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Présentation de la méthode des Eléments

Finis

Dr. BELAKROUM RASSIM

Université Kasdi Merbah, OuarglaFaculté des sciences, de technologie et des sciences de la matièreDépartement de Génie Mécanique

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1. IntroductionEn analyse numérique, la méthode des éléments finis est utilisée

pour résoudre numériquement des équations aux dérivées

partielles. Celles-ci peuvent par exemple représenter le

comportement dynamique de certains systèmes physiques

(mécaniques, thermodynamiques, acoustiques, etc.).

4

2. Concepts de base de la méthode des éléments finis

Figure1. Concepts de base de la méthode des éléments finis

Un domaine 2D

Un élément fini à trois nœuds

Représentation d’une partie du maillage

5

est le champ de variable qu’on doit calculer à chaque point

P(x,y) du domaine de façon à ce qu’une équation gouvernant le

problème soit satisfaite de façon exacte.

En pratique, les équations différentielles ainsi que la géométrie du

domaine de calcul peuvent être complexes et dire même impossibles

à résoudre de façon exacte par les moyens mathématiques actuels.

En conséquence, les méthodes d’approximation des solutions se

basant sur des techniques numériques sont souvent utilisées en

engineering. La méthode des éléments finis est une approche très

robuste pour obtenir des solutions approximatives avec un degré de

précision acceptable.

6

Figure 2. Modélisation en éléments finis

7

Figure 3. Model en éléments finis d’une paroi mince cylindrique

8

3. La méthode des résidus pondérés

La méthode des résidus pondérés est une technique d’approximation

de la solution de problèmes aux frontières utilisant des fonctions test

satisfaisant les conditions aux limites imposées et une formulation

intégrale pour minimiser l’erreur dans un sens moyen sur le

domaine de définition du problème.

Nous allons décrire en premier lieu le concept de base pour le cas

unidimensionnel (1D). Pour une équation différentielle de forme

générale:

Cas 1D

9

La méthode des résidus pondérés recherche une approximation de

la solution de forme:

Fonctions tests

Approximation de la solution

Paramètres inconnus

Et comme conditions aux limites:

10

Après substitution de la solution proposée dans l’équation

différentielle, parait une erreur résiduelle.

Résidu

Notons que le résidu R(x) et aussi fonction des paramètre

inconnus Ci de telle sorte que:

: Représente « n » fonctions poids arbitraires.

« n » équations

algébriques

11

Plusieurs variantes de la méthode des résidus pondérés existent

et les techniques varient principalement dans la manière dont

les fonctions poids -ou de pondération- sont déterminées ou

sélectionnées. Les techniques les plus courantes sont:

colocation par point, colocation par sous-domaine, moindres

carrés, et de Galerkin.

Dans la méthode de Galerkin, les fonctions de pondération sont

choisis pour être identique aux fonctions d'essai –ou test-.

12

Par conséquent, les paramètres inconnus sont déterminés par:

Nous obtenons « n » équations algébriques pour l'évaluation des paramètres inconnus.

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Exemple 1:

Utilisez la méthode de Galerkin pour obtenir une solution

approchée de l'équation différentielle suivante:

Avec les conditions aux limites:

Solution:En utilisant une seule fonction d’essai, la forme la plus simple

satisfaisant les conditions aux limites est:

14

On peut écrire donc que:

Ce qui conduit après intégration à:

Pour ce problème relativement simple, on pourrait obtenir la

solution exacte suivante:

Figure 4. Comparaison des deux solutions exacte et approchée

15

On utilisant les deux fonctions d’essai suivantes:

On trouve comme solution approchée:

Figure 5. Comparaison des solutions exacte, approchée à une fonction d’essai et à deux fonctions d’essai

16

Cas 2DLa forme générale d’une équation différentielle en 2D peut s’écrire

sous la forme:

Où -f - c’est un opérateur différentiel

Par exemple:

La solution approchée est celle satisfaisant l’intégrale suivante:

: Fonctions de pondération

17

Afin assurer une bonne approximation, le domaine du problème est

divisé en sous-domaines plus petits dit aussi éléments.

