Upload
others
View
7
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
DĂ©partement dâElectrotechnique Modes de transfert de chaleur
Cours : Echauffement et refroidissement des actionneurs électromécaniques
1
1. 1 Introduction
La modélisation des phénomÚnes de génération et de transfert de chaleur dans une machine
électrique est une étape primordiale, en particulier dans sa phase de conception. Cette modélisation
thermique peut se baser sur deux principes, le premier analytique en utilisant un circuit Ă constantes
localisées et le deuxiÚme intégrant les méthodes numériques.
2. Modes de transfert de chaleur
2.1. Transmission de chaleur par conduction
2.1.1. Loi de Fourier
Câest le transfert de chaleur au sein dâun milieu opaque, sans dĂ©placement de matiĂšre, sous lâinfluence
dâune diffĂ©rence de tempĂ©rature. La propagation de la chaleur par conduction Ă lâintĂ©rieur dâun corps
sâeffectue selon deux mĂ©canismes distincts : une transmission par les vibrations des atomes ou molĂ©cules
et une transmission par les Ă©lectrons libres. Ce mode de transfert de chaleur opĂšre dans la machine
électrique dans l'ensemble des parties solides et dans l'air qui les entoure. En effet, lors de la présence
d'un gradient de température dans ces milieux, le flux thermique transite du milieu le plus chaud vers
le milieu le plus froid. La loi de Fourier donne la relation entre le vecteur densitĂ© de flux thermique ïżœâïżœ ',
le gradient de tempĂ©rature đđđđ ââ ââ ââ ââ ââ â(đ) et la conductivitĂ© thermique λ du milieu par la formule suivante :
ïżœâïżœ = âλ đđđđ ââ ââ ââ ââ ââ â(đ) (2.1)
ou sous forme algébrique :
Ï = âλSâT
âx (W) (2.2)
avec :
Ï : Flux de chaleur transmis par conduction (W)
λ :Conductivité thermique du milieu (W m-1 °C-1)
x :Variable dâespace dans la direction du flux (m)
S :Aire de la section de passage du flux de chaleur
(m2)
Le signe négatif dans cette loi est introduit pour
respecter la seconde loi de la thermodynamique qui annonce que la chaleur se diffuse des régions
chaudes de hautes températures vers des régions froides.
Le tableau suivant montre les valeurs de la conductivité thermique λ de certains matériaux parmi les
plus courants.
Matériau λ (W m-1 °C-1) Matériau λ (W m-1 °C-1)
Argent 419 PlĂątre 0,48
Cuivre 386 Amiante 0,16
Aluminium 204 Coton 0,059
Acier doux 45 LiĂšge 0,044-0,049
Acier inox 14,9 Laine de roche 0,038-0,041
Glace 1,88 Laine de verre 0,035-0,051
Généralités sur les transferts de chaleur
x
S
T 1 T 2 T 1 >
T 2
Ï = âλ1sâT
âx
DĂ©partement dâElectrotechnique Modes de transfert de chaleur
Cours : Echauffement et refroidissement des actionneurs électromécaniques
2
Béton 1,4 PolystyrÚne expansé 0,036-0,047
Bois (feuillu-résineux) 0,12-0,23 Polyuréthane (mousse) 0,030-0,045
Brique terre cuite 1,1 PolystyrÚne extrudé 0,027
Verre 0,78 Air 0,026
2.2. Convection
Câest le transfert de chaleur entre un solide et un fluide, lâĂ©nergie Ă©tant transmise
par déplacement du fluide.
Ce mécanisme de transfert est régi par la loi de Newton :
Ï = hS(đđ â Tâ) (w) (2.3)
Avec :
Ί Flux de chaleur transmis par convection (W)
h Coefficient de transfert de chaleur par convection(W m-2 °C-1)
Tp Température de surface du solide(°C)
Tâ TempĂ©rature du fluide loin de la surface du solide (°C)
S Aire de la surface de contact solide/fluide (m2)
Remarque : La valeur du coefficient de transfert de chaleur par convection h est fonction de la nature du
fluide, de sa température, de sa vitesse et des caractéristiques géométriques de la surface de contact
solide/fluide.
