1. ล ำดับ ( Sequence - theorendatutor.com · 6 @orendatutor Ex 1.13 ล ำดับเรขำคณิตมีพจน์

www.facebook.com/orendatutor 1

@orendatutor

www.youtube.com/orendatutor

www.theorendatutor .com

1. ล ำดบ (Sequence)

นยำม ล ำดบ คอ เรนจของฟงกชนทมโดเมนเปนเซตของจ ำนวนเตมบวก ซงน ำมำเขยนเรยงกนเปน

f(1), f(2) , f(3), …

Ex f(n) = 3n+4 จะไดอนดบ 7, 10, 13,… f(n) = 2n + 3 จะไดอนดบ 5, 7, 11,…

ถำ f(n) = an เปนจ ำนวนจรง เรำจะกลำววำ เปนอนดบของจ ำนวนจรง เรยก an วำ พจน (term) ท n หรอ เทอมทวไปของอนดบ

หมำยเหต a1 = พจนท 1 a2 = พจนท 2 an = พจนท n

Ex 1.1 ก ำหนดพจนท n ของอนดบ คอ an = (-1)n [2n-1] จงหำ พจนท 5 และ พจนท 12

Ex 1.2 จงเขยนพจนทวไปของอนดบตอไปน

1. 1

2,2

3,3

,…

1

2. 2

3 1,

2,

5 3,

1

, …

2

( 2)

3. 312 , 3

13, 3

1 , 3

15,… 3

1

4. 1, 5, 13, 2 ,… 2 1-3


@orendatutor



Note ถำจ ำนวนเทอมในอนดบนบได เรยกวำ อนดบจ ำกด (Finite Sequence) แตถำ จ ำนวนเทอมนบไมได เรยกวำ อนดบอนนต (Infinite Sequence)

1.1 อนดบเลขคณต (Arithmetic Sequence) A.P.

อนดบเลขคณต คอ อนดบทผลตำง an+1 –an มคำคงท ส ำหรบจ ำนวนเตมบวก n ทกตว และเรยกคำคงทวำควำมแตกตำงรวม (C0mmon difference) เขยนแทนดวย d

นนคอ d = an+1 –an หรอ an+1 = an + d ถำให n=1 a2 = a1 + d

n=2 a3 = a2 + d = (a1 +d) + d = a1 + 2d

n=3 a4 = a1 + 3d

…

โดยทวๆไป ตวอยำง a28=a1+27d

Ex 1.3 จงหำพจนท 8 และพจนท 15 ของอนดบเลขคณต , , 1 , 1 , …

Ex 1.4 จงเขยนอนดบเลขคณต เมอก ำหนด a6 = 25 และ a20 = 81

an = a1 + (n-1)d


@orendatutor



Ex 1.5 จงหำวำอนดบเลขคณต 4, , 1 , 1 , …, 12 มกพจน

Ex 1.6 จ ำนวนเตมบวกระหวำง 100 และ 500 มกจ ำนวนท 9 หำรลงตว


@orendatutor



1.1.1 ตวกลำงเลขคณต (Arithmetic Mean) หรอ A.M.

Ex 1.8 ก ำหนด a, x, b เปน 3 พจนตอเนองกนในล ำดบเลขคณต จงเขยน x ในรปของ a และ b Soln จำก a, x, b อยในอนดบเลขคณต

ดงนน x-a = b-x

x =

2

หมำยเหต เรยก x ใน Ex1.9 วำ ตวกลำงเลขคณตระหวำง a และ b

ดงนน ตวกลำงเลขคณตระหวำง a และ b =

2

1.2 อนดบฮำรโมนก (Harmonic sequence) คอ ชดของจ ำนวนจรง ซงสวนกลบของแตละพจน เมอเรยงกนแลวจะเปนล ำดบเลขคณต

ถำ a1, a2, a3, a4, …, n , … เปนล ำดบฮำรโมนค ดงนน

1

1,1

2,1

3,…,

1

เปนล ำดบเลขคณต

เชน 1, 2, 3, , … เปนล ำดบเลขคณต

1,1

2,1

3,1

,… เปนล ำดบฮำรโมนค

Ex 1.9 จงหำพจนท 15 ของล ำดบฮำรโมนค

Soln ล ำดบเลขคณต คอ

an = a1+(n-1)d

a15 = 1+(14-1)(

) = 8

ดงนน พจนท 15 ของล ำดบฮำรโมนคทก ำหนดคอ


@orendatutor



1.1.2 ตวกลำงฮำรโมนค (Harmonic Mean) หรอ H.M.

