1

Chapter 5 Pólya’s throry of counting

5.1 簡介 5.2 重排群的等價類 (equivalence classes

under a permutation group) 5.3 函數的等價類 5.4 函數的權重 (weight)和目錄 (invento

ries) 5.5 Polya throrem

2

5.1 簡介

例 1.

棋盤 , 每個位置有黑白兩色 , 有多少種塗法 ?

(1) 位置固定: 有 24 = 16 種

(2) 可旋轉(0, 90, 180, 270度共 4種方式) : 6 種

3

5.1 簡介

類 1. 圖形中 , 每個小三角形有黑白兩色 , 有多少種塗法 ?

可旋轉 (0, 120, 240 度共 3 種方式 ) : 8 種

4

5.2 重排群的等價類

Permutation of S: a one-to-one function from a

set S={a,b,c,d} to itself

=

bdca

abcd

Permutation’運算

假設

bacd

abcd

adbc

abcd21 , 為兩種排列，其組合運算

bdac

abcd

dabc

abcd1221 , ，不滿足 1221 ，但滿足結合性(associative)即

)()( 321321 。

5

重排群:

G= },,{ 21 為 S的重排運算所形成的集合。當 G和 the binary operation of

composition of permutations形成 group時，則G為 S的重排群(permutation group)。

群(G,*)的定義:

(1) *滿足封閉性

(2) *滿足結合性

(3) 有一單位元素

(4) 有反元素

5.2 重排群的等價類

6

例 2. S={a,b,c}，証明 G= } , ,{ 321

cab

abc

bca

abc

abc

abc 為 S之重排群。

根據重排群 G，可以導出原集合 S的二元關係(binary relation)

例 3. S={a,b,c,d}，G= } , , ,{ 4321

badc

abcd

abdc

abcd

bacd

abcd

abcd

abcd ，根據

G導出原集合 S的二元關係。

5.2 重排群的等價類

7

例 4.考慮例 1之棋盤可旋轉 0, 90, 180, 270度共 4種方式，令 G= } , , ,{ 4321 滿足

16151413121110987654321

161514131211109876543211 CCCCCCCCCCCCCCCC

CCCCCCCCCCCCCCCC

16141312158711610925431

161514131211109876543212

CCCCCCCCCCCCCCCC

CCCCCCCCCCCCCCCC

16131215146108971132541

161514131211109876543213

CCCCCCCCCCCCCCCC

CCCCCCCCCCCCCCCC

16121514139761110843251

161514131211109876543214

CCCCCCCCCCCCCCCC

CCCCCCCCCCCCCCCC

G 可以導出原集合 S={ 16151413121110987654321 ,,,,,,,,,,,,,,, CCCCCCCCCCCCCCCC} 的二元關係，將 S 分割成 {C1} { C2, C3, C4, C5} {C6, C8, C9, C11}

{C7, C10} {C12, C13, C14, C15}{C16 } 。

5.2 重排群的等價類

8

給定一集合 S之重排群 G所導出的二元關係，將 S分割成 GG

)(1 個，

equivalence classes，其中 )( 表示排列中不改變的元素個數。

例 5. 給定 S={a, b, c, d} 和 G=

} , , ,{ 4321

badc

abcd

abdc

abcd

bacd

abcd

abcd

abcd

排列 π 中不改變的元素個數。 計算 4)( 1 ， 2)( 2 ， 2)( 3 ， 0)( 4 ，根據 Burnside定理

可將 S分割成 2)0224(4

1)(

1

GG

Burnside定理

5.2 重排群的等價類

9

例 6. Find the number of distinct strings of length 2 that are made up of blue beads and yellow beads.

S={bb,by,yb,yy} G= }) (y

y ,

y

y { 21 倒過來看

ybyybbb

yybbybb

yybbybb

yybbybb

根據 Burnside定理

可將 S分割成 3)24(2

1)(

1

GG 類

類 6: Find the number of distinct strings of length 3 that are made up of blue beads and yellow beads.

5.2 重排群的等價類

S={bbb,bby,…,yyy} G= }) ( ,{ 21 倒過來看

根據 Burnside定理

可將 S分割成 6)48(2

1)(

1

GG 類

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例 7: Find the number of distinct bracelets of five beads made up of yellow, blue, and white beads.

S={bbbbb,…,wwwww}有 243元素

G= }))( ,)( ),( ,)( ,{ 54321 旋轉四個旋轉三個旋轉二個旋轉一個

5432 , , , 不改變的元素為 bbbbb,yyyyy,wwwww等三個

根據 Burnside定理

可將 S分割成 51)3333243(5

1)(

1

GG 類

5.2 重排群的等價類

11

5.3 函數的等價類

令 D,R為兩有限集合，F }:|{ 為一函數RDff ，且令 G為 D上之一重排群。在 F上定義: Fff 21,

))(()(, 2121 dfdfDdGff 滿足

此為等價關係

(因滿足反身性(reflexive)、對稱性(symmetric)、遞移性(transitive)

12

5.3 函數的等價類例 8: 給定 D={a, b, c, d}，R={x,y}和

G= } , , ,{ 4321

abcd

abcd

dabc

abcd

cdab

abcd

bcda

abcd ，

}:|{ RDffF , |F|=16，求 |/| F ?其中

xdfxafdf

xcfxdfcf

xbfxcfbf

yafybfaf

ff

)(,)())((

)(,)())((

)(,)())((

)(,)())((

2313

2313

2313

2313

32

F分割成{f1} { f2, f3, f4, f5} {f6, f8, f9, f11} {f7, f10} {f12, f13, f14, f15}{f16 }

等 6類，所以 |/| F =6

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5.3 函數的等價類

例 9.

