1-definiciones grafos

ES

TRU

CTU

RA

S

DIS

CR

ETA

S II

Estructuras Discretas II

Introducción a la Teoría de Grafos

Dra. Norka Bedregal Alpaca1

Grafos

Grafos: Modelos matemáticos de situaciones reales

Ejemplos: Mapa de carreteras, Plano del tren eléctrico Plano callejero Red de PCs, Plano de un circuito eléctrico Arboles genealógicos, etc.

Aplicaciones:Compiladores y traductores, Redes, Planificación, etc.Origen: 1736 (Los Puentes de Könisberg. Euler)

Dra. Norka Bedregal Alpaca

Def

inic

ione

s: G

rafo

s

2

Grafos

Desafortunadamente no existe una terminología estandarizada en la teoría de los grafos,

Por lo tanto es oportuno aclarar que las presentes definiciones pueden variar ligeramente entre diferentes publicaciones de estructuras de datos y de teoría de grafos,

En general se puede decir que un grafo, es la representación (para nuestro caso) gráfica de los datos de una situación particular,

Ejemplo:

Los Angeles

Chicago

Boston

Nueva York

Miami

Filadelfia

Vuelos de lagunas aerolíneas


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Def

inic

ione

s: G

rafo

s

Definición: Grafo

Definición: Grafo

Los grafos de manera general pueden ser considerados diagramas o dibujos, de manera formal como un par de conjuntos.

Un grafo G = (V, E) se define como el par formado por:

Un conjunto V cuyos elementos reciben el nombre de vértices. El conjunto V de vértices del grafo, se denota por V(G).

Un conjunto E de pares no ordenados de elementos distintos llamados aristas. El conjunto E de aristas del grafo, se denota por E(G).

La notación general es:V={v1, v2,..., vn}E={(vi,vj); ( vn,,vm), ...} Dra. Norka Bedregal Alpaca

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s: G

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s

Definición: Grafo


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s: G

rafo

s

Definición: Grafo

Vértices Adyacentes:Dos vértices vi, vj son adyacentes si son los extremos de una arista, es decir, si el par de vértices (vi, vj) es un elemento de E.

V={v1, v2, v3}

E={(v1,v2), (v2,v3), (v1,v3)}


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GR

AFO

S - D

IGR

AFO

S

Otros Tipos de Grafos

Multigrafo: es un grafo con varias aristas entre dos vértices.

V={v1, v2, v3}E={(v1,v2), (v2,v3), (v2,v3), (v1,v3), (v1,v3)}

Pseudografo: tiene aristas cuyos extremos coinciden (origen y fin en el mismo vértice), tales aristas se denominan lazos.

V={v1, v2, v3}E={(v1,v1), (v1,v2), (v2,v2), (v1,v3)}


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inic

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s: G

rafo

s

Tipos de Grafos

Digrafo (grafo dirigido): A cada arista se le asigna un orden en sus extremos, en el dibujo se indica con una flecha. Los pares que forman los elementos de E son pares ordenados.

V={v1, v2, v3}E={(v1,v2), (v2,v3), (v3,v1)}


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inic

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s: G

rafo

s

Tipos de Grafos


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En general si no se especifica que un grafo G es dirigido o no, supondremos que es no dirigido.

La figura proporciona un ejemplo de un grafo dirigido sobre V= {a, b, c, d, e} con E= {(a, a), (a, b), (a, d), (b, c)}. D

efin

icio

nes:

Gra

fos

Otra Definición: Grafo

Grafo:

Un grafo es una terna G = (V, E, T), en donde V y E son conjuntos finitos,

T es una aplicación que hace corresponder a cada elemento de A un par de elementos de V.

Los elementos de V y de E se llaman, respectivamente, "vértices" y "aristas" de G,

T asocia entonces a cada arista con sus dos vértices.


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Def

inic

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s: G

rafo

s

Grado de un vértice

Es el número de aristas que parten de él. El grado de un vértice se conserva por isomorfismo.

Dado un vértice u de V(G), su grado es gr(u).

El vértice y es de grado 3El vértice x es de grado 3El vértice z es de grado 3El vértice w es de grado 3


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inic

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s: G

rafo

s

Subgrafo


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inic

ione

s: G

rafo

s

¿Qué tipo de subestructura nos sirve para analizar un grafo?

¿Es posible trazar dos grafos que parezcan distintos pero que tengan la misma estructura subyacente?

