1. 巴俾涅原理1.1 光学上的巴俾涅原理

光源

阴影区互补屏

A B

光源

A B

0s csF F F

A B

光源吸收屏 阴影区

巴俾涅原理的光学说明

2 , ,csF f x y z

0 3 , ,F f x y z

图 a 图 c图 b

图 a ：左边放一个光源，在 A 处放一吸收屏，在 B 面上形成一个阴影区，则B 面（吸收屏后任意点）的场量：图 b ： A 处的吸收屏换成互补屏（互补屏是指它的透光与不透光的部分与原来的吸收屏相互交换。如果将两个互为互补的屏叠加在一起，就构成完全不透光的屏），则 B 面（吸收屏后任意点）的场量：图 c ：在 A 处没有屏时，则 B 面（吸收屏后任意点）的场量：巴俾涅原理说：在同一点处三者满足以下关系式：且该原理不仅适用于 B 面上，可适用于屏面 A 以后的任意一点。

1 , ,sF f x y z

1. 巴俾涅原理将光学上的巴俾涅原理推广到电磁场问题上，而且考虑他们的矢量特性。

1.1 电磁学上的巴俾涅原理 :理想导电板屏 ，其互补屏为理想导磁板

电源

i

i

H

E

磁导体电源

m

m

H

E电导体

电源槽口

e

e

H

E

图 a 图 c图 b图 a ：左边为电源，在 A 面处放上一个电屏面。电屏面上有一个槽口 Sa ，它后面的场为：图 b ：在 A 处换上互补屏，槽口部分用磁平面，其余部分为空，产生的场为：图 c ：在 A 处没有屏，产生的场为巴俾涅原理说：若：将 Em 与 Hm 看作是入射场与磁屏的散射场 Esm 与 Hsm 的叠加结果：即：则：该式说明：通过电屏面的场量等于它的互补磁屏上感应磁流产生的散射场的负值。

,e eH E

,m mH E

,i iH E

, 1e m i e m i E E E H H H

,m i ms m i ms E = E E H = H H

2e ms e ms E E ,H H

1. 巴俾涅原理1.1 电磁学上的巴俾涅原理 :

利用电磁对偶性把图 b 的磁屏换成图 d 的电屏，电源换成对偶电源于是由此产生的电磁场为d

d

H

E

对偶电源电导体

,d dH E

,d m d mE H H E ；

, 1e m i e m i E E E H H H

1 , 3e d i e d iH E －E E H H

将 看成是入射场 与电屏的散射场

的叠加的结果，即 ,d dE H ,id idE H ,sd sdE H

,d id sd d id sd E E E H H H

由电磁对偶性的互换原则 ,id i id i E H H E

3 e d i

e id sd e i sd e i sd i

e sd e sd

H

－

左 右

，同理

E E

E H H E E H E E H E

E H H E

电导体

电源槽口

e

e

H

E

图 a

当电流源与磁流源的形状与 Sa 相同，并与 Sa 重合时，源为对偶源，屏为互补屏时的电磁场同样满足该表达式

导体上是电源；缝隙上是磁源的情况e sd e sd ，同理E H H E

电导体

电源

e

e

H

E

电导体

d

d

H

E

对偶电源

电导体

电导体

电源槽口

e

e

H

E

图 a

导体上是磁源；缝隙上是电源的情况

导体上是电源；缝隙上是磁源的情况

当电流源与磁流源的形状与 Sa 相同，并与 Sa 重合时，源为对偶源，屏为互补屏时的电磁场同样满足该表达式

e sd e sd ，同理E H H E

d

d

H

E

对偶电源 槽口

电导体

第 5 章 缝隙天线与微带天线

5.1 缝隙天线

5.1.1 理想缝隙天线 如图 5―1―1 所示， 理想缝隙天线是开在无限大、无限薄的理想导体平面上 (yOz) 的直线缝隙， 它可以由同轴传输线激励。 缝隙的宽度 w 远小于波长， 而其长度 2l 通常为 λ/2 。

l2

w

y

x

1P 2PV

电流产生的电磁场变化到磁流产生的电磁场满足电与磁的对偶性： 电到磁不变号，磁到电变号规律， με 互换，把源由电 流变为磁流，则磁流产生的场可以通过电流产生的场作相应变换而得到。

; ;

0; ;

m mm m m

mm m m m

B DE J H

t t

D B Jt

ˆ

ˆ ˆ

ˆ

es n e

es n e ms n m

n

J a H

J a H J a E

a

理想导体表面的面电流密度：

类似：若某一空间曲面上有电磁场分布，则可以把它看做是等效的电流源与磁流源：

； ；

其中 为空间曲面的法向单位矢量；

; ; ;

; ;e m e m e m e m

e m e m

B D H E E H D B

J J

1P

理想导电平面

缝隙z

y

l2

w

wl 2

2PV

无论缝隙被何种方式激励， 缝隙中只存在切向的电场强度， 电场强度一定垂直于缝隙的长边， 并对缝隙的中点呈上下对称的驻波分布， 即

ˆ( ) sin[ ( ] 5.1.1m yE z E k l z e

式中 Em 为缝隙中波腹处的场强值。如果引入等效的磁流源，在 x>0 的半空间内，缝隙相当于一个等效磁流源，其等效磁流密度为

0ˆ ˆ ˆ ˆsin[ ( ] sin[ ( )] 5.1.2m x x m y m zJ n E e E k l z e E k l z e

也就是说 , 缝隙最终可以被等效成一个片状的、沿 z 轴放置的、与缝隙等长的磁对称振子。当讨论远区的辐射问题时，可以将缝隙视为线状磁对称振子，根据与全

电流定律对偶的全磁流定律： 5.1.3e m

l lI H dl I E dl

5.1.3 式 参考文献：杨恩耀、杜加聪 电子工业出版社

对于 x>0 的半空间内，其等效磁流强度为 2 sin[ ( )] 5.1.4m

mI E k l z

上式中的磁流最大值为 2Emw 。

60 cos( cos ) cos exp( ) 1 4 4

sin120 cos( cos ) cos

exp( )2 sin

cos( cos ) cos exp( )

