Upload
others
View
2
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
ARSIMI I MESËM PROFESIONAL
PËR VITIN I
ARSIMI I MESËM PROFESIONAL
PËR TË GJITHA DREJTIMET
Naum CellakoskiVerica Bakeva
Borivoje MilladinoviqJovo Stefanovski
MATEMATIKAMATEMATIKA
PARATHËNIE
Ky tekst paraqet librin e matematikës për vitin e parë të arsimit të mesëm profesional. Në të janë të përpunuara të gjitha përmbajtjet të parapara me planet përkatëse mësimore për të gjitha drejtimet të arsimit të mesëm profesional. Sipas programit mësimor, për secilin grup të drejtimeve janë të përpunuara temat përkatëse. Në të secila temë për grupin përkatës të drejtimeve është shënuar me shenjë në mënyrë vijuese:
elektroteknik, makineri, gjeodezik-ndërtimor, komunikacionit, kimiko-teknologjik, xeherorë-gjeologjik, metalurgjik, shërbime-personale (optika e syrit)
ekonomiko-juridik dhe tregtar, lëkuro-tekstil, hotelier-turistik dhe grafi k
shëndetësor, veterinar-bujqësor, pyjor-përpunim i drurit dhe shërbime personale (profi l: teknik i kozmetikës).
Grupi i drejtimeveShenja
T
E
Z
Çdo temë është e shënuar me shenjë përkatëse për secilin drejtim apo grup drejtimesh për të cilin është dedikuar. Në tema të parapara për dy grupe drejtimesh, përmbajtjet mësimore (mësimet) janë të shënuara për cilat drejtime janë të dedikuara, e ato përmbajtje grupi tjetër i drejtimeve nuk i mëson. Detyrat të dedikuara për një apo dy grupe të drejtimeve janë të shënuara në mënyrë përkatëse dhe ato nuk janë të obligueshme për drejtimet tjera. Libri përmban nëntë tërësi tematike. Çdo temë fi llon me shqyrtim të përmbajtjeve mësimore. Gjatë përpunimit të tërësive tematike do të takohesh me:
Kujtohu! Do të thotë, duhet të përkujtohesh në disa koncepte dhe pohime dhe t’iu përgjigjesh kërkesave të dhëna. Kjo do ta lehtësojë të mësuarit e përmbajtjeve të reja.Me këto shenja njësia mësimore është ndarë në pjesë (porcione) të cilat u përgjigjen koncepteve të reja.A B
, ,...
1 2 3, , ,...
Me këto shenja janë të shënuara aktivitetet, pyetjet dhe detyra që do t’i zgjidhësh në orë në mënyrë të pavarur apo me ndihmën e arsimtarit.
Me këtë janë të shënuara pyetjet për të cilat duhet të mendohesh dhe t’u japësh përgjigje.Te kjo shenjë është dhënë ndihmë për zgjidhjen e kërkesës së parashtruar ose përgjigjja.
1
2 3
,
, ,...
Mbani mend!
Kjo të udhëzon në defi nicionin e konceptit të ri apo në pohimet që vlejnë për atë koncept.
Secila temë në fund përmban detyra për vetëkontroll (detyrat kontrolluese tematike) të shënuara me
Në pjesën e dytë të librit janë dhënë përgjigjet, udhëzimet apo zgjidhjet e të gjitha detyrave.
1 2, ,...Në fund të secilës njësi mësimore janë dhënë detyrat për punë të pavarur të shënuara me
Do të na gëzojë nëse ky libër të ndihmon të mbërrish sukses solid. Autorët
�
��������������
�
�
��
��
��
��
��
�
������ ���������
��
�
��
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
����������
����������
����������
��������
������������������ �������������������������������������
������������������� ��������������������������������
������������������ ����� � �� ����� �� ����� � ��������
�� ��������������� ��������� !"��� ��#���������������������
��� ����� ���� �$������������ �����������������������������
�� ����� �������� ������ ����$����������������������������
����� ������� ��������� ����� �� �� ��������������������������������
���������������������������������
�� ����� ��� �����������������������������������������������
��������� ������� ����� � ��������� �������������������
�������� ����������������������������
"� ���� �����%������ � ����� ������������������������������
�����
��������
����
����
����
��������
��������
��������
��������
��������
����
����������� & ������������� � �� ����� ��������������
2.
32
.3
�3
.4
�
7.
8
� �.1,23 5� �.0, 3
1.2
1 2 3 4....
05�7�
20�
100�
2002.......�
2� 1�
��
�
2
3
5
1, 101001000 ...
�
�
��� �� �
�
�
�
���� � � ����� � ������� �� �������� �� ��� ������ ��
�
��������
����������'�� �� �����������()�*�������� �������� +)�*�������'�������������+)�*��������� ��� +)�*������������� +)�*������������� �
&� ��� ��������� � ���������������� ��������
,������� ����� � � ������ � ��������������(�-�.�/�0�1�2+$-�0�)�3�4�)5+�-�0��/�5�4�6��������4�37
8���������������������������������������� ��� �%����������� � ���������� �
����� �$���(�5��*���������9:����"�����������������#�������;������������ ���������������
# � τ<�-� ���������� ������������� ��������� ������������������� �$���� τ<�-�4�⊥��<� = �(������ ��� ��������� �� τ������������� ���%�$ ����� �-�
*�����+���������������������� ��������������������0�⋅ 3�/�5�4�6�����������%������ ���������������� ������������������� �������� τ<�-�4�>�
&����%������ �������� ������������� ������� �$�����%������?#�� ��������������������� � ���� ;���������������@�������%������ �������������������������=���������������� � ���� �� �����������=������������������� � ���� ����������� ������������������������������� � �� ���������� ���������������� ����
*������(�9�������A���4��6�;+�9# ����� �3��/��0��1��.;+�9�����������'���� ������������ ���$���$������;������������� ��� ' ��� �������������������� ���� ������������ ������� �����
*������9����� ������������������������'������������� ������������ ������������ �������� ��������� ���������
*���������9�� ��������������������� ��;��������������������'��%��������������������
����� �$���(5��:����"�����������������" � ��3�� ������������� '�� �����B�����#�' ������0��# ������������ ��������� ��� �����������.��&������ �� ���$�����������$���$�����A��������2������� ��� ���
"�� ���� �����%����������������������� ��������� �������������������������������� ������ ����� ����� ������� ����*������� ���������'� �������������������
����������%������ �������� ��� ��������'�������� � ����� ���� � ������� ���
��
�
�-�# ����� �3�4�0+ $-���/�3�4�A�������4�5+ �-�6�1�0+�-�@������0�C�D+ -�3��/�0�4�5+ %-�>� ������������� ����� �
�
,������������� ��������������(
��10 2 3 4� � � ����������� 7 4x� � ����� 3x �� ���5���������������� ���+ � 32 6� �
� ,����� �� ������ �$���$����(
�- (3 4 8)� � � + $- (2 8)� + �-�τ<3�����������������$���-+ �- ( 1 1x� � � ����� 0)x � �
�-� (3 4 8)� � � �� �
��������
�������������� �� ���������� ��� �����%����� � �������� ������ ����������E�� �������� ������� �����E�� ����������%������%�������� �������'��������%�����������$���������� �������� ���������������F� ���������E���9� ;��9� ;��?��� G����� ��;��9��� � �� ������� ;�� �� �������9�;�
�� �������� ����������� �������� ����E�� (������������������������������
�
������� ����� ����F��������������������������������� ���������
�������������� ��� �������������������������� �����������'�� ������������ ������E�� ���� �������9�;�
*������� �������� � ����������������� � ������������ � ����� ���� � ������� ���'� ��������
*�������'�������������������%��������� ��� �������� ���$������ �������� ��%�������'������$���������� �������������� �
H���������%������(5��I ���������3��#����������������������%�����������$���� ����������+�-����$���� �<�� ����������������� -+$-������� �<�� ������������������ -+�-�# ������<�� ����������������� -�������%������� � �<�� ��������� ����� -���%����� �5-��3-�
���������� ������������ �� ��������!���������%������%�����������$����� �������� �
�����'����������$�������������� ������E�� ���� �������� �� ������?�;��'� ������"��������� �����!�����#
: ����� ����������*������?H�������������������������������� ������������������������������ ����������������� ���������������������� ��
?H��;�'� ���������������� ���� ��� ����
J���� �������� ��������(�9K����������������������$���L��
M��������� �������9�L�'�������%���%�� ��������������� = ��9K������������������� ����� ���;<���� ���� �9H����������������������� ���;-������ ��������������� = �� � ������(�9��������� ������� ����������������������� ���;�
�
"� ���� ����� �������<����� -�������������������' ����� ���$ ���
��� �$N>��⊥O����� ���� �� ��������$��������$����'�� ����������������� � (
� � ������� ���� �τ%�&��τ%��&�������������� ���������� ���������������������$ �������(
( )pτ ( )pτ ⎤
��
�
������� ����� �� ���� � �� (�������� ��������� ������� (�&�(�D������������F�%�+ $-��(�:����"������������������������+�-���3P������������F�%�+ �-��(�&������ �� ��� �����������������������$���$�����
���������
�
�-���(�D����������������� ���τ<��-�4⊥+ $-�:����"������������������������������τ<��&�4�>+�-���(�3P�������������������� �����τ<��-4⊥+ �-�⎤�(�&������ �� ��� �������������������$���$������τ<��-4>
� ���� �������� ���� � ( �-�2 0� + $-5 1� �
�-��<31Q-������ �����������3Q+�9���������3����������� �Q;������ ��������� �93��������� ������� �������$���$������ �Q;�$-��<A≤5-4<A15-+�9���������A������������ �5������$���$������ �5;������ ��������� (�9A�1�5;�
��������
��� ���������������������������������������������������������������
��� �������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
�����������9��� ��;������ � ���� ����������������$����������������������� ����� ���������� ������������� ���
�
������������9��� ��;������ � ���� ����������������$����������������������� ������ ���������������� ����� ������������ ������������������ ������ ���������� ��������������� ���
���������������� ������ ����������������� ����� ������������� ���
�
�
�
� �
�
�
⊥
⊥
�
⊥
⊥
� ⎤
���� ��������� ������������!"��"��������#�����#��$������������ ���������!"��"�������������#��$��
����� ������������� �������������� ���� � ���� ������� (�(�������53���������� ���� ����� ��������.���������(�I�� ����� ��������������������� ���������� ���
����������� ���� � ������ ��������� ( ����������� ���� � ������ ��������� �(
p q∧ p q∨
�
������������∧ �(�������53���������� ���� ����� �.�� �'�� ����� ��������������������� ����� ���&�������������∨ �(�������53���������� ���� ����� �.�� �'�� ����� ��������������������� ����� ���
>�$ ��� ����� �������
���������������( �����������������
��� �$�4�N>��⊥O���� ���� �� ��������∧���� ��������∨�$��������$�=�$����$���������$����'�� ��������������� � (
���������
������������������
��������
⊥⊥
⊥⊥
⊥
⊥ ⊥⊥
⊥
⊥
A A� �∧
��������
��������
�����������������⊥ ⊥⊥
⊥
⊥
⊥ ⊥⊥
⊥
⊥
A A� �∨
,������������ ����� � ����� � ������������� ����-�������53���������� ���� ����� �2�� �2�������� ���� �����A.+$-�52����������%������A�� � "�<2��D-�4�3.+�-�3⎪2�� �0�C�3+ �-�0�1�A�� �0�/�3�4�2�
&� �����E$��������� �� � � ���� ��� �������������������$������� �� ������
�-��(�������53���������� ���� ����� �2+ �(�2�������� ���� �����A.�
�� ��τ<�-�4�>�� �τ<�-�4�>���� ��τ<��∧ �-�4�τ<�-�∧ τ<�-�4�>�∧ >�4�>�$-��(�52����������%������A+ �(� "�<2��D-�4�3.
τ<�-�4�⊥���������τ<�-�4�>����������τ<��∨ �-�4�τ<�-�∨ τ<�-�4�⊥ ∨ >4�>��-�τ<3⎪2�� �0�C�3-�4�τ<3⎪2-�∧ τ<0�C�3-�4�>∧⊥ 4�⊥��-�τ<��∨ �-4�τ<�-�∨ τ<�-4�⊥∨⊥4⊥
� �
�
�
�
� �
�
��
�
�
� �
p q�
� �
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
p q�
H������������ �(��(�<)3-��/�5�4�A+��(�D����������������F�%�+��(�35���������� ���� ����� �6�*������ �� ����$���(��-� rp ∧ + $-� ;q p∨ ������-� ;p r�� ������-� .q p�� � �
,������ ���� ���� ������ �
�-� : 8q p�� � �����������F�%��� �<)3-���/�5�≠�A+� � � � � � �q p q p� � �� � � �� � � �
⊥
���
⊥
�
�� ,������ ���� ���� � ����� � (�-������63���������� ���� ����� �A�� �3A���������� ���� ����� �A+
$-�1 1 2
2 3 5� � �� �
1 1 5;
2 3 6� �
�-�0���/�5≠ 2�� ��<6���D-�
���
� ,����������� ��%����� ����� � ���������(�-�A��������������������$-�3��1�����-�0�/�A�C�6� ����-3��1���������4�0� -�������� �� ������������������� ������� �%-�������D3������������� ���-�B� �����E������������������������
�
� ������� �������� ���� � ����� � �-�������5A�������������������$-�������0P�������������������� �����-���$�����D����� ��-�D����������������F�%�� -�<P�1�0-+�<0�/�A�4�6-+�<2���P-�<5A���5Q-
� H������������ �+
�����������1�3+����������C��)���������� ��(�0�1�)0
*������ � ���� ,p q� ������ ;q r�� ����� ,p r�� � � ������������
�� ��������� �������
� H������������ �(�(�0���������������� ����� ��(�0�����������F�%���*������ ��� ��������������� ���� ���� ������������� (��� ;p q�� ����� ;p q�� ����� ;p q�� � ����� .p q��
� ,������ ���� ����� ������������� � (�-�:����"����������������� ����� ���������� ��$-�:����"������������������������������ ���������������� �������-�:����"�����������������" � ��� ������������������
,������������� ��������������(�-�5Q�/�A�⋅�.�4�0Q���$-�10 5 2 30.� � ��-�612 : 3 24.� ��������-�# ������������ ���� -� ���� ����� � ������ ������������5DQR�
��
�%
�%
�� ��� �� ���� ������
��������
�����%���������� ����$������ �������� � � � ���� �,������������� �� � � ���� ����%������� �����7# �������%����������������������� �����%������� �������������� ����������%������� �����7
H���������%������(�-���� � �� �������� ����� $���������� ��� ������ �� �$�E�����������$���$�����$-�>� �������������$������������ �� �� ������ ����������� ����$���$����
�������������9��� ������� ����;��������������$��������� � ���� ������������������������ ���� ��������������
�������������������� ������������������������������� ������������������� � ��� ���
�����������9����� �� �� ������� �9�;���������������$��������� � ���� �������������������� ���������������� ��������� ���� ��������������� ���������������������������� ���������������� ���� ������� �������� �������
����������������� � ����� �����������!
,p q⇒
� = �(�9��� ������� ������9��������� ����;��;�������� ���;��9�����������;� ���
������� ����� ���� � ���� �'� ���������
� *��������������� � ������ ���������� � ���� ������� ��(�3.�4�D�⋅ 0�����������(�D⎪3.�
����������������( ��� �3.�4�D�⋅ 0����� ���D⎪3.�
������� �������� 3.�4�D�⋅ 0���� �� �� ������� �D⎪3.�
��� �� � � ���� ����%�������9�����;�����(�(�>� �������������$�������� �(�>� ������������������ ����$���$�����
� H������������ �(��(��������������@J,&�������� ����������(�&������ �� ���������������@J,&���������$���$�����*����������������� � ������ ����� ���� � ���� ��
� �
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
>�$ ��� ����� ������� (
���������������� ������ ��������
� �
⊥
⊥
⊥
⊥
⊥⊥⊥
⊥⊥
⊥
⊥⊥
p q
�
p q
� = �(�9����� �� �� ������� ��;��9������� ������ ����� ��;��9� ��� ���� �� ������� ��������;�
�
,p q⇔
��
��
��� ��$�4N⊥��>O���� ���� �� ������⇒��� ��������⇔�$��������$�=�$����$���������$����'�� ��������������� � (
���������
������������������
��������
⊥⊥
⊥⊥
⊥
⊥ ⊥⊥
⊥
⊥
A A� �⇒
��������
��������
�����������������⊥ ⊥⊥
⊥
⊥
⊥ ⊥⊥
⊥
⊥
A A� �⇔
� ,������ ��������� ������� � (�-�<)A- ⋅ 0�4�)5A���� �� �� ������� �A�⋅ <)0-�4�)5A�$-���� �02���������� ���� ����� �D����� ���02���������� ���� ����� �.��-���� �0��4�<)0-������ ���0�4�)0��-�������02���������� ���� ����� �0����� �� �� ������� ������ ���%��� ������������� ��� ���� �� ����� �0�
���������(�<)A-�S�0�4�)5A����������(�A�S�<)0-�4�)5A�
���� � �p� �
�
�� � � �q� �
�
���� �� � � � � � �p q p q� � �� � � �
��
�
�
�
�
��� � � � �,p q� ��� �
�
&�������� � �p q� � ���
�
�
�
��� � �p� ��
&� � � ,q� �� �������� � �p q� � ��.����
�� � �p� �
�
&� � �q� �
�
&��������� � �p q� � �
�� �
�
�
� ,����������� ����� ����� � ������������ ��(
�-� 35 5 3� � ���� �� �� ������� � 34 4 3.� � $-�20 21 1� �� ���� �� �� ������� �30 31 1.� �
�-���� � 25 1 24,� � ���� ��� 25 1 9.� � �-���� � 1 1 1,
4 3 7� � ���� ��� 3 43 2 .
� ,������ ���� ���� � (
�-�2 3 3 2;> ⇔ > $-�2 3 4 6;> ⇒ >
�-�3 2 2 3;> ⇔ > �-� 2 24 8 3 6.= ⇒ =
���������9��� ������� ����;���������'� ������"���<��� E���������-�������������������������<��� ����������%�����-
� ��������������������������������������������� � ������ ����'� ����� �������������#
��
���
�
�
� # �������� ���$ ������������ ������������ ���� ���� � ����� � (��� ;q p�� � ������ ;p q�� ������ .p q��
� H������������ ��1 2 1
: 1 ;2 3 6
p � �
1 5: 2,5 1,5 10 17; : 5% .
2 1000q r� � � � �
,������ ���� ����� ������������� � ��� ;p q ����� ;p r�� ����� ;p q�� ����� .p q��
� ��� ��� ��'��τ<��⇒ '-�4�>�� �τ<'-4⊥���� ��������������(��-��������+�$-����������
���������������������� �������� ��������� ���
�
��������
������������������� ��� ���%����,��������������%��7 �������������(����E �� �� ����� ��'���� ��������������� �� ��'���� ��������������������������(�5��3��0��.��G��������$��������� ������� ��������� ��������� � ���� �������
{ }1,2,3,..., 1, , 1,... .n n n= − +�
��� ���� �� �������� � ������ �����������������(
� �
,��������������������������������7,�������������������������������(����������3����������P6�����������AQ5������������7,��������������������������������(���������A�����������3QQ�������������7
� @������������ �������(�9 ���������������������������������� ����7;�
�������Q����� ������������������������������� ���������0 .∉�J�������� ���������������� ���������� ��������E ����� ��� � 0 ,� ������� { }0 0,1,2,3,4,...=�� �'� ��$�������� �E�� ����� ������� ���������
��������
H������������ �� 1 1: 5, : 4
5 4p q� � �
1: 3.
3r � �*������ (
��� ;p q ������ ;p r�� ������ r q��
� �������� ��������� ������� �
�
H������������ �� : 3| 7, : 3| 9 : 3|1.p q dhe r
*��������� �(��� ;p q ������ ;p q�� � ������ q r��
� �������� ��������� ������� �
�� �������
��������������������������������� �� ������ �E���������������������������J�������� ������� �������������� ���%����� �
H������������ ���(�������53���������� ��)�� ����� �0���(�������53���������� ���� ���� �3+��(�������53���������� ���� ����� �2�*������ �(�-� ;p r�� ��$-� ;p q�� ���-� ;p q�� ���-� .p r�� �
,������ ���� ���� � �
��
� �����E��������������'������� ���E����� ��� ����� �� �� ��������� 1.OA =
������'����������� ��������Q���������������$����������� ��������5�
������� ������������������������������������ �+�������0��������A���������7&� ���E��������� ��� �������� ������������������$�� �'� ��$������ ����
� ,������� ����� � ����� � ������������� ��(������-�5 7< + �$-� 4 5> + �-�25 26< 7
��������������
������������������������ ���������<��C��-����� ����$�������� ��������������� �������������������������
� ,�������������� ������ ( )0 n≥� �����F������������������
� ,������������ ������ � ������������� ��(
���12 18;< ���������� 5 8;≤ �������� ( )7 3 ;<� ������� ( )8 15 ;≥� �������� ( )3 3 ?<�
�� �������
�������������������� �������������������� �������1 2 3 4 ... 1 ...n n< < < < < < + <
8�������������������������� ��������������������� �$�������� ����
�� �(� �
23 35;+(27 1023) 350.+ +8�%�������� ���������������� ���������<0��A-����� ���� ����������������D���������� ���� �
�� ���������(3,5) 3 5 8.+⎯⎯→ + =
�� �
27 15;⋅(4 25) 13.⋅ ⋅8�%�������� ���������������� ���������<0��A-����� ���� ����������������5A������������
��� ���� ��������(3,5) 15⎯⎯→⋅ �
#$� ������� ������������E������������ ���������������� ��������������������� ������F�%������ ���������������� ������������������ ��� �����������������������'��'� ���������� ��������������������������F�
, ,a b∈� �( )a b+ ∈� ��� ��������( ) .a b⋅ ∈�
��� � �
' � � % (
��
#$� ����� �����E������������ ��������������� ����� ����$��������� ������� ���������
����������������� �$���E�� � (���12 13 13 12+ = + � ������ (8 15) 12 8 (15 12)+ + = + + � ��� 8 9 9 8⋅ = ⋅ ��� (7 5) 4 7 (5 4)⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ � ������ (5 13) 8 5 8 13 8+ ⋅ = ⋅ + ⋅ � ��� ( )8 5 13 8 5 8 13.⋅ + = ⋅ + ⋅
����F�� , ,a b c ∈� ��� ����� ��������� � (
� ( ) ( )a b c a b c⋅ ⋅ = ⋅ ⋅
� a b b a+ = +
(�����)��*���� ��%�����������&
(��������+���� ��%������������&
#� �����"����
� ( ) ( )a b c a b c+ + = + +
� a b b a⋅ = ⋅#� �$�������
K� ������������E���������������$������������ �� ��$� �� �
�� ��� ��� ��������� ���� �%�����
" ������������ � ��$� �� ���� ���� �� E��������������������������������������������������������������� ���$� ������� �������� ����� � �� � ������ � ��� ��� +������ ��� ��� �� ��� ��������������+��<�����-���+������<����+-���������������� �� � ������������� ������� �������+,�������������� ������������ �����������
( ) ( ).a b c a b c a b c⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅
�� �� ���-� 2 6 8 4 7;+ + + + ����$-�5 3 8 2.⋅ ⋅ ⋅
" ������������ �� ��������� ���������E$�� �� � ������������������������$� ���� ���� �����������E� �� �
�� �� �(����-�1234 573 266 427;+ + + ����$-�8 25 125 13 4.⋅ ⋅ ⋅ ⋅
��������
�� ��-�8 5− +������$-�120 90.−M���� �$���E�������/�A�4�5D�#$� ������������������ �������'���������������E$��� ���$� ������������: ����� �� , .a b∈� ������������-������������������������� ����������+������ �$���$����� ������ ����������-��������� �����+���#
�� �(���-�73 65;− �$-�23 25.−� ��
�� # �E$������� �� �����������$���� ���� ��'���������������$���E���(
( )( ) .a b c d ac ad bc bd+ + = + + + �<T��E��(���/���<� �+�/��-�E�� ������ ��-�
����������� �� �'�����������60�)�2A������������������������������������� �������������30�)�3A�����������������������&�������E$������������ ���������� ����������$��������� ������� ���������
(������������*�� ��%�����������!��&( )a b c ac bc+ = +� ( )c a b ca cb+ = +
��
�� ������
�����������)����������� ������������ ����������������������� ������� ����1���
�� ������������������� �$���E�� � (
��� (25 13) 8 25 8 13 8− ⋅ = ⋅ − ⋅ ����������� 8 (25 13) 8 25 8 13.⋅ − = ⋅ − ⋅
.�����/!������� "���
���E���������������$������������ �� �E$���� �� ������� ������������ ������������F�������, , a b c∈��� �a b> ��� �(�( )a b c a c b c− ⋅ = ⋅ − ⋅ �� � ( )c a b c a c b⋅ − = ⋅ − ⋅ �
�� ,������ ���� ����� ������������� � (�-�15 8 8 15− = − ����� ����$-� (15 8) 5 15 (8 5).− − = − −
����E$���� �� ������� ��������������� ������ ������������ � ����� ������������ �
�� ����� ���$� ���������E����� �E$������ ������� ��������������%�E �����$��������� 0� �������������������������� .� �" ����� �� ����� � �'���� �������$���������� ��� ���� � ����$��������
0 ,� �� ��� �(�����F�� 0a ∈�
�� : ����� ��� 0,a b∈� �� �( ) 0 ,a b− ∈� ����F%���������������������������� ��7
��������
�� ��53A�(�A�M���� �$���E�����.��4�3.�: ����� ��� , ,a b∈� � � ���������������������������������� ����������⋅ ���������$���$����� ������������� �������������������� ���⋅ ����
� �
$� ����������������� ��363Q�� �������������� ������ ����������� ������=�����������������@��������� �� ��� ��������������03��=����7
�=������� � ���� ����� � �� ������������ �� �����������������@������
� ,������ �����(��-�335(50�� $-�53D�(�A�
# ����������� ��� � �����53D�(�A������������������������&�����������F�,a b∈� �� ������($��������������������������������
����� �$�����������4�53�� ���4�A����� �E����������������������������������������� �$���E���������⋅ ����������53�(�A�4������ ��������53�4�A�⋅ ��
�� ���������
�� ����������$��������� ������� ��������������� ���������� �������
0 0 , 0 0 0, 1 1 .a a a a a a a a+ = + = ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ =
��
! �����..�(�A������������������������# ��������� � ���������������� ���������� ��� �'� �������������$����#������� ��(�..�(�A�4�D�� ��$ ����.���� ��������..�4�A�⋅ D�/�.�
�� �������
����F%������������������������������ ����� �� ��������� 0, ,q r ∈� �����a b q r= ⋅ + ��0 r b≤ < �
�� ��������'� �� ��������� ����$ ���� ��� �������������� ���
K������� ����������������� �06��0Q�� �.�� �A�� ���06�4�6�U�A�/�3���0Q�4�2�U�A�/�Q�� �.�4�Q�U�A�/�.�
�� ����������������� �$���E�� � (
�-� (12 9) : 3 12 : 3 9 : 3;+ = + $-� (24 16) : 4 24 : 4 16 : 4.− = −
������ ���������� ��� ���(
��� , ,a b c∈� �� ( : )a c ∈� �� ( : )b c ∈� �� � ,a b> ���� ��
( ) : : : ,a b c a c b c+ = + ��� ��������( ) : : : ,a b c a c b c− = −
�� ����������������� �$���E�� � ( )36 : 3 6 36 :3 36 : 6.+ = + �8L�����������%����7
���
� �������������������$ ��� �$������������������ { }2006 ;A x x x= ∈ ∧ ≤��
���������� { }101 111 .B x x x= ∈ ∧ ≤ ≤��
� ,������ ���� ����� ������������� � ���25 30;< ������30 50;≤
��� ( )27 26 ;≥� ������ ( )15 15 .≠�
� ����� ����� �� ��� ���� ��� ������ ������������156 28 344 372 100;+ + + +���442 75 192 358 8;+ + + +�-� 4 11 25⋅ ⋅ +������������-�125 25 7 8 4⋅ ⋅ ⋅ ⋅ �
� �� �(
�-�( )45 5 8;+ ⋅ ������$-� ( )372 2 4;− ⋅
�-� ( )3 81 43 5;⋅ − ⋅ �����-� ( )8 2 51 5 17 15 ;+ ⋅ ⋅ − ⋅
-� ( ) ( )12 4 16 84 : 6 2 180 : 4 3 17 5 .⋅ ⋅ − − + ⋅ ⋅
� �� �(��� 9 9 7
98 9 6987 9 59876 9 498765 9 3987654 9 29876543 9 1
⋅ +⋅ +
⋅ +⋅ +⋅ +
⋅ +⋅ +
�������1 9 212 9 3123 9 41234 9 512345 9 6123456 9 71234567 9 812345678 9 9
⋅ +⋅ +⋅ +
⋅ +⋅ +
⋅ +⋅ +⋅ +
�� ���� ���� ���� � � ������ ��� ������������ �������������������
'��'� ��� ����������$���� � ����������������������� �� ��$� �� ����� ��������E$���� �� ������� ���������
�� �� ����������������� ���� ���� � ��<�����-�(�+�� �<��-��-�(����������4�02����4�53�� �+�4�2�
��
����� � � ������������������������������
��� �������� ������������� ���� ������������������$ �������� ��
, 0 .a b q r r b= ⋅ + ≤ <
��������,���� ������� ��$ �� �������� �
�� ����������������� (
�-�.D�� �2+�������������$-�2P�� �6�
��� ����$���E����������0�������������$ ������4�Q����� ������������������������������� ���� �����������������������������������<����������� ���� ����� ���� ������������%�������-�������� ��� �⎪�-������ �$�����.⎪3.�������'��3.�4�2�U�.+��D⎪P2�������'��P2�4�D�U�53�������D������������ ���� �����������AQ�� ��������8 50� �
� ,����������������� ������ � ������������� ��(
�-��7 21� + $-��4 2� + �-��8 16� + �-��03�����������%�����.
-��0�������� ���� �0P+ %-��6������������ ���� ��0A�
����� ��������9��� ��� ���� ���;������������������� ������ � (
������� ���������� ���� ���������� ���� ������� ���+�������� ���� �� � ��������������� ���� �������
( ) ( )c a c b c a b∧ ⇒ +� � � �
���' ����� ������
�������E����+⎪��� �+⎪����� ��� ������0�+�� ������0�+������� ,m n∈� ���� �����������������������������0�+�����0�+��+�0�<�����-�&���������������������������'���������������������� �������+�� ������������������������������������%������������+���� ��������+⎪<�����-�
������ �m a� ���� n b� &���� ��� ( ) ( ).m n a b⋅ ⋅�
���' ����� �����
����m a� �� ����� ,n b� ���� ��� 1 2 1 2, , .a m k dhe b n k k k= ⋅ = ⋅ ∈� ��������
1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ),a b m k n k m n k k⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ �'�����������( ) ( ).m n a b⋅ ⋅�
� "��� �������(���� ��( ) ( ) ( ), at her ( ).m a m b a b ë ë m a b∧ ∧ > −� � �
����
��
&��� 1a a= ⋅ ���� ��������a a� �� 1 a� �
�������� ���� ���� �����������67 ���� ���� �����������D7 ���� ���� �����������57
� �
�� �������
������'������ ��������� ���� ��'� ������������ ����������'�������������� ������ ���� ��'� �������������$����������5����������������������� ���� ���������������$����
1��+��*�������+�)���������*��� �������!����������!�� ��/*����2*���������*��� �����3�������)���������������)������4�����������)��5����������%���)�666���#�#�&������!���*�����������5��������������+�"�����77��*���������������3������*)���)����*�
�������5����������������������� ���� ��������$��������� ��
�������3���������������� ����������������� �F��������F�%��
���������������������������������������0������������������� ���������������� ��F����������� ���������'�������� ������� ���� ����� �0�
�������������������� ���E� ����� ��������� ��������������������������� ����������������
�J�������� � ������ � ��� �� ���� ����� ��%���� �
� �������2Q�� �5A3�E$��� ����������E� ������� ���
260 2 30 2 2 15 2 2 3 5 2 3 5;= ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅3152 2 76 2 2 38 2 2 2 19 2 19.= ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅
�������������(� ����������������$������������������������'�� ������������������� ������ ��������'����� ������������������������� ������ ��������� �� �� ������ �� ������� �����E� �� ��������� ���������� �
���������������������� �����
� ,������� ������������ ������������ �������������$���(������-�536+ ��$-�P5P�
��������������%������(����������)�����*����+�����,����'
�������������%����(���������)����*����+����,����'
�������������%����(���������)����*����+����,���%'
��%����%����%%���%(���%����%)���%*���%+���%,���('
��(����(����(%���((���(����()���(*���(+���(,����'
�������������%����(���������)����*����+����,���)'
��)����)����)%���)(���)����))���)*���)+���),���*'
��*����*����*%���*(���*����*)���**���*+���*,���+'
��+����+����+%���+(���+����+)���+*���++���+,���,'
��,����,����,%���,(���,����,)���,*���,+���,,���''
�
� �������53Q�� �.3A�E$��� ����������E� ������� ������� � ��%����E������$ ����� ������
120 2 425 ����5�� 60 2 ��85 ����5��30 2 ��17 ����17��15 3 ����1����5 5 ����� 3120 2 3 5= ⋅ ⋅ ������������������������������������������������������������� 2425 5 17= ⋅�����
�������526�E$��� � ��������E� ������� ����
� ��'������ �������526�������������� ���� ����� �3��0�� �A������������� ������� ���������6�� 55����������� ������������ � ��'��526�������������� ���� ����� ����������526������� ��� ����� �50�������'��526�C�52P�4�50�⋅ 50����� ��� �������526�������������� ����� ���� ����������� ���� 50���� �������������������������� ���
�� �������
��� ������������������������������ ���� ����� ��������������� ��������� ����������������������������������������� ������� �������������������������� ����
��������
�� ���� ���� ��������5D�����(�5��3��0��2��P�� �5D�,��������������� ���� ������������3.�,������ ���� ���� ����$��������������� �5D� �3.�
� H������������� ������������������52����������� ����53���
,������������������������� �'��� ���� ���������������� ������� ������$���$�����
�� ���� ���� ����$��������������� �52�� �53������5��3�� �.������ ��� ���� �����������������$���������� ������������.��������
�#��<53��52-�4�.�
>������ ������ ������� ������� ���� �������������.���
�� ���������
�� ���� �����������������$����������������� ������������ �������������������������������������������� ���� ���������� ���� ���
�� ,�������� ���� ��������������������$��������������� �52D�� �5DQ�
3168 2 2 2 3 7 2 3 7;= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ � 2 2180 2 2 3 3 5 2 3 5,= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ����������#��(168,180) 2 2 3 12= ⋅ ⋅ = �
�
�� �������
�� ���� �����������������$���������������������������� ��������$���$������ ��������� %�'�� ��������E� �� �������$���������������� �� ������ ����������E� ������� ���� ���������� �� �������������������� ����� �
������ �� ��������� �������� ���� ��������������������$����������������������������� ��������������%����E������$ ����� ������ �
�� ,�����#��<PQ��50A��05A-�� ��%����E����� ���$ ����� ������
��������������������������,'&��%�&��%�����%��%'&���(�&���'����%���'&�����&����%����������&����%&�����*
"�� ��� ����������������� ���������� ������� ������������ �������� �%�������� ������������� ����������� ��������
�� ,�����#�� ������� ��-�3.�� �0Q+ $-63�� �PQ+���-�P�� �5.�&�� � �E�������� �$�������-���� �� ��#�<P��5.-�4�5�
�� ���������
��� ��#�<����-�4�5����� ����������������� ���� ���� ������� �������������� ���� �������(�<����-�4�5
������������ �$������ �������������� ��������� � ���������-�3A�� �35+�$-�5Q�� �00+��-�36�� �0A�
��������
���%�������������0�����(�0��2��P��53��5A��G,����$��������� �����%���� �����������A�
,����$��������� �����%���� �������$�������������� �0�� �A�
�� �����������������$������������������������ ��������$����
� ��
�������� ���F��53������������� ��� ����F��52��������������������������������$������������� ���������$����������������7
���%������������ �53�����(�53��3.��02��.D��G�������������������52�����(�52��03��.D��2.��G� ���������������%�������������������$����������� ������������.D��������� !"�<53��52-�4.D�
�� ���������
���%�������������������$������< !"�-������� ��������������� ���������������������������������������������%������ ����������������� ����������� �$����� !"��<.��2-�4�53+� !"�<D��2-�4�3.�
��
�� ,���� !"�<5D��3.-�
�������5D�� �3.���E$��� �����������E� ������� ���(218 2 3 3 2 3= ⋅ ⋅ = ⋅ � 324 2 2 2 3 2 3= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ �����&������� !"��!�+&��(�� 3 22 3 72= ⋅ = �
�� ���������
���%�������������������$������������ ��������������� ��������$���$������ ��������� %�'�� �����������������E� �� �������$������������ ����������� �� ������ ����������E� ������� ���� �� ���� �� �������������������� ����� �
�� ,���� !"�<2Q��63��PQ-����� �����������$ ����� ������ �
!"��<2Q��63��PQ-� 3 22 3 5 360.= ⋅ ⋅ =
�� ,���� !"����������� ��-�5.�� �5A+�$-�3Q�� �.Q+��-�2Q��PQ�� �53�
# ����������� �� �� (� !"�<5.��5A-�4�5.�⋅ 5A+�� !"�<3Q��.Q-�4�.Q�
�� ���������
���%�������������������$������������ ��������������� �� �������������� �������������������� ����� ������������������%������������������ ��� !"�<����-�4���
���
� ,������� ������� ���� � ������������� ��+�-�6 23� +���$-�5 135� +����-�9 163� +����-�11 1111?�
� ��� � �⎪<��/� �-� � � +⎪��� ��� ��� �� ������ ���� �� � ����$� �������� ����<�-��"��� �V
� # ��������������� ��� �������(�-�3�+���$-�0�+����-�.�+����-�6������ �n∈� 7
� ��� �+⎪������ ���+⎪��⋅ ������F�b∈� �"��� �V
� �������������������������������������������-�3��)5��$-�3��/5���������������� ���7
� "��� ����� �����F� n∈� ����� ���-� 2 2( 1) ( 1)n n+ − − +$-�( 1)( 2) ( 2)( 3)n n n n+ − + + + ����������������$����
� ,���(�-��#��<5DQ��P2-+����$-��#��<52A��.A��6A-+�-� !"�<5DQ��P2-+�����-� !"�<5D��2Q��6A-�
����' ���������������������%�� ���� ��.DF������� ��63�� ���� �� �53Q�$�$� � 7
��
� ��� ���������� ���� ��������
��������
�������������������$ ��� �$��������� �����������%��� �� �������������� �����������������
��'� ������ ����������� �� ��������� ���������������� �������7
: =��������6230A.�� �
����������E�������������������%���A�� ����������E���� ��������%����0�� �3�� ������������7
������6230A.����������������������������������� ������ ������������������ ������%������ � ������'������������� ���� ���������$�E�� ����� ������� ����� ����W ��� ������ ����� ���������� ��� ���%������� ������� ����<�E�����-���������� �����������'� ������������ ����"��������
8����%��� ������������������������� ������� �����E������������� ���� �� ������������ ����% � ��� �� ��������� ��� ���"���������������� �����<�E������-��������������� �� ������������ ��������
������� ������� ����� ������ ����E������ � �� ��������%������ ����������� ����������������� ������������� ��� ������ ���� �� ��� ����E������ � ���%����'�����������E�������������� ��������
����������6230A.����%���A������ ����E������ ��� ��� ����������� ��� ������ ������������A⋅5Q4AQ���� +���%���0������ �����E������ �'����� ����������� ��� ������ ������������0�⋅�5Q��4�0QQ����� +��%���3������ �����E������ ������ ����������� ��� ������ �����������(�3�⋅�5Q��4�3QQQ������
������������ ������������� ��� �������%����� ���������� ����� � �� �������� ��� ��� � �� ���������'����� � � ���������������������E���������������������
� ,�������� ���� ���%����A�� �������AAAA�
� "�� �����$ ����� �������� ��������������
�����������
�������#�:�H@B&X���������������#�:���X��������������������#�HX !�������������������HX !�
���������������������������������������������������������������������������������������� �������� �������� �������� �������
���������������������������������������������������������������������������� �������������������� ������������������� ���������������������
: =�������������$ ����,������� ����������%���5��� �������������Q7
����
��
����������������� ������������� ����5������������������������� ������������� ����5Q��������������5Q�4�5⋅5Q������������� ������� ������������� ����5QQ�QQQ���������������5QQ�QQQ�4�5�5Q�� ���
M ���� ���������� ������������� ����E ��'����� ���������Q�4�Q�5Q������� �E ���� ���������� ������������ ����E ���� ������� ���������Q�4�Q�⋅�5Q�QQQ�4�Q�⋅�5Q�
�����
M ���������%�������� �������L������ ���������E���� �� ���%��� ���� ��� ��������� ������ ������� ����E ���
������$ ������ ����� ����� ��������������������������� �� ������� ��E���� ��������������
K������ =�������������� � ��� ����������������������� F��������������� � �������'����������������� = �(������ ��� ���������������� ����'���� �� ���� ��������� ����'���� ������������� �����$��� ���
� �������������(���'���� ������������ ����'���� �� ����> �������'�� �������������(�-����� + $-��� ��� + �-��� ������� + �-�'��������� 7
� ������(��-�.03+�$-�5QA2+��-�06QD2Q3������������%����� �E$���� ����� ��������%��������� �
�-� 2432 400 30 2 4 10 3 10 2;= + + = ⋅ + ⋅ + ����$-� 6 5 3 23708602 3 10 7 10 8 10 6 10 2.= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ +
�1 2 3 3 2 1 0... ,n n n na a a a a a a a a− − −= ���� �%��������� � ���������(
1 2 3 3 21 2 3 3 2 1 010 10 10 10 ... 10 10 10 .n n n n
n n n na a a a a a a a a− − −− − −= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅ + ⋅ + ⋅ +
: ����� ��������������������� ��������%����@�� ������������������E���������������������%����(
� �������� ��� ����� �������������%������E������ �������(
�-� 3 22 10 3 10 1 10 5;⋅ + ⋅ + ⋅ + $-� 5 34 10 3 10 2 10;⋅ + ⋅ + ⋅ �-� 7 36 10 3 10 5.⋅ + ⋅ +
$-�������.�U�5Q��/�0�U�5Q��/�3�U�5Q���������������%�����'���� �������� �� ���������������������5Q�> ����������� ������ ���%���'���������������� ��� ��E �������������%��������E������� ������������������ ���������������� ������ ���������E ��
����������� 5 34 10 3 10 2 10 403020.⋅ + ⋅ + ⋅ =
� ��E ��� ��� ��������� ����������������� ���������������� ������������� ��� ����� �� ���������� �������������������� ������ ��������� ����$�� � ���
��� ������ ����������������$�E����������������'� ������������� ��$��� �����%���������� �9$���;��'�����������9������;�� �9F�%�;�
��
��� ������ ����$�����������E���������������������������������������������� ������ ������� ��������'��� ���� � �������� ������� ����� ����������� ������� ����$������� ����E������ � �� ��������%������� ���������������������������� ������ ��� �� ��� ����E������ � ���%����'���� �� ������E������������� �������� ������� ����� �������������� ��� ��� �����%���Q��5��3��0��G��P���������������� ������� ���$��������������� ��� ���%����Q�� �5�������(�5Q�+5QQ�+555�+5Q5Q55Q������������������������� ������� ����$�����
�� �������
��� ������ ����$�����������E��������������������� ������� ����$��������� ��� ����� ������%����Q�� �5�J�E��3�� �F����������� ��
������� ������� ����$������������������������ �� � ����%��������� �������������������� ������� ���� ������ ����� ���������� ������5Q������� ���3���� �������
( )1 2 2 1 02
...n n na a a a a a a− −= = 1 2 21 2 2 1 02 2 2 ... 2 2n n n
n n na a a a a a− −− −⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅ + ⋅ + �
�%���� 1 2 2 1 0, ,..., , ,n na a a a a− − �������� ���Q�� �5���� 0na ≠ �
� ������(�55Q5�+�55
�+�5Q5Q5
��� �5555Q5Q
�������������%���������� �
� 3 2 3 221101 1 2 1 2 0 2 1 1 2 1 2 1= ⋅ + ⋅ + ⋅ + = ⋅ + ⋅ + �� � 211 1 2 1= ⋅ + �� � 6 4 2
21010111 1 2 1 2 1 2 1 2 1= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + �
����������%�����E������ �� �$�E�����������(
�-� 5 4 3 21 2 1 2 0 2 1 2 0 2 1⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + + $-� 5 41 2 1 2 1 2⋅ + ⋅ + ⋅ +
�-� 8 6 31 2 1 2 1 2 1 2 1⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅ + + �-� 4 21 2 1 2⋅ + ⋅ �
������ 5 41 2 1 2 1 2⋅ + ⋅ + ⋅ ���������������%�������%���� ��E��������������������� ���� ����������������
E ����������� 5 41 2 1 2 1 2⋅ + ⋅ + ⋅ 4� 2110010 �
>� �������� ������� �$���E�� � (
�-� 21101 13= + $-� 2111 7= + �-� 211011 27= �
�����������������������������������$�E������������������������ ������� ����� ����
�-� 3 221101 1 2 1 2 1 8 4 1 13= ⋅ + ⋅ + = + + = +
$-� 22111 1 2 1 2 1 4 2 1 7= ⋅ + ⋅ + = + + = +
�-� 4 3211011 1 2 1 2 1 2 1 16 8 2 1 27= ⋅ + ⋅ + ⋅ + = + + + = �
K������ =�������������� ����� ������ = ��$�E����������������� �$�����������5Q55��� = �(�����E ���������
� �$�E�����
��
�� �������
I����������� �������������������$������������� ������� ��'������������ �����%������������� � ������� ��� ����� �� �������������������
�� ��������-�0A+��$-�53D���������������� ������� ����$�����
�-���������'����������������������� ����������� ������ ����� �����������$��������� �������������(
�35 : 2 17= �� ��$ ������17 : 2 8= ���� ��$ ��������8 : 2 4= ��� ��$ ����'���4 : 2 2= ��� ��$ ����'���2 : 2 1= ���� ��$ ����'����1: 2 0= ��� ��$ �����
��� � ,�����������������������(
�-� 21011 �� 21010 +��$-� 21001 �� � 210010 7
� ����������%������E������ �������(
��-�2 10 1⋅ + + ��$-� 33 10 1⋅ + +
��-� 4 25 10 2 10 3⋅ + ⋅ + +������-� 31 2 1 2 1⋅ + ⋅ + +
� -� 6 3 21 2 1 2 1 2⋅ + ⋅ + ⋅ +�������%-� 8 61 2 1 2 1 2⋅ + ⋅ + ⋅ �
� �������������� ������� ����� ����������(
�-� 211111 +����$-� 210001 +
�-� 210000 +�����-� 2101010 �
� �������������� ������� ����$�����������(�-�D+�����$-�3D+������-�5QQ+������-�50A�
��
128 : 2 64=64 : 2 32=32 : 2 16=16 : 2 8=8 : 2 4=4 : 2 2=2 : 2 1=
� ��$ ����Q� ��$ ����Q� ��$ ����Q� ��$ ����Q� ��$ ����Q
5QQQQQQQ
� ��$ ����Q� ��$ ����Q
��������� ��+� 7128 2= =
� �������3��.��D��52��03��2.���������������� ������ ����$������8������� �7
��������� ��+�0A�4�5�Q�Q�Q�5�5�
��
����� ������� ��� ������ ��� ����
���������� ��������(
2 21011 11101+ �
� �
#$� �������� ������ ����� ����������������������������� �������������� �������$��$� ������ ���������������������������� ����$���������%�������������$� �� ���������� ������E����������������
�������������� 21011������ 211101
���������� 2101000
�����
>�$ ��������$� �� ��������� ������� ����$������� �������(
� �� �( 2 2 21110 111110 1010101 .+ +
����������������������������������
2
2
2
2
1010101
111110
1110
10100001
+
������������������������������M����� �
� �� �(
�-� 211011 12+ + ���$-� 210 10101 16+ + �
���� ���������$� ����������������������������� ���� ����������� ����
� M$������������� ����$�������� ����������������������������� �������� ����� ������M$��� �������������E������� ��������� ������ ������������ �E$������ ������� �����E�������������������������� ����)
�������� �����E ��������������E���������������������������������
�
M����� �
��� 2
2
110111
10101−
2100010
���������������������������������������������������������������������������
��������������������� 21110110
������������������������ 210111
��������������������� 21011111
�� �-�� 2 2 2 2110101 22 110101 10110 11111− = − = �
�������$����%���� ����E$���������� ������ ����������%����������E��������������� �%���� �������$����E$���������� ��������������������$ ������������E�����������E������ �����������������E�����������������������E�����
������-������������'��������������
������'������������'��������������
�������������������������������� 210
%(����������������������������)*%
#$��� ���������� ��E���� � ��������������� ����� ���� ��������� ���� �� � �$���$������ �5Q�<$�E� ����� ���-����� ���%�� �������� ������ �������������������� ��$ ������� �����������������E�����#$� �����������%������� ���E�������������
-
����
�� �������������(��-� 2 2110111 10101− +�������$-� 2 21110110 10111− + ���-� 2110101 22− �
��
� �� ���� ���� ���� � �(
��� 2 2110101101 110111− �������� 2 2 21110101 11011 111111+ − �������� 2 231 111011 (13 1111 )+ − +
� �� �(�53Q0�⋅ .Q3� ���E������������ �������� ������� ����$����������������������������� ������� ����� ���
>�$ ��� �����E������������ ����$�������� �������(
�0 1
0 0 0
1 0 1
�
� �� ���������(������-� 2 2101101 101 ;⋅ �����$-� 21110 25⋅ �
M����� � ������� 2 2 2101101 101 11100001⋅ = ���������� 2 2 2 21110 25 1110 11001 101011110⋅ = ⋅ =
�������������������
2
2
2
2
101101
000000
101101
11100001
�������������������������������������
2
2
2
2
1110
111000
1110
101011110
�� �������
�� ����� �� ���������� ����� ������������������������� ���� ����������� ����
���
� �������������� �$���E�� � +
�-� 2 2 2 21011 11111 11111 1011 ;+ = + ������$-� 2 2 2 21011 11111 11111 1011 ;⋅ = ⋅
�-�( ) ( )2 2 2 2 210111 11 101 10111 11 101 ;⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ����-�( )2 2 2 2 2 2 21011 1001 101 1011 101 1001 101 .+ ⋅ = ⋅ + ⋅
"�� ��������� ������� ����$������� ����� ����� ������������ ����� � ������������ ���� � �������� ������� ���� ����
� �� �(
�- 2 21110101 11010+ +
$- 2 21110101 101110− +�����-� 2 210101 110⋅ �
� �� ���� ���� ���� � �(
�-� 2 21101 26 10101+ + +��$-� 2 237 1110 101− + +
�-� 2(32 1011 ) 10+ ⋅ +
�-� 2 2 2(21 1001 13 100 ) 10⋅ − ⋅ ⋅ �
� �������������� �$���E�� � (
�-� ( ) ( )2 2 2 2 2 2101 111 1001 101 111 1001 ;+ + = + +
$-� ( )2 2 2 2 2 2 2101 1110 101 101 1110 101 101 ;⋅ − = ⋅ − ⋅
�-�( ) ( )2 2 2 2 2 2101 111 1001 101 111 1001 .⋅ ⋅ = ⋅
��
������������������� ���������� ����
��������
M�������$���E����(��������� 5 12x + =����������)$��������� ������������ ������������������������ ���1���
� � �� �(
��� 25 13− �������������14 17−
���������5.�)�56������������������������I����� ������ %�������������������������� ����F%����������������� ��'��$�������� ������� �����������E�� � ��� ���������������
M�� ��������������$���������� ������$����� ��������Q�������'������F� a ∈� � 0.a a− = ��������E�� ������E���� ������()�5�<����������(�<Q�)�5��5�)�3�� ��--+�)3�<����������(�<Q�)�3��5�)�0�� ���--+)�0�<����������(�<Q�)�0��5�)�.�� ���--�� ���
J�������� �����������%��������������������������������������������� ������� ������� ��������Q��'� �
$�������� ������� ������������������� ��������� � �������{ }..., 3, 2, 1,0,1,2,3,...= − − −�
���������������������' ��������� �����E���� ����$�������� ����������� ������� ���������$�������� ������������ ������ ����������������������� �� ��������E ��
.% .� .� ' � � %
�������5�� �)5��3�� �)3��A�� �)A�'� ��������� ����������������������������������������������������������Y��
� ,���������������������������������(�5Q��)5A��30��)5307
��� ���������� ��� ����$���� � ������������������������ ��������������� ����������E������ �E ���� ������������������ ���������� �������������
�
,
0,
,
a
a
a
⎧⎪= ⎨⎪−⎩
������������
0
0
0
a
a
a
>=<
����� �$������ 12 12+ = +� 12 12− = +� 0 0= ��# ����������� �� �� �������� ���������������� ��������� ���$���$������������� .a a= −
����
��������
� ,������ �����$���� ���������� (�)A+�6+�)3Q+�/3Q�
�������)5��)3��)0��G�'� ����� ������������������������$����������������� ����$����������$������������ �������������������������������������������������'� ��������� �������E�������������������� � �� �/5��/3��/0��G���� ���� �5��3��0��G��������E ���������������������E������ ����� �����
������
�
"�� (� �������������������E�������������������� ��������������������� �������������E ���������������� �� ������������������� ������
� ,�������� ���� ����� ������������� � (
�-� 5 0− < +���$-�7 0> +����-� 7 0− > +����-� 6 6− < +��� -�7 7> − +���%-� 5 1− < − +����-� 2 3− > − �
� >����� ��������������������� ���������� ���������� ������� �������� ��� ���������� ��$���� �
� B ���������������������������(�3+�)0+�A+�5+�Q+�)2+�).+�D
�� ���������
J�������� ������� �������������� ���%���� ����$���������� ����� �E������������������������ �������������������J��������� ������� ����������E����� ��������� � { }1,2,3,...+ =� ���������$��������� ������ ��������� �������� � { }..., 3, 2, 1 ,− = − − −� �������� { }0 .− += � �� � �
��������
�����$� �� ��� �����E����� ������� ��������� ��(
�������
( 5) ( 7) 12
( 5) ( 7) 12
( 5) ( 7) 2
( 5) ( 7) 2
+ + + = +− + − = −− + + = ++ + − = −
������
( 5) ( 7) 35
( 5) ( 7) 35
( 5) ( 7) 35
( 5) ( 7) 35
+ ⋅ + = +− ⋅ − = +− ⋅ + = −+ ⋅ − = −
� ����� ����� �� ��$� �� ��� �E$���� ���������� ����������� ����������� (
�-���� ,a b +∈� ����� ���( ) ,a b ++ ∈� ���������� ( )a b +⋅ ∈� ��������� ,a b −∈� ����� ��( ) ,a b −+ ∈� �( )a b +⋅ ∈� �
�-���� ,a b+ −∈ ∈� � ����� ���( ) ,a b ++ ∈� �������� a b> +� ( )a b −+ ∈� ���� a b< ��� ( )a b −⋅ ∈� ��-���� � ,a∈� ���� ��� 0 0 ;a a a+ = + =���� 0 0 0 1 1 .a a dhe a a a⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ =
� ���������� ��$-���-���-�� �%�����
�-������ ���������� ����������E�����������������E������������ � ������������� �������������E�����
�� ����-� ( 3) ( 5) ( 6) ( 2) ( 12)− ⋅ − + + ⋅ − − − + �$- ( 4) ( 5) ( 6) ( 3) ( 7)− + − ⋅ + + − ⋅ − +
������E����� ������ �� �E����� �� �����(
�-� ( ) ( ) ( )( 3) ( 5) ( 6) ( 2) ( 12) ( 15) ( 12) ( 12) ( 3) ( 12) 15 12 12 15.− ⋅ − + + ⋅ − − − = + + − − − = + − − = + + − + + =
"�� (�( ) ( )12 12 0.− + + = ��������������������� ���������� �������������������������E ����� �������
( ) ( ) 0a a a a+ − = − + = �
��������������� �$���E����(�( )( 5) ( 3) ( 6) ( 5) ( 6) ( 3) ( 6)− + + ⋅ + = − ⋅ + + + ⋅ + �
" ������������� ���������� �� �������$���� �'���� ���������$� �� ��� �����E����� ������� ���������� ���� � ������$� �� ��� �����E����� ������� ���������
������������������������ ���������������������(1 2 3 4 ... ,< < < <
�������������� ��������������� ��������������������� � (��... 3 2 1 0 1 2 3 4 ...< − < − < − < < < < < <
�
� M$������ ������� ��������������%�E ��� �������� ��$� �� ����� �������������F�� ( ), , .a b a b a b∈ − = + −�
����� �$���(��( 7) ( 5) ( 7) ( 5) 2+ − + = + + − = +�( 10) ( 7) ( 10) ( 7) 3− − − = − + + = − �
�� �� �(��-� ( 12) ( 7) ( 3) ( 5)− − − − − ⋅ − �+�����$-� ( 5) ( 3) ( 4) ( 3) ( 10)− ⋅ − − − ⋅ + − − �
M����� ����-�( 12) ( 7) ( 3) ( 5)− − − − − ⋅ − ( 12) ( 7) ( 15) ( 5) ( 15) 20= − + + − + = − + − = − �
����������������������E$��� ������������������� ����������������L���� ������������������������������������������ �� ���� �E$���������M��������� �� �< ��������-�� ��$� �� ��
�� �� �(
��� ( ) ( ) ( ) ( )( )7 4 3 3 6 ;− − ⋅ − − + ⋅ + ��� ( )( ) ( ) ( )( )3 7 2 4 ;− + ⋅ − + −
��� ( ) ( ) ( )( )10 4 3 13 7 2 4 8 3 ;− ⋅ ⋅ − − ⋅ − ⋅ − �� ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 7 4 5 8 6 .− ⋅ + + − ⋅ − + ⋅ −
������ ��� ����������� �� �� ��������������� ��������������������� �������������������������������� ���� ��������������� ���������������� ����� ����$� ���� ����$��������� ������� ���������� �$��������� ������ ��$������������� �� ������ �����
�� ��������������� ��������������� ���������� �����<�������E���-����$���������� �
! ����������������� ������������ ��� 0b ≠ �������������������� ������� �b a� �
�� �� �(���������-� ( 48) : ( 6)+ + + $-�( 48) : ( 6)− − +
���������������������-� ( 48) : ( 6)− + + �-�� ( 48) : ( 6)+ − �
"�� ��� � �����������E�������� ����� ���� ����� ��� ���� ��������� ������������������� ������� ��������� ���� ���� ����� ��� ���� ��������� ������������� �
�� �� ���� ���� ���� � � (
�-�( 5) ( 6) ( 4) ( 42) : ( 7)+ − + ⋅ − − − − + $-� ( 28) ( 45) : ( 9) ( 12) ( 4)− − − + + − ⋅ + �
���
� ,�������� ���� �� ��������� � (
�-� -3 5 2 ( 3) 10+ + − ⋅ − −� � � �+
$-� 2 3 5x x x− + − − −� � � � � ����� 20x = − �
� �� �+
��� ( 10) 3 ( 2)− + ⋅ − ��� ( 7) ( 2) 10 2− ⋅ − − ⋅
���( 24) : ( 6) 3 (2 5)− − + ⋅ −
� �� ���� ������� ��� ������� � � (���5 12 : ( 3) 15 ( 3) 24;+ − + ⋅ − +��� ( )12 ( 2) 4 13 15 : ( 5)− ⋅ − + − − −
��� ( )4( 2) ( 3)( 9) 2 3 4(2 5)− + − − − − − −
��� 6( 3 4) 2(18 3) : ( 5)− − + − − −
� �� �(��� ( ) ( ) ( )6 3 4 5 8 3 : 25 ;− − + − − −���( ) ( ) ( )( )10 4 3 13 7 2 4 8 3 ;− ⋅ ⋅ − − ⋅ − ⋅ −���( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )3 7 3 4 5 6 8 3 5 .− ⋅ + − ⋅ − − − ⋅ +
��
���������� ���
��������
M������$���E�� �(5 35x ⋅ = − �
7 12x ⋅ = − �
J���E��� x b a⋅ = ����$���������� ����E����� � ���������������������� ���
� � ,���� �����(�-�32 :8 +���$-� 45 : 5− +���-�17 :8 �
! �����56(D������������������������������������� ���� ����'��$�������� ������� � ����E�� � �� ���������������
J��������� ������E�� ������ ���������������'��'� ���� ���
����� ���� :a b �� 0b ≠ ������������� �����%������ ab���� ������� :
aa b
b= �� ������'� ���� ���
����� �$������� �������(��2 4 6 8 7 4
, , , , ,3 5 5 13 5 3
−−
� ���
�� �������
J�������� ������������$�������������� ����'� ��$�������� ������� ���������� ���� ���
� ��������� , , 0 ,a
a b bb
⎧ ⎫= ∈ ≠⎨ ⎬⎩ ⎭
� � �F���� ��'� ������ ��������
� @������������� �������� ��7
������� ���������������������������� ���������� ���
����� �$���(� 5 10 15 7 14 0 05 ...; 7 ...;0 ...,
1 2 3 1 2 1 3
− −= = = = − = = = = = =− −
��������� �����������������
����� � ������������������ �������� .⊆� �
�� � ��2
0+�
5
0
−+��������������������������'���� �������� �E ������������������%�E����
� ,������ ���� ����� ������������� � (
��� ⊂� � � ��� ⊂� � � ��� ⊂� � � �� ⊂� � � ��� ⊂� � � ����� +⊆� �
��������
48 : 6 (48 2) : (6 2)= ⋅ ⋅ �
48 : 6 (48: 3) : (6 : 3)= �
! ������������������� ����� ���� ����� �� ���� �������E ��� ��� ��� ��� ��������������������������������� ��E ��
� � ! ������21:7 (21 3) :(7 3)= ⋅ ⋅ ���
24:8 (24: 4) : (8: 4)= ����������
�� ���
�������������(��a a k
b b k
⋅=⋅�� �
:( 0)
:
a a kk
b b k= ≠ �
��������
��
�� �������
��� ������� ���� � ���� ����������� � �����E ��� ���������������������)��)�≠�Q��%�� ���� �� ��������� ��� ���� ����������� �����'� ��8/!��������� ������� ������� ���� � ���� ����������� � ��� ��� ��� ���������������������)��)�≠�Q��%�� ���� ��� �������� ��� ���� ����������� �����'� ����!����������� ����
� >� ����2
3�E�� �� �� �3������ ��� ���
�4
5�� �.�
2 2 2 4
3 3 2 6
⋅= =⋅
���4 4 4 16
5 5 4 20
⋅= =⋅
�
� >� ����� ���(�18
24�
18 18: 2 9 9 :3 3
24 24 : 2 12 12 :3 4= = = = �����
18 18: 6 3.
24 24 :6 4= =
>� �������� ����� ��� �� ���� ������� ���� � ���� �������������� ���� ���� �������� F��������5����������������������� �������������� ����
� >� ���(��3
4+�
5
6�� �
7
3������������� ���� ������������
>� �������L���� �������� ���� �������������������$��������������������'�� !"�<.��2��0-�4�53���� ��
3
4������E�� ������ �0�� �%������
3 3 3 9
4 4 3 12
⋅= =⋅
������������������������E�� ����� � ������ �����
�� ���� �%������5 2 10
6 2 12
⋅ =⋅
�� �7 4 28
3 4 12
⋅ =⋅
�
��������� ���� ������������������������� ���(
�-�5 7 3 1
; ; ;12 8 4 2
+ $-�3 3 4
6 ; 7 ; 84 8 5
+ �-�+3 7 5 3
; ; ; .4 12 8 16
− −
���������� ���(����-�3
6�� �
4
8+���$-�
3
5�� �
4
7�
�� ������� ��� �� � ���� ���������������� ���� �������� ��� ��������������� ������������
�-�3 4 1
;6 8 2
= = ���$-�3 21 4 20
; ,5 35 7 35
= = ����������21 20
,35 35
> ��� �������� 3 4.
5 7>
����� �$���(�3 8
4 5< �������'��3 5 4 8⋅ < ⋅ +�
2 15
3 4− > − �������'�� 2 4 3 ( 15)− ⋅ > ⋅ − ���� �������� 8 45− > − �
����F���������������������a
b�� ��
c
d�( )0, 0b d≠ ≠ �� ��� ��������������� ����� �(
�a c
b d> ����� �ad bc> ������� �
a c
b d= ����� �ad bc= ����� �
a c
b d< ����� � ad bc< �
��
K������ ��������� ��� �������������%�E �������� ���� � ���� ���E����������� �$���(
( )( )
3 13 3,
4 4 1 4
⋅ − −= =− − ⋅ −
����5 5
,7 7
− =−
��������$��������� ������� ����������������������������
����������� � (� , , .m
m nn
⎧ ⎫= ∈ ∈⎨ ⎬⎩ ⎭
� � �
�� B ������������������� ��� ����3 8 5 2
, , , , 1.5 9 3 3
−−
!"��<0��A��P-�4�.A�����E�� �������������������������� ��(
40 30 27 45 75,
45 45 45 45 45− < − < < < ��� ��������
8 2 3 51
9 3 5 3− < − < < < �
�� ���$�������� �������������'������������������������
9
4− 1
2−
11
2
� �� � �
�� ����'�������$�������� ����������(�1 5 1 1
4 , 3, , 2 ,2 2 4 2
−− − �
���
� ������������ ����������� ����������������(
�-�3
x+���$-�
2
1x −+����-�
2 1
4
x
x
−+
+����-� 2
2
9
x
x
+−
�
� ,������ ���� �������������� ��� ���������'�����%�� ��$���E��������������� ���(
�-�3 9
5 a= + $-�
7
9 45
b= +
�-�12 3
16 c= + �-�
24
36 12
d= �
� B ������������������� ��� ���(
�-�3 5 7 1
; ; ; ;16 8 12 2
����$-�4 2 9 7
; ; ;9 3 27 12
− −+
�-� 4 8 55 ; 5 ; 4 .
5 15 6�
� >� ����1 2 1 3
, , 4 , 22 3 5 4
− �E�� ��(
�-�� �3+�����$-�� �0+���������-�� �.�
� �������� ���� �������������������$������� ���
�-� 2 3 1, , ;
3 4 2����������������������$-�
1 3 41 , 2 , 3 ;
2 4 5
�-� 2 1 53 , 1 , 4 ;
3 2 6− − �������������-� 3 5 2
2 , 1 , 3 .5 6 5
− −
��
����� ���������������� ���
��������
3 5 3 5 8 5 8 5 32; .
4 4 4 7 7 7 7
+ −+ = = − = =
� �
������"��������� ( ), , 0 .a b a b a b a b
cc c c c c c
+ −+ = − = ≠�
���� ������ ��� �� � ���� ������������������ �������� ����������������������$���$������ ������ ������� �� ��������� ���� ������� ���� ��������� ��� ���
����$���������� ������������7
12
����������� ������� ������������7
18� ����������������
,������� ����������� ������������$���������������7,������ ��� ����������$ ���� ����������7
���������������������������������(�7 7
12 18+ ������
� !"��<53��5D-�4�02��� ���7 7 7 3 7 2 21 14 35
.12 18 12 3 18 2 36 36
⋅ ⋅ ++ = + = =⋅ ⋅
� �������
>� ����� � ���� ��������������$��� ���������%�������������%������� � ���� �����������<����%�������������������$�����-�� ���������$��� ������� ���� � ���� ��������������� �������
�a c ad bc ad bc
b d bd bd bd
++ = + = �
� �� ���� ���� ���� � ��3 7 1 5
2 1 18 12 4 6
− + −
"�� ����������(� !"�<D��53-�4�3.�
3 7 1 52 1 1
8 12 4 6− + − 19 19 1 11 57 38 6 44 19
8 12 4 6 24 24
− + −= − + − = = − �
� ������������������� �$���E�� � (���-�1 2 3 1 2 3
2 3 4 2 3 4⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + = + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
+ $-�2 1 1 2
1 2 2 13 2 2 3
+ = + �
8������ �7�����$� �� �� ������� ����������� ��� ������������ �� ��������� �
� �� �(�����-�2 2
3 3⎛ ⎞+ −⎜ ⎟⎝ ⎠
+ $-�1 1
1 14 4
− �
>� ����a
b�� �
a
b− ���������������������������
00
a a a a a a
b b b b b b
−⎛ ⎞+ − = − = = =⎜ ⎟⎝ ⎠�
�� ��� ����������������7 7 35 1 35 36 35 36 35 1
1 112 18 36 1 36 36 36 36 36
−⎛ ⎞− + = − = − = − = =⎜ ⎟⎝ ⎠� ������
��������
��
��������
�� � �����2 4
3 5⋅ ��������
1 51
2 6⋅
�������������������a c a c
b d b d
⋅⋅ =⋅
� � �� �� ��������� � ��$������ ��� ���� (�
33
4���&�
41
5���&�������
������������������5������� �������� ��� ������
:�������������� 4 41 1 2
5 5+ = ���
������������� ���$������ ��+
3 4 43 1 2
4 5 5V = ⋅ ⋅ �� � 15 9 14
4 5 5V = ⋅ ⋅ ���� �������� 3 9 7
2 1 5V = ⋅ ⋅ �������� 189
18,910
V = = 3cm �
"�� �� �����������E������������ ����E� �������%�� ������� ���������� ����
� ����������������� �$���E����(����-�1 2 3 1 2 3
;2 5 4 2 5 4
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ ⋅ = ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠���$-� 2 3 3 2
1 2 2 1 .3 4 4 3
⋅ = ⋅
� �� ��������������(�����-�1 2 5
2 5 6⎛ ⎞⋅ +⎜ ⎟⎝ ⎠
+ ��$-�5 1 1
6 3 2⎛ ⎞− ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠
�
"� ���������������(� ���E�������� ��� ������� ������������$������������ �� ��$� �� ��� �E$���� ��
�� �(��-�3
04
⋅ +�$-�2
13
⋅ +��-�4 5
5 4⋅ �
����� �$������� ���5
6�� �
6
5������� ����� ������
3
4− �������� �����������
4
3− �������������A������
� �����������1
5�
,������ ����� ����� ����������(�4 1 2 1
; 1 ; 5; 3 ; .7 3 3 4
− −
���� ��������!����F���� ��
a
b�$ ��� 0 0
a
b⋅ = �� 1
a a
b b⋅ = ���� 1
a b
b a⋅ = &������ 0
a
b≠
��� ������������������� ������5����� ���'� ��������� ������
��������
�-�6 2 6 : 2
: 3;5 5 5:5
= = ��$-�1 5 3 4 6
1 : .2 4 2 5 5
= ⋅ =
�� �(���-�6 2
:5 5
+����$-�1 4
1 :2 3
�
��� � , , 0,a c c
b d d∈ ≠� ��� ��� ����� � :
a c
b d
��������������������x
y���� ��������
x c
y d⋅
�������$���$������ ,a
b��� ��������� :
a c x
b d y=
� ������� �� .x c a
y d b⋅ =
� �� ������� ��� ���������������
236 m ,
5���� �������$������ ����������
12
5����,���
���������� �$��������� ����
����9�⋅������ �� 2 16 2 ,
5 5b= ⋅ �������
3 1 33 11 33:116 : 2 : 3m
5 5 5 5 5:5b = = = =
����33 5
,5 11
b = ⋅ �������� 3m.b =
��
�� �������
! ������������ ��� ��������$���$������ ��������� ������ ���� ������ ��� ����� ����� ���
�� ���� ������� ������������F������� ���b
a�� � ( )0, ≠c
d
c��� ��
cb
da
c
d
b
a
d
c
b
a
⋅⋅=⋅=: �
�� �� �(��-�7 3
: 28 2
⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠+ $-�
3 1 13 2 :1
4 4 2− �
"�� � ���� �����(��-�7 7 7 2 7 ( 2) 1
:8 2 8 7 8 7 4
⋅ −⎛ ⎞ ⎛ ⎞− = ⋅ − = = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⋅⎝ ⎠ ⎝ ⎠+��$-� 3 1 1 15 9 2 15 3 1
3 2 :1 24 4 2 4 4 3 4 2 4
− = − ⋅ = − = �
# �F%����� ����� ���� ��� ����� �7
�� ! �����(� 4:3
2+� ;
4
3:5 ��
5
4:
2
11 ������������%��������� ��� �
"�� � �E����� �(�
22 3: 43 4
= +��3 5
5:344
= +���
1 311 4 2 21 :4 42 55 5
= = �
>� ���� � ������������ ���� � ���� ���������� ���'� ���� ��� ���%�����
�� >� ���� ���%����(����-�
34 ;56
������$-�4
;34
������-�
56 ;4�������-�
11
2 ;3
24
− +
−��� �������� ��������������
"�� �E����� �(����-�
33 5 3 6 94 :
5 4 6 4 5 106
⋅= = =⋅
+������$-�
44 4 4 11 53 3 3 1 34 4
⋅= = =⋅
�
>� ��� ���%������� ������� ������������������ ��������� ��������� ����������� ������������������ ������� ��������� ��������� ����$� ��������� ���� ������� ���
�� �� �(������-�
2 13 38 59 6
−
+����������$-�
1 11 2
8 61
2 34
−
−���������-�
41 2
31
2 32
+ −
− +�
�� �������
#$� �����E$������� �����E������������ ��������������� ����� ����$��������� ������� ����������� ���������� �������$������� ��$������������� �� ������ ����� ��� ������������� ����� ����$��������� { }0��
��
�� ,������������������ ������� (���-�A�� �6+�����$-�4
13�� �0+������-� 1
22�� �
13
3�
M����� (����
1 1 5 3 10 22 3 112 3 6 2
2 2 12
⋅ + ⋅+= =
������2
a bs
+= �'� ��� �������� ������������ ���� ���
�� ������������-�A�� �P+�$-�2
1�� �
3
12 �� �������� ��������� ����� ������� �� �������� ������
# �������� ������4�2
ba +���������� ������������ ���<��C��-���������������� ������������� ���
�������� ������������ ����������:�������������1����"��� ��
"��� �������� 22
b aa b a a b a a b a a
+< ⇒ + < + ⇒ < + ⇒ < �
���� 22
a ba b a b b b a b b b
+< ⇒ + < + ⇒ + < ⇒ < �������������E���2
a ba b
+< < �
�� ,���������������� ��������������������� ��� �������� �A�� �6�
1
5 76
2s
+= = &������'� 5 6 7< < &���� �� 2
5 65,5
2s
+= = ����3
6 76,5
2s
+= = &�#����
5 5, 5 6 6, 5 7.< < < < "�E����� ��������������������������
�� �������
������ ��F����������� ����������� �� �������������� ��������������� ��������$�������� ������� �������������$������� �� �����
���
� �� �(���-� 5 8 12
17 17 17− + +��$-�
3 1 24 5 1
5 5 5− + +
�-� 1 38 3
3 5⋅ + �����-�
4:12
3�
� �� ���� ���� ���� � � (
�-�3 4 7 1
5 9 15 3− + − +���$-�
3 4 15 4 2
4 5 2− − �
� ,������ ���� ���� � � (
�-� 3 1 72 4
2 3 6⎛ ⎞− − +⎜ ⎟⎝ ⎠
+���$-� 3 5 11 7:
8 4 16 8⎛ ⎞ ⎛ ⎞− −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
+
�-�1 7 4
16 7 3 13 12 5
⎛ ⎞− − ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠�
� �� �(
���
13 2
21
1 13
−
+������
13
43 5
14 6
+
+ ⋅������
1 13 2 1 2
4 21 1
2 :3 24 3
− −−
−
� : ����� ����a
b&�
c
d����
m
n����������F%�������
���������"��� ��� ��� ��$���E���(
a c m a m c m
b d n b n d n⎛ ⎞+ ⋅ = ⋅ + ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠ �
��/��3
��
��������������������� �������������������
� � >� ���(��-�7
2+�$-�
32
5+��-�
7
8
�������������������� ���
"�� ���� ������
�-� 7 7 5 353,5
2 2 5 10
⋅= = =⋅
+
�-�7 7 125 875
0,875.8 8 125 1000
⋅= = =⋅
>� ��� ���� �������������������������� ��� �'� ���� ����� �� �>� ����� �� � ����������� ���� ��'� ���������� ���
� ����� ������������ ����� ���(�� 3 9 7; ; .
4 8 200
�����
>� ���� ���� ��������������������� ���� �������������� �� ��������������� ������������� �����%������
� �������� �����(��-�Q�A��$-3�0A���-�.�53A��������������� ��
"�� ���� �����(�$-�3�0A�4� .20
72
100
352 = �<��� �� =������� ����������� �����������������-
��������
>� ���(�100
72;
10
1� �
1000
6254������������������
�� ������������� ���(�3�2+�0�3A�� ��Q�23A���������������� ������������ ����� = �(0�A����0���������� �A������ ����Q�D6A����Q���������� �D6A�����������3�QP����3���������� �P����'�������
��������
��������� �������� ��������� ����� ������������ � ���$��� ��� ����E$��� ���������������� ���� �������������
� � :������ �������� �����������
������ ��� ���.A��03�� �D��D2A�
������������(�&%�'��������������������������(�&%�'��������������+&+)�����������������������������+&+)�� �
���(&�+���������������������������%)&(��
M����� �
�� �������
#$� ����� �E$��������������%�������� ���%����'�����������E����� ����������� �������� ���������� ������ �� ��� ������ ����������� ������ �
� �� �(��-�23,5 42 0,325− + +��$-�3,125 6,25 4,0125− + �
����������
�
� �� ����������� � ������ ������� (�A��D.�� �3�A�
"�� � ���� �����(
������������������������5,84 2,5 14,6⋅ = �������������������� 5,84: 2,5 58,4 : 25 2,336= =������������������������������� 2920 ���������������������������������������������������������������������������'
������������������������������1168 ���������������������������������������������������������������������������� 84
�����������������������������14,600 �������������������������������������������������������������������������� 75
�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 90
�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 75
��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������150
�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������'
������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������'
�
��������� ��������E �������� ���������������� ��� � � ������� �� ���� �� �� � ��� �� ���� �'� � �� � �� �� � ��� � �� �� �� �������������������$���������
������ ����$� ���� ��������������� ��� ���������� ���� ������ ��� ���� �������L������E����� ������� ��� ������'���� ���� ������$� ������������������������� ���������� ��������������� �� ���������������
� �� ��(�����-�3,25 1,5 4,5⋅ − +�����$-�56 2,875: 2,3− �
��������
>� ����4
5��� ��
5
17�������������������� ����
,������� ��������������� ������������� ������%�����7
� >� �����3
8��
2
3�����
7
22��������
����������� ����
# �������� ���� ������������ ������� ��(
30,375
8= �
20,666...
3= �
70,31818...
22=
����
8���� ����������������� �������������%������� �����%�������� ���
������������������ ������ ���(��14
11��
23
6��
5
7
141,272727...
11= �
232,8333...
6= "�� ��� ��������� ���������������$ �� ����������������� �������
� � ������������� ��������%���� ��������%����� ������������� ����� �
#$ �� ���������� ��������� ��������� �2�����(�Q��5��3��0��.�� �A����������������� ��������� �55�����(�Q�5��3��G�� �5Q� �%���� �����������%��� �'���������� ��'� ���� ���� ���������� ����� ���� �(5�3636G45�<36-+�0�D000����4�0�D<0-���� = ������ ������� �36����� ����+��� ����������� �������� ��� ��� ����� ������������ ��������'� ����������� ����� ������
�
��� � ����� �����(
: ����� ����a
b��b∈� ������������������������K������� ��������������������� ����$ �� �� �������������(
Q��5��3��0��G���)5�������������������)������������ ������ ��� ��������������������������$ ��
� ����� ������������� ���������������� � ������������������ ���������������%���� ������������� ����� �
��� ��������� ��������%�� ���������� �����%���������� ���� �������� ������E �� ��������� ��������
������������������ ����$� ��� ������������ �$���(�Q�06A�4�Q�06AQQQ���+�)3�A�4�)3�AQQQ� ���
����� �$����� ,13:1213
12 = ��$ �� ���������� �����(�Q�5��3��0������53���#��������� ������������� �����50
������� ������������������������%������������� ���������� �������
12 :13 0,(923076)= �
"� �� � ������������� �����
������������ �������� ��������' �������� ����� ����������������������
�� �������� �����+��-�5�<A-�� �$-�Q�3<0-�������������� ���
��� � �E����� ��
�������������-� 1,(5) 1,555...x = = $-� 0,2(3) 0,2333...x = =
�������������10 15,(5) 15,555...x = = ����������������������������������������100 23,(3) 23,333...x = =
��������10 15,555... 1,555...x x− = − ���������������������������������������10 2,(3) 2,333...x = =��������������� 9 14x = ������������������������������������������������������ �������100 10 23,333... 2,333... 21x x− = − =
�����������������14
9x = &�������
14 51,(5) 1 .
9 9= = ����������������������������
21 7
90 30x = =
��� �
� ����������������� ������ ���(
7 17 9 32, , , .
4 8 5 25
− −
� ������������ ���������� ��� �� �������(3�53+�Q�QQD+�2�53A+�)A�6A�
� �� ��-� (7,3 2,9) 0,5− ⋅ +���$-� (23,4 12,3) :1,25+ +�-�3,46 2,1 (0,25 1,23)+ ⋅ − +�-�30,25 2,5 (3,02 4,1: 0,25)+ ⋅ − �
� ������������������ ���(��8 11 13
, , .7 45 12
� ��������� ����������������� ��(
�-�0,(6) + $-�2,3(15) +
�-�4,5(18) + �-�2,3(4) �
��������������������������������� ������������� ���� �������"��� �V
���$�E����������� ����������� �(
��
�����������
��������
M���� �$���E��������)�.�4�Q�
J������ ��������������0������ ����������� �����
� � �������$������ ������������������ �������������(
����)� 2cm �������+� 2cm �
"�� ���E����� �(
���� 2P a= ���� �(��-� 2 16a = +� 16a = 4= ����$-� 2 8a = +� ?a =@� �E�������������������������������������������D7"�� �� ����� �E���������������������������������������������$�������������������������� ���������������D����������'�� 8 2,82842712...a = =
� M���� �$���E����(����-� 2 9 0x − = +���$-� 2 3 0x − = +����-� 2 15 0x − = ��-�:������������ ��E��� ��� ��������������� ����$���������� ���� � �5���
"�� �� �$���E�� �����)�04Q�� ����)�5A�4�Q����������E����� ����$��������� ������� ����������K����������� �E�������������������+������������������������������� ��E���� ���������$���E����+���4��3�
����������������������� 2; 3; 5; 7;...− − &� 3,14159265...π = ���
���� ��������$� � ������ ���������������E���� �����$��������� ������� ���������I��������������� ����� �� ���� �'�����$� ��E�� ����� � ���������$������ �� ����������������������������L��'��������� �� ��������J��������� ������� ������������������������ ��
#������������� ��(�� 2 1,41421356...= �� 3 1,73205080...=�
"�� �� ��������������������%�������� ����� �� ���� ����������� ����� ������� ��������� ����������� �������������� ��������Q�535335333G+�3�60.0..0...G����������������������
�� �������
������������� �������%��������������������������������������������$������ ������������ �%������$��������� ������� �� ������������ �������� �� &�� ��������� =� ���
����������
��
�
�
�����E������ ������������" �������������$��������(� , , ,� � � � ���� .�
�
,������ ���� ����� �������������� �(
��� ⊆� � ������������� =��� � �
��� = ∅�� � ������� =� ��� �
��� =� � ��
� ,�����������������������(���� 2 �����7
5������ 3 �����
9
5������
5
2����� 2 �/
M����� ����-� 7 1,45
= +� 2 1,414221356...= ����� � 72
5> �
����������
������ ��F����������� ����������� �� ���������������J�������� ������� ��������������$������ �� �����@����� ������$�������� �����������������������7
� � J������� � �� ����������� ������4�53���� ���4�A���
,�������������� �������� ���������"�� ������������������� ����E�� �������������� �F�� �� ������� ��� �������� ����E�������"� �� � ������ ���������F��������� ����E������ �E����� �� ������������� ������������������������
������ ��� ��� �� �� ������9�����;������������������ ���� ����$�������� �������� ��������������������������������
� ���$�������� ��������������� ���������������� ������������������(
2 �� 3 �� 2− �
�� � � �
23
2� 2
3�
�
�
������� ;2 ����L����� ��������� �� ������������������ ��E�� ��� ��������������� ����$��������
� ���� � �5�
���$�������� ������������� �� ������������ ����$���������� ���� � �OA45
K�������� � ��� ��E��� ������ � � ���� ���������������� ;2 �����������������'�� �������������� ���������
#$��� �� ����� ;2 �������� � ��������������� ������������� ������� � � ������ ���������������5�
!��� ��E�� ��� ������������%������������ ��������� .3
�������������� ��� (
��
�
��
12345678901234567890
1234567890112345678901
1234567890123456789012345678901212345123456789012345678901234567890121234512345678901234567890123456789012123451234567890123456789012345678901212345
123456789012345678901234567890
123456789012345678901234567890
123456789012345678901234567890121234567890123412345678901234567890123456789012123456789012341234567890123456789012345678901212345678901234
J��� �� �� ����� 3 ����$�������� �����������������������
���������� ��������������������� �������������������� �������� �����������'� ������� ������������ ������ ���
���$�������� ��������'���������(��-� ;6 ��$-� ;26 ���-� .17
��������
M���� ��$���E����(�-� 2 0x − < + �$-� 1 0x + ≥ ����$��������� ������ �� ���
M����� �� �%������������ ����%������� ������
� H���������������� ���)3�� �5�
���$�������� ����������'�����' � ������� �����������$����� ��� ���� ������ ������� � ��� '���� ��� �������� �)3�� �5
��� ��������������� �����F%������������ �������������� ���1�)3�� ���C�5�����������������()3�C���C�5���������� �������������������� ������������������� ��������������� �������� �������� �)3�� �5�
���$�������� ��������'�� ���������%���(
�� �� � �
�����(�{ }, 2 1x x x∈ − < <� ���� ( 2,x∈ − �1)
��������� ������������ �������� �)3�� �57
J�������� ���������������� �� ���������������� �������� �������� ���� ������:���'� ������ ���#���������� ���'� ������ �� ���� �������
"���������� �������� ����� �� ���� ����������������� ������ ���������������������� ���� (
�� �
( ) { }, ,a b x x a x b= ∈ < <� ������ ������������
��
�� �������
8����� ����$�������� �������������� ��� ��������������� ���� ������ ������F��������� ������������� �� ����������������$�������� ������������������ ������� ����$�������� ����� �$����������������� �� ������������� ��� ����� ���� ����$� ����
)(
( )
��
123456789012345612345678901234561234567890123456
123456789012345123456789012345
1234567890112345678901
12345678901234567890
123456789012345678901234567890121234567890123456789012345678901234567890123456789012123456789012345678901234567890123456789012345678901212345678901234567890
123456789012345678901234567890121234512345678901234567890123456789012123451234567890123456789012345678901212345
12345678901234567890
12345678901234567890
12345678901234567890
12345678901234567890
1234567890123456789012345678901212345123456789012345678901234567890121234512345678901234567890123456789012123451234567890123456789012345678901212345
�� �
[ ] { }, ,a b x x a x b= ∈ ≤ ≤� ������� ��������$�����
��
[ ) { }, ,a b x x a x b= ∈ ≤ <� ������ ����������������������� ��������
�
�� �
( ] { }, ,a b x x a x b= ∈ < ≤� ������ ����������������������� �������
��
a ������������������������ 0 ���������������������������� b
��� � ,x a a> ∈� ����� ���$��������{ },x x x a∈ >� ��� ������������( , )a + ∞ ��������� ���������%��������� ������������ � ,x a a≤ ∈� ����� ���$��������{ },x x x a∈ ≤� ��� ������������( ],a−∞ ��'� ����� ��������%���������� �������
�� ����� ���� �����������������������'��������$�������� ����
�� � � �
�� ��
�� ���$�������� ��������'������� ���� �
��� ( 5,1)− � ��� ( ]3,2− � ��� [ )1,3− � ��[ ]0,4 � ��� ( )4,− ∞
���
� ,������������ ��'��������������������� ��+
��� ⊂� � ���� ⊂� � ���� ⊂� � ���� = ∅�� � �
� ,�����������������������+
�-�π ��� � 22;
7��$-� 306
125�� � 6;���-� 36
25�� � 2?