2.3. Rayonnement
Câest un transfert dâĂ©nergie Ă©lectromagnĂ©tique entre deux surfaces (mĂȘme dans le vide). Dans les problĂšmes de conduction,
on prend en compte le rayonnement entre un solide et le milieu environnant et dans ce cas nous avons la relation :
Milieu environnant Ă đâ
Ï = ÏΔpS(đđ4 â đâ
4) (W) (2.4)
Avec :
Ï Flux de chaleur transmis par rayonnement (W)
Ï Constante de Stephan (5,67.10-8 W m-2 K-4)
Δp Facteur dâĂ©mission de la surface
Tp Température de la surface (K)
Tâ TempĂ©rature du milieu environnant la surface (K)
S Aire de la surface (m2)
2.4. Stockage dâĂ©nergie
Le stockage dâĂ©nergie dans un corps correspond Ă une augmentation de son Ă©nergie interne au cours
du temps dâoĂč (Ă pression constante) :
Ïđ đĄ = đV câT
ât (W) (2.5)
Ï
S
Tp
DĂ©partement dâElectrotechnique Modes de transfert de chaleur
Cours : Echauffement et refroidissement des actionneurs électromécaniques
3
Avec :
Ïđ đĄ : Flux de chaleur stockĂ© (W)
đ : Masse volumique (kg m-3)
V : Volume (m3)
c : Chaleur massique (J kg-1 °C-1)
T : Température (°C)
t :Temps (s)
Ï, V et c sont supposĂ©s constants, le produit Ï V c est appelĂ© la capacitance thermique du corps.
2.5. GĂ©nĂ©ration dâĂ©nergie
Elle intervient lorsquâune autre forme dâĂ©nergie (chimique, Ă©lectrique, mĂ©canique, nuclĂ©aire) est
convertie en Ă©nergie thermique. Nous pouvons lâĂ©crire sous la forme :
Ïđ = ïżœÌïżœ đ (W) (2.6)
Avec :
Ïg : Flux dâĂ©nergie thermique gĂ©nĂ©rĂ©e (W)
q : DensitĂ© volumique dâĂ©nergie gĂ©nĂ©rĂ©e (W m-3)
V : Volume (m3)
3. Transfert de chaleur par conduction
3.1. Equation de la chaleur
Dans sa forme monodimensionnelle, elle dĂ©crit le transfert de chaleur unidirectionnel au travers dâun
mur plan :
ConsidĂ©rons un systĂšme dâĂ©paisseur dx dans la direction x et de section dâaire S normalement Ă la
direction Ox. Le bilan dâĂ©nergie sur ce systĂšme sâĂ©crit :
Ïx + Ïg = Ïx+dx +Ïst
Avec :
Ïx = â(λ S âT
âx )
x
Ïg = ïżœÌïżœSdx
Ïx+dx = â(λ S âT
âx )
x+dx
Ïst = đc SdxâT
âx
En reportant dans le bilan dâĂ©nergie et en divisant par
dx nous obtenons :
(λ S âTâx
)x+dx
â (λ S âTâx
)x
đđ„+ ïżœÌïżœS = đc S
âT
ât
Soit : â
âx(λ S
âT
âx ) + ïżœÌïżœS = đc S
âT
ât et dans le cas tridimensionnel, nous obtenons lâĂ©quation de la chaleur
dans le cas le plus général :
0 x x + dx e
L
Ï g
Ï st
Ï x Ï X+dx L » e
DĂ©partement dâElectrotechnique Modes de transfert de chaleur
Cours : Echauffement et refroidissement des actionneurs électromécaniques
4
â
âx(λx
âT
âx ) +
â
ây(λđŠ
âT
ây ) +
â
âz(λz
âT
âz ) + ïżœÌïżœ = đc
âT
ât (2.7)
Cette Ă©quation peut se simplifier dans un certain nombre de cas :
a) Si le milieu est isotrope : λx = λy = λz
b) Sâil nây a pas de gĂ©nĂ©ration dâĂ©nergie Ă lâintĂ©rieur du systĂšme : ïżœÌïżœ = 0
c) Si le milieu est homogĂšne, λ nâest fonction que de T.
