1장 방정식, 부등식과 함수 11장 장 방정식방정식, , , 부등식과 …rg.wonkwang.ac.kr/teaching/chapter01.pdf1장 방정식, 부등식과 함수 1.1 1변수 방정식과

1장 방정식, 부등식과 함수

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1111111111111111111111111111장 장 장 장 장 장 장 장 장 장 장 장 장 장 장 장 장 장 장 장 장 장 장 장 장 장 장 장 방정식방정식방정식방정식방정식방정식방정식방정식방정식방정식방정식방정식방정식방정식방정식방정식방정식방정식방정식방정식방정식방정식방정식방정식방정식방정식방정식방정식, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , 부등식과 부등식과 부등식과 부등식과 부등식과 부등식과 부등식과 부등식과 부등식과 부등식과 부등식과 부등식과 부등식과 부등식과 부등식과 부등식과 부등식과 부등식과 부등식과 부등식과 부등식과 부등식과 부등식과 부등식과 부등식과 부등식과 부등식과 부등식과 함수함수함수함수함수함수함수함수함수함수함수함수함수함수함수함수함수함수함수함수함수함수함수함수함수함수함수함수1장 방정식, 부등식과 함수

개요

1.1 1변수 방정식과 부등식을 대수학적으로 풀기

1.2 직각좌표계

1.3 방정식의 그래프 그리기의 소개

1.4 대칭성; 중요한 방정식의 그래프 그리기; 원

1.5 함수에 대한 첫걸음

1.6 함수의 그래프

1장 방정식, 부등식과 함수 1.1 1변수 방정식과 부등식을 대수학적으로 풀기

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1.1 1.1 1.1 1.1 1.1 1.1 1.1 1.1 1.1 1.1 1.1 1.1 1.1 1.1 1.1 1.1 1.1 1.1 1.1 1.1 1.1 1.1 1.1 1.1 1.1 1.1 1.1 1.1 1111111111111111111111111111변수 변수 변수 변수 변수 변수 변수 변수 변수 변수 변수 변수 변수 변수 변수 변수 변수 변수 변수 변수 변수 변수 변수 변수 변수 변수 변수 변수 방정식과 방정식과 방정식과 방정식과 방정식과 방정식과 방정식과 방정식과 방정식과 방정식과 방정식과 방정식과 방정식과 방정식과 방정식과 방정식과 방정식과 방정식과 방정식과 방정식과 방정식과 방정식과 방정식과 방정식과 방정식과 방정식과 방정식과 방정식과 부등식을 부등식을 부등식을 부등식을 부등식을 부등식을 부등식을 부등식을 부등식을 부등식을 부등식을 부등식을 부등식을 부등식을 부등식을 부등식을 부등식을 부등식을 부등식을 부등식을 부등식을 부등식을 부등식을 부등식을 부등식을 부등식을 부등식을 부등식을 1.1 1변수 방정식과 부등식을

대수학적으로 대수학적으로 대수학적으로 대수학적으로 대수학적으로 대수학적으로 대수학적으로 대수학적으로 대수학적으로 대수학적으로 대수학적으로 대수학적으로 대수학적으로 대수학적으로 대수학적으로 대수학적으로 대수학적으로 대수학적으로 대수학적으로 대수학적으로 대수학적으로 대수학적으로 대수학적으로 대수학적으로 대수학적으로 대수학적으로 대수학적으로 대수학적으로 풀기풀기풀기풀기풀기풀기풀기풀기풀기풀기풀기풀기풀기풀기풀기풀기풀기풀기풀기풀기풀기풀기풀기풀기풀기풀기풀기풀기대수학적으로 풀기

목표 1.1.1 변수 방정식을 대수학적으로 풀어라

1.1.2 제곱근방법을 사용하여 방정식을 풀어라

1.1.3 구간표시를 사용하라

1.1.4 부등식의 성질을 사용하라

1.1.5 변수 부등식을 대수학적으로 풀어라


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1변수 방정식

1.1.1 변수 방정식(equation in one variable)이란 적어도 하나의 변수를 포함하는

두 식이 같다는 명제를 말한다. 이 식들을 이 방정식의 변(side)들이라 한다. 방정식

은 명제함수(길잡이 B를 보라)이므로, 이것은, 변수의 값에 따라서, 참 또는 거짓일

수 있다. 아무런 제한이 없는 한, 변수가 택할 수 있는 값들은 이 변수의 정의역의

값들이다. 참인 명제가 되게 하는 변수가 택할 수 있는 값들을 이 방정식의 해

(solution) 또는 근(root)이라 한다. 방정식을 푼다(To solve an equation)는 것은

이 방정식의 모든 해를 구하는 것을 의미한다. 예로써, 다음은 모두 변수 의 방

정식이다 :


4

.

이들 명제 중 첫 번째, , 는 일 때 참이고 의 임의의 다른 선택에

대하여 거짓이다. 이때, 우리는 는 방정식 의 해 또는 는 방정식

를 만족한다(To satisfy)고 말한다. 왜냐면, 대신에 를 대입하면 이 결

과는 참인 명제이기 때문이다.

때때로 방정식은 두 개 이상의 해를 가질 것이다. 예로써, 방정식

은 해로써 과 을 갖는다.

보통, 우리는 방정식의 해를 집합표시로 쓸 것이다. 이 집합을 이 방정식의 해집합

(solution set)이라 한다. 예로써, 방정식 의 해집합은 다.


5

아무런 지적이 없을 때, 우리는 실수 해, 즉, 실수인 해로 제한할 것이다. 예로써,

는 실수해를 갖지 않는다. 왜냐면, 에 더해질 때 제곱이 와 같게 되는

실수가 존재하지 않기 때문이다.

양변이 정의되는 변수의 모든 선택에 대하여 만족되는 방정식을 항등식(identity)

이라 한다. 예로써, 방정식

는 항등식이다. 왜냐면, 이 명제는 임의의 실수 에 대하여 참이기 때문이다(길잡이

에서 전칭명제와 존재명제의 참․거짓 판정법을 상기하라).


6

정의 정의 정의 정의 정의 정의 정의 정의 정의 정의 정의 정의 정의 정의 정의 정의 정의 정의 1.1.11.1.11.1.11.1.11.1.11.1.11.1.11.1.11.1.11.1.11.1.11.1.11.1.11.1.11.1.11.1.11.1.11.1.1정의 1.1.1 같은 꼴 방정식

정확하게 같은 해집합을 갖는 두 개 이상의 방정식들을 같은 꼴 방정식(equivalent

equation)들이라 한다.

예로써, 다음의 모든 방정식들은 같은 꼴이다. 왜냐면, 각각은 꼭 하나의 해

을 갖기 때문이다 :

, , .

이 세 방정식들은 많은 꼴의 방정식들을 풀기 위한 하나의 방법을 설명하여 준다 :

원래 방정식을 같은 꼴 방정식으로 바꾸고, 과 같은 분명한 해를 갖는 방정식

에 도달할 때까지 계속한다. 그렇지만, “내가 어떻게 같은 꼴 방정식을 얻을까?”라

는 질문이 있을 수 있다. 일반적으로, 그렇게 하기 위하여 다섯 가지 단계가 있다.


7

단계 1 : 방정식의 양변을 바꾼다:

를 로 바꾼다.

단계 2 : 같은 항을 결합하고, 괄호를 없애는 등을 함으로써 방정식의 양변을

간단히 한다:

을 로 바꾼다.

단계 3 : 방정식의 양변에 같은 식을 더하거나 뺀다:

를 으로 바꾼다.

단계 4 : 영 아닌 같은 식을 방정식의 양변에 곱하거나 나눈다:

≠을

⋅

⋅로 바꾼다.

같은 꼴 방정식으로 끝나는 단계


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단계 5 : 방정식의 한 변이 이고 다른 변이 인수분해 될 수 있다면, 우리는

영-곱 성질을 사용하여 각 인수가 과 같게 할 수 있다:

을 또는 으로 바꾼다.

주목주목주목주목주목주목주목주목주목주목주목주목주목주목주목주목주목주목주목 방정식의 양변을 제곱하는 것이 반드시 같은 꼴 방정식을 유도하는 것은 아니

다.

여러분의 머릿속으로 방정식을 풀 수 있을 때는 언제나 그렇게 하라. 예로써,

의 해는 이다.

의 해는 다.

비록 그렇지만, 흔히, 몇 가지 재정돈이 필요하다. 다음의 두 보기에서, 같은 꼴 방

정식으로 끝나는 과정을 설명하기 위하여, 우리는 대수학적으로 풀 수 있게 되는 방

정식을 제시한다.


9

보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 1.1.1 1.1.1 1.1.1 1.1.1 1.1.1 1.1.1 1.1.1 1.1.1 1.1.1 1.1.1 1.1.1 1.1.1 1.1.1 1.1.1 1.1.1 1.1.1 1.1.1 1.1.1 보기 1.1.1 방정식의 풀이

방정식을 풀어라 : .

풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이 우리는 원래의 방정식을 연속인 같은 꼴 방정식들로 바꾼다.

양변에 를 더한다.

간단히 한다.

양변을 으로 나눈다.

. 간단히 한다.

마지막 방정식, 은 하나의 해 을 갖는다. 모든 방정식들은 같은 꼴이다. 그러


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므로, 은 원래 방정식, 의 꼭 하나의 해다.

확인확인확인확인확인확인확인확인확인확인확인확인확인확인확인확인확인확인확인 : 원래의 방정식에서 대신에 을 대입함으로써 해임을 확인하는 것은 좋은

연습이다.

?3

?

.

해임이 확인된다. ▣


11

다음의 보기에서, 우리는 영-곱 성질(앞쪽의 상자에 열거된 과정 5를 참고)을 사

용한다.

보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 1.1.2 1.1.2 1.1.2 1.1.2 1.1.2 1.1.2 1.1.2 1.1.2 1.1.2 1.1.2 1.1.2 1.1.2 1.1.2 1.1.2 1.1.2 1.1.2 1.1.2 1.1.2 보기 1.1.2 인수분해에 의한 방정식의 풀이

방정식을 풀어라 : (a) (b)

풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이

(a) 한 변으로 모든 항들을 모음으로써 시작한다. 이것은 한 변이 이 되게 한다.

인수분해 한다.

또는 영-곱 성질을 적용한다.

또는 .


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따라서 해집합은 다.

확인확인확인확인확인확인확인확인확인확인확인확인확인확인확인확인확인확인확인 : ⋅ 그러므로 은 해다.

⋅ 그러므로 는 해다.

(b) 여러분은 묶음에 의한 인수분해 방법을 상기하라.

(기억나지 않으면 보기 0.3.20과 0.3.21을 다시 복습하라). 우리는 다음과 같이

의 항들을 묶는다 :

첫째 묶음에서 이 인수고 둘째 묶음에서 가 인수다. 즉,

이것은 이 공통인수임을 드러낸다. 그래서,


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다시 인수분해 한다.

또는 또는 각 인수가 0과 같게 한다.

또는 또는 . 푼다.

그러므로 해집합은 이다.

확인확인확인확인확인확인확인확인확인확인확인확인확인확인확인확인확인확인확인 :

. 은 해다.

. 은 해다.

. 은 해다. ▣


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방정식을 대수학적으로 풀이하는 단계

단계 1 : 변수의 정의역에 대한 임의의 제한들을 열거한다.

단계 2 : 같은 꼴 방정식으로 끝나는 과정들에 따라서, 원래의 방정식을 연속

인 같은 꼴 방정식들로 바꿈으로써 원래의 방정식을 간단히 한다.

단계 3 : 단계 2의 결과가 과 같은 인수들의 곱이면, 영-곱 성질을 사용하

여 각 인수를 과 같게 한다(과정 5를 참고).

단계 4 : 여러분이 구한 해를 확인하라.


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제곱근 방법

1.1.2 방정식

를 우리가 풀고 싶다고 가정하자. 여기서 ≥ . 우리는 식 를 인수분해하고

영-곱 성질 사용하여 진행한다 :

를 양변에 더한다.

(실수 범위에서) 인수분해 한다.

또는 푼다.


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따라서 우리는 다음의 결과를 얻는다 :

정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 1.1.2 1.1.2 1.1.2 1.1.2 1.1.2 1.1.2 1.1.2 1.1.2 1.1.2 1.1.2 1.1.2 1.1.2 1.1.2 1.1.2 1.1.2 1.1.2 1.1.2 1.1.2 정리 1.1.2 (≥ )의 해

이고 ≥ 면, 또는 .

정리 1.1.2가 사용될 때, 정리 1.1.2를 제곱근방법(square root method)이라 한다. 정

리 1.1.2에서, ≥ 면 방정식 는 두 개의 해, 와 를 가짐에

주목하라. 우리는 보통 ±로 줄여 쓴다. 예로써, 다음의 방정식을 생각하자.

.

그러면 ± . 이므로, ±. 따라서 해집합은 이다.


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보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 1.1.3 1.1.3 1.1.3 1.1.3 1.1.3 1.1.3 1.1.3 1.1.3 1.1.3 1.1.3 1.1.3 1.1.3 1.1.3 1.1.3 1.1.3 1.1.3 1.1.3 1.1.3 보기 1.1.3 제곱근방법을 사용하는 방정식의 풀이

각 방정식을 풀어라 : (a) (b)


(a)

± 제곱근방법을 사용한다.

또는 .

따라서 해집합은 이다.


18

(b)

±

또는

또는

또는 .

따라서 해집합은 이다. ▣

비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 문제 문제 문제 문제 문제 문제 문제 문제 문제 문제 문제 문제 문제 문제 문제 문제 문제 문제 1.1.3 1.1.3 1.1.3 1.1.3 1.1.3 1.1.3 1.1.3 1.1.3 1.1.3 1.1.3 1.1.3 1.1.3 1.1.3 1.1.3 1.1.3 1.1.3 1.1.3 1.1.3 비슷한 문제 1.1.3 제곱근 방법에 의하여 방정식 를 풀어라.


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구간

1.1.3 와 는 인 두 실수라 가정하자. 우리는 표시 를 가 와

사이(between)의 수를 의미하는 것으로 사용할 것이다. 그래서, 식 는 두

부등식 이고 와 같은 꼴이다. 비슷하게, 식 ≤≤ 는 두 부등식

≤이고 ≤ 와 같은 꼴이다. 나머지 두 가능한 식, ≤ 와 ≤ 이

비슷하게 정의 된다.

비록 ≥≥로 쓰는 것이 인정될 수 있을지라도, 값이 더 작은 쪽에서 더 큰

쪽으로 가도록, 부등기호를 바꾸어서 ≤ ≤으로 대신하여 쓰는 것이 더 좋다.

