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1 ．直线与方程 (1) 在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素． (2) 理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式． (3) 能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直．. (4) 掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式 ( 点斜式、两点式及一般式 ) ，了解斜截式与一次函数的关系． (5) 能用解方程组的方法求两直线的交点坐标． (6) 掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离．. 2 ．圆与方程 (1) 掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程． - PowerPoint PPT Presentation
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专题六 解析几何专题六 解析几何
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1．直线与方程
(1)在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素．
(2)理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．
(3)能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直．
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(4)掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式 (点斜式、两点式及一般式 )，了解斜截式与一次函数的关系．
(5)能用解方程组的方法求两直线的交点坐标．
(6)掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离．
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2．圆与方程
(1)掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程．
(2)能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程，判断两圆的位置关系．
(3)能用直线和圆的方程解决一些简单的问题．
(4)初步了解用代数方法处理几何问题的思想．
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1．平面直角坐标系内的两条直线的平行与垂直关系，每年必考，常考常新，一般以选择题或填空题重点考查平行，垂直关系的判断以及平行垂直条件的应用．
2．点到直线的距离是基础中的基础，求直线的斜率，倾斜角，两点间距离等知识是解析几何中的基础，对称思想及其求解方法等往往渗透到解析几何的各个部分，体现工具作用．
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3．直线与圆的位置关系的应用与讨论，直线与向量的综合为高考的热点，有强化趋势．
4．数形结合思想是解析几何的灵魂，在直线与圆的问题中，显得尤为显明，是每年高考必考内容
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1．直线方程
(1)概念
①直线倾斜角的定义．
②倾斜角 α的范围： 0°≤α<180°.
③倾斜角为 α(α≠90°)的直线的斜率 k＝ tanα，倾斜角为 90°的直线斜率不存在．
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④经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，(x1≠ x2)的直线的
斜率k＝y2－y1
x2－x1.
⑤直线的倾斜角为α，斜率为k.
当0°<α<90°时，k>0且k随倾斜角α的增大而增大．
当90°<α<180°时，k<0且k随倾斜角α的增大而增大．
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(2)直线方程名称 方程 适用范围
点斜
式 y－y1＝k(x－x1)
不能表示与x轴垂直
的直线
斜截
式 y＝kx＋b
不能表示与x轴垂直
的直线
两点
式
y－y1
y2－y1＝
x－x1
x2－x1 不能表示与坐标轴垂
直的直线
截距
式
xa＋
yb＝1
不能表示与坐标轴垂
直和过原点的直线
一般
式
Ax＋By＋C＝0
(A2＋B2≠ 0) 适合所有的直线
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(3)两直线的位置关系
方程约束条件
位置关系
l1：y＝k1x＋b1
l2：y＝k2x＋b2
l1：A1x＋B1y＋C1
＝0
l2：A2x＋B2y＋C2
＝0
平行 k1＝k2，且b1≠ b2 A1B2－A2B1＝0，
且B1C2－B2C1≠ 0
相交
k1≠ k2
特别地，
l1⊥ l2⇒ k1k2＝－1
A1B2≠ A2B1
特别地，l1⊥ l2⇔
A1A2＋B1B2＝0
重合 k1＝k2且b1＝b2 A1B2－A2B1＝0且
B1C2－B2C1＝0
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(4)距离公式
①两点P1(x1，y1)，P(x2，y2)间的距离
|P1P2|＝ x1－x22＋y1－y22.
②点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离
d＝|Ax0＋By0＋C|
A2＋B2 .
③两平行线 l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0
的距离 d＝|C1－C2|
A2＋B2.
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2．圆的方程
(1)圆的方程
①标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，圆心坐标为(a，
b)，半径为r.
②一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－
4F>0)，圆心坐标为
－D2，－
E2 ，半径r＝
D2＋E2－4F2 .
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(2)点与圆的位置关系
①几何法：利用点到圆心的距离 d与半径 r的关系判断： d>r⇔点在圆外， d＝ r⇔点在圆上； d<r⇔点在圆内．
②代数法：将点的坐标代入圆的标准 (或一般 )方程的左边，将所得值与 r2(或 0)作比较，大于 r2(或 0)时，点在圆外；等于 r2(或 0)时，点在圆上；小于 r2(或 0)时，点在圆内．
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(3)直线与圆的位置关系
直线 l： Ax＋ By＋ C＝ 0(A2＋ B2≠0)与圆： (x－ a)2
＋ (y－ b)2＝ r2(r>0)的位置关系如下表 .
