1 Computabilidade e Linguagens Formais Autómatos finitos Gabriel David / Cristina Ribeiro

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Computabilidade e Linguagens Formais

Autómatos finitos

Gabriel David / Cristina Ribeiro

Autómatos finitos-2

Dinheiro electrónico Definir um protocolo para a utilização de dinheiro electrónico

– Um ficheiro que o cliente tem e envia à loja para pagamento de bens– A “emissão” do ficheiro compete a um banco e é personalizada para o

cliente para reduzir as hipóteses de falsificação e de cópia Falsificação: técnicas criptográficas Cópia: intervenção do banco nas transacções e um protocolo de utilização que

garanta que só as operações permitidas são efectuadas – modelar por autómato Interacção entre os participantes, em cinco eventos

– O cliente paga (enviar o dinheiro/ficheiro para a loja)– O cliente cancela (enviar o dinheiro para o banco que credita a conta do

cliente nesse valor)– A loja entrega os bens ao cliente– A loja redime o dinheiro (envia o ficheiro para o banco e recebe outro no

mesmo valor mas em seu nome)– O banco transfere o dinheiro do cliente para a loja (cria novo ficheiro)


Protocolo

Estudo para um só ficheiro; reprodutível para milhões Assume-se que o cliente não é de confiança

– Pode tentar copiar o dinheiro, pagar várias vezes com o mesmo ou pagar e cancelar com o mesmo

O banco é de confiança– Deve controlar que a mesma loja, ou duas diferentes, não tentam

redimir o mesmo dinheiro ou que não se redime e cancela A loja deve ter cuidado em não entregar os bens antes de ter

a certeza de que o dinheiro é válido


Modelo separado

Comportamento de cada participante descrito por um autómato

– Estado corresponde a uma situação do participante e memoriza os eventos ocorridos ou não

– As transições entre estados dão-se quando os eventos ocorrem– Eventos externos, independentemente de quem os desencadeia

Interessam as sequências de eventos e não quem os pode causar– Num autómato só se representam os eventos que afectam o

participante Quando o cliente paga à loja o banco não é afectado; só sabe do facto

quando a loja redime o dinheiro


Banco

Estado 1: o banco emitiu o dinheiro, debitando na conta do cliente, e nada mais aconteceu

Se o cliente cancelar, o banco devolve o dinheiro, creditando o cliente, e passa para o estado 2, de onde não sairá

Se, em 1, a loja redimir o dinheiro, passa para o estado 3 e, logo que tenha preparado o dinheiro para a loja, transfere-o e fica em 4 de vez

1 3Starttransfereredime

2

4

cancela


Loja e Cliente

Enquanto que o banco faz sempre o que deve, a loja pode cometer erros– A entrega e as operações financeiras são processos separados que podem

ocorrer por qualquer ordem– Se o dinheiro se vier a revelar inválido, pode acontecer ter já entregue os

bens e não chegar a receber O cliente não tem restrições, pelo que pode pagar e cancelar várias

vezes, ficando sempre no mesmo estado– Compete ao banco garantir que o processo funciona bem

a bStartredimepaga fd

transfere

c redime getransfere

entrega entrega entrega Start

pagacancela

Loja Cliente


Ignorar acções Faltam várias transições

– O evento cancelar não afecta a loja– Mas, pela sua definição formal, um autómato finito, cada vez que

recebe uma entrada X, tem que seguir o arco X, nem que seja para o mesmo estado, senão morre

– Portanto há que acrescentar arcos para todos os eventos mantendo o estado quando este não é afectado

Isto resolve o problema das entradas maliciosas, por exemplo um segundo evento paga, no estado e, que também mataria o autómato

Para simplificar, arcos entre os mesmos estados representam-se como um único, com várias etiquetas


Transições completas

1 3Starttransfereredime

2

4

cancela

a bStartredimepaga fd

transfere

c redime getransfere

entrega entrega entrega Start

paga, cancela, entregaredime, transfere

Loja Cliente

Banco

cancela paga, cancela paga, cancela paga, cancela

paga, cancelapaga, cancelapaga, cancela

paga, entrega

paga, cancela,entrega, redime

paga, cancela,entrega, redime

paga, entrega


Interacção

Cliente nunca morre nem muda de estado Falta perceber quais as combinações de estados que podem

ocorrer entre o banco e a loja – autómato produto– Tem um nó por cada par de nós dos dois autómatos separados

Há estados não acessíveis É possível estudar o comportamento global (validar o

protocolo) e perceber que é possível entregar os bens e não chegar a receber o dinheiro

– Caso do (2,c)– No caso (3,e) ainda há esperança


Autómato produto

StartSP

S S

C C C

P P P

PPP

S S

S

C C C

P P P

PPP

P

SP

R

S S

R

C P,C P,C P,C

P,CP,CP,C

S S

R S

T T

P,C P,C P,C

P,CP,CP,C

P

1

2

3

4

a b c d e f g

CR R

C

R


Autómatos finitos deterministas (DFA)

Determinista– Num estado, para cada entrada, há apenas uma transição possível

Um DFA consiste de– Conjunto finito de estados (Q)– Conjunto finito de símbolos de entrada ()– Função de transição de estados e entradas para estados ( p = (q,a) )

um diagrama do DFA é um grafo que representa – Estado inicial (q0 Q)– Conjunto de estados finais ou de aceitação (F Q)