Les hypothĂšses a) + b) +c) permettent dâĂ©crire :
λ (â2T
âx2+
â2T
ây2+
â2T
âz2 ) +
dλ
dt((
âT
âx )
2
+ ( âT
ây )
2
+ ( âT
âz )
2
) = đcâT
ât
d) Si de plus λ est constant (Ă©cart modĂ©rĂ© de tempĂ©rature), nous obtenons lâĂ©quation de Poisson :
đâ2T =âT
ât (2.8)
Le rapport đ =đ
đc est appelĂ© la diffusivitĂ© thermique.
e) En rĂ©gime permanent, nous obtenons lâĂ©quation de Laplace :
â2T = 0 (2.9)
Par ailleurs, les hypothĂšses a), c) et d) permettent dâĂ©crire :
Equation de la chaleur en coordonnées cylindriques :
â2T
âr2+
1
r
âT
âr+
1
r2
â2T
âΞ2+
â2T
âz2+
ïżœÌïżœ
λ=
1
a
âT
ât (2.10)
Dans le cas dâun problĂšme Ă symĂ©trie cylindrique oĂč la tempĂ©rature ne dĂ©pend que de r et de t, lâĂ©quation
(2.4) peut sâĂ©crire sous forme simplifiĂ©e :
1
r
â
âr(r
âT
âr) +
ïżœÌïżœ
λ=
1
a
âT
ât
Equation de la chaleur en coordonnées sphériques :
1
r
â2(rT)
âr2+
1
r2 sinđ â
âđ(sin đ
âT
âđ) +
1
r2 sin2 đ â2T
âđ2+
ïżœÌïżœ
λ=
1
a
âT
ât (2.11)
3.2. Conduction en régime permanent
3.2.1. Transfert unidirectionnel
DĂ©partement dâElectrotechnique Modes de transfert de chaleur
Cours : Echauffement et refroidissement des actionneurs électromécaniques
5
3.2.1.1. Exemple 1 : mur simple On se placera dans le cas oĂč lâĂ©coulement est
unidirectionnel et quâil nây a pas de gĂ©nĂ©ration ni de
stockage dâĂ©nergie. On considĂšre un mur dâĂ©paisseur e, de
conductivité thermique λ, et de grandes dimensions
transversales dont les faces extrĂȘmes sont Ă des
températures T1 et T2 :
En effectuant un bilan thermique sur le systĂšme (S)
constitué par la tranche de mur comprise entre les abscisses
x et x + dx il vient :
Ïđ„ = Ïđ„+đđ„ â âλS (âT
âx)đ„
= âλS (âT
âx)đ„+đđ„
dâoĂč : âT
âx=A et đ(đ„) = đŽđ„ + đ”
Avec les conditions aux limites : T (x = 0) = T1 et T (x = e) = T2
dâoĂč :
đ = đ1 âđ„
â (đ1 â đ2) (°C) (2.13)
Le profil de tempĂ©rature est donc linĂ©aire. La densitĂ© de flux de chaleur traversant le mur sâen dĂ©duit
par la relation : Ï = âλS dT
dx , dâoĂč :
Ï = λS(đ1âđ2)
e (W m-2) (2.14)
La relation (2.7) peut Ă©galement se mettre sous la forme : Ï = (đ1âđ2)
e
λ S
, cette relation est analogue Ă la
loi dâOhm en Ă©lectricitĂ© qui dĂ©finit lâintensitĂ© du courant comme le rapport de la diffĂ©rence de potentiel
électrique sur la résistance électrique. La température apparait ainsi comme un potentiel thermique et
le terme e
λ S apparait comme la rĂ©sistance thermique dâun mur plan dâĂ©paisseur e, de conductivitĂ©
thermique λ et de surface latérale S, on a donc le schéma équivalent suivant :
Ï
3.2.1.2. Exemple 2 : mur multicouches
đ =e
λ S
đ2 T1
DĂ©partement dâElectrotechnique Modes de transfert de chaleur
Cours : Echauffement et refroidissement des actionneurs électromécaniques
6
Câest le cas des murs rĂ©els constituĂ©s de
plusieurs couches de matĂ©riaux diffĂ©rents et oĂč le
ne connaßt que les températures Tf1 et Tf2 des
fluides en contact avec les deux faces du mur de
surface latérale S :
En régime permanent, le flux de chaleur se
conserve lors de la traversĂ©e du mur et sâĂ©crit :
Ï = h1S(đđ1 â đ1) =λđS(đ1 â đ2)
eđ=
λđS(đ2 â đ3)
eđ=
λđS(đ3 â đ4)
eđ= h2S(đ4 â đđ2)
dâoĂč :
Ï =(đđ1 â đđ2)
1h1S
+eđ
λđS+
eđ
λđS+
eđ
λđS+
1h2S1
Nous avons considĂ©rĂ© que les contacts entre les couches de diffĂ©rentes natures Ă©taient parfaits et quâil
nâexistait pas de discontinuitĂ© de tempĂ©rature aux interfaces. En rĂ©alitĂ©, compte-tenu de la rugositĂ© des
surfaces, une micro-couche dâair existe entre les creux des surfaces en regard et crĂ©Ă© une rĂ©sistance
thermique R (lâair est un isolant) appelĂ©e rĂ©sistance thermique de contact. La formule prĂ©cĂ©dente sâĂ©crit
alors :
Ï =(đđ1âđđ2)
1
h1S+
eđλđS
+đ đŽđ”+eđλđS
+đ đ”đ¶+eđλđS
+1
h2S1
(W m) (2.15)
Le schéma électrique équivalent est le suivant :
Remarques :
- Une rĂ©sistance thermique ne peut ĂȘtre dĂ©finie quâentre deux surfaces isothermes.
