1

А1. Такие задачи решаются в 7–8–ом классе. Надо помнить о двух свойствах:

1. Сумма внутренних углов треугольника равна 180о.

2. Сумма смежных углов равна 180°.

Напомню, что такое смежный угол.

Вот они, на рисунке. У смежных углов одна сторона общая, а две другие лежат на одной прямой.

Ответ: 5.

А2. Общим делителем нескольких целых чисел называется целое число, являющееся делителем

каждого их этих чисел. Среди всех делителей всегда есть наибольший. Такой делитель называется

наибольшим общим делителем (обозначается НОД). Так, например, числа 16, 24, 32 имеют

наибольший общий делитель – число 8. Этот факт коротко записывается так: НОД (16, 24, 32) = 8. Эта

запись означает, что число 8 является наибольшим целым числом, на которое числа 16, 24, 32 делятся

без остатка.

Если даны небольшие числа, то наибольший общий делитель можно легко угадать. Если же даны

большие числа, то НОД можно найти разложением чисел на простые множители и выписыванием тех

множителей, которые входят во все данные числа. Затем каждый такой множитель следует взять с

наименьшим показателем, с которым он входит во все данные числа, после чего нужно произвести

умножение.

Лучше пояснить это утверждение, как обычно, на примере.

ПРИМЕР. Пусть даны числа 1080 и 8100. Найти НОД (1080, 8100).

Раскладываем число 1080 на простые делители: 2, 2, 2, 3, 3, 3, 5. Выпишем теперь все простые

делители числа 8100: 2, 2, 3, 3, 3, 3, 5, 5. Таким образом, 1080 = 233

35

1, а 8100 = 2

23

45

2. Значит,

НОД (1080, 8100) = 223

35 = 540.

Решение можно оформить и по–другому.

ПРИМЕР. Найти НОД (126, 540, 630)

Рисуем два столбца. Само число записываем в левый столбец. Делим каждое число на простые числа

(записываем в правый столбец). Результат деления записываем в левый столбец.

126=2327

540 2

270 2

135 3

45 3

15 3

5 5

1

540=223

35

630 2

315 3

105 3

35 5

7 7

1

630=23257

НОД (126, 540, 630) = 233 = 18

Ответ: 1.

А3. Даже не думаем производить вычисления в скобках!!! Выносим общий множитель за скобки

35 3

35 1 2 35 1 8 : 7 35 1 2 1 8 : 7 35 3: 7 5 3 157

, , , ,

Ответ: 3.

А4. Вокруг выпуклого четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма

его внутренних противоположных углов равна 180° (π радиан).

126 2

63 3

21 3

7 7

1

2

o

Делаем самостоятельно рисунок и легко находим правильный вариант ответа.

Ответ: 3.

А5. Вспомним правила округления. Если первая из отбрасываемых цифр больше или равна 5, то

последняя из сохраняющихся цифр увеличивается на 1. Если первая из отбрасываемых цифр меньше 5,

то последняя из сохраняющихся цифр не изменяется.

Пример. Округлить число 74,28 до десятых.

За цифрой 2, обозначающей разряд десятых следует цифра 8, которая больше 5. Следовательно, цифру 2

нужно увеличить на 1. Получается 74,3.

Пример. Округлить число 74,243 до сотых.

За цифрой 4, обозначающей разряд сотых, следует цифра 3. Следовательно, цифру 4 не нужно

увеличить на 1. Получается 74,24.

А теперь самостоятельно решите пример.

Ответ: 2.

А6. Если в условии задачи Вы прочитаете «найдите сумму корней» или «найдите произведение корней»

квадратного уравнения, то с вероятностью 99% Вам пригодится теорема Виета. Напомню Вам ее.

Теорема. Если квадратный трехчлен ax2 + bx + c = 0 имеет корни, то справедливы следующие

соотношения: 1 2 1 2,b c

x x x xa a

.

