1 ARITMETICA 3ºESO

LOS NMEROS RACIONALESCOLEGIO VIZCAYA 1

La palabra matemticas proviene del trmino griego mathematik ociencia por excelencia, pues los sabios de Grecia opinaban que todas lasleyes de la vida y del mundo fsico se podan expresar por medio de losnmeros.

Las matemticas son una ciencia experimental que basa su desarrollo en laintuicin y la lgica.

Te has preguntado alguna vez por qu la nombramos en plural: lasmatemticas? Como habrs observado en cursos pasados, esta ciencia sepuede dividir en varias ramas: geometra, lgebra, etc.

La aritmtica es la ciencia de los nmeros y est fundamentada en lasrelaciones que se pueden establecer entre ellos mediante operaciones, y ensus propiedades.

LOS NMEROS RACIONALES COLEGIO VIZCAYA2

PPARAARA EMPEZAREMPEZAR

Calcula:a)

b)

c)

d)

e)

Representar los siguientes nmeros en la recta real:0 -4/3 4/3 -2/5 1/3 5/2

Calcular:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

Si una empresa gana 135.000 mensuales netos y le aumentan lasganancias un 16 %, cunto dinero supone la subida?

Un albail construye 8 m2 de pared en 12 horas de trabajo. Le falta porlevantar 24 m2. Cunto tiempo tardar si trabaja al mismo ritmo?

Si una persona cobra un salario neto de 1517 , cul ser su salario bruto si los descuentossuponen en total un 18 %?

Escribir en forma de potencia:

a) d)b) e)

c) f)

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )

18 3 6 9 : 6 9

12 4 3 1 2 3 3 6

7 4 7 5 4 6 9

2 3 7 5 4 5 3 5

6 2 5 3 4 7 : 2

+ + = + =

= + + =

=

2 13 22 1 23 2 32 1 1 33 2 2 42 1 2 73 5 3 2

3 2 17 5 21 2 4:2 5 52 25 :3 51 1 2 1:2 3 3 2

=

=

+ =

+ =

=

+ =

+ =

=

4 5

4 3

3 2

(-2) (-2) =(-8) (-8) =

3 3: =4 4

1 0 3

7 2

4 3

(-2) (-2) (-2) (-3) :(-3) =

3 3:2 2

=


PPARAARA RECORDARRECORDAR

1. EL CONJUNTO DE LOS NMEROS RACIONALES.

Como bien sabes las matemticas surgen de la necesidad de contar, ordenar, comprar o jugar.De esta manera surgieron los nmeros naturales.

Qu nmeros forman el conjunto de los nmeros naturales? Con qu letra se designan?

Con los nmeros naturales se pueden realizar las operaciones aritmticas de sumar, restar, multiplicar,dividir, etc. Si cogemos dos nmeros naturales cualesquiera y los sumamos el resultado tambin es unnmero natural. Pero que sucede si los restamos? Podras encontrar dos nmeros naturales cuya restano lo sea? Por qu crees que sucede esto?

Los nmeros naturales no son suficientes a la hora de expresar ciertas cantidades como las deudas, lastemperaturas bajo cero, etc. Por eso tenemos la necesidad de ampliar este conjunto aadindole losnmeros negativos. De esta manera obtenemos el conjunto de los nmeros enteros que estn formados porlos nmeros naturales (positivos), los nmeros negativos y el cero.

Con qu letra se designa al conjunto de los nmeros enteros?

Con los nmeros enteros se pueden realizar entonces las operaciones aritmticas de sumar y restar, y qusucede con la multiplicacin y la divisin? Si multiplicamos dos nmeros enteros cualesquiera, el resultadoseguir siendo un nmero entero?

Y qu sucede si dividimos dos nmeros enteros?

Al dividir nmeros enteros, nos encontramos con una dificultad similar a la de la resta de nmeros naturales.Si consideramos por ejemplo la divisin 4 : 7 su resultado no corresponde con ninguno de los nmeros queforman el conjunto de los nmeros enteros. Estas divisiones se dejan indicadas de la forma y reciben elnombre de fracciones.

El conjunto que resulta de aadir a los nmeros enteros los nmeros fraccionarios se representa con la letraQ y se llama conjunto de los nmeros racionales porque se pueden expresar mediante una razn: .

Los nmeros racionales son, pues, los que se pueden expresar en forma de fraccin. Intenta expresar enforma de fraccin los siguientes cocientes de nmeros enteros:

-0'3 3'25 2 -1'5 -5

Crees que puede existir algn nmero fraccionario de la forma ? Aydate de un ejemplo para razonar turespuesta.

El conjunto de los nmeros naturales es: N = {1, 2, 3, 4,}

El conjunto de los nmeros enteros es el formado por los nmeros naturales(positivos), los nmeros negativos y el cero: Z = {, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,}

El conjunto de los nmeros racionales, es el conjunto de los nmeros que se puedenexpresar de la forma , donde a y b son nmeros enteros y .

47

ab

a0

ab

b 0


PPARAARA PRACTICARPRACTICAR

Como ves en este diagrama los nmeros enteros son una parte del conjunto de los nmeros racionales. Sabras explicar por qu?

Razona si las siguientes afirmaciones son ciertas o no.

a) Todo nmero natural es entero.

b) Ningn nmero racional es natural.

c) Algn nmero natural es entero.

d) Algn nmero racional es entero.

Cul es el menor nmero natural? Y el menor nmero entero?

Clasifica los siguientes nmeros indicando el conjunto menor al que pertenecen.

-3, 8/4, -9/2, 13, -27/9, 5/3, 0

Los nmeros naturales, enteros y racionales se representan sobre una recta numricaeligiendo un punto de origen para el 0. Dibuja una recta y representa sobre ella los nmeros:

4'33, -8/3, 5/10, -1/4, -3, 5, 2'83Si representamos sobre la recta numrica todos los nmeros racionales, cuntos puntosquedan sin cubrir?

8.


2. OPERACIONES CON NMEROS ENTEROS.

Propiedades de las operaciones:

Las operaciones con nmeros enteros presentan las siguientes propiedades. Completa la columna de laderecha comprobando cada propiedad con un ejemplo.

9.

10.

11.

12.

Operacin Propiedad Expresin analtica Ejemplo

Suma (resta)

Asociativa

Conmutativa

Elemento neutro

Elemento opuesto

Multiplicacin(divisin)

Asociativa

Conmutativa

Elemento neutro

Distributiva respecto de la suma

( ) ( )a b c a b c+ + = + +a b b a+ = +

a 0 a+ =

( )a a 0+ =( ) ( )a b c a b c =

a b b a =

a 1 a =

( )a b c a b a c + = +

QQ ZZ NN


3. OPERACIONES CON NMEROS FRACCIONARIOS.

Propiedades de las operaciones:

Las operaciones con nmeros racionales presentan las siguientes propiedades. Completa la columna de laderecha comprobando cada propiedad con un ejemplo.

Operacin Propiedad Expresin analtica Ejemplo

Suma (resta)

Asociativa

Conmutativa

Elemento neutro

Elemento opuesto

Multiplicacin(divisin)

Asociativa

Conmutativa

Elemento neutro

Elemento inverso

Distributiva respecto de la suma

a c e a c eb d f b d f

+ + = + +

a c c ab d d b

+ = +

a a0b b

+ =

a a 0b b

+ =

a c e a c eb d f b d f

= a c c ab d d b

=

a a1b b

=

a b 1b a

=


Calcula:a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

13.

[ ][ ][ ]

[ ][ ]

[ ] [ ]

[ ][ ]

5 7 2 (1 9) 3 12 4

1 ( 3 6 1 ) 4 ( 6 3 1 ) 2

6 ( 9 7 1 ) 3 ( 5 4 6) 1

28 21 (12 3) 7

12 14 (6 4) 2

2 3 (2 5):3 (3 5 2) 2 (3 4)

22 4 ( 9 3 2 ) 7 4

8 6 ( 3 7) 6 4

22 4 6 (1 9) 6:2 8

+ + =

+ + + =

+ + + =

=

+ =

+ + =

+ =

+ + =

+ + =

a c e a c a e b d f b d b f

+ = +


Efecta las siguientes operaciones:

a)

b)

c)

d)

Calcula:

a)

b)

c)

d)

14.

15.

3 1 3 311 4 11 41 3 1 54 8 4 83 2 3 98 7 8 711 3 3 47 10 10 7

+ =

+ =

+ =

=

4 15 3 9:5 6 2 83 4 4 36 5 12 6

3 4 4 36 5 12 6

4 2 6 723 5 2 3

=

=

=

+ + =

PPARAARA APRENDERAPRENDER

4. EXPRESIN DECIMAL DE UN NMERO RACIONAL.

Clasificacin de las expresiones decimales:

Como hemos visto todo nmero racional se puede expresar de la forma lo que representa elcociente indicado entre dos nmeros enteros. El nmero racional que representa tiene una expresindecimal. Efecta el cociente que se indica en los siguientes nmeros fraccionarios:

Qu similitudes y diferencias encuentras entre los resultados obtenidos?

Para obtener la expresin decimal de una fraccin, se efecta la divisin entre el numeradory el denominador y el cociente puede ser:

( )a b 0b

6 5 1 1 3 2 6 3

= = = =

Nmero entero El cociente es un nmero entero.

Decimal exacto Nmero finito de cifras decimales.

Decimal peridico

(N infinito decifras decimales)

Puro Una o varias cifras decimales serepiten indefinidamente (periodo).

Mixto Hay alguna cifra decimal que no formaparte del periodo (anteperiodo).

18 2442, 1229 2

= =

5 71'25, 1'44 5

= =

2 150'6, 1'363 11

= =

)

17 1052'83, 1'5906 66

= =

)



Clasifica las siguientes expresiones decimales:

a) 3'24b) 0'0567c) 5'356356356356d) 8'89898989e) 2'01001000100001f) 5'21323232323

16.


Expresin decimal de un nmero racional:

Hemos visto que para clasificar los nmeros racionales segn su expresin decimal tenemos que realizar elcociente que se nos indica. Pero, podramos saber de antemano, sin hacer la divisin, si la expresindecimal de un nmero racional es exacta, peridica pura o peridica mixta? Te damos una serie de pautaspara que puedas averiguarlo.