- Cette résistance thermique de contact est négligée si le mur comporte une paroi isolante ou si les
parois sont jointes par soudure.
3.2.1.3. Exemple 3 : cylindre creux long (tube)
On considÚre un cylindre creux de conductivité thermique λ, de rayon intérieur r1, de rayon extérieur r2,
de longueur L, les températures des faces internes et externes étant respectivement T1 et T2. On suppose
que le gradient longitudinal de température est négligeable devant le gradient radial.
DĂ©partement dâElectrotechnique Modes de transfert de chaleur
Cours : Echauffement et refroidissement des actionneurs électromécaniques
7
Effectuons le bilan thermique du systÚme constitué par la
partie de cylindre comprise entre les rayons r et r + dr :
Ïđ = Ïđ+đđ
Ïđ = âλ 2Ï r đż (dT
dr)đ et Ïđ+đđ = âλ 2Ï (r + dr)L (
dT
dr)đ+đđ
Donc âλ 2Ï r đż (dT
dr)đ= âλ 2Ï (r + dr)L (
dT
dr)đ+đđ
DâoĂč : đdT
dr= đ¶
Avec les conditions aux limites : T(r1) = T1 et T(r2) = T2
DâoĂč : T(r) =đ2đđ(
r
r1)+đ1đđ(
r2r)
đđ(r2r1
)
Et par application de la relation Ï = âλ 2Ï r L (dT/dr), on obtient : Ï =2Ï Î» L (đ1âđ2)
đđ(r2r1
)
Cette relation peut aussi ĂȘtre mise sous la forme : Ï = (đ1âđ2)
đ 12 , avec đ 12 =
đđ(r2r1
)
2Ï Î» L et ĂȘtre reprĂ©sentĂ©e
par le schéma électrique équivalent suivant :
3.2.1.4. Cylindre creux multicouches
Câest le cas pratique dâun tube recouvert dâune ou plusieurs couches de matĂ©riaux diffĂ©rents et oĂč le
ne connaßt que les températures Tf1 et Tf2 des fluides en contact avec les faces interne et externe du
cylindre ; h1 et h2 sont les coefficients de transfert de chaleur par convection entre les fluides et les
faces internes et externes :
DĂ©partement dâElectrotechnique Modes de transfert de chaleur
Cours : Echauffement et refroidissement des actionneurs électromécaniques
8
En rĂ©gime permanent, dĂ©montrer que le flux de chaleur Ï se conserve lors de la traversĂ©e des
diffĂ©rentes couches et sâĂ©crit :
Ï =(đđ1 â đđ2)
1h12Ï r1đż
+đđ (
r2r1
)
2Ïλđđż+
đđ (r3r2
)
2ÏλđL+
1 h22Ï r3L
3.2.2. Transfert multidirectionnel
Dans le cas oĂč la propagation de la chaleur ne sâeffectue pas selon une direction unique, deux
mĂ©thodes de rĂ©solution peuvent ĂȘtre appliquĂ©es
3.2.2.1. MĂ©thode du coefficient de forme
Dans les systĂšmes bi- ou tridimensionnels oĂč nâinterviennent que deux tempĂ©ratures limites T1 et T2,
on montre que le flux de chaleur peut se mettre sous la forme :
Ï = λ F (đ1 â đ2)
Avec :
λ :Conductivité thermique du milieu séparant les surfaces S1 et S2 (W m-1 °C-1)
T1 : Température de la surface S1 (°C)
T2 : Température de la surface S2 (°C)
F : Coefficient de forme (m)
Le coefficient de forme F ne dépend que de la forme, des dimensions et de la position relative des deux