� ,�������$�������� ��������� ���������������� �������(��� 5 ����� 5− ����� 10 ���� 15
� ����'���� ��� $����� ��� ���� ��� ���� �(���[ ]4,0− ������ ( )2,2− ������ 1
,22
⎡ ⎞⎟⎢⎣ ⎠����� ( ],3−∞
� ��������������������� ���� ��
��� { }, 1 3x x x∈ − ≤ <� ���� { },0 10x x x∈ < ≤�
���{ }, 1x x x∈ ≥ −�
� ���$�������� ��������'�� ��� �� �� ��� ���� � +
�-�[ )3,2− �� �[ ]1,3 ; $-�( ]1,4− �� �( )2,6 ;
�-�( ), 1−∞ − �� �[ )2, .∞� ,����������� ���� ���� � (
�-�( ]5,4− �� �( )1,5− + $-�( ]0,5 �� �[ ]6,1− +
�-�( ), 3−∞ − �� �[ )1,− ∞ �
[]
[ )
]
()
��
������������������������ �����
� K�����E����� ������ ����� ���������� ����E ��'������������ ������������������������ ��������������������� ��������� ������������������������ ������������ ��������� �<��������������������
���������� �� ���-��� ������� ��������������� ��� ���� �� E��������������������� ����� ��������� ���� ������ ����� �%� �����������������������
�� �������������� ���������������������������������������� �����������������������E�� �������� ��� ����������%�����
�����'��������������������� ���� ������������������������������������ ���� ������������������������������ ���$�������������� �$��������������� ��
����� �$��������������� ������������������ ������%�������� ����.6A����
"� ��� �%������������ ����������� ��5�������������$����������������������� �5�������������������������� ��� ������� ���������������������� ��<.6A�)�5-���� �<.6A�/�5-������ �������������� �������Z.6.���.62��[�
8���� ��� ���� ������������ �$���(�.6.���+�.6.�2���+�.6A�2����������� ��� �����%���� ��������������������
#����� ����������������� �������� ���������������� � �<.6A�±�5-���
� �������������� ����������%��������������� ,2 ���� � [ ].5,1;4,12 ∈
&������ ����������%����������5�.5+�5�.3+�5�.3A+�5�.P+�5�.PP�� ������ ��� ��� ��%���������� ������������ ��'������������ �������Z5�.+��5�A[�
� ������ ��� �����%������������������������� ������������������ ���������������� �������� ��� ������
������� ������������� ��������������� ���� �������������������������������������������������������%���������F��������������� ���������������������������$������$��������������������������� ,Δ <� = �������-����������������� ��������� ������ �������� ���������������$�����
� J�� ��� �������� ���$������$�������� � [ ].42,1;41,12 ∈
��� ������������������%����E�� ����5�.5�� �5�.3�� ��������������������� ������� ���������� ���$������$������������� �������������������������# �������������������� ������ �������� ���$�����
��� ����������������� ��� �����%���� �������������� ��������
'� ����$���$���������������������%������#
1a a−
����
��
�������∈Z5�.5+5�.3[��� ������� ������%��������������
��� ������� ����������� ����������∈Z5�.5+5�.3[��������E�������' �&(� � �&(���
������⎪�-��⎪����' ������������ ������ �'������������ ����� ����������'����������� ��������������� ��5�.5� �5�.3���� ����� ���$���E���⎪�-��⎪≤⎪5�.3)5�.5⎪4Q�Q5���� ����������$�����$�����Δ ≤�Q�Q5�
������Δ 4�Q�Q5��������%� ������ ����$�����$������
����������������$�����$������������������������ �������������Δ���� ��������⎪�-��⎪≤ Δ�
������Δ�'� ����� ���������$������$�����H$���E����⎪�-�
�⎪≤ Δ������������������ � ����%���(
1 1a a a− Δ ≤ ≤ + Δ ��� � 1 ,a a= ± Δ'������������� �����' ����� � ( )1 1, .a a a∈ − Δ − Δ
� � ��� �����$� ���������<0�3AQ±Q�QQ5-�����,������� ������������������������ ��� ��� �$� �����
�������� ����� �������5��4�Q�QQ5��������������$����������������������� �Q�QQ5������ �������
� 3,250 0,001,t − ≤ ���������( ) ( )3,250 0,001 kg 3,250 0,001 kg,t− ≤ ≤ + ��� ���������������������3,249kg 3,251kg.t≤ ≤
� K�������� ��������� ��������4�<0.6±0-��� �������� ��� ����������%����������� ��� ������$�����$��������� �������� ����� �
( ) ( ) 1 2 3347 3; 347 3 , 344; 350 , 345m; 346,5m; 348,6m,�d d d d d∈ − + ∈ = = = �������� ��� ����������%�����
�������( 1 2 3347 345 2m; 347 346,5 0,5m; 1,6m.d d d d d d− = − ≤ − = − ≤ − ≤
� � H������������������������4�<5�/�Q�5-��� ��
��4<5Q�/�Q�5-���,������������� ��������� �������
���'������������ ������$������$��������������$�����Q�5��4�5���
"�� �������� �������������� �������������'����$�����$������� ��Q�5��4�5��������$����������������������� �
&���������$�����$���������������� �� ��������������� �������� ������������������ ���������������� �%�� �
�� ��������� ��������$�������'���������$�� ��������� 1a a
aδ
−= ���������������������������������������������
������%����
������� ���������� ���$����� �����������(� 1 2
1dm 1 1dm 10,1, 0,01.
1m 10 10m 100prandajδ δ= = = = = =
� ��'������ ��������������� ���������� ���$����� ���������������������
K�$����� �������� � ������ ��� ����'���� ��������������� ������$������ ����'���� �� ���$����� ������� ( )100 %.prδ δ= ⋅
���� �$���(� 1 20,1 100 10%, 0,01 100 1%.prpr ndërsaδ δ= ⋅ = = ⋅ =
��
� �������%�F�������� ����������� ��������(<5Q.±A-"������������$����� ������������� ��� �7
���������� ����������������������� ��������%�F������������ ��������������� ������
�( ) ( )104 5; 104 5 , . . . 99; 109d mth− + �������
#�� ��� �%������ � � ��� �� � ������ ��������� ������ ��� ����� ����99 109
1042
+ = � ������� �������5
0,0480...,104
δ = = �������� 0,05,δ < ������� 5%.prδ ≈
� � ������� ���������� ���(�4�DQ��\�� ���$���� ������A]�� ���������$�����$������ ������������%�������� ������� ������ ����7
����%������� 1 0,05V V
Vδ
−= = ���� �� 1 0,05 80 4km/h,V V− = ⋅ = ���������80 4 80 4,V− ≤ ≤ + ������
� ( )76,84 km/h.V ∈
� K������������ �������'�������������������������%��� ���� ������'�� ��� ���������� ��� ��������������������������%��� ���� ����������������� �������� ��� ���%��� ���������� �
����� �$����� ...,41421356,12 = ���������π 4��� �������������$������ ���(
�-���+ $-������+ �-��������� �� ��� �� �
B���$������������ ���������� ����������� � (
��� ���%��� ������ ����������������Q��5��3��0�� �.����� �����%������ �������������'�� �����$��������������������������������� ����%��� ������ ����������������A��2��6��D�� �P����� �����%���� �%�������������$������������������ �E�����������5�
��� 2 1,41; 3,14;π≈ ≈ �������� 2 1,4142; 3,1416;π≈ ≈ ������� 2 1,414214; 3,14593.π≈ ≈
&� ������ �����������'��������� �����$���������������� ����������%������������ ������� ��# �����$�������$� ��������$��������������K�$��������������������� ����������������$��������������������������������� �� � �
���������$������� �������56�3D0�����$����� ��������� ����� �
K�$�����$����������17,283 17,28 0,003.− = �����'��Q�QQ0�≤�Q�QQA�����������$���������������������
� �A���������� ��������������� �����'�����( ,005,001.02
1 =⋅ ��������� .005,001,02
128,17283,17 =⋅≤−
��
K���������$��������������� ��� �� ����$�����$������������������������ � ,0005,0001.02
1 =⋅ �������
����$��������������������� �� ���������������� ���� �� � 00005,00001.02
1 =⋅ �
������������������������$����������������� �� ���$�����$������������������������ �n−⋅10
2
1�
: ����� ��������%����� �� � ���������������%��������������%�������� ���� ��������%��� �������<�� %�� -
�������������� ���$�����$������������������������ � .102
1 p−⋅ ���� �������
����� �$���� � ���������4�A�06�� ���$����$�����Q�QA���%����A�� �0� �������%��� ���������� � �� 11
5,37 10 0,05,2
a −− ≤ ⋅ = ����������%���6���������� ������������'�� 215,37 0,05 10 0,001.
2a −− ≤ < ⋅ =
> ���������≈�5�A63Q�� ���$����$�����Q�QQ5�� ������ ���%�������������������������������'�
211,5720 0,001 0,005 10 .
2a −− ≤ < = ⋅
#������ ��������������������������������%�������������������� ��� ����� ���%���� ��������������
����� �$����� ��������36�2+�5�.5.3+�0�QQ������������%�������������������"�� ���� ���$�����$���������(�Q�QA+Q�QQQQA+�Q�QQA�
� �� �(����-�2
39
+ ��� ������ �� +
> ��������� ��������� ������������ ������ ����'���%������������������� ��$� ������
>�����E����� ����A�.65D20�������� ��� �����%���� ������� ����������������������� �⎪�-�
�⎪≤Q�Q.�
��%������ ����������� ���� ��� ����� ��� ������������� ����������%��� �������� ���$����������������������� ���������
�� �����$�������������� ��� �� ���� �������
1 5,472.a =
����������� �� �� ���������������� �����������%����<� ���������������D��2��0-������������������������ ��
1
110 .
2pa a −− ≤ ⋅
$-� 60 57− �� ������ �� +������-� 345 344− �� ��� ��� �� �
�-�2
3 1,73 0,22 1,95;9
+ = + = ���$-�7,75 7,55 0,20;− = ����-� 345 344 18,574 18,547 0,027.− = − =
�
�� J������� ��� �������������������3�.�±�Q�5������4�0�6�±�Q�5���������� ��� ������ ���������� �� ������������ ��� ������$�����
"�� ����� �� ������������������$�������������������� ��(
2,4 0,1 2,4 0,1;a− ≤ ≤ + �3,7 0,1 3,7 0,1.b− ≤ ≤ + ��2,3 3,6 2,5 3,8; 5,9 6,3,a b a b+ ≤ + ≤ + ≤ + ≤ �������
2 5,9 2 6,3,L⋅ ≤ ≤ ⋅ ��������11,8 12,6.L≤ ≤
���� ����������%������������������ ����� ������� ��� (
���4� 2,122
6,128,11 =+$�&�����������$�����$������������������������ ��
12,6 11,80,4cm.
2
− =
�����'����� ���� �������� ������� ���%�������������������� � ����������� ������ ����� ���%��������������������9�4�5D�3����
��������� ������ �������%��������'���%����������������������E� ���� ����������������������%��� ����������
�� ,�������������� ��� ������������������� ���������������56������������� �����������0�.2��
���� �4���⋅ ������ ����4�a
S�����4 .913294,4
46,3
17m= �������'����������������� �� �������������� ��
$���������� ������ ����'���%������ ����������4�.�P��
�� �� ����������� ���� � �������������� ����%��������� �������������� ���� �� ��������������A�56���� �0�A3��
25,17 3,52 18,1984m .S = ⋅ =
28,28 9,50 9,50 8,282,3 3,6 2,5 3,8; 8,28 9,50. 8,89cm , 6,1.
2 2a b a b S a b ndërsa
+ −⋅ ≤ ⋅ ≤ ⋅ ≤ ⋅ ≤ = ⋅ = = Δ = =
�
���
� ,������$������ ������������������(
�-������������4�<A2�̂ �Q�A-��+
$-���������(�4�<63�̂ �5-���+
�-��� �������(�4�<PA�̂ �A-��\+
�-�� ������;�4�<.�A�̂ �Q�3�-"�
� > ��� ���� �����%��������� � ��� ����$�����$������ �� �����(�-�6 5,6;≈ ��$-�1,983 1,98;≈ ���-�0,991 0,99.≈
� > ������T������ ���� � �����������33Q��� ���$���� ������2]�������������%�������� �����7
� ,������������%���������������������� ���� ����%��������� �(���%�&(*,�!'&��������'&�%�!'&'����������*�)&+�!�'�
� "� ������$������$���������� ��� ��������%����(�-�5�.5+�$-�5.P�A�5Q+��-�Q�QQQQ56P��<��� �����������%���� ����������������������-
� B���$������������� ����������� ���%������� %�� (���-�5�603+��0�.3A5+
$-�536D0+��5.PAQQQQQ+��50P55QQ�
� �� ��.�<32-�/� 5 ����� ���%�������� %�� �
�� ��� ���������%�������� %�� ��������� E������������$������ ������ �
�� ������� ��� �� +
�-� ( )5,2 27 34,6 0,85;+ − ��$-� 3 2;−
���3 2 :8;π �"��( )5 7 : 3 ;+ ���17 5 24 .π+ ⋅
�� �(
�-� 36
5 + �� ���������Q�QQ5+
$-� 3)6(,2 ⋅ �� �������Q�5
�� �� ��� ��� ������ ���������� ��� �����)������� � $�E�� ��4� 5D�.��� � � ���������4�6�2���
�� J������� � �� ����������� ����� <A�2Q�5-��+<6�D�±�Q�5-������ ��� ��� ������ ���������� ��� ������$�����
�� : ����� �� 8,34 0,01;a = ± � 6,21 0,01.b = ±�� ���� ���� ���� � �(�-� ;a b+ ��$-� ;a b− ���-� 2 ;a b+ ���-�
a
b� ��� ������$�����
��
������������� �������������
���� ������5)�.������ �� ���������������� � �%���������� ��������,�����������������
�
�
�
�
�
�
�
��
��
"� ��� ���� � �� ( )4 3 4 6− − �
��� 2;− ����'� ����� �� 14.−
"� ��� ���� � ��� 5 2 11
6 3 2⎛ ⎞− ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠
��
�-�3
;2
$-�3
;4
�-�1
;4
�-�1
.3
!"��<6��P��5.-�����( �-�.3+ $-�20+ �-�PD+ �-�532�
������56�������������������� ������� ����$���������(�-�5QQQ5
�+ $-�5QQ5Q
�+ �-�5Q5Q5
�+ �-�55QQQ
��
�������5555Q5��������� �������� ������� ����� ����
�� ���� ���� ���� � ��06�/�55Q5��/�5Q5
��
�� ���� ���� ���� � ���1 3 1
5 1 2 :1 .2 4 4
⎛ ⎞+ −⎜ ⎟⎝ ⎠
��������� ���3�0<5A-������� ������ ��
B ���������������������������(� ( ) 12; 3; 2, 3 ; 2,3434...; 1 ; 1,31212....
3− − −
��� ���� ����� ��� ���� ���� �
�-�[ ] ( ]3, 5 2,7 ;− $-�( ] [ )3, 4 4, 7 ;− �-�[ ) [ )2, 3 2, 5 .−
��� �( ) ( ) ( ) ( )| | , at her | .m a m b a b ë ë m a b∧ ∧ > − �"��� ��
��������
��������
�����
�����
����
�����
��������
��������
��������
��������
�����
��
��������������
" ������" ��������� �����" �������$���$���������������������������������������������������
#$� ����� �E$������ �� ����� ������
���E������� ������� ����������������
�
��
�
��
�
�
��
����� � ������������ �����������
M$��������� ����� ��������������������������� ��
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�
& ������������� � �� ����� ������������ �����������
��� �� ��� ���� ��� � �� �� ����=� ������E����� ����� � �������� �� ���E����������� ����%���������������������
�E����� ����� � ��� ���E���� ����%���� ���������%� � ���������������������������������
�E����� ����� � ������ ���E�� �������
������������ ��� ������������������
"������ �� �� ��� ������������������������
��
�
����������������������������������������������������������������������������������
�������������
K� � ��������������������������������������� ���������� ���������B�� ��������� ��������� ������������ �� ��� �� � �������� ����������������������� ��������������� ���� ���������
�������<�� ��0QQ���� � ������ �������� -�� ����������� � ����� �����������K�������������������� � �������� ��������������%����� ����������������� �� � �� ������������� �� ����������� ������������������� ������� � ����������� �$���(��������� ���E����� ������������������ ����'��������$�� ����&������ ����� ������%�E ��� �������� ������� � ��� �����������������������������������������%�E ��%�� �������� ��'�����������%�E �������'�� ��� �� �$���'� ���������������� �� �� �������� ���� ������%�E���������� ������ ���
�� ���������
������ ��� � �� ����������%�E ����������������� ��� � �� ����L��������(���������� ���E�������%����� ����� ����>����������� �� ���� ������������=� ����� ���������%�E�����
�$�����J�������� ��������������� �������%������������������������������������������������ ������ ���%����'� ���� ��"�� ��'�������������� ����������'���������������� �%��������� ������������������������������������ �($������� ������ ������ �������%��� ������ ������
�� �������
*������� ����������������� �������������� ������� ������$������ ������������ �������� � ����� �������������'� ��� ��%�"���
������ ��������������� � ����������������$�������������� �$�����$�������� ������� �� ���$�������� ��=����� ��������������� ��$�������� ���$��� ����F���������� � ���
����� � ����������'�������$��������� ���%���� ��������� ��'��������������� � ,� ������� � � �� �� �������� ��������������� �$��<��=����� ������� ������� �$�� �<��E�����������' �������������������� ����� ���������$�� �<������� �������������������������������� ������������$�≡�<�
�� �������
��������$������� �� '� ��%��� �������� ����� �� ����%��� ��
��
" ���$�������� ,� ���� � �F�����$����������� � � ���� �N@O� � ,� �������%�������� � ���� ��������%������� �'� ����������&� ���E��� ����%�������������������$������������������� ,� ��� ����������������%�������� � ���� �&� ���E������������� ����������������������+���������������%� ��� �������������%�$ ������ �(�π��Σ�α��β��Ω�G�
8��$������� ������ �������%��'� ��%��� �������� ���� �%�����>� ������������������� ��������%��������� � ���� �������%���+����� ��������� ���E��� ����%�������%������� � �� ��� � ���� �
� K� � ������������� ������L����������� ����� �%������ ��� � ���� �� ��E������ ����� ������� �" ������ ��E����� ������� � ��� � ���� �������� �����%���������� � �������������������
����� � �����$�E��������� � ������������� �� �� ��������� ���������� ����
������������ �%��� �� ������� � �� � �� ��� ��� � ���� �� � �� �� ����� �� ������������ ��������� ����
�� �������
��� ��������������� ������������ ���������� ����'� ��������������� ��� ��������#>����������� �� ��� ������� � ��� �'� �����������&�� ��� ���� ����
> � ������ ����� �����%��������������������'%� ���������"�� �� %� �������� ��������� �$������ � ���9��� ���������������������$����� ���������� �� ����������� �������������� ;�������� ������%������������E�����*������� ���� � �� � �������������������� ��(�9&������ �� ��$��������� �������������� ;�
���F��� � ����� ����������(���������� ����������������'��� ��$� ����<�������-��������� � ����$���������"����,�����������������$� �� ���� ���������� %�������� ��"��#
� �E������ ����� ����%������ �� � �� ��� � ���� ���� ��� ���� ������ � �� � �� �� ��������
�����E��������������'������� ���E��� �����������
,������ ���� ����� ������������� � (
�-� ;A a∈ ���$-� ;D a∈ ����-� ;B a∈ ����-� ;E a∉ ��� -� .C a∉
�
�
� �
�
���� �������� ���E����� ����%��������������������� � ������'���������������������� ���E ���
@�������������������� ��� �
� �
� � �������� � �����
�
�
� �
��
������'������ ������� ���E��� ��������'� �������������� �#
������F������������������� ����������� �� ���������� ���E���
*������9����� �� �������;��������������������������9�������������;�� �9� �������;������������������� ��� F������������������� ���������� �� ��&� ���E���'������������������������������ �$�� �<����� ���������� ���E��$<#
#������ ���������� ����������� � �������������� ������� ������� ���������������� ����������
������������� �� ������������ ����������� �� � �
(� �����#�: ����� ���$�� �<������������������ �� �����@��������������$�� �<������� ���������� ���E��� ������
�� �E����������=� �������������� ������� ���E������&�������������$��<�� �=������������������� �� �
������� ����������������������%��������� ���E�� �
(� �������: ����� ���$������ �F%������ ���������<�� �=������������ �� �� �������$� ���������������������<�� �=������� ���������� ���E�������������������������� ������%�������������������� �����������>������ ���E���<=�� ������������$������� ���������� ���E����������'������� ���E���<=�������%���������������� ��� �������������$������������%��������� ���E��
�
� ��
�
� @����������������$����������� �� ������������� ��9�� ���E��$<�� �9�� ���E��<$;7
� : ����� ���$������ �F%������ ��>� ��� � �E�������������<�� �=������������'��������$��<�� �=������������� �� �
: ����� ���<�� �$������������������ �� ���������������$�� �<����������������� ���E���� ��������� �E������������'���������� ������ ���E��������������� ����� ���=���������� ��������&�������������$�<�� �=�������������� ��
�
��
�
� ���� ���E�������������������@��<���=�� �?����� ��� ��� ����� ���������� �� 7
��� �$����������� ������� ����� ���E�� ���������� ��������$���������������� ���E�����<$∈�-�� ������������� ���E�����<$∉�-����� �<$∈�-����� ���� ���� ������$����� ������� ���E���������� ���E��������������������$�
���������
��
� �E������ ����� ����������� ����%���� ���� ���� ������������� � �
���� ���������%������ ������������ ����������� �� �� � �E������� � ������������������������������%��������������
��
�������� ����������� �� ������� �����������%����
��������������������� ��� ��� ���E����� ����%���������������$���������������� ����$�������� .�
�������������� �E��������������������������'���������� ��������%���� �������� �
(� ������ ��������������������� ��� �� ������������ ����������� �� �$��<� �=��������������������������������� �����������%���� ����������������� �E����������?�'���������� ��������%������&�������������$��<��=�� �?�������� ��������%���� ��������
123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890
��
�
������'������ ������������%������������'� �������������� ��
� : ����� ���$������ �F%������ ��>� ��� � �E�������������<��=�� �?�������'��������$��<��=�� �?�������� ��������%���� ��������
���������
��� �$����������� �F%������ ����� ��� �E�������������<�� �=������������'��������$��<�� �=������������� �� ����'�� ���������# �������$��<�� �=������������������������%��Σ ≡�$<=�� �������� �E���������?�������'��?�∉ Σ���� ���������� ��� �������$��<��=�� �?��������� ��������%���� ��������
� ����� ���� ���E���%������������������ ��� �(��-������������ ���������� +�$-�� �������� ������'��F��������������� ����� �������� ����������� �
���������
�-�>� ��������$<=�� ������?�'���������� ��������%���� ��� ���������<��E�����-$-�>� ���������F%��������$<=�� �������?�� �5�'������ ���������� ������� ������������ �� ����%���� ��� ���������$<=� � �
�
������� �������������������������������%�� �
(� �����#�: ����� ���$������ �F%������ ����E�������������<�� �=����������������������� ���E����� ��������
�E�������������'���������� ����������� ���E��� ����� �����������$��������$��<�� �=���������������� �� ����������������
������������������ �����������%���'������������ �������������$���������������������%��
��
� : ����� ���$������ �F%������ ��>� ��� � �E��������������������%���'�����������������������$�
*������9�����������;�������������� ����9�����������;�'�� ���������������� ����� ���������������������� ���� � �9��������� ����;��� �F������������������ ��������
*������ �%���������������� ���E�� ��������������� ����%����'������ ����������������������'� �������� �%���K��������%��� ����� ������������� �� ��� �� ��� �� ������������� ��'���������� ������ �
�
�
��� ����� ������������������������ �����������������
��������
A a∈ �� � ;A∈Σ �B a∈ �� � .B ∈Σ
8%�����E�� �� ����� �������� ���E����� ���%���Σ?
� � � Σ
� ����������� ��������� ������� ��� ���E���� ����%������������$���������
������ ��������� ����� �� ����������>� ��� ���E����������� � ����%��������� ���� ���� ��� ���E������� ��������%������ ����%���������������� ���E�����
��� ���������$�� �<������ ���E��������� ��������%��������� ��� � ��� ���E�������� �������%�����
��
��� � >� ��� �� ��������������������� ��������
�����������+������������������������ ���E��
� >� ��� �� �� ����������������� �������������������+�� ������������� �������� ���� ���E��
� : ����� ���$��<��=��?�� �5�� ������������������'����������� ��� ����� �������������� �� ��>� �� � �������������+� ����� ������ ����� �����%� �
� : ����� ���$��<��=�� �?�����������������'��������� ��� ����� �������������� �� �� �����%� ������������������7
� "�E�������������������������� �� ��������������� ������������(�-�������������� +$-���������������� �
�E���� ��� ���E���� ����%������������ ���� �������(
��������
��� ��E����� ����� ������ ���E����� �������$��<� �=������������������ ������ ���E�����
� �
�
�
��� �� �� ����$<�� ��� ���E�����������������������$���������� ���� ���� �������$�� �<���������������������������� ���E�����������<� � �=� ����� ��� ����� � ������ � ���� ���E�����
��
�������������� ���E����� ����%���Σ����� �(�-�������� ��������������$��������� ����������∩ Σ 4 ∅���E���-+$-����� ���� �������������������$��������� ����������∩ Σ 4�N$O����E��$-+�-�� ���������� ��� ���E������������ ��������%����� ����������∩ Σ 4������E��+-
�� Σ
�Σ � Σ
�� �������
&� ���E����� ����%���Σ�'����������������������$�������� ��� ���E����'������ ��������%����Σ�� ��� ����������� � +�������(��⎪⎪Σ&� ���E����� ����%���Σ�'�������� �������������������$������$����� ����� ���������� ���E���� � ���������%����Σ����������$�
>���'������������� � ��������E������ ����� ������ ���E���� ����%����
���� ���������%������� ���������������� ���E� �
(� �����#� ���������������%��������� �������������������: ����� �����������$�� �<�����������������������$�� �<������� ���������� ���E����������$�� �<����� ������� ���E������ �������%������������������������� ���E�������� ��������%�����
��� �$�����������'���������� ������� ���E��������� ��� �E���������� �� �����������%���'������������������$�� ��� ���E�����
�
(� �����#� �������������� ���E��������� ������������������<�� �=�
�����'�� ,A a∉ ��� ��� �������$��<�� �=�������������� �� ����������������
������������������������%�����&�������������������$��
���
�
�� ���E�������������������������%���: ����� ���Σ�����%����F%��������'�������������������$�� ��� ���E����������'�����%���Σ
����������������������� �� �$��<�� �=���������
���� ��� ����%� ��Σ�� �Σ
�������� ��
� >� ��� ����� ���������%������� ������������ ��� ���E����������� �
B��%��������$����� ����������� �� �<��-�'��������������� ��� ���E����������� �<��-�������'��� ������ ������� ��� ���E�� �� ����%�����������������������$���������������
����� ��� �������� ��������%�����
� "��� ��� ��������� ���E��� �����������������%������������%� �
�- $- �-
�
(� ������ �������������� ���E����� �E�������������$�� �<�� ��������� �E����������=∉�����������������$�<�� �=�������������� �� �� ��������
������������������������%��������������� �E���������%��������
�����'���������� ������� ���E��������������������� � �������� ���E����� �� ����������>���>∉��������������������%���&��������������� ���E��������������%������������%� �
� H��������+ �-���������+ $-��������+ �-��� ������ �����%� ���������������'��������$����������� �����7
�-���%��������+ $-���%�������� �-����������%���������������������������� ��� ���������������� �� ������
� I�������� �����E������ ����� ����������%� � ��������'�������� � �������� � (
��E���������������������%� �'������������� ���E�������$������ �
(� �����#� ��������������������� � �E������������������'���������� ��������%���� ���������: ����� �����
�����$��<�=�� �?�� ���������� �������$��<�� �=��������������������%���Σ����������� �������$��<�� �?�������������������%���Σ
���&� ���E��$<�4��������������������$�������� ����%����Σ
��� �����������
���$�������� ����%�������'������������ �������� �����'�����������%� �������'����� �����������%� ��������� ���������
����� ��� ����������������� ���������� ���������$������������������� �'������ ����
�� ���E������������������%� ��Σ��� �Σ��������� ���E�������$����������� ���������Σ�∩Σ�4�
�E����� ����� � �������%� � ��������� ���� ������������� � (
��� �������%� ���������������������$���������� ������������������� � ������������ ���������$������
��
�-�� ���� ����� ��������Σ�≡Σ����E���-
�-�� ��������������������$��������� �������Σ�∩Σ�4∅����E���-�
$-�� ������������ ���E�������$��������� �������Σ�∩Σ�4�����E��$-+
���������������%� ����� ��(
1Σ
2Σ
�
1Σ2Σ
�� �������
B��%� ��Σ��� �Σ��'����������������������$��������� ������� ��� ����������� � +��������Σ��⎪⎪�Σ�B��%� ��'�������� ���������� ���E�������$���������� ��
1Σ2Σ�- $- �-
�
� @����� ��������%� ����� ���� �������������������$�����7 '����������� ��
� ������$��<�� �=����� ��������%����Σ��� �������%����Σ
���@���� ���� ����������%�������� ����%� �
��� ��������� �7� '����������� ��
� 8%�����E����� ����� ���������� ������%� ������������������ ������(�&$<=�� �$<?, $-�$<@�� �$.?7
H�������'����������������������$����� �=���������� �� ����� ���������� ��
>���'������� � ���������������� ���E����� ����%���Σ����������� � ���� ���������∩Σ4∅�������������� �� ��������������%����Σ��� ���E�'������������ � �� ��� ���E����7: ����� ����⎪⎪Σ�<��E�����-��@�� ���� ��������%��Σ��'�������������� ���E������ ��������������� ��� ����%����Σ�� ��� �����%����Σ��������� ���E�����������'���⎪⎪������ ��� ���E������ ���������������� � ����� ���������� �������'������ ��������%���� ������������������������ ���E���������� ���������%����Σ��'��������������������� ����E������ ��⎪⎪Σ�����������������%����Σ �E������� ���E�'������������ � �� ��� ���E�����������%���������� ���E������������� �� ������� ����� �������� �� � ����%����Σ� ������������%��Σ��'�� �����$����� ���E������ �������������� � �� ����%����Σ�
�� �������
������ ���E������������� � �� ����%��������� �������%����� �E������� ���E����'������������ � �� �� ���E�����
���
� >� ��� ������ ���������%��� �E������������������ ���E�'�� �� ���������%�����
� "��� ��� �������������$�'������ ��������%�������������%����������� ���E��'������ �������%�����
� : ����� ���Σ��� �Σ
��������%� ����������
� �� ����� ���Σ�∩Σ�4∅��"��� ��� � �E������������������ ���E�'����� ���������������%� ��
� : ����� ������� ���E���������Σ����������%��,����������� ���������∩Σ4Σ�
� ������������ ������$�'���������� �������%���� ��������������' ���� ���E����'����������� � �� ����%���� ������� �
1Σ
�
Σ�
� ���� ���������%��Σ����� ���������������� ���E�� � � �����������������$�� �����'��$∉��"��� ��
��
��� ����� ������������������
�������� &���� ���E�����$����������������� �(
���F%�����E����� ����� �������� ���E������ ��7
�
�
�
�
8%�����E����� ����� �������� ���E������ ��7
�
������� ��������������������$�������� �������� ;a b = ∅
���� ���� �������������������$��������� �������
{ };a b A=
���� ����������������������$���������� �������
{ }, , ,... .a b A B C=
�E������ ����� ��������� ���E�� �������'�������������� ��� � ��� ����� � (
��� ������ ���E�����������������������������$����������� ��������������$���$��������$������������
(� ���������� �$�� �<����������������������� �'������������� ���E������ ��� ���E��������� �����������
�E���������� �� ���������� ���E�'����������������������@���� ���E�������������� ��� ������� ��������� ���E����� ���������� ���E�����&��������� ���E������ ��������$������� �������� ������ �
&���� ���E����������� �������������� ������������ ����������������$������
(� ��������� ��� ���E������ ����������������� ����������������$���������� ������������������� ��&���������� ��� ���� ������ ���E�� ���������� ���� ������������ �E$��E������� ����������$���� �������������������������� ���� ��� ���E������ ������� ��� ���������∩�4N$O
&���� ���E��'������ ������������������ �� �����������%�� ��
(� �����#�: �������� ���� ���E������ ������������$�<��E�����-�� ������������� ���E������������������$� �E����� � ������<�����������
�� ���E������������������$� �E����������=��������$��<�� �=������������� �� ���������������������������������� �����������%������� �� �E������������%���� ������'������������������$��<�� �=����� ����������
�����%� ��Σ
��� �������$������� ��������������� ������� ��
&���� ���E��'������ �������������� ��������%���� �������(� ��
Σ �
� � ��
��
� >� ��� �� ������� ���E�� ���������'���������� ������� ���E����������������������������������%� �
��� ���������� ���E������������������������ � ��� ���� ���E��� ������� ����������� � �� �������� ��� ����������������������������%���������������������� ���E�� ������� �� �������������������������������%��� ������ ��������%� �
� &���� ���E����� ������� �����������$��&� ���E�������� ��������%���������������� ���E����������%�������@���� �����%� ����� ��7
,�����E������ ����� ������ ���E�� ���� ������� ���∩ ��4 ∅��@� �E��������� ���E��'���������� �������%���� �������7��������� ������������������� � ���� ��� � ���(
��
�
�(� ������� ������ �E��������������������������$��<��=�� �?�'��������� �������������������%���&� ���E���$<�� �=?������������������ �������%���� ��������������'����� ��� �� �����%�������������������������� ���E����� ��� � �������$��<��=�� �?���������� ������������%��
&���� ���E��'���������� �(�� ����������� � �� ��������� ��������%���� ��������
�� �������
&���� ���E��'���������� ��������%���� ��������'� ��� ����"�����������&���� ���E����� ���'������ ��������%���� ��������� ��������� ��� ������ ��'� ���� ���E������� � +��������⎪⎪��
� X������������%���Σ�� ��� ���E������ ������� ��� ���E������ ������� �����������$�� ���� �� ���E�������� ��������%����Σ����� ��������� ���� ���E����������� ��������%����Σ7
� &� ���E���� �� ���������%������@����� ��������%������� ���E��'������������ � �� ��� ���E����7
���
� ���������� � � � ���� ������������� �������������������%�(��-��� ����������� �� +$-������� ���E�� ���������� �������������� �������%�+��-������ ���E��'������ �7
� >� ��� ������ ���E����������� ������ � ������������ �����������%��
� &� ���E���� �� ���������%��������������@�&� ���E�������� ��������%���������������������������@��,�������E������ ����� ����� ���E�� ���� ���
� �����%� ������������������ ��� ��� ���E�������������������������������7
� �����%� ������������������ ������� ���E�� �� ���������� �� ��� ���������� ���������������� ������� ���E��� �����7
��E��������� ���E��'���������� �������������������%�� ��
��
���� ��� ���������������������� �
� �����E����������������� ���E����� ������'� ��������� ������� ���E�� �������������� ���E��������� �
��
�
���%���������������&������������'� ������$��������� �������������� ������ ���E�����������$������������E$��E�����'��������������� ������� ����������'�
������� ��$������� ���������������'� �������� ���E���������$������ �������'�����' ��%������� � ���� � ������'� ��������� ����"�� �%������� ���������������'�
�����E������������������������������������ ���E���'$�� �'<�
� @������������������������ ���E���$<�� �<$7
� ���������� ���E�������������������������� ���E����7
��������
��'� ���������� ���E���'$�� �'<����%�������� � ���� 7
�� '� �� %�������� � ���� � � ����'����� ����E����7
�����E��������������'���������������� ���E��� �%�����������$������
�
��
α
��'� �������'��������%�����7
�"�� ���������� ���E���'$�� �'<���
*�������� � ���� � ���������$� ���� ������������ ���E�� �� �%������������$������� ��������� ���� ��� ���%���� �����%�E����� ����������� ���E��'� ������#
�� ��� ����%����'�����������������'� ���� ��� $� ���� � ������������ ��� ������� ���
�
��
�
��
������������ �������������� ����������� ���E�'� ��������� � ��
�� �
�
��
��E����� �����������%������������ ���
��
��
��
��
�
�
�������� � �� ������ ���������������������� �������������������� ����������� ��� �5°�������������������5DQ°�
���� ��'�����������������$������� ����������� ������$� ���� �������$�������'� ���������� ��������
���� ��$'<�� �<'=���������� �%'��������� ��%'����@'.�� �.'1�%���������������������
�� �������
&������ ����������� ����������%���������������������'� ����������� ��# ���� �������� � ������'��������5DQ°���������������������$���$������ �������� ����������'���'� �������� �����
� H����������� ��������� ���E��� ������%��� ���� �������$������� ������ �%�������������� ���E��� ����7
� "�E�������� ���E��'������ ���,������� ������ � ����%�����������������'��7
���' �E����� ��
γβ
δα
�
�
�
: ����� �����∩ ��4�N�O��H����%���������� ��α��β��γ�� �δ��������E������������ ����'�������+�α�� �β�α�� �δ��γ�� �δ�� �γ�� �β�
��'� ������ ��γ�� �α�� ����� ��γ�� �β7�8%������������������������������ ������� ����� �
� X��������� .AOB� � ������ ������'���� � AOB� ����������������� ��� ������������������ ���� 7
>������������ �� ��� ������������$���$������ ��� ��� ��
(� ������8��������� ������'�������� ��� ���� ���������������� ����������%�E���������������� ��� �������� ��� ����� �� ��� ��������� �� ������������� ��������<��E�����-��# '��������������� �� ���������������$���$������ ��� ���<�����5DQ°-����� ��� � � �������������� �� ��� �����������$���$������ ��� ���� ������PQ°� �� �
�
&������ ������� ��������� ��������������� ������� ��������PQ°�'� ������������������ ��
&������ ������� ��������� ����������������������� ��������5DQ°�'� �������������� �������������� ��
��
�� �������
����������������������������� ����������� ����'� ������������������������������������������� ����������� ������������������� ����������������'� ���������� ������ ����������������������� ������ ����������������'� ���������������������������� ��'��������������� ���������������������'� ����������������������������� �� ���'������������ ����� � ���� ������������ ����� � ���� ��������������� ���������� �����'���
� : ����� ����������������α 4�20°.AL��,����������� ��������� � ������ ����� � �����
� �������� ��������� � ����� � ���� ����������3.°������������ ��� ��� ���%����� ���������� �����,������������� ����' �E����� ��
: ����� ���α�� �β ����� �� ����������� �� ����� ���α C β��������������� ������� ��(� 02 24α β= − �� 0180 .α β+ = �B� ��� � 0 02 24 180β β− + = � � 03 204 ,β = ��������� 0 068 , 112 .β α= =
�������� ��������� � �������� ����������5Q°����������� ��� ��� ��� %���� ���������� �����,���������� �
��������
,������ ������� �1�� �A����� �������� ������� @�� �.7
� ��
�
�����E��������������'��������� %������� � ���� �
� �
*�������� � ���� �'������$�������������������� $�� �<�� ���������������'������ �������� ����� '� ����������� ���� ��� �$<�
�����E��������������'������ �� ����$<��������$�� �<�'� �������� ������� ����� �� ����������������� ����
� ����� �'� ����������� �� �� ������ ���� ��� ��AB 4��
*������ ����$��������� �� �� ��$<��<=��=?��?5����������'��F������ �� �� �%'��� ����������� ���������� ���E�'� ����������� #�������$��<��=����'� ����������������� �� �� ��$<��<=��=?�G$ ������������������ ��
� �
�
�
�
�
�
�
�
� �
�
��
�
�- $- �- �-
�
��
"���� ��� ����������� ��� ���� �� � �$���� <��E�����-� ���� ��������� ����$������ ��������������� ��'� ������������������������� �������� ��� ����� ����������� �������E��������-�� ��(
"���� ��� �� ��$������ �������������$�������%'��� �'������ ��'� �����������������
�����E������������������������������������������ ����,������ ����� ������ ��$������� ������������� 7
�� ��� ����%���� ���%�E����� �������
�� �������
*�������� � ���� � � ���$����������������� ������� �� ��� ���� � ���� ��� $� ���� �'� �������������#
�
� �
�
�
�
�
�
�
��
��� ������$������'� ��������$ ������������� �� ����� ���� ����%����'� ���������������#
���F���������������������$������ ��������$���$������ �������� ����� � �� ��������������������������������� �������+��� ���������������������� ����������������������� ���
"�� ������������������$<=?5B������� ���������� �� ������� �� �������������� �������������������������� ������������������� �������������������'� ����������������������� ����������@.1AC9DE���������������������������#
"�� ����� ���������������������� �%'��� �������������������� ������ '����� ���E����� ������������������ ��� �����������������������%����������������� ������� ���E�
�� ��
,������������������������������ ��-���-�� -�� �%-��������� �� 7����'�������� ������� ���������%������� ������������������������ ���
�� �������� �� ���������������������� ��%'���������������������'� ��������� � ��������������
��������
��������� ������������ '�����������������(�-��� ��������+ ����$-��������������+�-�� ����������7
������������������ �� ������ ����������������������' ��������������� �
.P AB BC CD DE= + + +
����������������� ������������������������' �� ��������������� ������������� ������������
��
�������������������-��������� ����������������������� '����-��������� ���� ���������� ��� �������?������������������� � �����)����������� � ��� �%������(
( )3.
2n
n nD
⋅ −=
��������� ������������ '����� ����������������������������'����(�-�������$�����+ $-����$��� ���$�����7
�� �� ��������� ����������������� � ���(�-�� ����������+ $-����$��� �����������
�� � ��������� ��������� ���������������������������� �������������������������������' �(��-�A�������� +$-�D�������� + �-�53�������� 7
M����� ��$-�������)�0�4�D���� ��� ����55���������� 442
)311(1111 =−⋅=D �������� �
� �
�
α β
γδ
ϕ
1α1β
1γ1δ
1ϕ�������� ���������������� ��������������������� ����' ������������������ ���� ������������������7
����9�� ��������������� � ����$� ���� �����)���������� � ��� �%������(
( ) 02 180 .nS n= − ⋅
�� ��� �������� ����� � ����$� ���� ���(��-�� ����������+�$-��� �����������
�� ,���������� ����� � ����$� ���� ���������������������������������������������������������� '��(�-�.�������� + $-�2�������� + �-5Q�������� �
M����� ���-�������)�0�4�5Q���� ����4�50����������9���4�<50�)�3- ⋅ 5DQ° 4�5PDQ°
������������ � ����������������������$���$������ ������� �$������ ��������
���������$������%'��� �����������������%�����������������������������������E����������������� �α�β��γ��δ�� �ϕ�
��������������������������'���� ���������������$� ������������������������'� �����������������������������������E��������� ��������� ������α���β���γ���δ��� �ϕ��
���� ����� � ��������� ����� ���������������������
( )0 0 0 0180 180 180 2 360 .nn S n n⋅ − = ⋅ − − =
�� ������������������������� ����� � ����$� ���� ������ �$���$������ ������� ����� � �������� 7
��
���
� "�E���������� �α�� �β�� ����������������������(��-�γ 4�3α / β��$-�δ 4�0α )�3β�
� X���������������α �4�6A°��,����������� �������� � ������ ����� � �����
� ������������������ � ������'���������������� �����,����������� �
� "���� � �� �� ��$������ � ���$���� �� �� �� $������ ������������� ������������%����� 7
� @� �E����������������������������'�������� ��� � �$�����7
� ,�������� �� ��� ������������ �����������������3�(�0�(�A
� � ������� ������������������������������53Q°��,����������� ��������
���� � ���� � � ��� $� ���� � ��� ��������������������352Q°�� ��������� ����� ��������������' �������������������7
���� ����������
������ �������� ����������� � �� ������ � �������� �� �� ���� ����� �=� ������� ���������������������������%�E����
�� �������
J�������� ��������������� �����������%��������������������������������������������������� �����'�����������%��'� �� ����
��������
,������ ���� ����� ������������� � (���� ;A k∈ �������� ;B k∈ ��������� ;C k∈��� ;a k = ∅ ��������������� { };p k D= ��������� .q k = ∅
�����E��������������'������� ������ ���E��� �����
:��� ��� ��������'� ���� E � ��� ���������������� ������'�' ����� ��� ����������E���������������� ���)%'���&�
:��� ������ ������������ ���� ���������� ���E �� ������' ����� ��� ����'� ���� ���� ��� � �� ��������� ��� ���������� ���E �
� &�� �������������� ����' ���� ���� ��� E ����������E������ ����� ����� �������������� ��������� ���E���� ��� ������������E�������
J�������� ��������������� �����������%������� ��� ��������� �� ����������� ������'�����������%������������� ���� �� ����� ��� ��������'� �� � �#
"�� ��'����������$������� ��������������� ����$� ���� ������ ����� � ������ ������ ����
�
��
�
��
�
�
�
�
�
�
, ; , ; , ;BO r B k CO r C k DO r D k> ∉ < ∉ = ∈ ����� ������� ���� ���E������ ���� �' �����'��������� ��� �� ��� E��������������)�∩ ��4 ∅�
�
�����'�������������' ������ ������� ���'� ��������� #�
��
�
��
�
�� ���������� ������� ����������������� ����������� ��'� �������
�� ������� �� ����������������������' ������ ��� ������� 7
,����� �� �������������� ����������� �������� �����������������E����7
� X������������������ ����� ������$����������� �������������$������� �� �� �� cmAB 3= ��
cmAC 2= ������������ ����'�������������������$��<�� �=�
)���"���� %����E� �� ����� ���� ������� ������������������' ������ ��� ����
� ���������� ���������3.�����������0A���������' ����������� �����,������ E �� �������� ���
>� ��������$9'������������ ����<��E�����-��� ���� � � cmOS 35= ��
.122
1cmABAS == ����������������� � ����������������� ��(
2 2 2 2 2 2; 35 12 1225 144 1369,AO AS OS r= + = + = + = �������� 1369 37cm.r = =
�
��
�
�
� B� E��� ������� ����������4�56����,�������������� ������� �����������D���������' ��������������� ���
�
�
��
��
������E����������������� ���)�� ��� ���E������ ������������ ��(
&� ���E�������� �������������������$������$�� ��� ����)�� ����'� ����������� ��� ����
8������� ���� ��� �������������� �� ��� E �� ��� ������������������������
&� ���E���������������������$�������� ��� ����)�� �'� ���� ��� �
������� ��� �������������� ������������ ���������������$�������� ��� ����
��������
��'� ������ ��α�� β7
�
�
αβ
�������������������������� �� �����' ������ ��� �����������'� ������ ��� � #
�������������������������� �� ������� ���� ������������������� ����� ��� ������ ����'� �������� �%� ��#����������������' ����������������������������� ��% ����
�
� �����������' ������ �� ��% �����������������$�������������������������� ����� ��� � ������� � �
8�������� ��% ������������ ������������������ ��������' �������������� ��
(� �����#�&�����'��������� ����� ������������� �������� �' ����� ��� ��������������������������� ������$� ���� ������������ ��% ����<��E�����-�
�α
β
�
�
�
�-
�
�
�
�
1β2β
α
β
1α2α
$-
�α
β
�
�
�
�-> � ������������� �������������������' ����� � �� ���� ����� ��� �� ���� $� ���� ������������ ��% ����$-�������'�
,rOCOBOA === � ��� �� � � �� ���)
������$'<�� �='<������$���������� $�E��� $<� � � =<�� �������� � ��(β�4�<$'�� �β��<='#����� ��������������� ������������� ������������ ��� �α��4�3β��� �α��4�3β���� �������������� �
α 4 α��/ α��4�3β��/�3β��4�3<β��� β�-�4�3β���� ��� �β 4�2
1 α�
"��� ��� � ������������ ������-�� ��-������� � ������ ��� (
>������������ ��� ��% ������������������$���������������������� �������������������
����������� ��% ����������������$������ ����� ��� ������������� �����<� � ��� �>�� ��������������� ��% ���-
� ����� ����� ��� E �5�3������������������������������������������ ��������' ������� ��53Q°��,������� ������ ��' ����������� ����� ���� ������
�
��
��
�� �������
��� ������$������������� ��0Q°������ ��������������� ��������� �$���$������ ��������� ���� ��E������� ���������
� ,����������������� ������ ��� ����������������� ����(�-�����.+ $-�����5� �3A������� �-�����A� �3A��������
"�� ���$'9��F7°�� ��'$9���7°��&������� ASOΔ �������������
�� ���������$���$�������� �$������OA �4���4�5�3����������� ,2
1AOOS =
K� �������� .6,02,12
1mOS =⋅=
��
� ��������� ��� ����������' ��� �� �� �������3�(�0��,�������� ��� ��% ��� ���������������$������' ����������
: ����� ������� �� ����������� ��% ��� ����� ���������������� ��' ���� ������� ��������� ����� ���������'��������' ������� ��02QR�� ������������������������������� ������� ��(
( )( ) ( )0 0 0 01 2 360 : 2 3 2 360 :5 2 72 144α = ⋅ + = ⋅ = ⋅ = �� � 0 0
2 3 72 216 ,α = ⋅ = ��������� 01 1
172
2β α= ⋅ = �� � 0
2 108 .β =
��������������$������� ������������������������� ����'� ������ ��������� �� #
���� �� ����$������������������������������������ � ���� � ��
"��� ��� � �������)���"��#�,���������� ����� � �' ���� �'��������������� �� ����� �� ����$����
�����������������
����� ��������� ����$������ �������$��������������������������� ��������������$���$����� ��
�
� ��
�
��
�
(� �������� ��������� ������ �AC � ,BCADCD += ���E�������: ����� ��
@��.��1�� �A�������������������$������� ���������������$<=?� �������������
�� �� �<��E����-��>� ��������������� ����$@'�� �$A'�����������������
<�� 7-���� ���������� ��� � AQAM = �
�������� ����������� , ,BM BN CP CN dhe DP DQ= = = ������ ��
�� �� ��$@�� �$A�'� ��� �� �� ������� ����� �� �����������$���$������ ��� � �
.AB DC AD BC+ = +
:��� ���' ���� � �������@�� ���� ��� ���)<���6��-������3A����,�������������� �� �� ���������� ����������� �� �������� '������������@�
�
�
�
�
� �
������������@�������������' ���������� ������������� �� �� ������� �����
����� ,MQMP = �����)� ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛
OMN2
1, �)��4N1��AO�������� ��������)�@'1
� ��( ,57649625725 22222=−=−=−= OPMOMP ��� ����� 24=MP ���
�
�������������$������� �������������������� ������������� ���'� ������ ���������������� �
����������������������� �������� ��� � ������� � (
� �
���F���� �����������$� ������� ��� ���������� �������������
;AM BM CP DP AQ BN CN DQ+ + + = + + + � ( ) ( ) ( ) ( );AM BM CP DP AQ DQ BN CN+ + + = + + +
��
B� E��� ������� ��������A�������������� ��������$��������� '�������� �� �� ��� ����������'��� �� �������� �������������������53�����,�������� ����' ���� ����������$�
������������ ����������������� ���� ������ �� �������� '������������������������� ������� �����������������$���$������ ��������� ��% ��������������������� ���������� �
��
����������������� ������������� ����� ������ �� �������� '��������������� ������� ���������� ����������� ��� � ��(
(� �����#�&�������� ������ �δ �4 β��>� ��������$<'������$��������� �$�E��$<���������'?����������������$��$�E��<��E�����-������α 4 δ<���� �� ������� �������������� -�� �α 4 β�<������� � ����
��-�
��� ��� δ 4 β��
��
�
�
α
β
δ
���
��� �$<�� �=?���������� ������������� ���
��� ��� BDAC = �� �@,\\J&�
� ��������������������52����� �����' ����� �� �����������������5A�����,������ E �� �� ����
� ������������� ��� ������������ '������� ���� ������'������� �$���$������ ��� E ��,����������������� ����� �
� ���������$�'������ ��������� ����)�����
��� '��� ���� ���� AB 45A��� � � ����
AC 4�P�����,�������������� �������<=�
� ����� ���������$� ����������������������$<=?������$�4�6�/�3Q°���J�4�5Q�/A�� �,�4�0�/�.Q°�,���������������������<�������'����������� ��������
� &������ �%'��� ������������������������������536°�� �PA°5QL��,����������� ��� �������������������
� @������ ��� ��������� �� �� ��� ��� ������������������� �� ��������������(�-�AQ°��D0°��50Q°��PA°+���$-�DQ°��6Q°��DQ°��50Q°7
"��� ��� ����� E��$�����������������$� �)������ ������� ��
����� ����������������������� E��$����)������"��� �� � � ����� �� ���� E��� ����� �$���$������ ������� �� �� �������� E���
�� ������� ������� � ������� �����$<� ����� ����������� ���� .�D��� � � 5�D��� ���� �������� ���� ��� �����,������ E �� �������� ���
�
��
����������������� �������������������������
��������
,����������� ������ � �������������7�&�$<�� �<$����������� ����������������� �� ���$-� .AB BA= �-�{ } { }, , .A B B A=�-�( ) ( ), , .A B B A=
������$�� �<�������������������� ����� �� ����$<� �
�
>���������������� ���-��$-�� ��-�
� ���� �� $<� � � <$� ����' ���$��������� ����������������� ������� ���E�$<���� ��������� �� �������������
�� ����� �������������������� �� ���������� �%����������� ��� ������������ ��$�������'� ����������� ������ �
�
�
������ �� ������� ������'� ��� ����
�� �������
� ������%������������������������ ��������������� �$��<�� �=�� ��� ���������� ��������������������� ������� ����������� �� �� ������ ��������� ��� ��������7
a→
�
�
�� ����� ��� ������� �%���������$�� ��$��������<� ��������� � .AB→
�������E��������������'����
� �� �� ������ �������AB→
��� .MN→
���������� �������$�� �<������ ������ ���AA→
�'� ����������� ������ "� ��
8��� �� ������� �������E �� AB→
����� ��������������������� ��� ���E���$<����������������������� �������� ���E���$<�� ���������| |AB AB=
→<���$���$������ ����������� �� �� �����$<&
��� �� ��� ��������� ������������� �� ������� ����������<� ���� ���� ���������-���� ������������� ���� � ���� �� ���� ��������� �� ��������� �� �� ���������� ������
������������ �� ����� ��� ������� ���������� ������� ����� ��������� �$���� , ,a b c→→ →
�� ������ F?����������� �� ��%�������� �%�������� �����+����������� ����� �� ����� ���� ��� ���� , , .| | | | | |a b c
→ → →
�� ������� �������E ��AA→
�'� ��� ����E ��� ���� ��� � 0 ,→
��� �������� 0 .AA→
=→
��
��������
# ������������������������������� ���E7����� ���� ��� ���E����� ������������� � 7: �������� ���� ���E����������%������ ���� ���E����� �� ��� ���� ���%�� '�� ����� ����� � �� �� ���E����7
�J�������� ������������ ���E�� ������ �
������������� ��������%����������������' �������� �����
����� �� ���E� � ����� $������ �� �� �� ��� ���)%�'��� � � �������� ������
��� �������$�� �<��������������� ����� ����������' ����� ���
������ ���E������ ��������� �������������������������� ��������������
����� ������AB→
�� ���� ����� ������� ���E������
�
�
" ������������������� ������������������ ���E�� ������ ���E����������� ������ � �'� ������� �������� �#�" ������'��������������� ����'� ������� ����������� ��
�� �������
� �����E������� ���E������ ������������� � �� ���������'����������� ������-�,������� ����� ������� ��������� ���7$-�,������ ��������������� ����-�,������ �������������������� �� ��������������� ����������7
��
��
� �
�
��
�&��� �� �� ���������$���$�������� ��������������������������������������������E���� ���� ��&�� ��������� ������������� ���� �� ���� ������������ �� ���� ������������
&��� �������������$� �$� ������ ��������� ������������ ������������$���$�����
�� �������
a→
b→
c→
d→
q→
p→
" ������ a dhe b→→���������$���$������ �������
.a b→→ =
" ����� c dhe d→→� �� ����� p dhe q
→ →���������
���$���$�������� 7
� ,������ ����������E������������������������������� � �� ������������� ������������7@����� ������ ���������� ������� ������$���$����7
��
� ������������ ������$� �������������� ������� ���E��� �����������E����� ���E����������'������ ������� � �� ��� ���E��������������
�
� �
� �
������ ���E�����E�� ������������F%������ �@�� �.�� ������� ���������������<��������������������������� ��������@.<$<��E�����-��&� ���E�� ���������������� �� �� ������������������������ ������� ���������(
������������ ������ �������������� ������� ���E��� ����������������� �� ���������� ���E� ��������������� � �� ��� ���E��� ������
��
� X���������� �����AB→
�� ������ �F%������ �=#���������� ����CD
→��������������$���$������ �� ������ ������
�-���� ������=�������������� ���E���$<����� ���E������������ ����������E������� �� �������������� � �
�
�
���
��������������� ��������������������$���$������ � ������ ������'� ��$���� � �� ������
X���������� �����a �� ��� ����������������������������'������ ������$���$������ �� ������ ����7
� "�E������� ��������� ����'������������������$���$������ ������� +�-���� ����������+ $-���� �����������
� ���$������� ���$���$<=?�<��E�����-������������� ������ , , .AB BC CD dhe AD
→ → → →
� �
�
,������ �������������$���$����7
,������ ��������������������
�����'� AB CD= �� ,AB CD� ����������������������������������������$���$��������� �� ���� ����������������
&��� ������ ���� ������������� �� ������������$���$�����'� ������� ������� ��
�� �������
" ������������������ ������ a→���� ��� � .a
→− a→
a→−�����E����������������� ������AB
→����CD
→����������������
�� �������� .AB CD→ →
= −
$-���� ������=����� ������� ���E���$<����� ��� � �� �������������������������� ���E��� ��������
��
&�� � ��%����E����E����� �� �� ������2������������ ������������� �(
��� ��������������$@.<����������� ���������� ���� ������AB dhe MN→ →
���������$���$������� �������� .AB MN
→ →=
"��� ��������������������� ���� ������� ������������%�E������� ����� ����$���$�����
"� �� � ������������������� ����������� �� ������AB dhe DC→ →
��������$���$������ ��������� ����������������� ���E����� ����������������$<=?����������� ������
�
�
�
(� �����#���� AB DC→ →
= ��� ��� �� AB CD= ��� .AB CD� ������'��$=����������� ������� ��� ���E�� �$<�� �=?����� ��� � .BAC DCA=� ��������� � ABC CDAΔ ≅ Δ <�� 7-����� ��� � ,DAC BCA= � � �����'�������������� ��� ������� ���������� ���� ��$=����� ��� � .AD BC��������������$<=?����������� �������# ����� � ��������� ����
&��� �����AB �� �DC ������������������ ������������������ ���E���������$���$�������� �� � ������� ��������������$<=?����������� ������
��
���
� M�� ���������������������� �$��<��=�� �?� ��� ������ ����� �� �� ���������%�� ��� ������ ������ 7
� M�� ���������������������� �'��$��<�� �=�J������ ������ , ,AB BC BA dhe CA
→ → → →�� �%��������
������ �E�� ����'#
� : ����� ���$<=?������ ������� �9��� ���� ������� � ���������,����������������F�%� �� � ����� ���������$���$���������������� ���� ������������������$���$����(
�-� ;AB dhe CD→ →
��$-� ;AB dhe DC→ →
���-� ;BC dhe CB→ →
�-� ;AS dhe BC→ →
�� -� .SA dhe CS→ →
������������� ��������������
��������
J������� ������ a→ �� %���������������'�
,������ ����� ���������$� �� �� ������� �� ��7
�
a→
a→ b
→
� ���� ���%�� ��� ������� ����� ����� ������� a dhe b
→→�� ������'�
���������� ������OA a→→
= ��� .AB b→→
=
, ,OA a AB b→→→ →
= = �� � .OB OA AB a b→→→ → →
= + = +
a→ b
→a→
b→
�
�
�
" �����OB ���������� �� ����� �a �� �b�� �������� baOB += �
H���� ����� � ������ a→��
.b→�J��� �� ����� b
→����%�����
����$��������� ������ .a→
���������
��
" ������AB dhe BA→ →
������ ������������������������������ ���� ��������� ������������ ������ �����
.AB BA AA→ → →
+ = � ��� AA→
�����' �������� ������������%�E���������� ����������������� "� ���� ���� �� � 0 .AA
→ →= #�������� ������E �������E ����� ��������| | 0.AA
→= � ����������������� ����� �����
� ���� ������������������ ����E ����� �������� 0 .a a→→ →⎛ ⎞+ − =⎜ ⎟⎝ ⎠
��� � a→�������������� �������� �� 0 0 .a a a
→ →→ → →+ = + =
� H���������� ����������� ��� .a dhe b→→,���������� a b
→→+ ��� .b a→ →+
" ������a dhe b→→���$������� �%������������$��������������
$�������'��AB a→→
= �� .AD b→→
= �*����������� �������$<=?������������������� a b AC
→→+ =
→�� ���� �����
%������������ ����������� ������ ����#�� ���������� ��� (
� �
�b→
a→
a→
a→
b→
b→
� ���� �� ����� �a dhe b→→ �����%�������������� �������������� ��
�
�
�
���� ����� ����� ���������������� �����%��������������������������%�������� �� ����������������������$���������������$������� �� ��������������
�� �������
� ,���������� ����� ����� (��-�� ���� ����������+�$-�� ���� ������������
���� �� ����� �������� ������E�� ���� �������'�
b→
a→
a→
b→
, , .OA a AB b OB OA AB a b→ →→ →→ → → → →
= = = + = + , , .OA a AB b OB OA AB a b→ →→ →→ → → → →
= = = + = +
�� ��
� � � � ��
��� � , dhea b c→→ →
�������� ��������F%������������ ������������ �(
�-� ,a b b a→ →→ →+ = + �� ������������ + $-� ,a b c a b c
→ →→ → → →⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + = + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠�� ������������ �
(� �!
����� ������ ,AB AC dheCB→ → →
������E������� ��$���E��
,AB AC CB→ → →
= + �'��'� �� �������� ��������
" �����E ����������� ���� ���������� ����
, d.m.th .AB BC AC AD DC a b b a→ →→ →→ → → → →
+ = = + + = +
��
# �E$������� �� ������������� ������������� ������� ����� ����� ����� ��������� �������������� �������'�������������� �������������� ��$� ���� �
� ,���������� �� ����� �������������E�����
.AE AB BC CD DE a b c d→→→ →→ → → → →
= + + + = + + +
" ������ , , ,a b c d→→→ →���'������ � ����� ����
������������ ���� �AE→
�'� ��� E������ �������� �� ��������� ��������� �����%�E�����������$� �� �����%���� �
a→
b→
c→
d→
a→
b→
c→d
→
� �
�
� �
�
a→
c→
b→ ������� ��������������� ���������� ����� c
→����������� � �����
a→�� .b
→�#��������� �� � � ������������ c
→��������E$���� ����
������� �� � a→��� b
→�<��E�����-�
" ������������ c→����� ���������������� �� ����E$��� �������
���� �� ���� ���������������� ���� �� ���� ����� �� ��� ���E����� ������������������������ ���� �� ����� ���� ����� ������ ,c AC
→ =→
���������������� �������� ������ c→���� a AB
→ =→
���� ,b AD→
=→
���������������������������������������������� ���� �<��E�����-�
��� �� E��������������0 ���������%�������������$����� ���� ��������� ���������������������������� �����%����
����� �������� �������� � ��� ��������� ����� ����� ������� ������������� ������������� ����������� c
→��������� ��������������
� �� ����E$��� ��������� ����<��E�����-�
��� ������������ ����� c→��� ��������� ���� ����� ,a
→���� ��
���� ���� ������ b→���� ��������� ���������������� �� �<��E�����-�
a→
b→
c→
1a→
1b→
a→
c→
b→
� �
�
a→
c→
b→
�
�
� � H���������� ������AB a→→
= ��� .AC b→→
= �,����� ����� ,x→
������'� .AC x AB→→ →
+ =
a→� �
�
x→ ������� ������������$� �� ����� ����� �<��E�����-�� �������� ���������� ���
.AC x AB→→ →
+ =
��������������� ����� �� �%������������$������������ ����%���������������������������$��������E$����������������$������������ ��$�����������E$���������
�� �������
b→
,x AB AC CB→ → → →
= − = �� ��������� �����x ������������
��� ����� a→��� .b
→
�
� ,��������������a )b �������'��� ������'���E$��� ���L���������� ������ ������������� ������E$������
� ���$������� ��� ���������$<=������������������ ������<��E�����-�� �� � �����(
������-� AC→
�� BC→
�� � ;BA→
�$-�CB→
�� AB→
�� ;AC→
��-�BA→�� CA
→�� .CB
→
� �
�
�����������-� ;AC BC BA→ → →
= − �$-� ;CB AB AC→ → →
= − ��-� .BA CA CB→ → →
= −
���
� H���������� ������a ��b �� �c �� �%�����������$���������������������� ���� �
� &������ �� ������ ��������$<=?����� ����������'��>� ������ � �(
�-� ;OA OB OC OD→ → → →
+ + + �$-� ;BC OA OC→ → →⎛ ⎞+ +⎜ ⎟⎝ ⎠
�-� ;AB DO OA→ → →⎛ ⎞+ +⎜ ⎟⎝ ⎠
������-� .DO OA BC→ → →⎛ ⎞+ +⎜ ⎟⎝ ⎠
� X���������� ����������$<=?5��K� ��������������������������������� ���� �����AB→
������������ ����� ��E ���� �%������� �$������������ �� ��������������
� �����9� ����� ������ ���� � ������� � � ������� ��������$<=?�� �� �� ������� ���
, , dheAB AD CB DC→ → → →
�� �������� �� �����
dhe .SA SB→ →
� H����������� �������&��������,����� �����.AB CA BC
→ → →+ +
� �����'����� ��������%���� ������ �������$<=?��"��� ��� ������������������
.OA OC OB OD→ → → →
+ = +
X���� ������� ������������� ������ ����� ����-��������<-�-������������ ����� �� � ������ ��������� �������
).( baba −+=− �&����������� ���'�����E$� ����� ����������� ����%�� �� �'��� ��������������<'�
E$��� �-��L���������� ������ ������������� ��������������<E$�������-�
a→
b→
−
� �
�a→
b→
−b→
���������
, ; ( ),AB a BC b AC AB BC a b→ →→ →
= = − = + = + −→ → → → →
������� .AC a b→→
= −→
�
������ � � ������ ���������
��������
X���������� ����� .a→
����������� �����(
,������ ����� ������������E����� ������� �� ��7
a→��� ;a a
→ →+
��� .a a a→ → →
+ +
� � X���������� ������ .a→
a→
$-a→−
a→−
a→− �
��
�
3 .MN MP PQ QN a a a a→ → → →→ → → → ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + = − + − + − = − ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
�� 2 .AC AB BC a a a→ → →→ → →
= + = + =
a→ a
→
��
�
���������
"�� ��� �� ������2 a→���� 3 a
→− �����
���� �� �� �� ������ �����
��� � ,k ∈� ���� ���k a a k→ →
⋅ = ⋅ ������� �������� ���� �� ������ a→�� �� ������������$���$����
� �| | | | | | .k a k a→ →
⋅ = ⋅
" ������k a→
⋅ ������� ������������ �� ������ ,a→
���� �� 0.k >
" ������k a→
⋅ ������� ������������� �� ����� ,a→
���� 0.k <
�� �������
" �����2 a→������� ������������ �� ������ ,a
→��������� ����� 3 a
→− �������
��� ������������� �� ������ .a→
� X���������� ������F%�������� .a→
����������� ����(� 32 , 2 .
2a a dhe a→ → →
− ⋅
a→
�| |a→
| |a→
2a a→ →=
���������%�E������������E����� �� ������� ���������� �(
1 ;a a→ →
⋅ = �� 1 ;a a→ →
− ⋅ = − ��0 0 ;a→→
⋅ = �� ( )0 0 .k k→ →
⋅ = ∈�
� "�E���� �������F%�������� ,a→
� ������������������ ����(
�-�3
2 ;4
a→⎛ ⎞⋅ −⎜ ⎟⎝ ⎠
$-� 23 ;
3a→⎛ ⎞− ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠
�-� 12 .
2a→⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠
T��E���� ���������� ���� ����� ��� �������
���������� ���(
��� 2 ;a→
⋅ ���� 3 .a→
− ⋅
" ������ 2 a→������� ���� ������������ �� �����
,a→
����������������� ���������� �$���$������ ����������� ��� ��E�������� ���������$��������������� ����� ��� � �| |a
→<��E�����-
�
� H���������� ����� .a dhe b→→���������
� ������ 2 .c a b→→ →⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠
a→
b→
� >� ������ � �
�-�2 3 3 ;a b a b→ →→ →⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
$-�3 4 ;a b a b→ →→ →⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
�-�3 2 2 6 .a b c b a b c→ → →→ → → →⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + + − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠;OC a b
→→→= +
2 2 .OB OC a b→→→ → ⎛ ⎞= = +⎜ ⎟⎝ ⎠ a
→
b→
ab→
→ +
ab→
→ +
� �
�
�
���
� �� ��$���E��������� ��������� ������ x→��
� : ����� ���������$��<��=�� �?����� �� �� � � ��� � ���@� � �.� ������������� � �� � �� �� � �$<�� �=?���>� ��� (
�-�2 2 ;x a b a b x→ →→ → → →⎛ ⎞− + = + +⎜ ⎟⎝ ⎠
$-�3 2 2 3 ;a b x a x→→ → → →
− − = −
�-� 3 2 .a x b b a x→ →→ → → →⎛ ⎞− + = + +⎜ ⎟⎝ ⎠
2 .MN AC BD AD BC→ → → → →
= + = +
� "��� �� � �� � �� � $������ � ��� ������ ���������������������� ������������� �������
� : � ��� � ���9��� ���� �������� � � �������)� ��������$<=?� � � � � ��� � ���'� ����� F%������ ��>� ��� (
4 .OS OA OB OC OD→ → → → →
= + + +
���� � � ��������
&������� ���� ����� ������������� � �������� ���� �������� �� ����� ��M$������� � ����� �������� ��������� ���������� � �
� "���� �� �� � ��� ������������������� � �� �$�������� ����������������������������$�������� ��������� ���������� �$���$������ ��������� �������������������$���� �
(� �����#�: ����� ���<�$������� �� �� � ��� ���������$<=�<��E�����-� ������� ������������$� �� �� �� ����� �� ��(
� �
�
��
��
1 1 1 1B A B C CA= +→ → →
��� � 1 1 1 1 .B A B A AB BA= + +→ → → →
�# ��$� �� �� ������ ����$���E��
$���E�� �%�����+� 1 1 1 1 1 12 ;B A B C CA B A AB BA= + + + +→ → → → → →
1 1
1| | | |,
2B A AB=→ →
����������� 1 1
1
2B A AB= �� 1 1 .B A AB�
� H���������� ������ .a dhe b→→
��������� �����+
�-� 2 ;a b→→
+ �������$-� 2 ;a b→→
− �������-�1
.2
a b→→
− +
���������� ������ c→���� � ��%����E����� ����� 2 2 .c a b
→→ →= +
1 1 1 1 1 12 ;B A AB B C B A CA BA⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
→ → → → → →��
1 1
10 0 ,
2B A AB
→ →= + +
→ →��������� 1 1
1.
2B A AB=→ →
��� ���������� ���
�
� "��� ��� ������ �� �� � ����� E�������� �$���$������ ������������� �$�E�� �������� E���� ���������� � �� ����T��E��(� %����E�E����� �� �� �������������� �
� : ����� ���@�� ������ �� �����$<�� �� ����� ���'������ �F%������ ��"��� ����� 1 1
.2 2
OM OA OB= +→ → →
� �
�
�(� �����#� ������� ������������$� �� �� �� ����� �� ��(
OM OA AM= +→ → →
���� .OM OB BM= +→ → →
�0���� ��������#��1���1�����2�$���������
2 .OM OA OB AM BM⎛ ⎞= + + +⎜ ⎟⎝ ⎠
→ → → → →������'�� 0AM BM
→+ =
→ →�<� ���������������-�
��� ��� �2 ,OM OA OB= +→ → →
��� ����� 1 1.
2 2OM OA OB= +→ → →
� : ����� ���$���J��� �=��� � �� �$������ ������ ���������$<=�
"��� ����� (��� 1 1 1 0 .AA BB CC→
+ + =→ → →
(� ������# �E$������� �E����� ������ �������������� �� ��(
� �
�
����
��1 1 1
1 1 1 1 1 1, , ,
2 2 2 2 2 2AA AB AC BB BA BC CC CA CB= + = + = +→ → → → → → → → →
��������
1 1 1
1 1 1,
2 2 2AA BB CC AB BA AC CA BC CB
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + = + + + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
→ → → → → → → → →������� 1 1 1
1 1 10 0 0 0 .
2 2 2AA BB CC
→ → → →+ + = + + =
→ → →
������
� : ����� ���D�' ����� ���������������� ��������$<=�� �� ����� ���'������ �F%������ �
�"��� ��� (� 1.
3OT OA OB OC
⎛ ⎞= + +⎜ ⎟⎝ ⎠
→ → → →
� : ����� ���D�' ����� ���������������� ��������$<=�� �� ����� ���'������ �F%������ �
"��� ��� (���� 0 .TA TB TC→
+ + =→ → →
� X����������������������$<=?�������'�
.AB DC=→ →
�"��� ���
2 .AC BD BC+ =→ → →
� "��� ��� �� � �� �$������ ������$����������� ������ �����������
� "��� ��� ������ ������������� ��� ���������$<=
����� �$���$������ �� ( )1.
2CA CB+
�
�������������������� ���
���� ������5�� �3�������%������
&������ �����������'������� �
&��� �������������� ������� �
����� �� ������ ������� ���������������� ������ �������������������������������
H����������������������� ���������� ��� ���������� �� ��# ������� �������������������������(5+ 0+ . � 2��� ���E�
�
��������� �������� ���������52���������5A���������' ����������� �����B� E��� ��� ��������+��-�56��+��$-�3.���+���-�D������-�3Q����
�
�����%� ���������������������� ������ ���E����������� ������ � 7�-�3+ $-������ �-���%��������+ �-�5�
�
����������������������� ����� � ����$� ���� ������5QDQ°��,����������� ��������������������� � �'��������������' ��������������������
�
���� ��������α�� �������� � �������������'��������3.A°��,�����������α��
����������� ���E��'������ ������������ �� �����������%���"��� ��
���� �� ����$������������������������������������� � ���� ��"��� ��
���$������� ������ ��������$<=?����������������� ������<��E�����-�,������ ���������(�-�����������+ $-����� ��+ �-����$���$����7
��
� �
�
&� ���E���� �� ���������%��������������@#�&� ���E�������� ��������%�����������������������������@��,�����E������ ����� ������ ���E�� ���� ���
��
"��� ��� �� � �� �$������ ������$������������ ������ �������������
�
��������������
>� ������������������������������������
��������������������� ����� ������ ����������������������������������
*������ �������� ���� ������� � ����� � ���� �������������������
M������� ��� ��������������� ��������
& ����������E$������� �%������ � ������ ���� ������������������������������������
������� ��������������� � ��������� ���� �PQ°.................................
��
��
��
�����
���
���
������
K��%����� �%������ � �������� ��������������������������������������������������� ���:����������� ��%������ �
������ ���� ��������������������������� ��
�����
�����
�����
�����
�����
�����
����������
�����������%������ � ������ ���� ���� ��������������� ��Q°�� ���PQ°................................ ��
�����
1
2
& ������������� � �� ����� ������������ �����������
������ ������ ������� �������� ������������
*������ ������� ���� ����0Q°�.A°��2Q°..........................................
�
�����������������������
��������
������������ ��� �$������'� ���� �������
������������ �������� ���� �����($������������+�$��������+�$���$������7
����� ���� ������������������� � 7
,������ �����������(������� ���+������� ��+����������7
��� ����������� �������� �� �� � �1 ,AA a=
1 1 1;BB b CC c dhe DD d= = = ��%������������������������� �$���� : : ,a b c d= ��� ���������� �� �� �� ���� ������� ��� ��������
��� ������������� ��������������� ��� ����� ���E����������� ������ � ����� ���� �� �� � �%����������������������������������� � �� �� �� ���� ���� ������������ ����<� � �� �>�� ���-
� ��������� �������@J,�� �$�<�=��� ���� ���������������������� ��� ����� ���������� ���������������$���$������ ��� ����� ���������� ������ ����������� ����� �$���������������
�������������� ���� �������
�������� 1 1 1, ,A A B B C C= = =� � � � � �
��������1 1 1 1 1 1: : : .AB A B BC B C AC A C= =
��������������������(� 1 1 1.ABC A B CΔ Δ�$ <
=
$� <�
=�
� ����� �������� EFGΔ ������E������� �� ���
.KL EF� �>� ��� � .EFG KLGΔ Δ�
4 5
B
E
G
����$���E���� ����� � ���%����E�� ����� ����� � �� ����������� � �
��������������� ���� �$������ ��������� �E$���� � ���� �>�� ��������� �� �� ���������� �
����������� ��� �������� ������������� �� � �� ������������ �<� ������������%�E��-�� ������� ������������ ���� �� ���� ���� � �� �������� ����� ������������
&���� �����������������������(
������ ����������������$���$����+
������ ����$������������������ ��������������������� �� ����$����������� ����������� ��������������� �� �%��������� ������ �$������ ���������$���$�����
����� ��� �$������������������ ��������������������� �� ��� �$����������� ����������� ����
����������������������� �� �� �� ��� �������+ �-�3��0��5Q��5A+ $-�.��D��53��52�
�
>� �����������%��������������������������������������� ����������������� � �������� � ����# �����%�������� �����%����������� ������������������&� ��� ��F���� ��������� �������������������
���� �����E$��� ���������� �������������� ��������������� ������� �������������� ������� �� � ���
�� ������$���� � ������%������ ��� � ���� ���F�����(��� �������������$���� ���������������������
�� ������ ����&�������� �������� ��� ��������������� ��������������� ��%��������������� ��� � ����
� ����E���� �������� ������������ ������ ��� ��������� ���� � ���$� � �����������������������������
����������������� � E���������� ������ ���������������� ������������������������L������������� ��� ���
���F� �� ��������������� ����������������� �� �� ���������� �� ����
� ������������������������ ����������$<=�� � 1 1 1,A B C ��� (
��� 20, 22, 50 ;BC AC C= = = °� �1 1 1 1 130, 33, 50 .B C A C C= = = °�
$��1 1 1 1 125, 70, 70 ; 50, 140, 70BC AC C B C A C C= = = ° = = = °� �
� @������������������� ���������� �$�����(
�-�0��.��A�� �2��D��5Q+���$-�3��3��0�� �2��2��D+���-�P��53��5D�� �0��2��.7
� 8L������ ����� ������������� ��� �������� ������� ���7
�� � �� ��� � �� ������ ��������������� ���������$������� �����<��� � ��� ���� ��E�-�� ����� �� ��������������
��� � �� � ABCΔ <��E�����-�������������� a �� � ,b ���� ��E��
������ �+������������� �� ��������� �α �� � ;β ����$� ����������������������� � ����������������� ������� ��K��������(����� �������$�����������α�������������� ���� ������'�������� ��� ������� ������������β�� � ����$�����������������α#
���� �������$�����������β�������������� ���� ������'�������� ��� ������� ������������α�� � ����$�����������������β�
���
�
�c
β
α
���� � � �� ��� � �� ������ ��������������� ����$<=������ ������+
2 2 2 , 90 .a b c α β+ = + = °
B
�
������
� & ���������� � ���������������� � ����� ������� � �� �����E����� �� ��� �������������� ���(
���>��E���� ���� �������������� ������� ������������������������ � �
���>��E���� ���� �������������� ������� ������������������ ��E��� �������� � �
��>��E���� ���� �������������� ������� ��������������������� � �� �������������������
��>��E���� ���� �������������� ������� ����������������� ��E��� �������������������
# ��������� �� �������� �� ������� � �� ����������������������E���� ��� ������ ������������� �$���(���� ������5�� �3��� ��%����E����� �� � �������������������������� � ����� ��E����� ����������� ���� ���+����0�� �.����������� �� ���������� �������������Y� �� �����'����������������L���� �������� ����� ������5�� �3�����$����������0�� �.�����������'����������� �� ���� ����� ��� �������� ���������� ����� � ������������ ������ � ����$������ ������ ��������������� �����:����� ������������������%��� �� �������'�������� �%������ ������� ���� �
�
� �����E��������������� .ABC MNCΔ Δ�
,��� ,CB dhe MN ���� (
5, 6, 12 15.CM CN AB dhe CA= = = =
� �
�
)
���
� �
�
��
�
�'
� �
�
� �
� �����E�������� ABCΔ �������� '������������=?� �@.__$<�� ���� �������������� ������� �� ��������� ����� ����������������������� ���� 7
� ������� E���$<=?��� �$�E��$<�� �=?�����)��� ���$=�� �<?����� �����������9�
���"��� ��� � .ABS CDSΔ Δ�
$��,���� ,CD ����
12, 6 3.AB AS dhe SC= = =
&�� �������� � ,ABC PQRΔ Δ ��������� �3��������E�������
� �
���
�
>� �������������� ���������������������������������� ��� ��� ������� � � �� �� � �� ���������� ���������� ����������������������$�������<�� 7-
>��E���� ���� �������������� ������������������� �� ����������������� ������������ ���������� � � �� ��� � �� ����������� ��������
�
H����������� �������������� ���
ABC �� 6, 8a b= = ��
1 1 1A B C �� � 1 19, 12.a c= =
�-�>� ��� ������ ������������������������
$-�,������������ ���� ����������$��������
�������� ���� ��E�������$<=�� ���������������$�<�=��
"�E����� ��� ������������������������� ����������������������������������������� �����$������� ���� ���� ������� �� ���� ���������$����������������� ���� ��E������'������ ��� �������� ��@��������������������� ��������"�E�������� �������������� ���� ACB ����
1 1 1A C B �$�=�<��� ����� � � �� �� ����
� � �� ��>� ��� (���� �α �4 α������ ��� 1
1
.aa
c c=
�
�
�
� ��� ����� ��� ��������� ������������� ����� �������������
�
AC 1C 2C
B1B
2B
c
b x
y
α
�����E������������������������������$3� ����������$���������������
F%������ �<��<���<��������������<��<���<������ '�������� ����������$��� �%������� �������������� ����$<=��$<�=���$<�=��
������������������� ��������������α����������$�������'������������ �� ������� ����� ���������������� �� .ABCΔ
> ������������ �������������� ����� ����������������α�������������� ����������$��������������������α� ���� ��E���������������������������<�� ��� �������������+���� , )a BC c AB= =
> ������������ �������������� ����� ����������������α�������������� ������������� ���������������α� ���� ��E���������������������������<�� ��� �������������+����� , ).b AC c AB= =
�������*
8��������������7
������������ ��������� ���� ����������������7
��������������� ��� �������� ���� ������������� ����$������ ��������� ������� ���� �������
� 1 1 2 2 1 2
1 2 1 2
... ...B C B C AC ACBC AC
dheAB AB AB AB AB AB
= = = = = =
�
�� �� �%������� ���� �� ������ �$���E�� �
������������� ������ �������������� ������������������7
&���������� � 1 2 ,α α≠ ����� ��� 1 2sin sin .α α≠
�������������������������������������������������������
1 2α α≠ �� ���� ��E����������� ��1 2 .A B A B≠
���������1 2
,CB CB
A B A B≠ ��� �������� 1 2sin sin .α α≠
�����E����������������� ��������������� ���� 1A CB ��
2A CB ��� ���� � �������$�������<=������ ����������
������ ��������������� ���������E������ ��(
sin ; sin ;a b
c cα β= = ��� cos ; cos .
b a
c cα β= =
� ���$�E����������%�E�� � ������������ �� ���E�����������������α�� ����α�
α
a
a
��������������������������������� ��������������� �������������������� ������������� ��������������� ���� ��E���
+������������������������������ ��������������� �������������������� ����������$�������������������� ���� ��E���
� � �
�
�c β
α
+
)��
α
��
α
�
��� ��
�� �������
@����������� �������� ������ a
c�'� ����������������α�� ���� ��� ����α�
@����������� �������� �����bc
�'� �������������������α�� ���� ��� ����α#
1α2α
2A 1A C
B
�������������'���������������������������%��� ��� (
���6
sin 0,6;10
α = = ����$��cos ;n
pα = ��������� %����E�� � 2.d a=
�
�
# ������ ��������� ����������������������������%������ ��� ����! �����������'� ��������������������α'������ �����$������� ��������� ,ABCΔ �������� ���������������������������������������+������� ��� ��α���� �����������α�
�����'�������� ���������������������������$��������� ��������� ������������� ���������������������������������
"� ���� ����� ������ � ��$ ���������������������������� ������������� ����� �������� ����������������������������� �����������������������
# ����� � � ���� �������� ��������������� ����$<=��������������E��������������%�� ������� ����� � ������� �������
�
α
a
b
c
A
B
C
# ����������� ��������α������ �� � ����α���� ����������α������%�����������������α�
���������������������������������������������������������
��������������� �������E����������������� �������������� ��$=<��� �$=<���� ���� � �������$������$=������ ���������� α�≠α��� ���� ��E����������� � 1 2.AB AB≠
X���� �'������ �1 2
,AC AC
AB AB≠ ��� �������� 1 2cos cos .α α≠
# ����������� ��������α������ �� � �����α���� �����������α������%�����������������α�
2α1α
A
2B
1B
C
������������������������������������ ��������������� ��������������������� ������������� � ���� ����������$��������������������
,��������������������������������� ��������������� ��������������������� ����������$������� ��� ������������� ���������������
-$�������*
&���������� � 1 2 ,α α≠ ���� �� 1 2cos cos .α α≠
�
-$�������*
������ ��������������� ��������E������ ��(� tg ; ctg .a b
b aα α= =
y
xz
αα5
4 3
*������ ������α�����α�����α�� �����α�'� ��%���������������� �� �������� ��������$�E��������� �%������ � ������������������������� �� F��� ���� ������ � ������'� ��� �������� ��
>����� ���������� ��E$�������������@�������� F�������� ���������� ���'����� ���� ���E�� ����� �� ���� ���������������������������� �� ������
���� �
,������ ���� �%������ � ������� ���� �������� ��� ������ ������������� ������� ��� � ��� ����� ��� � �� ������� +� ������� ��E�� ��� ��������(��� 3, 4;a b= = �������������$-� 8, 10;a c= =�-� 15, 17;b c= = �����������-� 12, 35.a b= =
� ���������������� ����������� ������������ ��� �%��������������� ����(
�-�5
sin ;7
α = �������$-� cos 0,6;α =
c)� 2tg ;
3α = �������������-�ctg 2.α =
�
,��������%����������������� ������������� �������������� �������A������� ��� E �� ��� ������ �����%������������� ��AQ°�
� �
����������� ������� ���� �����%����� ��� � (�� ��������'������������� �������� ���� ����'���������������
�� ��
���22 2sin , cos , tg , ctg .
2 22
a ah a h h a
ab b b a h hα α α α= = = = = = =
α
b
a
hb
�� �
2
a
,�������� ����������E������������������%�E������
,������ ���� �%������ � ������� ���� ������������������������� ��������������� ������� ���� � �� �����'�����������D�(�5A
�
����� ������ ������� �������������������
�
�-�#������ ������� ( ) ( )ctg 40 ctg 90 63 15’ ctg 26 45’; 40 26 45’; 66 45’.α α α− ° = ° − ° = ° − ° = ° = °
#������ � ���������� ctg tgα β= � ��� �� � � 090 ,α β+ = � �������� ( )0 0 040 63 15 90 ,α ′− + = � �� �������
066 45 .α ′=
,����������� ( )0 90α α° < < ° �����$���E��
��� tg tg 46 ;α = ° �$-� tg 26 ctg ;α° = ��-� ( )tg 20 ctg 63 24’;α + ° = ° ��-� ( )ctg 40 tg63 15’.α − ° = °
�
�������$�����������'��������� ���� ��
��������������� ��������������� � �� ����� �������� ������� ���� �� ������� �� � �������� � ���� � ���� ���� ��������
,����������� ��������α����� ���sin sin56 32’;α = ° �$-�sin cos50 ;α = ° ��-�cos cos65 ;α = ° ��-�cos sin 33 33’.α = °
�
�������sin sin 25α = ° ���� ��� � 25 ;α = °
$-����� ( )sin cos25 sin 90 25 ,α = ° = ° − ° ��� ����������� sin sin 65α = ° ���� ��� 65 .α = °
� ,����������� ��������α����� (��-�sin sin 25 ;α = ° ���$-�sin cos 25 .α = °
���������%�E����������������� ����������������� ��( ���������� sin cos ,a
cα β= = �� cos sin .
b
cα β= =
��� ����� ������β����$���E���� ��������� �E�� ��������PQ°)α�������%�����
� �����E����� ����� ����� �� ������������� ����$<=�
���
�
�cβ
α
�������*
&������ ������ ��������� ������PQ°�'� ����� ����� � ���� �
,��������������� � ���������������α����� ��� 30 ;α = ° �$-� 5 22’;α = ° ��-� 45 30’28’’.α = °����� ������������� �������� �� ���������������� � ���� ���� ���������������� 90α β= ° − �� � 90 .β α= ° −
����� �$�������� � 21α = ° �� � 69 ,β = ° ������'�� 90 ,α β+ = ° �� ���sin 21 cos69 ,° = ° �cos 21 sin 69 .° = °
( )sin cos 90 ,α α= ° − �� ( )cos sin 90 .α α= ° −
( ) ( )0 0tg ctg 90 ; ctg tg 90 .α α α α= − = −
��� ���������� (���� �α��≠ α������ �������α�≠�����α��������������� ����� ����������α�4���α������ ���α�4α�#$����� ��������������������������������������� � �������α�����α�� �����α���������(
M����� �
�
� >� ������ � ���-�2sin 25 3cos65 ;° + ° ���$-� 4tg60 2ctg30.
3tg60 ctg30
° + °° − °
���2sin 25 3cos65 2sin 25 3sin 25 5sin 25 ,° + ° = ° + ° = ° � 2sin 25 3cos65 2cos65 3cos65 5cos65 ;° + ° = ° + ° = °
� >� ������ � ����-�5sin15 2cos75
;5sin15 2cos75
° − °° + °
�����$-� 4tg 20 5ctg70.
9 tg 20
° + °°
M������������%����������������� ���� �������%�������������������������������������� ���� ������%����������������������%��������������� ���� ���� �������%�������������� ���������������������� ������ ���� ������%��������������� ������� ��������������'���������������������������%�������� (
8��%������������� ���������������� �����������������������$���$������ ��%�������������������������������������� � �����
���
,����������� ��������α����� (�-�sin 23 16’ cos ;α° =$-�cos27 23’ sin ;α° =�-�ctg tg15 ;α = °
�-�ctg5 45’ tg .α° =
�
,����������� �������������� �-� ( )sin 10 sin 30 ;α + ° = °$-� ( )cos 15 cos23 15’;α − ° = °�-� ( )tg 20 ctg15 20’;α + ° = °�-� ( )ctg 15 tg15 23’;α − ° = ° -� ( ) ( )tg 20 ctg 20 ;α α− ° = + °%-� ( ) ( )sin 10 cos 10 .α α+ ° = ° +
�
�
�
>� ������ � �(
�-� sin15 ctg62;
cos75 tg 28
° °+° °
����$-�2 2
sin 40 cos50;
cos 50 sin 40
° ⋅ °° + °
������-�3sin 70 2cos20
;2sin 20 cos70
° − °° + °
�������-�4tg5 2ctg85
.4 tg5 ctg85
° − °° + °
>� ������ � ����� ��� ���
� 90 :α β+ = °
�-� sin cos ;α β+ ���������$-� cos sin ;α β−
�-� 2 2sin cos ;α β+ �������-� 2 2cos sin .α β−
� @� �E�������������������������������� �������� � (�� �����%������������� ������������������������$���$������ ��%������������������������
$-�4tg60 2ctg30 4 tg 60 2 tg60 6 tg60
3.3tg60 ctg30 3tg60 tg60 2 tg60
° + ° ° + ° °= = =° − ° ° − ° °
-$�������*
�
�������*
����� ����� ������� ����������� !��� "���
�� ����� ���� �� � ������� � � �� ������������� ����$��������7,������ ������������$���$�������� ������������ �� ����7:���������� ��� ��������$���$������������ ��� (������ � ���������� ��� ���� �� � $������ �� ��� ���� �� ����� � �
:�������� ��� ���������$���$�������� �$�������
����� �$���$������ 3
.2
a
� ,������ ���� �%������ � �����)�� ���� �����α 4�0Q°�
M����� (�: ������������� �������$���$������$<=�� �$�������������������=�����������������==�����������$==�������0Q°�� ����������������������� ��������������� ����$=�=������� ��������$==��� ������%�E�������%������ �������� ���� �� ��(
����� 12sin30 ,2
a
a° = = �������
332cos30 ,
2
ah
a a° = = =
� ,������ ���� �%������ � ������� ���� �����α 4�.A°�
����������%�E��������%������ � ������� ���� ��%�����(��2
sin 45 :22
a a
c a° = = =
�������cos 45 ?° tg 45 1.a
a° = = ��������ctg 45 ?°
�
�
�
�
��
60°
1C2
a
30°
32 2tg30 ,33
2
a a
h a° = = =
�������
32ctg30 3.