1 Simplifica la fraccin.2 Descompn el denominador en factores y observa los factores que has obtenido:

Factores del denominador Tipo de decimal

Slo aparecen potencias de 2 o de 5. Exacto

No aparece ninguna potencia de 2 o de 5. Peridico puro

Aparecen potencias de 2 o de 5 junto a alguna distinta de 2 o de 5. Peridico mixto


Indica el conjunto menor al que pertenecen los siguientes nmeros y en caso de que seanracionales indica sin hacer la divisin si su expresin decimal es un nmero decimal exacto, peridico puro o mixto.

a) 0'777... j) 3'54

b) 3 k) 1'279393...

c) -5 l) 2'555...

d) 9'27 m) -2985

e) 8'345345... n) 1034523

f) 3/4 o) 2/5

g) 9/6 p) 25/5

h) 1/9 q) 3/14

i) 1/18 r) 31234...

17.



5. PASO DE DECIMAL A FRACCIN.

En ocasiones nos interesar obtener la fraccin que nos ha originado un nmero decimal. A esta fraccin se le llama fraccin generatriz. A continuacin vamos a ver como se puede hallar.

Paso de decimal exacto a fraccin:

Obtn la fraccin generatriz de los siguientes nmeros decimales exactos:

2'45 0'3 -7'235

Paso de decimal peridico puro a fraccin:

Paso de decimal peridico mixto a fraccin:

Para hallar la fraccin generatriz de un nmero decimal peridico puro al nmero sincoma se le resta la parte entera y se divide entre tantos nueves como cifras tiene el periodo.

Obtn la fraccin generatriz de .

(En la prctica basta con hacer la ltima operacin)

Ejemplo:Ejemplo:

3'24

N = 3'242424... 100 N = 324'2424... Res tando:

100 N = 324'2424... N = 3'242424...

99 N = 324 - 3

324 - 3 N = 3'24 = 99

=

32199

fraccin

generatriz

Para hallar la fraccin generatriz de un nmero decimal peridico mixto al nmero sincoma se le resta lo anterior al periodo y se divide entre tantos nueves como cifras tiene elperiodo seguidos de tantos ceros como cifras tiene el anteperiodo.

Obtn la fraccin generatriz de .

Ejemplo:Ejemplo:

2'456

N = 2'4565656... 1000 N = 2456'5656...

10 N = 24'565656... Res tando : 10 N = 24'565656...

1000 N = 2456'5656...

990 N = 2456 24

2456-24 N = 2'456 = 990

=

2432990

fraccin

generatriz



Hallar la fraccin generatriz de:

a) 0'8666... d) 2'22 g) 9'27333...

b) 3'2727... e) 2'222... h) 3'2424...

c) 8'27 f) 2'31222... i) 15'34

18.


6. POTENCIACIN.

Potencias de exponente natural:

Una potencia es una forma abreviada de escribir un producto de varios factores iguales.

- El nmero que se repite (a) se llama base.- El nmero de veces que se repite la base (n) se llama exponente.- a n es el resultado y se llama potencia.

n

n veces

a = a a ... a 1442443

a)

b)

c)

Ejemplo:Ejemplo:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )6

5

3

5 5 5 5 5 5 5

3 3 3 3 3 3

2 2 2 23 3 3 3

=

=

=


Signo de una potencia:

Operaciones con potencias:

Potencias de exponente cero:

- Si la base es positiva, la potencia es siempre positiva.

- Si la base es negativa,

a)

b)

Ejemplo:Ejemplo:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

4 4

5 5

3 3 3 3 3 3

3 3 3 3 3 3 3

= =

+ +

= =

+ +

suuuuuuuuuur suuuuuuuuuur

suuuuuuuuuur suuuuuuuuuur suuur

y el exponente , la potencia es .

y el exponente , la potencia es .

par positivaimpar negativa

a) c)

b) d)

Ejemplo:Ejemplo:

( ) ( ) ( )5 3 2 25 -3 2 2

-4 : -4 = -4 = 4

3 3 3 3- - = - =4 4 4 4

Producto de potenciasde la misma base.

Cociente de potenciasde la misma base.

Potencia de un producto(mismo exponente).

Potencia de un cociente(mismo exponente).

Potencia de una potencia.

Toda potencia de exponente cero es igual a la unidad: a0=1

Demostracin:

a) b)

Ejemplo:Ejemplo:2

2 2 2 2 02

31 3 :3 3 33

= = = =

02 17

=

bb b b b 0

b

a1 a :a a aa

= = = =

( ) ( ) ( )7 4 3 334 12 12

-11 : -11 = -11 = -11

-3 -3 3= =2 2 2

m n m+na a = a

m n m-na : a = a

( )m m ma b = a b

( )m m ma : b = a : b

( )nm m na = a

2 3 53 3 = 3 3 3 3 3 = 3 suuur suuuuur

5 3 23 3 3 3 33 : 3 = = 33 3 3

/ / / / / /

3 3 33 4 = 3 3 3 4 4 4 = 3 4 3 4 3 4 =12 suuuuuursuuuuur suuur suuur suuur

33 3 3 3 3 3 3 3 33 : 4 = = =

4 4 4 4 4 4 4

( ) suuur suuur suuur32 2 2 2 62 = 2 2 2 = 2 2 2 2 2 2 = 2


Potencias de exponente negativo:

Toda potencia de exponente negativo es igual a la unidad dividida por esa misma

potencia con exponente positivo:

Demostracin:

a) c)

b)

Ejemplo:Ejemplo:0

2 0 2 0 22 2

44

3 13 3 3 :33 3

1 55

= = = =

=

-nn

1a =a

0n 0 n 0 n

n n

a 1a a a :aa a

= = = =

6 6 63 2 22 3 3

= =


Calcular:a)

b)

c)

Escribir en forma de una sola potencia:

a) e) i)

b) f) j)

c) g) k)

d) h) l)

Efecta las operaciones siguientes:

a) e)

b) f)

c) g)

d) h)

Calcula.

a)

b)

c)

d)

e)

19.3

3

-3

2

(-2 )

(-2 )

=

=

=

3

0

83

67

=

=

( )

2

4

26

2

=

=

d)

e)

f)

g)

( ) 4353

6 2

6 4

2

23

3 35 5

3 37 7

=

=

=

=

( ) 4262

3 2

3

2

34

1 14 4

2 57 2

=

=

=

=

( ) 4223

5 3

2 4

3

25

1 1:3 3

4 4:3 3

=

=

=

=

( )( ) ( )

5 7 4

35

5 3

5 7 4

3 3 3

2 2

3 : 3

2 2 2

=

=

=

=

( )( )

3 3 3

5 5

5 5

4 3

2 3 5

8 :2

8 2

2 2

=

=

=

=

( ) ( )( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )( )

( )

4 3

3

2

2

2

2 5 1 3 :4 6

2 3 5 5 3 6 : 3 4

7 5 4 1 4

3 2 3 3 2

2 3 5 4 4 6 8 :4

+ =

+ + =

=

+ = + =

20.

21.

22.



7. RESOLUCIN DE PROBLEMAS.

A continuacin te proponemos una serie de problemas en los que queremos que utilices lo que hasaprendido hasta ahora de los nmeros racionales en la resolucin de problemas relacionados consituaciones cotidianas como porcentajes, proporciones, grifos, etc.

Recuerda que hay una herramienta que facilita la resolucin de muchos problemas: la regla de tres.

PROBLEMA 1: Qu porcentaje debe subir el sueldo de una persona que gana 1100 , para que elnuevo sueldo sea 1232 ?

PROBLEMA 2: En una caja, 2 de cada 5 bolas son azules. Hay 12 bolas azules en la caja. Cuntasbolas tiene la caja?

PROBLEMA 3: Un grifo arroja 8 litros de agua por minuto y otro 12 litros. Abiertos simultneamentelos dos grifos sobre un depsito de 600 litros, cunto tardarn en llenarlo?


CURIOSIDADES MACURIOSIDADES MATEMTICASTEMTICAS

LA LETRA DEL NIF.

El ministerio de Economa y Hacienda ha establecido para el clculo del Nmero de Identificacin Fiscal(NIF), un procedimiento consistente en aadir una letra de control al DNI.

La forma de calcular esta letra es bastante sencilla.Dado un DNI cualquiera (16234521, por ejemplo), lo primero que hay que hacer es obtener el resto de sudivisin por 23, cuyo resultado debe estar comprendido entre 0 y 22. En nuestro ejemplo ese resto es 17.

A continuacin se consulta la tabla siguiente, para obtener definitivamente la letra de control a aadir al DNI.

El NIF en nuestro ejemplo sera el 16234521V.

Si se produjera un error y se grabara como NIF 16235421V, se detectara que es incorrecto pues el DNI16235421 tiene 20 como resto y por tanto la letra debe ser la C, en lugar de la V.

Evitar ese y otros errores usuales es el objetivo que se persigue con la introduccin del NIF.

a) Comprueba con tu DNI que tu letra de control se corresponde con la tabla.

b) Es correcto el DNI 12345678D?

Resto obtenido Letra de control Resto obtenido Letra de control0 T 12 N1 R 13 J2 W 14 Z3 A 15 S4 G 16 Q5 M 17 V6 Y 18 H7 F 19 L8 P 20 C9 D 21 K

10 X 22 E11 B


1. Calcula:

a)

b)

c)

d)

e)

2. Calcular:

a) e)

b) d)

3. Calcular:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

4. Escribe en forma de porcentaje:a) En una clase de 27 alumnos, los 2/3 son nias.

b) De 1000 personas encuestadas, 400 prefieren el pan integral.

c) De cada cuatro habitantes del mundo, uno vive en China.

d) Los mares y ocanos ocupan 361.100.000 kilmetros cuadrados; el rea total de la superficie del planeta es de 509.880.000 kilmetros cuadrados.

e) 25 es el ___ % de 75.

5. Si un producto cuesta 12.000 y se le aplica un 6% de IVA, qu cantidad supone el IVA?

PPARAARA ENTRENARENTRENAR

( ){ }( ) ( )

( )( ) ( ) ( ) ( )

( )( )

13 7 5 2 5 9

5 4 6 10:2 5 4 6

3 2 4 6 3 8

10 3 2 3 4 1

2 4 2 2 1

= + + =

+ = + =

+ =

111 2

57

2

=

=

53

23

17

8

=

=

5 126 105 10:6 12

=

=

c)

f)

2 2 2210 5 5

1 52 3

3 7 5 26 2 2 7

6 1 3 5 1:2 5 5 4 6

2 3 727 5 6

112

3 2 4 2 3:2 5 7 9 7

3 7 5 35 2 2 7

+

=

+ =

=

+ + =

=

+ + =


6. Si al salario de un trabajador se le aplica una retencin en concepto de IRPF del 19%, un descuento del2'5% para la Seguridad Social y un 0'75% para una mutualidad profesional, cul es su salario neto sisu salario bruto es de 3100 ?