Однако надо всегда очень аккуратно применять эту теорему. Для начала надо убедиться в том, что

дискриминант положителен. Во всех уравнениях коэффициент а равен 1. Поэтому 1 2 1 2,x x b x x c .

В нашем задании нас могут интересовать только четвертое и пятое уравнения, так как только в них

коэффициент b = 9. Однако в четвертом уравнении дискриминант отрицателен. Следовательно,

правильный ответ 5.

Ответ: 3.

А7. Скучная и неинтересная задача на применение двух формул. Длина окружности L = 2R и D=2R.

Дальше сами.

Ответ: 1.

А8. Выразим x из первого выражения (можно и y, это не принципиально)

5 3 47 5 3 7 5 7 3 5 4

5

x yx y y x y y x y x y

y

и подставим во второе

4 36 20 364 9 4

4 9 20 36 165 5 5 5 44 4 4 4 4

5 5 5

y y yy y y

y x y y y

y yx y yy

Это было решение «в лоб». Можно было найти и более красивое решение с помощью почленного

деления.

5 3 47 5 3 7 5 4

5

x y x x x

y y y y

3

Тогда

4 9 5

4 9 4 9 44

y x y

x x

Ответ: 3.

А9. Вспомним что такое арифметическая прогрессия.

Пусть у нас есть последовательность чисел –3, 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18. Очевидно, что каждое последующее

число больше предыдущего числа на 3, и дальше следуют числа 21, 24, 27 и т.д.

Арифметическая прогрессия – числовая последовательность вида

1 1 1 1, , 2 , ... , 1 , ...a a d a d a n d

где d – разность прогрессии (в приведенном выше примере d = 3). То есть каждое последующее число

больше (если прогрессия возрастающая) или меньше (если прогрессия убывающая) предыдущего на

величину d.

Итак, любой член арифметической прогрессии может быть найден по формуле

1 1na a d n ,

где n – порядковый номер члена арифметической прогрессии.

Это выражение можно записать и так

1na dn a d .

Мы получили линейную зависимость члена арифметической прогрессии an от его порядкового номера

n. В рассмотренном выше примере эта зависимость имеет вид 3 6na n .

Проверим с помощью подстановки:

если n =1, а1 = 3·1 – 6 = –3

если n =2, а2 = 3·2 – 6 = 0

если n =3, а2 = 3·3 – 6 = 3 и так далее.

Вспомним, что уравнение линейной функции, описывающей зависимость величины функции у от

аргумента функции х. имеет вид

y kx b ,

где k и b – некоторые числа (k – называется угловым коэффициентом, b – называется свободным

коэффициентом). В нашем случае

1na dn a d

d – угловой коэффициент, а1 – d – свободный коэффициент.

Графиком линейной функции y kx b является прямая.

Графиком зависимости члена арифметической прогрессии an от его порядкового номера n являются

точки, лежащие на одной прямой (точки на этом графике соединять нельзя, так как порядковый номер n

– это целое положительное число).

В нашем примере график зависимости 3 6na n представляет собой линейную функцию.

Пора вернуться к задаче теста. Среди предложенных нам зависимостей члена последовательности an от

его порядкового номера n, только 5–я последовательность

2 3na n

является линейной.

Ответ: 5.

А10. Если вы не знаете теории, то подставьте вместо х в каждое из уравнений функции числа от 2 до 6.

Если величина у будет только расти, то нам эта функция подходит, если же величина у будет не только

расти, но и уменьшаться, нам эта функция не подходит.

Для желающих разобраться с теорией проанализируем каждую функцию.

1. Перед корнем стоит знак минус. Следовательно, при возрастании аргумента в подкоренном

4

выражении функция будет только убывать. Не подходит.

2. Данная функция является квадратичной. График этой функции представляет собой параболу с

ветвями, направленными вверх. В точке (0,5; –0,25) находится вершина этой параболы. Значит, на

промежутке (–∞; 0,5] функция убывает, а на промежутке [0,5; ∞) функция возрастает, что удовлетворяет

условию задачи.