Definición

Si G = (V, E) es un grafo (dirigido o no), entonces G1 = (V1, E1) es un subgrafo de G si

V1 V y E1 E,

donde cada arista de E1 es incidente con los vértices de V1.

Subgrafo

Un subgrafo se obtiene eliminando alguna(s) arista(s) y/o vértice(s). Si se suprime un vértice, se suprimen todas las aristas que tienen por origen o fin dicho vértice.

G’ es un subgrafo de G, al suprimir el vértice x y las aristas que llegan a él.


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s: G

rafo

s

Subgrafo Recubridor


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s: G

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s

Definición

Dado un grafo (dirigido o no) G = (V, E), sea G1=(V1, E1) un subgrafo de G. Si V1 = V, entonces G1 es un subgrafo recubridor de G.

Los subgrafos G3 y G4 son subgrafos recubridores del grafo G en la parte a) de la figura anterior. Los grafos dirigidos G’’ y G’’’ son dos grafos recubridores de G en la parte b).

Subgrafo Inducido


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s: G

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s

Definición

Sea G = (V, E) un grafo (dirigido o no). Si U V, el subgrafo de G inducido por U es el subgrafo cuyo conjunto de vértices es U y que contiene todas las aristas (de G) de la forma:

1) (x, y), para x, y U, si G es dirigido o;

2) {x, y} para x, y U, si G no es dirigido

Se denota a este subgrafo como U.

Un subgrafo G’ de un grafo G = (V, E) es un subgrafo inducido si existe U V tal que G’ = U.

Subgrafo Inducido


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inic

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s: G

rafo

s

Para los subgrafos de la figura, se ve que G2 es un subgrafo inducido de G pero el subgrafo G1 no es un subgrafo inducido ya que no aparece la arista {a, d}.

Subgrafo Inducido


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inic

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s: G

rafo

s

EJEMPLO

Sea G el grafo de la figura. • Los subgrafos G1 y G2 de la figura son inducidos. • G1=U1 para U1 ={b, c, d, e}. • G2=U2 para U2={a, b, e, f}. • G3 no es un subgrafo inducido; los vértices c, e están en G3, pero la arista {c, e} de (G) no está presente.

Grafo Regular

Un grafo es regular si todos los vértices tienen el mismo grado, si dicho grado es k, el grafo se denominará k-regular.


Los grafos G, G’ son grafos 3-regular y 2-regular.

La regularidad de grafos se conserva por isomorfismo.

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s: G

rafo

s

Grafo Completo

Un grafo es completo si cada par de vértices son los extremos de una arista.

Dos grafos completos con el mismo número de vértices son isomorfos.

Se designará el grafo completo con n vértices por Kn.

Se puede representar Kn, para n mayor o igual a tres, mediante los vértices de un polígono regular Pn de n lados siendo las aristas de Kn los lados y todas las diagonales de Pn.


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s: G

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s

Grafo Complementario


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s: G

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s

Definición

Sea G un grafo no dirigido sin lazos con n vértices. El complementario de G, ( ) es el subgrafo de Kn formado por los n vértices de G y todas las aristas que no están en G.

(Si G = Kn, es un grafo con n vértices y ninguna arista. A este grafo se le llama grafo nulo).

G

En a) aparece un grafo no dirigido de cuatro vértices.

Su complementario se muestra en la parte b).En el complementario el vértice a está aislado.

Grafo Bipartito


Es aquel con cuyos vértices pueden formarse dos conjuntos disjuntos de modo que no haya adyacencias entre vértices pertenecientes al mismo conjunto

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Def

inic

ione

s: G

rafo

s

Ejemplos de Grafos


• Todo grafo completo es regular porque cada vértice tiene grado |V|-1 al estar conectado con todos los otros vértices.

• Un grafo regular no tiene por qué ser completo • Un grafo bipartido regular se denota Km,n donde m, n es el grado de

cada conjunto disjunto de vértices. • En la figura se tienen los grafos K1,2, K3,3, y K2,5

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Def

inic

ione

s: G

rafo

s

Matrices de Representación de un Grafo

Matriz de Adyacencia


Un grafo simple G = (V, E) con n nodos

Puede ser representado por su matriz de adyacencia A.

1 si { , } es un arco de .

0 en otro caso. i j

ijv v G

a

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Def

inic

ione

s: G

rafo

s



Matriz de adyacencia para K5.

d

a

b

c

e a

c

e

f

K5

a 0 1 0 0 1 1b 1 0 1 0 0 1c 0 1 0 1 0 1d 0 0 1 1 0 1 e 1 0 0 1 0 1 f 1 1 1 1 1 1

a b c d e f

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Def

inic

ione

s: G

rafo

s


Matriz de Incidencia


Sea G=(V, E) un grafo no dirigido. Suponga que v1,v2,…vn son los nodos y e1,e2,…,em son los arcos de G.