2 sincos( cos ) cos

exp( )120 2 sin

m

m

m

m

I l lE j j r

rI l l

E j j rr

I l lE j j r

rE I l l

H j j rr

2 cos( cos ) cos exp( ) (5 1 6)

2 sin

2 cos( cos ) cos exp( ) (5 1 5)

2 sin

m

m

E w l lH j j r

r

E w l lE j j r

r

X>0

根据电磁场的对偶原理，磁对称振子的辐射场可以直接由电对称振子的辐射场对偶得出为

在 x<0 的半空间内，由于等效磁流的方向相反，因此电场和磁场表达式分别为（ 5 ― 1―5 ）式和（ 5―1―6 ）的负值。

2 sin[ ( )] 5.1.4mmI E k l z

ˆms n mJ a E

；

我们通常称理想缝隙与和它对偶的电对称振子为互补天线，因为它们相结合时形成单一的导体屏而没有重叠或孔隙。它们的区别在于场的极化不同： H 面（通过缝隙轴 z 向并且垂直于金属板的平面 xoz ）、 E 面（垂直于缝隙轴 z 向和金属板的平面 xoy ）互换 。参见图 5―1―2 ，但是两者具有相同的方向性，其方向函数为

例如 , 理想半波缝隙天线 (2l=λ/2) 的 H 面方向图如 5―1―2(b) 图所示，而其 E 面无方向性。

cos( cos ) cos( ) 5.1.2

sin

kl klf

°ë²¨·ì϶ÌìÏßµÄ H Ãæ·½Ïòͼ

z

y

x £¼0 x £¾0

图 5―1―2 缝隙的场矢量线分布图

(a) 电力线； (b) 磁力线

理想缝隙天线同样可以计算其辐射电阻。如果以缝隙的波腹处电压值 为计算辐射电阻的参考电压，缝隙的辐射功率 Pr,m 与辐射电阻 Rr,m 之间的关系、电对称振子的辐射功率 Pr,e 与其辐射电阻 Rr,e 的关系为

理想缝隙天线与和电对称辐射电阻之间的关系：

因此，理想半波缝隙天线的辐射电阻为与之对应的辐射电导 Gr,m≈0.002S 。理想半波缝隙天线的输入电阻也为 500Ω ，该值很大，所以在用同轴线给缝隙馈电时存在困难，和半波振子类似，必须采用相应的匹配措施。

2 22 22 2

,,

2 2 2 22 2, ,

1 1 1sin , sin

2 2 2

1 1 1sin 60 , sin

2 2 2

m mr m

r m S S

er e m r e m

S S

u UP E r d d f r r d d

R

P I R E r d d I f r r d d

m mU E dl E w

60 cos( cos ) cos 60 , 1.4.4

sincos( cos ) cos

, (5 1 5) sin

mm

m m

I l lE I f r

rU Ul l

E f rr

2 22 2

, , 2 2

2, ,

60, sin

, sin

(60 ) 5.1.11

r m r e

S

S

r m r e

R R f r r d df r r d d

R R

2

,

(60 )500

73.1r mR

2 sin[ ( )] 5.1.4mmI E k l z

（ 5―1―11 ）式可以推广到辐射阻抗，即 Zr,mZr,e=(60π)2 （ 5―1―12 ）

还可以推广到输入阻抗，即 Zin,mZin,e=(60π)2 （ 5―1―13 ）

式（ 5―1―12 ）和式（ 5―1―13 ）表明，任意长度的理想缝隙天线的输入阻抗、辐射阻抗均可以由与其互补的电对称振子的相应值求得。由于谐振电对称振子的输入阻抗为纯阻，因此谐振缝隙的输入电阻也为纯阻，并且其谐振长度同样稍短于 λ/2 ，且缝隙越宽，缩短程度越大。

5.1.2 缝隙天线 最基本的缝隙天线是由开在矩形波导壁上的半波谐振缝隙构成的。由电磁场理论，对 TE10 波而言，如图 5―1―3 所示，在波导宽壁上有纵向和横向两个电流分量，横向分量的大小沿宽边呈余弦分布，中心处为零，纵向电流沿宽边呈正弦分布，中心处最大；而波导窄壁上只有横向电流，且沿窄边均匀分布。如果波导壁上所开的缝隙能切割电流线，则中断的电流线将以位移电流的形式延续，缝隙因此得到激励，波导内的传输功率通过缝隙向外辐射，这样的缝隙也就被称为辐射缝隙，例如图 5―1―4 所示的缝隙 a 、 b 、 c 、 d 、 e 。当缝隙与电流线平行时，不能在缝隙区内建立激励电场，这样的缝隙因得不到激励，不具有辐射能力，因而被称为非辐射缝隙，如缝隙 f 。为了获得最强辐射应使缝隙垂直截断电流密度最大处的电流线，即应沿磁场强度最大处的磁场方向开缝。

图 5―1―3 TE10 波内壁电流分布与缝隙配置示意图

a

h g

bf

e

d

c宽壁横缝宽壁纵缝宽壁斜缝窄壁纵缝窄壁斜缝。

0 02ˆ ˆsin cosj z j z

z xsJ a H x e a H x ea a a

jh

宽

0ˆ j zysJ a H e

窄

受激励的波导缝隙形成了开在有限金属面上的窄缝，实验证明，沿波导缝隙的电场分布与理想缝隙的几乎一样，近似为正弦分布。当金属面的尺寸有限时，缝隙天线的边界条件发生了变化，对偶原理不能应用，有限尺寸导电面引起的电波绕射会使得天线的辐射特性发生改变。严格的求解缝隙的辐射场需要几何绕射理论或数值求解方法。实验和计算均表明，对于开在矩形波导上的缝隙， E 面（垂直于缝隙轴向和波导壁面的平面）方向图与理想缝隙天线相比有一定的畸变。对于宽边上的纵缝，由于沿 E 面的电尺寸对标准波导来说只有 0.72λ ，所以其 E 面方向图的差别较大（如图 5―1―4 所示）；而开在宽边上的横缝，随着波导的纵向尺寸变长，其 E 面方向图逐渐趋向于理想的半圆形。矩形波导缝隙天线的 H 面（通过缝隙轴向并且垂直于波导壁的平面）沿金属面方向的辐射为零，所以波导的有限尺寸带来的影响相对较小，因此其 H 面方向图与理想缝隙天线差别不大。