≤≤과 같은 명제는 거짓이다. 왜냐면, ≤ 이고 ≤ 인 실수 가 존재

하지 않기 때문이다. 마지막으로, ≤ ≥에서처럼, 우리는 결코 부등기호를 혼합

해서는 안된다.


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와 는 인 두 실수라 하자.

(1) ≤≤ 인 모든 실수 들의 집합을 닫힌구간(closed interval)이라 하고

기호 로 쓴다. 따라서

는 실수고≤≤ .(2) 인 모든 실수 들의 집합을 열린구간(open interval)이라 하고

기호 로 쓴다. 따라서

는 실수고 .(3) ≤ 인 모든 실수 들의 집합과 ≤ 인 모든 실수 들의 집합

을 반-열린구간(half-open interval) 또는 반-닫힌구간(half-closed interval)

이라 하고 각각 기호 와 로 쓴다. 따라서

는 실수고 ≤ ,

는 실수고 ≤ .

정의 정의 정의 정의 정의 정의 정의 정의 정의 정의 정의 정의 정의 정의 정의 정의 정의 정의 1.1.3 1.1.3 1.1.3 1.1.3 1.1.3 1.1.3 1.1.3 1.1.3 1.1.3 1.1.3 1.1.3 1.1.3 1.1.3 1.1.3 1.1.3 1.1.3 1.1.3 1.1.3 정의 1.1.3 구간


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정의 1.1.3에서, 는 이 구간의 왼쪽끝점(left endpoint), 는 이 구간의 오른쪽끝점

(right endpoint)이라 한다.

(“무한대(infinity)”라고 읽는) 기호 ∞는 실수가 아니지만, 표시의 의도는 양의 방

향으로 끝없음을 가리키기 위하여 사용한다. (“음의 무한대(negative infinity)”라고

읽는) 기호∞는 역시 실수가 아니지만, 표시의 의도는 음의 방향으로 끝없음을 가

리키기 위하여 사용한다. 우리는 기호 ∞와 ∞을 사용하여 다른 다섯 종류의 구

간을 정의할 수 있다:


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∞ 는 실수고 ≥ 또는 는 실수고 ≤∞,

∞ 는 실수고 또는 는 실수고 ∞,

∞ 는 실수고 ≤ 또는 는 실수고 ∞≤,

∞ 는 실수고 또는 는 실수고 ∞

∞∞ 는 실수고 ∞∞

∞와 ∞는 실수가 아니므로, 이들은 결코 끝점으로 포함되지 않음에 주목하라.


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표 1.1.1은 부등식표시에 대응하는 구간 표시와 이들의 그래프를 요약한 내용이다.

표 1.1.1

구간 부등식 그래프열린구간 ( )

닫힌구간 ≤ ≤ [ ]

반닫힌구간 ≤ [ )

반열린구간 ≤ ( ]

구간 ∞ ≥ [

구간 ∞ (

구간 ∞ ≤ ]

구간 ∞ )

구간 ∞∞ 모든 실수


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보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 1.1.4 1.1.4 1.1.4 1.1.4 1.1.4 1.1.4 1.1.4 1.1.4 1.1.4 1.1.4 1.1.4 1.1.4 1.1.4 1.1.4 1.1.4 1.1.4 1.1.4 1.1.4 보기 1.1.4 구간표시를 사용하여 부등식을 쓰기

구간표시를 사용하여 각 부등식을 써라.

(a) ≤≤ (b) (c) (d) ≤


(a) ≤≤는 에서부터 까지의 모든 수 를 나타낸다.

따라서, 구간표시로, 우리는 를 쓴다.

(b) 구간표시로, 은 이다.

(c) 은 보다 큰 모든 수 로 이루어진다.

따라서, 구간표시로, 우리는 ∞로 쓴다.

(d) 구간표시로, ≤ 는 ∞다. ▣


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보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 1.1.5 1.1.5 1.1.5 1.1.5 1.1.5 1.1.5 1.1.5 1.1.5 1.1.5 1.1.5 1.1.5 1.1.5 1.1.5 1.1.5 1.1.5 1.1.5 1.1.5 1.1.5 보기 1.1.5 부등식표시를 사용하여 구간을 쓰기

각 구간을 를 포함하는 구간으로 써라.

(a) (b) ∞ (c) (d) ∞

풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이 (a) ≤

(b) 또는 ∞

(c) ≤≤

(d) ≤ 또는 ∞≤ ▣


26

비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 문제 문제 문제 문제 문제 문제 문제 문제 문제 문제 문제 문제 문제 문제 문제 문제 문제 문제 1.1.5 1.1.5 1.1.5 1.1.5 1.1.5 1.1.5 1.1.5 1.1.5 1.1.5 1.1.5 1.1.5 1.1.5 1.1.5 1.1.5 1.1.5 1.1.5 1.1.5 1.1.5 비슷한 문제 1.1.5 다음 각 물음에 답하라.

(a) 그림 1.1.1에서, 빨강색으로 보이는 그래프를 구간 표시를 사용하여 나타내라.

역시 를 포함하는 부등식으로 나타내라.

(b) 부등식 ≤ 을 구간표시로 쓰고, 실직선을 사용하여 설명하라.

(c) 구간 를 를 포함하는 부등식으로 쓰고, 실직선을 사용하여 설명하라.

그림 1.1.1


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부등식의 성질

1.1.4 두 양의 실수의 곱은 양, 두 음의 실수의 곱은 양이고, 과 의 곱은 이다.

임의의 실수 에 대하여, 의 값은 또는 양이다. 은 음이 아니다. 이것을 음

아닌 성질(nonnegative property)이라 한다.

정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 1.1.4 1.1.4 1.1.4 1.1.4 1.1.4 1.1.4 1.1.4 1.1.4 1.1.4 1.1.4 1.1.4 1.1.4 1.1.4 1.1.4 1.1.4 1.1.4 1.1.4 1.1.4 정리 1.1.4 음 아닌 성질

임의의 실수 에 대하여, ≥.

우리가 부등식의 양변에 같은 수를 더하면, 우리는 같은 꼴 부등식을 얻는다. 예

로써, 이므로, 또는 이다. 이것을 부등식의 덧셈성질

(addition property)이라 한다.


28

정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 1.1.5 1.1.5 1.1.5 1.1.5 1.1.5 1.1.5 1.1.5 1.1.5 1.1.5 1.1.5 1.1.5 1.1.5 1.1.5 1.1.5 1.1.5 1.1.5 1.1.5 1.1.5 정리 1.1.5 부등식의 덧셈성질

와 는 임의의 실수라 하자.

(1) 면, . (2) 면, .

부등식의 덧셈성질은 같은 수가 부등식의 양변에 더해지면 부등식의 방향이 변하

지 않고 유지된다는 것을 설명해 준다. 그림 1.1.2는 덧셈성질 (1)을 설명한다. 그림

1.1.2 (a)에서, 우리는 가 의 왼쪽에 있음을 안다. 면, 와 는 각각

와 의 오른쪽으로 단위의 위치에 있다. 결과적으로, 는 의 왼쪽에 있다;

즉, . 그림 1.1.2 (b)는 가 음인 경우를 설명한다.


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• • •• • • ••

단위

단위

단위 단위

(a) 이고 이면 (b) 이고 이면 .

그림 1.1.2

주목 덧셈성질 (2)를 설명하는 그림 1.1.2와 비슷한 설명을 해줄 그림을 그려보라.


30

보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 1.1.6 1.1.6 1.1.6 1.1.6 1.1.6 1.1.6 1.1.6 1.1.6 1.1.6 1.1.6 1.1.6 1.1.6 1.1.6 1.1.6 1.1.6 1.1.6 1.1.6 1.1.6 보기 1.1.6 부등식의 덧셈성질

(a) 이면, 또는 .

(b) 이면, 또는 . ▣

이제 우리는 두 개의 보기를 사용하여 다음의 성질에 도달할 것이다.

보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 1.1.7 1.1.7 1.1.7 1.1.7 1.1.7 1.1.7 1.1.7 1.1.7 1.1.7 1.1.7 1.1.7 1.1.7 1.1.7 1.1.7 1.1.7 1.1.7 1.1.7 1.1.7 보기 1.1.7 부등식에 양수를 곱하기

부등식 의 각 변에 을 곱한 결과를 부등식으로 나타내라.

풀이 우리는 부등식

에서 시작한다. 각 변에 을 곱하여 수 과 를 얻는다. 그러므로 . ▣


31

보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 1.1.8 1.1.8 1.1.8 1.1.8 1.1.8 1.1.8 1.1.8 1.1.8 1.1.8 1.1.8 1.1.8 1.1.8 1.1.8 1.1.8 1.1.8 1.1.8 1.1.8 1.1.8 보기 1.1.8 부등식에 음수를 곱하기

부등식 의 각 변에 를 곱한 결과를 부등식으로 나타내라.

풀이 우리는 부등식

에서 시작한다. 각 변에 를 곱하여 수 와 을 얻는다.

그러므로 ▣

의 양변에 음수 를 곱하는 효과는 부등기호의 방향이 반대가 됨에 주목

하라.

보기 1.1.7과 1.1.8은 부등식에 대한 다음의 일반적인 곱 성질(multiplication pro-

perty)을 설명한다.


32

정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 1.1.6 1.1.6 1.1.6 1.1.6 1.1.6 1.1.6 1.1.6 1.1.6 1.1.6 1.1.6 1.1.6 1.1.6 1.1.6 1.1.6 1.1.6 1.1.6 1.1.6 1.1.6 정리 1.1.6 부등식의 곱 성질

와 는 임의의 실수라 하자.

(1a) 고 면, . (1b) 고 면, .

(2a) 고 ≻ 면, . (2b) 고 면, .

부등식의 곱 성질은 각 변이 양의 실수로 곱해지면 부등식의 방향이 같게 유지되

고, 반면에, 각 변이 음의 실수로 곱해지면 부등식의 방향이 반대된다는 것을 설명

한다.


33

보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 1.1.9 1.1.9 1.1.9 1.1.9 1.1.9 1.1.9 1.1.9 1.1.9 1.1.9 1.1.9 1.1.9 1.1.9 1.1.9 1.1.9 1.1.9 1.1.9 1.1.9 1.1.9 보기 1.1.9 부등식의 곱 성질

(a) 이면,

또는 .

(b)

이면,

또는 .

(c) 면,

또는 .

(d) 이면,

또는 . ▣

비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 문제 문제 문제 문제 문제 문제 문제 문제 문제 문제 문제 문제 문제 문제 문제 문제 문제 문제 1.1.9 1.1.9 1.1.9 1.1.9 1.1.9 1.1.9 1.1.9 1.1.9 1.1.9 1.1.9 1.1.9 1.1.9 1.1.9 1.1.9 1.1.9 1.1.9 1.1.9 1.1.9 비슷한 문제 1.1.9 면, . 옳은 부등기호로 빈 칸을 채워라.


34

부등식의 풀이

1.1.5 변수 부등식(inequality in one variable)이란, 부등기호 ≤ 또는 ≥

중의 하나로 분리되는, 적어도 하나의 변수를 포함하는 두 식으로 이루어진 명제를

말한다. 부등식을 푼다(To solve an inequality)는 뜻은 이 명제가 참이 되는 변수

의 모든 값을 구하는 것을 의미한다. 이와 같은 값들을 이 부등식의 해(solution)라

한다. 예로써, 다음은 변수 를 포함하는 부등식이다 :

≥ ≤

꼭 같은 해집합을 갖는 부등식을 같은 꼴 부등식(equivalent inequality)이라 한

다. 방정식과 마찬가지로, 부등식을 푸는 하나의 방법은, 와 같은 분명한 해를

갖는 부등식이 얻어질 때까지, 주어진 부등식을 계속되는 같은 꼴 부등식들로 바꾸


35

는 것이다. 우리는 같은 꼴 방정식을 구하기 위하여 사용되는 연산들과 같은 연산들

을 몇 번 적용함으로써 같은 꼴 부등식들을 얻는다. 정리 1.1.5와 1.1.6은 다음단계의

기초를 구성한다.

부등기호를 변화시키지 않는 단계

단계 1 : 같은 항을 결합하고 괄호를 없앰으로써 부등식의 양변을 간단히 한다 :

을 로 바꾼다.

단계 2 : 부등식의 양변에 같은 식을 더하거나 뺀다 :

를 으로 바꾼다.

단계 3 : 부등식의 양변에 같은 양의 식으로 곱하거나 나눈다 :

를

로 바꾼다.


36

부등기호의 방향을 반대로 하는 단계

단계 1 : 부등식의 양변을 바꾼다 :

대신 로 바꾼다.

단계 2 : 부등식의 양변에 음의 식으로 곱하거나 나눈다 :

대신에

로 바꾼다.

다음에 설명하는 보기들과 같이, 우리가 방정식을 풀기 위하여 사용했던 것과 같

은 많은 단계를 사용하여 우리는 부등식을 푼다. 부등식의 해를 쓰는데 있어서, 우

리는 편리한대로 집합표시 또는 부등식표시를 사용할 수 있다.


37

보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 1.1.10 1.1.10 1.1.10 1.1.10 1.1.10 1.1.10 1.1.10 1.1.10 1.1.10 1.1.10 1.1.10 1.1.10 1.1.10 1.1.10 1.1.10 1.1.10 1.1.10 1.1.10 보기 1.1.10 부등식의 풀이

부등식 ≥을 풀고 해집합의 그래프를 그려라.

풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이 ≥

≥ 양변에서 7을 뺀다.

≥ 간단히 한다.

≥ 양변에서 를 뺀다.

≥ 간단히 한다.

≥

양변을 2로 나눈다.

(부등기호의 방향은 변하지 않는다.)

≥. 간단히 한다.


38

따라서 해집합은 ≥ 또는 ∞. 이 해집합의 그래프에 대해서 그림

1.1.3을 보라. ▣

그림 1.1.3

비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 문제 문제 문제 문제 문제 문제 문제 문제 문제 문제 문제 문제 문제 문제 문제 문제 문제 문제 1.1.10 1.1.10 1.1.10 1.1.10 1.1.10 1.1.10 1.1.10 1.1.10 1.1.10 1.1.10 1.1.10 1.1.10 1.1.10 1.1.10 1.1.10 1.1.10 1.1.10 1.1.10 비슷한 문제 1.1.10 부등식 을 풀어라. 답을 구간표시 또는 집합표시로 써

라. 해집합의 그래프를 그려라.


39

보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 1.1.11 1.1.11 1.1.11 1.1.11 1.1.11 1.1.11 1.1.11 1.1.11 1.1.11 1.1.11 1.1.11 1.1.11 1.1.11 1.1.11 1.1.11 1.1.11 1.1.11 1.1.11 보기 1.1.11 결합된 부등식의 풀이

부등식 을 풀고 해집합의 그래프를 그려라.

풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이 부등식

는 다음 두 부등식과 같은 꼴이다 :

이고 .

우리는 이들 두 부등식을 분리하여 각각 풀 것이다.


40

양변에 2를 더한다.

간단히 한다.

양변에 3으로 나눈다.

. 간단히 한다.

주어진 부등식의 해집합은

이고

인 모든 로 이루어진다. 이것을 더욱 완벽하게 로 쓸 수 있다. 구

간 표시에서, 해는 이다. 해집합에 대한 그래프에 대하여 그림 1.1.4를 보라.

▣


41

(

그림 1.1.4

)

우리가 풀었던 두 부등식은 꼭 같은 단계를 필요로 함을 보기 1.1.11의 대수학적

풀이에서 관찰된다. 원래의 부등식을 대수학적으로 짧게 푸는 것은 다음과 같이 동

시에 두 부등식을 다루는 것이다 :

각 부분에 2를 더한다.

간단히 한다.

각 부분을 3으로 나눈다.

. 간단히 한다.

1장 방정식, 부등식과 함수 1.2 직각좌표게

42

1.2 1.2 1.2 1.2 1.2 1.2 1.2 1.2 1.2 1.2 1.2 1.2 1.2 1.2 1.2 1.2 1.2 1.2 1.2 1.2 1.2 1.2 1.2 1.2 1.2 1.2 1.2 1.2 직교좌표계직교좌표계직교좌표계직교좌표계직교좌표계직교좌표계직교좌표계직교좌표계직교좌표계직교좌표계직교좌표계직교좌표계직교좌표계직교좌표계직교좌표계직교좌표계직교좌표계직교좌표계직교좌표계직교좌표계직교좌표계직교좌표계직교좌표계직교좌표계직교좌표계직교좌표계직교좌표계직교좌표계1.2 직교좌표계

목표 1.2.1 거리공식을 사용하라

1.2.2 중점공식을 사용하라


43

우리는 한 점에 이 점의 좌표라 부르는 하나의 실수를 할당함으로써 실직선 위에

이 점의 위치를 정한다. 차원 평면에서 연구를 위하여, 우리는 두 실수를 사용함으

로써 평면 위의 점의 위치를 정한다.

우리는 같은 평면에 있는 두 직선에서 시작 한다 : 하나는 가로 직선이고 다른

하나는 세로 직선. 우리는 가로 직선을 -축(-axis), 세로 직선을 -축(-axis),

두 직선의 교점을 원점(origin) 라 한다. 우리는, 편리한 눈금자를 사용하여, 그림

1.2.1에 보이듯이, 두 직선 위에 모든 점에 좌표를 할당한다. 수학에서, 우리는 보통

각 축 위에 같은 눈금자를 사용 한다 ; 응용에서, 종종 각 축 위에 다른 눈금자들이

사용된다.

원점 는 -축과 -축 위에서 다함께 의 값을 갖는다. 우리는 의 오른쪽으로

-축 위의 점을 양의 실수와 결합시키고, 의 왼쪽으로 -축 위의 점을 음의 실수


44

와 결합시키는 보통의 관습에 따른다. 위로 -축 위의 점을 양의 실수와 결합시

키고, 아래로 -축 위의 점을 음의 실수와 결합시킨다. 그림 1.2.1에서, -축과

-축은 각각 와 로 분류한다. 그리고 우리는 양의 방향을 나타내기 위하여 각

축의 끝에 화살표를 사용해왔다.

그림 1.2.1


45

여기에서 설명된 좌표계를 직각좌표계(rectangular coordinate system) 또는 카

테시언*좌표계(Cartesian coordinate system)라 한다. -축과 -축으로 구성되는

평면을 때때로 -평면(-plane)이라 하고, -축과 -축을 좌표축(coordinate

axes)이라 한다.

-평면에 있는 임의의 점 는 실수의 순서짝(ordered pair)를 사용함으로

써 그 위치가 정해질 수 있다. 는 -축으로부터의 부호가 있는 거리고 (가 -축

의 오른쪽에 있으면, 이고 가 -축의 왼쪽에 있으면, 가 된다는 의미로

부호가 있는 거리를 사용함); 는 -축으로부터의 부호가 있는 거리라 하자. 역시

순서짝 를 의 좌표(coordinate)라 한다. 그러면 는 평면에 있는 의 위

치에 대한 충분한 정보를 우리에게 준다. 예로써, 좌표가 인 점의 위치를 정

하기 위하여, 의 왼쪽으로 -축을 따라서 단위를 가서 단위 위로 올라간다. 우

* 르네 데카르트(René Descartes)

(1596-1650)가 사망한 후에 붙여진 이름이다. 그는 프랑스의 수학자, 철학자이고 신학자(theologian)였다.


46

리는 이 위치에 하나의 작고 둥근 점(dot)을 찍음으로써 이 점의 위치를 정한다. 좌

표가 와 인 점들의 위치가 정해진 그림 1.2.2를 보라.

그림 1.2.2

사분면Ⅰ

,

사분면Ⅱ

,

사분면Ⅲ

,

사분면Ⅳ

,

그림 1.2.3


47

가 어떤 점 의 좌표일 때, 를 의 -좌표(-coordinate) 또는 가로좌표

(abscissa), 그리고 를 -좌표(-coordinate) 또는 세로좌표(ordinate)라 한다. 우

리는 점 와 의 좌표 를 같게 하여 로 쓴다. 보통, 우리는 “좌표가

인 점”보다는 오히려 간단하게 “점”라고 말할 것이다.

좌표는, 그림 1.2.3에서 보듯이, -평면을 사분면(quadrant)이라 부르는 네 개의

부분으로 나눈다. 사분면 I에서, 모든 점의 -좌표와 -좌표는 양이고; 사분면 II에

서, 이고 ; 사분면 III에서, 이고 ; 사분면 IV에서, 이고

이다. 축 위에 있는 점들은 사분면에 속하지 않는다.


48

점들 사이의 거리

1.2.1 in (in는 inch의 약자이고 in는 약 2.54cm임) 또는 cm와 같은 길이 단위가

-축과 -축 둘 모두에 대하여 사용되면, -평면에서 모든 거리를 이 길이 단위

를 사용하여 측정할 수 있다.


49

보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 1.2.1 1.2.1 1.2.1 1.2.1 1.2.1 1.2.1 1.2.1 1.2.1 1.2.1 1.2.1 1.2.1 1.2.1 1.2.1 1.2.1 1.2.1 1.2.1 1.2.1 1.2.1 보기 1.2.1 두 점 사이의 거리를 구하기

두 점 과 사이의 거리를 구하라.

풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이 먼저 두 점 과 을 좌표에 따라서 정하고 직선으로 이들을 연결한다.

그림 1.2.4(a)를 보라. 우리는 길이 를 찾고자 한다. 우리는, 그림 1.2.4(b)에서처럼

직각삼각형을 구성하는, 에서 까지의 가로 직선과 에서 까지의

세로 직선을 그림으로써 시작한다. 이 삼각형의 한 변의 길이는 이므로)

이고 다른 변의 길이는 이므로)이다. 피타고라스 정리에 의하여, 우리가

찾는 거리 의 제곱은

.

따라서 . ▣


50

(b)(a)

그림 1.2.4

거리공식(distance formula)은 두 점 사이의 거리를 계산하는 직접적인 방법을 제

공한다.


51

그림 1.2.5

정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 1.2.1 1.2.1 1.2.1 1.2.1 1.2.1 1.2.1 1.2.1 1.2.1 1.2.1 1.2.1 1.2.1 1.2.1 1.2.1 1.2.1 1.2.1 1.2.1 1.2.1 1.2.1 정리 1.2.1 거리공식

두 점 과 사이의 거리를 라 하자. 그러면

.

즉, 두 점사이의 거리를 계산하기 위하여,

-좌표의 차를 구하여 이것을 제곱하고 이 값에

-좌표의 차의 제곱을 더한다. 이 합의 제곱근

이 구하고자하는 거리다. 그림 1.2.5를 보라.


52

증명 은 점 의 좌표를 나타내고 는 점 의 좌표를 나타낸다고 하

자. 과 를 연결한 직선은 가로 직선도 세로 직선도 아니라 가정한다. 그림

1.2.6(a)를 참고하라. 점 의 좌표는 이다. 에서 까지의 가로 거리는

-좌표들의 차의 절대값, 이다. 에서 까지의 세로 거리는 -좌표들의

차의 절대값, 이다. 그림 1.2.6(b)를 참고하라. 우리가 찾는 거리 는

직각삼각형의 빗변의 길이다. 그래서 피타고라스정리에 의하여, 다음을 얻는다 :

.


53

그림 1.2.6

이제, 과 를 연결한 직선이 가로 직선이면, 의 -좌표는 의 -좌표와

같다 ; 즉, . 그림 1.2.7(a)를 참고하라. 이 경우에, 정리 1.2.1에 주어진 거리

공식은 여전히 적용된다. 왜냐면, 에 대하여, 다음과 같이 변형되기 때문이다:

.


54

과 를 연결한 직선이 세로 직선이면, 비슷한 주장이 성립한다. 그림 1.2.7(b)

를 보라. 따라서 거리 공식은 모든 경우에 성립한다.

그림 1.2.7


55

보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 1.2.2 1.2.2 1.2.2 1.2.2 1.2.2 1.2.2 1.2.2 1.2.2 1.2.2 1.2.2 1.2.2 1.2.2 1.2.2 1.2.2 1.2.2 1.2.2 1.2.2 1.2.2 보기 1.2.2 선분의 길이를 구하기

그림 1.2.8에 보이는 선분의 길이를 구하라.

그림 1.2.8

풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이 선분의 길이는 두 점 와 사이의 거리다. 정리 1.2.1을 사용하여 길

이 를 구하면 다음과 같다 :

≈ ▣


56

비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 문제 문제 문제 문제 문제 문제 문제 문제 문제 문제 문제 문제 문제 문제 문제 문제 문제 문제 1.2.2 1.2.2 1.2.2 1.2.2 1.2.2 1.2.2 1.2.2 1.2.2 1.2.2 1.2.2 1.2.2 1.2.2 1.2.2 1.2.2 1.2.2 1.2.2 1.2.2 1.2.2 비슷한 문제 1.2.2 그림 1.2.9에 보이는 두 점 과 사이의 거리 를

구하라.

그림 1.2.9


57

두 점 과 사이의 거리는 결코 음수가 되지 않는다. 더욱

이, 두 점이 같을 때, 즉, 이고 일 때에만, 이들 사이의 거리는 이다.

역시,

이고

이므로, 거리를 에서

까지 계산하든가 또는 에서 까지 계산하든가 아무런 차이가 없다; 즉,

.

직각좌표는 기하학문제를 대수학문제로 바꾸고 이 역이 역시 가능함을 암시한다.

다음의 보기는 대수학(거리공식)이 어떻게 기하학문제를 푸는데 사용될 수 있는가

를 보여준다.


58

그림 1.2.10

보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 1.2.3 1.2.3 1.2.3 1.2.3 1.2.3 1.2.3 1.2.3 1.2.3 1.2.3 1.2.3 1.2.3 1.2.3 1.2.3 1.2.3 1.2.3 1.2.3 1.2.3 1.2.3 보기 1.2.3 기하학문제를 풀기 위하여 대수학을 사용하기

세 점 과 을 생각하자.

(a) 각 점의 위치를 정하고 삼각형 를 구성하라.

(b) 이 삼각형의 각 변의 길이를 구하라.

(c) 이 삼각형이 직각삼각형임을 보여라.

(d) 이 삼각형의 넓이를 구하라.


59


(a) 점 와 삼각형 가 그림 1.2.10에서 점을 이어 얻어진다.

(b)

.

(c) 이 삼각형이 직각삼각형임을 보이기 위하여, 우리는 두 변의 길이의 제곱의 합

이 나머지 변의 제곱과 같음을 보여줄 필요가 있다. (이것은 왜 충분한가?)

그림 1.2.10을 살펴봄으로써, 직각이 꼭지점(vertex) 에 있다고 추측하는 것이

온당한듯하다. 우리는

인가를 보이기 위하여 확인할 것이다. 우리는


60

임을 찾아낸다. 따라서, 피타고라스정리의 역으로부터, 이 삼각형 는 직각삼

각형이다.

(d) 직각이 꼭지점 에 있으므로, 변 와 는 이 삼각형의 밑변과 높이를 구성

한다. 따라서 이 삼각형의 넓이는 다음과 같다 :

넓이

밑변높이

단위. ▣

비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 문제 문제 문제 문제 문제 문제 문제 문제 문제 문제 문제 문제 문제 문제 문제 문제 문제 문제 1.2.3 1.2.3 1.2.3 1.2.3 1.2.3 1.2.3 1.2.3 1.2.3 1.2.3 1.2.3 1.2.3 1.2.3 1.2.3 1.2.3 1.2.3 1.2.3 1.2.3 1.2.3 비슷한 문제 1.2.3 -평면위에 다음 각 점의 위치를 정하고 삼각형 를 구성

한다. 이 삼각형이 직각삼각형임을 증명하고 이 넓이를 구하라.

.


61

중점공식에 대하여 논의하기 전에 먼저 기하학으로부터 나타나는 두 가지 공리를

복습을 겸하여 소개한다.

(1) 두 삼각형이 있다. 이들의 세변이 같다(SSS) 또는 두 변과 사잇각

(included angle)이 같다(SAS) 또는 두 각과 사잇변(included side)이 같

다(ASA). 그러면 주어진 두 삼각형은 합동(congruent)이다.

(2) 만나는 선분는 나란한 선분와와 같은 대응하는 각을 구

성한다.


62

그림 1.2.11

중점공식

1.2.2 우리는 이제 선분의 중점(midpoint of a line segment)의 좌표에 대한 공식

을 유도한다. 과 는 어떤 선분의 끝점들이고 은

과 로부터의 거리가 같은 이 선분 위의 점이라 하자(그림 1.2.11을 보라).

그러면, 위의 논의에 의하여, 삼각형 과

는 합동이다. [여러분은 이유를 아는가?

∠∠,∠∠ 이고

다. 그래서 우리는 각-변-

각을 갖는다.] 그래서 대응하는 변들의 길이는

같다. 즉,


63

이고

이고

이고

따라서 우리는 다음의 결과를 얻는다.