7. Clasificar los siguientes nmeros en N, Z y Q (indicando si son decimales exactos, peridicos puros operidicos mixtos cuando proceda).

a) 0'2301111... d) 565'11111... g) 152'444...

b) 2'2564 e) 152'152 h) 256'023333...

c) 12'0232323... f) 15'454545... i) -25

8. Hallar la fraccin generatriz de:

a) 12'23 c) 65'02444... e) 56'151515...

b) 25'333... d) 45'25 f) 48'25666...

9. Calcular el valor de las siguientes potencias:

a)

b)

10. Expresa como una nica potencia:

a) h) o)

b) i) p)

c) j) q)

d) k) r)

e) l) s)

f) m) t)

g) n) u)

11. El 6 % de los tornillos que hace una mquina son defectuosos. Un da, fabric48 tornillos defectuosos. Cuntos tornillos fabric ese da?

( ) ( )( ) ( )

2

22 3

2 2 3

12 7 9

+ + =

+ =

( ) ( ) ( )( )

( )

3 4

53

3 2

72

3

53

34

2 2 2

2

2 25 5

35

2 2:3 3

23

1

=

=

=

=

=

=

=

( ) ( )( )

( ) ( )

3 2

23

4 3

52

7 9

32

6 6

3 3

3

5 5 52 2 2

34

5 5:4 4

53

5 : 5

=

=

=

=

=

= =

( ) ( )( )

( )( ) ( )

6 4

32

3 4

32

12 10

3532

2 6

3 : 3

3

1 12 2

12

8 8:19 19

2

1 : 1

=

=

=

=

=

=

=


12. Calcular:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

13. Expresa en forma general la propiedad asociativa de la suma de fracciones y demustrala con unejemplo.

14. Calcula:a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

( )

( )

( )

( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( )( )

32

3

43

3

52

222

23

22 23

0

5 3

8

1 33 5

2 5 3

1 6 53 5

3 5:4 6

3 3:2 4

3 26

2 39

2 33 2

3 3

3

=

=

=

=

=

=

=

=

=

( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

3 6 5 2 2 6 2 3

2 5 3 5 4 2 5 6 5 4

6 3 4 5 2 3 6 2 5 7 2 3 4

4 6 3 5 7 2 4 2 1 3 6 2

5 6 2 5 3 4 2 3 7 6 3 5 4 3

22 4 ( 9 3 2 ) 7 4

4 (10 2 3) 2 ( 3 15:3) (9 2)

+ + =

+ + + =

+ + + + =

+ + + + =

+ + + + + =

+ =

+ =

15. Calcula:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

16. Una persona tiene un sueldo bruto mensual de 2400 . Cul ser su nuevosueldo si el sueldo anterior se incrementa un 4 %?

17. Se adquiere una mercanca cuyo precio es 123.000 . Si dicho precio debe ser recargado con un 6 %por pago aplazado y un 2 % por transporte, cul ser el precio final de la mercanca?

18. Una persona ha pagado 1020 por un artculo cuyo precio era 1200 . Qu % de descuento le hanhecho?

19. Calcular:

a)

b)


( )

2 4 35 7 51 3 33 5 94 6 26 8 51 3 24 6 52 4 25 6 34 5 3 4 3 2: 33 2 7 5 2 6

5 3 1 3 3 2 6 34 5 2 5 6 3 2 6

2 1 7 12 33 3 3 4

+ =

+ =

+ +=

+

+ + =

+ + =

+ =

:

:

:

2

2

2 13 45 53 3

2 1153 3

7 16 7

=

=


20. Calcula:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

21. Expresa las siguientes expresiones mediante una nica potencia:a) e) i)

b) f) j)

c) g) k)

d) h) l)

22. Efecta:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

( )

( )( )

2

2 2

3 2

5 6 7

4 3

4 2 1

5 2

323 5

22

23 2

3

25 3 42 81 5

23 3 46 9

3 a b c2 3 a2 4 3 92 8 9 3

a a

a a a

a bb a

=

=

=

=

=

=

:

:

:

2 2

3 3 15 10 2

14311 12 13

415 1157 11 51

5

4 23 5

1 13 5

1 1 23 25 4 7

1 2 2 15 3 3 4

3 124 5

1 26 3

+ +=

+

+ =+

+

+++ =

+

=

+

+ + =

=

( )( )

( )

3

2

925

6

43

2

3

aa

5

=

=

=

=

( )( )( )( )

3

3

326

94

532

1

5

a

a

4

=

=

=

=

( )

( )

2

1

52

1

3

2

13

7

=

=

=

=


23. Calcula, simplificando cuando sea posible:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

k)

l)

m)

n)

o)

p)

q)

r)

2

1 3 12 4

3 14

3 135 34 623 5

3 2 1 21 35 5 3 9

1 3 1 1 113 4 2 3 4

2 3 1 1 5 13 4 2 6 6 3

2 1 15: 1 3:4 2 4

533533

1 34 57 3

10 41 21 36 5

=

+

=

=

+ + = =

+ =

=

+

=

2

2 1

2

1 13 2

1 1 12: 3: 16 2 2

3 3 17 11 1 38 5 20 3

2 1 2 113 1 : 13 9 3 3

3 3 1 72 4 3 9

5 1 5 3 4 7:7 2 6 5 5 10

1 222

=

+ + =

=

+ =

= + =

( )

43

22 2

12

234

3

1 5 4 15 3 5

1 1 31 3 22 4 5

1 6 22 5

=

=

+ + =

=


24. Calcula:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

25. Realiza las siguientes operaciones:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

26. Si el precio del kilo de pan, que antes costaba 15 , vale ahora18 , cul es el porcentaje de incremento?

( )

( ) ( )

3

22

23

6

32

3

42

2 3 4

2 2 1

2 5:3 6

5 210

4 32 9

2 42

1 3:2 4

5 7 57 5 71 1 1 1 1:2 3 4 5 61 1 1 1 1:2 3 4 5 6

1 1 1 1 1:2 3 4 5 6

1 1 1 1 1:2 3 4 5 6

=

=

=

=

=

=

+ =

+ =

+ =

+ =

( ) ( ) ( )

( ) ( ){ }

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )( )

3 2

3

48 12 3 5 6 : 3 2

7 4 2 3 5 10: 2

2 6:3 4 5 1 4 3 18: 9

13 2 1 3 15: 3 5 2

2 3 4 18:6 4 5 4

2 2 7 3 4 2 8: 2

+ + =

+ + =

=

+ + =

+ =

+ + =


1. Halla la fraccin opuesta de -2/5 .

2. Escribe la propiedad distributiva respecto de la suma de fracciones.

3. Qu clase de decimales son los siguientes nmeros racionales?

a) 2'533 d) 3'4555 g) 7'05b) 2'515151 e) 345'2 h) 4'521313c) 0'010010001 f) 4'12123123412345

4. Halla la fraccin generatriz de los siguientes nmeros decimales:

a) 123 c) 097626262... e) 3333... b) 760777... d) 32575757...

5. Representa sobre la recta numrica 5/6, -9/4, 7/3, -5/2, -3/5, -15/4.

6. Un supermercado hace la oferta "pague dos y lleve tres". A qu descuento equivale esta oferta?

7. Simplifica y calcula:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

8. Halla el valor de:

a)

b)

c)

PPARAARA APRENDER MSAPRENDER MS

( ):

:

: :

:

2 22

2

2

4 2

2 5 3

4

1 4 22 8

1 3 59 2 2

1 3 12 2 3

1 2 93 3 5

1 1 1 15 5 5 25

1 32 2

=

=

=

=

=

:

:

:

:

4 23 2

24 2

13

1 2 3 13 5 2 5

3 5 3 11 24 8 2 3

1 4 3 34 5 5 10

=

=

+ =

+

:

:

:

:

:

:

:

3 1 4 14 2 31 3 52 4 8

3 4 3 322 3 5 2

4 2 23

1 4 33 2 112 3 2 23 22

4

3 5 2 42 14 2 3 5

1 11 2 1 14 2

1 2 1 2 13 7 4 3

3 115 4

+

=

+

+ + =

+

+ + + + =+

+

= +

+ =

+

5 1 133 4 6

23

2 3 3 2: 14 5 8 6

1 11 12 2:3 12 44 4

1 1 3 14 10 :3 2 5 3

1 3 2 4 13 4 3 5

215

1 2 1 3:4 3 3 4

11 5 5 22

114

+=

+ =

+=

+ =

+ =

=

=

33 2 5 2 4

2 2 2

4

2 3 3 4 3:3 4 5 3 2

1 1 3 1 4 31 1 : 2 : 53 2 2 5 3 4

3 8 1 24 : 1 12 3 2 3

=

+ + + + =

+ + 2 22: 2

3

=

i)

j)

k)

l)

m)

n)

o)

p)

q)

r)

s)

t)


9. Halla la fraccin generatriz de:

a) 0'65 c) 3'222 e) 8'676767b) 3'47888 d) 1'234234234 f) 0'5444

10. Calcula:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

11. Calcula simplificando siempre que sea posible:

a)

b)

c)

d)

12. Un alumno se lamenta de que en su clase han aprobado 2 de cada 3. Su amigo le contesta que no sequeje, que en su clase han aprobado 3 de cada 7. Dnde hay ms suspensos? Por qu?

13. Un agricultor vende 1/3 de su cosecha y luego 4/7 de lo restante. Si le quedan an 120 kg, cuntocosech?

14. Dibuja en la recta numrica los nmeros: 9/2, -3/2, 5/3, -8/7.

15. En qu porcentaje debe subir el sueldo de una persona para que sta pase deganar 1500 a cobrar 1750 ?

16. Si un instituto ha pasado de tener 612 alumnos a tener 578, qu porcentaje de variacin ha sufrido elnmero de alumnos?

17. En un depsito hay 3360 litros de agua. Dos fuentes vierten 16 y 25 litros por minuto, mientras que poruna boca de riego salen 85 litros por minuto. Calcula la cantidad de agua que hay en el depsito al cabode 1 hora.