考虑到波导缝隙天线和理想缝隙天线的辐射空间不同，由于波导缝隙是单向辐射，波导缝隙天线的辐射功率相当于理想缝隙天线的一半，因此波导缝隙天线的辐射电导也就为理想缝隙天线的一半，对于半波谐振波导缝隙，其辐射电导为Gr,m≈0.001S 。

波导上的辐射缝隙给波导内的传输带来的影响，不仅是将传输的能量经过缝隙辐射出去，还引起了波导内等效负载的变化，从而引起波导内部传输特性的变化。根据波导缝隙处电流和电场的变化，可以把缝隙等效成传输线中的并联导纳或串联阻抗，从而建立起各种波导缝隙的等效电路。由微波技术知识可知，波导可以等效为双线传输线，所以波导上的缝隙可以等效为和传输线并联或串联的等效阻抗。如图 5―1―5 所示，由于宽壁横缝截断了纵向电流，因而纵向电流以位移电流的形式延续，其电场的垂直分量在缝隙的两侧反相，导致缝隙的两侧总电场发生突变，故此种横缝可等效成传输线上的串联阻抗。而如图 5―1―6 所示的波导宽壁纵缝却使得横向电流向缝隙两端分流，因而造成此种缝隙两端的总纵向电流发生突变，所以矩形波导宽壁纵缝等效成传输线上的并联阻抗或导纳。若某种缝隙同时引起纵向电流和电场的突变，则可以把它等效成一个四端网络。图 5―1―7给出了矩形波导壁上典型缝隙的等效电路。

22

, ,,

1 1

2 2m

r m m r mr m

uP u G

R

ºáÏò·ì϶

b

ºáÏòµçÁ÷×ÝÏòµçÁ÷

×ÝÏò·ì϶

a

串联分压；并联分流

由微波技术知识可知，波导可以等效为双线传输线，所以波导上的缝隙可以等效为和传输线并联或串联的等效阻抗。如图 5―1―5 所示，由于宽壁横缝截断了纵向电流，因而纵向电流以位移电流的形式延续，其电场的垂直分量在缝隙的两侧反相，导致缝隙的两侧总电场发生突变，故此种横缝可等效成传输线上的串联阻抗。而如图 5―1―6 所示的波导宽壁纵缝却使得横向电流向缝隙两端分流，因而造成此种缝隙两端的总纵向电流发生突变，所以矩形波导宽壁纵缝等效成传输线上的并联阻抗或导纳。若某种缝隙同时引起纵向电流和电场的突变，则可以把它等效成一个四端网络。图 5―1―7给出了矩形波导壁上典型缝隙的等效电路。

图 5―1―7 矩形波导壁上各种缝隙的等效电路

b

a

a a a b

g £«jb

r £«jx r £«jx r £«jx

g £«jb g £«jb

如果波导缝隙采用了谐振长度，它们的输入电抗或输入电纳为零，即它们的等效串联阻抗或并联导纳中只含有实部，不含有虚部。图 5―1―8显示了三种典型缝隙的位置参数。图5―1―8(a) 是宽边纵向半波谐振缝隙，其归一化电导为

式中 ,a、 b分别为波导宽边、窄边的口径尺寸； λg 、 λ分别为波导波长、自由空间波长； x1 为缝隙中心到波导对称轴的垂直距离（下同）。 图 5―1―8(b) 是宽边横向半波谐振缝隙，其归一化电阻为

图 5―1―8(c) 是窄边斜半波谐振缝隙，其归一化电导为

计算任意缝隙的等效阻抗或导纳是一个极复杂的问题，也没有其等效电路的一般公式，等效电路参数可以由实验来决定。

2 212.09 sin ( ) cos ( ) 5.1.142

g

g

a xg

b a

2

3 2 2 10.523( ) cos ( )cos ( ) 5.1.154

g xr

b ab a a

3

23

sin cos( sin )2

0.131 [ sin ] 5.1.161 ( sin )

g g

g

ga b

窄边横缝隙，不辐射

ax 1

g

r

x1a b

g

(a ) (b ) (c )

有了相应的等效电路，波导内的传输特性就可以依赖于微波网络理论来分析，例如后向散射系数 |s11|及频率响应曲线，从而更方便地计算矩形波导缝隙天线的电特性，例如传输效率及匹配情况。 在已获得匹配的波导上开出辐射缝隙，将会破坏波导的匹配情况。为了使带有缝隙的波导匹配，可以在波导的末端短路，利用短路传输线的反射消去谐振缝隙带来的反射，使得缝隙波导得到匹配。

5.1.3 缝隙天线阵为了加强缝隙天线的方向性，可在波导上按一定规律开出一系列尺寸相同的缝隙，构成波导缝隙阵。由于波导场分布特点，缝隙天线阵的组阵形式更加灵活和方便，但主要有以下两类组阵形式。1. 谐振式缝隙阵馈线 波导上所有缝隙同相激励，最大辐射方向与天线轴垂直，为边射阵，波导终端通常采用短路活塞。 图 5―1―9 给出了常见的谐振式缝隙阵，其中图 (a) 为开在宽壁上的横向缝隙阵，为保证各缝隙同相，相邻缝隙的间距应取为 λg 。由于波导波长 λg 大于自由空间波长，这种缝隙阵会出现栅瓣，同时在有限长度的波导壁上开出的缝隙数目受到限制，增益较低，因此实际中较少采用。

g

g

/ 2

g

g / 2 g

/ 2

(a )