정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 1.2.2 1.2.2 1.2.2 1.2.2 1.2.2 1.2.2 1.2.2 1.2.2 1.2.2 1.2.2 1.2.2 1.2.2 1.2.2 1.2.2 1.2.2 1.2.2 1.2.2 1.2.2 정리 1.2.2 중점공식중점공식중점공식중점공식중점공식중점공식중점공식중점공식중점공식중점공식중점공식중점공식중점공식중점공식중점공식중점공식중점공식중점공식중점공식

은 에서 까지의 선분의 중점이라 하라. 그러면

.


64

그림 1.2.12

보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 1.2.4 1.2.4 1.2.4 1.2.4 1.2.4 1.2.4 1.2.4 1.2.4 1.2.4 1.2.4 1.2.4 1.2.4 1.2.4 1.2.4 1.2.4 1.2.4 1.2.4 1.2.4 보기 1.2.4 선분의 중점을 구하기

에서 까지 선분의 중점을 구하라. 두 점 과 및 그들의

중점의 좌표에 따라서 점들을 정하라. 여러분의 답을 확인하라.

풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이 과 을 사용하여 정리 1.2.2를 적용한다. 그러면 중

점 의 좌표 는

이고

.

따라서 . 그림 1.2.12를 보라.


65

확인확인확인확인확인확인확인확인확인확인확인확인확인확인확인확인확인확인확인 : 은 중점이므로, 우리는 임을 보임으로써 답을 확인한

다.

,

. ▣

비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 문제 문제 문제 문제 문제 문제 문제 문제 문제 문제 문제 문제 문제 문제 문제 문제 문제 문제 1.2.4 1.2.4 1.2.4 1.2.4 1.2.4 1.2.4 1.2.4 1.2.4 1.2.4 1.2.4 1.2.4 1.2.4 1.2.4 1.2.4 1.2.4 1.2.4 1.2.4 1.2.4 비슷한 문제 1.2.4 두 점 과 를 연결하는 선분의 중점을 구하

라.

1장 방정식, 부등식과 함수 1.3 방정식의 그래프 그리기의 소개

66

1.3 1.3 1.3 1.3 1.3 1.3 1.3 1.3 1.3 1.3 1.3 1.3 1.3 1.3 1.3 1.3 1.3 1.3 1.3 1.3 1.3 1.3 1.3 1.3 1.3 1.3 1.3 1.3 방정식의 방정식의 방정식의 방정식의 방정식의 방정식의 방정식의 방정식의 방정식의 방정식의 방정식의 방정식의 방정식의 방정식의 방정식의 방정식의 방정식의 방정식의 방정식의 방정식의 방정식의 방정식의 방정식의 방정식의 방정식의 방정식의 방정식의 방정식의 그래프 그래프 그래프 그래프 그래프 그래프 그래프 그래프 그래프 그래프 그래프 그래프 그래프 그래프 그래프 그래프 그래프 그래프 그래프 그래프 그래프 그래프 그래프 그래프 그래프 그래프 그래프 그래프 그리기의 그리기의 그리기의 그리기의 그리기의 그리기의 그리기의 그리기의 그리기의 그리기의 그리기의 그리기의 그리기의 그리기의 그리기의 그리기의 그리기의 그리기의 그리기의 그리기의 그리기의 그리기의 그리기의 그리기의 그리기의 그리기의 그리기의 그리기의 소개소개소개소개소개소개소개소개소개소개소개소개소개소개소개소개소개소개소개소개소개소개소개소개소개소개소개소개1.3 방정식의 그래프 그리기의 소개

목표 1.3.1 점들의 위치를 정함으로써 방정식의 그래프를 그리기

1.3.2 절편을 구하기


67

와 라고 말하는 2 변수 방정식(equation in two variables)이란 와 를 포함

하는 식이 같다라는 명제를 말한다. 이 때, 각 식을 이 방정식의 변(side)이라 한다.

방정식은 명제함수이므로, 변수의 값에 따라서, 이것은 참 또는 거짓일 수 있다. 참

인 명제가 되는 와 의 임의의 값은 이 방정식을 만족한다(To satisfy)고 말한다.

예로써,

는 모두 두 변수 와 의 방정식이다. 이들 중 처음 방정식 은 와

에 대해서 만족된다. 왜냐면, 이기 때문이다. 와 의 또

다른 선택 값이 역시 이 방정식을 만족한다. ≠이므로, 이 방정식은

과 에 대해서 만족되지 않는다.


68

방정식의 그래프를 그리기

1.3.1 두 변수 와 의 방정식의 그래프는 좌표 가 이 방정식을 만족하는

-평면에 있는 점들의 집합으로 이루어진다.

보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 1.3.1 1.3.1 1.3.1 1.3.1 1.3.1 1.3.1 1.3.1 1.3.1 1.3.1 1.3.1 1.3.1 1.3.1 1.3.1 1.3.1 1.3.1 1.3.1 1.3.1 1.3.1 보기 1.3.1 점이 방정식의 그래프 위에 있는지를 결정하기

다음의 점들이 방정식 의 그래프 위에 있는지를 결정하라.

(a) (b)


69


(a) 점 에 대하여, 과 가 방정식 을 만족하는지를 알아보

기 위하여 확인한다.

≠.

그래서 이 방정식은 만족되지 않는다. 따라서 점 는 이 그래프 위에 있지

않다.

(b) 에 대하여,

.

그래서 이 방정식은 만족된다. 따라서 점 은 그래프 위에 있다. ▣

비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 문제 문제 문제 문제 문제 문제 문제 문제 문제 문제 문제 문제 문제 문제 문제 문제 문제 문제 1.3.1 1.3.1 1.3.1 1.3.1 1.3.1 1.3.1 1.3.1 1.3.1 1.3.1 1.3.1 1.3.1 1.3.1 1.3.1 1.3.1 1.3.1 1.3.1 1.3.1 1.3.1 비슷한 문제 1.3.1 주어진 점이 방정식의 그래프 위에 있는지를 말하라:

.


70

보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 1.3.2 1.3.2 1.3.2 1.3.2 1.3.2 1.3.2 1.3.2 1.3.2 1.3.2 1.3.2 1.3.2 1.3.2 1.3.2 1.3.2 1.3.2 1.3.2 1.3.2 1.3.2 보기 1.3.2 점들의 좌표를 정함으로써 방정식의 그래프를 그리기

방정식의 그래프를 그려라 : .

풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이 우리는 이 방정식을 만족하는 모든 점 , 즉, 명제함수 의 참

집합을 구하고 싶다. 이러한 점들 중의 몇 개의 좌표를 정하기 위하여(이렇게 함으

로써 이 그래프의 패턴에 대한 생각을 얻음), 에 몇 개의 값을 주어서 대응하는

의 값을 구한다.

이면 그러면 그래프 위의 점


71

이들 점들의 좌표를 정하고 이들을 연결함으로써, 우리는, 그림 1.3.1에서 보이는 것

과 같이, 방정식의 그래프(직선)를 얻는다.

그림 1.3.1

▣


72

보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 1.3.3 1.3.3 1.3.3 1.3.3 1.3.3 1.3.3 1.3.3 1.3.3 1.3.3 1.3.3 1.3.3 1.3.3 1.3.3 1.3.3 1.3.3 1.3.3 1.3.3 1.3.3 보기 1.3.3 점의 좌표를 정함으로써 방정식의 그래프를 그리기


풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이 표 1.3.1은 이 그래프 위의 여러 가지 점들을 제공한다. 그림 1.3.2는 이 점들

의 좌표를 정하고 이들을 매끄러운 곡선으로 연결하여 이 그래프(포물선 :

parabola)를 얻는다.


73

그림 1.3.2

-4 16 (-4,16)

-3 9 (-3, 9)

-2 4 (-2,4)

-1 1 (-1,1)

0 0 (0,0)

1 1 (1,1)

2 4 (2,4)

3 9 (3,9)

4 16 (4,16)

표 1.3.1


74

그림 1.3.1과 1.3.2에서 보이는 방정식들의 그래프들은 모든 점들을 보여주지는 않

는다. 예로써, 그림 1.3.1에서 점는 의 그래프의 일부이지만, 이 점

은 보이지 않는다. 의 그래프는 우리가 바라는 한 멀리까지 확대될 수 있

으므로, 보이는 패턴이 계속된다는 것을 가리키기 위하여 우리는 화살표를 사용한

다. 그래프를 충분히 나타내기 위하여 이 그래프를 그릴 때, 이 그래프를 보는 어느

사람이나 분명히 계속되는 것이 실제로 있을 때 이 그래프의 나머지를 “알아볼 수”

있도록 하는 것은 중요하다. 이와 같이 그려진 그래프를 완전한 그래프(complete

graph)라 한다.


75

방정식의 완전한 그래프를 얻는 한 가지 방법은 패턴이 분명해 질 때까지 이 그

래프 위의 충분한 점들의 좌표를 정하는 것이다. 다음에 이 점들을 매끄러운 곡선으

로 연결하면 추측되는 패턴이 뒤따르게 된다. 그러나 얼마나 많은 점들이 충분한가?

때때로 방정식에 대한 지식은 우리에게 말한다. 예로써, 2.2절에서, 방정식이

꼴이면 이 방정식의 그래프는 직선이라는 것을 우리는 배울 것이다. 이

경우에, 이 그래프를 얻기 위하여 두 점이면 충분할 것이다.

이 책의 하나의 목적은 그래프가 완전한지를 결정하기 위하여 방정식의 성질을

연구하는 것이다. 때때로 패턴이 분명하게 될 때까지 그래프 위의 충분한 점들의 좌

표를 정하고; 추측되는 패턴이 뒤따르는 매끄러운 곡선으로 이 점들을 연결함으로

써 우리는 방정식의 그래프를 그릴 것이다.


76

교점

1.3.2 그래프가 좌표축과 만나는 점을 절편(intercept)이라 한다. 그림 1.3.3를 보라.

그래프가 -축과 만나는 점의 -좌표를 -절편(-intercept)이라하고, 그래프가

-축과 만나는 점의 -좌표를 -절편(-intercept)이라 한다. 완성된 그래프에 대하

여, 이 그래프의 모든 절편들이 표시되어야만 한다.

그래프가

-축과만난다

절 편

그래프가

-축과

만난다

그림 1.3.3


77

그림 1.3.4

보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 1.3.4 1.3.4 1.3.4 1.3.4 1.3.4 1.3.4 1.3.4 1.3.4 1.3.4 1.3.4 1.3.4 1.3.4 1.3.4 1.3.4 1.3.4 1.3.4 1.3.4 1.3.4 보기 1.3.4 그래프로부터 절편을 구하기

그림 1.3.4에서 그래프의 절편들을 구하라. 이 그래프의 -절편은 무엇인가? 이 그

래프의 -절편은 무엇인가?

풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이 그래프의 절편들은 다음과 같다 :

.-절편은

과 ;

-절편은

과 . ▣


78

비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 문제 문제 문제 문제 문제 문제 문제 문제 문제 문제 문제 문제 문제 문제 문제 문제 문제 문제 1.3.4 1.3.4 1.3.4 1.3.4 1.3.4 1.3.4 1.3.4 1.3.4 1.3.4 1.3.4 1.3.4 1.3.4 1.3.4 1.3.4 1.3.4 1.3.4 1.3.4 1.3.4 비슷한 문제 1.3.4 방정식의 그래프는 그림 1.3.5에 있다. 그래프의 절편들을 열거하

라.

그림 1.3.5


79

방정식의 그래프의 절편은 -축 위의 점은 -좌표가 이고 -축 위의 점은 -

좌표가 이라는 사실을 사용함으로써 구해질 수 있다.

방정식의 그래프의 -절편들은 인 -값들이기 때문에, 이들을 이 방정식의

영(zero)(또는 근(root))들이라 말한다.

절편을 구하는 단계

단계 1 : 방정식의 그래프의 -절편을 구하기 위하여, 방정식에 을 대

입하여 를 구한다.

단계 2 : 방정식의 그래프의 -절편을 구하기 위하여, 방정식에 을 대

입하여 를 구한다.


80

보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 1.3.5 1.3.5 1.3.5 1.3.5 1.3.5 1.3.5 1.3.5 1.3.5 1.3.5 1.3.5 1.3.5 1.3.5 1.3.5 1.3.5 1.3.5 1.3.5 1.3.5 1.3.5 보기 1.3.5 방정식으로부터 절편을 구하기

의 그래프의 -절편과 -절편을 구하라.

풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이 -절편을 구하기 위하여, 이라 하자. 그러면

인수분해 한다.

또는 영-곱 성질

또는 .

그래서 이 방정식은 두 개의 해, 과 을 갖는다. 따라서 -절편은 과 이다.

-절편을 구하기 위하여, 이라 하자. 그러면,

.

따라서 -절편은 다. ▣

1장 방정식, 부등식과 함수 1.4 대칭성; 중요한 방정식의 그래프 그리기; 원

81

1.4 1.4 1.4 1.4 1.4 1.4 1.4 1.4 1.4 1.4 1.4 1.4 1.4 1.4 1.4 1.4 1.4 1.4 1.4 1.4 1.4 1.4 1.4 1.4 1.4 1.4 1.4 1.4 대칭성대칭성대칭성대칭성대칭성대칭성대칭성대칭성대칭성대칭성대칭성대칭성대칭성대칭성대칭성대칭성대칭성대칭성대칭성대칭성대칭성대칭성대칭성대칭성대칭성대칭성대칭성대칭성; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; 중요한 중요한 중요한 중요한 중요한 중요한 중요한 중요한 중요한 중요한 중요한 중요한 중요한 중요한 중요한 중요한 중요한 중요한 중요한 중요한 중요한 중요한 중요한 중요한 중요한 중요한 중요한 중요한 방정식의 방정식의 방정식의 방정식의 방정식의 방정식의 방정식의 방정식의 방정식의 방정식의 방정식의 방정식의 방정식의 방정식의 방정식의 방정식의 방정식의 방정식의 방정식의 방정식의 방정식의 방정식의 방정식의 방정식의 방정식의 방정식의 방정식의 방정식의 그래프 그래프 그래프 그래프 그래프 그래프 그래프 그래프 그래프 그래프 그래프 그래프 그래프 그래프 그래프 그래프 그래프 그래프 그래프 그래프 그래프 그래프 그래프 그래프 그래프 그래프 그래프 그래프 그리기그리기그리기그리기그리기그리기그리기그리기그리기그리기그리기그리기그리기그리기그리기그리기그리기그리기그리기그리기그리기그리기그리기그리기그리기그리기그리기그리기; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; 원원원원원원원원원원원원원원원원원원원원원원원원원원원원1.4 대칭성; 중요한 방정식의 그래프 그리기; 원

목표 1.4.1 (a) -축, (b) -축과 (c) 원점에 관한 대칭성

1.4.2 중요한 방정식의 그래프를 그리는 방법

1.4.3 원의 방정식의 표준 꼴

1.4.4 일반 꼴의 방정식으로부터 원의 중심과 반지름을 구하기

1.4.5 원의 그래프


82

대칭성

1.4.1 1.3절에서 우리는 어떤 방정식의 그래프 위에 있는 중요한 점을 얻음에 있어

서 절편이 하는 역할을 보았다. 방정식의 그래프를 그리기 위한 또 다른 도움이 되

는 도구는 대칭성, 특히 -축, -축 및 원점에 관한 대칭성(Symmetry)이다.