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(4)圆与圆的位置关系
表现形式位置关系
几何表现：圆心距d与 r1， r2的关系
代数表现：两圆方程联立组成的方程组的解的情况
相离 d>r1＋ r2 无解
外切 d＝ r1＋ r2 一组实数解
相交 |r1－ r2|<d<r1＋ r2 两组不同实数解
内切 d＝ |r1－ r2|(r1≠r2) 一组实数解
内含0≤d<|r1－ r2|(r1≠
r2)无解
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[例 1] 过点 P(3,2)作直线 l，交直线 y＝ 2x于点 Q，交 x轴正半轴于点 R，当△ QOR面积最小时，求直线 l的方程．
[ 分析 ] 要求直线 l的方程，需选择一个参数表示直线方程，利用待定系数法，通过建立△ QOR的面积函数，确定取得最小值时的参数值，进而求得直线方程．
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[解析] 方法一：设点Q的坐标为(a,2a)，点R的坐标
为(x,0)，其中x>0.
当a＝3时，△ QOR的面积S＝9；
当a≠ 3时，因为P，Q，R三点共线，
所以2
3－x＝
2a－2a－3
，解得x＝2a
a－1(a>1)，
∴ △ QOR的面积S＝12|OR|·2a＝
2a2
a－1
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＝2[(a－1)＋1
a－1＋2]．
当且仅当a－1＝1
a－1(a>1)，即a＝2时，S取得最小
值8.
此时点Q的坐标为(2,4)，将Q，P两点坐标代入直线
方程两点式，并整理得2x＋y－8＝0.
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解法二：设l的方程为x＝3或y－2＝k(x－3)，
当l的方程为x＝3时，△ QOR的面积S＝9；
当l的方程为y－2＝k(x－3)时，
联立方程组 y＝2x，y－2＝kx－3
，
解这个方程组，得点Q的坐标为
3k－2
k－2，
6k－4k－2 .
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在方程y－2＝k(x－3)中，
令y＝0，得点R的坐标为
3k－2
k ，0，
∴ △ QOR的面积S＝12·
3k－2k ·
6k－4k－2
＝3k－22
k2－2k，
变形得(S－9)k2＋(12－2S)k－4＝0，
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因为 S≠9，所以判别式 Δ≥0，
即 (12－ 2S)2＋ 16(S－ 9)≥0，
化简，得 S2－ 8S≥0，
当且仅当 k＝－ 2时， S取得最小值 8，
此时直线 l的方程为 y－ 2＝－ 2(x－ 3)，
即 2x＋ y－ 8＝ 0.
综上，当△ QOR的面积最小时，直线 l的方程为 2x
＋ y－ 8＝ 0.
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[ 评析 ] (1)求最值的问题，可先适当选取自变量，其次建立目标函数，再次是求最值，最后讨论何时取得最值．
(2)求直线方程问题，可依据条件恰当地选取方程的形式，利用待定系数法，建立待定参数的方程来解决．
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(2011·安徽理， 15)在平面直角坐标系中，如果 x与 y
都是整数，就称点 (x， y)为整点，下列命题中正确的是 _
_______(写出所有正确命题的编号 )．
①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点
②如果 k与 b都是无理数，则直线 y＝ kx＋ b不经过任何整点
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③直线 l经过无穷多个整点，当且仅当 l经过两个不同的整点
④直线 y＝ kx＋ b经过无穷多个整点的充分必要条件是： k与 b都是有理数
⑤存在恰经过一个整点的直线
[ 答案 ] ①③④⑤
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[解析] 令y＝x＋12，满足①，故①正确；若k＝ 2，b
＝ 2，y＝ 2x＋ 2过整点(－1,0)，故②错误；设y＝kx是
过原点的直线，若此直线过两个整点(x1，y1)，(x2，y2)，
则有y1＝kx1，y2＝kx2，两式相减得y1－y2＝k(x1－x2)，则点
(x1－x2，y1－y2)也在直线y＝kx上，通过这种方法可以得到
直线l经过无穷多个整点，通过上、下平移y＝kx得对于y＝
kx＋b也成立，所以③正确；④正确；直线y＝ 2 x恰过一
个整点，⑤正确.
