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  • Legami costitutivi

    1

    q

    1) descrizione dello stato tensionale totale [σ] che equilibra i carichi esterni q con gli strumenti analitici della Meccanica del continuo

    ⇓ sottosuolo eterogeneo e multifase assimilato a

    mezzo omogeneo monofase

    2) ripartizione delle tensioni totali tra scheletro solido (tensioni efficaci [σ’]) e acqua (pressioni interstiziali u)

    necessità di considerare le condizioni idrauliche al contorno

    e gli effetti prodotti dal moto dell’acqua nello scheletro solido

    q

    s

    3) determinazione sperimentale del legame costitutivo del terreno in relazione alla combinazione di componenti normali e tangenziali

    ⇓ schemi sperimentali e modello costitutivo

    q

  • Legami costitutivi

    3

    Sforzi Meccanismi deformativi Legame costitutivo

    Proprietà meccaniche

    Stati

    limite

    Normali

    Schiacciamento grani *

    Scorrimenti **

    Variazioni di densità ***

    Non lineare

    a rigidezza

    crescente

    Compressibilità Esercizio

    N → s

    w → 

    Coppia di particelle deformabili

    Sistema di particelle rigide

    Relazione sforzi-deformazioni

    scarico: non

    reversibile!

    carico: non lineare!

  • Legami costitutivi

    5

    Sforzi Meccanismi deformativi Legame costitutivo

    Proprietà meccaniche

    Stati

    limite

    Tangenziali

    Rottura grani/contatti

    Rotolamenti

    Variazioni di densità

    Scorrimenti

    *

    **

    ***

    ****

    Non lineare

    a rigidezza

    decrescente

    Deformabilità

    Resistenza

    Esercizio

    Ultimo

    Coppia di particelle deformabili

    Sistema di particelle rigide

    Relazione sforzi-deformazioni

    scarico: non

    reversibile!

    carico: non lineare!

    T → 

    u → 

  • Legami costitutivi

    6

    Gli invarianti di tensione media (o sferica) p e deviatorica q (e di deformazione volumetrica v e distorsionale s) sono le variabili più adeguate per descrivere graficamente il comportamento di un elemento di terreno per effetto dei diversi processi e combinazioni di sollecitazione a cui viene sottoposto

    Per gli invarianti in tensioni efficaci p’ e q’, analogamente alle componenti s e , vale:

    q

    p

    stato iniziale

    percorso tensionale (stress-path)

    q

    p, p’

    u pp’

    Il percorso delle tensioni efficaci (Effective Stress Path, ESP) è quindi traslato in orizzontale di u (in genere variabile) rispetto a quello delle tensioni totali (Total Stress Path, TSP)

    TSPESP

    1 2 3 1 2 3 3

    3 3

    u p p u

    s s s s s s  + + + + −  = = = −

    ( ) ( ) 2 21 1

    2 2 i j i jij ij

    q qs s s s  = − = − = 

  • 1

    Legami costitutivi

    7

    percorso s1 s2 s3 p q Schema

    Compressione isotropa

    s s 0

    Taglio semplice

     0 - 0 √3

    Compressione cilindrica per carico

    s 0 0 s/3 s

    Estensione cilindrica per scarico

    -s 0 0 s/3 s

    q

    p

    p

    p

    p

    3

    -1

    3

    q

    q

    q

  • Equazioni n. Incognite n.

    a) equilibrio scheletro solido 3 a) tensioni totali sij 6

    b) congruenza scheletro solido 3 b) tensioni efficaci s’ij 6

    c) legame costitutivo scheletro solido 6 c) deformazioni scheletro solido εij 6

    d) legge di moto fluido 3 d) pressione interstiziale u 1

    e) equazione di stato fluido 1 e) densità fluido ρf 1

    f) equazione di continuità fluido 1 f) componenti moto fluido vij 3

    g) accoppiamento fasi ( ) 6

    Totale 23 Totale 23

    Legami costitutivi

    8

    Nel trattare il mezzo multifase, occorrerebbe a rigore tener conto di caratteri individuali ed accoppiamento di scheletro solido e fluidi.

