ANÁLISIS DE ALGORITMOSCurso inter-semestralPresenta: Omar Yeladaqui Círigo

ANTECEDENTES MATEMÁTICOSCONJUNTOS, TUPLAS Y RELACIONESConjunto: Colección de elementos distintos que queremos tratar como un solo objeto. Por lo regular los objetos son del mismo “tipo” y tienen en común algunas otras propiedades.

La notación “e ∈ S” se lee “el elemento e es un miembro del conjunto S”

Un conjunto dado se define enumerando o describiendo sus elementos entre un par de llaves.

ANTECEDENTES MATEMÁTICOSCONJUNTOS, TUPLAS Y RELACIONESHe aquí algunos ejemplos de esta notación:

S1 {a, b, c}, S2 {x|x es una potencia entera de 2}, S3 {1, . . . , n}.

La expresión para S2 se lee “el conjunto de todos los elementos x tales que x es una potencia entera de 2”. El símbolo “|” se lee “tales que” en este contexto. A veces se usa un signo de dos puntos (“:”) en vez de “|”. Se pueden usar puntos suspensivos “. . .” cuando es obvio cuáles son los elementos implícitos.

ANTECEDENTES MATEMÁTICOSCONJUNTOS, TUPLAS Y RELACIONESSi un conjunto S1 también están en otro conjunto S2, decimos que S1 es un subconjunto de S2 y que S2 es un superconjunto de S1. Las notaciones son S1 ⊆ S2 y S2 ⊇ S1.

Para denotar que S1 es un subconjunto de S2 y no es igual a S2, escribimos S1 ⊂ S2 o S2 ⊃ S1. El conjunto vacío, denotado por ∅, no tiene elementos, así que es un subconjunto de todos los conjuntos.

ANTECEDENTES MATEMÁTICOSCONJUNTOS, TUPLAS Y RELACIONESUn conjunto no tiene un orden inherente. Podríamos haber definido a S1 como {b, c, a} y S3 podría haberse definido como {i | 1 <= i <= n} si se entiende que i es un entero.

Un grupo de elementos que está en un orden específico se denomina sucesión. Además del orden, otra diferencia importante entre los conjuntos y las sucesiones es que las sucesiones pueden tener elementos repetidos. La notación: (a, b, c), (b, c, a) y (a, b, c, a) son sucesiones distintas.

ANTECEDENTES MATEMÁTICOSCONJUNTOS, TUPLAS Y RELACIONESUn conjunto S es finito si hay un entero n tal que los elementos de S se puedan colocar en una correspondencia uno a uno con {1, . . . , n}; en este caso escribimos |S|=n. En general, |S| denota el número de elementos que hay en el conjunto S, y también se denomina cardinalidad de S.

ANTECEDENTES MATEMÁTICOSCONJUNTOS, TUPLAS Y RELACIONESUna sucesión es finita si existe un entero n tal que los elementos de la sucesión se puedan colocar en una correspondencia uno a uno con (1, . . . , n).

Si todos los elementos de una sucesión finita son distintos, decimos que esa sucesión es una permutación del conjunto finito que consta de los mismos elementos. Un conjunto de n elementos tiene n! permutaciones distintas

ANTECEDENTES MATEMÁTICOSCONJUNTOS, TUPLAS Y RELACIONES¿Cuántos subconjuntos distintos tiene un conjunto finito de n elementos? Tenga presente que el conjunto vacío y el conjunto total son subconjuntos. Para construir cualquier subconjunto tenemos n decisiones binarias: incluir o excluir cada elemento del conjunto dado. Hay 2n formas distintasde tomar esas decisiones, así que hay 2n subconjuntos.

ANTECEDENTES MATEMÁTICOSCONJUNTOS, TUPLAS Y RELACIONES¿Cuántos subconjuntos distintos con cardinalidad k tiene un conjunto finito de n elementos?Existe una notación especial para esta cantidad: (n

k), que se lee “n selecciones de k”, o de forma más explícita, “número de combinaciones de n cosas tomadas k a la vez”. También se usa la notación C(n, k), y estas cantidades se denominan coeficientes binomiales.

ANTECEDENTES MATEMÁTICOSTUPLAS Y PRODUCTO DE CRUZTupla: Sucesión finita cuyos elementos a menudo no tienen el mismo tipo. Las tuplas cortas tienen nombres especiales: par, triple, cuádruple, quíntuple, etc. En el contexto de “tupla”, se sobreentiende que están ordenadas; una k-tupla es una tupla de k elementos.P.E. (x, y), si el plano es geométrico, tanto x como y son “longitud”.