정의 정의 정의 정의 정의 정의 정의 정의 정의 정의 정의 정의 정의 정의 정의 정의 정의 정의 1.4.1 1.4.1 1.4.1 1.4.1 1.4.1 1.4.1 1.4.1 1.4.1 1.4.1 1.4.1 1.4.1 1.4.1 1.4.1 1.4.1 1.4.1 1.4.1 1.4.1 1.4.1 정의 1.4.1 그래프의 대칭성

(1) 그래프가 -축에 관하여 대칭(Symmetry with respect to the -axis)이다

iff 이 그래프 위의 모든 점 에 대하여, 점 가 역시 이 그래프 위

에 있다.

(2) 그래프가 -축에 관하여 대칭이다 iff 이 그래프 위의 모든 점 에 대하

여, 점 가 역시 이 그래프 위에 있다.

(3) 그래프가 원점에 관하여 대칭이다 iff 이 그래프 위의 모든 점 에 대하

여, 점 가 역시 이 그래프 위에 있다.


83

그림 1.4.1은 정의 1.4.1을 설명해준다. 그래프가 -축에 관하여 대칭일 때, -축

위쪽의 그래프의 부분이 -축 아래쪽에 반사되고, 역도 마찬가지임에 주목하라. 그

리고 그래프가 -축에 관하여 대칭일 때, -축의 오른쪽에 있는 그래프의 부분이

-축의 왼쪽에 반사되고, 역도 마찬가지다. 원점에 관한 대칭성은 두 가지 방법으로

생각될 수 있다 :

(1) -축에 대하여 반사한 뒤에, 다시 -축에 대하여 반사하는 방법

(2) 원점으로부터 거리가 같도록 원점을 지나는 직선을 따라서 투영하는 방법.


84

그림 1.4.1

-축에 대한 대칭 -축에 대한 대칭 원점에 대한 대칭


85

보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 1.4.1 1.4.1 1.4.1 1.4.1 1.4.1 1.4.1 1.4.1 1.4.1 1.4.1 1.4.1 1.4.1 1.4.1 1.4.1 1.4.1 1.4.1 1.4.1 1.4.1 1.4.1 보기 1.4.1 대칭성

(a) 그래프가 -축에 관하여 대칭이고 점 가 이 그래프 위에 있으면, 점

역시 이 그래프 위에 있다.

(b) 그래프가 -축에 관하여 대칭이고 점 가 이 그래프 위에 있으면, 점

역시 이 그래프 위에 있다.

(c) 그래프가 원점에 관하여 대칭이고 점 가 이 그래프 위에 있으면, 점

역시 이 그래프 위에 있다. ▣

비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 문제 문제 문제 문제 문제 문제 문제 문제 문제 문제 문제 문제 문제 문제 문제 문제 문제 문제 1.4.1 1.4.1 1.4.1 1.4.1 1.4.1 1.4.1 1.4.1 1.4.1 1.4.1 1.4.1 1.4.1 1.4.1 1.4.1 1.4.1 1.4.1 1.4.1 1.4.1 1.4.1 비슷한 문제 1.4.1 점 를 -평면 위에 정하라. 또한 (a) -축, (b) -축, (c)

원점에 관한 대칭점의 위치를 정하라.


86

방정식의 그래프가 좌표축 또는 원점에 관하여 대칭일 때, 이 패턴을 알기 위하여

우리가 그래프를 그릴 필요가 있는 많은 점들이 축소된다. 예로써, 방정식의 그래프

가 -축에 관하여 대칭일 때, 일단 -축의 오른쪽에 있는 점들의 좌표가 정해지면,

-축에 관하여 이 점들을 반사시킴으로써 이 그래프 위의 같은 수의 점들이 얻어질

수 있다. 이 이유 때문에, 우리가 방정식의 그래프를 그리기 전에 먼저 우리는 그래

프의 대칭성을 조사하고 싶다. 다음의 조사는 이 목적에 유용하다.


87

대칭성에 관한 조사

다음 방법으로 방정식의 그래프의 대칭성을 조사한다.

(1) -축에 관한 대칭성 : 방정식에 대신에 로 바꾼다. 같은 방정식이 되

면, 이 방정식의 그래프는 -축에 관한 대칭이다.

(2) -축에 관한 대칭성 : 방정식에 대신에 로 바꾼다. 같은 방정식이 되

면, 이 방정식의 그래프는 -축에 관한 대칭이다.

(3) 원점에 관한 대칭성 : 방정식에 대신에 각각 로 바꾼다. 같은 방

정식이 되면, 이 방정식의 그래프는 원점에 관한 대

칭이다.


88

보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 1.4.2 1.4.2 1.4.2 1.4.2 1.4.2 1.4.2 1.4.2 1.4.2 1.4.2 1.4.2 1.4.2 1.4.2 1.4.2 1.4.2 1.4.2 1.4.2 1.4.2 1.4.2 보기 1.4.2 대칭성에 대한 방정식의 조사

대칭성에 대하여

을 조사하라.


-축 : -축에 관한 대칭성을 조사하기 위하여 를 로 바꾼다. 이 결과

는

와 같지 않다. 그러므로 이 방정식의 그래프는

-축에 관한 대칭이 아니다.

-축 : -축에 관한 대칭성을 조사하기 위하여 를 로 바꾼다. 그 결과

는

와 같다. 그러므로 이 방정식의 그


89

래프는 -축에 관한 대칭이다.

원점 : 원점에 관한 대칭성을 조사하기 위하여 를 각각 로 바꾼다.

를 각각 로 바꾼다.

간단히 한다.

. 양변에 을 곱한다.

이 결과는 원래 방정식과 같지 않다. 그러므로 방정식

의 그래프는 원점

에 관하여 대칭이 아니다. ▣


90

중요한 방정식의 그래프

1.4.2 다음 세 개의 보기는 중요한 방정식의 그래프를 얻기 위하여 절편, 대칭성 및

좌표를 정하는 점을 사용한다.

보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 1.4.3 1.4.3 1.4.3 1.4.3 1.4.3 1.4.3 1.4.3 1.4.3 1.4.3 1.4.3 1.4.3 1.4.3 1.4.3 1.4.3 1.4.3 1.4.3 1.4.3 1.4.3 보기 1.4.3 대칭성을 확인하고 절편을 구함으로써 방정식 의 그래프를

그리기

점들을 정함으로써 방정식 의 그래프를 그려라. 우선 절편을 구하고 대칭성을

확인한다.

풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이 먼저, 절편을 찾는다. 일 때 ; 일 때 . 그래서 원점

은 유일한 절편이다. 이제 대칭성을 조사한다.

-축 : 를 로 바꾼다. 그러면 . 그래서 이 결과는 과 같지 않


91

다. 그러므로 이 그래프는 -축에 관하여 대칭이 아니다.

-축 : 를 로 바꾼다. 그러면 . 그래서 이 결과는 과

같지 않다. 그러므로 이 그래프는 -축에 관하여 대칭이 아니다.

원점 : 를 각각 로 바꾼다. 그러면

. 그래서 . 그러므로 이 그래프는 원점에 관하여 대칭이다.

그래프를 그리기 위하여, 우리는 이 방정식을 사용하여 이 그래프 위의 여러 개

점을 얻는다. 원점에 관하여 대칭이므로, 우리는 ≥ 인 그래프 위의 점만을 정할

필요가 있다. 표 1.4.1을 보라. 여러분은 표 1.4.1로부터 원점에 관한 대칭성을 알아

보라. 그림 1.4.2는 의 그래프를 보여 준다.


92

그림 1.4.2

표 1.4.1


93

보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 1.4.4 1.4.4 1.4.4 1.4.4 1.4.4 1.4.4 1.4.4 1.4.4 1.4.4 1.4.4 1.4.4 1.4.4 1.4.4 1.4.4 1.4.4 1.4.4 1.4.4 1.4.4 보기 1.4.4 방정식 의 그래프를 그리기

방정식 의 그래프를 그려라. 먼저 절편을 구하고 대칭성을 확인하라.

풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이 은 유일한 절편이다. 이므로, 이 그래프는 -축에 관하여

대칭이다. 우리는 쉽게 이 그래프가 -축과 원점에 관하여 대칭이 아님을 확인할

수 있다.

의 그래프를 그리기 위하여, 우리는 이 방정식을 사용하여 이 그래프 위의

여러 점을 얻는다. 의 값을 임의로 주고 이 방정식을 사용하여 대응하는 의 값을

구하는 것이 더 쉽다. 표 1.4.2를 보라. 이 그래프는 -축에 관하여 대칭이므로, 우

리는 -좌표가 양인 점들로 제한할 수 있다. 그러면 우리는 대칭성을 사용하여 이

그래프 위의 추가되는 점들을 구할 수 있다. 예로써, 은 이 그래프 위의 점이


94

므로, 역시 이 그래프 위의 점이다. 가 이 그래프 위의 점이므로,

역시 이 그래프 위의 점이다. 나머지 점에 대하여도 마찬가지다. 우리는 이

러한 점들을 좌표로 정하고 이 점들을 매끄러운 곡선으로 연결하여 그림 1.4.3을 얻

는다.

표 1.4.2

그림 1.4.3

▣


95

보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 1.4.5 1.4.5 1.4.5 1.4.5 1.4.5 1.4.5 1.4.5 1.4.5 1.4.5 1.4.5 1.4.5 1.4.5 1.4.5 1.4.5 1.4.5 1.4.5 1.4.5 1.4.5 보기 1.4.5 방정식

의 그래프를 그리기

방정식

을 생각한다.

(a) 대수학을 사용하여 절편을 구하고 대칭성을 조사하라.

(b) 이 그래프를 그려라.


(a) 우리는 먼저 절편을 확인한다. 이라 하자. 그러면 우리는 분모에 을 얻는

다. 이것은 정의되지 않는다. 그래서 -절편은 존재하지 않는다. 이제 이라 하

자. 그러면 우리는 방정식

을 얻는다. 이것은 해를 갖지 않는다. 그래서 -절

편은 존재하지 않는다. 그러므로

의 그래프는 좌표축과 만나지 않는다.


96

다음에 대칭성을 확인한다.

-축 : 를 로 바꾼다. 그러면

또는

.

이것은

과 같지 않다.

-축 : 를 로 바꾼다. 그러면

.

이것은

과 같지 않다.

원점 : 를 각각 로 바꾼다. 그러면

또는

.

이것은

과 같다.

그러므로 이 그래프는 원점에 관해서만 대칭이다.


97

(b) 우리는 방정식을 사용하여 표 1.4.3을 만들고 그래프 위의 몇 개의 점들을 얻는

다. 원점에 관하여 대칭이므로, 우리는 가 양인 점 들만을 구한다.

표 1.4.3

그림 1.4.4


98

표 1.4.3으부터, 우리는 가 매우 큰 양수면

은 에 가까운 양수임을 추측한

다. 이 정보를 통하여, 우리는 이 방정식의 그래프를 그릴 수 있다. 그림 1.4.4는 표

1.4.3에 있는 몇 개의 점과

의 그래프를 설명한다. ▣


99

원

1.4.3 좌표계의 하나의 이익은 기하학의 명제를 대수학의 명제로 바꾸고 이 역도 가

능하게 해주는 것이다. 예로써, 원을 정의하는 다음의 기하학의 명제를 생각하자.

정의 정의 정의 정의 정의 정의 정의 정의 정의 정의 정의 정의 정의 정의 정의 정의 정의 정의 1.4.2 1.4.2 1.4.2 1.4.2 1.4.2 1.4.2 1.4.2 1.4.2 1.4.2 1.4.2 1.4.2 1.4.2 1.4.2 1.4.2 1.4.2 1.4.2 1.4.2 1.4.2 정의 1.4.2 원의 기하학적 정의

원(circle)은 고정점 로부터 고정거리 인 -평면에 있는 점들의 집합

을 말한다. 이때, 고정거리 을 이 원의 반지름(radius), 고정점 를 이 원

의 중심(center)이라 한다.


100

그림 1.4.5

그림 1.4.5는 원의 그래프를 보여준다. 이 그래프를

갖는 방정식을 구하기 위하여, 는 반지름 과 중

심 인 원 위의 임의의 점의 좌표를 나타낸다고 하

자. 그러면 두 점 와 사이의 거리는 항상

과 같아야만 한다. 그래서, 거리공식에 의하여,

.

따라서 . 이때, 이 방정식을 원의 방정식의 표준꼴(standard

form)이라 한다.


101

정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 1.4.3 1.4.3 1.4.3 1.4.3 1.4.3 1.4.3 1.4.3 1.4.3 1.4.3 1.4.3 1.4.3 1.4.3 1.4.3 1.4.3 1.4.3 1.4.3 1.4.3 1.4.3 정리 1.4.3 원의 방정식의 표준꼴

반지름 과 중심 인 원의 방정식의 표준꼴은 다음과 같다 :

.

특히, 반지름 과 중심이 원점인 원의 방정식의 표준꼴은

.

중심이 원점인 임의의 원은 -축, -축과 원점에 관하여 대칭성을 가짐에 주목하

라.


102

단위원

그림 1.4.6

정의 정의 정의 정의 정의 정의 정의 정의 정의 정의 정의 정의 정의 정의 정의 정의 정의 정의 1.4.4 1.4.4 1.4.4 1.4.4 1.4.4 1.4.4 1.4.4 1.4.4 1.4.4 1.4.4 1.4.4 1.4.4 1.4.4 1.4.4 1.4.4 1.4.4 1.4.4 1.4.4 정의 1.4.4 단위원

반지름이 이고 중심이 원점인 원을 단위원(unit circle)이라 한다. 이 때, 단위원의

방정식은 다음과 같다 :

.

단위원의 그래프에 대하여 그림 1.4.6을 보라.


103

보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 1.4.6 1.4.6 1.4.6 1.4.6 1.4.6 1.4.6 1.4.6 1.4.6 1.4.6 1.4.6 1.4.6 1.4.6 1.4.6 1.4.6 1.4.6 1.4.6 1.4.6 1.4.6 보기 1.4.6 원의 방정식의 표준꼴을 쓰기

반지름 와 중심 인 원의 방정식의 표준꼴을 써라.

풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이 정리 1.4.3을 사용하여, 값 과 을 대입한다. 그러면

. ▣


104

원의 그래프를 그리기

꼴의 임의의 방정식의 그래프는 반지름 이고 중심

인 원이다.

보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 1.4.7 1.4.7 1.4.7 1.4.7 1.4.7 1.4.7 1.4.7 1.4.7 1.4.7 1.4.7 1.4.7 1.4.7 1.4.7 1.4.7 1.4.7 1.4.7 1.4.7 1.4.7 보기 1.4.7 원의 그래프를 그리기

방정식의 그래프를 그려라: .

풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이 이 방정식의 그래프는 원이다. 이 방정식의 그래프를 그리기 위하여, 우리는

먼저 주어진 방정식을 원의 방정식의 표준 꼴과 비교한다. 그러면 우리는 원에 관한

정보를 얻을 수 있다.


105

그림 1.4.7

↑ ↑ ↑

우리는 이고 임을 알게 된다. 이 원은 중심 와 반지름

단위를 갖는다. 이 원의 그래프를 그리기 위하여, 우

리는 먼저 중심 를 정한다. 반지름이 이므로,

중심으로부터 왼쪽까지, 오른쪽까지, 위로 그리고 아

래로 단위의 점들을 정함으로써 우리는 이 원 위에

개의 점들의 위치를 정할 수 있다. 이 원의 그래프를

얻기 위하여 이 개의 점들을 길잡이로 사용할 수 있

다. 그림1.4.7을 보라. ▣


106

우리가 보기 1.4.7에서 주어진 원의 방정식의 표준 꼴로부터 괄호를 없애면,

꼴의 임의의 방정식은 원 또는 한 점인 그래프를 갖거나 또는 어떠한 그래프도 갖

지 않음을 알 수 있다. 예로써, 방정식 의 그래프는 한 점 이다. 방

정식 또는 는 어떠한 그래프도 갖지 않는다. 왜냐면, 실

수의 제곱의 합은 결코 음이 아니기 때문이다.


107

그래프가 원일 때, 방정식

을 원의 방정식의 일반꼴(general form)이라 한다.

일반꼴의 방정식으로부터 원의 중심과 반지름을 구하기

1.4.4 원의 방정식이 일반꼴이면, 이 원의 중심과 반지름을 확인할 수 있도록 완전

제곱방법을 사용하여 주어진 방정식을 표준꼴로 고친다. 완전제곱방법의 숨어있는

생각은 차 다항식 를 조절하여 차 다항식의 제곱이 되게 하는 것이

다. 예로써, 와 는 완전제곱이다. 왜냐면,

이고


108

이기 때문이다.

우리는 어떻게 차 다항식을 “조절할 것인가”? 완전제곱을 만들기 위하여 적당

한 수를 더함으로써 우리는 조절한다. 예로써, 를 완전제곱이 되게 하기 위

하여, 를 더한다.

의 계수가 일 때 완전제곱의 몇 개의 예를 살펴보자.

시작 더한다 결과


109

여러분은 이 패턴을 아는가? 의 계수가 이면, 의 계수의 반의 제곱을 더해

줌으로써 우리는 완전제곱을 만들 수 있다.

시작 더한다 결과

다음의 보기는 원의 방정식의 일반꼴을 표준꼴로 쓰기 위하여 완전제곱의 방법이

어떻게 사용될 수 있는지를 설명해 준다.


110

보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 1.4.8 1.4.8 1.4.8 1.4.8 1.4.8 1.4.8 1.4.8 1.4.8 1.4.8 1.4.8 1.4.8 1.4.8 1.4.8 1.4.8 1.4.8 1.4.8 1.4.8 1.4.8 보기 1.4.8 방정식이 일반꼴인 원을 그리기


풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이 주어진 방정식을 표준꼴로 나타내기 위하여, 와 각각에 대한 완전제곱을

만든다. 먼저 항을 포함하는 항들과 항을 포함하는 항들을 각각 묶고 이 방정식

의 오른쪽 변에 상수를 쓴다. 그러면

다음에 괄호에 있는 각 식을 완전제곱을 한다. 이때, 이 방정식의 왼쪽 변에 더해지

는 임의의 수는 오른쪽 변에 더해져야만 한다는 것을 기억하라.


111

그림 1.4.8

↑

↑

. 인수분해 한다.

우리는 이 방정식을 반지름 이고 중심 인 원의

방정식의 표준꼴로 인정한다. 이 방정식의 그래프를 그

리기 위하여, 중심 과 반지름 을 사용한다. 그

림 1.4.8을 보라. ▣

1장 방정식, 부등식과 함수 1.5 함수에 대한 첫걸음

112

1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 함수에 함수에 함수에 함수에 함수에 함수에 함수에 함수에 함수에 함수에 함수에 함수에 함수에 함수에 함수에 함수에 함수에 함수에 함수에 함수에 함수에 함수에 함수에 함수에 함수에 함수에 함수에 함수에 대한 대한 대한 대한 대한 대한 대한 대한 대한 대한 대한 대한 대한 대한 대한 대한 대한 대한 대한 대한 대한 대한 대한 대한 대한 대한 대한 대한 첫걸음첫걸음첫걸음첫걸음첫걸음첫걸음첫걸음첫걸음첫걸음첫걸음첫걸음첫걸음첫걸음첫걸음첫걸음첫걸음첫걸음첫걸음첫걸음첫걸음첫걸음첫걸음첫걸음첫걸음첫걸음첫걸음첫걸음첫걸음1.5 함수에 대한 첫걸음

목표 1.5.1 관계가 함수를 나타내는지를 결정하기

1.5.2 함수의 값

1.5.3 함수의 정의역

1.5.4 두 함수의 합, 차, 곱과 몫


113

관계(relation)란 두 집합 사이의 대응(correspondence)을 말한다. 와 가 이 두 집

합의 원이고 어떤 관계가 와 사이에 있으면, 는 에 대응한다(correspond) 또

는 는 에 종속이다(depend on)라 하고 기호 →로 쓴다. 우리는 역시 →를

순서짝 로 쓸 수 있다.


114

보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 1.5.1 1.5.1 1.5.1 1.5.1 1.5.1 1.5.1 1.5.1 1.5.1 1.5.1 1.5.1 1.5.1 1.5.1 1.5.1 1.5.1 1.5.1 1.5.1 1.5.1 1.5.1 보기 1.5.1 관계의 예

그림 1.5.1은 네명의 남학생과 이들의 생일 사이의 관계를 나타낸다. 이 관계는 “생

일”이라고 이름을 붙일 수 있다. 그러면 김군은 7월 20일에 대응하고, 이군은 9월

21일에 대응한다. 등등. 순서짝을 사용하여, 이 관계는 다음과 같이 표시될 것이다 :

김군월일이군월일박군월일최군월일 ▣

김군

이군

박군

최군

7월 20일

9월 21일

12월 4일

그림 1.5.1


115

흔히, 우리는 두 변수 사이에 있을 수 있는(방정식과 같은) 관계의 형태를 일일이

열거하는 데에 흥미가 있다. 예로써, 각각을 10,000원에 파는 품목들의 판매로 생

기는 수입(revenue) 사이의 관계는 방정식 로 표시될 수 있다. 우리

가 얼마나 많은 품목들이 팔렸는가를 안다면, 우리는 방정식 를 사용하

여 수입을 계산할 수 있다. 이 방정식은 함수의 한 예다.

다른 예로써, 고드름(icicle)이 땅 위로 64피트 높이로 만들어져서 떨어져 내려온

다고 가정하자. 물리학의 법칙에 의하여, 초 후의 땅으로부터 고드름의 거리 ft는 (대략) 공식 로 주어진다. 초일 때, 고드름은 땅 위로 ft다. 초 후에, 이 고드름은 땅 위로 ft다. 초 후에, 이 고드름은땅에 충돌한다. 이 공식 은 임의의 시각 ≤ ≤ 에 대한 거리

를 구하는 방법을 제공한다. 구간 ≤ ≤ 내의 각 시각 와 거리 사이의 대응


116

이 있다. 우리는 거리 를 시각 의 함수라 말한다. 왜냐면, 이 이유는 다음과 같다:

(1) 시각의 집합과 거리의 집합사이에 대응이 있다.

(2) 구간 ≤ ≤ 내의 임의의 시각 에 대하여 얻어지는 거리 가 꼭 하나 있

다.

이제 함수의 정의를 살펴보자.

정의 정의 정의 정의 정의 정의 정의 정의 정의 정의 정의 정의 정의 정의 정의 정의 정의 정의 1.5.1 1.5.1 1.5.1 1.5.1 1.5.1 1.5.1 1.5.1 1.5.1 1.5.1 1.5.1 1.5.1 1.5.1 1.5.1 1.5.1 1.5.1 1.5.1 1.5.1 1.5.1 정의 1.5.1 함수의 정의

와 는 임의의 집합이라 하자. 에서 로의 함수(function from into )

는 의 각 원이 의 꼭 하나의 원과 결합하는 관계를 말한다.


117

그림 1.5.2

정의역 공변역

치역

이때, 를 함수의 정의역(domain)이라 한다. 의

각 원 에 대하여, 대응하는 의 원을 에서 이 함

수의 값(value) 또는 의 상(image)이라 한다. 를

함수의 공변역(codomain)이라 하고 정의역의 원의

모든 상들의 집합을 이 함수의 치역(range)이라 한

다. 그림 1.5.2를 보라.

의 어떤 원의 상이 아닌 의 어떤 원이 있을 수

있으므로, 함수의 치역은 그림 1.5.2에서 보이듯이,

의 부분집합일 수 있다.

두 집합 사이의 관계가 모두 함수가 되는 것은 아니다. 다음의 보기는 관계가 함

수인지 아닌지를 결정하는 방법을 보여준다.


118

보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 1.5.2 1.5.2 1.5.2 1.5.2 1.5.2 1.5.2 1.5.2 1.5.2 1.5.2 1.5.2 1.5.2 1.5.2 1.5.2 1.5.2 1.5.2 1.5.2 1.5.2 1.5.2 보기 1.5.2 관계가 함수를 나타내는지를 결정하기

(a) 그림 1.5.1을 보라. 이 관계에 대하여, 정의역은 네 명의 학생들을 나타내고, 공

변역은 이들의 생일을 나타낸다.

(b) 그림 1.5.3을 보라. 이 관계에 대하여, 정의역은 회사의 회사원 변씨, 최씨, 박

씨, 강양을 나타내고 공변역은 이들의 전화번호를 나타낸다.

변씨

최씨

박씨

강양

835-6175

834-5760

252-2743

833-5476

832-4268

그림 1.5.3


119


(a) 그림 1.5.1에 있는 관계는 함수다. 왜냐면, 정의역의 각 원은 공변역의 꼭 하나의

원에 대응되기 때문이다. 정의역의 두 개 이상의 원이 공변역의 같은 원에 대응

될 수 있음에 주목하라(박군과 최군의 생일이 같다).

(b) 그림 1.5.3에 있는 관계는 함수가 아니다. 왜냐면, 정의역의 각 원이 공변역의

꼭 하나의 원에 대응되지 않기 때문이다. 박씨는 두 개의 전화번호를 갖는다. 그

러므로, 정의역에서 박씨를 택하면, 하나의 전화번호만이 여기에 할당될 수 없다.

▣

말로하면

함수에 대하여, 정의역은 입력의 집합이고, 치역은 출력의 집합이다.


120

비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 문제 문제 문제 문제 문제 문제 문제 문제 문제 문제 문제 문제 문제 문제 문제 문제 문제 문제 1.5.2 1.5.2 1.5.2 1.5.2 1.5.2 1.5.2 1.5.2 1.5.2 1.5.2 1.5.2 1.5.2 1.5.2 1.5.2 1.5.2 1.5.2 1.5.2 1.5.2 1.5.2 비슷한 문제 1.5.2 그림 1.5.4에 있는 관계가 함수인지를 결정하라. 함수면,

이 함수의 정의역과 치역을 구하라.

그림 1.5.4

강군

차군

이군

박군

6월 8일

3월 15일

9월 17일

함수에 숨어있는 생각은 이것의 예측이다. 입력(input)이 알려지면, 우리는 함수를

사용하여 출력(output)을 결정할 수 있다. “함수가 아닌 관계”에서, 우리는 이와 같

은 예측을 하지 못한다. 그림 1.5.1로 되돌아가 보자. 입력은 김군 이군박군최군이다. 대응은 “생일”을 나타내고 출력은 월 일 월 일 월 일이


121

다. “박군의 생일은 언제인가?”라는 질문을 받으면, 우리는 대응을 사용하여 “12월

4일”이라고 대답할 수 있다. 이제 그림 1.5.3을 생각하자. “박씨의 전화번호는 무엇

인가?”라는 질문을 받으면, 우리는 하나의 전화번호를 알려줄 수 없다. 왜냐면, 하나

의 입력 “박씨”로부터 생기는 두 개의 출력이 있기 때문이다. 이 이유 때문에, 그림

1.5.3에 있는 관계는 함수가 아니다.

우리는 함수를 첫 원은 같고 둘째원은 다른 어떠한 두 개의 순서짝도 없는 순서

짝들의 집합으로 생각할 수 있다. 모든 첫 원 들의 집합은 이 함수의 정의역이고,

모든 둘째 원 들의 집합은 이 함수의 공변역의 원이다. 정의역의 각 원 는 공변

역의 꼭 하나의 원 에 대응한다.


122

보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 1.5.3 1.5.3 1.5.3 1.5.3 1.5.3 1.5.3 1.5.3 1.5.3 1.5.3 1.5.3 1.5.3 1.5.3 1.5.3 1.5.3 1.5.3 1.5.3 1.5.3 1.5.3 보기 1.5.3 관계가 함수를 나타내는 지를 결정하기

각 관계가 함수인지를 결정하라. 함수면, 정의역과 치역을 말하라.

(a) ㄱ ㄴ ㄷ ㄹ(b) ㄱ ㄴ ㄷ ㄹ(c) ㄱㄱ ㄴㄹ ㄷㄷ ㄱㄷ ㅁㅁ


(a) 이 관계는 함수다. 왜냐면, 첫 원이 같고 둘째원이 다른 순서짝들은 존재하지

않기 때문이다. 이 함수의 정의역은 ㄱㄴㄷㄹ이고 치역은 다.

(b) 이 관계는 함수다. 왜냐면, 첫 원이 같고 둘째원이 다른 순서짝들은 존재하지

않기 때문이다. 이 함수의 정의역은 ㄱㄴㄷㄹ이고 치역은 다.