– DFA: A = (Q, , , q0, F)


Processar cadeias

A linguagem de um autómato é o conjunto de todas as cadeias que o DFA aceita

– Cadeia de entrada: a1a2… an

– Estado inicial: q0

– Evolução: (qi-1,ai) = qi

– Se qn F então a cadeia está aceite


Definir um DFA Exemplo: reconhecedor de cadeias binárias que contenham a

sequência 01– {x01y | x e y são cadeias de 0’s e 1’s} = {0,1}– Q, tem que memorizar se já viu 01 (q1), se acabou de ver o 0 (q2), ou

se não viu nada de relevante (q0) Q={q0, q1, q2}– Estado inicial: q0

– Função de transição de estados (q0,1) = q0 (q0,0) = q2

(q2,0) = q2 (q2,1) = q1

(q1,0) = q1 (q1,1) = q1

– Estados finais: {q1}– A = (Q, , , q0, F) = ({q0, q1, q2}, {0,1}, , q0, {q1})


Diagramas de transição

Diagrama de transição para um DFA A = (Q, , , q0, F) é um grafo

– estado em Q nó (q,a) = p onde q, p Q e a arco de q para p com etiqueta a

Vários arcos de q para p juntam-se, fazendo lista de etiquetas– estado inicial seta com Start– estados em F círculo duplo no nó

Start q0 q20 q1

1

1 0

0, 1


Tabelas de transição Tabela de transição é representação tabular da função

– Estados linhas– Entradas colunas– Estado inicial seta– Estados finais asterisco

0 1q0 q2 q0

*q1 q1 q1

q2 q2 q1


Extensão da função de transição

Linguagem do DFA– Conjunto das sequências de etiquetas para todos os caminhos do nó

de entrada até um dos nós de aceitação Função de transição estendida ^(q,w) = p

– q estado– w cadeia de entradas– p estado a que se chega partindo de q e aplicando w

Definição indutiva em |w|– Base: ^(q,) = q– Indução: seja w=xa então ^(q,w) = (^(q,x), a)

Se ^(q,x) = p e (p,a) = r, para ir de q até r, vai-se de q até p e um passo final para r


Linguagem de um DFA Evolução do DFA que lê cadeias com nº par de 0’s e de 1’s

para entrada w = 110101 ^(q0,) = q0

^(q0,1) = (^(q0, ),1) = (q0,1) = q1

^(q0,11) = (^(q0,1),1) = (q1,1) = q0

– … ^(q0,110101) = (^(q0,11010),1) = (q1,1) = q0

Linguagem de um DFA A = (Q, , , q0, F) é– L(A) = {w | ^(q0,w) F}

Se uma linguagem L é L(A) para um DFA A então é uma linguagem regular


Autómatos com transições

Exemplo: -NFA que aceita números decimais– Sinal + ou – optativo– Cadeia de dígitos– Um ponto decimal– Outra cadeia de dígitos (pelo menos uma das cadeias não vazia)

Startq1

,+,-q2

.q3

0,…,9

q5

q0

q4

0,…,9 .

0,…,9

0,…,9


Notação formal -NFA -NFA E = (Q, , , q0, F)

– A principal diferença está na função de transição (q,a), para lidar com Estado q Q e entrada a {}

Exemplo: E = ({q0, q1, q2, q3, q4, q5}, {.,+,-,0,…,9}, , q0, {q5})

0 símbolo da cadeia vazia não é visível na cadeia de dígitos

– Representa transições “espontâneas”– Lida-se com ele da mesma forma que com

o não-determinismo, considerando que o autómato pode estar em qualquer dos estados antes ou depois da transição

Para saber todos os estados a que se “chega” numa transição para um estado q, calcula-se EClose(q)

– EClose(q0)= {q0,q1}; EClose(q3)= {q3,q5}

+,- . 0,…,9

q0 {q1} {q1}

q1 {q2} {q1 q4}

q2 {q3}

q3 {q5} {q3}

q4 {q3}

*q5


Transições estendidas EClose( q )

– Base: o estado q está em EClose(q)– Indução: se p está em EClose(q) e existe uma transição de p para r com

etiqueta , então r também está em EClose(q) Transições estendidas

– Base: (q,) =EClose(q)– Indução: w=xa, a (portanto a ≠ )

1. seja (q,x)={p1, p2, …, pk} 2.

3. – (1) dá os estados a que se chega a partir de q seguindo um caminho

etiquetado com x que pode incluir e terminar numa ou mais transições

},...,{)( 11 , m

k

i i rrap

m

j jrEClosewq1

)(),(ˆ


Eliminação de transições Dado um -NFA E existe sempre um DFA D equivalente

– E e D aceitam a mesma linguagem Técnica da construção de subconjuntos

-NFA E = (QE, , E, q0, FE) DFA D = (QD, , D, qD, FD) QD é o conjunto dos subconjuntos de QE fechados

– S= EClose(S) Estado de partida qD = EClose(q0) FD = {S | S está em QD e S ∩ FE ≠} Transição D(S,a), para a em e S em QD

– S={p1, p2, …, pk}– Calcular – Terminar com

},...,{)( 11 , mk

i iE rrap

m

j jD rECloseaS1

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