1 Didactique des mathématiques : la théorie anthropologique du didactique (Y. Chevallard) 3 e partie Maggy Schneider Université de Liège

11

Didactique des mathématiques :Didactique des mathématiques :la théorie anthropologique du la théorie anthropologique du

didactique (Y. Chevallard)didactique (Y. Chevallard) 3 3ee partie partie

Maggy SchneiderMaggy Schneider

Université de LiègeUniversité de Liège

22

Praxéologie « modélisation » vs Praxéologie « modélisation » vs praxéologie « déduction »praxéologie « déduction »

Quelques définitions d’algèbre linéaire basées sur le Quelques définitions d’algèbre linéaire basées sur le produit scalaire :produit scalaire :

33


Cette subordination des concepts à celui de produit Cette subordination des concepts à celui de produit scalaire permet de déduire très facilement des scalaire permet de déduire très facilement des théorèmes fondamentaux de géométrie ou de théorèmes fondamentaux de géométrie ou de trigonométrie. Ainsi, le théorème de Pythagore :trigonométrie. Ainsi, le théorème de Pythagore :

44


Exemple des formules d’addition en trigonométrie :Exemple des formules d’addition en trigonométrie :

55


Mais cette subordination relève d’une « inversion didacti-Mais cette subordination relève d’une « inversion didacti-que » (Freudenthal). Dans l’histoire, on savait que :que » (Freudenthal). Dans l’histoire, on savait que :

avant de percevoir un « même » calcul derrière toutes avant de percevoir un « même » calcul derrière toutes ces situationsces situations

66

Démonstration d’une formule d’addition Démonstration d’une formule d’addition sans produit scalairesans produit scalaire

77


88


99

Quelques réflexions sur ces Quelques réflexions sur ces démonstrationsdémonstrations

« La démonstration utilisant le produit scalaire est courte, mais il « La démonstration utilisant le produit scalaire est courte, mais il faut pour cela rappeler la notion de produit scalaire, qui n’est pas faut pour cela rappeler la notion de produit scalaire, qui n’est pas toujours bien assimilée chez tout le monde. Certains enseignants toujours bien assimilée chez tout le monde. Certains enseignants préfèrent alors la démonstration à partir des distances, qui est un préfèrent alors la démonstration à partir des distances, qui est un peu plus longue mais qui se démontre à partir de choses simples, peu plus longue mais qui se démontre à partir de choses simples, sans devoir se référer à d’anciennes notions (mis à part la formule sans devoir se référer à d’anciennes notions (mis à part la formule des distances, censée connue) »des distances, censée connue) »

« La démonstration utilisant le produit scalaire est simple et « La démonstration utilisant le produit scalaire est simple et élégante, mais repose sur une équivalence de formulation vue élégante, mais repose sur une équivalence de formulation vue (? Pas sûr - l’équivalence a bien pu être acceptée telle quelle et non (? Pas sûr - l’équivalence a bien pu être acceptée telle quelle et non démontrée !) il y a bien longtemps et refait sans le dire la démontrée !) il y a bien longtemps et refait sans le dire la démonstration de l’équivalence »démonstration de l’équivalence »

« Un gros avantage de la démonstration basée sur le produit « Un gros avantage de la démonstration basée sur le produit scalaire est qu’elle est aisée à retenir. En fait, elle est basée sur une scalaire est qu’elle est aisée à retenir. En fait, elle est basée sur une seule définition. D’où, elle sera sûrement privilégiée dans les seule définition. D’où, elle sera sûrement privilégiée dans les classes de plus faible niveau »classes de plus faible niveau »

1010

A un extrême : une démonstration qui retourne aux « sources » A un extrême : une démonstration qui retourne aux « sources » mais néglige les apports positifs des math. modernesmais néglige les apports positifs des math. modernes

1111

A l’autre extrême : une démonstration qui n’aurait pas A l’autre extrême : une démonstration qui n’aurait pas pu exister sans la propriété qu’elle prétend démontrerpu exister sans la propriété qu’elle prétend démontrer

L’écriture exponentielle d’un nombre complexe permet L’écriture exponentielle d’un nombre complexe permet de « compacter » des écritures mais se « justifie » grâce de « compacter » des écritures mais se « justifie » grâce à une analogie de propriétés ou des développements à une analogie de propriétés ou des développements formels en séries qui supposent la propriété à démontrerformels en séries qui supposent la propriété à démontrer

1212

Pourquoi les vecteurs Pourquoi les vecteurs (et opérations associées) ?(et opérations associées) ?