123

(c) 이 관계는 함수가 아니다. 왜냐면, 첫 원이 같고 둘째원이 다른 두 개의 순서짝,

ㄱㄱ과 ㄱㄷ이 있기 때문이다. ▣

보기 1.5.3(b)에서, 정의역의 원 ㄱ과 ㄴ은 각각 에 대응함에 주목하라. 이것은

함수의 정의를 위반하지 않는다. 두 개의 다른 첫 원은 같은 둘째원을 가질 수 있

다. 보기 1.5.3(c)에서처럼, 두 순서짝이 첫 원이 같고 둘째 원이 다를 때 함수의 정

의를 위반하는 일이 발생한다.

비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 문제 문제 문제 문제 문제 문제 문제 문제 문제 문제 문제 문제 문제 문제 문제 문제 문제 문제 1.5.3 1.5.3 1.5.3 1.5.3 1.5.3 1.5.3 1.5.3 1.5.3 1.5.3 1.5.3 1.5.3 1.5.3 1.5.3 1.5.3 1.5.3 1.5.3 1.5.3 1.5.3 비슷한 문제 1.5.3 집합 이 함수인지를 결정하라. 함수

면, 이 함수의 정의역과 치역을 구하라.

보기 1.5.2(a)는 함수가 두 집합 사이의 대응으로 정의될 수 있음을 설명한다. 보

기 1.5.3(a)와 (b)는 함수를 순서짝들의 집합으로 정의할 수 있음을 설명한다. 함수


124

는 역시, 보통 와 로 표시되는, 두 변수의 방정식으로 정의될 수 있다.

보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 1.5.4 1.5.4 1.5.4 1.5.4 1.5.4 1.5.4 1.5.4 1.5.4 1.5.4 1.5.4 1.5.4 1.5.4 1.5.4 1.5.4 1.5.4 1.5.4 1.5.4 1.5.4 보기 1.5.4 함수의 예

다음의 방정식을 생각하라 : ≤ ≤.

이 방정식은 함수인가를 말하라.

풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이 각 입력 에 대하여 꼭 하나의 출력 가 대응됨에 주목하라. 예로써, 이

면, . 이면, . 이 이유 때문에, 이 방정식은

함수다. 우리는 입력을 과 사이의 실수들로 제한하므로, 이 함수의 정의역은

≤ ≤ 이다. 이 함수는 의 상을 얻기 위하여 에 를 곱한 후에 이 결

과에서 를 뺀다는 것을 상세하게 설명해주고 있다. ▣


125

함수의 표시

함수는 흔히 등과 같은 문자로 표시된다. 가 함수면, 의 정의역의 각

원 에 대하여 대응하는 공변역에 속하는 상을 기호 로 나타내고 를 “

(of) ”로 읽는다. 우리는 를 원 에서 의 값(value of at the element )

이라 부른다. 는 “⋅”를 의미하지 않음에 주의하라. 예로써, 보기 1.5.4에 주

어진 함수를 , ≤ ≤ 로 쓸 수 있다. 그러면 .

그림 1.5.5는 몇 가지 다른 함수를 설명한다.


126

그림 1.5.5

정의역 공변역(a)

정의역 공변역(b)

정의역 공변역(c)

정의역 공변역(d)


127

때때로 함수 를 정의역으로부터 수를 입력 받아서, 이것을 솜씨 있게 처리하여

값을 출력하는 기계로 생각하는 것이 도움이 될 수 있다. 그림 1.5.6을 보라.

입력

출력

그림 1.5.6


128

이 입력/출력 기계에 대한 제한은 다음과 같다 :

(1) 이 기계는 함수의 정의역으로부터 수을 허용한다.

(2) 각 입력에 대하여, (다른 입력에 대하여 반복될 수도 있는) 꼭 하나의 출력

이 있다.

함수 에 대하여, 변수 를 독립변수(independent variable)라 한다. 왜냐

면, 를 정의역의 임의의 원으로 선택할 수 있기 때문이다. 변수 를 종속변수

(dependent variable)라 한다. 왜냐면, 값 는 에 종속되기 때문이다. 임의의 기호

가 독립변수와 종속변수를 나타내는데 사용될 수 있다.

예로써, 가 세제곱 함수(cnbe function)면, 는 또는 또는

으로 정의될 수 있다. 이들 세 함수는 모두 같다: 각각은 우리에게 독립변


129

수를 세제곱한다는 것을 말해준다. 실제로, 독립변수와 종속변수에 대하여 사용되는

기호들은, 사업에서 비용(cost)에 대하여 사용되는 와 같이, 보통의 관습에 바탕을

둔다.

함수의 값을 구하기

1.5.2 이제 함수의 값을 구하는 문제를 생각해 보자. 예로써, 가 으로 정

의되는 함수면, 는 독립변수를 세제곱한다는 것을 우리에게 말해준다. 그래서,

는 를 세제곱함을 의미하고, 는 를 세제곱함을 의미하고, 는

를 세제곱함을 의미한다.


130

보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 1.5.5 1.5.5 1.5.5 1.5.5 1.5.5 1.5.5 1.5.5 1.5.5 1.5.5 1.5.5 1.5.5 1.5.5 1.5.5 1.5.5 1.5.5 1.5.5 1.5.5 1.5.5 보기 1.5.5 함수의 값을 구하기

로 정의되는 함수 에 대하여, 다음 각각의 값을 구하라:

(a) (b) (c)

(d) (e) (f)


(a) 에 대한 방정식에 있는 대신에 을 대입한다, 그러면

.

(b) .


131

(c) 에 대한 방정식에 있는 대신에 를 대입한다. 그러면

.

(d) .

(e)

여기에서 괄호의 사용에 주의한다.

.


132

(f)

간단히 한다.

를 공통인수로 끌어낸다.

. 를 약분한다. ▣

보기 1.5.5에서 ≠ 이고 ≠임에 주의하라.


133

보기 1.5.5(f)에 있는 식(미분적분학에서 중요한 식임)을 의 차몫(difference quo-

tient)이라 한다.

비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 문제 문제 문제 문제 문제 문제 문제 문제 문제 문제 문제 문제 문제 문제 문제 문제 문제 문제 1.5.5 1.5.5 1.5.5 1.5.5 1.5.5 1.5.5 1.5.5 1.5.5 1.5.5 1.5.5 1.5.5 1.5.5 1.5.5 1.5.5 1.5.5 1.5.5 1.5.5 1.5.5 비슷한 문제 1.5.5 다음의 각 물음에 답하라.

(1) 함수 에 대하여, 다음의 각 값을 구하라.

(a) (b) (c) (d)

(e) (f) (g) (h)

(2) 함수 에 대하여, 의 차 몫

, ≠을 구하라. 반드시 간단히 하라.


134

함수의 음함수 꼴

일반적으로, 함수 가 와 의 방정식으로 정의될 때, 우리는 이 함수가 암시적으

로(implicitly) 주어진다고 말한다. 이 방정식을 에 의하여 를 푸는 것이 가능하면,

우리는 로 쓰고 이 함수는 명백하게(explicitly) 주어진다고 말한다. 예로써,

음함수 꼴(Implicit Form) 양함수 꼴(Explicitly Form)

와 의 방정식이 모두 함수 를 정의하는 것은 아니다. 주어진 의 값

에 대하여 방정식을 에 대하여 풀었을 때 두 개 이상의 의 값이 얻어지면, 이 방

정식은 함수를 정의하지 못한다.


135

보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 1.5.6 1.5.6 1.5.6 1.5.6 1.5.6 1.5.6 1.5.6 1.5.6 1.5.6 1.5.6 1.5.6 1.5.6 1.5.6 1.5.6 1.5.6 1.5.6 1.5.6 1.5.6 보기 1.5.6 방정식이 함수인지를 결정하기

방정식 가 함수인지를 결정하라.

풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이 가 함수를 정의하는지를 결정하기 위하여, 우리는 이 방정식을 에

대하여 풀 필요가 있다.

±

와 사이의 의 값에 대하여, 의 값이 두 개 생긴다. 예로써, 이면

±±. 이것은 방정식 가 함수가 아니라는 것을 의미한다. ▣

비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 문제 문제 문제 문제 문제 문제 문제 문제 문제 문제 문제 문제 문제 문제 문제 문제 문제 문제 1.5.6 1.5.6 1.5.6 1.5.6 1.5.6 1.5.6 1.5.6 1.5.6 1.5.6 1.5.6 1.5.6 1.5.6 1.5.6 1.5.6 1.5.6 1.5.6 1.5.6 1.5.6 비슷한 문제 1.5.6 방정식 은 함수를 정의하는지를 결정하라.


136

우리는 함수 에 대하여 기억할 몇 가지 중요한 사실들을 다음에 요약한다.

요약

함수에 관한 중요한 사실

(1) 함수 의 정의역의 각 원 에 대하여, 공변역의 원인 꼭 하나의 상

가 있다.

(2) 는 우리가 함수를 나타내기 위하여 사용하는 기호다. 이것은 우리가 정의

역의 원 로부터 공변역의 원 를 얻기 위하여 사용하는 방정식을 나

타낸다.

(3) 면, 는 의 독립변수(independent variable 또는 argument)라 하

고, 를 종속변수(dependent variable) 또는 에서 의 값(value of at

)이라 한다.


137

함수의 정의역

1.5.3 종종 함수 의 정의역은 상세하게 설명되지 않는다. 대신에, 함수를 정의하는

방정식만 주어진다. 이와 같은 경우에, 의 정의역은 값 가 실수가 되는 가장

큰 실수집합으로 한다. 의 정의역은 식 에 있는 변수 의 정의역과 같다.

보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 1.5.7 1.5.7 1.5.7 1.5.7 1.5.7 1.5.7 1.5.7 1.5.7 1.5.7 1.5.7 1.5.7 1.5.7 1.5.7 1.5.7 1.5.7 1.5.7 1.5.7 1.5.7 보기 1.5.7 함수의 정의역을 구하기

다음 각 함수의 정의역을 구하라.

(a) (b)

(c)


138


(a) 함수 는 우리에게 실수의 제곱에 이 실수의 배를 더한다는 것을 말해준다. 이

같은 연산은 임의의 실수에 대하여 실행될 수 있으므로, 의 정의역은 모

든 실수들이다.

(b) 함수 는 를 로 나누는 것을 말해준다. 으로 나누는 것은 정의되지

않으므로, 분모 은 결코 이 될 수 없다. 즉, ≠. 그래서

≠이고 ≠. 따라서 함수 의 정의역은 ≠ ≠다.

(c) 함수 는 우리에게 의 제곱근을 취하는 것을 말해준다. 그러나 음 아닌

수만이 실 제곱근을 갖는다. 그래서 제곱근 안에 있는 식은 보다 크거나 같아

야만 한다. 그러므로,


139

≥ ≥ ≤

.

따라서 의 정의역은 ≤ 또는 구간 ∞

다. ▣

비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 문제 문제 문제 문제 문제 문제 문제 문제 문제 문제 문제 문제 문제 문제 문제 문제 문제 문제 1.5.7 1.5.7 1.5.7 1.5.7 1.5.7 1.5.7 1.5.7 1.5.7 1.5.7 1.5.7 1.5.7 1.5.7 1.5.7 1.5.7 1.5.7 1.5.7 1.5.7 1.5.7 비슷한 문제 1.5.7 함수

의 정의역을 구하라.

가 함수 의 정의역의 원이면, 우리는 가 에서 정의된다( is defined at )

또는 가 존재한다( exists)고 말한다.

가 의 정의역의 원이 아니면, 우리는 는 에서 정의되지 않는다( is not

defined at ) 또는 가 존재하지 않는다( does not exists)고 말한다. 예


140

로써,

면, 은 존재하지만 와 는 존재하지 않는다. (여

러분은 그 이유를 아는가?)

우리는 함수의 치역을 구하는 것에 대해서는 말한 적이 얼마 없다. 함수가 방정식

으로 정의될 때, 이 함수의 치역을 구하는 것이 종종 어려운 것이 그 이유다. (10.1

절에서, 우리는 어떤 종류의 함수의 치역을 구하는 방법을 논의한다.) 그러므로, 우

리는 보통 함수에 대한 규칙이 주어질 때 이 함수의 정의역만을 구하는데 만족할

것이다. 우리는 부등식, 구간표시, 집합표시 또는 말 중에서 가장 편리한 것을 사용

하여 함수의 정의역을 쓸 것이다.


141

그림 1.5.7

응용

우리가 함수를 응용에 사용할 때, 이 함수의 정의역을 물리학적 또는 기하학적 고

려에 따라서 제한할 수 있다. 예로써, 으로 정의되는 함수 의 정의역은

모든 실수들의 집합이다. 그러나, 가 한 변의 길이가 로 알려진 정사각형의 넓이

를 얻는데 사용되면, 한 변의 길이는 결코 도 음수도 될 수 없으므로, 우리는 의

정의역을 양의 실수로 제한해야만 한다.

보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 1.5.8 1.5.8 1.5.8 1.5.8 1.5.8 1.5.8 1.5.8 1.5.8 1.5.8 1.5.8 1.5.8 1.5.8 1.5.8 1.5.8 1.5.8 1.5.8 1.5.8 1.5.8 보기 1.5.8 원의 넓이

원의 넓이를 이 원의 반지름의 함수로 나타내라.

풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이 그림 1.5.7을 보라. 우리는 반지름 인 원의 넓이 에 대한


142

공식이임을 안다. 우리가 을 독립변수로 나타내고 를 종속변수로 나타내

기 위하여 사용하면, 이 관계를 나타내는 함수는 다음과 같다 :

.

이 배경에서, 정의역은 다. (여러분 그 이유를 아는가?) ▣

비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 문제 문제 문제 문제 문제 문제 문제 문제 문제 문제 문제 문제 문제 문제 문제 문제 문제 문제 1.5.8 1.5.8 1.5.8 1.5.8 1.5.8 1.5.8 1.5.8 1.5.8 1.5.8 1.5.8 1.5.8 1.5.8 1.5.8 1.5.8 1.5.8 1.5.8 1.5.8 1.5.8 비슷한 문제 1.5.8 가로가 직사각형의 세로의 두 배일 때, 이 직사각형의 넓이 를

가로 의 함수로 나타내라.


143

함수들의 연산

1.5.4 다음에 우리는 함수들의 연산을 소개한다. 수들처럼, 함수들을 더하고, 빼고,

곱하고 나눌 수 있음을 우리는 알게 된다. 예로써, 이고

면,

.

이 새로운 함수 를 합 함수(sum function)라 하고 기호 로 쓴

다.