2 2
aha a
° = = =
1 3 3sin 30 , cos30 , tg30 , ctg30 3.
2 2 3° = ° = ° = ° =
��
�
45°
3 1sin 60 cos30 , cos60 sin 30 ,
2 2° = ° = ° = ° =
3tg 60 ctg30 3, ctg 60 tg30 .
3° = ° = ° = ° =
M����� ��: ����� �������� ��� ��� ���������$���������$<=��������������E������@�� ��������� � ����������������� ���+��� ������ ����� 2.c a=
30° 45° 60°���
���
�"
��"
1/ 2 2 / 2 3 / 2
3 /3 � 3
2 / 2 �3�3 / 2
3 3 /3�
&�� � ��%����E����� ����� �%������ � ������� ���� ������� � ����� � ���� �������� ���� �%������ � ������ ���� �����α 4�2Q°
��� �������
�
������������������ ����� ������� ��������� �����������
��������
8�������(��-�������+�$-��������+��-������ ���+��-������� ��������������������������� ��������������� ���7 ������������� ������E������������(
�-� sin , cos , tg , ctg ;α α α α ������������$-� sin , cos , tg , ctg .β β β β
β
α
�
%
�� ,������ ���� ���� � �(���-�cos60 sin30
;1 sin30 1 cos60
° °+− ° − °
��$-�( )2sin30 cos60
.5 tg 60 tg30
° − °° ⋅ °
�-�
1 1 1 1cos60 sin30 2 2 2 2 1 1 2.
1 1 1 11 sin30 1 cos60 1 12 2 2 2
° °+ = + = + = + =− ° − ° − −
��$-�( )
2
21 1
sin30 cos60 12 2.
5 tg60 tg30 535 3
3
⎛ ⎞+⎜ ⎟° + ° ⎝ ⎠= =° ⋅ °
⋅ ⋅
� ,������ ���� ���� � �(
�-� ( )( )1 sin 60 1 sin 60 ;+ ° − ° ��$-�3sin 30 tg30 cos60 ctg60 .° ⋅ ° + ° ⋅ °� �������������� �$���E�����2cos30 3ctg60 tg60 ctg30 0.° + ° − ° − ° =
3 32cos30 3ctg 60 tg 60 ctg30 2 3 3 3 3 3 3 3 0.
2 3° + ° − ° − ° = + − − = + − − =
� �������������� �$���E������-�sin30 cos60 tg45 ;° + ° = ° �$-� 2 2cos 60 sin 60 ctg45 .° + ° = °
���
,������ ���� ���� � ��<5)A-(
�-�3sin 60 2cos30 ;° − °
$-�( )( )tg 45 tg60 tg 45 tg60 .° + ° ° − °
�
�-�( )2sin 30 cos60
;tg 45 ctg 45
° + °° + °
�$-�ctg 45 tg 45
.sin 60 cos60
° − °° − °�
�-� 2 2 2sin 30 cos 45 tg 60 ;° + ° + °
$-� 2 2 22sin 60 cos 30 ctg 30 .° + ° + °
�
�-�4sin30 cos30 tg60 ;° ⋅ ° ⋅ °
$-� 23tg 30 4sin 45 cos60 .° − ° °
�
���
2
2
1 4sin6 ;
1 4cos6
π
π
−
+��$-�
2 2
2 2
3tg ctg6 4 .
sin cos3 4
π π
π π
+
−�
�������������� �$���E���
�-�2sin30 2cos30 3 1;° − ° + =$-� 2cos30 3ctg60 tg60 ctg30 ;° + ° = ° + °
�-�sin 30 cos60
2;1 cos60 1 sin30
° °+ =− ° − °
�-� ( )21 12 sin 30 cos60 .
tg 45 ctg 45+ = ° + °
° °
�
����������� ����������������� ���������������D������ ��� E��� ��� ������ ��������� �������%����������� ��(�-�30 ;° ��$-� 45 ;° ���-�60 ?°
�
�
����� ��������������� ����$<=�����+
���
�
�c
β
α�-� ������ %���������� ���sin , cos ;
a b
c cα α= =
$-2 2 2 2 2
2 22 2 2 2
sin cos 1.a b a b c
c c c cα α ++ = + = = =
���������������� ������ � �� � �� ������� ����������� ���������������������������������α�
����� �$���������α 4�2Q°��� ��(�2 2
2 2 3 1 3 1sin 60 cos 60 1.
2 2 4 4
⎛ ⎞ ⎛ ⎞° + ° = + = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠
� ������ ������� ���� (��-� 2 2sin 30 cos 30 1;° + ° = �$-� 2 2sin 45 45 1.° + ° =
# �E$������� �%������������α /�����α 4�5������������������� ���� ���������� �����%������ � �
,����cos ,α ���� � 3sin .
5α =
"� ��� ������ ����α�������E�� �����������$���E���������α /�����α 4�5���� �������2
23cos 1,
5α⎛ ⎞ + =⎜ ⎟⎝ ⎠
�� ����2
2 9 16 4cos 1 ,
25 25 5α ⎛ ⎞= − = = ⎜ ⎟⎝ ⎠
�� �4
cos .5
α =
�
�
,����cos ,α ���� �sin 0,8.α =
,����sin ,α ���� � 8cos .
17α =
�
�-��� ���� ����α�� ���α+$-��� ������� ��� ��������α /����α�
(� �!������� ���� ���� � ��������� ����������α /�����α 4�5����� �(2 2sin 1 cos ,α α= − ��� �������� 2 2cos 1 sin .α α= −
��
&����� � 2 2sin cos 1α α+ =
� >� ������ � �( �-� 2 23 sin cos ,α α− − ���������$-� ( ) ( )1 cos 1 cos .α α+ ⋅ −
a) ( )2 2 2 23 sin cos 3 sin cos 3 1 2.α α α α− − = − + = − =
� >� ������ � �( �-� ( ) ( )1 sin 1 sin ;α α− ⋅ + ������$-� 1 1.
1 cos 1 cosα α+
− +
$-�( ) ( ) 2 21 cos 1 cos 1 cos sin .α α α α+ ⋅ − = − =
�
�� ,������ ���� �sin , tg , ctg ,α α α ���� �24
cos .25
α =
�������������������������� ��������2 2 2 2
22 2
24 25 24 7 7sin 1 cos 1 .
25 25 25 25α α −⎛ ⎞= − = − = = =⎜ ⎟⎝ ⎠
��������
7sin 7 1 1 2425tg ; ctg .
24 7cos 24 tg 725 24
αα αα α
= = = = = =
���
�
�c
β
α
��� �������%�E�� �� �%������ � ������� ����
�-�sin sin
tg ;cos cos
a c
b c
α ααα α
⋅= = =⋅
����$-�cos cos
ctg ;sin sin
b c
a c
α ααα α
⋅= = =⋅
�-� tg ctg 1.a b
b aα α⋅ = ⋅ =
# �E����� �� �� ������D������������ ����%������ � � � � ������������� �������� ��%������ � ������ ���� (
����� �$����� 3 3tg 60 ctg 60 3 1.
3 3° ⋅ ° = ⋅ = =
�"�� tg ctg 1α α⋅ = ���� ��� �1
ctg ,tg
αα
= �����1
ctg 0,4.2,5
α = =
�� ,�����-� ctg ,α ���� �4
tg ;3
α = ����������$-� tg ,α ���� � ctg 1,25.α =
# �������� ����� � �� � �� ������� ��%������ � ������� ���� ����� ������������� ��� �������%�������������������� ���� ���� ��� �%������ � ������ ���
,����ctg ,α ���� � tg 2,5.α =
� "��� ��� ���-�sin
tg ;cos
ααα
= �����$-�cos
ctg ;sin
ααα
= ������-� tg ctg 1.α α⋅ =
(� �!��������α ⋅ ����α 4�5����� ��1
tg ,ctg
αα
= �1
ctg ,tg
αα
= ���
sina
cα = �� �cos
b
cα = ��� ���� sina c α= ⋅ �� �� cos .b c α= ⋅
sintg ;
cos
ααα
= cosctg ;
sin
ααα
= tg ctg 1.α α⋅ =
*������ ������� ���� ������� ����������������������������� ����� �
�
8 cossin .
15
αα ⋅= ��� ������ ����������α� �E�� �����������$���E���� 2 2sin cos 1,α α+ = ������%�����(
228 cos
cos 1,15
α α⋅⎛ ⎞ + =⎜ ⎟⎝ ⎠��
2264cos
cos 1 | 225.225
α α+ = ⋅ �&�� � �����E����$���E����� �33A�%�����
2 264cos 225cos 225;α α+ = � 2289cos 225;α = � 2 225cos ,
289α = ��� ����
225 15cos .
289 17α = =
���%����2 2 2 2
22 2 2 2
15 17 15 2 32 8 8sin 1 cos 1 .
17 17 17 17 17α α − ⋅= − = − = = = =
�&�����'������� � ������� ��������������E���� ��� ��%����E����� ����� � �� � �� ������� �%������ � ������� ���� �
�� ,������ ���� �sin , cos , ctg ,α α α ���� � 8tg .
15α =
��������������������������� �������� 1 15ctg .
tg 8α
α= = �����
sintg
cos
ααα
= �� ��� sin 8,
cos 15
αα
= ��� �������
�� ,������ ���� ����������������� �20
sin .29
α =
�� �������
��� ��������������������������F%������������ �����������������$���E���(
2 2 sin cossin cos 1, tg , ctg , tg ctg 1,
cos sin
α αα α α α α αα α
+ = = = ⋅ =
���������'� ������������������� �� �������� ����
��� ������������� ��� �%������������ �������� ����� ��� ����� ��������������� �� � ���
����������� � ������� �$�������� �7
ctg ,24
α = �������� ���� ��sin , cosα α ����� tg .α
M����� �
����7
ctg24
α = � ��� ��� �24
tg .7
α = ���� �$������� 2 2sin cos 1α α+ = � ��� �������� � 2cos α �� ��(
2 2
2 2 2
sin cos 1,
cos cos cos
α αα α α
+ = ��� �������� 22
1tg 1 .
cosα
α+ = �# �E�� �����������
24tg
7α = �%�����
2
2 2
24 1 625 11 ; ,
7 cos 49 cosα α⎛ ⎞ + = =⎜ ⎟⎝ ⎠
��������� 2 49cos ,
625α = ��� ���������
7cos .
25α =
���� 2 2sin 1 cosα α= − ���� ��� 24
sin .25
α =
���2 2
2 2 2 2 2 22 2
sin sintg sin tg sin sin sin
cos cos
α αα α α α α αα α
− = ⋅ ⇔ − = ⋅ ⇔
( )2 2 2
2 2 2 22 2 2 2
1 sin 1 cos 1 cossin 1 1 cos sin sin .
cos cos cos cos
α α αα α α αα α α α
− −⎛ ⎞⇔ − = ⋅ − ⇔ ⋅ = ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠
����&���������%����������� ����������$���E�������������� ��(
2 2 22 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
sin 1 1 cos sintg sin sin sin 1 sin sin tg sin .
cos cos cos cos
α α αα α α α α α αα α α α
−⎛ ⎞− = − = ⋅ − = ⋅ = ⋅ = ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠
���
���� ������5�)�.�������� ���� �%������ � ��� ��������� ���� ����� ���������������%������(
� �
� �
�-�5
sin ;13
α = �$-�7
sin ;25
α = ��-� 3sin .
2α = ���
12cos ;
13α = ����
20cos ;
29α = ���� cos 0,8.α =
�-� 5tg ;
12α = �$-� 9
tg ;40
α = ��-� tg 3.α = ��� 21ctg ;
20α = ����
8ctg ;
15α = ���� ctg 2,4.α =
+������K������%����E������������������� �������� ��������������������%�� ������ �������� �$���E����� ���%�� ����� �����������������$���E��������'�����$���� ��
>� ��� ������ �������$���E��(��-� 2 2 2cos sin 1 2sin ;α α α− = −
$-� ( ) ( )2 2sin cos sin cos 2;α α α α+ + − = ��-� ( ) ( ) ( )1 sin 1 sin tg ctg ctg .α α α α α− ⋅ + ⋅ + =
��
�� ,������ ���� �sin , cos , tg ,α α α ���� �4
ctg .3
α =
�� >� ��� ������ �������$���E��(� 2 2 2 2tg sin tg sin .α α α α− = ⋅
J���E���� ��������������� ������������������
& ������E������� �������������������� ���E$����%������
2
tgsin
1 tg
ααα
=+
����������2
1cos .
1 tgα
α=
+
J���E���� ���������'� ������������� �������� ����������'���������� ��� ����%������ ������� ���� � �������� ���� ����������� � ��������������(5��>����%�� �� � ����� ������� � ���� �������� �$���E������ ����������� �����$���E����������E������� ��������������� �'����3��>����%�� ��� ������������ �$���E����� �$� ������� �� ������ ��� ���� ������� ���� �$���E����
>� ������ � ������ ������<A�)�53-(
��� 3 2sin sin sin ;α α α− ⋅
��� 2 3cos sin cos .α α α⋅ +
�-� 2sin sin cos ;α α α− ⋅
$-� 2cos sin cos .α α α− ⋅
�-� 1 sin 1 sin ;α α+ ⋅ −
$-� 1 cos 1 cos .α α− ⋅ +
�
�
��-�
2
sin 1;
cos 1 sin
αα α
++
$-�2
cos 1.
sin 1 cos
αα α
++
���2 2cos cos
;1 sin 1 sin
α αα α
−− +
���2 2sin sin
.1 cos 1 cos
α αα α
−− +
"��� ������������ �$���E����<50�)�56-(
1 cos sin2ctg .
sin cos 1
α α αα α
− + = −−
sin 1 cos, sin 0.
1 cos sin
α α αα α
+= ≠−
��1
tg ctg ,sin 0,cos 0;sin cos
α α α αα α
+ = ≠ ≠⋅
��� 2
ctgtg ctg , cos 0.
cos
αα α αα
+ = ≠
�-�( ) ( )2 2
2
21 tg 1 tg ;
cosα α
α+ + − =
$-�sin cos 1
.1 ctg 1 tg sin cos
α αα α α α
+ =+ + +
�-�2 2
tg ctg;
1 tg 1 ctg
α αα α
=+ +
$-� tg tgtg tg .
ctg ctg
α β α βα β
+ = ⋅+
��
��
��
��
��
�-�( )21 tg 2 tg ;α α+ −
$-� ( )21 ctg 2ctg .α α+ −
�-�( )( )
2 2
2 2
1 sin cos;
1 sin cos
α αα α
− +
− −
$-�( )( )
2 2
2 2
1 cos sin.
1 cos sin
α αα α
− +
− −��� 2tg tg sin ;α α α− ⋅
��� 2ctg ctg cos .α α α− ⋅
��
����
��� ��$ ��� ����� ����� �� ���� � %������ � ������ ���� ��������� ���� ��0Q°��.A°�� �2Q°�
B����������������������� ���� �%������ � (�-� sin ;α � $-� cos ;α � �-� tg ;α � �-� ctgα � ���
{ }0 0 030 , 45 , 60 ,α ∈ ���� �%������������� ������ �����
����� ��������� ������ ������� ��������� ������������������� �#��
��������
30° 45° 60°
���
���
�"
��"
1/ 2 2 / 2 3 / 2
3 /3 � 3
2 / 2 �3�3 / 2
3 3 /3�
���
K�����E����� ������ ������ ��� �� ��������������������������������� �� ��sin 30 sin 45 sin 60° < ° < °� � tg30 tg 45 tg60 ,° < ° < ° �������cos30 cos45 cos60° > ° > ° �� �ctg30 ctg45 ctg60 .° > ° > °
������������������%��� ��� �� �E�������� �������������������� ��0Q°����2Q°���������� ������ ���������������E��� ������������������� ������� ����������E���� ��
&������ ������ ������ �� � �����F%������� ����� �����������������������α�
�����E������������E���������� ��������� ��� ����� �' �������
������'�� �� ��� E � 1.OB =��� �� ��� ������<��� <��� <��������� E�� ���� ���������� ��F%������ �� ������������������������� �����������'����$�E��� ��������� ������������=���=���=�����������������α�α���α
������������� �� ������������� �������������� ���
'=�<���'=�<���'=�<������ �F?�����α�:α�:α����
������E����������� �'������ � 1 1 2 2 3 3 ...B C B C B C< < < ����� 1 2 3 ...,OB OB OB= = = ��������������������
��������� �� 3 31 1 2 2
1 2 3
...,B CB C B C
OB OB OB< < < ��� �������� 1 2 3sin sin sin ... .α α α< < <
&���������� ����������������α����� ������ ��� � �%�����������α����� ����� ���������� �α��C α������ �������α��C�����α�
@������ ���%�E����������� �����α�
H�������'������������ �� �� �� � � 1 1 2 2 3 3, , ,...B C B C B C ��������������������� ������ � 1,OM = ��� ������sin 1.α <&���������� �������α����� ��� �� �������PQ°����� �������α������ ��� �� �������5���� ������������ �����α�E���� ��� �� �������Q����� �������α�E���� ��� �� �������Q�
�
�������������������� �������� (�����Q° 4�Q�� �����PQ° 4�5�
-$�������!
�
��� �0 90 ,α° ≤ ≤ ° ���� ��0 sin 1.α≤ ≤
B����������������������������sin 42 , sin 39 , sin57 .° ° °
�����'��39 42 57,° < ° < ���� ��sin 39 sin 42 sin 57 .° < ° < °
� B��������� ����������������(���-�sin55 , sin36 , sin43 ;° ° ° �$-�sin44 , sin40 , sin48 .° ° °
���
&���������� ����������������α����� ������ ��� � �%����������α����� ����� ����������� �α��C α
��
��� �������C�����
B������ ��������α������� ���%�E����������'��α C�PQ°������������ ���α���������� ���%�E����
"�� ��� ������ �� �� ����� � ��%���PQ°����������������������� ����K� ������������ �α���������� �PQ°���� ���������������������� ������ ��� ��� ���E���=<��
������������� ��(���� �������α����� ��� �� �������PQ°����� �����α����� ����%������� �������9� �����������%�;�
� >���� ��� � ����� ��������E�����'�������� ����������������α�����������α����� ��� �� ������PQ°�
�����'�� 1 2 3 ...OC OC OC> > > �� � 1 2 3 ...OB OB OB= = = ���� ��� �� 31 2
1 2 3
...,OCOC OC
OB OB OB> > > ��� �������
1 2 3cos cos cos ... .α α α> > >
�����'��� �� �� �� 1 2 3, , ,...OC OC OC �����E������������������� ��������������������� �� 1,OM = ���� �
� �%������������������������������������ �5���� ������������C��5
#����������� �������� (�cos0 1° = �� �cos90 0.° =
-$�������! ��� ��0 90 ,α° ≤ ≤ ° ��� ����1 cos 0.α≥ ≥
� B�����������������������������cos38 , cos60 , cos17 .° ° °
�����'��17 38 60 ,° < ° < ° ���� ��� �cos17 cos38 cos60 .° > ° > °
� B��������� ����������������(
�-� cos38 , cos71 , cos10 ;° ° ° �$-� cos22 , cos39 , cos75 .° ° °
�����E��������������� �� �������� ���F%������������� ���� 1 2 3, , .....ACB ACB ACB ��� �� 1AC = ������ ���$��������������������� ��������� � ������� �������� �� 1 2 3, , ,...α α α ���� 1 2 3 ...α α α< < <
������E����������� �'������ ������
1 2 3 ...CB CB CB< < < ���� 1,AC = ���� ���
31 2 ...,CBCB CB
AC AC AC< < < �� ������� 1 2 3tg tg tg ... .α α α< < <
�
������������ � 090 ,α → ��� ��� tg .α → +∞
&���������� ����������������α����� �������'������ ��������PQ°����� ���%����������α�E���� ��� � �������E ����
���
#����������� �������� ����Q° 4�Q�
-$�������! ��� �0 90 ,α° ≤ < ° ���� ��0 tg .α≤ < +∞
� ������� tg 45 , tg10 , tg87 , tg12° ° ° ° �� tg50° �����������������������
tg10 tg12 tg 45 tg50 tg87 .° < ° < ° < ° < °
� @������ �������� (���-� tg 46 1;° < �$-� tg 44 1;° < ��-�1 tg15 0?− ° >
� '���� �� ����� ����E�������� ������'�������� ����������� �%����������������� �������������������� �� �E���� ��
X���� �'������ ������������� ��'��ctg90 0.° =
# �F?��������� � 0 ,α → ° ��� ���ctg .α → +∞
: ����������������� ��� (���� �������α����� ������ ��� � �%������������α�E���� ��
-$�������! ��� � 90 ,α ≤ ° ���� ���ctg 0.α ≥
����� �$�������� � 1 25α = ° �� � 2 55 ,α = ° �� �������� 1 2 ,α α< ���� ���ctg 25 ctg55 .° > °
���
,����������������������������(�
�
�-�sin 43° �� �sin 49 ;° �$-�cos 43° �� �cos49 ;°
�-� tg 43° �� � tg 49 ;° ����-� ctg 43° �� ctg 49 .°
,������ �������� ������������������������
��������������(��-�sin15 , sin 75 , sin 45 ;° ° °
����������$-� cos20 , cos70 , cos45 ;° ° °
�����������������������-� sin 50 , cos60 , sin 40 ;° ° °
�����������������������-� cos15 , sin15 , cos18 .° ° °
,������ ����� � ����� � �������������(
��� sin 28 sin42 0;° − ° < ���� sin32 sin33 0;° − ° >��� sin40 cos40 0;° − ° > ���� cos 20 sin 20 0.° − ° >
� ,�����������������������������(�-� tg15° �� � tg72 ;° ����$-� tg36° �� � tg34 ;°�-� ctg15° � ctg72 ;° ���-� ctg 26° �� � tg 26 .°
,����� ����� �������� � (
�-� tg 23 1;° − ��������$-�1 tg72 ;− ° ������-� tg51 1;° −
�-� tg1 ctg1 ;° − ° �� -� tg89 ctg89 .° − °
,������ ����� � ����� � �������������(
�-� tg35 1;° < �$-� 3 tg10 ;< ° �-� 3tg80 ;
3° <
�-�1 tg 46 .< °
,����� ����� ���� � �(
�-� sin35 cos27;
tg35 ctg 26
° − °° − °
�$-� cos27 sin35.
ctg73 tg15
° − °° − °
�
�
� B�������'�����E���� ���� ���� (�-�������� $-���������+�-������ ���� �-������� ������ ������ � �11 , 21 , 31 , 41 , 51 .° ° ° ° °
�
���
�
��� ��������������� ������������
��������
*�������� � ���� � �%�������� ������������)� ���E�� �� ������������$���������%��������� �� ����������%���������%�E����� ����'� �������
& ������������� ���� ����������������������� (����������� ���������������������� �� ���������������� �������� ������� �������� � �E������������� � �� ������ �
@��������� �$������ ���������������� � �� ��������� �� �������������������������� ������ ������������������������ ������$���������������� ����������� �� �������� �� ����������������� � �� ������ � �����
���� ����������������������� ������������������'������������ � � ��������������� ����������������� ��������� �� ����� � �������������
���� �PQ)����� ��� ������������� ����'� ����������<��� ��� �5°�
�������������������� ������������(��������<��� ��� �5L-�� �� �����<��� ��� �5`-����������������������� ���������������������������������������� ���� �������� �������(
1 60’;° = ������������������������������� 1’ 60’’;= ����������������������������������� ( )1 60 60 ’’ 3600’’.° = ⋅ =
������������� ����������%������������ ���E�'� ���������� ���K������ �������������'���'� �������� �����
����������������������������� ���������� ���'� ���������������������'����������������� ����������� �������� ����������� �����������'����'� ��������� ��
K�������� ��������� ����� � ��� �%������
,180
rπ α°=°
� ������������ E��� ��� ������������α
�����������' ��������������
� ���� ������ � ��� ������������(�����-�0°+�������$-�A°03L+��������-�.Q°5DL
� ���� ������ � ������-�AR+�����$-�DR53L+�����-5QR53L�0Q`��
��������� ��������� ��������� �� ����� � ������� ����
K�����</-���������� �5QQ)����� ��� ������������� ����
�������������������� �������������������� ���E���� �<5L�� �5�-�� �� ������ ���E���� �<5`�� �5��-
����������������'������������ ���E���� ��������������������� ���E���� �������'����� ������ ���E���� ��� �������1 100 ;cg = �����������������������������������1 100 ;c cc= �������������������������������� ( )1 100 100 10000 .
cc ccg = ⋅ =
���
�� ���������� ��� ������������������������ ���� ��� E ����������������������� ��������$���$������ ������������' ��'������������' ����������������� �������
31 2
1 2 3 180o...
r r r
π α= = = = ⋅�� ��
������r
��� ������� ��E����������� ��������' ����������������������� �� �������������������������������
�������� ��
��� � ,r=� ����� ���� 1,r
=������������������' ������ �� ������������������� �� ����� � +����������'� �
������
,�������F%����� ������������������������ ������������������������������� �������������������
��� �������� 0 ,1ϕ = ���� ��� 0 00
1 1 0,01745 .180
radπ= ⋅ =
��� �������� ,1 radϕ = ���������0
0 0180"1 1 57 17 44,8 57 17 45 .rad
π′ ′′ ′= ⋅ = ≈
��� �������� 0 ,180α = ���������� 0 00
180 180180
radπ π= ⋅ = �� �� 0 3,14,180 ≈
���� � 0 2360 radπ= �� � 0 6,28 .360 rad≈
�
����%�������������������� ��������� ����180
rπ α=� �����������������������' ������������������������
��������� ��(
180r
π α= ⋅��
.�����������������' �����'������������ ���������� ������������� ��������������� �$���$������ �� E �� ��� ����
����� 0
180or
π α= ⋅�������
rϕ=�
����� ��� ���������������������������� 0
180o
πϕ α= ⋅ �������0180o
radα ϕπ
= ⋅
�� �����������������(����-�0Q�+�����$-�.A�+������-�PQ�+������-�6DQ�+���� -�.D�3.L02;
-��.D�3.L02;�4�.D��/�24
60
o⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
�/�36
3600
o⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
�4�.D�.5�������48 41
0 845180
o
o
,, rad
πϕ ⋅= ≈ �
�
����
���
��������
,���������� � � �� �� � �� ������ �������������� ���7���� � � �� �� � � �� � ��� �� �������������� ��������� �������α / β 4PQ°�������+�#������ �������������� �����������������������������7
8?������������E���� ���� �������������� ���7
������������� ������ � �� �����E����� �� �� ��������������� ���7
�������02°5QL5A`�������� ����������
��
���������10 15
36 10’15" 3660 3600
° °⎛ ⎞ ⎛ ⎞° = ° + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
36 0,166 0,004 36,17 .= ° + ° + ° = °�������36 10’15" 36,17 .° = °
���� ���������� ���������� ������������� ��X���� �'������ ����������������������.DR��#����������������
�����(48,253 48 0,253 ;° − ° = ° ��0,253 60 15,18’,° ⋅ = �������� ���15’.
>����������������� �����(15,18’ 15’ 0,18’;− = ��0,18’ 60 10,8’’,⋅ = �� ��������11’’.
#�����%�����48,253 48 15’11’’.° = °
� ������� .D�3A0°� ������� � ��� ��������������� �� �����
���������
� M���� ��� ��������������� ������ ���� ��E��� ������+�4�53�� �������� ��������α 4�0Q°�
&� ����������������������� ���� � ���a � � .b
���� 90 ,α β+ = ° ���� �� 90 90 30 60 .β α= ° − = ° − ° = °
���� sin30 ,12
a = ° ����� �� 12 sin 30 6cm.a = ⋅ ° =
��� ��� 2 2 2 212 6 108 6 3 cm.b c a= − = − = =
�����'����� ���������������� ��%����E����� �%����������-�������+�$-������ ��
���������
K�����E����� ������� ��������������� ������ �� �������'�� ��� ����������������� ���� �%������ � ������ ���� ������������������������ ������� �E�������� ������ ���������������������� ���� ���� ����%������������� �%������ � �� ��������������� ���� �����$������������������� ������ ���� ��� ��� �� ������������������ ����� � �����������#�� ����������%����E������$ ���������� ���� %������ � ������� ���� �� ���������������������� ����� � �
���� ��������� ������������ �������������������$ ����������� ��������������
������ �������������� �����������������������������7
���
�����E������ �������� �� �$��� ����� ������������ ����(�-�,�������� ��� ��� ����%������ � ������� ���� ������������ ��������������+$-�,�������� ���������������� ���������������%��������������� ����
> ������������������������������0�������������������������������� � �� ������ ��������� �� ��������������������� ����(���456������ �������%�� ��� ������� �����������+
��784������ �������%�� ��� ������� �����������+
��678������ �������%�� ��� ������� ����������
#������ �E�� �� ������ ������������������������������������������� ������� �
> ���������������������$���� �������(
> ������������� ��� ���� ������ �� ������� 476
���������� ������������������� ����������� ��� ����&�K��B@&�� �KB@�
�����'�� � ����� �����������������������������E�� ����������� ����������
0945
����� ���������'�� ��� ����&�K�<������-�
����� ���������'�� ��� ����B@&�<������-�
����� ���������'�� ��� ����KB@�<����-
�� ���� ���� �%������ � ������� ���� ������������.0°�
������ ������������%������������������%����E����� ��������������� �������� ���������,���������
�����'��������������%����E�� � ����������������
�
0����������������������%������������������������ ����(
ose
����� ����� �E�� ����������
��*������� ����.0�
�
�
�
�
456
��� ��� �"� �
& ���� ���������'�� ���� ��� ���������
�
���
����������� �� �� ������ ��� �������������������������� �� ������������������������� ���� ���+������������������.0°7���' ���� �����(
����������������� � �%�������� ����Q�P03A5A+
)������ ���������'�� ���� ���5�Q6302D6�
)�� ����� �
�������������� ��� ��(
0,6819983���
���
�"
(%
����%������� ����.0�<� ��������&�K-+
�"
��$ �3: �� �3� � ����
+�����#�K������� ��� � ���������� �� ��� ���� �%������ � ������� ���� ����L���������� ����������� �A�� ����� � �
�� ���� ���� �%������ � ������� ���� �������������� ���-�0Q°+�$-�62°
�� �� ���� ���� �%������ � ������� ���� �������������� ���-�A5R.DL+�$-�02R5QL5A`�
$-�36 10’15’’.°
�-�������� ���������������� �������� ���������������� ��������48’: 60 0,8 ; 51 0,8 51,8 .= ° ° + = °
&�������51 48’ 51,8 .° = °
��%������� ����A5�D�� ���������� �����������������%������� E����� ������ �
sin51,8 0,78585, cos51,8 0,61840, tg51,8 1,27077° = ° = ° = �� �ctg51,8 0,78692.° =
$-�������� ������ ������������������������ ��������36 10’15’’ 36,17 .° = ° ������������������ �����������������%�����(� 0sin 36,17 0,59018;= � 0cos36,17 0,80727;=tg36,17 0,73108,° = ���� ctg36,17 1,36783.° =
�-������������� ���� ��� �%��������������� ������ �������������������������������������E����� � �$����������%� ������� ��������������� ���������������� ���������������%��������������� �����
���
M����� �
0,7313537���
0,932515���
��
$-�5��*������� ����0,67589.
0��0,476698 60 28,60188’,° ⋅ = ��� ���������28’;
���0,60188’ 60 36,1128’’ 36’’⋅ = ≈
&������������� 47 28’36’’.α = °
���� �� 1 1 1sin , cos , tg− − −��������%������������� ����%���������������α�����α����α�������������
�� ,�����������α����� �����α 4�Q�A�
+��������� �������������������� �������� ����������������������5� �E�� �����������B@&�
,����������� ,α ��-�sin 0,66044;α = �$-�cos 0,67589;α = ��-� tg 1,0913;α =�-� ctg 0,41491.α =
��0,333438 60 20,0063’ 20’° ⋅ = ≈
���%���������� 41 20’.α = °
��
��� ���������'�� ��41,333438 ,° �'����������� 41,333438 .α = ° �( )41,333438 41 0,333438 .° − ° = °
���M�� �����������&�K�<������ �����������-�
���*������� ����Q�A�
�� �����
������ ���������'�� ��������0Q���� ��������α 4�0Q°
� ��$ ����� �� ����� � � �� ����
�-�5��*������� ����Q�22Q..�<� ��������&�K-�
��$ ������� 47,476698 ;°
�� ����� � ��$ ����� �� ����� � � �� ����
��
�-������������������������ ���������-�� �$-�� ������%���� 47 30’.α = °
�-�5��*������� ����0,41491;
.��0,465949 60 27,956946’,° ⋅ = ��� ��������27’; ��0,956946’ 60 57,416767’’ 57’’.⋅ = ≈
���%����������� 67 27 ’57 ’’.α = °
�� ,����������� ,α ���� �(��-�sin 0,97450;α = �$-�cos 0,44620;α = ��-� tg 0,61322;α =�-�ctg 0,63299.α =
��� ��� ����'�� �%���������� ��������� �����%��������� ��������� �������������������$������������� ��� ����%������������� ������ ��������������'�� ��������Y���
� �� M���� ��� ��������������� ������� �������������(���-� 20 , 35 52’.a cm α= = °
90 90 35 52’ 54 08’β α= ° − = ° − ° = °
tg 20 tg54 08’, 20 1,38313 27,66 .b
b b cma
β= ⇒ = ⋅ ° = ⋅ ≈
20 20sin , 34,13 .
sin sin 35 52’ 0,58590
a ac c cm
cα
α= ⇒ = = = ≈
°
�� M���� ��� ��������������� ������� ����������� 215 , 38 15’.b cm α= = °
��� ����� � ��$ �3: �� �3� � � �� ����0�� ����� ��$ ����� ����� ���������'�� ��67,465949 .°
+������K� � ����� �� � ������������ ���������� ������� ��� ���������������������������� �� �����
������� ��� �������
����� �$�������� �%������� ���3,2571, � �������������� ��$ ����� ���� ���������'�� ��Y�)�
'����� �
X��������(� 020, 35 52 .a α ′= = ����� �(� , , .b c β
�� M���������������� ����� ���� � �� 24, 32.a b= =
���' �E����� ��
��
���
X��������(� 24, 32.a b= = ����� �+� ,c α ����� .β
2 232 24 1024 576 1600; 40.c c= + = + = =
24tg 0,75,
32α = = ��� ���� 36 52’11’’.α = °
+����������� ���������� � ������������'������ ��������������� ������������� ��������������� � �� ������
�� M���� ��� ��������������� �������� ����������(
�-� 3 , 4 ;a cm b cm= = ��-� 8 , 17 ;a cm c cm= = ��-� 12 , 37 .b cm c cm= =
� M���� ��� ��������������� �������� �������������� ��E��+�4�.A���� ���������������
36 20’.β = °
X��������(�� 45 , 36 20’.c cm β= = ° ���� �(� ,a b ��� .α
90 90 36 20’ 54 40’.α β= ° − = ° − ° = °
���� cos36 20’ 45 cos36 20’45
aa= ° ⇒ = ⋅ ° ��� �������� 45 0,80558 36,25cm.a = ⋅ ≈
��� ����������� �� ��%����E����� ��������β�
���� sin36 20’ 45 sin36 20’,45
bb= ° ⇒ = ⋅ ° ��� �������� 45 0,59248 26,66 .b cm= ⋅ ≈
��� ����������� �� ��%����E����� � ��������α� ������ � ����%�������� ���� ���������������������� ����� �����
���
�� ������������� ��������������������������������� ��� ��� ���������� ��� ��� ���(�-�A����+�$-�0Q����+��-�5����
�
B� E��� ��������� �� ������02����,������������� �������������' ��������������������
�7
9
π ��������
�
�� ���������������� �(��-�02�+����$-�5QD�+��-�35Q�+������-�353�3.L+���� -�0.A�02L�
�
�� ���������������� �������������������(
�-�6
π+����$-�
3
π+������-�
3
4
π+������-�
7
8
π+���� -�.�����
�
M���� ��� ��������������� ������� (
�
�
��� 23 cm, 38 ;c β= = ° ����� 3dm, 36 52’.c α= = °
�-� 473cm, 16 40’;b α= = °
$-� 25cm, 72 30’.a β= = °
# ��������������� �� (���� �������������������� �� � ��������4�+�-����� �������������������������� ������ ������ ��� ��%����E �� � � �������� �����������������%������� ��� ���� �����%����������������� ��� ����� ��'�� � � �� �� ����������������� ���� ������� ������������������
� M���� ��� ��������������� ������� ����������� 70c = ����� 058 30 .α ′=
���
��� 12cm, 110cm;a c= = ���� 4cm, 5cm.b c= =
�-� 5cm, 40 ;a α= = °
$-� 16cm, 14 15’.b β= = °
�
� �-� : 3: 5, 8cm;a c b= =
$-� : 12 :13, 15cm.b c a= =
�� �-� 26cm , 3cm;S a= =
$-� 2180cm , 40cm.S b= =
�� �-� 230cm , 22 37’;S α= = °
$-� 224cm , 53 8’.S β= = °
��������������� � � ������ ����� ������� �
� � �� ��� ��� ����� ��� �������������������� ���������������5A����
������ �������������� ����$<=�
� ��� �������� �����������$<=?�����(� ( ) ( )2 2 12 9 42cm.P a b= + ≈ + ≈
� �� ��� ��� ����� ��� ������������ �$��������4�52���� ������������ �������$���� �� �������� ������α 4�02°3QL�
� �� ��� ��� ������ ����������� ��� ���������$����������� �������4�.Q���� �������������������..°
��������
�
�������$���$������ ��� �������� ����������7
8?��������� E�7
,��������� E� �'������$��������7
> ��� ��������$������������������� ���� '�����$�E������� � ������ ����������
� �$���������������� ����%����������� ��02°A3L
� ��� (� cos36 52’15
a = ° � � � sin36 52’,15
b = ° � �� �������� 15 cos36 52’ 15 0,80003 12a cm= ⋅ ° ≈ ⋅ ≈ �
15 sin36 52’ 15 0,59995 9cm.b = ⋅ ° ≈ ⋅ ≈
1AC C� ������������ ���������������� ��� � 2 sin 22 ,40
a
= ° ��� �������
40 sin 22 ,2
a = ⋅ ° ��� ����� 2 40 0,37461 30cm.a ≈ ⋅ ⋅ ≈
�� ��� ���� 2 30 2 40 110cm.P a b= + = + ⋅ =
���� cos22 ,40
h = ° ���� �� 40 cos22 40 0,92718 37cm.h = ⋅ ° ≈ ⋅ ≈
���
� ,����� ��� ����� ��� ���������$���������� ������������4�5.������ ����������$�E�������AQ°�
� ������� E���$������������������+�$�E�� ���� ���4�.3��������������������$�E �α 4�.6°3QL�� ����+�4�3A������ ��$�E����� ����� �����������
������E����������� �'������ (� �����-������ ������������-� �#
������ �������������� ������������������� ������ �������(
25 sin 47 20’ 25 0,73531 18,4 .h cm= ⋅ ° ≈ ⋅ ≈
25 cos47 20’ 25 0,67773 17 .x cm= ⋅ ° ≈ ⋅ ≈
�� � �� �� ����������������� E�������(
18,4h cm≈ ���� 42 2 17 8 .b cm≈ − ⋅ =
� ,����$�E��� ������� ����������� ����� E���$������������ (�$�E����� ���� ������D2�������������������$�E �A.°�� ������6Q���
� ������������� �������'���� �� ������������53QQ�������������������������� �������������� � � ��������� � � ���� � ����������� ���������$������������ �'�������������� ����� ����������������� ������������� �� �� ����������������� �������� �������������5D°0QL�� ��������� �� ���������������$����� �� � �'� 7� <�����E������-
��� ����� ���� ��������� ��������� ������� ��
� ������������������� ��� ��� ��������
������ ���������E���������� ctg18 30’,1200
x = ° ���� �
��4�53QQ�U����5DR0QL�a�53QQWU�3�PDD2Da0AD2�.��
�� ���������� ������ �� ������������������������� ��AQQ����<�������$ � ����������-
���
# �'������'��������� ���� ������ �����������������(
���� ��� 45AC m= � � � ������ β 4� 3AR�� ,����� ������� �������
���� ��E������ ����� � ������ � tg 25 ,45
BC = °
�� �������� 45 tg 25 ;BC = ⋅ °
�� ,������ ������� ��������������� � 100 , 20 .AC m β= = °
�� �������� �� ����E����������� �������������� ������ � �����������4�.�A���@��%������ �� ���������3Q��� �������������� � �����������&� ����7�<������E������-
4,5tg 0,225;
20α = = � 12,68038 12 41’.α ≈ ° ≈ °
�� �������� �������%�������������������� ���������"�4�5�3����������������������������<���� �����-��������������������������������������E���� ����� ��� ��� ��������� ������$������������<���������-��4�56���
������E����������� �'������ 0,17
sin 0,14166,1,2
α = ≈ ��� ����
8,14430 8 9’.α ≈ ° ≈ °
�� ,����������� ������� ��������� �������� ���������Q�DA������� ����������������50��
(�
���
� �� ��� ��� ����� ��� ��������������������� ���������������3A���� � ������� �$��������������� �%����������� ��02°3QL�
� �� ��� ��� ����� ��� ������������ ������������������� �� ������� � � ����� 2.°.QL� � ������������7+�#
� ,���������� ��� ���������$����������$�E� ���������������.D����� ������0Q����
� ,����� ��� ����� ��� ���������$����������������� �����5A�A���� ���������$�E���00°�
� J�E��� ����� E���$��������������5A����� 53�3�����������������.����,�������� �� ���� E���
,����$�E��� ������� ����������� ����� E��$������������� �$�E����� ���� ������D2�����������������$�E �A.°�� ������6Q�
�
'&�*
0, ,BC ≈ ⋅ ≈��� ����� �� �
���
� ��� ������� ��� � ���������������������#��
��������
8�������������7
������F�%������ ���������������� �� ���������L��'�� �����������������%�
( ),M x y
�
�
'
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
�
⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩
�
����� � ����� � ������ ������� %�E������ ��������� ��� ���� ������ ���� ���� ���� � ���������������� �������������� ����
��� ��E�� ���������� ���������������K� �������� � � �������� �� ���� ����%�� �� � ����� '��9�������������� �PQ°L�� ������� �����9��� � ����� ;������������� �$��������� ��� �����'��� �����������9���������;(�����5Q�������������� ��)2Q°+��������������������� ��)02Q°+�����3.����������� ��3.�⋅ <)02Q°-�4�)D2.Q°�
� ����'������ � ������������ �+
�-�225 , 390 , 870 ;° ° ° �$- 45 , 210 , 660 .− ° − ° − °
�� ��$�������� ����� �� � ��$��� ��� ������� �� ����������03����� �2Q����
� "������� �� �� ��� E ���4�P����������� '������� ������ ������������� ���' ���� � ����������������4�.5��,������������ ������� �� � �
���������������4�5A��� ����E��������������� ������ ��������������α 4�A0°DL��,����������������� ��������
��
��
��
��
��
�
��
�
���������������� ��� ��'�� �%����$� ���� �����������4�P����� ��� E �� ��� ������ ��E�����%�����������α 4�53°.5L�
�� ������������ �=��������%�$��������� ��� �������@�� ����������������������62����� �����E����������=������ �����������<������� �� ����-��� ��3D°�
& ��� ��� ������ ���������$�������� �������� E����%����� ����������3A�������������� ���� ������ ����������������������AD°7
��������� ��������� �� �% � ��� ������������5AQ������ ��������������������� �� ������P°� ����������� ����� ���������� ������������
8%������������ �%�������� ��������������20������ � ������ �� ������ �� ���� �E���� �� ��� �����������A°AQL�
,�������������� ��������������� � � �� � ��������������E�����
�����������������%����������L����� ���� �F�%������ ��������������� �� ���<���3-���������������$�������������3�Y�������� �������� ����� ����������$������'� ������������ ������ <������E������-�
���
870°
$- 45− °
�-225°
390°
210− °660− °
> �� ���������������E������������������������������������������������� ������������������� ���� ��������������������������������������������������������������� ��� ��������������� �� �����������'�������������� ������ ��
B�����������������%��� �������������� ��������� ��E���� �� �� ����� �������E��������� �������-������� �������"��������� ���������������"������������������ ������$-���������������������/�� ���������������������
� K�����E����� �������$� � � ���������� ���� ������'�� ��� ���� ��������������%������ � ������ ���� �������� � ���������� ���� �PQ°�� ����� � �� ����� ������'�� ���� ���+������
������� ���������������'3���E�������� ��� ��� E ����4��5��K������� ���E�'α� ��� ���� �������������@<�α��3α-�� �%���������α�� ��� �����E���� ���$�����'�
������ �������������� ����'@@�?��� ��� (
���� sin , cos .1 1
y xy xα α
α αα α= = = =
� ���������������(��-�6DQ°+��$-�)553A°+���-�356Q°�
( ),M x yα α
sinα
cosα ��� �
� ���
( )0, 1−
( )1,0−
B� ���� �' ��������%�������� ����� ��������������� ��� E �� ���������5�'� �� ���� �������� ���
���$�E���������������������L�������������%�E�� ������ � ������������ �������� �����������������(
+������������������F%���������������$���$������ ���������� ��������������������������������������� ��� ���� ���������� �������� �����������α 4��3α#��������������������F%���������������$���$������ ��$������ ��������������������������������������� ��� ���� ���������� �������� ����������α �4���α#
���������%�E�� ��� ���� � ��������� ���������� ���� �PQ°����� � ��������� �� ����� �
���� ���� ���� ���� ������������������������������ ��� �������� �� ��������������� ���7������������$���������������������� � (
���
� �# �������� ��� ���������� ������������ ���� (
�-� sin 600 , cos600 ;° ° �$-� sin 780 , cos780 ;° ° ��-�sin1110 , cos1110 .° °
$-�- �-
sin 600 0,87° = −cos600 0,5° = −
sin 780 0,87° =cos780 0,5° =
sin1110 0,5° =cos1110 0,87° =
��������� �$�������������� ������� �������� ���������� � �%������ � ������� ���� �������� ������������ ����+
( )sin 600 sin 240 1 360 sin 240 ,° = ° + ⋅ ° = °( )sin 780 sin 60 2 360 sin 60 ,° = ° + ⋅ ° = °( )sin1110 sin 30 3 360 sin30 ;° = ° + ⋅ ° = °
( )cos600 cos 240 1 360 cos240 ,° = ° + ⋅ ° = °( )cos780 cos 60 2 360 cos60 ,° = ° + ⋅ ° = °( )cos1110 cos 30 3 360 cos30 .° = ° + ⋅ ° = °
����� �� � ��������������������������������������(( )sin 360 sin ,kα α+ ⋅ ° =
( )cos 360 cos .kα α+ ⋅ ° =
�������������������������� ���������)�4�Q��̂ �5��̂ �3��������������������������������� ��QR�� ���02QR�����
0 360 .α° ≤ ≤ °
� # �������� ��� ���������� ������������� ���� (��-� sin30 , cos30 ;° ° �$-� sin120 , cos120 ;° ° ��-
sin 210 , cos210 ;° ° ��-� sin 320 , cos320 ;° ° � -� ( ) ( )sin 120 , cos 120 .− ° − °
������������� ���� �@%�α��3α&������������������@<��α�����α-������������������α�
�� �� ��
sin30 0,5° =
cos30 0,87° =sin120 0,87° =
cos120 0,5° = −( )sin 120 0,87− ° = −
( )cos 120 0,5− ° = −
� ,������ ���� �%������ � ������� ���� ����α�� ���α�������� � �Q°��PQ°��5DQ°��36Q°�� �02Q°�
���
��� � "�E������� ��� �(120 , 120 , 540 ,° − ° °
540 , 750 , 750 .− ° ° − °"�E����� ���������� ������ ����������������
1 2 3, ,M M M � � � 4 ,M '�� �� �������� �� <� ����-����� � �50AR��05AR��).AR��)50AR
�
� # �������� ��� ���������� ����������� ���� ��-�sin90 , cos90 ;° °$-�sin180 , cos180 ;° ° ��-� sin 270 , cos270 ;° °�-� sin 360 , cos360 .° ° � �� ����� sin 0° � � cos0 ?°
� ���� ���� ��450 , 164 , 3000° − ° ° �� �)�5QQQ�
�����������%���� 360 ,kα + ⋅ ° 0 360 ,α≤ ≤ °.k ∈�
# �������� ��� ���������� �������������%��������� ���� ���-�sin54 ;° �$-�cos178 ;°�-� ( )sin 370 ;− ° ��-� ( )cos 198 .− °
�
�-�1 cos1800;
1 sin1800+ °− °
�$-�0sin 45 sin 405 sin 765
;cos 45 cos405 cos765
° + − °° − ° + °
�-� cos360 cos750 cos1110.
sin360 sin 750 sin1110° + ° − °° + ° − °
�
���� ���������� ����� ���������� �����
�������*
��������������������������������������������������������� ����������������������� ����������� �������α���� �����������α������%����������������α.��������������������������������α�������������������������� ����������������������� ����������� �������α���� ����������α�������%����������������α���������������%����������������������������������������%��������������������
( )sin 90 cosα α° − = ����� ( )cos 90 sin .α α° − =( )sin 360 sinkα α+ ⋅ ° = �� � ( )cos 360 cos ,kα α+ ⋅ ° = ����k ∈� �� �0 360 .α° ≤ ≤ ° �������������� �����
02Q°�<� �3π��������� -���� ���� ���������� ������������������ ����� ���������������� �������������%������ �� ����� �� �� ����� � �� �D402Q°�<D3π-� �����%�������������������'�� �������������������� �<� �%�����-����$ ��� �� ����%�� �
��� �1
2,2
y x= − ���������$ �����
� �2−
"�E������%����� �%���������1
2.2
y x= −
,������ ���� ���� � �(
�������$���E�� ��� ������ �����F��02Q°���� ���� ���������� ������������������ ������������� ��� %������ �������� ���� �������� �������������%���������� ���������� ���������� �D�4�02Q°�
� ,������������ ��$���E�� � ����� � ��������������(��-�sin 450 sin90 ;° = ° �$-�cos380 cos20 ;° = °�-� sin500 sin 50 ;° = ° ��-� sin 750 sin75 ;° = ° � -� cos1140 cos60 .° = °
� �� ���� ���� ���� � ��1 cos400.
1 cos40
+ °+ °
�����'� ( )cos400 cos 40 360 cos40 ,° = ° + ° = ° �� ���1 cos400 1 cos 40
1.1 cos40 1 cos 40
+ ° + °= =+ ° + °
��
�
��
6π3π
2
π3
π6
π 3
2
ππ 2π2
3
π 5
6
π 4
3
π 5
3
π
�
1−
'
� K�������E�������������%��������%������ � �������� ��������������� ���� ���������� ��'3������� ������%���������������������� �������� ��������� ��������������������������������������
��� ���� ������������� ����������������� ��������� ��������������� �$����������������4�3��� ���� �����������3������������������������������������ �������� ���� �F��������� ���"� ���� �%������ � �������������� �3���������%������ ���
siny x= ���������� cos .y x=
� ��������$ ���� �%��������� siny x= ���� �3 5 3 7
0, , , , , , , , 2 .4 2 4 4 2 4
xπ π π π π ππ π⎧ ⎫
⎨ ⎬⎩ ⎭
∈
���������
�
�
'4
π2
π 3
4
π π 5
4
π 3
2
π 7
4
π2π
' 2
2� 2
2' 2
2− 1− 2
2− '
"�E�������� ���������� ������ ��� E ���4�5�������������������������������������������� �� �������E�� �������F%��������
� "�E������%����� �%�������� sin .y x=
K��%����� �%���������������������������E������� �$���� �� ������ ��������������$ ����# ���������$����� ����� ������ ���������� �� ���������'���� ���� �%������������������� ������� ��������������������������������������������%������������E������� �������� ��� ���������� �������������������� � �
K��������� ��� �������������' �������$�������� ��������������4�5�� ��� 2 6,283185...,L rπ= = ��� �������
2 6,π ≈ ������������������������������ ����$�������������������� � 1.3
π ≈
:��������� �����������%������%���������3�4������'� ������������
�����
��
x 0
0 0
2π 3
2ππ 2π
1−
� "�E������%����� �%���������3�������������� �������ZQ��3π[�
K��%������������E������� ����� �������� ������ ������� ������ �
cos x 1 1x
2π
π
2π
1
1−�
y
#������ ��������������� ���� �������� �� �� =���������� ��������%����� �%���������3������������∈ZQ�3π[��������E������� �������� ������ ������� ������ ����%������������ ������������� ������������%�����������E ������������ �������������������E�����
x
sin x
0
0 0 0
2π 3
2ππ 2π
1−1 �
1−
1
�
�
2π π
32π
2π
*��������3���������������� ��(
1° ����������%�E������%��������������� �����3����������� ��� �����������������������F��������� ����� ������������F���∈<)∞�/∞-�
3° �*�������� 3����� ����� � ������� �� ����� � � �� �D43π�� �� �������� ( )sin 2 sin ,x k xπ+ =
0, 1, 2,...k = ± ±
2° �*������� siny x= ����������%�E������� �������� 1 sin 1.x− ≤ ≤
4° �M ��� �%������������ ���������� �� �� �/��2�)*���������� �$�����������(��... , 0, , 2 , ...,π π π− ��� �������
0y = ����� ( ).x k kπ= ∈�
5° �"� ����������� � �%���������3����������5�� �%�� ������3 5 9
..., , , , ,... ,2 2 2 2
xπ π π π⎧ ⎫−⎨ ⎬
⎩ ⎭∈ ���� �������
max 1,y = ����� ( )2 .2
k kxπ π+ ∈= � �� ������ ��������5�
6° �"� ���������� � �%���������3����������)5�� �%�� ������3 7 11
..., , , , ,... ,2 2 2 2
xπ π π π⎧ ⎫−⎨ ⎬
⎩ ⎭∈ ��� �������
min 1,y = − ����� ( )32 .
2k kx
π π+ ∈= �
���
*��������3��+������������� ��(
1° ��X�����������%�E��������� ������������� ���
2° �*��������3��+�������������%�E������� ��������)5�≤ �+������≤5�
3° �*��������3��+���������� ������� �� ������ � �� � 2 ,T π= �� �������� ( )cos 2 cos ,x k xπ+ = .k ∈�
4° �M ��� �%������������ ���������� �� �� ����%������������� �$�����������(�3 5
, , ,...,2 2 2
...π π π− ��� �������
cos 0,y x= = ����� ( ).2
k kxπ π+ ∈= �
5° �"� ����������� � �%�������� cosy x= ������������ � { }..., 2 , 0, 2 , 4 ,... ,x π π π−∈ ��� ������� max 1y = ����
( ).2 kx kπ ∈= �
�" ��������� ���������� �������E������� ����%���������������� ���������������� � ������������������ ������ � ����������������������� �3π��K� ����������� ��� ����%��������� �������� ����� ���� �
[ ] [ ] [ ] [ ]..., 4 , 2 , 2 ,0 , 0,2 , 2 ,4 ,...π π π π π π− − − ������ ��� �������������������� �������ZQ�3π[������E����������E��������-�� ���E�������$-��������������%�����?���� � ;����%������ � � sin ,y x=�� ������� cos .y x=
2
π 2ππ
x
y
�
3
2
π
2π− 3
2
π− π−2
π−52π 3π 7
2
π 4π
y
� x2π− 3
2
π− π−2π−
2
π π 32π 2π 5
2π 3π 7
2π
��
$-
)��"� ���������� � �%�������� cosy x= ������� 1− ����� � { }..., , 0, , 3 ,... ,x π π π−∈ �� �������� min 1y = − ����
( ).2 kx x kπ ∈= + �
"�� �� ����%����� ���������� ����������������������'������ ����� ����������+�������� ��� ����� ��E���� ���� �������� �� ����� ��������������
"�� �����%������%���������3�4��������������%�� ����� ����%����� �%���������3�4������� �9E� �����;������
���������$������������� .2
π
���
K��%����� ���������� �������������������'������ ������ ���������+�������� ��� ����� ��E�� �� ���� ��������� ���������������� �
� ������������������ ���������������� ���E���%������ ��3��������� �3��+������������ �������Z)3π�.π[��8������ �7
���
� "�E������%����� �%��������(�-� sin ;y x= − �$-� 2sin ,y x= ��-� 1 cos .y x= +
�
������������ ���<���������-��������� �������%�� ������������� ������ �<E �����=�� ����-���%��������(�-� sin ;y x= ��$-� cos ?y x=
�
� !����"��� #$%����$%#& �% ��
��1
cos ,2
y x= ��� 1 sin ;y x= − ���� cos 1.y x= − −
� � "�E������%����� �%��������� cos .y x= −
�
1−
'
2π π 3
2
π 2π
�
�
cosy x= −
� "�E������%����� �%���������1
sin .2
y x=
�
1−
'
2π π
3
2
π
2π
�
�
1sin
2y x=
siny x=
� "�E������%����� �%��������� 1 sin .y x= +
�
1−
'
2π π
3
2
π
2π
�
�
1 siny x= +
siny x=
�
���
�������������������� ���
� �����E������� ,ABC MN ABΔ � � .NP AC��-� ���� ����������� �7$-�,������� ����� ����������������������� ����� 7
� �
�
� �
�� ��� � ( ) ( )0 0sin 35 cos 35 ,α α+ = + ���� ���α � (������-�0A +����������$-�AA +���������-�5Q +����������-�Q �
� ,������ ���� ���� � ��( )20 0
0 0
sin30 cos60.
tg 45 ctg 45
+
+
� ,����cos , tgα α �� �ctg ,α ���� �5
sin .13
α =
� >� ��� �$���E����������������� 2 22 2
1tg ctg 2.
sin cosα α
α α= + +
⋅
� ,������ ���� ���� � ��sin cos
,sin cos
α αα α
+−
���� �5
tg .4
α =
� ,������ ����� � ����� � �������������(��-� 0tg35 1;> ����$-� 03 tg10 ;< �����-� 01 tg46 ;< �����-� 0ctg1 1.<
B���������������������������(
�-� 0 0 0sin 48 , sin 75 , sin 20 ; $-� 0 0 0cos50 , sin 60 , cos10 .
��������� ��02�3.A°�������� �������������������� �� �����
�� K�����</-�����(��-�5Q�)���+������$-�5QQ�)���+�������-�2Q�)���+�������-�PQ�)������ ��� ������������� ����
�� ����� ����� ��� E �P������������ '�������� �� ���� �������� ������������� ����' ���� ����4�.5��,���������������� ������� �� � �
+ −
− +
+−
− +
+−−+
+
−−
+�- $- �- �-�� # �����$���������� ����������������� ���
��E���������������������� ������� ���������������������������������� ���� �%���������������
�� M���� ��� ��������������� ������� � 230 cmS = �� 022 37 .α ′=
�� ,������ ���� ���� � ��0 0 0
0 0 0
cos360 cos750 cos1110.
sin 360 sin 750 sin1110
+ −+ −
�� Vizato grafikun e funksionit y = sin x - 2.
���
����� ��� �������
*�'���� ���E������� ������� �%�'�E������%�'�� ���������������������������
�� � ��������� ������� �����������
#$� ����� �E$������ ������ � ����
*���������������E�����������������
M$�������������� � ���� �E$�����%���������������E�����������������
M$������������������ �E$������ �%����������������$����������������
�� ���� �����������������$������ ���%�������������������$����������
>� �������� $��� ��M�� ������ ��� ���������������������������������������������
��
��
��
�����
���
���
���
������
�� ����� �� ��� ������� $��� ������ ����� �������������� � �����������������������
M$������������������������E� ������ ������� ��=� ��������E� ���� ���$������������������ �����������������
��
���*�'��� ��� �� ��E ��� ���������������� ����������������������������������������� ��
� �2a b� 2 22a ab b� �
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
����������
����������
����������
& ������������ � �� ����� ������������ ������������
���������� ��������� ������������������
���
��� ��������� � ������� � ������ � � � ���� ��
�������* � : ����� ������������������ ���
���������⋅�������� ����������+���������⋅�⋅�� ����������+� ���
��� � ��� %���� ��� �������� ��������⋅�⋅�⋅�⋅������ �����������������E� ��
������������ ������ ���� ������$�"�� �%�'���� na ���������������������≥�3�� ���� ������� ������%� �������������� ������ ���$�E������E ��� � �� � ��
��������������� ... ,n
n
a a a a a⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =����� ����� ,a n∈ ∈� � �� 2n ≥ �
� ����'�������%�'������� �(�-� x x x x x⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + $-�( 3) ( 3) ( 3)− ⋅ − ⋅ − + �-�
3 3 3 3
4 4 4 4⋅ ⋅ ⋅ + �-� ( ) ( ) ( )x y x y x y+ ⋅ + ⋅ + �
� ����'�������%����������������������E� �� �����������%�'���(�-� 53 + $-� 40,2 + �-� 4( 7)− +���-� 3( 1)x − �
����������%�E�����%�'��� ����������� ��� �� ��5������� �����������K� �������� 1a a= +������ �$���(� 1 1 1( 5) 5; ( 1) 1; ( ) .x x a b a b− = − − = − + = +
�����
1( 1) 1− = − ��� 2( 1) ( 1) ( 1) 1− = − ⋅ − = �� 3( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 1− = − ⋅ − ⋅ − = − ���� 4( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 1− = − ⋅ − ⋅ − ⋅ − = �����
2( 1) 1k− = �� �( )2 11 1
k −− = − ������� ������ .k ∈�
� ,������ ���� �%�'�� (��-� 2002( 1)− +�����$-� 2003( 1)− �
������P������������� ����� � � � � � � 23 3 3⋅ =
@����� ������������������������ ��������������������P7������������A��� ���� �������������������������������A�⋅ A�⋅ A� ����������������������������������
3⋅3⋅3⋅3⋅3�
��$������� �'������%� ��� �����' ���������������������������������������E� �������������
���
��������
�������� ������ �� ����� � ���� ���5�
��������� �� �����%�'�������������������7
���������⋅ �������� �� �����%�'���A�
��������� �� �����%�'����������������⋅��⋅��7
! ������������<��≠�Q-������ �� �����%�'����0�
��������� �� �����%�'���������� � ����⋅�������<��≠�7-7
� >������E����%�'����� �� ���������∈B+����∈��
� ��(
� ...m
m
a a a a a= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅����� �� ...n
n
a a a a a= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅����� �
�������������� ...m n
m n
a a a a a a+
⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅����� ���� �������
m n m na a a +⋅ = �
&�������%�'����� �$�E����������������E ������'�� $�E� a ∈� �������� ��� ������� �� �� ���� %�'�� ,m n∈��$��� ��
� ,��������� �(
�-� 5 7 8x x x⋅ ⋅ + �����$-� 6 2610 10⋅ + �-� 4 5( 3) ( 3)x x− − + �-� 3 4( 4) ( 4)− ⋅ − �
�� �������
m n m na a a+ = ⋅ �����F%�����a ∈� �� , .m n∈�
� �������������� �� �����E������������ �� ��� ��$���E���� :m n m na a a −= ��� ��� �� 0a ≠ � m n> 7
� Njehso: a) 6
2, 0
xx
x≠ ; b)
11
8
( 3), 3 0
( 3)
aa
a
+ + ≠+
.
�� �������
( )0m
m nn
aa a
a− = ≠ �����F� , 0a a∈ ≠� �� , .m n∈�
�� ����������������'�� �������%������������������� ���������%�'�� �
(� �������.�����/!��������������� �8���������*���������3�����%�!����*����&��������������������3�����/��8������������!������������ �H����#
���$���E����� � �%��������� ��������� �$����� 5 3 2 4 2 3 4a a a a a a a a a= ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅
( )0m
m nn
aa a
a− = ≠ ������������ ��� ����� �����%���������� �$�����
125 12 7
7
aa a
a−= = ����� 0a ≠ �
���
��������
3A A A A� � � ����� �2A x= ��%�����
���� ( )32 2 2 2 6.x x x x x= ⋅ ⋅ =
���������� �nma 7
E���� ( ) ... .nm m m m m
n
a a a a a= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅���������
@�� ��( ) ... ,nm
m n
a a a a a⋅
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅����� ��� ��������( ) .nm m na a ⋅=
��� ���������� (�� .....m
m
a a a a a= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅������� &
J���E��� �%������������� ���������%�'�E����� �%�'�������� , .a dhe m n∈ ∈� �
� �� � ������ � �����'�������%�������%�'����� �$�E���(
�-� ( )54 ;x ���$-� ( )102 3 ;x x �����-( )32 7
8.
x x x
x
�� �������
����F%������a ∈� �� � ,m n∈� �� ��$���E��� ( ) ( )n mm n m na a a⋅ = = ���@����������� ������������� �����������������
��������
3a a a a� � � �3 ,b b b b= ⋅ ⋅
( )33 3 .a b a a a b b b ab ab ab ab= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =
���E�%�'���� 4 4 4.x y z⋅ ⋅
33
3.
a a a a a a a a
b b b b b b b b
⋅ ⋅ ⎛ ⎞= = ⋅ ⋅ = ⎜ ⎟⋅ ⋅ ⎝ ⎠
! ������5 5
5
x y
z������� ����%�'��� �$�E�� .
xy
z
�
: ����� ��� ...m
m
a a a a a= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅����� �� �... .m
m
b b b b b= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅����� ������������� m ma b⋅
� ��(�� ... ...m m
m m
a b a a a a b b b b⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =����� �����
( ) ( ) ( ) ( ) ( )... .m
m
ab ab ab ab ab= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =�����������
&������������� ( )mm ma b ab⋅ = �� � .mm
m
a a
b b⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
��������������m
m
a
b�� ��
...
... ....
mmm
m
m m
a a a aa a a a a a
b b b b b b b b b b
⋅ ⋅ ⋅ ⋅⎛ ⎞= = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⎜ ⎟⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⎝ ⎠
�����
����� �������
>� ������ � �(�������-�2 6
;3
x x
x ��$-�2 3
5
3 4;
2
x x
x �-�5 5 5
5
2 3 4.
12
⋅ ⋅
���� � �$���(� ( ) ( )3 412 4 3 4 3 ;a a a a⋅= = = � � � ( ) ( )6 212 2 6 ;a a a= = � � � ( ) ( )1 1212 12 1 .a a a= =
������������������������ ( )34 .x
���
�� �������
J���E���(�( )m m mab a b= �� �m m
m
a a
b b⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠
H������ ����������%�'�E����� ���������� � ������
�� ��� � �%�'�E����(����-�5
;xy
z⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
�$-�53 2
5;
x y
z
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
��-�32 3
4 5
2.
3
x y
a b
⎛ ⎞−⎜ ⎟
⎝ ⎠
���
� @��������� ���A���%�'�7
� ,������������ ������ � ������������� ���-�( )7
2 0;− < $-�( )403 0;− <
�-� 4 7 0a b < ����� 0, 0;a b> <�-� 7 20 0a b > ���� 0, 0?a b< >
� K� � ��� ����������� �3�'������ �����������$�������(�-� 2002 1;x = $-� 2001 1;x = −�-� 1 4;x = − �-� ( 3) 27;x− = − -� 3 3;x y= %-�2 2 .x y=
� ����������� ������'�������%�'��� �$�E��5Q(�-�5QQQQ+ $-�5QQQQQQ�
� ����������� ������'������������������������������ �%�'�������$�E��5Q(�-�6QQQ+�����$-�63QQQQQQ+������-�0.6QQ�
� ����������� ������'����������������������� ���� �%�'����5Q���-�0P6.+������$-�Q�A2A0+������-�0A�
� ����'�������%�'��� �$�E������� � �(
�-� 3 4 5 ;x x x x⋅ ⋅ ⋅ �����$-�6 7
8;
x x
x������-� 8 3 2: .x x x⋅
��� � �%�'�E����(
��- ( )( )322 3 4 ;a a a⋅ ⋅ ���$-� ( )( )432 .a
����������%�'��� �$�E������� � �+
����-� ( )33 2 10 2: ;a a a a⋅ ⋅ ����$-�( )( )( )
652 3
108 7.
a a
a a
⋅
⋅
�� :�������������������������� ���+
�-�3 3
3
4 12;
24
⋅ ��������$-�3 63 2 125
.1000
⋅ ⋅
�� ,������'��$���E�������� �����������(
�- 3;xa a� $-�( ) ( )2 34 ;xa a=
�-�( ) ( )5 43 7 3 ;xa a a a⋅ = ⋅
�-�( )( )( )432
42 412
: .xa
a a aa
⋅ =
M$���������� ���������%�'����������%����E�������� ������$���E������ � (�-� 2 22 2 4 4 16;⋅ = ⋅ = $-� 2 22 2 2 2 2 2 16;⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = �-� 2 2 2 2 42 2 2 2 16;+⋅ = = =
�-� ( )22 2 22 2 2 2 4 16;⋅ = ⋅ = = -� ( )22 2 2 42 2 2 2 16.⋅ = = =
�-�X�����%����E������ ��������������E������%�'�� �� ��� �� ������������
��
����������� ������� �����
��������
��$� �� 12, 2, ,...
2������������ �
��$���<�������� �$���+����������3���-������������ ������ ���� ����$����������$� �� ��������������� ����� �'� �����3������ ��'� ��$��������������������� ����� �������������� 7,���������� ������� �� 7
� � �������������� � ���� ��������������� ��� ������� ���������
�������� �� ����� �� +��$� �� ���E$���� ��� ����E��������� �%�'�E������ ��� �� ���������������
2 3 236 3.
4a b ab− −
��� ��� � � '� �� ��� ���� �������������$ ���� ��������
� �������������� � ������������������������������ ����� ��� �� �%�'�� �
2 3 42.
3a b c− � �� ��� ���������������� ����� $��� �'� �������#
�,������������ � ������ � ����� $��� ��������� (
�-� 23 ;a b− �����$-� ( )2 23 5 ;x y xy− ������-�23
;x
y������-�
53;
5
x����� -� 23 4 ;x y− �����%-�6+����� -���7
#����0�������������%������� ����#
@������������������0����⋅ �����%�������� 7
> ������A����+��������A���������%�������/����+���������� �� ���� �/���������������+�
�����%�'����������� � ������ ������� �� �
>� �� ��������������3��� ������� ���� �3�����.�/�A�4�P� ��������� �� �����������3��,���3�,� �,�� ������ ���� �37#�� ��������� �-I������������������� ������'��������� ������ �� �����������
#$��� ��� ������� �� ������� �������'��$��� ��� %��� �� �� ���� ������ ��� ������ �� ������� ��
,���� � %��� ����� � � �� ���� ��� �� � ����� � (� 2 2 4 33
3; ; 3 ; .4
a a a b
�������� � � : ����� ����������� �(
3 3 2 22 , 3 , 5 , 7.A x y B x y C xy D= = − = − =� �� ��(
�� �������
���� ��������������%������������ � '� �� ��� ���� � ����� ��������� � ��������<#�� ��� �� ���������� -�
"�� (� �� � ��3
y
x + �� � 3 5
5x xy
x− +
−���������
��� � ���������������� �� ���������������
��� 3x ≠ − ���� �������� 5x ≠ �
#�� ������(�������� ��������� ��� ���� � ��'���������������������� ��� �%�'�� ���������� � �
�-�$�� ��3����������+
$-�$�<�� ��3��%-���3�&������$���+
�-�$�<�-�=�� ��3����%-���3�&�-�%-��3&�����������+
�-�$�<�-�=�-�?�� ��3����%-���3�&�-�%-��3&�-������
������
��
�� ���� ������� ��� ������� � � � ( )2 5x x + �� 3 5x x+ ������-� 0;x = �$-� 3;x = ��- 1;x = −
�- 2,5.x = �8������ �7����� 1x = − �� ��(� ( ) ( )2 5 1 1 5 6x x + = − ⋅ + = − �� 3 5 1 5 6.x x+ = − − = −
�� �������
�� � ��'��������� ������ ��� ���������������F���� ������������ � ��� ��$�����������������%�E����'� ����� � ����������������� �J���E��� ������� � � ��� ���� �������� �'� �����������#0� �������������������� ��� �� �� ����%�'�� ���������� � ������������ ����������������������� ���� �� ��� �������%�'��E �����������������%���������� ���� ������������� �� ���������������� ���������%��������� �0� �������������<���%��������� -������ �$���$������ �%�'���� �������'�����%�'������������ ���� ����� � �'�� ����$���������
� ����� ����%��������� ��������� 2 27 3 4 2 5 .M x y xy y x y x x x= − ⋅ − + ⋅ − � �������%�'�� ����7
��� � ���������%��������� ���� �(
�-� 23 ;x y xy⋅ $-� 2 2 32 .xy x y xy⋅ ⋅
� ,���(�� %��� �������� ������� �� �� %�'���� ���� � �� ������� ���� �3�
���-� 3 43 ;x y z $-� 32;
3x y− �-�� 1
3 .5
⋅
� �� ���� ������� ��� ������� � � (
�-� 2 3 3 43 4a b a b− ����� 2, 1;a b= − = −
$-�3 3
2 2
a b
a ab b
−+ +
����� 2, 1.a b= = −
� ������������� ���� � �$���E���(
�-� ( ) { }2 3 22 2 2 4 , 1,0,1 ;x x x x x+ = + ∈ −
$-�( )2 2 22 3 4 6 9 ;x y x xy y− = − +
{ }( , ) (1,0),(0,1), ( 1,1) .x y ∈ −
� ����� �� �����������������%��������� � ������%�'���� ���� (
�-� 2 3 22 3 5 3 ;x x x x x− + − + −
$-� 2 2 2 22 2 2 3 5 .x y xy xy yx y x− − + −
������������� ������� �����
��������
����� ��@����� �.�-�����$� ��������'�����$� ������� �� ������� ���� �������
2 .M N a b a b a+ = + + − =#$���������� � 2A a b= − ��� 3 .B a b= +
� � ,�����������M N P− + ����� � 2
2
2
2 3 1,
4 5 3,
3 8 7.
M x x
N x x
P x x
= − + −= − += − − +
���E����� ��
���
�������(� ( ) ( )2 2 22 3 1 4 5 3 3 8 7 .M N P x x x x x x− + = − + − − − + + − − +:������ ��������������( 2 2 22 3 1 4 5 3 3 8 7.M N P x x x x x x− + = − + − − + − − − +#$�������� �� ������� �� ������%���(
����������������������������������������������������������� 29 3.M N P x− + = − +# ����$����@��@%�&���������������� ������� ���# ����$����A��A<���3-��������������� ������� ���� ��## ����$����J��J%�������-���������������� ������� ������� �+#
��������
#����� ����� ����E �� ����� '�� %��� �� �� ����E �� ������ �� ������� ������E����� ��������� � � �������������� ������ �� ��������� ������ ���������E����� �%�'�� �
�� ���������� ���� �
���� 2 33x y �� � 3 45 .x y−
� H�������������� �(�� 2 2 2( ) 4 2; ( ) 3 4 5; ( ) 2 7 6.M x x x N x x x P x x x= − + − = − + = − − +,�����������(
�-� ( ) ( ) ( );M x N x P x+ − $-� ( ) ( ) ( );M x N x P x− − �-�2 ( ) 3 ( ) ( ).M x N x P x− +
� � �� ���������� ���� �
� 3 42
3x y− �� 4 53
.4
x y z−
��������
������E����� %��� �� ��� �%�����(
2 3 1;
3 4 2⎛ ⎞ ⎛ ⎞− ⋅ − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠����������� ��� ���� �� �����(�� 3 4 4 5 7 9 .x y x y z x y z⋅ =
���������������������� 7 91.
2x y z
���������������������� ������� ���(�� 3 4 4 5 7 9 7 92 3 2 3 1.
3 4 3 4 2x y x y z x y z x y z
⎛ ⎞− ⋅ − = ⋅ =⎜ ⎟⎝ ⎠
� �� ������� �(����-� 2 3 4 2 25 3 ;a b c a b c− ⋅ �����$-� ( )5 6 429 ;
3a b a b⋅ − �������-� ( )4 4 3 33 2
7 .14 3
a b a b ab⎛ ⎞⋅ − ⋅ −⎜ ⎟⎝ ⎠
��������
��� $���E���� ( )A B C A C B C+ ⋅ = ⋅ + ⋅ ����E$������� ����������$���� �M$���� �����������$���� ������� � �( ) .a b c d+ − ⋅
� � �������� 2 3 23 2 5x y xy xy− +����E� �� ������� 3 32 .x y−
"�� ���E����� �(
�������(( ) ( )2 3 2 3 33 2 5 2 .x y xy xy x y− + ⋅ −
������ �����������$���� �� ��(� ( ) ( ) ( )2 3 3 3 2 3 3 3 33 2 2 2 5 2 .x y x y xy x y xy x y⋅ − − ⋅ − + ⋅ −
������� �� ���������E����������� � �%�����(� 5 6 4 5 4 46 4 10 .x y x y x y− + −
����������������E��� ������� ���(�( ) ( )4 2 2 3 5 4 2 23 5 2 4 12 20 8 .xy x y x y x y x y x y− + − ⋅ − = − +
���
������������
��� �$��<��=�� �?��������� ����� ���( ) ,A B C D A D B D C D+ + ⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅� � ( ) .D A B C D A D B D C⋅ + + = ⋅ + ⋅ + ⋅
� ,��������� �( �-�( ) ( )4 3 6 3 3 23 5 2 4 ;x y xy x y xy− − ⋅ − $-� ( )3 5 4 3 5 338 4 12 .
4x y x y x y xy⋅ − + −
��������
���E�������� 2 1x x+ + �� ��������1.x +
T��E��(�����E 2 1x x+ + �� ���� �������2 1x x+ + �� �5�
,���������� ������ � ����%�������
� � ���E������ �3 22 3 5 7x x x− + − �� � 4.x −
"�� �E����� �
��� 4M x= − �� ������%���
���� ( )3 22 3 5 7 .x x x M− + − ⋅
M$�������E����� ���������� ������� �������� 3 22 3 5 7 .x M x M x M M⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅
M�� ����� 4M x= − �� �%���(� 3 22 ( 4) 3 ( 4) 5 ( 4) 7( 4).x x x x x x x− − − + − − −
�� ���� ���E$�������E����� �������� ������(4 3 3 2 22 8 3 12 5 20 7 28.x x x x x x x− − + + − − +
��� ��������� �%���������%��������� �� �%���(4 3 22 11 17 27 28.x x x x− + − +
�������������������������� �$���������� �(
2(3 2 1)( 3)x x x− + − + =3 23 9 2 6 3x x x x x= − + + − − + =3 23 11 7 3.x x x= − + − +
���E������ ��� ��������� �%����������� ������'��%�'��� ������� �������E���� �(
�����-� ( )( )2 32 3 1 4 5 ;x x x− + − + �������$-�( )( )2 3 25 2 3 2x x x x x− + − − + − �
,������������ ��������� �+������'������� �� 3 2( ) 2 9 13 6P x x x x= − + − ��
( )( )2( ) 2Q x x ax bx c= − + + ����� ����� ������������������
"�� ���� �����(
�������1%�&���������%��������� �����������������A%�&� ������%���������%���������� �� %�����(
� 3 2 2( ) 2 2 2Q x ax bx cx ax bx c= + + − − − =� ( ) ( )3 22 2 2 .ax b a x c b x c= + − + − −
���
&������� �� ������� �������������������$���$�������� �� %��� �� �������������� � ��������� � ��� �� ��������������������$���$�����
������������ ( ) ( )P x Q x= ���� (� 2,a = � 2 9,b a− = − �������� 5,b = − � 2 13,c b− = ������� 3.c =
���
� �� ���� ������� ��� �����������
�-�� ( )( )( )2 2 25 2 3 4 ,abc a b abc ab a b− − − − ����� 2, 1, 3;a b c= − = − =
$-� ( ) ( )( )2 2 2 2 23 2 4 3 4 5 3 , për 1, 2, 3.x z xyz xyz x z x z x z xyz x z xyz x y z− − − − + − − − = − = = −
� H�������������� � 3 2( ) 2 1P x x x= + − �� � 2( ) 1.Q x x x= + + �,��������� �(
�-� ( ) ( );P x Q x+ $-� ( ) ( );P x Q x− �-� ( ) ( ).P x Q x⋅
� ��� ����%��������� ��������(
�-� 3 2 3 23 7 1 3 7 ;x x x x x x+ + + − − − $-�( ) ( )2 25 5 3 4 5 3 .m m m m− + + − − −
� ��� � �����E������ ��������� �%���������� �������������%���������
�-�( )( )2 1 3 2 ;x x− + $-�( )( )2 22 4 1 3 2 5 ;x x x x− + − + −
�-�( )( ) ( )( )2 22 3 1 2 2 5 4 5 .x x x x x x− + − − + − + −
� ,������������ ��������� �+�������'������� ��1%�&�� �A%�&����� ������$���$����(
�-� 3 2( ) 6 23 29 12P x x x x= − + − ��� $-� 3 2( ) 2 4P x x x x= − + + ��
���� ( )( )2( ) 1Q x x ax bx c= − + + ��������������� ( )( )2( ) 2 .Q x ax bx c x= + + +
������������������ ��������������
��������
( ) ( )( )2a b a b a b+ = + +
,���(
�-�( )22 ;x + $-�( )3
2 .x +
� � *�'�E�$��� �(
�-�( )222 3 ;x y+ $-�( )223 2 ;x y−
�-�( )322 ;x y+ �-�( )32 22 .x y−
���
"�� �(� ( ) ( )( )22 2 2 2 2 2 22 3 2 3 2 3 2 2 2 3 2 3 3 3 ,x y x y x y x x x y x y y y+ = + + = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ ��������
��������������� ���� ( ) ( ) ( ) ( )2 24 2 2 2 24 12 9 2 2 2 3 3 .x x y y x x y y+ + = + ⋅ ⋅ +
�� �������
������%������� �%������������������������%��������������E��������������� ����������������$������� ���$����$������
� *�'�E���$��� ��� �������� �%������ ���������E��� �������(
�-�( )23 4 32 3 ;a b ab+ $-�( )32 2 33 2 .x y x y−
"�� ���E����� �(
$-�M$������( )3 3 2 2 33 3A B A A B AB B− = − + − �� �%�����(
��������( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 2 2 32 2 2 3 2 2 3 2 33 3 3 2 3 3 2 2 ,x y x y x y x y x y x y− ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − � �����%�'�E����
��������� 6 3 4 2 2 3 2 4 6 6 927 3 9 2 3 3 4 8 ,x y x y x y x y x y x y− ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − �����������������E�������� �
��������� 6 3 6 5 6 7 6 927 54 36 8 .x y x y x y x y− + −
��������������� ��������� �$������'������(
�( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 3 2 2 33 2 3 3 2 3 2 22 3 2 3 2 3 3 2 3 3x y xy x y x y xy x y xy xy+ = + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + =9 3 6 2 2 3 2 4 3 68 3 4 3 3 2 9 27x y x y xy x y x y x y= + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + =9 3 7 4 5 5 3 68 36 54 27 .x y x y x y x y= + + +
����# �E$������� �%�������( )2 2 22A B A AB B+ = + + �� ��(�( ) ( )2 23 4 3 4 3 32 2 2 3 3 ,a b a b ab ab+ ⋅ ⋅ + �������
����%�'�E������ �����E�����%�����(� 6 8 4 7 2 64 12 9 .a b a b a b+ +
������������� ���������� �$������ ��������(
( ) ( ) ( )2 2 25 2 4 5 2 5 2 4 42 5 2 2 2 5 5a b ab a b a b ab ab− = − ⋅ ⋅ + =�������������������������������������������������� 10 4 6 6 2 84 20 25 .a b a b a b= − +
������������������� ����������� � ��� (
( )2 2 22A B A AB B+ = + + ������ ����� ( )2 2 22 .A B A AB B− = − +
&����( $-� 4 2 29 12 4 ;x x y y− + ���-� 3 2 2 4 68 12 6 ;x x y xy y+ + + ���-� 6 4 2 2 4 66 12 8 .x x y x y y− + −
( )3 3 2 2 33 3A B A A B AB B+ = + + + ����� ���� ( )3 3 2 2 33 3 .A B A A B AB B− = − + −
� ��� � �%�'�E����(��-�( )22 3 ;x y− ��$-�( )2
3 5 ;x y− + ���-�( )27 34 7 ;x y+ ���-�( )23 23 7 .x y− −
���
� *�'�E(���-�( )33 2 ;x y− ��$-�( )3
3 5 ;x y− + ���-�( )32 32 3 ;x y− − ���-�( )32 23 5 .x y xy+
��������
( ) ( ) 2 21 1 1 1.x x x x x x− ⋅ + = + − − = −�� ������� �(
�-� ( ) ( )2 2 ;x x− ⋅ + �����$- ( ) ( )22 2 4 ;x x x− ⋅ + +
�-�( ) ( )22 2 4 .x x x+ ⋅ − +
� � �� �(
�-�( ) ( )2 3 2 3 ;x y x y− ⋅ +
$-�( ) ( )2 22 3 4 6 9 ;x y x xy y− ⋅ + +
�-�( ) ( )2 4 2 25 5 25 .x y x x y y+ ⋅ − +
� �� ������� �(
�-�( )( )2 3 5 5 2 32 3 3 2 ;x y xy xy x y− + $-�( )( )2 2 2 2 3 3 4 44 5 16 20 25 ;xy x y x y x y x y− + +
�-�( )( )3 4 6 8 4 5 2 23 2 9 6 4 .x y xy x y x y x y+ − +
��������������������� ����� �$���������� �(
( )( )3 3 6 2 4 4 2 62 3 4 6 9x y xy x y x y x y− + + = ( ) ( ) ( )( )2 23 3 3 3 3 32 3 2 2 3 3x y xy x y x y xy xy− + ⋅ + =
����������������������������������������������������������������������� 9 3 3 98 27 .x y x y= −
������������
*�������'�������������%�������������������%��������������E�������������������������������������������� ���������������$ � �� ������ ���$ � �
����������� �� ���������E�������������������� ( ) ( )2 22 24 9 2 3 .x y x y− = −
( ) ( ) 2 2A B A B A B− ⋅ + = −
$-�M����� ������������� ( ) ( )3 33 38 27 2 3 ,x y x y− = − �� �������
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )2 2 3 32 3 2 2 3 3 2 3 .x y x x y y x y− ⋅ + ⋅ + = −
( ) ( )2 2 3 3A B A AB B A B− ⋅ + + = −
�-��������������� ����E����� �� �������� �%�����(
( ) ( )2 2 3 3.A B A AB B A B+ ⋅ − + = +
���
���
*�'�E�$��� ��
� �-�( )22 1 ;x + $-�( )2
2 1 ;x −
�-�( )22 3 ;x y− + �-�( )22 1 .x− −
� �-�( )32 ;x + $-�( )3
2 3 ;x −
�-�( )32 1 ;x + �-�( )32 22 .x y−
� *�'�E�$��� ��
�-�232
3 ;3
bab
⎛ ⎞−⎜ ⎟
⎝ ⎠$-�( )32 32 3 ;x y xy+
�-�( )324 5 .x y x−
� *�'�E���������( )2.a b c+ +
T��E��(�E�� ����� ,a b A+ = ������%���( )2
.A c+
� �-�( )( )1 1 ;x x− + �����$-� ( )( )1 2 2 1 ;x x− +
�-�( )( )2 22 2 ;x x− + ���-�( )( )2 2 2 32 3 2 3 .x y x y− +
���E������ ��� �E$������� �%��������������E���������������
� �-�( )( )22 2 4 ;x x x− + +
$-�( )( )2 4 21 1 .x x x+ − +
� ���E������ ��� �E$������� �%������ ��������E��������������(
�-� 2 3 2 32 4 2 4;
3 5 3 5xy x y xy x y
⎛ ⎞⎛ ⎞− +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠
$-� 2 21 2 1 1 4;
2 3 4 3 9x y x xy y
⎛ ⎞⎛ ⎞− + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠
�-� 2 2 4 2 3 3 2 42 3 4 1 9.
3 4 9 2 16x y xy x y x y x y
⎛ ⎞⎛ ⎞+ − +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ :����������������� ���� ��� ����� ��
������� ���� �� ������� (
�-�( ) ( ) ( )( )2 32 1 2 2 1 2 ;x x x x− + − − − −
$-�( )( ) ( ) ( )( )22 21 1 1 1 1 ;x x x x x x x− + + + + − + + −
�-�( ) ( ) ( )( )2 21 4 1 6 1 1 ;a a a a− − + − + −
�-�( ) ( ) ( )2 2 2.a b c a b a c− + + + − +
����� � � ��� �����
��������
#���� �� ��� ��� ����� ����� '�� %��� �� �� �� ��� �� ������ �� ������� ����� �������� ������� �� ��������� ��� ������� �� �������� ������������ �����������%�'�� ��� �� �����(��������������������� 4 5 2 210 :5 .x y x y
� � �� ���5 6 3 35 5
: .6 3
x y x y⎛ ⎞ ⎛ ⎞−⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
"�� ���E����� �(5 5 5 3 1
: .6 3 6 5 2
− = − ⋅ = −
( )5 6 3 3 2 3: , 0, 0.x y x y x y x y= ≠ ≠
&������� ��������� 2 31.
2x y−
������������� �� �������������� ������� ��(���� 3 4 2 2 2 27 7 7 4 1: .