Physique (sens, direction, intensité, point d’application) : Physique (sens, direction, intensité, point d’application) : forces, vitesses, champ électromagnétique, travail d’une force et forces, vitesses, champ électromagnétique, travail d’une force et

produit scalaire, …produit scalaire, …

Mathématiques (n-uples)Mathématiques (n-uples) Démonstration de propriétés géométriques (y compris Démonstration de propriétés géométriques (y compris

démonstrations analytiques)démonstrations analytiques) Expression des translationsExpression des translations ? Construction de plans? Construction de plans Fonctions de plusieurs variablesFonctions de plusieurs variables Regroupement de données en statistiques descriptivesRegroupement de données en statistiques descriptives Nombres complexesNombres complexes Algèbre linéaireAlgèbre linéaire

1313


Mais quelle entrée en matière pour les élèves ?Mais quelle entrée en matière pour les élèves ?Souvent, on part des translations et on évoque des Souvent, on part des translations et on évoque des questions de trajets dans un plan mais comment définir questions de trajets dans un plan mais comment définir « sens » et « direction » à ce stade d’étude en dehors de « sens » et « direction » à ce stade d’étude en dehors de la physique ?la physique ?Quasiment jamais, on ne dit aux élèves qu’on cherche à Quasiment jamais, on ne dit aux élèves qu’on cherche à exprimer des configurations géométriques et démontrer exprimer des configurations géométriques et démontrer leurs propriétés de manière symbolique et calculatoireleurs propriétés de manière symbolique et calculatoireOn se situe difficilement entre physique et algèbre On se situe difficilement entre physique et algèbre linéaire qui est une théorie « multi-sens »linéaire qui est une théorie « multi-sens »

1414


1ère expérience possible d’une démonstration 1ère expérience possible d’une démonstration calculatoire : calculatoire : les médianes d’un triangle se coupent en les médianes d’un triangle se coupent en un même pointun même point

Résoudre le système formé des équations de AM et BNRésoudre le système formé des équations de AM et BN Contrôler que la solution vérifie l’équation de CPContrôler que la solution vérifie l’équation de CP

Coordonnées paramétrées ou non ?Coordonnées paramétrées ou non ?

1515


Annoncer le but : traduire des configurations Annoncer le but : traduire des configurations géométriques au moyen des coordonnées ou géométriques au moyen des coordonnées ou vecteurs. Exemples :vecteurs. Exemples : Parallélogramme ABCD éventuellement « aplati » : Parallélogramme ABCD éventuellement « aplati » :

B - A = C - DB - A = C - D Milieu M d’un segment EF : (E + F) / 2Milieu M d’un segment EF : (E + F) / 2

Que démontre l’équivalence entre B - A = C - DQue démontre l’équivalence entre B - A = C - Det (D + B) / 2 = (A + C) / 2 ?et (D + B) / 2 = (A + C) / 2 ?Une situation fondamentale d’entrée dans cet Une situation fondamentale d’entrée dans cet univers : trouver le 4univers : trouver le 4èmeème sommet d’un sommet d’un parallélogramme connaissant les 3 autresparallélogramme connaissant les 3 autres

1616

Forme d’un déterminant 3 x 3Forme d’un déterminant 3 x 3

Partir d’une définition du déterminant de n Partir d’une définition du déterminant de n vecteurs relativement à une base en termes vecteurs relativement à une base en termes d’image d’une forme n-linéaire alternée d’image d’une forme n-linéaire alternée