(b )¼¤Àø

»îÈû

实际应用中的谐振式纵向缝隙阵多为图 5.1.9

(b),(c)显示的结构。图 (b) 对应的缝隙阵，利用了在宽壁中心线两侧对称位置处横向电流反相、沿波导每隔 λg/2 场强反相的特点，纵缝每隔 λg/2交替地分布在中心线两侧即可得到同相激励。

馈线 短路活塞

g / 2

g

/ 2

(c )

(d )

而图 (c) 对应的螺钉也需要交替地分布在中心线两侧。对于开在窄壁上的斜缝，如图 (d) 所示，相邻斜缝之间的距离为 λg/2 ，斜缝通过切入宽壁的深度来增加缝隙的总长度，并且依靠倾斜角的正负来获得附加的 π 相差，以补偿横向电流λg/2 所对应的 π 相差而得到各缝隙的同相激励。

螺钉

2. 非谐振式缝隙阵（ Nonresonant Slot Arrays ） 在图 5―1―9 所示的结构中，如果将波导末端改为吸收负载，让波导载行波，并且间距不等于 λg/2 ，就可以构成非谐振式缝隙阵。显然，非谐振缝隙天线各单元不再同相。由传输线理论可知，类似于图 5―1―9(a) 的缝隙天线阵，相邻缝

隙的相位依次落后 。类似于图 5―1―9(b) 的缝隙天线阵，相 邻缝隙除行

波的波程差 之外， 还有附加的 180° 相移，所以相邻缝隙之间的相位差将

沿行波方向依次落后 。根据均匀直线阵的分析，非谐振缝隙

天线阵的最大辐射方向偏离阵法线的角度为

非谐振缝隙天线适用于频率扫描天线，因为 α 与频率有关，波束指向 θmax 可以随之变化。非谐振式天线的优点是频带较宽，缺点是效率较低。

2

g

d

2

g

d

max arcsin2 d

2

g

d

3. 匹配偏斜缝隙阵 如果谐振式缝隙天线阵中的缝隙都是匹配缝隙，即不在波导中产生反射，波导终端接匹配负载，就构成了匹配偏斜缝隙天线阵。如图 5―1―10显示的波导宽壁上的匹配偏斜缝隙天线阵，适当地调整缝隙对中线的偏移 x1 和斜角 δ，可使得缝隙所等效的归一化输入电导为 1 ，其电纳部分由缝隙中心附近的电抗振子补偿，各缝隙可以得到同相，最大辐射方向与宽壁垂直。匹配偏斜缝隙天线阵能在较宽的频带内与波导有较好的匹配，带宽主要受增益改变的限制，通常是 5%~10% 。它的缺点是调配元件使波导功率容量降低。 矩形波导缝隙天线阵的方向图也可用方向图乘积定理求出，单元天线的方向图即为与半波缝隙互补的半波对称振子的方向图，阵因子决定于缝隙的间距以及各缝隙的相对激励强度和相位差。 工程上波导缝隙天线阵的方向系数可用下式估算： 式中 N 为阵元缝隙个数。

3.2D N

g

/2

x1

/2

图 5―1―10 匹配偏斜缝隙天线

近年来，波导缝隙阵列由于其低损耗、高辐射效率和性能稳定等一系列突出优点而得到广泛应用。缝隙天线不仅仅是指矩形波导缝隙天线，而且还有异形波导面上的缝隙天线，例如为了保证与承载表面共形，波导的一个表面或两个表面常常是曲面形状 , 图 5―1―11显示了扇面波导缝隙天线和圆突 - 矩形波导缝隙天线，其主要的研究热点为精确地计算相应缝隙的等效阻抗［ 19 ］ 。另外 ,圆极化径向缝隙天线即 RLSA （ Radial Line Slot Antenna ［ 20 ］也在接收卫星直播电视及各种地面移动体卫星通信中得到应用，这是一种高效率、高增益的平板式天线。还有利用印刷工艺制作的毫米波缝隙天线［ 21 ］ ，将覆盖有薄膜的介质基片作为波导壁，在金属薄膜上腐蚀出相应的缝隙阵列，该天线精度高、成本低，可以在一定的程度上抑制旁瓣电平。

图 5―1―11 曲面波导缝隙天线

(a)圆突—矩形波导缝隙天线； (b)扇面波导缝隙天线

(a ) (b )

5.2 微带天线参考文献：微带天线理论与应用　　钟顺时　Ｐ１１　　传输线模型

近代天线理论　谢处方　Ｐ２０９　　　　腔模理论

电与磁的对偶性： 电到磁不变号，磁到电变号规律，把源由电 流变为磁流，则磁流产生的场可以通过电流产生的场作相应变换而得到。

l2

w

wl 2

1P 2P

理想导电平面

缝隙

z

x V

; ;

0; ;

m mm m m

mm m m m

B DE J H

t t

D B Jt

ˆms n mJ a E

; ; ;

; ;

e m e m e m e m

e m e m

B D H E E H D B

J J

ˆs nJ a H

1( ) ( )H R A R

0

1

E j A V

AA j V V

j

AE j A j A j A

j

洛伦兹条件：

' '

''( ) - '

4 4

jkRjkRs

V V

J e dSJe dVA R R r r

R R

；

已知电荷与电流 分布，矢量位方法 求电磁场 ,r J r

（ 1 ）求矢量磁位Ａ

（２）求电磁场

1( ) ( )

1

H R A R

E j A j A

'

'( )

4- '

jkRs

V

J e dSA R

RR r r

；

已知磁荷与磁流 分布，矢量位方法 求电磁场 ,m mr J r

（ 1 ）求矢量磁位Ａ

（２）求电磁场

对偶原理

'

