Legami
costitutivi
1
q
1) descrizione dello stato tensionale totale [σ]
che equilibra i carichi esterni q con gli strumenti analitici
della Meccanica del continuo
⇓
sottosuolo eterogeneo e multifase assimilato a
mezzo omogeneo monofase
2) ripartizione delle tensioni totali
tra scheletro solido (tensioni efficaci [σ’])
e acqua (pressioni interstiziali u)
⇓
necessità di considerare le
condizioni idrauliche al contorno
e gli effetti prodotti dal moto dell’acqua
nello scheletro solido
q
s
3) determinazione sperimentale del legame
costitutivo del terreno
in relazione alla combinazione di componenti
normali e tangenziali
⇓
schemi sperimentali e modello costitutivo
q
Legami
costitutivi
3
Sforzi Meccanismi deformativi Legame
costitutivo
Proprietà
meccaniche
Stati
limite
Normali
Schiacciamento grani *
Scorrimenti **
Variazioni di densità ***
Non lineare
a rigidezza
crescente
Compressibilità Esercizio
N → s
w →
Coppia di
particelle deformabili
Sistema di
particelle rigide
Relazione
sforzi-deformazioni
scarico:
non
reversibile!
carico:
non lineare!
Legami
costitutivi
5
Sforzi Meccanismi deformativi Legame
costitutivo
Proprietà
meccaniche
Stati
limite
Tangenziali
Rottura grani/contatti
Rotolamenti
Variazioni di densità
Scorrimenti
*
**
***
****
Non lineare
a rigidezza
decrescente
Deformabilità
↓
Resistenza
Esercizio
↓
Ultimo
Coppia di
particelle deformabili
Sistema di
particelle rigide
Relazione
sforzi-deformazioni
scarico:
non
reversibile!
carico:
non lineare!
T →
u →
Legami
costitutivi
6
Gli invarianti di tensione media (o sferica) p e deviatorica q (e di deformazione
volumetrica v e distorsionale s) sono le variabili più adeguate per descrivere
graficamente il comportamento di un elemento di terreno per effetto dei diversi
processi e combinazioni di sollecitazione a cui viene sottoposto
Per gli invarianti in tensioni efficaci p’ e q’, analogamente alle componenti s e , vale:
q
p
stato iniziale
percorso tensionale
(stress-path)
q
p, p’
u pp’
Il percorso delle tensioni efficaci (Effective Stress Path, ESP) è quindi traslato in orizzontale
di u (in genere variabile) rispetto a quello delle tensioni totali (Total Stress Path, TSP)
TSPESP
1 2 3 1 2 3 3
3 3
u
p p u
s s s s s s + + + + −
= = = −
( ) ( )
2 21 1
2 2
i j i jij ij
q qs s s s = − = − =
1
Legami
costitutivi
7
percorso s1 s2 s3 p q Schema
Compressione isotropa
s s 0
Taglio semplice
0 - 0 √3
Compressione cilindrica
per carico
s 0 0 s/3 s
Estensione cilindrica
per scarico
-s 0 0 s/3 s
q
p
p
p
p
3
-1
3
q
q
q
Equazioni n. Incognite n.
a) equilibrio scheletro solido 3 a) tensioni totali sij 6
b) congruenza scheletro solido 3 b) tensioni efficaci s’ij 6
c) legame costitutivo scheletro solido 6 c) deformazioni scheletro solido εij 6
d) legge di moto fluido 3 d) pressione interstiziale u 1
e) equazione di stato fluido 1 e) densità fluido ρf 1
f) equazione di continuità fluido 1 f) componenti moto fluido vij 3
g) accoppiamento fasi ( ) 6
Totale 23 Totale 23
Legami
costitutivi
8
Nel trattare il mezzo multifase, occorrerebbe a rigore tener conto
di caratteri individuali ed accoppiamento di scheletro solido e fluidi.