Une alternative possible, parmi d’autres, est Une alternative possible, parmi d’autres, est d’étudier la compatibilité d’un système linéaire d’étudier la compatibilité d’un système linéaire de trois équations à deux inconnues : recherche de trois équations à deux inconnues : recherche d’un critère général et non pas résolution d’un d’un critère général et non pas résolution d’un systèmesystème

1717


D’une écriture « brute » à la nécessité d’une écriture D’une écriture « brute » à la nécessité d’une écriture

« mnémotechnique »:« mnémotechnique »:

1818


Intérêt d’un notation indicée : émergence Intérêt d’un notation indicée : émergence historique des matrices postérieure à cellehistorique des matrices postérieure à celledes déterminants des déterminants

Caractère « multi-sens » de l’annulation d’un Caractère « multi-sens » de l’annulation d’un déterminant 3 x 3 :déterminant 3 x 3 : Concourance de droitesConcourance de droites Coplanarité de pointsCoplanarité de points Parallélisme d’une droite et d’un planParallélisme d’une droite et d’un plan Positions relatives de trois plans (toutes sauf plans Positions relatives de trois plans (toutes sauf plans

qui ont un seul point commun)qui ont un seul point commun) Dépendance linéaire de trois vecteurs…Dépendance linéaire de trois vecteurs…

1919


La subordination de la géométrie à l’algèbre linéaire représente une La subordination de la géométrie à l’algèbre linéaire représente une économie de pensée énorme : e.a. les notions d’orthogonalité et de économie de pensée énorme : e.a. les notions d’orthogonalité et de distance prennent un sens plus large et s’étendent aux espaces distance prennent un sens plus large et s’étendent aux espaces fonctionnels (distance chez Fréchet)fonctionnels (distance chez Fréchet)

mais cette subordination se paie du prix de définitions absconses et d’une mais cette subordination se paie du prix de définitions absconses et d’une absence d’articulation entre modélisation et déductionabsence d’articulation entre modélisation et déduction

2020

Problèmes didactiques soulevés par la subordination Problèmes didactiques soulevés par la subordination de la géométrie analytique 3D à l’algèbre linéairede la géométrie analytique 3D à l’algèbre linéaire

Schéma standard :Schéma standard : on définit la droite et le plan de manière vectorielleon définit la droite et le plan de manière vectorielle on en « déduit » une écriture paramétrique, puis une écriture on en « déduit » une écriture paramétrique, puis une écriture

cartésiennecartésienne

Plusieurs observations montrent que ce schéma soulève Plusieurs observations montrent que ce schéma soulève des difficultés d’apprentissage habituellement non des difficultés d’apprentissage habituellement non gérées (Lebeau) et que les registres cartésien et gérées (Lebeau) et que les registres cartésien et paramétrique doivent être travaillés pour eux-mêmesparamétrique doivent être travaillés pour eux-mêmes

2121


L’équation y - 2x - 1 = 0 est celle d’une droite. Or, on L’équation y - 2x - 1 = 0 est celle d’une droite. Or, on cherche l’équation d’un plan. Où est l’erreur de calcul ?cherche l’équation d’un plan. Où est l’erreur de calcul ?

Pourquoi faut-il deux équations cartésiennes pour une Pourquoi faut-il deux équations cartésiennes pour une droite ? On pourrait n’en faire qu’une seuledroite ? On pourrait n’en faire qu’une seule

« x = 3 » est la solution d’une équation et pas une « x = 3 » est la solution d’une équation et pas une équationéquation

Je n’ai pas les mêmes équations paramétriques que Je n’ai pas les mêmes équations paramétriques que mon voisin. Qui a juste ?mon voisin. Qui a juste ?

On ne comprend pas ce que faites pour vérifier la On ne comprend pas ce que faites pour vérifier la coplanarité de 4 pointscoplanarité de 4 points

Qui dit que l’addition de 2 vecteurs de l’espace ne Qui dit que l’addition de 2 vecteurs de l’espace ne conduit pas à un « parallélogramme gauche » ?conduit pas à un « parallélogramme gauche » ?