surfaces S1 et S2. Les valeurs de F pour les configurations les plus courantes sont les suivants :
SystÚme Schéma Coefficient de forme Domaine
dâapplication
Cylindre isotherme de rayon
r enterré dans un milieu
semi-infini Ă surface
isotherme
L>>r
SphĂšre isotherme de rayon r
enterrée dans un milieu
infini
4 Ï r
SphÚre isotherme enterrée
dans un milieu semi-infini Ă
surface isotherme
Conduction entre 2 cylindres
isothermes enterré dans un
milieu infini
L>>r
L>>D
DĂ©partement dâElectrotechnique Modes de transfert de chaleur
Cours : Echauffement et refroidissement des actionneurs électromécaniques
9
Cylindre horizontal au
centre dans une plaque
infinie
Cylindre isotherme de rayon
r placé dans un milieu semi-
infini
L>>2r
ParallélépipÚde rectangle
isotherme enterré dans un
milieu semi-infini Ă surface
isotherme
Cylindre au centre dâun
parallélépipÚde de section
carrée
L>>W
Plaque rectangulaire mince
enterrée dans milieu semi-
infini Ă surface isotherme
4r
8r
D = 0
D>>2r
SphĂšre creuse
3.2.2.2. MĂ©thode du coefficient de forme
Expression de lâĂ©quation de Laplace en diffĂ©rences finies
Dans le cas oĂč la mĂ©thode du coefficient de forme ne peut pas
sâappliquer (surfaces non isothermes par exemple), il faut rĂ©soudre
lâĂ©quation de Laplace numĂ©riquement. On utilise une mĂ©thode aux
différences finies en discrétisant le domaine considéré (espace ou plan).
Nous traiterons dans ce qui suit le cas bidimensionnel, le cas
tridimensionnel sâen dĂ©duit en rajoutant simplement une dimension
dâespace.
Considérons un milieu plan sur lequel on a appliqué un maillage de pas
Îx et Îy tel que reprĂ©sentĂ© sur la figure ci-aprĂšs :
Les dĂ©rivĂ©es partielles de la tempĂ©rature T peuvent sâexprimer selon les formules suivantes :
DĂ©partement dâElectrotechnique Modes de transfert de chaleur
Cours : Echauffement et refroidissement des actionneurs électromécaniques
10
3.2.3. Les ailettes
3.2.3.1. LâĂ©quation de la barre
Le problÚme de la barre encastrée schématise le
problĂšme pratique important du refroidissement
dâun solide par des ailettes. ConsidĂ©rons une barre
de section constante (Ă©paisseur e et largeur â)
encastrée entre 2 surfaces à température T0 et
baignant dans un fluide Ă tempĂ©rature Tâ.
La symĂ©trie du problĂšme montre lâexistence dâun extremum de la tempĂ©rature au milieu de la barre
ce qui permet de simplifier la géométrie :
La barre est supposée de section suffisamment faible
pour quâil nây ait pas de variation de tempĂ©rature
dans une mĂȘme section droite Ă une distance x de
lâencastrement dans la paroi Ă T0.
Effectuons un bilan dâĂ©nergie sur le systĂšme
constituĂ© par la portion de barre comprise entre les abscisses x et x+dx (nous retenons lâhypothĂšse du
régime permanent et nous négligeons le rayonnement) :
T0 T
0
Fluide Ă T â .
