�� ����3���' %�8�� ����3��$@ ����3� %*��& ���3���,�&���'"7��� #� ����.���@�%��� ����

�>��#$���3�@��#$ ����

/��#$�������� ����

�=�����! 8����#$ *�'�%�� ����=�����! 8 �' %��� ����

�27�&(�$�& ���27�&(�$�& �8(� �8���� ��(���&�#(� ���2�� ��� ����2�� 8 ��2(��7�&(� 8 � �3�*�!��$�� ����3� �%T7���( ����2 #�����(%� 8 � ����

������� ���:��"$''������7�&��(������&� � ����:��"$''�����(��(�(������&� � ����

�) �����1����&��% � ���)�#��� �@��#�� ���� ),�� %����3�����'�'�"��8 � ����3����#(%�(&� � ����3�#��(�#(%�(&� � ����) &��8 � �7�����! 8�*� ����

�:�� 7�% ����

��)�$8(� &� �8(� �*�"('� ��(���&�#(� ���)�#�''����3�8�%�8 � ����3���' %�8 � ����

�?��#(%�(&����(�3�%"7�&�(8 ���3��$�� �&�(8 ����?����8� ���

��?�,�&� ���3�!"7�� 8 ���3���7�&�� 8 ���3���� ���#� ���

�I%�!��@��#��� ������'������&�'$�� �����#��� �4(�� ���3��(���������( ���3�#�' %��� ���3��(�#$%�(�� ���3�!����*�#��� ������ ��3�#�8$��� *� ���3��&�� �� *� ���3�� &�� �$� *� ���

�J�(��� 8 � �3�%$8��*� ���3�*�#���(*� ���3���' %�8�*� ����

Page 348: 093 Matematika 01 - 02

��

���������

������ �� ���������

����� ���( ����(������������������

������ ��� ����������(��������������������( ����

������ ����������������������(�� ��������������������

����� ������������������������!�

������ ����������������������������

������ �

�����(��(���� ����������(������������������������������������������

������*������ �����!����������������������������������������������������������

���������������������������������������������������������������������

����������������������

������ � ����������� ����������� �������������

���������������������

�����������

�������������������������

������ ������������ ��������������������������������������������������������������������

������������ ���������������*�� ��'�������(��������(��)�������������������������������������������������������������������

Page 349: 093 Matematika 01 - 02

��

�����������@� �#��#���D������G�#�$�G���$����0� ����$�>J�$��K������$�#�

� ������ ��������4��L������� ����#�&�#�1�����J�"���=�������#�&��������A����A�����&�������

������� ����� ��J�$��K������$�#�

���������� ������ ���������K�2����K���#�$�#�������� � ���������������C ���K�����

��������� ���$����M������

���������� ��������������C���� �A�����

������ �� � �������4��"���K���#��#�0� ���8$�����#�G�����8$�����#�

������8������

���������� ��� �����J�$��K������$�#�

����0�����������8����������K�#��������7���� �#������0�>������

!����"N�����"����#�����#��&�K�#��

#��$��"((''

0��$���������������������8����������K�#��������7���� �#������0�>������������.(���3�������+'*�'�' ������������������#����� ����

Page 350: 093 Matematika 01 - 02

���

�� � ���������������������������������

������������������ ������������������� !"������#����$% �&��'�"�����

(��)*(�+�

,-./,-.��-��������&����0� �&���� �1����� ����������������� ����2����#�������������[��& �]��

"������0�,����� ��������� ��������������������3������������,���&������4)�)����+()��0����� ����4(�#

-��� �� 0����#�����������5� ����6������6� ������,���&�����7�8����"��9������

;,<����� �� ��� �� �

���������������#�O���� P@9GCKK0<.C4�+(�,'�)