3. Значение функции в точках х = 4, х = 6 одинаково. Поэтому - не подходит.

4. Линейная убывающая функция, так как при возрастании аргумента значение функции будет только

уменьшаться.

5. И снова убывающая функция (обратно пропорциональная зависимость).

Ответ: 2.

А11. Сначала решим первое неравенство

8 7 5

2 3 2 6

x x

Приведем все слагаемые к общему знаменателю 6, после чего забудем про общий знаменатель.

Получим

3 2 8 3 7 5 113 16 21 5 3 21 16 5 18 11

6 6 6 6 18

x xx x x x x x

или 11

0,618

x

При решении неравенства

18 11x

мы учли, что при делении или умножении обеих частей неравенства на отрицательное число надо

поменять знак неравенства.

Решаем второе неравенство

3 6 1 5 1 46 1 1 4 15 55 3 6 1 75 5 1 4

5 3 15 15 15

18 3 75 5 20 18 20 70 3

672 67 33,5

2

x xx xx x

x x x x

x x

Теперь изобразим решения каждого неравенства графически

Решения нашей системы неравенств принадлежат

интервалу (–33,5; –0,5). Если говорить о целых

числах, то решения начинаются от –33 и

заканчиваются –1. Следовательно, у нас

получается 33 целых решения.

Ответ: 4.

А12. Углы могут измеряться не только в градусах,

но и в радианах.

360рад2 , следовательно, 180рад , где

14,3 , т.е. 180рад14,3 . Тогда

3,5714,3

180рад1 .

5

Например,

6,46814,3

1808рад8 .

При записях обратите внимание, что в случае измерения угла в градусах, обязательно указывать значок

градусов – маленький кружок в правом верхнем углу. Отсутствие кружочка будет означать, что угол

измеряется в радианах. Например, если сказано, что угол равен 3, то это означает, что он равен

3 радиана. А если сказано, что угол равен 30, то он равен 3 градуса.

Чаще всего используют не приблизительные, а точные переводы из градусов в радианы и наоборот.

Так как 0180 , то

18010

, 90180

220

, 60180

330

, 6180

30300

, 3

2

180

1201200

и

т.д.

Теперь наоборот: 0

0

603

180

3

,

00

454

180

4

,

00

1354

1803

4

3

,

00

2106

1807

6

7

.

Напомним, что для точки на тригонометрической окружности

А(х0; у0) sin = y0, cos = x0.

Поскольку синус и косинус – координаты точки единичной

окружности, то значения синуса и косинуса имеют те же

знаки, что и знаки координат точек в соответствующих

четвертях, а знаки значений тангенса определяется знаками

отношения синуса к косинусу.

В I четверти у любой точки окружности значение координаты

х положительно, а значит, косинус любого угла первой

четверти положителен.

В I четверти у любой точки окружности значение координаты

у положительно, а значит, синус любого угла первой четверти

положителен.

Во II четверти у любой точки окружности значение

координаты х отрицательно, а значит, косинус любого угла

второй четверти отрицателен.

Во II четверти, у любой точки окружности, значение координаты у положительно, а значит, синус любого

угла второй четверти положителен.

В III четверти у любой точки окружности значение координаты х отрицательно, а значит, косинус любого

угла третьей четверти отрицателен.

В III четверти у любой точки окружности значение координаты у отрицательно, а значит, синус любого

угла третьей четверти отрицателен.

В IV четверти у любой точки окружности значение координаты х положительно, а значит, косинус

любого угла четвертой четверти положителен.

В IV четверти у любой точки окружности значение координаты у отрицательно, а значит, синус любого

угла четвертой четверти отрицателен.

Для запоминания можно использовать рисунки.

Знаки значений синуса, косинуса, тангенса в координатных четвертях.

Задачу решайте самостоятельно.

Ответ: 2.

6

А13. Обозначим на рисунке все известные длины и введем одну неизвестную длину x.