DĂ©partement dâElectrotechnique Modes de transfert de chaleur
Cours : Echauffement et refroidissement des actionneurs électromécaniques
11
Avec :
Ïx Flux de chaleur transmis par conduction Ă lâabscisse x
Ïđ„ = â (λ SdT
dx)đ„
Ïx+d Flux de chaleur transmis par conduction Ă lâabscisse x+dx
Ïđ„+đđ„ = â (λ SdT
dx)đ„+đđ„
Ïc Flux de chaleur transmis par convection Ă la pĂ©riphĂ©rie de
la barre entre x et x+dx Ïđ = âh Ï dx [đ(đ„) â đâ]
Le bilan dâĂ©nergie sâĂ©crit : Ïx = Ïx+dx + Ïc
Soit : (λ SdT
dx)đ„+đđ„
â (λ SdT
dx)đ„
= h Ï dx [đ(đ„) â đâ]
Si λ et S sont indĂ©pendants de lâabscisse x, nous obtenons :
λ S(dTdx
)đ„+đđ„
â (dTdx
)đ„
đđ„= h Ï [đ(đ„) â đâ]
Donc T est solution de lâĂ©quation diffĂ©rentielle suivante appelĂ©e Ă©quation de la barre :
đ2đ
đđ„2â
h Ï
λ S [đ â đâ] = 0 (2.16)
3.2.3.2. Flux extrait par une ailette
Une ailette est un milieu bon conducteur de la chaleur dont une dimension est grande devant les autres,
exemple : barre dâĂ©paisseur e et de longueur L avec e<< L. Elles sont utilisĂ©es Ă chaque fois que des
densités de flux élevées sont à transmettre dans un encombrement réduit : refroidissement de composants
Ă©lectroniques, refroidissement dâun moteur par airâŠ
Nous avons Ă©tabli lâĂ©quation diffĂ©rentielle vĂ©rifiĂ©e par la tempĂ©rature T(x) dâune ailette encastrĂ©e dans
un mur Ă la tempĂ©rature T0 et baignant dans un fluide Ă la tempĂ©rature Tâ :
đ2đ
đđ„2â
h Ï
λ S [đ â đâ] = 0
En posant : Ï2 =h Ï
λ S et đ = đ â đâelle peut encore sâĂ©crire :
đ2đ
đđ„2 â Ï2Ξ = 0
Si la section S est constante, câest une Ă©quation diffĂ©rentielle du 2nd ordre Ă coefficients constants dont
la solution générale est de la forme :
đ = đŽ exp(đđ„) + đ” exp(đđ„) ou đ = đŽ1 ch(đđ„) + đ”1 sh(đđ„)
3.2.3.3. Ailette rectangulaire longue de section constante
Dans le cas de lâailette longue, on Ă©met lâhypothĂšse que : T(x=L) = Tâ, oĂč L est la longueur de lâailette.
Les conditions aux limites sâĂ©crivent alors :
en x = 0 : Ξ(0) = T0 - Tâ (a)
en x = L : Ξ(L) = 0 (b)
T0
Ïc
Fluide Ă T â .
x x x+dx
T Ï x Ï x+dx
DĂ©partement dâElectrotechnique Modes de transfert de chaleur
Cours : Echauffement et refroidissement des actionneurs électromécaniques
12
(b) â A = 0
(a) â B = T0 - Tâ
dâoĂč : đ(đ„)âđâ
đâđâ= exp(âđđ„) (2.17)
Le flux dissipĂ© sur toute la surface de lâailette peut ĂȘtre calculĂ© par intĂ©gration du flux de convection
local :
đđ = â« â đ đż
0
[đ(đ„) â đâ]đđ„
ou plus facilement en remarquant que dans le cas du rĂ©gime permanent câest le mĂȘme que celui
transmis par conduction Ă la base de lâailette soit : đđ = đđ(đ„=0)
đđ = âλ S (dT
dx)đ„
= âλ S (đ(đ„) â đâ)(âđ)(exp(âđđ„)) avec đ = âh Ï
λ S
đđ = ââ đ λ S(đ0 â đâ) (W) (2.18)
3.2.3.4. Ailette rectangulaire de section constante isolĂ©e Ă lâextrĂ©mitĂ©
La solution générale obtenue est identique au cas précédent, ce sont les conditions aux limites qui
différent :
{
T(x = 0) = T0
âλ S (dT
dx)đ„=đż
= 0 (conservation du flux de chaleur en x = L)
La solution sâĂ©crit đ(đ„)âđâ
đ0âđâ= ch(đđ„) + th(đđż) sh(đđ„) (2.19)
Et le flux total dissipĂ© par lâailette a pour expression :
đđ = đλ S th(đđż) (đ0 â đâ) (W) (2.20)
Remarque : si lâĂ©paisseur e de lâailette est faible devant sa largeur â, đ â âh
λ e
3.2.3.5. Ailette rectangulaire de section constante avec transfert de chaleur Ă lâextrĂ©mitĂ©