( )

( )( )

( )

1

1

2

3 5

3 2 3

32

24 1

7 2

43

1 2

2 25

12 4 3

7 7

2 2 2

a a

x x

8 8

5

=

=

=

=

=

=

=

=

=

( )( )

( )( )( )

35

2

2

3

64

0

5 4

0

2

3

33

44

a

3 2

2 33 2

2

2

2

=

=

=

=

=

=

=

=

( )( )( )

( )( )

1

1

4

1

2

2

8

3

2

2

2

12

23

34

1

a

=

=

=

=

=

=

=

=

( )( )( )

1573

2

1

5

6

5

4

a

a

a

1a

1a

1a

12

=

=

=

=

=

=

=

( )

1 1 5 1 3 1 4 33 43 2 6 4 8 5 7 6

1 1 1 1 1 13 4 3: :3 2 4 5 3 2

3 1 1 3 1 2 51 :5 3 2 4 3 5 3

1 2 1 1 2 5 12 : 42 3 4 4 3 6 4

+ + =

+ =

+ =

+ + + =

2

2

2 3 3 913 2 2 42 3 2 913 2 3 4

3 1 4: 14 2 31 3 52 4 8

3 5 3 1: 1 24 8 2 3

1 4 3 3:4 5 5 10

+ +

= + +

+ =

+

+

=

+

j)

k)

l)

m)

n)

o)

p)

q)

r)

s)

t)

u)

v)

w)

x)

y)

z)

a)

b)

c)

d)

e)

f)

e)

f)

g)


18. Calcular aplicando las propiedades de las potencias:

a)

b)

c)

d)

19. Calcula, simplificando:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

20. Sin hacer la divisin, di qu tipo de decimal son los siguientes cocientes indicados:

21. Dos amigos van de excursin y el primer da recorren 2/5 del trayecto. El segundoda 1/3, y el tercero, el resto que son 24 km. Cul es el trayecto de la excursin?

22. De un bidn se saca primero la mitad de su contenido. Despus se saca la quinta parte, quedando as3 litros. Cul es la capacidad del bidn?

23. Un grifo arroja 6 litros por minuto y otro 8 litros. Pero hay un agujero y se escapan 4 litros por minuto.Abiertos los tres conductos, en cunto tiempo llenarn 500 litros?

24. Simplifica:

a) d) g)

b) e) h)

c) f) i)

( )( )

5

5

5

-5

-3

-3

-2

-2

=

=

=

= ( )3

04

2

32

15

3

-3

=

=

=

43 2

27 3

1 12 2

3 3:4 4

=

=

( ) ( )( )

( )

3 5 7 2

2 3 4

2 3

2 3 4

2 2 1

-4 2 1 2

5 3

3 22 2

3

32

4 6 3 2 2

3 2 1 3 2

3 4 5

3 5 3

22 1

5 4

a b a b

a b ca b c

a a aa a a2 4 3 9 3

2 8 3 9

a b ab

ab

xy

x y x x yy y xy y y

6 6 6 56 5 6 5

1 1 31 2 12 3 2

b :b

=

=

=

=

=

= =

=

+ + =

2 1b b b=

( )( )( ) ( )

( )

12 2 3

21 3 4

42 33 3 2 2

3 111 2 1 11 2

23 4

21 4 4

12 1

3 1

x y z

x y z

p q p q

3 62 5 3 2 3 44 3

1 1 12 2 2

1 2 21 13 3 3

y z xz:x y

=

=

+ =

=

+ = ( ) ( )

( ) ( )

13 32

3

2 3 4 5 6

3 2

2 53 2 3 2

42 3

x:y z

a a a : a :a

a a a

3 3 : 3 :3

1 222 3

=

=

=

=

3 27 7 3 5 7 13 9 2 3, , , , , , , , , 4 5 12 16 24 27 36 75 15 36

3

3 2

5

2

4 2

72 72 52 52m

8m n

=

=

=

3 4

2 5

2 5

3

4 2 0

6

3a b2a b6 3

93 3 3

3

=

=

=

5 7

2

2

2

4 2

2

3 33

62 32 4

8

=

=

=

e)

f)

g)

h)

i)

k)

l)

m)

n)

o)

p)

q)

r)

s)


25. Simplifica:

a) c)

b) d)

26. Calcula:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

27. Completa las siguientes frases:

a) Los nmeros con infinitas cifras decimales peridicas se llaman nmeros ...b) Los nmeros que no se pueden expresar por medio de una fraccin se llaman nmeros ...

c) Los nmeros racionales e irracionales al juntarlos forman el conjunto de los nmeros ...

28. Cuntas cifras decimales tienen los nmeros racionales peridicos puros? Y los mixtos?

29. Averigua cules de los siguientes nmeros no son racionales:

a) 275

b) 38

c) 67134424242...

d) 9021022023024...

30. Razona si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas:

a) Los nicos nmeros que se pueden expresar por medio de una fraccin son los nmeros decimales

exactos y los decimales peridicos.

b) Si un nmero es racional entonces siempre es un decimal exacto.

c) Los nmeros decimales negativos no pueden ser racionales.

d) Un nmero decimal peridico no puede ser racional.

2 2 3 2

3 2

7

2 2

5 8 5 5 25 4

9 310 27

=

=

5 2 2

3 1

5 3 4

2 1

2 4 32 9

2 10 5128 5 10

=

=

( )

( )

( )

:

:

:

:

32 2 20

12

43 213

2 22

1 1 222 2 3

1 4 71 22 3 6

2 213 3

3 1121 311 2

1 12 4

=

+ =

=

=

+

( )

:32 2 7 3

3445

2 1 13 2 2

1 1 aa aa a 2

=

+ =

LOS NMEROS REALESCOLEGIO VIZCAYA 25

Pitgoras vivi en Grecia hacia el ao 500 a. C. l y sus discpulos crearonlo que se conoca como la escuela pitagrica con la que intentaban explicartodos los fenmenos que les rodeaban.

Ellos crean que todo es nmero y quetodas las cosas se podan expresar connmeros enteros y fraccionarios.

Sin embargo, su famoso teoremacuestion esta concepcin del mundo.La medida de la hipotenusa de untringulo rectngulo cuando los catetosmiden 1 es .

El clculo de su expresin decimal nos da lugar a un nmero con infinitascifras decimales no peridicas.

= 1'4142135623730950488016887242097

Es decir, no es un nmero fraccionario ya que su expresin decimal no esexacta ni peridica.

2

2

1

1

2 2h = 1 + 1 = 2

LOS NMEROS REALES COLEGIO VIZCAYA26


Expresa las siguientes races como una potencia de exponente fraccionario.

a) b) c) d) e)

Expresa en forma de raz:

a) b) c) d) e)

Calcula expresando en forma de potencia:

a) c) d)

b) e)

Calcula por aproximacin con dos decimales:

Calcula las siguientes races:

a)b)

c)

1.

2.


1. EL CONJUNTO DE LOS NMEROS REALES.

El conjunto de los nmeros ms grande que conocemos hasta el momento es el conjunto de los nmerosracionales que se pueden escribir como el cociente indicado de nmeros enteros o bien como unnmero decimal si hacemos el cociente que se nos indica. Adems habamos observado cmo esecociente poda ser un decimal exacto (n finito de cifras decimales) o un decimal peridico (infinitas cifrasdecimales pero peridicas).

Tomemos el siguiente nmero decimal:

1'7320508075688772935274463415059

a) Cuntas cifras decimales tiene?

b) Es un nmero peridico?

Existe un tipo de nmeros que tienen un nmero infinito de cifras decimales que no son peridicas y que nose pueden expresar mediante una fraccin, es decir, no podemos calcular la fraccin generatriz de dichosnmeros como hacamos con los decimales peridicos.

Como los nmeros racionales son los que se pueden expresar por medio de una fraccin (razn), losnmeros que no se pueden expresar con una fraccin se llaman nmeros irracionales.

3.

3 42 3 2 52 3 5 7 4= = = = =

1 2 4 3 1 3 3 5 2 22 3 4 5 7= = = = =

5 15

3 9 27 6

2

2 3 5

=

=

8 4

2 16

5 112 3

=

3 12 18

16 204

a :b

x :y

=

=

83, 58'4, 1114.

5.28 2 81

4 4 2 9 3 25 5 49

5 13 9

=

+ =

+ + =

Los nmeros irracionales son aquellos cuya expresin decimal tiene infinitas cifrasdecimales no peridicas y designa con la letra I.

El conjunto que resulta de unir el conjunto de los nmeros racionales (Q) con el de losirracionales (I) se llama conjunto de los nmeros reales, se denota con la letra R yllenan la recta numrica si los representamos todos.

a , b 0b


Los nmeros = 3,1415926535897932384626433832795= 1'4142135623730950488016887242097= 1'7320508075688772935274463415059

y en general todas las races cuadradas, cbicasno exactas de nmeros enteros sonirracionales.

Las operaciones con nmeros reales son las mismas que con los nmeros racionales y secumplen las mismas propiedades: asociativa, conmutativa, elemento neutro, elementoopuesto y distributiva respecto de la suma.

Ejemplo:Ejemplo:

2

3


Realiza un dibujo mediante el cual expliques qu conjuntos forman los nmeros reales y quconjuntos estn incluidos en otros.

Clasificar los siguientes nmeros:

a) 3 g) k) 23'121121112b) -745 h) 23'5666 l) 23'121212c) 2'5 m) 23'1121212d) 3'2727 i) n) -52e) 1'123456 o) 372f) j) p) 8'23

6.

7.

3

4

35

102


2. REPRESENTACIN GRFICA DE LOS NMEROS IRRACIONALES.

Vamos a representar sobre la recta numrica .El nmero = 1'4142135 como es irracional y tiene infinitas cifras decimales es imposible representarloen la recta numrica con exactitud como hacemos con los dems nmeros. Sin embargo hay un mtodo quenos permite representarlo con exactitud.

Sabemos que se corresponde con la hipotenusa de un tringulorectngulo de cateto 1.

Dibujamos sobre la recta numrica un cuadrado de 1 de lado.

22

2

1

1

2 2h = 1 + 1 = 2

-2 -1 0 1 2


Ahora basta con trazar con la ayuda de un comps un arco de circunferencia de centro 0 y radio la diagonal.

Para representar , , construiremos tringulos rectngulos cuya hipotenusa valga , ,

3. EL VALOR ABSOLUTO DE UN NMERO REAL.

3 5 2 3


Representa sobre la recta real el nmero .

Entre dos nmeros enteros, cuntos racionales hay? Y cuntos irracionales?

Cuntos nmeros irracionales hay comprendidos entre dos racionales?

Si sobre la recta numrica representamos todos los nmeros reales, cuntos puntos quedarnsin pintar?

Los lados de un rectngulo miden cm y cm. Su rea es un nmero irracional?

El lado de un cuadrado mide cm. Su rea es un nmero irracional?

10.

11.

10

El valor absoluto de un nmero real es la distancia que lo separa del cero. Siempre espositivo y se representa entre barras .

2 3

2

8.

9.

12.