По условию задачи SA = SB. Следовательно

270 50 90 110 90 90x x

Откуда находим x = 20. Значит длина участка В должна быть равна 130.

Ответ: 4.

А14. Очевидные преобразования:

2 22

2 2 2 2

2 2 2 2 2

2

2 2 2 25 2 5 52 2

2 6 9 2 2 23 3

5 45 2 2 2 1 5 4 1 9 1 9

2 1 1 13 3 3 3 3

3 3 3 3

3 33

x x x xxx x

x x x x x xx x

xx x x x x x

x x x x x x

x x x x

x xx

Ответ: 1.

А15. Учтем, что

sin 12

.

Тогда

cos2 1x

Этому условию удовлетворяют углы 0 0 2 2 0 4 4 0 2 2 0 4 4; ; ; ; .... То есть

корнями уравнения являются угол 0 и углы, отличающиеся от него на 2 n , где n – целое число

(множество целых чисел обозначается Z). Чтобы не записывать в ответе бесконечное число корней,

применяют сокращенную запись 2 2x n x n; n Z .

Ответ: 5.

А16. Перепишем неравенство в немного другом виде

0 7

7 1

x

x

Не забываем, что когда модуль больше выражения, то мы имеем дело с совокупностью (берем все

решения подряд). Когда модуль меньше – с системой (берем только общие решения). Получим

7

7 0 7

7 0 7

7 1 8

7 1 6

x x

x x

x x

x x

Теперь изобразим графически решение совокупности неравенств 7

7

x

x

Решение этой совокупности ;7 7; .

Теперь изобразим графически решение системы неравенств 8

6

x

x

Решение этой системы (6; 8). Теперь графически найдем решение всей системы.

Получаем 6;7 7;8 . Не забудьте, что точка x = 7 выкалывается из решения!!!

Ответ: 4.

А17. В принципе нам предлагают решить простое линейное уравнение. Вся проблема будет с расчетом

коэффициентов

3 3 43

13 333

1 2 8 1 2 1 1 12 3 13 1 23 33 3 3 3 3 3 3 3 3

1 1 2 1

3 3 3 3

28 7 14 98 7 7 2 49 2 7 2 7 298

28 4 77 14 4 7

7 2 7 2 7 27 2 7 2 7 2 49 49 2 49 49 2 49 49 2 49 98

4 7 2 7

x x

Ответ: 5.

8

А18. Сделаем пояснительный чертеж.

Треугольник ABC – прямоугольный. Следовательно, по теореме Пифагора можем найти АС

2 2 25 1 24 2 6AC AB BC

Теперь рассмотрим треугольник ACL. Он так же прямоугольный. При этом он еще и равнобедренный,

так как угол LCA=45o. Следовательно, искомое расстояние LC будет равно

2 2 22 2 2 6 2 2 3 2 2 4 3LC LA AC AC AC

Ответ: 2.

В1. Правильная четырехугольная призма – это многогранник, в основании

которого лежит квадрат, все боковые ребра параллельны друг другу, а боковые

грани – прямоугольники. Площадь основания призмы есть площадь квадрата со

стороной AB a и определяется по формуле 2

оснS a . По условию осн 9S ,

откуда сторона основания призмы есть 3a . Площадь боковой грани призмы

есть площадь прямоугольника со сторонами 3 и 10 и равна 1 3 10 30S . Тогда

площадь полной поверхности призмы равна осн 12 4 18 120 138S S S .

Ответ: 138.

В2. Вспомним, что при решении неравенств нельзя перемножать «крест-накрест», сокращать

выражения с переменной, стоящие в разных частях неравенства и вообще пользоваться любыми

другими методами, кроме следующего. Итак, надо все слагаемые перенести влево так, чтобы справа

остался ноль. 2 3 5 3

04 7 4 7

x x x

x x

Потом привести выражение к общему знаменателю. 2 2 3

04 7

x x

x

Далее попытаться разложить числитель и знаменатель на множители. Заметим, что у квадратного

трехчлена в числителе отрицательный дискриминант, поэтому он не раскладывается на множители.