2222


Essai d’un projet d’enseignement où l’on Essai d’un projet d’enseignement où l’on travaille d’abord les registres cartésien et travaille d’abord les registres cartésien et paramétrique pour « remonter » ensuite au paramétrique pour « remonter » ensuite au vectorielvectoriel

Questions de démarrageQuestions de démarrage Décrivez l’ensemble des points de « l’espace » dont Décrivez l’ensemble des points de « l’espace » dont

les coordonnées (x,y,z) vérifient l’équation :les coordonnées (x,y,z) vérifient l’équation :

y = -3/2 x + 3y = -3/2 x + 3 Donnez une équation du plan OxyDonnez une équation du plan Oxy

2323


Réactions à l’équation y = -3/2 x + 3Réactions à l’équation y = -3/2 x + 3 Une première interprétation en termes de droitesUne première interprétation en termes de droites Un questionnement sur l’absence de z qui Un questionnement sur l’absence de z qui

conduit à un débat sur le sens d’une équation conduit à un débat sur le sens d’une équation comme contrainte (vs étiquette)comme contrainte (vs étiquette)

Un passage à l’espace par mouvement, Un passage à l’espace par mouvement, empilement ou projectionempilement ou projection

2424


Réactions à l’équation y = -3/2 x + 3Réactions à l’équation y = -3/2 x + 3 Certains élèves continuent à interpréter cette Certains élèves continuent à interpréter cette

équation comme celle d’une droite : cela reste équation comme celle d’une droite : cela reste pour eux l’équation d’une droite « qui bouge » pour eux l’équation d’une droite « qui bouge »

2525


Réactions à la recherche de l’équation du plan OxyRéactions à la recherche de l’équation du plan Oxy Difficulté à concevoir la questionDifficulté à concevoir la question Difficulté à penser que la liberté ne s’exprime Difficulté à penser que la liberté ne s’exprime

pas :pas :

2626


Le discours sur le nombre de degrés de liberté Le discours sur le nombre de degrés de liberté est intéressant mais suppose un apprentissage est intéressant mais suppose un apprentissage en amont qui permettra aux élèves de sortir en amont qui permettra aux élèves de sortir d’une conception « étiquette » pour rentrer dans d’une conception « étiquette » pour rentrer dans la perspective des contraintes et libertés (ces la perspective des contraintes et libertés (ces dernières étant « muettes »)dernières étant « muettes »)

Ce changement de conception doit exister en Ce changement de conception doit exister en analyse aussianalyse aussi

2727

Une remontée de la géométrie Une remontée de la géométrie analytique à l’algèbre linéaireanalytique à l’algèbre linéaire

Eviter la lourdeur des calculs sur les coordonnéesEviter la lourdeur des calculs sur les coordonnées

Notation « bipoint » vs notation « vecteur » Notation « bipoint » vs notation « vecteur »

2828

Une remontée de la géométrie analytique Une remontée de la géométrie analytique à l’algèbre linéaireà l’algèbre linéaire

« « Vecteur Vecteur : Elément d’un espace vectoriel […] : Elément d’un espace vectoriel […] (Exemples: polynôme, matrice carrée, fonction de classe (Exemples: polynôme, matrice carrée, fonction de classe C1 sur R, progression arithmétique, éléments de RC1 sur R, progression arithmétique, éléments de R22 ou ou de Rde R33 appelés vecteurs géométriques). […] Pendant appelés vecteurs géométriques). […] Pendant longtemps, on appela vecteurs liés des couples de longtemps, on appela vecteurs liés des couples de points de Rpoints de R22 (ou des triplets de R (ou des triplets de R33) et vecteurs libres ) et vecteurs libres leurs classes modulo l’équipollence. Aujourd’hui la leurs classes modulo l’équipollence. Aujourd’hui la terminologie s’est précisée; les vecteurs liés (qui ne sont terminologie s’est précisée; les vecteurs liés (qui ne sont pas des vecteurs !) sont désormais appelés bipoints, le pas des vecteurs !) sont désormais appelés bipoints, le mot vecteur étant réservé aux vecteurs libres »mot vecteur étant réservé aux vecteurs libres » (Bouvier (Bouvier et al., Dictionnaire des mathématiques, PUF, 7et al., Dictionnaire des mathématiques, PUF, 7ee édition édition de 2005)de 2005)