Figure 6. Division du domaine du problème étudié en éléments.

18

Dans chaque élément la solution est supposée:

Fonctions de forme ou d’approximation

En utilisant la méthode de Galerkin, le résidu est calculé à chaque

élément par:

Finalement pour résoudre le problème, on force le résidu ainsi calculé

à s’annuler. =0

19

4.La méthode de Galerkin au niveau des élémentsle concept de minimisation de l'erreur résiduelle (résidus pondérés)

est facilement adapté au contexte des éléments finis en utilisant

l'approche de Galerkin. A des fins d'illustration, nous considérons

l'équation différentielle suivante:

Comme condition aux limites nous avons:

20

Le domaine du problème est divisé en M "éléments" (figure 6)

délimité par M + 1 valeurs xi de la variable indépendante. de sorte

que x1 = XA et XM +1= XB afin d'assurer l'inclusion des limites

globales.

Figure 6. domaine discrétisé en M éléments

21

Une solution approximative est supposé de forme:

où yi est la valeur de la fonction solution à x = xi et ni (x) est

une fonction d'essai correspondante.

Notez que, dans cette approche, les paramètres inconnus constanteCI de la méthode des résidus pondérés deviennent inconnus des valeurs discrètes de la fonction solution évaluée à des points spécifiques du domaine. Il existe également une différence majeure dans les fonctions d'essai (ou test). Tel qu'utilisé dans les exemples précédant, les fonctions d'essai Ni (x) sont non nuls que sur une petite portion du domaine du problème. Plus précisément, une fonction d'essai ni (x) est non nul seulement dans l'intervalle xi-1 <x <xi +1

22

Figure 7. les quartes premières fonctions de test.

par souci d'illustration, nous

utilisons des fonctions linéaires

définies comme suit:

23

Dans l'intervalle x2 ≤ x ≤ x3, par exemple, la solution approchée est

donnée par:

En remplaçant de la solution supposée dans l'équation différentielle,

on trouve:

En utilisant la méthode de Galerkin:

24

L’équation précédente peut être exprimé comme:

Matrice de rigidité Vecteur des

déplacements nodales

Vecteur des chargements

Système d’équation

s algébrique

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4.1. Formulation au niveau élémentaire

Nous proposons une solution approximative de la forme:

Où l’exposant (e) indique que la solution est pour l'élément.La méthode de Galerkin donne:

26

Après intégration par partie, on trouve:

27

L’intégration par partie présente trois avantages:

Le plus grand ordre des dérivés paraissant dans les équations

de l'élément a été réduit de un.

Si nous n'avions pas effectué une intégration par partie, dans

chaque équation l'unes des fonctions d'essai serait dérivées

deux fois alors que d’autres ne le seront pas du tout.

l’intégration par parties introduit les conditions aux limites de

gradient au niveau des nœuds de l’élément. La signification

physique des conditions aux limites de gradient devient

apparente dans les applications physiques ultérieures.

28

Posons j = 1 pour simplifier la notation:

Qui est de la forme:

29

Il est important d'observer que, durant le processus d'assemblage,

lorsque deux éléments sont liés à un nœud commun comme dans la

figure 8, par exemple, l'équation du système assemblé pour ce nœud

contient un terme sur le côté droit de la forme:

Figure 8. Deux éléments raccordés au même nœud

30

Néanmoins, dans la procédure d'assemblage, il est supposé que, à

tous les nœuds intérieurs, les termes de gradient sont égaux et

opposés à partir des éléments adjacents et ainsi annuler à moins

qu'une influence extérieure agit au niveau du nœud. Toutefois, aux

nœuds des frontaliers globales, les termes de gradient peuvent

spécifier les conditions aux limites ou représenter les réactions

obtenus à la phase de résolution.