Тогда надо вспомнить свойства квадратного трехчлена 2ax bx c с отрицательным дискриминантом. В

этом случае мы должны смотреть на численный коэффициент a при 2x . Если 0a , то при любых

значениях переменной x все выражение 2 0ax bx c . Если 0a , то при любых значениях

переменной x все выражение 2 0ax bx c . В нашем случае 1 0a . Поэтому выражение в

числителе всегда положительно. Тогда исходное неравенство эквивалентно неравенству 4 7 0x ,

решение которого есть 7

4x . Наименьшее целое решение неравенства есть 1 .

Ответ: 1 .

9

В3. Пусть 10b , 21c . Надо найти сторону треугольника a . Найдем площадь

треугольника по формуле 1

sin2

S bc , откуда определим угол между

известными сторонами:

2 2 84 4sin

10 21 5

S

bc

.

Далее по основному тригонометрическому тождеству найдем косинус того же угла треугольника и

затем по теореме косинусов третью неизвестную сторону: 2 2cos sin 1 , 2 2cos 1 sin ,

2 9cos

25 .

И здесь замечаем, что условие задачи сформулировано некорректно! Действительно, косинус угла

может принимать два различных значения: 3

cos5

. Если бы в задаче были даны указания по поводу

угла, она допускала бы однозначное решение. Например, если бы авторы указали, что угол острый,

то его косинус был бы положительным. Если считать угол тупым, то его косинус следует брать со

знаком минус. Но в условии ничего не сказано про угол! Поэтому рассматриваем все варианты.

1) Считаем, что угол острый. Тогда 3

cos5

, и по теореме косинусов

2 2 2 cosa b c bc ,

3100 441 2 10 21 289 17

5a .

2) Считаем, что угол тупой. Тогда 3

cos5

, и по теореме косинусов

2 2 2 cosa b c bc ,

3100 441 2 10 21 793

5a

.

Поскольку мы решаем задачу части В ЦТ, в ответе которой может быть только целочисленный ответ, то

следует указать в качестве ответа число 17. Однако задача некорректна! Она допускает двоякое

решение. По окончании теста внесите замечание о некорректности задачи в протокол проведения теста.

Ответ: 17.

В4. Область определения функции – это множество всех значений аргумента x , при которых функция

определена (то есть, ее значение можно вычислить). Вспомним, что:

– знаменатель дроби не должен быть равен нулю;

– подкоренное выражение корня четной степени должно быть неотрицательно;

– аргумент и основание логарифма должны быть больше нуля;

– основание логарифма не должно быть равно 1;

– аргумент функций арксинус или арккосинус должен лежать в пределах 1:1 .

В нашем случае на функцию следует наложить два ограничения: неотрицательность подкоренного

выражения и отличие знаменателя от нуля. Тогда область определения задается системой:

2

2 0,4 0,

9 20 0.

x

x x

5, 4, 5.x x x

Наибольшее целое число, удовлетворяющее этой системе, есть 3.

Ответ: 3.

10

В5. При испарении или разбавлении раствора количество растворенного вещества остается

неизменным, а масса растворителя (в данном случае воды) и раствора изменяются. В 15 – процентном

растворе соли массой 400 г содержится 0,15 400 60 г соли. После испарения части воды масса соли не

изменится. Тогда те же 60 г соли в некотором новом растворе будут составлять уже 16%. Значит, массу

раствора найдем из пропорции:

60 г – 16%,

х г – 100%.

Отсюда 60 100

37516

x

г. Тогда из раствора выпарили 25 г воды.

Ответ: 25.

В6. Вспомним, что абсциссой называют координату точки по оси Х, а ординатой – по оси Y. При

обозначении координат точки на координатной плоскости на первом месте указывается абсцисса, а на

втором – ордината. Построим чертеж. Учтем, что параллелограммом называют четырехугольник,

противоположные стороны которого попарно параллельны. Поскольку ординаты (координаты по оси Y)

вершин A и D равны, то они лежат на прямой, параллельной оси X. Тогда вершины B и C тоже лежат

на прямой, параллельной оси X, то есть их ординаты одинаковы и равны 8.