8 4 8 7 2x y x y xy xy
⎛ ⎞− = − ⋅ = −⎜ ⎟⎝ ⎠
� �� �(��-� 3 4 42 4: ;
3 3x y xy
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
��$-� ( )4 5 4 312 : 5 ;
2a b a b− ��-� 6 7 4 42 11
3 : .3 13
a b a b⎛ ⎞− −⎜ ⎟⎝ ⎠
���
��������
( ): : :A B C A C B C+ = + ������ 0.C ≠
" ����������$���� � �������� ��� �������������$� �� ���� �(
���������� ( ) ( )2 32 8 : 2 ; 0, 0.a b ab ab a b− ≠ ≠
� � �� �����������(2 3 3 4 3 34 8 12x y x y x y− + �� �������( )2 ,xy−
��� � 0, 0x y "�� �E����� �(
&� ������� ��(( ) ( )2 3 3 4 3 34 8 12 : 2 .x y x y x y xy− + −
# �E$������� ��������������$������ ��( ( ) ( ) ( )2 3 3 4 3 34 : 2 8 : 2 12 : 2 .x y xy x y xy x y xy− − − + −
������ �������������� � �� ��( 2 2 3 2 22 4 6 .xy x y x y− + −
���������� ��� ���������� ���� ������� ���������� �$���(
������������������������������������������ ( ) ( )4 5 5 3 2 2 2 2 2 3 312 9 3 : 3 4 3 1.x y x y x y x y x y x y− − − = − + +
�� �������
��������� ��� ��� ����������'��� ������������������������ ��� ��� ������������ ������������ �������������� � ������ � ������ �%�������$��� ��
� �� �(
�-�( ) ( )4 5 5 6 4 4 4 420 30 10 : 10 ;x y x y x y x y− − − $-�� ( )3 3 4 4 5 5 2 212 3 5 : .
2x y x y x y x y
⎛ ⎞− + − −⎜ ⎟⎝ ⎠
��������
,���� �������0D5�(�53�@�%��� ��$ �� 7
������������+(������;��%�
'
��
%+%)
�(�(
� � �� �����������3 2( ) 6 15 10 2A x x x x= − + − ��
�������� 2( ) 3 6 2.B x x x= − +"�� �E����� �(
36x � ��� �������� � 23x �� �%����� 2 .x
�������� ( )B x �� �����E����� � ��� %������ 3 26 12 4 .x x x− +
�������� 3 2( ) (6 12 4 )A x x x x− − + ����
( ) 21 3 6 2,R x x x= − + − ���� ( )1R x �������$ ���
��������� ������� 23x− ���� 23x �� �%������� 1.− � �0�� 1− � �����E������������<%�&��
�������� �%������ �E$� ���������������C�%�&#���������������E ��
�! ����������������� ( ) 2 1Q x x= − &���������$ ����������� ( ) 0.R x =
&������ ( ) ( )( ) ,
( ) ( )
A x R xQ x
B x B x= + ��� ��������� ( ) ( ) ( ) ( ).A x Q x B x R x= ⋅ +
���
������������� ����������������(
���� �������� ���� �E$�������� �����$� �� �� ����������������������� ���� ����
����� ( ) ( )3 2 26 15 10 2 : 3 6 2 2 1x x x x x x− + − − + = −
����� 3 26 12 4x x x± ±���� 23 6 2x x− + −��� 23 6 2x x±� �
����������'
� �� � ( ) ( )2 3 210 7 3 9 : 5 3 .x x x x x− + + − +
���' �E����� �(
�������� 3 2 10x x+ + ��� ���� �� ���������� 2 3.x x− +�
���' �E����� �(
���%����������� �������������������� �� ������������� ����� ��������� ��(
������������� ( ) ( )3 2 23 7 9 10 : 3 5 3 2x x x x x x− + + − + = +
������������� 3 23 9 15x x x± ±�
������������������������ 22 6 10x x− +���������������������� 22 6 10x x− ±������������������������������������������'
#$ ���������6�� ���������������(3 22 10 ( 3)( 1) 7.x x x x x+ + = − + + +
��� � ��� �������(
�-�( ) ( )22 3 : 2 3 ;x x x+ − + $-�( ) ( )3 2 22 1 : 1 ;x x x x x+ + − + +
�-�( ) ( )23 7 : 2 ;x x x+ − + �-�( ) ( )3 22 7 4 5 : 1 .x x x x+ + + +
��� � ��� �������� ������������)� �3���3��� �����������-�3�
���' �E����� �(
� ( ) ( )3 22 10 : 3 1x x x x x+ + − + = +
3 2 3x x x− ±�
��������� 2 10x x− +������� 2 3x x− ±��������������������� 7
�� ( ) ( )2 22 :x xy y x y x y− + − = −
���������������� 2x xy− �
����������������������� 2xy y− +
����������������������� 2xy y±�
���������������������������������'
# �E$������� �%������
( )2 2 22A B A AB B− = − + ������������%����
� ��( ) ( )2 22 : ,x xy y x y x y− + − = − �� '�
( )22 22 .x xy y x y− + = −
��
�� �� �� �����(
�-�( ) ( )2 4 4 : 2 ;x x x+ + + $-�( ) ( )3 2 2 33 3 : ;x x y xy y x y+ + + +
�-�( ) ( )2 2 : ;x y x y− − �-�( ) ( )3 3 2 2: .x y x xy y+ − +
������������
*���������������E�������������������� � �%������������ ��������������������� �������
������ ( ) ( )2 2 : ;A B A B A B− − = + ��� ( ) ( )2 22 : ;A AB B A B A B− + − = −
������ ( ) ( )3 3 2 2: ;A B A B A AB B+ + = − + ��� ( ) ( )3 3 2 2: ;A B A AB B A B− + + = −
�������������������� ( ) ( )3 2 2 3 2 23 3 : 2 .A A B AB B A B A AB B− + − − = − +
� ����������������������� ��� ������������������������������� ��� ����������� ����������������!��
���
� ,���� ������ ���� � �����
��≠�Q��3�≠�Q�
� �� �� ������ ���������� ���������� ���≠�Q��3�≠�Q��-�( )3 5 4 4 2 2 2 22 3 5 :7 ;x y x y x y x y− −
$-� 4 4 5 5 6 6 3 32 1 4 1: .
3 3 3 9x y x y x y x y
⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
� ��� � ��� �������(
�-� ( ) ( )4 22 5 14 : 2x x x x+ + − + ������ 2;x ≠ −
���( ) ( )4 3 22 3 4 3 5 : 3 ,x x x x x− − + − − ����� 3;x ≠�-� ( )5 2: 1 ;x x + ��-�( ) ( )5 1 : 1 ,x x− − ����� 1.x ≠
� ,���� ������� ��$ �� ���������� ��������������� � (
�-�( ) ( )3 24 2 1 : 2 ;x x x x− − + −
$-�( ) ( )4 3 2 22 3 5 3 : 2 3 .x x x x x x− + − + − +
�-� ( )3 4 2 32 : 5 ;x y x y− $-� 4 32 4: ;
3 9x y x y
⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠
�-� 5 3 51 12 : .
2 2x y x y
⎛ ⎞− −⎜ ⎟⎝ ⎠
��������
���$���E����� ( )A B C D AB AC AD+ + = + +�����E$������� ����������$���� �M$����������������$�������
( )3 2 1 .x y− +
"� �� ( )AB AC AD A B C D+ + = + +��������������������E$����������������$������ ����������-�F3����#
� � M$��� ����������E� ������� ����������� 3 2 23 6 9x y x y x− −
"�� �E����� �
������0�������� ���� ����������������$�������� %��� �� � �
�� ���� ��������$���������� ��� ���� �� ��������
#������� ����� �� ���� ������ ������ ����$����������� � ������������
��
>��E$��� ����������������E� ������� �����������������������'�� �����������������E� �� ������'��F������E� ������ �������E$���� ����
��� ���������� 3 2 23 6 9x y x y x− − �� ��� �������� ������� 2 22 9x y xy x− − � �������������������������������� ( )2 23 2 3x x y xy− −
��������������������(� ( )3 2 2 2 23 6 9 3 2 3x y x y x x x y xy− − = − −
� M$��� ����������E� ������� ��������� �(
�-�� 2 2 3 3 45 10 15 ;x y x y xy− + − $-� 1 23 6 12 .n n nx x x+ +− −
��������
���� ( ) ( )2 ,x y a x y+ + + � �E�� ��������,x y A+ = %������2 .A a A⋅ + ⋅
( ) ( );A B A B B A− = − − + = − −
( ) ( )( ) ( )22 2.A B B A B A− = − − = −
"� �������-�( ) ( )3 3?A B B A− = − −
�������������$-� ( ) ( )4 4?A B B A− = −
� � ���������<��)�3-�/��<3�)��-E$��� � ��������E� ������� ����
���E����� �(
M�� ������� ,x y A y x A− = − = − ��� �%�������⋅ $�-���⋅ $���� ��������$%��-��&## �E�� ������������ ��%�����
( )( ).x y a b− −
������������������ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ).a x y b y x a x y b x y x y a b− + − = − − − = − −
� M$��� ��������E� ������� ��������� �(
�-� ( ) ( );x a b y a b+ − + ���$-� ( ) ( );x a b c y a b c+ − − − − + �����-� ( ) ( )1 1 .a x y b x y+ − − − +
��������
# �����E����� ������ � � ���� x y+%�����2 2 .x y bx by+ + +
( )2 2 2 ;x y x y+ = + ��� ( ).bx by b x y+ = +
#$��������$���E�� �� �������� �
8���%���7
� � ������������3������E$��� � �������E� ������� ���#
"�� �E����� �(
�������������������'������� ����E� �� �����$������� �%�����(
( );ax ay a x y+ = + �� ( ).bx by b x y+ = +
���%����� ( ) ( ) ( )( ).a x y b x y x y a b+ + + = + +
M������� ����������������%�� �� � �� ���������������� ��������������� �
���������� �� �� ������������(
( ) ( ) ( )( ).ax ay bx by a x y b x y x y a b+ − − = + − + = + −
���
� M$��� �������� .ax bx cx ay by cy+ + − − −
��� � �E����� �(
� ( ) ( ) ( )ax bx cx ay by cy a x y b x y c x y+ + − − − = − + − + − = ( )( ).x y a b c− + +
�����'�����$������������ ��������������� �������(������������������������������������ ������� ���� ���
� M$��� ��������E� ������� ��������� �(
�-� ;ax ay by bx− + − $-� 2 2 2 ;x xy x y− − + �-� 2 2 .ax bx bx ax a b− − + − +
���
� �-�2 2 ;x y+ $-� 15 20 ;ax ay− − �-� 3 24 6 ;a a b− �-� 3 3 2 24 8x y x y� �
� �-� 2 25 20 5 ;x xy y− − $-�3 9 12 .ab ac ad+ −
� �-� ( ) ( )7 ;a x y x y+ + + $-� ( ) ( )7 2 ;q p q p q p− + −
�-� ( ) ( )2 3 5 3 ;m x n x− − − �- ( ) ( ) ( )22 a b a b a b− − + ⋅ − �
� �-� 2 ;x xy ax ay+ + + �������$-� 2 3 3 ;a ab a b− − +
�-� 25 10 2 2;ax ax bx b x− − + − + ��������-� 2 2 4 5 3 43 3 .xyz x y x y x y z xy z+ + + − −
������ � � ��� ����������� � �������������������� ��������������
��������
( )( ) 2 2A B A B A B− + = − ������%�������������E��������������
@��� ��$���E��
���������� ( )( )2 2 ?A B A B A B− = − +
� � M$��� ��������E� ������� ����������� 2 4.x −
���' �E����� �(
����������� �������������� �������������
� �3��
M$��� ��������E� ������� ��������� �(
���
J���E�� ( )( )2 2A B A B A B− = − + ������%����������E$���������� �E�� �������� , 2A x B= = �� � E$������%��������%�����(� ( )( )2 2 24 2 2 2 .x x x x− = − = − +
M�������������(� ( ) ( )( )22 216 9 4 3 4 3 4 3 .x x x x− = − = − +
� ���������%������������������ � �(��- 2 25;x − ��������$- 2 24 9 ;x y− �-� 225 1.x− +
� M$��� ��������E� ����� � ��( ) ( )2 2.a b c d− − −
���' �E����� �(
# �E$������� �%������ ( )( )2 2A B A B A B− = − + �� ���� � ��%����E����E�� ���������A a b= − &
B c d= − ��� ��(
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2a b c d a b c d a b c d− − − = ⎡ − − − ⎤ ⎡ − + − ⎤ =⎣ ⎦ ⎣ ⎦
( )( ).a b c d a b c d= − − + − + −
� ���������%������������������ � �( ���������%������������������ � �(
�-� ( )2 2 ;a b c+ − ��$-� ( )22 ;a b c− − ����-�� ( )2 24 ;x y y+ − ����-� ( ) ( )2 216 25 2 .x y x y+ − −
��������
( )( )2 2 3 3A B A AB B A B− + + = − �
( )( )2 2 3 3A B A AB B A B+ − + = + ������%�����
��������E��������������
8�������' ����$���E���(
( )( )3 3 2 2A B A B A AB B− = − + + �
( )( )3 3 2 2 ?A B A B A AB B+ = + − +
� � ������ ��� %���� ��� ������������ �� 3 8x − �� � 3 125x + �
���' �E����� ��
J���E���
( )( )3 3 2 2A B A B A AB B− = − + + �
( )( )3 3 2 2A B A B A AB B+ = + − + �����%�����
����E$������
�����'�� 3 3 38 2x x− = − �� � 3 3 3125 5 ,x x+ = + ���� �E$������� �%������ ��������� �����E$������ ����� � �%�����(
( )( )3 3 3 28 2 2 2 4x x x x x− = − = − + + ����� ( )( )3 3 3 2125 5 5 5 25 .x x x x x+ = + = + − +
� M$��� ������ �(
�-� 3 1;x − ��$-� 3 38 ;x y− ��-� 3 38 ;x y+ �-� 3 364 125 .x y+
���
� ����������������������E� �� ������ ���� 3 356 7 .x y−
���E����� �(
@�������� ����������F�����3�������������$ �������������� ��=� ��� �� �����E� ����������$������������������� ��(
( )3 37 8 .x y−
#�� �������������������$ �� ���������������� �E$������� �%��������������������� ���$ � �%�����(
( ) ( ) ( )( )33 3 3 3 3 2 256 7 7 8 7 2 7 2 4 2 .x y x y x y x y x xy y⎡ ⎤− = − = − = − + +⎣ ⎦
M$��� �����������������E� �� ������ ������������( ) 2 2 2.a b x ay by+ − −
# ���������� ��������� �� ��=� ��� �� �����E� ����������$�������������������� ��(
� ( ) ( )2 2 .a b x y a b+ − +
# ��=� ��� �� ������� ��������E� ��������� �����������������%�����(
� ( )( )2 2 .a b x y+ −
�� �������������� ����������' �������������������� �������������%���������%�����(
� ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2a b x ay by a b x a b y+ − − = + − + =
������������������������������������������������������������������������������ ( )( )2 2a b x y= + − =
������������������������������������������������������������������������������ ( )( )( ).a b x y x y= + − +
>����%��������������� � �(
�-� 2 2;ax ay− $-� 3 ;ax a+ �-�( ) ( )3 3;a b x a b y− + − �-� 4 37 7 .x xy−
���
� �-� 2 2 16;x y − $-�( )21;a b− − �-� ( )22 .x x y− −
>����%�������������������E� �� ������ ��������� ����������(
� �-� 3 38 ;a b− $-� 3 3 3 1.a b c +
� �-� 2 2 2 2 ;ax bx ay by− − + $-� 3 3 3 3.ax bx ay by+ − −
� �-� 3 2 2 3;x x a a+ − − $-�( ) ( )2 2;a b c x y z+ + − + − �-� ( ) ( )2 2
4 9 .a b x y− − −
���
������ � � ��� ��� �������� � ������������������� ������ ��� �
��������
J���E����( )2 2 22A B A AB B− = − + � � ( )2 2 22A B A AB B+ = + + ����� ��� ����� ��%��������������E�������������
8�������' ����$���E���
( )22 22A AB B A B+ + = + ��
( )22 22 ?A AB B A B− + = −
� � M$��� ��������E� ���������2 4 4x x+ +
"�� �E����� �(
J���E��� ( )22 22A AB B A B+ + = + �����%����������E$������
" ����� , 2A x B= = �� �%�����
( )22 2 24 4 2 2 2 2 .x x x x x+ + = + ⋅ ⋅ + = +&������� ( )22 4 4 2 .x x x+ + = +
"�� ��� (
� ( )22 4 4 2x x x− + = −
� � �22 8 4 2x x x� � � � �������'�� 8 2 2x x− ≠ − ⋅ ⋅
� ( ) ( )22 24 4 4 4 2x x x x x− + − = − − + = − − �
� ���������%������������������$����������� �(
�-� 2 6 9;x x− + $-� 2 24 20 25 ;x xy y+ + �-� 2 212 4 9 .xy x y− −
� M$��� ��������E� ����������� 2 22 .ax axy ay− +
���E����� �(
���=� ���������E� ���� ����$�������������������� �%������ ( )2 22 .a x xy y− +
�� ���������������������������$��������� ��������( )2.x y−
&������� ( ) ( )22 2 2 22 2 .ax axy ay a x xy y a x y− + = − + = −
� ��� ��E$�������� ������ � (�-� 2 22 4 2 ;x xy y+ + $-� 3 2 2 37 28 28 ;x y x y xy+ + �-� 4 2 3 3 2 49 18 9 .x y x y x y− +
� >����%������%����������������������� 2 2 22 .c a ab b− − −
"�� ������%������(
�������������%������ ( )2 2 22 .c a ab b− + +
�� ���������������������������$������� ����������� ( )22 .c a b− +
M$������%��������������������� �������� �� �%������� ( ) ( ) ,c a b c a b⎡ − + ⎤ ⎡ + + ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ��� �������
�������������������( )( ).c a b c a b− − + +
���
#����������� �� ��������� �$������ ��������(
( )2 2 2 24 4 1 4 4 1y x x y x x− + − = − − + =
������������������������� ( )22 2 1y x= − − =
������������������������� ( ) ( )2 1 2 1y x y x= ⎡ − − ⎤ ⎡ + − ⎤ =⎣ ⎦ ⎣ ⎦������������������������� ( )( )2 1 2 1 .y x y x= − + + −
� M$��� ��������E� ������� ��������� �(
�-� 2 22 9;x xy y− + − $-� 2 2 2 2 25;a b c abc+ − − �-� 2 21 2 .x y y− − −
���
� �-� 2 24 4 ;x xy y+ + $-� 2 225 10 ;x xy y− + �-� 2 220 25 4 .xy x y− −
� �-� 2 27 14 7 ;a ab b+ + $-� 3 2 2 38 8 2 ;x y x y xy− + �-� 3 250 20 2 .a a a+ +
� �-� 2 2 2 2 ;x y z xy+ − + $-� 2 24 2 ;p pq q− + − �-� 2 2 216 9 12 4 .m x xy y− + −
� �-� 2 2 2 9;x y xy+ − − $-� 215 2 .x x− −
M$��� ������ �(
������� ���� ������ ������������������ �� ���� ������ �����������
��������
�� ���� ���� �53�����(�5��3��0��.��2�� 53���������� ���� ���� �5D�����(�5��3��0��2��P�� �5D���� ���� ��� ���� �������$�����������5��3��0�� �2�X���� �'������ ��� ���� �����������������$�����<�#�-�����53�� �5D������������2�,�����#��������� �
�������������������� 3 26x y �� � 5 39 .x y
� � ,�����#����������� �
( )ab a b− �� ( )2.b a b−
���E����� �(
�� ���� ���� �� ( )ab a b− �����(
( ) ( )1, , , , , ,a b a b ab a a b b a b− − − � ( ).ab a b−
������������� � ( )2b a b− �����
1, , ,b a b− � ( ) ( ) ( )2 2, , .a b b a b b a b− − −
�� ���� ���� ����$����������������� � ����� ( )1, , , .b a b b a b− −�#�� ( ) ( ) ( ), .ab a b b a b b a b⎡ − − ⎤ = −⎣ ⎦
�� �������
�#�������������� ��������� � �%�� ������������������������ ���� �� �������$������������� ����� � ��� �F?������ ������� ����� �� �� ��� ��� �� �������������'������'�� ���������� �� E$���� ������� ��#���������� �������������� ������5����� ���� ���� ������ ������ ���� �����������������
���
� ,�����#����������� �� 2 2 2 22 4 ; 4a b ab a b− − ���� 2 24 4a ab b− +
"�� �E����� �(
����� �� ��������E$��� �����������E� ������� ����� �� ��(
( ) ( )( ) ( )22 2 ; 2 2 ; 2 .ab a b a b a b a b− − + −
"�� ����� ��#��������- �
� ,�����#����������� �( �-� 3 4 5 6 2 512 ; 18 ; 30 ;x y x y z x y $-� 2 2 2 2; 2 ;x y x xy y− − +
�-� ( ) ( ) ( )2 3 3 5 22 ; 2 ; 2 .x y x y x y x y x y x y+ + + �-� 3 3 3 3 3 2 22 2 ; ; 2 .x y x y xy x x y xy− − − +
��������
������02���������� ���� ����� �� �����������(5��3��0��.��2��P��53��5D�� �02��> ���� ������02����������%��������� ������� �
K� �����������%������������ �.��2��P�� �53�
� � ,����$��������� �����%���� ������$�������������� � �F��� I%��3&#
H������� � � �� ����$�������������������(
( ) ( )3212 ; 12 ;x x y x x y+ +
( )200210060 ;...x x y+
� ,���� !"���������� � (� 2 2 3 3 2 2; ; 2 .x y x y x xy y− − − +
"�� ����� �����(
����� �� ��������E$��� �����������E� ������� ����� �%�����(
( )( ) ( )( ) ( )22 2; ; .x y x y x y x xy y x y− + − + + − ��������( )( )( )22 2x y x xy y x y+ + + − ���������%�����������������$������������� � ���������
�� �������
!"��%�� ��������������������������E� �� ������ ������ �F?������ ������� ����� �� �� ��� �� �� ������������'������'�� ��� ������ �� �E$���� ���
� ,���� !"�� ������ � �-� 3 4 5 5 212 ; 18 ; 30 ;x y x y x y $-� 2 24; 4 4;a a a− − +�-� 2 2 39; 6 9; 27;x x x x− + + + �-� 3 2 2 23 12 12 ; 4 4 ; 3 12 .x x x x y xy y x y y− + + + −
� ,���� !"���������� � (�-� 5 3 2 4 2 5; 28 ;a x y a x y ������$-� 2 2 2 29 36 ; 18 72 72 ;a b a ab b− − + �-� 2 2 3 21; 2 1; 1.a a a a a a− + + + + +
���
� ,���� !"���������� � (�-� 5 3 2 4 5 74 ; 6 ;a x y a x y ����$-� 2 22 ; 2 ; 4 ;x y x y x y− + − �-� 2 2 3 33 6 ; 4 4 ; 8 .a b a ab b a b− − + −
� ,�����#��� � !"���������� � (�-� 2 3 25 ; 25 ; 10 25;a a a a a a− − − + $-� 23 15; 25;5 .a a a− − −
���
������������ ������� � ��������� �
��
�� �������
33 : 4,gjegj sisht
4ë �������� ���������� �
��� ���( ) ( ) 22 : 3 , ose
3
xx x
x
++ −−
�������� ��
@����� ���� ���� ���< ���� ��-����� ���E �7
� : ����� ���@�� �.������ ��
�� ���M
N�( )0N ≠ '� �������������$ ���
�� ��� �������������
@���������� �������������.��������� �������� ����
� �� � �� ���������� $��� �������� ������� $��� (
� � � � � � � � � � � � � � � � ( ) ( )3 7 2, 0; ; , 2 ; ; , 0 .
5 2 7
x a b a by a b
y a b
+ +≠ ≠ ≠−
� ,������ ���� �� ��������������� ��������� ������2
1
x
x −�� �
2
2
2.
x
x x−������������ ���������� ��������
�� �����������$���$����7
���' �E����� �(
������ ���� �������� ���� �� ������������������� ����������������� 1 0x� � ��� �������� \ 1x�� ������������� ���� ������������������� ������������������ 2 0x x� ���� �������
� �\ 0,1x�� �
�>� �����2
1
x
x −�� ��
2
2
2x
x x−�������� �����������$���$�������� �������������$��������� { }0,1 .� �
>� �������� ������%�E�������������� ����������� ������ ������� ������< ���� ������� ����������� ����� ��E ��-�>� �������� $��� �� ������� �$� ���� ��������������� �E�� ������������������������� � �� �� ���� ���� ����� ������� ������������������ �������������� ������������ ��� ����� ������������������������� ��� ���� ���������
������ ������ �����������$���$�����M
N�� �
P
Q�������
M P
N Q= �� �M Q N P⋅ = ⋅ ����
0, 0.N Q≠ ≠
� ,������ ���� �� ��������������� � ������ ���(
�-�3
3
x
x−+ $-�
3;
2 4
x
x +�-�
( )3
;1
x
x x
−−
�-�( )( )( )
3 1.
1 3 5
x
x x x
+− − −
������������
���
��������
>� ����2
3�E�� �� �� �3��*���
2 2 4.
3 2 6⋅ =
>� ����3
x�E�� �� �� � ( )0 .x x ≠
� � >� ����� ( )15
5
xx
x
− ≠−
E�� �� �� �����������#
"�� ��E����� �(
������ ����� � ���� ���� �����E����� ����������������������(
( ) ( )( ) ( )
2
2
1 51 4 5.
5 5 5 25
x xx x x
x x x x
− ⋅ +− + −= =− − ⋅ + −
�� �������
J���E��� ( )0, 0M M P
N PN N P
⋅= ≠ ≠⋅
��� ���� ��� ����MN �� ���E�� ������ ���������1�
� �������� ���� �������������� ����(��2 2
2, , .
1
y x
x x xy y x− + −"�� �E����� �(
��E$��� �����������E� ������� ���� ���� ���� ��� ��� ���������� �� ��(
����������������������� ( )2 1 ,x x x x− = −
����������������������� ( )1 ,xy y y x+ = +
������������������������ ( )( )2 1 1 1 .x x x− = − +
,������� !"������ ���� ����� �%������ ( )( )1 1xy x x− +
,�������E�� �� ��������� �������� ��
M�� �� ���������� � ����������E� ���� !"����������������%�� ����� ���� ���� �������� � �
����E�� ������ ��� ��� ���������(
( )( )( )
( )( )( )
2
2
1 1;
1 1 1 1
y x y xy y
x x x x y x xy x x
+ += ⋅ =
− − + − +
( )( )( )
( )( )( )
21 1;
1 1 1 1
x x x xx x
xy y y x x x xy x x
− −= ⋅ =
+ + − − +
( )( ) ( )( )2
2 2 2.
1 1 1 1 1
xy xy
x x x xy xy x x= ⋅ =
− − + − +
� �������� ���� �������������� ���(���-�2 2
,4 3
a b
y xy+���$-�
2 2, .
m n
a ab ab b− −
�������� ���� �������������� ���
��
��������
>� ���15
25� ��� ������� �A�����
15:5 3.
25:5 5=
>� ���� �3��� ����2
.4x
� � >� ����� ���
( )3 2
2
44, 4 .
16
a aa a
a
− ≠ ≠ −−
"�� ��E����� �(5���������������������������������������
�����2�������������������#����
( )3 2 24 4a a a a− = − ���� ( )( )2 16 4 4 .a a a− = − +
������ ����� � ���� �������� �������� �����������)�.�� �%�������2
.4
a
a +��� ������ ��� ������� ������������������������� � (
( )( )( )
23 2 2
2
44.
16 4 4 4
a aa a a
a a a a
−− = =− − + +
������������
>�� �� �� �� �� ��� ( )0M
NN
≠ � �� ��� ���� ������ ��� � � ���� ��� ��� �� ��� �
� ���������1�4��#�( ),M N �
�����
����� ������� �� ( )20 16 8 13
47 17 120, 0, 0
a b c aa b c
bca b c= ≠ ≠ ≠ ����������������������� �����
E$�������� ���������%�'�� �� �$�E������������
>� ����� ���(��-�( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )8 10 12
3 11 20
1 2 41, 2, 4 ;
1 2 4
x y zx y z
x y z
− + −≠ ≠ − ≠
− + −���$-� ( )
2
3
4 42 .
8
x xx
x
− + ≠−
��� � ,������ ���� �� ��������������� � ���
�� �������� � ����� $��� (
�-�3 5
;1
x
x
−+
$-� ( )( )2
;1 4
x
x x
+− +
�-� 2
5;
9
x
x y y
−− �-� 4 3
2.
x y
x xy
+−
� ,������ ���� �� ��������������� � ����� �������� � ����� $��� (
�-� 2 2
1, ;
9 3
a
a b a b− +��$-� 2 2 2
1 2 1, , .
1x x x x x− − +
� >� ����� ��(
�-�2 2 5
3 10;
x y z
x y z$-�
( ) ( )( ) ( )
3 2
5
1 1;
1 1
x x
x x
− +
− +
�-�3
2
2 2;
2 2 2
x
x x
−+ +
�-�2 2
.ax ay bx by
x y
− + −−
� >� ����� ��(
�-�21
;1
a
a
−−
��$-�2 8 16
;4
x x
xy y
− +−
���-�3
3 2.
2
x x
x x x
−+ +
��
����� ���������������� ���
��������
2 3 1 4.
7 7 7 7+ − =
�� �(3 5x
a a a− + ���� 0.a ≠
���$��� ���� ����� � ���� �����������7
� � K� � ������� ��� ��� (
� �2 3 1 5, 2 .
2 2 2
x x xx
x x x
� � ��
"�� ��E����� �(
2 3 1 5 2 3 1 5 2 7.
2 2 2 2 2
x x x x x x x
x x x x x
� � � � � � � � �� � � �
� � � � �
� K� � ������� ��� ��� � ( )2 20, 0, .
a b a ba b a b
ab b a ab ab
++ − ≠ ≠ ≠− −
���E����� �(
>� ���������� � ���� �������������
# �E$�������� � ���� �� �� ��(�� ( ) ( )2 2; ; .ab b b a b a ab a a b ab− = − − = −
!"���� ���� �� �����(� ( ).ab a b−
>� ������E�� ������ �� ��(�� ( ) ( )( )( )
( )2 2
.a b a ba b
ab a b ab a b ab a b
+ −+ −
− − −
��E$�������� ������������$� �� �� ��� ��� �� � ���� ������������� �%�����
( ) ( )2 2 2 2 22a b a b b
ab a b ab a b
+ − + =− −
�������� �������%������� ( )2
.b
a a b−
�������������� ����������(
( ) ( )2 2
a b a b a b a b
ab b a ab ab b a b a a b ab
+ ++ − = + − =− − − −
( )( )( )
a a b b a b a b
ab a b
⋅ + ⋅ − + −= =
−
( )2 2 2 2a b a b
ab a b
+ − += =−
( ) ( )22 2
.b b
ab a b a a b= =
− −
�� �������
# �$���E����� ( )0M P M P
NN N N
++ = ≠ ���� ���� �����������$� �� �� ��� ���
� � ���� �����$���$�����
���
� ,���������� ��� ���
�-�2 2
2 3 4 5;
m p m p
m p mp
− −− �������$-� 2 2
1;
9 3
a
a b a b−
− +���������-�
2 2 2 2
2 2.
x y x y
xy xy y x xy
+ − +− −
��������
2 5 2 5 10
3 7 3 7 21
�� � �
��� ���������(
�-� 25;
3� �������$-�
32 ;
3� ������-�
2 9
3 10� �
� � ���E��� ���(
3 2 2
3 2
2 2 2, ,
1 2 2 2
x x x a a x
a x x x x
+ − − + −+ − − + +
( )1, 2, 2, 1, 1 .a x x x x≠ − ≠ − ≠ ≠ ≠ −
"�� ��E����� ��
������ ����� � ���� ���� ��� ��� �����������E$��� �����������E� ������� ���(
�������������� ( ) ( ) ( )( ) ( )( )( )3 2 2 22 2 2 2 2 1 2 1 1 ;x x x x x x x x x x x+ − − = + − + = + − = + − +
�������������� ( ) ( ) ( )( ) ( )( )( )3 2 2 22 2 2 2 2 1 2 1 1 ;x x x x x x x x x x x− − + = − − − = − − = − − +
��������������� ( )2 1 .a a a a+ = +
����������� ��(� ( )( )( ) ( )( )( )( )
2 1 1 1 2.
1 2 1 1 2
x x x a a xa
a x x x x
+ − + + −⋅ ⋅ =+ − − + +
#��������� ������'��E����������������� ����������%���(
�( ) ( ) ( )
( ) ( )23 2 2
3 2 2
2 2 12 2 2 2
1 2 2 2 1 2 2 2
x x x a ax x x a a x x
a x x x x a x x x x
+ − + ++ − − + − −⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =+ − − + + + − − − +
�������������������������������������������������������������������������( )( )( ) ( )
( )( )( )2 1 1 1 2
.1 2 1 1 2
x x x a a xa
a x x x x
+ − + + −= ⋅ ⋅ =+ − − + +
��� �������
������������� ����������� ��� �������� ������������� ����������������������� �� �������� �� ��� ������ � ���� ���������������� ���� �� �������� ��� ��� ��>� ����'������E ������������� ������������'�������� ��������E �������� ���� ����������� ��������������� �����E� ���� ����������� ���� ��� ������� ��
� �� ���������(
�-� ( )21
1, 1 ;1 1
a aa a
a a
−⋅ ≠ ≠ −− +
$-� ( )2 2 2
20, 0, .
a ab a b aba b a b
a ab ab
− +⋅ ≠ ≠ ≠ −+
���
����
2 5 2 7: .
3 7 3 5= ⋅
�� �� �����(
�-�3 9
: ;5 25
������$-�3
:7;5
������-�5
3: .7
� � �� ������ ����2
2
25
3
x
x x
−−
��
�� ���� �2
2
5
9
x x
x
+−
� ( )0, 3, 3, 5 .x x x x≠ ≠ ≠ − ≠ −
"�� �E����� �(
��E$��� ���������� ����� � ���� ���� �� ��� ���������� �� ��(
( )( )2 25 5 5 ;x x x− = − + �� ( )( )2 9 3 3 ;x x x− = − + �� ( )2 3 3 ;x x x x− = − �� ( )2 5 5 .x x x x+ = +
>� ���'���� ��� ������E ��� ��� ����� ����� ������ ����� ������������� ���� � +��� �������
�( )( )
( )( )( )
( )5 5 3 3
3 5
x x x x
x x x x
− + − +⋅
− +���� ������������ �������%������� ( )( )
2
5 3.
x x
x
− +
��������������������(�( )( )
( )( )( )
( )( )( )2 2
2 2 2
5 5 3 3 5 325 5: .
3 9 3 5
x x x x x xx x x
x x x x x x x x
− + − + − +− + = ⋅ =− − − +
� �� �� �����(
�-�2 2 3 3
3 2 2
4 8: ;
15 5
x y x y
b c b c$-�
2 2
3 3 2 2: .
3 3
b y b y
a y a ay y
− −− + +
�� �������
J���E����M P M P
N Q N Q
�� �
����� ��� : ( 0, 0, 0),
M P M QN Q P
N Q N P� � � � �
H������ ��������������E���� ��� ����������� ��� ����� $��� �
��������
����������������������������
22 7 143 .
5 3 5 157
⋅= =⋅
�����'��������� �������������(
��������-�
13 ;58
������$-� 3;
75
��������-�
35 .8
� >����%����� ����
��%�����
2
11
11
11
aa
a
+ +−
+−
"�� ��E����� �(
���
������������%������������ ����� � ���� ����� �� ��(2 21 1 1 2
11 1 1
a aa
a a a
− + −+ + = =− − −
�� � ( )( ) ( )2 2
2 2
1 1 1 21 1 .
1 1 1 1
a aa
a a a a
− + −+ = = ≠ ±− − − +
B�� ��
( )( )
( )( )( )( )( ) ( )
2
2
2 2
22 1 11 1 1; 2 .
2 2 11 1
aa a aa a a
a a aa a
−− − +− = = + ≠ ±
− − −− +
�������(�
( )( ) ( )( )
( )( )( )( )( ) ( )
2 2
2
2 2 2
2
1 1 1 21 2 1 11 1 1 1 , 1; 2 .
1 1 1 2 2 111 1 1 1 1
a aa a a aa a a a a
a a a aa a a a a
− + −+ + − − +− − −= = = = + ≠ ±− + − − −+
− − + − +
������������
>� ��� ���%������� ������� �������� ����������'������������������� ��������������� ���������� ������� ������������������ ����$� ���������� ����� ���� ������ �����E� ���� ����������������������� �����E� ���� �$� ��������� ���������������� �� ��
��� ��� ����� �(�2 2 2 2
3 2 4: .
x x xy xy
x y x y x y x y
⎛ ⎞+ −⎜ ⎟+ − − −⎝ ⎠
���E����� ��
������� ������ ������������� ������� ���� ���� � ������������� �%�����(
�( )( )
24 4.
x xy
x y x y
−− +
���������������(��( )( )
( )( )24 4,
4
x y x yx xy x y
x y x y xy y
− +− −⋅ =− +
����� 0, , .y x y x y≠ ≠ ≠ −
���������� ������� ��(� 2 2 2 2
3 2 4:
x x xy xy
x y x y x y x y
⎛ ⎞+ − =⎜ ⎟+ − − −⎝ ⎠
�( ) ( )
( )( )( )( )3 2
4
x x y x x y xy x y x y
x y x y xy
− + + − − += ⋅ =
− + ( )( )( )( )2 23 3 2
4
x y x yx xy x xy xy
x y x y xy
− +− + + − ⋅ =− +
�( )
( )( )( )( )4
.4
x x y x y x y x y
x y x y xy y
− − + −= ⋅ =− +
�� >� ������ � ��<��� ��� ����� �� ���������-(
�-� ;
x y x y
x y x yx y x yx y x y
+ −−− +− +++ −
$-�2 2
2 2 2 2 2 2
2 4 4 2: 1 .
2 4 2 4
x y y x y
x xy x y xy y x y
⎛ ⎞⎛ ⎞ − −+ − −⎜ ⎟⎜ ⎟+ − − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠
���
� �� � �-� 1 1;
a b a b+
− +$-� .
a b
a b a b+
− +
��� �
� ���E���� ���������� ������ ���(
�-�3
2
3 1;
1
a x
x a
+⋅−
���$-�2 2
2 2
3 3;
2 2 2
x y x y
x y x xy y
− −⋅+ − + �����-�
2 2 2
2
9 3: ;
a x a ax
a ax a x
− −− −
�����-�4 3 3
3 2 2
1 1: .
1 2 2
x x x x
x x x x
+ + + +− + − +
� ��� ��� ����� �� ���������( �-�
1 1
;a bb a
−
−$-�
2
13
.1
9
x
x
−
−
��� ����������������������������������� �
��
��������
�� �(2 3;a a⋅ � 5 3: ;x x � : .m na a
�������%�E �� ,na �a ∈� �� � ?n∈�
� � M$����� ������������� �������� %�'�� �� �$�E��������������
� �$��(����-� 5 5: ;a a ��$-� 3 7: .x x
&�� � �E�������� �����������%���(
��� 5 5 5 5 0: ;a a a a−= = ����� 3 7 3 7 4: .x x x x− −= =
����%�'���� 0a �� � 4a− �������������E$�����������%�E����� ����������%�'�� , .na kun∈� ���������%�'��%�� �������%�E�������� �(
0a �����1�� �� na− ����� 1na�������F�� { }\ 0 .a dhe n∈ ∈� �� ��� � ���
� �� �( �- 02 ; $-0
1
3⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠
+ ��- ( )02a + ���( )2a ≠ − +���- ( )0
2 �
� �� �(��- 23− + $-( ) 25
−− + ��- ( ) ( )32 0a a
−− ≠ �
���E����� �(
�- 22
1 13
3 9− = = + $- ( )
( )2
2
1 15
255
−− = =−
+������������- ( )( ) ( )
3
3 3 33
1 1 12
82 2a
aa a
−− = = = −− −
�
"�� �(� na− �� � ( )0na a ≠ ������������� ������
���
��������
K�����E�� ���������$������� ���� ��� ������ ����$��������� �� ���������� ��� ������� ��������������� ������'���� ���� � ���� ����
� � # �E$������� ������%�E����
1nn
aa
− = ���� �(��- 2 3;a a− −⋅ ��$-�( )32 .a−
�- 2 3 (2 3) 2 ( 3)2 3 2 3
1 1 1a a a a
a a a− − − + − + −
+⋅ = ⋅ = = = �
8?�����������%����7
���������� � ��������� � � ��� !!������ �" �������#����������������������!�����# ��������#�����������#�!!���������� ��������$������������� ������� �" �������#����������%���$�#��#��� ��
( )1. ; 2. : ; 3. ;nm n m n m n m n m m na a a a a a a a+ − ⋅⋅ = = =
�� ( )4. ; 5. .m m
m m mm
a aa b a b
b b⎛ ⎞⋅ = ⋅ =⎜ ⎟⎝ ⎠
>������ �����������( )m m ma b a b⋅ = ⋅ �
��� 0m = �� ��� ( )0 0 0a b a b⋅ = ⋅ ������ '�� � ( )01a b⋅ = �� 0 0 1 1 1a b⋅ = ⋅ = &� ��� �� � ( )0 0 0a b a b⋅ = ⋅
���m p= − � ( )0p > �� �� ( ) ( )( )
1 1 1 1.
m p p p m mp p p p p
ab ab a b a ba b a bab
− − −= = = = ⋅ = ⋅ =⋅
� �������������� �$���E�� ����� � (���- 5 3 2a a a−⋅ = +��$- 3 2 5:a a a− = +���-( ) 23 6a a−− = �
�� �������
�� ����� ��� �%�'������ �� ������������� ������E ��� ��������������� ��������� ���������� ������ ����������'���� ���� � �����%�'����� ��� �� ���������������
� ��� ���� ����� �� ���������(
�- 2 4 6:x x x− − −⋅ + $- ( )3 2 2 3:x y xy x y− − −⋅ + �-( ) 24 3
5
a a
a
−⋅
�
����F�� { }, \ 0a b∈� �� �����F�� ,m n∈� ��� �(
��� ���� ������� � ��������������������� �
�����∈���������������� �����������������
���
"�� ��E����� �(
��� ( ) ( ) ( )3 2 2 3 3 1 1 ( 2) 2 3 2 1 2 3 2 2 1 ( 3) 4 2: : :x y xy x y x y x y x y x y x y x y− − − − + + − − − − − − − − − − −⋅ = ⋅ ⋅ = = =
� �� ���� ���� ���� � �(����2
2
3
−⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠
����������2
4 12
4
−− ⎛ ⎞⋅ ⎜ ⎟⎝ ⎠
���������� 1 1 11 2 3− − −+ + �
"�� ��E����� �(
�-�( ) ( )
2 22
2 2 2
2
2 1 1 3 3 9
3 2 42 223 3
−⎛ ⎞ ⎛ ⎞− = = = = − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠− −⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠
�
!"��#
( )1 1, 0, .
n n
n n
n
a ba b n
ab aabb
−⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = = ≠ ≠ ∈⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞
⎜ ⎟⎝ ⎠
�
:���������� �� ���� ������������ � ������ � (
�-� 43 ;x y− $-�2 3
1 3 2
3;
4
a b
a bc
− −
− − − �-�1 1
2 2.
x y
x y
− −
− −
−−
��( )
( )( )1 1
2 22 2
2 2 2 2
1 1
1 1
y xxy y xx y xyx y xy
y xx y y x y x y xx y x y
− −
− −
−− −− = = = =−− − + +−
&������� 0x ≠ &�� 0y ≠ &�� .y x≠ ±
� :���������� �� ���� ������������ � ������ � (
�-� 2x y− + $-� 2 2 42 a bc− − −− + �-�2
1 2
2
3
x y
xy
−
− − �
���
� �� ���� ���� ���� � �( �-� 2 1 1 22 1 4 4− − − −− − + + $-�
02
1 1
33 2 1
21 4 2
−
− −
⎛ ⎞+ −⎜ ⎟⎝ ⎠− ⋅
�
� �������� ����� ������� ��5( �-�2 2
2 3;
x y
a b
−
− $-�2 3
2
5;
x b
c
−
− �-�1 1
2 2.
x y
x y
− −
− −
+−
� >� ������������� � ���� ��5( �-�1 2
2
4;
3
x
y
−
− $-�0 2
4 1
(2 3);
a a
a b
−
−
−�-�
2
2
3.
1
a
a
−
−−
� ����������� �������������%������ 10 ; , .ka a k⋅ ∈�
�-�3,5 + $- 0,006− +���������-�&��� �������������������� ���������Q�QQQQQQQQA0���
���
� ��������� � �����%�'��� �$�E����� ��������� ���� ���� �����������4�)3�
�-�� �43 15 2: ;a a a a� � $-�� �� �� �
252 4
220 9.
a a
a a
�
�
� H�������������� �� � � 2 2 1,P x x x� �
� � 2 3 2.Q x x x� � ,��������� �
�- � � � �;P x Q x �$- � � � �;P x Q x� ��- � � � �.P x Q x�
�������������������� ���
� ��� ��� ����� �� ���������(
�-� 5 2 3: ;x x x x⋅ ⋅ $-�( )3 5 2
6
:.
:
x x x
x x
⋅
� ,����%�'���� ��������
( ) 2 3 4 6 52 3P x ax y ax y x y= + + − ��� (
�-���������������� + $-�3������������ +�-����3������������� �
� ��� ����%��������� ��������(
� � � �� � � �2 21 1 1 1x x x x� � � � � � �
� ������'�����%����������������(
���-� ( )2A B− = $-�( )( )A B A B− + =
� �� ��������� �(
�-� ( )3 4 312 : 3 ;x y z xy z− ��$-� 4 4 3 32 5: .
3 6x y x y
⎛ ⎞ ⎛ ⎞−⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
�� �� �����
� � � �3 26 5 8 2 : 2 1 .x x x x� � � �
B���$�������������� �� �������
( ) ( )3 3 :a b a b− − ����
�-� 2 2 ;a b− $-� 2 2 ;a b+
�-� 2 2 ;a ab b+ + �-� 2 2.a ab b− +
�� M$��� �����E� ���(
�-� 2 3 2 2 212 8 4 ;x y x y x y− + ��$-� 2 212 27;x y −
�-� 2 24 4 1.a x ax− +
�� M$��� ��������E� ������� ��������� �(
�- 3 23 4 12;x x x� � �
$- 2 2 2 24 4 ;a x a x a� � �- 32 16x � �
�� ,�����#��� � !"����������� �(
�- 2 4 2 42 ; 6 ; 8 ;x y xy x y
$- 2 2 34; 4 4; 8x x x x� � � � �
�� ���� ��� ��� �a c
b d+ �����(
�-� ;a c
b d
++
$-� ;a c
bd
+
�-� ;ad bc+ �-�( ) ( ): .ad bc bd+
�� >� ����� ���(
�-�2 8 16
;4
x x
xy y
� �� $-�
3
3
8
8 2
x
x x
��
�
�� >� �����4
a������� ����%��������� ������
��%�����
�� >� ������ � �
2 3
1 3:
1 1 1
ax a x
x x x x
� �� � � � �� �� � � ��
�� ���� ���
�-�22 4
2 2;
a b a
c b
−−
− −
⎛ ⎞⋅⎜ ⎟
⎝ ⎠����$-�
1 22 2
3: .
ab a b
c c
− −− −
−
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
� >� ������ � ���1 1
2 2.
a b
a b
− −
− −
+−
� >� ������ � ���2
n n
n n
a a
a a
−
−
−+ +
���� .n ∈�
���
��������� � �� �� �����=� ������ ��� ����������$������������������������
������� � �����������������������������������
�� ����� ��� ���������� �����������
B���� ��� ������ ����� �����������������
:�������������� ������������������������������
:��������� ����'���� ������������������������
:��������� ����'���� ���$�����'���:��������� ����'���� ���������'�������
:��������� �����������������������������������
��
���
��
���
���
���
���
���
����� �������� � � ������� �
:��������� ����������������������������������� ���
����� ����� �����=� ���������� ����� �����E�� �� ��������������������������������
����� ����������� ����� ���E�� ��������
���
���
B� ������ ��� ������ ��� ������������������ ���
B� ������ ��� ���� ����$�������������������� ���
:��������� ������ ����������������������������� ���
:��������� ����E� �� ������������������������� ��
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
����������
����������
����������
����������
����������
����������
��������������
:��������� ����$���� ����E� �� ��������� �����������
����'��������%�� �� ���$ �� ��������� ������������������������������������� ��
����������
& ������� ����� �������� � ������������ �������
�����
��
���� ����������������$�������� ��� ��������������� %� &
�
� ���� ���� ��������� ��� ����� ���� ����������������� +��������������������������������� �� ������� ���� ������� ������� �������� ��������������� ��E ��� ������������ ����E��������
'���������� ������������������������ �
��� ���������������������������� �� ��� � �� ������ ����������� �� ���������������������%�E ��������� ��� ����������������� �������� ��� ����������������������������������������� ��������������� ��������� ������������� ��� ������@������ ���%��� ������������������� ����<���F������������������ -����������#
# �������������� ���������������������������������� �� ��������� ���������� ���� ��������� ���������������� ����E�� ������������<��������� ����-������������ ��������������� ��������������� ������ � ������������ �5�����$� ������������������4�������� ������������ ��� �� ���������� �������������������4K5�'� ����� ��������������������4������� �$�����03.������������������������������������������@�% ���� ���� ���� ��������� �� ������# ����������� ����������������� ������ �� � ����������������������$ � �� ��������<03.���4�03.QQ���-�
� ��������������� � ��� ������������������� ��� ��������������������������� ������������� ����(������� ������������$�������������� ���������������������� ������ ������������������������
� ���� ��E ���������������'������� �� ������E��������� ��� ������������������� ��� ������������������'��� ���� ������������������� ������ ����� �
���� ������� �b�b����������������$���� ���� ��������������������� ���������������������� ��������� ����
���%���������� �������bb������'������������������� ����� ���������������$�������������� ���������������������%�E�� ������� ��� ��������������� ���������� �������������� �'�������������E�� ������������ � �� � ����� ��� �������� ���F�����(����� ����,K �<� ���� ����Y�����Y� ����-�'������� �����%�E��������� ���#�* �<� ����Y��������Y%����Y� ����-��������������� ����� ���
" ���������%����������� �������������������������5P2Q�����B#����������5P2A�������� ����:��������������������� �� �������� ������������������������� ��� ��������������������������������$����� ��������������� ������� �� ���� ��������� ��� ���������������������� ��� ����������������%�E ����������������������������������� ��� �������'�� ���������=� �������$�E��������� � �%�E�� �
��
������
� ���
� �� �������� ���������
��� #������
�������
� ����
��� �
� ����
���� ��
#�
�
�
8
<
�
��
��������
��
��� ���� ������������ � �����
������ ���� �� �
%���� �������
#" ����
�������� %�����
���
��� "� ������ ��� ��� %�����
� ��
� ��
����
� ��
���
���
5
=
6
0
#
�
1810
� ��
� ��
� ���
����
����
���
���
�
�
�
μ
�
% ��
��
�
�
�
1510
1210
910
610
310
210
110
110−
210−
310−
610−
910−
1210−
1510−
1810−
������������� �� � �� ���� �����������������$ �������� � (
��������������� � �� ���������������$ ���5��������=� ���������������� � (�������<�-����%�����=����<H-����������� � � ����������<c-����%�'�������<"-������ ������� � ������� ��<!E-�����%� �� ����������<,-����� � ������� ����<�c-������ E��� ���� � ����� ��� �����<>-������������������� ������������<��-���������� �����%�'��� ��%�����<*-������������ ���� � ����� ���
������������� ��������������������������� ��� � � �� ���� ����=� ���� %�� ��� ����E���������� ���������� ���������� �� %��� � ��� ����� ���� �� ��� ������� ��� ������ ����������������$ ����3(
�� %������ � ������������������� ����� ����$����� ��� ���� %����� <���� ����� ��� �������%���������%����� ���-�
����� ������� ����� �������������%����� ��������������� ������ ��� �<0Q�����..������AA"��2Q�c��3.��� ���-�
����'���
����'���
���
���������� � �������$������ � ����������� ����������� � �� �� ��'�� ������������������ ���������$����� � �������� ��%����E����������������� ����������������� ����������������������
����� ����������$������< �-������������������ �� � �� ��� �����(
�
)��� ( ) 2a 100 m ,= ������������+
�� �����( ) 2ha 10000 m ,= ������������+
��������( ) 31 dm ,=� �����������+
���� �����( )t 1000 kg,= ���������+
���������, ������( )C ,° ����� �� ��������� ��������� �� �0 C 273,15K;° =
��$��( ) 5bar 10 Pa,= ���������� �<���� � ������� �� ������-�
��������� ������������������� ����� � (
��������( ) 610 m,μ −= ������������+
������� ������� ��� 32,832m ,= �����������+
��������������� ����� ���� �� 100 kg,= ���������
� ������������ ������ ����� ������� �E������� � ��������� ���� ������ �������������� F��������������������� ��������������� �����@������ � !J@�������E������������� �������������������
���� E ����(�������������������������������� �� ��������� ���� �� ��� �� �F������
5����������������������������� � �� (
)�5������ ( )yd 0,914m= �� �12 yd 11 m=
)�1yd 3= �����( )ft , 1ft 30,48cm=
)�1ft 12= ���F��( )in , 1in 2,54cm=
)�5����� ������ �� 1760 yd 1609,34m= =
)�5����� �� ��� �� 1852m.=
3��������������������������� � �� (
)�H����������( )sq yd �
)� 21sq yd 0,8354m=
)�������������� ������1�����( )acr ,
1acr 0,4047 ha.=
0���������������������
�������� � �� (�)��������$����( )cu yd .
31 cu yd 0,7635 m=)�������������� ����� � +��� ������ ������� � +
1��� ������ ������� � � 32,8315m .=
.������������������� �� �������
)�5������( ) 4,54345g = �
)�5���� � 0,25g 1,136= = �
)�5�$�� � 36g 163,57= = �
)�5�$�� ��( )bsh 36,35= �
)�5������ ��( )q 8= �$�� ��
)� ( )1 q 64 g 290,781 .= = �
���
���������������� ���
)�1 28 ; 1 453,6gqr lb lb= =
)�1 16lb = ���� ( ); 1 28,35goz oz =
)�1 16oz = ������ ( ).dr
A�3������� ��� �� �F������
)�5������$���( ) 373, 242grtrlb =
)�5 12trlb = ������ ( ); 1 31,1035gtroz troz =
�A�5��������������� ����
)�5��� �����<�������-����� E �( ) 1016kget =
)�1 20et = ��� ��� ����( )cwt ;1cwt 50,8kg=
)�1 4cwt = ������ � �( ) 112qr = ��$���( );lb
) 1 qr 12,7 kg.=
)�1 20tro = �� ��� ��� ( )dwt)�1 24dwt = ��� ���( )gr)�5������� 4= ��� ������������� �F�����(5������ 0,2053 .gr=
8�������������7
���������������
��'� ��������(�D�����3A����5P�R,7D����A����5.���
,����������������� � �� ��������� �� (�-�K�����������$-������+���-����7
� K��������� ����������������� �%�� �������� ���'��'� ���� �������������
������ ������� �$�����5A�����D5�����32��� ���AQ� ������.3"���������� �$�������������������������������� � � ��������������� �� ���� ������������ �����������'������������� � �������
������� � ���������������� �����(
����� ������������ �$���(�%�#"����(�#"&�� � ����� � &��������*�������������������� �$���+�A���� �5QQ���0"�� �2�"��3��� �50��+���� ����������� �$���+�A��+�0�3�+�6"+�� �� ����������� �$���(�.��6���5A���P�2��D��+�."A�"#
� 8%���������������� � ������������ � (��-�3����� �.����+���$-�D�����A2���� �53���+
�-�P"����"���+"+���-�2��� �P�7
� �H����������������������(��-�D���� �2���+�$-�53����2��� 30��+��-�53A����52���� �6�7
���������������������������� ����������������������������� ����������������������� �$�����2���� 6�����������2����������� �������������������������������6������������� ����������������
�������������� ������������������� �������������� ������ ������ ���������������� ������������������ �������������� ������� ������� �����$������������� �����������������
��������
���
� � ������������������ ��������������Q�63��� �7
&�� ���E������ ������� ��(Q�63����= 0,72 12⋅ ��� 8,64= ��
&�������Q�63��� ��4�D������5P������.����.D��������
���� ������0��������������������� ������������������������������ ����������������
��� ����� ���������'� �� �"������
� ������������������ ��������������Q�0D��� �7
� ���� ��������2������5.������P����02�������7
��������������� �� �������� �����E$�� ����� ����� ��������� �� E���������� �������������������� ���������������� ����������� ��������������� �������������������K� ��������
02����(�2Q�4�Q�2���-�,���
P�2����(�3.�4�Q�.�����/�5.�����
5.�.������(�0Q�4�Q�.D�����/�2�����
)&(+�����������;�'&�(��� ����� ��������������������$� �������������������� ������ ������������������������ �� ���������������'� � �������
� ���� ��������6������53������5A����3A�������7
� �������������0��� ��D������53������D����3.�������7
��������� ������������� ���+
���B E���������� ����������� ��� �����������������������������+
3��B ��������� ����������������� ����������������������������
)�D���
Q�2.��� 0,64 30= ⋅ ��� 19,2= ���)�5P���
Q�3��� 0,2 24= ⋅ � 4,8= ��
��.��
Q�D�� 0,8 60= ⋅ �� 48= ������
���
���' ���� ��������%��� ��;�3 12⋅ �������;�%)�����
-�+�����
((�������⋅ �%'������;��%�'�����-��������
�%%����������(����������)'��;�'&(���
-�+���
+&(�������(��;�'&%������
��������� ��(�0��� ��D������53������D����3.��������4�5003�0A������
�������������A���� �55������5.������.����A��������2�� ����7
��� ������������������ ������������000333��7
&� �������� ����� �������� ��������000333��+�����������$������ ������������������������������� ������������������ ��� ���������������$ �� �� ����������������������������� (
����000333���(�2Q�%������AAA0������ ��$ �� �.3��������AAA0�����(�2Q�%������P3��� ��$ �� �00�����
����P3��(�3.�%������0���� ��$ �� �3Q����������� ���(�000333���4�0�3Q�00����.3��
�� �������������������� ������������02.A.0��������7
�� ��� ������ ��� ������ ���� ����� ������ ����������.A3P���7
�����'��� �������������� �������%�� ��������� ��������� ��� ��� �5Q��� E������������ ���� ��� �����%����������� ������� ��������.A3P����4�.���A���3����P���
�� ����������� ��������� �������� ������������5.A20��7
( )14 lb : 28 0,5 gr 1 gr 28 lb= =3 gr+
( )3,5 gr : 4 = 0,875 cwt 1 cwt = 4 gr16 cwt+
( )16,875 cwt : 20 = 0,844 et 1 et = 20 cwt+23 et+
23,844 et.
�� ���� ��������� E �< �-�������30� ��52��d��0����5.��$7
���
���
������� ���� ������D����2���.�����A����� ���������
�������������������������� �� ����������0AD0�.2���7
�
�
��� ���� ����������0����D�����2���3���7�
��� ����������2���A����D����.���7�
��� ������������� 2 2 2 28 hm 5 dam 40 m 5 dm 7
�
��� ������������������ �����������.D3A023���
�
��������� �������� ���������������� ��� �����������30.A62D3Q��7
�
���� ��������������������������� �� ����������30A530�0A2���7
������������������ ��������������Q�A.�� �7
(� �������30� ��52��d��0����5.�$����� �� � ������(� ��30���52���0���5.�
&������� ��30���52���0���5.�4�30�D..� �
�� ���� ��������� E �< �-�������5A� ��5.��d��3����53��$7
�� ����$��������� ��0���3���52���.
3 et 20 = 60 cwt⋅+2 cwt
62 cwt 4 = 248 gr⋅+16 gr
264 gr 28 = 7392 lb⋅+4 lb
7396 lb.
�� ����$��������� ��30���52���0���5.7
�������������� ���!>���A� ��6��d��0����5.��$�5.�'��
��
����$��������� ��3Q���5.���0���557��
���
����� ����������������������
� �� ����� �(��$� �����E$�����������E����� ��� ��������������� ���� ����������L�������������� � �$������� ��
� ����������� ����� (���� � �0�� ����� �A� ������������������� � �(�� � �+� �������������������� ��� � �(� � �% � ��� ��� ������� ����������� �������� 7
K������$� �� ��<E$���� �-���������� ���� ������������� �������������� �����������'����������� ��� ���������� ��������������� ������ ���������$��� ��<E$��� �-�
�� h� �����%�� � ������ ���� � �����(�� � �����+ �(�� � �����(�� � �����% �+
*�� � ������� � ����) � ��;��+�� � ����� � ���) �
� ���� �������� ��������������������2���A06�������������)0���5DQ������������������ ��� ���A���.3Q���� �������������������������� ������ �������� �����7
� & ������ ���������������� �������������� ������������ ����E�����������2������ �3D����������������55������ �5A���������������������������5Q������ �.Q���� �����������$ ��������������E����� � �� ����������� ������� ���������� �E�����.A�������7
+
�)�������+��
������������
�'������('��
�*������+%���;��+�������%��
−((������)'��
�+�������%��
�)������%*��
� ���� ����������������0����������������������������2���PA������������A���.3Q����� ����� ���.���3DQ�������������������������������� ��������������0���.A2����
�-� ������������ ��������������7 $-� �����������$ ����������� 7
� �� �����������( )45m 26cm 4 mm 12⋅
#������ ���( )45m 26cm 4 mm 12 540m312 cm 48 mm = 543 m 16 cm 8 mm.⋅ =
#������ ������45m 26 cm 4 mm = 45264 mm, �� ��(
( )45m 26 cm 4 mm 12 45264mm 12 = 543168mm 543m16cm 8 mm.⋅ = ⋅ =
� �� ���������������( )3h 45 min 6 s 8.⋅
���
� ������ ������ ������������ ������������� �E����D���6����2������%�� ����%�������� �E����������������7
8m7 dm 6 cm 8,76m; 8,76m : 3 2,92m.= = �&�������( )8m 7 dm 6 cm :3 2m 9 dm 2 cm.=
�� ��( )2 2 232m 46dm 15cm : 5.
(� ����������� ������A�� �������E���������������� ������ ������������ ������������������� ������2����E���������������� ������ ������������ �������� ������������������ ����������� ����������� ������� ���������������� � � �� ���� �� ��K���������E������ ��� �������������������� ���� ���������� �� ���� �� ������������������������� ������������� ������������������������������ ����������������������� �������������� ������
#������ ������0���6���AQ������ ������������� ��� ���������� ���� ����� ��� ��� �� ������� ���� ���������$���������5���3���AQ���7
&������������ ��������������������������� ��������� �������
3t 7 hg 50 kg 3750kg, 1t 2 hg 50 kg 1250 kg; 3750 kg :1250 kg = 3.= = �&�������� ���� ��0��������
�� 8�������5�����������������������53QQQ�� ������ ��� ������� ��������� ������5Q����������%��������$������� ���� ���� +�.���5Q���� �5.��7
"������������������������ 34 0,1 0,14 0,056m .V abc= = ⋅ ⋅ = �"���������5Q������� �����3 310 0,056m 0,56m .⋅ = �����'��F�������5���������53QQQ�� ������� ��(�0,56 12000 6720.⋅ =
&�����������5Q��������� ��������� ��263Q�� �����
���
��������������������������� �����������0�� ��D������� �3A�������������������.��� ��6������ �35����������� ������������� �� ��� ��6��� ��.������� �56��������� �����E��� ���������������������������
���� ���������������5A���DQ�����������������������������D���3.A����� ������������$ ������� �7
��
����%�'��� �>���������A�5.�⋅ 5Q�����������������%�'������ ������0�2A�⋅ 5Q� ���� ����
���������������� �������7
�
������� ��������������0�������%(����������2A���6Q������������53Q���3Q����� ����� ���D3��2Q����� ��� ������ ����������������������� �F���������%��������.DQ�� ����7
�
�� �(
�-�( )3 3 316m 25dm 240cm :15;
$-� ( )5t 420 kg 8 hg 4 dag 20;⋅�-�( )25 h 2 da 8 :8;� � ��-� ( )2 2 2124m 18 dm 40cm :16;
-�( )24 8 5 min : 5.ditë orë
�
8�������5���������������������������PQQQ� ������ ��� ������� ��������� ������0Q������� �%���������$������ ���� ���� (�-�A���0Q���+�5Q���+�53���+$-�0���2Q���+�0Q���+�.�A���7
�
���
������������������� ���
� ���� ���� ��������� ��� �� �������'�� ��� �����L��������������������������� ������� ���������������� ���������� ��������������������� ��������������� ������������� ���� ���
�� ������������� � ,a
b�����'� �������������� �������������������������������������
"� ��� �����������(������������������ �������'��%�� ��� ��� �������� ���� ���� �'� �����%��������� ����������#�� %��� ������ ���� ������ ��� �)�
� ,����� %��� �� �� ������ ��������� ������ �(
4 1520:5, : , 100 m: 25 m 24 kg :6 kg.
3 5dhe
8%�����������7
����������������� ��������������� �������� %��� ����������� �����������$���$�������� ��������)�4�.�
&������� ���������$���$�������� ������� %��� ��������������������� ��������
� ��������������� ������ � ���������$���$����(
�-�D(53�� �5.(35+ $-�55(33�� �00(22+ �-�33(00�� �00(..�
����������������� ���� ������������������� ����� ��� ��������
� ����������� �� ������ ����(�����1:5; �����100:1; �����3 7
: .4 5
X���� �'������ ������������������ � ��������� ������������ ��� ������������$���$������ �5�
B�����������$������ ������������� �'� ��������������������������������$������ ���� �� ���������������� �'� �����"���� �
����� �$�������������� ����� ��D(0�� �0(A����������������������� �������� ���E�����D�(�0�(�A�
��������������������������E������� ���� ��������� ���������������%���������+�
# ��������������������������������� ������ ������ ���+��������+�� ���+�
� �������������������� �� ��� ��������������������� ��������� ���E�����5(0(A(6�
# ����������������������������������������� ������� ���(�5(0��5(A��5(6��0(A��0(6�� �A(6���������� ���� ��� �������� � (
"� ��� ������������������������ ������������������� �����������E����� ��� �������� ���������������������������������$���$������ �Q������������ ������� ���� �������������E�� ���������� ������������� ���� ����������� ������
��
���� �������� ������� � ����������������� �� ��� �����
��������������������������� ������ ���� ��������� : ,a k b k⋅ ⋅ ��� �������� : ,a b
k k����)������������� ����
���������� ��Q�
����������������������� ��(�� 1 2 3 1 2 3: : : ... : : : : ... : .n na a a a a k a k a k a k=
# ��%����E����� �������� �� ������� ������������ ������
� >� �������� �(��-�1 2
2 :1 ;4 7
��$-�2
5:1 .3
���1 2 9 9 1 1 7 4
2 :1 : : : 7 : 4.4 7 4 7 4 7 28 28
= = = =
$-������'��� ��
: ����� ������������� �� ��� ����� 1 1 1 2 2 2: : .a b k dhe a b k= = �# �����E����� ��������� ����������������� %���������������( ) ( )1 2 1 2 1 2: ,a a b b k k⋅ ⋅ = ⋅ �'��'� ���������� $� �� ��� ��� ���������� 1 2 .k k⋅
�
����� ������ �� ����$��������������%�� ��� ������ �� ��� �������� � (2:3, 5:6 9:10.dhe
� H�������������� �(�� : : .a b k dhe c d k= = ��������$���$������ ��� ����� ���������%������$���E���(: :a b c d= �������������� �� ���������� �'� ���� ������������ ��� �����
&��������������� ����$���$��������������� �� ����� �$���E�����%����������� ������
�������������+�� ����������������� ������ ��������� ����+�����������������������������������������������+����������������� ���� �������������������������
@��������������� ����������<��� ��-�'� �� � ������ ����������������������������������� ����� ���<��� +-�Y����� ���$ ��������M������������� ��������������+������� = ��9�������������� ������������+�������;�
�
�������� ��������32 :8 20 : 5= �������������� ��������� ������������ ��������� ��������� ���$� ������� ��������� ���� �%�������
32 5 160 8 20 160.dhe⋅ = ⋅ = ������������� ���������$���$����������������� ������������������� ������
K� ���������������������������� �������� ����� � (
> �� ���������� ����������������������� ������������������$���$������ ��������� ��������� ���$� ������
# �������� ������� ������������ ������ ���������a c
b d= �������E����� ���������� ��������+#
���$�E������������ �� ����� ���������������� ����������������� ���������� �������������� �������������������
��
,������ ���� ����������� �������(�-� : 4 8 : 2;x = �$-�7 : 12 : 4;x = ��-� 4 : 2 :3;x = ���-�3:5 6 : .x=
��� 2 4 8, 2 32, 16.x x x= ⋅ = =
����� ����������+�������� ������ ���� ������ ����� �(
��� : : ;a c b d= ���� : : ;b a d c= ��� : : ;b d a c= ���� : : ;c a d b= ���� : : ;c d a b= ���� : : ;d b c a= ���� : : .d c b a=
X���� �'������ �� ������� ������� ������ ����� � ������ ������ ���� �$���E���������+�� ��������������!��������*)����3������������������!��� ��������&���������������������,��&������������!������,+&������������!����������������������������������������������!������#
���������� �������� ����� �'����� ��������$���E���.�⋅ 53�4�2�⋅ D�
������������+�������� ������ ���� �������� ����� � (
5-� : : ;a b ck dk= ��3-� : : ;ak bk c d= ��0-� : : ;ak b ck d= ��.-� : : ;a bk c dk= ��A-� : : .ak bk ck dk=
����� ��������������������� ���������������������� ��������������$� �������� ������������������� ��������E ��� ��� ��� ��� ������������������������������ ������ ��E ���
�� �����'��������� ���������� �
# �������� ������� �� ������ ����� ������������ ������
�� >� �������� ��������2 1 7
: : .3 5 15
x=
������E������������� ���������������� �5A�� �%������7
10 :3 : .15
x= �# �����E����� �����������������
� ������������������� �����������%������� �5A��� ���5Q�(�.A�4���(�6�<����� ������� ��� �������� �A-�
3�(�P�4���(�6�
�� >� �������� ����� �(��-�1 2 3
: : ;6 5 8
x= ���$-�3 2 1
: : .4 3 7
x =
� ����� ����� ��'�����'�������� �����������'����������� ����� �����������
H�������������� ����� �� ��� ���(� 1 1 1 1 2 2 2 2: : : : .a b c d dhe a b c d= =� �# �����E������ ��������� ��� ���������������� ����������������� ������ ����� � ��%�������������� ����� ����� ��(
( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2 1 2: : ,a a b b c c d d⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ��� �������� 1 1 1 1
2 2 2 2
: : ,a b c d
a b c d= ����������'� ���� ������������� $� ��
&���������� �������������� ��������� ����� �����E ��<�� ��� �-��������������������%�� �������������� ��������������'� ���� ����������� $� ��
���
�� ,����3���������� ����� �(��9: 5:7 : 3:10.x dhe x y= =
���
,����� �������������� �(��-�8: 7;
$-�3m :9m; ��-�7cm : 3g; ��-�2
4km : m;5
-�2
: 0,34;3
%-�11m :1l; ��-� 34m :8.
@���������$���$���������� �(
���124:31 4,72:1,43;dhe ���� 1 2 27:1 : ;
5 3 5dhe
���4m:5dm 560cm:7cm;dhe �"��3 4
: 3,70:2.4 5
dhe
>� �������� �(���-�7200 : 2700;
$-�6,24 :3,48; �-�1 1
6 :5 ;2 5
�-�4m : 5dm; -�16dl : 24hl.
B���� ������ � ������%���������'�������������������� ���5(�-�3: 6; ����$-� 45:0,90; �����-�0,25: 0,07;�-�20m : 4cm; -� 6 h : 8 ;v je t �%-� hl7dl : 28 .
�
�
���� ����$�� �<���������%��������� �������������� ���� ���� �� ����� ����$������DQ���� 2Q�������� �������� ����<������PQ���� �AQ������������� �� ��������� ������� �
�
�� ����������� ������������������(
�-� : 7,x ��� ��� ��� ����������3+
$-�36 : ,y ��� ��� ��� ����������.�
�
@���������%�� ������� ������� ������ �(
�-�0A(�A�� �.3�(�2+ $-�5A�(�0�� �5D�(�2+
�-� 53� (� 0� � � 3Q� (� A+� �-� 2�.D� (� 3�3.
� �6�03�(�0�5.+
-�2 4 4
:4 :4 ?3 3 5
dhe
�
"����� ����� �� ��� ������� � � �����94;��
%����������� �����(��-�7 :12 14 : 4;=
$-�8:3 7 : 4;= ��-�0,25:0,50 13,8 : 27,6?=
,������������� ���������������� �����
��-�5: 3: 21;x = ���������������$-� :18 4 : 24;a =
�-�3
3 :3,5 : 0,75;4
x= �������-� 42 : 7 18: .p=
�������������������� ����� �� ������ �� �'�
%�� ����������� ����������(�3�������#
��
�
�
��%����������� �������� ����$�����9 : 15 : 70,x xy = ��� �����%�������9 : 3:14,y = ��� �������
�9 14
42.3
y⋅= =
���
�������� �����$�������������� ������������
�
�������� �
8?�����������7
8?���������� ������7
8?����� ����� � �� � ������ ����� � 7
,������ �������� ����������� ����� � �����7
,���������� ������ �'������������$���7
>����� ���� � ������� ����������� ����� � �� �������� ��������� ������� �������
� F��������� �����E���� �����%���� ����
��������� ��������a c
b d= ���� �(
1 1, .a c a b c d
gjegjësishtb d b d
+ ++ = + =
����� ���������%����������������� �� � ���������%���( ( ) ( ): :a b b c d d+ = +
�������������������������%�� �� � ������ ������( �� ( ) ( ): : .a b b c d d− = −
&������� ����� �� �%������������L��������������%��� ( ) ( ): :a b c d b d+ + =
( ) ( ): :a b c d b d− − = �� ����������� � ( ) ( ) ( ) ( ): :a b c d a b c d+ + = − −
� ������ ������
>�������������� ����� �� �%�������'� ���� ������������&�� ���������� �������� � ��������+��#
� ,��������������� ������(����-�( )3 : 3: 2;x x− = �����$-�( )2 : 5 :3.x x+ =
&��L������' ������������������E����� �� �� �������� ����(
������
( )2 3 3
6 2 3
6 5
6;
5
x x
x x
x
x
− =− =
=
=
��
( ) ( )3 : 3 2 : 2
3: 5 : 2
6.
5
x x x
x
x
− + = +=
=
#������� #��������
� M������������������������������ �(���� ( )8 : 5 3: ;x x+ = �����( ) ( )7 : 7 2 :5.x x− + =
� "��� �� ������ ����� ( ) ( ): : 3 : 3 : .a b c d a b c d a c= ⇔ + + =
( ) ( ) ( ) ( ): :a b a b c d c d+ − = + −
���
: ������ �������� ������� : : ,a c
a b c d gjegjësishtb d
= = �M������������������� ������ ������������0�
� 3 3,a c
b d+ = + ��� ������� ����� ( )3 3 3
1 .3
a b c d a b bose
b d c d d
+ + += =+
� �������������� ��� ��� ����
������ ����� ��� ��( ( )2 .a c a b
b d c d= ⇔ = #�����%������� ��<5-�� �<3-���� ���
�� ( ) ( )3, : 3 : 3 : .
3
a b agjegjësisht a b c d a c
c d c
+ = + + =+
������������� ������ ����������'��������� ���� ��
� ���������� ����������%� ��� � �� ����������������� ����� � ���������'�������������� ����� �����E������
����� �$�������� ������ �� �$���$�����5(3��0(2�� �5Q(3Q���������� �� �����9$����;������%����������� �������5�(�3�4�0�(�2�4�5Q�(�3Q���������'� ���� �����������"���� �
�������������(
J���E��� ��� �������� ���������� � ����$���$�����'� ���� �����������"���� ������������������� +
1 1 2 2: ; : ; .....; : ,n na b k a b k a b k= = = ���� ��� 1 1 2 2: : ........ :n na b a b a b= = = ����������� ����������E�����
���������� 1 2, , ......., na a a � ���� �������������� �����<���������-�� ���������������� � 1 2, , ....., ,nb b b
���� �������)���������%���������� ����������#
��������� �������� ���E��������������%���E �� � ���������(
1 2 3 1 2 3: : : ... : : : :... : .n na a a a b b b b=
��������� �������� ���E������� ��������� ��(
����� �����������E���������������� � ���� �����E ��� ��� ��� ��� ����������������������������� ������ ��E ������������������������ ������������������������� ������ ������������������� ������ ������������������� ������
"��� �������� ���
# �E$������� �������� �� ������� ����� �� ���E������������L���� ������
����� �$���������� �����������E�����1 2 3
7 3 1: : : : ,
8 4 2a a a = �� �����E����� ������������������ ���������� �D�
�����%�� ��������������������� ������ : : 7 : 6 : 4.a b c =
�������� $��� � ������������������ ������������������������ $��� � ������������������ ����������������� �������������E������������������������������������������������������������������ ��������� ������������� �������� ���E����� 1 1 2 2: : .... :n na b a b a b= = = ��� �
1 2 1 2
1 2 1 2
........ .
....n n
n n
a a a aa a
b b b b b b
+ + + = = = =+ + +
���
!"���������� �)�������� ��� ������ � ����$���$���������� 1 2
1 2
, , .... ,n
n
aa ak k k
b b b= = = ���� ��
1 1 2 2, ,...... .n na kb a kb a kb= = = ��� �����+�( )1 21 2 1 2
1 2 1 2 1 2
...... ....
... ... ...nn n
n n n
k b b ba a a kb kb kbk
b b b b b b b b b
+ + ++ + + + + += = =+ + + + + + + + +
��������� 1 2 1 2
1 2 1 2
......
...n n
n n
a a a aa ak
b b b b b b
+ + + = = = = =+ + +
�K���'���� ��������� � ��
� ��������� �����������E�����5Q�(�2�(�.�4�5A�(�P�(�2����$�E������ ���������������� ���������%�� ����������� ����� �� ���������� ����� �
���( ) ( )10 6 4 : 15 9 6 10 :15, 20 : 30 10 :15.ose+ + + + = =
���( ) ( )10 6 4 : 15 9 6 6 : 9, 8 :12 6 : 9.ose− + − + = =
�� ( ) ( )10 6 4 : 15 9 6 4 : 6, 12 :18 4 : 6.ose+ − + − = =
� ,������� �3���������� �������� : 4 6 : 3: 2.x y= =
�� ������� ����������������%�������������� ����� ��� ���������������� ����+���(�.�4�0�(�3�� 2�(�3�4�0�(�3���� ����� ���� ��� +���4�2��3�4�.�
� ,������������� ���������������� ���������2 : 3 : 6 8 : :18.x y z= = =
� # ������ ����� �( : 4 :3; : 3:8, : 4 :5.a b b c c d= = = ������������ �����������E����#
�� � : 4 :5c d = ���� ��+�����4�D�(�5Q��������������� ������������������������������+�����4�.�(�0�(�D�(�5Q�
# ������ ����� �(�������4�3�(�0,�����+�4�0�(�D,�+�����4�.�(�6�������������� �����������E����#
�������.AQ����� ������������ ���'�����������3�(�0�(�A�(�D�
& �����������E��������������������
450,
2 3 5 8 18 2 3 5 8
a b c d a b c d+ + + = = = = =+ + +
��� ����
������������� 25, 25, 25, 25,2 3 5 8
a b c d= = = =
50, 75, 125, 200.a b c d= = = =
#������ ����������������� ��� ������� ��(��������+�����4�3�(�0�(�A�(�D�� ���������+��4.AQ� ������������� ������������ �������� ���E������ �(
#������������ ���� �������������L����� ���� 3)�� 0)�� �)� � � D)�� ��� )� ����� � %��� ���� ������ ���������@�� ��(2 3 5 8 450,k k k k+ + + = ��18 450,k = ��������� 25.k = ����������� ���� ��������������()��� ��� ����� 2 25 50;⋅ =)��� ��� �����3 25 75;⋅ =)��� ��� ��� ��5 25 125;⋅ =)��� ��� ��������8 25 200.⋅ =
������ ���� ������.AQ
���
� ��������0�� �$��������������'��������������� ����������� ����
�� �������2QQ����� ���������� ���'�����������5�(�0�(�2�
���
M���� ������ �������(�-� ( ) ( )3: 4 7 : 7 ;x x= − +$-�( ) ( ) ( ): 2 : .a x b x a x x+ − = −
� ������������ �����������E������ ����� ����� �(�� : 2 :3, : 6 :5, : 15 :11;x y y z z d= = = �� : 7 :9, : 1: 2, : 7 :15.x y x z x d= = =
�
"��� ��������������(
� ( ) ( ):a b c d a b c d+ + + − + − =
( ) ( ):a b c d a b c d= + − − − − + ⇒
: : .a b c d⇒ =
�
,������������� ���������������� �������
2 : 3 : 6 8 : :18.x y z= = =�
�������52Q����� ������������ ���'����������3�(�A�(�6�(�2�
�
"��� ��������������
�1 1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2 2
.a b c a x b y c z a
a b c a x b y c z a
+ += = ⇒ =+ +
�
�������� � � ���������� ���������
� 5 3 0 . A 2 6 ���
3Q�'����%(���%��(� ��������$ ���(
K�����E����� ������������ ��� ������������� �� �� �� �E�������� ���������������� � �����3��0��.��G� ����������'� ���E��� �� � ��� ��� ������ � ��������������� ���������� ���� �������������� �������� �����H�� � ������� �$������������� �����������(
)�� ��� �������� ����� ��� E��� ����+
)�� ��� �������� ���������$���$�������� �$�������������+
)�B����� ��������� �$ �E���� ���=���+
)�B����� ������������������E� ��������������� �� ���������������������������������������
���������������������������� ������ �'��������������������� ��������������������������� ������������ �������������� ������������������������������� , 0.
yk ose y kx k
x= = ≠
���$���E���'� ��%� ������ �� ������������ �������������������)��Y���%��������� �����������
���������� ����������� �������� ������ ����������� ������������ ���� �%������������ ���3�����������������%����������������������� ������������� ���������� ���E� �������������������������� ����� ��������������<��� �������������
)�& ����������*�%(�#"
���
4− 3− 2− 1− 5 3 0 .14
−
�
� 13
− 12
− 1− 512
13
14
���������$ ���(
5 3 0 . A 2 6
02
J�E�
:�������
&� ���������������������02����
D P 55 53
0
5Q
������ �������� ����$������ ������ ������ ����� � ������� ������������������ �������������������� ��� ������������ ��������������� �������������������������������������3��)���
� , .k
xy k ose yx
= =
K��%����������� �����������E�� �������������� ��������'��'� ������ $���
<��� �����
�
� "�E������%����� ��3�4�5�
� >� ���� �� �$������������� �'��� ���������� ���������E�� ����
#��������'��������������� ����������� ����� �������� ���������E�� ����� � ����������$������'� ���������������� ��� �� ����������������� �
���
,������� ������������ ������������� ��� (
�-� ����� ������������ ��� ��� ����+
$-�J������� ��������� ��������+
�-�B� E���� ��������� ��� ���7
�
(
%
�
�.�.%.(
.�
.�
.%
.(
� � % (
.�
�
�
,������� ��������� ���������������������� ���������� ����� ������������ ���������E�� ���(�-� ����� ������������ ��� ��� ����+$-������������������� �� ���������E� ������� ����E� ����� ����������������+�-�"� ��� ������� � �� ������� ��������������� ���� �����������������-�"� ��� ������� � �� � ���� ��������������� ������ ���������������+ -����������� �%������ ������%�' ������$� ����7
�
ky
x= ����������� , 0 .�x ≠�
&�� � �E������������� ����������������������� �� �E�������� �$�E�������� ���������������3��0��.��G ������������� �����E���� ���������'� ��������������������������� ���� ���������� ������"�� ���������� �$���()����� ����������������� ������������� �������������������+)� � ������� �����E� ��� ���� �� ���� ������������ ��������)� ������ ���E���� ����������� ������������������������������� ������ ���������E�� ����
���
�'���������%����������
�('������<�������%���������E���-�����������<�������%���� ����-
X���� �'������ ���������������������������� ���������E�� ������ '������������������������ �������������������$����������������������
����������� �����������
�������� �8?���������� ������(
,������������������������� ����������� ���7
,������������������������� ���������E�� ���7
�AQ� ��� $���� � �������� 3AQQ� ������ ��� �������������53Q
����$���� 7& �����������E�� ����� ��� ������� ��� �������� ����������������� ������'�����������%���� ��>��������� ������ �������
������������ ���������� ������� ����������<�������%�������-������������� �������� ����������<�������%��� ����-��� �F?������� ��������� � ���'���� ���� �������� ��������� ����� ��������� ������� ����������������������� �����
��� ��� �������� �������� ��������������� ����������������������� ����������� ������������������ �������������� ����������������������� ���������E�� ��������������������� ��� ������%�������������������������
�� �������� ��������� ��� �� ��� ������� ���������� ������������� � �������������������
���� ����+ ���'�#"��$���� ��'�#"��$����
��''�� ������������� ����
�������������$� ��%������������������'��������������� ����������� ����������������� ��������������� ���
��������� �%����������� �������(���(�3AQQ�4�53Q�(�AQ���� ������%������2500 120
6000.50
x⋅= = �&�������53Q
���$���� ���������2QQQ�� �����
� ��������������������� ��2QQ��=����������������������5A������ � �� ���������������������=����� � ���=�����������D������ � 7
� ������������������$������3Q�������������5.Q��������������������������������������������$������0A�������������������������������������� ����������7
���
����� ���������������������� ��(�� :140 20 :35,x = ��� ����� 140 2080.
35x
⋅= =
&�������0A���������������$����������������DQ������
� # �������� ��������������'�����52�� ���������������' ��5������� �������� ���������������'�����������' ��53�� ����7
� ������������������$������0Q�������������2Q�����������������������������3Q��������������5Q����� ��������������������� � �A���������������������������� �� �����������7
�����'�������������������������0Q�������������3Q������������ ������� ��������������������������������$���������������������� ��(
>����� �������������������������������$������������3A������������ �������
%'����������'��������
)'�������������
: 60 30 : 20,x = 90x = �����
������������� ������63������������������� ��������� ������� ������������63�/�5Q�4�D3������
���
����3QQQ�� ����������$� ���AQ����������� �� ������������������$�� ������5.QQ�� �����
� �������������������53���E�������������������'��������5A������� ������������E��������������� ������������3Q��������7
�
.Q������������� ��� ��� ������������� ���������3QQ��������� ����������� ���� ������������������� ��������� �������������������'������������0QQ��������
�
������������� �� ������� ����� ������������� ���5QQ�"������ ��� ��5A����� ������� �������� ����������%������� ��� �������������������� ����%�� ����(��-�2AQ"����+�$-�.Q"����7
�
�������������3Q����������� ������$������������������.A������������� ������%�������5A��������� �����3Q������ ������������������� � �5Q��������������������������� ������� ������%�����7
�
�'��������������������
,'�������������
72x = �����: 90 20 : 25x = �
��
����������� ����������
�������� �
����������������� ��� �����$������ �����'����E��������� ��� ������� ��� ��������� ����
���F���$�E ������� ����7
# ��� ������� ��� ��������� ����� ��� ��� ������������������������ ��������� ��� ����� ��� ��� ��������
�
�������������� �� ������������� ������ ��� �������� ���������������� ��� �
���� ��������� ������������ �����������������G������������ ����� ��� ���������� ������ ���G�� ������������ ��� ��� ������� ����$�������� %�����
������ ������� ����$��������� ������� ������������������������������� � �� ��� ������ ��� ����
�� �����# �� �$������� �������������� ������E$�� ������� �����
�������������� ������������������52QQ��������� ���.���� ����� ����0��������� �E����03QQQQ� ���� � ������������ �������������������������5QQQ��������� ���A�������� ����.������3Q��������������� � �������������������
��%�������� ���
�������������������������������������������� ����������� �������������������������� ���������� ���� ������������������������� ���������������������� ���������������������������������� ���� ������� ���������� ������ ������� ���������(�03QQQQ�4�5QQQ�(�52QQ
5 : 4=420 :300=
( ) ( ): 320000 1000 5 420 : 1600 4 300x = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
�� ������( )320000 1000 5 420
, 3500001600 4 300
x gjegjësisht x⋅ ⋅ ⋅
= =⋅ ⋅
� ��
� ������������ ����� �����������0D��������� ���5�.���� ����� ����3��������%����������������������� ������3D���������� ������������ ��%�������� ������������ ��������������������������������������� �� �������3.��������� ���5�P���� ����� ����5�A��7
� ����������� ��3Q��������������������A����������D����� �����������3Q�QQQ������������������ ���������������� ���� �������� �������������� ��'������������� ��0Q����������������������������A����������������������2Q�QQQ���������������
�)''�����������'''����������
(�������� ���������� ��
%''������� ���(�'������� ���
%�''''�� ���<�������%��������E���-��������� ���<�������%��� ����-
��
�'��������%'��������
������:�����
+�������
�''''�#"
)''''�#"
������� �� ���������� ������ �������������������������������� ��������� ���������� �������A� ��������� E������������������� � (
3Q��������� ��������� ������������A����������������������<0Q-����������������� �������������������������<���������������������E�� ���-�
��� ������������D������������������� ��������A����������������� �������������������<A-������� ��� ���� ���������������<�������� ���������E�� ���-�
3Q�QQQ�������������������A����������������������<2Q�QQQ��-������������������<���������������������� ���-
����������� ���� �� ���������� ����%�� ������� ����������� �(����(�A�4�3Q�(�0Q8 :5=60000 : 20000=
�� ����5 20 8 60000
16.30 5 20000
x⋅ ⋅ ⋅= =
⋅ ⋅�&������� 16x = ������
� ����������� ��3A�����$������0Q�����������������������F������������������ �E����02A��������������� ����������������� ���� ������52���������� �����F����.Q�����$�������A�����������7
� >� � ����������<����-��� ��52Q��d��������������'������5Q���������� ������������2�������������������������������������02Q�������� ���.��� ����� ����3�A��� ��������������������������������A ������������ ��5AQ�d����� ��������D����������6������������� ���� ����������������� ���0�A������������� ����3�������� �� ����������������������
*�������� ���(
%� ����������� ���������
�'�����)�����
)��
*��
�)'�#?�
��'�#?