ANTECEDENTES MATEMÁTICOSTUPLAS Y PRODUCTO DE CRUZEl producto cruz de dos conjuntos, digamos S y T, es el conjunto de pares que se pueden formar escogiendo un elemento de S como primer elemento de la tupla y un elemento de T como segundo.En notación matemática, tenemosS x T {(x, y) | x ∈ S, y ∈ T}

ANTECEDENTES MATEMÁTICOSRELACIONES Y FUNCIONESRelación: Es algún subconjunto de un producto cruz (posiblemente iterado). Dicho subconjunto podría ser finito o infinito, y puede estar vacío o ser todo el producto cruz. El caso más importante es una relación binaria, que no es sino algún subconjunto de un producto cruz simple. El “menor que” para los reales es un ejemplo. Si R denota el conjunto de todos los reales, la relación “menor que” se puede definir formalmente como {(x, y)|x ∈ R, y ∈ R, x < y}.

ANTECEDENTES MATEMÁTICOSRELACIONES Y FUNCIONESDefinición 1.2 Propiedades importantes de las relacionesSea R ⊆ S x S:Reflexivo: para toda x ∈ S, (x, x) ∈ R.Simétrico: siempre que (x, y) ∈ R, (y, x) también está en R.Antisimétrico: siempre que (x, y) ∈ R, (y, x) no está en R.Transitivo: siempre que (x, y) ∈ R y (y, z) ∈ R, entonces (x, z) ∈ R.

ANTECEDENTES MATEMÁTICOSRELACIONES Y FUNCIONESUna relación que es reflexiva, simétrica y transitiva se denomina relación de equivalencia, a menudo denotada con:

ANTECEDENTES MATEMÁTICOSHERRAMIENTAS DE ALGEBRA Y CÁLCULOFunciones piso y techoPara cualquier número real x, x (léase “piso de x”) es el entero más grande que es menor o igual que x. x (léase “techo de x”) es el entero más pequeño que es mayor o igual que x. Por ejemplo, 2.9 2 y 6.1 7.

ANTECEDENTES MATEMÁTICOSHERRAMIENTAS DE ALGEBRA Y CÁLCULOLogaritmosLa función logaritmo, por lo regular base 2, son muy comunes en las ciencias de la computación.Definición 1.3 Función logaritmo y base de logaritmoPara b > 1 y x > 0, logb x (léase “logaritmo base b de x”) es aquel número real L tal que bL = x; es decir, logb x es la potencia a la que debemos elevar b para obtener x.

ANTECEDENTES MATEMÁTICOSHERRAMIENTAS DE ALGEBRA Y CÁLCULOVideo.

ANTECEDENTES MATEMÁTICOSHERRAMIENTAS DE ALGEBRA Y CÁLCULO Permutaciones: es la variación del orden o de la disposición de los elementos de un conjunto.

Por ejemplo, en el conjunto {1,2,3}, cada ordenación posible de sus elementos, sin repetirlos, es una permutación. Existe un total de 6 permutaciones para estos elementos: "1,2,3", "1,3,2", "2,1,3", "2,3,1", "3,1,2" y "3,2,1". n!

ANTECEDENTES MATEMÁTICOSHERRAMIENTAS DE ALGEBRA Y CÁLCULOProbabilidad Supóngase que, en una situación dada, un suceso, o experimento, puede tener uno cualquiera de k desenlaces, s1, s2, . . . , sk. Estos desenlaces se denominan sucesos elementales. El conjunto de todos los sucesos elementales se llama universo y se denota con U. A cada desenlace si asociamos un número real, Pr(si), llamado probabilidad de si, tal que:

ANTECEDENTES MATEMÁTICOSHERRAMIENTAS DE ALGEBRA Y CÁLCULO

Si se lanza un dado de seis caras, hay seis posibles desenlaces: para 1 <= i <= 6, si = “el dado cae con la cara número i hacia arriba”, y Pr(si) = 1/6.En general, si hay k posibles desenlaces y todos se consideran igualmente verosímiles, asignamos Pr(si) 1/k para cada i.

ANTECEDENTES MATEMÁTICOSHERRAMIENTAS DE ALGEBRA Y CÁLCULO

En general, si hay k posibles desenlaces y todos se consideran igualmente verosímiles, asignamos Pr(si) = 1/k para cada i. Con frecuencia no hay razón para suponer que todos los desenlaces tienen la misma probabilidad; tal supuesto suele usarse en ejemplos o en casos en los que no hay datos que apoyen un supuesto mejor.

Véase PROBABILIDAD CONDICIONAL.

ANTECEDENTES MATEMÁTICOSHERRAMIENTAS DE ALGEBRA Y CÁLCULOSumatorias y seriesHay varias sumatorias que se presentan con frecuencia en el análisis de algoritmos. Series aritméticas: La sumatoria de enteros consecutivos:

ANTECEDENTES MATEMÁTICOSHERRAMIENTAS DE ALGEBRA Y CÁLCULOSumatorias y seriesSeries polinómicas: Primero, consideramos la suma de cuadrados.

El caso general es