2929

Une remontée de la géométrie analytique Une remontée de la géométrie analytique à l’algèbre linéaireà l’algèbre linéaire

Expressions ambiguës ou sujettes à glissement Expressions ambiguës ou sujettes à glissement mental dans l’apprentissage : vecteurs liés, mental dans l’apprentissage : vecteurs liés, vecteurs égaux, vecteurs consécutifs, vecteurs vecteurs égaux, vecteurs consécutifs, vecteurs parallèles, … parallèles, …

D’où la nécessité de ménager un apprentissage D’où la nécessité de ménager un apprentissage qui permette de voir des triplets de points de qui permette de voir des triplets de points de manières multiples (coordonnées, variations de manières multiples (coordonnées, variations de position, vecteur directeur, …)position, vecteur directeur, …)

3030


Efficacité de la notation « bipoint » grâce au concept de Efficacité de la notation « bipoint » grâce au concept de barycentre qui permet de situer un point par rapport à barycentre qui permet de situer un point par rapport à d’autres sans devoir privilégier une origined’autres sans devoir privilégier une origine

3131


Ici, les écritures vectorielles sont censées modéliser les Ici, les écritures vectorielles sont censées modéliser les écritures paramétriques ou cartésiennesécritures paramétriques ou cartésiennes

Dans la transposition didactique standard, le passage du Dans la transposition didactique standard, le passage du vectoriel au paramétrique et au cartésien n’est pas vectoriel au paramétrique et au cartésien n’est pas vraiment justifié dans l’enseignement secondaire. Il vraiment justifié dans l’enseignement secondaire. Il manque une pièce du montage déductif : manque une pièce du montage déductif : Tout espace Tout espace vectoriel E de dimension finie sur un champ K est vectoriel E de dimension finie sur un champ K est isomorphe à l’espace Kisomorphe à l’espace Knn des coordonnées (par rapport à des coordonnées (par rapport à une base donnée de E)une base donnée de E)

On observe une praxéologie « à trous » (Rouy) : on On observe une praxéologie « à trous » (Rouy) : on laisse tomber les maillons du schéma déductif qui laisse tomber les maillons du schéma déductif qui semblent trop difficiles pour les élèvessemblent trop difficiles pour les élèves

3232


Dans une praxéologie « modélisation », les tâches Dans une praxéologie « modélisation », les tâches majeures consistent à déterminer des grandeurs, majeures consistent à déterminer des grandeurs, mouvements, objets géométriques, … sur base mouvements, objets géométriques, … sur base d’intuitions premières et avec les techniques les plus d’intuitions premières et avec les techniques les plus commodes. Ces techniques servent, en fin de parcours, commodes. Ces techniques servent, en fin de parcours, à définir les objets modélisésà définir les objets modélisés

Dans une praxéologie « déduction », ces mêmes Dans une praxéologie « déduction », ces mêmes définitions servent, avec des axiomes bien « choisis », définitions servent, avec des axiomes bien « choisis », de point de départ à un développement déductifde point de départ à un développement déductif

Les praxéologies « modélisation » relève d’un premier Les praxéologies « modélisation » relève d’un premier niveau de rationalité mathématique encore peu identifié niveau de rationalité mathématique encore peu identifié (Rouy)(Rouy)

Documents

1 Didactique des mathématiques : la théorie anthropologique du didactique (Y. Chevallard) 3 e partie Maggy Schneider Université de Liège