%)'��
����:��
���(��
�%&���
��&���
�������
��� ���������� ���������������� ������������������� ������
������������� ���� �� ����� ��� ��� ����� E����������(��������������������������������� � ���������������������� ���� �(
������������� ����������� ��������������� �������(���(�02Q�4�A�(�0120 :160=8 :10=7 : 6=4 :3,5=2,5 : 2,=
��#������� ���������+������������������������ ���������+��K� ��������� ������ ��������+
��*�'������ ���� � � ���������� +���������������������� �����������������+��> ���������� ������ ���������
��
�� �����360 5 120 8 7 4 2,5
600.3 160 10 6 3,5 2
x⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= =⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
� �������� �������5�2��������� ���0������� ����3�� ����������.Q�������������.A���������������������������� �����������������2QQ������� ���3�.���� ���� ����DQ������� ��������53���������
���
������� �����D�������������50����������%������23.Q�� ������ ��� ����������%������5A������������2��������� ��������������� ���������7
� �������������������� ����.Q�������������2Q�������� ������������6�����������������������������'�����3A�������������������������3Q���������2������������������������������� � 3Q���������������������������� ������� �������� ����� �� �������� �E����������������� ���� ������5������������������7
�
� ����������� ��� ��� E��% �� �� ���� 5� �� ��������������D����������=� ���.Q������������ ���������������������=� �����D������������2�������E��% �� ������3����� ����� �������������������������
� �������������������� ����PQ�������������5A����� ��� � ������� ���� D� ��� ��� ������ ������������������ ���� ��'�������� ������ ������������53��������� ���� ������A����������7
� B������ �������2��������� ���0����� ���������� ������������ �2Q���������������������DQ������������.A��������� ������������2������ ������ ���� ��� ����� 53Q� �������� �� ���������������������������5Q���������� ���2��� ����������������������� �DQ�������� �����������D�����������7
� J���E ��� �PQ�����)%�'�������5Q.QQ���
��������32��������� ����� ����������D������������ ��� ���������$��������������$���E ���� �2Q�����)%�'������5A��������� �����P�����������7
� ����$������������������� ������������D����������������������%��������������� �������������������������� ���� ���� ��������������������������������� �����������$������� ������'�������������������.� ����������������0� ����������� ���� �3� ������������������ $������� ���������.� ��������������������������5�A� �������������7
&���������4�2QQ���
��
���� ����������
���� ������ �� �������� ������ ������������ ������ �� ����� ����� ��� ����� ���������� ������� ��� �$�� �<�� ��� ��� ������������ ����� ������������������������������
�������� �
���������� ��������� ������� ��� ������� ����$������ �� ����� ����� ��� ����� �� � ������ � ������������������ ��� ��� �� �����������������G��� ������������� ����� ���'��������� ��� ��� ��������� �� ���� ��� ����G�
& ������'��E���� ��� ��� ������� ��� ���� ��������������������������������������
����� ����������� �����������L��E������� � �� �������'����������������� ������ ������������������� �� ��������� ������� �E�� ���������� ������� �� ��������� ������������������������������������� ��� ������������� ���� ����� �������������� ������ ���� ���������� ��� ���� ������� ������ �������������� ���������������������������"�����%�� ���� �����������������%�� �
������������%� ����������������������� ��������������� ������� �$�������� �3Q������ �����������2QQ� ���������� ���������������(
� ��������' �������������%�����������������E��� ������ � �E�� �������������� ����� �������� �
�'�#"������)''�� ����
� ��� �����������5AQ������������� �3A��������������������������AQQ�� ����7
"�����������%��������������������� � ( ������� �����������
� � � ��
�''���� ����
�� ����(��150 500
3000.25
x⋅= = �&�������5AQ���� ���������������������0QQQ�� �����
� ��� �������������0QQ�����%���� �5A���������%�������������������P2QQ�� �����
� X���� ������� �����5QQ���� ����$ ����%�� ��DQ��������������������������.Q��������������%�� �3QQ����F�� ���� ������F�� ����� �����������'�����%������5A��� ����$ ���7
*������������( ����� ���F�� ��� � ���$ ����''�#"� ���$ ���('�#"�����������'''�#"�F�� ��
���� ��$ ����'''�#"� ��$ ���+'�#"�����������''�#"�F�� ������F�� ��
��
"�����%������ ��������%����� ����������� ��� ������������������������ ���������� ������� ���E��� ������ �
������������%����� ��%������ ������������������ ������� ��������������$�������������%�����������
����� �� ����� � ()�# �F%�����������%��%����������7)�������������� ���E���� ������ ��������������������� �������7)�8?����� ����$������������ ���������%������� ��� ���������������<����������%�����������������-7)������$���������7
�� ������ ������������������� �� ������ ������������ ��������������������� �� ���������������� ������ ���L�����$������� �������'���� ������ �� �� ���� �'������'�����������%�� ���� ������� �������
"������$���������������� �������������%�� ���������� ��������� �������������%���������������� ��������������� ����������� ���� ������ ���������� ��������
����� �$�������� (����������$� ���� ���� ��������%�� ����������� ��� ���������������������������+���� ���������� ������������� �������������� ����� ��� ���������������� �������(
�� ����(� ,x b d a c e⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ��� �������� .a c e
xb d
⋅ ⋅=⋅
� &� ��� �AQ������E���������33AQ�� ������ �6Q����%���� �20QQ�� ������ ����������%���� �����������$ ������D�����E7
� ������������ �0Q��.QQ�����������������������5D3.Q�e�� ��������5���������������� ���������������������5e�4�AQ�QQ�� ����7
�� �����15 1000 80 200 1
60.1 100 40 1000
x⋅ ⋅ ⋅ ⋅= =⋅ ⋅ ⋅
&��������� �����������2Q���F�� ����������%������5A��� ����$ ����
� ��� ����� ���� ����� ���'����� ������ �E������� � � ������'������������� �
��� ���������������5��������$%&"'�'"��� ���������������0
�� ���������������3�� ���������������0��� ���������������5
��
� ����%����E����� �AQ�%�����% ��� �������������33AQQ� ���� �������� ���F�����������%�����% ������� ������� ���������5��4�25�� ����7
� K�����%����E��������������� � ������������������$� ���� �E�� ������������'������ � �E�� �� %����E������@���������� ��������������� ���������'���� ���� ������������� �E�� ����F��5QQ� �����
��� ��� �E�� �����$��� ������%����E� ���<������ ��-������ ���������������� ����������� ����$��� ����� ������ ������E$��� ��
� ���:���������� ���������.Q����������������� �F����Q�.�� ����5����� � �E�� �� �%����E����������3Q� ��������F��5QQ�� ������ ��� ����������%���� ������ ������� ���������%��������� ���������P0� ����7
�������� ���������
�����
�����
�''
('��
�'''�"
'&(�£,%�� ����+'�� ����
40 1000 0,4 93 801190400.
100x
⋅ ⋅ ⋅ ⋅= =
����������� �������� ��� �������� ������$� ����������� ����� �� ��� ��������+�����K� ������F�����)�'� ���� �E�� �� �%����E�����5A�� ��������F��5QQ�� ������ �������� = �)�
� ����+�����J��������� �#�� ��(���£ ���� �E�� �� �%����E�����0Q�� ��������F��5QQ�� ������ �������£ = +*�� ����+�����M������,�'�@A���,!*���� �E�� �� �%����E�����3Q�� ��������F��5QQ�� ������ ������5QQ�,!*�4�0DQQ�� ����7
� ���18240 50
30.30400
x⋅= =
&�������5������������������0Q�� �����
&�����������.Q� ������� ������ ����� ��� %����55PQ.QQ�� �����
��� ����� � � �
��B
������������+�('�B
�'&''��� ����
M��������������� ���������������������������������%��� ��������������� �� ����� �������� ������������ � ��������������������������������� ��(
,���� ��� � ����� �������� 5Q� ������� � ������� ��� � ���� ������ ������ 3�3A� e� � � ��� 5�DA�e�4�5��4�P0�� ����7���������������������� �$���$������ �2Q��$�� � �E�� �� �%����E��������5A�� ��������F��5QQ�� ����������� ��� ��������
��
���� ��������� ������
���'������<]-������ ����'�������� ��� ������������� ���� ���������( ) 11% .
100A A=� ����
������������ ��( )% .100
pp A A= ⋅�
��������
,���(��-�.]����2Q+�$-�3�.]����53�A�# ����'���� ���� �������������� ������/����$������������������� ������� �$�������� ������������ �
.DQ��������� �����������3.Q�$� �� ����������������� ������ ��03Q��������� ���������������������
�������3QQ�$� �� ����� �������� �(� 240 1 200 550% 62,5%
480 2 320 8dhe= = = = ����%�������� �������������
� ��� ������������������$� �� ��������������������
������� ���������������5QQ�������P�D�� �����# �F%������ �������������E������ ���< ��������5-7
�
X������������������ ������ ��2A���������������AQ����������� �� ���������������� �������� ������3Q���������� 7
�
3Q����������������%����������.D�QQQ�� ����� ����������3QQ��������%���������������� 5�4P0�� ������ ���� ��� �E�� �� �%����E���������5A�� ��������5QQ�� ����7�<5��4Q�P5.�-
�
���
��� �������������0QQ�������������� �.QQ�������������������������������AQQQQ7
�
� �� � ����� �������� 3Q� ��� ��% � ��� 1
5 kg2
��������506A�� ����7
K� ������ J�������� �#�� M�����
��������
�����
�''
(���£
��+*���
�%'���
��������
�����
�''
)�'�
��)����
������
��������
�''
�''
��,�'�@A�
%+''���
����'���
650 61 115
100x
⋅ ⋅=425 87 130
100x
⋅ ⋅= 950 3800 120
100 100x
⋅ ⋅=⋅
45597,5x = 48067,5x = 43320x =
#����������%�������� ������� ��������� �������$� ������������ ���� �M�������������'���� ����� ���������%����E�������������������
��� �������������5QQ������������@����<5���4�.A0�2��-���� ������$��� �����������������������Q�3�������������������%�����������P0� ����7
�
�������� �E�������� �������� ��0Q����� �� ��� ��������-� ������ ��������������������\�$- �� � ���� ��� ������� ����� �����7<5����� �4�5DA3�-
�
�������������� ���������� ����������'�� ��� ��AQ�QQQ�$���������0���������� ��� ��� � �����$������ �E��.AQ���$������������� � ��� ��5QQ����������%�� ��DQ������ �������� �� ��5QQ������ ���%�� ��53Q����$���7
��
�100 100
; ; .100
S p P PP S p
p S
⋅ ⋅ ⋅= = =
��������������������������� ������������������ ������������������� �� ������ � �� ������������ �������'���� ���:��������� ���������� ������� ��� �������� ��'� ������� ������� �������� 122�
� �������P]�%������� ��A5QQQ�� ����� 7
X��������(� 51000 9,S dhe p= = ����� ��1��� ����51000 9
4590.100 100
S pP
⋅ ⋅= = =
&�������%�����������.APQ�� �����
� �������0�A]�����E�������'������������� ���E������ ��02AQQ�� ����7
� 8���������������������������������53]��B�����������2�2Q�� ������ ����� �F����������� ������������ �7
�I������������%���� �� ���%������ �� ���������������� ��������'���� ������� ������� ��������������� �� �(
����������������5QQ+���� ������ �� �� �� � �� �<9-+�����'������<�-+�������� ����'���� ��<1-
:��� �������� ����� � �%�������������� ���(
���������9�� ����1
���������� ��5QQ���������� ���
�� ���������� ������� ������(�9���1�4�5QQ�(���� �9�⋅ ��4�5QQ�⋅ 1������� ���������%����������� �'������ ���� ��������������� ������� ������������� ������� ��� ��� ����������������+
X��������+���4�53]�� �1�4�2�2Q������������� ��9�� 100 6,60 10055.
12
PS
p
⋅ ⋅= = =
&������F��������������� ����� �AA�� ���������������������� ��25�2Q�� �����
� ������������ � �6��=�����������������'� ����� ���������3Q]� ��������������������������=����� � ���=��������������� ����������7
� 8������������������� ��� ���������������6Q�� ����������E������������5.�� ������ ������'��������E��������F����7
X��������(�9�4�6Q�� �1�4�5.�������������� ����
100 14 10020,
70
Pp
S
⋅ ⋅= = = �'���� ������ ��43Q]�
� X����$� ���0Q��� ������������K���������������������������$������� ���33A����� ����������'�������$� ������ ���7
��
���� ��������� ������� ����� ������ ��������� ������������� ����
������������F������������� ������������������� ���� � �� ������E�������� �E������������������ ����'���� ��<9�±�1-����������� ������� � ���� ���� � �� ��������������� ���� �� ��
�������� �� ����'���� ���$�����'����<��� �����������9���1-������������� �� ����'���� ���������'����<��� ����������9�-�1-�
������ ������ �9�<� �1-����$ ���� ������ ����� �� ��=� �����K� ������������������ �������� � ��9���1�4�5QQ�(���� ��(
!"��(�(������%����������� ���� �����$���� �����������%����� ��� ������� ��� ��������� �������� � ���������� ���(
�
������������( )100 p±��''
���( )S P± ��������� ��������������� �
� ������������������������� ������$����5DPQ�����������������%������� �� ���������������E�����������D]�� ������������� ���������E������7
( ) ( ): 100 : ,S P P p p± = ± ���� ( ) ( ): 100 : :100.S P p P p S± ± = =
�� ��������( ) ( )100
, .100 100
S P S P pS P
p p
± ⋅ ± ⋅= =
± ±
���
�� ��� ����(
�-53]� �AQQ�� ����� +����$-�2]� �0QQQ��+
�-�3Q]� �5AQQ+ ����-�5A]� �3QQ���
�
�� ����������� ��������(
��� 52000S = � ����� 17, ?;p P= =
��� 15, 450kg, ?;p P S= = =
��� 4200, 294, ?.S P p= = =
�
X����� ���E����'������������������� ��� ��2A�QQQ� ������ �� ������ �� �� ��� ���� ��� ��� ���'������ ������������'����������������A]7
�
8����������������������E���������� ��.Q�� �������0.�� ����������������'���������E�������F����7
�
��� ���� �����E���� ���� � � �� �E�� �������������� � �����0AQQ�� ��������� ����E�����������.PQ�� ������ ������'��������E��������� �E�� �7
�
8����������������������3AQQQ�� ������-�M�����F����������5A]�� ������F����� �E��������$-�B��� �F����������3Q]�� ������F������ �������
�
X���� �����%������ '���������� �� �� .3QQQQ� ������������������� ���E����'������������ �0D2.3Q�� ������� �(�-�����������'����'��������������������+$-�����������'����'���������������� ���E����
�
���( )S P± ��������� �
�������������� �( )100 p±��
��
�X��������(�9���1�4�5DPQ�� ���4�D������ ��9�� �1�
�����%�������� ���� ( ) 100 1890 1001750.
100 100 8
S PS
p
+ ⋅ ⋅= = =± +
( ) 1890 1750 140.P S P S= + − = − = �&�����������������56AQ��������������������������� �����������
5.Q������
� �����������������% �����������' ����02DQ�����������% ���� �� �� ��������������� �����������5A]��-� �����������7 $-��������������������� ������������7
�
� ������������������ �����������$���F����������������������E������������53]�� �F�������E������������5362�� �����
�-� ����� �F�����%��� �������������7$-� ���������$��7
X�����������4�53�� �9�-�1�4�5362�� ���������� ��9�� �1�
�-� ( ) 100 1276 100 1276001450;
100 100 12 88
S PS
p
− ⋅ ⋅= = = =− −
$-� ( ) 1450 1276 174.P S S P= − − = − =
&�������F����������E������������ �5.AQ�����������$��������56.�� �����
� �� �������� ���$� �D]�����50PD.Q�� �������� �(�-��� ���� �������+ $-���$� ��
������������������ ���������� ���������������� �� ������������� �������������$� ����$������ ��������� �������E����� �� �$����������� ������������ ���� �������� ����� �
� X����������������� �53]���$� �����0A3QQ�� ������# �������'����%������� �������� ������������� ������ ���� � �������������������'������$�� ����$���� ������������ ���E ��%�������� ��DQQQ� ����7
X��������(���4�53�� �9�-�1�4�0A3QQ��&� ��������� ��1�� �9�
�����%������������������� �� ����'���� ���������'����� ����������� ( ) 35200 124800,
100 100 12
S P pP
p
− ⋅ ⋅= = =− −
( ) 35200 4800 40000.S S P P= − + = + =
������������� ��������� ��� ����� 1 14 160000, 8000 12800,S S P P= ⋅ = = + =
�������� 11
100 12800 10032.
40000
Pp
S
⋅ ⋅= = = ����������������� �������� ��� �03]�%�����
�
� ������������� ���� �1
4� �������� ����������� �D]�%������
3
5�� �3]���$� ����������� ���� ��$ ���
��������������263QQ�� ������ �53]�%�������� �(
�-����������� ��� ������������ ����������������+$-���������%������������'���� ������� ��� ���������� �
��������� ������� ������������ ��� ��������������������������' ���� ���� ��$ ���� ����������������
����263QQ�� ������� ��(�� 1 3 20 5 12 31 .
4 5 20 20
− −− − = =
:������� ����%������������� ���� ��� �������������������'����������� �������������������������� �������� � ������������ (�9����1��4�263QQ�� ���4�53����������� ��
( )3 33
100 67200 10060000.
100 112
S PS
p
+ ⋅ ⋅= = =+
*�����������(�� ( )3 3 3 3 67200 60000 7200.P S P S= + − = − =
!��$� ���� ��3]������ ���������������������� ��� �������������������(
2 2 2: 100 : ,S P p= ���� ������ 2 22
240000 24800.
100 100
S pP
⋅ ⋅= = =
*�������� ��D]������ ����������������( 1 11
100000 88000.
100 100
S pP
⋅ ⋅= = =
"� ��� ���������� � ���������������������(
� 1 2 3 100000 240000 60000 400000.S S S S= + + = + + =
� ������������� ��� ���� ������ ����� �� ������ ���������� ���E����'��������������������� ��263QQQ� ������ �� ����������������� ������������53]+�������� ���������� ���E����.DQQQQ�� ������ ��������������� ������������3Q]+����� � ��� ������� ���E����'��������������������� ��0A3QQQ�� ������ ���� �������������������5Q]���� �(�-���������'�����������������%�����+ $-�� ����������'���� ������� ���E����'�������������������
2
3 3: 60000 :
5 20S =
2
3 2060000
5 3S = ⋅ ⋅
2 240000S =
3
20
3
5
60000
2S
��������������� ����� ��(
1
1 3: 60000 :
4 20S =
1
1 2060000
4 3S = ⋅ ⋅
1 100000S =
3
20
1
4
60000
1S
�
*�������1� ��� �������������������(
*�������������������7200 8000 15200+ =
��������������!��$�� ���)�.QQQ
*������������������������������������ 10400P =
100 10400 1002,6
400000
Pp
S
⋅ ⋅= = =
&�������%���������� ���������������� ������3�2]�
������������� ���� ���2
5�� �������� ����������� �D]���$� ���1 3%
4me �%��������������� ���� ��$ ���
����2..QQ�� ������� �F��������� ���E����%�������� ��5A]���� �(
�-��� ���� �������+$-�%���������� ����������$� �+�-����'���� �� �%���������� ����������$� ��
���
������� ���������� ��5A]�F���������������������02DQ�� ������-� �����' ����� ��� ���������������� �������7$-� ��� ������������� ������������7
� ����������� ������� ���E����'�������������������� ��6QAQQ�� ������ �� ����������������� ������������2]�� ��'���������������������������%�����7
�
� �� �������� ���$� �D]�����50PD.Q�� ������� �(�-�"� ���� ������� $-���$� ��
� K�������������������������� ��30���DDQ������������������Q�A�]�������������������������� ��������������������������7
� J���� � ��� ����� 53�� A.Q� ���� ��������$���E�� �����.�A�]� �� ����� ��� ���������� �����$���E��
� ���������������������������� ����$���������E�����������0�A]�� �����������������������$�������� ������ ����$�����������������53.3���7
8����������������������E������������5A]�� ��������F����������E�����������A]�� �� ���������� ������� ������52Q2�� ������ ����' ���F����������E��������7
�
��������������$� ���AQ����������������� �F���3Q�� ������������������K��������� ���3Q]� ������������������� �5A]�%�������������.Q]� �������� �5Q]���$� ��# �F%�������'���� ���%��������� �������� ���� ��� ��$ ���� ��������'������$�� ����$���� ����%�� ��6QQQQ� ����7
��
���� ��������� ����
� ����� ���������5
100� ���������
# ���������� ������������ ��� ����������� ��*�����9�����L���� ������%���������� �� �������'���������������������9����������;�
( )‰ .1000
pp e A A= ⋅
> ����������� ����'���� ��$��������� � �� ����� �5QQ����������� ����������$�������� � �� �E�� ���$����������� ��5QQQ������� �� ������������������� ��� ��������������� ������ �������� ��� � �����'������������ ������ �������
����� �$���(��( ) 3232‰ 250 250 8.
1000të = ⋅ =
������ ���� � ������� � �������� �$������������� ���F�����(���� �������� �������������������������03f��������������� ����F��3AQ��� ��E��������������������������D�%������
& ������������������ �� ���������E���� ������������������������� � �� ������������������ �� ����'���� ������������� �� ����'���� ���� �()���������������5QQQ+ )��"� ������ �� �� �� � �� �<9-+)��������<�-+ )�� ����� ���������<1-�
�������� ������ �������������������������������
��������� �������� ��� �F����������������#
F���������������������������1
4�� ���������
1
3��
������������������� �E������D]���D]�1
6��� �E�������3]�� ��� ��� ��$ �����
E�������A]���� ��� ��$ ������������������
502DQQ�� �������� ��������� ��� �����������
��� ��� ��� ������%������������%����������$�
� �������� ���7
��������������������3A]������������ �5Q]��$� ��AA]�� �D]�%��������������� ������ ���� �%�����3Q]�����P2QQQ�� �������� �(�-��� ���� ���������$-�%������������$� ����-����'���� �� �%������������$� �(
��
,�������������� ��� ����������� ����'���� �7
,�������� ������������ ��������'���� �� �E������7
�� ����������� ����$� ��$��������� � �� �� ���������� ����'���� �7
��������
�����������A]����� ���������� ������� ��������
�������������� ������� �����E����� �5Q������
%����������� ��������50
1000���������������������
�������� �AQ�f�� �� =����9AQ�������;�
��
:�������������� ����� ������������ ������ �������(�9���1�4�5QQQ�(��#�X���� �'������ �� ����� �� ����� ��� ���������� ������������������ � ���� ���� ��� ���������������+
�������1000 1000
; ; .1000
S p P PP S p
p S
⋅ ⋅ ⋅= = =
�� ���������������� ������ �������� �'� ������� ������ ������� �����������"� ���� � �� �9� � �� ���������� �����������������E��� ��<9���1-���� ��������E���� ������������� ���������<9�-�1-�� ������������������������������ ������� �������$���������������� ������� ���������������������������������%����E��������� ����� �� ��=� ���(
( ) ( )( ) ( )
: 1000 :1000,
: 1000 : .
S P p S
S P p P p
± ± =
± ± =
� K�������������������0.QQ����$���� ��A�f��������������� ����������$���� ����������������7
X��������(�9�4�0.QQ�� ���4�A������������� ��1�
3400 517.
1000 1000
S pP
⋅ ⋅= = = ���������������&�����������������������56����$���� �
� �������0�f�����E����� ��2AQQQQ�� ����� �
� ������������������������������������������� ������ ��A2QQ�� ������'������' ��A�f� ��� �������������� ��������� ��� �������7
X��������(� 5600 5,P dhe p= = ����������� ��9�
1000 5600 10001120000.
5
PS
p
⋅ ⋅= = = �������&��������� ��� �������������553QQQQ�� �����
� ����� � ��� � �� �� ��� ���32AQQQQ�� ������������ ����������E������ ��A.AP�� ������ ��������������������E����7
� J����� ��� ����������������0A3D�����@�$���E�������Df������ ��� ���� �������� ��� ��7
X���������� 3528 8,S P dhe p+ = = ����������� ��9�
( ) 1000 3528 10003500.
1000 1008
S PS
p
+ ⋅ ⋅= = =+
�&������� ��� ��������0AQQ����
��
���
������(
�-�3‰ ���DQQQ���+�����$-�1,4‰ ���03.�D+
�-�1,8‰ ���0.�QQ6+�����-� 32 ‰
5���2���3DQ���7
� ���� �������� ��.3QQQ� �������������5QA� ���������E���� ����������������7
�
�� ����������� �������������������� �� �������(
�-� 13 , 650
4p = � ������9�4�7+
$- 72860000S = � ����
127505P = � ������ ?;p =
�-� 1,25, 4 t 800 kg, p S= = ?.P =
� �E�� �� ���� �>>� ���$�� �� ��� ��������E���������E������������6�A�f�� �����.3AA� � ������ �� ����� ��=�� �� ����E��������7
�
��$������ ��1
2 ‰5
��� �E�� ������������������������03Q6Q.�� ������ ��� ����������� ��� ��������� ����������� �E�� �7
�
� ����������������$������ ��1
1 ‰4
������=�� � �������������3.Q0QQ�� ������ ��� �����������=�� ��� ������ ��� �������7
��������� ������1
2 ‰2
�����E����$���������������.5DPAQ�� ��������������������������� ��������E����� ����� ���������7
X���������1
418950 2 ,2
S P dhe p− = = ���� ��9�� �1�
( ) 1000 418950 1000420000,
1000 1000 2,5
S PS
p
− ⋅ ⋅= = =− − � ( ) 420000 418950 1050.P S S P= − − = − =
&������������� � �� ������.3QQQQ�� �����������������E����5QAQ�� �����
�
��������� �����0�f�����E�����������������60A6D2�� ������ ��� ��������������E���7
�
��
���� ��������������
�������� � :��������� � �������� ����'�� ����� ���� �������� ����������� �$����� ����
������� � ���������� �������'�������� ������ �� ���� �<�����3 ��� ��Y$ ��-��8�������'�� ������������ �������������� �E��������������$�����J��������%����E�������� � �%�������� �������������� ��������������� �E��� �� ��������������������� ��/%����������������� �����$������ ���� � %�������� �� ����� ����������������E���� ��������� ����%��������� ��� � ������ ����� ���� ������������������� ���������������������������%����E� ���� ��� ��� � ��������$����� �������$������������������'���� ������������
9�*���������8��*����/!�/!����������*�8*��������� ���*������������������� �������� ��
E��������������+�"������������%�����"�*&������/*���)������������������������*�8*����%������""&����)*��������+�)�*������*�������� ������������
��������� � ��� ����'���� �� ����������������������� �������'���� �'� ���� ����������������������� �������'������ ����������������� ����������'������ ��������'������������ ��� �������������
&������������������������� ������������������� ������������ ������������������ �������������������� �������� ���������� ����'���� ��
��� ������� ���� ��� � � ������������ ����� ������������������ �� ������ � �� �������������� ����'���� ��<�� ��5QQ-�������������+
100 100, , .
100
S p P PP S p
p S
⋅ ⋅ ⋅= = =
��������������� ���� �� ����������� �� ����'���� ��$��5QQ���� ������������5QQ7
������%������������������ �� �9�� �1�������������� ��������'���� ���$����� ��������������'����
� ���������������� ��������������� ��DQ�QQQ�� ������������������ �A]�������7
�����'��A]�����DQ�QQQ������.�QQQ����� ��� �������� ��������������.�QQQ�� �����
"�� �� ������������� �� ��� � ����� � ������� ����'���� ��� ��������� ����'���� ��
�������� ��� ��������� ������������������� ������ ����������� � �%��������������������������� ������������ �E�������� ��DQQQQ�� ������$ � �� � ������������$��������� ��������� ��������������� �� � � �����.QQQ�� ������&�������� �E�������� ���������%����E���������������������� �E��������$��������������� ���������G ���������'� ��������E��� �� � ��������
��
��� ����������������������<����-����� �����������������������<��������-������� ���53�<02Q-� ����� ������� ������������������������������������ ����%������(
, ,100 12 100 360 100 365
K p m K p d K p di i ose i
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= = =⋅ ⋅ ⋅
����<�-������������������� �<����� -�
� ���������������� �����0QQQQ�� ���������%����E����D������� �.]����������� �� �
��������������� ��� �E�������� ������������ ����'���� ����������������������� ���������G� ��������'� ��������E��� �� � ��������
B�� ��� ��������<�-�������������� ����������� ����� (�����������<E-�����'���� �� ���������<�-�� �����<�-�
�� ������� .100
K p ti
⋅ ⋅=
����%�������� ��'������ �������������%����������� �������� (���������������'���� ��� ��������������� ����� �� ��� ��� ��� ������� ������������������� �����������������
������� ������������ ������%������'� ������������������� ������ � ��� ����������������%��� ��������� �E���������������� �����������'� ��))*�$���(��+$�$�"'�"�&(�'&�"�
� ����%������ ���������� ��� ���� (�-�����������<E-+ $-����'���� ��<�-+ �-�����<�-�
�-�100
;i
Kp t
⋅=⋅
�������$-�100
;i
pK t
⋅=⋅
��������-�100
.i
tK p
⋅=⋅
� �������� ���������� ��� ������� ��2QQQQQ�� ���������.��� ��� �A]�������7
600000 5 4120000.
100 100
K p ti
⋅ ⋅ ⋅ ⋅= = =
&�������������������53QQQQ�� �����
��������%�������100
K p ti
⋅ ⋅= ��������� �������� ���������������� ����� ����02Q������� �02A
�������������� ����������0Q������� ���������� ������������������� �� ������0Q������� ����������02Q������
���������<0Q+�02Q-������������ �������� �� ����������� ������������������������02A����������������<)�
02A-�
��
X���������E�4�0QQQQ�� ��������4�D������� ���4�.������������� ����� �����%�������� ��(
������� ��������������DQQ�� �����
� ���������������� �����2QQQQ�� �������������� ��5..������ �� �A]�������7
� ��� ������� ������ �E�� ���� ��35�Q0�� ������56�Q6�� �P]���������'������� ��������������� �.3.D�� ������<)��02A-7
X��������(���4�P����4�35�Q0�Y�56�Q6����4�.3.D������������� ��E�
��������� ������� ������������ �������� ��� ���(
!"��(�(���&���� �� �E���������������� ��������������� ������ ������� ��
0 &����
�'�;�%�−��%'%�%'�*
CCCCDDDCDCC
K���� �(������+�����
365 100 4248 365 100146000.
9 118
iK
p d
⋅ ⋅ ⋅ ⋅= = =⋅ ⋅
�������������� ��������������5.2QQQ�� �����
� ,������� � ������� �E���������53�Q.�� �5.]�������'�����5P�5Q�������� ��������������� ��AQ.Q� ����7�<)��02A-
# �������'���������������������� ��.DQQQ���������� ��5Q������ �������� ��������������� �3QQQ�� ����7
X���������E�4�.DQQQ����4�5Q����4�3QQQ������������� ����
12 100 2000 12 1005.
48000 10
ip
K t
⋅ ⋅ ⋅ ⋅= = =⋅ ⋅
�������������'������ ��������������A]�
# �������'���� ������������������ �E������2DQQQ�� ��������� �����.������� �3.�������� �������������� ��032.�� ����7�<0Q+02Q-
�� # �������'���� ������������������ �E������2DQQQ�� ��������� �����.������� �3.�������� �������������� ��032.�� ����7�<0Q+02Q-
X��������+�E�4�DQQQQ����4�2�A�� ���4�2AQQ������������� ����
� ��(��12 100 6500 12 100
15.80000 6,5
im
k p
⋅ ⋅ ⋅ ⋅= = =⋅ ⋅
�&��������� � ��������%����E����5A������
30000 4 8800.
100 12 100 12
K p mi
⋅ ⋅ ⋅ ⋅= = =⋅ ⋅
��
��� �������� �������������������� ���E����� �� AQQQQQ� � ����� ���� .� �� �� � � 2]������7
�
�� ������� �� ��� �� ����� 5AQQQ� � ����� ���%����E����D������� �53]���������� �� 7
�
,������� � ����� �E����������53�Q.�� �5.]�������������� ��������P�5Q���������� ��AQ.Q� ����7�<)+02A-
�
# � ��� ���'���� � ������� ����� � �E�����35QQQQ�� ��������� �����P������������� ������������ ��55Q3A�� ����7
�
�
�� ������������� �E������20QQQ�� ������ �5.]������������ �������������A5.A�� ����7
��� ����� ������� ��������� ���������������������������<��������-�������������� ��������
( ),K i± ������������ ��������������������� �� ��������������� ���� ���� �$� ��%��������
�������� �� ����������$��5QQ�<����5QQ-�
������������� : 100 :K i pt= ���� ��������� ����� �� ��=� ���(
( ) ( ): 100 :100 : ,K i pt K i pt± ± = = ��� �������� ����%������(
( ) ( )100.
100 100
K i K i ptK dhe i
pt pt
± ⋅ ±= =
± ±
# �����%�������� � ������������ ���������������������� ��������������$��<���-����'����
�� ����� �52]����������������� ��0������ ����������������32QQQQQ�� ������,����������� ���������� �E������� �������� ������������%������
X��������(� 32600000, 16, 0,25,
12K i p t+ = = = = ������������ ��E�� ���
( )100 100 2600000 2600000002500000,
100 100 16 0,25 104
K iK
pt
+ ⋅= = = =+ + ⋅
( ) 16 0,25 2600000100000.
100 104
pt K ii
pt
+ ⋅ ⋅= = =+
&����������� �� �E�����������3AQQQQQ�� �������������������� �%������5QQQQQ�� �����
�� �������
������������� �$���� �� ���������������������������� ��� ����� �������� � ��� ����������������%��� ��������� �E�������������� ���������'�� ��� ����������������� ������� ����������� �������������������%��� ��������� �E������������'�� � ������������� �������������� ���� ���� ����������������� �E������� ������������ $� ��
��
�������������%����E����DQQQQ�� ������ �6]��� �������������553Q�� �����<)+�02A-
�
# �������'������������������E����D.QQQ� ��������3.�QA�� ��� ����0Q�QD��� �� ������ ���������36..�� ����7�<�+02Q-
�
��$������ �.]����������������0���� � �������� ��5.A2QQ�� ������ ��� �����������E����� ����������������������7
�
# �36]���������� �� �����DQ������������E����������� ��30QQQQ�� ������ �������������� ������������� ������� �����DQ������ 7
���� �������������
& ������� ������������������ ����������� ������� ��������� ����������� �����������
����� �� ��� ������ ��� ����� E���� ��� � ������'�������������� �������� ���������������� �� ��E$���������� ������� ���� ��������� ������(����� �� ��� ����$������ ��� ��������� ����� �� �������������������������������������������������� � ����� ���������� �
:��������� ������ ����������� ��� ������������ �� $� ����� ��������� �� ����� ���� ������������� �����<���� ������������$���-����� ������������� ������ ������� ���������#������������������ �������������������� ������������� ����� ����E�� ����
� ������� ��3.QQQQ�� ������� ���L������ ��0��������� ��������� ����������� ����� ������ ���� ���� �����������0��.�� �A��� ����������� ����������%����� ������� ����� 7
���������
8?���������� ������7
8?������ %��� ��������������� ������ ������7
,�������������� ���������� ����� �����������$���7
8?����� ����� � �� � ������ ����� � 7
J� ��%����������������� �� ��� ������������ ��������'��� ���� ��������������Y�����(�0�(�.�(�A��@�������� ����%���������������������3�� �8�� ��������� ����� ����������8������I�������� �
3 , 4 , 5 .x k y k z k= = =�����'�� 240000,x y z+ + = � ��(
�3 4 5 240000, 12 240000, 20000.k k k k k+ + = = =
� �������DQ����� ������ ��� ������������A�(�P�(�2�
� ������ ��533AQQ�� ������� ���L������ ��0�� ��� ���������� ��A��D�� �53��� ����������� ��������E�� ����� ������ ���� ���������� ����������%����� �����������7
�
� ������ ��A.3QQQ�� ������� �������� ������� ����� ������������ ��������� ����������� ����� ������� ��������� �� ���������������������������������� ������������������5Q���������5Q���������������� ������53���������D������� ����������� ��� ���������������5A���������A�������������� ����������%����� ������������� ������ ������������ ���������������� �������7
�
B�� ��� 60000x = �� ������ 37500y = �� ������ 25000z = �� �����
���$������� ��6AQQ�� ������� ���L������ ���� ���� �� ��� ��������� ���������E�� ����� ��� �E�� � �$����� � �E�� �� �$��������(��������AQQ�� �������������2QQ�� ����������������� ���6AQ�� ������������� ����������%����� ����7
& ������ ���������� ���������� ������������������ ��
� ������� ��5QP3QQQ��� ���L������������ ���������� � �������'��� ����������������� �����%����3Q]���� ����� ��� ������������� ����������%����� �������������� 7
��� ������������ ������%����5QQ����� ��� �����������%����5QQ/3Q]����5QQ���� ��������53Q��������� �� ��������%����53Q/3Q]����53Q���� ��������5..�: ����� ������3�� �8�������'���� �����%��������������� ���*����������� ������������3���8�4�5QQ�(�53Q�(5..���� �������4�5QQ)��3�4�53Q)��8�4�5..)����������� ��������3���8�4�5QP3QQQ�������������+�5QQ)�/�53Q)�/�5..)�4�5QP3QQQ���02.)�4�5QP3QQQ�)�4�0QQQ�B�� ��� ����4�0QQQQQ��3�4�02QQQQ��8�4�.03QQQ�
� ����� ���������$���������� �� ��� ��������������+#
��� ������������������������������������3�� �8����� ���� ��� : : : : , ,x y z
x y z a b c gjegjësish ka b c
= = = =
�� �������� �(� , , .x ak y bk z ck= = = ��� ��x y z A+ + = ���� �� , .A
ak bk ck A ka b c
+ + = =+ +
B�� �������� ��(� , , .A A A
x a y b z ca b c a b c a b c
= ⋅ = ⋅ = ⋅+ + + + + +
� :��������� ������ �� ��������� �����$�E��������� ����� ��������� � �'� ������� ������� $� ����� ����
��� ������� ������������������3�� �8���� ��
1 1 1: : : : ,
5 8 12x y z = ��� ������� : : 24 :15:10.x y z =
�� �������� 24 , 15 , 10 ,x k y k z k= = = ��������� ��24 15 10 122500;k k k+ + = � 49 122500, 2500.k k= =
�
: ����%���������� �����������������3�� �8�� ����������������� : : 10 :12 :15
10 :8 :5
x y z ==
: : 100 :96 : 75,x y z =
�� �� ��� 100 , 96 , 75 .x k y k z k= = = � ����� '�� 542000,x y z+ + = � � ��100 96 75 542000,k k k+ + =542000
271 542000, , 2000,271
k k k= = = � �������� 200000x = � � ����� 192000y = � � ������ 150000z =
� �����
>���$������������%����������� ��30A3QQQ�� ���������$�������� ������3Q���������������������D���������6�����������������03���������������������5.����������A���������������$�������� ��� ���3D��������������������52����������5Q��������������������� ����������%������ �����$����������� �������������������� ����������� ����� �������� ��������� �� �� ����� ���������������7
>� �%������$��<�� �=��������������������������� �������������������������������������352QQQ� ������������������������������������� ����������� ����������� ����� �������� �$����� ���������������� ���������E�� ����� ������� ���������������
���
������ � ���
%+('
�++'%�'' ��'
�''
)'
>�������� �� ���� ����������������$ �������� � (
� ������3�� �8��������������� �'���� ���L����� ����%�����$��<�� �=��@�� ��� 216000,x y z+ + =
�� ������� ������������������������������(�����3���8�4�0�(�A�(�5Q��%�� ������)��3���)��8��7)�5D)�4�352QQQ��������������)�4�53QQQ��B�� ��� ����4�02QQQ�� ������3�4�2QQQQ�� ������8�4�53QQQQ� �����
�� K�����%����E�������(�AQQ����������� �����3Q�� ������0QQ�������������0Q�� ������ �3QQ����$���� ����.Q�� �����������$��������� ��.QQQ�� ������� �E�� ������������ ����������� �E�� ��������� ����������� ����� ������������������������ ���������E�� ����� ��� ���� ������������������������ ������� ��������������� F����7
: : 2880 : 3200 : 3840x y z =1 1 1
: :150 100 60
= ���� �������
2880 3200 3840: : : :
150 100 60x y z =
�� ���� ���������$������� ���������� ����������� ��������� ��� �������������� � (�����+�� ���2�/#
�������� ������� �������� ����� �����%���7
���
���
������ ��533�AQQ�� ������� �������� ������ �� ������ �����A��D�� �53��������� ����������%����� ������� ����� ����� �����������(�-����������������� ����� ������ ���� +$-��������������E�� ����� ������ ��� 7
� ����� (
�-��������03��������� ������������0(A+
$-��������P2������ ��� ������������5(0(.+
�-��������66��������� ������������ 2 4: ;
3 5
���������%�)�������������������������5 1
12 : :1 .4 2
������� ��5.A2QQQ�� ��������� ������ � ����������'��� �����������������%����3Q]��������� ���������������������� ���������%����� ������ ���7
�
������� �� 50AAQQ�� ��������� � ��� �� � ����������'��� ������ ���������������%����5Q]��������� �������������
�
,����������� �������� ������� �� ������������������ � (�� ���������������%����
1
4�
�������� ���������������%�����2
5� �������
�������� ��������� ������%������ ���� ��$ ������532QQQ�� ����� 7
�
������� �����%������� ������������ �������������������������(�� �����$����������5A]���%��������� �����<����.Q]���������� � �����$��� �����=�����������'��������������$�� �<� ���$���������� ��� ���� �$ ����5.QQQ�� ����� ����������� �����?��������� ����������������� ������$��<�� =�� ������� ������ ���������� 7
�
�
���$�������� ��.Q2AQQ�� ��������� ������ ���� ������������ ��������� ����������� ���� �������� ��������� �� ����� �������������������������� ������5Q��������������������5Q����������������� ������53��������������������D������������������������ ��� ��5A���������������������A��������������� ���������%����� ���������7
>� � %������ ����� � ������ ��� $����� ����������������� ��� ����� ��5D63QQQ�� ����� ����� ��������������� ����������������������� ����������� ����� �� ���������������� ����� ������%����� ��������� ��������E�� ����� ����������� �%������ ����������>������� �� ���� ����������������������$ ����
�������������������� �����%���7
������� ������������������������������$� ���� ��� ����� ��32DQQQQ������������� ���������������������� ����������� ����� ������� ���������� �'������������������������������� ���������E�� ����� ������� ���� ���������������������������� �$� ������� ������������������������53����������'�������������DQ�����+�� �������������������������A��������'��������������5QQ�������� ��������� ���������������5A����������'��������������2Q������� ���������������������������3Q������������������������0Q�������������������������� ������ ���7
�+&��� � ����(
���&�%� '��"(& �
�+'
��'��' ��#�
%�#�
)�#�
+&��� � ��,�(
+&��� � ��,�(
���
�� ���������������� ���E���� ��%����E������ ���������� (� �������%����E��3AQ����� ������5DQ����������� ��� ���3QQ����������� ��������� ���������� ������������ ������53Q������� �� ������3QQ�������� ��� ���0QQ������� �� �������������������� �E�� ���� ��35PQQQ�� ��������� ����������������� ���������� ����� ����� ���� ������7
����� ��������� �����
��������������� ������ �� ���� ������E������ ����� �������������� ����� �� �������'�� ��� ����������E� ���� ������������� �� ����������������������%������� ����E� �� ��<������-�������(�F����������� ������������������������������� �'�����E� ��
,����������F������������� ����� ������������������� �'�����E� �� ���� ����� ��������'�������������� �������� "�� ����
�������� � ������������E� �� ������������� ������� � ���������� ������'������������ ������������������E� ����%�� ������� ���'�������%�� ����� ��������������E� ��� ��������� ��� �F������ ����������
� � K������������ ���� ������������ ������������ ����� �� �������(������� �����������3Q°,������� ������3A°,�������� ��� ���36�°,�� ������� ��������3.°,�� �������� �� ������
� ����� �������������7
� 8���������������������'�� ������+���������� ��2.�� ���������+������ ���� ������2D�� ���������+����� ���� ��� ���63�� ����������� �������F������ ��������5�����������������������������������'�� �7
64 68 72 7469,5.
4c
+ + += = ���&�������F������ ��������5������������������������2P�A�� �����
�������������+���� �+���+��������+��������F��� ���������� ������������������ ���F������+�������E� �� ��
%���������� ����� ������ ��� ���������� �+���+��������+���������������1 2 . . .
.nc c cc
n
+ + +=
:��������� ��� ����� ����� ������������ ���������������������� ��� ���� ����E� �� ��
1 2 3 4
4
t t t tt
+ + += = 20 25 27 24 96,
4 4
C C C C C° + ° + ° + ° °= ������� 24 .t C= °
> �� ��������� ����� � ������������� ����� ������ ��� ������ ��� �������������� � ����� �� �������������� �������������
���
� �������� ��������� ��� ���� ����������� +�5Q��������5DQ�� ������2��������3QQ�� ������ �D�������33A�� ������ ���������� �F�������������� �'��%�� ��� ����E� �� �� ������ ��� ���� � ����������� 7
���� ������� ���� ���������� ����'������� ���� � ����������� (
�'�#"������+'�� �����= ��+''
�)�#"������''�� ������= ���''
�+�#"���������� �����= ��+''
�(�#"��������������������������= �(+''�� ����
4800 : 24 200.= �B�� ���F����������E� �� ����������� �����5���������� ���3QQ�� �����
"� ����� ����� ����F������+�������������� ������� � ������������ �F��� ���������� �+���+�����+��� � ��� ���������� ��
��������'
�� ��� �������������������� � �������� ��(
"� ��� ����E� �� ���� ������ ��� �$���$������ ������� ��� ��� �����������'��������� ������$���� ������E� �� ��
��������� ��+
( )1 1 2 2 1 2... ... ,n n nq c q c q c q q q c+ + + = + + + �������� ������������������ 1 1 2 2
1 2
....
...n n
n
q c q c q cc
q q q
+ + +=+ + +
8��������� �����������������%���� �'� ��4��������� �� ������� ��� �������������� �� ������Y�� ����-�
� �������$������ � ����AQQ�"�� ���� �%������P]��2QQ�"�� �%������55]�� �PQQ�"�� �%������5.]�� ������%������� ����E� �� �7
E���������� 1 2 3 1 2 3500, 600, 900; 9, 11, 14,q q q c c c= = = = = = ����� ��+#
500 9 600 11 900 14 4500 6600 1260011,85.
500 600 900 2000c
⋅ + ⋅ + ⋅ + += = =+ +
&�������%������� ����E� �� �������55�DA]
� �����E����������'�������� �$�����������������������F��� � ���������� ����������� � � ��������������� ��������������
���
���E� ������������� ��()������%�"�� ����� ����� ��� ������������ �������������E� ����� �+)����%�"�� /��� ����� �� � �������� ���� � �'�����E� ��
���E� ���������� ����$�E � � �����33�� ������ �����36�� ���������5����'�����%���������E� �� ��� �3A�� ����� �����5���������������������� ��������E� ��������� ����$�E � � 7
��������� �$�����������E� �� ��������%�E����������'������ ��� ������������ �������������E� ����� ����� ���� �3������������� �$�E � ��������������������� ������������������� ������E� ���������� �������� �<��/�3-����������� ��(���⋅� ��3�⋅�36��%����3�-3A��33��/�363�4�3A��/�3A3��33�4�0���/!�/!��������3��3(0��&�������������������������$�E � ���� ������ �� ������� ����������������������0��� ���
>���'�������������� �������������: ����� ���+��� ����F��� �� ������� � �������������������+������F���������E� �� �������� ����� �� ��
��� ��
������������������ ����������������� �������������������� ��������
����������� � ����������E� �� ������� ��(���+������+���%�������&+��/!����)*������+��C�+:�+�,����<���)�+&���%+-�+
�&�� ����%�������������������
��(��
��4<�
��)�+&��<�)�+
�&#
����� ������������ ��������������� ��������������������'�������������� ��������/ ������� ��� ���(
�� ������� ��� ��� �������� ��
���������������� �� ��� ����+
�-+�� �+-+
�#
����� ����� ����������
�� ������� ��� �����������������������3�(�0�
�
1q
2q
1c
2c
( )2c c−
( )1c c−
�
�� ���� �� ( )2 7 2 5 2− =
��
�* 0��� �� ( )2 5 2 2 3− =
� H����$� ����� ���� ���������+�3Q�������53�� ������3A��������5D�� ������ �0Q��������33�� ��������5�����,����F������� �������������������5����
� :������� �� ��� ����������E� �� �� �� ������ ����������������� ������������������� ������� ��������������� ����� ������� ���������$����������������$��������E� �� �� �F����� ������ �������������
K�������������� �� ���� �������������������� �������� �� �������������������
���
� ����������������E� �� ��� �������������� �������� � �������E� �� ��� �%������3A]�� �.Q]��'����%���������E� �� ��� ��2Q � �� �%������0A]7
&���������������������� ���������� �������
&��������������E� ���� �������� ������������3Q � ������������� ������.Q�� �
�� ��� �� 4 l 2 0⋅ = �
%�
(' ���� �� 4 4 0⋅ =� �
���E� ���������� ����� ��������02�� ������ �AQ�� ���������5�� ��'�����%������5.Q�� �� ���� ������������� ������..�� ���������5�� ���������������� ����� ������ �� ������� ��������7
���
�
�
>����������� ����� ��� �� ������������� ���� �� ��A�� ����� �����0��� ����� (�5Q2QQQQ� ������ 50AQQQQ� � ����� � � 5D3QQQQ� ������ ������(�-�>����������� ����� �� ����� ��� �� $-�>����������� ����� �� ����� ����� 7
�
���E� ������������� � �� �F��� ��� ��3AQ� ������ �03Q�� �����'�����%������������ ��������� ��.3����� �F����0QQ�� ����������������������� ����������������� ����������� �7
�
�������$�$�� ������������ ����$�$� � (5.Q/� ����30Q�� ������ �5DQ�/� ����56Q� ������ �������F������ ��������$�$� � ������7
� # ����E� �� �� ���E����� ��0A�� ����� ��.Q� ����� �� �.A�� ����� �����5���������%��������E� ������ ��.3�� ����� �����5�����# ���������������������E� �������� ���� ������E��7
� ���E� ���������� ����� ��������02�� ������ AQ�� ���������5�"��'�����%������5.Q�"�� ���� ������������� ������..�� ���������5�"��������������� ����� ������ �� ������� ��������7
&��������� �P"�������� ��P2]�� ������������� ������� ��'�����%�� �������� %�������� ��02]7�J�� �������
� ���������������������� ������ �� �����������'����� ������0A�� ���������5����� �.D�� ��������5����'�����%�� �������� ���������� ��32Q����������������������� ������.Q�� �����������7
���
%�
(�
('
%'
(�
���� �� 1 5 k g 7 5 k g⋅ =
���� �� 1 5 k g 3 0 k g⋅ =
���� �� 1 5 k g 7 5 k g⋅ =
� ��� �� 1 5 k g 1 5 0 k g⋅ =
%%'
����� �33��� ����00Q���
� &��������� ���������� ����������� �F���(�0Q��0A��.3�� �.A�� ��������������������������������� �������������� ��� ����������'�����%���������E� �� ��� ��00Q����� �F����.Q�� ���������������7
���������������� ������ �����E$����������������� ������ ����������E� �� ���K� ���������%��������F�%� �� ����������� ��� ����()�0Q�� �.A�� ������ ������������������� ���� ������ ����� � �A�� �5Q�<���������� ��� ���� ���E� �� �-+)�0A�� �.3�� ����������� ���� ������ ����� � ������3�� �A�
!"��(�(��K��������E� �� ����� ��������%����������F�%� � ����� ����� �� ������������ ������������<����� �$����.A-�� �����������$���<����� �$�����0Q-������������������<�������������������������.Q-�
�����'������� ������������ ��� ������33���������00Q����<� ��� ���������� � ����E� �� �-� ��� ������� �33�� �%������'����������� ����������� ��������������E� �� ���������� ������5A���������� ��������������������'�� �������(
�� ���������� ��� ��� �����������()�6A���������������������� �F����0Q�� ����+)�0Q���������������������� �F����0A�� ����+)�.3����������������� ����� �F����.3�� ����+)�.A������������������������ �F����.A�� �����
� ����� ��������� ����������������
��������
8���������������� ��� ���� ����E� �� �7
8%������������� ������E� ����� ����������� ��� ��� ����E� �� �7
����� ��$���E������� ���� �3������������� ���E����� ������7
��� ����E� ������ ��������������� ����������'�����%���������E� �� ��
������ ����������������� ���� ���� �� �������� �������� "�� ������� $� �#��� �����������������E� ������������ ��()������%�"�� �<�������� ��� ������������ ������������E� ����� �-+)����%�"�� � <�������� ��������� � ��� � �'����E� �-
�
���
"�� ��� ���������� �$���������� ������� �F���������������� ������� ��� ���� �F��������������������������������
� & ����� � �����'�����E������� � ����� ������ ��%����E������$��������� ���������� � �
� &��������� �.������� � ������������ �F����32��3D��05�� �02�� ������������������# ����E� �� ������������%������2PQ����� �F����00�� ����������������������� ����������������� ����������� �7
��������������� ���� ������� �F���������������<������ ���������$��-���������������������������� ������� ������ ���� � �<�� ��32��3D�� �05�� ����-�������%�������������F�%����� ����������������E� ��� ���������������<�� ��00�� ����� -������'������� ����� � ���$��������������������� �������(
�+
%)
�)
%�
0��� ��� 3 0 k g 9 0 k g⋅ =0��� ���F�%'�#"�;�,'�#"
),'
����� ��������%���� ��������������),'�#"
%%
690 : 23 30.= ��� ����������%�������� ��� �����������+������PQ����������� ���� ���� � ��������+)�.3Q����������� ������������������
"� ��� ����E� �� �(�2PQ����⋅�00�� �����4�3366Q�� �����
��*,$�
K���� �(�3366Q�� ����
� � � ���� � �������� �� ����� �
0��� ���F�%'�#"�;�,'�#"
<6�/�A�/�3�-��� ���F�%'�#"�;�(�'�#"
PQ���⋅�32�� �����4�30.Q�� ����PQ����⋅�3D�� �����4�3A3Q�� ����PQ����⋅�05�� �����4�36PQ�� ����.3Q���⋅�02�� �����4�5A53Q�� ����
���
� &��������� �.���� ������E�������03��0.��06�� �.5�� ������ ��� ����� ��� �����$��������E� �� �� ��3.Q����� �F���(��-�0A�� ����+�$-�0D�� ����������������������� �������������� ��� ���������7
# ��� ���������������� � ���������$������������� �������� ���� ������������������������������� � ������������Y�� �������� ��� � ������������<���������������������-�
1q 3q 2 1 32 3q q q= −�' � ���������*�� � ���������(��+ % ���������*
������������ ������� ��������� ������������� ������� �������� ����� �E���� � ������� �$�������� �� �����
�������������� ��� ����� ��(������������4�D(6(0���� ��������4�L)�������)�����4��)#�1��������������������4�02Q������ ��L)����)����)�4�02Q�������������)��3Q�
&����������4�52Q������
��4�5.Q������
��4�2Q����
� ������ ����������.���� ������������� ���������(�56��35��3A�� �0Q�� ����������������J� ����������60�"������� �F����30�� �������������������������� ������ �� ���� ��� ���������7
� � >� ���� ���������� �� �F���(�33��3D�� �03�� ���������5������ ��������E� ��'�����%�� �02Q����������� �F����32�� ����������������������������� ������ �� ���� ��� ����������
& �����������E�������� �$���E������� �� �������� ��
������������������ ��������������� ���� � ���
������ ����� ���� ��(� ( )1 2 3 1 2 3 1 2 322 28 32 26 , 4 2 6 0 |: 2,q q q q q q q q q+ + = + + − + + =
1 2 32 3 0.q q q− + + =
J���E������%��������� ��������� ��� ������������� ������%���������E����� ���� ���������� � ���� ����������������� ��I�����E������������$���E����������������������� �������� ���� ��������� ���# �F?����� ���� �������������������������� �� �����������������%�� �� �� ������ ������F����������� � ������������� �� ������: ����� ������������ �$����������������������������� ��(��� ��-���#
# ����� �� ��� ��� ����F%������ ����� ��
������������� ������������ �����
��
��
���
�
�
� # �������������� ������������������ �������E� ��������'����� ������3D��0A��.3�� �0P� ������������������'�����%�� ��62D����������������������� ������00�� ����������������7
# ������������ ������� ������������������ �������E� ��������'���������� �����(�DQ��DA��P3� �P6�� ������'�����%�� �����E� ������ ��3.Q���� �F����DD�� ����7
� &��������� ������������� � ��������������(3.��00��0Q�� �02�� ������������������� ��# ���� �������������%������35QQ������������ �� �F����05�� ������������������������ ��� ������������� ��� ������������ �7
� ���� �����A.������% �����362�� ������ 22������% �����3DD�� ������ ������������% �� ������ �� ������0QQ�� �����'�����E� ��������� ������3PQ�� ����7
� &��������� ���������� ��������������� �F���(53Q��5.Q��56Q�� �5PQ�� ���������5��������������������� �������������� ��� �����������'����%������5AQ����� �F����5AQ�� ��������5��7
X�������E� �������� �%������.3]�� �0D]� �����'�����%�� ��52Q������������� �%�����0A]��������������������� �� ������������� ����7
� # ��������������� ��������E� ��������� %������.3]��0A]��.D]��2Q]�� �AA]�'����%�� ��32Q������������� �%������.Q7
��
��������
>��������������������$��� �������������������� ��� ����()�# ���E����� ����� +)�# ������������� ��� �� � �<� ��������� �����-+)�# ��������������� ������� ������ ������$������ �� �� ���
����������� �� ��� ������������ �����������������������$ �������� � �
����� �������� �����������������������
# ����������������������'��� �� ��������� �� ��%����������������%����7
>�� ������ ��$� �������� ���� � �� �� ��� ������ ������� ��� �� ���� ����� ������������������ ���������������
� �
- ��
.�(�
/ 0 0 1 2 )/ -
� � � � � � �
,������������ ����� ��� ��7
,������������ ���������� ��� �����7
,�������������������������������������� �� ��� ��7
K���� ��������� ��� �������������������7
#������ ��������� �����'��� ������������� �'� ������ ���$��� ��
� >����������������� ��� ���������������������� �������������� �����'����� ���������������� #
M����������������������E�����
! # # � � ! &
�
�
�
�
��
- �(�
.�(
�
I������������������'�� ��� �������������������� �� ���� (
>����E�� ��$������E������ �������� � ����� ��������� �'������������ ����� ����������$ ���+
>����E�� ��$����� �����������E�� � ��� $��� ��� �� ����������� �������� ������������������ ������ ������������������$ ���+
>����E�� ������������ �������� ����������� �������� ������������ ���������� �����$����� ������+
>������ �����������������������������
&������ ��� ���������������� �
���
� ���$��������� ������0Q��=���������������������������� ����� �������� �3Q��������������� ����%���������=����� �����������������������
�� �) �' �+ � �' �* �� �) ��
�� �' �+ �' ( �% �' �+ �' �(�+ �� �+ �, �� �' � ) �� )
�����$ ���� ��������������������� �� ���� �>������������'����� ���������������
����������#�$������������
���������:����$�
��3�� ��3�� ���3��� ���3���
� � # ����� ������ ������E��������������'������������������������� ���� ����� ���������������������3.���� ������� ��E��� ����� ���������� �
>�������� ��������������������'��������$ ���
8?������������������ ����� �������� ���� ��E���� ������� ��5A�� ���3A�� ��� �� ������� ��0Q�� ���.Q��� �7
� �' �� �' �� %' %� (' (� �' �� )'
�
(
)
+
�'
��
�(
�)
0�&���4* ���
5��
��4�
�(�
��������������� ��E��������� ������������ ������������ �����������������������7
6�*�7���(��"7$8(
@����� �:������������������ �$�F��� �������� ��� ���������3.QQ����B�� ��� ������������������������������������� ������������������� ����������� ��������
�
@��� :����
�
�
��
��
��
��
��
�
- &
��%�
��48
�
5���48 %� � � � � � � � � � � �� ��
���
,���������� '����������������� �����7
���F%����������� �� ��������������� ����������� �@������ �:���������� ����������������' ������� �����������7
,������������������������������ ����������7
������������������� ��������������� ������������ �@������ �:�������������������' ������� ������������7
��������� ���������� �5DQ��=������������� � �
>�������� ������������'���� �� ������ �� ����������� ��������� ��������'�� ��� ��������� �������
���������=����� �'����������������
���������������������' ����� ����� ��������� ����
K��� ����
������� K� ������� @������ *�������� B�����
��������=�����
�� �� )) �( �)
����������������02Q°������������������=����� ������5DQ°�02Q° (�5DQ�4�3°�
�������� ��3°���������������������� �������=������
,������������������� ���=����� �'���������������������� 7
����� '�� 33� �=������������ ������ ������� �� ��� �� � 33�⋅ 3° 4�..°����������..°����������������������������� ������������=����� �'���������������������� �
��������������� ����������� � ����� �������� ������ ����������������� �������
97��8�% &��
104°
:$& &�� �32°+�(%"7 &��48°
;��' &��
� 44° <%"' &��
132°
���' �E����� ��
������������������������������$ ���
>����������������������������%�������� �����PQQ����������������������%�$�������������������$ ��������'����������������� ����������� �������
��� �����
������ ������A�� �2
������ ������2�� �6
������ ������6�� �D
������ ������D�� �P
K���� �
��'
,'
%+(
%')
,''
���
��� ��������������� ����������������������������������� ��������'������� ���������� ��� ����� ��� ����������������������������� ��� ��������������� ������������ ������ ��� ���
���$�$��� ��������� ����� �63Q���$����@���������������������(�� ���������$����� �������$������������������ ���$���� ��������� ��>�����������������'������ ���������� �������
��$��������
� 60°��$��
�� ����� 40°
� �����
��$���� ��������
� 80°
������70°
,����������� (��������� ����$��� ��� ����� ���$��� �� �������� ����$�$��� ��������� �
K���� ������ �63Q���$����&�������02Q�(�63Q�4�Q�A���� �������������$������������� ��Q�A°������ ���� ����� ���� ��$���������� ��� ����� �� �� 2Q°�� �������2Q�(�Q�A�4�53Q���� ������������ �53Q���$����������
������������������������ ������'������' ��� �����7
���������������� ������ ����$�$��� ��7
�� ������-
��������������� ������ ��(
,���������������'������� ���� �F?���������'����������������
�� ���<����������-� �� ������$���� ����������������������� �
"�E�������� ������ �����'������'�������������� = ��
���
B� ��&� ��������������� ��P����� � �� ������� ����� �������� ��� ��<����-� ���� �������$ �������������������������������� ���� ��� � ����E$������� �����������5P33������'�������������� ������������������
�
���� �� ����������� ��
>��
#����
H���� ��
������
�
�
�)
�+
��
+
�
T����
� �����
������
���
��� ��$ ��� ���������������� ����� �����������������0A��=���������������� � ��# ���������������������'����������������������� �� ������������=����� �������������� �����������
� 0$�7 -��� 0$�7 0$�7
=�%��
)�#$��
0��&
2� ''
0�7
>��&���
5��� #
)������
9$&��
?����
6(%���
-�7����
+&���&��)
�&��)&��+
%�
�&�(&�,&��)&��(&��*
�&�)&�*&�+&��%&��,
��&��'&�%'
��&��%
�&�,&��%&��*
��&���&��+
��&���
�&��)
>�� ������ ���� ��$ ��� ����������������$����� ��������5PQQ� ������������3QQQ�� ��������)����� �T�� ��)������������3Q3Q����'�� �� ��������������
�D���
G���������� ����
�,'' �,�' �,(' �,)' �,+' �''' �'�'
�&) �&, �&% %&' (&( )&� *&*
�������� ������������� �������������������� �������������� ����� ���������� ��� ����(#��������� �0Q��� � 0Q�� ����+�� ��05�)�0P��� � 5A�� ����+�� ��.Q�)�.P��� � 3P�� ����+�� ��AQ�)�AP��� � 5.�� ����+�������� ����� �2Q��� � 53�� ����+>������������'����� ������������ �������
�
H������� ���������������� �������E � ���� ������'������������������������� ������� �����������������������������35Q�=�����"�� ������������ �������,����������� ����������� ����������E ��,�������������������������������� ������'��� �
�
87�#(& �
��#% #�
��#8���8
&�#�%��&��@(����
��#3�%�(����� ���
��� ������
���
����������� �����������
� ,������ �������� ������ ����� � ������������� � �� ���� �(�-�#�����+ $-�� ��� ���+ �-�����+ �-���7
� ���� ��������2������53������D����0Q�������7
� 8����������������������������������PQQQ�� ������ ��� ������� ��������� ������0Q�����������%��������������� ���� ���� �A��0Q����5Q���� �53���7
� �������52Q����� ������������ ���'�������� ���������������3(A(6(2�
� ,���������������������� � ��������������������E�� ���(�-� ����� ������������ ��� ��� ����+$-�B����� ��������� ���+�-�"� ��� ������� � �� � ���� ������������� ������� ���������������+�-�"� ��� ������� � �� ������� ������������� � ���� ���������������7
� �������������3Q����������� ������$�������������������.A������������� ������%�������5A���������� ����3Q������ �������������������� � �5Q���������������������������� ������� ������%�����7
� ����������� ������E��% �� ������5��� ���������������D����������=� ���.Q������������ ��������������������=� �����D�������������2�������E��% �� ������3����� ����� �������������������������7
������������ �0Q��.QQ�����������������������5D3.Q�e�� ��������5���������������� ���������������������5e�4�.Q�QQ�� �����
���������������� ������������������������������������������������ ����������5A]�� ����������� �������� ���������������55PQQ�� ����7
�� ������� ��� ����<�-��� � ��� �%������(
�-� ;100
k pi
t
⋅= ������$-�100
;k t
ip
⋅ ⋅= �������-� ;100
k p ti
⋅ ⋅= �������-�100
;k p
it
⋅ ⋅= ����)���������������
�−���'������ �����������−��� ���� ��������� �
�� �������� ��� � ����AQQ"�� ���� �%������P��2QQ"�� �%������55]�� �PQQ"�� �%������5.�� ������%������� ����E� �� �7
���
B������������ ��������������
����� ����������� ����� ��E�� �����������������������������
& ������'������ ����$���E�� ���� �� ��������������
��
��
�
������ ����.��� �/����.��� 0123��/2�4�2����
�����
J���E�������� $��������������� �
J���E������� ������������������� �
H$���E������� ���� ������������������������������������ ��
*����������� ������������������� �
��� ������$���E�� � ��� �� �� ���������������� ��
�����
�����
�����
�����
�����
�����
��������������
��������
& ������� ����� ������� � ���������������������� ��
�
�
����������
����������
����������
����������
����������
����������
����������
���
��������
��� ���������� � ��� �������������������������
��<��g�Q-�'� �� ���������<� �a
b -+�������'� �
�������������������������'� ������������������
��������
������ �� ��������� � �
������'��%�� ��� ���� �� �� ��� ������������� ���'� ����� �� ���������
� � ,������ ���� ��������(
�-�16 : 4; �������$-� 2 4: ;
3 5��������-� 2,5 : 0,5.
"� ��� � �������� '� �� � � ���%������� ��� �����������M������������� ��� �)�
� ,����� %��� ����� ������ ��������� ������ �(
�-�100 : 25; ������$-� 9 3: ;
4 2�������-�100 m : 25m; �������-� 6kg :12kg.
"�� �� �� %��� ����������� ����������������������� �������
�� �������
! ���������������� ������ �������� ��������� �������������������� ������������������������������ ������������������'� �������������� ������� �
� ,���������� ������������������� (�-�6�(�35+����$-�0A�(�A+�����-�25�(�0��+�����-�0���(�A�+���� -�3A"�(�5D"
�
��������
,������� ������� � ����� � ���������$���$����(�-�2�(�3+�����$-�5A�(�5Q+������-�.�A�(�0+������-�A�(�37
� � 8%������ � ����������� ��5D�(�53� �5A�(�5Q7
����� ����� ��������� ���������������� ��������� ��$���E���5D�(�53�4�5A�(�5Q�� ������'� ������ �������
� # �������F�%� ��������� � �����������������%�� ������� �����(�-�0A�(�A�� �A�(�.3+������$-�5A�(�0�� �5D�(�2+�������-�53�(�0�� �3Q�(�A7
�� �������
����� ������������$���E�� ��������� � ���������������������������� ��������)�� �+������)���� ������+��#
�
���
� �� ���������� ��������� ��������� ������������������������� ����$� ���� ��������� ����� �(�-�3�(�A�4�2�(�53+������$-�0A�(�A�4�3D�(�.�
8������ �7
�� �������
����������������� ������������������$���$������ ��������� ��������� ����$� ������������� ��������������������+���� ��������+��������� �����⋅ ����+�⋅ �#
� ,������ ��$���E�� ������������������� �����(
�-�3A�(�0A�4�5Q�(�5.+ �$-�56�(�53�4�6�(�3+������������-�3�2�(�5�3�4�5�A�(�Q�A+���������-2 3 1 4
: :3 4 2 5
= �7
�� ��$���E�� �����������������%�������� �����(��-�A�⋅�2�4�5A�⋅�3+�����$-�0⋅�.�4�2�⋅�3�
"�� �E����� ��
,������ ���� ����������������������� ��������������� ���I#
"�� �E����� ��
: ����� ��������� ����������E�������� ������� ������������������������ ��� �� ,x a b= ⋅ ������������������� ����� ��� � ���� � ������� ���� ���
�� �� ��� ����� ���� � ���� ���������� (��-�P�� �52+���$-�.�� �3A�
� ��
�-�5 : 2 15 : 6= �� �5 :15 2 : 6= �� � 6 : 2 15 : 5.=
3 4 2 ,x⋅ = ⋅ ��� ��������2�
>���������� �$���E�����6 3
4 2= �E������������������E����������5�
"�� �E����� ��
��� �������5�� ���6 3
1 14 2
+ = + �����6 4 3 2
,4 2
+ += ��� ���������( ) ( )6 4 : 4 3 2 : 2,+ = + �� ����
E$� ����5�� ���<2�)�.-�(�.�4�<0�)�3-�(�3�
������������������ �E����� �� �� ������55� �E$�������������� ���������������+������%����������� ����� �%�����&������%+����&������ �%��-��&������%+�-��&���������������'� ����� ������������&�� ��
�� ,������������� ��������� ������ �������(����( )3 : 3: 2;x x− = ������( )2 : 5 : 3.x x+ =
"�� �E����� ��
$-���������� ����������=� ����<3�/���-��&����4�<A�)�0-�(�0�%������3�(����3�(�0���� ��������� ��� +����0�
��
� �� ,������ ���� �� ������������.�(�3��2�(�0�� �5Q�(�A�
>���� ������ ��������� ���� ���������������� ��� �.�(�3�4�2�(�0�4�5Q�(�A+��� ����������������������.�(�2�(�5Q�4�3�(�0�(�A�
����������������� ������������
���+��+
��%�� ��$���E����(��(�+���
����
����+
�� ������'� ���� ���������
��"���� �
��������� �������1 1 1
a b c
a b c= = ���� ��� ������)�������)�����+��+�)
�� ,�������3�� �8��������� ������������3���8�4�3�(�0�(�.����� ������ ���� ������36�
"�� �E����� ��
��������3���8�4�3�(�0�(�.���� ��� ��2 3 4
,x y z
k= = = ������������ 2 , 3x k y k= = �� � 4 .z k= ���� ����
�� �����E�� ����������������������3���8�4�36��%������ )����)���I)�4�36���� �����)�4�0�
�� "� ����� �5AQQQ�� ����� ����� ������ ��� �����������+�.(A(2�
"�� �� �� ������ ����� ��������������3������+������8�� ����������������������� ������� ������ ����������$���$�������� ����� ���������%�� ������� ����������E�������������+����������3���8�����
�� �� ������� ����� � ���(����.�(�0����(�+��6(D�� �+�(����2�(�P��%�������� �����������E�����
"�� �E����� ��
��������� ��������������� ��������<� �����E���������� ��������� -�%����������� �����������(�+��3D(3.� ���(�+��6�(�2���������������������������������� ������� �������� ���%�����������������M#�����������(����.�(�0�� ���(����3D�(�35����(�+��6�(�2�� ���(�+��3D�(�3.��� ���(����6�(�P�� ���(����3D�(�02�������� ��� ����������+������3D�(�35�(�3.�(�02�
���
� ,������������� ���������������� �������(�-�3: 2 : 4;x= ������$-� :3 15:9;x =�-� 4 : 2 :3;x = �������-�3:5 6 : .x=
M���� ������ �������
�-� ( )3 : 1:5;x x− =
$-� ( ) ( )5 5: 1: 2.x x− + =
� "� ������ ��5DQQQ�� ��������� ���������.(0(3�
� # ������ ����� ��������� ������+����������I� ��� ������� ����� %�������� �������� ��E����#
� "� ����� ��2AQQQ�� �������?������ ��������������� ���� ���� ��������� �����(�������+�� ��������'����������� �������� �+������������ �����+������I�� �+������ ���M#
&���������4�3�⋅ 0�4�2��3�4�P�� �8�4�53�
�
��
�������� � � ���������� ���������
� � �����������������������3Q�� ������ ��� ������������������3��0��.�������������7
# ������������������������ ��������������D������������������� ��������������������� �� �3��.��D�����������������7
���' �E����� ��
"�������� �������� ������������� ���$ ���� ����%������
)�& ����8�''(& � � % (
-�%��( �' (' )' +'
�
�
� � � �
��
��
��
��
������$ ���� ����%������� ��� (20 40 60 80
201 2 3 4
= = = = �� ��������������
20,y
x= ��� �������� 20 .y x=
#����������������� ���������������� ���'� ������������ ������������ �����
������$ ���� ����%������� ��� (
8 1 4 2 2 4 1 8 80⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ = �� ��������������
8,y x⋅ = �� ��������8
.yx
=
#����������������� ����������� ���� �������'� ������������� ����������"�� ����#
� ���������������2���������3.�����:�������������� ���������������������5��3��0����<��� ��������E������������������������� -7
� ������������ ��$�����������������52������������������������������������������� ����3��.��D�������7
� ���F%���������� �����+��-�$��������� �� ��� ����1����������+�$-��� E������ �� ��� ����1����� ���+�-������� ��� �������(�� �����������������7
6$8� � ����#���(*� � � (
6$8� � �� �(*� + ( � �
+
�
�
� � � �
�
�
��
�
���
� � ��� ���� ������ ����� �� ��� 2QQ�=���������������������5A������ �
� ������������������=�������� ���=�����������D����� � 7
� ���������D��������� ���� ��������0A������������������������������������������ ����5Q�������7
"�� �E����� �
#��������������������� ����������� ������� 7 #������������������ ���������E�� ������� 7
�������� � )''��=����
+������ � ���=����
+�������� %������
�'�������� ������
: 600 8 :15x =15 8 600x⋅ = ⋅
8 600
15x
⋅=
320x =
: 35 8 :10x =10 8 35x⋅ = ⋅
8 35
10x
⋅=
28x =
&����������D������ � ����03Q��=����� &�������5Q����������������� ��������������3D�����
��� ���������E����� �� ���������������������� ����� ������ ������� � ����� �������� ���������������
!"��(-����� ��������E����� ������� ������������� ���� ��������������� ���� ��� ������������� ����������������������� �������� �E�� ����� ����� ���� ��� ������������� ������������
� ����3QQQ�� ����������$� ���AQ������������������ ��� �������������53A������������������������
���������0Q�������������������� ��������2Q������������������������� ���������������� ����3Q�������7
��� � ����3QQQ�� ����������$� ���AQ���������� �
������������������$�� ������5.QQ�� ����7
� ��� �.Q������������� �������������3QQ���
�������������������������� �������������������������������� ������������������� ���� �������������0QQ������#
� �������������������� ��� �0Q������������53Q����� ������������������� ������'������ �������������� ������5D������<5������4�5Q������ -7
� > ���� ��������������������������������$�������������� ��2QQ�������������� ���������������������������� �������� ���������������$������������� ��5Q�)�7
� �������������0Q����������� ������$������������������2Q������������� ������%�������3Q��������� �����5Q������ ��������� ���� � �A��������������������������$�� ������ ������%�����7
���
��������
�� � �� )3� /� A�� 3�� )� 0� � � 0��/�A� ������� � ����� $��� �
�����������������$���E���(�-� 24 : 2 3 8 3;+ − = ��$-�2 3 3 5?x x− = +8?�����E������� �$���E����7
@��������4�5�E������� �$���E������)��4���)571 1?x x− = − ����������������$���E���
2 5?x xy+ + =
��� �$�� �<������������ � ����� $��� � ���� ����������������� ����� �����$��
A B='� ��$� �"�� �����$ ���5� �� ��������� ��������� ��� ��� �������������� ���������$���E���
����� �$�������� �2
2 2, ,
1 3 4
xA B
x x
−= =+ −
��� ��
2
2 2
1 3 4
x
x x
−=+ −
������$���E������� $����� �������
�������
����� � ������ ��
������� ����� ���$���E��
>������������� 2 22 5, ( 1) , 1 1, 2 1 0,...x y y y y x x x= − + = + − = − + =
#�������%�� �� � �$���E�� ������ $��� �� �������������������������+������ �$���(2 22 3 5, 0.x y x y xy+ = + − =
��� ����$���E�����$��<� ���������E�� ���� ��� ������������������� ������ ���� ����$���E����������������������$���E���� ���������� ��� ����� ��������������������� ��� ������"�������� ������$���E����<��9 �������$���E����;-�
������������ �$�����������)3������E����� � �$���E����� 2
2 2
1 3 4
x
x x
−=+ −
&������'�
2
2 ( 2) 2,
( 2) 1 3 ( 2) 4
− −=− + ⋅ − −
��������������2 2
;5 5
=
���������A����������E����� � ������$���E���������'��� 2
2 5 2,
5 1 3 5 4
−≠+ ⋅ −
�����1 3
.13 11
≠
� ������� ������E����� � �$���E������ 2
2 2
1 3 4
x
x x
−=+ −
��
�-�������5+���$-�������)5+����-�������0�
# '�(��-� 2
2 1 2;
1 1 3 1 4
−=+ ⋅ −
��$-� ( ) ( )2
2 1 2;
3 1 41 1
− −≠⋅ − −− + ���-� 2
2 3 2,
3 1 3 3 4
−=+ ⋅ −
���� ��� ��E����� ����$���E����
������������5�� �0+������������� �$����������������E����� � ������$���E��������� � �������3�
���������������������+����������E����� �� �$���E����� 2
2 2
1 3 4
x
x x
−=+ −
�� (� 2, 1− �� �0�������������+�)3�
5�� �0�� �$��������-�"������������������$���E��������� { }2, 1, 3 .M = −
������
���
������� �� �����$���E������� $������������ �������� �������� ������ � (
�-������$���E����E����� +�� ����� ����
"�� +���-� { }3 ;M = ���$-� { }4 ;M =�-� .M = ∅ ��� 7
$-������������������E����� �������7
�����
�-� 2 3 ;x x+ = �$-� 22 3;x = − ���-�0 ( 1) 2;x⋅ + = ��-� 2( 2) 2 ;x x x x+ = + �� -� 1 0 ;x x+ = ⋅ �%-� 1.x x= −
����$���E������� $�����������(
����"��������������������������$� �"���"�������������� �$�������� �E����� � ���������������� �E$��E��������@�≠ ∅+�� �������"����������� �������������$� �"���������� �<����E���������$����-���� �������������E����� ���� ��������@�4 ∅�
� ,�����$���E�� ����� � �����������������7��� 7
��������
# ��������������������$���E���(�-�2 3 0;x − =$-� 2 3 5;x y+ =�-� 2?x yz+ =
J���E������/�3�4�0��������E����� ���4�5��$���)E�����<����3-�4�7�������E����� ���4�Q����4�)3�$���E���� ���� ��3<����5-������%��������E����� ���������$���E��������������� �������E����� �
� � "�� ��$��������� �E����� � ���$���E����(
�-� 2 1 2;x x− = + ������$-� 2 ;x x+ = �������-� 2 1.x = −
��������
J���E����������������$���������� ����E����� ��4�)3���� �$���E����3��/�.�4�Q�� �$��������� ���E����� ���4�)3��J���E�� ����/�6�4�A�� 3��/�.�4�Q������ ������ �� �
����������$���E�� �� ���� ������ ������ �� 7
,������ ��������� �������⇔ <9 ������ ���;-7
,������ ��������� �������?$���E���;7
���� ��� $���E�� �$��<� � �=��?� ���� ������$� �"�������������������
�
$��������� �E����� � ������� ���������$���$����+������ �
.A B C D= ⇔ =
������������ �@�������$������� �E����� � ���
$���E�����$��<���������@��Y���$���E�����=��?���� �������� �������%���������� �
1 2( ) .A B C D M M= ⇔ = ⇔ =
���
K������������'���������9E������� �$���E�� � ;��%����E �������� ������� �����������9 ������ ����;+���������������������� ����9��� ����$���E�� ������ ������ �� ;�H��������� ����� (
��� ( );A T A B T B= ⇒ = ⇔ =
�� ;A B A C B C= ⇔ + = +
��� 0 ( ).C A B AC BC≠ ⇒ = ⇔ =
" ���� ����������� ���� ���� ���'����������� �������<� ������-� �����$���E��������������������E�� ���� �� ���� � ��� ����� ������������� ���� �� ����
>���������������� �� �����3°��������������� 2 2 2 26 2 10 (6 3 ) 6 3 (6 3 ),x x x x x x x x+ + − − = − − − ������������5 10 0,x + = �� �����5 10 10 10,x + − = − ����������A=�4�)5Q���������$���E��������������� �� �����0°��%�����
����� �$��������$���E������ 26 2 10 3 (2 1),x x x x+ + = ⋅ − ����� �������� ( )3 2 1x x⋅ − ���������E�� ���� ��� ���� � ���� ���� � 26 3 ,x x− ��������� 2 26 2 10 6 3 ,x x x x+ + = − �����������
2 2 26 2 10 3 (2 1) 6 2 10 6 3 .x x x x x x x x+ + = ⋅ − ⇔ + + = −
" ���� ������� � ��� ���3°�� �0°��������� ������������������� ����� ���������� ����� ���������������� ��$� �"����6/������������������"����$� �"���������� /���� ���������� ��"� ��6�
K������������������ �� �$���E�� ���� ������� �� � �%�����(
����� 0 0AB A= ⇔ = ������;�'
( 3)( 2) 0 ( 3 0 2 0),x x x x− + = ⇔ − = ∨ + = ��������������� �'������ �0�� �)3������E����� ��������
1 15 10 ,
5 5x ⋅ = − ⋅ ��������������4�)3
� ����������� �� �����.°�E���� �$���E���� ( 3)( 2) 0.x x− + =
M����� �
,�"�������$� �"�����������������������������"�������������
� &�� ����%����E����� �����5°�)��.°��E���� �$���E����� 22 8 2 8.x x x− = −
���� �
� ,�����$���E�� ����� � �����������������(
�-�5
;2 3 6
x x x+ = �����$-�5
1;2 3 6
x x x+ = +
�-� 3 1 0;x + = �����-� 4 1 0;x + = � -� 2 21 1 .x x+ = −
� # �E$������� �� ��� �5R�)��.R�E���� �$���E����(
�-�7 (2 3) 10 6 3 ( 2);x x x⋅ − = + + ⋅ −
$-� 2 23 (2 5) 5 ( 1) .x x x x⋅ + = ⋅ − +
� K� ������������E����� �� �$���E����(
�-� 2( )( 2) 0;x x x− − = ����$-�2
2
10.
1
x
x
− =+
� �� �$���E�������� ������������� ��������� �����E���� �����7�M���� �$���E����(
�-�3
1;x
x x
+ =+ ���������$-�
2
2
10.
1
x
x
− =+
���
����� � � ����
��������
J���E������/�6�4�3��������� �����������$���E��������3�4�Q����������������
�����������������$���E����<��)�5-<��/�3-�4�Q7
�� E����� � ��� $���E���� ��� ���� � ���� ��������7
� ��� ������� � ������ $��� �$�� �<���$���E�����$��<�������� ��������������� �
# ������ �$����������������9E���� �L�����$���E���<��� ��-�
4 1 2 13(4 1) 5(2 1),
5 3
x xx x
− += ⇔ − = + �������� �����0°����������=�4�5A+
12 3 10 5,x x⇔ − = + �������� �����5(
12 3 3 10 10 5 3 10 ,x x x x⇔ − + − = + + − �������� �����3�����=�4�0�)�5Q��+
2 8,x⇔ = �������� �����5+
������������'�� ��� �������������������������� ����������$���E����� ��� ������$� �"������� #>��$���E�� ������������(
1 2 ; 5 4; 2 5 13,...x x x x x− + = = − = −
� M���� �$���E�����4 1 2 1
.5 3
x x− +=
��������
1 12 8,
2 2x⇔ ⋅ = ⋅ �������� �����0°������ 1
;2
C =
4,x⇔ = �������� �����5°����� 1 2 ,2
x x⋅ = ���������1
8 4.2
⋅ =
&�����(��4 1 2 1
4.5 3
x xx
− += ⇔ =
J���E������4�.����� ��������E����� �� ������������.�<������'��.�4�.-���������� � �$���E����������������������� ������ ���������� ��������E����� +��������.�
� M���� �$���E�����3 1
5 .4
xx
+− = �� '�����������������������E����� ��
(� ��������������������������� �������������������� �E������������$���E�� (�������������� �����$���E�������9���� = ������ ��������������������� ����� �������������������;��������$�������������� ����������������� ����;�����9��� ������ ���� ���L��9�������E��� �)5;� ����"�E�������� � ����������� ��� ����� ����� ��'��� �������������������� �������������� �� �����5°�)�0°����� ����������������������'��� �������������������������%����$���E��� ������ ���
��������
���
��������
J���E���Q�(���4�Q�������������������������������≠�Q�@������$���E���Q�(���4�Q������������������≠�Q7@����������4�Q�$���E������(�Q�4�6��������������$���E�������������� ��� 7@����Q�⋅ ��4��������� �����������������������∈ B�� ���≠�Q7
�����$���E������ ��������������� ����%���
,ax b=
������ ��������������� ���
����������������������(
���� 0,a ≠ �$���E�����������E��������� ����� ��������E����� �� ;b
a������������(���� �ax b=
����E ��� �1
a�%�� �� ,
bax b x
a= ⇔ = � ��� �������������
b
a�����E����� �
�
I����E������E��������� �$���E�������������� ������������� ������ ���
��� 0a = � ���4�Q�$���E��������������������E��������Y�� ������������ ��������E������� �����
�������������������������������⇔ �7�⋅ ����7���������$���E���������������� ������� ������������� ���
�������7�� ���≠�Q��$���E���������������������<����E����������$����-�������'��$���E���Q�⋅ ��4������≠�Q�������������$���E�������������� ��� �������������������
�-� 6 7 6( 1);x x x+ = − − �-�2 1 1
1 .2 3
xx
− − = −
� �� ����������$���E�������� ���� �� ���������������'���������
� ,���������������������$���E���(���-� 3 6 5( 2);x x x− = − − $-�2( 3) 2 4;x x− + = −
� ������������ ���������������$���E����<��)�0-��4����)�0�������� ��(�-�����������+ $-���E��������� ����� �����E����� +�-���E��������� ���%���������E����� 7
��������
>��������������$���E�� ���������� ������������� ����3��8���
@����������������$���E�����������4�A����' ���������������7
��� ����$���E�������/�3�4�A����� ��� ���3� ���������%������$���E�����������4�A
�������� �����������������+��� ��� �������� ����� <� ��-��K�����E����� �����$���E�� � ���������������� ����� �������� �����
� M���� �$���E������ 2 1,
1 ( 1)
x x m
m m m m
−+ =− −
������������������ ���<����� ���-�
���
������������������E���������%���������$���E�� �����������%�� �������� ���� ������� �� �� ��������� �����+������������(
���5
3: ,3 2 6
x xm = + = �����
32: ,
2 2
xm x= + = �����
1 2 8: 2 ,
2 3 3
xm x= − − − = � ���
"�� �E����� ��
������ ����%�������� �E����� ��� ���L��������������� ���������������������$���E��������������������� ������������"�����#
"�� ��� �������4�Q������4�5����$���E�������'�� ��9�� ���� � ���� ��E �L+������'���� ���������������� �E����������� ��� ����� �E����������$���E�� ��������4�Q�� ���4�5�����������E��������� ��9����E�������$���E���������� ������'����≠�7�������≠��#�����������������E������ ��%��-�5-�� �� ��������������$���E�����������%�� ��$���E���
(2 1) 2 1.m x m− = −
>������� ���L����������� ����� �� �+������������� ��������$���E�����������E�������7
�����5°��$���E�������� ��������E����� ����� � ��-��≠�Q���� ����������� �� 1;
2m ≠ ���������������5�
�����3°��$���E������������������E��������� ������%���������E����� ����� � ��-���7���� ���������� �
1,
2m = �����'������� ������ ���� �$���E�����Q�⋅ ��4�Q�
����$���E���������������$���������������� ���(���������������������������E������������ �$���E����$� ������� ����������� ����� F����� � � ��������� �� � ����� ������� ����� �������������� �$����
� M���� �$���E������3 2
2.2 3
x x a
m
− −+ =
$���E����x x b
a b b a b+ =
+ +�����������������≠�Q�� ���≠ )��
� ,���������������� ����������� ���� ���� ����������E��������$���E����x x b
a b b a b+ =
+ +
���
� @������ ������ �� �$���E�� �(
��� 3x = ���� 2 9;x = ������ 3x x+ = ��� 3;x x= −
� M���� �$���E����������'�����L��� ����� �'�����������������(
�-� ( )22( 1) 1 4;x x+ − − = �����$-�2
.3 4
x x− =
� M���� �$���E����(
�-�14 1 2 3 3 4
,15 5 3
x x x− − −+ =
$-�4 3 3 1 5 1
1 0;3 4 8
x x x− − +− − + =
�-� ( ) ( ) ( )5 2 2 1 3 2.
6 3 2
x x x+ − −− =
��� 83 5
x x+ = ����� 15;x = ���2 1
01
x
x
− =−
���� 1 0.x + =
���
� M���� �$���E����(�-� 1 0;ax a x+ + + =
$-� ;ax b bx a
a bb a
− −− = −
�-�2 2
1;1 1
x n x n
n n
+ −+ =− +
��-�1
2.1
x a x
x x a
− −+ =− −
� &#� ������� � ��
�� 2 5;x x= − ��� 4 0.x x− + =
����������� ���������� �� ����
� M���� �$���E������ 2
1 1 8.
