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Chapter 4. Generating Function(生成函數 )
4.1 簡介 4.2組合 4.3排列 4.4相同 box 4.5 Partition 4.6 Ferrers graph
2
4.1 簡介
不選 c 選 c 選一個 object 選二個 選三個
(1 + ax)(1 + bx)(1 + cx) = 1 + (a + b + c)x + (ab + bc + ca)x2 + abcx3
不選 a 選 a 不選 b 選 b
xi之係數表選 object i個的情形 ?
3
4.1 簡介
Ordinary generating function:F(x) = a0u0(x) + a1u1(x) + … + arur(x) + …
indicator function必須滿足 : 沒有不同的 sequence (a0, a1, …),有相同 F(x)值
F(x) = a0• 1 + a1(1 + x) + a2(1 – x) + a3(1 + x2) + …
則 sequences (1 3 7 0 0)與(3 2 6 1 1)
F(x) = 1 + 3(1 + x) + 7(1 – x) = 11 – 4x
F(x) =3 + 2(1 + x) + 6(1 – x) = 11 – 4x 有相同之 F(x)值
則此 indicator function 不合
最常使用的 ur(x)為 xr
即 F(x) = a0 + a1x + … + arxr + …
例如:
4
4.2 組合
(1 + ax)(1 + bx)(1 + cx)
令 a = b = c = 1
(1 + x)(1 + x)(1 + x) = 1 + 3x + 3x2 + x3
若為 ordinary generating function ordinary enumerator
(1+x)n = c(n, 0) + c(n, 1)x + … + c(n, n)xn
xr之係數為 c(n, r)
選出 r個 object之個數
令 x = 1可推出
2n = c(n, 0) + … + c(n, n)
令 x = -1可推出
...)()(...)()( n3
n1
n2
n0
5
4.2 組合
例 1. 証明
)()...()...()()( 2nn
2nn
2nr
2n1
2n0
例 2.
The number of 8-digit binary sequences which are such that the number 0’s
in the first 4 digits of a sequences is equal to the number of 0’s in the last 4
digits of the sequences is
例 3.證明
1nnn
nr
n2
n1 n2)n( ...)r(...)2()(
6
4.2 組合
例 4.證明
1nnnn
nr
n1
n0 n22)1)((n...)1)((r...)2()(
例 5.
Show that the ordinary generating function of the sequences
.)..)...()()(( 2rr
42
21
00 is 2
1
4x)(1
7
4.2 組合
重覆組合
(1) (1 + ax + a2x2) (1 + bx) (1 + cx)
不選 a 選一個 a 選 2個 a
enumerator (1 + x + x2) (1 + x) (1 + x) = 1 + 3x + 4x2 + 3x3 + x4
(2) (1 + ax) (1 + a2x) (1 + bx) (1 + cx)
不選 a 選 a 不選 a2 選 a2
相當於
8
4.2 組合
重覆組合
例 1. Given two each of p kinds of objects and one each of q additional kinds of
objects, in how many ways can r objects be selected?
例 2. 2種物件,每種 2個,另 1種物件每種 3個,選出 5個物件的方法?
例 3. 求 n個物件重覆選出 r個之 ordinary enumerator
例 4 . 5個相同的球放入 2個不同 box,box為 1~3個球,則有多少種?
例 5:r個相同的球,放入 2個不同 box,一個 box為 1~3球,另一個 2~4球,若3 r 7則有多少種?
9
4.2 組合
重覆組合
例 6. r個相同的球,放入 n個不同的 box每個 box的球介於 9 ~ 9 + z - 1個
例 7. [高考 86] 擲骰子 4次,和為 17之方法有多少種?
10
4.3 排列組合時:F(x) = C(n, 0) + C(n, 1)x + …+ C(n, r)xr + C(n, n)xn
=(1 + x)n
排列 F(x) = p(n, 0) + p(n, 1)x + …+ p(n, n)xn
沒有 close form
another way
nrn xn
nnpx
r
rnpx
npx
npx
!
),(...
!
),(...
!2
)2,(
!1
)1,(1)1( 2
令 F(x) = ...)(!
...)(!1
)(!0 1
10
0 xur
axu
axu
ar
r
為 exponential generating function
*exponential enumerator
(1 + x)n的!r
x r
係數為 P(n, r)
11
4.3 排列例 1.(a)求(p(0, 0), p(2, 1), …p(2r, r)…)之 exponential generating function.
0 0 0
),2(!!
)!2(
!