13.

n

-2 -1 0 1 2

-1 0 1 2 32 3 5

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-3'5 = 3'5 4'75 = 4'75

2


Calcula:a) c)

b) d)

Razona si son verdaderas o falsas las siguientes relaciones:a) e)

b) f)

c) g)

d) h)

Calcula el valor de x que cumple:a) b) c)

14.

15.

16.

8 3

3 8

=

= ( )8 3

8 3

=

=

3 7 3 7

3 7 3 7

3 7 3 7

3 7 3 7

+ = +

=

=

=

5 5

0 7 7

4 8 4 8

12 15 12 15

=

=

=

=

x 10= x 3 5+ = x 3 6 =


4. APROXIMACIN Y ERROR.

Aproximacin:

Como la expresin decimal de muchos nmeros tiene infinitas cifras decimales, nos resulta imposibleescribirlos al completo. Por esta razn para realizar operaciones con ellos tomamos un nmero limitado decifras decimales, es decir, tomamos una aproximacin del nmero dado.

Por ejemplo, si tomamos el nmero = 3,1415926535897932384626433832795 los nmeros

= 3,1 = 3,14 = 3,142= 3,1416

son aproximaciones de .

Las aproximaciones = 3,1 y = 3,14 son aproximaciones por defecto (el n aproximado es menor queel exacto) y las aproximaciones = 3,142 y = 3,1416 son aproximaciones por exceso (el n aproximadoes mayor que el exacto).

A la hora de aproximar un nmero se suelen utilizar normalmente las tcnicas de truncamiento y redondeo.

Truncamiento: Se eliminan las cifras hasta el orden que se quiera.

Redondeo: Para redondear un nmero hasta un orden, se ponen las cifras anteriores a ese orden y la cifradel orden se deja igual si la que le sigue es < 4 y se le aumenta una unidad si la que le sigue es 5. El restode cifras se eliminan.

Llamamos aproximacin de un nmero a cualquier otro nmero cercano a l.

Aproxima el nmero

Ejemplo:Ejemplo:

5 =2'2360679774997896964091736687313...

Truncamiento Redondeo

Hasta las dcimas 22 22

Hasta las centsimas 223 224

Hasta las milsimas 2236 2236


Error:

Cuando aproximamos un nmero, como no estamos trabajando con el nmero exacto se cometen errores.El error ser ms pequeo cuanto ms cifras decimales consideremos.

Si aproximamos = 2'6457513110645905905016157536393 hasta las milsimas por redondeo:

a) Cul es el error que estamos cometiendo?

b) Puede ser un nmero negativo?

Cuando calculamos el error absoluto, es interesante calcular tambin lo que se llama error relativo. El error relativo nos indica cul es el error que se comete por unidad, es decir, no es lo mismo equivocarseen 1 m cuando medimos el permetro de una moneda que cuando medimos la circunferencia de un planeta.

Se llama error absoluto de una aproximacin a la distancia que lo separa delnmero exacto.

Calcula el error absoluto y relativo que se comete al aproximar:

a)

b)

c)

Ejemplo:Ejemplo:

7

aE = n-aprox.

Se llama error relativo de una aproximacin al error que se comete por unidad. Se calcula dividiendo el error absoluto entre el nmero.

:r aE =E n

3,14159... por 3'14.

3'14159... 3 '14=0'00159... : 3'14159...

=

= =

=

a

r

E 0'00159...E 0'000506...

1 0'09 por 0'09.11

1 1 9 100 99 10'0911 11 100 1100 1100

1 1 1= : 0'011100 11 100

=

= = = = =

= = =

a

r

1E1100

E 1%

2 0'6 por 0'67.3

2 2 67 200 201 10'673 3 100 300 3001 2 3 1: 0'005

300 3 600 200

=

= = = = =

= = = = =

)

a

a

1E300

E 0'5%



Hallar aproximaciones hasta las centsimas por truncamiento y redondeo de los siguientesnmeros.

a) 2'3567 d) 93'8003b) 8'2392 e) 57'5432c) 8'521 f) -105'2352

Halla los errores que se cometen al aproximar:

a) 5/3 por 1'67

b) 4/9 por 0'444

c) 7/9 por 0'77

d) 1/3 por 0'33

e) 4/7 por 0571

f) 5/7 por 1'66

Si el dimetro de una circunferencia mide 28 m, y se aproxima con la fraccin , cuntomide su longitud? Compara este resultado con el que se obtiene tomando = 3'1416 y calculalos errores.

17.

18.

19.227



5. RADICACIN.

Raz de ndice n:

En la unidad anterior hemos trabajado con potencias y hemos estudiado las propiedades de las operacionescon ellas. Como bien sabes existe una operacin que es la inversa a la de elevar un nmero a unapotencia: calcular su raz cuadrada, cbica, cuarta

A las races de ndice n se les suele denominar radicales sin ms, con el fin de abreviar su nombre.

Teniendo en cuenta la definicin, completa el siguiente recuadro.

Potencias de exponente fraccionario:

Normalmente trabajamos con potencias de exponente entero, sin embargo qu podra significar lapotencia 1/2? Y la potencia 2/3? Intentemos descubrirlo.

Vamos a tomar la siguiente igualdad que todos conocemos:

Ahora elevamos los dos miembros de la igualdad a la potencia 1/2:

Teniendo en cuenta las propiedades que hemos estudiado de las potencias:

Luego parece ser que tanto como dan como resultado 7.

Hemos encontrado dos formas diferentes de representar la raz cuadrada.

a) Cmo se representar la raz cbica de un nmero en forma de exponente fraccionario?

b) Cmo representaremos la potencia 2/3 con una raz?

La raz de ndice n de un n es otro nmero tal que el 2 elevado a la potencia n da el 1.

porque nn b =a a =b- A b se le llama radicando.- a n se le llama ndice de la raz.- a es la raz y se llama radical.

Radical ndice Radicando Raz Potencia

43 38b

4 481 b

249=7

( ) ( )11 2 2249 = 7

( ) ( ) 11 1 222 22 2 249 = 7 =7 =7 =7

( )1249 49

Una potencia con exponente fraccionario es igual a una raz de ndice el denominadory de radicando una potencia de la misma base cuyo exponente es el numerador.

( ) porque nb bn b bn na =a a =a



Escribir en forma de potencia:a) d) g)

b) e) h)

c) f)

Expresar en forma de raz:

a) c) e)

b) d)

20.

21.

3

5

3

7

8

=

=

=

8 2

3

9

a

b

a

=

=

=

6 7

4 3 2

a

a b c

=

=

12

25

3

10

=

=

14

23

5

a

=

=

72b =


6. OPERACIONES CON RADICALES.

A la hora de operar con radicales lo podemos hacer tanto en forma de radical como potencia de exponentefraccionario.

Si vamos a trabajar con potencias de exponente fraccionario, las reglas a seguir son las mismas que hemosvisto para las potencias, por ejemplo:

a) b) c)

Radicales iguales o equivalentes:

Los radicales tienen todos la misma raz 1'41421

Aunque a simple vista parezcan radicales diferentes todos ellos son iguales o equivalentes.Para comprobar que los radicales anteriores son iguales los vamos a expresar en forma de potencia deexponente fraccionario:

a) Qu puedes decir de las potencias que aparecen en los exponentes?

Esta propiedad nos permite ampliar radicales (multiplicando) o simplificar radicales (dividiendo).

Propiedad fundamental de los radicales:

Si se multiplican o dividen por un nmero el exponente del radicando y el ndice de la raz,el resultado de la raz no varia.

2 1 2 71 3 2 3 623 3 3 3

+

= =

6 104 2 3 53, 3 , 3 , 3

3 51 26 102 43 , 3 , 3 , 3

a) b)

c) d)

Ejemplo:Ejemplo:

6 34 2 12 8

10 5 308 4 24

: 2 4

: 2 6

a a a

x x x

= =

= =

4 2 2 12 6 6

4 2 12

10 5 302 6

2 3

: 2 6

3a 3 a 3 a

x x xy y y

= =

= =

( ) 2 62 3 3 5 55 2 2 2= =1 1 1 1 1 - 2 4 2 4 45 : 5 5 5 = =



Calcula por ampliacin tres radicales equivalentes a:

a) b) c)

Completa:

a) b)

Descompn el radicando en factores y simplifica:a) c)

b) d)

22.

24.

a = 3 22 = 4 3b =

9 6 3 6 45a = = = 4 3 4012 24a = = =

15

6

64

1000

=

=

6

24

100

1000000

=

=


Introduccin y extraccin de radicales:

1) Siempre que el exponente del radicando sea mayor que el ndice de la raz, se puedenextraer factores de la siguiente forma:

a)

b)

2) Si el exponente del radicando es menor que el ndice de la raz, entonces descomponemosel radicando en factores:

a)

b)

3) Al igual que hemos extrado factores fuera del radical, tambin podemos introducirfactores actuando de forma inversa. Seras capaz de introducir los factores en lossiguientes radicales?

a)

b)

c)

Ejemplo:Ejemplo:

4 4 6 3 4 4 4 2 3 4 2 3

4 8 3 3 3 2 2 23 3 3

2 3 5 2 3 3 5 2 3 3 5

2 x y 2 x x y y y x y 2 x y

= =

= =

3 3 34 2 3 2 23

34 3 5 4 3 3 2 3 3 23 3 3

144 2 3 2 2 3 2 2 3

32 a y 2 a y 2 2 a a y 2 a y 2 a

= = =

= = =

3 2

2 4

3a 2

2 2 a

5 x 3xy

=

=

=


Extraer todos los factores posibles de los siguientes radicales:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

25.

3

3

2

3 5 7

4 5

18

3 48

16

9a

50a b

98a b c

2 75x y

=

=

=

=

=

=

=

3 4

3 7

5 7

5 7

6

3 81x y

1 49x y71 108a b21 27a m =33 125mn =5

=

=

=

h)

i)

j)

k)

l)

23.


Introducir dentro del radical todos los factores posibles que se encuentren fuera de l:

a)b)c)d)

e)

f)

Simplifica y extrae todos los factores que se pueda:

a) c) e)

b) d) f)

26.

3

2 2

3 5

2 3

2 a

5a b

3a 2a1 22

=

=

=

=

=

=

32 2

2

32 2

3 2

4 3

3a a b

5x y 3

ab a b

4m 2m

2a 8ab

=

=

=

=

=

g)

h)

i)

j)

k)

2

6

a

a

=

=

3 6

9

b

a

=

=

15

4 6

b

b

=

=


Reduccin de radicales a ndice comn (homogeneizar):

Para multiplicar y dividir radicales va a ser necesario que tengan el mismo ndice, si esto no es as, hay unaserie de pasos muy sencillos que nos permiten obtener radicales equivalentes que tengan el mismo ndice.A este proceso se le llama reducir radicales a ndice comn o homogeneizar radicales.

