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5.4 對數函數

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5.4 對數函數

學習目標 描繪自然對數函數的圖形。 利用對數的性質來化簡、展開及合併對數算式。 利用指數與對數函數互為反函數的性質解其方程式。

利用自然對數性質求解實際生活的問題。

P.5-23 第五章 指數與對數函數

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自然對數的函數

之前的代數課程已介紹了對數，例如常用對數 (common logarithm) 可寫成

log10 x ＝ b 　若且唯若　 10 b ＝ x

常用對數的底數為 10 ，而在微積分中對數的底常用 e 這個數。

P.5-23 第五章 指數與對數函數

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自然對數的函數

P.5-23 第五章 指數與對數函數

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自然對數的函數

由定義可知，自然指數函數與自然對數函數互為反函數，所以每個對數方程式可寫成指數方程式的形式，而每個指數方程式也可寫成對數方程式的形式，以下為一些例子。

P.5-23 第五章 指數與對數函數

0

1

1

0.693

ln1 0 1

ln 1

1 1ln 1

ln 2 0.693 2

e

e e e

ee e

e

對數形式 指數形式

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自然對數的函數

因為函數 f (x) ＝ ex 和 g(x) ＝ ln x 互為反函數，其圖形互相對稱於直線 y ＝ x ，如圖 5.13 所示。同時圖中也有自然對數函數圖形性質的摘要。

P.5-23 第五章 指數與對數函數

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自然對數的函數

自然對數函數的定義域為全部的正實數，所以 ln x 在零或負數為沒有定義，可試著用計算機求 ln ( － 1) 或 ln 0 ，計算機會顯示其值不為實數。

P.5-23 第五章 指數與對數函數

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範例 1 　描繪對數函數的圖形

描繪下列各函數的圖形。a. f (x) ＝ ln(x ＋ 1) b. f (x) ＝ 2 ln(x － 2)

P.5-24 第五章 指數與對數函數

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範例 1 　描繪對數函數的圖形 （解）

a. 因為自然對數函數只對正實數有定義，所以函數的定義域為

x ＋ 1 > 0 或x > － 1 定義域

為了要畫出圖形，首先如下表所示的算出幾個函數值，並把它們點在圖上，再以平滑曲線將它們連起來，如圖 5.14(a) 所示。

P.5-24 第五章 指數與對數函數

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範例 1 　描繪對數函數的圖形 （解）

P.5-24 第五章 指數與對數函數

b. 函數的定義域為 x － 2 > 0 ，或x > 2 定義域

　下表為幾個函數值的表格，其圖形如圖 5.14(b) 所示。

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範例 1 　描繪對數函數的圖形 （解）

P.5-24 圖 5.14 第五章 指數與對數函數

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學習提示

試問 f (x) ＝ ln (x ＋ 1) 與 y ＝ ln x 兩圖形之關聯性如何？事實上， f 的圖形即為 y ＝ ln x 往左平移一單位的圖形。

P.5-24 第五章 指數與對數函數

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對數函數的性質

在 2.4 節介紹了反函數的性質f (f － 1(x)) ＝ x 　和　 f － 1(f (x)) ＝ x

利用自然對數函數與自然指數函數互為反函數的性質可得下面的公式。

P.5-25 第五章 指數與對數函數

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範例 2 　應用反函數的性質

化簡下列式子。

P.5-25 第五章 指數與對數函數

2 ln3ln xe ea. b.

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範例 2 　應用反函數的性質 （解）

a. 因為 ln ex ＝ x ，故得

b. 因為 eln x ＝ x ，故得eln 3x ＝ 3x

P.5-25 第五章 指數與對數函數

2ln 2e

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檢查站 1

化簡下列式子。a. ln e3　　　 b. eln(x ＋ 1)

P.5-25 第五章 指數與對數函數

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對數函數的性質

大部分的指數函數性質都可以用對數函數的形式來表示，譬如，

exey ＝ ex ＋ y

的性質表示兩個 ( 同底 ) 指數函數的相乘等於指數的相加，以對數形式表示，即

ln xy ＝ ln x ＋ ln y

P.5-25 第五章 指數與對數函數

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對數函數的性質

對數的三個性質如下。

將單一對數展開成對數的和、差或乘積，稱為對數算式的展開，相反的運算稱為對數算式的合併。

P.5-25 第五章 指數與對數函數

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學習提示

P.5-25 第五章 指數與對數函數

函數 ln(x ＋ y) 無法改寫或化簡，明確地說， ln(x ＋ y) 不等於 ln x ＋ ln y 。

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範例 3 　展開對數算式

利用對數的性質來展開下列各式成對數的和、差或乘積 ( 設 x > 0 和 y > 0) 。

P.5-26 第五章 指數與對數函數

2

2

10ln

9

ln 1

ln5

ln[ ( 1)]

x

xy

x x

a.

b.

c.

d.

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範例 3 　展開對數算式 （解）

P.5-26 第五章 指數與對數函數

2 2 1/2

1 2

2

10ln ln10 ln 9

9

ln 1 ln( 1)

ln( 1)

ln ln( ) ln 5 5

ln ln ln 5

2

3

2

x x

x

xyxy

x y

a.

b.

c.