    Bilancio di equazioni e incognite (mezzo bifase):

    + condizioni al contorno (frontiera del dominio di analisi)

    + condizioni iniziali (t = 0) e/o finali (t = )

    (entrambe espresse in termini di tensioni/pressioni/deformazioni/moto fluido) ↓

    Approccio rigoroso ⇒ soluzione sistema di eq. differenziale troppo complesso!

         u Is s = −

  • Equazioni n. Incognite n.

    a) equilibrio scheletro solido 3 a) tensioni totali sij 6

    b) congruenza scheletro solido 3 b) tensioni efficaci s’ij 6

    c) legame costitutivo scheletro solido 6 c) deformazioni scheletro solido εij 6

    d) legge di moto fluido 3 d) pressione interstiziale u 1

    e) equazione di stato fluido 1 e) densità fluido ρf 1

    f) equazione di continuità fluido 1 f) componenti moto fluido vij 3

    g) accoppiamento fasi ( ) 6

    Totale 23 Totale 23

    Legami costitutivi

    9

    Sfrutta livelli di semplificazione differenziati, in relazione agli aspetti da trattare caso per caso

    Ipotesi generalmente introdotte:

    ⇒ eliminazione equazioni/incognite e) • Acqua incomprimibile

    • Scheletro solido con legge costitutiva semplificata (p.es. elastico lineare, rigido-plastico)

    • Disaccoppiamento della soluzione del problema idraulico da quello meccanico (p.es.: si determinano le [s ], si risolvono le d)-f), si applicano le g), si ricavano le )

    • Aria infinitamente comprimibile

         u Is s = −

  • Legami costitutivi

    10

    Azioni di compressione Realtà

    (osservazione sperimentale) Idealizzazione

    (modello costitutivo)

    Azioni di taglio

    p’

    v

    q ()

    s ()

    Realtà (osservazione sperimentale)

    Idealizzazione (modello costitutivo)

    p’

    v

    q ()

    s ()

  • Legami costitutivi

    11

    Analisi Stati Limite di Esercizio (SLE)

    Analisi Stati Limite Ultimi

    (SLU)

    Mezzo elastico lineare Mezzo rigido - plastico

    q ()

    s ()

    q ()

    s ()

    • Soluzione dipendente solo dagli incrementi sij

    • Reversibilità del legame tensio-deformativo

    • Applicabilità principio sovrapposizione effetti

    • Soluzione dipendente dallo stato iniziale

    • Deformazioni non reversibili

    • Principio sovrapposizione effetti non valido

  • Legami costitutivi

    12

    Elasticità = relazione biunivoca [σ]:[ε]

    Parametro Caso generale

    Modulo di Young

    Elasticità lineare

    Ipotesi di isotropia  Ei e νij non dipendono dal sistema di assi (x, y, z)

    Ei = E ∀ i νij = ν ∀ i,j

    si

    i

    i

    j

    Coefficiente di Poisson j

    Solido continuo elastico ideale = lineare, omogeneo, isotropo

    Ipotesi di omogeneità  Ei e νij non dipendono da P(x, y, z)

    i i

    i

    d E

    d

    s

     = i ii

    i i

    E s s

     

     = =

    j

    ij

    i

    d

    d

     

     = −

    j j

    ij

    i i

      

     

     = − = −

  • Legami costitutivi

    13

    Il legame costitutivo (Hooke) è espresso dalle relazioni :

    esprimibili nella forma matriciale:

    ( )

    ( )

    ( )

    ( )

    ( )

    ( )

    1

    1

    1

    2 1

    2 1

    2 1

    x x y z

    y y x z

    z z x y

    xy xy

    yz yz

    zx zx

    E

    E

    E

    E

    E

    E

     s  s s

     s  s s

     s  s s

      

      

      

      = − +  

       = − +     = − +   +  =   +  =   +  = 

    ( )

    ( )

    ( )

    1

    1

    1

    2 1

    2 1

    2 1

    x x

    y y

    z z

    xy xy

    yz yz

    zx zx

    E E E

    E E E

    E E E

    E

    E

    E

     

       s

     s 

     s

     

       

      − − 

       − −

                  − −        

    =    +               +        

       +    

  • Legami costitutivi

    14

    avendo posto:

    È conveniente scrivere le relazioni elastiche in termini di invarianti:

    Modulo di rigidezza volumetrica:

    Modulo di rigidezza tangenziale:

    Questa formulazione si traduce nel duplice vantaggio di:

    • scrivere la relazione costitutiva in forma matriciale compatta:

    • disaccoppiare l’analisi di fenomeni di:

    - variazioni di volume (εv), causate da variazioni di tension