' '( )

4- '

s jkRm

V

J r e dSF R

RR r r

；

（ 1 ）求矢量电位Ｆ

（２）求电磁场

1

1

E F

H j F j F

5.2 微带天线 微带天线 (Microstrip Antennas) 是由导体薄片粘贴在背面有导体接地板的介质基片上形成的天线。微带辐射器的概念首先由 Deschamps 于 1953年提出来。但是，过了 20年，到了 20世纪 70年代初，当较好的理论模型以及对敷铜或敷金的介质基片的光刻技术发展之后，实际的微带天线才制造出来，此后这种新型的天线得到长足的发展。 和常用的微波天线相比，它有如下一些优点：体积小，重量轻，低剖面，能与载体共形；制造成本低，易于批量生产；天线的散射截面较小；能得到单方向的宽瓣方向图，最大辐射方向在平面的法线方向；易于和微带线路集成；易于实现线极化和圆极化，容易实现双频段、双极化等多功能工作。微带天线已得到愈来愈广泛的重视，已用于大约 100MHz~100GHz 的宽广频域上，包括卫星通信、雷达、遥感、制导武器以及便携式无线电设备上。相同结构的微带天线组成微带天线阵可以获得更高的增益和更大的带宽。5.2.1 矩形微带天线 微带天线的基本工作原理可以通过考察矩形微带贴片来理解。对微带天线的分析可以用数值方法求解，精确度高，但编程计算复杂，适合异形贴片的微带天线；还可以利用空腔模型法或传输线法近似求出其内场分布，然后用等效场源分布求出辐射场，例如矩形微带天线 (RectangularPatch Microstrip Antenna)的分析。

zx

y

O

L

W

r

E

msJ

zx

y

O

L

W

r

E

msJ

5.2.1 矩形微带天线 微带天线的基本工作原理可以通过考察矩形微带贴片来理解。对微带天线的分析可以用数值方法求解，精确度高，但编程计算复杂，适合异形贴片的微带天线；还可以利用空腔模型法或传输线法近似求出其内场分布，然后用等效场源分布求出辐射场，例如矩形微带天线 (RectangularPatch Microstrip Antenna)的分析。

矩形微带天线是由矩形导体薄片粘贴在背面有导体接地板的介质基片上形成的天线。如图 5―2―1 所示，通常利用微带传输线或同轴探针来馈电，使导体贴片与接地板之间激励起高频电磁场，并通过贴片四周与接地板之间的缝隙向外辐射。微带贴片也可看作为宽为 W 、长为 L 的一段微带传输线，其终端 (y=L 边 ) 处因为呈现开路，将形成电压波腹和电流的波节。一般取 L≈λg

/2 ， λg 为微带线上波长。于是另一端 (y=0 边 ) 也呈现电压波腹和电流的波节。此时贴片与接地板间的电场分布也如图 5―2―1 所示。

zx

y

O

L

W

r

E

msJ

该电场可近似表达为（设沿贴片宽度和基片厚度方向电场无变化）

由对偶边界条件，贴片四周窄缝上等效的面磁流密度为式中， E=exEx ， ex 是 x方向单位矢量； en 是缝隙表面（辐射口径）的外法线方向单位矢量。由（ 5―2―2 ）式，缝隙表面上的等效面磁流均与接地板平行，如 图 5―2―1虚线箭头所示。可以分析出，沿两条 W 边的磁流是同向的，故其辐射场在贴片法线方向 (x轴 ) 同相相加，呈最大值，且随偏离此方向的角度的增大而减小，形成边射方向图。 沿每条 L 边的磁流都由反对称的两个部分构成，它们在 H面 (xOz 面 ) 上各处的辐射互相抵消；而两条 L 边的磁流又彼此呈反对称分布，因而在 E面 (xOy 面 ) 上各处，它们的场也都相消。在其它平面上这些磁流的辐射不会完全相消，但与沿两条 W 边的辐射相比，都相当弱，成为交叉极化分量。由上可知，矩形微带天线的辐射主要由沿两条 W 边的缝隙产生，该二边称为辐射边。

0 cos( ) 5.2.1x

yE E

L

zx

y

O

L

W

r

E

msJ

ˆ 5.2.2ms nJ e E

' 'r r r x

'r

x

y

z

0

( , , )P x y z

r

'' 'cos

1' sin cos ' sin sin ' cos

r rr r r r r

r

r x r y r z rr

矩形微带天线分析（腔模理论）分析微带天线可以用多种方法，如失位法、并矢格林函数法、模式展开法、传输线模型法以及谐振腔模型法等。这里只介绍谐振腔模型法。这种方法假设：(1 ）微带辐射元和接地板之间的场被认为是由沿 y 方向传播入射波和反射波叠加，每个波的电场只有 Ez 分量，磁场有 Hx 、 Hy 分量，所有场量只是 x ， y 的函数，而与 z 无关（ 2 ）微带的边缘上，除激励点外，几乎没有 z 方向的电流。即不计磁场 H 沿边缘切向分量的影响。因此微带天线被视为上、下为电壁，四周为磁壁的谐振腔。即： z＝ 0 ， z＝ h 处的电壁， x＝ 0 ， x＝ a ， y＝ 0 ， y＝ b 处的磁壁为边界的谐振器。（ 3 ） 若用同轴线馈电 ( 同轴线的内导体与贴片连接，外导体与接地板连接 ) ，假定在馈电点处有一个 z 向单位电流；若用图所示微带线馈电，则假定在馈电点处有一个 z 向单位电流片，其宽度近似等于微带馈线的宽度。经这样处理后，求微带天线的内场问题就归结为求满足上述边界条件下的谐振器问题。

x

yz

贴片介质基片

接地板

0

bc

ha

d

馈线

x

z

0

h E 壁

E 壁

H 壁H 壁x

z

0

h

c adx

z

0

h

c ad 微带馈线等效的电流密度分布

ˆ ( , 0)