Si la solution d’éléments finis donnait une solution exacte, les

dérivées premières de chaque élément indiqué dans l'expression

serait égales et la valeur de l'expression serait nulle. Toutefois, les

solutions par éléments finis sont rarement exactes de sorte que ces

termes ne sont pas, en général, zéro.

31

Exemple 2:

Utiliser la méthode de Galerkin afin de résoudre l’équation

différentielle suivante:

Sachant que:

Solution:Mathématiquement l’équation diff peut se mettre sous la forme:

Solution exacte

32

En éléments finis, on peut écrire:

Valeurs nodales

L’équation des résidus pondérés s’écrit:

Après intégration du premier terme:

33

34

L’intégration des termes sur la gauche de l’équation précédente

révèle la matrice de rigidité élémentaire.

Pour illustration, une solution à deux éléments est formulée en

prenant des nœuds régulièrement espacés à x = 1; 1,5 ; 2.

Elément 1

35

Elément 2

Les équations de chaque élément

sont alors

36

Le système assemblé s’écrit:

En appliquant les conditions aux limites

37

De nouveau pour le même exemple utilisant un maillage de 5

nœuds également espacées:

Le système d’équation résultant est:

38

Figure 9. Solution avec deux éléments, solution

avec quatre éléments et la solution exacte.

39

4.2. ApplicationsTransferts thermiques

40

Conduction unidimensionnelle

Figure 10. Cas de conduction 1D

41

Le principe de conservation d’énergie est appliqué pour obtenir

l’équation gouvernant le phénomène de conduction.

42

Pour le cas d’une conduction stationnaire, on trouve:

La méthode de Galerkin est appliquée à cette dernière équation. Un élément à deux nœuds avec une interpolation linéaire est utilisé. Par conséquent la distribution de la température dans l’élément est exprimée par:

T1 et T2 sont les températures aux nœudsN1 et N2 sont les fonctions d’interpolation

43

En intégrant le premier terme par partie, on trouve:

Donc:

44

On peut mettre les deux dernières équations sous forme matricielle comme suit:

[k] est la matrice de conductivité (rigidité) définie par:

45

46

Exemple 3:

Figure 11. tige de section circulaire

Une barre de section circulaire (Figure 11), d’un diamètre de 60mm, d’une longueur de 1m et parfaitement isolée sur sa circonférence. La moitié gauche est en Aluminium (kx=200W/m c°) et la moitié droite en Cuivre (ky=389W/m c°). Le bout droit du cylindre est maintenu à température constante t=80c°, alors que le bout gauche est sous l’effet d’un flux constant de 4000W/m2. En utilisant quatre éléments à longueur égale, déterminer la distribution de température stationnaire le long de la barre.

47

Pour les éléments en Aluminium 1 et 2, la matrice de conductivité s’écrit:

Pour les éléments en cuivre 3 et 4:

En appliquant les conditions aux limites T5=80°c et q1=4000w/m2 le système assemblé s’écrit:

48

49

En appliquant la température connue au nœud 5, les quatre première équations peuvent s’écrire sous la forme:

50

La cinquième équation est

En remplaçant par T4, on trouve:

51

Problème de transfert thermique en deux dimensions

Conduction bidimensionnelle avec convections sur faces et les cotés

Conduction bidimensionnelle avec convection surfacique

• Modèle mathématique

52

Si le problème est transitoire, on peut écrire:

C’est l'équation qui régit la conduction de la chaleur en deux dimensions avec source (où puits) et convection des deux surfaces du corps.

53

La distribution de température au niveau de chaque élément est

décrite par:

Fonctions d’interpolation

Par la méthode de Galerkin, on peut écrire:

• Discrétisation

54

Les deux premiers termes on peut les mettre comme suit:

Pour illustration, on considère un élément de forme

rectangulaire comme le montre la figure

Figure 12. Illustration de la chaleur aux frontières suivant la direction

ox.