3 3 9
x x x
x x x
+ −− =− + −
��� ���������E����� �� �����$���E������ �������� ��� ������� �������$���E���������������������������������4�0����4�)0�$���E���������������������'��������� ������$���E�����%���������� ���� ��E �������������������������≠�0�� ���≠ )0�������'�� !"��<��)�0����/�0�����)�P-�4����)�P�∧����)�P�≠�Q����� � �����E���$���E������ ����)�P�%�� ��<��/�5-<��/�0-�)�<��)�5-<��)�0-�4�D=�� ������� ���������Q�⋅ ��4�Q�
���������
&�������$���E�����������E��������� �� ������������ ������������ ������ ��0�� �)0�������E����� ���������$�������� �E����� � �����
{ }| , 3 3 .M x x x dhe x= ∈ ≠ ≠ −�
� >� ��� �$���E����� 2
1 1 2
2 2 4
x
x x x− =
+ − −������������������
� M���� �$���E������ 0.x a x a
a b a b
+ −+ =− +
J���E���������������������������� ����-��<�� 7-��������������������������������������� ������ ������� ������������ ������������������ �������������'��������≠�Q�� ���-���≠�Q������������������ � �����E���$���E������ �<�����-<��-��-�%�� �
( )( ) ( )( ) 0x a a b x a a b+ + + − − = ����� .ax ab= −
���������
������≠�Q�$���E�������� ��������E����� ����-���� ������'����≠ -��� ���≠���<�� 7-�
������4�Q�� ���≠�Q�� ����������������E����� � �$���E�����
� M���� �$���E������2
2 2
2 16.
2 2 4
x x a a
x a x a a x
+− =+ − −
��������
��
& �����������E�������� ��������'���������9��� ������������;��>���������� ����������������������� �������������=������
��������1 1 1
,10 15x
= + �� �����%�� ����4�2�
# ����>����������������������������������������1 1
10 15+ ��� ��������������������
1 16 1.
10 15⎛ ⎞+ ⋅ =⎜ ⎟⎝ ⎠
� # ����������$��������������������� ������5Q����������� �� ����������<�����5A��������������������������������������������������7
M����� �
���������������� ���������$��������������1
10��� ��������������������<�������������
1
15��� �����������
����������������������������������1
x��� �����������
� ������������$�� ��������� ���������������.������������������� ��$�������������E$��E ��������� ��������� ��������6���������������������$�� ������������ ��� ������������������������
��� �
� M���� �$���E����(
�-�3 2 5
;1 1x x x
+ =− +
���$-�2 2
2;2 2
x x
x x
− ++ =+ −
M���� �$���E����(
��� ( ) ( )2 25 ;x m x x m m+ = + +
���4
3 ;1
aa
x
+− =−
���� 2
1 1;
1 1 1
a
x x x− =
− + −
���2 2
2 2.
ax b bx a a b
a b a b a b
− + ++ =+ − −
������������� �$��'��� �����������%������'�� ���$������ �� ������$���������� �����5.������������� ����%�������������������������������$���������� ���������'��� ������� ����E����� ���������������������������F�����������3Q� ���������� ����� ����� � �������$����������5Q������� �� ����������� �����������7
�-� 2
3 1 2 52 ;
6 9 3
x x
x x x
+ −= −+ + +
�-� 2 2 3 2
7 8 37 9.
1 2 1 1
x
x x x x x x
−+ =− − + − − +
�
� ������������$�� ��� ����������K�������������������$���������������P������������ �����������5Q���������������������$�� �������� �E$��E������ ����������������������������������7
� ���� ���%��� ������������������%�������50����� ���%������E�� ��������� �� ���������������������P������������ ���������,�����������������
� ������'������������������E� �� ��'��%�� �����0������������� �2Q]�%������� �A������������ �D3]�%������
�
��
����� �� � ����
��������
2 3y x= − ������%���������� ���
,������ ���� �%���������3�� ��-��
,���������������� %��� ���������� ������ ����������������������������%���������3�4�3��)�07
,�����%����������' ��$�������� ������ ( ){ }, | ?x y x dhe y x∈ =�
� *��������2%�&�������������� �������
��� � ��%����E������������3��2%�&����� ��%����������� ���2%�&�������������������� � � ���������������
.y ax b= +
*������ ����� �� ���������� ��������������������������� ���������� ���� ��� � ����� � � ������������� ������ ������ �������� �$������� �E�� �� ���������� �D������������� ����������������������������<����� �$����Y������� -���������� � ��� �%������
( ) o ,T x ax T= +
������������ �E�� ������������ ���������<���������������-��> �������� �E�� ��%��� �'��������� ������������<�����E�����'������ ���-����������������������������� � ��������� �<������������� ����������� ����������-�
��������������<������� -��'� ��%������������ �
� ����� �%�������<%������������ ��-�� ������������ � �������� ��������������������E� ��������������� � ��� ������ �� ������
( )s t vt= � � ( ) 0 ,s t s vt= + ����� ������������ ��������������������
� ����� �%�������<%������������ ��-�� ����������������� � ���� ������� �F������ � ��������'��������$� �� ��� ������%��� ���� � ������������
( ) 0 ,v t v gt= + ����/���������������������>����
����%������2�<�-�4����/��� ����������
���%����������� ������������ ���F%������������ ��+
�������<%���� ������%�E����-���%�������������� �������$�������� ������� �� ��<�� 7-+
� �%������%������������ ��������$�������
( ){ }, , .G x y x y ax b= ∈ = +�
��������
���
����'�� ��� � �����������%����� %��������
��������������� 2 3.y x= +
� �
*��������3�� �������������� ���������'��������%�����3����������� ���4�3�� �����#
&� �����%��������������$�������� ,� �����'������ ������ x ∈� ����( )2 3 .x + ∈�
"�� ��E����� ��
K��%���������������$�������� ( ){ }, | , 2 3 .G x y x y x= ∈ = +�
J���������4��� � �������� �����' ������� �%������� ����������� ��������������%����������������������������������� ������������ ��������� ����
��� ���������� �� �%�������%������������� �����������'�� ��� �� ����"�����������������E������� ���������%�������������������������� ��������F�%� ���������� �<��3-�����������%����# ��� ���E��� ���E�����������E��������������'��������%�����%���������3� ������������'��<)5��5- ∈ K��<5��A- ∈ K�
#������� ��������� ���� ���E����� ��� ������9���%�����%��������G;� ��9� ��� ���E���%�����������������'������� � ��������G;�
&�� � �E�������� ������ ��������� ������������� �� �'���E���� ����%���� �<�� ���E�� -�������� �� �$�� ���������� ���� ������� %��� �� ����� ������%���������3��������+����������� �������������������
�������� 0x = �%�������� y ax b= + �%������ ���3��⋅ Q����������������%����<�� ���E�-������������������<Q���-�<��E�����-�
�
�
�
( )1,1−
( )1,5
� ������� ���� ��������������������E����� ���E��� �������������%���������������'�����%������ �(���-� 2 1, 2 3;y x y x= + = − �������������$-� 1, 2 1.y x y x= + = − +
�
�
�
( )0,b
�
�
�
( )0,2
( )0, 1−
0b >
0b =
0b <
��������
"�E����� ���E���'�������������������$<3��0-� �<<)5��)3-�
����'�� ����%������%���������
����'�� �%���������3� �-�����'�� �� ���$ ���
1− Q 5�
3
���
������������
0,b > ����%���� ��� ���� �����E���� ����$�����3+
0,b = ����%���������������%��������<��������-� ����������
0,b < ���%���� ��� ���� ����� ����� ����$�����3�
� %��� ������ ����������9� �� �����������������%���� ��� �����$�����3;���������� ���������� .b
!"���
���� '������E����������������������������'��������%����� �%������ �
1 , 1, 2 , 2y x a y x a= = = = ������1
, .2 2
xy a= =
�
�
�
�
�
�� �
�
�
�
�
�
�
�
�� � � �
�
�
� ��
��
���
�
�
�
�
�� � �
��
��
��
���� ��������E���������������� �(���� ����������<����� ���-���E��� ������5���������������� ��5���
3���� ��3����0���� ��0����.������������ ���������%������ ��E��� ������������������5��3�1
2�)����� ����
�����'���������� %��� ������������
����� �� � ��������������(���������������� ��� �������� ������ ���������E�������� �� ������ ������
2 1
2 1
.y y
ax x
−=
−
����� %��� ������� � ���� ������������ ������� ����%����<�� ���E��-�� �'� �����%��������� ����������� ����%������ ������ %��� ������������������ ������������� ������%����� ���� ������� ���E������� � ��<�� 7-
�
�
�
�
��
��
� �
�
�
( )1,a b+( )1 1,x y
( )2 2,x y
2 1x x−
2 1y y−
� ,����%������������ ������%��������������������������������$<5�5-�� �<<0�6-�
��� � �E����� ��
���
: �����������������������F%������ �@%���3&������ ���E���Y����%��������%������������ ��������������
� %��� ����� ��� ������������������������ �������� �%�������� 2 1
2 1
,y y
ax x
−=
−�����������������������$
�<�� ��(�7 1
,3 1
a−=−
���� �����<� �@+�1
,1
ya
x
−=−
��� ������+� 1 7 1,
1 3 1
y
x
− −=− −
� ����������%��������������
��������3�����-� #
�����������%������������ ���<������� �����������������E$��������� ������� �����
� ,����%������������ ������%��������������������������������<)3��0-�� �<A��).-�
� #$����� ��������� �� �� �� ������������'������ ����%����������E�����<� �� �������������� ��-�,���(
�-� ��� ������ ����������������5���7
�
�
�
�
�
�� � �
� �
$-� ��� ������� �������� ���������� ����%�������$����7
�-� ������%������������ ���� ����������������������'�� ������������������� ������� �
�
�
�
�
�
0a =
�
�
� � �
�
�
�
1a =
( )1, 1b +
�
�
� �
�
1−1a=−( )0,b
( )1, 1b −
���� %���������3���� � ���� ������������������ ������ ����������� ������ ���������� ��� %��������������������
y x b= +��������� �
y x b= − +�����E$������<E����� �-
��������
����2%�& ����5��� �(�%<5-�� �%<3-�
"�� ��� ��� ��5�C�3���� ��2<5-�C�2<3-�
������������ ��������%��������3����������������(�-� 0;a > ���������$-� 0;a = �����������-� 0?a <
� 8%���� ������ %���� ���%���� �� %��������3�� ������ �������E��������$������7
��������-���� ������� %��� �������������E���� ����� � ������������ �����������(
���
���
� ����'�������%������%������ �
�- 2 3;y x= − + ���$-� 2 1.y x= − −
� "�E������%����� �%���������3�� ���������� �� ��� ���������������������$<)5��3-�
� ����'�� ����%������%���������3�����-������� ���%����������������� ���E������ � �� ����%����� %���������3�� �����
� ���%���������3����������������� �������'�����%�����������������������������+��$<Q��3-� �<<)0�Q-�
������� � � ����������������������
�
�
�
�
�
�0a >
( )0,b
�
�
�
�
�
�
0a <( )0,b
������ ������� ���� ���������� �������������� �� ��E���� ������� ���� ������E���� ������������� ��#
��������
H$���E����=��/�5�C�Q������������������������$���E����=�/�5�C�0��������� ���
����� �E����� �� ��$���E����������N�7
�� ��$���E�����������:�7��������E����� 7
� : ����� ���$�� �<������� � ����� $��� � ����������� ����� ������� ���
����� �$������( )( )
2
23
112 3 1, , 1 0, 0,
1 1
xxx x x x
x x
−+− < + ≤ + > ≥− +
�������$���E�� �� ���������������
��������� ��� ���� ������$���E��+�C��≤��1��≥������ �$����
,A B<
%�� ��� ������� �����������������������'� ���$� �"���������������� �
��� ������������� �����������������$���E�������������$���E�������������� ��� ����� ������������� ��� ���� ������"����������$� �"�����
����������� �$�����$�������� �E����� � �����$���E�������-�I�1�Q������$������� ������� �� ����������� ���� �.���� ����������� ������<.��/�∞-+����������������������� ���� �9�$���E����� ������ ��������F���������∈ <.��/�∞-;�
����������
���
� ,����$��������� �E����� � �����$���E����+
�-� 2 5 0;x + < $-� 4 1 0.x + >
�-�H$���E�������������������������������������� ��������������������"�������$-�M������������ �������$�������� ������� �� ���� ������������������� ���� �$�������� �E����� � �������� ������( ), .−∞ +∞
� ,������$���E�� ����� � ����������E����� 7��� 7
��� ( )21 2 0;x − + < ���
2
20;
1
x
x≤
+���
2
2
10.
x
x
+ ≤
� ����� �$��������� �E����� � �����$���E����(
�-� 1;x < $-� 1;x ≤ �-� 2 0;x + ≥ ����-� 5 0.x − <
��������
@������ ������ �� ��$���E������� ��� �0�1�5� �5�C�0�7
������ �� ��� ���� �� ���������� �� ����$���E�����=�C�07
@������ ������ �� ��$���E�� � 1x > �� 2 1 2?x + > +
� ���� ��� �$���E�� � � ��� � � ������������������� �$�������� �E����� �
.A B C D< ⇔ <
K���������������������� �� ���%������ ����������������� �����$���E�� ���� ��� +����� ����� ���� � �����$���E�� �� ������� ������� �$���(
���� ;A B B A< ⇔ > ���� ,A B A C B C< ⇔ + < +
���=��������� � � �F%������ �'���������������������� ���� �� ��������������� ������$���E�����$�:�<#
���=��������� � � �F%������ �'���������������������� ���� �� ��������������� ������$���E�����$�:�<#
3 2 3 3 2 3 2 3.x x x− ≥ ⇔ − + ≥ + ⇔ ≥ +
���� ( )0 ,C A B AC BC> ⇒ < ⇔ < �� ( )0 ,C A B AC BC< ⇒ < ⇔ >
!� �� � ������(�=�1�Q�<�� ��������=�C�Q-�������$���E�� ���������� ��� �����F���� ������� ������������� �����$�:�<#����� ����� ������%����E �������� ����� ��� �� (������"������������ ����������$� �"������� ���������������$� �"����
������������� �$���$������ �$��������� �E����� � ����� �������������������� �� � ���������������(
���
'���� ���������� �������� �� ��� ����.���
� >� ��� ��� �� ������ �������� � ��� ( ) 22 6 6.x x x x x− > − + ⇔ < −
��������
�-� 0,x >$-� 0,x <�-� 0,x ≥�-� 0,x ≤
����'��������� ���E������ ��� ���� ���� ��-� ( ),3 ;x∈ −∞ $-� ( )2, ;x∈ ∞�-� ( ],5 ;x∈ −∞ �-� [ )3, .x∈ ∞
,����E����� �� ��$���E�� � (
�-�0 0;x⋅ < $-�0 0;x⋅ ≤�-�0 1;x⋅ < − �-�0 1.x⋅ > −
H����������$���E�� ��� �E����� �� ���� (( )0, ;x∈ ∞( ),0 ;x∈ −∞[ )0, ;x∈ ∞( ],0 .x∈ −∞
�
,ax b<
������ ��������������� ����'� ����$� �"������� �������������� �
�-�3
2 3 ;2
x x< ⇔ < 3, ;2
x⎛ ⎞∈ −∞⎜ ⎟⎝ ⎠
���3
5 3 ;5
x x− ≤ ⇔ ≥ −3
, ;5
x⎡ ⎞∈ − +∞⎟⎢⎣ ⎠
�-� ( )2 1 2 1 0 3 0 3,x x x− < + ⇔ ⋅ < ⇔ <
����������� ��� ��$���E���������������� ������ ���� ��$���E���� ���������� ��� ����������$�������� E����� � ������������� ,� ������������( ), ;−∞ +∞ �������������� ���� ��$���E������������������$� �"������������������"�� ��
������$���E����������� �E$������� �� ��� +5� ��� �6�������%�� �����%���
� ,����$��������� �E����� � �����$�)��E����(
�-� 2 3;x < ���$-� 5 3;x− ≤ ����-� ( )2 1 2 1 .x x− < +
M����� ������ �������� �E����� ������ � �
� ,����$��������� �E����� � �����$���E�������1 3
1.3
xx
+ < −
���1 3
1 0 2,3
xx
+ < − ⇔ < − ����%������ ��$���E���������������� ������ ���� ��$���E��������������
��� ��� ��'������������$���E�����������E����� �
� M���� ��$���E�������5 7 1 1 3 2 37
.8 6 3 4 12
x x x x+ − + −− ≥ + +
��������������� �������� �$���E�� �+���� ������� ���� ������$������?�������������������� ������;��������?������������������ �������;�� ������� ����������%�� ���$���E��� ������ ������� ��)A5��≥�A5�
�����'��)A5�≠�Q���$���E����� ��� �������� �)A5���� �������� �����E����� � 1
51− �<� �������� �����V-�
��������%�� ����≤)5���� ��������$�������� �E����� � � ��$���E�������������������� ������ ������<)∞��)5[�
���
��������
,����E����� �� ����$����������$���E�� � ��≥�Q�� ���≤�Q�
M������� �$���E�������C�A������$�������@�4�<)∞��A-��������� ��$���E�������1�)5�����@�4�<)5��∞-������ �@@�∩@�4�<)5��A-�����E����� � ������������������� ��$���E�� � �
����'�� � ���%������ E����� �� � ���� ���� ���$���E�� � ���C�5�� ���1�)5�
J��������� �E����� � �����$���E�����������������' ���� � ����%���������$�������� �������� � 123456789012345678901234123456789012345678901234123456789012345678901234
1−2−3−4−5− � �]
����E������ ���� �$������ ��������������������������� ����������%���������������E�����
M���� ��$���E�������3 5 6
24 2
x x− −+ ≤ �� �$��������� �E����� � �����'�� ����$�������� ����
���� �
� M���� ��$���E����(�- ( )2 3 7;x x x− − < +$-�( ) ( ) ( )2 2 2
3 1 4 3 5 4 .x x x− + + ≥ +
� M���� �$���E����(
�-�3
;4 2
xx− < ��������$-�
2 3 1.
4 3 2
x x x− −− ≥
� M���� �$���E����(
�-�5 3 2
3 ;2 6
x x− −> + $-�7 6 2
1 .5 10
x x+ +≥ +
����������������� ��$���E�� �
I� �����������$� �"������������������� �
@������' ������ ���� ���������������� �E��� ��������� ��� ���������� �������������������������$���E�� �������������'������$���E�� ������������� ������$���E����� ��� ���������������F������������������ ���� ������"�����������������
����$��������� �������������� ������� �� ������������� ������������������ ������$���E�� � ��� ���� �����$���������"���������������+����E���� ���������� �����$���E�� � ����������������� ��$������� �E����� � ��������
: ����� ���$:<�� �=:?�����$���E�� � ���������������
( ) ( )A B dhe C D< <
� M���� ����� ���� ��$���E�� � ��4 3 5,
1 16 2 .
x
x x
− ≥⎧⎨ + < −⎩
M����� �
� ��� � �������� ��� ��������������������
��������
���
��� ������$���E��������� ����E�� ���� ��� ��� �����'������� ������ ���� �������������� ���$������� �E����� � ������������������������� �����9��;������������������ ����� ���� ������������������ ��������������������� ��������� ���
2,
5.
x
x
≥⎧⎨ <⎩
���%���������� ��$�������� �E����� � ������ �������$���E���� F���+���������� �� ��� � ��� ����� $������� ���������������� ��� ����$������ ���� ���� � �YE����� � ������� ���$�������� �E����� � ������� ���������� �������$���E������������������� �����������������(
[ )2, 2,x x≥ ∈ +∞
( )5, ,5 ,x x< ∈ −∞
��������$�������� �E����� � �@� ����� ���������� ���� ( ) [ ) [ ),5 2, 2,5 .M = −∞ +∞ =
J���������@����������������� � ����%������� �������� ����$�� � ���� ��� ��������$������ ���(
(� ������#���������� ��� �������E����� ������������� �������$���E�� � �������� ����� �����%�����H���������� ����������������������������(
�-�( )
( )2, 2, , 2 ;
1, 1, 1, .
x x x
x x x
⎧ < − < − ∈ −∞ −⎪⎨
> > ∈ +∞⎪⎩
��� ����������E����� �������'�
$-�3,
3.
x
x
≤⎧⎨ ≥⎩ ��� ��������������"�������/
�����'�( ] [ ) { },3 3, 3 .−∞ +∞ =
���0 1,
2.
x
x
⋅ < −⎧⎨
>⎩ ��� ����������E����� ��� 7
�-�( )( )
0 3, , ,
5, ,5 ,
x x
x x
⎧ ⋅ ≤ ∈ −∞ +∞⎪⎨
< ∈ −∞⎪⎩
123456789012345678901234123456789012345678901234123456789012345678901234
� �� � � � �[
123456789012345678901234567891234567890123456789012345678912345678901234567890123456789
� �� � � � �)
123456789012345671234567890123456712345678901234567
� �� � � � �)[
( ) ( ), 2 1, .−∞ − +∞ = ∅
�������� ( ) ( ) ( ),5 , ,5M = −∞ ∩ −∞ +∞ = −∞�����$�������� �E����� � �������� ����
� M���� ����� ���� ��$���E�� � ��
2 21
3 5 31 5
.3 4 6 2
xx
x x
⎧− − < +⎪⎪⎨⎪ + < +⎪⎩
J��������� �E����� � �����'�� ����$�������� ����
��
��������
, 0| 3 | 3, | 3 | 3, | |
, 0.
x xx
x x
≥⎧− = + = = ⎨− <⎩
0 00
0 0.
A AA B ose
B B
> <⎧ ⎧⋅ > ⇔ ⎨ ⎨> <⎩ ⎩
� M���� ����� ���� ��$���E�� � ��
10
5
4.
x
x
x
≤⎧⎪ > −⎨⎪ <⎩
( )( )
( )
10, ,10 ,
5 5, ,
4, ,4 ;
x x
x x
x x
⎧ ≤ ∈ −∞⎪⎪ > − ∈ − +∞⎨⎪
< ∈ −∞⎪⎩
J�������� �E����� � �@� ����� ��������(
( ) ( ) ( ),10 5, ,4 ,M = −∞ ∩ − +∞ ∩ −∞
( ) ( ) ( )5,10 ,4 5,4 ,M = − ∩ −∞ = − ������������
( )5,4 ,M = − �<��E�����-
5 5 5,x x< ⇔ − < < �B�� ��� �� ( )5,5 ;M = − ���������������� 3 2 2 3 2x x− ≤ ⇔ − ≤ − ≤ �������������
�� ������������������� ���������� ����� �����$���E�� ��E������� �� ��������� ��� ���� ��������������(
1234567890123456789012345123456789012345678901234512345678901234567890123451234567890123456789012345
6− �5− 4− 3− 2− 1− � � � � � � � � � ��
� M���� ����� ���� ��$���E�� � ���
2 1 4,
3 7 27,
4 1 20.
x x
x x
x x
− > +⎧⎪ + < +⎨⎪ − > +⎩
1 5x ose x> < �8$%���������� �����������1 5.x< <
�
1,1 7
7,
xx
x
>⎧< ≤ ⇔ ⎨ ≤⎩
���������� ( ]1,7 .M =
&����� ����������� �����E����� ������� ��������$���E�� � ���� �� +��������� �$���
���� �(�3 1,
1 3 53 5,
xx
x
− >⎧< − < ⇔ ⎨ − <⎩
�������������1 3 5 1 3 5 3.x x< − < ⇔ + < < +
3 23 2
3 2.
xx
x
− ≥ −⎧− ≤ ⇔ ⎨ − ≤⎩
( )( )3 5 0;x x− + > �����$���E������� �����$��������� �������� � � �����$���E�� � �������������<��)�0�1�Q�� ���/�A�1�Q-�� �<��)�0�C�Q�� ���/�A�C�Q-�<������������������ �������E�������� ����������E� ���������� �������������-��������������� �$�������� �E����� � �@� ��$���E������������������������$������� ����E����� � �@��� �@������������ � � (
��
3 0
5 0,
x
x
− >⎧⎨ + >⎩
3 0
5 0,
x
x
− <⎧⎨ + <⎩
���� ( ) ( )1 2 , 5 3, .M M M= ∪ = −∞ − ∪ +∞
80;
3
x
x
− ≤+
� �����$���E������� �����$��������� �������� � � �����$���E�� � �������������
( )1 3, ;M = +∞
( )2 , 5 ;M = −∞ −
8 0,
3 0,
x
x
− ≤⎧⎨ + >⎩
( ]1 3,8 ;M = − �������8 0,
3 0,
x
x
− ≥⎧⎨ + <⎩ 2 ;M = ∅ ����� ( ] ( ]1 2 3,8 3,8 .M M M= ∪ = − ∪ ∅ = −
( ) ( )8 0 3 0 8 0 3 0x x x x− ≤ ∧ + > ∨ − ≥ ∧ + < �<������ ��������������� ��������� ������� ���� � ���� �������� ���������������-�����������$�������� �E����� � �@� ��$���E�������������������������$������� ���E����� � �@��� �@������������ � � (
� M���� ��$���E������1 1
0.4 2
x
x
+ + <−
���
M���� ����� ���� ��$���E�� � ( � M���� ��$���E����(
�������-�2 3 0,
3 0;
x
x
+ <⎧⎨
+ >⎩$-�
10 0,
2 1 0,
2 0.
x
x
x
− ≤⎧⎪ + >⎨⎪ − >⎩
���������-�10 2 0;x≥ + ≥ �������$-� 3 4;x− <
���������-� ( )3 0;x x − < ��������-�3
7.5x
≤ −+
�
���
����������� ����������
� M������$���E�� �(
�-� ( ) ( ) ( ) ( )22 5 3 4 1 2 3 ;x x x x x x x− + + = + + − $-�
2 1 2 3 1;
3 4 5 6 5
x x x+ + ++ + + =
�-�4 1 1
0.3 2 2 6x x
+ − =− −
� ����������32��� ����� ��� ����� � �$����������5Q���� � ���������� ����� � ������ ��� ����� � �$����� ���� ���������� ���� �$���7
� :��� ���������� �������� � �$�� �<��� ����������� ��� � ����������0������������� ������������� �� ���������� ������ ��� ������� � �$�� �<����� ��� ������� ��� �������������� ������AQ��������������� ��� ������������� ��� ������DQ���������7
� �������.A6A����� ������ ��$� ����������'�����������������������0(A(6�
M���� �$���E������ ��������E����� ��
( ) ( ) 0.a x b b x a+ + + =
M�������$���E�� �(�
�-�3 1 1
1;5 2 7
x x x− +− + <
$-�( )( ) ( )( )9 3 6 7 18 1 3 2 1.x x x x− − < − + −
M���� ����� ���� ��$���E�� � (�
���
5 3 1
1 23 5;
2 3
x x
xx
− > +⎧⎪⎨ − < −⎪⎩
$-�
2 1 1 34
5 2 53 2 2
6.7 7
x x
x x
− +⎧ ≥ −⎪⎪⎨ +⎪ ≤ +⎪⎩
M�������$���E�� ����� ��������%������� ����� ������$���E�� � (
�-� ( )( )1 4 0;x x+ + > �������������$-�1
0.2
x
x
− <+
���
��������������
>� �����������������������������������
:��� �������� ��$������ �� ����� � ����� ��������"���� �� �� �������������
������ ���������� ������ ������������
���������� ��� � �� ����� �����������������������������������������������
������������+������ ������� ����� E�����������������������������������������
���������� ��� � �� �������� ��������� ����� E������������������
�
��
���
�
������ ��������� ����������������
�����
�����
�����
�����
�����
�����
��
123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890
�
& ������������� � �� ����� ����������� ������
���
��������
������������ �������� ���� ������-�J����������������$-�$��������+�-�$���$������7
������������������ ������
α
γ
β� �
�
��
�
����������������� ��� �$������'� �� ���������
,���������� � � �� �� � �� ������ ��������7
,������ �������'� �(�-�����������+���$-������� ���+��-������� ��7
������ +�-��������������$-������ ������������������������ ��������� ������7
"��� �� � � ����� ����� � � ���� ��������������5DQ°�
� �
X��������� .ABCΔ>������ � �
α β
γ
��
�
M����� ������ �������� �E����� ������ � �
�����E�������������������=� ����� ��� '���� ���E��@.������� � �� �$�������$<+���������������%���������� ���� ��
α β
γ
��
�
1α1β
�
α 4 α���������������β 4 β
��<������� ������ ������� ���������� ���� ��$=��������������<=�� ��� ���E��
����� � �$<�� �@.�0180MCN =� �<����������������-����������� 0
1 1 180 .MCNα γ β+ + = =�0
1 1 180 .MCNα β γ α β γ+ + = + + = =�
� ��������� ���������������������.Q°����������������� �������6A°�� ���������������������� ��7
� ��������� �������$���������������������������.Q°������������������������� �����$�E��7
0180 .α β γ+ + =
�-���� �������� ���������� ���������������$���$������ �������� ������ ����������� �������� �� � ����� �� ��� �����������$���$����������� ����� �$-� ��������������� ���������$���$����������2Q°��-������� ���������������� ���� �������������'���������������������-����� �� ������������� ��������������� ������������� � ���� �
� &�� � ��%����E����� � �������������� ����� � ���������� ������������ ��� ����������������� ������ � �
���
� �����E��������������'��������� �� ������ ���������� �/������ ���������$<=��-�>� ��� � 0
1 1 1 360 .α β γ+ + =$-�,���� 1,γ ���� 050α = �� � 080 .β =
1α
1γ
1β�
�
�
��������
�������%�������� � ���� �*��� �*
��� ���� �����
������������������ �� �����E� ������������� �� ������������� � ��������B
� ≅�B
���� �� ��
� �%������B������� ������������� �%�������B�#
� ���� ��� �� ������� � ��� � � ����� ����������������� �������� ���� ����
��������$���� ������ �����E� ������������� ��� ������������ �
���� ��'�������� ��������� ���� ��������� �������� � ��� ���������'� ��������� �������
���� �� ������ ���� � � ��� ��������� � $������ �� ��� ����������� �� �� ��� ���� � �������� ��'� ���������� ���������$ ������� �������
� �����E��������������'���������� ��������������������� ABCΔ ��� 1 1 1,A B CΔ �������� ���������� ����+�$�� �$���<�� �<���=�� �=��
���������������� �������(
1 1 1.ABC A B CΔ ≅ Δ
� �
8%���������$��������������� �� ��� ��7
8%������������� ���������� �� ��� ��7 � � ��
�
��
��
���������%�E�������� �������� ����������� ������������%������ ���� � 1 1 1,ABC A B CΔ ≅ Δ ���� ��(
"� �� � � ���������(
1 1 1 1 1 1
1 1 1
, , ,
, , .
AB A B BC B C AC AC
A A B B C C
= = == = =� � � � � �
��� � � � �� ��� � �� ��������� ��������� �������� �� ��������� ����� ����$���$��������� ������� �������������������������
���������������� ������ �������� ��������������� �� � �� ���������������������$������ �� � � � �� � ��� ���� �<���� ���� �������������������-�
@������ ������� ����������� ��������� � ������������� ���������� ��� ��� �������� �������������������������
���
���+������7�7<$������Y������Y�$�����-
&���� ����������������������������� ����$������� ������������� ����� ������������� ��������������������������$���$������ ����$������� �������������� ����� ������ ����������� ����
��
�
�
&�����(
��� ���� ABCΔ ���� DEFΔ �<��E�����-(
, ,AB DE AC DF dhe A D= = =� ��������� .ABC DEFΔ ≅ Δ
���+������7�<�����Y�$������Y�����-�
&���� ���������������������������� �����$������� �������� �'������ �������������������� ��������������������������$���$������ �����$������� �������� �'������ ������������� ����������� ����
&�����(
��� � ABCΔ ��� RSTΔ <��E�����-(
, ,AB RS A R dhe B S= = =� � � ���� ��� .ABC RSTΔ ≅ Δ
�
� �
�
� �
1�������777<$������)�$������)�$�����-�
&���� ���������������������������� ������ �$������������������ ���������������������������$���$������ ��� $����������� ����������� ����
&�����(
��� ���� ABCΔ ���� PQRΔ <��E�����-(
, ,AB PQ BC QR dhe CA RP= = =�������� .ABC PQRΔ ≅ Δ
�� �
� �
�
������������ ��� �������� ��%����E ���������� ������ �$���E��������� �������� ��$���E���������� � �� �����E����� �� �� ����� ��� ���
� �� �� ��$<�� �=?��������� �����������9�<��E�����-��"��� ��� �� .AC BD=
�� ������������� ������� ��(�� , 1 2SA SB SC SD dhe= = =� � �<������� ��� ���'�E����-�� ����� � ���� ,ASC BSDΔ ≅ Δ ��������� AC BD=<���$�������� ���� ������ �������� ������������-�
&�� ����%����E����� ����� ����������������������� �������� ��%������ ����(�-�J�J������������������ ��� �������� ������� ����$-��J������������������� ��� �������� �$����������-�JJJ������������������ ��� �������� �$���$�������
�
�
�
��
� �
���
���
� ,���������� ��� ������������ ������ ������� � ������������� �$���$������ �������� �� ���
� ��� ,ABCΔ �������α����555°���������β�������� �������������� �������γ������������������������ ��β�� �γ7
�� K������� ���E��$<� ��� ��� �� �����=?�� ������������ ������� �� ���"��� ��� ����
,AC AD= ���� ��� .AB CD⊥
� ,���������� ��� ���������������������������������� �� ������ �����+�-���$���$������ ��������%'���������� ��������$-������������ �������%'�������� ��������
�� �� �� �%������ ������J����������� ���)����� ������ ���+� �-� ������� �� ��� � � +$-�������� ������ ��E�� �
� "��� ��� �F�������������������� ���������������$���$������ ������� �������� � ���$� ���� ��%'��� �
� ,������������� ������������������������ ���� ���� � � ��� ���� � � ��� ������� ���� ��������������� ����
� ������ �����������������!"���� �,AB KL= � BC KM= � �� .B K=� � ,����
� � �� � ��� �� ��� � � �� � ��� ���� �� �������� ���������������������$���$���������� ����� 7
� ��� ���� ,ABC BA BCΔ = �� ���� �@����� ������� ��$�� �=�������'� ,ABM CBM=� ���� ���@������� �����$�������$=��"��� ����
�� �� �%�������������J�J����������)�������� ������ �������� �$���������
& ������ ������� ��-�Y�-���������������� ��E������
� � �
� ��
�
�-�X�������� , 1 2.SAB TBA= =� � � �����"��� ��� � .ABT BASΔ ≅ Δ$-�X��������(� , 1 2.S T= =� � � ����"��� ��� � .ABT BASΔ ≅ Δ
�-�X��������� , .AT BS AC BC= = ��"��� �� � .ACS BCTΔ ≅ Δ
�� >� ��� ���� ��� ����� ���������� ����������������������������$���$������ ��� ����� ����� ����������� �������� �������� ��������������������������������������������������
���
��������������� ���������������������������� ��������
� � X����������� �������$��������ABCΔ � ���� �,@�4�,J�<%����-
"��� ��� (� .A B=� �
� �
�
>���' ���� ���� �� C� � ��� �� ��� �$�E���$<������ �?����E������$-�
��������
8?�%����E������������ ������ �$���E���������� �� �� � ���� ��������������� � ����� � � �� ����� ��������7
������������ ��������� ��� ������$��������7
8?����� ���������� �������������������(�-�J�J+���$-��J�7
>� ��� � CDA CDBΔ ≅ Δ <������J�J-�� ����� ����%��������� � .A B=� � � �
�
�
��
��
� X��������� ABCΔ �� � A B=� � ���E�������-��"��� ��� �� .AC BC=
�
� �
�
� �
�� ��
�
>���' ���� ���� �� � C� � ��� �� ��� �$�E���$<����� �?����E������$-�>� ��� CDA CDBΔ ≅ Δ �<�������J�-�� ����� ����%�������� � .AC BC=
# �� ������5�� �3� ����� �� �� � ����<� ����������� ������ -������� ���������$������������������� �� ��������������� ���������(
.!�����)�����������������)��������������� �������������)���3�)�����������������#
# �%������� ��������� ������5�� �3����%�������� (
���F���� �������
���$�����$������ ����$���$��������� ������ �� �$���$������ � ������ �����
���$��������� � ����$���$��������� ��$���������$���$�����
�
� � ����� ���������$<=������E��������&� .AB AC> �"��� �� � .C B>� �
�
�
���
���
I��������� ����������� ����������$�������$<�< �������������� ���� �� $=-�� E�� �� ������?�� ����� '�� .AD AC= �# � ��� �� ��� %����� ���������$���������$=?����������E�����$-��� �� .ACD ADC=� �
C ACB=� � ���������������� � ,ACD� �������� ADC� ���������������� �� B� �<������������������ ).BCDΔ ��������� , , ,C ACD ACD ADC ADC B> = >� � � � � � '��������� � .C B>� �
�
���
�
�
� ��� ABCΔ ���������(� .C B>� � �������� ������ (� .AB AC>
�
� �"��� ���������������� ������������9����� �� ;��� ������� �� �����9 ���������;�
����������%�������<����� ��-�� � .AB AC>
���F���� �������
���$�����$���������������� ����� ������������������ �� ���������
���$������������������������� ��$��������� ���� �
�� �������
� �� ���� (�-������ ��������������� ����$��������� ���� ��������� ��E�+$-������ ��������������� ���$��������� ���� ���������$����������������� ��+�-������ ���������$������������������ ��'������ �����$���������������� ����������������
��������
������������� ��� � ����� �������$�E���� �� ��������$��������7
��� RSTΔ ����� ����(� 5, 8RS ST= = � ��
6.TR = � @� �� ����� #���$�� ,S T� � ��������� �$�"� /
� � ��� ABCΔ �����E����������$������������ �+����������(
.a b c≥ ≥ �"��� ��� �
.a b c< +
�
�
�
��
�
>�����E�������������������� ����������� �$������$<������������� ���� �� �$������$=��@�� ���� ������ ��(�� �� AB AC= ���� .AB AC<
��� ��������� � ,AB AC= ���� ���������� �����
��� ��������� ,AB AC< ��� ���������� �����
� ����������� ,C B=� � ������������$��.
������������������������ �������� .C B>� �
����������� ,C B<� � � ������������
������������ ������� .C B>� �
��
I��������� �������������E�������$�������$=��������������$�$��� AD AB c= = �� ���� �������?�� �������<�<��E�����-�
�
�
�
�
ABDΔ ������$������������������ .ADB ABD=� �
,CBD ABD>� � �������� .CBD ADB>� �
�����'���� ,BCDΔ ����$�������������������������� ��$��������� ��������� ��� � .CB CD< ��������� �CB a= ���� ,CD b c= + �%�� � .a b c< +
��
��
������������� �������� �$������������ �+�
� �����$�������������� ������� ������ ��������� ��� �������������+
�����$�������������� ���� �� �<�� ����$���� � -�������������������� ��� ���� �������
�
�� �������
, , ;a b c b c a c a b< + < + < +
| |, | |, | | .a b c b a c c a b> − > − > −
���� ������������ �� ������������� ��"��������� ����������/��'����������(���� ������� �+������������ ����E���������������'�+���:�����+����:�+������+�:����������� ���� ��� �� �� �� �'�������������������$���$������ �������������� �+������������������ ���� �������
@� �E������� �������� �$�����(�-�0���A���P+ $-�3���2���6+ �-�0���.���6+ �-�33���33���3�7
��������� �������������$�����������6�������������� ����3��������9��������%�;��������������� �$����������� ��7
%����E�� E������������� �����2�(�����N�����+#��������������������������������$���E����E$��� ���������+�� �����������������������������%����$���E���� ����������
� �� ABCΔ �<��E����������� �����2-�����������(� .a b c≥ ≥ �"��� ��� (
, .b a c c a b> − > −
��
��������
8%�����E����� ����� ����������� �� �� �@.� �$������$<7
8����������� �� �� � ��� ��������7������@�� �.������� � �� �$������ �$=�� <=���� .ABCΔ � �� ����@.����������� �� �� ��� ���������$<=�
� ��
��� � 6cm,AB = ����������������@.7�
� �
�
������������������ �@.����������� �� �� �<'�������������������$������� �$�������$<-� �� ���������$<=����� ��
1.
2MN AB dhe MN AB=�
�
� ��
��
α
γ1α
1γ
2α
2γ3α
3γ
������� ����@����$�������$=���ABCΔ �������� '����� ���E��
( )MN AB N BC∈� ���� ( ),MP BC P AB∈� ��� ����E�����
"��� ��� (
;AP PB=
;CN NB=1
.2
MN AB=
������������ ���'��� APMΔ ��� ,MNCΔ � �������BPNΔ ���� .MNPΔ
:�������������������� �� ��������� �(
APM MNCΔ ≅ Δ �<������� ������J�(� 1 1,α α γ γ= = ���������� ������ ���� ��AM MC= ���������������-�
��������AP MN= �� � .MP CN=
BPN MNPΔ ≅ Δ � <������� ������J��� 2 3 2 3,α α γ γ= = � ��������� ������ ������� ��.1� ��$������
���$�����-����������MN PB= �dhe� .MP NB=
B�� ������(�AP MN PB= = ��� ,CN MP NB= = ��� ��������1������� �����$<�� �.������� �����=<�&�������� �� �� ��@.��@1�� �.1��������������� �� ������ ���������$<=�
���� AP MN PB= = ���� ,AP BP AB+ = ���� ��� � 1.
2MN AB=
&� ���E��'�������������� ���� �����$���� ������ ���������� ����������� � �� ��� ������
�� �������
�-� �����������$������� ��� ���� $-�� �� ���������������� ��$������ ������ ���������<����� �� �� -���������������� $������������ � �
"� �� � � ���������(
��� �@.����������� �� �� � � ABCΔ �#���������������������������� � �� �$������ �$=�� �<=���� ��
MN AB� ������ ���� 1.
2MN AB=
���
�� >� ��� ������� �� �� ���(�-��� ��������������� ����%�������� ������������� ���+$-��� �������$���������%�������� �������$���������
���
� ��� ABCΔ $�����������(10cm, 12cm, 6cm.AB BC AC= = = ,������ �
���� � ������ ������������������������ �������������������7
� �� : .ABC BC CA ABΔ < < �@����� �����������������<����� ������� ��7
� ����� ��������������� ���� 0( 90 )ABC CΔ =��������������������������.0°��,������ ������� � � ��������� ���� 7
� ����� ���������$<=�����������������������������$� �����α�4533°�� ������� ������ �$� ������������������=������γ 4�.Q°��,��������$������ ��� ����������������� �������� �������� ��������
� �������������� �� �$� ���� ������ ��������$���������$<=������5QQ°��,�������������������������$�E�� ��� ��������7
� �������� �������� �� �� �����������E�� ��� �������(�-�P������6������5A���+ �$-�3������3������Q�3��+�-�Q�0�����6A������.����
� ��� ��� ��������$<=����$��������4�A���� ��4�0���������������� ���$������ ��� ���+7
�� �� ��$<�� �=?����� �����������5������'�
ACE CAE>� � ����� .EDB DBE>� �"��� ��� � .AB CD> �<J�� ���E�������-
"��� ��� ��������� �� ���� ��������������� (�������������� ������������������ ���������������$����������$������������������������������� �������� ��� �������� ���������
�� ���$�������$<������ ���������$<=����������������?��"��� �� � � � �� ����=?� ����� �������������������� ��������� ��$������ �$=� �<=��<J�� ���E������-
�� ������@��.�� �1������� � �� �$������ ����� ���������$<=���� ��� ��� ����� ��� ���)������$<=����� �� ��� �������� ���������@.1�����56�3A����
�� � ��� �������� ���������$<=������3.������������ ��� ��������������������$<.@�����33������� ������������ ����������� �� �@.����� ���������$<=�<��E�����-�
�
� �
�
�� : ����� ���@������ �$� ���� � �F%������ ��� ���������$<=#�"��� ���
.MA MB CA CB+ < + ��<J�� ���E������-
�� M�� ���������������@���������� �������$<=� � ��� � � � � �� �� � � � ���� �� �� ����������"��� ��� ������ ����� ��� � �� �� � (�-��������� ���� �� �������� ��� ���+$-��������� ������� �� ��� �������� ���������<J�� ���E�������-
���
� ����������� ���������������� ��
��������
8?�������� ������� �� �� ����7� ���������� �7
����$������������� ABCΔ <�����E����-�����E�� ���� �����?� � � ����� ��� '���������� ���E��=?�
�
� ��
K������� ���E��=?����� ����� C� ���� ABCΔ � ������������������������� �γ��� �γ��
�� ����=?�<��F������ � ��������-�'� �+
$ ���� �� ��� ���������$<=�� ���� '�������������=����� �?������ �����$�������$<+���� ��� ��
��<�����E����-+
$-��� ������ ��� ���������$<=�� ������������������=����� � ;CD AB⊥��� ��� ��
�#
�-�K������� ���E��=?� '� �� ����� ���� <��������� -� � C� ���� ���������$<=����� �3
�4�3
�(���� ��� ��
�#
�
� �
�� ��
��� ��� ������������������� ���<��������E����-����� ������$�E�� ���������� ������������������=������ �������E������ �$�������$<�
�
� �
��
������������ �9� �� ;�� �?��������L��������� � ����������� �� �� ��������������
� �-� ��'� ����� ���� �� �� �� �� � �$<��<=�� �=$�����$<=7$-� �(�� �� �������������� ���� �������� � ����� ���� ����$������ +����� ������� ������7
��������
��� �@����������� ���� ���� ������ �� �����$<����� ������� ��������� ����� � �� �� ��@$�� �@<7��� �@����������� ���������� ������������1'A����� ������� ��������� ���� ������������ �@�� ���� ������� �����������������������ME �� � ?MF
� ����
�
�
� �
�
B� ������������������������������� (�-�' ������� ��� E �+$-�� ��� �������������
� �
�
8?�������� ������� �������7� ���������� �7
�
���
� � "�E����� �������$<=�
������������ ���� ������ �������$������ �<=�� �=$�� ������ �'��� �� �� ���� �
"��� ��� � � ���� ���������� �$�������$<������������������'�
����������%����� �'������' ����� ��� ����'����������������� �� � .ABCΔ
'������E�������
������ ����������� ���� ������ �� ��������� ��� (
, ; , .a bO s prandaj OB OC O s prandaj OC OA∈ = ∈ =
����������� ,OA OB= �� ������'� .cO s∈
�� ���� �� �$������ ������ ���������$<=����� ��������������'�� �����������' ����� ��� ����������������������� ���������$<=�
�� �������
� "�E����� �������$<=������������� ���� ��<��������� �-��α�� ��β�������� � �α ��� ( ),A Bβ α β= =� � �� ������ �9�� �� �� ���� �
"��� ��� � � ���� ��������������������������9�
�
��
��
��
� �
�
�
� �
�
sα sβ
��
����
������ ����������� ���� ������������� ��(
1 1SB SC= �� � 1 1.SC SA= ���� ���
1 1,SA SB= �������� .S sγ∈
�� ���� �� ����� � ������ ���������$<=����� ��������������9�� �����������' ����� ��� ������$� ��������������� ���������$<=�
�� �������
��������
������' ����������������� ���E������ ����������������@�<�����E����-7 ���������� '�������� ����������@����� �� ����$<�� �����������������.����� �� �����=?�������E����7
�
� � � ��
��
��
�
� �
�
�
���
� � ����� ���������$<=������E����������� ����������$��<��=������������������������$������ �����������$������� �� �$
���<
���=
�����$�E����������� ������� �
��'� ��� ������ �� ���$$���<<��� �==�7
�
� �
�
��
��
��>���� �� �� �� �$$���<<��� �==��<�� ������� � ABCΔ -����� ����
������O+����'� ����' ����� � ABCΔ �
����� �� ����' �����O�<������� �� � ABCΔ �/
� '��� �-��� ��������������� ����$<=�� $-��� ��������������� ���$<=������E���� ��
�
�
�
��
��
��
�
�
�
#
�
�
C H≡
�
�
�
��
,����� ����� ���������� � �� �������������� ���� ?ABCΔ
������ ���������� � �� �������������� ��� .ABCΔ
> �� ������� ������������������<� ���E��� �� ���� -����� �������������+����'� ��� �� ��� � ��� ���������
�� �������
���' ���������� ������������������������������ �$� ���� ������� ��������������� ���)������� ��� �������� ������������� ����������������� ��������������� ���)������������� ����� �
� � �����E��������������'����� .ABCΔ ���������&��
������
�������������������� � �� �$������
��&���������
�
� �
�
��
��
�� ��'� ��� �� �� �����&�����������/
��'� �������D����������������� ���� �� �� �� �$$
���<<
��� �==
�7
������ �� ���$$���<<��� �==��'� ��� �� ����������� ���� ���� �������D��'� ������ ���������� ��� ���������$<=�
���
� ����� ���������$<=������E������������� '���� �� ��$$��� �==������������ ���� ���� ������������� �D������� ���������$D=��������� '�������� �� �� �@.�<����� � �� �$=-��������
�
� �
�
��
��
�
�
����� ���������$<=�Y����� �� ��
� 1 1 .A C AC� �"��� ��� (
�-� 1 1 .MNT A C TΔ ≅ Δ
$-� 12AT TA= ⋅ <�� ��������D� ������������ �� �� ���������3(5-�
�-�# ����� ���� '����� ���������<������������������D�<�D����������� ���������� �� ABCΔ �
��� �� �� �������'����� ������
�-�"�� �� � 1 1
1
2MN AC AC= = �<�� 7-�� 1 1M TA C=� � � � 1 1,N TC A=� � �����������������������J�
%�� ���-�
$-������������� 1 1MNT A C TΔ ≅ Δ ����� ��� � 1,MT TA= �� '��������������� ,AM MT= �%�� ��$-�
# ����� ���� '����� ���������<��� �����������������������������D�������'�� � ���� �������� �� �$$������� ������ 12 ,AT TA= ⋅ ����E������ �������������D� ������ �������������������� �� ��$$��
���� �������� ��������� �� ������ �������������+����'� ������� �������� ��� ���������
�� �������
����� ���������� ������� ������� �� ��������� ���������'���� ���� ���� �������������� ������ ���� �� ��� ����� ����
�����������+�' ����� ��� ��������������������' ����� ��� �������$� �������������' ����� ������ �����������'� �������������� ���������������� ���������
���
���
� ���������������� ��������������� �������A3°� �� ����� ���� �� '�� �� %������ ��� � ��� ���������� �������������� ��E��
� �� ���������� ����� ���� ������������� ������������ ABCΔ '������������� '�������������=����� � 062A =� ��� 074 .B =� J�� ��E�������
� J������� ABCΔ ����� ���������� 5 cm,a =6 cm,b = � 9 cm.c = ,�������������������������
������ 7
� ��� ABCΔ ��������������� �� 068A=� �� 040 .B =� �>������� ������ �������� �+
�-���������� +$-���� ���� � �������� � ���� .ABCΔ
� "��� ��� ������ ���������� ���� '������������=��������������� ��������� ��������������� ���
ABCΔ ����� � $���$������ � �������� ��� ��E���
� ����������� ��������������������������������� ������ �7
,������������������������������� ������ ���)������������������ ���������� ��������7
"�E����� �������$�������� ABCΔ �5 � ����������������� ���������� ��������������������� �� ���������� �7$-�,�������������������� ����' ������O�� ' ������'������ �������$� ������������������ �������
�� ����� ���������$��������� ,ABCΔ �� �=?��������������������� �����������$�E���$<���� �� ,CD ���� �� ��� ����� ��� �������� �$<=�� �$?=������������������02���� 3D���
�� ��� �� ��������� $��������� ����������ABCΔ �� �$�E�����&���������������������������
$���$������"��� �V
�� �� ������� � ������� ��� $� ������ ���� ������������� ��� ���� ���� �� �������� � �������� ��%'��� �������������@��"��� ��� @������������� ������������������ �$���������� ���������
� ��� � �� ������� �������������� ����� ABC����� 6 cma = ���� 8 cm.b = �-� ��������� E��C� ��� ������������������7�$-� �������� ������� ���� '�������������=��������������� ���7
���
��� ���������� ��<���� ����������?$��� �L������������ ���E��� �������� ���E� �� ������-(�-�� �� ����� ����������������+$-�������� ���������������7
��
��������� ��������������������� ��
��������
'���� ���� ��� �%�����
3-� ���������� ����� ������� �� �� ����7 '���� ���� ��� �%�����
0-� ���������� ����� ������� �������7 '���� ���� ��
.-�"�E����������� ���E���'��� ������������������� ����60 ;° ����30 ;° ����120 ;° ���90 .° '���� ���� ��
�� ��
α/ 2α
/ 2α
� �
���
��
r�����
r�����
α α
60° 30°
�� ��
120°
�
� �� 1O
�������������� �� �����������@�������������� ���� �������������� (�-���������� ��PQ°+��$-���� ���� ������ �� ������ '���� ���� �� �$����
� �
���
� � >���������� ���� ����������� �����������������$�������������� �������� ����� �
H��������(�� �� �� �����+�� �������α����� �(������������ �� ABCΔ � �$��������� �+�� ������������ ����� �α�
>�����E����� �� ����������E�������� ��� ������������������$<=��������������E�������9 ����;
���� �����������
'����� ���� ��� ���������# ������������� ������$������ � � �� �� ����������������������7
��������� �����$��� �������������������� ���E���$���� ������$������������������� ������������ %�����������������$��$��� ��$�������+�� ���Y�� ����%�� ������ ��<�� �=�
>� ����������������������$<=������E����� � �� �� � �� �������������������� ��������� �������� ����'��������������� �� �� ����������������������� � ABCΔ ������� �����J�J-�
(� �����
M������� ������ ��� ����������� ���� ��E���������������� ����(������"�/����� ������/�� �������������������
8����"�������%�E����������� ����������������� �������������E����� �� �������������(���� �������� �� � � �� � ���������� �%�������������������� �$� ��������������� �� �� ��������������@����E����� ��� �%�����������������������E����� ������E������� �� �������M�������%������ %������+�?>�����E����� �� ������������� �;�
����� ���������������������E���� ����$� ��������������%������������������ � �� � �� ����$���������������� ����������������� �'������'�����%�� ��%������ ���������
(� ���������� �������������������'�����$��� ���� �%������ �%������������������� �� �� ������"��� �������������� ������� � ���������� ���������������
�
�
� ��
�
� �
�
�
�
α α α
��
������������ ������ ���������� ������ �� �+��-������� �������������������� ��� �E�� �� ����F%������ ��� � � �� � ��������+�$-����E����� ����� ����������� ������E�� �� ���������� ���� � � �� � �������7
������%�E��� ��������������������������������E���������% � �����������E$����������� �F�����E����� � �������� ������������� ����� ����������� �
� >���������� ���� ���������������� �����$������� �������� �'������ ��������
X��������(�� �� ����+�� ����� ��α�� �β�
���� �(�>���������� �� ABCΔ �� �$������+�� ����� �α�� �β�'������ ��������
���� �����������
�������������� ������������� � ���� �����������������
"�E�������������� ���E�$>�� � �$������ .c AB= ���$����������������� �� �����$<��� ���������$�� ����$>�� ������������������� �� �����$<�� ���������<�� �����<$�������� ����� � ��� ����� ����������=�
>� ����������%����� ABCΔ �����E����� � �� �� � �� ������<���������(�F���� ��������� ����'�������������� �� ����������������������� � ABCΔ ��������� �����J�-�
@������F�� ����������������������������� ���������� �����$��������������� �������� �'������ ������7
X��������������� ������� � 180 .α β+ < °
� >���������� ���� ����������� ������������� �$������������ �+�
H��������(�� �� �� �������� �+
���� �(������������ �� ABCΔ �� �$������������+#
����
�
�
α β�
α β�� �
�
α β
�
�
�
�
�
� ��
� �
�
�
�
�����������
��
������������������ ������������� ���E��� �F%������ ����������� ���������� ��� �� �� � �������������� �$����� .c AB= ��������������� ���� ���� �' ��������$�� ��� E ����� ��� ���� �' �����<�� �� E ������� ���������������������������$������=�'���������� �����$<����� ��� ABCΔ ������������� �� �� ������� ������E����� � �� �� �<9�� ������������ ;-+���� ����������������� ������ ���� �����������E����� �# ���������������� �� �� � �������+��������������������������������� ABCΔ /�<�������� +�� ������������� �$����������≤�+#-
� � ����������� �������$���������� ABCΔ � �$�E�� 3cmc = �� ��������� 3cm.ch =
� ����������� ������������� ���� ABCΔ ��� ���� ��E���������� 4cmAB = � ��������������������� ��.Q°�
X��������(
'����������������
������������� � �E����� ABCΔ /<�������� (� .2 2a
a ab t b− < < + �
X��������+ ���� �����������
'����������������
��
�� � � � �
�
ch
ch ch
�
�
�
�
40°
����
�
�
40° �
� � �
�
40°
�
���
�
at1A
2
a ���� �
�
�at
1A2
aX��������(
�
�
at2
a
��������� ABCΔ �� �$�������������������� ��������������������#
�
�����������
�����������
'����������������
���
�����(����� ���$�������� ����� ��,���������(�-����� ��%'��� �����������$+$-�$�������%'��� ����$�������$<P
�����F�%� �� ()����� � �������$�����+)�$������ �������$�����+)����� � �������$������
�� �� �$=�� �<?�'� ����������������������������$<=?#
���
���������������� ����-�45 ;° ����$-�15 ;°�-�105 ;° ������-�135 .°
"�E����� ���E��� � ���� ��� ���������@������������ ����� ��� E ���4�3���'�� ������� ���E��������������@�
�
�
���������� ABCΔ (
�-�� �$����� 5cma = � ���4�.����� �����
� ����� � 50 ;γ = °
$-�� �$����� 5cma = � ����� ������� 30β = °� �γ 4�6Q°��-�� �$����� 3,5cm, 4cm, 2,5cm.a b c= = =
�
@����������������� ���� ��������
���$����� 5cmc = �� ����� ������
105 80 ;dheα β= ° = °$-�$������ 9cm, 4cm, 5cm;a b c= = =�-�$��������� ����� ������� 3 ?dheα β α=
�
�������� ABCΔ � � $������ 4cmb =� � 5cmc = � � ������ �� ��� � 65 .α = °������������(�-���E���������� �� ���������������+$-���E���������� �� ����$� ����������
�
����������� �������$���$������(�-�� �$������.���+$-�� ���������0����
�
����������� �������$��������(�-�� �$�E����4�0�A���� ������������$�E���� ��6Q°+$-�� �������4�A���� �����������$�E����� �2A°�
�
����������� ������������� ���(�-�� ���� � �0���� �.�A��+$-�� ���� � �3�A���� ������������������ ��.Q°�
����������� ������������� ���� ABCΔ ��� ���������(�-� ��� �����4� 0�A���� � ����� � ����������I��+�,
�&���� ������ ������ ������������#��������������� �����$-��������E����� 7
��������� ABCΔ ��� ����������(�-�$���������� �+��� ������������+$-�$�������������������
��� ������ �����������
��
'��������������� �� ��������E����� �
��
������������ '���������� ��������� �
��������
���� ��������� ����� ����������� '�� �������� $������� ��� ��E����� ����� ����'�����������������$<=?� �
�
�
���
� �
1D2D
�������� ���������� ���������������������������������� �������� ��
������ 1 1 ?α β γ+ +
>� ��� ������ ����� � �������������������
360α β γ δ+ + + = °
� ���������������$������ ������ � ������ ���������� ��������������������������������7
H���������������� ���� ����������������� ��� ����(
����� ������ >��� E� >��� E���
−� ���������$����������� � −� ����� ����������$���������� �
−������������������$���������� � �
������E����������������� ������ ���$<=?Y������������� ���������$����������� � (
�������������� '���� �� �� ��??��� �??��������� ��������������� ����$������ ������ � +� ������ �� �������������<� ���������� ����-�'� ��� ������ ������ ��������������$������
������������������� ���������� �����������)� �����7
����� �������$<=?������E������ �������� ��$=��������������
����� ��������
>� ��� � .ABC CDAΔ ≅ Δ
����������%���� �� (�-� , ;AB CD AD BC= =$-� , .BAD DCB B D= =� � � �
����������� �� �� �α��4 γ
��� �α
��4 γ
��<�������
��� ������ -��$=� �����$������ ����$�����������������������������J�(� .ABC CDAΔ ≅ Δ�� �������� � � �� ���������� ���������$���$������� ��������$���E�����-�� �$-���������������
���������
�
� �1α2α
1γ2γ�
���� ��������������$<=?� ����E������-����� �� ����������������
� +�����������������E�������$-���������� '�� � �����������$=�
�
1α2α
δ
1γ2γ
β�
δ
βα
γ
�
�
��- $-�
�
AB DC
AD BC
��
���
&�������������������������� �����
1 .° �J������� ����$�������������� ��������������$���$����������� ����� �2 .° ����� �� ����$�������������� ��������������$���$����������� ����� �
0°�� ���� ����� � �'������ �����$������� ���������������� �������������5DQ°�
'��������� �������������E������ ��'����� (
1 1; 180 ;α β β β= + = ° 180 .α β+ = °
� ������������ ���������������������6A°�� ����������� ���� ����������� �������7
� �������� ��������$<=?������E������������� '��������� ��� ��� ���� ���� �������������� �9�
"��� ��� (� , .SA SC SB SD= =
I��������� ���� �$���E����������������������%�������� ���� .SAB SCDΔ ≅ Δ� AB CD= �������1 , 1 3 2 4dhe° = =� � � � ������� ���� ������ ����������E$������������J��-
� �������������EG@.������E��������������� ������ ����� ��� ����� ������E������ ��������������� � �� �� � (�E.��.@��@9�� �9G#
4 .° ����� ����������� ������������� ���������� ����������� ��� �� �������� �
# �������� �� �� ������ �������� �������� � �
α 1ββ� �
�
( %
��� �
�
��
! ")���
�����
(&����
%���
� "��� ��� ������ ����������� ���
�
���
�
��� �������� ������ ���� ������� �$����� ���������� ���� �� ������ ���E�� ���� ����������$���$��������� �� ,m n� �������������� ��������� �� ����������� � �
8%�����E����� ����� �������� ���E������ �������E��������� ����� �� ��� ������� �� ��������$���$����
�����E�����������������������)�����$<=?�������������������� �
$=�� �<?��������� ��� ������ ��� �� ��9�
"��� �� � � ������������� $<=?� ��������� ������� ������������ AB CD� � ��
.AD BC�
"�� �� (�� ,SA SC SB SD= = �<���������-+
3 4=� � <������� �������'�E����-+�������J�J��� ��� � SAB SCDΔ ≅ Δ
# ������� ���� �� 1 2=� � <���������������� ��� �������� -����������������� ������ ������� ��������� ���� ��$=�������������������� � ��� .AB CD�
B�� ��������$�������$<�� �=?������������������$<=?����������� �
�������������������������������%������ (
( ), , 7 8; , 5 6;SAD SCB SA SC SD SB BKB prandajΔ ≅ Δ = = = =� � � �
��� ����� ���� � �� ������� ���� ������ ���� ��$=�� �������
.AD BC�
���%��������������������$<=?������������$����������� � ����������������������� ������
# ������������ ����� (
������� ��������������������������� ���������� ���������� ��� �� �������� ����� ��������������������������� ������
�������'� ����������� ���� �� ������ ���
>� � ��� ��������������� � ������� ����� � �<���������������� ������������� �����-�
������� �����������������������$������������$���������������� � �� ����$���$��������� ��������������������������� �����
��������
αβ
γ
�
%
(
�
� �
��
�
�
�� �
� �
�
�
���
"�� ��� (�����AB CD� ��� AB CD= �<��E�����-���� ��� ABC CDAΔ ≅ Δ <������J�J-�� ������������ ����%�������
� � AD BC= ���� .AD BC�
"�� ��� (�����AB CD dhe AD BC= = ���� �� ABC CDAΔ ≅ Δ<������JJJ-������������ �������������'� 1 2,=� � ���� ���%��������� � ;AB CD� ���������������� � � ����
.AD BC�
����� ����� ��������������������� � �� ������$������ �
��������
7���
− ���� � �"���� ��� ��� �� ��� "������ ������������������������
7�����
− ���� � �"�������� ���#�#��#��������������#���������>����#����� ��� ������������������1��
��� �� �����������$<=?� ����E������������� '���������� �
$=�� �<?�"��� ��� (� .AC BD=
'������E��������"�� ��� � ABC BADΔ ≅ Δ<������J�J-���� ������(� AC BD= <���$������� ���� �������������������-�
# ������������ ����� (
&�5������ �������� ���������������� ����������������$���$����������� ����� �
"� �� � � ����� �� ����� ����� <� ���� ����� ��������-�
&�3����� �������� �������������� ���������������������$���$��������� ������������������� ���������
�� "��� ��� ������ �������� �������� � �������$��
�
�������� ������������������������������$������������$��������������$���$��������� ��������������������������� ������
� �
�
��
�
�
�
<�����
4����#�����
− ���� � �"����������� ����"������#�����������������
−���� � �"����������� ����"������#������������������������"�����������������������������
� �
�
���
B�5��&������ �� ���$��������� �������������� �
����������������� ���� �������� ��� �������� ������������������$���$<=?� ��� ��E�������� AOB dhe AODΔ Δ � � �� �� � � ����� �����������<� ���������JJJ-���� ������(
( 90 ), .AOB AOD gjegjësisht AC BD= = ° ⊥� �
"� �� � ������������� �����<� ����������$-(
B�3����� ���������� ���������������� �� �������������� ����� �������������$�
�� "��� ��� (
B�0��&��������� ���$����������� ���� � ����� � �������$������
�� "��� ��� (
��5��&������ �� ��������������� �������������� �� ����$���$�����
��������
, ���"�������������������'������ �������������$���������� � � �� �� �($<�� �=?�− �$�E����$?�� �<=�−�����
1CC �− ���������� �� ����@.������� ������� ������������������� � �� ����� ��'� ������������� ����� E���
�
�
�1C
AB CD�
� �
�
�
�
�
�
�
�
#�������� F �������� �������� E � �
>��� E�$��������
− ����� E�� ������ �$���$�����
� �
�
�
�
�
�
>��� E������� ���
− ����� E�� ����������������������������� $�E���
���
Vëre se: KBN DCNΔ ≅ Δ (sipas KBK: , ,NB NC KBN C KNB DNC= = =� � � � ) prandaj ,NK ND= gjegjësisht MN është vija e mesme e .AKDΔ Përpos kësaj, , .BK CD b prandaj AK a b= = = +
>�3������ ��'������ ����������� ��������������� E������������ � ���� �
"�� ����� ��α�� �δ����������$?�������� E���$<=?������E������ ������� ��������α
��
"�� �� �α α���� �α
��� δ �L7°#��� �������α / δ 4�5Q°�
��������������� (�β / γ 4�5DQ°�
�������� E���$��������������������������� ��������� � �
���
����������������$<=?�� �������� ��$=������������������� ���������� ��� ����� �������� ������3D���� �02����,�������������� ������� ����� �� ��� ������������������������.Q���
��� ���� ������������$<=?� ����� ����(�-�α 4�DQ°��β
��4�5.Q°��γ 4�50Q°+��$-�α
��4�03°�
γ 4�53P°��δ 4�2P°��,���� ���� � �� ��� ������� �� ����$� ���� �
�
�
�������� ��������$<=?�<� �$�� �=������� �������$�����-����������(
2 10 3 20 .A x dhe C x= + ° = − °� � � ��������7
�
� "��� ��� ��������� � �������� E���
>5��"���� �� �� � ����� E������������� � �� �$�E���� ������ �$���$������ �������� ������������� �
I��������� ����������'������E�������� ���� ��� ���� ��� ����� ��E������ ���� E��$<=?��� � $�E��AB adhe CD b= = ����� �� �� � .MN m= �� �����������E�������� ���������������$E?�
� � !
�
�
�
�
�
, .2
a bMN AB MN CD dhe MN
+=� �
�� "��� ��� ������ �������� �������� � ��������� E�
B�� �������� ,MN AK� �1
,2
MN AK= �� �������
�
�
α
γ
β
δ1α
�
>0������ ��'������ �����$�E��� ��������� ����� E��$�����������������$���$����������� ����� �
>.��&������ �� ����� E���$�����������������$���$����������� ����� �
���
��������������������� ����������� �� ��������������� � �� �$������ ���������� ���������7 '����������� ������ �
���������������������������$����������� � ��-�@��� ��� �� ���������������������� ������� �����7� �������� ���$��� � �� � �$����$-�@������������������� �� �� ����� ������������� �������7
�
X���� ����� ����� ������� � � $�����14cmAB = ���� 9cm.AD = � �� ������� �� A�
��� ��$�������=?����������@������������ ������ � B� −���������.�<.������������ ��?�� @-��,�������������� �� �� �� � +�?@��@.� �@=�
�
�������� ��������$<=?�����������$=�������� ���� �<����<?-���������� ��<�� �?����� ��� '�������� ������������ ��$=���$�E��� ��������� ������������������������@� �.���"��� ��� � .BM DN=
�
&������ �� ���������������$<=?����� ����������'����� .OA OC= ���� � ,ABD BDC=� ���� ��� �������������$<=?� ����� ����)� �������"��� ��
�-�X���������������
������ ��� AX BY⊥4* !�� 8 ���(������&�
� .AX BY=���A&��(���(%(���8�
��������� ,AX BY=
��
��� � ��� ����� �������� � ����� ������������ � ������������������������������ �����$���$��������� �������������$��"��� ��
��
XC YD= !$�2�������D������� ������� �����#�����
"��� ���������������� E���$���������<� ���>0�-(�9���� ��'������ �����$�E��� �������������� E��$�����������������$���$������ ��� � ;�
��
"��� ��� ������ �� �� � ����� E��������������������� �� �����
��
@����� ������� �� �� � ����� E������������������ �� �� �������� � 7
��
��������� ��������������������� ��������� ��
����������������� ,ABCΔ ���� ��� �(�-����$������� �������� ����� +$-��� �$�����7
� ,����� � ��� � ����� ������� �� ����� �������7
,������ ��� ������������� �� ������ �������7 �������������� ������$<=?�� �$����������� �� ������� ����� �
���������
$ �
� �
�
&������ ������������� ������������������AA°7����� ��� ������� ����� ���� �� � ��������� ������7
�
�
� α
��
��������$�� �9�����E��;(������ ���� ������ ������������������������E������<��E�����(�9 ����;-���������$<=����������������������������� �� �� �� �� ,AB a AD b= = �� �������� ,α=� ��������� �� �� ������������������� � �� ����$���$������ �$<�� �$?���������������&������������ �������$<=?��������������� ������ ��������������������� � � � �� �� ������
���� M������
��������� �������������������������� ��������$<=?������������� �F%�������������������������� �����$���� �� ������������� ��'�����%����E����� ��
'����� ����� ����E�������9M������;�
������������������� ����������������$<?7
������������������������=P
'����� ��������������$<=?����������� ������������ � � �� � ���������
>�����E����� ������ �������$<=?������������������<��E�����(�9 ����;-�
����� '�� ������� �� ��� ����� ������ ����)���� ��� � ������ �� ��'�� � AOBΔ ���������������������������� �$�����
1 2, , .2 2
d dAB a AO BO= = =
����
I���������������������� ��������$<=?��������� �������������9�� ���������������;�$'<<��E�����(�9M������;-�
����������������������� ��=�� �?7
'����� ������ ��������������������������������� �� �� ������
M������
& ��������E����� ���� � 1 2 1 2 .2 2 2 2
d d d da− < < +
� �
� �
�
�
�
�
� ��
�
�
1
2
d2
2
d
1d2d
�
�� �
�
α
��
�
�
� �
�
α
�
� �
� �������������� ��������$<=?���� �����������$��������� �������� ��������(
� ��
� �
� �������������� ����������� ������������������ �� ������������� ������� ϕ�� �����
��
��������
� � ��� ��������� ����� �������� �� (�-��� ����������+$-���$��7�������������� ���������� ����(�-���������� �+$-�$� ������� �+�-���������� ��� �$� ������� ���� ��7
����������� ���������$<=?��� �����������$������� �������� ��(
������������������ ���� ��������������������
: ����� ����� ����������$<=?���������������< ����-�
���� M������
"�� �� ��� �������������� ���� ABCΔ ���������������������������� � � � �� �� ������
'������ ����������������������� ABCΔ �� �����������
'������E�������9M������;�
�� ����'� �������� � ������ ����������������' ����� ��� �������������������
� �����$��� ���E��������������� '���������� �� ����� ��������� �� �� ���� �9��������� '�������� ��� $�������� ����$�E�������+�5��B��4��O�
"��� ��� �������5��B��4��� �O������������� ����������������9������������������ ����������� ��
,���������' ������ ����������� E��� �������� ��7
�����$���������$� ������� ���� ���' ����� ���������������� ���� �������� � ����������� E��������������� ���������������$���
@��'� �� �����$ ������� �� ������$���
� �
�� �
�
�
� � � �
��
�
�
� �
� �
� �
#�
�
���
� "�E�����$�� ���������E����� ���� �$� �������������� ������������������ �� ����
� 1 25cm 4cm.d dhe d= =
�������������������������� ��� �$� ������� ��� ���B� �������������� �� � ��$ ������� �� �������� ����� +�' ����� ���� �������� ���� �������� � �
� ���������������� �������� �A��������������E����� ���� �������������� ����$� ��������������������
�������� �
,����������������'� ������ E�� ���������� E��7
> ����� ������������ E���$���������
������������� E�$���������� ($�E������������ �������� �����
�����
������E�������� �� �� ����
: ����� ���$<=?����� E������������������������ ,AB a BAD dhe BD dα= = =� <��E�����-
>��� E���� '�� ��� ��� ����� $������ %'��� � ��$���$�����'� ���������#
������?��� �� ������� �� �� ��������� �� �)<<��-�� �������$������������ .A α=� �������������� ABCΔ�������'������������=������%�� ������� �� � ��� ���E���������?�'������������ � �� �$<�� �������<3���
.ABC α=�
������������� E�� �$�E������ ���� ����� �� ����$�E�����
)���"��#�: ����� ���$<=?� ���� E�����������������������, ,AB a DC b A dhe Bα β= = = =� � �<��E�����-����� ����$�E��
$<� �E�� ����������5������������'�� ,bAE = ��� � �������5
��� '����� ���E��������� � �� �������$������������ ,A α=���� ����� ���� ���� �������$3���� ,B β=� ������� �������=���� ���� �������$��� ��� ���E�����'�������������=�� ���������� � �� ���� �� ���������?�����������9%������������ ;����������������� ����� E�������� BCEΔ �� �$������BE a b= −� ����� dheα β �<�����-�
� ��
�
��
� �
�
a b−
α1α β
�
��
�
�
α
�
� �
�
�
� �
���
�� ���� �������$<=?������E�����<� �AB AD dhe CB CD= = ���������� '��������� ��$=�� �<?��� ��� ���� ���� �������������� �'�
��������=������ ����� ���������� ����� � ������������ ��� ���� �� �� ������
"��� ��� .ABC ADCΔ ≅ Δ
2 .° �&��������� �� ������� ���������������� ����������������� ��$������� �$���$������������� ����� � ���� � ��������� �� ���� ����� � �������� ���� ����
3 .° �&������ ����� �����������%����������� �$������������$���$��������������$���$�����
1 .° ��&������ �� �� ����������������� ������� ����� �
�� ���������� �����$<=?���� �����������$������� ,a AB b BC= = �� ����� �� ,A Cα γ= =� � ���%����������$������������$���$�����
���
�������������� ������� �$��������4�A�����4�0�A���� ������� ����� �α 4�5QQ°�
� �������������� ������$<=?���� ����������$���������4�.������4�0���� �������������4�2���
� �������������� ������$<=?���� ����������5 m, 4mAC BD= = � ����������� 3 .ah cm=
� ����������� ���������$<=?���� ����������$��������� ������������������������E���������� �� ����������������
�
� ����������� ���������� �������� � ���������4�A���� (��������� ��������� � � 50 ;ϕ = °��������� ��$�������� �������� ��������������E����������� �� ���������������
� �����������$�� �$��������� �������� ���#
� ������������� E�$���������$<=?���� ���������(�$�E�� ,AB a A α= =� � ������������
������������� E�$������������ ����������$�E������ ���� �������������$�E�����
��������� ���� E�� � $�E�� �� � ��� � ������� ��
��� ��
��
��
�
�
�
�� ���������� �������� �����������$�������� �������� �
21 2 1 2, .
2
dd d d d dhe a
⎛ ⎞> >⎜ ⎟⎝ ⎠
���
�������������������� ��
� ,���������� ��� �����������������������������������02°����������������� �����������������A�(�0�
� ,������������� ����� � ������ ���������������������� ��������������������������� ������������� ������%'��������� �������
� H���������������9��$��<������������������� ����������� ���E��-�����������������$
��� �<
����� ���� �� �$�� �<�������� �� �9�
$-�"��� ��� �1 1AB A B= ��� 1 1.AB A B�
� B����������������������$������� � ,ABCΔ ��� �%�������������� ���������� �� 55 35 .A dhe B= ° = °� � �
� >� ��� �����F���� ��������� �����$�������������� ������� �������� �� ��� ���������� ���������
� !��� ��E�� ��� ��������������� ���� ABCΔ ������,����-� ��������� E���C� ��� ������������������7$-� ����������� ����� ���������=���������������� ����� ���� �� ���=������� ��E��7
� ,�������������������������������� ���������� ��������$������������� ��������������� ����������$�E�7
����� ���������$��������� ABCΔ � �$�E��$<�� �� �� ���� '������������ ��$�� �<���������$���$����� ��� � ��"��� ��
��������� ABCΔ � � $������ 4cma = �� � ���� � ��� ��� 50 75 .dheβ γ= ° = ° ��������� ��� ABCΔ$� ��������� ��� ���#
�� ����������� ������������� ���� ABCΔ � ���� � �0���� ���� ��E��2���
�� ��������������������������� ��������� ���������$���$��������������������� ��������6Q°�� �5.Q°�,�������� �� �$� ���� ����������������������
�� H�������������� ����� �������������&������'��� �� �� ��=?�� �@.��������� ������� ���E�� ���������"��� ��� ��������������=?.@����������� ������
�� �����������$�� �$��������� �����������
�� ������������� E�$������������ �����������$�E������������������ ����������$�E��
���
��� �����������������������������������������
" ����� �������� ��������������������������������
>����%��������������� ����������������������
#$� ����� �E$������ �������� ����������
���E������� ��������%�'�E���� �������E������������� ��������������������
B�������E������ ���� �������� ������������������������������������������������
�� � ����������� �������������������������
��
��
�
��
��
��
������ ������� �
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
��������������
& ������������� � �� ����� ������������ ��
�
���
,����������� ����E����������E����� � �$���E����(��-����4�36+�$-���4�2.+��-����4�.P7
> � ��� ��������� ����� �������������������� ����$��������� ������� �� ���� ������ �E����������������� ��������$���E��������4���
� ,����<�������-�E����� �� �$���E����(
�-� 3 64;x = − �������$-� 3 64;x = ��������-� 5 32;x = − ��������-� 3 27.x =
�-� 4,x = − �����'��( )34 64;− = − ������-� 3,x = ������'�� 33 27.=
��������
������4�3�� { }2, 1, 0,1, 2n ∈ − − �������� ������&���� � .nx a=,������ �������%����E� �'������������� ��� ��7
������ ������������
� � ������� �����������������52�����,�������������� �$������������������
� "���������������$�������53A�����,������������� �� ��������$���
������� ���������� �$���������� � ��� �%�������9�������������������������$���� �� ����� � ��� %�������(����#I������� ��������������� �$����������������������������������������� �� ��������$������ �����E������$���E��������4�52��� �$���E��������4�53A�
M������� �$���E��������4�52��������4�.�� ���4�).���������E������� �$���E��������4�53A��������4��A����������$������ ����������������4�.������������ ������$����������4�A���
�� �E���������4�).� �$���E��������4�52����������E����� � �� ������� � ��� ��( )24 16?− =
M������� �$���E��������4�36��������4�0���������0��4�36+�E������� �$���E��������4�)36��������4�)0�������'�<)0-��4�)36�
����E����� �� �$���E��������4����� ��� � ���� � �� ����� � �<��������� �������������� ���-�
,�� ���������F��������� �����1�Q�� �F����������������� �E�������������� ����� ����E������������������E����� � �$���E����������#
���
M������� �$���E��������4�P��������4�0�� ���4�)0�������'��0��4�P�� �<)0-��4�P��M����� �� �$���E�������4�3A��������4�A�� ���4�)A�
�� �������
����� ������������� �����1�Q�� ������ �������������������F�%�� 2 , ,n k k= ∈� �E����������������� ����� �Y����������������� �� ( )22 .
kkx x a= − =
&������������1Q�� � 2 ,n k k= ∈� &�$���E���������������E����� ���������������������� ���������� ���M����� ���E���� � ��������� � ,n a ��������E����� ��� ����� � ��������� � .n a−
����� �$�����$���E������4D��������������� �� �'�������������������������B�������E���� ������ 8, ��������������� ����� ������ 8.−
�� �������
����� ������������� ������ �� �������������������� �� 2 1, ,n k k= + ∈� �E�������������� ����� �����
���������'����������#
&������������ �������������������� ����� )����� �� ������������� ����� �E������ ��������������� ��'�������E����� � �$���E������������ ����������� ��������� �� .n a
��������<�≥3-�'� ���� �� ����������������������'� ����� ����� ������ ������� ������� ����������� �����
#���������������������������� �� n a �'� �� ����"��
����� �$����� 3 1 1;− = − � 5 3 3 31 1; 0 0; 27 3; 125 5− = = = − = − � ��
��� ���≥�Q�� ���4�3����� ������� ���� � 2 a ���������� a ���������� =���������������� � ��#
��� ��� �� ��������������������������F�%��� ���1�Q����� ���������� ��)��� ����������������� �����������������'���������@������������������������������������������ �� �
J���E�����-����4�).��$-����4�)D5������E����� ����$��������� ?�
�����'�����≥�Q�� ����≥�Q�����F��������� ��������� ��� �$���E�� �� ���������������E����� ����$��������
,� ��������������� � �� 4− ���� 4 81− ����������������� ��������������� � �� ��� � �� ���������
����������$��������� .�
���
�� �������
B�����E������������ �� ���� ������� ��� �� �������������������F�%�������������������%�E�������$�������� ������� �� ���
� ,������������� � ����� � ������������(����� 9 8;− �����12 0; �����16 256;− ���� 4 16.−
� ������(��-� 5 52 ; �����$-� 3 32 ; ������-� ( )33 2 ;− ������-� ( )22 ?−
�������� �
����� ����� ��� 2;− ���� ( )22− �������������E������ �������������� �� ( )2
2 2.− ≠ −
�����'� ( )22 4,− = ���� ��� �� ( )2
2− ��������������������� ( )2 22 2 2.− = = �������������������'
( ) ( )4 24 4 24 3 3 3, 5 5 5− = = − = = � ����&������� � ( ) ( ) ( )2 4 242 | 2 |, 3 | 3 |, 5 | 5 | .− = − − = − − = − ��������
��� � ,a∈� ���� ���� 2 | |,a a= ���������������� ���������������������F�%����������&� | |n na a=
-$�������*
,| |
n n a
aa ⎧
⎨⎩
=
� ,������ ���� ���� � � (��-� ( )55 7 ;− ����$-� 3 39 ; �����-� ( )44 4 ;− �����-� 6 63 .
�������( ) ( )2 334 , 5 ? �M����� �������'��( ) ( )
2 24 2 4,= = ���� ��� ��( )2
4 4.=
�������� �� ��������� ���( ) ( )3 73 75 5, 15 15= = � ���
����� �$���&�( )55 5 5,− = − ������������������� �����( )2
3 3,− ≠ − �� '�� 3− ���������������
������������������ � n a ��������������� ���( ) .n
n a a=
���������������������#&����������������������#
���
�������*
�� �� , ,ma a m∈ ∈� � �'� ��%�'��
��� � ,m +∈� ���� ������� ... ,m
m
a a a a= ⋅ ⋅ ⋅�������≥�3�� ���������� ����4�Q�� ��� ≠�Q����� ������4�5���� � ,m −∈� ������������ ,m k k= − ∈� � ��≠�Q����� ��� 1
.m kk
a aa
−= =
� K�����E�� ���������������������%�'���� � � ��� �� ��E ��� ��������������
� ��������� ������ �� ����� ��� ������ ��������� ������ ����������������������� ��������%�'��� ��� �� ���������������>���������$����� � �����E�� ������������������%�'�������� �%�����%�'����� ��� �� ���������������
-$�������*
��� � a +∈� ����m
n∈ �!��� ,m n∈ ∈� � �&���� ��
.m
n mna a���
����������%�E������ ��(��11 3
3 32 2 34 4 2; 4 4 64 8; 27 27 3.= = = = = = =
� �� �����-� 0,59 ; ������$-�2
38 ; �������-�1
3125 ; �������-� 0,50,01 .
$-�2
23 38 8 4;= = ��������-�1
0,5 20,01 0,01 0,01 0,1.= = =
��� � 1,m = ���� ���1
:nna a= �1
1
1 11: .n
nn
m aa
a
−= − = =
���������%���������������%�'���(
�-�1249 ; $-� 0,5100 ;− �-�
2
3 ;a �-�2
3 ;x−
-�2132 ;a b⋅
�-�1
249 49;= $-�2132 3 2 .a b a b⋅ = ⋅
��� ���������� ���������������������������������� ��������� ���m
n���������� �� �� ������� �$����
�3 6 9
...4 8 12
= = = ������%�E���������� �����������%�'����m
na �������� ���������� �� ��������� ������$���$������ m
n��������������� �� �������������%�'��������������� �(
, , , , .m m k
n n k nk mka a a a m n k⋅
+⋅= = ∈ ∈ ∈� � �
���m
na �'� ��%� ���� ��������� ��������
��
���
� ,������ ���� �%�'���(
�-�329 ; ���$-�
124 ;
−����-�
1249 ; ����-� 1,516 ; ��� -�
238 .
−
� �� �(���-�1 20,52 31 1 8
2 ;4 4 27
−⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
�� �(����-�2 1 113 3 3 ;a a a
−⋅ ⋅ ��$-�
11132 : ;b b b−⎛ ⎞
⋅⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
�����������������%�'���(
�-�14 ;x ����$-�
11322 ;a b �����-�
21323 .a b
−
�� ����������%�'�����������(
�-� 4 3 ;a �$-� 4 2 32 ;a b ��-� 3 2 ;b a⋅ ��-� 32 2 .a a+
� ������������ ������������ �������������������(
$-� 0,5 0,25 0,75 036 81 16 5,6 .+ − −
�-�
65
13
4152: : .x x x
−⎛ ⎞⎜ ⎟⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎜ ⎟⎝ ⎠
� �� ��-� 5 32; ��$-� 3 64;− ���-� 4 16; �-� 3 0,008; ���-� 6 64.
�-� 1;x − ����$-� 5;x + �����-� 4 2 6;x −
�-� 3 1;x + ���� -� 5 1 ?x−
� ,������������� � ��'������������������������(
�-� 9;− ��$-� 3 1;− ���-� 5 32; ���-� 4 16;− �� -� 6 0;
%-� 0; ���-� 3 0,01;− ��-� 0,01.−
� ,�������������������������(
�-� 23 3;= ���$-� ( )23 3;− = − ����-� ( )2
3 3.− =
� �� �(���-� 3 1;− ��$-� ( )77 1 ;−
�-� ( )44 3 ;− ����-� 3 4169 125 16.− − +
����� �$�����1
3 38 8 2,= = �������1 2
3 6= �#����
2
6 6 2 68 8 64 2.= = = �4��������&��1 2
3 68 8= ����
�� ����� ��� �%�'������ �� ���� ��������� ������������������������ ���������� ������ �����������'���� �������� ����� ��� �%�'������ �� ���� ��������� ��������������������
��� ���� ����� ������ � (��-�2 13 2 ;a a⋅ �$-�
3 11,54 2 : ;x x x−⋅ ��-�
21 32 ;a a
−⎛ ⎞
⋅⎜ ⎟⎝ ⎠
��-�
123 234 .x a
⎛ ⎞⋅⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
���' �E����� ��
$-�3
2
3 13 1 3 2 6 1141,5 114 24 2 4 4: ;x x x x x x x
⎛ ⎞+ − −⎜ ⎟⎝ ⎠+ +
−⋅ = = = = ����������-�2
3
2 231 13 31 122 2 1
.a a a a aa
⎛ ⎞⋅ − ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠
− −+ −⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⋅ = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
����F�� ,a b +∈� �� �F�� , ,m p
n q∈� ���� , , ,m p n q∈ ∈� � ��� �(
0 0 01 . ; 2 . : ; 3 . ;
p
qp p p p m pm mm m mq n q q n q n qn n na a a a a a a a
+ − ⋅⋅⎛ ⎞
⋅ = = =⎜ ⎟⎝ ⎠
( )0 04 . ; 5 . .
mmm mm nnn nn
mn
a aa b a b
bb
⎛ ⎞⋅ = ⋅ =⎜ ⎟⎝ ⎠
��
�� ������������
����������
, 0.m m k
kn n k
⋅= ≠⋅
���������%���������������%�'���(
:, 0.
:
m m kk
n n k= ≠
, 0.m
n m na a a= >
21 1 332 2 23 , , 2 .a a b
� �������� ���� �������� � 3 8 ���� 6 64.
3 8 2,= ������'��� 32 8;= � 6 66 64 2 2.= =
&��������������� 3 8 �� � 6 64 �������� ��� ��� ����
� 3 68 64 2,= = ��� ��������� 3 63 62 2 .=
� B������� 33, 2 �� � 42
3�E�� ���� ���-�0+ $-�.�
���3
3 3 92 3 61 3 3 1 3 3 1242 2
3 3 3 ; 2 2 ; .3 3
⋅⋅ ⋅ ⋅ ⎛ ⎞= = = = ⎜ ⎟⎝ ⎠
� M�� ��� �3��������(�-� 5 2 ;a �$-� 3 2 ;a b ��-� 4 2 3 ,ab c ����� 0, 0, 0.a b c> > >
�-� 5 5 2 102 2 2 4 ;a a a⋅ ⋅= = �����$-� ( )23 62 2 4 26 .a b a b a b= =
� >����%���������� �� �������������������(���-�� 3 42, 2, 2; ��������� 34 3 26 , , 2 .a a ab
>����%��������������� ������������� ��� �� ������� ����������$����� �����%���������������������$����������� �� �� �
�-� !"���( )2,3,4 12,= �������� 2 6 3 4 4 36 4 33 412 12 122 2 64, 2 2 16, 2 2 8;⋅ ⋅ ⋅= = = = = =
$-� !"��( )6,4,3 12,= ��������� ( )43 4 312 4 12 122 3 3 3 9 2 2 4 4 86 3 4, , 2 2 2 .a a a a a ab ab a b⋅ ⋅ ⋅= = = = =
�� �������
��� ��� �� ���� ���������� ��� �� ���� ���� � ������������������E����� �������������������� ����� ��� ��������������������
��� ������������ �� �� ��� � 0a > � � , , ,m n k ∈�
��� ��� .n kn m m ka a⋅ ⋅=
�������������� .m m k
n kn m m kn n ka a a a⋅
⋅ ⋅⋅= = =
���� ���'� ��"��� ���� ������
��
� ���������� �� �������������������(��-� 3 44, 3, 2; ����$-� 2 23 5, , .x xy x y
5��������*�!�����������)*���!���������3����������������!����������!�������!��� "������8��� ��������������!���������!��������������������8��� �#
� �������� ���� �������� �� 9 68 ��� 3 28 .