0 zJe c x d y

J

其它各处

x

y

z

贴片介质基片

接地板

0

b

ch

ad馈线

(1) 求微带天线的内场问题就归结为求满足上述边界条件下的谐振器问题(2)微带天线的内场确定后，便可以计算其电流分布。如果微带天线的介质材料为各向同性、均匀和无损耗，微带辐射元与接地板的电导率为无限大，则面电流与面磁流可以分别用切向电场与切向磁场来表示。

(3) 求得面电流与面磁流，由此通过矢量位方法求微带天线的辐射场。

ˆ ˆ

ˆes n e ms n m

n

J a H J a E

a

； ；

其中 为空间曲面的法向单位矢量；

22

0

0

0

cos cos

cos cos

si

1

sin

;

n

n n

n n

n n

jk y jk yz n n

jk y jk yn nx n n

jk y jk yy n n

n

n

n

n

n nE A x e A x e

a a

k kn nH A x e A x e

a a

j n n j n nH A x e A x e

a a a a

nk k

ak

其中

22 ;

n

a

n nj k k

a a

k

（ 1.1 ）写出通解：根据上述假设，谐振腔中的电磁场可以写成

2

0

0

0

cos

co

1

cos b 2

sin bs

cos n bsi

2

n

n

j k bn n

z n n

x n n n

y n n

jk bn n

n

n

n

A A e

nE A x k y

a

j nH A k x k y

a

j n nH A x k y

a a

A A e

带入（）式，并利用欧 ，

其

得

中

拉公式 可

（ 1.2 ）带入边界条件定解：y＝ b 处，磁场的切向分量 Hx=0 可得：

y＝ 0 处，激励电流为：ˆ ( , 0)

0 zJe c x d y

J

其它各处

（ 1.2 ）带入边界条件定解： y＝ 0 处，激励电流为：

ˆ ( , 0)

0 zJe c x d y

J

其它各处

0

10

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

( , 0)

0

0

, 0 0

cos

cos 3

cos cos cos

es n e y x x y y z x y

x

x

xn

n

J a H a a H a H a H

J c x d yH

ny H x

a

nH x y H H x x a

a

n n mx x x

a a a

其它各处

在 处，把 以 为基函数展开，即令

系列函数的利用 正交性，即：

0

0

100 0 0

0

2

3 0

, 0

cos

cos cos cos cos

a

n

a a a

x nn

m ndx a

m n

mH H x x a

a

m m n mH x y x dx H x dx H x x dx

a a a a

既可以求得 与 ，其方法是在（）式两边同乘以 并对 从 到 积分：

1

0

cos

cos

c

4 4sin

2 2

sin2 2

4, 0 0os 3

2 0

c

n n

n

x n

x n n

n

d cH J

a

J n n JH d c d c R

n a a n

n nR d c d c

a a

d c J nH x y J R x x a

a n a

jH A

y

k

令（）式中的 ，可得：

0

0

sios (4)

3

n

sin( )

4

(5)

4

sin

n

nn

n n

n

nx k b

a

d cA j J

ak kb

RA j J

n k k b

比较式 与式 可得

=

0

0

cos

cos

cos

5 2

4 sin2 2

cos b 2sin

4 sin2 2

sin bsi

cn

4 sin2

os

z nn n

x

n

nn

n

y

n nd c d c

a a nE j J x k y

n k k b a

n nd c d c

a a nH J x k y

n k b a

nd c

aH J

把 式带入 式可得：

－

0

cos2

sin bsi

cn

osn nn

n

nd c

a nx k y

ak k b a

忽略电壁外的电流，可以认为辐射是由磁壁上的磁流产生的，考虑到接地板存在，由镜像原理可得：

ˆ ˆ ˆms n n z zJ e E e e E

(2)微带天线的内场确定后，便可以计算其电流分布。为了数明如何计算远区场，改用一个简单的例题进行分析。 m＝ 0 ， n＝ 1模式的磁流产生的远区场。

为了计算方向图方便，把坐标原点移到矩形微带天线中心，可计算出 m＝ 0 ， n＝ 1模式的磁流分布：

0

0

1 1

1 1

ˆ,2

ˆ,2

ˆ, cos2 2

ˆ, cos2 2

ms x

ms x

ms y

ms y

bJ x e A

bJ x e A

a bJ y e A k y

a bJ y e A k y

矩形微带天线的磁流分布

Ｘ

Ｙ

Ｚ

0ˆ,2

ms x

bJ x e A

0ˆ,2

ms x

bJ x e A

1 1

,2

ˆ cos2

ms

y

aJ y

be A k y

1 1

,2

ˆ cos2

ms

y

aJ y

be A k y

矩形微带天线的磁流分布

Ｘ

Ｙ

Ｚ

0ˆ,2

ms x

bJ x e A

0ˆ,2

ms x

bJ x e A

1 1

,2

ˆ cos2

ms

y

aJ y

be A k y

1 1

,2

ˆ cos2

ms

y

aJ y

be A k y

沿两条W 边的磁流是同向的，故其辐射场在贴片法线方向 (x 轴 ) 同相相加，呈最大值，且随偏离此方向的角度的增大而减小，形成边射方向图。 沿每条 L 边的磁流都由反对称的两个部分构成，它们在 H 面 (xOz 面 ) 上各处的辐射互相抵消；而两条 L 边的磁流又彼此呈反对称分布，因而在 E 面 (xOy 面 ) 上各处，它们的场也都相消。在其它平面上这些磁流的辐射不会完全相消，但与沿两条W