Bilancio di equazioni e incognite (mezzo bifase):
+ condizioni al contorno (frontiera del dominio di analisi)
+ condizioni iniziali (t = 0) e/o finali (t = )
(entrambe espresse in termini di tensioni/pressioni/deformazioni/moto fluido)
↓
Approccio rigoroso ⇒ soluzione sistema di eq. differenziale troppo complesso!
u Is s = −
Equazioni n. Incognite n.
a) equilibrio scheletro solido 3 a) tensioni totali sij 6
b) congruenza scheletro solido 3 b) tensioni efficaci s’ij 6
c) legame costitutivo scheletro solido 6 c) deformazioni scheletro solido εij 6
d) legge di moto fluido 3 d) pressione interstiziale u 1
e) equazione di stato fluido 1 e) densità fluido ρf 1
f) equazione di continuità fluido 1 f) componenti moto fluido vij 3
g) accoppiamento fasi ( ) 6
Totale 23 Totale 23
Legami
costitutivi
9
Sfrutta livelli di semplificazione differenziati, in relazione agli aspetti da trattare caso per caso
Ipotesi generalmente introdotte:
⇒ eliminazione equazioni/incognite e)
• Acqua incomprimibile
• Scheletro solido con legge costitutiva semplificata (p.es. elastico lineare, rigido-plastico)
• Disaccoppiamento della soluzione del problema idraulico da quello meccanico
(p.es.: si determinano le [s ], si risolvono le d)-f), si applicano le g), si ricavano le )
• Aria infinitamente comprimibile
u Is s = −
Legami
costitutivi
10
Azioni di compressione
Realtà
(osservazione sperimentale)
Idealizzazione
(modello costitutivo)
Azioni di taglio
p’
v
q
()
s ()
Realtà
(osservazione sperimentale)
Idealizzazione
(modello costitutivo)
p’
v
q
()
s ()
Legami
costitutivi
11
Analisi
Stati Limite di Esercizio (SLE)
Analisi
Stati Limite Ultimi
(SLU)
Mezzo elastico lineare Mezzo rigido - plastico
q
()
s ()
q
()
s ()
• Soluzione dipendente solo dagli incrementi sij
• Reversibilità del legame tensio-deformativo
• Applicabilità principio sovrapposizione effetti
• Soluzione dipendente dallo stato iniziale
• Deformazioni non reversibili
• Principio sovrapposizione effetti non valido
Legami
costitutivi
12
Elasticità = relazione biunivoca [σ]:[ε]
Parametro Caso generale
Modulo di Young
Elasticità lineare
Ipotesi di isotropia Ei e νij non dipendono dal sistema di assi (x, y, z)
Ei = E ∀ i
νij = ν ∀ i,j
si
i
i
j
Coefficiente di Poisson
j
Solido continuo elastico ideale = lineare, omogeneo, isotropo
Ipotesi di omogeneità Ei e νij non dipendono da P(x, y, z)
i
i
i
d
E
d
s
= i ii
i i
E
s s
= =
j
ij
i
d
d
= −
j j
ij
i i
= − = −
Legami
costitutivi
13
Il legame costitutivo (Hooke)
è espresso dalle relazioni :
esprimibili nella forma matriciale:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
1
1
1
2 1
2 1
2 1
x x y z
y y x z
z z x y
xy xy
yz yz
zx zx
E
E
E
E
E
E
s s s
s s s
s s s
= − +
= − +
= − +
+
=
+
=
+
=
( )
( )
( )
1
1
1
2 1
2 1
2 1
x x
y y
z z
xy xy
yz yz
zx zx
E E E
E E E
E E E
E
E
E
s
s
s
− −
− −
− −
= +
+
+
Legami
costitutivi
14
avendo posto:
È conveniente scrivere le relazioni elastiche in termini di invarianti:
Modulo di rigidezza volumetrica:
Modulo di rigidezza tangenziale:
Questa formulazione si traduce nel duplice vantaggio di:
• scrivere la relazione costitutiva in forma matriciale compatta:
• disaccoppiare l’analisi di fenomeni di:
- variazioni di volume (εv), causate da variazioni di tension