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[例 2] 过点 A(4,1)的圆 C与直线 x－ y－ 1＝ 0相切于点 B(2,1)，则圆 C的方程为 ________________．
[ 分析 ] 因题中涉及圆心及切线，故可设标准形式较简单 (只需求出圆心和半径 )．
[ 答案 ] (x－ 3)2＋ y2＝ 2
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[解析] 法一：设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝
r2，由题意知：
4－a2＋1－b2＝r2
b－1a－2＝－1
|a－b－1|2＝r
，解之得：a＝3，b＝0，r
＝ 2，
所以圆的方程是：(x－3)2＋y2＝2.
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法二：由题意知A，B两点在圆上，
∴ 直线AB的垂直平分线x＝3过圆心，
又圆C与直线y＝x－1切于点B(2,1)，∴ kBC＝－1，
∴ 直线BC的方程为y－1＝－(x－2)，即y＝－x＋3.
由 y＝－x＋3
x＝3得圆心C(3,0)．
∴ r＝|BC|＝ 3－22＋0－12＝ 2，
∴ 圆C的方程为(x－3)2＋y2＝2.
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[ 评析 ] 求圆的方程有两类方法： (1)几何法，通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程； (2) “ ”代数法，即用 待定系数法 求圆的方程．
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(2011·辽宁文， 13)已知圆 C经过 A(5,1)， B(1,3)两点，圆心在 x轴上，则 C的方程为 ________________．
[ 答案 ] (x－ 2)2＋ y2＝ 10
[解析] 设圆心坐标为(a,0)，则有：
(a－5)2＋12＝(a－1)2＋32
解得：a＝2 半径 r＝ 2－52＋12＝ 10
故圆的方程为(x－2)2＋y2＝10.
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[例 3] (2011·山东菏泽二模 )已知圆 C： x2＋ y2＋2x－ 4y＋ 3＝ 0.
(1)若不过原点的直线 l与圆 C相切，且在 x轴， y轴上的截距相等，求直线 l的方程；
(2)从圆 C外一点 P(x， y)向圆引一条切线，切点为M， O为坐标原点，且有 |PM|＝ |PO|，求点 P的轨迹方程．
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[ 分析 ] 通过圆的方程求出圆心坐标及圆的半径，再利用圆心到切线的距离等于半径求解第 (1)问，对于第 (2)
问要注意 |PM|2＝ |PC|2－ r2的应用．
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[解析] (1)由圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0，
得圆心坐标C(－1,2)，半径r＝ 2，
∵ 切线在两坐标轴上的截距相等且不为零，
∴ 设直线l的方程为x＋y＝a(a≠ 0)．
∵ 直线l与圆C相切，
∴|－1＋2－a|
2＝ 2，∴ a＝－1，或a＝3.
所以所求直线l的方程为x＋y＋1＝0，或x＋y－3＝0.
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(2)∵切线 PM与半径 CM垂直，设 P(x， y)，
又∵ |PM2|＝ |PC|2－ |CM|2， |PM|＝ |PO|，
∴(x＋ 1)2＋ (y－ 2)2－ 2＝ x2＋ y2，
∴2x－ 4y＋ 3＝ 0.
所以所求点 P的轨迹方程为 2x－ 4y＋ 3＝ 0.
[ 评析 ] 在解决直线与圆相切的问题时，要注意圆心与切点的连线与切线垂直这一结论；当直线与圆相交时，要注意圆心与弦的中点的连线垂直于弦这一结论．
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(2011·江西理，9)若曲线 C1：x2＋y2－2x＝0与曲线 C2：
y(y＋mx＋m)＝0有四个不同的交点，则实数 m的取值范围
是( )
A. (－3
3 ，3
3 )
B. (－3
3 ，0)∪ (0, 3
3 )
C. [－3
3 ，3
3 ]
D．( －∞， －3
3 )∪ ( 3
3 ，＋∞ )
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[ 答案 ] B
[解析] 曲线C1表示以(1,0)为圆心，半径为1的圆，曲
线C2：y(y＋mx＋m)＝0表示直线y＝0与y＋mx＋m＝0，若
有四个不同的交点，则直线y＋mx＋m＝0与圆有两个不同
的交点且不过原点(0,0)，则由|2m|1＋m2 <1得，－
33
<m<3
3 ，且m≠ 0，故选B.
