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X. 点 到 直 线 的 距 离. 点 到 直 线 的 距 离. y. l. P. Q. x. O. P （ x 0 ， y 0 ）. l : Ax + By + C =0. l. y. y. l. P. 1. P. 1. Q. Q. M. M. . . x. x. O. O. P( x 0 ,y 0 ), l : Ax + By + C =0, AB≠ 0, 倾斜角设为 . 1 = -. 1 = . 过 P 作 PM⊥ x 轴交 l 于 M ，构造直角△ PQM. - PowerPoint PPT Presentation
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点 到 直 线 的 距 离
X
点 到 直 线 的 距 离
P
O
y
x
l
QP （ x0 ， y0 ）
l:Ax+By+C=0
B
C
BA
AB
BC
yxAB
B
A
BA
AB
BC
yxAB
0000
,
O
y
x
lP
Q
M
过 P 作 PM⊥x 轴交 l 于 M ，构造直角△ PQM
P(x0,y0), l:Ax+By+C=0, AB≠0, 倾斜角设为
锐角 1 与倾斜角有何关系？
1
1=
如果 l 的倾斜角是钝角呢？
O
y
x
l P
Q
M
1
1= -
怎样用 |PM| 表示 |PQ| ？
|PQ|=|PMcos 1 |
cos 1 =|cos |
|PQ|=|PMcos |
O
y
x
lP
Q1
M
已知 P(x0,y0), 设 M(x1,y1)
∵PM Oy∥ ，∴ x1=x0
将 M(x0,y1) 代入 l 的方程得
B
CAxy
0
1
10 yyPM B
CAxy
0
0 B
CByAx 00
22
2
221
1
1
1
1coscos
BA
B
BAtg
又
22
00cosBA
CByAxPMPQ
O
y
x
l:Ax+By+C=0
P(x0,y0)
22
00
BA
CByAxd
1. 此公式的作用是求点到直线的距离；2. 此公式是在 A 、 B≠0 的前提下推导的；3. 如果 A=0 或 B=0 ，此公式恰好也成立；4. 如果 A=0 或 B=0 ，一般不用此公式；
5. 用此公式时直线要先化成一般式。
例 1 求点 P(-1,2) 到直线① 2x+y-10=0 ； ② 3x=2 的距离。
解： ①根据点到直线的距离公式，得
52
12
10211222
d
② 如图，直线 3x=2 平行于 y 轴，
O
y
xl:3x=2
P(-1,2)3
5)1(
3
2 d
用公式验证，结果怎样？
例 2 求平行线 2x-7y+8=0 与 2x-7y-6=0 的距离。
O
y
xl2: 2x-7y-6=0
l1:2x-7y+8=0
P(3,0)
两平行线间的距离处处相等
在 l2 上任取一点，例如 P(3,0)
P 到 l1 的距离等于 l1 与 l2 的距离
53
5314
53
14
)7(2
8073222
d
直线到直线的距离转化为点到直线的距离
O
y
x
l2
l1
P
QM
1
任意两条平行直线都可以写成如下形式：
l1 :Ax+By+C1=0
l2 :Ax+By+C2=0
|PQ|=|PM·cos 1|
22 BA
BPM
|PM| 是 l1 与 l2 在 y 轴上截距之差的绝对值
22
12
22
21 ||
BA
CC
BA
B
B
C
B
CPQ
练习 1. 求坐标原点到下列直线的距离：(1) 3x+2y-26=0; (2) x=y
2. 求下列点到直线的距离：(1) A(-2,3) ， 3x+4y+3=0
(2) B(1,0) ， x+y - =03 3(3) A(1,-2) ， 4x+3y=0
3. 求下列两条平行线的距离：(1) 2x+3y-8=0 ， 2x+3y+18=0
(2) 3x+4y=10 ， 3x+4y-5=0
(3) 2x+3y-8=0 ， 4x+6y+36=0
22 )5(12
400512
x22 )3(1
703
x
37
1711 xx 或
)0,37
171()0,1( 或
P 在 x 轴上， P 到直线 l1: x- y +7=0 与直线 l2: 12x-5y+40=0 的距离相等，求 P
点坐标。3
解：设 P(x,0),
根据 P 到 l1 、 l2 距离相等，列式为
( )=( )
解得： ( )
所以 P 点坐标为： ( )
⑴4. 完成下列解题过程：
用解析法证明：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高。
⑵.
证明 : 建立如图直角坐标系 , 设 P (x,0),x∈( )
O A(a,0)C(-a,0)
B(0,b)
x
y
EF
P
可求得 lAB:( )lCB:( )
|PE|=( )
|PF|=( )
A 到 BC 的距离 h=( )
因为 |PE|+|PF|=h ，所以原命题得证。
0 abaybx0 abaybx
22 ba
abbx
22 ba
abbx
aa,
22
2
ba
ab
点 到 直 线 的 距 离
22
00
BA
CByAxd
1. 此公式的作用是求点到直线的距离；2. 此公式是在 A 、 B≠0 的前提下推导的；3. 如果 A=0 或 B=0 ，此公式恰好也成立；4. 如果 A=0 或 B=0 ，一般不用此公式；
5. 用此公式时直线要先化成一般式。
要求：1. 掌握点到直线的距离公式的推导过程；2. 能用点到直线的距离公式进行计算；3. 能求有关平行线间的距离。
探索与思考：如果已知点到直线的距离及直线的有
关特征，怎样求直线的方程。思考题：
直线 l 在两坐标轴上的截距相等，点 P(4,3) 到 l 的距离为 3 ，求直线 l 的方程。2