( ) ( )6 999 6 3 18 2 29 98 2 2 2 2 4;= = = = = ( ) ( )2 33 2 3 2 23 38 2 2 2 4.= = = =
&���������������� 9 68 ����� 3 28 �������� ���������������� �������� 9 36 28 8 .=
� �������������� 612 6 33 , 3 3dhe ������� ����%�'��� ��� �� ����������������
# �E$������� �m
n m na a= �� ��(�36 1
612 6 3 612 23 3 , 3 3 , 3 3= = = � ������'��6 3 1
,12 6 2
= = ���� ��� �������������36 1612 23 3 3 ,= = ��� ��������� 612 6 33 3 3.= =
� >� ����������(���-�12 8 ;a $-� 24 18 ;a �-� 8 2 4 .a b
�-� 12:2 6 6:2 312 8 8:2 4 4:2 2a a a a a= = = = ��� �� 12:4 312 8 8:4 2 ;a a a= =
$-� 24:624 418 18:6 3 ;a a a= =
�-�"�� �� !"�<D��3��.-43����������� 8 42 4 2 .a b ab=
� >� ����������(���-� 6 4 ;a $-� 4 28 ;x y �-� 6 4 86 .x y z
����������������� �(���� ���1�Q�� � , , ,m n k ∈� ����� �� : : .n k nm k ma a=
��������������:
: : : .m k m
n k nm k mn k na a a a= = =
���� ���'� ������������� ������
�� �������
��� ��� �� ���� ���������� ��� �� ���� ���� � ���������������� ������������������ ���� �������� ������$���������� ����� ��� ��������������������
��
��� ������������ n ma �� �� ������������������� ���� ������ �� ���������� � �������������+����� ��������� �����⋅ ������ ��
����F�� 0a ≥ ���� , .n n p pn mn a a a⋅∈ = =�
��� � 2 22 , | | ,k k p pn mn k a a a⋅= = = �����F��� .a ∈�
��� � ( )2 12 12 1, ,k pk pn mn k a a a+ ⋅+= + = = ������ ������ .a ∈�
����� �$���(� ( ) ( ) ( )6 3 3
6 9 346 3 3 348 3 1 1 1 15 5 125; 6 | 6 | 6 ; 4 4 64; .
2 2 2 8⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = − = − = − = − = − − = − = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
>� ������ � �(������ 54 4 5, ;x x ��� ( )33 2 ;x − ��� 2 4 4.x x− +
M�����
�-� 4 4
,
0 ,
,
x
x
x
⎧⎪= ⎨⎪ −⎩
$-� ( )33 2 2,x x− = − ������ ��� �� .x ∈�
��� ( )( )
22
2 ,
4 4 2 0 ,
2 ,
x
x x x
x
⎧ −⎪− + = − = ⎨⎪ − −⎩
�������������(�6 8 �� �6 5 + $-�3 4 �� � 4 3 + �-� 5 �� �3 11�� ������������ �� ��� �� ��������������� ������������� �����������'�������� � ���������� ����������
���� 6 68 5,> �����'��8 5;> �����$-� !"� ( ) 12 433,4 12, 4 4 ,= = ������ 12 34 3 3 ,= ������'�� 3 34 3> ��� ���
� 3 44 3;> �����-� !"� ( )2,3 6,= �������� 6 3 65 5 125,= = ��������� 6 23 611 11 121,= = ������� 35 11.>
�� B����������������������������(����� 3 3 310, 8, 43; ������� 3 63, 6, 37.
���
� M�� ��� �0��������(
��� 3 2; ������ 2 ;a ������ 3 22 ;a b ����� 2 34 3 .a b
>� �����������<A)6-
������������������ �� ���������������$�����<3).-(
� �-� 3 34 4 ;a adhe �����������$-� 3 62 52 ;x dhe ab
�-� 3 42 22 3 .a b dhe a b
� �-� 3 63 6, 2 ;dhe ���������$-� 812 2 24, ;a b a dhe ab
�-� 42 3 56 82 , 3 .xy x dhe y
� ���2
3 46
2
3 , ;a a b a
dhec bcb c
����2 2
4 3 10553, .
a ba dhe
ab
� �-� 3 62 ; ����$-� 4 64; �����-� 5 32; ������-� 0,01.
� �-� 4 2 ;x ����$-� 6 4 ;x ������-� 6 3 ;x ������-� 12 8 .x
� �-�12 6 3 ;a b $-� 4 2 225 ;a b
�-� 2 281 ;x y �-�12 9 364 .a b
�-� ( )23 ;− $-� ( )44 5 ;− ���������-� ( )33 4 ;−
�-� ( )33 3 2 ;− -� ( )2
2 5 .−
�� �
�������1�Q�������4�Q�����������C�Q
������)�3�1�Q��������������������1�3������)�3�4�Q��������������������4�3
������.���H�'&����#���������������H��
��
��������� � � ���������
��������
B������� 3 2a ������� ����%�������%�'����� �� �� ����������������
*�'�E(
�-�( )2;a b⋅ $-� ( )2
: ;a b
�-�( )23 ;a b⋅ �-� ( )
34: .a b
� � ����������� ������(
�-� 64 25 64 25;⋅ = ⋅
$-�100 100
.25 25
=
��������������� �� �$�������� ��������� ��� ����������������&������������������� � ������������ ������� � ��������������� ��E���������� �$���$������ ���������� � ������ �������� ������ �������� ������� �
� �� �(��-� 3 8 64;⋅ ����$-� 38
.64
� �� �(��-� ( )3 27 64 125;⋅ − ⋅ �$-� 532
.243
−
� >� ������ � �(
�-� 9 6 33 ;x y z $-�3
36 3
8.
27
a b
x yM����� �
��� 339 6 3 9 6 3 3 23 3 .x y z x y z x y z= ⋅ ⋅ =
� ������������ ������������ ������������������$�������(
�-� ( ) 3 33 2 2;x x x x+ = ⋅ + $-�4
42 4 2
?1 1
x x
x x=
+ +
�-������ ������� ;x∈� $-����� 0.x ≥
( )1 11
;n nn n nnab ab a b a b= = ⋅ = ⋅
1
1
1
, 0, 0, .n
n
nnn
n
a a a aa b n
b b bb
⎛ ⎞= = = ≥ > ∈⎜ ⎟⎝ ⎠�
����������� ����������������E����� ������������ �������� ������
���������������� �(
������ �������� ���� � ���������������� �������������������� ����� ��������E� ��
��
� � >� ������ � �(���� 216 ;a b ���5 3
5 .32
x y
.�(�%&(��
�-� 2 216 16 4 ;a b a b a b= ⋅ ⋅ = $-�35 55 3 5
3555
.32 232
x yx y xy
⋅= =
>����%����������������������� �'� ���&�� ��������"������� ���������� ������
� �=���������E� ���������� ���������������(
�-� 8; �����$-� 3 192; �������-� 4 11 ;a �������-� 3 7 572 ;a b ������ -� 24 16.a +
�-� 3 28 2 2 2 2 2;= = ⋅ = �$-� 4 4 411 8 3 2 3 ;a a a a a= ⋅ = ���-� ( )2 2 24 16 4 4 2 4.a a a+ = + = +
,���������E� �����������=��� �������� ���������������7
: ����� ��� ������ .n ma ���� �m n> ���� ,m np r= + ���� ��� .np r npm ra a a a+= = ⋅ ��� ���������� ���
.n np pn nm r ra a a a a= ⋅ =
�=���������E� ���������� ���������������(��-� 4 35 ;a ����$-� 7 145 .x y
��� 4 435 8 3 ,a a a= ������'��35 8 4 3.= ⋅ +
� '����$�������� 12 4 3 2 3= ⋅ = ����� ��������������������
2 3 4 3 12.= ⋅ = ��������%�������������� �'� ��%����������"������� �����
��� � ( )0, 0 ,nA α β α β= ⋅ > > ���� ��� .nn nn n n nA α β α β α β= ⋅ = ⋅ =
��� 0, 0,α β> > ���� ���� .nnnα β α β= ⋅
�� *��������E� ��������� ����� ��������(���-� 3 2 ;x x ��$-�2
4 ;a b
b a��-� 3
13 ;
9a
a��-�
2 27.
3 4
x a
x
.�(�%&(�� ��22 27 4 27
3 .3 4 9 4
x a x aax
x x= ⋅ =
������ �����������������=��� ��� ��������E� ���� ���� � ������������
�"#$%&#��
��
�� ��� ��� ������� ���� ���������������������(
�-�3 5 �� �4 3; ������$-� 32 3 �� � 3 25; �������-� 42 7 �� � 44 2.
�-� 2 23 5 3 5 45; 4 3 4 3 48.= ⋅ = = ⋅ = � �� � 45 48,< ���� ��'��3 5 4 3.<
�� �������
���E� ���%�� ������������������'�����%�'�E ��� ��� �� ���� ���������� �%�'��� �%�����������������������E ��� ���� � ������������
>����%���� �� �� �������� ����������� ������ ����� �'���������������������������(��� ������ � ����� �� ��� � �����%����� ���������� ����@�������%���� ������ �������$�E������ ��� ����� ����� � �� �� �� ����� � �� ��������
�����������%������ ��������������������� �������%� ���� �����
����� �$������������� 3 52 422 2, 3 , 4 ,
3ax a b a �������������������%���������� �
�� �������
�������������������%���������� ���� (
5°�� �� ���������������������$��� ���� �����������������5�3°�� �� ���������������������$�������E� ��'�����������=��� ���������������0°��>� �� �������������� ��� �� �������� � ����������������������� ���� ��������$������
�� �� ��������� ( ) 4 2 2118, 3 1, 0 , 2b a a a c a a b
a≠ ≠�� � � �������������%��������� 7
��� 18 �������������%���������� �������'�� 218 2 3= ⋅ �����$�������E� ��'�����������=��� ������
� ����������������
$-� �� ��� ���������1
a����$��� ���� ����������� ������ ��5�
��� 4 2 22a a b �������������%���������� ��� '���� �� �������������� ��� �� �������� � ������������������ ���� ��������$������3������ ������������������������������ ��� �� ������������������������
�� ���������%���������� ��������(���-� 48; ������$-�1
;2�������-�
32 .x
x
��� 48 16 3 4 3;= ⋅ = ���������1 2 1
2;2 4 2
= = ���������2 2
3 3 3 32 2 2 2 2 3 .
x x xx x x x x
x x x x x
⋅= = = =⋅
����� ����������� ������%���������%���������� �� �%��� �� �����E� ��������� ����� ����������"��
��� ���������� �$�������-������ ������������� (�� 23 32 2 2 3 .x x x
x x= ⋅ =
.�(�%&(��
.�(�%&(�
��
���
� �� �(��-� 16 121;⋅ �����$-� ( )3 8 27 64;⋅ − ⋅
�-� 2 285 84 ;− ��������-� 519
7 .32
� �� �(��-� 2 4 ;x y⋅ �����$-� 8 124 81 ;x y
�-�15
510
32.
x
y
−
� �=���������E� ����������������(
��-� 108; ��$-� 3 5 454 ;x y ���-�3 5
4
12.
a b
c
� *��������E� �������������(
�-� 3 2; ���$-� 42 3
;3 2
����-� 1;a
a�����-� 3
2 .2
xxy
y
� ����� ���������������������������(�-�2 3 3 2;dhe ��$-� 335 5 7 2;dhe
�-� 3 33 2 2 3.dhe
� ��������%���������� ��������
�-� 15 ;
3�$-� 3 54; ��-� 2 53 ;a b ��-� 12
;abab
-� 1 12 ;
2 7+ �%-� 3 24 8 ;a a− ��-�
2
1.
a b
b a a−
������������� �������������
��������
,�������� ��������������� 7 �������� %��� �����������(
2 22 ; ; 0,25 ?a b xy y− ���$��� ����� �7
� � ������������� �������
�-� 2 32
24 ;a
a⋅ ����$-� 8; ��������-�
1;
2��������-� 250a
�"#$%&#��
���F������� ��� E����� �� �%������7
���%���������� �
�-� 2 2 2 3 33 32 2
2 2 14 4 4 2 4 2 ;
aa a a a a a
a a a a
⋅⋅ = = ⋅ ⋅ = ⋅⋅
$-� 2 2; �������-�1
2;2
�������-�5 2.a
�� � �� �%����� ,nA B⋅ ������������������� � �������� ���������'� ���������
���������������� ���$�'��������������������'� �����%�������� ������
����� �$������ %��� �� �� �������� (� 3 4 2 345 ; 7 ; 3 2a a b a b⋅ ⋅ ⋅ �����������������(�A��6��� �0�
� %��� �� �� �������� ������ ��������%���������� ����� ������ �����������������������1
4 , 2, 5 .2
a dhe a
��
� ,������������������������������� (���� 2
3������
1;
24����� 33
a ba
�����1
?abab
��� 33 33 .a b a ab ab
a a= ⋅ = ����� ( )21 1
.ab ab abab ab
= = ��&����������������������������� �
� >� ��� ����������������������� (���� 3 16 ���� 3 54; ����1 3
2 4+ ����
8 1;
9 3− ����
x
y���� .
y
x
��������
����� �� �����������$���� ��������E����������� �� ��$� �� ����� .�
��� ����%���������� ��������
� �
1 12 1 .
2 2ab ab ab− +
>� ������ � �1
2 3 3 3 1 3.2
− +
# �E$������� �� �����������$���� �� ��
1 1 12 3 3 3 1 3 2 3 1 3 3.
2 2 2⎛ ⎞− + = − + ⋅ =⎜ ⎟⎝ ⎠
��������%�����'� ����������� ���������������
(� �!����#$��� ��� �E$��� ��� �������������������� �
� �� �������(������5 5 7 20 2 45;+ − ��� 3 3 33 5 8 27 .a a a+ −
���������
������������ � �� ���������������� ��� �������� ��@�����������������%���������%���������� � ������������ ������������������������ �
�-� ( )5 5 7 20 2 45 5 5 7 4 5 2 9 5 5 5 7 2 5 2 3 5 5 14 6 5 13 5;+ − = + ⋅ − ⋅ = + ⋅ − ⋅ = + − =
$-� 3 33 33 3 3 3 3 3 3 33 5 8 27 3 5 2 3 3 5 2 3 10 .a a a a a a a a a a+ − = + − = + ⋅ − =
� >� ������ � �(���-� 3 33 4;a b
a b− $-� ( )3 3 3 3125 8 27 64 .x x x x− − −
���������
$-� ( ) ( )3 3 3 3 3 3 3 3 3 3125 8 27 64 5 2 3 4 5 2 3 4 4 .x x x x x x x x x x− − − = − − + = − − + ⋅ =
�� �������
&��� �������������������%���������� �'������ ��� ����������� %��� �� � ������� �'� � ���������������
����� �$������������(� 3 3 3 32 2 2 2 214 2 , 2 , 2 2 , 2
2a b ab ab b ab ab ��������������� �
� %��� �� �� �������� �����������������( 2 14 , , 2 , 1.
2a b b
��
���
� >� ��� ������������� � ��������������� ���� 2 8;dhe ���� 18, 50 98;dhe ����� 3 2 22 2, ;
x ydhe x y
y x− −
� �� �(��-�8 2 6 2 8 18;− + − �$-�1
25 0,2 2 1 3 20;4
+ −
�-� 6 6 94 4 2 9 3 8;− − ���-� 112 27 48;
2− + �� -� 1 1
32 0,5 2 45 .3 8
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
������ � ������� � ����� � � ���������� � � ���������
� � ������� ������ �������$���������� ��� (���� 64 25 64 25;⋅ = ⋅ �����100 100
.2525
=
��������������� �� �$��������������������������� �������� ��������������������������������������+
( )1 1 1
n n nn n na b a b ab ab⋅ = ⋅ = = ��������
1 1
1 .n n n
nn
n
a a a a
b bbb
⎛ ⎞= = =⎜ ⎟⎝ ⎠
�������������������������������� ������ � (
������� ���� ���� �%�����
� �� �(���-� 2 3;⋅ $-� 5 52 2 ;x x⋅ �-� 3 2 25 5: .x y x y
��� � �E����� �����-� ( )3 2 2 3 2 25 5 55: : .x y x y x y x y xy= =
����E ����������������� ��� ��� ������������� ��� �� �������������K����������������������������� ���������� � � ������������������������ ��� �� ������������
(� ��
� �� ��
�-� 12 3;⋅ ���$-� 3 2 32 25 3 15 ;a a⋅ ����-� 48 : 3; ����-�3
4 3 427 : ;3
aa ��� -� ( )( )3 2 3 2 .− +
� �� �(��-�2 36 3 25 2 9 ;a a a− + �����������$-�4
3 34 4 2 33 32 22 3 2 .
b aa a b a ab a b
a b− − +
� �� �(��-� 4 4 4 416 81 625 ;a a a a+ + − �����$-�( ) ( )3 39 8 27 16 .x y y x− − −
����F%�������≥ �Q����≥ �Q�� ��∈ � �� �(
� n n na b a b⋅ = ⋅ ����� .n
nn
a a
bb=
�
$-� ( ) ( ) ( )4 3 63 4 12 12 122 2 2 2 2 2x x x x x x⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =
( ) ( )4 3 6 13 1212 122 2 2 2 .x x x x+ += = =
�-� ( ) 4 633 2 3 3 2 2 6
9 62 : 2a b
a b a b ab a b aa b
⋅ = =
2 2 2 6 66 65 6
1 12 2 2 2 .
aa a a a a a
a aa= = = =
� �� �(�����1
3 5 15;3
����2 3 2
9 : 2 ;45 2 3
⋅ ������ 32 12 : 4 ;a x x
a����� 3 62 34 : 2 .a a
� � �� ����-� ( )23 2 ; ���$-� ( )3
2 .a b
"�� �E����� ��
�-� ( )2 3 23 3 3 32 2 2 2 2 2 ;= ⋅ = ⋅ = �������$-� ( ) ( ) ( ) ( )31 33 32 2 2 2 6 3 32 2 .a b a b a b a b a b a b b
⎛ ⎞= = = = =⎜ ⎟
⎝ ⎠
����������������� ������ ���������� ���������������������������������+��( )1 1
.
m mm m n mn n n na a a a a⋅⎛ ⎞
= = = =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
�� �������
B������%�'�E �������'��%�'�E ��� ������� ������������������ ��� �� �����������������������������������+
( ) , 0; , .m
n mn a a a m n= > ∈�
� �� �(��-�( )25 ; ��������$-� ( )2
3 23 ;x ���������-�3
.a
abb
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
� �� �(���-� 3 ;a b⋅ ������$-� 3 42 2 2 ;x x x⋅ ⋅ �������-� 3 2: ;a a �������-� 33 2 3 3 22 : .a b a b ab a b
B������������� ��� �� ���������������������������������������������� ���������� �� ������������������������ ���������E$�������� ���������������E���� ��� ������ �������� �� ��� �� ������������
���������
�� �(��-� 3 729 ; ��������$-� 4 3 .ab
��������� $-� ( ) ( ) ( )1
1 1 122 84 43 3 3 3 34 8 .ab ab ab ab ab
⎛ ⎞= = = =⎜ ⎟
⎝ ⎠
����������������� ������ ���������� ���������������������������������+�� ( )1
1 1 1
.n
n m m m nn m m na a a a a⋅⋅⎛ ⎞= = = =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
� ������� ������ �������$���������� ��� ��� 3 664 64 64.=
�
�� �������
B�����E��������������������������� �������������� �� ���������� ��� �� �� ����������� ������������+
, 0; , .m n m na a a m n⋅= > ∈�
�� �� �(��-� 3 8 ; ������$-� 3 43 5 2 ;x y �������-� 3 2 .x x
���������
�-� 3 3 63 4 43 2 2 2 2 .x x x x x x= ⋅ = =
�� �� �(���-� 2 2 2 ; ���$-� 3 2 3 ;a a⋅ ����-� 3 3 2 .a a a⋅
���
� �-� 2 7 3 7;⋅ ���$-� 12 3;⋅ ����-� 3 5 15.⋅ ⋅
��� ���� ����� �� ������� �<5)5Q-(
� �-� 5 ;a a⋅ ���$-� 3 27 ;x x⋅
�-� 33 5 42 25 3 5 .a a⋅
� �-� 3 ;a a⋅ ��$-� 2 33 42 3 ;x x y y⋅ ⋅
�-� 3 42 2 2 .x x x⋅ ⋅
� �-� 48 : 48; ���$-� 33 54 : 2; ���-� 2 3 29 : 2 .
75 2 3
� �-� 3 4 : 2; ������$-� 35 8 : 2; �����-� 62 1 3
1 : 3 .3 3 8
� ��� 5 : ;a a �������� 3 32 23 : ;a a �������3
4 3 427 : .3
aa
� �-� 3 2: ;a a ��$-� 3 62 34 : 2 ;a a �����-� 52 23 : .a a a
�-� 12 6 27 2 3 2 12 3 3;
3⎛ ⎞+ − + ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠
$-� ( )5 50 10 18 25 98 : 5 2.− +
�-� ( )72 38 ;a b ����$-�4
42 3
;3 2
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
�����-� ( )23 23 ;x
%-�( )22 3 .+
�-� ( )63 2 3 ;a b ���� -
53
;a b
abb a
⎛ ⎞⎛ ⎞ ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
�� �-� 3 3 ; ������$-� 3 4 3 ;a �������-� 4 ;a a
�-� 3 : ;x xy y xy ����� -� 3 3 2 .a a a⋅
������� �� ������ ����� � ����� �� E���������%���������������������������������� �����%���������� �
��
��� ��� � � � ������ ������������
��������
( ), 0 .m m k
kn n k
⋅= ≠⋅
( )2 , 0 .a a a a a⋅ = = >
( ), 0 .n na a a= >
� ��� ���� ���� ���������
10
2��
��������5 2 ��� ���������� ������������� �� �
# �������� �������������%�����(
10 :1,41421 7,07108...;= 5 1,41421 7,07105.⋅ =
# �������� ���������� ��������%����� E������������%����E�������������7
"�� ��� �� 105 2,
2= ⋅ ���������������� ��������� ����������������� ������%�������������E���� ���
� ������������������ ����
�� �������
>����%����������� � � ������������� ���� ���� ��� ���������� � ����������� � ���������������� � �������� �'� �� ��������"������� ���������������
� B�������E� � ���� ���� ��� ���(����-� 4;
3�����$-�
3
12;
4�����-�
2 2
.a b
a b
−+
# �E�� ������ ��� ����� ��(
���2
4 4 3 4 3 4 3 4 3;
33 3 3 3 3 3
⋅= ⋅ = = =⋅
$-������'�� 3 23 4 2 ,= ��������E$������$��������� n na a= ��� �����E�� ������ �� 3 2.
�-�( )
( )( )( ) ( )
2 22 2 2 2
2 .a b a b a b a b a ba b a b a b
a b a ba ba b a b a b a b
− ⋅ + − + +− − += ⋅ = = = − +++ + + +
��������� ��(��3 3 3
33 33 32 3
12 12 2 12 2 12 26 2.
24 22 2
⋅ ⋅= ⋅ = = =
�����E$�����(�� ( )2a b a b a b+ ⋅ + = + ����� ( )( )2 2 .a b a b a b− = − +
� B�������E� � ���� ���� ��� ����� ( ), ,n m
An m
B> ����$������������������ � ���������<�����
�������E������ ���� � �'��%����� ������ ����E���� �
���������
��
.n n n nn m n m n m n m
n n n n nm m n m m n m n
A A B A B A B A B
BB B B B B
− − − −
− + −= ⋅ = = =
��� ���:������� ��������������������� �� ����%��������� �� ��������E$����� ������� ���������E�����
� B�������E� ���� ���� ��� ���(���-� 5;
3 2���$-�
3
5;
49����-�
2 2
3
4;
2
a b
a b
−−
����-�3
4.
16
�-�2
5 5 2 5 2 5 2;
63 2 3 2 2 3 2= ⋅ = =
$-�3 3
3 33 2
5 5 7 5 7;
749 77= ⋅ = �-�
3 2 33
33 3 34 2
4 4 4 2 4 44.
2 216 2 22 2= = ⋅ = =
⋅
� B�������E� ���� ���� ��� ���(
��-� 7;
3 2+�������$-� 6
.5 3−
�����'��( )( ) ( )223 2 3 2 3 2 ,+ − = − �� ��(
�-�( )
( )( )
2
7 3 2 7 3 27 7 3 23 2;
73 2 3 2 3 2 9 2
− −−= ⋅ = = = −+ + − −
$-�( )
( ) ( )( ) ( )2 2
6 5 3 6 5 36 6 5 33 5 3 .
25 3 5 3 5 3 5 3
+ ++= ⋅ = = = +− − + −
� B�������E� ���� ���� ��� ���(�����-� 5 3;
5 3
−+
�������$-� 2 3 2.
4 2 3 3
++
���������
$-�>� ���������E�� ������ �4 2 3 3− ������'��( )( ) ( ) ( )2 24 2 3 3 4 2 3 3 4 2 3 3 .+ − = −
( ) ( ) ( ) ( )( )
2 2 2 22 2
5 6 22 3 2 2 3 2 4 2 3 3 8 6 6 9 4 4 3 6 5 6 18 86 2.
32 274 2 3 3 4 2 3 3 4 2 3 3 4 2 3 3 4 2 3 3
−+ + − − + − − += ⋅ = = = = −−+ + − − −
� B�������E� ���� ���� ��� ���
�-� 3;
1 2+�������$-� 11 3
;3 5 2 3+
������-� ;a
a a−��������-�
2 24.
2
a b
a b
−+
��������
( )( ) 2 2;a b a b a b− + = −
( )( ) ( )22 ;a b a b a b− + = −
( )( ) ( ) ( )2 2;a b a b a b− + = −
���������
���������
�-�( )( )
( ) ( )2
2
2
32 2 2 23
3 3 3
24 42 2 .
2 2 2
a ba b a ba b a b
a b a b a b
−− −= ⋅ = + −− − −
���������
��
� �-�3
3;
18������$-�
4
6;
8��������-�
4 3;
a
a��������-�
5 3.
b
b
� �-� 1;
1
b
b
−−
������$-�2 2
;a b
a b
−+
��������-�3
.a b
a b
−−
� �-� 2;
2 2−���$-� 12
;3 3+
����-� 5;
2 3 2+�����-� 2 3
;2 3
−+
����� -� 3 2 2 3;
3 2 3
+−
���%-� ;x y y x
x y
−−
���-�2
.3 5−
���
� �-� 20;
3 5������$-� 4
;8�������-� 33
;11
��������-�3
4.
2
B�������E� ���� ���� ��� ����<5�)�A-(
� �-� 2;
b
b������$-�
25;
a
a������-�
3 2
2;
4
x
x�������-�
4 3
2.
x
x
�������� ��� ����
�������*
,�������� � ����� $��� �������������� �������� ���������� 7
��'� ��������� 2, 3, 5 ?
������ � ������ $��� �������� ������������%����� ����� �+��$� ����� E$������� ����E������ �������� �%�'�E����� ��� �� �������������������� ����� �'� ��� ����� ����� $��� ������� �
� � ,����� ��� � � ����� ��� � ������� ����� $��� 7
�-� 1;
2�����$-� 3; ������-� 2 4 ;x y− �������-� 2 ;a+
-� 3;
x y
xy
− ��������%-� 4;
5���������-�
12 35 .a bc−
-$�������*
�� � ��� ����������������� ����� �
���� ������5���� � ����������� ��������� � ��$-���-��%-�� ��-�
�� � ��������� �� ���������� �'� ����� ����������$ ����
�� � ����������� ��������������$����������� �������'�������� ���������� ���� ������� � ���������������� ��� ����������������
� ������������ ������������ ����� ������������(
�-� 2 2;x x− − ��������$-� 2 31 ;x x+ − ��������-� ( )131 1 ?x x+ − +
��� 2x ���������������� ������������� ���������������� ( ), ,x∈ −∞ +∞ ��������� 2x − ��������������
� 2 0, 2,x x− ≥ ≥ ������������� [ )2, .x∈ +∞ ����������E������������� ( ) [ ) [ ), 2, 2, ;x∈ −∞ +∞ +∞ = +∞
��� 1x + ��������������� 1,x ≥ − �������� ( )1
331 1x x+ = + ���������������� ������������� ������������
E������������ [ )1, .x∈ − +∞
������� ���������%����� � �� ���������������E������ ���%�'�E������ ��� �� ����������������'� ���� ������ ���������
��
� ,������ ���� �� �������������� � ������� � ����������� (
��� ;x x− ��������������� 33 ;x x− − ����������������2
.3
x
x
−+
��<���� ��� ���� ���������=������ ���E �-�
������ ������� ������� �������� ������ ����������� ������������������������ �������������������������
� ,�������� � ������������� (��-� 3 81; ������$-� 5 32; �������-�7 4; �������-� 3 63 ?x y
$-� 5 32 2;= �����-� 3 6 23 .x y xy= ����������� � ������������� �
� ,����������� ��������� �3����������������� ������������ � 2x y+ ������$� ����� � �������� �
���� 1, 4x y= = ���� ��� 2x y+ ������������ �������'��� 1 2 4 9 3.+ ⋅ = =
&������� � ���������� ��������������%�� �������� � �������� �� ������ �� ���>����%���� �� ��� � � ���� �����$�E������� ������ ������ ����� ��� ��������
� >� ������ � �+�����-� 2 31 54 ;x x x
x x+ + �������$-� 233 ;a a a a a⋅ ⋅
�-� 1 1;
2 3 2 3+
+ −����������-� 5 1 5 1
;5 1 5 1
− +++ −
���������������� -� .a b
a b a b+
+ −
�-� ( )2 3 2 2 21 5 1 5 1 54 2 2 7 ;
xx x x x x x x x x x x x x x
x x x x x x x
⋅+ + = + + ⋅ = + ⋅ + ⋅ = +⋅
$-� 33 6 6 662 3 4 4 5 3 12 233 .a a a a a a a a a a a a a a a⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = =
��� � ,������ ���� �� �������������� ���������� � �(
�-� 2;x + ������$-� 22 1;x x+ − + �������-� 3 5 ;x x− + − �������-� 1;
2
x
x
−+
������� -�2
.3
x
x
+−
� ,�������� � ����� � ��������������� (�-� ;x x− ������$-� 5 5;x− �������-� 22 ;x x− �������-� 3 233 ;x x− ⋅ ������ -� 3 38 .x x−
� ��� 5 52 3 ;x x⋅ ����� 3 32 2 ;a b ab⋅ ����� 8 : 16; ���� 3 32 4
36 : 2 ;3 3
����� 3 : ;a b ab ����� ( )332 4 ;− ��"�� 3 2 6 .x x x⋅
>� ������ � ��� ��������������������� ����� ��������� � ���������� �
� �-� 60 3 135 10 15;− + �$-� 2 75 3 48 5 12 2 3.+ − −
>� ������ � �(
�-� 3 2 6;
10 7 3 7 4 10− +
− − +
� �-� ;a b a b
a b a b
− +−+ −
$-�5 3 2 2
: .1 11 1
x x x x
x xx x
⎛ ⎞− −⎜ ⎟⎜ ⎟− −− +⎝ ⎠
$-� 1 1.
7 4 3 7 4 3+
+ −
���������
�
��
�������������������� �
� ,�������� � ����������������
�-� 49; $-� 4 49;− �-� 0; �-� 3 16 ?−
� ������������ ��������������������� ��� ( )1
31 1 :x x+ − −
�-�[ )1, ;− +∞ $-�[ )1, ;+∞ �-�( )1, ;− +∞ �-�( ),1 ?−∞
� "� ��� ���� � ��1
2a a⎛ ⎞
⋅⎜ ⎟⎝ ⎠
������(���-��+������$-� 1;a− ������-� 2 ;a− +�������-� 2.a
� ,������ ���� ���� � �(���-� ( )33 4 ;− ������$-� ( )44 3 .−
� "� ��� ���� � ���2
38 ������(���-�2.+�����$-�3+�������-�.+���������-�52�
� ������ ��� �� �����$���$������������(
�-� 3 2 ��� �� 4 2; ������$-� 3 2a b ��� � 4 36 ;x y
� ��������%��������� ��������(����-� 3 5 68 ;a b �����$-�5
44
2.
x ya
a
��� � �������E����(����-� 3 4 ;a a ������$-� 3 .a a a
�� ���� ���� ���� � �(
�-� 8 32 200;− + �������$-� 2 2 33 6 ;xy x y⋅ �������-� 2 34 :a b ab
�� ��� ��� ����� �(
�-� ( )3 2 2 8 2;+ ⋅ ��������$-� ( )3 4 4 3 2 25 5 5 .x y x y x y− ⋅
�� B�������E� ���� ���� ��� ���(����-�26
;4 3− �����$-�
2 2
.x y
x y
−−
�� ,�������� � ��������������� (
�-� ;x x− �����$-� 22 ;x x− �������-� 5;x x− �������-� 3 38 ?x x−
��
��������������
������� ���������� �� ���������������������������������������������
������� ������ ���������������������������
������� ��� �������������������������������
�� ��������������������� ��������� �%������� �! ���������������������������
������� ����� E���� ����� E�����������
� ��� ����� ��������� ������������������ ����������������������
� ��� ����� ��������� �'����������������
K�������� ��������� ���� ������� �� ��� ����'�����������������������������������
��
��
��
�����
���
���
��������
�����
�����
�����
�����
�����
�����
& ������������� � �� ����� ������������ ��
���������� ���������������� �����������
'�������(��������(��)
��
���� ���������� ���������������� ��
�� ����������������� �������������%������ ���������� �� ����F����������������������� �� ��������������'���������� ���������� ������������������������������������� � ������F������������ �+��������� ���E��$������
������ ������� �� �� ����������F����������������%�E ���������� ��E ��������� ��������� ��� ������� �������� �������� ����������������������� ��� ������ � �� ����� � �%���������� ��� ���&
���� �������9� ����������������������������� ����E������������������9�1�Q�
���� ������� ��������������������� ������� ���������� ���������������������������������� ��������������������������$���$�����
�������� �����������������������$������ ������ ��������������������� �'���������� ������ ����������� ���������� �$���$������ ������� ��������� ������ ��� ����$���� �
������������ �$����������������������
" ���� �%����������������������� �������������� ������������������������������������������ �� ���������������# ����� ����J������������� �< �-���������� �������'��������������� ��������� ��� ������� ���������� �$������5��� ���������'����������� ��� � ,���� ��� �5����
��������
������� � ���������� �$���������������� �����7��� � ��� �%������
2 .S a=
��������������� ���������� �$������.���� ��� ���� (�������������7��� ������������������ ��������� �$���������� �������� ����������������������� ���7
�
�
�
��������������� ��� ������������ �$�������4�P����� ���4�2���7
8?������������������������������������ �������������� ���7
� � �� �� ��������� � ��������� ������� ���4�D���
������ � ���������������������������� ���� �$���������� ��(
2 2 2 ,d a a= + ��� �������� 2 22 ,d a= ��� ����2
2 .2
da = �&�� �E�� �����������%������9�����
%�����(
���� 8cmd = �� ����2
2832; 32cm .
2S S= = =
������� ���������� �������� �������2
.2
dS =
��
� �� ����������� ������������$� ��������������� ��� ��� E �A����
������� ��� ������������ ���� ���� ���� ����������������⋅ ��������������
.S a b= ⋅
��� ���������<���������� ������-�� (
� "��� ��� ������������������������������
��� �� �� ������������������' ��'������� ���������
! "
��
�
�
�
�
�
�
���
� �
'������E�����������������������'������������EG@.����������������������������� ������������ ������� ����� �� ���� ���� ���� ����� �������������)������� �$������������������ ����� �$��������
>������� ����������������������������� �������� ��������<���������� �����������-���������������������$���$�����9�
����� ����6����� ��� (
2 22 ,KLMNS S a b= + + ������������ ( )2 2 2 2 2 2 22 , 2 2 ,a b S a b a ab b S a b+ = + + + + = + + ��� ����� .S a b= ⋅
� �� ����������� ��� ������������ �$��������4�P����� �������� ���4�5A����
� �� ����������� ��� ������������ �������� �5Q����� ������������ ��������� � �2.°�
������E����� ������ �� ��������� � �
������������������� ��������� � ����� �����$����$���������������������� ������������<�� 7-
�����E������ OMCΔ ����������� ������ �$�����
, , 5cm2 2 2
a b dOM MC OC= = = = ���� 032 .MOC =� �
�
�
��
2
a2
b2
d
%��
�
�
���� OMCΔ �� ���(� 0sin32 ,10
CM b
OC= = �< ��� ������ ����������-� 0sin 32 0,53.≈ &�����
0,53,10
b ≈ ������������ 5,3b ≈ ��������(� 0cos3210
OM a
OC= = �� � 0cos32 0,85,≈ ���������� 0,85,
10
a ≈
������������ 8,5a ≈ � ������������ 5,3 8,5,S a b= ⋅ ≈ ⋅ �� � 245cm .P ≈
� �� ����������� ��� ��������������� �������$�����������0Q������������������������ ��$�������� ������� �������.Q°��<K������� �������%����E����������-
�
��� � �� ����������� ���������� (
�-�$������.�A���+ $-�������� �D�.����� ,������������� ��� ������������ �$�������
� ��(�� 4cm, 3cm;a b= = �������
3cm, 8cm;
4a b= =
� �� ��� �� ��� E��� �� � � E���� ��������� ��� ����������(�-���� �������$������E��� ��A� ������������ �����$ � �� �����������7$-���� �������$������E��� ��3� ������������ ����E���� ��2� ��7
� �� ��������E��� ���������� ������������ $������E��� �(�3��0��.��A��G� ��7
� �� �� ��������� � �� ����������� � � �� ����������� ��%�������������α 4�AQ°5AL����� $���������$��������������������52�A���
� ,����$������� ��� �������������� (�-�@����������������.�(�P���������9�4�5..��+$-�������$������������� � ������ ���� �� $�������� ����� �9�4�6A���
� �� ����������� ��� �������������������� (�-�J���������4�3�.�� �������� ���4�3�A+$-�&������ ���4�53�� ������� ��������� �� �$�������α 4�0Q°�
�� �� ��������� � �� �����������$<=?<��E�����-�� �$������ 14,3cmAB = �� ����������� �� ������� � ����$���� $�������$<�δ 4�53Q°.2L�
�
�
�δ
α α��
���� ������������� ��
��������
8����������$���7
�����E��������������'�������$����$<=?�
��'� ��� �� �� ��?5�� �?4� ���$����$<=?7
�
�
� �
�
�
��
� �
� � "��� ��� (
������� 9� � ��$����� ����� � $���$������ �������� �$�E������������� ������������������� ���������
.S a h= ⋅
������E����� ������ �� ��������� � ������E��������������'�������$����$<=?������������������?�� �=����������������������?5�� �=B����$�E���$<#
�
�
�
�
�
��
AED BFCΔ ≅ Δ �<�� 7-�����������������������������$���$�����.AED BFCS S=
��������������5B=?�������� ���������<�� 7-���������.EFCDS a h= ⋅
�����'�� ,ABCD AED EBCD BFC EBCDS S S S S ah= + = + = ���� �� .S a h= ⋅
��� 0,3m, 0, 2m;a b= = ���1 6
4 m, dm.3 13
a b= =
�
� �������$�E���5�������������������$��������������������������� �<��������E���� -(
>� ��� � � ��������������� ��� �(.ABCD EFCDS S a h= = ⋅ �
�
� �
�
��
B E≡
� �
& ���� ����%����������������������������� ���$��������� �� � �����$� ��%���������$���������� ������������������ ����
�� �������
� �� ��������������������$������ �$��������4�D�������4�5Q����� ������������4�.����
����9����⋅ ���� �9����⋅ �
��� ��(���⋅ �
���⋅ �
���� �L�⋅ �
�45Q�⋅ .����������
��4�.Q�(�D�4�A����
� J������� ���������� ��������������4�53Q����� ���4�AQ������������������������ ����� �����α 4�.Q°���� ����������� ������ ��������
�� �� 1AD DΔ ���� �(�� 1sin ; sin .aa
hDDh b
bADα α= = = ⋅
�� �� 2DD CΔ ���� �( 2sin ; sin .bb
hDDh a
aDCα α= = = ⋅
�� �� a bS a h b h= ⋅ = ⋅ ���� �(� sin sin .S a b b aα α= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅
�� �������
�������&� 0120 50 sin 40 ,S = ⋅ ⋅ �� ������ 2 23856,72 cm 38,5672 dm .S ≈ ≈
�������9� ���$������ �$��������� ���� ������������������� ����� ��
���� � ��� �%������
aS a h= ⋅ ������������������������������ .bS b h= ⋅
�������9� ������ ������������������ � �� � �� �%������
sin .S a b α= ⋅ ⋅
��������
8?�������$�7
������������������ ��������� �� ���$��7
��������� E��� ��� �������$� ��������������$7
� � ,�������������9� ��� ��$���� $��������� �����������
α�
� � ��
�
� �
�
�
� �
�
� � �
�
��α
�
�
α
����������� �� ����������������� ���� ��������������<� ��
�-����������'������E�������
���
"�� �� �%������9����⋅ ��������� ��� � �������$���������'��� ��������'�� ������ �� �������������������'�������������$�����
>� ��� ���$��$<=?�<�����E����-�� ��� ����������??�=�=������� ������������$���$����������������%����� ��������� ���$��������9����⋅ ��
���� 1AD DΔ �� ���sin ,h
aα = ��� ����������4���⋅ ����α����������9����⋅ ��⋅ ���α ���⋅����α#
�� �������
�������9� ���$����� � ��� �%������
S a h= ⋅ ���������������������������� 2 sin .S a α=
� �� ������������ ���$������� �$��������4�53������������������� ����������9�4�5Q3�����
����9����⋅ ����� ��� �5Q3�4�5Q�⋅ ��������������4�5Q3�(�53�4�D�A����
� �� ����������� ���$������� �$��������4�5A�������������� E��� ��� �������$� ���������������$�������4�0����
>� ��� (
�������9� ���$���� �������� ����� ��
���� � ��� �%������
1 2 .2
d dS
⋅=
�
�
�
�
�
�
�
���������� �� ���$���$<=?��������� '����� ���E�������������������� � �� �������� �� �����
"�� �� ��������������@.CA�������� ���������$������� ��������������� 1MN d= � � 2 ,NR d= ��������� 1 2.MNPQS d d= ⋅
��� ����������� ��� �������� ����%������������E����7
������� ���$���$<=?��������� ������ ������� ��������� ��� �����������@.CA�������������+
1 2 .2ABCD
d dS
⋅=
&������ �� �����������������$���$����������� ��� � �����������
���������������������� ���������(
2
.2 2
d d dS
⋅= =
���
�� ����������� ���$���� �$��������4�50����� �������� ����4�5Q����
"�� �E����� ��
�����$���$<=?� <�����E����-�� �� ��������$<'� ���������� ������������
2 22 1 2 .
2 2
d da
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ �������&��
2 22 2 21 2 113 5 144, 144 12,
2 2 2
d d da
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − = − = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠����#��������
� �
�
� � � �
�
�
�� ,������������������ �� �� ��� ����� ���$���� ���������9�4�36Q������� �������� ���� ������4�5D����
����
� �� ����������� ���$�����$������� ���������� ��+�50�A�����56�.����� ������������� ���� ������.6°5QL�
� �� ����������� ������ ��������� �$������D���� �5A��������� ������������� ���� � ���������2����
� ,����������������� �� ��� �����1������$���� ��������9�4�2������ �������� ����4�.����
� �� ������������ ����������� ���$���� $��������4�53����� ������������ ��$������ α 4�25°3QL�
� �� ����������� ������ ��������� ����������40����� 2 3 cmbh = �� ������������ �
��� �2Q°�� �� ����������� ���$���� �$������52�����
�� E ������ �������$� ����������2����
� ��� ���� ����� ������� ������ $������ ������4�DA���� ��������� �$���$������ �������� ������ ������������� ��$������ ������α 4�20°3.L<��E�����-���� ����������� ������ ��������
����� �������� �$������0Q����� ���������������� �5Q���������$� ������������ ��)��������������'��������$������ ��������� ����$������� ����������� ����������,����$������ ��� �������������� ��������� ����������20�����
�
� �
α
1 24 cm.d = ��B�� �������� 21 2 24 10120 cm .
2 2
d dS
⋅ ⋅= = =
���
���� ������������� ��
��������
8?������� �������7
8%������� ������ �������� ����������$������ � �F%�������������� � 7
��������������� ��� ���������������� �� ��������� ������ �������7
&��������� � �� �� ����� �������� ��� ���� ��������������������
� � J������� ������ ��������$<=?�������4�53���� ���4�P��������
������������ ����� ������0Q°���� ����������� �� ���������$<?�
� �
�
�
�
��
���
������� ������ ��������$<=?������ 0 21sin 12 9 sin 30 12 9 54cm .
2S a b α= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =
>� ���������$<?�� �=?<������������������<�� 7-��������������������������$���$�������� �������� ��� � 21
27cm .2ABD ABCDS S= =
"�� �� ������������� ������ ����������������������������� ��� ���������$<?����������1
.2ABD aS a h= ⋅
������%�������������������� ����� �����' �����������������$���������
�� �������
�������9� ��� ���������� �$������������+�� ��������� ��������� �������������� � ���
%������+1
2 aS a h= ⋅ �����1
2 bP b h= ⋅ �����1
.2 cS c h= ⋅
� �� �� �%�����%������������� ������ ��������������� ���������
� �� ����������� ��� ���������$���������� �$�E��3Q����� �����32����
� ,����%������������� ������ ��������������� ������������� ��������������$�������������� ������������ ����� �
�������9� ��� ������������������� � �� � �� ��%����E����� �%������ � ������� ���� �������� ������������������ ����$������� ������������ ����� �
"�� �E����� ��
���
� ���
�
��
α
��
�β
���� ABCΔ ������E������ ����1
.2 cS c h= ⋅ ������� �������������� ���
1AC CΔ �� ��(�sin ,ch
bα = �� �������� ch ;������α&������� 1CC BΔ �#����
1
2 cS c h= ⋅ �%������ 1sin
2S c b α= ⋅ ⋅ �����
1sin .
2P c a β= ⋅ ⋅ ����������
sin ,ch
aβ = ��� �������� .sin β⋅⋅= ahc �&�� �E�� ��������� �%�����
�� �������
�������9� ��� ������������������� � ��� �%������
1sin
2S a b γ= ⋅ ⋅ ��� ��
1sin
2S a c β= ⋅ ⋅ ���
1sin .
2S b c α= ⋅ ⋅
(� ������B���*"��������������� "�!��������)*�� ABCΔ ������)���/!��������������*""��γ 1�PQ°�
@������������!�2����������������������� �!�!���������/����������#
� �� ����������� � ABCΔ ���� ��� �� 8cm, 12cmb c= = �� 0= 36 45 .α ′
����������������� ��$������ ���� �+����������������%������� 1sin
2S b c α= ⋅ ⋅ �� ��(
( )0 0 0 218 12 sin 36 45 48 sin 36 45 48 sin36,75 48 0,598 28,72cm .
2S ′ ′= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ + = ⋅ ≈ ⋅ ≈
����� ���������$���$�������� ������������$� ���������2Q°������������� ��������$������ ��������� ��
��
� ��
��
�
�
�> ��� �������������� ����<�����E����-���� � �������� ��������
������������� 01sin 60 ,
2S a a= ⋅ ⋅ ⋅ �������� ��� �� 21
3.4
S a= ⋅
����� ����������������
����
�2 2 2
b aa h b h a bS
⋅ ⋅ ⋅= = = ����� .2
cc hS
⋅=
�� �������
������� ��� ���������$���$�������� �$���������������� 213.
4S a=
������� ��� ��������������� ����� ���� � ���� ���������� 1.
2S a b= ⋅
��������� ��%������1
sin .2
S a b γ= ⋅ ⋅
���
� ,�������������� ���� ��E���������� ��������������� ������� � �� ��������������+���4�53����� ��4�P����
� ��� � �� ��� ��������������� �������������A�(�53������ ��������� ����������.DQ�������� ��� ��� ���� ��� ���������
M����� �
��������� ���� ��� = ,5 12
a bk= ������������ 5a k= �� � 12 .b k= �# �E�� ����������%������� 1
2S a b= ⋅
� ���5 12
480 ,2
k k⋅= ��� ����� 4,k = ���� 2 220 cm, 48 cm, 52 cm.a b c a b= = = + =
���
� �������E��� ���������� ��� ������������ (�-�J�E�� �����E��� ���� � �������� ��������� �����E���� �������� ��+$-�J�E�� �����E���� ����� �������� ��������� �����E���� ��� ��� ��7
� �� ����������� � ABCΔ ����� ��� �(�-����A�����D�� �/��.A +$-����P����+��6�� ����0Q 5Ah+�-���4�A�2����+��6�A�� ��$��.. 5Ah+�-����D�������2D �� �/��63 .Qh
� �� ����������� ��� ��������������� ����� ��� � ���� ���� ���� ��E��+����� (�-���4�53�����5Q+����$-���4�3�.����+��3�2+�-���4�5A�� ������������.AR�
� ������'���������E��� ���������� ��� ���)��������� �$�E�� �����E��� ��AQ]����������������� �����E���� ��0Q]7
� �� ����������� ��� ����������$��������ABCΔ �� �$�E�����������������������$�E��
� ������������������������ ��� �(�-����5A����� ���4�.D 5Ah+$-����D����� �/��AA +�-����5D��� �/��3P .Qh�
� ���� ����$������ ���� ABCΔ ������5A�������� ������������������� �������������������.���� �2�����,������������� ��� ���������
� � ��� �������� ���������$��������������2.�������� ������������������� �$�E�������55������� ����������� ��� ���������
������� ���� �����$���� ������ ���������������� '��� �� ���E�� ����� � �� � $������� �� ����������"��� �� � � �������� ������ )�����������%�������������� ������ ������� �������� ��� ���������
&��$����������� ��������������5Q����� �5.�������� ����������$����$����������������������.A°���� ����������� ��� ���������
�� ,������������� ��� ��������������� ������� ��������� ����� ��� ����� ��E������� �� �� � ����������03����� �5D����
���������9�4���������+���� ��������9�4�53Q����
���
���� � � ����� ���������������� ���������������� ��
��������
,����� � � �� ������ ����������� ������ �����������'������� � ���������� ����7
� � �� �� ��������� � �� ��������$������� �����������������4�5A����
���' �E����� ��
I������� � ���������� ����������������%��������� ��� ��������� ������������������������������ �� ���������$<=�
: ����� ��� 1CC AB⊥ ��� 1 .AC x= �@�� ��� 1 ,C B c x= − ������� �
1AC CΔ �� ��� 2 2 2 ,ch b x= − ���� 2 2 213 .ch x= −
� ���
�
��
�� c x−
������������ �� 1CC BΔ �� ��(� ( )22 2 ,ch a c x= − − �������
( )22 215 14 .ch x= − −
�� ������ �$������ �%�����(
( )22 2 213 15 14x x− = − − �� � ( )2 2169 225 196 28x x x− = − − + �� �28 140,x = ��������� 5,x = ��������
2 2 213 5 ,ch = − � � 12cm.ch = �&������ 2114 12 84cm .
2S = ⋅ ⋅ =
������������%������ �E�������� ������������������������ �� �� �E$������%������� �! �����<O�������������������)���/��)��/��$"�)������������)*""��6��#�#�&� ���������(
( )( )( ),S s s a s b s c= − − − ���#���� .2
a b cs
+ +=
�����=� ��� �� �������%���� ��%����E ���� ��� �E����� ������ ������5������ ���������������$�����
�� ����������� ��� ������������������ �E$������� �%����������! �����
� �� ����������� ������ ��������� �$��������4�32������4�3D���� ������������ ����4�0Q���
�
�
�
��
� �
M����� ��&���������$=� � ���������� ��������$<=?� ��� ���� ��������������������<��E�����-�������'������������'������� �$�������� ABCΔ ��������� ��� ��������������
26 28 3042,
2 2
a b cs
+ + + += = = ���������������%����������! ������ ��(
( )( )( ) ( )( )( )42 42 26 42 28 42 30 42 16 14 12,ABCS s s a s b s c= − − − = − − − = ⋅ ⋅ ⋅ � ���
2 2 2 2 27 4 2 2 3 336,ABCS = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = �������������� ������ ���������������� 22 336 672cm .S = ⋅ =
��4�50���� �+�4�5.���
���
�� �������
������� ��� ������������� �����������$������� �������� � ���
%������� �! ���������� ( )( )( ), .2
a b cS s s a s b s c s
+ += − − − =
� ,������������������������������ ���������$������� ���������������AQ�����AD����� �63����
��������
����� �� ��' ����� ��� �������$� �������������� ������78%����������%������$������ ��� ���������� �� E��� ��� �������$� ���������� ���� '���������������� � 7����� �� ��' ����� ��� ����������������������� ������7������� ��' ����� ��� ����������������������� ��������������� ���7
� � : � ��� � ��� �� �� E��� � �� ���� ��$� ����������� ��� �������
ABCΔ � �$�����+������� �+��,������������� �� ��������������� ���������� ��������+�� ���
� �
�
�
�� �
�
����
��� � �E����� ��
"�� (��� E������������������� �F���������� ���� �������� �$<'��<'=�� �$'=�
�������������������������� ��� ���������� ��(� ,ABC ABO BCO CAOS S S S= + +
,2 2 2
c r a r b rS
⋅ ⋅ ⋅= + + �� � ,2
a b cS r r s
+ += ⋅ = ⋅ ��� .2
a b cs
+ +=
� �� ���� E �� ��� �������$� ��������������� ��������������� ����� ���� � �D����� �5A����
������������� ��(� 28 1560cm ;
2 2
a bS
⋅ ⋅= = = 2 2 2 28 15 289 17cm;c a b= + = + = =
8 15 1720cm.
2 2
a b cs
+ + + += = = ��� ��S r s= ⋅ ���� ���60
3cm.20
Pr
s= = =
�� �������
��� ���������� E � ��� �������$� ��������������� �������� �$������������ �+����� ��
,S r s= ⋅ ��� ������ ,S
rs
= ����� .2
a b cs
+ += ���� � ABCΔ ������$���$����������� ����3
.6
ar =
���
� �� ���� E ���� ��� �������$� ����������� ��� E ��C� ��� ������������������������ ���������$<=� �$��������4�53�������4�5A����� �+�4�56����
� ,���(��-��� E ��������� �������$� ����������� �$-��� E ��C������ �������������������� ��� �������� �$������06�����5A����� �..����
�-�K������ ��� �������� ��������������37 15 44
48cm,2
s+ += = ���������������%����������! ����
( )( )( ) 248 48 37 48 15 48 44 4 11 3 2 264cm .S = − − − = ⋅ ⋅ ⋅ = ������� E ����������� �������$� ����������� ��
264, 5,5 cm.
48r r= =
�� �������
��� �C�������� E��� ��� ������������������������ ���������� �$������������ �+����� ��
,4
a b cS
R
⋅ ⋅= ������������ .4
a b cR
P
⋅ ⋅= ������ � ABCΔ ������$���$����������� ����3
.3
aR =
$-�B� E���C� ��� ��������������������� � ��� �%������� .4
a b cR
P
⋅ ⋅= � ������������� ��
37 15 44 185 123 cm.
4 264 8 8R
⋅ ⋅= = =⋅
M����� �
���
� �� ����������� ��� ���������� �$������53�0A��06�
� &�� � ���������%������� �! ������=��� %������� ���� ��������� � �� ��������$���$�������
� K� � ���������� ��� ���������$���$��������������������� ��C�⋅ ���4��352�
� ,������������������������������ ���������� $������5D��3Q��0.�
� ,������������� ��� ������������$����������������� �����36����� �3P����������������� ������������$������� ��� ��������32����
� �� �� ��������� � � �� E �� � �� ���� ��$� ���������� � � ��� ������������ ���� ��������������� ����� ���� � �.D���� ��� ��E��60����
� J�E�� � ���� �� �������� $��������� ������4�3.���������������� �������4�3Q���,������ E ���� ��� �������$� ����������� �� E ��C� ��� �������������������
��
���� ��������� ����������� � ��
��������
8?��������� E�7
���F�������� �$���$���������� �� �� � ����� E��7
�� �����%�� �� ���� E����� �� �������� �����������$���$����7
8?��������� E���7
� � �� ����������� ����� E���� �$�E���� ���� �����������
�'������E�����������������������'��������� E�$<=?�� ��� ��������$.?����������@������ �����������<=�
�����'� ,MB MC BMN CMD= =� � �<���� �������'�E����-� � NBM DCM=� � �<���� ������ ���� -��������� �����J�����%�������� � .BNM CDMΔ ≅ Δ ��� ��������� ���
.BN CD b= =>� ��������$.?�� ����� E��$<=?�����������������$���$�����<�� 7-����������
( )1,
2ABCD ANDS S a b h m h= = + ⋅ = ⋅ ���������������� �� �� � ����� E���� � ( )1.
2m a b= +
� �� ����������� ����� E���� �$�E��53���� �D����� ���������6���
# �E$������� �%������� ( )1
2S a b h= + ⋅ �� ��� ( ) 21
12 8 7 70 cm .2
S = + ⋅ =
�� �������
������� ����� E���� �$�E����� ���� ������������� � ��� �%������
( ).
2
a b hS
+ ⋅=
� �� ����������� ����� E���$���������� �$�E��5.����� �2����� �����A����
M����� ��>��� E��$��������������E������� ���� '� �� �� �� ����� 1DD BC� �������������������� �����
� � �
�
�
�
�
� �
� �
�
�
�
��
� �
��
� ��� �������$���������� �$�E��1 .AD a b= − ���� 2AD DΔ %�����
2 222h AD AD= − ����
2 22 2 2 14 6
5 9,2 2
a bh c
− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − = − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠��� �������� 3 cm,h = ���
( ) ( ) 214 6 330 cm .
2 2
a b hS
+ ⋅ + ⋅= = =
��
� �� ������������ �� ��� ����� ����� E��������� ���������( )AD AB⊥ �� �$�E�� 25,3 cma = ���
15,5 cmb = � ������������ ��������� �$�E����� ��50Q°.QL�
M����� ������ ��'������ ������������������ � �������������0 0 0180 130 40 49 20 .β ′ ′= − = ��� �� 1CC BΔ �� ��(
�
�
�
�
�
� �
� ��
β1
tg ,h h
a bC Bβ = =
− ��� ( ) 0tg 9,8 tg 49 20 9,8 1,164 11,4 cm.h a b β ′= − ⋅ = ⋅ = ⋅ ≈
( ) ( ) 225,3 15,5 11,4232,56 cm .
2 2
a b hS
+ ⋅ + ⋅= ≈ ≈ ��� �� 1cos
BC a b
cBCβ −= = ���� ��� � 0
9,8,
cos49 20c =
′
� � 15,04cm,c ≈ �� '� d h= ��� ��� 25,3 15,5 15,04 11,4 67,24 cm.P a b c d= + + + ≈ + + + =
� J�E��� ��������� E�������30���� �56Q�������������������������3�����,�������������� ����� E���
��������
>��� E�����������������������������������$���������� � �8?������ �����7
,������������������������� E���������������� �������������������� ���������������� � � �� � ������
� � �� ����������� ��������������$<=?����� ����������
@,� 4� 56� ���� ������� ���� ��<� � �?� ����������������5Q����� �5.��������������� ��
��
�
� �
� �
M����� ��&���������$=� ���������������������������� �������� �$������������$������� ������������� ���������������������
������������� 1 2
1 1,
2 2S AC h AC h= ⋅ + ⋅ �� � ( ) ( ) 2
1 2
1 117 10 14 204cm .
2 2S AC h h= ⋅ + = ⋅ ⋅ + =
� �� ����������� ���������������$<=?����� �$<=?����� 20cm, 7cm,AB BC= =13cm, 4cmCD AD= = �� � 15cm.AC =
�����������������$<=?�������� ������ ��
�������� �������������� ���� ����������� ��������
���4�5Q����� ����4�50����
M����� ����� ����������� �� �������������������������� '����� ���E������ � �� �������� ���%�� ���� ����������@.1A�� �$������ 1MN d=��� 2 ,MQ d= ������$��������������F�%� ������ �������� ������� ����� �����F�%��� ������������$���$����������������������� ���������������� ������ ������� ��������� ��� �����������@.1A#
� �
� �
� ��
� �
� �
&�������� 21 2 10 1365cm .
2 2
d dS
⋅ ⋅= = =
���
�� �������
������� ���������������� �������� �� �������������� ����� ������ � ��� �%������
%����������� 1 2 .2
d dS
⋅=
J������� ������ �����������5Q����� �56���������������������� ���������������$��������� ����������52������ ����������� �� �������
>��� E������������������������$�������%'��� ����$���$�����'� ���������#
&���������<?�<��E�����-��������� ���� � �������� ��$=�� ������$�������� ���������� �������
� �
�
� �
��
�
��� DOCΔ �� ��(�2
2 2 2 2 136,
2DO DC OC a AC
⎛ ⎞= − = − =⎜ ⎟⎝ ⎠�������� ��� � 6cm.DO =
���� OBCΔ �� ��(2
2 2 2 2 2 2117 8 225,
2OB BC OC b AC
⎛ ⎞= − = − = − =⎜ ⎟⎝ ⎠��������� 15cm.OB =
��������� 6 15 21cm,DB DO OB= + = + = �� � 21 116 21 168cm .
2 2S AC DB= ⋅ = ⋅ ⋅ =
�� ����������� �� �������� �E$������� �%����������! �����
�� �� ����������� �� �������� �$������D����� �5A����� ������������ ����� �5AQ°�
���
� �� ����������� ����� E���� ���������� �� ��4�.Q����� �����������4�6���
� ������� ��������� E�������02Q������������$�E��� ����� 33�A� ���� �50�A� ������ �����������
� �� ������������ �������� �� �� �������� $��������4�3Q���� ���4�35���� ����������� ����� �PQ°�
���� ������ �$������5Q�� �2������$� ����)�������� ���� ��� E �0���� ����������� ������ ������
� ������� ����� E���$��������������53Q���������������������3����������� �����������������$������� ����� � � ���� �� ���� 53�� ,���� ��� �����1�� �������������� ������$������ ����� � �������� E���
� �� ������������ �� ��� ����� ����� E�������� ����� �$�E����4�3Q���� ���4�P�A������� �������������������������������$�E�������+�4�56�A��
� J�E��� � ���� ���� E�� ����� ��4� 5P��� � ��4�3�������� �������� ����������4�56���� ���4�5Q������� ����������� ����� E���
� �� ����������� ����� E���$<=?�� �$�E��3.���� �5Q������ �� ������� � 15cm.BC =
���
�� ��� �������� ���������������� ����������
��������
������������ �����������������$��������������$���$������ �������������� ����������$���$����'� ���������������� �������8?������ ��� ������������������7
� ��� ��������)��������������� ������� �$�����������
�� ��� ��� �����1���(�-��������������������� ������� �$��������4�A���+$-�������������������� ������� �$��������4�.����
.P n a= ⋅
� � ��������� ��� ��� E �C�$� ����)������� ����������� ��� ������
I�������E����� ����������� ������������%��'������� ���� ����������E����� ������� ' ���� � ��� ����������� �� � ������ � 63�<02Q�(�A�4�63�-�
�
���
�
�
�
�� �� ��������������E��������������� �����7
���������������� ��� �������� �'$<��'<=�����'5$�<������� �����J�J-���� ��� �� ���������$<=?5����$���������$���$������ ����� ����$���$�������������������������� ������
� ����������� �� �� ��� E �0���$� ������������������������ ��� ������
'������ ������������E������� ��)���������� �������� ������������E� ��� �������������
"�� �� ������)����������� ������ �� ��������' �����0360
.n
α =
���������� �������� ��������� (
���� ���������������������� ����������������������� ���� ���
���� ������������������������ ��������������$� ������� ���� ��
>���������� ����������� ����� �� �' ����� ���� �'� ��' ����� ������������������� ������
� �����E��������������'��������������������� ������$<=?5G�� ' �����'������ �������� �� �� �� �� ����� � ��������
�
� �
��������� ������������������(
�-������������������� ����� $-��)������������ �����7������������������� ��������$<'7
��� ��������� ����� ��� ���������$<'��<='���P
���
���E����-+����'� ��� ���������� ���� ������������������������� ������:�������� h r OS= = � � ABOΔ �'� �� ��������� AOBα = � ����� ��� � ��������������������� ������
� >� ��� ���������9� ��)�������������� ���������������� � �� �%������
1 1,
2 2S n a h S P h= ⋅ ⋅ = ⋅ ��������� 21
ctg ,4 2
S naα=
����������$��������)���� ����1������� ��� ����� ������������' ��������)���������
�
� ��2
a
�2
α
r h=
����)��������� ��� ������$<=G��$����������� E���C� ��� �������������������� ��� E����� �� �������$� ��������������� � � �� ������ ���������$���������<����� �$������$<'���
%����E�%������� ��)��������� ����$��������� ��������������������<�� �������������� ������-���������<��������E������-(
21 1 1 1; ctg , ctg
2 2 2 2 2 4 2ABO
aS n S n ah na h Ph h S na
α αΔ= ⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅ = = = ⋅
� J������ ������ �����������������4�A������ ��� ��� �����1�� ����������9� �� �����������
02 0 21 180 1
8 5, 40cm; 8 5 ctg 8 25 ctg 22,5 50 2,41 120,5cm .4 8 4
S n a P S= ⋅ = ⋅ = = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ≈ ⋅ ≈
� >� ��� �� ��� ����1�� ���������9� ��)�������������� ���������� �����������-�C+ $-�������������� � ��� �%�����(
<C�� ���������� E �� ��� �������������������� ����$� �������������������0180
2 n
α = �
������E���������� ��������������� �������<������� ������7-���� �� (
�-� 212 sin , sin ;
2 2P n R S n R
α α= =
$-� 22 tg , tg .2 2
P nr S nrα α= =
2 sin , cos 2 tg ;2 2 2
a R r R dhe a rα α α= = =
�-� 12 sin , sin ;
2 2P na nR S n R R
α α= = = ⋅
��������$-� 212 tg , tg .
2 2 2P na n r S Pr nr
α α= = ⋅ = =
���
��������� ������� �����$� ������ ���%�����������1�� �9�� ������� ����� ���������%�� ������� �������������� �������������E����� ������ ���������� � �
� �� ��� ��� �����1�� ����������9������ ���������������� ������� ��� E ��� ������������������C�4�A���
018010 2 sin 10 10 0,31 31cm;
10P na R= = ⋅ ≈ ⋅ ⋅ ≈ �����
0 21 1 131 cos18 155 0,95 73,62cm .
2 2 2S Pr R= = ⋅ ⋅ ≈ ⋅ ⋅ ≈
�� ��� ��� �����1�� ����������9����������������������� ����������������������������������� ��� ����� ��� E �2����
"�� �� �$� ��%��������������������������������������$� ������������ ���� ��� E � 6cm;r =040 ,α = �� � 020 .
2
α =
"�E����� ������������� �������� ���� �� �����$���������� ��(
02 6 tg 20 12 0,36 4,32cm;a = ⋅ ⋅ ≈ ⋅ = ������������������������������ 9 4,32 38,88cm;P n a= ⋅ ≈ ⋅ =
21 138,88 6 116,64cm .
2 2S P r= ⋅ ⋅ ≈ ⋅ ⋅ =
>� ��� ����������� ��� ������ (�-�$������+$-��� E �� ��� ���������������������������� ������������������������������ ��� ������� ��������������������$������ �
M����� ��: ����� ������������)������������� �������������� �$������������������ ����� �$���������<��E�����-�@�� �������� ��� ����� ���� �1�� �1��� ��(��-�1������ �1���������������
���
� �� ����������� �������������������� ������� $������53�
� �� ��� ��� ������ ���������� ����$��)� ���������������� �������������������$� �)�������������� ����� ��� E �2���� � ����� ����� ��� E �D���������$� ���������
� ������������������������������� �������� �� ��������� � �������� � ��� ���� � ���������������� �
� ,������������� ��������������������� ������ �$��������
� �� ��� ��� ������ ���������� ��� ������������� ������'������(�-�J� ��������������� ����� ��� E �3Q���+$-�H��������������� ��'������� ��� E �3Q����
,’’’ a
a
na
na
P
P == �"��"��������� .’
’
a
P
a
P =
$-������'$<i�'$�<��� ��� ,’
’,
’
’
R
na
R
na
R
a
R
a == ������� .’
’
R
P
R
P =�
R′
�
A′ B′
C ′�
a′
�
���
� &�� � ��� ����������� ��� �������� ��� ��������������������%�������������������������� ������� �$������53����� ��������������������������� �� ��� � ��� � ��� ��� %���� ���� ������������ ���� ���� �6�.D���� �0�3A�7
B� �� ���� '����� ����� ��������������������������� ������� �� ��� ����2Q���� ���������3.Q������,������ E �� �'������� ���$����� ��������� ��������� ���� �%���
����������������������� �������������$� ������ ��@���� ������� � ��� ���������������� �� ��� ����� ��� ��� ����� ��� ���� ������ �������� ����� ���������A�D.���7
�� ����������� ������ ���������������� ������������������������ ��'������� ��� E �3Q�
�� >� ���������������9�� �9�����F%���������)�������� ������ ������� �$��������� ������� �(9���9������������
�� ��� �������� �����������
��������
8L������� ���� �F?�����'����7 �������� ��� ����1�� ���������9� �'������� �� E ���4�A��7
K�������� � � �� �������� �� �����'��$��� �� �� ������ ��������������������������� �
2 , 10 cm;P r Pπ π= =2 2, 25 cm .S r Sπ π= =
�� ���������� ��� ������������������� ������ � �� ��������������������������� �� ����� ������������������������������ 7
�� ����������������$��� ����������� ��� ���+��������� ����������������$��� ��� �����$������' ������ �+� �� ��� E ���������� �
8L������ ��� ������'�����7
� ������ ��� ��� ����� ��������� �'�������� ����������������������%����������
�� ������ ���� ���� ��%����E����������E����� ����� ����� ���������� ��@�������� � � �������������������%�E������������������E ��������� � %�������������������� ���������������������'���������� ��������� ��� ���� ����
� #�����������������E�������������������� �� E �������������� ������ ��� ����� �����
$� ��������������������������� ������
'���� ���� ��E���� � � � ��� � � � ����� E�������� �����������$������ �����������)������������ �(��-����������� �$������ ��$-��� ������-�� ��� ������ ��-����������
��
� �
���
"�� �� (�������� ����������$������ ����������������� �$� ����������������������������� ����� � (
����� ��������� �� ������$������E���� �+
��� �������� ������ �����%������� E ���+
� ��� ��������� ������ �����%�����9� ��� ��������'�����;+
������������� ������ �����%�����9������������'�����;+
�����
�����
�����
� H�����������������(�������� ��� E �������� ������� �� ��� ����1������ ��� ����� ��� E ��������� ������� �� ��� ����1��
"��� ��� ��������������’
’
d
P
d
P = �
��� � ����� �������
�O′
��
�r ′
A′ B′a′
&����$� �������������)��������� ��� ������� $�������������������� ����������� �$�������������� ������ ���+������E��������������'������ ������������� ������������� �������
AOB A O B′ ′ ′Δ Δ <�� 7-+����������� ��� � ,a a
r r
′=
′��������� ,
na na
r r
′=
′�� �� nP
r=
’
’
r
Pn ���1��� �1�
�
������ ��� ����� ��)�������� ������ �������������������$� ��������������������
�������'�������� ������%��������� ��(�1� →�1�� �1�
�→1�
r
P
r
Pn → �� �’
’
’
’
r
P
r
Pn →
�F����������������� ��������<� �����8-(�r
Pn ������ �$���$������ �’
’
r
Pn ��X������������� �������� ���
��������� � � �9�� ���� ���� ���%���� ;���������$���$������������������r
P������ �$���$������ �
’
’
r
P�
�� �������
B��������� ��� ������ ����� ������������$���$�������������������������
<→�� = �(�9� ��������� �����%���� ���;-��B�� ������+
&����������r
P4
’
’
r
P���
’2
’
2 r
P
r
P = ����� ��������’
’
d
P
d
P =
���
������d
P����������������������������������������������� ��� �� ������� � �π�<��-��&�������������π
��������� ��%�"�� ���� �������� ��� �����1�� ����� �������������������+
d
P=π �
@������������������������ ���� ���� �%� �������������� ����� ����������(22 1
3,14; 3 ; 3,1416.7 7
=
����$�������d
P=π ���%���������%���������� � ������� ������ �� ��� ���������� ���(
1� π�� 1�� π�#
��� ������π�E�� ���� ��� ��� ���� ������������%�������� ��� � �1������� ����� ��� �����%�����<��� ���������π�������%����E����E���������� ���� �����%����0�5.-�
� K� � ��� E ������� (��-�1�4�3Aπ���+ $-�1�≈�.0�P2���
� >� ��� ��������������9����'������� ��� E ����� �(
��� � ��'�������
�����E��������������'�����'������ ��� E ���� ������������$� ����������)������������ ������� (���� �������� ��� ����1��� ���������9��
�
��
�
9����π#
X��������(�'������ ��� E ����� ��� ����1�� ���������9��>���� � �(9����π#
����9��� ��� nnn PhS ⋅=2
1������������ ���������%���� ��(���→����1�→1���������� rPSn 2
1→ �
���������������%�E������9�→�9���������� rPS2
1= �������'��1�� �π �� ��+� ππ 222
1rrrS =⋅= �
� >� ��� ����������9��� �9
�� ����'��' � ��������������������������������� ��� E � ������� ��
��� ��
��
�� ��������9��(�9
����
���(��
��
� � ��� ����������'����������2.��,������������� �'������
� ����������� ����%���������-����� ��������������������������� ��������� �'�����������������9���
�������� ���������������9�����$� ���������������������)�������� ������ �����������������%������ ��
� ������� �'������������������E�����
�
���
���
� ������������������������2� ���� ����������
32�.����K� � ��� E �� �������<��� ����������
� �7
22≈π -�� �� ���� E �� ��� ����� ��� �������������������
��$���$������ ������� �� ��� ���� ���������� � ��� E �.�� �2�
� ����������������-�� ��� �����$-��������� '���������� ��� E��� �'������E��� ��.� ��7
� B��������� ��� ���� ���������� ������A(6���������� E��� ��� ��������������������5A����� ���� E �� ��� ��������������
� ����������������� ��� ������ ����������������'����� ����� ��� $���$�������� �� �� E �� '������
� #������� ����� ����5�.���$���DQ��������� �� ��$����� ��� ���� ���� ������������,����� �������� �����E� �����������'������ ������ ���� ����������
� &� ����������� � $������ D� � � 2� ����$� �������������'������� ����������� %������������� ���� ����� ��� �����������
&������ �� �������$�������5D�� �3.���� ���������� �'���������$� ���������������$�
,����� ��� �����1�� ����������9����'���������$� ����������������� E���$���������� $�E��5D����� �D����
������ ��������������������� �������������������
��������
���������������� ���� �����������' ����78L����������� ��7
���� � ����������� ��� ���7
K�������� � ���� �� ��� ����� 63���� �� ������������� ��������� ���������' ��������������������5°7
K������������ ����������������' � ��� �� �� ���������� ������'������������ ������������� ����������� �������������������� ���������' ������� ��02Q°�
����������������"�� ��������� ����������' ���������������������5°������ �02Q)����� ��� ����������
�1 ������ ����������������� .180360
211
ππ rose
r == ��
��� ���������� ������������� ��������' �����α����� ������������ �����"������ ���α� ������ ���� �� �"
��������������+
� ����� ����� ��� E ���4�5A����� ������������ ��������� ���������' ��������������������(�-�α 4�02°+ $-�α 4�.0°53L
�-� .42,93;3180
3615
180cmcm
r ≈==⋅== ππππα�� �$-� ��������� ��α 4�.0°53L����������������
������(� .3,116,36,3180
2,4315;2,43,2,0
60
12’12
0
cmcmpra ≈==⋅=°==⎟⎠⎞⎜
⎝⎛= πππα ��
�
.180
rπ α=�
α�
��
��������
8?������ �����'����7
# �������%�������� � ���������� �'�����7
,������ ��� �'������������ ����'����������' ���������������������5°7
� �� ��� �'������ ���%�E����� ���������' ������������'� ������� � �� �
�����E������� ��� ���� �������������������'��������� ����'������ ������' �����α�
�
�
�
α�
����� ���� ��� �����������������02Q�� ������� ����� ������ �����' ������� ��5°�� �������9�� ������ ��������������'���������� �02Q)���� ��� �������������'������������������+
��� �������' ��������α������������ ���� �����'��������α � �������������������� �� �9��������������+
� ������� �� ������'������ ��� E ���4�53���� ������' �����α �4��.Q°�����(2 2
21240 16 ; 16 cm .
360 360
rS S
π πα π π= ⋅ = ⋅ = =
� ���'����� ��� E ���4�5Q��������������� �����'��������������������������������"�4�53�A2������ ���������� �� ������'�����
9
� �
������� ���������� ��������� ����� � ��� �%������
180
παr=� ��� ���� �� �������������� �� ������'����
� ��(� ;218021802360
2 �rrrrrrS =⋅=
⋅⋅== παπαπ
�������� 210 12,5662,8cm .
2S
⋅= =
� �� ��� ��� ���� ���%�E����� �������������������� �������������� '� ��������� � �� �
�����E������� ��� ���� �������������������'���������� �� ���'���������� ��� ��� E ����� �� ����'������������������������ �������$<�� �� �������' �����α�
2
1 .360
rS
π=
2
1 .360
rS S
π αα= ⋅ =
������ .2
�⋅= rS
9
�
�
�
α�
�������9� �� �� �����'�����$=<�<�����E����-��������������������������9������ ������'�����$'<��
���������9������� ���������$���������Δ '$<��������������
1 2.S S S= −
��
� �� ����������� �� �� �����'������ ������' �����α �4��63°�����'������� ��� E ����4��.��
221 16 72 16 16 3,14sin 0,95 7,6 10,05 7,6 2,45;
360 2 360 2 5
rS r
πα πα ⋅ ⋅= − ≈ − ⋅ ≈ − ≈ − ≈ ���22, 45m .S =
�� ��� ����%���� ���%�E����� ������������� ����� �'� �����"� ���� �������"� � �� ��
9
123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890
�
�
������� ����E����� �� ������ �$���$������ ����������� ��������� ������� �'��' � �� ��� E �C�� ������ �������
( )2 2 2 2 .S R r R rπ π π= − = −
� �� ����������� ��� �������E$��E�������� �� ������� ��������������������� ���� �������� �������������������5Q�������������������� ������������3���
B� E��� ��� �������������������C�4�AQ�����������������������������4�.D����������
( ) ( )2 2 250 48 2500 2304 3,14 615,4; 615,4 mm .S Sπ= − ≈ − ⋅ ≈ ≈
���
� �� ������������ ��������� ���� �����' �����α 4�AQ°.2L������ E�����4�3�A��
� �� �(�-�B� E ���� ��� �������� ��������' ������� �DQ°����������� ��������� ���� ���������53�A2���<����π ≈�0�5.-+$-��������' �����α����� ���4�5A����� "�4�5D�D.����
� �� ������������ ��������� ���� ���������� ������'�����'������������� ��$���������� ���������������� ���������$� �������������� ����� ��� E ���4�2���
� � ��� ����������������� ������A.Q�����:�����<�����-� ������������������������� ��������3QQ�����,�����������'�� �%������������� ��� ������ ��� ������������
� ������� ��� � ������������� ����������� �� ��� ����� ���������.AQ���� ��� E �53QQ���,���� ������� '�� �� �������� �� ������ �� ��������
� �� ����������� �� �� �����'������ �����' �����α 4�2Q°����'����� ��� E ���4�53����
�� ����������� � � �� �����'��������� ������������� ��������������4�2����������������' �������������������α 4�53Q°�
�� ����������� ����E���'���� ���������� %���� ������� � ������������ � � ��$� �������������������� �$��������4�5���
� ������� �� ������'����������0π��������������������������������0Q°���� ����������� '������
���
���� ������5�)�.������� �� ���������������� � �%���������� ��������,�����������������
���������������������������� ������������ �$������2���� �������� �5Q�������(�-�02+ $-�.D+ �-�2Q����+ �-�5QQ�����
B�$��� �$������D���� �������� ��.AR���������������$���$������ (
��-�2.����+ $-�03����+ �-� 232 3 cm ; �-� 232 2 cm .
������� ��� ���������$���������� �$�E����4�3�� ������������������� ��2QR�����(
�-� 2; $-� 2 2; �-� 3; �-�4 3.
������� ���������� ������������A.���������������������� ����������P���� �53����� ��� ��������������(
�-�35���+ $-�.3���+ �-�36���+ �-�50�A����
�� ���� E �� ��� �������$� ��������������� �������� �$������32�����3D����� �0Q���
�� ����������� ����� E���$���������� �$�E��3.���� �5.����� �� �����50���
�� ����������� ����� E���$��������������E�����
J�E��� ��������� E�������02����� �53����� ������� ���������6���%����������� ��5AQ°�� ��������$�E����� ����������� ����� E���
*
��
048 40′
�� ���� �������%� �� ����� ������� ������������� ��������� ����������� ��������� ����� ��������� �������� � ���������������������������53����
&��'��' �������� E ����$���$��������� ��� E��� ��������E��� ������5������ ��� ��� �������� ����E��� ������3��� ���������� ����� ������� �������������������� 7
��������� E��� �'���������� ������ ����������� ������' ������� ��5D°������������5Q7
&���������� ������ ��� E �.��������� �������'������� ����$�����������.������� ����������� �� ���������%�E����� ������' ����� �����
�������������������� �
�
�
�
�
�
�
�
��
��
��
���
����������� ���������� ��
������ ��������
�� �� ��� ��� ��� � �� ��� ��� � ���6$8� ����(&��(�%$8(�� ���7�&��(�����5$� �%$#�#����#$'8�
���9 3; 3 5 7; 6 9; 15 10.≤ + ≠ = > ��� ( )1 1 1: 2 ; ;
2 3 3p q p qτ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∧ > ∧ < − ∧ = ⊥ ∧ ⊥= ⊥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
��� ( ) ( )1 1: 3 3 ; ;
3 3q r q rτ⎛ ⎞⎤ ∨ ≥ − ∨ > − ⎤ ∨ = ∨ =⎜ ⎟⎝ ⎠
� � � ����� ( ) ( )1: 2 3 3 ; .
2p r p rτ⎛ ⎞⎤ ∧⎤ ≤ ∧ ≤ − ⎤ ∧⎤ = ∧ ⊥=⊥⎜ ⎟⎝ ⎠
�
��� :p q∨� ���%$#�(&��(�%$8(�� ���7�&��(��&����(&��(�%$8(��B ���� ( ) ;p qτ ⎤ ∨ =⊥ ∨ ⊥ = ⊥ ����%$#�(&��(�%$8(�� ���7�&��(
�&����%$#�(&��(�%$8(��B ���τ4⎤�∨ ⎤ �C⊥∨�C�����⎤�∧ ����%$#�(&��(�%$8(�� ���7�&��(�������(&��(�%$8(��B ��
�τ4⎤�∧ ��C�⊥∧⊥C⊥����������?�∨ ⊥ C�⊥�����?�∧ ⊥ C�⊥�����?�∨ ⊥ C�?
� ���1 1
: 5 4 , ;5 4
p q⎛ ⎞ ⎛ ⎞⇒ < ⇒ > ⇒ ⊥= ⊥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
� �����1 1
: 5 3 , ;5 3
p r⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎤ ⇔ ≥ ⇔ < ⊥ ⇔ =⊥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
�
����
1 1: 3 4 , .
3 4r q
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⇒⎤ < ⇒ ≤ ⇒ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠� � � � ��� ( ) ( )| |: 3 7 3 9 , ;p q⇔ ⇔ ⊥⇔ =⊥�
��� ( ) ( ): 3 7 3 9 , ;p q⎤ ⇔⎤ ⇔ ⇔ ⊥ = ⊥� ���� ( ) ( ): 3 9 3 1 , .q r⎤ ⇒ ⇒ ⊥⇒ ⊥ =�� � ���6$8� ����%$#�(&��(� ��7�&(�$3
�&�(8�8��������%$8� ����(&��(� ��7�&(�$�&�(8�8���� ;⊥ ∧ =⊥� ������ ;∧ ⊥ = ⊥� ����� ;⇔ ⊥ = ⊥� ����� .⊥⇒ ⊥ =�
( ) ( ) ( ), , .p q rτ τ τ= = =⊥� �
��� ;� ���� ;� ���� ;� ���� .⊥� q� p� q p⇒� �
⊥�
⊥⊥
� �
⊥�
⊥
⊥�
�
⊥⊥�
�
�
�
�
⊥
�� �� � q� q p⇒� �
�
⊥�
⊥⊥
�
⊥�
⊥
⊥�
�
�
�
⊥ � ��������� �⊥ ⇒ ⊥ !��"
� � ��� { }1,2,3,..., 2006 ;A = ����� { }101,102,103,...,111 .B = � ���
⊥
#����� #���� ⊥ #����� "
� ��� (156 344) (28 372) 100 1000;+ + + + = ���� (442 358) (192 8) 75 1075;+ + + + = ����� (4 25) 11 100 11 1100.⋅ ⋅ = ⋅ =
���400;����1480;����1000;����8; �����" ������������������������������������������ (125 8) (25 4) 7 700000.⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =
� � ����� $%�� ( )c a b a b m c+ ⇒ + = ⋅ ��$%�� c b �%%���� ,b nc= �%�&��� a b a nc mc+ = + = ⇒
( ) .a mc nc a c m n c a⇒ = − ⇒ = − ⇒
�
� ���'���#�����#�����#��������������(���%��&)'%�*�� ��+ ������ +)��� '�'���
,��-.�/0����&�& ����'�)((�&���& ��"�" �����!��#������!��" � $���-%1�%���� �.��%���.&�*�����%����'�%%�2.%' &
������� ��+ �&)' %���� %� % ��������� �-��' ���)' �����1���� +)��#�����3������������� %� % ������� � ��+ ������ +)��� '������'���"
� �����#�������#����� 5 22 3 5;⋅ ⋅ ��������� 4���$�$3��������������������+�"�� �����( &�-��&0���1�5.-.((�+����������%�����
���.&�.&�"
⊥
����������
�
���
� � ���1011 1010;> ���������D������ � �����#����������#������������#�����������#��������������#����2������������"
� �����#�������#�������#�������" ��� 21000 ;����� 211100 ;����� 21100100 ;�����210000111 .
�� ��� 210001111 ; ���� 21000111 ; ���� 21111110 . � ��� 2111100 ; ���� 211100 ; ���� 2110101110 ; ���� 2100010010 .
� E���& �(�7�%(��(�&�#�(�6(�& &��8 %�%$8�� #�� %����(�������� �%���8�'���7������&�$8(! 8 �*'�7%(�*�� �(
��%7(7�(��(�� '���*'�7%(������%(�& &��8 %���#��(��(�%$8��*�
� � ����#������" ���3��#������3�#������3�"� � ���3��#����3��#�����#�����" ��� 5;− ����� 34;− ����� 9.−
���
9;
17����
4;
5����30.� � ���
13;
45�����
31.
20− � �����#���� 2
4 ;3
���� 19 .
4 ���
3;
14���� 2; ����
31 .
10
( ) ( ) ( )
.( ) ( )
a c m ad bc m ad bc m ad m bc m adm cbm am cm a m c m
b d n bd n bd n bd n bdn bdn bn dn b n d n
+ + +⎛ ⎞+ ⋅ = ⋅ = = = + = + = ⋅ + ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠
��� ������ �����3� ���3� ���� � �
3 1 1 32 ; ; 6 ; 5 .
25 125 8 4− � ���� �#�������� ��#�������� ���#������3� �"
1, (142857);0,2(4);1,08(3). ���2
;3
����52
2 ;165
����57
4 ;110
����31
2 .90
1 2 3 4 52 2 2 2 22 2 10 ; 4 2 100 ; 8 2 1000 ; 16 2 10000 ; 32 2 100000 ;= = = = = = = = = =
6264 2 1000000 .= = = �6$8����@(�7�%(��$@ ��(�%$8� ��� �%(�& &��8 %�� %����(�%$8��*��7�%(��(�&�#�$���8�
&� ������������5$ �!���7��&�#�$�����@����(�&��(&��(����"$�& � �%$8� ��� �%�(�&��&� ��������! � �% ��8(��(
'���(�(&��(��
��� 0;x = ���� 1;x = ���� 4;x = − ��� 3.x = ±�
���9 24 28 30
,48 48 48 48
< < < �0�0 ����+��3 1 7 5
;16 2 12 8
< < < �����2 7 9 4
;3 12 27 9
− < − < <
���4 8 5
5 5 4 .5 15 6
> >
� ��� 2 4 2 6, , 4 , 2 ;
4 6 10 8− ���� 3 6 3 9
, , 4 , 2 ;6 9 15 12
−
���4 8 4 12
, , 4 , 2 .8 12 20 16
− �
��� 15;a = ���� 35;b = ���� 4;c = �0�� 8.d =
���8 9 6
, , ;12 12 12
����10 15 16
1 , 2 ,3 ;20 20 20
����4 3 5
3 , 1 , 4 ;6 6 6
− − ����18 25 20
2 , 1 ,3 .30 30 30
− −
���
����� ;������ ;������⊥; ���� .���� � ���
22;
7π <�� ����
3066;
125< ����
362.
25> � ���6.&�+%)-+.�+%�- &� ��
- &��%�+ �'��-�+�+����������� 2 25 2 1 ;= + ����� 2 210 3 1 ;= + �$�� 2 215 4 1 ,= − �-.&�+%)-+.�+%�- &� ��
#(%����7�(�8��� ����%$!(�������%7(�#�������
� ��� ( ] ( ) ( )5, 4 1,5 5,5 ;− ∪ − = − ����� ( ] [ ) [ ]0,5 6,1 6,5 ;∪ − = − ���� ( ) [ ), 3 1, .−∞ − ∪ − ∞
����� 0,009 1%;< ���� 0,014 1, 4%;≤ ���� 0,053 5,3%;< ���� 0,045 5%.< � ��� 0,4; 0,071 7,1%;δΔ = = =
��� 0,003; 0,15; ����� 0,001; 0,1%.