),2(
i i i
iii xiiCxii
ix
i
iip
2
1
)41(
x
(b) 求(1, 1, …1, …)之 exponential generating function
xexx ...!2
1
!1
11 2
12
4.3 排列
(c) 求(1, -1, 1, -1,…1, -1,…)之 exponential generating function
xexx ...!2
1
!1
1-1 2
(d) 求(1, 0, 1, 0,…1, 0,…)之 exponential generating function
2/)( xx ee
(e) 求(0, 1, 0, 1,…0, 1,…)之 exponential generating function
2/)( xx ee
13
4.3 排列一種物件,每種一個排列之 exponential enumerator為
1+ x
不選 選
n種物件每種一個排列之 exponential enumerator
(1+x) (1+x) …(1+x) = (1+x)n
一種物件,有 p個(相同)之 exponential enumerator
pxp
xx!
1...
!2
1
!1
11 2
例 2有(p + q)個物件,其中 P個一類,q個為另一類,選出 r個排列,其 exponential
enumerator為何?
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4.3 排列類 2.2.有 5個物件,2個一類,另 3個一類,則選出 5個排列的方法有多少種?
例 3. n個物件重覆取出 r個排列之 exponential enumerator?
[解法]
0
2
!)(...)
!2
11(
r
rr
nxnxn xr
neexx
例 4. Find the number of r-digit quaternary sequences in which each of the digits 1, 2,
and 3 appears at least once.
例 5. Find the number of r-digit quaternary (0,1 ,2 ,3 ) sequences that contain an even
number of 0’s
例 6. r個或小於 r個不同的球放入 n個 boxes且 order要考慮
15
4.4 相同 box
S(r, n): r個不同的球放入 n個相同的 box且 no box is empty, r n
導法: r個不同的球放入 n個不同的 box且 no box is empty
n
ba
xn ex
x )1(...)!2
(2
∵
0 0
)()()(i
n
i
iinni
inini
n bababa
0 0
0 0
0
))(()1(!
))(!
1()1)((
)()1)((
r
n
i
rni
ir
n
i r
rrini
i
inxini
inr
x
xinr
e
16
4.4 相同 box
令
n
i
rni
i in0
))(()1( = n!S(r, n)
∴ S(r, n)
n
i
rni
i rnn
def
0
))(()1(!
1
Stirling number of the second kind
例1. r個不同的球放入 n個相同的 box,但 box允許空的
1)1( xee 之!r
x r
之係數
17
4.5 Partition
4之 partition
1111
112
22
13
4
a partition of the integer n
n 個相同的球放入 n個相同的 box, 且 box可以為空
1+2+3+2+1
2
42
63
1
1
1
xx
xx
xx
x
x
2
22
3x
o
o o o
18
4.5 Partition
係數之 111
1
1111
2
3422
nn
n
xxxx
xxxxxxxF
若 r 個相同的球放入 n 個相同的 box 且 box 至多有 3 個球 :
係數之 111
1
32rx
xxxxF
partition the integer r such that the parts do not exceed 3.
19
4.5 Partition
例1. 將整數 n分割, 且每個分割均為奇數
n 個相同的球, 放入 n個相同的 box, box容量 0, 1, 3, 5, 例2. [證明 : 整數 n 分割(part)成奇數分割(odd parts) = 整數 n 分割成不同分
割(distinct parts)
例3. 證明 : 任何整數之二進位表示法唯一
例 4. 證明任何整數之十進位表示法唯一
Find a generating function for the number of partitions of the integer n into summands where (a) each summand must appear an even number of times(b) Each summand must be even
20
4.6 Ferrers graph
consists of rows of dotsThe dots are arranged in such a way that an upper row has at least as many dots as lower row.
6
3
3
2
111344
partition 2336
21
4.6 Ferrers graph From Ferrers graph, 一個整數分成 m 部分等於分成的各部分的最大值 m
24
1122
114
1113
一個整數分成最多 m 部分
= 分成的各部分值 m
一個整數分成剛好 m 部分之 ordinary enumerator
m
m
mm
xx
x
xxxxxx
11
111
1 -
111
1122
22
4.6 Ferrers graph
一個整數 n分成剛好 m 個不同 parts
+ (m-1) dots
+(m-2) dots
(m-3)
.
. .
. 1
0
2
1
mmn n
parts m 個不同
23
4.6 Ferrers graph
整數
2
1
mmn 分成 m parts
11對 整數 n 分成 m 個不同 parts
係數之 11
2
1n
mm
m
m
xxxx
x