Y

8 B C

3 A D

0 5 8 x X

Итак, мы знаем координаты точки А и расстояние АС. Используем формулу для расстояния между

точками на координатной плоскости:

2 2

A C A CAC x x y y 2 2

61 5 3 8x 2

61 5 25x ,

2

5 36x 5 6,

5 6,

x

x

1,

11.

x

x

Какой ответ выбрать? Внимательно читаем условие, там сказано, что угол BAD острый. Это значит, что

точка В лежит правее точки А. Тогда точка С лежит правее точки D. Тогда ее абсцисса больше, чем

абсцисса D. Следует выбрать ответ 11.

Ответ: 11.

В7. Пусть длина одной стороны прямоугольника равна а, а длина другой стороны равна b. Тогда

AN = ND = b/2, СК = КD = а/2.

Проводим МС ║ АК и PD ║ BN.

11

Так как АМСК - параллелограмм, то АМ = СК = а/2, так как PDNB - параллелограмм, то PD = NB = b/2.

Обозначим точки пересечения параллельных прямых OQTF.

Пусть MQ = x, тогда по теореме Фалеса АО = 2х. Очевидно, что KF = MQ = x, а СТ = АО = 2х.

Аналогично, NО = PT = y, FD = BQ = 2y.

Опять воспользуемся теоремой Фалеса, чтобы понять, что QТ = FО = 2х, FТ = ОQ = 2y.

Перед тем, как начинать расчёт площадей, проведём отрезок ОТ.

12

Пусть площади треугольников МВQ и КFD равны S, тогда площади треугольников АВО и СТD равны 4S.

Тогда площади четырёхугольников АМQО и СТFК равны 3S.

Рассмотрим треугольники МВQ и ТОQ. Так как площадь треугольника можно найти по формуле

1sin

2S ab , то площадь треугольника ТОQ в 2 раза больше площади треугольника МВQ. Аналогичное

рассуждение справедливо для треугольников КFD и ОFТ.

Значит, площади треугольников ТFО и ТОQ = 2S, а площадь параллелограмма ОQТF = 4S.

Тогда площади треугольников QТF и FОQ = 2S.

Очевидно, что площади треугольников РТС и NОА равны S, площади четырёхугольников NОFD и BQTP

равны 3S.

Тогда площадь всего прямоугольника равна 20S = 60, а площадь искомого четырёхугольника NОКD равна

4S =12.

Ответ: 12

13

В8. Пусть автомобиль при движении из А в В проходит сначала в гору путь AC со скоростью x , а

затем с горы путь CB со скоростью y .

С

А

В

По условию 5AC

x , 3

BC

y . Отсюда 5AC x , 3BC y .

На обратном пути автомобиль проходит сначала в гору путь BC со скоростью x , а затем с горы путь

AC со скоростью y . По условию 16BC AC

x y . С учетом того, что 5AC x , 3BC y , получаем:

3 516

y x

x y .

Пусть искомое отношение скоростей y

tx . Тогда

53 16t

t ,

23 16 5 0t t ,

5t или 1

3t .

По условию понятно, что с горы автомобиль едет быстрее, поэтому y x и 1t .

Ответ: 5.

В9. Угол многоугольника – это угол между его сторонами (угол на рисунке).

Разобьем многоульник на равнобедренные треугольники с боковыми сторонами

равными радиусу описанной окружности R.

Угол 1 2AOA – это центральный угол многоугольника, который равен 360

n, где n –

число сторон многоугольника.

Угол при основаниии равнобедренного треугольника равен половине угла многоугольника, с одной

стороны, и 1 360

1802 n

, с другой стороны.

Получаем, что угол многоугольника равен удвоенному углу при

основании равнобедренного треугольника, то есть этот угол может быть

найден как 360

180n

.