Ex 1.10 ให a, y, b เปนอนดบฮำรโมนค

เปนล ำดบเลขคณต

จำกตวกลำงเลขคณตจะไดวำ

2

2

หมำยเหต เรยก y ใน Ex1.10 วำตวกลำงฮำรโมนคระหวำง a และ b

ดงนน ตวกลำงฮำรโมนคระหวำง a และ b

1.3 ล ำดบเรขำคณต (Geometric Sequence) คอ ชดของจ ำนวนจรงซงอตรำสวนระหวำงพจนท n+1 กบพจนท n มคำคงทเสมอ เรยกคำคงทนวำ “อตรำสวนรวม” (commo r tio) ซงเขยนแทนดวย r ดงนน ถำ a1, a2, a3, … , n , an+1 อยใน G.P.

จะได 2 1

3 2

3 …

1

r

โดยทวๆ ไป

Ex 1.12 จงหำพจนท 6 ของล ำดบเรขำคณต 1, 2, , ,…

an= a1rn-1


@orendatutor



Ex 1.13 ล ำดบเรขำคณตมพจนท 4=-24 และพจนท 9 =768 จงหำพจนท n

1.1.3 ตวกลำงเรขำคณต (Geometric Mean) หรอ G.M.

Ex 1.14 ให a, z, b เปนล ำดบเรขำคณต

ดงนน

z2= ab หรอ z= √

หมำยเหต เรยก z ใน Ex 1.14 วำตวกลำงเรขำคณตระหวำง a และ b ดงนน ตวกลำงเรขำคณตระหวำง a และ b = √

Ex 1.15 จงหำจ ำนวนจรงบวกสองจ ำนวน ซง A.M. และ H.M. คอ 25 และ 24 ตำมล ำดบ

ให 2 จ ำนวน คอ a, b

A.M. =

2 25

หรอ 50 …..(1)

H.M. = √ =24

หรอ 57 ….(2) แกสมกำรได b = 18, 32

a= 32, 18 ขอสงเกต A.M.>G.M.>H.M.


@orendatutor



คณสมบตของล ำดบเลขคณตและล ำดบเรขำคณต

1. ถำ a1, a2, a3, …, n อยใน A.P. และ C เปนจ ำนวนจรงแลว 1.1 a1+c, a2+c, a3 c, …, c A.P. 1.2 ca1, ca2, ca3, …, c n A.P. 1.3 a1, a3, a5, a7, … A.P. 1.4 a2, a4, a6, a8, … A.P.

2. ถำ a1, a3, …, n อยใน G.P. และ C เปนจ ำนวนจรงแลว

2.1 ca1, ca2, ca3, … , c n G.P. 2.2 a1, a3, a5, a7, … G.P. 2.3 a2, a4, a6, a8, … G.P.

3. ถำ a1, a2, a3,… , n เปน A.P. b1, b2, b3,… n เปน A.P. แลว 3.1 a1+b1, a2+b2, a3+b3, …, n+bn เปน A.P. 3.2 a1b1, a2b2, a3b3, …, nbn เปน A.P.

4. ถำ a1, a2, a3, …, n เปน G.P.

b1, b3,… , n เปน G.P. แลว 4.1 a1+b1, a2+b2, a3+b3, …, n+bn ไมเปน G.P. 4.2 a1b1, a2b2, a3b3, …, nbn เปน G.P.


@orendatutor



ควำมสมพนธระหวำงตวกลำงเลขคณต ตวกลำงฮำรโมนค และตวกลำงเรขำคณต

ถำให x เปนตวกลำงเลขคณตระหวำง a และ b y เปนตวกลำงฮำรโมนคระหวำง a และ b z เปนตวกลำงเรขำคณตระหวำง a และ b

จะไดวำ

2

2

พจำรณำ (

2) (

2

)

2

ดงนน z2 = xy


@orendatutor



2. ลมตของล ำดบอนนต (Limit of infinite Sequence)