�
� ( )222 13,2 .U V= ± ����������#����������������2%����&)-� ��+ �����-+
��� 2110 0,005;
2−⋅ = ������#����� 71
10 .2
−⋅
� �������#������#����� 6 412800; 150 10 ; 139 10 .⋅ ⋅ � � ��� ���������#���������#����������#���������#������������"
� �������#��������" �� 252cm, 139,8cm . �� ( ) ( )26,8 0,4 ; 43,69 1,34 .P S= = �� ��� ( )14,55 0,01 ;
��� 8,33 8,35; 6, 20 6,22.a b< < ≤ ≤ � � �� 1 1 1 1; ,a a a b a b b b a b a b> ⇒ − > − > ⇒ − < − � �%�&�� 1 1,a b a b a b− ≤ − ≤ −
� %-�+ ����+� ( )8,33 6,22 8,35 6, 20; 2,13 0,02 ;a b a b− ≤ − ≤ − − ≈ ����� ( )75,77 0,17 ; ����0��8,33 8,35, 6,20 6,22,a b≤ ≤ ≤ ≤
�%�&��� � � )001,0(343,1;20,6
35,8
22,6
33,8 ≈≤≤b
a
b
a�� ����� � ���% ��� %%�+�+� & ����� %%�+�+� .����� /*.0 (.��+�� &� %���'�� /*.0 (�'�&� ���� ��.
/'����'�&�������% ���/*.0 (.��+"
������ �1
0,53 0,05; 0,53 0,05 0,01 0,005;2
a a− < − ≤ < ⋅ = ���������������"
����"�
1.
4� ��"� ��" ��� 2110111 .� ���
522 .
165
( )13 1 1,31212... 2 2, 3 2,3434...
3− < − < − < < <� �� ��� ( ]2,5 ; �����{ }4 ; �����[ )2,5 .−
123456789012345678123456789012345678
123456789012345678901123456789012345678901
12345678901234561234567890123456
123456789123456789
12345678901234567890
123456789123456789
12345612345612345678901234567890121234567890123456789012
1234567890123456789012
������������������������������������������������������������������
3� �
� �
�3� �
� �
�������������������������������������������������������������������
�
� �
1234567812345678
1234567812345678
123456712345671234567
1234567812345678
1234512345
12345671234567
1234512345
1234567812345678
��� [ )1,3 ;x ∈ − ���� ( ]0,10 ;x ∈ ��� [ )1, .x ∈ − ∞
�����������������������������������������������������������������������������������������
3� � � ���� �� �
[ )1,2x∈ �������������������������������� ( ]2, 4x ∈ ������������������������������� x ∈∅ �
�
�
� � �
���
����� � ������������ �����������
�� 67(����7�(! �%(&���(�"7 ����� #���7�%(�#�' %�����#��(�����7�(!� �%(&�����7�#��(��� #�*������7�%(�#�' %����
"7�&��(����7�(!� �%(&��� #���7�%(�#$'8�����#��(�#(%�(&� � � )� #��* !�� � $�-�+�� ���+%���&
%(�����&� %���%7(7�(�7�%(�#�8�'�3
%��� �����7�%(�� #��@(�&��� ��%%(� &�� '(%� ��@�� �(� � ��8 �(&� ���� %(� ����7��
� �"�%�'�� �(� &�7� 2 #��� @(� %$#� &��� ��%� %(
����&� %���%7(7�(�%$#�7�%(�#�8�'�%���
A&��(���8$%�$���&���(�"7 ����� #����(&��� ��%�%(�����&� %���%7(7�(�4�(���#��7%(%7(�����&�� ��&� ��(�8�&�&��� ��%�%(�����&� %���%7(7�(�6(���(���&���(���#��7%(�#��(������&�������!"���!"���!"���#
=�%(��(�8$%�$����&���* 7$�&������@(��(���&(�� #���(�&��� ��%�%(�����&� %���%7(7�(����#��(��� #���(�&��� ��%�%(�����&� %��%7(7�(������������!"��!"��!"��!"��!"���F���(���#��7%(�����&��%(&��� '������#��(��� #��%$#�&��� ��%�%(�����&� %
��%7(7�( �����(���(�� '����������� #�����7�� #�*���(���(%(��(���#��7%(�%7(�����&� ����%��7���������&���7�%("���!"���!"��!
��!"���!"��!"���!"��!"��!"��
+ "��
4���+(����7�(!� 7��(����7�(!� ���+(����7�(!�
��
Σ4<���#$��∉� � ) ��&�<
���#! &��%�� #���∉Σ�G���(�7��(��∈Σ�<�(���(����7�(!����������(���%�����&� %�Σ
� ) ��&�<��%(�����&� %�Σ��#! &��7%(������ #���!"��������@(�%$#�7�%(�#�' %�����6(����7�(!(%��"≡"��"#�����$%�
&�$8(�� #��4<���@(�&��� ��%�%(�����&� %�Σ��∈��)�� '�����7�(!�@(�#�'�%�%(�(��� #(%�������� '(%����� #(��(����7�(!(&��&��� ����%(�����&� %�Σ
6"��#$&�� �Σ�∩Σ
�C∅���7����&������&������ ��%�%(�%��%7(����7�(!���4* !���) ��&�<
���#! &��7%(�� #����∈Σ
� ��∈Σ
��@(
&��� ��%�%(����7�(!(%���-��7�(!����� ����(���%�����&���
�(�8��%�� #��@(�%$#� ���#�7%(����7�(!(&��
�Σ������Σ
� 6$#�(&��(���8$%�$����& �@(�����&� �Σ
�
�(�� ''��#�����$%��&�$8(������(�"7 ��������&��� ��%�%(%7(�����&��@(�(&��(�����'�'�8������&� %�����(%(�4* !���
��
�
Σ2
Σ1
8�0"��
�
�
��
�� �
Σ
Σ1
8�0"��
-��7�(!(%���������* !���78(��&��$�@(�%(�����&� %��* !���78(����7�(!(%���B���(��&�8��� �����&��7�%(�(��� #(%����(���@ 8���7�(!(%��HH����7
�� ���9
�#����7
�#����7
��" � G���(�7�%(����7�(!���������������'�'��) ��&�<
��%(����7�(!(%���& "$� &���&��� ��%
� #���������� ��&��$�@(��!"�∉��6(����7�(!(%���& "$� &���&��� ����� #��� ��&��$�@(��∉��2 #����!"�������
7�%(�7�#�' %���� ����%��7�& ��&�<�������(���#��7%(�����&���(�*��(8�4* !��
��
��
�
��
Σ
8�0"�� 8�0"�� 8�0"��
� -��7�(!�����������7�%(
��
�
) ��&�#$&�� � ����7�(!�����������%$#�#�%(�� #(��(��(���&�#(� ��8�� �����7�%(��&������'�'���&���(�# ��(���6(&��7�%(�����'�'� ��(���(�����(�&��� ��%�%(�����&� %���%7(7�(�@(�#�'�%�%(�(��� #(%�� ���#7��%$#�(&��(���8$%�$����& �@(��∉�"4+ "���
5���,�8$%�(& ��������7�(!����(�&��� ��%�%(�����&� %���%7(7�(�������7�(!����(�8�&�&��� ��%�%(�����&� %���%7(7�(�6(���(
��&��& ��&�?��
�7�%(��(��(���#�$�����������&���4�!"�� �4�!"�������4�!"�� ��+ "�
�
) ��&�<��%(�����&� %��&��� ��%�&(���#$������ #��7�#�' %������!"�!"��-��7�(!���"$"���&��� ����%(�����&� %
-��7�(!�
���
�������(&��(������!�#(%����7�(�8����!���������������:��!7��������� ��(&��(�* 7����8�&8���������! �
) ��&�?�����7�(!������%7(�� #(�@(
�
��
�
1Σ
2Σ
�
�
�
�
3Σ
2Σ1Σ
+ "�� + "��
%$#�&��� ����%(���(����7�(!��(���#��7%(%7(�����&��G���(�7�%(���(%(����7�(!�������� #����!"��������6(&��� '�������,� #���(���#��7%(����7�(!�@(�%$#�(&��(����'�'��8�����7�(!(%�� ���(���(�7�%(�(��(���#�$�����������&����(�%��,&�8�4* !���6(&� �� '�������,�� #���(���#3��7%(����7�(!�@(�(&��(�����'�'��8�����7�(!(%�� ���(���(�7�%(��(��(���#�$����,�����&���4+ "���
�� )� #��* !�� � 5(%� �&$�'�8�%����(&��(����°3��°C���° �%�(�&��#(%� �#�8�'�8�%������°3��°C��°
� ����������
�
� ,2 2 2
kα β γ= = = ��%�&�� 2 , 3 , 5 .k k kα β γ= = = �-$#��!(*�%�(&$���%(� 0180α β γ+ + = �� ��78(� 02 3 5 180 ,k k k+ + = �%�
�#$��"C����:�7��� 8 &�� 0 0 02 18 36 , 54α β= ⋅ = = ��� 090 .γ = � ( ) 0 0 0 0 06 66 2 180 720 ; 720 5 130 70 .S α= − ⋅ = = − ⋅ =
6"� ( ) 0 02 180 2160nS n= − ⋅ = �� ��78(� 12,n = ����%��7 ( )12
12 12 354.
2D
⋅ −= =
�� 2�& �@(� , ,OA OB r OC OD r dhe AOC BOD= = = = =� � ��(��$%��78(�&�� ,AOC BODΔ ≅ Δ ����%��7
���7�#(�$���7����&�� .AC BD dhe CAB DBA= =� � �- �8��� ����(&��(����%&*��&�'7�������7�(!�*��������
�� �����& �@(�#(%�����(�"7�"7(&��������������7�%(��(���������( ���7����&�� AC BD� �!* !���
+ "��� + "���
� ?��#(%�(&� �����4+ "�����(&��(�#(%����7�( ����%��7��2 22 1
;2
r AC OC= +2 2 28 15 289,r = + = �"7�"7(& &��� 17 cm.r = � ���� ����8�I��(! 8
�)���,�(!�������8(%���?�'�& � 0125 .B =� �5��(�#(%�(&� �(&��(���� * �'
���%��7� 0180 .A C+ =� � � 0 0 0 0 0 0180 127 53 ; 180 95 10 84 50 .′ ′− = − =
� ���2�����7� ���& �@(�%$#�#��B �����(�#(%��*��&$�'�8�%���� 5(%�������%(���!(&�7�%(��(���������� �%�(�&��#(%���
���%(�#���(*��7�%(�&$�'�8�%���� �"7�"7(& &���%"�� 0 0, 180 180dheα β β γ α δ= + = + = ���7����&�� 0 0180 180 .dheα γ β δ+ = + =
� ?����! �(&��(���%"7�%� �'�G���(�7�%(�����������!� �%�(�&����#���$� ������! ��6"��*�� � ��
��
�
� ��
�%
a b c c+ = + ���7����&��� .2
a bc
+= �� 6"��� 1AA t⊥ ���� 1BB t⊥ ���7����&��#��(�#(%�(&�
���%��7� ( )1 1
13,3cm
2r BB AA= + = �!+ "���
��
�
�
�� �
�
�
�
+ "���
β ααβ
δα
γ
αα
ββ
) ��&�<� �����&� �(&��(��(���#�$���8������� #��7�#�' %����
6"��( )3
2n
n nD
−= �#�8 � ( )3 25n n − = ����� 2 5 0,n n− = ����7�#$� 0n = ���� 5.n = �2�& �@(�%$#��#! &��%�&�$8(#3
(%�(&��@(�#��!������ %7( ���7����&��#$&�� � �#(�#$������'��(&�%���&(#(%�(&� %
+ "��
αα
6"��#$&�� �α � β � γ C�������������7����&�
���
� � 0$%���(����8���%����*�#���(�������&�"8�%�� � ?(���������(�7�%(�*�#���(��%(%����������
��#���(�#�' %���(�7�%(�%(%��� ��� �����������6$#�7�%(��(���������(�*�#���(���� ����������
�� G���(�7�%(���(%(�*�#���(� ,a b dhe c
→→ →�8��� #(�� ''�&������(��(���&�#(����)�$8�����,���(&��(�*�#���
AD→
�4* !��� � )� #��� "��������� 0 0 0 ;OA OB OC OD OA OC OB OD→ → →→ → → → → → → →⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + = + + + = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
��� 0 ;BC OA OC BC OA OC BC BC→→ → → → → → → →⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + = + + = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
���� AB DO OA AB DO OA→ → → → → →⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + = + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
;AB DA DA AB DB→ → → → →
= + = + = � 0 .DO OA BC DO OA BC DA BC→→ → → → → → → →⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + = + + = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
� ;AB SB SA→ → →
= − � AD SD SA→ → →
= − =
;SB SA→ →
= − − � ;CB SB SC SB SA→ → → → →
= − = + �DC AB SB SA→ → → →
= = − ��8�0"�����
8�0"���
a→
b→ c
→�
�
��� c
→b→
a→
�
� �
�
�
8�0"���
AB AE ED DC CB AD DB→ → → → → → →
= + + + = + �3*�/"����"
0 .AB CA BC AB BC CA AA→→ → → → → → →
+ + = + + = =
� ) ��&����"$''(&��(��8�'���7�%���*�#���(*�
��7����&�� OA OD DA→ → →
= + ���� .OC OB BC→ → →
= + �0(��$�7�
�
�
��
8�0"���
.OA OC OD DA OB BC OB OD DA BC→ → → → → → → → → →⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = + + + = + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
�2�& �@(������(&��(�����'�'�"��8 ���7����&��DA→
�����BC→
�7�%(
�*�#�����(�#$%�(�� ����%��7� 0 .DA BC→→ →
+ = -8�� �OA OC OB OD→ → → →
+ = + �4* !���
� J"7 ��7��(&��(���(%(�%(���a→
���� �
� �a→
b→
a→
b→
b→
�
� �
b→
−
b→
−
8�0"���
2OB a b→ →→
= + 2OB a b→ →→ ⎛ ⎞= + −⎜ ⎟⎝ ⎠
�� �
� �
b→
b→
1
2a→−
12
2OB a b
→ →→= − +
� ��� 2 2 2 ; 3 .x x a b a b x a b→ → →→ → → → → →− = + + − = + �����3 2 2 3 ; .x x a a b x b a
→ →→ → → → → →− = − + = −
�1 1
.2 2
MN MB BC CN AB BC CD→ → → → → → →
= + + = + +� ��� �
2 2 ; 2 ;MN AB BC CD AB BC CD BC MN AD BC→ → → → → → → → → → →⎛ ⎞= + + = + + + = +⎜ ⎟⎝ ⎠
� 2 .MN AB BC BC CD AC BD→ → → → → → →⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + + = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
�
� �
�
�
8�0"���
� �
� �
�8�0"���
���
0��!��� 8 %������"$''(&��(��8�'���7���(�*�#���(*��4+ "����#�8 � , ,OS OC CS OS OB BS→ → → → → →
= + = +
.OS OA AS dhe OS OD DS→ → → → → →
= + = + �6(&�� �8�'��� 8�#(���#��(������& �� ��78(�
4 ; 4 ;OS OC CS OB BS OA AS OD DS OS OA OB OC OD CS AS BS DS→ → → → → → → → → → → → → → → → → →⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + + + + + + = + + + + + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
4 0 0 ,OS OA OB OC OD→ →→ → → → →
= + + + + + �.�� 4 .OS OA OB OC OD→ → → → →
= + + +�
� �
�
�
�
�
�
��
�
8�0"��� 8�0"��
6"� MBNΔ �#����
1 1 1 1.
2 2 2 2MN MB BN AB BC AB BC AC→ → → → → → → →⎛ ⎞= + = + = + =⎜ ⎟⎝ ⎠
6"�� QDPΔ �#����
1 1 1 1.
2 2 2 2QP QD DP AD DC AD DC AC→ → → → → → → →⎛ ⎞= + = + = + =⎜ ⎟⎝ ⎠
�6"��1
2MN AC→ →
= �����1
2QP AC→ →
= ���7����&�� ,MN QP→ →
= ���%��7
��& �@(�#(�(�*�� ���#������'�'�"��8 ���7����&��#��(�#(%�(&� �� ���(&��(�����'�'�"��8�4* !����
) ��&�� "���#�8 ��� , , .OT OB BT OT OA AT OT OC CT
→ → → → → → → → →= + = + = + �0��8�'���7�%���#(�,�������& *��
� ��78(�3 .OT OA OB OC AT BT CT→ → → → → → →
= + + + + + �6"��*�� ����� #(&�&(��(%� 8 ����(����#(%�(&� ����7����&�
1 1 1
2 2 2, ,
3 3 3AT AA BT BB dhe CT CC→ → → → → →
= = = ����%��7� 1 1 1
23 ;
3OT OA OB OC AA BB CC→ → → → → → →⎛ ⎞= + + + + +⎜ ⎟⎝ ⎠
&��'()*#� 1 1 1 1
2 2 2 2, ,
3 3 3 3TA A A AA TB B B BB→ → → → → →
= = − = = −�
���� 1 1
2 2.
3 3TC C C CC→ → →
= = − ) ��&�!"7 ��7�&�&(����,�(&�
��%"��8(& 8 ��������#���7����&��#��(�#(%�(&� �(&��(�����'�'�"��82�& �@(�� �"�%�'�������8� ��7�%(���� ���# &���%��8�'� ���7����&�������� %7(����#��(�#(%�(&� ��7�%(���� ���# &���%��8�'� ��8���� (&��(�����'�'�"��8
�
�
��
��
�
� �
8�0"���
6"�� AB DC→ →
= ���7����&��#��(�#(%�(&� ������(&��(�����'�'�"��8�6"�� AC AB BC→ → →
= + �� BD BC CD→ → →
= +
��7����&�� 2 0 2 2 .AC BD AB BC BC CD AB CD BC BC BC→→ → → → → → → → → → →⎛ ⎞+ = + + + = + + = + =⎜ ⎟⎝ ⎠
1 1 1 1 .CC CB BC dhe CC CA AC→ → → → → →
= + = + �6"���7����7��������& �� 1 1 12 ,CC CB CA BC AC→ → → → →⎛ ⎞= + + +⎜ ⎟⎝ ⎠
����7�#$
1
10 .
2CC CB CA
→→ → →⎛ ⎞= + +⎜ ⎟⎝ ⎠�0�@(�� #����!"��������%$#�7�%(�#�' %���� ���7����&�� 1
1| | | | ,
2CC CB CA→ → →⎛ ⎞< +⎜ ⎟⎝ ⎠
��&�
( )1
1.
2ct CC CB CA= < +
��
�
�
8�0"���
��
1,
3OT OA OB OC→ → → →⎛ ⎞= + +⎜ ⎟⎝ ⎠
���& �@(��1 1 1 0 .AA BB CC
→→ → →+ + =
� =�%(��@ %7� �%�(�&��&�$8�����,������° � 5�%(����7� 8��(�%7(7�( � 5��(�����7�(!� ���
��" � ���� � ����� �� ��� ;DO dhe BO→ →
�� DA→
��� ;BC→
����� ;DO dhe BO→ →
;DA dhe BC→ →
;AB dhe DC→ →
*�� AB→
���� .DC→
�� )�8�%"(&��
��
���
α
75
α
10
6
��
α
2
1α
2
3
�� ��
����������� ������ ������� ����
���� ������������
�
�
� tg505
H° = �.�� 5,958.H ≈
�� ��� 66 44’;α = ° ����� 62 37’;α = ° ���� 75 ;α = ° ���� 84 15’.α = ° � ��� 20 ;α = ° ���� 38 15’;α = °
���� 54 40’;α = ° ���� 89 37’;α = ° ���� 45 ;α = ° �2�� 35 .α = °
��� 2sinα �.�� 2cos ;β ��� 0; ���� 22sin α �.��� 22cos ;β ����0. 2� ��(�� 45α = ° �#�8 �
��� 2; ����1
;2
����sin 70
;3cos70
°°
����2
.5
� ���3 4 3 4
sin , cos , tg , ctg ;5 5 4 3
α α α α= = = = �����4 3 4 3
sin , cos , tg , ctg ;5 5 3 4
α α α α= = = =
���8 15 8 15
sin , cos , tg , ctg ;17 17 15 8
α α α α= = = = ����12 35 12 35
sin , cos , tg , ctg .37 37 35 12
α α α α= = = =
�0��8
15
a
b= ���7����&��
8
15a b= �����
17,
15c b= ��%�&���
8 17 8sin : 0,470;
15 15 17
ab b
cα = = = =
15 8 15cos ; tg ; ctg .
17 15 8α α α= = =
( ) ( )sin 45 cos 90 45 cos45 tg 45 ctg 90 45 ctg 45 .dhe° = °− ° = ° ° = °− ° = °
��C�� ���C�� �� � 18, 4.CB MN= = � 5��(�����#(%�(&�� ���%�(�87���*�������#(%�(&����(
�%"7�&�(8�7�%(����������������������� 6.CD = ���2(������� ����%$!�
2 26 8 10,c = + = %�(�&���(�����
��
��#������ 2 2
1 15 9 12.b = − = �6"�� 6 : 9 8 :12 10 :15 1,5,= = = ���7����&���(������� %7(�
� ABCΔ 7�%(�������� �%�'��8�������� %7(��(� 1 1 1 ,A B CΔ "7�"7(& &��� 1 1 1.ABC A B CΔ � �����1
1
6 90,6; 0,6.
10 15
aa
c c= = = =
� ���3
;2
����� 2.− ���1
;2
���� 0.� � ���3
3 ;4
����1
5 .4
��� 3; ����1 2.− ��� 0; ����8.
� �����#���������#��������#��������#���������#�� ���8 3
;3
m ����8 ;m ����8 3 .m�
�
���5 5 12
sin , tg , ctg ;13 12 5
α α α= = =
���5 12 12
sin , cos , ctg ;13 13 5
α α α= = =
�� ���
12 5 12cos , tg , ctg ;
13 12 5α α α= = = ����
24 7 24cos , tg , ctg ;
25 24 7α α α= = =
���1 3
cos , tg 3, ctg .2 3
α α α= = = �
���21 21 20
sin , tg , ctg ;29 20 21
α α α= = = ����� sin 0,6, tg 0,75, ctg 1,33.α α α= = = �
�
��
�
��� sin cos ;α α⋅ ���� sin cos .α α⋅�� �� ���2
1;
cos ���
2
1.
sin �
( )2
sin 1 cossin sin 1 cos
1 cos 1 cos 1 cos 1 cosa
α αα α αα α α
++= ⋅ = =− − + −
( )2
sin 1 cos 1 cos.
sin sin
α α αα α
+ += = � ���&��'()*#"�J(*�%�(&���"α�8��sin
,cos
αα
%�(�&����"α�8��cos
sin
αα
����& '' �%(��8(�$�&
�(��(���&�#(������$%��& �%(%��� �����&��7���,�&(%�1
sin cosα α⋅�!"7���7��8����&α �� I��(! 8����!(*�%�(&���"α�8�
1;
ctg��I��(! 8
1 1ctg , ctg .
tg tgα β
α β= =
� ��� sin49 ;° ���� cos 43 ;° ���� tg49 ;° ���� ctg43 .° � ��� sin75 , sin15 ;° ° ���� cos20 , cos70 ;° °
��� sin50 , cos60 ;° ° ���� cos15 , sin15 .° ° ���&�#�(������&�#�(������&�#�(����&�#�( ��� tg15 ;°
��� tg34 ;° ���� ctg72 ;° ���� tg26 .° ���%�"�� *����%�"�� *������! � *����%�"�� *������! � *
� ���&�#�(������&�#�(������&�#�(����&�#�( � ��� sin51 , sin 41 , sin31 , sin 21 , sin11 ;° ° ° ° °
��cos11 , cos21 , cos31 , cos41 , cos51 ;° ° ° ° ° *� tg51 , tg41 , tg31 , tg21 , tg11 ;° ° ° ° ° 0�ctg11 , ctg21 , ctg31 , ctg41 , ctg51 .° ° ° ° °
�����! � *������! � *
�
�
��� 14,16 , 18,12 , 52 .b cm a cm α= = = °
� ��� 53 08, 142 , 495 ;a cm c cmβ = ° ≈ ≈ ��� 79,29 , 16,67 , 17 30’.b cm c cm α≈ ≈ = °
� ��� 50 , 5,96 , 7,78 ;b cm c cmβ = ° ≈ ≈ ��� 75 45’, 63 , 65 .a cm c cmα = ° ≈ ≈
��� 109,34 , 6 16’, 83 44’;b cm α β≈ = ° = ° ��� 3 , 36 52’, 53 08’.a cm α α= ≈ ° ≈ °
� ��� 6 , 10 , 36 52’, 53 08’;a cm c cm α β= = = ° = ° ������� 36 , 39 , 22 37’, 67 23’.b cm c cm α β= = = ° = °
�� ��� 4 , 5 , 36 52’, 53 08’;b cm c cm α β= = = ° = ° ��������� 9 , 41 , 12 41’, 77 19’.a cm c cm α β= = = ° = °
�� ��� 5 , 12 , 13 ;a cm b cm c cm= = = �������������������������������� 6 , 8 , 10 .a cm b cm c cm= = =
���20 21 20
sin , cos , tg ;29 29 21
α α α= = =���9 40 40
sin , cos , ctg ;41 41 9
α α α= = = ����3 1 3
sin , cos , ctg .2 2 3
α α α= = =
���15 8 15
sin , cos , tg ;17 17 8
α α α= = = ����5 12 5
sin , cos , tg .13 13 12
α α α= = = ��� sin ;α ���� cos .α � �� 3sin ;α �� 3cos .α
� ��� cos ;α ���� sin .α ��� 2
1;
cos ���
2
1.
sin α � ��� 2sin ;α ���� 2cos .α �� ���1
;sinα
− ����1
.cosα
−
� ����°��&��6
π�������°��&��π�������°��&���π � 28 87,96 .cmπ ≈
� ��� ;6
��
3;
8
��
7,068;
6
��
59;
50
��
48.
25
π ��� 30 ;° ���� 60 ;° ����135 ;° ����157 30’;° ���� 229 10’.°
���
� 69,8 .cm � 27,57 .cm � 57 .cm 106 16’, 36 52’.α β≈ ° ≈ ° 69 31’, 110 29’.α β≈ ° ≈ °
� 4, 56,6.b h= = �2 2
1 2 1634 , tg , 56 10’, 123 50’.
2 2 2 30
d da cm
α α β⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + = = = ° = °⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
��°���I��(! 8�)�@,����* !�� 8 %
� G���(& ����#$''(&�(&��(��"⋅ �"α C���8
�� 97��(& ����� 7�&�(&��(��"⋅ ��"α C���8
�� 40,4 .m �� 21,2 .m �� 150 tg9 23,76.l = ⋅ ° ≈
6,4 .cm� � 6(&����(&��(�'���(& ������$� � ���(���(� 16 tg 28 40’,h = ⋅ ° �"7�"7(& &�� 16 0,54673 8,7 .h m≈ ⋅ ≈ �G���(& �
����$� �� 1,5 1,5 8,7 10,2 .H h m= + ≈ + ≈
�
120° 120− ° 540°
540− °
750°750− °
� � ���1,0; ���� 0, 1;− ���� 1,0;− ���� 0,1. �� sin0 0, cos0 1.° = ° =
( )450 90 360 , 164 196 1 360 , 3000 120 8 360 .° = ° + ° − = + − ⋅ ° ° = + ⋅ °
��� 0,81; ����1; ���� ���#����������
� ���( )( )
1 cos 0 5 360cos180 1 cos0 1 12;
1 sin180 1 sin 0 5 360 1 sin 0 1 0
+ ° + ⋅ °° + ° += = = =− ° − ° + ⋅ ° − ° −
��
���1; ����1.
331
a)
1y
x0
10 1
x
yb)
0
1
2
y
x0
1
2v)
2 a)
1 1
y
x
b)
1
0 x
c)y
0
1y
x
15
111 a) Tre trekëndësha. b) Të gjithë janë të ngjashëm ndërmjet tyre, pra,
2 E saktë është nën c).
3 4
6 9. 7 E saktë është nën c).
8 a)
9
10 E saktë është nën b).
11
b)
12 12 E saktë është nën d). 14 1.
b)
b)a)
c)
c)
���
������ ���������� ��������� ������������������
� � =� ���& �@(�%$#�(&��(������ 8� �&�$8(!$�&*���(���������( � ?(�*(����(�7�%(����������
� ��� 1,x = �.��� 1;x = − ���� 1;x = − ����� 4;x = − ����� 3;x = ����� ;x y= ��2�� .x y= � ��� 410 ; ���� 610 .
� ��� 37 10 ;⋅ ����� 672 10 ;⋅ ���� 2347 10 .⋅ � ��� 33,974 10 ;⋅ ���� 30,0005635 10 ;⋅ ���� 30,035 10 .⋅ � ��� 13 ;x ���� 5 ;x ���� 7.x
��� 42 ;a �����24 .a ��� 7 ;a ������" �� ����#��������" �� ��� 3;x = ���� 6;x = ����� 5;x = ����� 2.x =
���� 3 23 ;x y ���� 4 62 .x y� � ����� 3 4 ;x y z ������ 32
; ; 4.3
x y− ����3
; 1; 0.5
� ���������� � ���������7�
� ��� 3 23 5x x− + − 3���' %�8 �(&��(� �&�#�''(&�&(�����(��� 2 25 7 2x y xy xy− − �3���' %�8 �(&��(� �&�#�''(&�&(�����(
���������� 2 10 .m m−� � ������������ � ��� 26 2;x x+ − ����� 4 3 26 16 21 22 5;x x x x− + − + −
��� 3 27 4 8.x x x− + + � ��� 3 23 ;x x x+ + ����� 3 2 2;x x x+ − − ����� 5 4 3 23 3 1.x x x x x+ + + − −
� ��� 6, 17, 12;a b c= = − = �������' %�8 � �� ''(�%$#��#! &��%
� � ��� 24 4 1;x x+ + ����� 24 4 1;x x− + ����� 2 24 12 9 ;x xy y− + ����� 4 22 1.x x+ + � ��� 3 26 12 8;x x x+ + +
��� 3 28 36 54 27;x x x− + − ��*�� 6 4 23 3 1;x x x+ + + ��"�� 6 4 2 2 4 66 12 8 .x x y x y y− + −
��� 2 2 4 649 4 ;
9a b ab b− + ����� 6 3 5 5 4 7 3 98 36 54 27 ;x y x y x y x y+ + + ��� 6 3 5 2 4 364 240 300 125 .x y x y x y x− + −�
�2 2 2 2 2 2 .a b c ab ac bc+ + + + + � ��� 2 1;x − ����� 21 4 ;x− ����� 4 4;x − ��"�� 4 64 9 .x y− � ��� 3 8;x − ����� 6 1.x +
� ��� 2 2 4 64 16;
9 25x y x y− ����� 3 31 8
;8 27
x y− ����� 6 3 3 68 27.
27 64x y x y+ ��� 3 24 13 9;x x x− + − ����� 2 2 3;x x+ +
��� 23 10 9 ;a a− − ����� 2 22 2 .a b bc+ −
�� ���
2;
5xy− �����
3;
2x− ����� 25 .y � ��� 3 2 22 3 5
;7 7 7
xy x y− − ����� 2 2 3 36 3 12 .xy x y x y− + −
� ��� 3 22 6 7;x x x− + − �����/��(& � 3 22 3 12 32,x x x+ + + 8���7������������(& � 3 ,x x− 8���7�"�+
��� 4 3 2 1.x x x x+ + + + � ���/��(& ����,"-�",".!"8���7��3����������(& ���!"8���7�",/�"0"1#
� � ��� ( )2 ;x y+ ����� ( )5 3 4 ;a x y− + ����� ( )22 2 3 ;a a b− ����� ( )2 24 2 .x y xy − � ��� ( )2 25 4 ;x xy y− −
��� ( )3 3 4 .a b c d+ − � ��� ( )( )7 ;x y a+ + ���� ( )( )7 2 ;p q q p− − ����( )( )3 2 5 ;x m n− + ���� ( )( )3 .a b a b− −
� ��� ( )( );x y x a+ + ����� ( )( )3 ;a b a− − ����� ( )( )2 5 1 ;x ax b− − − ����� ( )( )3 43 1 .xy z xy x y+ + −
� � ��� ( )( )4 4 ;xy xy− + ����� ( )( )1 1 ;a b a b− − − + ����� ( )2 .y x y− � ��� ( )( )2 22 4 2 ;ab ab a b− + +
��� ( )( )2 2 21 1 .abc a b c abc+ − + � ���( )( )( );a b x y x y− − + �����( )( )( )2 2 .a b x y x xy y+ − + +
� ��� ( )( ) ( )( ) ( )( )3 3 2 2 2 2 2 2 ;x a x a x a x ax a x a x a x a x ax x a a− + − = − + + + − + = − + + + +
���( )( );x a c x y z a b c x y z+ − − − + + − + + − �����( )( )2 2 3 3 2 2 3 3 .a b x y a b x y− − + − + −
���
� ���( )22 ;x y+ ����( )2
5 ;x y− ���� ( )25 2 .x y− − � ��� ( )2
7 ;a b+ ���� ( )22 2 ;xy x y− ���� ( )2
2 5 1 .a a +
� ���( )( );x y z x y z+ − + + ����( )( )2 2 ;p q p q− + + − ����( )( )4 3 2 4 3 2 .m x y m x y− + + −
� ��� ( ) ( )( )2 23 3 3 ;x y x y x y− − = − − − + ���� ( ) ( ) ( )( )22 2 2 215 2 16 2 1 16 2 1 4 1 3 5 .x x x x x x x x x− − = − − − = − + + = − + = − +
� ��� 4 2 2 ;a x y ���� ( )9 2 ;a b− ���� 1.a + � ��� 5 5 712 ;a x y ���� 2 24 ;x y− ���� ( ) ( )2 2 23 2 2 4 .a b a ab b− + +
� ���202�!� 5;a − �)/�2�!� ( ) ( )25 5 ;a a a− + �����202�!� 5;a − ��)/�2�!� ( )( )3 5 5 ;a a− − +
��� ��� 1;x ≠ − ���� 1, 4;x x≠ ≠ − ���� 0, 3; 3;y x x≠ ≠ ≠ − ���� 0, .x x y≠ ≠
���( )( ) ( )( ) ( )( )
1 2 1; ; .
1 1 1 1 1 1
x x x
x x x x x x x x x
+ − −− + − + − +
�
�
��� ( )1 , 1;a a− + ≠ ���� , 4;x y
xy
− ≠ ����1
, 0, 1.1
xx x
x
− ≠ ≠ −+
����( )( )
( )2
2
2 1 11;
2 1
x x xx
x x
− + += −
+ +����
( )( )( )( )
, .x y a b a b
x yx y x y x y
− + += ≠− + +
���( )( ) ( )( )
3; ;
3 3 3 3
a a b
a b a b a b a b
−− + − +
���5
, 0, 0, 0;y
x y zx z
≠ ≠ ≠ ����( )2
1, 1, 1;
1
xx x
x
+ ≠ ≠ −−
�� � � ���23
, 0, 1;1
aa x
x≠ ≠ −
−�����
3, , ;
2x y x y≠ ≠ −��� ( )( )
2;
a
a b a b− +����� ( )( )
2 22.
a ab b
a b a b
+ −− +
��� 2
3; 3 ; ;
a xa x a x
a
+ ≠ ≠ ����( )2 1
, 1;1
xx
x
+≠ −
−� ���
1, ;a b
ab≠ �����
1, 0, .
3 1 3
xx x
x≠ ≠
+
��� ��� 2
;y
x����� 2 4
;4
b
a c� �����
3
3
6.
y
x� ���
15;
16� �����
12 .
9� � ���
2 3 2 2
1;
a b x y� �
�����1 2 2 3
1;
5 x c b� � �
����� � � �1
1.
xy
y x xy y x�
�
��
�I��(! 8��*(��7�!"7 ��7�%������,�(&����(�8(& 8 �
� ��� 1 2 212 ;x y� ����� 6 ;a b� ����� � � 123 1 .a�
� � ��� 135 10 ;�
� ����� 36 10 ;�
� � ����� 1053 10 .�
�
��� ��� 7 ;x ������" � ��� ( )33 , 2 8;a − = − ����� ( )22 , 2 4.a − = � ����������������" �
��� 1;x − ��*�� 4 3 25 9 7 2.x x x x− + − + � ��� 2 22 ;A AB B− + ����� 2 2.A B− � 2 4 1.x x− − +
� ��� 24 , 0, 0, 0;x y x y z≠ ≠ ≠ �����4
, 0, 0.5
xy x y− ≠ ≠ 23 4 2.x x+ − ��" �� ��� ( )2 24 3 2 1 ;x y y y⋅ − +
��� 22 5 3;x x− +
��� ( )( )3 2 3 2 3 ;xy xy− + ����� ( )22 1 .ax − �� ��� ( )( )( )2 2 3 ;x x x− + + ����� ( )22 2 1 ;a x− − ����� ( )( )22 2 2 4 .x x x− + +
�� ���202�C����"!�)/�2"$"2����""�������202�C��"3�� �)/�2�C �� ��"
�� ���4
, 4;x
xy
− ≠ ����� ( )22 4
, 2.2 2
x xx
x x
− − ≠ −−
��1
, 0.4
a
a
≠ �� , 1.a x ≠ −
�� ���8
4, 0, 0, 0;
aa b c
c≠ ≠ ≠ �����
4 7
5, 0, 0, 0.
b ca b c
a≠ ≠ ≠ � , 0, 0, .
aba b a b
b a≠ ≠ ≠ −
−�
1.
1
n
n
a
a
−+
( ) ( )( )2 22 2 2 4 .x x x x− + + +
���
����� ������� � � ������� � �����
8645g.�� � 308620cm. � 6,584m. 280540,05m . 55d 20 h 22 min 42 s.
� ��8$�7����� �(�����(��������&�#�%�� � 234 t 576 kg 8 hg 2dkg.
� �(������(��������8 %$����������&�#�%�� � ��8$�7����� �(�����(��������8 %$��
�� ���*7�����8$�7�������� �( � 10 21, 49 10 hm .⋅ � ���������%��( 6 t 835 kg.
�� 3 3 3240 m 378dm 600cm ; ����108 t 416kg 8 hg; ����� 3h 1 da 6 ;� � � ������ 2 2 27 m 76dm 15cm ;
������ �(������(����8 %$�� � ������ �����%��(��������� �����%��(
�� �����������������" � ����������7������7������7� � ���8 : 3; ���� 52 : 29; ���� 65 : 52; ����8; ����1:15.
���1: 2; ����1: 0,02; ����1: 0, 28; ����1: 0,0002; ����1:11520. � ��� 14;x = ���� 9.y = 16 :15.
� ���������7�����������7�����7� ���7�����7������� � ��� 35;x = ���� 3;a = ����225
;280
x = �0�� 3.p =
�� ��� : : , : : , : : , : : , : : , : : , : : .x p y q y x q p y q x p p x q y p q x y q y p x q p y x= = = = = = =
�� ��� 3;x = ���� 3.x = � 4, 12, 12.x y z= = = ��� : : : 12 :18 :15 :11;x y z d =
��� : : : 7 : 9 :14 :15.x y z d = �� ��� ��� ��� � G���(�7��(�� 1 1 1
2 2 2
,a b c
ka b c
= = = ���(���(
1 2 1 2, ,a ka b kb= = 1 2 .c kc= �����& � �&�$8(!�78(�8������(�8���!"�!"(�4�!"�!"("≠"3������ �8�'��� 8 �����(�� ��78(�
( )1 1 1 2 2 2 ,a x b y c z k a x b y c z+ + = + + ���7�#$� 1 1 1
2 2 2
.a x b y c z
ka x b y c z
+ + =+ +
�2�� � 1
2
,a
ka
= �8��B#����� ��78(� 8�' #�� �% %
� � ��� � �� ��� �����������7�%(�%(��(��7�&(� 8��(����7�(�����(��7�&(� 8��(�!����7�(
�� ���8 � ����$%(���( � ����� ��"#�������"" ��� �(
�����$%(���(�����$%(���(
���� �(����� �(
24x = �� �(: 40 15 : 25x = �
5�������(�"7 ��&�8�(&��(
20 24 44+ = � �(
�������%��� � ����� ����� �( ���� �( �����8��� � 2�&���� �(*�
���*7�����8$�7���
����$%(���( ������� �(����$%(���( ������ �(
: 45 20 :15x = ��� 60x = � �(
1 1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2 2
.a b c a x b y c z a
a b c a x b y c z a
+ += = ⇒ =+ +
�� ��� ���"��
� ��������%�� � �������%�� � ���� ���� �����%��(��(������#"�8�''
�� ��#8K� � ����� ���#8K�� ��,�)��3��� ���� ���
���
��� ��������%�� ���������#"��������� ��������8 � ����������&"#���������#"#�����L" � 2(����L
�������%�� ��L � �����������%��������������%�� � ����L#��������L"
��
��� ������#"������ ���������� ������������#"�����" � ������������%������1,75‰ ; ������#"
� 2,5‰ . �������%�� ���������%��
��� ���������%�� � �������%�� � ��������%�� �L ���� �(
�
� ��L
� ���������%�� �������������%�� ��������%����������������%��
��� ������������#������ ���������#�������������#������ ����������� � �������� ������������������������� ����������������
� ���������%�� ����������%����������������%�� ��������%�� ���������%���������������%��
���������%�� � �������%�� ���������%�� ���������%���������������%�� � ���������%��
���������%�� �����������%�� ����������%�� ����������%���������������%�� ���������%��
���������%�� ����������%�����������������%�� �� ������ ������������������I��(! 8�250 180 200
: : : : .120 200 300
a b c =
��� �������������%���������������%�� � ��� �����%�� 60, 80.x y= = ���#"��������#"�
� ���4� � 160, 100.x y= =
��� 9 : 4 : 3:8; 90kg, 40kg, 30kg 80kg 4 : 9 :8 : 3; 40kg, 90kg, 80kg 30kg.dhe ose dhe
� ����#" �����#" �����#"���������#" � �� ��#" ��#" ���#" ���#"���������#"��.�����#" ���#" ���#"������#"
�������������#" �����#" �����#"����������#""�I��(! 8�6(&�����,�(%���!"7��� 8�8������! 8 �����(�� ��78(�������������
��7��� �& ��(��&��8�$''����������������.��������������������+" � 70 , 70 , 20 .� � � � ������������� 20 , 180 , 20 , 20 , 20 .� � � � �
� 3200, 480.S P= = � 15200, 12160.S P= = � ����#" ����#" ���#" � ��������%��
� �������%�� �'I � )�& �����(�"7 ��&�8�������� �� � 8 � ����' !$������7�����
�� ������������%��(�������������%��(�� � 8������ �L
��� 8�'� � � ���*7�� � 5 2, 40+ �*7�� �� ��� ��� ��� �� � ���� �(
� ���� �����%�� � ��������%�� �� �� �� �� ��L
���
����������� ����������� ��������� ���
�����������
�� � ���
5
2����
5
3����������������������� � ���� ����� �����������������C������C����(�C����
� ��������������C�������������������������������C������ �������C������ �������C������
���� ���� ���� �����������������������������C�����������������"��C������
�� � ����#" 2Q��������� ����$%(���(�����������- �(��&�%�(��� �%(���(��&���%�&7�''��&
� �����$%(���(���������#�0������&�%�(��� �%(�# '�8������&���%�&7�''��&
�� ���� �(�
� �������0�"� � ���� �� ��#�����3� �
� 2(���"D�����,�&���%$#�#�%(�#$�� 8�48���8(�$�&�!�������������� ���!"7 ��$�
�����C�������1
3x = − "�
��
�
�
�����=�����2�����2�����2� �%(� { }\ 0� �����!��#�������!��" �����C�3��������C���������C��
2(���≠3���C3���(���C3���&�� ' �%$8(�����'����6$#�#��#$�� 8��(���"C����&���"C����"≠ ±"��#��*��(8�%7(
;ab
xa b
=+
��(���"$"���&�� ' �%$8(�����'�(&��(�!"7 ��7���(���"C�3� � ���!"7 ��$�����6$#�#��#$�� 8��(��5"C����&��5"C�3���(�
5"C���(&��(� ���!"7 ��$� ��(��5"≠��������"≠ ±���#��*��(8�%7(�!"7 ��7�� ( )214 1
2x n n
n= − − "����$ %���≠���&)-�-��/0����#��(�
�"C���&�� ' ��"≠���(&��(�!"7 ��7� �����C�M�������C�3�
�� �
� �
����"C�3�����;���!"7 ��$������"C�3������3
2x = ���2(��*"≠����#��!"7 ��7���(�*��8���"C��* ��(�
�*"C���&�� ' �%$8(�����'����2(���"C��� ���!"7 ��$���(���"≠���� ������7
3x
a=
−&������$����������≠3� ���& �@(
� �������"C�� �����(���(�����! 8 �%$#�#��#$�� 8�-8�� ��(���"C��������"≠ 3���*��(8�%7(�!"7 ��7�����2(���"C����&�� ' �%$8(�
���'��"≠ ±���(&��(�!"7 ��7� ��(���"≠���� ���!"7 ��$�����2(���"C�±"������! 8 �%$#�#��#$�� 8 �%�(�&���(���"≠ ±"��#��!"7 ��7���"C��
������� �� ��L
� �2
3a = !"��=���
� � �����N�3 ���:OP�"����3
, .11
⎛ ⎤−∞ −⎜ ⎥⎝ ⎦� ���
1, .
2⎛ ⎞+∞⎜ ⎟⎝ ⎠
����5
, .4
⎛ ⎤−∞ −⎜ ⎥⎝ ⎦� ���6$#�#��#$�� 8
��� [ )0, .+∞
���
���3
3, .2
x⎛ ⎞∈ −⎜ ⎟⎝ ⎠
���� ( ]2,10 . � � ���[ ]2, 8 ;− ���� ( )1, 7 ;− ���� ( )0, 3 ; ����38
, 5 .7
⎡ ⎞− − ⎟⎢⎣ ⎠
� ���
9;
13x = ���� 1;x = − ���� 4.x = − � ��*7������*7�� � ����#8� � ��� ����� �����
� 2(���"$",��%$#�#��!"7 ��7���(��2
, .ab
a b xa b
≠ − = −+
� ���3
, ;2
⎛ ⎞+∞⎜ ⎟⎝ ⎠���� ( ),39 .−∞ ��� ( ) ( ), 4 1, ;−∞ − − +∞ ���� ( )2,1− �
� ��� ( ),7 ;−∞ �����4
, .19
⎛ ⎞+∞⎜ ⎟⎝ ⎠
�� ����5(%����7�(�������# 180 , , 2 180 .α β γ α β γ γ+ + = ° + = = ° � 23 , 46 .β γ= ° = °
� ���5(%����7�(����5(%�"7��( ��������� !���� ,ABCΔ �#(%����(�7�&��8� ��(��&��8�$'' �%(�(���
�(�� @�����7�(!(%�� ��&��$�@(������*(���&���,�#(%����(�� �$��� �8���(�� '���(&��(�%���(�#(%� � �7�&��(8 �7�%(��(���������(�8�
%7(� �α�����8���7��� �β
45 .° �������#�� !�������#(%�(&��#(%����7�(� ,ABCΔ 8��#(%���(����7�(�%(�#$'8 %�F �����&�(%��8��������7�%���& 8����'�*�
�(�#(%��*���(�%"$&����α�����β�2�&��7�*(���&��α M β C���°����� 90α β+ = ° ����&��#(%� � �#(�#$���δ�(&��(�#(%�� �7�&��(8��(�
.ABSΔ �6(��$%� �&���,�(!�����,�(%��������#��� 45 .2 2
α βδ = + = °
� E(7�* !�� 8 % , , .AC LM A L C M= = =� � � � � E(7�* !�� 8 %�J�����&��%7(%�E5E
-,����#(%�(&�������#���(&�7�%(��(��$�� �&�(8�%(&��#���$�����#(%� ����%(�8�7(&�%(�%7(� %����#(%�(&��7�%(��(�#��(& &��
�(���������(�8��#���$%�����#(%� %������#(%�(&� ���7��(�
� ���0��%� �8(%���&��%7(&�5E5 ���6"� 1 2 ,dhe S T= =� � � � & ��&����,�(&����� ���7����&�� ,SAB TBA=� � ���
�����&��%7��5E5�����0��EEE �� ���-,����#(%�(&���#(%����7�(�7�%(��(��$�� �&�(8�%(&��%7(���#����������#(%� � �%"$&��(
@(�&��� ����%(��(����%7(� ����#(%�(&��7�%(��(�#��(& &����(���������(�8��%7(�(%�#����������#(%� %���%"$&��(�@(�&��� ����%(��(
������#(%�(&� ��7��(�����-,����#(%�(&���#(%����7�(�7�%(��(��$�� �&�(8�%(&��� ����%$!������%7(� �#(%�� �%"$&��(����%7(�
���#(%�(&��7�%(��(�#��(& &����(���������(�8��� ����%$!(%�����%7(� %�#(%���(�%"$&��(�������#(%�(&� ��7��(�
�� 0��%� �8(%���&��%7(&�EEE�4E(7�* !�� 8 %� �� �������� � !���� ���#(%�(&�� �(� B���(��&�(8� ABCΔ ��� �(�� @�
������ ��������� ���������������� �
���7�(!(% �����'�'��8���� %7(%��� ���� '�� �������� %7(��$=������� �%(�� #�������������&��7�&�@,���� .ABC dhe PQCΔ Δ
��
�
��(���(�#���$�(&��(�8(� �8����&����!� � ������������" � 2cm 8cm.c< < ��������#�6"���7��&�
ACE CAE>� � �#�8 � ,AE CE ndërsa nga EDB DBE> >� �� �
#�8 � , , .EB ED prandaj AE EB CE ED dhe pre saj AB CD> + > + >� � �
� ����������) ��&�&�(% 8�*��%(�* !�� 8�#�8 �
( ), , 2 ,m b p m a q prandaj m a b p q< + < + < + + + .2
a b cpra m
+ +<
�
� ���
*�
�
� 0(� �8����(&��( ,A� �%�(�&��8(� �*�"(' .B� � =� �2�& �@(��� %7�����(���''�(����%$#�(&��(�8(���8����
� 0(���8�����(&��(�#�������(���''(�#(%� ����° E� %7��8(���"7��(�(&��(��� �%�(�&��8(���&�#$��(�(&��(���
6(&�����°�#��#(%� � �7�&��(8��������%(�8�7(& ���(���(���!��(&��(�8(���8�����&��#���$�������%(���!(&
�
�� ����������5(%���� ADC dhe BDC �8$%���(�7�%(������(���������( ��&���(����7�( ����%��7����(&��(�%��8�'��%(����%(���(
��&�����(&��(�8(���*�"('�4& �'���(& ��&����������������(�%��,&�(8�#$�%7(� ����7��,���(&��(� �"7��(�%(���(���&���� %7���� ABC��� '��&��� �����(���''�#(� 7�#(%� ��(�"7��(�(&��(�8(���8�����&��&�"8�%� ��� �� 34,5dm.
�� ���8��������#� ( )124.
2AB BC AB CA+ + + = �� ���������G�������������7�(!������� %7(%�����(����#(%�(&� �
ABCΔ %(�� #(%���4* !�� 8 ��6"� ABCΔ #�8 � ,DB CD CB< + �"7�"7(& &��
( ). 1DM MB CD CB+ < + ����� AMDΔ �#�8 �� ( ). 2MA DM DA< + �0�
8�'���7�%�����'�� �%�*��!������!���� ������ ,MA MB CA CB+ < + �#$
.CD DA CA+ =
� �������6"�� , , ,AB AM MB BC BM MC CA CM MA< + < + < + ���&�8�'���7�& �� ��78(
( )2 ,AB BC CA MA MB MC+ + < ⋅ + + "7�"7(& &������2(�����&���,�(!�����,�(%
����������
� 38 52 .dhe° °�� ��� 5cm;R = � �� 5cm.ct = � >�%���� �� ����� �� �(� 7�&��(&�#�$��� (&��(� %(� 8�& %
��� ����%$!(&�4?����8����?�'�& �� � 6 .° .ah
���G���(�7��(�������7����'���(& *�
0��&��%7�����* !�� 8 ��
� ’ 68 , 40 , ’ 72 .BHC SHA AHB= ° = ° = °� � �
���G���(�7��(�������7����& 8����'�*���(�#(%� �
4* !�� 8 ��<�(���(�
� 126 , 124 , 110 .ASB BSC CSA= ° = ° = °� � �
�
�
��
�
��
� ���
���
��
�
� �
�
�
��
� �������6"��&��%7�����* !�� 8 ������(&��(�@�%����������� �
�(�7�&��(&�#�$�� ����%��7 1 1 1.ct CC AC BC= = =
� 6(����#(%�(&� %������� %7(&
.���@�%��������@�%����������� ���(�7�&��(&�#�$��
� ���1�'���(& &( ;ch ���� .cHO h= ��
( )2 2 56, 36 2 56.AC AB CD CD+ + = + =
�� �������G���(�7��(�6�����7����'���(& *���(� ABCΔ �4* !�� 8 ��<�(���(�
10cm.CD = �������#1
2 36; 28,2
AC AB AC AB CD+ = = + =
CVA CVB′ ′Δ ≅ Δ 4& ����#(%�(&���#(%����7�(�8��� ����%$!(��(��(���&�#(���6"���
#(%����(�����������%(��( � ,A CV B CV′ ′=� � ���& �@(��6�(&��(������& 8����'7�
��#(%� �����%(�8�7(&��� ����%��7� ’ ’.CA CB= �<�(���(� ’ ’,AB BA= �� ,ABB BAA′ ′Δ ≅ Δ���7�#$� ’ ’ .a bh AA BB h= = =
� �
�
1C
ct
� �
�
6 A′B′
�� ������#�E(7��* !�� 8 %�4�&��&���,�(!��* !�� 8 %�����(%(��0�
&��%7�����* !�� 8 ��� o oMCA MCBΔ ≅ Δ �4& ����#(%�(&���#(%����7�(
8��� ����%$!(� �(��(���&�#(������#(%��� �(���������(� �(�� ����3
%$!(&� ����%��7� .o oMA MB= �6(�8(%,�(��%�'�"�� .o oMA MC=
� � ��������?(�� @��%��8�'�%�%(���%(�� #(%�������%(�%��8�'�%�!"7������ #(%�� ��&��$�@(� 2cm.OM =
���=� �&��&�� 180 .α β+ > ° ����=� �&��&� .a b c> + "���2� �%(&� 45 .α < ° �=� �%(&�� 45 .α ≥ °
�
�
�
�
�
�
�
�
�������������5�%&��$#���#(%���(����7�(�7�8"48��#$'8�%(�� #(%��������%(�#���$%��8�������&�"8�%� %� cmbCA 5,3== �6"�
� #��� �& �@�%�(� �7�&��(&�#�$�7������ %�8�����!��%C� ��8�2���7��������� ���8��#���$%��7�(&��(�� #���
� ���� '��(&��(�8�& �
�� %7(&����� BACA 11 = �?��#(%�(&� � �#�%&��$#�$������� ��'��(&�%�#$&����������,�(&����2(��%� ≤ "� ����,���%$#�#��!"7 ��7�
������������������#"J"7��������7�(!(%�������� #(%���%(��(�2�&��7 �'(&���%��8�'�%�%(���%(�(����������������%(�%��8�'�% ��$#�
� ''$���%"�����&��$�����(�� ��&��� #(%�� ��&��$�@(� ahAA = �0��@�%�(��%(�� �7�&��(&�#�$�7�%(�� '' 8������ %�8�����!��� ��
��&��7�8�����!��������7������,���8�����7�(!(%���4%(&���#! &��7%(������ �7�� %�#$'8����������������#(%�(&� �� ABCΔ �-��,���#�
!"7 ��7��%(&����"≥"�������""Q"�
"4�&����"9"�
����"�"≥""�
�������������J"7��������7�(!(%�������%(��(�&�"8�%� %��� �8�
aBC = ���#���� #(%���8�&8������(�&�"8�%� ���� �'(&���%��8�'�%�%(��"4%(�� #(%���B���(��&�8���(��������#�%&��$#��
���7�(!(%� �����'�'��8��� �%(�'��"(& ���%"���#"2�&��7 �7�&��(&�#�$�7������ %�8��@�%�(��%(�� #(%��
���������!��%
�����7��������� �
8�����7�(!(%� �4%(&���#! &��%����7���#$'8 %����(� ABCΔ -��,���#��!"7 ��7��#$��%� ≥ "�
�
��
���
�� 12m.AC = � ��� 1 1 140 , 110 , 100 , 50 , 80 ;β δ α γ δ= ° = ° = ° = ° = ° ���� 148 , 14 .α β= ° = °
� 30 .x = ° ���������)���":�%)�'" 2° �� , 3 20 2 10 .C A prandaj x x= − ° = + °� �
62 30’, 117 30’.α β= ° = ° 6� �8(�2��7�*�� &��� �87����%��(�&����&��#(%����@(�&��� ��%�%(��� %7(% ��(��&��8�$''
.dheα β �9+(���(� 55 ,β α= + ° ����%��7�%(���!(��(�*�� &�� 3 : 2 55 180 .α° + ° = ° �.&�� 2 125 .α = ° ���6$#�(&��(�����8�&��&�8��2(��&��8�$'' ���'�� � �#���,���'(��� %7(��(���������� �����%$#�(&��(�����'�'�"��8 ���6$#
(&��(�%(�&��%7(%�;;;�#(�#������� %7(���������������(�7�%(��(�R�(���''�(S � 9cm,DM = ( )5 cm 14cm 9cm , 4 cm.M NMC = = − =
� ������#�4@(��(��,�7�%(�#(%����7�( �8��� ����%$!���(��������������
�#(%���(�%"$&��(��(���������(��E(7��* !�� 8 %
�������E(7��* !�� 8 %�*(���&�� OAB OCDΔ ≅ Δ �4& ��&�5E5� ����%��7� ;OB OD= ���&��7 �!����� %� � %�;��(������3
'�'�"��8 � :�8���� %7(����� 7�7�%(�* 7���(�8�&8���(����#(%�(&��*������������%���������&���������7�%(�&�"7,&8������ �"�%�'�*���(����7�#(%�(&� ������ ( ).AC BD=
������� AMDΔ �4& ����� BNCΔ ��(&��(�����#���(&
��&��7�� ����%$!��� AX dhe BY �7�%(��(���������(� .AX BY= �������������07����%��(�*(�����78(�&�� C� �(&��(� ����7�(
6"� ABX BCY≅� � 4& ��&�EEE��#�8 � ,ABC C=� � ���(��&�#�#��(� 180 ,ABC C+ = °� � ���7����&��� 90 .C = °�
�� ������#"E(7�* !�� 8 %�6(�����'�'�"��8 %����� �� �"�%�'7�����'���(�7��(�& 8����'7���� .BAD� �<�(���(� ,ACB CAB=� �
����%��7� ACBΔ �(&��(�����#���(& � .AB BC= �6(�8(%,�(��%�'�"� � ACDΔ �(&��(�����#���(& ����%��7 .AD DC=
�� ���������A&��(���(%(������! �����"����#���(&�8��#���� AD BC= 4* !�� 8 ��?(
�� ������"2�& �@(���(&��(�8�& � ������������MN AB� 4* !�� 8 � ���7����&� ��(�
� ,ACDΔ � #����(&��(�8�& � ���#�6(�8(%,�(��%�'�"��������(��;� =� �&��&��%(&������(�# &����#�'$���%(�(������7�% �� �"�%�'������ ���# &�������(��(�"7,&3
8���&� %�4& ��&����,�(&���� ����%��7�� �#��(�#(%�(&��%$#�����(� &���������! ���������'�'�"��8
� � ������#"� !��� ABCΔ 48���� %7(��(���(%(� 4cm, 3cm 6cmAB BC dhe AC= = = ��2�&��7
��#���#$'8 %���#��(����(�����'�'�"��8 �
%(�'��"(& ���C���8�%"��� ��(�� @�����7�(!(%� �����'�'��8����2�&��7�������%"�
��&�"8�%� %� 5cmAC = ��&��$�@(� ,C q∈ �"7�7��8�& %����(�&�"8�%� ��������
��#���� #��� B p dhe D q∈ ∈ ��&��$�@(�1
( 2cm).2
SB SD BD= = =
��������6(����7�(!(%�� �!"7����� #���������� ��&��$�@(� ,AB a= �'(&��
*(���������� ( ).dheα β γ δ= = �0��&�"8�%� %�� ��(��(���@$������'�' &���8���� �(&��(�� �$��
#��(�#(%�(&� �� ���� �(&��(�����'�'�"��8 ����%��7� .AD EC= � ��&�AD BC= �& ��&�#$&�� �
���%��7� ,EC BC nga rrjedh se EBC= � � �(&��(�����#���(& ����%��7�#(%����%(���!(�7�%(��(���������(
1 .α β= �2�&��7 �%"�� ( )2 2 2 2 180dheα α β β α δ β γ= = = + = + = ° ���7����&�� .δ γ=
�� ������< ABX BCYΔ ≅ Δ 4���#(%�(&���#(%����7�(� ,AB BC BAX CBY= =� � − #(%���8��#���(���� ���# &���%��8�'��
α 1α
2α
β
δ
� �
��γ
�
�
�
��
;�
� � �
��
�ah
� ������#�6(����7�(!(%���!"7����� #(%�� �'(&���%��8�'�%�5�%(��
%��8�'�%�5�%(���%(�(����������#���� #(%� C n∈ ��&��$�@(� .AC d= �-��,���#��!"7 ��7��%(&���"≤��
���
���� !�����,����7�(!��������@��(�� '����� ��%�%(%�#(%� % 50ϕ = ° �%(�� #(%�����&��7 ���#��� ,A B p∈ �� #��� , ,C D q∈
�&��$�@(�1
2AO OB d= = ���� 1
.2
CO OD d= = ����� !����#(%� %�����(%(�����&�(%�7��8��7�8�%(�#���$%��8������
� ������#G���(�7��(��������8� � �#(�#$���4* !�� 8 ��- �"�%�'�����
&�"8�%� %� 5 cmAC d= = �������#���8�& %���%(����2�&��7 �7�&��(&�#�$�7������� %�8��@�%�(�����������!��OA− �7�������
����(�#���$%��7������%(�� #(���4�(���&��� �%�(�&������7����&�7�8�����7�(!(%����������7���#$'8 %���#��(����
�������7�%(���� ���# &���%��8�'��4�����(�"7,&8���%�8������7�%���
���%��7� ABC� (&��(�#(%����7�(�� �8$%���(�#�%&��$#������8���'�8�%���
����(%���������7�� 7��������8� � �
� �
�1
2
d
�
� ��������� !���� ,XAY α=� �#�%&��$#������7�(!�q AX� �%(�'��"(& ��
�������)�@,����* !�� 8 %�6(����7�(!(%���(&��(�!"7���$��&�"8�%�
%"���7�4* !�� 8 ��2���7���� �8���8�(&��(�#$'8 ���5$'8�������������#����%
���7��(����7�(
AB a= � ���� 7�%(� #�%&��$#�$��� .BAX ABYα= =� � 2�&��7 � %(��� (&��(
!"7���$��� #����&��$�@(� AE b= �����%(�(��1�(&��(��(���@$�����7�(!������3
'�'��8���7�����7��8���8�(&��(�#$'8 ���5$'8 ���(&��(�� �$���& �����7���
���7�(!(&� "8�����7�(!(%�@(����(���@$��%(�(��������'�'��8����
� ��������?(�&$��!�78(�&�������! ������%(�* !�� 8�(&��(�!"7 ��7���
����,�(&�(&����!(%������!"7�& 8�%(�(��� #(%����(�� ,BE b= ��(���(�����(
� ��78(�����'�'�"��8�� �&����%��7� 2.EC d= ) ��&�&�7 �� "$���%� �8(&�
�(��#�%&��$#� 8 %��������! �������&��(����#(%�(&� ����8���� %7(
1 2, .AE a b AC d dhe CE d= + = = �) �����(��(���#��&��#$'8�����������
�� �������6(����7�(!(%�� �!"7����� #����������!"�&��$�@(� 1.AC d=
2�&��7�#�%&��$#������7�(!�� ������ �����'�'��8��������%(�'��"(& �22d
�%"���7�
5$'8����∈ ������∈������ ���#��&���&��$�@(� ADaAB ==
�
8
�
� 7
��
α
α� �
��
7 8
��α
� �
��
� �
�
1d 2d 2d
�
�
2
2
d
�
�
�
�
�
���
������ ������� � �
� �������� 4;− �����#����� �#�����" � ����������" � ��� 1 0,x − ≥ �0�0 ����+� 1x ≥ �.��� [ )1, ;x∈ +∞ ���� [ )5, ;x∈ − +∞
��� [ )3, ;x∈ ∞ ���� ;x∈� ���� .x∈� ������" ��� 1;− ���� 1;− ���� ( )4 444 3 | 3| 3;− = − = ���� ( )13 5 2 20.− − + =�
�� ��� 9 33 92 2 8;= = ���� 6 38 ;a ���� 9 6 38 ;a b ���� 12 6 927 .a b � ��� 4 123 9a a= ����� 6 125 10 ;a a=
��� 6 44x ����� 6 5 ;ab ���� 12 8 416a b ���� 12 6 327 .a b � ��� 66 2 33 , 2 ����� 6 6; ���� 24 244 2 6,a b a ���� 24 3 6 ;a b
���� 244 4 8 1824 2 ,x y x ���� 3 1524 3 .y ���2 8 4
12 126 2 4,a a b
b c c����
612
3 3 .a
b c ��� 22 4;= ���� 4 464 8;= ���� 2; �0��0,1.
��� ;x ���� 3 2 ;x ���� ;x ���� 3 2 .x� � ��� 4 2 ;a b ���� 4 42 2 2 2 225 5 5 ;a b a b ab= = ����9 ;xy ���� 4 3 .a b
��� ( )23 | 3 | 3;− = − = ����5; ���� 4;− ����3 2;− ���� | 2 5 | 5 2.− = −
���� 4 11 44;⋅ = ���� ( )2 3 4 24;⋅ − ⋅ = − ������"� ( )( )85 84 85 84 1 169 13;− + = ⋅ = ���� 5 5
19 243 37 .
32 32 2= =�
� ��� 2;xy ���� 2 33 ;x y ����3
2
2.
x
y
− � ��� 2108 36 3 6 3 6 3;= ⋅ = ⋅ = ���� 233 2 ;xy x y ���2
2
23 .
abab
c
��� 23 2 3 2 18;= ⋅ = ���� 48
;27
���� ;a ���� 36 .x y ��� 2 22 3 2 3 12, 3 2 3 2 18,= ⋅ = = ⋅ = ����%��7
2 3 3 2;< ���� 335 5 7 2,< ��������� 3 3625 686;< ���� 3 33 2 2 3.> � ���4
3;3
���� 33 2; ���� 2 ;ab b ���� 2 3 ;ab
� ��� ( )3 33 22 32 229 3 3 3 27;
⋅= = = = ����
1;
2�����������������
1.
4� ���
1 3 9 1;
2 2 4 4+ − = − ����� ���
53 ;a ����
76 ;b �����
� ��� 4 ;x ���� 32 6;a ����3 23
.b
a�� ���
34 ;a ���� ( )
12 3 42 ;a b ����
2 13 2 ;b a ����
22 3 .a a+
�� 5(%����7�(����� ����� ����� � 060 .α β γ= = = � �� 1 1 ,ABS A B SΔ ≅ Δ �& ��&�&��%7(&����
1 1AB A B= ����� 1.A A=� � �2�&��7�*(���&�� A� ����� 1A� �7�%(��(�"7�"7(&�4�����(���������(��8�����%&*��&�'�%
����%(����7�(!�����������
����%"��#$�����(��(��$%��&��&� 1 1.AB A B� .CA BC AB< <
��������6"�� a b c< + ���7����&�� ,a a a b c+ < + + ���%��7� ( )1.
2a a b c< + + � ��� 4,5 cm.R = ���� 1 4,5 cm.CC =
>�%����������� ���(�7�&��(&�#�$���(&��(�%(�8�&��(�� ����%$!(&�4�����8����?�'�& �� � >(��(�#��(�
������#") ��&�&��%7�*��%(�* !�� 8 � 1 1ABA BABΔ ≅ Δ �! 1 1,AB BA= �������(���&�#(�
��
�
����;CAB CBA=� � �& ��&�&��%7(&�E5E� ����%��7� 11 BBAA = �
�� ���� ����� ������ ������ �� �������CD AB MN= = ��� ,CD AB MN� � ���%��7�!����
%� � %��,��(������'�'�"��8
���
���1 1 7 2 1 3
2 2 2 3 14;2 7 14 14 7
++ = = ⋅ = �2�� 2 2;a a − �0�� 21.a b
b−
�� ����.#������.#����� 3 3 3
1 1 1; ; .xy xy xy
y x xy⋅ � ��� 2; ��������� 3 32 2 3;− ���� 3; ����
17 102 3.
3 3+
��� 3 ;a ����� ( )2 32 .a b ab− ⋅� ��� 4 ;a a ���� 37 5 .x y−
�� �����#������#�������" � ��� 5;a ������#���������" � ��� 6 5 ;a ���� 2126 ;xy x y ���� 122 2 .x x
����#������#�����3
.5
��� 6 2; ���� 15 16; ���� 10. � ��� 5; ���� 3 3; ����� � ��� 6 51;a
a���� 6 8 ;a
��� 5 33 .a a ���18 2 42;+ ������ � ��� 82 6 5 ;ab a b ����8
;27
���� 3 9 ;x x ���� 4 6 ;a b ���� 2 ;a b �2��5 2 6.+
�� ��� 8 27; ���� 4 ;a ���� 8 5 ;a ��� 5 5121;x y
y���� 18 13 .a
�� ���
45;
3���� 2; ����3 11; ���� 32 4. � ��� 2 ;b ����5 ;a a ���� 3 2 ;x ���� 42 .x � ��� 31
12;2
��� 43 2; ���� 4 ;a ���� 5 2 .b ��� 1 ;b− ���� ( ) ;a b a b− + ���� ( )23 .a b− ��� 2 2;+ ���� ( )2 3 3 ;−
��� ( )12 3 2 ;
2− ���� 7 4 3;− ����5 2 6;+ �2�� ;xy �0��
( )( )2
2
2 3 52 2 3 53 5.
3 5 3 5 3 5 3 5
−+= ⋅ = = +− − + −
�� ��� 2 0, 2x x+ ≥ ≥ − �.��� [ )2, ;x ∈ − ∞ ���� [ )2, ,x ∈ − ∞ ���& �@( 2 1x + �(&��(����(���#�$����(��B��� ;x ∈�
c) 3 0x − ≥ dhe [ ]5 0, 3,5 ;x x− ≥ ∈ d) 1 0x − ≥ dhe [ )2 0, 1, ;x x+ ≠ ∈ ∞ e) 2 0x + ≥ dhe 3 0,x − ≠
[ ) ( )1, 3, .x ∈ ∞ ∞ � ��#���" � ����#������#����1
2;2
⋅ �����#����2�#�0�� 32;− ������;)�����7�� ���� �%�'��(&��(�*��(8�%(%���
��� 3 15; ����10 3. ���1; ����14. ���4
;ab
b a−����� �
��"� ���� ��"� ��" ��� 4;− ���� | 3 | 3.− = ��� 12 124 32 , 2 ; ���� 6 4 2 4 36, .a b x y�
��� 32 22 ;ab a ���� 4 2 .x xy� ��� 12 5 ;a ���� 12 11 .a ���8 2; ����46 ;y x y ���� 4 .b�
�����#����� 2 25 5 .xy x y−�� a) ( )2 4 3 ;+ b) ( )( ).x y x y+ +�� �� ��#���"
���
���������� ���������������� �����������
�����������������
�� ���������'�#�����������'�" � �������8�#���������'�#������� ���8�#�����������8�" � ���-���(�!8�������
�����(���-���(�!*�"('����������( � �� ��� �"""����( 235cm, 577,5cm .a P≈ ≈ � 6"������;(�,
#�8 ��"C��� ��"C��� ����%��7�����C���"⋅ ��"C����� ��"C���-8�����"C��8 ��"C���8�����"C���8 ��"C��8
� ��� 2, 4 0, 7 1,68;S = ⋅ = ���� 36 3 62,35.S = ≈
� 0 0 0 0180 , 2 180 120 46 , 29 37 ; tgb aα α δ α α α′ ′+ + = = − = = ≈ 14,3 0,5685, 8,13cm; 116,26.b S a b⋅ ≈ = ⋅ ≈
�2172, 2dm .S ≈� � 248cm . � 212cm .S = � ���������6(�����'�'�"��8 %������4* !�� 8 ��
AB DM⊥ ����� ,AD DN⊥ �#7������(�����(� 060DABα = =� 4& �#(%���8�
�
� �
�
�
��
��
�
�
��
α
α
�#���(���� ���# &���%��8�'���6"�� 0 3sin 60
2= �����
3sin ah
b bα = = �#�8
3 3,
2b= ��8���
6,
3b = ����%��7� 26
2 3 12; 12cm .3
bS b h S= ⋅ = ⋅ = =
�����8�� 10dm, 2,4dm.S h= = �������#"6"�� 1 2
1
2S d d= �� ��78(� 2 3dm,d = �%�(�&��%"��
2 22 1 2
2 2
d da
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
#�8 ��"C�� ��8�a
Sh = � ≈ ��� ���8��� 10,5dm.h ≈ �
2
tg ; tg 7214.2 2
a ah Sα α= = ≈ G���(�7�%(������
��"7��(& �(����� %7(*���(����7�#(%�(&� �������4* !�� 8 ��<�(���(��"⋅ �"�C����2�& �@(
�
�
� �
�
�
��
�
�
ABC QPCΔ Δ��4�&����#�8 � ( ): : ,AB h QP h x= − "7�"7(& &��� ( )3 10 ,x y⋅ − =
%�(�&��!"7 ��7����& &��8 ��( )3 10
63
y x
x y
⎧ = −⎪⎨
⋅ =⎪⎩(&��(���&�#(& �� ( ) ( ){ }7,9 , 3, 21 .S =
-8�� �8$%���(����%��&�#�$��%��,����7�#(%�(&�� ��� %7(�����(�� '�*��7�%(���8
������8 �"7�"7(& &������8��������8
2116, 26cm .S ≈ �(���� 0180 ,α α δ+ + =
�� ���� ��"������ �" � �L� � ���10 2. ���� 15,87.≈ ���� 14,7.≈ ����� 20,86.S ≈ � �������� 0180α = −
( ) 039 20 ;β γ ′− + = �&0��1 1
sin sin2 2
S ab acγ β= = �2�+.' �sin
8,23,sin
bc
γβ
= ≈ ��%�&����1
sin 20,86.2
S bc α= ≈
��� 112,5.S = ��� 263cm .≈ ���� 226,2d m .≈ ���� 2305,85cm .≈ � 218cm .S = � ��������G���(�7��(� 4cmah =
��� 6cm.bh = 6"�� 1 1
2 2a bS a h b h= ⋅ = ⋅ ����� 15cma b+ = � ��78(��"C���8 ��"C���8 ��"C����8�
29cm, 6cm, 18cm .a b S= = =
� 2168cm .S =
���������6"�� 2 64a b+ = ���� 11b a− = �� ��78(� 14cma = ��� 25cm.b = �2(�
'���(& %(���#�8 ��
22 2 ;
2a
ah b
⎛ ⎞= − ⎜ ⎟⎝ ⎠
22 2 14
25 ,2ah
⎛ ⎞= − ⎜ ⎟⎝ ⎠���7�%"�� 24cm.ah = �
1 114 24 168.
2 2aS a h= ⋅ = ⋅ ⋅ =
�
� �
�
α αβ β��
#�%&��$#� 8 �4* !�� 8 ����7����&��� #��������� �7�%(�8�&������� %7(*�����������
���%��7�� �(&��(�* 7����8�&8�������#(%�(&� ������?��#(%�(&������� !"�
���!
� ��"����� ��7�%(��(��$�� �&�(8�����#�%(�&,�� %���(�����������2��7�#(�$���7����&�
ABCMCNC SS2
11
=
6"�
���
� 256cm .S = � ���������G���(�7�%(� 10cm, 14cm,b a= = �����'���(�7��(����#(8!����'���(& &(��"4* !�� 8 �
����
�
�
���
?��#(%�(&� ������(&��(�����#���(&�8����!(��� ����%��7� 1 1 .BC CC h= = �2��7
1CC BΔ #�8 �2 2 2 2 2 2
1 1 ; 14 ,CC C B BC h h+ = + = ����� 98 7 2 cm.h = = �2��7
1AC CΔ #�8 �� ( )22 2 22 21 1 110 ; 10 7 2 ,AC CC AC= − = − ��&��� cmAC 21 = �
���%��7� 2 7 2 8 2 cm.AB = + = �1 1
8 2 7 2 56.2 2
S AB h= ⋅ = ⋅ ⋅ =
α
αβ
β� �
�
�
��
�� 26dm .S = ��������G���(�7��( 1CC AB⊥ �4* !�� 8 ��<�(���(� 1BCCα =� ���� 1 .C CAβ = � �2��7�%"����7����&�
1 1 ,BCC C CAΔ Δ� ���%��7� 1 1 1 1: : ;BC CC CC C A= �2
1 1 1 ,CC BC C A= ⋅ ����%��7
'���(& ����� ����%$!(�(&��(�8�& �"7��8��� #� �&�"8�%��*��%(��(�� '���(&��(�%���(
� ����%$!��6(&�� 1 132cm, 18cm,BC C A= = ���(���(�%"�� 2 32 18h = ⋅ ���7����&�
24cm.h = �6"�� 1BCCΔ �#�8 �22 2 2 2
1 24 32 , 40cm;a h BC a= + = + =22 2
1b h C A= + = 2 224 18 , 30 cm .b+ = � 240 30600, 600cm .
2 2
a bS S
⋅ ⋅= = = =
�� ���� � 8,5.≈ �����8��� ���������G���(�7�%(� 27cm, 29cm, 26cm.ab c t= = =
0��*�!�� 8 %���* 7(&�&(��(%� 8 ���(��% �� ����������'�'�"��8
����"�8���� %7(� ,AB c BM b= = ���� 2 ,aAM t=�&��$�@(� 54cm,s = � 2 254 27 25 2, 270cm .ABM ABC ABMS S S= ⋅ ⋅ ⋅ = = �
� �
���
�
� %
6cm, 14,5cm.r R= = � 21320cm ; 15cm; 36,5cm.S r R= = = � 324 3.S = �������3
4
aS
R= �����
3,
2
arS s r= ⋅ =
�2 3
.4
aS =
���%��7�3 2
2 23 3 1; 6 ; 1296; 1296 3.
4 2 4 4
a ar aa Rr a S
R= = = = = ⋅
�� �����8�� � ����8� � �����8����������6(������! %��������(�� @ � DM BC� �����%7��&�
&,�� %(%������#(%�(&� ���(�� �$�������4�� %7(����%���&����������(�����8��%� �8(%������8$'(&�&(
/���% �� 284cm .AMDS = 6"��1
84 142
h= ⋅ �������� ��&��'���(& %(��������! � �84 2
, 12cm.14
h h⋅= =
50, 21, 9.P a b= = = 2206,5cm , 61cm. � 284cm .S = �������6(������! %�������4* !�� 8 � ����7�#$'8 ���
(&��(��(���@$��CM DB� �4��&��� ����%(�*�!�� 8��(�����0�@(�����(&��(
����'�'�"��8 ���7����&�� ,BM DC b= = ����%��7�� ( )1.
2AMC ABCDS a b h P= + ⋅ =
��
��
� �
��
��
���
�
�),�� %(%��� AMCΔ ��������#��&��8�����8$'(%���/���% ���C���8�
� 1 2
28420; 29; 28 .
29S d d= = = 48.S = �������E(7�* !�� 8�
1
2S r P= ⋅ �4�&��� �#$���(&��(���� 8��� � ���'�� � �
�� 890.S ≈ � 37, 27 cm; 108 cmP S≈ ≈ � 23
3.2
S a= ��� 260 3 cm; 300 3 cm .
��� 2120 3 cm; 1200 3 cm . 255,4cm .≈ � ),�� %�����,&��8�&(�(&��(� 2 224,31m 243100cm ,=
%�(�&��&,�� %����%7(��''�#��(&��(� 2373,68cm ;≈ %$8� � ��''�#�*��(&��(���� � ���8�
2 2 0tg 30 20 tg 6 1260.2
S n rα= ⋅ = ⋅ ≈ �
1,
2S P r= ⋅ ����7�&�7�
1240 60 ; 8cm.
2r r= ⋅ =
���
2 2 2 21 1: ctg : ctg : .
4 2 4 2S S na na a a
α α′ ′= =��
�� � ��8� � ��� � ����8� ���8� ��������(����������(� ��������"G���(�7��(� 1 4 .r r=
��� ( )1 12 2 4 4 2 4P r r r Pπ π π= = ⋅ = = ���� ( )22 21 1 4 16 16 .P r r r Pπ π π= = = = � � ���8K&���2 #������(
#�'�7(���$"( 2 80 2 0,7 80 351mP rπ π= ⋅ = ⋅ ⋅ ≈ %(�8 %$�( � 30,5.≈ 51,84 162,78.π ≈
� 212 cm, 36 cm .P Sπ π= = � ���������2�& �@(� 2P rπ= ���� 2 ,S r π= ��$�������"7�78(����!�%����(�@��#$��0��&��%7��
��* !�� 8 � �#�8 � ( )2 2 21 1; ; 18 8 5,
2 2r DE DE AD AE AE= = − = − =
1 1 .AD AD D D= + �6"��*�� ����&�"8�%��*����%"7�%� �'��#�8 � 1 1
19;
2AD AA AB= = =
1 1
14,
2DD DC DC= = = ���%��7� 9 4 13.AD = + = �-8��
2 2 213 5 144, 12,DE DE= − = =
���%��7 6cm.r = �:�7��� 8 &�� � 22 6 12 , 36 .P S rπ π π π= ⋅ = = =��
��
� ��
�� ��
��
��
� 2, 215m.≈� ���������5(%� %�α�������&�%�(���78(�%(�&�#�''(�
00 0 046
50 46 50 50,76 ,60
α ⎛ ⎞′= = + ≈⎜ ⎟⎝ ⎠���%��7�
2,5 50,762, 215.
180
π ⋅ ⋅= ≈� � ��� 9cm.r = ���� 072 .α = � 0133 20 .α ′≈ � �������� 2 ,P rπ=
0
270270 270 3
540 2 , ; ; 200 ; 200 ; 200 ; 400 : 3;180 180 180 2
rr r
π απ α α αππ απ
⋅ ⋅= = = = = = =�
0133 20 ,α ′= 4* !�� 8 � 021 30 .α ′= � �������#� 1200 m, 450 m, ?; 450 ;180
rr
π αα= = = =�
0 01200 20 3 450450 ; 21,5 21 30 .
180 3 20
π α π α απ
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ′= = = = =⋅
2
2303 , 6; 36 cm .
360
rr S
ππ π⋅= = = � 7,543cm;≈�
� α
222,62cm .S ≈ ���������6 &�����&�%.%� ��+ � 0 0360 : 5 72 ,α = = ��%�&��� 7,54cm180
rπ α= =� ����� 27,54 622,62cm .
2 2
rS
⋅ ⋅= = =�
�
�����
�
2t �
�
�
� ( ) 212 2 3 3 cm .S π= − �������2 2 3
360 4
r rS
πα= − �4���#(%�(&� �(&��(������� %7(&��&��� 20, 2 ;P t≈
� � 3,
2 2
tr= ⋅ ����7�#$� ,
3
tr = ���%��7�&,�� %���
����&�#��� ��@��#�������(&��(
2
1 .9
tS
π= ��:�7��� 8 &�� ( )2 2
2 21
3 30,349 0,144 .
9 12 9 12OAB
t tS S S t t
π π⎛ ⎞= − = − = − ≈ −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
�2dm .
4S
π= ���������E(7��* !�� 8 %�)����� ����!�����������4�(������ ���(�7�&��(&�#�$��
�����(����%��&�#�$����8��%� �8(%����� %7(&��
� ��" � ��" � ��" ��� 8cm.r = � 2228cm . � 05 tg 48 40 5,68; 53,96.h P′= ≈ ≈
284cm . � 2101,5mm .≈ �� -���(�#�%(�&,�� %���(���������� �� 7,98.r ≈ ��22,9cm .≈
�(�� 26cm, 7, 2cm .t P= ≈ ��������) ��&�* !�� 8 � �*(���@(�� 0tg 30 ,2
th = ����%��7��
203
; cos 3012 2OAB
t tS r= =
���
���9:���3/2;���!�
�<#& �8� ���
�E���! 8����#$ *�'�%�� ����E���! 8 �3� �!"7 ��&�(83� ���8$%�$� ����3� ������ %$�� ����3�' %��� ����E�&�#(& ����3�%$8��*��%��,��� ���3�%$8��*���(��'��( ���3�%$8��*����� �%�' ���3�%$8��*�� ���� �%�' ���3���%�$� ���
�+$%#& �% �4����3�' %��� ����3��� "�%�8��� #��3�& %$& ���3�#�& %$& ���3���%"7�%& ���3�#���%"7�%& ���+��8$'��4����3���/���% � ����3��(��&�$8(! 8��(�&�#$��$�� ����3��(��*��(& %��� "�% ���+��8��%��8�'����3�8�%�8 � ����3���' %�8 � ����
9�� 8 �3���&�'$� ���3���'�� * ���3������%�$�' ���"��� #$� �3��$%#& �% ��' %��� ����3��$%#& �% ���� "�%�8��� # ����
�- &7$%#& �% ���1#$ *�'�%�� ��
�
;%���*�' ���;8�' #�� �% ��;��%� ��� ����;%� � ��(��3�%"7�&�8(� ���3��$�� �&�8(� ����
�5(%� �4����3�@�%���� ���3���� ��� # ���3� �&��� �( ���3� ����%�&�(8 ���5�%7$#& �% ��5��� � �%� � �3����7�(!(& ����3�8�%�8 � ����3��(��7�&(� 8 � ����5�%&��$#& �% � �3����#(%�(&� � ����3�����'�'�"��8 � ����3������! � ����5��(�#(%�(&� �3�#�����3���%"7�%� �' ����0�& ��� �8�� #�� ���0�%�8 �����6$8� 3�%��,��� ���3��(���7�&��( ���3��(��(��(�( ���3���� �%�' ���3� ���� �%�' ���3���� ���# ���3����' ���3���7���� ���3���� �� # ���3�� ���3�� %�� ���3���� ���# &����(���7�&��( ���6�"�� �% ��
.����� �%���8��3�%$8����%��,��� ���3�%$8�������'��( ���3�%$8������� �%�' ���3�%$8������� 8�' ���3�8�%�8�� ����3���' %�8�� ����3��$@ ����3� %*��& ���3���,�&���'"7��� #� ����.���@�%��� ����
�>��#$���3�@��#$ ����
/��#$�������� ����
�=�����! 8����#$ *�'�%�� ����=�����! 8 �' %��� ����
�27�&(�$�& ���27�&(�$�& �8(� �8���� ��(���&�#(� ���2�� ��� ����2�� 8 ��2(��7�&(� 8 � �3�*�!��$�� ����3� �%T7���( ����2 #�����(%� 8 � ����
������� ���:��"$''������7�&��(������&� � ����:��"$''�����(��(�(������&� � ����
�) �����1����&��% � ���)�#��� �@��#�� ���� ),�� %����3�����'�'�"��8 � ����3����#(%�(&� � ����3�#��(�#(%�(&� � ����) &��8 � �7�����! 8�*� ����
�:�� 7�% ����
��)�$8(� &� �8(� �*�"('� ��(���&�#(� ���)�#�''����3�8�%�8 � ����3���' %�8 � ����
�?��#(%�(&����(�3�%"7�&�(8 ���3��$�� �&�(8 ����?����8� ���
��?�,�&� ���3�!"7�� 8 ���3���7�&�� 8 ���3���� ���#� ���
�I%�!��@��#��� ������'������&�'$�� �����#��� �4(�� ���3��(���������( ���3�#�' %��� ���3��(�#$%�(�� ���3�!����*�#��� ������ ��3�#�8$��� *� ���3��&�� �� *� ���3�� &�� �$� *� ���
�J�(��� 8 � �3�%$8��*� ���3�*�#���(*� ���3���' %�8�*� ����
��
���������
������ �� ���������
����� ���( ����(������������������
������ ��� ����������(��������������������( ����
������ ����������������������(�� ��������������������
����� ������������������������!�
������ ����������������������������
������ �
�����(��(���� ����������(������������������������������������������
������*������ �����!����������������������������������������������������������
���������������������������������������������������������������������
����������������������
�
������ � ����������� ����������� �������������
���������������������
�����������
�������������������������
������ ������������ ��������������������������������������������������������������������
������������ ���������������*�� ��'�������(��������(��)�������������������������������������������������������������������
��
�����������@� �#��#���D������G�#�$�G���$����0� ����$�>J�$��K������$�#�
� ������ ��������4��L������� ����#�&�#�1�����J�"���=�������#�&��������A����A�����&�������
������� ����� ��J�$��K������$�#�
���������� ������ ���������K�2����K���#�$�#�������� � ���������������C ���K�����
��������� ���$����M������
���������� ��������������C���� �A�����
������ �� � �������4��"���K���#��#�0� ���8$�����#�G�����8$�����#�
������8������
���������� ��� �����J�$��K������$�#�
����0�����������8����������K�#��������7���� �#������0�>������
!����"N�����"����#�����#��&�K�#��
#��$��"((''
0��$���������������������8����������K�#��������7���� �#������0�>������������.(���3�������+'*�'�' ������������������#����� ����
���
�� � ���������������������������������
������������������ ������������������� !"������#����$% �&��'�"�����
(��)*(�+�
,-./,-.��-��������&����0� �&���� �1����� ����������������� ����2����#�������������[��& �]��
"������0�,����� ��������� ��������������������3������������,���&������4)�)����+()��0����� ����4(�#
-��� �� 0����#�����������5� ����6������6� ������,���&�����7�8����"��9������
;,<����� �� ��� �� �
���������������#�O���� P@9GCKK0<.C4�+(�,'�)