По условию

360 360180 10

n n ,

откуда

22n .

Тогда периметр многоугольника равен 22 10 220p .

Ответ: 220.

В10. Рекомендую скачать у меня с сайта www.repet.by тему «Уравнения» (она в свободном доступе) и

внимательно изучить все темы, разобранные в ней. Преобразуем уравнение:

14

2

5( 1)(2 3)

2(4 5)x x

x

,

2

2

52 5 3

2 16 40 25x x

x x

.

Здесь надо заметить замену переменных 22 5x x t . Тогда

216 40 5x x t и уравнение принимает вид:

53

2(8 25)t

t

,

53 0

2(8 25)t

t

,

2 6 (8 25) 50

2(8 25)

t t

t

216 98 1450

2(8 25)

t t

t

,

5

2t или

29

8t .

Делаем обратную замену:

1) 2 52 5

2x x

2 52 5 0

2x x ,

0D .

У этого уравнения два корня. Очевидно, не самых «красивых». Не будем их искать. По теореме

Виета сумма корней квадратного уравнения равна 1 2

bx x

a . В нашем случае

1 2

10 5

4 2x x

.

2) 2 29

2 5 08

x x

0D . В этом уравнении нет корней.

По условию просили найти удвоенную сумму корней уравнения.

Тогда ответ 5. Заметим, что мы не забыли про ОДЗ изначального уравнения 5

4x . Просто очевидно,

что оба корня будут иррациональными и попадут в ОДЗ.

Ответ: 5.

В11. Надо догадаться совершить следующие преобразования:

2 36sin 2 6cos4 8cos

2 8a

,

31 cos 2

2 86(sin 2 cos4 ) 8

2

,

6 sin 2 cos4 4cos 3 44

,

6 cos 2 cos4 4cos 3 42 4

,

2 4 2 42 26 2 cos cos 4cos 3 4

2 2 4

,

15

6 2 cos cos 3 4cos 3 44 4 4

,

12 sin cos 3 4cos 3 42 4 4 4

,

12 sin cos 3 4cos 3 44 4 4

.

По условию 1

sin4 3

. Тогда искомое выражение равно

112 cos 3 4cos 3 4

3 4 4

,

4cos 3 4cos 3 4 44 4

.

Ответ: 4 .

В12. Преобразуем уравнение:

2

9 5 3 2 93x x x ,

2 18 81 93 5 3 2x x x x , 2 18 12 5 3 2x x x x ,

2 6(3 2) 5 3 2x x x x .

Здесь надо заметить любимое однородное уравнение! Вспомним, что однородными называются

уравнения вида 2 2 0A f B f g C g ,

где , ,A B C – любые числа, а ,f g – любые функции. Решать однородные уравнения следует делением

на квадрат любой функции и последующей заменой переменных: 2

0f f

A B Cg g

,

ft

g ,

2 0At Bt C .

В нашем случае одна из функций – это x , а вторая 3 2x . Разделим все члены уравнения на 2x :

2

(3 2) 3 21 6 5

x x

x x

.

Пусть 3 2x

tx

, тогда

21 6 5t t , 26 5 1 0t t ,

1

2t или

1

3t .

Делаем обратную замену переменных:

1) 3 2 1

2

x

x

,

2 3 2x x , 24(3 2) ,

0,

3 2 0,

x x

x

x

16

2 12 8 0,

2,

3

x x

x

6 2 7,

2.

3

x

x

Оба корня удовлетворяют условию 2

3x (проверьте самостоятельно!). Сумма этих корней равна

12.

2) 3 2 1

3

x

x

,

3 3 2x x , 29(3 2) ,

0,

3 2 0,

x x

x

x

2 27 18 0,

2,

3

x x

x

27 3 73,

2

2.

3

x

x

Оба корня удовлетворяют условию 2

3x (проверьте самостоятельно!). Сумма этих корней равна

27.

Сумма всех корней уравнения равна 39.

Ответ: 39.