55

Nous allons analyser le terme suivant:

Par intégration par partie suivant ox, nous obtenons:

56

Nous allons examiner le terme suivant:

Suivant la direction oy, nous avons:

57

Ces derniers résultats, basés sur le cas spécifique d'un élément

rectangulaire, sont destinés à montrer l’application d'une relation

générale connue comme le théorème de Green-Gauss qui

s’énonce comme suit:

Pour l’élément rectangulaire:

etNous obtenons:

58

Revenons à l’équation du résidu qui s’écrit dans ce cas:

À ce stade, nous allons passer à la notation matricielle.

59

Cette expression est de forme:

Avec

60

• Conditions aux limites

Figure 13. Les types de conditions aux limites pour une conduction bidimensionnelle avec convection

Température imposée constate

Flux de chaleur imposé constant

Convection

61

Sur la partie S1 de la frontière, la température est imposée

constante. Dans un modèle d’éléments finis, chaque nœud de

l’élément situé sur S1 a une température constante et les équations

d’équilibre correspondantes deviennent des équations de réaction.

La réaction dans ce cas est le flux de chaleur sur S1.

Un flux de chaleur constant est imposé sur la portion de la

frontière S2 (donc qs2=q*). Par conséquent, pour tous les nœuds sur

S2 nous avons:

62

Finalement sur la portion S3 de la frontière, une convection au bord.

Dans cette situation, la condition est exprimée par:

Notant que le côté droit de l'équation ci-dessus implique les

températures nodales, nous réécrivons l'équation:

Pour généralisation, on peut écrire:

Où:

63

Le système d’équation résultant est:

Où les éléments de la matrice de conductance (rigidité) sont données par:

64

Exemple 4:

Figure 14. Élément rectangulaire

Foncions d’interpolation en terme des coordonnées normalisées

r et s

Nous avons:

Déterminer la matrice de conductance pour un élément de forme rectangulaire à quatre nœuds. L’épaisseur est de 1in, la conductivité du matériau est et le coefficient d’échange convectif est

65

Solution

Les dérivées partielles en termes des coordonnées

normalisées , sont:

66

En notation indicielle:

67

En supposant que kx et ky sont des constantes, nous avons:

Les dérivés partielles nécessaires sont :

68

Noter que a = b, Nous obtenons par exemple:

La procédure d'intégration analytique utilisée pour déterminer K11 n'est pas la méthode utilisée par les solveurs basés sur les éléments finis. C’est plutôt une méthode numérique qui est utilisée (principalement la procédure de quadrature de Gauss).

69

5. Intégration numérique

(quadrature de Gauss)Les racines du polynôme de Legendre et les facteurs poids pour la quadrature de Gauss-

Legendre

70

Exemple 5

Utiliser la méthode de quadrature Gauss-Legendre à deux points

afin d’évaluer l’intégrale suivante :

Solution

La formule à deux points donne:

Nous avons

71

On trouve donc:

La solution exacte est comme suit:

Exemple 6

Utiliser la méthode de quadrature Gauss-Legendre à cinq points

afin d’approximer « ln 2 »:

72

Solution

Transformant la variable

Donc

73

La méthode de quadrature de Gauss donne:

Les calculs sont résumés ci-dessous:

74

Exemple 7

Nous allons reprendre l’exemple 4 en évaluant les intégrales

par la méthode de quadrature de Gauss.

75

6. Principe des coordonnées intrinsèques

Figure 15. Système de coordonnées locales pour un élément quadrilatère.

6.1. cas d’élément quadrilatère

76

Pour un élément quadrilatère avec des nœuds aux quatre

coins, les fonctions d’interpolation sont:

La transformation de coordonnées est réalisée comme suit :

Élément isoparamétrique

77

Les dérivés sont facilement convertis d'un système de coordonnées à l'autre par:

où [J] est la matrice Jacobienne.