La matriz de incidencia con respecto a este ordenamiento de V y E es la matriz de orden nxm

1 cuando el arco es incidente a .

0 en otro caso. j i

ije v

m

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Def

inic

ione

s: G

rafo

s



Matriz de incidencia para K5.

d

a

b

c

e a

c

e

f

e2

e1

e3

e4

e5

e8

e7

e6 e10

e9

a 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0

b 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0

c 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0

d 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0

e 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1

f 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1

e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10

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Def

inic

ione

s: G

rafo

s

Caminos en un Grafo

Camino

Un camino en un grafo G es una sucesión finita de vértices y aristas alternos, donde cada arista tiene por extremos los vértices adyacentes.

{ v0 , (v0,v1), v1, (v1,v2) ,..., vn-1, (vn-1,vn) , vn }

A v0 y vn se les denomina extremos del camino.


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Si x, y son vértices (no necesariamente distintos) de un grafo no dirigido G = (V, E). Un camino x-y en G es una sucesión alternada finita (sin lazos)

x= x0, e1, x1, e2, x2, e3,...,en-1, xn-1, en, xn=y

de vértices y aristas de G, que comienza en el vértice x y termina en el vértice y y que contiene las n aristas ei={xi-1, xi} donde 1in.

Def

inic

ione

s: G

rafo

s

Caminos en un Grafo


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Longitud del camino

La longitud de un camino es n, el número de aristas que hay en el camino (Si n = 0, no existen aristas, x = y, y el camino se denomina trivial).

Camino cerrado

Cualquier camino x-y donde x = y (y n > 1) es un camino cerrado o ciclo. En caso contrario, el camino es abierto.

Def

inic

ione

s: G

rafo

s

Caminos en un Grafo


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Definición

Consideremos un camino x-y en un grafo no dirigido G = (V, E).

a) Si no se repite alguna arista en el camino x-y, entonces el camino es un recorrido o camino elemental x-y.

b) Cuando ningún vértice del camino x-y se presenta más de una vez, el camino es un camino simple x-y. El término ciclo se usa para describir el camino simple cerrado.

Def

inic

ione

s: G

rafo

s

Caminos en un Grafo


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w

x y

z

En el grafo de la figura se cumple: Es K4 completo

{ x, y, w, z, y } es un camino { x, y, w } es un camino simple { x, y, w, z, x } es un ciclo

Def

inic

ione

s: G

rafo

s

Caminos en un Grafo


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Teorema

Sea G = (V, E) un grafo no dirigido, con a, b V, ab. Si existe un camino elemental de a a b, entonces existe un camino simple de a a b.

Demostración.

Como hay al menos un camino elemental de a a b, se selecciona el que tenga la longitud más corta, digamos {a,x1},{x1,x2},...,{xn,b}.

Si este camino no es un camino simple, se tiene la situación

{a,x1},{x1,x2},...,{xk-1,xk},{xk,xk+1},{xk+1,xk+2},...,{xm-1,xm},{xm,xm+1},...,{xn,b},

donde k<m y xk=xm, posiblemente con k=0 y a(=x0)=xm, o m=n+1 y xk=b(=xn+1). Pero entonces

{a,x1},{x1,x2},...,{xk-1,xk},{xm,xm+1},...,{xn,b}

es un camino elemental simple más corto de a a b.

Def

inic

ione

s: G

rafo

s

Grafo Conexo


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Definición

Sea G = (V, E) un grafo no dirigido. Decimos que G es conexo si existe un camino entre dos vértices cualesquiera distintos de G.

Si e grafo G es dirigido y existe por lo menos un camino entre dos vértices cualesquiera entonces se dice que el grafo G es fuertemente conexo.

Sin un grafo no cumple con las condiciones anteriores se dice que es disconexo o no-conexo.

Arista de SeparaciónUna arista de un grafo G se dice de separación si G es conexo pero al suprimir la arista se divide en dos componentes conexos

Def

inic

ione

s: G

rafo

s

Conectividad en Grafos


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Def

inic

ione

s: G

rafo

s

Definiciones: Sea G=(V, E) un grafo conexo, se llama punto de corte a un vértice v

de G, de modo que el subconjunto Gv de G con vértices V-{v} y cuyas aristas son aquellas de E cuyos vértices están en V-{v} no es conexo.