棋盤 , 每個位置有黑白兩色 , 有多少種塗法 ?

給定 D={a, b, c, d}，R={x,y}和

G= } , , ,{ 4321

abcd

abcd

dabc

abcd

cdab

abcd

bcda

abcd ，

}:|{ RDffF , |F|=16，求 |/| F =6種塗法。

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5.4 函數的權重和目錄

}:|{ 為一函數RDff ，對每一個 Rr

都有權重 w(r)，為一符號或數值，則函數 f 的權重為

Dd

dfwfW ))(()( 。

R的總列舉(store enumerator)= Rr

rw )(

函數集合 F的目錄(inventory): INV(F) = Ff

fW )(

例 10.

給定 } , ,{,)(,)()(}, , ,{}, , ,{ 321231321321 fffFvrwurwrwrrrRdddD 滿足

333123213

133222112

231221111

)( ,)( ,)(

)( ,)( ,)(

,)( ,)( ,)(

rdfrdfrdf

rdfrdfrdf

rdfrdfrdf

求其 INV(F)?

INV(F) = vuuvvuvuuvfWfWfWfWFf

22222321 2)()()()(

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定理:

給定 }:|{ RDffF ，G為 D上一重排群，為 F上由 G所導的等價關係，若 21 ff ，則 )()( 21 fWfW

例 11.

Find all the possible ways of painting three distinct balls in solid colors when three

are three kinds of paint available, an expensive kind of red paint, a cheap kind of red

paint, and blue paint.

給定 bbwrrwrrwbrrRzyxD )(,)(,)(,} , ,{,} , ,{ 221121 顏色球

INV(F) = 321 )( brr

5.4 函數的權重和目錄

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例 12.

有 8個人{a,b,c,d,e,f,g,h}其中及分別為一家人其餘為單獨一人欲安排此人旅行共有個地方可以被安排其中同一家人必在一起旅行則此安排方法共有多少種?

給定 )(,)(,)(), 3}( , ,{},,,,,,, ,{ zwywxwcityzyxRhgfedcbaD

{a,b,c}在一起則可能旅程為 333 (3人都去 z city)

同理{d,e}在一起則可能旅程為 222

{f,g,h}每一人旅程為

INV(F) = 3222333 ))()((

5.4 函數的權重和目錄

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5.5 Polya throrem

定義：(1) 排列的循環結構式(structure of cycle):長度 i的 cycle 有 bi個之

ibix ( 個數

長度

cycle jix )乘積

123443214

123431423

123424132

123412341 , , , G

1 的循環結構式 41x ， 4 的循環結構式 4x

(2) 重排群 G的循環指式(cycle index) :為所有的循環結構式(structure of

cycle)之和

Gx

bk

bbkG

kxxxG

xxxP 21

2121 ||

1,...),...,,( = )(

4

1444

41 xxxx

18

5.5 Polya throrem

Polya throrem

定理: The inventory of the equivalence classes of functions from domain D to range

R is ,...))]([,...,)]([,)(( 2 Rr

k

RrRrG rwrwrwP .

例 9.

棋盤 , 每個位置有黑白兩色 , 有多少種塗法 ?

步驟:

1. 決定 位置的範圍 D 4 ,3 ,2 ,1D

位置上的物件範圍 R wbR ,

2. 決定位置的重排群

123443214

123431423

123424132

123412341 , , , G

19

5.5 Polya throrem

3.G 之 cycle index P:

2244

414

1xxxxP

個數長度

cycle

jix

4. 以 wbx 1 , 222 wbx , 44

4 wbx 代入

4224

44

44

432234432234

22244444

2

24644

1

4

1

wwbb

wb

wb

wbwwbwbbwbwwbwbb

wbwbwbwbNF

即令 21 x , 22 x , … 代入 622224

1 24

20

5.5 Polya throrem類 1-1.

用黑白著色有多少種 ? ( 考慮旋轉 )1 2 3

4 5 6

7 8 9

1. 9 ,8 ,7 ,6 ,5 ,4 ,3 ,2 ,1D bwR ,

2. 1234567891234567891 0 o 9

1x

1234567893692581472 90 o 2

41 xx

1234567899876543213 180 o 4

21 xx

1234567897418529634 270 o 2

41 xx

241

241

9 24

1xxxxxP

令 2421 xxx 得 1402222224

1 449

21

5.5 Polya throrem

3 種顏色 x, y, z 之塗法 ?類 1-2.

82

484

282

488

18

1 xxxxxxxxP

834# NF

22

5.5 Polya throrem

87 65

3 214

例 2. 立方體 8 個頂點塗上 x, y 顏色 , 有多少種塗法 ?

42

23

21

24

42

81 6863

24

1xxxxxxP

令 24321 xxxx 得 23 種塗法 5個黑色, 3個白色, 35wb 有 3個

23

5.5 Polya throrem類 2:

固定

有 5 面的塗法?

(b+w)

例 3: Find the number of ways of painting the four faces a,b,c and d of the pyramid I

the following graph with two colors of paints, x and y.

314

1 23

1xxxP

334 23

1wbwbwbN

F

8# NF