78

Le déterminant de cette matrice, det |J| connu comme "Le

Jacobien", doit aussi être évalué, car il est utilisé dans les

intégrales transformées comme suit:

L'intégration numérique pour les quadrilatèresLes règles de quadrature en deux dimensions sont toutes de la

forme:

79

6.1. Cas d’élément triangulaire

Figure 16. (a) Elément triangulaire générale (b) Coordonnées intrinsèques pour élément triangulaire.

80

Les fonctions de forme pour un élément triangulaire à trois

nœuds prennent la forme:

et comme avant? la propriété isoparamétriques donne:

81

La règle pour évaluer les intégrales en coordonnées globales est:

L'intégration numérique pour les quadrilatères

L’intégration numérique sur un domaine triangulaire est:

82

7. Assemblage de plusieurs élémentsAu niveau élémentaire on suppose qu’on a le système qui

suivant:

Le système d’équation globale peut être écrite comme

83

Figure 17. Maillage en éléments quadrilatères

84

La matrice globale assemblée pour le maillage de la figure 8.

85

8. Introduction des conditions aux limites Le type le plus simple des conditions aux limites se produit

lorsque la variable dépendante s’annule à divers points du

domaine de calcul et donc à certains nœuds du maillage. Lorsque

cela se produit, les composantes de l’équation associée à ces

degrés de libertés ne sont pas nécessaires pour la solution et

l'information est donnée à la routine d'assemblage qui va

empêcher ces composantes d'être pris en considération dans le

système global. Une variante de ce premier cas se produit lorsque la variable

dépendante est connue, mais non nulle, à divers endroits (par

exemple φ = constante).

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Même si une procédure d'élimination peut être imaginé, la façon

dont cette condition est assurée dans la pratique, est en ajoutant

un grand nombre « disons 1020 » à la diagonale principale de la

matrice de rigidité dans la ligne à laquelle la valeur est connue. Le

terme à la même ligne du vecteur de coté droit (vecteur de

chargement) est ensuite fixé à la valeur prescrite multiplié par le

coefficient augmenté.

Par exemple la variable dépendante est connue et égale

Il est clair que cette procédure n’est réussie que si effectivement

«petits termes» sont faibles par rapport à 1020.

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Les conditions aux limites peuvent également impliquer des

gradients de l'inconnu suivant les formes:

où n est la normale à la frontière et C1, C2 sont des constantes.

Pour être plus spécifique, considérons le cas de l’équation de transportdiffusion – convection sous l’effet de ces trois dernières conditionsaux limites.

88

Après intégration par partie des termes de transport diffusif, on aura

les termes de forme:

Cosinus directeur à la frontière

La diffusivité thermique

Il est claire que le cas , ne présente aucune difficulté car

l'intégrale de contour s'annule et c'est la condition à la limite par

défaut obtenue à n'importe quel surface libre d'un maillage

d'éléments finis.

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Figure 18. Les conditions aux limites impliquant des gradients non-nulles de l'inconnu

90

La condition donne lieu à une intégrale supplémentaire qui est:

Où est développée comme [N] {φ} nous obtenons une matrice

supplémentaire:

qui doit être ajouté à partie gauche des équations.

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Pour la condition le terme additionnel est:

Qui doit être ajouté à la partie droite de l’équation.

92

9. Méthode de résolution des systèmes d’équations linéaires

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Matrice [K] symétrique et

définie positive

Matrice [K] non symétrique

Matrice [K] symétrique et non

définie positive

10. Algorithme de calcul en éléments finis

Exemple d’organigramme pour l'assemblage de la matrice de rigidité élément en utilisant l'intégration numérique

Pour tous les éléments Lire les coordonnées nodales de l’élément

Affecter la valeur zéro à la matrice de rigiditéo Pour tous les points d’intégration

Trouver les points d’intégration de Gauss, ainsi que les coefficients de pondération correspondants. Former les fonctions de forme et leurs dérivées par rapport au système de coordonnées locales Transformer les dérivées au système global Former le produit Pondérer cette contribution et ajouter là à la matrice de rigidité élémentaire

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MERCI POUR VOTRE ATTENTION