Vamos a considerar los siguientes radicales:

Primero se halla el m.c.m. de los ndices, que ser el ndice comn a todos los radicales.

ndices: 2, 4, 6 m.c.m. (2, 4, 6) = 12

Para escribir con ndice 12, dividimos 12 entre el ndice del radical (12:2 = 6) y lo amplificamos por 6:

Se opera anlogamente con los otros radicales:

Como ves hemos obtenido tres radicales equivalentes a los primeros pero todos ellos con el mismo ndice.

Si te has dado cuenta, reducir radicales a ndice comn es similar a escribir fracciones con comn denomi-nador (recuerda que los radicales se pueden escribir como una potencia de exponente fraccionario).

64 2 4 32a , 3ax , 5

42a

( )64 4 12 6 24262a 2a 2 a= =

( ) ( )2 36 12 4 12 2 2 2 2 4 3 3 96 2 4 3 3ax 3ax 3 a x 5 5 5 = = = =

Reducir radicales a ndice comn (homogeneizar) es obtener otros radicalessemejantes a ellos pero con el mismo ndice.


Reducir a ndice comn los siguientes radicales:a)

b)

c)

d)

e)

28.34

2 63

62 33

4 23

6 33 2 2

3, 7, 5

3x, 5a , 4m

5x, 4x y, 7a b

2 a, 3 2b, 4 5x

15a x , 2a, 3a b

27.



Multiplicacin y divisin de radicales:

Para multiplicar o dividir radicales es necesario que tengan el mismo ndice, si no es as, tendremos quereducirlos a ndice comn.

Las reglas a seguir a la hora de multiplicar y dividir radicales son las siguientes:

=

=

n n n

n n n

a b a b

a: b a:b

a) c)

b) d)

Ejemplo:Ejemplo:

5 55 5

6 63 36 6 6

m.c.m.(2,6) 6

3 7 3 7 21

3 2 3 2 3 2 54

=

= =

= = =

6 6 6 67 2 7 2 5

3 2 4 3 12 8 12 9 12 8 9 12 1 12

m.c.m.(3, 4) 12

a : a a :a a

1a : a a : a a :a aa

=

= =

= = = =


Realiza las siguientes operaciones:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

k)

l)

m)

n)

o)

p)

q)

r)

29.

3 3

2 3

32 53

4 3 4 7 63 3 3

4 5

3 35

3 4

6 2 33

3 3 4

3 2

4 3

8 5 4 3

3 2

62 53

3 2 2 4 3

62 3 24

5 3

2 34 63 4

32 a x a2

9x y : 81x

2 1x y 2xy 4x y3 4

2x 4x:25y 5y

2 2 2

a ab a b

3 x 2 x 5 x

x 2x

3 2ab 4 8a

a : a

5 2a 4a b

9x y 81x

a b 2 3a b

25x y 125x

2ab : 2ab

2

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

4 52 4

33 2

34m 16m n3 4

3a b : 6a b

=

=



Radicales semejantes:

Dos radicales son semejantes si tienen el mismo radicando y el mismo ndice.

Para ver si dos radicales son semejantes tenemos que extraer fuera del radical todos losfactores posibles y simplificar si se puede.

a) Los radicales y son semejantes (ndice 3, radicando 2).

b) Los radicales y a simple vista parece que no son semejantes, sin embargo ase le pueden extraer factores fuera.

Entonces y son semejantes (ndice 2, radicando 2).

c) Los radicales y parece que tampoco son semejantes pero se puedesimplificar por 2: , as que s son semejantes (ndice 4 y radicando x).

Ejemplo:Ejemplo:

33 2 35a 2

8 2 8

38 2 2 2= =

8 2 2= 2

43 x 8 2x 8 2x8 2 4x x=


De los siguientes radicales, agrupa aquellos radicales que sean homogneos y los que seansemejantes:a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

30.

4 6

64

11 184 4

64 2 3

1 1 15 10 5

2 2 3 3 2 3 4

3 2 2 5 3 5

2, 4, 8

2, 9, 27

6 , 36 , 15

a, a , a

5 ,25 , 20

a b , a b, b , a b , a b

2a b , 4a b , 8a b , 32a b


Suma y resta de radicales:

Para poder sumar y restar radicales, estos tienen que ser semejantes. Antes de operar hay que extraer todoslos factores que se pueda y simplificar, despus la forma de actuar a la hora de operar es similar a la desumar y restar monomios.

a) c)

b)

Ejemplo:Ejemplo:

( )( )3 3 3 3 3

3 2 7 2 5 2 3 7 5 2 5 2

8 x 7 x 3 x 8 7 3 x 4 x

+ = + =

= =

2 3

3 12a 4 3a 5 27a

3 2 3a 4 3a 5 3 a

3 2 3a 4 3a 5 3 3a

6 3a 4 3a 15 3a

17 3a

+ =

+ =

+ =

+ =



Sumar los siguientes radicales:a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

k)

l)

31.

33 3

3 3 3

3 3 3

33 3 3

3 3 3 3 3

98 18 8

54 24 16

3 27 48

875 448 189

45 80 180 20

40 1029 625

5 75 8 48 3 27

2 8 5 72 7 18 50

1 1 112 27 752 3 53 2 1 528 63 700 4482 3 10 8

3 128 2 2 3 54 5 16

2 8b 18b 4 128b 2 32b 288b

+ + =

=

+ + =

+ + =

+ =

+ =

+ =

+ =

+ + =

+ + + =

+ + =

+ =


Potencia y raz de un radical:

La potencia p de un radical, es otro radical del mismo ndice cuyo radicando estelevado a la potencia p.

La raz r de un radical es otro radical con el mismo radicando y cuyo ndice es elproducto de los ndices.

a) b)

Ejemplo:Ejemplo:

( ) porque =p n pn a a

porque r n r na = a

( ) ( )5 5 33 36 6 5 30 10 232a 2a 2 a 2a 2= = = 4 3 2 12 23a 3a=


Realiza las siguientes operaciones:

a) g)

b) h)

c) i)

d) j)

e) k)

f)

32.

( )( )

3 4

39

23 4 6

23 3

5 2

12

a

a

a b c

a

a

a

=

=

=

=

=

=

( )( )

( )

4 5

46 7

55 3 2

23 4 3 2

3

a

a

a b c

2a b

a a

=

=

=

=

=

( )p p1n na =a

( )1 1 1n r nra =a



Racionalizacin:

En las operaciones con radicales y denominadores, para simplificar algunas expresiones es necesario queen los denominadores no aparezcan radicales. El proceso por el cual se obtiene un radical sin races en eldenominador se llama racionalizacin. Veamos unos ejemplos muy sencillos:

a) b)

Ejemplo:Ejemplo:

3 62 3 46

3 32 33

3 y x 3 y x

x x x

= = =

3 46

3

3 y 3 y xxx2

3 2 3 22 2 2

= = =

3 3 222


Qu es racionalizar el denominador de una fraccin?

Racionaliza:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

k)

l)

Son iguales y ? Razona tu respuesta

33.

3

3 2

2

3

3 2

3

12

1326 2 7 32 1 9x 5 4a

1 3

3c 9c

6ab 4a b

5 2 6

5 3x

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

25

2 55

34.

35.


CURIOSIDADES MACURIOSIDADES MATEMTICASTEMTICAS

DOS NMEROS CON NOMBRE.

Hasta el momento has conocido un nmero que aparte de su importancia en las matemticas, como muchosirracionales, lo nombramos con una letra porque no se puede escribir con todas sus cifras, ese nmero es

= 3'14159 y nos relaciona la longitud de la circunferencia con su dimetro. ( = longitud circunferencia / dimetro).

Este nmero tiene infinitas cifras decimales no peridicas, es decir, es un nmero irracional como puedescomprobar en el siguiente desarrollo:

3,1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078164062862089986280348253421170679821480865i328230664709384460955058223172535940812848111745028410270193852110555964462294895493038196442881097566593344612847564823378678316527120190914564856692346034861045432664821339360726024914127372458700660631558817488152092096282925409171536436789259036001133053054882046652138414695194151160943305727036575959195309218611738193261179310511854807446237996274956735188575272489122793818301194912983367336244065664308602139494639522473719070217986094370277053921717629317675238467481846766940513200056827145263560827785771342757789609173637178721468440901224953430146549585371050792279689258923542019956112129021960864034418159813629774771309960518707211349999998372978049951059731732816096318595024459455346908302642522308253344685035261931188171010003137838752886587533208381420617177669147303598253490428755468731159562863882353787593751957781857780532171226806613001927876611195909216420198938095257201065485863278865936153381827968230301952035301852968995773622599413891249721775283479131515574857242454150695950829533116861727855889075098381754637464939319255060400927701671139009848824012858361603563707660104710181942955596198946767837449448255379774726847104047534646208046684259069491293313677028989152104752162056966024058038150193511253382430035587640247496473263914199272604269922796782354781636009341721641219924586315030286182974555706749838505494588586926995690927210797509302955321165344987202755960236480665499119881834797753566369807426542527862551818417574672890977772793800081647060016145249192173217214772350141441973568548161361157352552133475741849468438523323907394143334547762416862518983569485562099219222184272550254256887671790494601653466804988627232791786085784383827967976681454100953883786360950680064225125205117392984896084128488626945604241965285022210661186306744278622039194945047123713786960956364371917287467764657573962413890865832645995813390478027590099465764078951269468398352595709825822620522489407726719478268482601476990902640136394437455305068203496252451749399651431429809190659250937221696461515709858387410597885959772975498930I61753928468138268683868942774155991855925245953959431049972524680845987273644695848653836736222...

Hoy en da se han calculado ya ms de un milln de cifras decimales de .

Pitgoras y el nmero de oro.

Pitgoras, filsofo y matemtico griego, naci en el 582 a. C. en la isla deSamos, situada en el Mar Egeo y fue instruido entre otros por Thales deMileto (624 a. C.-547 a. C).

Hacia el 530 a. C. tuvo que exiliarse y se instal en una colonia enCrotona, al sur de Italia. All aglutin a un crculo cerrado de discpulosentre los que podan ingresar mujeres (en ese entonces y durante muchotiempo las mujeres no eran admitidas en las escuelas). Esta nuevaasociacin se conoce como la escuela pitagrica.