性質

改寫成有理 指數

性質

性質

2 2

ln[ ( 1)] ln ln( 1)

2 ln ln( 1)

1

1

3

x x x x

x x

d.

性質

性質性質

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檢查站 2

利用對數的性質來展開下列各式成對數的和、差或乘積 ( 設 x > 0 和 y > 0) 。

P.5-26 第五章 指數與對數函數

232ln ln 2 ln ln ( 1)

5 5

xx x x

y a. b. c. d.

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範例 4 　合併對數算式

利用對數的性質來合併下列各式成為單一對數( 設 x > 0 和 y > 0) 。a. ln x ＋ 2 ln y

b. 2 ln(x ＋ 2) － 3 ln x

P.5-26 第五章 指數與對數函數

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範例 4 　合併對數算式 （解）

a. ln x ＋ 2 ln y = ln x ＋ ln y2 　性質3

= ln xy2 　性質1

b. 2 ln(x ＋ 2) － 3 ln x = ln(x ＋ 2)2 － ln x3 性質 3

= 性質 2

P.5-26 第五章 指數與對數函數

2

3

( 2)ln

x

x

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檢查站 3

利用對數的性質來合併下列各式成為單一對數 ( 設 x > 0 和 y > 0) 。a. 4 ln x ＋ 3 ln y

b. ln(x ＋ 1) － 2 ln(x ＋ 3)

P.5-26 第五章 指數與對數函數

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解指數與對數方程式

可利用指數與對數互為反函數的性質來解指數方程式與對數方程式，如下兩例所示。

P.5-26 第五章 指數與對數函數

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範例 5 　解指數方程式

解下列方程式。a. ex ＝ 5 　　　　

b. 10 ＋ e0.1t ＝ 14

P.5-27 第五章 指數與對數函數

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範例 5 　解指數方程式 （解）

a. ex ＝ 5 寫 出原方程式ln ex ＝ ln 5 等號兩邊取自然對數 x ＝ ln 5 反函數性質： ln ex ＝ x

b. 10 ＋ e0.1t ＝ 14 寫出原方程式 e0.1t ＝ 4 等號兩邊同減 10

ln e0.1t ＝ ln 4 等號兩邊取自然對數 0.1t ＝ ln 4 反函數性質： ln e0.1t ＝ 0.1t

t ＝ 10ln 4 等號兩邊同乘 10

P.5-27 第五章 指數與對數函數

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檢查站 4

解下列方程式。a. ex ＝ 6

b. 5 ＋ e0.2t ＝ 10

P.5-27 第五章 指數與對數函數

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範例 6 　解對數方程式

解下列方程式。a. ln x ＝ 5 　　　

b. 3 ＋ 2 ln x ＝ 7

P.5-27 第五章 指數與對數函數

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範例 6 　解對數方程式 （解）

a. ln x ＝ 5 寫出原方程式 eln x ＝ e5 等號兩邊取指數

x ＝ e5 反函數性質： eln x ＝ x

b. 3 ＋ 2 ln x ＝ 7 寫出原方程式 2 ln x ＝ 4 等號兩邊同減 3

ln x ＝ 2 等號兩邊同除以 2

eln x ＝ e2 等號兩邊化為指數 x ＝ e2 反函數性質： eln x ＝ x

P.5-27 第五章 指數與對數函數

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檢查站 5

解下列方程式。a. ln x ＝ 4

b. 4 ＋ 5 ln x ＝ 19

P.5-27 第五章 指數與對數函數

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學習提示

在範例 5 和範例 6 中，解指數方程式時的關鍵步驟是在等號兩邊取對數，而解對數方程式時的關鍵步驟就是在等號兩邊取指數。

P.5-27 第五章 指數與對數函數

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範例 7 　求「 2 倍的時間」

若 P 美元存入年利率為 r 且連續複利的銀行帳戶，試問多久可將帳戶餘額增為 2 倍？

P.5-27 第五章 指數與對數函數

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範例 7 　求「 2 倍的時間」 （解）

t 年後帳戶餘額為A ＝ Pert

所以，當 Pert ＝ 2P ，餘額增為兩倍。求解方程式的 t ，就可得「 2 倍的時間」 (doubling time) 。

Pert = 2P 餘額增為兩倍 ert = 2 等號兩邊同除以 P

ln ert = ln 2 等號兩邊同取自然對數 rt = ln 2 反函數性質： ln ert ＝ rt

t = 等號兩邊同除以 rP.5-27~28 第五章 指數與對數函數

1ln 2

r

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範例 7 　求「 2 倍的時間」 （解）

由以上結果可知，餘額增為兩倍的時間和利率 r 成反比，下表列出在不同利率下餘額加倍所需的時間。請注意，隨著利率增加，「 2 倍的時間」反而減少，兩者的關係如圖 5.15 所示。

P.5-28 第五章 指數與對數函數

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範例 7 　求「 2 倍的時間」 （解）

P.5-28 圖 5.15 第五章 指數與對數函數

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檢查站 6

P.5-28 第五章 指數與對數函數

利用範例 7 的公式來解年利率為 8.75% 時帳戶餘額的「 2 倍的時間」。