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[例 4] (2011·吉林市质量检测 )已知圆 x2＋ y2－ 4x
＋ 2y－ 3＝ 0和圆外一点M(4，－ 8)．
(1)过 M作圆的割线交圆于 A、 B两点，若 |AB|＝ 4，求直线 AB的方程；
(2)过 M作圆的切线，切点为 C、 D，求切线长及 C
D所在直线的方程．
[ 分析 ] 代入弦长公式可求 k，求 CD所在直线方程，可利用两圆公共弦方程求．
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[解析] (1)圆即(x－2)2＋(y＋1)2＝8，圆心为P(2，－
1)，半径r＝2 2.
①若割线斜率存在，设AB：y＋8＝k(x－4)，即kx－y
－4k－8＝0，
设AB的中点为N，则
|PN|＝|2k＋1－4k－8|
k2＋1＝
|2k＋7|
k2＋1，
由|PN|2＋(|AB|
2 )2＝r2，得k＝－4528，
AB：45x＋28y＋44＝0.
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②若割线斜率不存在， AB： x＝ 4，代入圆方程得 y
2＋ 2y－ 3＝ 0， y1＝ 1， y2＝－ 3符合题意，综上，直
线 AB的方程为 45x＋ 28y＋ 44＝ 0或 x＝ 4.
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(2)切线长为 |PM|2－r2＝ 4＋49－8＝3 5.
以PM为直径的圆的方程为(x－2)(x－4)＋(y＋1)(y＋8)
＝0，即 x2＋y2－6x＋9y＋16＝0.又已知圆的方程为 x2＋y2
－4x＋2y－3＝0，两式相减，得 2x－7y－19＝0，所以直线
CD的方程为 2x－7y－19＝0.
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[ 评析 ] (1)在研究直线方程或直线与圆及圆锥曲线关系时，特别注意直线中斜率 k是否存在，有时可设直线方程为 x＝ my＋ b.
(2)直线与圆相交时，两交点及圆心构成的三角形对解题很有帮助．
(3)直线与圆相切时，一般用几何法体现，即使用 d＝r，而不使用 Δ＝ 0.
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(2011·佛山市模拟)已知圆C：x2＋(y－3)2＝4，一动直
线l过A(－1,0)与圆C相交于P、Q两点，M是PQ的中点，l
与直线m：x＋3y＋6＝0相交于N.
(1)求证：当l与m垂直时，l必过圆心C；
(2)当PQ＝2 3时，求直线l的方程；
(3)探索AM→ ·AN→ 是否与直线l的倾斜角有关，若无关，请求出其值；若有关，请说明理由
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[解析] (1)证明：因为l与m垂直，
且km＝－13，kl＝3，
故直线l：y＝3(x＋1)，即3x－y＋3＝0.
显然圆心(0,3)在直线l上，
即当l与m垂直时，l必过圆心．
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(2)解：①当直线 l与 x轴垂直时，
易知 x＝－ 1符合题意．
②当直线 l与 x轴不垂直时，
设直线 l的方程为 y＝ k(x＋ 1)，即 kx－ y＋ k＝ 0，
因为 PQ＝2 3，所以 CM＝ 4－3＝1，
则由 CM＝|－3＋k|
k2＋1＝1，得 k＝
43.
所以直线 l：4x－3y＋4＝0.
从而所求的直线 l的方程为 x＝－1或 4x－3y＋4＝0
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(3)解：因为CM⊥ MN，
所以AM→ ·AN→ ＝(AC→ ＋CM→ )·AN→
＝AC→ ·AN→ ＋CM→ ·AN→ ＝AC→ ·AN→ .
①当l与x轴垂直时，
易得N(－1，－53)，则AN→ ＝(0，－
53)，
又AC→ ＝(1,3)，所以AM→ ·AN→ ＝AC→ ·AN→ ＝－5.
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②当l的斜率存在时，
设直线l的方程为y＝k(x＋1)，
则由 y＝kx＋1x＋3y＋6＝0
，得N
－3k＋61＋3k
，－5k
1＋3k，
则AN→ ＝
－5
1＋3k，－5k
1＋3k .
所以AM→ ·AN→ ＝AC→ ·AN→ ＝－5.
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综上，AM→ ·AN→ 与直线l的斜率无关，因此与倾斜角也无
关，且AM→ ·AN→ ＝－5.
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