La solution générale obtenue est identique au cas 2.6.2.1, ce sont les conditions aux limites qui
différent :
{
T(x = 0) = T0
âλ S (dT
dx)đ„=đż
= â đ [đ(đ„ = đż) â đâ] (conservation du flux de chaleur en x = L)
La solution sâĂ©crit
đ(đ„)âđâ
đ0âđâ=
ch[đ(đżâđ„)]+â
Ïλsh[đ(đżâđ„)]
ch(đđż)+â
Ïλ sh(đđż)
(2.21)
Et le flux total dissipĂ© par lâailette a pour expression :
đđ = đλ S(đ0 â đâ)th(đđż)+
â
Ïλ
1+â
Ïλ th(đđż)
(W) (2.22)
DĂ©partement dâElectrotechnique Modes de transfert de chaleur
Cours : Echauffement et refroidissement des actionneurs électromécaniques
13
Remarque : Dans le cas oĂč lâĂ©paisseur e de lâailette est faible devant sa largeur â (ce qui est en gĂ©nĂ©ral
vérifié) : h
Ïλ = â
h
λ e. Les ailettes étant en général réalisé en matériau bon conducteur (λ élevé) et ayant
une Ă©paisseur faible, lâhypothĂšse âh
λ eâȘ 1 est le plus souvent vĂ©rifiĂ©e, les Ă©quations (2.21) et (2.22) se
ramÚnent alors aux λ expressions plus simples des équations (2.19) et (2.20) qui sont celles utilisées
dans la pratique.
3.2.3.6. Ailette circulaire de section rectangulaire
Ces dâailettes destinĂ©es Ă amĂ©liorer le transfert de chaleur entre la paroi externe dâun
tube et le milieu ambiant (exemple : tubes de radiateur dâautomobile) peuvent ĂȘtre
schématisées de la maniÚre suivante :
Effectuons un bilan thermique sur lâĂ©lĂ©ment dâailette compris entre les rayons r et r+dr :
Le bilan dâĂ©nergie sâĂ©crit : đđ = đđ+đđ + đđ
Avec :
Ïr Flux de chaleur transmis par conduction au rayon r
đđ = âλ 2Ï r e (dT
dr)đ
Ïr+dr Flux de chaleur transmis par conduction au rayon r + dr
đđ+đđ = âλ 2Ï (r + dr) e (dT
dr)đ+đđ
Ïc Flux de chaleur transmis par convection sur la surface de lâailette entre r et r + dr
đđ = 2{â 2 Ï r dr [đ(đ) â đâ]}
Si λ est indépendant du rayon r, nous obtenons :
1
đ (r + dr) (
dTdr
)đ+đđ
â (r) (dTdr
)đ
đđ=
2â
đ đ[đ(đ) â đâ]
Soit encore :đ2đ
đđ2+
1
đ
đđ
đđâ
2 â
đ â Ξ oĂč Ξ = T â Tâ
Câest une Ă©quation de Bessel dont la solution sâĂ©crit sous la forme :
Ξ = C1I0(Ïr) + C2k0(Ïr) ou Ï = â2 h
λ e , C1 et C2 étant déterminé par les conditions aux limites :
En r = r0 : Ξ = T0 â Tâ
En r = re : h Ξ(râ ) = âλ (dΞ
dr) (đâ ) (cas le plus gĂ©nĂ©ral : transfert de chaleur Ă lâextrĂ©mitĂ©)
On en déduit les valeurs de C1 et de C2 :
DĂ©partement dâElectrotechnique Modes de transfert de chaleur
Cours : Echauffement et refroidissement des actionneurs électromécaniques
14
đ1 =K1 (Ï re ) â
âđđ
K0 (Ï re )
I1(Ï re )K0 (Ï r0 ) + I0(Ï r0 )K1(Ï re ) +âđđ
[I0(Ï re )K0 (Ï r0 ) + I0(Ï r0 )K0 (Ï râ )]
đ2 =1 â C1I0 (Ï r0 )
K0 (Ï r0 )
Dans le cas oĂč lâon peut faire lâhypothĂšse du flux nul Ă lâextrĂ©mitĂ© : âh
λ eâȘ 1, on aboutit Ă lâexpression
λ simplifiée suivante :
đ(đ) â đâ
đ0 â đâ=
K1 (Ï re ) I0(Ï đ ) + I1(Ï re )K0 (Ï r )
I1(Ï re )K0 (Ï r0 ) + I0 (Ï r0 )K1(Ï re )
Et le flux total dissipĂ© par lâailette a alors pour expression :
đđ = λ 2Ï r0 đ đ(đ0 â đâ)I1(Ï re )K1 (Ï r0 )âK1 (Ï re ) I1(Ï r0 )
I1(Ï re )K0 (Ï r0 )+I0 (Ï r0 )K1(Ï re ) (W) (2.23)
3.2.4. EfficacitĂ© dâune ailette
Elle dĂ©finit les performances dâune ailette en comparant le flux dissipĂ© Ă celui qui serait dissipĂ© dans
une ailette de mĂȘmes dimensions mais dont la tempĂ©rature serait uniforme et Ă©gale Ă celle de la base
(conductivitĂ© thermique λ â â, pas de rĂ©sistance thermique de conduction donc pas de chute de
tempĂ©rature dans lâailette).