Entre las amplias investigaciones matemticas realizadas por lospitagricos se encuentran el estudio de los nmeros pares e impares y delos nmeros primos y de los cuadrados. Desde el punto de vista de laaritmtica, cultivaron el concepto de nmero, y es as como llegaron aatribuirles propiedades fsicas e incluso divinas a las cantidades ymagnitudes. En el campo de la geometra el gran descubrimiento de laescuela fue el conocido Teorema de Pitgoras.


El pentgono estrellado fue el smbolo elegido por los seguidores de Pitgoras quepensaban que en el mundo slo haba cabida para los nmeros fraccionarios.

La casualidad hizo que no slo su famoso Teorema diera origen a los nmerosirracionales si no que en su propio smbolo se encuentra un nmero irracional: elnmero de oro.

Al trazar las 5 diagonales en un pentgono regular se forma otro pentgonosemejante a l.

La relacin de semejanza que hay entre los dos pentgonos se conoce comoproporcin urea y su razn de semejanza es el nmero de oro que se designa conla letra griega ('fi'):

La relacin que hay entre la diagonal del pentgono y su lado tambin es el nmerode oro.

El nmero de oro en el arte y en la naturaleza.

El nmero de oro aparece en muchas de las proporciones que guardan edificios, esculturas, objetos, partesde nuestro cuerpo, plantas y animales.

A lo largo de la historia, muchos artistas han apreciado la belleza y armona de la proporcin urea pintan-do y construyendo grandes cuadros y obras arquitectnicas como el Partenn de Atenas, la pirmide deKeops, el Hombre de Vitruvio de Leonardo Da Vinci

El Partenn de Atenas. Las pirmides de Keops.Se puede comprobar que ancho / altura = La altura de una cara / mitad de la base =

Hombre de Vitruvio de Leonardo Da Vinci.

En ese dibujo se propone un Hombre perfecto enel que las relaciones entre las distintas partes delcuerpo son proporciones ureas. La altura delcuerpo y la longitud entre los extremos de los bra-zos cuando estn extendidos, la altura del hombrey la distancia del ombligo a la punta de las manos,las falanges de los dedos, la longitud de la cabezay su anchura

1 5 1'6180339887498948482045868343656...2

+ = =


En la naturaleza, tambin aparece la proporcin urea en el crecimiento de las plantas, pias, girasoles,distribucin de las hojas en los tallos, dimensiones de insectos y pjaros y la formacin de caracolas.

1. El Partenn es un edificio que se encuentra en la Acrpolis de Atenas. Su fachada es un rectngulo quetiene la propiedad de que el cociente de sus dimensiones es el nmero ureo. Si la altura, que es el ladomenor, mide 18 m, cunto mide la anchura de la fachada? Utiliza la aproximacin centesimal de .

2. Las tarjetas de crdito y los documentos de identidad tienen forma rectangular y el cociente de susdimensiones es el nmero de oro. Si el lado menor mide 54 mm, cunto mide el lado mayor? Utiliza la aproximacin hasta las milsimas de .

3. La hoja DIN-A4 tiene dimensiones tales que la longitud es igual a la anchura por . Si el lado pequeomide 21 cm, cunto mide el lado mayor? Utiliza la aproximacin centesimal de la raz cuadrada.

4. El nmero se ha expresado clsicamente por medio de aproximaciones fraccionarias

(Arqumedes, 230 a. C.), (Liu Hui, 260 d. C.), (Fibonacci, 1220 d. C.).

Compara estos valores con el de = 3'14159 y di cul es el orden del error cometido.

2

22771

15750

1440458'3

)


1. Clasifica los siguientes nmeros:

a) 125 d) -422 g) 2'111 j) 2'111b) 1/2 e) 7/3 h) 18/9 k) 5/6c) 2'1212333 f) 5'79215 i)

2. De los siguientes radicales, agrupa aquellos radicales que sean homogneos y los que sean semejantes:a)

b)

c)

d)

e)

3. Halla el error absoluto y relativo que se cometen al aproximar:

a) 4/7 por 0'571

b) 5/3 por 1'66

c) 2/11 por 0'18.

d) 7/3 por 2'33.

e) 8/3 por 2'67.

4. Extraer todos los factores posibles de los siguientes radicales:

a) g)

b) h)

c) i)

d) j)

e) k)

f) l)

5. Introducir dentro del radical todos los factores posibles que se encuentren fuera de l:

a) d) g)

b) e) h)

c) f) i)

PPARAARA ENTRENARENTRENAR

2

3 3 4 5 6 7

4 4 5 6 7

4

5, 20, 125, 6, 24

a b , a b, a b , a b

5a b , 4b, 16a b , 25a b

25, 144, 72, 162

5 7, 4 7, 9a 49

3 7 9

2 73

3

3

2 83

2 83

3 8

2a 44a b c

2 16x y =

4 250a b

1 128 =2

2xy 128x y =

2 27m n3

=

=

=

4

4 5 124

8 14 164

84

7 9 133

6 3 2

9 2

2 243

80a b c

3 5x y z =

3 32mn2

5a 160x y z

27a m n 392b c

=

=

=

=

=

2 3 3 25mn p 2m np

3 3a

2 63

=

=

=

2 3 32a bc 7c

2 7

1 55

=

=

=

2 23

3 5

5xy x y

2a ab b

=

=

=


6. Reducir a ndice comn los siguientes radicales:a)

b)

c)

d)

e)

f)

7. Sumar los siguientes radicales indicados:a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

8. Calcula:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

k)

l)

m)

n)

6 3

63 4

5 2 34

6 92 3 23

64 2 3 5 4

5 3 4 7 210

3, 32, 5

2, 3, 5, 7

3x, 4x , 15x

4ab, 3a b, 9a b

8a x , 3a m

2m, 3 a x , 2 x y

45 27 20

75 147 675 12

175 243 63 2 75

80 2 252 3 405 3 500

2 450 9 12 7 48 3 98

7 450 4 320 3 80 5 800

120 45 2 1253

1 1 180 63 1804 6 9

3 15 50 98 16214 33 12 45 125 1804 2

=

+ =

+ =

+ =

+ =

+ =

+ + =

=

+ =

=

( )

8 5 4 3

5 3

3 2

33 2

6 5 4

3 2

3 3 4 2

53 2 3 2

93 4 2

3 4 5 2 2 36 4

34 3 2 2

3 534

5 6 634

2

3 47 3 2

a : a

2ab : 2ab

ab : ab

3a b : 6a b

a : a

9x : 3x

8a b : 4a

5m n: m n

3m : 27m

18x y z : 3x y z

33ab a b a ba

1 3abc 2 bc a c3 2

ac a bb c

4 x 5 x 6 x

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=


9. Racionaliza:a) e)

b) f)

c) g)

d) h)

10. Comprueba pasando a potencia de exponente fraccionario las igualdades:

a) b)

11. Calcula:

a) h)

b) i)

c) j)

d) k)

e) l)

f) m)

g)

12. Sabiendo que 13 = 32 + 22, representa en la recta real.

13. Cul es el permetro del trapecio de la figura?

14. Calcula:a)

b)

c)

d)

e)

4

4

4 2

3 15

6 3 3 9a x 27x

=

=

=

=

5

4 3

12 6

1 7

33 33

1 5a 25x

=

=

=

=

4 6 33 3= 15 310 2a a=

( )

12

4

43 2 3

4 12 10

53

81

x

64

n n n

x a

165

4

=

=

=

=

=

=

=

5 10

4

4 8

3 42 3

23 4

x

16a

16x b

2x 2x 2x

2 2 2

2x y 3xy:5 2

=

=

=

=

=

=

13

3 3 3

3 2 2 4 964

5 4 4 7 6

18 3 12 5 50 4 27

3 54 16 7 250

1 5 x y z : 4x y z4 22 1 55 45 203 4 6

35 x x a 2 x 255

+ + =

+ =

=

+ =

=

3

27

48

12


1. Simplifica y extrae:

a) d) g)

b) e) h)

c) f)

2. Clasifica los siguientes nmeros:

a) - 6 d) 0'8777... g) 2'7193... j) 2/12b) 15 e) 9'222... h) 3/5 k)c) - 23 f) 3'52 i) 4/9 l) 34'58473972.

3. De los siguientes radicales, agrupa aquellos radicales que sean homogneos y los que sean semejantes:a) d) g)

b) e) h)

c) f)

4. Extraer todos los factores posibles de los siguientes radicales:

a) f) k) p)

b) g) l) q)

c) h) m) r)

d) i) n) s)e) j) o) t)

5. Introducir dentro del radical todos los factores posibles que se encuentren fuera de l:a) e) h)b) f) i)

c) g) j)

d)

6. Reducir a comn denominador los siguientes radicales:

a) c) e)

b) d)

7. Calcula:

a) g)

b) h)

c) i)

d) j)

e) k)

f) l)

PPARAARA APRENDER MSAPRENDER MS

5

2

5

3

64b

6 3a2 3

2 27a6 3a

=

=

=

5 7 2

7

3 3

3

128a b c

aa

3 500ab4a

=

=

=

9

5

243a

6a54a

=

=

5 5 5

1 1 12 2 2

4

2, 3, 6

5 , b , (ab)

2 7, 3 7, a 49

4 8

11 184 4

5 10 5

2, 4, 3 16

6 , 36 , 14

3, 6, 6 3

64

31 762 14

3, 6, 27

3 , (ab) , 2

4 10

6 9 13

5 8 2

6 3

3

3

a

a b

a b

ab c

125x96y

=

=

=

=

=

7 38

3 6

3 20

10 8 12

74

5 3

a

a

a

a b

625aba b

=

=

=

=

=

4 5

5 3 10

3

3

4 4 8

16a

64a b

8

1000

32a b c

=

=

=

=

=

5

5 2

3 63

5 2 6 9

10 43

32

324a b c

81x y

16a b c

81x y z

=

=

=

=

=

2 4

2 3

3

33 2 5 3

5a a

7b 3a1 821 a x b 1000a bx

10

=

=

=

=

5 3

33 2 2

32 3 3

5xy x y

20a b 2b1 a m axm

10

=

=

=

3 4

-5 -1 3 -2

-2 3

3n p 2m

a x a x1 a b 4abx2

=

=

=

2 3 23 5 15

3 93 2 76

2mn, 3m p, 5m p

2y , x , 5m

4 2 3

2 2 3 33 4

a b , ab

xy, x y , x y

64 2 2 3 4a, a b , a b

3 3 3

33 3 3

33 12 4 5 10 7 14 12

5 4 2 33

1 1 3 112 18 48 722 3 4 63 2 1 1176 45 320 2754 3 8 5

3 -24 4 -81 -375

2 250 4 24 6 16 2187

1 2a b 3a b c a b c3 3

1 13x y : x yx 3

+ + =

+ + =

=

+ =

=

= ( ) ( )

3 3 3 3

3 2 4

3 4 4 43 6

2 2 5 264

1 1 1 1147 700 28 21877 5 10 31 1 33 27 108 3002 3 5

81 3 375 686 2 648

4a : 2a

1 2x 5 2xy x y2 3

2a 3x y : 6a x y

+ + =

+ =

+ + =

=

=

=

5


8. Razionaliza:

a) c) e) g)

b) d) f) h)

9. Realiza las siguientes operaciones:a) n)

b) o)

c) p)

d) q)

e) r)

f) s)

g) t)

h) u)

i) v)

j) w)

k) x)

l) y)

m) z)

10. Realiza las siguientes multiplicaciones y divisiones:

a) g)

b) h)

c) i)

d) j)

e) k)

f) l)

11. Redondea los siguientes nmeros:a) 4'89 hasta las dcimas.b) 5'286 hasta las centsimas.c) 1'1362 hasta las milsimas.d) 4'26177 hasta las diezmilsimas.e) 1'2716251 hasta las millonsimas.