Se llama istmo a una arista a de G de modo que el grafo (V, E-{a}) no es conexo.

Son puntos de corte: {e, d, c }. La arista: (e,d), es un istmo.

Ejemplo:

Conectividad en Grafos


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Def

inic

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s: G

rafo

s

Observaciones:

Sea un grafo G=(V, E) que posee k componentes conexas, se verifica la desigualdad: #(E) (#(V) - k)·(#(V) - k+1).

Si G=(V, E) se verifica: #(E) > (#(V) - 1)(#(V) -2). ® G es grafo conexo con una componente.

Caminos en un Grafo


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Por lo tanto, un grafo no dirigido G = (V, E) es disconexo si y sólo si V puede separarse en al menos dos subconjuntos V1, V2 tales que no haya una arista en E de la forma {x, y} donde xV1 e yV2.

Un grafo es conexo si y sólo si tiene solamente una componente.

Definición Para cualquier grafo G = (V, E), el número de componentes de G se denota con (G).

Def

inic

ione

s: G

rafo

s

Caminos en un Grafo


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Definición

Para cualquier grafo G = (V, E), el número de componentes de G se denota con (G).

Método para determinar si un grafo es conexoUn método para comprobar si un grafo es conexo es el siguiente:

– Se halla la matriz de adyacencia y se eleva a la (n-1)-ésima potencia

– Se calcula la suma de las potencias de A hasta An-1

– Si todos sus elementos son 0, el grafo es conexo.

Def

inic

ione

s: G

rafo

s

Isomorfismo de Grafos


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Def

inic

ione

s: G

rafo

s Definición

Sean G1=(V1, E1) y G2=(V2, E2) dos grafos no dirigidos.

Una función f: V1 ® V2 es un isomorfismo de grafos si:

1) f es biyectiva

2) a, b V1, {a, b} E1 si y sólo si {f(a), f(b)} E2.

Cuando existe tal función, G1 y G2 son grafos isomorfos.



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Def

inic

ione

s: G

rafo

s

V(G)={w, x, y, z}

E(G)={(x,y), (x,z), (x,w), (y,z), (y,w), (w,z)}

V(H)={t, s, v, u}

E(H)={(s,v), (s,u), (s,t), (v,u), (v,t), (t,u)}

f(w)=t, f(x)=s, f(y)=v, f(z)=u

Ejemplo:



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Def

inic

ione

s: G

rafo

s

Para los grafos de las partes a) y b) de la figura, la función f definida por

f(a)=w, f(b)=x, f(c)=y, f(d)=z

da como resultado un isomorfismo.

(De hecho cualquier correspondencia uno a uno entre {a, b, c, d} y {w, x, y, z} será un isomorfismo, ya que ambos grafos son completos).

En consecuencia en lo que se refiere a la estructura estos grafos se consideran iguales, cada uno es isomorfo al grafo K4.

Ejemplo:



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Def

inic

ione

s: G

rafo

s

Para los grafos c) y d) de la figura se necesita un poco más de cuidado. La función g definida por: g(m)=r, g(n)=s, g(p)=t, g(q)=u

es uno a uno y sobre.

Sin embargo, aunque {m, q} es una arista del grafo de la parte c), { g(m), g(q)} = {r, u} no es una arista del grafo de la parte d).

En consecuencia, la función g no define un isomorfismo de grafos.

Ejemplo:



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Def

inic

ione

s: G

rafo

s

Ejercicio:

Determine si los grafos de la figura son isomorfos

Grafo Etiquetado


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Def

inic

ione

s: G

rafo

s Grafo o Digrafo etiquetado,

Se dice que un grafo o un digrafo es etiquetado si sus aristas tienen asignado un número.A la etiqueta de una arista a de G se le suele designar longitud de a.

Dado un camino, en un grafo etiquetado, se denomina longitud del camino a la suma de las etiquetas de las aristas, si todas las etiquetas son 1, la longitud del camino, en un grafo etiquetado, coincide con la longitud de un camino en un grafo o digrafo.

Dados dos vértices de un grafo etiquetado, se denomina distancia entre tales vértices, a la suma de los valores de sus aristas, por el camino de longitud mínima.


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Def

inic

ione

s: G

rafo

sGrafo Etiquetado

Ejemplo de grafo etiquetado

Fin


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Def

inic

ione

s: G

rafo

s

Documents

1-definiciones grafos