비슷하게

⋅

이 새로운 함수 를 곱 함수(product function)라 하고 기호

⋅로 쓴다.

더욱 정확한 정의는 다음에 주어진다.


144

와 가 함수면,

합 는 다음과 같이 정의되는 함수다 :

.

의 정의역은 와 모두의 정의역에 속하는 수 들로 이루어진다.

차 는 다음과 같이 정의되는 함수다 :

.

의 정의역은 와 모두의 정의역에 속하는 수 들로 이루어진다.


145

곱 ⋅는 다음과 같이 정의되는 함수다 :

⋅ ⋅.

⋅의 정의역은 와 모두의 정의역에 속하는 수 들로 이루어진다.

몫

는 다음과 같이 정의되는 함수다 :

≠.

의 정의역은 와 모두의 정의역에 속하는 ≠인 수 들로 이루어진다.


146

보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 1.5.9 1.5.9 1.5.9 1.5.9 1.5.9 1.5.9 1.5.9 1.5.9 1.5.9 1.5.9 1.5.9 1.5.9 1.5.9 1.5.9 1.5.9 1.5.9 1.5.9 1.5.9 보기 1.5.9 함수들의 연산

와 는 각각 다음과 같이 정의되는 함수라 하자 :

다음을 구하고 각 경우의 정의역을 결정하라.

(a) (b)

(c) ⋅ (d)


147

풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이 의 정의역은 ≠이고 의 정의역은 ≠이다.

(a)

.

의 정의역은 와 모두의 정의역에 속하는 수 들로 이루어진다. 그러므로

의 정의역은 ≠, ≠이다.

(b)

.

의 정의역은 와 모두의 정의역에 속하는 수 들로 이루어진다. 그러므로

의 정의역은 ≠, ≠이다.


148

(c) ⋅ ⋅

⋅

.

⋅의 정의역은 와 모두의 정의역에 속하는 수 들로 이루어진다. 그러므로

⋅의 정의역은 ≠ ≠이다.

(d)

⋅

.

의 정의역은 와 모두의 정의역에 속하는 ≠인 수 들로 이루어진다.

일 때 이므로, 우리는 와 은 물론 도 제외한다.

따라서

의 정의역은 ≠ ≠ ≠이다. ▣


149

비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 문제 문제 문제 문제 문제 문제 문제 문제 문제 문제 문제 문제 문제 문제 문제 문제 문제 문제 1.5.9 1.5.9 1.5.9 1.5.9 1.5.9 1.5.9 1.5.9 1.5.9 1.5.9 1.5.9 1.5.9 1.5.9 1.5.9 1.5.9 1.5.9 1.5.9 1.5.9 1.5.9 비슷한 문제 1.5.9 이고 이다. 다음의 각 함수를 구하고

그 정의역를 구하라.

(a) (b)

(c) ⋅ (d)

미분적분학에서, 복잡한 함수를 더 간단한 함수들의 합, 차, 곱 또는 몫으로 생각

하는 것이 때때로 도움이 될 수 있다. 예로써,

은 과 의 합이다.

은 과 의 몫이다.


150

함수 첫 집합(정의역)의 각 원 가 둘째 집합의 꼭 하나의 원 에

대응하는 두 집합 사이의 관계다.

첫째 원들이 같고 둘째 원들이 다른 두 개 이상의 순서짝이 없

는 순서짝 또는 들의 집합이다.

치역은 정의역에 속하는 -값들에 대한 함수의 -값들의 집합

이다.

함수 는 와 를 포함하는 방정식에 의하여 암시적으로 또는

로 씀으로써 명백하게 정의될 수 있다.

요약

우리는, 각 용어의 간단한 설명과 함께, 이 절에서 소개된 몇 가지 중요한 어휘를

여기에 열거한다.


151

상세하게 설명되지 않은 정의역

함수의표시

함수 가 방정식으로 정의되고, 의 정의역이 상세하게 설명되

어 있지 않으면, 정의역은 이 방정식이 실수를 정의하는 가장

큰 실수들의 집합을 취하게 될 것이다.

는 함수의 기호다.

는 독립변수다.

는 종속변수다.

는 에서 의 값 또는 의 상이다.

1장 방정식, 부등식과 함수 1.6 함수의 그래프

152

1.6 1.6 1.6 1.6 1.6 1.6 1.6 1.6 1.6 1.6 1.6 1.6 1.6 1.6 1.6 1.6 1.6 1.6 1.6 1.6 1.6 1.6 1.6 1.6 1.6 1.6 1.6 1.6 함수의 함수의 함수의 함수의 함수의 함수의 함수의 함수의 함수의 함수의 함수의 함수의 함수의 함수의 함수의 함수의 함수의 함수의 함수의 함수의 함수의 함수의 함수의 함수의 함수의 함수의 함수의 함수의 그래프그래프그래프그래프그래프그래프그래프그래프그래프그래프그래프그래프그래프그래프그래프그래프그래프그래프그래프그래프그래프그래프그래프그래프그래프그래프그래프그래프1.6 함수의 그래프

목표 1.6.1 함수의 그래프를 확인하라

1.6.2 함수의 그래프로부터 또는 이에 관한 정보를 얻어라


153

함수가 와 의 방정식으로 정의될 때, 이 함수의 그래프(graph of the function)란

이 방정식을 만족하는 -평면에 있는 점들의 집합, 즉, 이 방정식의 그래프를 말

한다.

함수의 그래프를 판정하기

1.6.1 -평면에 있는 모든 점들의 모임이 함수의 그래프를 나타내지는 않는다. 함

수에 대하여, 정의역의 각 수는 꼭 하나의 상 를 갖는 것을 기억하라. 이것은 함수

의 그래프가 같은 -좌표와 다른 -좌표들을 갖는 두 점을 포함할 수 없음을 의미

한다. 그러므로, 함수의 그래프는 다음의 세로 직선판정법(vertical-line test)을 만

족해야만 한다.


154

정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 1.6.1 1.6.1 1.6.1 1.6.1 1.6.1 1.6.1 1.6.1 1.6.1 1.6.1 1.6.1 1.6.1 1.6.1 1.6.1 1.6.1 1.6.1 1.6.1 1.6.1 1.6.1 정리 1.6.1 세로 직선판정법

-평면에 있는 점들의 집합이 함수의 그래프다 ⇔ 모든 세로 직선이 많아야

한 점에서 이 그래프와 만난다.

이 결과를 설명하는 다른 방법은 다음과 같다 : 임의의 세로 직선이 두 점 이상

에서 그래프와 만나면, 이 그래프는 함수의 그래프가 아니다.


155

보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 1.6.1 1.6.1 1.6.1 1.6.1 1.6.1 1.6.1 1.6.1 1.6.1 1.6.1 1.6.1 1.6.1 1.6.1 1.6.1 1.6.1 1.6.1 1.6.1 1.6.1 1.6.1 보기 1.6.1 함수의 그래프를 확인하기

그림 1.6.1에 있는 그래프들 중 어느 것이 함수의 그래프인가?

(a) (b) (c) (d)

그림 1.6.1


156

그림 1.6.2

풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이 그림 1.6.1(a)와 (b)에 있는 그래프는 함수의 그래프다. 왜냐면, 모든 세로 직선

이 많아야 한 점에서 이 그래프와 만나기 때문이다. 그러나 그림 1.6.1(c)와 (d)는

함수의 그래프가 아니다. 왜냐면, 하나의 세로 직선이 두 점 이상에서 이 그래프와

만나기 때문이다. ▣

비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 문제 문제 문제 문제 문제 문제 문제 문제 문제 문제 문제 문제 문제 문제 문제 문제 문제 문제 1.6.1 1.6.1 1.6.1 1.6.1 1.6.1 1.6.1 1.6.1 1.6.1 1.6.1 1.6.1 1.6.1 1.6.1 1.6.1 1.6.1 1.6.1 1.6.1 1.6.1 1.6.1 비슷한 문제 1.6.1 그림 1.6.2에 있는 그래프가 함수의

그래프인지를 세로 직선 판정법을 사용하여 결정하라.

함수면, 그래프를 사용하여 정의역과 치역을 구하라.


157

함수의 그래프로부터 얻는 정보

1.6.2 가 함수 의 그래프 위의 점이면, 는 에서 의 값, 즉, 다. 함

수 의 그래프가 알려지면, (하나가 있다면) -절편은 우리에게 이 되

는 에서 의 값임을 말해준다. (있다면) -절편들은 우리에게 방정식

의 해들임을 말해준다. 이러한 수들을 함수 의 영(zero)이라 부르기도 한

다. 역시, -축 위쪽에 있는 이 그래프 위의 모든 점들의 -좌표들은 우리에게 부

등식 의 해들임을 말해준다. 반면에, -축 아래쪽에 있는 이 그래프 위의

모든 점들의 -좌표들은 우리에게 부등식 의 해들임을 말해준다.


158

다음의 보기는 함수의 그래프가 알려지면 이 함수에 관한 정보를 어떻게 얻는가

를 설명한다.

보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 1.6.2 1.6.2 1.6.2 1.6.2 1.6.2 1.6.2 1.6.2 1.6.2 1.6.2 1.6.2 1.6.2 1.6.2 1.6.2 1.6.2 1.6.2 1.6.2 1.6.2 1.6.2 보기 1.6.2 함수의 그래프로부터 정보를 얻기

는 이 그래프가 그림 1.6.3에 주어진 함수라 하자. (의 그래프는 흔들이

(pendulum)의 추(bob)가 정지 상태(at-rest position)로부터 움직인 거리를 나타낸다.

의 음의 값은 흔들이가 정지 상태에서 왼쪽으로 움직인 거리를 의미하고, 의 양

의 값은 흔들이가 정지 상태에서 오른쪽으로 움직인 거리를 의미한다.)


159

그림 1.6.3(a)

와 는 무엇인가?

(b) 의 정의역은 무엇인가?

(c) 의 치역은 무엇인가?

(d) 절편들을 열거하라.(있다면, 이들은 이 그

래프가 축들과 만나는 점들임을 상기하라.)

(e) 종종 직선 는 어떻게 이 그래프와 만

나는가?

(f) 의 어떤 값에 대하여 인가?

(g) 의 어떤 값에 대하여 인가?


160


(a) 는 의 그래프 위의 점이므로, -좌표 는

-좌표 에서 의 값이다. 즉, .

비슷한 방법으로,

일 때 임을 안다.

그러므로 . 또한 일때 . 그러므로 .

(b) 의 정의역을 결정하기 위하여, 의 그래프 위의 점들은 에서부터 까지의 -

좌표들을 갖고, 과 사이의 각 수에 대하여 이 그래프 위의 점 가 있음

에 주목하라. 따라서 의 정의역은 ≤ ≤ 또는 구간 다.


161

(c) 이 그래프 위의 점들은 모두 에서 까지의 -좌표들을 갖고, 이와 같은 각

수 에 대하여 정의역의 적어도 하나의 원 가 있다. 따라서 의 치역은

≤ ≤ 또는 구간다.

(d) 절편들은

과

이다.

(e) 그림 1.6.3의 그래프 위에 가로 직선 를 그려라. 그러면 이 직선은 이 그래

프와 네 번 만나는 것을 알게 된다.

(f) 와 는 인 이 그래프 위의 유일한 점들이므로,

와 일 때 .

(g) 어디에서 인지를 결정하기 위하여, 우리는 그림 1.6.3을 살펴보고 -좌

표가 양이되는 값들을 결정한다. 이것은 구간


162

와

위에서 생긴다. 이 되는 값들을 부등식표시를 사용하면,

≤

와 ≤. ▣

함수의 그래프가 주어질 때, 이 함수의 정의역은 -축에 수직인 광선을 그래프

에 비췄을 때 -축 위에 생기는 이 그래프의 그림자로 생각할 수 있다. 이 함수의

치역은 -축에 수직인 광선을 비췄을 때 -축 위에 생기는 이 그림의 그림자로 생

각할 수 있다. 이 기술을 그림 1.6.3에 주어진 그래프로 시도해보라.


163

비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 비슷한 문제 문제 문제 문제 문제 문제 문제 문제 문제 문제 문제 문제 문제 문제 문제 문제 문제 문제 1.6.2 1.6.2 1.6.2 1.6.2 1.6.2 1.6.2 1.6.2 1.6.2 1.6.2 1.6.2 1.6.2 1.6.2 1.6.2 1.6.2 1.6.2 1.6.2 1.6.2 1.6.2 비슷한 문제 1.6.2 다음의 각 물음에 답하라.

(1) 그림 1.6.4에 보이는 함수 의 그래프를 사용하여 (a)-(n)에 답하라.

(a) 와 을 구하라. (b) 와 를 구하라.

(c) 은 양인가 음인가? (d) 은 양인가 음인가?

(e) 인 의 값은? (f) 인 의 값은?

(g) 의 정의역은? (h) 치역은?

(i) -절편은? (j) -절편은?

(k) 종종 직선

은 이 그래프와 어떻게 만나는가?

(l) 종종 직선 는 이 그래프와 어떻게 만나는가?

(m) 인 의 값은? (n) 인 의 값은?


164

(2) 그림 1.6.5에 있는 그래프가 함수의 그래프인지를 세로 직선 판정법을 사용하여

결정하라. 함수면, 그래프를 사용하여 (a) 이 함수의 정의역과 치역 및 (b) 있다면

절편들을 구하라.

그림 1.6.4 그림 1.6.5


165

보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 1.6.3 1.6.3 1.6.3 1.6.3 1.6.3 1.6.3 1.6.3 1.6.3 1.6.3 1.6.3 1.6.3 1.6.3 1.6.3 1.6.3 1.6.3 1.6.3 1.6.3 1.6.3 보기 1.6.3 함수의 그래프에 관한 정보를 얻기

함수

를 생각하자.

(a) 의 그래프 위에 점 이 있는가?

(b) 이면, 는 무엇인가? 어떤 점이 의 그래프 위에 있는가?

(c) 면, 는 무엇인가? 어떤 점이 의 그래프 위에 있는가?


(a) 이라 하자. 그러면

. 그래서 점

은 의 그래프

위에 있다. 그러나 점 은 의 그래프 위에 있지 않다.


166

(b) 이라 하자. 그러면

.

따라서 점 은 의 그래프 위에 있다.

(c) 라 하자. 그러면

양변에 를 곱한다.

괄호를 없앤다.

. 를 푼다.

따라서 점 는 의 그래프 위에 있다. ▣

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1장 방정식, 부등식과 함수 11장 장 방정식방정식, , , 부등식과 …rg.wonkwang.ac.kr/teaching/chapter01.pdf1장 방정식, 부등식과 함수 1.1 1변수 방정식과