Le flux échangé par cette ailette idéale serait :
Ïmax = h p L (T0 â Tâ) pour une ailette rectangulaire de pĂ©rimĂštre p et de longueur L
Ïmax = 2 h Ï (re2 â r0
2 )(T0 â Tâ) pour une ailette circulaire de rayon de base r0 et de rayon externe re.
LâefficacitĂ© de lâailette sâĂ©crit donc : đ =đđ
đmax
Nous en déduisons les résultats pratiques suivants :
Ailette rectangulaire longue :
đ =1
đđż (2.24)
Ailette rectangulaire isolĂ©e Ă lâextrĂ©mitĂ© :
đ =đĄâ(đđż)
đđż (2.25)
Ailette rectangulaire avec transfert de chaleur Ă lâextrĂ©mitĂ© :
(2.26)
Ailette circulaire de section rectangulaire :
(2.27)
Dans le cas de gĂ©omĂ©tries plus complexes (ailettes Ă section variable, ailettes aiguillesâŠ), il existe des
formules ou des abaques (cf. annexe A.2.10) permettant de dĂ©terminer lâefficacitĂ© des ailettes et ensuite
le flux de chaleur Ïp extrait par lâailette grĂące Ă la relation : Ïp =ηÏmax .
DĂ©partement dâElectrotechnique Modes de transfert de chaleur
Cours : Echauffement et refroidissement des actionneurs électromécaniques
15
3.2.5. Choix des ailettes
Les ailettes sont utilisĂ©es lorsquâil faut extraire une densitĂ© de flux importante dans un encombrement
rĂ©duit, exemples : radiateur dâautomobile, carter de moteur refroidi par air, Ă©vaporateur de climatiseurâŠ
Dâune façon gĂ©nĂ©rale, lâusage des ailettes est :
- Peu utile pour les liquides car h est grand.
- Utile dans le cas des gaz car h est faible.
Des ailettes étroites et rapprochées sont meilleures que des ailettes plus grandes et espacées mais on est
limitĂ© par les pertes de charges (elles augmentent si lâon diminue trop lâĂ©cartement des ailettes). Lâailette
est dâautant plus performante que sa conductivitĂ© thermique λ est Ă©levĂ©e. Le choix des ailettes est alors
un compromis entre le coĂ»t, lâencombrement, les pertes de charge et le transfert de chaleur
4. Transmission de chaleur par convection
Généralités. Définitions
Les transferts de chaleur qui sâeffectuent simultanĂ©ment avec des transferts de masse sont dits transferts
de chaleur par convection. Ce mode dâĂ©change de chaleur existe au sein des milieux fluides dans lesquels
il est généralement prépondérant.
Convection naturelle et forcée
Selon la nature du mécanisme qui provoque le mouvement du fluide on distingue :
- La convection libre ou naturelle : le fluide est mis en mouvement sous le seul effet des différences de
masse volumique rĂ©sultant des diffĂ©rences de tempĂ©ratures sur les frontiĂšres et dâun champ de forces
extérieures (la pesanteur).
- La convection forcée : le mouvement du fluide est induit par une cause indépendante des différences
de température (pompe, ventilateur...).
LâĂ©tude du transfert de chaleur par convection permet de dĂ©terminer les Ă©changes de chaleur se
produisant entre un fluide et une paroi.
4.1. - Coefficient dâĂ©change par convection
4.2. - Convection naturelle
4.3. - Convection forcée
5. Rayonnement
5.1. Lois du rayonnement
5.2. Rayonnement réciproque de plusieurs surfaces
5.3. Analogie Ă©lectrique