3 4 5 2a 2ax

=

=

5 4

3

1 8a

2x 4y 3y 2x

=

=

6

a b 2 16

=

=

5 2

6 5 6 2

12 8a b

3 a b c

=

=

3 3 3 3

55 9 3 7 2 2 2 4 2 4 310 4

3 3 3 3

5 6 3 4 5 3 49 6

43 2 1 4 39

2 33

3 18 2 8

5 20 2 245 3 5

5 48 3 3645 2 384 4 1715

9 2b x y z a x y z 6 a b x z4 3

1 2 3 124 54 375 1282 3 5 4

1 4 1 8a b z ab c 3 a c z2 3 3 9

24 54 150

1 2a x y : a xz5 3

1 x y z 32

+ =

+ =

+ =

=

+ =

=

+ =

=

5 2 3 6 24

73 34 6 33

3 2 235

5

3 3 3 3

x y z 8xy z

3 2 4 8 32 50

a 2 5a 27 b c a8 3 3

4x y x y 2 :2mzmz

2 8a 3 128a 72a 2 32a

=

+ + =

+ =

=

+ =

3 3 3 3

3 3 3 3

3 3 3 3

6 4

3

2

2 48 3 12 75 300

32 18 98

4 -320 10 -40 2 -54 3 -1024

1 13 108 625 1715 4 3210 7

3 3 1 3625 192 1715 1536 5 2 7 8

2 2 2 184 3 18 625 9 3 16

2 8 4 72 7 18

1 12x : 16x2 4

5 3 x36x 9x2 5 4

10 2a

+ + + =

+ =

+ =

+ + =

+

+ =

+ =

=

+ =

2 2 2

3 4 4 2 3 5 25 10

3 37 2 4 23

3 8a 32a 2 18a

4 1 13 4m p m p x 2mp x5 2 6

1 25 2 492 8 3 18

3 a a a 5a a 3a 27a

=

=

=

+ =

( ) ( )

3 42 5 2 3

6 45 4 5

3 5 2

6 4 3

3 2 3

3 5 4

5 4 4 63

7 5

3 2 3

b a a b

7 x 4 x 25 x

25b a b4a b

a bc bca c

32a b 54a c:81c 9b

a a : a a

=

=

=

=

=

=

3 24

3 2 2

3 33

3 2 5 4 3 2 4

3

4 3 6 33

7 4

4 2 3 4

x y : xy

6 a b :3 ab

abc abab

c b a b cac

a b a cc b

15 a b c :3 abc

=

=

=

=

=

=

12. Racionaliza el denominador:

a) d) g) j)

b) e) h) k)

c) f) i) l)

13. Calcula:

a) c) e) g)

b) d) f) h)

14. Qu operacin previa es preciso realizar para multiplicar o dividir radicales de distinto ndice? Cmo se efecta?

15. Qu propiedad se emplea en la simplificacin de radicales?

16. Qu se entiende por radicales semejantes? D si se pueden transformar en semejantes

17. Son iguales?a) b) c) d)

18. Razona si son ciertas las siguientes igualdades:

a) b) c)

19. Calcula la raz sptima de 1280000000.

20. Realiza las siguientes operaciones:

a)

b)

c)

d)

21. Indica si son ciertas las siguientes igualdades razonando tu respuesta:a) Todo nmero racional es un decimal exacto.b) Todo nmero irracional es un decimal no peridico.c) Todo nmero real es un decimal ilimitado peridico o un decimal ilimitado no peridico.

22. Escribe en cada caso, si es posible, un nmero que verifique las siguientes condiciones:a) No racioanl, real, mayor que 0 y menor que 1.b) Racional, negativo y peridico puro.c) No real, entero y menor que 0.d) Racional que no tenga expresin fraccionaria.

23. Responde razonadamente:a) Puede ser negativo el error absoluto?b) Es cierto que el redondeo del nmero 09999... a cualquier cifra es siempre 1?c) Puede suceder que dos nmeros diferentes tengan el mismo redondeo?d) Es posible que un nmero tenga dos aproximaciones distintas a un mismo orden de unidad?e) Cul es el error mximo cometido si se redondea un nmero a las milsimas?


3 2

3

122

3 2aa

=

=

=

3 2

5 2 3

62b

aa

aab c

=

=

=

3

5

7 4 5 2

5 33

15

3n a b c

=

=

=

6 4

4 2 3

3 27

3mn 27mn

22 3 18x

32x y

=

=

=

3 2

12

b

ab

=

=

4 3 18

24 4

a

32a

=

=

3 4

73 3

a

8

=

=

4 5 3 2 3

123

a bc

abc

=

=

2 5 35x y xy, 9x y .

35 y 25. 59 y 234. 42 y 4. 8 y 2 2.

3 92 8= 214 4 27

= = 49 48 49 48 1 1 = = =

3 2 2

43 4 3

83 2 4 2 4 7 25

x x x x

16x

1 32 m n p m n p m n5 8

3 28 1 2 643434 25 3 5 4

=

=

=

+ =

343 3 2 2

8 4

2 4 3 5 3 25

2 34

a b ab a b

2 4 8

1 2 m n y : 16m n y3 5

3x y : 3xy

=

=

=

=

4

4 4 4

43 4 3

3x : 3x

1 3 532 162 12502 4 4

1 1 427 5 3

16x

=

+ =

=

=

e)

f)

g)

h)

i)

j)

k)

l)

SUCESIONESCOLEGIO VIZCAYA 49

Una sucesin es un conjunto de nmeros ordenados. Conoces muchassucesiones, como la de los nmeros naturales 1,2,3,4,5; los nmerospares 2,4,6,8; o los mltiplos de cinco 5,10,15,20,25En la evolucin de la matemtica las sucesiones son tan antiguas como losnmeros naturales y sirven para estudiar, representar y predecir fenmenosque ocurren en el tiempo de forma intermitente.

Una de las sucesiones ms famosas que existen esla llamada sucesin de Fibonacci. Esta sucesinsurgi cuando el matemtico italiano Leonardo dePisa (1180-1250), conocido como Fibonacci ("hijo deBonaccio") plante el siguiente problema en su libroLiber abaci ("Libro del baco"):

Fibonacci.

"Una pareja de conejos tarda un mes enalcanzar la edad frtil, a partir de esemomento cada vez engendra una parejade conejos, que a su vez, tras ser frtilesengendrar cada mes una pareja deconejos. Cuntos conejos habr alcabo de un determinado nmero demeses?"Si hacemos un recuento de los conejosque tenemos cada mes obtenemos lasiguiente sucesin:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21

Como puedes observar cada trmino es igual a la sumade los dos anteriores. Esta sucesin es muy importante yaque aparece con mucha frecuencia en la naturaleza.Por ejemplo:

- Cualquier variedad de pia presenta siempre un nmero deespirales que coinciden con dos trminos de la sucesin deFibonacci.

- Las ramas y las hojas de las plantas se distribuyen buscandosiempre recibir el mximo de luz para cada una de ellas. Poreso ninguna hoja nace justo en la vertical de la anterior. Ladistribucin de las hojas alrededor del tallo de las plantas seproduce siguiendo secuencias basadas en esta sucesin.

Pares de conejos1

11 mes22 mes

33 mes54 mes85 mes

SUCESIONES COLEGIO VIZCAYA50


Calcula el valor de las siguientes potencias:

a) b) c) d)

Calcula el valor numrico de las siguientes expresiones algebraicas:a) 6 (n - 1) - 5 para n = 8b) - 5n - 2 para n = 10c) 2 3n para n = 4

1.

2.

( )0 4 3

3 7 2 14 32 3 5

= = = =


1. SUCESIONES DE TRMINOS REALES.

Observa las siguientes colecciones de nmeros ordenados, seras capaz de deducir cules van a ser lossiguientes tres nmeros?

a) 1,2,3,4,5,6, d) 1,4,9,16,25,36,

b) 2,4,6,8,10,12, e) 1,1,2,3,5,8,13,

c) 3,5,7,9,11,13,

A estas colecciones de nmeros que se comportan siempre cumpliendo un determinado orden, es decir,guardan una regularidad les llamamos sucesiones. Cada uno de los nmeros que forman la sucesin sellama trmino y se designan mediante una letra con un subndice que indica el lugar que ocupa en la sucesin:

a) a1 = 1, a2 = 2, a3 = 3, a4 = 4, a5 = 5, a6 = 6,

b) a1 = 2, a2 = 4, a3 = 6, a4 = 8, a5 = 10, a6 = 12,

c) a1 = 3, a2 = 5, a3 = 7, a4 = 9, a5 = 11, a6 = 13,

d) a1 = 1, a2 = 4, a3 = 9, a4 = 16, a5 = 25, a6 = 36,

e) a1 = 1, a2 = 1, a3 = 2, a4 = 3, a5 = 5, a6 = 8,

2. TRMINO GENERAL DE UNA SUCESIN.

Vamos a considerar la sucesin de los nmeros pares 2,4,6,8,10,12, y vamos a determinar la reglageneral que nos permite calcular todos sus trminos:

a1 = 2 = 2 1a2 = 4 = 2 2a3 = 6 = 2 3a4 = 8 = 2 4a5 = 10 = 2 5a6 = 12 = 2 6.

an = 2 n Trmino general

Esta ltima expresin se conoce como trmino general de la sucesin.

Una sucesin de nmeros reales es un conjunto infinito de nmeros ordenados, cadauno de los

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1 ARITMETICA 3ºESO