边的辐射相比，都相当弱，成为交叉极化分量。因此矩形微带天线的辐射主要由沿两条W 边的缝隙产生，该二边称为辐射边。

矩形微带天线的磁流分布

Ｘ

Ｙ

Ｚ

0ˆ,2

ms x

bJ x e A

0ˆ,2

ms x

bJ x e A

1 1

,2

ˆ cos2

ms

y

aJ y

be A k y

1 1

,2

ˆ cos2

ms

y

aJ y

be A k y

(3) 求得面电流与面磁流，由此通过矢量位方法求微带天线的辐射场。

5.2 微带天线 微带天线 (Microstrip Antennas) 是由导体薄片粘贴在背面有导体接地板的介质基片上形成的天线。微带辐射器的概念首先由 Deschamps 于 1953年提出来。但是，过了 20年，到了 20世纪 70年代初，当较好的理论模型以及对敷铜或敷金的介质基片的光刻技术发展之后，实际的微带天线才制造出来，此后这种新型的天线得到长足的发展。 和常用的微波天线相比，它有如下一些优点：体积小，重量轻，低剖面，能与载体共形；制造成本低，易于批量生产；天线的散射截面较小；能得到单方向的宽瓣方向图，最大辐射方向在平面的法线方向；易于和微带线路集成；易于实现线极化和圆极化，容易实现双频段、双极化等多功能工作。微带天线已得到愈来愈广泛的重视，已用于大约 100MHz~100GHz 的宽广频域上，包括卫星通信、雷达、遥感、制导武器以及便携式无线电设备上。相同结构的微带天线组成微带天线阵可以获得更高的增益和更大的带宽。5.2.1 矩形微带天线 微带天线的基本工作原理可以通过考察矩形微带贴片来理解。对微带天线的分析可以用数值方法求解，精确度高，但编程计算复杂，适合异形贴片的微带天线；还可以利用空腔模型法或传输线法近似求出其内场分布，然后用等效场源分布求出辐射场，例如矩形微带天线 (RectangularPatch Microstrip Antenna)的分析。

矩形微带天线是由矩形导体薄片粘贴在背面有导体接地板的介质基片上形成的天线。如图 5―2―1 所示，通常利用微带传输线或同轴探针来馈电，使导体贴片与接地板之间激励起高频电磁场，并通过贴片四周与接地板之间的缝隙向外辐射。微带贴片也可看作为宽为 W 、长为 L 的一段微带传输线，其终端 (y=L 边 ) 处因为呈现开路，将形成电压波腹和电流的波节。一般取 L≈λg

/2 ， λg 为微带线上波长。于是另一端 (y=0 边 ) 也呈现电压波腹和电流的波节。此时贴片与接地板间的电场分布也如图 5―2―1 所示。

zx

y

O

L

W

r

E

msJ

该电场可近似表达为（设沿贴片宽度和基片厚度方向电场无变化）

由对偶边界条件，贴片四周窄缝上等效的面磁流密度为式中， E=exEx ， ex 是 x 方向单位矢量； en 是缝隙表面（辐射口径）的外法线方向单位矢量。由（ 5―2―2 ）式，缝隙表面上的等效面磁流均与接地板平行，如 图 5―2―1虚线箭头所示。可以分析出，沿两条W 边的磁流是同向的，故其辐射场在贴片法线方向 (x 轴 ) 同相相加，呈最大值，且随偏离此方向的角度的增大而减小，形成边射方向图。 沿每条 L 边的磁流都由反对称的两个部分构成，它们在 H 面 (xOz 面 ) 上各处的辐射互相抵消；而两条 L 边的磁流又彼此呈反对称分布，因而在 E 面 (xOy 面 ) 上各处，它们的场也都相消。在其它平面上这些磁流的辐射不会完全相消，但与沿两条W 边的辐射相比，都相当弱，成为交叉极化分量。由上可知，矩形微带天线的辐射主要由沿两条W 边的缝隙产生，该二边称为辐射边。

0 cos( ) 5.2.1x

yE E

L

zx

y

O

L

W

r

E

msJ

ˆ 5.2.2ms nJ e E

(3) 求得面电流与面磁流，由此通过矢量位方法求微带天线的辐射场。先计算 y=0 处辐射边产生的辐射场，该处的等效面磁流密度 Jms=－ ezE0 。采用矢位法，对远区观察点 P(r,θ,φ) （ θ从 z 轴算起， φ从 x 轴算起），等效磁流产生的电矢位可以由电流产生的磁矢位对偶得出：

zx

y

O

L

W

r

E

msJ

- '

'0

- '

'

/ 2 ( 'sin cos 'cos )0/ 2

' '( )

4 - '

' '4

ˆ ' '4

jk r rsm

Vy

jk r rsmV

W h jk r x zzW h

J r e dSF R

r r

J r e dSr

e E e dx dzr

该式中Ｅ０已经计入了接地板引起的 Jms正镜像效应。积分得

0

1sin( cos )sin( sin cos ) 2ˆ

sin cos cosjkr

z

kWE h khF e e

r kh k

由矢位引起的电场，并把电场转移到球坐标系下1

E F

对于远区，只保留 1/r项，再计入 y=L 处辐射边的远场，考虑到间隔距离为 λg/2 的等幅同相二元阵的阵因子为

12cos( sin cos )

2af kL

微带天线远区辐射场为

0

1sin( cos )2 sin( sin cos ) 12 sin cos( sin sin ) 5.2.8

sin cos cos 2jkr

kWE h khE e j kL e

r kh

实际上， kh<<1 ，上式中地因子　　　　　　　　　约为 1 ，故方向函数可表示为

1

sin( cos ) 12( , ) sin cos( sin sin ) 5.2.91 2cos2

kWF kW

kW

sin( sin cos )

sin cos

kh

kh

H 面（ φ=0° ， xOz 面）： 1

sin( cos )2( ) sin

1cos

2

H

kWF

kW

E 面（ θ=90° ， xOy 面）：

1( ) cos( sin )

2EF kL

图 5―2―2显示了某特定矩形微带天线的计算和实测方向图。两者略有差别，因为在以上的理论分析中，假设了接地板为无限大的理想导电板，而实际上它的面积是有限的。

180¡ã

90¡ã

0¡ã

30¡ã

60¡ã

150¡ã

120¡ã

90¡ã£ 90¡ã

£ 60¡ã

£ 30¡ã

0¡ã30¡ã

60¡ã

£ 5dB£ 5dB

ʵ²âÁ¿

¼ÆËãÖµ

(a ) (b )