กำรหำลมตของล ำดบ คอ กำรพจำรณำคำของ an ของล ำดบ เมอ n มคำมำกขนเรอยๆ ไมมทสนสด (ซงใชสญลกษณ n ∞) วำ an จะเขำใกลคำใด ถำ an เขำใกลคำใดคำนนจะเรยกวำ ลมตของล ำดบ an ล ำดบทมลมต เรยกวำ ล ำดบคอนเวอรเจนต(ลเขำ) (Convergent Sequence) สวนล ำดบทไมมลมต เรยกวำ ล ำดบไดเวอรเจนต(ลออก) (Divergent Sequence) ถำ L เปนคำคงทใดๆ และ L เปนลมตของล ำดบ an เรำเขยนแทนดวย lim n

na L

กำรพจำรณำลมตของล ำดบท ำได 2 วธ คอ

1. พจำรณำจำกกรำฟของอนดบ Ex จงพจำรณำวำล ำดบตอไปนเปนล ำดบทลเขำหรอไม โดยใชกรำฟของล ำดบ

1. 1

จะเหนวำ คำ n ยงมำก ยงท ำให an เขำใกล 0

ดงนน เปนล ำดบลเขำ และ 0lim nn

a


@orendatutor



2. an = n

เปนล ำดบลไมเขำ และ lim

nn

a

หำคำไมได 3. an=(-1)

n

เปนล ำดบลไมเขำ และ lim

nn

a

หำคำไมได


@orendatutor



2.1 ทฤษฎบทเกยวกบลมต

1. lim 0tn

c

n เมอ t > 0 ,c = คำคงท

เชน 2

5lim 0n n

2. lim 0n

na

เมอ | | 1 หรอ-1 1

เชน lim4

05n

n

im

{0 เมอ 1 1 เชน im

(23) 0

หำคำไมได เมอ 1, 1 เชน im

5 หำคำไมได

3. ถำ c เปนคำคงท im c c

เชน im 5 5

4. ถำ c เปนคำคงท im c c im

เชน im 5 (1

2) 5 im (

1

2) 5(0) 0

5. ถำ im และ im หำคำไดแลว im ( ) หำคำได แลว im ( ) im im

เชน im (3

) im 3 im

3 0 3

6. ถำ im และ im หำคำไดแลว im ( ) หำคำได และ im ( ) im im


@orendatutor



7. ถำ im และ im หำคำไดแลว im ( ) หำคำได

และ im ( )

im

im เมอ im 0, 0

Ex 1 จงพจำรณำลมตของล ำดบ เมอ

ก. 1

im im 1

1

ข. 2 2-5

3 2-

im im 2 2-5

3 2-

2

3

ค.

2 3 5

im im

2 3 5 0

ง. 5 3

2 1

im im 5 3

2 1 หำคำไมได


@orendatutor



3. อนกรม (Series)

นยำม ก ำหนดให a1, a2, a3, … , n เปนล ำดบเรำเรยก a1, a2, a3, … , n + … เปนผลบวกของล ำดบวำอนกรม อนกรมทเกดจำกล ำดบจ ำกด เรยกวำ อนกรมจ ำกด (Finite Series) อนกรมทเกดจำกล ำดบอนนต เรยกวำ อนกรมอนนต (Infinite Series)

3.1 สญลกษณแทนกำรบวก (Summation Notation)

เรำใชอกษรกรก ∑(ซกมำ) เปนสญลกษณกำรบวก เชน A1 + A2 + A3 … An = ∑

1 2 3 … = ∑

คณสมบตของ ∑(ซกมำ)

1. ∑ c 1 c c c c c … c c

2. ∑ c 1 1 = c∑ 1

1

3. ∑ ( 1 1) 1 =∑ 1 ∑ 1

1

1

3.2 ผลบวกของอนกรมทตองรจก

1. ∑ i 1 1 2 3 … =

2 (n+1)

2. ∑ i2 1 = 12 +22 + 32 … 2 =

( 1)(2 1)

3. ∑ i3 1 = 13 +23 + 33 … 3 = [

( 1)

2]2


@orendatutor



Ex 1.20 จงหำคำของ 102 + 112 + 122 … 502

Ex 1.21 จงหำคำของ 1 25 1 … 15 พจน


@orendatutor



3.3 อนกรมเลขคณต (Arithmetic Series) อนกรมเลขคณต คอ อนกรมทมำจำกล ำดบเลขคณต เชน อนกรมเลขคณต 1 3 5 7 … 3.3.1 กำรผลบวก n พจนแรกของล ำดบเลขคณต