(W £½1 cm £¬ L £½3.05 cm£¬ f£½3.1 GHz)

原则上将方向函数 F(θ,φ)代入方向系数的一般公式（ 1―2―18 ），就可以求得矩形微带天线的方向系数。当 W<<λ 时，矩形微带天线的方向系数 D≈3×2=6 ，因子3 是单个辐射边的方向系数。 如果定义 Um=E0h ，按辐射电导的定义式

2,

1

2r m r mP U G

可求得每一条辐射边的辐射电导

2

3, 20

sin ( cos )1sin

cosr m

W

G d

当 W<<λ 时， 当 W>>λ 时，

2, ,

1 1( )

90 120r m r m

W WG G

矩形微带天线的输入阻抗可用微带传输线法进行计算。图 5―2―3 表示其等效电路。每一条辐射边等效为并联的导纳 G+jB 。如果不考虑两条辐射边的互耦，则每一条辐射边都可以等效成相同的导纳，它们被长度为 L 、宽度为 W 的低阻微带隔开。设该低阻微带线的特性导纳为 Yc ，则输入端的输入导纳为

[ tan( )]( )

( ) tan( )in cc

G j B LY G jB Y

Y j G jB L

2 2

g

e

为微带线的相移常数 ,εe 为其有效介电常数。当辐射边处于谐振状态时，输入导纳Yin=2Gr,m 。

΢´øÌìÏß

G GjB jB

5.2.2 双频微带天线（ Duel Band Mic rostrip Antenna ） 许多卫星及通信系统需要同一天线工作于两个频段，如 GPS 全球定位系统、 GSM ，全球移动通信系统、 PCS 个人通信业务系统等。同时，对于频谱资源日益紧张的现代通信领域 ,迫切需要天线具有双极化功能，因为双极化可使它的通信容量增加 1倍。对于有些系统，则要求系统工作于双频，且各个频段的极化又不同。微带天线的工作频率非常适合于这些通信系统，而微带天线的设计灵活性也使得微带天线在这些领域中得到了广泛的应用。目前已有很多关于双频、双极化或双频双极化微带天线的研究报道。

实现双频工作，对于矩形贴片应用较多的是利用激励多模来获得双频的 , 如图 5―2―4 所示，在矩形贴片非辐射边开两条长度相等的缝隙，在离贴片中心一适当距离处馈电，能得到较好的匹配。此种天线激励了一种介于 TM10 与 TM20 之间的模式，新模的表面电流分布与 TM10 相似，与 TM10 具有相同的极化平面和相似的辐射特性，由这种模式与 TM10 一起实现双频工作。

Ls L

Ws

W1dy

z

W

Wp

h

l

zx

y

O

L

W

r

E

msJ

当天线尺寸为 W=15.5mm,L=11.5mm,l=0.5mm,W1=d=1mm,Wp=5.5mm ，基片的相对介电常数 εr=2.2 、厚度 h=0.8mm 时，图 5―2―5 利用 FDTD

（时域有限差分法）计算了该天线的 s11 参数随馈电位置的频率变化曲线［ 24］。图中可以看出明显的双频特性 , 馈电位置对于天线的频率特性有较明显的影响，改变馈电位置，可以影响天线的阻抗特性，这也为寻找最佳匹配提供了依据。

W p £½5.5 mm

W p £½4.5 mm

W p £½6.5 mm

²âÁ¿ÖµW p £½5.5 mm

0

£ 10

£ 20

£ 304.0 8.0 12.0

f /GHz

S 11 /

dB

采用分层结构则是实现双频工作的另一重要途径。图 5―2―6 给出了工作于 GPS 两个频率的近耦合馈电双频微带天线的结构图。该天线包括三层介质结构、两个谐振于所需工作频率的近方形贴片和一微带线馈电结构，两个近方形贴片分别置于第一层介质和第三层介质的顶部，而微带线的馈电线则夹于两贴片之间，位于第二层介质的顶部。在三层介质层具有相同介电常数 εr=2.2 的条件下，图 5―2―7仍然利用 FDTD 方法计算了该天线的 s11 参数曲线，并与实测值进行了比较。

图 5―2―6 分层双频圆极化微带天线结构示意图

(a)俯视图； (b)侧视图

W b

W t

L t

Lb

W0

S 1

S 2

S3

S 4

r 3 , h 3

r 2

, h2

r 1

, h1

(a ) (b )

图 5―2―7 分层双频圆极化微带天线的 |s11| 参数曲线

1. 0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8£ 20

£ 18

£ 16

£ 14

£ 12

£ 10

£ 8

£ 6

£ 4

£ 2

0

FDTD

ʵ²â

f /GHz

s 11 /

dB

微带天线的研究方向除了多频工作、实现圆极化以外，还有展宽频带、小型化、组阵等。近来利用微带传输线上开出的缝隙，形成漏波（ Leak Wa

ve ），实现了新型微带馈电线缝隙天线阵。随着对微带天线的理论分析的不断深入，微带天线将获得更广泛的应用。

(3) 求得面电流与面磁流，由此通过矢量位方法求微带天线的辐射场。

x

y

z

贴片介质基片

接地板

0

b

ch

ad馈线

'r

x

y

z

0

,2 2

a b ,

2 2

a b

,2 2

a b

,2 2

a b

( , , )P x y z

r

( ', ,0)2

bQ xm

sJ

msJ

'

' '( )

4

s jkRm

V

J r e dSF R

R

；

由于磁流的ｙ分量在主辐射方向上相互抵消，只需计算磁流的ｘ分量产生的辐射场。因此，矢量电位也只有ｘ分量。

谢谢！

作业： 5.1 ， 5.2 ， 5.3 ， 5.4