ถำให a1 + a2 + a3 … n เปนอนกรม A.P ให s1 = a1 s2 = a1 + a2 s3 = a1 + a2 + a3

sn = a1 + a2 + a3 … n

sn = a1 + (a1+d) + (a1 2d) … ( n-d)+an

หรอ sn = an + (an-d) + (an-2d) … ( 1+d)+a1

2sn = (a1+an) + (a1+an) … ( 1+an) + (a1+an)

2sn = n (a1+an)

2( 1 )

2 2 1 ( 1)d

Ex 1.22 จงหำผลบวก 17 พจนแรกของอนกรมเลขคณต 3 13 1 …


@orendatutor



Ex 1.23 จงหำอนกรมของ 12+9+6 … มกพจนจงจะท ำใหผลบวกของอนกรมนเปน -600


@orendatutor



3.4 อนกรมเรขำคณต (Geometric Series)

คออนกรมทมำจำกล ำดบเรขำคณต เชน 1 2 … 25 , 1 1

2 +

1

+

1

….

กำรหำผลบวกของ n พจนแรกของอนกรมเลขคณต

Sn = a1 + a1r + a1r2 … 1r

n-2 + a1tn-1 …… (1)

rSn = a1 + a1r2 … 1r

n-1 + a1rn-1 …… (2)

(1) - (2) , (1-r)Sn = a1 – a1r2

(

)

, r 1

Ex 1.27 จงหำผลบวก 6 พจน ของอนกรมเรขำคณต 1 2 … Ex 1.28 อนกรมเรขำคณต 12 3 … มกพจนจงท ำใหผลบวกเปน 13,120


@orendatutor



4. อนกรมอนนต คอ อนกรมทมจ ำนวนพจนไมจ ำกด เชน a1 + a2 + a3 … n +

ให s1 = a1 S2 = a1 + a2 s3 = a1 + a2 + a3 sn = a1 + a2 + a3 … n sn+1 = a1 + a2 + a3 … n + an+1 s = a1 + a2 + a3 … n + an+1 +an+2 … พจำรณำ im ถำลมตคำนหำคำไดแสดงวำอนกรมนนหำผลบวกได หรออนกรมนนหำผลบวกอนนตได และเปนอนกรมคอนเวอรเจนต (Convergent Series) และถำล ำดบผลบวกยอยของอนกรมหำลมตไมได แสดงวำอนกรมนนหำผลบวกไมได เรยกอนกรมนวำ อนกรมไดเวอรเจนต (Divergent Series) ดงนนผลบวกอนนตของอนกรมกคอ im

4.1 ผลบวกอนนตของอนกรมเรขำคณต

พจำรณำอนกรมเรำขำคณตซง sn = 1(1-r )

1-r

im = im 1(1-r )

1-r

= 11-r เมอ -1 < r < 1

ผลบวกอนนตจองอนกรมเรขำคณต = 11-r เขยนแทนดวย im


@orendatutor



Ex 1.32 จงหำผลบวกอนนตของอนกรม

ก) 1 +1

2 +

1

+

1

…

ข) 3

+

1 +

27

…


@orendatutor



4.2 อนกรมผสมระหวำงอนกรมเลขคณตกบอนกรมเรขำคณต เปนอนกรมซงแตละพจนเกดจำกกำรคณกนของพจนทสมนบกบอนกรมเลขคณตตงแตสองอนกรมขนไป เชนอนกรม 1 2 + 2 3 + 3 4 + 4 5 … ( 1) 1 2 3 + 2 3 4 + 3 4 5 … ( 1)( 2) 12 + 32 + 52 + 72 … (2 -1)2

Ex 1.39 จงหำผลบวก n พจนของอนกรม 1) 1 2 3 + 2 3 4 + 3 4 5 …

2) 13 + 33 + 53 + 73 …


@orendatutor



4.3 อนกรมระหวำงอนกรมเลขคณตกบอนกรมเรขำคณตอนนต คอ อนกรมซงแตละพจนเกดจำกกำรคณกนระหวำงอนกรมเลขคณตกบอนกรมเรขำคณต เชน 1 1 + 2 x + 3 x2 + 4 x3 … ถง n เทอม และจงหำผลบวกถงอนนตไดเมอ | | < 1 Ex 1.40 จงหำผลบวกของอนกรม 1 +

2

5 +

3

25 +

125 …

Documents

1. ล ำดับ ( Sequence - theorendatutor.com · 6 @orendatutor Ex 1.13 ล ำดับเรขำคณิตมีพจน์